Perforación
11 GUÍA PARA LA l e s n o e z o a P c e i n d á c n e ó i m c o a e r o G f r a l e e P a d l n e ó i d c o a ñ c e i l s p i A D
La Geomecánica es la disciplina que estudia las características mecánicas de los materiales geológicos que conforman las rocas de formación. Esta disciplina está basada en los conceptos y teorías de mecánica de rocas y mecánica de suelos, que relacionan el comportamiento de la formación bajo los cambios de esfuerzos producto de las operaciones petroleras de perforación, terminación y producción de pozos.
La Geomecánica es la disciplina que estudia las características mecánicas de los materiales geológicos que conforman las rocas de formación. Esta disciplina está basada en los conceptos y teorías de mecánica de rocas y mecánica de suelos, que relacionan el comportamiento de la formación bajo los cambios de esfuerzos producto de las operaciones petroleras de perforación, terminación y producción de pozos.
CONTENIDO GUÍA PARA LA APLICACIÓN DE LA GEOMECÁNICA EN EL DISEÑO DE LA PERFORACIÓN PERFORACIÓN DE POZOS POZOS
1. OBJETIVO 2. INTRODUCCIÓN 3. CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMECÁNICA 4. METODOLOGÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE GEOMECÁNI GEOMECÁNICA CA DE UN CAMPO 4.1 Acopio Acopio de infor información mación (Perfo (Perforación ración,, GeoloGeología, Registros y Sísmica) y análisis de la perforación 4.2 Revisión del modelo estructural (visualización 3D del campo con las fallas, las formaciones, y los pozos con los eventos de perforación identicados a lo largo de su
trayectoria) 4.3 Evaluación de la sobrecarga y presión de poro 4.4 Estimación de los parámetros elásticos y resistencia de la roca 4.5 Determinación de la dirección y magnitud de los esfuerzos horizontales 4.6 Aplicacione Aplicacioness del Modelo Modelo de Geomecánica: Geomecánica: i) Curvas de estabilidad mecánica (ventana operativa) ii) Construcción de mapas de perforación iii) Selección de Barrenas.
5. REFERENCIAS
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1. Objetivo. Desarrollar una guía de diseño que permita aplicar la Geomecánica, a través de una metodología práctica, en la planeación de intervenciones de pozos, con el n de miti gar y/o controlar los riesgos originados por la alteración del estado natural de las formaciones durante el proceso de perforación.
2. Introducción. Cada vez que se perfora un pozo, el estado natural de esfuerzos de las formaciones atravesadas se altera, causando una redistribución de éstos, alrededor del pozo. La interrogante aquí es saber si las formaciones perforadas pueden soportar esta nueva condición de esfuerzos, y de esta manera determinar la densidad del uido de perfo ración apropiada para evitar la inestabilidad del agujero y el riesgo de desencadenar los problemas que históricamente conocemos como los más críticos durante un proceso de perforación (pérdida del agujero perforado por colapso de la formación o atrapamiento de sartas causado por cierre del agujero o derrumbe y/o pérdidas de circulación). En esta guía de diseño se presentan los fundamentos sobre los esfuerzos a los que están sometidas las formaciones, las propiedades mecánicas de las rocas, y los modelos de falla, que permitirán determinar la ventana operacional de la densidad del uido de
control y el ángulo y azimut más apropiados para alcanzar el objetivo geológico. Con esto se mitigaran los riesgos potenciales de inestabilidad de agujero durante la perfora-
ción. Para la aplicación de estos conceptos se propone una metodología práctica para construir un modelo de Geomecánica de un campo o área, utilizando toda la información disponible, el software técnico, y lo más importante, el conocimiento teórico-práctico de un equipo multidisciplinario. También se presenta el resultado nal de la aplicación
de esta metodología, representado por lo que se denomina ‘mapa de perforación’ por cada pozo nuevo a perforar en el campo de estudio; los cuales sirven como instrumentos de comunicación pro-activa entre todo el personal involucrado en la perforación del nuevo pozo, no solo durante las etapas de planeación y diseño, si no también, durante la ejecución de la perforación. Como una aplicación adicional se presenta la selección de barrenas a partir de los parámetros geomecánicos. Es importante mencionar que la inestabilidad físico-química, provocada por la interacción roca-uido, debe ser tomada en cuenta para la selección apropiada del uido de perfora-
ción. Este punto no es tratado en este documento, pero puede remitirse a la Guía para la Selección de Fluidos de Perforación1. Por tanto, esta guía de diseño presenta inicialmente los conceptos básicos de Geomecánica que facilitarán el entendimiento del fenómeno que ocurre cuando la barrena altera el estado natural de las rocas al ir perforando y la necesidad de tomar acciones para minimizar esta afectación. Posteriormente, describe paso a paso la metodología para la construcción de un modelo de Geomecánica de un campo o área.
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3. Conceptos básicos de Geomecánica. La Geomecánica es la disciplina que estudia las características mecánicas de los materiales geológicos que conforman las rocas de formación. Esta disciplina está basada en los conceptos y teorías de mecánica de rocas y mecánica de suelos, que relacionan el comportamiento de la formación bajo los cambios de esfuerzos producto de las operaciones petroleras de perforación, terminación y producción de pozos. Los fundamentos de la Geomecánica están basados en la habilidad elástica de la roca para resistir y recuperarse de una deformación causada por una fuerza. Los conceptos elementales para describir esta propiedad de la roca se conocen como esfuerzo y deformación.
Un esfuerzo de tensión causa una elongación del sólido ∆L y una reducción en el diámetro ∆d (Figura 1a). Cuando la fuerza perpendicular actúa hacia dentro del cuerpo, resulta en un esfuerzo de compresión que origina una reducción en la longitud del sólido ∆L y un incremento ∆d en el diámetro del mismo (Figura 1b). Si la fuerza se aplica tangencialmente a la sección transversal del cuerpo (Figura 1c), resulta en un esfuerzo de corte. El esfuerzo de corte causa una deformación por desplazamiento sin un cambio de volumen. Por otro lado, la orientación de la sección transversal relativa a la dirección de la fuerza también es importante. En la Figura 2, la fuerza no actúa perpendicular a la orientación del área, por lo tanto es necesario descomponer la fuerza en sus componentes normal F n y perpendicular F p a la sección transversal. De esta manera podemos denir al esfuerzo normal como:
Esfuerzo. Así como las fuerzas son transfe-
ridas a través de los líquidos por la presión, también son transferidas a través de los sólidos por los esfuerzos. Considerando el sólido de sección transversal (área) A a través de la cual actúa una fuerza F (Figura 1), entonces σ el esfuerzo es denido como:
F = A
Una fuerza aplicada perpendicularmente al área de un sólido de longitud L y diámetro d , y hacia afuera del cuerpo donde ésta actúa, resulta en un esfuerzo de tensión.
n
=
F n A
y al esfuerzo de corte como:
=
F p
(2b)
A
Deformación. Es el cambio en la longitud y espesor del material bajo la inuencia de
un esfuerzo de tensión, compresión o corte (Figura 1). Deformaciones resultantes de esfuerzos de tensión y compresión se denen como: deformaciones longitudinales L y transversales T , respectivamente.
