Hydraulique

ÉC O L E P O L Y T E C H N I Q U E FÉ DÉR A L E D E L A U S A N N E

Christophe A NCEY

L ABORATOIRE HYDRAULIQUE ENVIRONNEMENTALE (LHE) École Polytechnique Fédérale de Lausanne Ecublens CH-1015 Lausanne

Notes de cours Hydraulique version 3.9 du 4 juillet 2007

2

TABLE DES MATIÈRES

3

Table des matières 1 Écoulements laminaires en charge

7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Écoulement permanent uniforme laminaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Écoulement de Couette

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3

Écoulement de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Écoulements turbulents en charge

13

2.1 Écoulement permanent uniforme lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1

Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

Phénoménologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.3

Zone logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.4

Zone centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.5

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 Écoulement permanent uniforme rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.1

Équations du mouvement ; effet de la rugosité . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.2

Calcul du débit pour des canalisations rugueuses

18

. . . . . . . . . . . .

3 Calcul pratique des pertes de charge 3.1 Dissipation d’énergie dans les conduites en régime établi . . . . . . . . . . . .

21 21

3.1.1

Bilan d’énergie en régime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.2

Bilan d’énergie en régime turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2 Pertes de charge singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.1

Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.2

Principales formules de perte de charge singulière . . . . . . . . . . . .

29

3.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.1

Vidange d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

TABLE DES MATIÈRES

4 4 Écoulement à surface libre

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33

4.1.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.1.2

Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2 Les équations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2.1

Dérivation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2.2

Forme conservative et non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2.3

Forme caractéristique des équations de Saint-Venant . . . . . . . . . .

43

4.2.4

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5 Régime permanent uniforme

51

5.1 Relation d’équilibre pour un régime permanent uniforme . . . . . . . . . . . .

51

5.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.2.1

Loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.2.2

Loi de Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.2.3

Loi de Chézy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.2.4

Loi de Keulegan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.2.5

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.3 Justification physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6 Hauteur normale selon la section d’écoulement

59

6.1 Hauteur normale et courbe de tarage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2 Granulométrie et résistance à l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.3 Limites des relations u ¯(h, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.4 Structure morphologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

7 Régime permanent non-uniforme

65

7.1 Courbes de remous obtenues par les équations de Saint Venant . . . . . . . .

65

7.2 Résolution de l’équation de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

7.2.1

Canaux à faible pente : courbes M1–M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

7.2.2

Canaux à forte pente : courbes S1–S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

7.2.3

Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

8 Courbes de remous et écoulement critique

71

8.1 Hauteur critique et régimes associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

8.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

8.3 Conjugaison d’une courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

8.3.1

Données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

8.3.2

Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

TABLE DES MATIÈRES

5

8.3.3

76

Résolution assistée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Équation de Bernoulli et ses applications 9.1 Charge totale et charge spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81

9.1.1

Débit à charge spécifique constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

9.1.2

Hauteur à charge spécifique constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

9.2 Courbes de remous obtenues par l’équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . .

84

9.3 Effet d’un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

9.3.1

Écoulement sur une topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

9.3.2

Dune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

10 Rupture de barrage écoulements rapidement variés

89

10.1 Rupture de barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

10.1.1 Solution de Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

10.1.2 Solution de Whitham : prise en compte de la rugosité du fond . . . . .

95

10.2 Résolution numérique du problème de rupture de barrage . . . . . . . . . . .

97

10.2.1 Résolution par une méthode lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . .

99

10.2.2 Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.2.3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.3 Écoulements rapidement variés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 11 Phénomènes de propagation dans l’eau

115

11.1 Phénomènes de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 11.1.1 Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 11.1.2 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 11.1.3 Convection-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11.1.4 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.1.5 Onde dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.1.6 Onde cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11.2 Ondes dynamiques : ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 11.2.1 Calcul approximatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 11.2.2 Calcul plus complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11.3 Ondes dynamiques : ondes de choc (mascaret) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11.4 Ondes dynamiques : roll waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.5 Ondes cinématiques : ondes de crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6

TABLE DES MATIÈRES

7

Chapitre 1

Écoulements laminaires en charge 1.1

Introduction

Il faut bien différencier : – les écoulements en charge : le fluide est mouvement parce qu’on applique un gradient de pression ; – les écoulements à surface libre : le fluide est mouvement sous l’effet de l’action de la gravité (en général). Dans une conduite il existe une relation entre la vitesse et la pression, relation qui peut être décrite à l’aide de l’équation de Bernoulli. On introduit la charge : H =z+

p u2 + , %g 2g

avec z la hauteur (énergie potentielle) à l’endroit considéré, p/(%g) la hauteur piézométrique, et u2 /(2g) la hauteur cinétique. Pour un fluide parfait, la charge reste constante. Pour un fluide réel, elle diminue dans la direction de l’écoulement dH < 0. dx Cela traduit la dissipation d’énergie par frottement visqueux. Cette dissipation traduite en termes de charge hydraulique s’appelle la perte de charge.

1.2

Équations du mouvement

1.2.1 Coordonnées cartésiennes On va s’intéresser à des écoulements dans des sections rectangulaires. L’axe des abscisses x est pris selon la direction de l’écoulement alors que l’axe des ordonnées y est perpendiculaire à la surface d’écoulement. Les équations du mouvement sont les équations de NavierStokes sont composées d’une équation de continuité ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(1.1)

CHAPITRE 1. ÉCOULEMENTS LAMINAIRES EN CHARGE

8

et des équations de quantité de mouvement : %

% avec :

∂u ∂u ∂u +u +v ∂t ∂x ∂y

∂v ∂v ∂v +u +v ∂t ∂x ∂y

Txx

= %g sin θ −

∂p ∂Txx ∂Txy + + , ∂x ∂x ∂y

= −%g cos θ −

(1.2)

∂Txy ∂p ∂Tyy + + , ∂y ∂y ∂x

∂u ∂v = 2µ , Tyy = 2µ , et Txy = τ = µ ∂x ∂y

∂u ∂v + ∂y ∂x

(1.3)

.

