Grafos Apuntes Java Java Java

Estructuras de Datos GRAFOS (parte 1)

–

2016

Introducción

2

Los grafos sirven para representar relaciones arbitrarias (no necesariamente jerárquicas) jerárquicas) entre objetos de datos



1

Grafos Introducción a la teoría de grafos

M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)

3 









Aplicaciones Circuitos electrónicos  Tarjetas impresas  Circuitos integrados Redes de transporte  Autopistas  Vuelos Redes de ordenadores  LANs  Internet  Web Planeación (rutas críticas)  Planificación de las tareas que completan un proyecto Redes sociales


Ejemplo de uso de Grafos

4 

En una red de carreteras l as poblaciones representan los vértices del grafo y las carreteras de unión de dos poblaciones, los arcos, de modo que a cada arco se asocia información tal como la distancia entre dos ciudades, el consumo de gasolina por automóvil, etc. Teziutlan Atlixco

3 Chignahuapan Puebla

2 1 2.5

2 Tehuacán

Zacapoaxtla 5

M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP) M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)

Zacatlán


–

2016

Definiciones

5



 

 



Definiciones

6 

Un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos (V) y un conjunto de arcos o aristas (A). Un grafo se representa con el par G = (V,A).



El número de elementos de V se llama orden del grafo Un grafo nulo es un grafo de orden cero

Un grafo no dirigido es aquel que los arcos están formados por pares de nodos no ordenados, se representa u  v. Si (u,v) es una arista en el conjunto de aristas del grafo A(G), entonces u y v se dice que son vértices adyacentes. 

Un arco o arista está formado por un par de nodos u y v, y se representa por (u,v)



Un grafo es dirigido (o digrafo) si los pares de nodos que forman los arcos son ordenados y se representan u  v.

Un arco tiene, a veces, asociado un factor de peso, en cuyo caso se dice que es un grafo valorado o ponderado.


7 


Fundamentos: grafos dirigidos

Grafo no dirigido



Grafo dirigido

V(G1) = {a,b,c,d}

V(G2) = {1,3,5,7,9}

A(G1) = {(a,b),(a,d),(b,c),(b,d)}

A(G2) = {(1,3),(3,1),(9,1), (3,5),(5,7)}

Adyacentes a a: b, d

Fundamentos

8 

Grado de un vértice (o nodo) 

En un grafo no dirigido



En un grafo dirigido



Adyacentes a 1: 3

Adyacentes a b: a, c, d

Adyacentes a 3: 1, 5

9 1

a

7 c

Grado de entrada de u = nº de arcos que llegan a u



Grado de salida de u = nº de arcos que salen de u


3 5

d

Grado de un nodo u = nº de aristas que contienen a u



3

b

Es decir, dos vértices son adyacentes si hay un arco que los une.

9

5 1 7


Grado entrada/salida para: 3? 9? 1? 5?


Fundamentos

9



2016

–

Grafos conexos 



Fundamentos

10



Grafos Completos

Un grafo no dirigido es conexo si existe un camino entre cualquier par de nodos que forman el grafo



Ejemplos: 

grafo conexo •

grafo no conexo con dos componentes conexas



Si existen n vértices, habrá (n-1) aristas en un grafo completo y dirigido, y n(n-1)/2 aristas en un grafo no dirigido completo. Ejemplos:

Grafos fuertemente conexos 



Un grafo dirigido es fuertemente conexo si existe un camino entre cualquier par de nodos que forman el grafo Ejemplos:

Grafo completo no dirigido


11

Un grafo completo es aquel en que cada vértice está conectado con todos y cada uno de l os restantes nodos.

Un grafo con V vértices tiene a lo más V (V – 1)/2 aristas


Grafo completo dirigido





Prueba: El total de V2 posible pares de vértices incluyen los vértices con bucles y cuentan doble para cada par de vértice distinto, entonces el número de aristas es a lo más



( V2 – V )/2 = V (V – 1)/2.




Fundamentos: camino

12

Un camino P de longitud n en el grafo G desde u0 a un es la secuencia de n+1 vértices P = (u0, u1, ..., un) tal que (ui,ui+1) son arcos de G para 0  i  n Un camino es simple si todos los nodos que forman el camino son distintos, pudiendo ser iguales los extremos del camino Ejemplo: 

P1 es simple



P2 no es simple M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)

a

V

b

d

U c

P2

P1 X

e

W

g f

Y

h

Z








2016

Actividad Individual

Fundamentos: ciclos y bucles

13



–

Un ciclo es un camino simple cerrado con u0=un, compuesto al menos por tres nodos Un ciclo es simple si todos sus vértices y arcos son distintos Un arco que va desde un vértice a sí mismo (u,u) se denomina bucle o lazo

a U c

V

14



b

d

X

C2

e

h

Z



C1

W



g



f

Y

Obtener todos los caminos de vértice 1 al 4 y del 4 a cualquier otro vértice

3

Determinar cual de ellos es simple

2

Hay cliclos? Cual? ¿Se trata de un grafo conexo?