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=
L
∆L
y
L
T
=
∆d
F
d
La deformación de corte c es el resultado
d
de un esfuerzo de corte, de la gura 1c. C =
∆L
L- L
d+ d
= tan
L Donde es el ángulo de deformación (Figura 1c).
F b) Sólido sometido a un esfuerzo de compresión
Constantes elásticas. Las constantes elásti-
F
cas describen las propiedades elásticas del material para condiciones donde existe una relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación resultante: Módulo de Young E. Es la relación (conoci-
da como Ley de Hooke2) entre el esfuerzo de tensión o compresión y la deformación correspondiente.
(
) (∆L L )
E = F A
L
E =
L
A
L
F c) Sólido sometido a un esfuerzo de c orte
Figura 1. Esfuerzos versus deformación.
F
d- d d
L L+
Esta constante elástica es una medida de la dureza de la roca Módulo de corte G. Describe la relación en-
F a) Sólido sometido a un esfuerzo de tensión
tre el esfuerzo de corte y la deformación de corte. G es una medida de la resistencia de la roca a una deformación de corte y se dene como:
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Módulo de volumen K. Es una medida de la
F
relación del esfuerzo hidrostático (causado por una presión hidrostática) con respecto a la deformación volumétrica.
F A
El esfuerzo, o en este caso la presión hidrostática p, esta relacionado con el cambio de volumen ∆V, por: K = p ∆V V
F p
A
(
Las constantes elásticas E, G, v y K son parámetros dependientes. Cualquiera de estas constantes puede determinarse conociendo el valor de otras dos. Las relaciones más usadas entre ellas son:
Figura 2. Componentes de una fuerza.
G
= (F p A) (tan
)
G= C
Relación de Poisson v . Es una medida del
cambio lateral de un cuerpo con respecto a su respectivo cambio longitudinal, bajo la acción de un esfuerzo. En la tabla 1 se muestran valores característicos de la relación de poisson para diferentes litologías.
=
T L
[(
)]
[(
)]
G = E 2 1 − K = E 3 1 − 2
Coefciente de Biot α4. Es el parámetro que
describe la relación entre la consistencia de la roca y la compresibilidad de la misma. Para nes prácticos α se considera igual a uno, o se puede calcular con la siguiente ecuación:
= 1−
Relación Poisson -0.02 0.10 0.18 0.24 0.27 0.28 0.31 0.33 0.35 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.43 0.44 0.44 0.45 0.45 0.45 0.46
)
Areniscas
K K s
Yesos Calizas Dolomias
Sal Areniscas poco consolidadas
Lutitas
Tabla1. Valores característicos de Relación de Poisson 3.
Donde K es el módulo de volumen del material y Ks es el módulo de volumen de la matriz de roca. Las propiedades elásticas de las rocas pueden determinarse en forma dinámica y estática. Las propiedades elásticas estáticas son medidas directamente de pruebas de laboratorio, mientras que las dinámicas se calculan
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a partir de las ecuaciones de propagación elástica de las ondas acústicas en un medio sólido. Por lo tanto, las propiedades elásticas dinámicas se calculan a partir de los valores de densidad de la roca b , tiempo de tránsito compresional dtc y de corte dts, medidos por el registro de densidad y sónico dipolar, respectivamente. De esta manera las constantes elásticas dinámicas se calculan con las ecuaciones 12 a 155. 2
0.5 ∗ dts dtc − 1 = 2 dts dtc − 1
E din = 2 ∗
b
dts
Gdin
K din
=
2
=
(1 + ) ∗ m b
dts
2
∗m
1 − 4 ∗ m b 2 2 dtc 3 ∗ dts
do en función de tres esfuerzos perpendiculares (Figura 3), los cuales comúnmente se identican como σ1 , σ2 y σ3. Los esfuerzos principales son perpendiculares entre ellos y perpendiculares al plano donde se aplican. La representación en el sistema de esfuerzos principales permite denir el estado de es fuerzos de las formaciones. El esfuerzo vertical y los esfuerzos horizontales del subsuelo se conocen como esfuerzos principales. Por lo tanto, considerando el hecho de que, en la mayoría de las cuencas petroleras en México, se tiene un régimen normal de esfuerzos (σ1> σ2> σ3 ) se puede asumir que σ1=Sv σ2=SH y σ3=Sh . Donde Sv representa el esfuerzo vertical (sobrecarga), SH el esfuerzo horizontal máximo y Sh el esfuerzo horizontal mínimo (en esta guía se manejara indistintamente esta nomenclatura). Un cuarto parámetro para describir el estado de esfuerzos es la dirección de los esfuerzos horizontales (azimut). Finalmente, por convención, en Geomecánica se considera a los esfuerzos de compresión como positivos y a los esfuerzos de tensión como negativos.
(m, factor de conversión = 100.9833 x 109 para módulos en [psi]). Dado que las pruebas de laboratorio no están siempre disponibles, existe en la literatura o en los programas informáticos de Geomecánica, tales como WellCheck, correlaciones para estimar las propiedades elásticas estáticas a partir de las dinámicas. Esfuerzos principales. Cualquier estado de
esfuerzos en un medio puede ser expresa-
Rotació Rotación de ejes
Normal
Corte
Principal. Sin esfuerzos de corte
Figura 3. Esfuerzos principales.
