HIDROLOGIA

Municipalidad Provincial General Sánchez Cerro – Gerencia de Desarrollo Urbano “MEJORAMIENTO DE LA INFRAESTRUCTURA DE RIEGO E IMPLEMENTACION DEL S ISTEMA DE RIEGO TECNIFICADO EN LOS SECTORES DE COLOHUACHE, YARAPAMPA, ESCOBAYA, CAHUA GRANDE Y CAHUA CHICA EN EL DISTRITO DE OMATE, PROVINCIA DE GENERAL SANCHEZ CERRO REGIÓN MOQUEGUA” Estudio de Hidrología 1

Contenido

1. HIDROLOGIA .....................................................................................................................................................3 1.1 GENERALIDADES .............................................................................................................................................3 1.1.1 UBICACIÓN ........................................................................................................................................................3 1.1.2 OBJETIVOS .........................................................................................................................................................4 1.2 PARAMETROS DE LA MICROCUENCA .........................................................................................................4 1.2.1 INFORMACIÓN CARTOGRAFICA Y GEOGRÀFICA ....................................................................................4 1.2.2 DESCRIPCION GENERAL DE LA MICRO CUENCA .....................................................................................4 1.2.3 PARAMETROS MORFOLOGICOS ...................................................................................................................5 1.3 ANALISIS DE EVENTOS EVENT OS MAXIMOS MAXIMO S ................................................................. ............................................ 10 1.3.1 DATOS HIDROMETEOROLOGICOS ............................................................................................................. 10 1.3.2 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE LA PRESENTACION .................................................................. 13 1.3.3 ANALISIS ESTADISTICO EST ADISTICO DE D E PRECIPITACIONES PRECIPITACION ES MAXIMAS .................................................................. 13 1.3.4 METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILISTICAS ..............14 1.3.5 METODO DE MOMENTOS ....................................................................................................... ...................................... ................................................................. ...................... 15 1.3.5.1 DISTRIBUCION NORMAL ..................................................................................................................... 15 1.3.5.2 DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I .................................................................................. 16 1.3.5.3 DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROS ......................................................... ........... 21 1.3.5.4 DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE III PARAMETROS .................................................................. 25 1.3.5.5 DISTRIBUCION LOG PEARSON PEARSO N TIPO TIP O III ............................................................ ................................. 28 1.3.5.6 DISTRIBUCION PEARSON TIPO T IPO III .......................................................... ............................................ 31 1.3.6 VERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONES ..................................................................... 34

Consultor: Ing. Máximo Nina Lupaca

Telefax: (054) 255279 RPM: *630151 RPC: 959776420 959776420 E-mail: [email protected] [email protected]


1.3.6.1 PRUEBAS DE AJUSTE ........................................................................................... ................................. 34 1.3.6.2 PRUEBA DE D E SMIRNOV KOLMOGOROV KOLMOGORO V ............................................................ ................................. 34 1.3.6.3 METODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMO ................................................................................ 37 1.3.6.4 SELECCIÓN DEL DE L METODO ESTADÍSTICO APROPIADO ................................................................ .38 1.3.6.5 PRECIPITACION MAXIMA E INTENSIDAD MAXIMA ..................................................................... 39 1.3.6.6 ANÁLISIS DE RIESGO DE FALLA ............................................................ ............................................ 40 1.3.6.7 CURVAS DE INTENSIDAD-DURACIÓN Y FRECUENCIA (IDF) ...................................................... 42 1.4 CAUDAL MAXIMO .................................................................................................................... ...................... 44 1.4.1 COEFICIENTE DE ESCORRENTÍA ................................................................................................................ 44 1.4.2 TIEMPO DE CONCENTRACIÓN CO NCENTRACIÓN Tc ............................................................................................................ ...45 1.4.3 APLICACIÓN DEL METODO METOD O MAC MATH M ATH ....................................................... ............................................ 47 1.5 CONCLUSIONES ............................................ ................................................................. ................................. 47




El tema de agua no es solamente de carácter técnico productivo, implica también aspectos sociales y de conservación de los recursos naturales, por eso requiere de propuestas integrales para su manejo; sobre todo considerar a la población que se dedica a la agricultura como un ente conservador del recurso hídrico en su área de expansión. Todos sabemos de la importancia que tiene el recurso hídrico como elemento insustituible para fructificar nuestras necesidades, y no nos es ajeno el hecho de que sin un buen uso de este recurso, no se podría lograr un desarrollo adecuado para este sector tan vital de la economía del país. Es necesario tener en cuenta, que el agua es uno del recurso natural más importante con que contamos para hacer reverdecer nuestro medio y dar niveles de eficiencia y productividad. Este resultado muchas veces se ha movido según el momento y los tiempos, pero sin duda, el manejo del agua ha sido objeto de trabajo en algunos momentos planificado, con visión de futuro por los antiguos peruanos, en el que nada se dejaba pasar. Si se actuara de esta manera, los resultados deberían ser los esperados. La elaboración del presente informe ha sido motivada por la falta de información, en lo referente a la disponibilidad y manejo de los recursos hídricos. En la microcuenca se tiene el principal objetivo de conservar la calidad del recurso evitando el desperdicio de este por ello se plantea la construcción de captaciones para optimizar el rendimiento hídrico para los sectores de riego. Colohuache – Colohuache – Yarapampa, Escobaya y Cahua grande – grande – Cahua Chica

La Provincia General Sánchez Cerro está situada al Norte de la Provincia de Mariscal Nieto dentro del Departamento de Moquegua entre las coordenadas geogr áficas geogr áficas 15º 57’ y 16º 58’ de Latitud Sur y 70º 20’ y 71º 27’ de Longitud Oeste, altitudinalmente se encuentra entre los 1815 a 3792 msnm, presentando la mayor parte de su territorio dentro de la región Andina.




Omate políticamente es la capital de la Provincia de General Sánchez Cerro, Región de Moquegua, se encuentra a 147 km de distancia de la ciudad de Moquegua, en ella se llega a través de una carretera afirmada. REGION:

Moquegua

PROVINCIA:

Gral. Sánchez Cerro

DISTRITO:

Omate

Sector de Riego:

Colohuache – Colohuache – Yarapampa, Escobaya y Cahua grande – grande – Cahua Chica

Los objetivos principales del presente informe son: Determinar la precipitación y la intensidad de lluvia en un evento máximo en la zona de proyecto.  Determinar el caudal máximo de diseño para un periodo de retorno de 25 años. En los puntos de captación. 

Cartas Nacionales a escala 1:100,000 elaboradas por el Instituto Geográfico Nacional, cuya identificación es la siguiente: Omate

:

(34-q).

El estudio hidrológico comprende las microcuencas que se encuentran en el ámbito de la cabecera de los sectores de riego. Estos micros cuencas se han dividido en número de tres denominados. Micro cuenca SHINCA. Micro cuenca SECA Micro cuenca SUTO




El relieve del ámbito de las cuencas en estudio, es en general escarpado y propia de la zona, fisiográficamente de paisaje escarpado y abrupto, concerniente a la cobertura vegetal área de espinales en los cerros, y el resto constituida por especies propias de la zona árida y desértica. En lo que respecta a este ítem, se desarrolló el marco teórico y el cálculo de los principales parámetros geomorfológicos en el Área de Proyecto de las micro cuencas asociados a su capacidad de respuesta a la precipitación en forma de escorrentía, tales como: Área. Perímetro,


Telefax: (054) 255279 RPM: *630151 RPC: 959776420 E-mail: [email protected]


Longitud del Cauce Principal, Ancho Promedio, Coeficiente de Compacidad. Factor de forma, Grado de Ramificación, Densidad de drenaje y Pendiente Media.

La superficie de la cuenca delimitada por el divisor topográfico, corresponde a la superficie de la misma proyectada en un plano horizontal, y su tamaño influye en forma directa sobre las características de los escurrimientos fluviales y sobre la amplitud de las fluctuaciones.

El perímetro de la cuenca está definido por la longitud de la línea de división de aguas (Divortium Aquarium).

Recibe este nombre, el mayor cauce longitudinal que tiene una cuenca determinada, es decir, el mayor recorrido que realiza el río desde la cabecera de la cuenca, siguiendo todos los cambios de dirección o sinuosidades hasta un punto fijo de interés, que puede ser una desembocadura.

Es la que determina la distribución de las descargas de agua a lo largo del curso principal o cursos principales, y es en gran parte responsable de las características de las crecientes que se presentan en la cuenca. Es expresada por parámetros, tales como el Ancho Promedio, Coeficiente de Compacidad y el Factor de forma 

Es la relación entre el área de la cuenca y la longitud mayor del curso del río, la expresión es la siguiente: Ap

A L

Dónde: Ap = A =

Ancho promedio de Ia cuenca (Km) Área de la cuenca



O índice de Gravelius, constituye la relación entre el perímetro de la cuenca y el perímetro de una circunferencia cuya área - igual a la de un círculo - es equivalente al área de la cuenca en estudio.




Su fórmula es la siguiente: P

Kc 2

Kc

P * A

0.2 8 *

P / A

Siendo: Kc = P = A =

Coeficiente de Compacidad (Km/Km2) Perímetro de la cuenca (Km) Área de la cuenca (Km2)

Una cuenca se aproximará a una forma circular cuando el valor Kc se acerque a la unidad Cuando se aleja de la unidad, presente una relación irregular con relación al círculo. Si este coeficiente fuera igual a la unidad, significa que habrá mayores oportunidades de crecientes debido a que los tiempos de Concentración, Tc (duración necesaria para que una gota de agua que cae en el punto más alejado de aquella, llegue a la salida o desembocadura), de los diferentes puntos de la cuenca serían iguales. De igual modo, cuanto mayor sea el valor de Kc, también será mayor el tiempo de concentración de las aguas y. por tanto, estará menos propensa a una inundación. Generalmente en cuencas muy alargadas el valor de Kc, es mayor que 2. Un valor de Kc. menor que 1. Nos indica una cuenca de forma circular, siguiendo el desarrollo de su curso principal, debiendo estar más expuesta a las crecientes que una cuenca de forma redondeada. 