En se servant de l’équation de continuité, on peut aussi écrire les équations de Navier-Stokes sous la forme d’une équation souvent plus simple à mémoriser (et parfois à résoudre) puis que dans le membre de droite on reconnaît le laplacien de la composante u ou v : %

%

∂u ∂u ∂u +u +v ∂t ∂x ∂y

∂v ∂v ∂v +u +v ∂t ∂x ∂y

= %g sin θ −

∂p ∂ 2 u ∂ 2 u + + 2, ∂x ∂x2 ∂y

= −%g cos θ −

(1.4)

∂p ∂ 2 v ∂2v + 2 + 2. ∂y ∂x ∂y

(1.5)

Ces équations ne sont valables qu’en coordonnées cartésiennes ; le repère est incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontale. Souvent ici θ = 0 (mais pas forcément) ; afin de s’abstraire de ces problèmes, on introduira la pression généralisée : p∗ = p + %gy (pour θ = 0). Les conditions aux limites sont les conditions habituelles d’adhérence et non-pénétration pour les composantes de la vitesse ; à cela s’ajoutent des conditions sur la pression du fluide à l’entrée et à la sortie de la conduite.

1.2.2 Coordonnées cylindriques On va s’intéresser à des écoulements dans des canalisations à base circulaire ; l’axe z correspond à l’axe de la canalisation. En coordonnées cylindriques, le jeu d’équations du mouvement prend une forme plus complexe : %

∂u ∂u +u +v ∂t ∂r

1 ∂u v − r ∂θ r

∂u +w ∂z

%

∂v ∂v +u +v ∂t ∂r

1 ∂v u + r ∂θ r

∂v +w ∂z

%

∂w ∂w v ∂w ∂w +u + +w ∂t ∂r r ∂θ ∂z

∂p∗ =− +µ ∂r

1 ∂p∗ =− +µ r ∂θ

∂p∗ +µ =− ∂z

∂ ∂r

1 ∂ru r ∂r

∂ ∂r

1 ∂ r ∂r

1 ∂ru 1 ∂v ∂w + + = 0. r ∂r r ∂θ ∂z

1 ∂rv r ∂r

∂w r ∂r

1 ∂2u ∂2u 2 ∂v + 2 2 + 2 − 2 r ∂θ ∂z r ∂θ

1 ∂2v ∂2v 2 ∂u + 2 2+ 2+ 2 r ∂θ ∂z r ∂θ

1 ∂2w ∂2w + 2 2 + r ∂θ ∂z 2

,

,

,

1.3. ÉCOULEMENT PERMANENT UNIFORME LAMINAIRE

1.3

9

Écoulement permanent uniforme laminaire

1.3.1 Définitions On introduit les notions suivantes – écoulement de Couette : écoulement entre deux plans horizontaux parallèles. Ici on considère qu’ils sont séparés d’une distance e = 2b et de largeur ` ; – écoulement de Poiseuille : écoulement dans un cylindre à base circulaire. Ici on considère que le rayon est R.

Figure 1.1 : écoulement de Couette dans une canalisation rectangulaire.

Figure 1.2 : écoulement de Couette dans une canalisation circulaire.

– on dit qu’un écoulement est permanent si les dérivées locales par rapport au temps sont nulles. Par exemple pour la vitesse : ∂u = 0. ∂t on dit que l’écoulement est uniforme dans la direction d’écoulement x s’il n’y a pas de variation de la vitesse de l’écoulement dans cette direction. Par exemple pour la vitesse, cela entraîne : ∂u = 0. ∂x Un écoulement permanent uniforme est parfois aussi écoulement pleinement développé ou établi.

1.3.2 Écoulement de Couette Les équations du mouvement se réduisent à : µ

∂2u 1 ∂p = , 2 ∂y % ∂x

(1.6)


10

0=

1 ∂p , % ∂y

(1.7)

On a placé le terme de gravité avec le terme de pression. Ici p désigne la pression généralisée.

Figure 1.3 : écoulement laminaire de Couette.

On déduit par intégration le profil de vitesse (parabolique) : 1 ∂p u= y(y − 2b), 2µ ∂x et le débit : 2 `b3 q=− 3 µ

∂p ∂x

.

La vitesse moyenne appelée encore vitesse débitante est : q b2 ∂p u ¯= , =− 2`b 3µ ∂x Le profil de contrainte de cisaillement est linéaire puisque du ∂p (y − b). τ (y) = µγ˙ = µ = dy ∂x Si l’on introduit la la contrainte pariétale ∂u ∂p τp = µ = −b , ∂y y=0 ∂x on peut également écrire :

La puissance dissipée s’écrit

y . τ = τp 1 − 2b Φ=

Z

2b

τ γdy, ˙ 0

avec γ˙ = du/dy le taux de cisaillement ; or par intégration par partie on tire : Φ=

[τ u]e0

−

Z

2b 0

dτ udy, dy

(1.8)

1.3. ÉCOULEMENT PERMANENT UNIFORME LAMINAIRE

11

où l’on voit que le premier terme du membre de droite est nul (condition d’adhérence) et le second peut s’écrire : Z 2b Z 2b dτ udy = −τp udy = −τp u ¯. dy 0 0 On en conclut que la dissipation d’énergie s’écrit

Φ = τp u ¯, soit encore

b3 Φ= 3µ

ce qui peut encore se changer en

∂p ∂x

2

,

3µ 2 u ¯ , b en remplaçant le gradient de pression par la vitesse moyenne. On note donc que la dissipation est linéairement dépendante de la viscosité, mais dépend du carré de la vitesse moyenne. Φ=

1.3.3 Écoulement de Poiseuille Les équations sont un peu plus compliquées, mais la méthode identique. On trouve π D4 q=− 128 µ

∂p ∂z

.