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Esfuerzo efectivo y total. La carga resultado
de los esfuerzos horizontales y verticales en el subsuelo (esfuerzo total) se comparte entre la matriz de la roca (esfuerzo efectivo) y los uidos presentes en los poros de la misma
(presión de poro). Esta distribución de cargas se dene con el principio de Terzaghi & Peck,
1968 que dice: Esfuerzo total Sv = esfuerzo efectivo Sr v + α*presión de poro P p. Donde α e s el coeciente de Biot5. En el caso de la sobrecarga, la relación es:
S v
= S v′ +
* P p
Esfuerzos in-situ y redistribución de los esfuerzos alrededor de la pared de un pozo.
La perforación de un pozo crea una perturbación en el subsuelo, alterando los esfuerzos principales, los cuales se redistribuyen y se concentran alrededor del pozo en tres esfuerzos, denominados esfuerzos in-situ: radial σr , tangencial σθ y axial σa (Figura 4). La relación entre los esfuerzos principales y los esfuerzos in-situ es fundamental para un análisis de geomecánica. SV Sh
σt σa
SH
Esfuerzos Regionales • Vertical • Min horizontal • Max horizontal
Esfuerzos del pozo • Tangencial (σt) • Axial (σa) • Radial (σr)
σr Figura 4. Esfuerzos principales vs esfuerzos in-situ.
La magnitud de los esfuerzos in-situ o esfuerzos alrededor del pozo, están controladas por la densidad del uido de perforación, los esfuerzos principales del campo y la trayectoria (azimut y desviación) del pozo, razón por la cual estos esfuerzos controlan la estabilidad del agujero y la efectividad de la perforación. Para un pozo vertical, un sistema de coordenadas cilíndricas describe los esfuerzos insitu o alrededor del pozo (Figura 4). El esfuerzo radial σr actúa en dirección perpendicular a la pared del agujero, el esfuerzo tangencial σθ es orientado tangencialmente a la circunferencia del agujero y el esfuerzo axial σa en la dirección del eje del agujero. Para un pozo vertical, considerando que la distancia medida desde el centro del pozo hacia fuera es igual al radio del pozo, los esfuerzos efectivos alrededor del pozo se pueden calcular en función de los esfuerzos principales del campo, con las siguientes ecuaciones6 (Figura 5):
′ = − p p
r
′ direcciónS = 3S h′ − S H ′ − ( − p p ) ) h
′ direcciónS = 3S H ′ − S h′ − ( − p p ) ) H
′ = S v − p p
a
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Donde el apostrofe (´) indica esfuerzos efectivos, es la densidad del lodo y θ es el azimut alrededor del pozo.
v
h n
β Figura 6. Estado de esfuerzos.
El ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918) desarrolló una aproximación gráca, como la
Figura 5. Relación entre esfuerzos principales y los esfuerzos in-situ. El circulo de Mohr–Coulomb. El círculo de
Mohr es generalmente utilizado para representar un estado de esfuerzos de la roca sobre un plano, en cualquier ángulo desde la dirección del máximo esfuerzo. A continuación se presenta una breve explicación debido a que la envolvente de falla de Mohr es utilizada frecuentemente para predecir una ventana operativa de la densidad del uido de perforación7.
mostrada en la Figura 7. En esta representación, el eje X muestra los esfuerzos normales y el eje Y los esfuerzos de corte que actúan en un plano de la roca. El círculo rojo representa, para cualquier plano orientado con un ángulo ß los diferentes valores del esfuerzo normal y de corte, en función de los esfuerzos principales,Sv y Sh. E sfuerzo de corte
2β h
La representación de Mohr–Coulomb permite gracar de manera sencilla los esfuer zos normales σ y de corte τ que actúan sobre un plano orientado con un ángulo ß , resultado de los estados principales Sv y Sh (Figura 6).
n
E sfuerzo normal v
Figura 7. Representación del estado de esfuerzos en el círculo de Mohr–Coulomb. Resistencia de la roca. Representa la capa-
cidad de ésta a resistir la ruptura. Una roca puede romperse cuando se somete a tensión, corte o compresión hidrostática.
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La resistencia de la roca depende de su comportamiento cohesivo y friccionante. Los dos parámetros más utilizados en la industria petrolera para determinar la resistencia de la roca son:
la roca durante la perforación de los pozos o la producción de sólidos del yacimiento, durante la explotación. En la representación de Mohr–Coulomb, el criterio de falla o ruptura es una ecuación lineal:
La resistencia de compresión sin connamiento (UCS) y el ángulo de fricción (Φ).
La determinación de estos parámetros en laboratorio consiste en realizar una serie de ensayos tri-axiales a diferentes presiones de connamiento ( S’ h –Presión de connamiento). La fuerza de ruptura en el ensayo sin presión de connamiento (S’ h) corresponde al UCS (Figura 8). La pendiente que forman los diferentes círculos de Mohr para diferentes ensayos con diferentes presiones de connamiento corresponde al ángulo de fricción de la roca (Φ).
N =
1 + sin 1 − sin
Como se muestra en la Figura 9, el criterio predice ruptura cuando el circulo que representa el estado de esfuerzos, actuando sobre la roca, esta en contacto con la línea denida por la ecuación 20.
1
Esfuerzo de corte
3 n
β
2β
v
Esfuerzo normal
O h
Esfuerzo de corte
3
n
1
Figura 9. Representación de Mohr–Coulomb al inicio de la ruptura de la roca.
UCS
E sfuerzo normal
Figura 8. Representación de Mohr–Columb de diferentes ensayos tri-axiales. Criterio de falla o de ruptura de la roca. El
criterio de ruptura más común, en la disciplina de la Geomecánica aplicada a la industria petrolera, es el criterio de Mohr-Coulomb. Este criterio permite evaluar la resistencia de
Condiciones de ruptura alrededor del agu jero. Los esfuerzos in situ o alrededor del
pozo (radial, tangencial y axial), controlan las rupturas alrededor del pozo como fractura inducida y derrumbe, las cuales pueden ser observadas en los registros de imágenes. Ruptura en tensión de la roca (pérdida de circulación). La ruptura en tensión de la roca
se observa cuando uno de los esfuerzos in situ del pozo es más grande que la resisten-
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que el gradiente de fractura G y vericar cia a la tensión de la roca (Figura 10). Un método para determinar la resistencia que: UCS de tensión de la roca consiste en analizar ' ' 3 S S P < − + + = G f h H p las pruebas de goteo extendidas, de al me10 nos dos ciclos. La diferencia entre la presión máxima de fractura de la roca del primer ciGradiente de Fractura P clo (Gradiente de Fractura) y la presión de re-apertura de las fracturas del segundo ciResistencia a la Tensión clo corresponde localmente a la fuerza de Presión Instantánea tensión de la roca (Figura 11). f
′ = 3S h′ − S − ( − p p )< − ' H
UCS 10
En un pozo vertical, la fractura inducida se ubica en la dirección del esfuerzo horizontal máximo cuando:
de cierre Apertura de válvulas
Gasto Sh
2do cíclo
Cierre de fracturas
Tiempo
Figura 11. Prueba de goteo de dos ciclos. Ruptura en compresión de la roca (ovalización): La ruptura en compresión de la roca
se observa cuando dos de los tres esfuerzos alrededor del pozo cumplen el criterio de falla establecido por la ecuación 20.