Es otro índice numérico con el que se puede expresar la forma y la mayor o menor tendencia a crecientes de una cuenca. Es la relación entre el ancho promedio de la cuenca (Am) y la longitud del curso de agua más largo (L). La expresión es la siguiente Ff

Ap L

Siendo: Ff =


Factor de Forma



Ap = L =

Ancho promedio de la cuenca (Km) Longitud del curso más largo (Km)

Una cuenca con Factor de Forma bajo, está sujeta a menos crecientes que otra del mismo tamaño pero con un Factor de Forma mayor. Este valor es adimensional

El sistema de drenaje de una cuenca está conformado por un curso de agua principal y sus tributarios: observándose por lo general, que cuanto más largo sea el curso de agua principal, más llena de bifurcaciones será la red de drenaje. Con la finalidad de determinar las características de dicha red, se definen los siguientes índices:

Para definir el grado de ramificación de un curso de agua principal (Según Horton), se ha considerado el número de bifurcaciones que presentan sus tributarios, asignándole un orden a cada uno de ellos en forma creciente desde el curso principal hasta el encuentro con la divisoria de la cuenca.

Indica la relación entre la longitud total de los cursos de agua: efímeros, intermitentes o perennes de una cuenca (Li) y el área total de la misma (A). Valores altos de densidad refleja una cuenca muy bien drenada que debería responder relativamente rápido al influjo de la precipitación, es decir que las precipitaciones influirán inmediatamente sobre las descargas de los ríos (Tiempos de Concentración cortos). Una cuenca con baja densidad de drenaje refleja un área pobremente drenada con respuesta hidrológica muy lenta. Una baja densidad de drenaje es favorecida en regiones donde el material del subsuelo es altamente resistente bajo una cubierta de vegetación muy densa y de relieve plano. La densidad de drenaje tiende a uno en ciertas regiones desérticas de topografía plana y terrenos arenosos, y a un valor alto en regiones húmedas, montañosas y de terrenos impermeables. Esta última situación es la más favorable, pues si una cuenca posee una red de drenaje bien desarrollada, la extensión medía de los terrenos a través de los cuales se produce el escurrimiento superficial es corto y el tiempo en alcanzar los cursos de agua también será corto; por consiguiente la intensidad de las precipitaciones influirá inmediatamente sobre el volumen de las descargas de los ríos. La expresión es la siguiente:




D d

Li A

Siendo: Dd = Li = A =

Densidad de drenaje (Km/Km2) Longitud total de los cursos de agua (Km/Km2) Área de la cuenca (Km2)

Monsalve, refiere que Dd usualmente toma los siguientes valores: Entre 0.5 Km/Km2 para hoyas con drenaje pobre. Hasta 3.5 Km/Km2 para hoyas excepcionalmente bien drenados.

El agua superficial concentrada en los lechos fluviales escurre con una velocidad que depende directamente de la declividad de éstos, así a mayor declividad habrá mayor velocidad de escurrimiento. La pendiente Media del río es un parámetro empleado para determinar la declividad de un curso de agua entre dos puntos. Se determina mediante la siguiente expresión: Ic

( H M

H m)

1 0 0 0* L

Siendo: Ic = Pendiente media del río L = longitud del río HM y Hm= Altitud Máxima y mínima del lecho del río, referidas al nivel medio de las aguas del mar.




PARAMETROS MORFOLOGICOS DE LAS MICROCUENCAS

DATOS DE MICROCUENCA

SHINCA

SECA

SUTO

11.968

3.405

9.431

Cota Sup.

5140

4600

4800

Cota Inf.

2650

2750

2750

Long. Cauce (Km)

6.12

2.79

3.51

Perimetro (Km)

17.25

8.315

14.609

Ancho Promedio

1.956

1.220

2.687

Coef. De Compacidad

0.336

0.438

0.348

Factor de Forma

0.320

0.437

0.765

Densidad de Drenaje

0.511

0.819

0.372

Pendiente Media Rio

4.069

6.631

5.840

Area (Km2)

Es necesario identificar un período común de análisis, siendo este 1996 – 2010 en cuanto a precipitaciones máximas en 24 horas, de acuerdo a la información disponible y que se requiere para efectos de cálculo, siendo estos los parámetros de Precipitación de las estaciones de:

OMATE


16°40'39"S 71°58'57"W

2080 msnm

QUINISTAQUILLAS 16°46'46"S 70°53'52"W

1590 msnm

PUQUINA

3340 msnm

16°37'37"S 70°10'10"W



REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS (mm) Estacion Tipo

N° REGISTRO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 N° Datos Media Desv. Estandar Coef. Variacion Prec. Max. FUENTE : SENAMHI

CO OMATE Convencional

: :

Latitud Longitud Altitud

: : :

16°40'39" 71°58'57" 2,080.00

S W msnm

Departamento Provincia Distrito

: : :

Moquegua General Sanchez Cerro Omate

AÑO

ENE

FEB

MAR

ABR

MAY

JUN

JUL

AGO

SET

OCT

NOV

DIC

MAXIMO

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

4.60 17.20 11.20 4.20 14.20 14.60 12.20 2.20 15.20 11.20 13.80 s/d 25.40 6.80 6.80 14.00 11.40 6.16 54.06

5.80 15.00 19.80 17.10 12.20 38.90 13.00 5.20 10.60 14.00 10.20 s/d 7.40 7.10 5.60 14.00 12.99 8.71 67.05

1.00 17.20 3.80 13.00 9.80 18.80 10.40 8.00 5.40 7.20 5.80 3.80 1.00 14.80 1.60 15.00 8.11 5.78 71.31

1.20 0.00 0.00 3.80 1.30 2.20 0.20 0.00 0.00 0.10 0.30 0.00 0.00 0.50 0.90 15.00 0.70 1.08 153.96

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.80 15.00 0.25 0.98 387.30

0.00 0.00 0.00 0.00 0.60 0.00 1.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.16 0.48 299.55

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6.60 0.00 2.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.60 1.77 295.20

0.00 5.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.60 0.00 0.00 15.00 0.48 1.48 307.32

1.20 11.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 1.07 2.89 271.13

0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.17 0.47 271.89

1.80 1.80 0.00 0.00 0.00 0.00 7.20 0.00 0.90 0.00 0.80 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.83 1.88 225.31

2.40 13.40 4.20 3.20 3.60 0.00 10.70 9.00 0.50 1.60 0.10 0.90 6.40 0.00 1.80 15.00 3.85 4.20 108.95

5.80 17.20 19.80 17.10 14.20 38.90 13.00 9.00 15.20 14.00 13.80 3.80 25.40 14.80 6.80 15.00 15.25 8.58 56.26

25.40

38.90

18.80

3.80

3.80

1.80

6.60

5.60

11.00

1.60

7.20

13.40

38.90




REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS (mm) Estacio n Tipo

N° REGISTRO

CO QUINISTAQUILLAS Latitud Convencional Longitud Altitud

: :

: : :

16°46'46" 70°53'52" 1,590.00

S W msnm


: : :

Moquegua General Sanchez Cerro Quinistaquillas

AÑO

ENE

FEB

MAR

ABR

MAY

JUN

JUL

AGO

SET

OCT

NOV

DIC

MAXIMO

1 1996 2 1997 3 1998 4 1999 5 2000 6 2001 7 2002 8 2003 9 2004 10 2005 11 2006 12 2007 13 2008 14 2009 15 2010 N° Datos Media esv. Estandar oef. Variacion Prec. Max. FUENTE : SENAMHI

2.10 7.20 10.00 6.10 7.50 4.00 8.70 1.40 24.60 29.30 4.60 5.90 26.20 2.50 1.90 15.00 9.47 9.32 98.41 29.30

6.00 27.50 2.20 11.30 17.10 54.00 0.00 0.00 18.70 11.10 4.80 2.70 7.60 4.50 3.00 15.00 11.37 14.11 124.09 54.00

0.00 6.50 2.40 6.00 5.60 19.30 25.80 2.50 0.60 14.90 15.00 4.60 1.40 5.40 0.30 15.00 7.35 7.78 105.87 25.80

0.10 0.00 0.00 0.50 0.00 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.80 0.20 15.00 0.14 0.25 180.70 0.80

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.16 0.62 387.30 2.40

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5.70 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.45 1.48 330.43 5.70

0.00 2.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 15.00 0.21 0.67 326.37 2.60

0.00 9.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.65 2.42 374.65 9.40

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.07 0.28 387.30 1.10

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.00 0.13 0.52 387.30 2.00

0.00 9.90 1.60 0.50 0.00 0.00 10.30 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.80 0.00 8.50 15.00 2.24 3.84 171.47 10.30

6.00 27.50 10.00 11.30 17.10 54.00 25.80 2.50 24.60 29.30 15.00 5.90 26.20 5.40 8.50 15.00 17.94 13.59 75.73 54.00

REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS (mm) Estacio n Tipo

N° REGISTRO

CO QUINISTAQUILLAS Latitud Convencional Longitud Altitud

: :

: : :

16°46'46" 70°53'52" 1,590.00

S W msnm


: : :