(1.9)

C’est la formule dite de Poiseuille qui permet de relier gradient de pression et débit dans une conduite circulaire en régime laminaire. La contrainte pariétale est : R τp = − 2 Démonstration à faire en exercices.

∂p ∂z

.

12


13

Chapitre 2

Écoulements turbulents en charge 2.1

Écoulement permanent uniforme lisse

2.1.1 Équations du mouvement On rappelle qu’en turbulence, on peut obtenir un jeu d’équations dites moyennées en faisant la décomposition de Reynolds : u = hui + u0 , avec u0 la fluctuation de vitesse et hui la vitesse moyennée (dans le temps). Le jeu d’équations (outre l’équation de continuité) à résoudre est : ∂hui % + hui∇hui = −∇hp∗ i + ∇ · hTi − %∇ · hu0 u0 i, ∂t

(2.1)

avec u le champ de vitesse instantanée (u, v, w les composantes dans un repère cartésien), hTi le tenseur des contraintes visqueuses : hTi = 2µhDi avec hDi le tenseur des taux moyens de déformation hDi = (∇hui + ∇hui† )/2. Simplifications pour la suite du calcul :

– Le tenseur de Reynolds −%∇ · hu0 u0 i est remplacé par une équation de fermeture algébrique de type longueur de mélange proposée par Prandtl (voir § 5.5.3 du cours de mécanique des fluides) avec − %∇ · hu0 u0 i = µt ∇ · hDi,

(2.2)

avec µt la viscosité turbulente (ce n’est pas une constante, mais une fonction de du/dy ou de u) et D le tenseur des taux moyens de déformation. Ce modèle est parfois dit pseudo-laminaire car il est très proche structurellement du modèle newtonien. – Le tenseur des contraintes visqueuses est toujours : hTi = 2µhDi. Notons qu’il existe des modèles de turbulence qui sont bien moins rudimentaires que le modèle empirique de longueur de mélange. Une meilleure précision et une plus grande généralité peuvent être obtenues en considérant des équations différentielles supplémentaires. Un modèle énergétique comme le modèle k − ` revient à faire l’hypothèse d’une viscosité turbulente définie comme √ νt = ` k,

CHAPITRE 2. ÉCOULEMENTS TURBULENTS EN CHARGE

14

avec k l’énergie cinétique turbulente 1 k=

1 hu02 i + hv 02 i + hw02 i , 2

qui représente l’énergie cinétique de la turbulence. Pour s’en convaincre, il suffit de calculer la moyenne de l’énergie cinétique instantanée : 2 1 1 1 ρhu2 i = ρh hui + u0 i = ρhui2 + ρk. 2 2 2

k est déterminé en résolvant une équation supplémentaire dite de conservation de l’énergie cinétique turbulente (non reportée dans ce cours), qui s’obtient à partir de l’équation quantité de mouvement de Navier-Stokes en la multipliant par u0 , puis en la moyennant. Cette équation n’est pas « fermée », c’est-à-dire il faut encore des hypothèses supplémentaires pour la résoudre. Un autre modèle populaire est le modèle k − , selon lequel νt = Cµ k 2 / avec = νh∇u0 : ∇u0 i la dissipation turbulente et Cµ une constante. Ces modèles de turbulence sont couramment implémentés dans les codes de calcul industriel de type FLUENT.

2.1.2 Phénoménologie Il faut distinguer les parois lisses et les parois rugueuses. En effet, la présence de rugosité : – modifie fortement la turbulence près de la paroi ; – pose le problème de la définition de la localisation du point origine y = 0. On montre que la solution comporte trois parties différentes traduisant un effet spécifique de la turbulence : – Très près de la paroi, la vitesse est très faible, donc le nombre de Reynolds local Re = uy/ν est petit : Re → 0 ; l’écoulement est localement laminaire. On parle de souscouche visqueuse. Le jeu d’équations à résoudre est le même que précédemment. Au premier ordre, on peut mettre la solution sous forme : u = u∗ ξ , avec u∗ la vitesse de frottement, appelée encore vitesse de cisaillement : r τp u∗ , et ξ = y u∗ = % ν La vitesse de frottement est la traduction de la contrainte pariétale en termes de vitesse alors que ξ est une ordonnée « sans dimension ». Expérimentalement on observe que la sous-couche visqueuse s’étend sur 0 < ξ < 3. Preuve. L’équation (1.3.2) montre que la vitesse s’écrit : 1 ∂p u= y(y − 2b), 2µ ∂x donc au premier ordre en y, on a : 1 u≈ 2µ

∂p ∂x

y(−2b) =

1 τp y. µ

On pose u2∗ = τp /% et y = µξ/(%u∗ ) et on retrouve la formulation précédente. u t 1. Notons que l’appellation est un peu trompeuse car il s’agit d’une énergie cinétique par unité de masse, ρ n’intervenant pas dans la définition de k.

