GRAFICAS (X-R) Este gráfico trata de mostrarnos m ostrarnos la distribución que siguen en el tiempo los estimadores (media) y R (rango), identificativos del valor central y la dispersión de los valores de cada muestra extraída. Los valores de estos estimadores variarán de una muestra a otra en el proceso de inspección; por tanto, lo que nos interesará predecir, so los límites entre los que variarán var iarán dichos estimadores, supuesto que el proceso está bajo control (esto es, cuando no existen causas especiales que distorsionen el proceso). El procedimiento que debe seguirse para su construcción exige contar con una hoja de recogida de datos, en la que se indicará el tamaño de las muestras, la frecuencia con que deben tomarse y el número de muestras necesarias para obtener cierta significación estadística en nuestro estudio. El tamaño de la muestra m uestra se elegirá de modo que la variación entre las medidas de las unidades observadas sea lo menor posible. Conviene que este tamaño sea reducido y constante para todas las muestras que se tomen. Suelen tomarse muestras de tamaño 5, de extracción consecutiva, para que todas las unidades que componen la muestra tengan un comportamiento lo más homogéneo posible. Respecto a la frecuencia de extracción de muestras, no se ha de perder de vista el propósito general de los gráficos de control por variables, que es detectar los cambios que se originan en el proceso a lo largo del tiempo. Por eso la frecuencia de extracción debe facilitar esa tarea de detección, de modo que si se prevé una elevada variabilidad de la medida en el proceso, los intervalos de extracción deben ser cortos. •
•
De cada una de las muestras se van a vigilar dos valores: uno es la media y el otro el rango (diferencia entre el mayor valor y el menor de los datos de la muestra). Puede admitirse que cada uno de estos dos valores sigue una distribución normal a lo largo del proceso de muestreo, es decir:
Además, la relación que existe entre las desviaciones de estas distribuciones, la desviación estándar de la población (σ), y el rango medio ( R) es:
Donde d2, d3 son coeficientes cuyo valor depende del tamaño de cada muestra. Para vigilar los valores de media y rango, se han de establecer los denominados límites de control de medias y rangos. Los límites de control de un gráfico nos denotarán las cotas superior e inferior que pueden tomar los valores que se plasman en el gráfico, de modo que la desviación respecto a su valor medio sea como máximo de ±3 desviaciones estándar. Y esto suponiendo que la variación del valor del estimador que se controla, es debida exclusivamente a causas comunes.
Así, los límites de control para la media, se establecerán como sigue:
Lo mismo, para los rangos:
Los valores A2, D3, y D4 también dependen del tamaño de la muestra (ver tabla siguiente.)
Condición 1: [
]
LVN ⊂ LT
INTERPRETACIÓN DEL GRÁFICO (X-R ) Desde el punto de vista del control y mejora del proceso, no basta con saber construir los gráficos de control; es necesario saber interpretarlos, con el fin de averiguar lo que le está sucediendo al proceso en el transcurso del tiempo: causas de variación especiales, sesgos, tendencias, etc. Antes de aceptar los gráficos anteriores para el control futuro, es necesario comprobar que el proceso este bajo control estadístico, lo cual ocurre cuando: - Ninguno de los valores del Rango queda fuera de los límites de control de Rango. - Ninguna de las Medias esta fuera de los limites de control de las Media. - No haya más de seis valores de las Medias, en muestras consecutivas que estén al mismo lado de la gran media. - No haya dos Medias seguidas fuera de los limites de advertencia, (estos se toman con una amplitud de dos veces la desviación típica). - En siete muestras consecutivas no puede haber más de dos Medias fuera y del mismo lado de los límites de advertencia. Si se cumple todo lo anterior, indicaría que los valores hallados son representativos del proceso y pueden usarse en el futuro para el control del mismo. Si alguna de las condiciones no se cumple, no se podrían usar y habría que estudiar cual es el motivo y corregirlo.
Veamos unos ejemplos de los gráficos anteriormente descritos: Gráfico con puntos fuera de control.
Puede ser que el proceso esta bajo control, pero se note un progresivo empeoramiento.