Moquegua General Sanchez Cerro Puquina

AÑO

ENE

FEB

MAR

ABR

MAY

JUN

JUL

AGO

SET

OCT

NOV

DIC

MAXIMO

1 1996 2 1997 3 1998 4 1999 5 2000 6 2001 7 2002 8 2003 9 2004 10 2005 11 2006 12 2007 13 2008 14 2009 15 2010 N° Datos Media esv. Estandar oef. Variacion Prec. Max. FUENTE : SENAMHI

s/d s/d 20.50 15.90 36.30 17.20 17.50 10.80 16.80 15.70 23.10 10.40 29.10 14.20 2.70 13.00 17.71 8.46 47.79 36.30

s/d s/d 20.10 22.50 31.50 39.10 24.70 12.10 24.80 19.90 15.40 6.50 13.10 11.50 11.80 13.00 19.46 9.12 46.85 39.10

s/d s/d 4.80 9.40 7.90 31.10 16.80 12.40 10.60 15.00 29.60 7.50 3.90 18.90 2.30 13.00 13.09 9.11 69.59 31.10

s/d s/d 8.50 2.50 0.20 4.50 1.10 0.00 0.30 0.90 3.10 0.00 2.20 0.40 3.80 13.00 2.12 2.45 115.61 8.50

s/d s/d 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.00 0.05 0.12 259.63 0.40

s/d s/d 1.00 0.00 0.60 0.00 0.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.00 0.18 0.35 196.01 1.00

s/d s/d 0.00 0.00 0.00 0.00 11.00 0.80 3.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.40 0.00 13.00 1.23 3.12 253.21 11.00

s/d s/d 0.00 0.00 0.00 0.60 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 13.00 0.15 0.32 206.60 1.00

s/d s/d 0.00 1.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.00 0.23 0.57 246.65 1.70

s/d s/d 0.00 8.80 0.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.60 0.00 0.00 0.00 0.00 13.00 0.88 2.45 278.95 8.80

s/d s/d 0.00 0.00 0.00 0.00 6.10 0.00 0.00 0.00 1.80 0.00 0.00 0.00 0.00 13.00 0.61 1.72 283.63 6.10

s/d 11.10 3.70 4.40 2.00 0.00 6.10 7.30 0.00 3.60 0.00 3.50 7.70 2.00 1.00 14.00 3.74 3.33 88.96 11.10

s/d 11.10 20.50 22.50 36.30 39.10 24.70 12.40 24.80 19.90 29.60 10.40 29.10 18.90 11.80 14.00 22.22 9.14 41.12 39.10




Existen varias formulas para calcular la probabilidad de ocurrencia, la misma que se muestra en las siguientes tablas, siendo la más utilizada la formula de Weibull.

Método

Probabilidad de Ocurrencia (P)

m

California

n m  1 / 2

Hazen

n m

Weibull

n 1

m  0.3

Chegadayev

n  0.4 m  3 / 8

Blom

n  1 / 4

3m  1

Tukey

3n  1 ma

Gringorten

n  1  2a

Donde: P= Probabilidad experimental o frecuencia relativa empírica m= Número de Orden n= Número de datos a= Valor comprendido en el intervalo 0
10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A

0.448

0.443

0.442

0.441

0.440

0.440

0.440

0.440

0.439

0.439

Una función f(x) es llamada función de probabilidad o función de densidad de la variable aleatoria continúa X si cumple con las siguientes condiciones:




f ( x)  0,  x  R

 f ( x)dx  1 Cuando se encuentra en los límites   y  Sea el evento A  ( x / a  x  b) ; luego,



P( A)  P( x  A)  P(a  x  b)  f ( x)dx

Cuando se encuentra entre los límites a y b En la estadística existen decenas de funciones de distribución de probabilidad teórica; y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular, por lo tanto es necesario escoger uno de esos modelos, el que se adapte mejor al problema bajo análisis. Para el análisis de las precipitaciones máximas de las microcuenca de la zona se han utilizado los últimos registros históricos máximos de 24 horas de 15 años (1996-2010), para ello se ajustaron a 6 Distribuciones de probabilidades las cuales son:      

Distribución Normal Estándar. Distribución Gumbel (Distribución extrema Tipo I). Distribución Log Pearson Tipo III. Distribución Log Normal II Parámetros. Distribución Log Normal III Parámetros. Distribución Pearson tipo III.

Existen varias técnicas para la estimación de los parámetros de una distribución entre otras estas son:    

Método de Momentos Método de máxima verosimilitud Método de mínimos cuadrados Método gráfico

El objetivo de la estimación de los parámetros es de relacionar los registros observados (media, variancia, sesgo, etc.) de un fenómeno aleatorio con el modelo probabilística seleccionado. En este trabajo se desarrollara en base a la información seleccionada que se muestra en el siguiente cuadro.




PRECIPITACIONES MAXIMAS (mm) Nro. Reg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

AÑO

ESTACION OMATE

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

5.80 17.20 19.80 17.10 14.20 38.90 13.00 9.00 15.20 14.00 13.80 3.80 25.40 14.80 6.80

ESTACION ESTACION QUINISTAQUILL PUQUINA AS 6.00 27.50 10.00 11.30 17.10 54.00 25.80 2.50 24.60 29.30 15.00 5.90 26.20 5.40 8.50

s/d 11.10 20.50 22.50 36.30 39.10 24.70 12.40 24.80 19.90 29.60 10.40 29.10 18.90 11.80

PROMEDIO 5.90 18.60 16.77 16.97 22.53 44.00 21.17 7.97 21.53 21.07 19.47 6.70 26.90 13.03 9.03

El método de momentos fue desarrollado por primera vez por Karl Pearson en 1902. Él consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una función de probabilidad son aquellos para los cuales los momentos de la función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra. El método de momentos selecciona valores para los parámetros de la función de densidad de probabilidad de tal manera que sus momentos son iguales a aquellos de la información de la muestra. n

 i 1

X i n



1

n

X  n

i



 X

i 1

La media o promedio es el estimador que corresponde a la función teórica de probabilidad que es: u







xf ( x)dx

Originalmente Pearson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió común el uso de la varianza como el segundo momento central,





 2  E (( x  u ) 2 ,




y el coeficiente de asimetría como el tercer momento central estandarizado,   E (( x  u ) 3 /  3 ,

para determinar el segundo y el tercer parámetro de la distribución. Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estima los parámetros por este método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este método es muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como ocurre muy a menudo con las variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la estimación. Distribution Analysis: Normal Distribution ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 18.1093 Second Moment = 9.232e01 Skew = 9.761e-01 --------------------------------------------------------Point Weibull Actual Predicted Standard Number Probability Value Value Deviation --------------------------------------------------------1 0.0625 5.9000 3.3661 4.5437 2 0.1250 6.7000 7.0556 3.7815 3 0.1875 7.9700 9.5866 3.3162 4 0.2500 9.0300 11.6315 2.9920 5 0.3125 13.0300 13.4170 2.7609 6 0.3750 16.7700 15.0519 2.6034 7 0.4375 16.9700 16.6009 2.5112 8 0.5000 18.6000 18.1094 2.4808 9 0.5625 19.4700 19.6177 2.5112 10 0.6250 21.0700 21.1667 2.6034 11 0.6875 21.1700 22.8017 2.7609 12 0.7500 21.5300 24.5871 2.9920 13 0.8125 22.5300 26.6321 3.3162 14 0.8750 26.9000 29.1630 3.7815 15 0.9375 44.0000 32.8526 4.5437 ------------------------------------------------------------------------- Predictions -------------------------Exceedence Return Calculated Standard Probability Period Value Deviation --------------------------------------------------------0.9980 500.0 45.7667 7.5597 ---------------------------------------------------------

La función de distribución acumulada, tiene la forma:




F ( x)  ee

  x   

Para: ,    x  

     

0    

Donde: El parámetro α se le conoce como parámetro de escala. El parámetro β se le conoce como parámetro de posición.

Derivando la función de distribución acumulada, con respecto a x, se obtiene la función de densidad de probabilidad, es decir: f ( x) 

dF ( x) dx

  x   e

z  x   

f ( x)   * e



Para    x  , El signo (+) se aplica para valores mínimos y el signo (-) se aplica para valores máximos (distribución Gumbel o Tipo I). Si se hace la transformación: Y   x   

Con lo cual, la función densidad reducida es:  y f ( y)  e y e 

El signo (+) se emplea para eventos mínimos y el signo (-) para eventos máximos. La función de distribución acumulada es: e F ( y)  e

 y

 (Máximo)

F ( y)  1  ee  y

(Mínimo)

F ( y)min  1  F ( y)ma x

Los valores correspondientes de x e y, están relacionadas por: F(x) = F(y) y la relación: Y   x   


ó

x   

y 



Según Paulet, 1974, El método de Gumbel se utiliza para predecir magnitudes máximas de variables hidrológicas asumiendo que estos valores son independientes entre sí, también son usadas frecuentemente para el estudio de magnitud - duración - frecuencias de lluvias (Hershfiel 1961). Según Linsley 1971, aplicó al río Clear Water en Idaho Estados Unidos. Este método es adecuado cuando se utiliza como datos las descargas máximas anuales en un punto de control de una vertiente o un Río. La función de densidad reducida de Gumbel (Tipo I) tiene la forma de la ecuación anterior pero con signo negativo.