2.1. ÉCOULEMENT PERMANENT UNIFORME LISSE

15

– Au fur et à mesure qu’on s’éloigne, Re croît, l’écoulement devient turbulent. La turbulence est influencée fortement par la paroi (fort cisaillement de vitesse). On va montrer que le profil de vitesse est logarithmique. On parle de zone logarithmique. Cette loi est valable pour 25 < ξ < 500 avec la contrainte supplémentaire y/b < 0,2 (il n’y a pas un strict recouvrement avec la zone visqueuse). Note : Pour 3 < ξ < 25, il s’agit d’une zone de transition, la vitesse se calcule de façon numérique (pas d’approximation analytique). – Loin des parois, l’influence des parois est moindre. La turbulence est à peu près homogène. On parle de zone centrale. Cette zone s’étend à partir de y/b > 0,2. Les deux premières sous-couches forment la couche interne, entièrement dominée par la paroi, de la couche-limite. Le reste s’appelle la couche externe ; cette notion n’ a ici pas beaucoup de sens car la zone centrale correspond à la rencontre des deux couches limites.

Figure 2.1 : structuration de l’écoulement en sous-couches.

2.1.3 Zone logarithmique On intègre l’équation (2.1) en ne considérant que la projection de Navier-Stokes sur x. En régime pleinement établi, on part de l’équilibre entre le terme de divergence des contraintes %∇ · hu0 u0 i (dissipation visqueux) et le gradient de pression motrice : ∂ ∂hui ∂hp∗ i µt = , ∂y ∂y ∂x où l’on a négligé le frottement visqueux et employé un modèle de fermeture de type longueur de mélange (2.2). On tire µt

∂hp∗ i ∂hui = y + c, ∂y ∂x

où c est une constante. En négligeant la sous-couche visqueuse, on peut relier le taux de cisaillement moyen et la contrainte pariétale : en y = 0, νt ∂hui ∂y = τp /% (définition de la contrainte de cisaillement), avec νt = µt /ρ la viscosité cinématique turbulente. On déduit : νt

τp 1 ∂hp∗ i ∂hui = y+ , ∂y % ∂x %


16

Figure 2.2 : profil de vitesse à la paroi. Données expérimentales.

Très près de la paroi, on peut négliger le terme linéaire qui est très grand, soit au premier ordre : νt

1 ∂p % ∂x y

devant le terme de frottement

τp ∂hui ≈ . ∂y %

La loi de fermeture est ici : νt = (κy)2 du/dy, soit r τp 1 dhui = . dy % κy Soit

hui =

r

τp 1 u∗ ln y + c = ln y + c. %κ κ

La constante d’intégration c est calculée pour qu’il y ait accord avec la couche laminaire. hui = 2,5 ln ξ + 5,5, u∗ car 1/κ ≈ 2,5. C’est le profil de vitesse logarithmique (valable pour 25 < ξ < 500), que l’on retrouve assez fréquemment en régime turbulent près d’une paroi.

2.1.4 Zone centrale Dans la zone centrale, il y a moins de cisaillement. La loi ad hoc de fermeture employée pour la paroi n’est plus valable, on emploie : νt = 0,080bu∗

2.1. ÉCOULEMENT PERMANENT UNIFORME LISSE

17

(saturation de la viscosité turbulente). Il faut intégrer les équations de Navier-Stokes turbulentes (en remplaçant ν par νt ) pour la zone centrale et ajuster la constante d’intégration pour qu’il y ait continuité avec la zone logarithmique. On note um la vitesse maximale atteinte en y = b (symétrie du problème). On montre que : um = 2,5 ln ξr + 5,5, u∗ avec ξr l’ordonnée de la transition zone centrale/logarithmique. Le profil de vitesse s’écrit finalement dans la zone centrale um − hui(y) y 2 , = 6,3 1 − u∗ b pour 0,2 < y < 1,8b.

2.1.5 Synthèse On peut sommer les différentes contributions. La contribution de la sous-couche visqueuse est négligeable. Finalement le débit s’écrit : bu∗ + 3,21 , q = 2`bu∗ 2,5 ln ν et la vitesse de frottement u∗ =

r

τp = %

b ∂p 1/2 − . % ∂x

Comme pour l’écoulement laminaire, la contrainte pariétale s’écrit : ∂p τp = −b . ∂x Cette propriété importante interviendra dans le calcul des pertes de charge. En effet, la dissipation s’écrit : bu∗ ∂p Φ = τp u ¯ = b u∗ 2,5 ln + 3,21 ∂x ν soit encore en remplaçant le gradient de pression bu∗ 3 Φ = %u∗ 2,5 ln + 3,21 . ν Si l’on compare au régime laminaire, la dissipation d’énergie ne dépend plus de la viscosité et devient une fonction assez complexe de la vitesse de cisaillement u∗ (ou bien de la vitesse moyenne u ¯, calcul que nous ne reportons pas ici). Remarque : écoulement de Poiseuille Pour un écoulement de Poiseuille, le raisonnement est identique et on aboutit à la formule du débit : Ru∗ 2 q = πR u∗ 2,5 ln + 2,04 , ν

et à la vitesse de frottement

u∗ =

r

τp = %

R ∂p −1/2 − . 2% ∂z


18

2.2

Écoulement permanent uniforme rugueux

2.2.1 Équations du mouvement ; effet de la rugosité Les équations sont les mêmes que précédemment, mais il se pose le problème de définir où se situe y = 0. Expérimentalement cela correspond à l’ordonnée où u = 0. Il existe une relation empirique entre la taille caractéristique des rugosités ks et l’incrément δ de la longueur de mélange dans la loi de fermeture : `m = κ(y + δ) (rappelons νt = `2m du/dy) : δ=