1

Ejemplo 

C1 es un ciclo simple



C2 es un ciclo no simple

4


TAD GRAFO

15



Composición: 

:: = {} + {}



::= <> + [<>]



::= <> + <>







:: = {} + {}

6 5


TAD GRAFO: Operaciones 16

Creación del grafo

crearGrafo (grafo)

Inserción de vértices

insertarVertice(grafo, vertice)

Eliminación de vértices

borrarVertice(grafo, referenciaVertice)

Inclusión de aristas

insertarArista(grafo, vertice1, vertice2)

B or ra r a ri st as

bo rr ar Ar is ta (g raf o, ar is ta)

Recorrido del grafo

recorrer(grafo,tipoRecorrido)

::= <> + [<>] ::= <> + <> + <>




–

2016

TAD GRAFO: Operaciones info(referenciaVertice) Informacion grado(referenciaVertice) Entero

Acceso a los vertices

 

gradoEntrante(referenciaVertice) Entero gradoSaliente(referenciaVertice) Entero

adyacentes(referenciaVertice) incidentes{referenciaVertice)

{referenciaVertice} {referenciaVertice}

esAdyacente(refenciaVertice1, referenciaVertice2)

Modificación de vertices

Representación de GRAFOS

18



Boolean

Matriz de adyacencias Sea G = (V,A) un grafo de n nodos, suponemos que los nodos V = {u1,...,un} están ordenados y podemos representarlos por sus ordinales {1,2,...,n}. La representación de los arcos se hace con una matriz A de nxn elementos aij definida: 1 si hay arco (ui,uj)

asignarInfo(referenciaVertice, valorInformacion)

aij vertices(referenciaArista)

Acceso a las aristas

etiqueta((referenciaArista)

Modificación de aristas

19

3

asignarEtiqueta(referenciaArista, valorEtiqueta)

1

1 5

4

0 1 0 0 0

0 0 0 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1


1 0 0 0

1 1 0 0

Obtén la matriz de adyacencia para el siguiente grafo.

a b

3 0 0 1 0 0



f 4

0 0 0 0 0

20

1

2 4


5

6

1

En resumen, la matriz de adyacencia a es un arreglo de dos dimensiones que representa las conexiones entre pares de vértices. M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)

2

2

2

1 0 1 0 0



etiqueta

Representación: matriz de adyacencia 3 2

1

0 0 0 0 0

0 si no hay arco (ui,uj)

(refVertice, refVertice)

destino(referenciaArista) refVertice origen(referenciaArista) refVertice

1 0 6 0 0

0 2 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 2 0 0

e

c M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)

d


–

2016

Grafo

-M[][]: int 22 ListaLigada -vertices:

Actividad individual 21 

Deducir la matriz de adyacencia para el siguiente grafo con aristas ponderadas. 8

1 15 4

10

3

2

7

34

5 12

5

11 6

98

ListaLigada

-inicio: Nodo

+Grafo() +Grafo(n: int) +agregarVertice(v: String): boolean +eliminarVertice(v: String) ): boolean +agregarArista(vo: String, vd: String) +eliminarArista(vo: String, vd: String) +mostrarMatriz(): void +mostrarVertices(): void +getOrden(): int +getGrado(vertice: String): int

20

74

2 7

Nodo

7 9 8


Representación

23 







+Nodo() M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP) +Nodo(v: vertice)

Representación: listas de adyacencia

24

Poco eficiente si el nº de vértices varía a lo largo del tiempo de vida del grafo



Puede darse el caso de que el nº de vértices sea mayor del previsto inicialmente

Ejemplo

3

Poco eficiente cuando el grafo tiene pocos arcos (la matriz es “dispersa”)

2

Listas de adyacencia  

Representar una lista de todos los vértices

1

Cada vértice guarda una lista de adyacencia con un objeto arista para cada vértice alcanzable desde él

1

3

2

3

3

1

4

4 5 5

4 M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)

Vertice

+Vertice(nombre: string) +Vertice(nombre: string, index) +getIndex(nombre: string): int +getNombre(): String

vertice: Vertice sgte: Nodo

Matriz de adyacencia 

-nombre: String -index: int

8 15

+ListaLigada() +insertar(v: Vertice): boolean +eliminar(v: Vertice): boolean +eliminar(index: int): boolean +mostrar(): void


1

2

4


–

2016

Actividad Individual 26

Representación: listas de adyacencia

25



3

Ejemplo 7

2

2

1

3 2

2

3 7



Obtener la lista de adyacencia para el siguiente grafo.

a

h i

g

3

5

b 2

1

1 1

4

c

5

1

4

5

3

3 5

2 2

4 3

j M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)

Actividad individual

27

28

¿Que hemos aprendido?