Figura 10. Fractura inducida detectada con el registro de imágenes.
La representación de este tipo de ruptura se conoce en la industria como “breakout” u ovalización del agujero. Los “breakouts” más comunes corresponden a la ruptura de la formación que ocurre cuando el esfuerzo máximo en compresión es el esfuerzo tangencial y el esfuerzo mínimo en compresión es el esfuerzo radial (densidad de lodo baja).
En un pozo vertical, los derrumbes se ubiEntonces para perforar sin pérdida de circu- can en la dirección del esfuerzo horizontal lación la densidad de lodo debe ser menor mínimo a 90 grados de la localización de las fracturas inducidas (Figura 12).
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siguientes seis pasos: 1. 2.
3. 4. Figura 12. “Breakouts” detectados con un registro de imágenes.
5.
4. Metodología para la construcción 6. de un módelo de Geomecánica de un campo8-10. La metodología que se propone en esta guía, para la construcción de un módelo de Geomecánica y su aplicación en la perforación de pozos, se divide básicamente en los
Acopio de información (Perforación, Geología, Registros y Sísmica) y análisis de la perforación. Revisión del módelo estructural (visualización 3D del campo con las fallas, las formaciones, y los pozos con los eventos de perforación identicados a lo largo de su trayectoria). Evaluación de la sobrecarga y presión de poro. Estimación de los parámetros elásticos y resistencia de la roca. Determinación de la dirección y magnitud de los esfuerzos horizontales. Curvas de estabilidad mecánica (ventana operativa) y construcción de mapas de perforación.
La Figura 13 muestra un diagrama que indica el ujo general de trabajo para la cons-
Acopio de informaciòn y Analisis de Perforación Revisión del Modelo Estructural Estimación de Parámetros Elásticos y resistencia de la roca Dirección y Magnitud de los Esfuerzos horizontales
Evaluación de Sobrecarga y Presión de Perforación
Ventana de Operación / Mapas de Perforación
Inicial Independiente Relacionado
Figura 13. Flujograma para construir un módelo de Geomecánica.
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trucción de un modelo de Geomecánica. En azul se muestran los pasos iniciales, en verde los pasos que se realizan de manera independiente y en amarillo los pasos consecutivos.
4.1. Acopio de información. El primer paso para la construcción de un módelo de Geomecánica consiste en recolectar y analizar los datos disponibles del campo que se esta estudiando. El objetivo es establecer correlaciones iniciales e identicar los datos que faltarían para la construc ción del modelo. En este mismo apartado se contempla el diagnóstico de la perfora-
Datos geológicos: Columna estratigráca tipo, mapas mostrando localizaciones de pozos, estructura del área, ubicación de fallas, objetivo y marcadores de interés, ensayos de laboratorio realizados a núcleos, informaciones de densidad y litología tomadas de núcleos incluyendo descripciones geológicas, registro de lodo e información de esfuerzos regionales.
ción que tiene como propósito identicar la
Datos de evaluación de formaciones: Registros geofísicos con cable y LWD incluyendo: resistividad, sónico, densidad, rayos gamma, porosidad neutrón calibrador de 1 y dos brazos (orientado), ensayos de presiones como RFT, DST, MDT u otros, registros de imáge-
problemática de la perforación de pozos y su correlación con respecto a los tipos de formación y a la profundidad. Para la construcción del módelo existen datos que son indispensables y otros que son necesarios, pero no indispensables.
Datos sísmicos: Velocidades sísmicas en profundidad, secciones sísmicas a lo largo del rumbo y echado de los pozos propuestos y a través de los pozos existentes, mallas de las
nes, e interpretaciones de registros, registros de terminación (permeabilidades, porosidad).
supercies y de las fallas más importantes,
La siguiente lista muestra la información re- curvas TZ (tiempo vs profundidad), checksquerida del campo en estudio para la cons- hots, y VSP (vertical seismic prole), cubo de trucción de su modelo de geomecánica. La velocidades 3D, volúmenes de impedancias información en azul indica que ésta es in- acústicas y cubos de AVO (anomalías de am plitud). dispensable.
Datos de perforación: Reportes diarios de perforación, estados mecánicos, perles de presión de poro y fractura, densidad del ui-
do de perforación y direccionales, pruebas de presión (integridad y goteo), informes de perforación, resumen de registros geofísicos.
Datos de planeación y diseño: Programas de diseño de los pozos del campo y, reporte de parámetros de perforación.
En la siguiente tabla se resumen las principales fuentes de información para obtener los parámetros geomecánicos:
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Fuentes de Información de Geomecánica
Esfuerzo Vertical Sv Presión de Poro
Pp
Esfuerzo Mínimo Sh Esfuerzo Máximo SH Orientación de Esfuerzos Resistencia de la roca
UCS
RHOB, Densidad sintético de DT y sísmica MDT’s, registros de porosidad (sónico, resistivo) sísmica (Vel. de Intervalo). XLOT, LOT, minifrac, pérdidas de circulación. Análisis de falla de agujero. Reg. de Calibración orientado,registro de imagenes, estructura de fallas geológicas. Pruebas de nucleos, registros, recortes, analisis de falla de agujero.
tados, es utilizar la ecuación de Gardner 11 para generar un registro sintético a partir de las lecturas del registro sónico. = A * V B
Donde ρ es la densidad y V la velocidad acústica de compresión. El método consiste en calibrar los parámetros A y B en una zona no afectada por la geometría del pozo para posteriormente corregir y estimar la densidad en las zonas afectado por la geometría del mismo (Figura 15).
Tabla 2. Fuentes de información para cálculo de parámetros geomecánicos.