Para la estimación de los parámetros utilizaron 2 métodos de estimación.



y  de la Función Acumulada F(x) ecuación se

Según Lowery y Nash, 1970 utilizando el método de momentos se obtienen las siguientes relaciones: Media: E(x)=

x   

c



Donde c, es la constante de Euler, cuyo valor es:  

c  Limn  1 

1 2

1

  .......... .  3

  Ln(n) n 

1

c = 0.5772156649 Por lo tanto

: X   

0.57721 

Varianza:





E  X  E ( x )   S  2

2

 2  2 * 6

De donde se obtienen:




 

1.2825 S

0.57721

  X 



Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene lo siguiente:   X  0.45 * S ==>Máximo   X  0.45 * S ==>Mínimo

Para muestras muy grandes, o bien como:  y

 

S

  x 

 y a

 y

Para muestras relativamente pequeñas, los valores de tabla

y

 y

se muestran en la tabla siguiente

Por otro lado, conocemos que la ecuación de GUMBEL se expresa como: X   

y 

De las ecuaciones se puede escribir la ecuación como: X  X 

X  X 

X  X 

 y 



 y * S

 Y

 y



y * S

 

 y 

 y

S

y * S

y

 y

Se sabe que la función de distribución Acumulada ecuación es: F(y) = e

e  y

Por otro lado se tiene:




F ( y )  1 

1 T

Entonces se tiene que. 1

1 T

 y

 e e  F ( y)

N

my

sy

N

my

sy

20

0.524

1.063

50

0.549

1.161

21

0.525

1.07

51

0.549

1.162

22

0.527

1.076

52

0.549

1.164

23

0.528

1.081

53

0.55

1.165

24

0.53

1.087

54

0.55

1.167

25

0.531

1.092

55

0.55

1.168

26

0.532

1.096

56

0.551

1.17

27

0.5 33

1.1

57

0.551

1.171

28

0.534

1.105

58

0.552

1.172

29

0.535

1.109

59

0.552

1.173

30

0.536

1.112

60

0.552

1.175

31

0.537

1.116

62

0.553

1.177

32

0.538

1.119

64

0.533

1.179

33

0.539

1.123

66

0.554

1.181

34

0.54

1.126

68

0.554

1.183

35

0.541

1.129

70

0.555

1.185

36

0.541

1.131

72

0.555

1.187

37

0.542

1.134

74

0.556

1.189

38

0.542

1.136

76

0.556

1.191

39

0.543

1.139

78

0.557

1.192

40

0.544

1.141

80

0.557

1.194

41

0.544

1.144

82

0.557

1.195

42

0.545

1.146

84

0.558

1.197

43

0.545

1.148

86

0.558

1.198

44

0.546

1.15

88

0.558

1.199

45

0.546

1.152

90

0.559

1.201

46

0.547

1.154

92

0.559

1.202

47

0.547

1.156

94

0.559

1.203

48

0.548

1.157

96

0.56

1.204

49

0.548

1.159

98

0.56

1.206

Tomando dos veces Ln a la ecuación a ambos miembros se obtiene lo siguiente: 

 T  1     T   

y   Ln  Ln



Reemplazando el valor de y en la ecuación se obtiene: X  X 


S 

 T  1       y  Ln  Ln     T  y      



    1   T     X  X  S     LnLn      y  y T 1               K   1

6

 y



S i consideramos que para valores grandes de N, la expresión tiende a  y que y tiende a c =0.5772 entonces hemos comprobado que la ecuación general para expresar un valor de una X  X  K * S serie hidrológica es: Distribution Analysis: Gumbel Extremal Type I ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 18.1093 Second Moment = 9.232e01 Skew = 9.761e-01 --------------------------------------------------------Point Weibull Actual Predicted Standard Number Probability Value Value Deviation --------------------------------------------------------1 0.0625 5.9000 3.9713 3.0266 2 0.1250 6.7000 6.6251 2.5621 3 0.1875 7.9700 8.6259 2.2865 4 0.2500 9.0300 10.3654 2.1213 5 0.3125 13.0300 11.9844 2.0457 6 0.3750 16.7700 13.5571 2.0526 7 0.4375 16.9700 15.1344 2.1385 8 0.5000 18.6000 16.7595 2.3002 9 0.5625 19.4700 18.4776 2.5362 10 0.6250 21.0700 20.3434 2.8492 11 0.6875 21.1700 22.4340 3.2493 12 0.7500 21.5300 24.8717 3.7602 13 0.8125 22.5300 27.8794 4.4328 14 0.8750 26.9000 31.9519 5.3882 15 0.9375 44.0000 38.6589 7.0219 ------------------------------------------------------------------------- Predictions -------------------------Exceedence Return Calculated Standard Probability Period Value Deviation --------------------------------------------------------0.9980 500.0 70.6977 15.1298 ---------------------------------------------------------

Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma lognormal. Esta función fue estudiada por primera vez por Galtón en el año de 1875, por eso es que se le llama también función de Galtón. Por el teorema del límite central, tenemos que si X es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variab le y=lnx, también con distribución normal con media μy y




varianza ζy2, se usan estos parámetros para especificar que la distribución es logarítmica, puesto que también puede usarse la media y la varianza de x.

La función densidad de distribución normal para Y es: f ( y) 

1

e

 y 2

2 1  y   y    2   y 

Para -∞ < y < +∞ Refiriendo la función de distribución de f(y) con f(x), se tiene: f ( x)  f ( y)



d y

f ( x) 

d x

1



d x

Como Y=lnx

d y

x

, X>0 

1 2 x y

e



1 ln x   y 2



 y

Para X>0 f(y) = Es la función de densidad de la distribución normal para y con media μy y variancia ζy2. f(x) = Es la función de densidad de la distribución Log - Normal para X con parámetro μy y ζy2. Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usadas para evaluar la distribución Log Normal. Como f(x) = f(y)/x; pero f(y) es una distribución normal tenemos: f(x)=f(z)/xζy.

La función de distribución acumulada para X e Y es: F ( x) 


1

x



1

2 0 x y

e

1  Lnx   y    2   y 

2

dx



y

1

F ( x) 



2

e

1  y   y  2   y

2  

dy

y  

Los valores de la función de distribución de probabilidad F(y) se obtienen usando la fórmula de Abramowitz y Stegún si la variable estandarizada se define como: Z 

 y

y

 y x

1

F ( x) 

Para la estimación de los parámetros estimaron por 2 Métodos de estimación:

y   y

2  y

e

z2 2

dz



de la función de Distribución Acumulada F(x) se

Utilizando el método de momentos de las relaciones entre la media y la varianza de la variable x y  y

 y

2

los parámetros y , pueden ser estimados por y y Sy2 mediante la transformación yi = LnXi. Se sabe que y = Lnx tiene distribución normal, mientras que x tiene distribución Log-Normal. y 

n

 i 1

y1

n

2   n 2   yi  n y  i 1  S y2   n 1

Los valores de

y

y Sy2 se estiman a partir de n observaciones Xi, i=1,2,3,4....n

Según Chow (1954), se presento la siguiente relación para calcular y y Sy2 sin que sea necesario transformar los datos previamente en sus logaritmos.  x 2   y  Ln 2  2  Cv  1  1

S y2  Ln(Cv2  1)

Donde Cv es el coeficiente de variación de los datos originales

C v 

Sx x

Existen las siguientes relaciones para obtener la Media y Varianza de la distribución Log Normal.




 x  E ( x)  e

Var(x)=

Cv=

e

 y

2

2

1     y   y 2  2  

 y

2

 x e

1



1

1 / 2

Coeficiente de Asimetría: g = 3Cv+Cv3 Para valores prácticos de por: g=0.52 + 4.85*

 y

 y

2

; 0.1<

 y2  0.6,

la relación es casi lineal y puede ser aproximada

2

Que es correcta dentro del 2%, en el rango mencionado. Distribution Analysis: 2 Parameter Log Normal ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 18.1093 Second Moment = 9.232e01 Skew = 9.761e-01 --------------------------------------------------------Point Weibull Actual Predicted Standard Number Probability Value Value Deviation --------------------------------------------------------1 0.0625 5.9000 7.4500 3.0166 2 0.1250 6.7000 9.0201 2.6082 3 0.1875 7.9700 10.2846 2.3283 4 0.2500 9.0300 11.4346 2.1276 5 0.3125 13.0300 12.5434 1.9979 6 0.3750 16.7700 13.6527 1.9435 7 0.4375 16.9700 14.7941 1.9728 8 0.5000 18.6000 15.9972 2.0932 9 0.5625 19.4700 17.2981 2.3099 10 0.6250 21.0700 18.7443 2.6297 11 0.6875 21.1700 20.4020 3.0655 12 0.7500 21.5300 22.3803 3.6468 13 0.8125 22.5300 24.8828 4.4382 14 0.8750 26.9000 28.3709 5.5987 15 0.9375 44.0000 34.3501 7.6616 ------------------------------------------------------------------------- Predictions -------------------------Exceedence Return Calculated Standard Probability Period Value Deviation --------------------------------------------------------0.9980 500.0 67.0872 19.3374 ---------------------------------------------------------




Es una función de distribución análoga a la anterior con la única diferencia que el límite inferior no es cero, fue introducida por primera vez por R. Gibrart el cual la llamó la ley de efectos proporcionales. Difiere de la distribución Log Normal de II parámetros por la introducción de un límite inferior X0, tal que: y = ln(x-x0).