0,036ks 0

pour ks > 3,1ν/u∗ → rugueux pour ks < 3,1ν/u∗ → lisse

On introduit également une sorte de nombre de Reynolds lié à la rugosité ks+ =

ks u∗ ν

pour séparer le régime turbulent rugueux du régime lisse. La taille caractéristique de la rugosité peut également être définie comme la moyenne q 2 quadratique ks = ys (x) où ys (x) est le profil de la surface par rapport au plan moyen 2 . En pratique, comme un état de surface reste difficile à réaliser simplement, on introduit la notion de « rugosité équivalente de sable », c’est-à-dire le diamètre de grains de sable (de même taille) uniformément répartis sur une surface parfaitement lisse et qui produiraient une perte de charge équivalente à celle causée par la rugosité d’une conduite industrielle. Le problème de l’échelle rugosité est surtout délicat dans le domaine de transition 3 < ks+ < 70 car il est alors vraisemblable qu’il faille plusieurs échelles de longueur pour décrire l’état de surface de la conduite ; les formules empiriques peuvent être imprécises dans ce domaine de transition.

Figure 2.3 : micro-rugosité des parois.

2.2.2 Calcul du débit pour des canalisations rugueuses La présence d’une rugosité a pour effet d’augmenter la turbulence de paroi (d’où l’effet sur la longueur de mélange). La conséquence directe est une modification de la vitesse dans 2. On a donc ys (x) = 0

2.2. ÉCOULEMENT PERMANENT UNIFORME RUGUEUX

19

la zone logarithmique : hui y = 2,5 ln + 8,34. u∗ ks En revanche, il n’y a pas de modification du profil de vitesse dans la zone centrale. Le débit s’écrit alors pour une canalisation plane rectangulaire (Couette) : b q = 2`bu∗ 2,5 ln + 6,04 , ks et pour un écoulement dans un conduit circulaire (Poiseuille) : 2

q = πR u∗

R + 4,87 . 2,5 ln ks

20


21

Chapitre 3

Calcul pratique des pertes de charge 3.1

Dissipation d’énergie dans les conduites en régime établi

Jusqu’à présent, on a supposé qu’on appliquait un gradient de pression et on calculait le débit résultant à travers une section de géométrie connue. En pratique, on a rarement besoin d’un tel niveau de calcul et on se contente de formules approchées. Ces formules sont fondées sur l’utilisation du théorème de Bernoulli et la notion de coefficient de frottement.

3.1.1 Bilan d’énergie en régime laminaire Bilan d’énergie dans une conduite longue On a vu que l’équation de Bernoulli généralisée en régime permanent et appliquée sur S un volume de contrôle V (de frontière C S) s’écrit : Z Z Z %|u|2 − + p dS = u·n n · (u · T)dS T : DdV, 2 S S V {z } {z } | | {z } | flux d’énergie

puissance dissipée à la frontière

Φ, puissance dissipée dans le volume

où nous rappelons que p est ici la pression généralisée. La condition d’adhérence à la paroi fait que le membre de gauche et le premier terme du membre de droite sont nul le long de la surface C composant la conduite. On s’intéresse à des écoulements établis dans des conduits assez longs, ce qui implique : – la longueur de la canalisation (cylindrique) L est bien plus grande que la longueur d’établissement Le 0,06Re pour un régime laminaire, = 1/4 0,63Re pour un régime turbulent , D avec Re = u ¯D/ν le nombre de Reynolds de l’écoulement, D le diamètre de la conduite, u ¯ la vitesse débitante (ou vitesse moyenne). – la section ne change pas avec x ; – l’écoulement est établi : ∂u/∂x = 0 ; – la composante selon y (r en coordonnées cylindriques) de la vitesse est nulle : u = (u, 0, 0). La pression généralisée est considérée comme constante dans une section droite.

CHAPITRE 3. CALCUL PRATIQUE DES PERTES DE CHARGE

22

Figure 3.1 : volume de contrôle pour une conduite.

Si S1 et S2 sont l’entrée et la sortie de la conduite, alors on peut simplifier l’équation −

Z

S1

Z 2 Z %u2 %u ΦdV, + p udS + + p udS = − 2 2 S2 V

R avec Φ = T : D la fonction de dissipation interne. En effet, la puissance dissipée S n·(uT)dS aux frontières S est globalement nulle si le débit est constant. La constance de la pression sur une section et l’invariance du débit q (volumique) amènent – après avoir divisé par q – à l’équation de conservation de la charge : p1 − p2 =

% 2q

Z

u3 dS − {z | S2 0

Z 1 ΦdV. u3 dS + q V S1 }

Z

Dans une conduite en régime établi, la différence de pression motrice équivaut à la dissipation d’énergie (aux pertes de charge). Les pertes de charge Les termes sont homogènes à des pressions. On peut les rendre aussi homogènes à des hauteurs en divisant par %g : c’est la pratique courante en hydraulique. On introduit quelques grandeurs : R – puissance totale dissipée par frottement (visqueux) : Pµ = V ΦdV [W] (Watt) ; – charge hydraulique en [Pa] (1 Pa=1 N/m2 = 1 J/m3 ) : X =p+

% 2q

Z

u3 dS,

S

ou bien en [m] (usage en hydraulique) p 1 H= + %g 2qg

Z

S

u3 dS,

3.1. DISSIPATION D’ÉNERGIE DANS LES CONDUITES EN RÉGIME ÉTABLI

23

L’équation de conservation de la charge s’écrit (alors avec ces notations) sous la forme abrégée : 1 Pµ . H1 = H2 + %g q La quantité ∆H =

1 Pµ %g q

s’appelle la perte de charge. Elle est exprimée ici en [m] ou parfois en [mCE] « mètres de colonne d’eau ». Pour retrouver l’énergie totale dissipée, il suffit de calculer : Pµ = %g∆Hq. On introduit aussi la perte de charge unitaire [m/ml], c’est-à-dire la variation de perte de charge par longueur de canalisation L. On écrit ainsi : dH ∆H p1 − p2 ∂p = = =− . dx L L ∂x