4.1.1 Análisis de la perforación. La información recopilada debe ser analizada para vericar la calidad y cantidad de la
misma. Inicialmente se identican los registros de:
resistividad, sónico (Vp y Vs), densidad, rayos gamma, porosidad neutrón, TZ y VSP y velocidad de sísmica. Posteriormente, estos registros son editados (suavizados) y corregidos para eliminar información no representativa (Figura 14). Los registros de densidad, se corrigen por descalibre del agujero. Un método para corregir la densidad en los intervalos afec-
Figura 14. Ejemplo de edición del registro sónico.
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Finalmente, si por alguna razón un pozo no se cuenta con registros, o están incompletos, se generan registros sintéticos a través de la construcción de módelos 3D de propiedades petrofísicas o propagaciones 2D de los registros de un pozo clave con registros completos. Las propagaciones 2D o 3D deben respetar la geología estructural y la litología del campo.
4.1.2 Diagnostico de la perforación. A partir de los reportes diarios de perforación, registros de uidos, columnas estratigrácas,
y profundidad de contactos geológicos se identica la problemática ocurrida durante la
Figura 15. Corrección del registro de densidad.
Adicionalmente, con el objetivo de construir una correlación que ayudará a estimar una onda de corte sintético para los pozos sin esta propiedad, se determina una correlación entre la onda de velocidad de corte y la velocidad de compresión para las diferentes litologías (Figura 16).
Figura 16. Correlación de Vp/Vs.
perforación del (los) pozo(s) de correlación y se relaciona con la geología estructural del campo. Cada evento de perforación identicado se registra en un formato que contiene la siguiente información: • • • • • • • • • • • •
Fecha y día del evento Densidad de lodo Tipo de lodo Profundidad de perforación Profundidad del evento Tipo del evento Probabilidad de su ocurrencia Severidad del evento Litología Tipo de operación Causas probables Mitigación
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Este análisis permitirá, al nal del proceso, denir recomendaciones apropiadas para
reducir los riesgos de perforación en pozos futuros, y para calibrar el modelo con eventos de pérdida de circulación, derrumbes, gasicaciones y ujos.
Una forma práctica de diagnosticar lo que esta sucediendo durante la perforación es revisar la forma de los recortes de perforación, y en su caso los registros en tiempo real. En la gura 17 se presenta un esquema que muestra la condición, la causa, las señales y las posibles soluciones a la inestabilidad del agujero, en base a estos parámetros.
Como se menciono en la sección de conceptos básicos, en la mayoría de las cuencas petroleras en México, se tiene un régimen normal de esfuerzos. Este análisis permitirá explicar las causas de algunos eventos de perforación. La Tabla 3 muestra un ejemplo de la correlación que se puede realizar entre los eventos de perforación y el contexto estructural del campo. Evento identifcado
estructural Pérdida de circulación
1. Fallas o zona fracturada. 2. Fractura inducida. 3. Pobre cementación.
Gasicaciones
1. Formación permeable
4.2. Revisión del modelo estructural. El objetivo de esta sección es encontrar la relación que puede existir entre los eventos de perforación y la geología estructural del campo. Para esto se deberá contar con esquemas de: los pozos perforados, formaciones geológicas, fallas, zonas de presión anormal identicadas y eventos de perforación a lo largo de la trayectoria del los pozos perforados (ujos, derrumbes, pérdida de
circulación, arrastres, atrapamientos, fricciones y resistencias). El tipo de fallas presente en el campo (normal, inversa, o por deslizamiento) será analizado para asumir inicialmente el tipo de régimen del campo. Normal: Sv > SH > Sh Inversa: SH > Sh > Sv Deslizamiento: SH > Sv > Sh
Causa posible por Geología
(fallas o zonas fracturadas que comunican a una zona de alta presión). 2. Densidad de lodo inadecuada. Arrastres y fricciones
Derrumbes
1. Formación de comportamiento de plástico. 2. Pobre limpieza del agujero. 3. Reacciones de la formaciones con el lodo de perforación. 4. Salinidad del lodo de perforación. 1. Formaciones frágiles 2. Zona fracturadas
Tabla 3. Correlación de eventos de perforación vs contexto estructural del campo.
4.3. Evaluación de la sobrecarga y presión de poro. Para esta evaluación se sugiere utilizar la Guía de diseño para la predicción de
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geopresiones editada por la Gerencia de Estrategias de Ingeniería y Diseño12 y, en su caso, complementar la evaluación con la siguiente información adicional para la estimación de los gradientes de formación aplicado a la construcción de un módelo de geomecánica: Generalmente los registros de densidad no se toman completos en todos los pozos del campo. Por lo tanto, es necesario identicar un pozo en el cual se haya tomado el registro de densidad a lo largo de toda la trayectoria o en su defecto el más completo. Como se menciono anteriormente, se pueden generar registros sintéticos a través de la construcción de modelos 3D de propiedades petrofísicas o propagaciones 2D de los registros de un pozo clave con registros completo. Las propagaciones 2D o 3D deben respetar la geología estructural y la litología del campo. Para el cálculo de la presión de poro se recomienda utilizar en primera instancia el registro sónico, ya que su comportamiento es más estable con respecto al registro de resistividad.
4.4. Estimación de los parámetros elásticos y resistencia de la roca.
elásticos de la roca y de variables petrofísicas (porosidad, velocidad de compresión, velocidad de corte, módulo de Young estático, volumen de arcilla y módulo de corte). Los parámetros elásticos de la roca se determinan con las ecuaciones descritas en la sección de conceptos básicos. Como es el caso de los demás parámetros del modelo geomecánico, es recomendable el uso de software especializado (por ejemplo WellCheck de la cía GMI), que utiliza información de registros tales como: densidad, rayos gamma, porosidad y sónico dipolar. Las propiedades medidas en pruebas de laboratorio deben ser utilizados para calibración y selección de las correlaciones adecuadas. Cuando no existen ensayos de laboratorio en núcleos, una alternativa consiste en seleccionar las correlaciones establecidas para el mismo tipo de formación que se este analizando y calcular la resistencia de la roca en el pozo de estudio, para posteriormente comparar la predicción con las fallas observadas en el pozo (derrumbes, pérdidas de circulación, etc.) en los registros calibración orientados, o de imágenes.