La función de densidad de x es: f ( x ) 

1 ( x  x 0 ) 2 y

e

1  ln( x  x 0 )   y  2  y 

  

2

Para x>x0 Donde: x0 = μy = ζy2=

Parámetro de posición Parámetro de escala o media Parámetro de forma o varianza

Haciendo la transformación y = ln(x-x0); la función de densidad reducida es: f ( y) 

1  y 2

e

1  y   y    2   y 

2

Para    y   z 

si

y   y  y

 f ( z ) 

1 2

1

e2

z

2

La función de distribución acumulada del Método Log - Normal de III Parámetros es: F ( x) 


1

x

e

( x  x0 ) y 2 x0

1  ln( x  x 0 )   y   y 2 

2  

dx



F ( y) 

z 

Como

y   y  y

1



e  y 2  

1  y   y  2   y

2  

dy

z

1

 f ( z ) 

y



2

e  z dz

2  

Las funciones: F(x) y F(y) son iguales. La función F(z) es una distribución normal estándar, la que puede ser usada para evaluar la distribución Log Normal.  y

Para la estimación de los parámetros de Xo, F(x) se tienen 2 Métodos de estimación:

y

 y

de la Función de Distribución Acumulada

Los momentos de X pueden obtenerse de los correspondientes momentos de la distribución Log Normal de II parámetros, debido a que las variables difieren solo en el parámetro de posición Xo, ya que y = Ln (x-xo). X  Xo  H

Donde: X = variable aleatoria con distribución Log Normal de III parámetros H = Variable aleatoria con distribución Log Normal de II parámetros Xo = Parámetro de posición  x  x0  E ( H )  x0   H  x   H 2

Media:

 x  x0  e

Varianza:

 x  e 2

2

1 2     y   y  2  

 y

2

1 * e

2    2

y

y

El coeficiente de asimetría (g) esta dado por:



g e

 y

2

 e

1

1 2

 y

2

2



Y de forma aproximada puede ser: g  0.52  4.85sy2




g =0.52+4.85sy2 Luego de las ecuaciones anteriores se obtienen los siguientes resultados:  y 

g  0.52

4.85

 1    x  2   y   Ln   2 y  2   e  y  1    2

X 0   x  e

  y  y

2

2

Distribution Analysis: 3 Parameter Log Normal ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 18.1093 Second Moment = 9.232e01 Skew = 9.761e-01 --------------------------------------------------------Point Number

Weibull Probability

Actual

Predicted

Value

Value

Standard Deviation

--------------------------------------------------------1

0.0625

5.9000

5.7542

2.9183

2

0.1250

6.7000

8.0295

2.2452

3

0.1875

7.9700

9.7532

2.1069

4

0.2500

9.0300

11.2515

2.1724

5

0.3125

13.0300

12.6424

2.3122

6

0.3750

16.7700

13.9877

2.4721

7

0.4375

16.9700

15.3288

2.6301

8

0.5000

18.6000

16.7003

2.7780

9

0.5625

19.4700

18.1396

2.9153

10

0.6250

21.0700

19.6918

3.0470

11

0.6875

21.1700

21.4157

3.1865

12

0.7500

21.5300

23.4044

3.3656

13

0.8125

22.5300

25.8261

3.6634

14

0.8750

26.9000

29.0515

4.2978

15

0.9375

44.0000

34.2471

6.0664

------------------------------------------------------------------------- Predictions -------------------------Exceedence

Return

Probability

Period

Calculated Value

Standard Deviation

--------------------------------------------------------0.9980

500.0

58.1233

23.8556

---------------------------------------------------------




Según Chow, 1995, si log X sigue una distribución Pearson Tipo III, entonces se dice que X sigue una distribución log - Pearson tipo III. Esta es la distribución estándar para análisis de frecuencias de crecientes máximas anuales en los Estados Unidos (Benson, 1968). La localización del límite X0 en la distribución Log - Pearson Tipo III depende de la asimetría de la información, se plantea 2 casos: Si la información tiene asimetría positiva, entonces Log x ≥ X0 y X0 es un límite inferior. Si la información tiene asimetría negativa, Log x ≤ X0 y X0 es un límite superior. Según Bobee, 1975. La transformación Log reduce la asimetría de la información transformada y puede producir información transformada con asimetría negativa utilizando información original con asimetría positiva. En este caso, la aplicación de la distribución Log - Pearson Tipo III impondría un límite superior artificial a la información. Dependiendo de los valores de los parámetros, la distribución Log - Pearson Tipo III puede asumir muchas formas diferentes, tal como se muestra en la siguiente tabla Localización de la moda para la distribución Log - Pearson Tipo III como una función de sus parámetros. Parámetro

de

α<-Ln10

-Ln10<α<0

α>0

Sin

Moda

Sin

Forma β 0<β<1

moda,

forma en J

mínima

forma en U

moda,

forma en J invertida

Β>1

Unimodal

Sin

moda

forma

en

Unimodal

J

invertida

El primer paso es tomar los logarítmicos de la información hidrológica, Z=logx, mayormente se utilizan logaritmos con base 10, se calculan la media X, la desviación estándar Sx y el coeficiente de asimetría Cs para los logaritmos de los datos. La función de densidad para X y Z se dan a continuación:  log x  x  f ( x)       1     1

 1

* e log x  x  / 

Si se hace una transformación: Z = log(x) La función densidad reducida es:

 z  z 0   1  z  z  /  f ( z)   *e     0




Donde: Z = Variable aleatoria con distribución Pearson Tipo III X = Variable aleatoria con distribución Log - Pearson Tipo III Z0 = Parámetro de Posición α = Parámetro de escala β = Parámetro de forma En el caso de la distribución Log - Pearson Tipo III: X = 10z, la variable reducida es: Y 

Z  Z 0 

Por lo que la ecuación queda de la siguiente manera: f ( y ) 

1

  

* y  1 * e  y

La función de distribución acumulada de la distribución Log Pearson Tipo III es:  1

 z  z 0  F ( z )             Z Z

1



 z  z 0 

*e



dz

0

Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene lo siguiente: F ( y) 

1

y

y    

 1

* e  y dy

0

La ecuación anterior es una distribución Ji cuadrada con 2β grados de libertad y X2=2y





2 F ( y)  F x /   F x 2 (2 y / 2  )

Para la estimación de los parámetros Zo,  y  de la función acumulada se usaron 2 métodos de estimación.

El procedimiento recomendado para el método de momentos es convertir la serie de datos a sus logaritmos y luego calcular los siguientes parámetros: Media:

 log x Logx

=


n



Desviación Estándar: log x  log x   log x  n 1

2

Coeficiente de Asimétrica: n

 log x  log x

3

3 1 2 log       n n  x g=

El valor de X; para cualquier nivel de probabilidad se puede calcular a partir de la siguiente expresión: Logx =

log x  K  log x

Los valores de K se toman de la tabla siguiente: Distribution Analysis: Log Pearson Type III ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 18.1093 Second Moment = 9.232e01 Skew = 9.761e-01 --------------------------------------------------------Point Weibull Actual Predicted Standard Number Probability Value Value Deviation --------------------------------------------------------1 0.0625 5.9000 5.9769 1.8945 2 0.1250 6.7000 7.9082 1.9043 3 0.1875 7.9700 9.4931 1.9824 4 0.2500 9.0300 10.9430 2.1069 5 0.3125 13.0300 12.3403 2.2622 6 0.3750 16.7700 13.7324 2.4377 7 0.4375 16.9700 15.1542 2.6269 8 0.5000 18.6000 16.6379 2.8259 9 0.5625 19.4700 18.2218 3.0341 10 0.6250 21.0700 19.9549 3.2543 11 0.6875 21.1700 21.9030 3.4959 12 0.7500 21.5300 24.1716 3.7835 13 0.8125 22.5300 26.9520 4.1849 14 0.8750 26.9000 30.6618 4.9120 15 0.9375 44.0000 36.5923 6.8700 ------------------------------------------------------------------------- Predictions -------------------------Exceedence Return Calculated Standard Probability Period Value Deviation --------------------------------------------------------0.9980 500.0 61.6145 30.2695 ---------------------------------------------------------




Según Chow, la distribución Pearson Tipo III se aplicó por primera vez en la Hidrología por Foster (1924) para describir la distribución de probabilidad de picos crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación Log para reducir la asimetría. La distribución Pearson Tipo III, También llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro, el límite inferior o parámetro de posición ε, de tal manera que por el método de los momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros λ, β, ε de la distribución de probabilidad. Función de densidad de probabilidad Pearson Tipo III  1

f ( x )  (  x    

e

  x  

) /    parax  

El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma: d ( f ( x ) / dx  ( f ( x ) * ( x  d )) /(C 0  C 1 * x  C 2 * x 2 )

Donde d es la moda de la distribución (el valor de x para la cual f(x) es un máximo) y C0, C1 y C2 son coeficientes que deben determinarse. Cuando C2 = 0 es la solución de la ecuación anterior, es una distribución Pearson tipo III, con una función de densidad de probabilidad según la ecuación anterior Para C1 = C2 = 0, la solución de la ecuación anterior es una distribución normal. Según Markovick, 1965, mostró que no hay diferencia entre el ajuste de una distribución Gamma y una Log Normal, esta función de distribución es muy popular debido a que cuando el coeficiente de asimetría se iguala a cero se obtiene la distribución Normal.

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución Tipo III si su función densidad de probabilidades con origen en la moda, está dada por:  1 1

 x   1    f ( x )   1   1    1  1

*e

 x  1       1 

Donde α1, β1 y δ1, son los parámetros de la función Γ(β1) es la función Gamma. En la tabla de función gama se halla las propiedades básicas y la tabla de valores de la función Gamma. Para:  1  x   Donde:




δ1 = Parámetro de Posición α1 = Parámetro de escala β1 = Parámetro de forma La variable reducida. y 

x   1  1

Por lo que f ( y ) 

1

  1 

y  1 * e  y

La función de distribución acumulada de la distribución Pearson Tipo III es: F ( x) 

x

1



 1  1  0

e

 x  1        1 

 x   1  dx   1 

* 

Combinando las ecuaciones anteriores se tiene: F ( y) 

y

1

y     1

 1

e  y dy

0

La ecuación anterior es una función de distribución Ji cuadrada con 2β1 grados de libertad y X2=2y





F ( y)  F x 2 /   F x 2 2 y / 2 1  2 En las tablas de estadística se encuentra la función de distribución X

Según Aparicio 1996, manifiesta que la manera de usar la función de distribución Pearson Tipo III es estrictamente válida cuando β1=n/2, donde n es un entero positivo cualquiera si, como es común, 2β1 es no entero, puede tomarse como el entero más próximo o bien interpolar en la tabla Nº A.2 del apéndice A. Cuando β1<0.3, será necesario acudir a tabla s de la función de distribución Gamma de un Parámetro. Para la estimación de parámetros de la Función Acumulada F(x) se tiene 2 Métodos de Estimación.