(3.1)

Pertes de charge et coefficient de frottement Il faut maintenant relier la pression aux frottements aux parois. Si le régime est établi, on montre simplement à partir de l’équation de conservation de la quantité de mouvement : Z Z Z T · ndS, (u · n)udS = − pndS + A

S

S

que l’on a : ∂p p2 − p1 1 − =− = ∂x L V

Z

τp dS = A

A 1 τ¯p = τ¯p , V L

(3.2)

avec V = S × L le volume de fluide compris entre les sections S1 et S2 (entrée et sortie de la conduite) ; A est la surface du tube C entre les sections S1 et S2 . τ¯p est la valeur moyenne de la pression sur cette surface. La longueur L vérifie L=

V section × L Dh = = A périmètre × L 4

et sera le plus souvent introduite sous la forme d’un diamètre hydraulique Dh . Il s’agit de la dimension caractéristique de la canalisation. Pour : – une conduite circulaire : Dh = 2R, – une conduite rectangulaire : Dh = 4

`b . ` + 2b

À noter quand b `, Dh ≈ b.

Attention le nombre de Reynolds de l’écoulement (à ne pas confondre avec un nombre de Reynolds local) est défini avec le diamètre hydraulique : Re = avec u ¯ la vitesse débitante.

u ¯ Dh , ν

24


Enfin, il reste à relier la contrainte à la paroi à une vitesse ; par convention et usage, c’est la vitesse débitante u ¯ qui sert de vitesse caractéristique. Pour cela on introduit un coefficient de frottement Cf sous la forme : 1 τ¯ = Cf %¯ u2 . 2 ♣ Exemple. – Par exemple en combinant l’équation du débit pour une conduite rectangulaire 2 `b3 ∂p q=− , 3 µ ∂x

avec la relation donnant la contrainte pariétale : τ = −b on tire : τp = 3µ¯ u/b, soit :

∂p , ∂x

Cf =

24 . Re

Cf =

16 . Re

Pour une conduite circulaire, on a : u t

Calcul en pratique des pertes en ligne en régime laminaire Un problème courant est : connaissant les caractéristiques de la canalisation et le débit, quelle est la perte de charge en ligne (ou unitaire)? Dans le cas général, pour une canalisation de longueur L, on obtient en combinant les équations (3.1–3.2) : 4Cf u τp dH ∆H ¯2 − =− = = [m/m], dx L %gL Dh 2g ∆H = f

L u ¯2 [m], Dh 2g

(3.3)

avec f = 4Cf le coefficient de perte de charge en ligne 1 . Ainsi on pose pour une conduite circulaire : 64 f= , Re qui donne la droite à gauche dans le diagramme de Moody (voir figure 3.2). Notez que dH/dx est homogène à une pente et pour cette raison, est parfois pente d’énergie.

Notons qu’en général, on considère que la rugosité de la conduite ne joue pas de rôle pour les écoulements laminaires : en régime laminaire, la perte de charge est indépendante de la rugosité. Cela n’est toutefois vrai que pour des conduites industrielles classiques où les aspérités sont aléatoirement réparties et de petite taille. Il est possible pour certaines conduites spécialement usinées d’obtenir une diminution des pertes de charge en régime laminaire. On parle d’effet de peau de requin (shark skin effect) de façon générale pour décrire ce type de phénomène que le régime soit turbulent ou laminaire ; les mécanismes sont néanmoins différents car dans le cas laminaire, la réduction de perte de charge est obtenue 1. On trouve aussi la notation Λ = 4Cf = f dans certains ouvrages.


25

en créant des zones de recirculation entre les aspérités de telle sorte que le fluide a tendance à glisser le long des parois. En régime laminaire, cette diminution de frottement obtenue par usinage des parois est relativement faible (de l’ordre de 1 %), alors qu’en régime turbulent, des diminutions de plus de 10 % peuvent être réalisées.

3.1.2 Bilan d’énergie en régime turbulent Perte de charge en régime turbulent On peut établir une équation de Bernoulli valable pour le régime turbulent ; la principale différence avec le régime laminaire est que l’équation n’est valable que pour les valeurs moyennes de vitesse et que la fonction de dissipation Φ est nettement plus complexe car il faut tenir compte des fluctuations de vitesse comme mécanisme supplémentaire d’énergie. En multipliant par la vitesse moyenne hui l’équation de conservation de la quantité de mouvement ∂hui + hui∇hui = −∇hp∗ i + ∇ · hTi − %∇ · hu0 u0 i, % ∂t avec p∗ la pression généralisée, on tire l’équation généralisée de Bernoulli. En régime permanent, cette équation s’écrit : Z Z Z %|hui|2 0 0 hui · n ΦdV, + hp∗ i dS = hui · ([2µhDi − %hu u i] · n)dS − 2 S V S avec Φ = [2µhDi − %hu0 u0 i] : hDi la fonction de dissipation interne. Il y a peu de différences, du point de vue de la structure de l’équation, avec l’équation de Bernoulli pour le cas laminaire. Comme précédemment, on utilise les mêmes hypothèses et on introduit : – la charge hydraulique : 1 H= %gq

Z

S

hui · n

Z %|hui|2 1 %|h¯ ui|2 + hp∗ i dS = + hp∗ i dS u ¯ 2 %gq S 2

– la puissance dissipée : Pµ =

Z

S

hui · ([2µhDi − %hu0 u0 i] · n)dS −

Z

ΦdV.