Obtener la lista de adyacencia para el siguiente grafo con aristas ponderadas.

2

8

1 15

7

4

12

5

6

5 15

7

20 7


f

e




d

2 8 M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)


–

2016

Recorridos en Grafos

30



29

Algoritmos de búsqueda o recorridos en grafos



Muchas de las aplicaciones computacionales naturalmente incluyen no solo un conjunto de elementos sino un conjunto de conexiones entre pares de esos elementos Las relaciones implicadas por esas conexiones guían inmediatamente a un conjunto de preguntas: 



Profundidad y anchura




31

Algoritmos de búsqueda o recorridos en grafos



Recorrer un grafo consiste en pasar exactamente una vez por cada uno de los vértices del grafo en busca de algún vértice en particular.

Recorrido o búsqueda primero en achura – BFS (Breadth-First Search)


Marcar vértice como visitado 



Si los vértices están identificados por algún tipo ordinal, emplear un conjunto que contenga los identificadores de los vértices visitados

Encontrar los vértices adyacentes Con matrices de adyacencia: recorrer la fila correspondiente al vértice, buscando columnas igual a1  Con listas de adyacencia: recorrer la lista 





¿Cual es la mejor manera de ir desde un elemento a otro?

Recorridos: operaciones auxiliares

32

Existen varias formas de realizar este proceso dependiendo del objetivo particular: Recorrido o búsqueda primero en profundidad – DFS (Depth-First Search)

¿Cuántos otros elementos pueden ser alcanzados desde un elemento dado?


 

¿Hay alguna manera de ir de un elemento a otr o siguiendo las conexiones?



Estructuras auxiliares  

TDA Pila en Profundidad TDA Cola en Anchura



–

2016

Recorrido primero en profundidad

Recorridos

33

2 

Primero en profundidad (DFS: Depth First Search) Visitar vértice adyacente a vi



... proceder así hasta encontrar uno ya visitado...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

11

11

12

9

Volver atrás hasta llegar a un vértice con adyacentes sin visitar

13 13

8 5 8

2

El recorrido termina cuando v olviendo atrás llegamos al vértice inicial vi y no quedan adyacentes por recorrer

5

7

6

9

12

1, 3, 6, 10, 13, 12, 9, 5, 2, 4, 7, 8, 11


Recorrido primero en profundidad 3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0


4

4


1

10 7 10





3

6

1

 Visitar vértice inicial vi



3

1

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 35

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0



1 2 4 3 6 10 7 11 8 5 9 12 13

Obtener la matriz de adyacencia y el recorrido DFS del siguiente grafo. Inicia en el nodo a

a

h i

g b c

d

f j

e


2016

Recorrido primero en profundidad

37



–

Solución a b c d e f g h i j



a

b

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c d 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

e f 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

g 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

h i 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0


0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

j 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0



Primero en anchura (BFS: Breadth First Search) 

Visitar vértice inicial vi



Visitar todos los vértices adyacentes a vi





Al terminar, comenzar a visitar los adyacentes a los adyacentes a vi ... proceder así hasta que no queden vértices por visitar


En binas escribir el algoritmo Primero en profundidad (DFS: Depth First Search) 

a b c e d f g h i j

Recorridos

39

Actividad colaborativa

38

Tip: Pensar recursivamente


40

Recorridos: Anchura Inicio marcar vi como visitado meter vi en cola Q mientras cola Q no vacía hacer sacar v de cola Q para cada vk adyacente a v hacer si vk no visitado entonces marcar vk visitado meter vk en cola Q fin_si fin_para fin_mientras Fin M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)


–

2016

Recorrido primero en anchura 4

3

1

1

5

8

6

10

7

2

4

3

42

11

6

9

11

13

8 7

2

5

10

12

12

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1

2

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1, 3, 4, 2, 6, 7, 8, 5, 10, 11, 9, 13, 12

44 En binas obtener la matriz de adyacencia y el recorrido del grafo en anchura 

a

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0

h

c

d

-M[][]: int -V[]: vertice

f j

e

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

En equipos de 4, suponiendo que se cuenta con la clase Grafo como se muestra.  Implementar los recorridos en profundidad y anchura Grafo

b

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1

Actividad colaborativa

i

g

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1


Actividad colaborativa 

Recorrido primero en anchura

+Grafo() +Grafo(n: int) +agregarVertice(v: String) +agregarArista(vo: String, vd: String) +verMatriz() +BFS(vi: String) //anchura M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP) +DFS(vi: String) //profundidad

Vertice

-nombre: String -index: int -visitado: boolean +Vertice(nombre: string) +Vertice(nombre: string, index) +getIndex(nombre: string): int +setVisitado(s: boolean) +isVisitado(): boolean


45

–

2016

¿Que hemos aprendido?


Grafos Apuntes Java Java Java

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