 

Los parámetros de 1, 1 y d1 de la Función Acumulada F(x) se evalúan a partir de n datos medidos mediante el siguiente sistema de ecuaciones.




X   1 *  1   1

S 2   1  1 2*

g

2  1

Donde X es la media de los datos S2 su varianza y g su coeficiente de sesgo ó coeficiente de Asimetría, que se define como:  X  * n Cs  g   3 i 1 n  1n  2S n

 X

3

i

Distribution Analysis: Pearson Type III ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 18.1093 Second Moment = 9.232e01 Skew = 9.761e-01 --------------------------------------------------------Point Weibull Actual Predicted Standard Number Probability Value Value Deviation --------------------------------------------------------1 0.0625 5.9000 8.6831 4.8959 2 0.1250 6.7000 9.5297 2.8698 3 0.1875 7.9700 10.3817 1.7580 4 0.2500 9.0300 11.2591 1.4878 5 0.3125 13.0300 12.1790 1.8538 6 0.3750 16.7700 13.1579 2.3961 7 0.4375 16.9700 14.2147 2.9245 8 0.5000 18.6000 15.3726 3.3908 9 0.5625 19.4700 16.6647 3.7836 10 0.6250 21.0700 18.1393 4.1010 11 0.6875 21.1700 19.8668 4.3468 12 0.7500 21.5300 21.9648 4.5434 13 0.8125 22.5300 24.6544 4.7774 14 0.8750 26.9000 28.4335 5.3797 15 0.9375 44.0000 34.9029 7.7579 ------------------------------------------------------------------------- Predictions -------------------------Exceedence Return Calculated Standard Probability Period Value Deviation --------------------------------------------------------0.9980 500.0 67.9893 35.4991




Para un mejor análisis de los datos hidrológicos es necesario conocer el tipo o forma de distribución teórica que puede representar aproximadamente a la distribución empírica (método estadístico) de estos datos. Para averiguar cuan aproximada es esta distribución empírica a la teórica, es necesario realizar algunas pruebas estadísticas conocidas como prueba de ajuste.

Consisten en comprobar gráfica y estadísticamente si la frecuencia empírica de la serie de registros analizados se ajustan a un determinado modelo probabilística adoptado a priori, con los parámetros estimados en base a los valores maestrales. Las pruebas estadísticas tienen por objeto medir la certidumbre que se obtiene al hacer una hipótesis estadística sobre una población. Es decir, calificar el hecho de suponer que una variable aleatoria se distribuye según un modelo probabilística. Los ajustes más comunes son:  

Smirnov – Kolmogorow. Método del error cuadrático mínimo

Esta prueba consiste en comparar el máximo valor absoluto de la diferencia D que hay entre la función de distribución observada Fo(Pm) y la estimada F(Pm) D  máx F 0 ( Pm )  F ( Pm )

Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionada si D
m n 1

Donde m es el número de orden del dato Xm en una lista de mayor a menor y n es el número total de datos. Valores críticos para la prueba Smirnov –Kolmogorov de bondad de ajuste Tamaño de la a= 0.10

a = 0.05

a = 0.01

muestra


5

0.51

0.56

0.67

10

0.37

0.41

0.49

15

0.30

0.34

0.40



20

0.26

0.29

0.35

25

0.24

0.26

0.32

31

0.22

0.24

40

0.19

0.21

N grande

1.22

0.29 0.25

1.36 n

1.63 n

n

En el cuadro siguiente se muestra el procedimiento de cálculo por método de Smirnov Kolgomorov, de donde en la columna 2 se han escrito las precipitaciones máximas anuales registradas ordenadas de mayor a menor, en la columna 3 se calculan los valores de la función de distribución de probabilidad observada según la ecuaciones anteriores. PRUEBA DE DISTRIBUCION NORMAL N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Actual 44.00 26.90 22.53 21.53 21.17 21.07 19.47 18.60 16.97 16.77 13.03 9.03 7.97 6.70 5.90

weibull 0.063 0.125 0.188 0.250 0.313 0.375 0.438 0.500 0.563 0.625 0.688 0.750 0.813 0.875 0.938

Z 2.695 0.915 0.460 0.356 0.318 0.308 0.141 0.051 -0.119 -0.140 -0.528 -0.945 -1.056 -1.187 -1.271

p 0.011 0.262 0.359 0.374 0.379 0.380 0.395 0.398 0.396 0.395 0.347 0.255 0.229 0.197 0.178

w 0.616 0.825 0.904 0.924 0.931 0.933 0.968 0.988 0.973 0.969 0.891 0.820 0.804 0.784 0.773

F1| 0.004 0.180 0.323 0.361 0.375 0.379 0.444 0.480 0.453 0.444 0.299 0.172 0.146 0.118 0.102

F(z) 0.996 0.820 0.677 0.639 0.625 0.621 0.556 0.520 0.453 0.444 0.299 0.172 0.146 0.118 0.102

di 0.934 0.695 0.490 0.389 0.313 0.246 0.119 0.020 0.110 0.181 0.389 0.578 0.667 0.757 0.836

w 0.680 0.805 0.863 0.879 0.885 0.886 0.916 0.934 0.973 0.979 0.913 0.790 0.755 0.712 0.683

F1| 0.021 0.148 0.246 0.275 0.287 0.290 0.347 0.381 0.453 0.462 0.340 0.126 0.081 0.040 0.023

F(z) 0.979 0.852 0.754 0.725 0.713 0.710 0.653 0.619 0.547 0.538 0.340 0.126 0.081 0.040 0.023

di 0.917 0.727 0.567 0.475 0.401 0.335 0.216 0.119 0.016 0.087 0.348 0.624 0.732 0.835 0.915

PRUEBA DE DISTRIBUCION LOG NORMAL II PARAMETROS N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Actual 44.00 26.90 22.53 21.53 21.17 21.07 19.47 18.60 16.97 16.77 13.03 9.03 7.97 6.70 5.90


weibull 0.06 0.13 0.19 0.25 0.31 0.38 0.44 0.50 0.56 0.63 0.69 0.75 0.81 0.88 0.94

Z 2.032 1.044 0.688 0.597 0.562 0.553 0.394 0.303 0.118 0.094 -0.411 -1.147 -1.400 -1.747 -2.003

p 0.051 0.231 0.315 0.334 0.341 0.342 0.369 0.381 0.396 0.397 0.367 0.207 0.150 0.087 0.054



DISTRIBUCION EXTREMO TIPO I N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Actual 44.00 26.90 22.53 21.53 21.17 21.07 19.47 18.60 16.97 16.77 13.03 9.03 7.97 6.70 5.90

weibull 0.063 0.125 0.188 0.250 0.313 0.375 0.438 0.500 0.563 0.625 0.688 0.750 0.813 0.875 0.938

F(z) 0.969 0.805 0.701 0.671 0.660 0.657 0.604 0.573 0.512 0.504 0.351 0.192 0.155 0.117 0.095

di 0.907 0.680 0.513 0.421 0.348 0.282 0.167 0.073 0.051 0.121 0.336 0.558 0.657 0.758 0.842

PRUEBA DE DISTRIBUCION PEARSON TIPO III N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


P Actual 44.00 26.90 22.53 21.53 21.17 21.07 19.47 18.60 16.97 16.77 13.03 9.03 7.97 6.70 5.90

weibull 0.063 0.125 0.188 0.250 0.313 0.375 0.438 0.500 0.563 0.625 0.688 0.750 0.813 0.875 0.938

Y 7.211 4.262 3.509 3.337 3.273 3.256 2.980 2.831 2.549 2.515 1.871 1.181 0.997 0.778 0.640

X^2 14.423 8.524 7.018 6.673 6.547 6.512 5.960 5.661 5.098 5.029 3.741 2.362 1.994 1.557 1.281

FZ 0.987 0.870 0.781 0.754 0.743 0.740 0.690 0.659 0.596 0.588 0.413 0.203 0.150 0.094 0.063



PRUEBA DE DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO III N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Actual 44.00 26.90 22.53 21.53 21.17 21.07 19.47 18.60 16.97 16.77 13.03 9.03 7.97 6.70 5.90

weibull 0.063 0.125 0.188 0.250 0.313 0.375 0.438 0.500 0.563 0.625 0.688 0.750 0.813 0.875 0.938

logx 1.643 1.430 1.353 1.333 1.326 1.324 1.289 1.270 1.230 1.224 1.115 0.956 0.901 0.826 0.771

Fo(Xm) 0.938 0.875 0.813 0.750 0.688 0.625 0.563 0.500 0.438 0.375 0.313 0.250 0.188 0.125 0.063

Y 41.211 36.285 34.511 34.057 33.885 33.838 33.047 32.591 31.670 31.552 29.030 25.360 24.101 22.368 21.095

X2 82.423 72.570 69.023 68.114 67.770 67.675 66.093 65.181 63.341 63.104 58.060 50.719 48.203 44.736 42.189

F(xm) 0.965 0.853 0.775 0.752 0.743 0.740 0.695 0.667 0.606 0.598 0.417 0.177 0.117 0.059 0.032

METODO DE SMIRNOV - KOLMOGOROV

Distrib ucion Normal N

P (mm.)