V

L’équation de Bernoulli s’écrit alors sous la forme simple : ∆H = H1 − H2 =

1 Pµ ∝ q n , %gq

avec n ≈ 1,75 pour une conduite lisse et n = 2 pour une conduite rugueuse (corrélation expérimentale). La relation de conservation de la quantité de mouvement donne : −

dH 1 ∂hp∗ i 1 dPµ =− = cte = . dx %g ∂x %gq dx

Comme pour le cas laminaire, on introduit une contrainte pariétale sous la forme : τ¯p = −L

∂hp∗ i dH = −%gL , ∂x dx


26

avec L = Dh /R la longueur caractéristique de la conduite (introduite pour le cas laminaire). La relation entre perte de charge et coefficient de frottement s’écrit comme pour le cas laminaire [voir équation (3.3)] : ∆H = 4Cf

¯2 ¯2 L u L u =f , Dh 2g Dh 2g

avec u ¯ la vitesse débitante et 4Cf = f,

le coefficient de frottement. Notons qu’en régime turbulent, on préfère relier le débit à la vitesse de frottement u∗ (plutôt qu’au gradient de vitesse comme en laminaire). Notons qu’on a: u 2 τp 1 ∗ Cf = 2 = , 2 %¯ u u ¯ ou souvent (par usage) u ¯ 1 1 p = =p . u Cf /2 f /8 ∗ Calcul pratique de f en régime turbulent

Expérimentalement, on observe que pour les écoulements turbulents, f dépend – uniquement du nombre de Reynolds Re si la conduite est lisse (ou hydrauliquement lisse) ; – uniquement de la rugosité relative ks /R ou ks /b si la conduite est rugueuse (ou hydrauliquement rugueuse) ; – à la fois de Re et ks dans le régime de transition lisse/rugueux. La séparation entre régime lisse et rugueux se fait à l’aide du nombre sans dimension ks+ = ks u∗ /ν (voir § 2.2.1). Pour les conduites circulaires industrielles, on introduit souvent la distinction suivante : le régime est lisse si ks+ < 5. Il est (pleinement) rugueux si ks+ > 70 ; la viscosité n’est alors plus importante, ce qui explique que f devienne indépendant du nombre de Reynolds. On parle de régime rugueux transitionnel lorsque 5 < ks+ < 70. Il existe trois stratégies classiques pour calculer f : – on utilise une formule de type Nikuradse en supposant que le régime est turbulent lisse ou turbulent rugueux, puis on vérifie l’hypothèse de départ ; – on utilise une formule de type Colebrook, qui est valable pour une large gamme d’écoulements (lisses et rugueux) ; – on se sert de l’abaque de Moody. Méthode 1 : formulation à la Nikuradse Le tableau 3.1 récapitule les formules de Nikuradse 2 . Ce sont des équations implicites en Cf ou f , qui dépendent du régime turbulent (lisse ou rugueux) et de la géométrie de la conduite. Ces formules ne sont pas démontrées ici, mais peuvent être obtenues à partir des équations vues précédemment. 2. Johann Nikuradse (1894–1979) était un mécanicien des fluides allemand. Il était originaire de Géorgie (Russie), mais fit son doctorat en Allemagne sous la direction de Prandtl au Kaiser-Wilhelm Institut à Göttingen. On lui doit principalement les formules qui portent son nom et qui décrivent les écoulements turbulents rugueux/lisses dans une conduite. Il introduit aussi la notion de rugosité effective ks . À cause de ses acquaintances avec le régime nazi, sa réputation a été fortement ternie après la Seconde guerre mondiale.


27

Tableau 3.1 : coefficient de frottement selon le régime turbulent et la géométrie de la conduite.

lisse rugueux

rectangulaire q 1 p = 2,5 ln Re Cf /2 − 0,25 Cf /2 1 b p + 6,04 = 2,5 ln ks Cf /2

circulaire q 1 p = 2,5 ln Re Cf /2 + 0,31 Cf /2 1 R p + 4,87 = 2,5 ln ks Cf /2

En pratique : – on fait l’hypothèse que l’écoulement est hydrauliquement lisse ou rugueux ; – on calcule f en fonction du type de régime (lisse ou rugueux) et des données du problèmes (nombre de Reynolds, caractéristiques géométriques de la conduite, rugosité) ; p – on calcule la vitesse de frottement u∗ = u ¯ f /8, puis le nombre de Reynolds associé à la rugosité ks+ = u∗ ks /ν, et enfin on vérifie la pertinence de l’hypothèse initiale. Notons que les formules telles que celles de Nikuradse ne sont valables que pour les régimes asymptotiques : turbulence lisse ks+ < 3 − 5 et turbulence rugueuse ks+ > 70.

Notons qu’aujourd’hui, il existe des formules plus précises que les formules établies par Nikuradse. Ainsi, la formule de McKeon (2005) permet de calculer le coefficient de frottement avec une précision inférieure à 1,25 % p 1 √ = 0,83 ln(Re f ) − 0,537, f

qui valable pour 31 × 103 ≤ Re ≤ 35 × 106

Méthode 2 : formulation à la Colebrook Pour les conduites circulaires, on peut utiliser la formule de Colebrook 3 (1939) valable quelle que soit la rugosité (pour Re > 2300) : ! 1 ks 0,887 p p , = −2,56 ln 0,27 + 2R Re Cf /2 Cf /2 ou encore

2,51 1 ks √ = −0,91 ln 0,27 +√ . 2R f f Re

Cette formule a l’avantage de donner un résultat relativement précis sans se soucier de la nature du régime turbulent (lisse/rugueux), mais la précision peut être faible pour le régime transitionnel 5 < ks+ < 70. Méthode 3 : abaque de Moody-Stanton On peut également utiliser les données expérimentales synthétisées dans le diagramme de Moody-Stanton (1944) valable pour les conduites industrielles.