4.5. Determinación de la dirección Como se menciona en la sección de con- y magnitud de los esfuerzos ceptos básicos de geomecánica, el pará- horizontales. metro para determinar la resistencia de la roca es el UCS (resistencia a la compresión sin connamiento). Para calcular este parámetro existen varias ecuaciones empíricas, las cuales dependen de los parámetros
En un campo existen esfuerzos regionales y locales que pueden tener orientaciones diferentes.
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La dirección de los esfuerzos horizontales regionales se determina, en primera instancia, con el régimen tectónico del campo (falla normal, inversa o de deslizamiento), gura 18.
Una alternativa es consultar el mapa disponible de las direcciones de los esfuerzos en el mundo (World Stress Map, el cual se puede consultar en la dirección electrónica http://www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de/pub/ wsm/), gura 19. Modelos de Falla Normal
m á x i m o
mínimo
i o e d r m t e i n
i n t e mr e d i o
Análisis con registros de geometría de pozo (fgura 20). El método para identicar con
m ní i m o
Inversa
Figura 19. World Stress Map.
máximo i o e d m e r t i n
Deslizamiento máximo o i m í n m
Figura 18. Régimen tectónico de un campo.
Las direcciones locales de los esfuerzos horizontales se pueden determinar con: • Registro de geometría de pozo (orientado) • Registro de imágenes • Anisotropía de la formación a partir del registro sónico dipolar.
los registros de calibración las formaciones donde existe ovalización por derrumbes, consiste en seleccionar las zonas donde se cumplan los siguientes 5 criterios: 1. La rotación de la herramienta termina en zonas con elongación. 2. La diferencia entre las mediciones del brazo 1 y 2 es mayor de 0.6 cm. 3. La medida del calibrador, con menor ex tensión, debe ser cercana al tamaño original del agujero. 4. La zona identicada de derrumbe debe
ser mayor a 30 cm de amplitud. 5. Las zonas donde el azimut de la elongación coincide con el azimut del pozo (+/180 grados) no deben ser consideradas. Estas zonas corresponden a “ojos de llave” donde los movimientos verticales de la tubería crean una elongación en la pared del pozo.
Página veintiuno
Agujero en calibre
Ovalización (BREAKOUT)
Deslave de pozo
Ojo de llave
Figura 21. Análisis de la dirección del esfuerzo mínimo con registro de imágenes. Análisis con registros de anisotropía de las ondas acústicas. Las herramientas que
Figura 20. Identicación de derrumbes (breakout)
con el registro de calibración. Análisis con registros de imágenes. Como
se menciono anteriormente, en un pozo vertical los derrumbes ocurren en el azimut del esfuerzo mínimo (gura 12) mientras
miden las ondas acústicas, como el sónico dipolar, permiten evaluar la anisotropía resultado de los esfuerzos horizontales del subsuelo13. En la gura 22 el azimut de la onda de cor te indica el azimut del esfuerzo horizontal máximo.
que las fracturas inducidas en el azimut del
Eje Mayor Tectonismo
Prof.
esfuerzo máximo (gura 10). En el caso de
un pozo desviado los derrumbes se ubican en el azimut alrededor del pozo donde la compresión es máxima y las fracturas inducidas ocurren en el azimut alrededor del pozo donde la tensión es máxima. Independientemente de la desviación del pozo los derrumbes y las fracturas inducidas serán generalmente ortogonales entre sí. Esto nos permite determinar la dirección de ambos esfuerzos horizontales, conociendo la ubicación de uno de ellos (gura 21).
) % ( e t r o N r u S
Oeste-Este (%)
Figura 22. Azimut del esfuerzo máximo.
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4.5.1 Determinación de la magnitud del esfuerzo mínimo.
Primer ciclo de Prueba Compresión elástica
Apertura estable de fracturas
Apertura inestable fracturas
UFP
Este parámetro es fundamental para determinar la densidad equivalente de circulación (DEC) que permita perforar sin pérdida de circulación.
SPP
e d n ó i s e r P
Límite de fractura
Repetición de ciclo Cierre de fractura
Compresión elástica
Apertura estable de fracturas
FPP
FPP ISIP
FIP
FRP
LP
FCP
o e b m o B e d o t s a G
Bombeo
Bombeo Paro de bo bombeo mbeo
El esfuerzo mínimo (Sh) está en función de los siguientes parámetros:
Apertura inestable fracturas
Regreso de
+ 0 -
Volumen, Tiempo
1.Propiedades elásticas (Módulo de Young y Relación de Poisson Estática).
Figura 23. Prueba de goteo para la determinación del esfuerzo mínimo.
2.Resistencia de la roca (UCS y ángulo de fricción). 3.Sobrecarga.
En color verde se muestra el gasto en la parte de la prueba del periodo de inyección, seguido de los periodos de suspensión del bombeo y desfogue de presión (regreso de
4.Presión de poro.
la prueba en tiempo y presión leída en su-
Para determinar la magnitud del esfuerzo mínimo, inicialmente se requiere analizar la información de pruebas tales como: de goteo, ‘minifrac’, fracturas hidráulicas; disponibles en el campo. Asimismo, cuando se presenta una pérdida de circulación en el pozo, se puede estimar la magnitud del Sh, al conocer la densidad del lodo requerida para controlar este evento. Esta información permitirá determinar además, el valor de cierre de la fractura y su relación con los diferentes tipos de litología. En la gura 23 se presenta una gráca de
una prueba de goteo de dos ciclos donde se determina el esfuerzo mínimo.
uidos). En rojo se muestra el desarrollo de percie.
La presión de cierre de fractura se resalta con un círculo azul que cubre un rango determinado de presión. Con esta información, los métodos para determinar el valor del esfuerzo mínimo consisten en buscar un cambio de pendiente que corresponde al cierre de la fractura14, esto se obtiene al gracar:
• Presión vs. tiempo y la derivada de la presión con respecto al tiempo (dp/dt). • Presión vs. raíz cuadrada del tiempo (gura 24). • Logaritmo de la presión instantánea de cierre (instantaneous shut in pressure, ISIP) vs. logaritmo del tiempo de cierre (shut in).