1 44.00 2 26.90 3 22.53 4 21.53 5 21.17 6 21.07 7 19.47 8 18.60 9 16.97 10 16.77 11 13.03 12 9.03 13 7.97 14 6.70 15 5.90 MAXIMO VALOR

Distrib ucion Log Normal II parámetros Distrib ucion Extr emo Tipo I

Distrib ucion Pearson Tipo III Distrib ucion Log Pearson

Fo(Xm)

0.94 0.88 0.81 0.75 0.69 0.63 0.56 0.50 0.44 0.38 0.31 0.25 0.19 0.13 0.06

F(Xm) 0.9960 0.8200 0.6770 0.6390 0.6250 0.6210 0.5560 0.5200 0.4530 0.4440 0.2990 0.1720 0.1460 0.1180 0.1020

F(PX)-Fo(Xm) 0.0585 0.0550 0.1355 0.1110 0.0625 0.0040 0.0065 0.0200 0.0155 0.0690 0.0135 0.0780 0.0415 0.0070 0.0395 0.1355

F(Xm) 0.9790 0.8520 0.7540 0.7250 0.7130 0.7100 0.6530 0.6190 0.5470 0.5380 0.3400 0.1260 0.0810 0.0400 0.0230

F(PX)-Fo(Xm) 0.0415 0.0230 0.0585 0.0250 0.0255 0.0850 0.0905 0.1190 0.1095 0.1630 0.0275 0.1240 0.1065 0.0850 0.0395 0.1630

F(Xm) 0.9694 0.8052 0.7006 0.6713 0.6600 0.6569 0.6041 0.5734 0.5119 0.5041 0.3511 0.1923 0.1555 0.1166 0.0950

F(PX)-Fo(Xm) 0.0319 0.0698 0.1119 0.0787 0.0275 0.0319 0.0416 0.0734 0.0744 0.1291 0.0386 0.0577 0.0320 0.0084 0.0325 0.1291

F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) 0.987 0.0494 0.870 0.0046 0.781 0.0318 0.754 0.0039 0.743 0.0559 0.740 0.1155 0.690 0.1274 0.659 0.1594 0.596 0.1585 0.588 0.2127 0.413 0.1003 0.203 0.0472 0.150 0.0375 0.094 0.0314 0.063 0.0006 0.2127

F(Xm) 0.9648 0.8525 0.7753 0.7519 0.7426 0.7400 0.6946 0.6665 0.6062 0.5981 0.4169 0.1768 0.1171 0.0586 0.0317

F(PX)-Fo(Xm) 0.0273 0.0225 0.0372 0.0019 0.0551 0.1150 0.1321 0.1665 0.1687 0.2231 0.1044 0.0732 0.0704 0.0664 0.0308 0.2231

Este método consiste en calcular, para cada función de distribución, el error cuadrático. n 2 C   ( X i  Y i )   i 1 


1 2



Donde Xi = es el i-esimo dato estimado Yi = es el i-ésimo dato calculado con la función de distribución bajo análisis N = Número de datos En el cuadro siguiente se muestra el procedimiento estimado para cada uno de los diferentes métodos estadísticos usados en el presente estudio. METODO DE ERROR CUADRATICO MINIMO

weibull

T

P (mm.)

m/(n+1)

AÑOS

Po

0.063 0.125 0.188 0.250 0.313 0.375 0.438 0.500 0.563 0.625 0.688 0.750 0.813 0.875 0.938

16.000 8.000 5.333 4.000 3.200 2.667 2.286 2.000 1.778 1.600 1.455 1.333 1.231 1.143 1.067

44.000 26.900 22.533 21.533 21.167 21.067 19.467 18.600 16.967 16.767 13.033 9.033 7.967 6.700 5.900

DISTRIBUCION NORMAL

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SUMA C

Pe

(Pe-Po)^2 32.853 124.265 29.163 5.121 26.632 16.800 24.587 9.325 22.802 2.673 21.167 0.010 19.618 0.023 18.109 0.241 16.601 0.134 15.052 2.940 13.417 0.147 11.632 6.750 9.587 2.624 7.056 0.126 3.366 6.421 177.601 13.327

DISTRIBUCION EXTREMO DISTRIBUCION LOG DISTRBUCION LOG DISTRIBUCION LOG PERSON DISTRIBUCION PEARSON TIPO TIPO I NORMAL 2 PARAMETROS NORMAL III PARAMETROS TIPO III III Pe

(Pe-Po)^2

38.659 28.527 31.952 25.522 27.879 28.580 24.872 11.145 22.434 1.606 20.343 0.523 18.478 0.978 16.760 3.387 15.134 3.357 13.557 10.301 11.984 1.100 10.365 1.774 8.626 0.435 6.625 0.006 3.971 3.720 120.962 10.998

Pe

(Pe-Po)^2

34.350 28.371 24.883 22.380 20.402 18.744 17.298 15.997 14.794 13.653 12.543 11.435 10.285 9.020 7.450

Pe

93.121 2.164 5.520 0.717 0.585 5.393 4.703 6.775 4.720 9.697 0.240 5.766 5.373 5.383 2.403

152.558 12.351

(Pe-Po)^2

34.247 29.052 25.826 23.404 21.416 19.692 18.140 16.700 15.329 13.988 12.642 11.252 9.753 8.030 5.754

Pe

95.119 4.629 10.842 3.501 0.062 1.890 1.761 3.609 2.683 7.723 0.153 4.920 3.192 1.768 0.021

(Pe-Po)^2

36.592 30.662 26.952 24.172 21.903 19.955 18.222 16.638 15.154 13.732 12.340 10.943 9.493 7.908 5.977

141.872 11.911

123.103 11.095

54.874 14.151 19.525 6.960 0.542 1.236 1.550 3.850 3.285 9.207 0.480 3.647 2.330 1.460 0.006

Pe

(Pe-Po)^2

34.903 28.434 24.654 21.965 19.867 18.139 16.665 15.373 14.215 13.158 12.179 11.259 10.382 9.530 8.683

82.757 2.352 4.499 0.186 1.690 8.569 7.851 10.416 7.573 13.023 0.730 4.954 5.832 8.007 7.746

166.186 12.891

En el cuadro siguiente se resume los resultados de las pruebas efectuadas anteriormente. En este cuadro se han calificado las funciones según el orden de preferencias indicado por cada prueba de ajuste, dando 1 a la “mejor” y 6 a la “peor”. De estos resultados se concluye que la función que mejor se ajusta a los datos es la LOG PEARSON TIPO III Selección de la función de Distribución DISTRIBUCIONES NORMAL GUMBEL LOG NORMAL 2P LOG NORMAL 3P LOG PEARSON III PEARSON TIPO III

ERROR MIN. 6 1 4 3 2 5

CUAD. SMIRNOV KOLMOGOROV 2 1 3 6 4 5

TOTAL 8 2 7 9 6 10

En conclusión después de realizar todas las pruebas de análisis estadístico la distribución que mejor se adecua es el método de LOG PEARSON TIPO III por que tiene menor error




El estudio de la Precipitación Máxima e Intensidad Máxima es muy importante para tener conocimiento de la intensidad de las tormentas, sus magnitudes, así como su frecuencia, son muy necesarios para el diseño de las diferentes obras hidráulicas que pudieran construirse en las zonas de estudio. Para el análisis se ha tenido en cuenta en cuenta la información de precipitación máxima en 24 horas Con la finalidad de obtener información de precipitación máxima en 24 horas y la para diferentes periodos de retorno y que permita tener confiabilidad de su recurrencia, se le evaluó a través de 6 distribuciones de frecuencia Distribución Normal Estándar. Distribución Gumbel (Distribución extrema Tipo I). Distribución Log Pearson Tipo III.  Distribución Log Normal II Parámetros.  Distribución Log Normal III Parámetros.  Distribución Pearson tipo III.   

En el cuadro siguiente se muestra el resumen de los resultados por el método estadístico de la distribución que más se ajusta aplicando el método de momentos desarrollados en el presente estudio la distribución que se considera es la distribución GUMBEL EXTREMO TIPO I. Se observa que la diferencia entre uno y otro método puede ser apreciable. En muchos casos las diferencias son muchos mayores que las que resultan aquí. Una selección apresurada de cualquiera de los métodos podría traducirse en una estructura sobre diseñada y costosa o sub diseñada y peligrosa. Para ello se ha utilizado el programa Hidroesta.