EJEMPLO DE GRAFICOS X-R. A continuación se muestra la representación del gráfico (X-R) PASO A PASO correspondiente a los datos de 25 muestras de tamaño 5 DEL GRADO DE POSICIÓN DE LAS NAVAJAS DE RASTRILLOS AL MONTARLAS EN EL MANGO. n
X1
480 10.500 X2 X3
X4
X5
001 10.440 10.500 10.450 10.440 10.520 002 10.640 10.530 10.600 10.520 10.510 003 10.550 10.510 10.470 10.450 10.420 004 10.530 10.520 10.560 10.590 10.600 005 10.520 10.430 10.440 10.460 10.500 006 10.450 10.460 10.610 10.480 10.550 007 10.530 10.610 10.480 10.400 10.480 008 10.450 10.500 10.450 10.530 10.470 009 10.520 10.560 10.530 10.580 10.660 010 10.560 10.500 10.400 10.510 10.640 011 10.530 10.480 10.560 10.550 10.580 012 10.560 10.430 10.430 10.420 10.510 013 10.500 10.720 10.480 10.450 10.500 014 10.470 10.530 10.560 10.520 10.470 015 10.530 10.560 10.600 10.690 10.550 016 10.510 10.630 10.620 10.590 10.610 017 10.500 10.510 10.400 10.520 10.520 018 10.540 10.460 10.490 10.450 10.460 019 10.490 10.550 10.510 10.560 10.490 020 10.620 10.500 10.600 10.610 10.620 021 10.540 10.590 10.630 10.580 10.560 022 10.420 10.550 10.480 10.500 10.500 023 10.520 10.600 10.510 10.520 10.500 024 10.570 10.720 10.640 10.730 10.590 025 10.600 10.570 10.600 10.480 10.500 Con la tabla inicial de datos los gráficos que se obtienen son los Siguientes:
En el diagrama X se detecta un punto fuera de control correspondiente a la muestra 24, mientras que en el R todos están entre los límites. Enmascarando esta muestra y volviendo a dibujar los gráficos se detecta otro punto fuera de control, esta vez en el gráfico R correspondiente a la muestra 13, la cual volvemos a enmascarar. Para ello seguiremos los siguientes pasos:
a) Calcularemos en primer lugar los rangos de cada muestra, Ri , y el rango medio, R, con la información contenida en la ficha de control:
Los límites de control para los rangos vienen dados por las expresiones en función de D4 y D3: LCSR = D4 * R = 2,115 x 0,126 = 0,266 LCIR = D3 * R = 0 x 0,126 = 0 Siendo los valores de D3 y D4 los correspondientes a la tabla anterior para un tamaño de muestra, n, igual a 5. b) Se comprueba a continuación si el rango de alguna de las muestras cae fuera de los Límites de Control. Si esto ocurre, se interpretará que la(s) muestra(s) correspondiente(s) pertenece(n) a una población distinta o a un momento en el que el proceso estuvo fuera de control. En cualquier caso, dichas muestras no serán consideradas y se procederá a calcular unos nuevos R y LCR con las muestras restantes. En el presente caso, sólo el rango de la muestra i=13 está fuera de los límites, pues R13 = 0,27, por lo que debe ser eliminada en la determinación del nuevo rango:
LCSR = D4 *R = 2,115 x 0,12 = 0,254 LCIR = D3 * R= 0 x 0,126 = 0 Puede comprobarse que todos los rangos (salvo R13) están contenidos dentro de las nuevas LCR, por lo que puede tomarse como definitivo el valor R = 0,12. Si algún R, no hubiese satisfecho esta condición, habría que proceder de forma análoga a la anterior hasta conseguir que todos los Ri conservados queden dentro de los LCR, cuidando de que el número de muestras que queden sean suficientes para que los resultados sean significativos.
c) Una vez fijado se calcula el valor de y LCX, utilizando únicamente las muestras no excluidas4 en el apartado anterior, por medio de las expresiones ya vistas. Asimismo, se tomará R = 0,12. LCSX = + A2 * R= 10,53 + 0,577 x 0,12 = 10,599 LCIX = - A2 * R= 10,53 - 0,577 x 0,12 = 10,461 donde A2 procede de la tabla anteriormente comentada para n = 5. No obstante algunos autores prefieren considerar todas las muestras. d) Se comprueba seguidamente si alguna de las Xi cae fuera de los LCX. Si esto ocurriese, deberían ser eliminadas, determinándose unos nuevos y LCX. Para estos últimos se seguiría empleando el mismo R (0,12 en nuestro caso), con lo que los nuevos límites de control tendrían la misma amplitud que los anteriores aunque estarían desplazados por haber cambiado. El proceso se repetiría hasta con seguir que todas las conservadas queden dentro de los últimos LCX calculados, que se tomarían como definitivos (salvo para el caso de alta precisión como ya se indicó en la introducción) junto con el último valor de X. En el problema objeto de estudio observamos que X 24= 10,65 está fuera de los límites, por lo que deberá prescindirse de ella:
LCS = 10,525 + 0,577 x 0,12 = 10,594 LCI = 10,525 - 0,577 x 0,12 = 10,456 Las 23 muestras consideradas caen dentro de los nuevos LCX, por lo que consideramos finalizado el proceso y procedemos al cálculo de los límites de variación natural: LVNS = X + L R = 10,525 + 1,289 x 0,12 = 10,68 LVNI = X – L R = 10,525 - 1,289 x 0,12 = 10,37 Vemos, pues, que los LVN son más estrechos que los límites de tolerancia, LT, especificados por la oficina técnica, que, de acuerdo con la ficha de control, valen: LT = 10,5 ± 0,2 es decir: LTS = 10,5 + 0,2 = 10,7 LTI = 10,5 - 0,2 = 10,3
Se deduce, por tanto, que el proceso es capaz de cumplir los objetivos marcados. Es interesante hacer notar que por estar la gran media X descentrada hacia arriba (10,525 en lugar de 10,5), es mayor la probabilidad de obtener piezas defectuosas por exceso en la longitud, por lo que sería recomendable intentar centrar, X. Hay que recalcar, sin embargo, que el operario sabe que los errores por exceso pueden ser corregidos, no ocurriendo esto con los que son por defecto, tendiendo, por tanto, a dar valores centrales, X, más elevados. Así se obtienen los gráficos finales de la fase de construcción.
Para calcular los valores de los límites de control en ambos gráficos, basta utilizar las fórmulas anteriormente expuestas (supuesto que ya se han filtrado las muestras 24 y 13). Gráfico de medias: X =10,525 LC =10,525 ± 0,577 0,12 = [10,456; 10,594] R = 0,12 LCS = 2,115 0,12 = 0,254; LCI = 0 0,12 = 0
SEP
SNEST
DGEST
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA EST. Y CONTROL DE CALIDAD Explicación de graficas ( X- R ) Y EJEMPLO DE GRAFICA XR APLICADO A PROCESO DE RASTRILLOS.
PROFESOR: Ing. Manuel García Berthely PRESENTA: HUGO UVIQUEL AYALA GONZALEZ
ESPECIALIDAD: INGENIERIA EN MECATRONICA N° DE CONTROL: 10280632