Página veintitres
Es importante mencionar que el esfuerzo mínimo determinado a partir de pruebas de 4.5.2 Magnitud del esfuerzo máximo. campo (goteo, ‘minifrac’, fractura hidráulica), son puntos de calibración a la profundi- Adicional a los parámetros listados en el dad donde se realiza la prueba. punto 4.1, para determinar la magnitud Por lo tanto, para generar un perl del esfuer - del esfuerzo máximo se requiere conocer zo mínimo se requiere determinar la relación la magnitud del esfuerzo mínimo. Aun con del esfuerzo mínimo horizontal efectivo y el esto, el esfuerzo máximo es el parámetro esfuerzo vertical efectivo (K O )15 referido a la más difícil de obtener porque no se puede profundidad de las pruebas de campo. estimar en forma directa.
K o =
S h′ S v′
=
S h − p p S v − p p
Donde Sh corresponde al esfuerzo mínimo determinado de las pruebas de campo. De esta manera el perl de esfuerzo mínimo se
calcula con:
S h
= K o ( S v − p p ) + p p
Como se menciona en el paso 4.5, dependiendo del tipo de régimen de falla (normal, inversa o por deslizamiento), para un régimen normal el esfuerzo máximo horizontal debe ser menor que el vertical (S H < S v ). Por el contrario, para inversa y deslizante debe ser mayor (S H > S v ). De esta manera, conociendo la magnitud del esfuerzo vertical y mínimo horizontal, la magnitud del esfuerzo máximo se puede determinar ajustando los valores del esfuerzo máximo y la resistencia de la roca, por ensayo y error (gura 25), hasta
Análisis de Presión de Cierre 500
que se cumplan los siguientes criterios:
Shut-In Pressure Min. Stress
1. El módelo debe predecir los derrumbes identicados con las ovalizaciones o
) i s p ( n 400 ó i s e r P
389
300 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Sqrt(Tiempo) (min)
Figura 24. Análisis para determinar esfuerzo mínimo.
4
“breakouts”, del registro de calibración orientado o de imágenes. 2. El módelo no debe predecir ovalizaciones en zonas donde el registro de calibración no marque breakouts. 3. El módelo debe predecir los eventos de pérdida de circulación.
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0
ii) Construcción de mapas de perforación. iii) Selección de barrenas16-17.
Regimen Normal Sv>SH >Sh
4.6.1 Curvas de Estabilidad (Ventana operativa).
500
SH 1000
Sv
Todos los parámetros determinados y calibrados a través del seguimiento de la metodología para la construcción de un modelo de Geomecánica de un campo, se utilizan en el pozo planeado para predecir la ventana operativa segura en la que se debe man-
1500
2000
Sh
m . f 2500 o r P 3000
tener la densidad del uido de perforación,
3500
tomando en cuenta las presiones de poro, colapso, esfuerzo mínimo y límite de pérdida total de circulación o fractura de la formación
4000
4500
(gura 26). 5000 1.3
1.5
1.7
1.9
2.1
2.3
Gradiente gr/cc
Figura 25. Determinación del SH máximo por ajuste en un régimen normal.
La relación entre el esfuerzo mínimo y máximo puede variar dependiendo de la litología y la tectónica del área.
4.6. Aplicaciones del Módelo de Geomecánica. La aplicación de un módelo de Geomecánica de un campo o área, al diseño de la perforación de un nuevo, o nuevos pozos, se puede orientar hacía diferentes usos especícos;
entre las más importantes se mencionan y describen los siguientes: i) Curvas de Estabilidad Mecánica (Ventana operativa).
Figura 26. Ventana operacional. Correlación del Módelo al pozo en planeación
Debido a que el módelo de Geomecánica se
Página veinticinco
Figura 27. Correlación del Modelo Geomecánico.
construye y calibra con datos de uno o varios pozos perforados, su aplicación requiere de la correlación, con la trayectoria y ubicación estructural, del pozo en planeación.
grados (presión de colapso=1.06 y presión de pérdida= 1.88 gr/cc). Sensibilidad (Azimut y desviación) del limite de colapso
En la gura 27 se muestra la correlación en
base a los topes de formación. Análisis de sensibilidad de la ventana operativa con la trayectoria.
El software de Geomecánica disponible en la industria (p. ej. WellCheck), permite determinar la desviación y el azimut óptimos para la perforación. En las guras 28 y 29,
un pozo desviado a 50 grados y orientado con un azimut de 30 tiene una ventana operativa mayor (Presión de Colapso=0.61 gr/ cc, presión de pérdida=3.21 gr/cc) que un pozo horizontal perforado en el azimut 102
Figura 28. Un pozo horizontal (desviación=90 grados) y perforado con un azimut de 120 grados, con una densidad menor a 1.06 gr/cc se tendrían problemas de derrumbes (Zona roja). Mientras
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que un pozo perforado con una desviación de 60 grados y un azimut de 45 grados requeriría una densidad mínima de 0.89 gr/cc para evitar derrumbes (Zona azul).
Sensibilidad (Azimut y desviación) del límite de perdida de circulación
Figura 29. Un pozo horizontal (desviación=90 grados) y perforado con un azimut de 120 grados necesita una densidad mayor a 1.88 gr/cc para iniciar las pérdida de circulación (zona roja), mientras que un pozo perforado con una desviación de 50 grados y un azimut de 30 grados necesitaría una densidad mayor a 3.25 gr/cc para iniciar las pérdidas de circulación (zona azul).
4.6.2 Mapas de Perforación.
reccional, el programa de asentamiento de tuberías de revestimiento, la graca de avance denida con la metodología del límite téc nico, la descripción de los riesgos potenciales durante la perforación del pozo planeado mostrando alarmas (verde, amarilla y roja) a lo largo de la trayectoria del pozo que indican la severidad del riesgo. Este mapa de perforación, también indica la probabilidad de que el riesgo o evento no planeado ocurra, las causas probables que originarían su ocurrencia y las consecuencias que éste causaría. Finalmente, integra las acciones requeridas para prevenir la ocurrencia de eventos no planeados durante la perforación del pozo. Toda esta información se presenta de una forma visual y practica de fácil lectura e interpretación para cualquier persona involucrada en la perforación del pozo nuevo. Además, el mapa de perforación tiene la función de servir como herramienta de comunicación entre ingenieros de diseño y operación y para las reuniones operativas diarias en el equipo. Esto permite desarrollar una actitud pro-activa entre todo el personal involucrado durante la perforación y terminación de un pozo para detectar los riesgos antes de que ocurran y estar listos para mitigar los mismos cuando se presenten.