Return

Calculated

Standard

Period

Value

Deviation

25

18.5668

9.2857

Precipitaciones Máximas en (mm) y periodo de retorno en (años)

El diseño de estructuras para el control de agua incluye la consideración de riesgos. Una estructura para el control de agua puede fallar si la magnitud correspondiente al periodo de retorno de diseño T se excede durante la vida útil de la estructura. Este riesgo hidrológico natural, o inherente, de falla puede calcularse utilizando la ecuación: Es el tiempo medio en años en que ese inundación (evento) es igualdad o superada por lo menos una vez es decir periodo de retorno 

1 probabilid ad

 T 

1 P

T = periodo de retorno P = probabilidad de ocurrencia de un caudal En hidrología se utiliza más el periodo de retorno que la probabilidad




1 Probabilid ad de que un sucesode retorno T se produzca el próximo año............... T

 1    T 

Probabilid ad de que un suceso de retorno NO se produzca el próximo año............1- 

  1    1   1 -   T       T 

Probabilid ad de que un suceso de retorno NO se produzca los proximos dos años..1 - 

  1  Probabilid ad de que un suceso de retorno NO se produzca los proximos n años.....1 -     T 

n

  1  Probabilid ad de que un suceso de retorno SI se produzca los proximos n años.......1 - 1 -     T 

n

En El diseño de obras públicas, la última expresión obtenida es el Riesgo de falla (R, es decir la probabilidad de que SI se produzca alguna vez un suceso de periodo de retorno T a lo largo a un periodo de n años:   1  n  R  1  1      T   ESTRUCTURA CAUDALES DE PROYECTO Vertedor de grandes presas Vertedor de una presa de tierra Vertedor de una presa de concreto Galerias de aguas pluviales Bocatomas Pequeñas presas para abastecimeinto de agua puentes en carreteras importantes puentes en carreteras comunes Valores de periodo de retorno T asociado al riesgo R Riesgo R 0.01 0.10 0.25 0.50 0.75 0.99

1 100.00 10.00 4.00 2.00 1.33 1.01

Vida util de la obra (n) en años 10 25 50 995.49 2487.98 4975.46 95.41 237.78 475.06 35.26 87.40 174.30 14.93 36.57 72.64 7.73 18.54 36.57 2.71 5.94 11.37

T(años)

10000 1000 500 5 a 20 25 a 75 50 a 100 50 a 100 25

100 9950.42 949.62 348.11 144.77 72.64 22.22

200 19900.33 1898.74 695.71 289.04 144.77 43.93

Un análisis de la tabla anterior muestra que si adopta un riesgo de 10% de que durante los 10 años de vida útil de una estructura ocurra una descarga igual o superior a la del proyecto, se debe usar un periodo de retorno de 95.41 años. Dada la magnitud de las subcuencas, para la estimación de las máximas avenidas se ha tenido en consideración los siguientes rangos de superficies de cuenca de recepción:




Área

< 10 Km2 < 100 Km2 > 100 km2

Método

Hidrograma del US - SCS Mac Math Curvas Envolventes de Creager

0.99

1.01

1.11

1.66

2.71

4.86

5.94

11.37

22.22

0.9

1.11

1.46

2.71

4.86

9.20

11.37

22.22

43.93

0.75

1.33

2.00

4.13

7.73

14.93

18.54

36.57

72.64

0.5

2.00

3.41

7.73

14.93

29.36

36.57

72.64

144.77

4.00

7.46

17.89

35.26

70.02

87.40

174.30

348.11

0.1

10.00

19.49

47.96

95.41

190.32

237.78

475.06

949.62

0.05

20.00

39.49

97.98

195.46

390.41

487.89

975.29

1950.07

0.01

100.00

199.50

498.00

995.49

1990.48

2487.98

4975.46

9950.42

Vida esperada de la Estructura

Uno de los primeros pasos que debe seguirse en muchos proyectos de diseño hidrológico, como el diseño de un drenaje, es la determinación del evento o los eventos de lluvia que deben usarse. La forma más común de hacerlo es utilizar una tormenta de diseño o un evento que involucre una relación entre la intensidad de lluvia (o profundidad), la duración, y las frecuencias o periodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. Deberían existir curvas (IDF) estándar desarrolladas por instituciones del gobierno disponibles para el sitio para que su uso sea de forma general, uniforme y oficial. Para construir la curva IDF para diferentes periodos de retorno utilizamos la formula de DYCK PESCHKE para el cálculo de máximas avenidas.  d  Pd  P24h   1440  

0.25

Donde Pd : Precipitación máxima para un periodo de duración d : Periodo de duración (min. 10, 15, 30………., etc) P24h: Precipitación máxima para 24 horas (En este estudio se utilizara el modelo adecuado según las pruebas realizados en los acápites anteriores.




PRECIPITACIONES MAXIMAS PARA DIFERENTES TIEMPOS DE DURACION PARA LA DISTRIBUCION GUMBEL EXTREMO I Periodo de Retorno T(años)

P.MAX.

24

(mm) 25

Periodo de Retorno T(años)

18.567

P.MAX.

5

10

15

30

60

120

180

360

1440

4.507

5.360

5.932

7.054

8.388

9.976

11.040

13.129

18.567

24

PERIODO DE DURACION (min)

horas (mm)

25

PERIODO DE DURACION (min)

horas

18.567


5

10

15

30

60

120

180

360

1440

54.08

32.16

23.73

14.11

8.39

4.99

3.68

2.19

0.77


P r


El coeficiente de escorrentía se considera como el porcentaje de agua que escurre en una lluvia determinada. Los valores típicos del coeficiente de escorrentía para una amplia variedad de condiciones son dados en manuales de diseño y otros libros de referencia., ver tabla siguiente Caracterisitcas de la cuenca EXTREMO

RELIEVE

INFILTRACION

Caracterisiticas de la escorrentia y los correspondientes valores numericos ALTO NORMAL BAJO

Terreno escarpado y empinado con pendientes mayo- Accidentes, con pendiente res que 3 0%. Puntos…….. promedio del 10% al 30% ….…..40 Puntos……..….…..30

Ondulados, con pendientes Terreno Relativamente plapromedio del 5% al 10%. no con promedio del 0% al 5% Puntos……..….…..10 Puntos……..….…..20

sin una capa efectivade suelo superficical terreno rocoso de insignificante capacidad de infiltracion . Puntos……..….…..20

Lento para absorber el agua, arcilla u otro suelo de baja capacidad de infiltracion Puntos……….....…15

Normal, franco prof undo coninfiltracion similar a los suelos tipicos de praderas Puntos……..….…..10

Terreno desnudoo o sin cobertura Puntos.……..…. …..20

Cobertura regular, cultivos regular a buena cerca del limpios (de escarda) o cu50% del area con b uenos bierto natural pobre menos pastizales bosques o equi- Excelente, cerca del 90% del 10% del area bajo buena valentes . No mas del 50% con buenos pastizales boscobertura Puntos………..... cultivos limpios Puntos…….. ques o cobertura equivalen…15 ….…..10 te puntos……..….…..5

Insignificnate depresiones en la superficie poco profundas, desagues pequeños y empinados no hay lagunas o pantanos Puntos……..…. …..20

Normal, considereable almacenamiento en depresioBajo, sistemas bien defini- nes superficiales lagunas y dos de pequeños desagues, pantanos menores del 2% no hay lagunas o pantanos del area Puntos……..…. Puntos……….....…15 …..10

INFILTRACION

ALMACENAMIENTO SUPERFICIAL

Alta, arena u otro suelo que absrbe el agua facil y rapidamente puntos……..…. …..5

alto almacenamiento en depresiones superficiales, sistema de drenaje no bien definidos; muchas lagunas y pantanos puntos……..…. …..5

El coeficiente de escorrentía C es la variable del Método Racional menos susceptible a una precisa determinación y requiere en consecuencia criterio y entendimiento ingeniería. Su uso en la fórmula implica un valor fijo para un área dada. El coeficiente de escorrentía representa los efectos integrados de infiltración, almacenamiento por detención y retención, evaporación, tránsito del flujo e intercepción, los cuales afectan el tiempo de distribución y el valor del escurrimiento.




Frecuentemente es conveniente desarrollar un C compuesto basado en porcentajes de diferentes tipos de superficie en el área de drenaje, que debe calcularse como: C 

 CiAi  Ai

Donde Ci = Coeficiente de Escurrimiento para el área Ai Ai = Área del sector especifico de la cuenca

Es el tiempo empleado por una gota de agua que cae en el punto hidrológicamente más alejado de la cuenca para llegar a la salida de ésta. De Acuerdo a esta definición, el caudal pico Qp en la salida de la cuenca debe alcanzar después de un lapso igual al del tiempo de concentración tc. La obtención de los tiempos de concentración para las microcuencas para el sistema de riego, por los diferentes métodos, ha sido desarrollada empleando los parámetros y procedimientos descritos por las siguientes formulas:

 0 .06628 L0 .77   t c  60   S 0 .385 

Donde: tc = tiempo de concentración( min.) L = longitud del rio desde aguas arriba hasta la salida (km. ) S = pendiente promedio de la cuenca (m/m.)

t c  3.26036

 1.1  C  L0.50 S 0 .333

Donde tc = tiempo de concentración, min. C= coeficiente de escorrentía de método racional ver Tabla L = longitud del flujo superficial, m; S = pendiente de la superficie, %.




Clasificación

Coeficiente de escorrentía C

Zona urbana comercial

0.70 - 0.95

Zona de residencia

0.30 - 0.50

familiar Asfalto / concreto

0.70 - 0.95

Suelo arenoso

0.05 - 0.20

Suelo rocoso

0.13 - 0.35

Pavimento de adoquines

0.70 - 0.85

El valor de i intensidad es igual al tiempo de concentración 3  L  Tc   0.871  H  

0.385

Donde Tc L H

= Tiempo de concentración en horas = Longitud del cauce principal Km. = Desnivel máximo en m TIEMPO DE CONCENTRACION DATOS DE MICROCUENCAS

Cota Superior msnm. Cota Inferior msnm. Longitud (Km) Coeficiente de Escorr. Area Tiempo de Conc. (mim) Area Pendiente (m/km)

SHI NCA

S ECA

S UTO

4600 2750 2.79 0.25 3.405

4800 2750 3.51 0.25 9.431

64

37

43

(ha) 1196.8 406.9

340.5 663.1

943.1 584.0

5140 2650 6.12 0.25 (Km2) 11.968

INTENSIDAD MAXIMA PARA Tc.


MICRO

Intensidad . Max. para T.

CUENCA

de Conc. (mm)

(mm/hr)

SHINCA

8.52

8.01

SECA

7.42

12.13

SUTO

7.71

10.79


HIDROLOGIA

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