17 4.6.3 Selección de Barrenas . Una aplicación integral del modelo de Geo-
mecánica es el mapa de perforación. Éste integra, en una sola hoja universal que se A partir de los resultados del cálculo de la realiza para cada nuevo pozo del campo, UCS se puede hacer una selección de bacolumna geológica planeada, cimas de for- rrenas de tipo tricónicas, de acuerdo a la maciones, curvas de estabilidad y densidad tabla 2. de lodo programada (gura 30), los tipos de uido de perforación a usar, el programa di-
Para el caso de la selección de una barrena
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de cortadores jos, se debe calcular la velo-
cidad de transmisión de la onda compresiva en la roca con connamiento, CCV 17 . Debido a que la UCS sólo relaciona la dureza de la formación con la dureza de los cortadores (no proporciona información para
CCV =
1524 Si la cima del intervalo a perforar está a una profundidad vertical verdadera menor a 610 m (2000 pies) H CIMA < 610 m, entonces:
denir el número y diámetro de cortadores,
número de aletas, ni el cuerpo (gauge) de la barrena), no toma en cuenta ni el grado de compactación de la roca a perforar, ocasionado por la sobrecarga, ni los esfuerzos efectivos de la formación ocasionados por la presión de poro. Por esta razón, se requiere una selección más rigurosa y se sugiere un método que tome en cuenta las propiedades mecánicas de la roca bajo condiciones de connamiento.
A partir del CCV se calcula el número y diámetro de cortadores y el número de aletas; como se explica a continuación: 1. A partir del registro sónico dipolar, de los tiempos de tránsito compresional y de corte, para cada intervalo, calcular la velocidad de corte (∆v s ).
∆v S =
1
∆t S
2. Calcular la CCV utilizando una de las siguientes ecuaciones: Si la cima del intervalo a perforar está a una profundidad vertical verdadera mayor a 610 m (2000 pies) H CIMA > 610 m, entonces:
∆v S * H CIMA
CCV = 1 +
H CIMA
∆v S
1524
3. Calcular el número de cortadores ( C n ). C n = [51.967 ln(CCV ) − 442.8] 4. Calcular el diámetro de cortadores a partir de la CCV y el tamaño de grano de la formación ( ) (Considerar = 1). C S
= 21.617 − .0002 * CCV *
5. Calcular el número de aletas ( B n ), en función del número de cortadores. B
= -0.0006C2
n
n
+ 0.1576Cn - 1.0245
(32)
Para mayor detalle se puede consultar la Guía de Diseño para la Selección de Barrenas, publicada por la UPMP16.
Página veintiocho
Tipo de litología Formaciones muy débiles Alta plasticidad con baja resistencia (margas y arcillas) Formaciones débiles Baja resistencia (margas, evaporitas y lutitas) Formaciones débiles a medianamente débiles baja resistencia, interlaminadas con secuencias de alta resistencia (lutitas, pizarras, lignitos) Formaciones medianamente duras alta densidad, alta resistencia, pero sin lentes abrasivos (lutitas, areniscas y carbonatos) Formaciones duras alta resistencia, con lentes abrasivos (areniscas, limolitas y dolomitas) Formaciones extremadamente duras - resistencia muy alta, muy abrasivas (rocas ígneas y
Resistencia a la compresión UCS (psi)
Código ADC / API
< 1500
111 - 117 / 415 - 427
1500 – 3000
121 - 127 / 435 - 527
3500 – 7500
131 - 137 / 537- 547
7500 – 15000
211 - 221 / 617- 637
15000 – 30000
316 - 347 / 732- 737
> 30000
832 - 837
metamórcas)
Tabla 4. Selección de Barrenas Tricónicas
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5. Referencias. 1. Guía de Diseño para la Selección del Fluido de Perforación UPMP-2004. (http://spmp.dpep.pep.pemex.com/paginas_upmp/guias.aspx). 2. Zaki Bassiouni, Theory, Measurement, and interpretation of Well Logs, SPE Textbook Series Vol. 4, Richardson, TX 1994. 3. Gary Mavko, The Rock Physics Handbook, 2003, Cambridge Press. 4. Greenberg, M.L. and Castagna, J.P., 1992, Shear-wave velocity estimation in porous rocks: theoretical formulation, preliminary verication, and applications: Geophs. Prosp., 40, 195-209. 5. Biot M.A., - Theory of Elastic Waves in a Fluid Saturated Porous Solid, Journ. Acoust. Soc. Am. 28, 1956. 6. Rock Mechanics: Volume 1 - Theoretical Fundamentals Charlez P.A. Editions Technip; 1997. 7. John Mitchell, Perforando sin Problemas, 2004, Drilbert Engineering Inc. 8. Plumb, R.A., Edwards, S., Pidcock, G. and Lee, D. (2000) The Mechanical Earth Model and its application to high-risk well construction projects, IADC/SPE 59128. 9. Aldred, W., Plumb, R., Cook, J., et al (1999) Managing Drilling Risk, Oileld
Review, Summer 1999 pages 2-19. 10. Bratton, T., Fuller, J., Goraya, S., Harrold, T., Holt J., et al (2001) Avoiding Drilling Problems, Oileld Review, Summer 2001 pages 33-51. 11. Gardner, G.H.F. Gardner, L.W., and Gregory, A.R., 1974, “Formation Velo-
city and Density”, Geophysics, Volume 39, Number 6, pp 2085-2095. 12. Guía de Diseño para la determinación de Geopresiones UPMP-2004. (http://spmp.dpep.pep.pemex.com/paginas_upmp/guias.aspx). 13. Plumb and HickMan – Stress Induced Borehole Elongation 1983). 14. Raaen A.M., Horsrud P., Kjorholt H. y Okland D (2006) - Improved routine estimation of the minimum horizontal stress component from extended leak off tests. - International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, Vol. 43,
pp. 37 - 48. 15. E.Fjaer, RM Holt, etc. “Petroleum Related Rock Mechanics”. 16. Guía de Diseño para la Selección de Barrenas. UPMP-2004. 17. O´Hare J. and Aigbekaen, O.A.: Design Index: A Systematic Method of PDC Drill-Bit Selection, IADC/SPE paper 59112, presented at the IADC/SPE Drilling Conference, Louisiana, February 2000. Esta guía fue elaborada por: Jorge Alberto Mancilla Castillo Carlos Pérez Téllez Camilo Ernesto Libreros Muñoz Juan José López Mata y revisada por: Plácido Gerardo Reyes Reza Claudio Sánchez Montalvo Junio de 2006.