3. Cyril Colebrook (1910–1997) était un ingénieur hydraulicien anglais. Il fit toute sa carrière dans le cabinet Binnie and Partners à Londres. Son nom est associé à la formule de Colebrook ou Colebrook-White pour calculer le coefficient de frottement pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse.


Figure 3.2 : diagramme de Moody.

28

3.2. PERTES DE CHARGE SINGULIÈRES

3.2

29

Pertes de charge singulières

3.2.1 Problématique Les pertes de charge singulières traduisent les pertes d’énergie au niveau d’un changement rapide dans une conduite (changement de section, arrivée dans un réservoir, etc.). Une singularité induit à la fois une dissipation locale d’énergie, mais également une modification de l’écoulement à l’amont et à l’aval de la singularité (modification des lignes de courant). Les résultats suivant ne sont pertinents que pour des singularités suivies et/ou précédées de canalisations suffisamment longues (40–50 diamètres de conduite) ou bien d’un réservoir de grandes dimensions. Les pertes de charge singulières sont introduites sous la forme : ∆Hs = ζ

u ¯2 [m], 2g

avec ζ le coefficient de perte de charge singulière. Le problème est de savoir dans quelle section il faut prendre la vitesse débitante. On se souviendra qu’une perte de charge est une perte d’énergie.

Figure 3.3 : exemple de perte de charge singulière : élargissement brusque.

3.2.2 Principales formules de perte de charge singulière On ne donne ici que les formules pour des tubes cylindriques : – élargissement brutal : ∆Hs = ζ

u ¯21 [m], 2g

2 S2 avec ζ = 2 − 83 SS12 + 32 S12 si l’écoulement est laminaire et ζ = 1 − SS21 pour un écou2 lement turbulent (profil de vitesse uniforme). On emploie S1 pour la section amont et S2 pour l’aval. L’entrée d’un réservoir se déduit en prenant S2 → ∞. – rétrécissement brutal : u ¯2 ∆Hs = ζ 2 [m], 2g avec

ζ = 1−

1 0,59 + 0,41(S2 /S1 )3

2

30

CHAPITRE 3. CALCUL PRATIQUE DES PERTES DE CHARGE pour un écoulement turbulent. Pour l’entrée dans une canalisation on prendra ζ = 0,5 ; c’est la formule de Borda 4 pour une canalisation à bord vif. – Changement de direction : au niveau du coude (changement de direction θ exprimé en degrés, avec un rayon de courbure Rc ), il y a une perte de charge donnée par la formule de Weissbach 5 7/2 ! θ R 0,13 + 1,85 ζ= , 90 Rc avec R le rayon de la conduite. Pour un coude sans rayon de courbure, on peut employer la variante suivante : θ θ ζ = sin2 + 2 sin4 . 2 2 Pour un coude à angle vif (Rc → 0) d’angle 90°, on peut prendre ζ = 1,3.

4. Jean-Charles Borda (1733–1799) aurait pu être un héros de roman. Tour à tour, magistrat, officier dans l’armée française, puis la marine royale, il devint directeur de l’École Navale. Il s’intéressa à divers problèmes de mécanique des fluides ayant trait aux applications militaires : résistance de l’air sur un projectile, résistance de l’eau sur une coque, écoulement à travers des orifices, la roue à aube, etc. 5. Julius Weisbach (1806–1871) était un professeur allemand de mathématiques appliquées et de mécanique à l’université de Freiberg. Il a également mené un grand nombre d’expériences pour déterminer les pertes de charge singulières pour diverses configurations. Son nom est également associé à la formule de Darcy-Weissbach pour les pertes de charge régulières.

3.3. APPLICATION

3.3

31

Application

3.3.1 Vidange d’un barrage On considère une conduite de vidange d’un barrage de hauteur (d’eau) h0 . La conduite est lisse et de diamètre D. Sa longueur totale est L. La chute de dénivellation est notée h1 . On cherche à calculer le débit à la sortie de la conduite.

Figure 3.4 : écoulement en charge dans un conduit de vidange d’une retenue.

Pour cela on applique le théorème de Bernoulli entre O et B : H0 = HB + ∆H, où la perte de charge ∆H comprend à la fois : – les pertes de charge réparties ∆Hr =

u ¯2 f L, 2g D

– les pertes de charge singulières dues à l’entrée dans la canalisation en O et le coude en A: u ¯2 ∆Hs = (ζA + ζ0 ) . 2g En détaillant, on a en O : H O = zO +

u ¯2 p0 u ¯2 + = h1 + + h0 , 2g ρg 2g

tandis qu’en B on a : H B = zB +

u ¯2 u ¯ 2 pB + = . 2g ρg 2g

On en déduit que la vitesse moyenne est solution de l’équation : u ¯2 u ¯2 u ¯2 f h1 + + h0 = + L + ζA + ζ0 . 2g 2g 2g D On déduit facilement que : u ¯=

2g(h0 + h1 ) f DL

+ ζA + ζ0

!1/2

.


32

Le débit est simplement Q = S u ¯, avec S = πD2 /4. Si les coefficients de perte de charge sont des constantes, cette équation se calcule très simplement. Si le coefficient de frottement f est fonction du nombre de Reynolds, il faut résoudre une équation non linéaire ou bien procéder par tâtonnement. Application numérique On prend D = 1 m, L = 1000 m, ks /D = 10−5 , h0 = 10 m, et h1 = 10 m. On emploie la formule de Colebrook 2,51 k 1 √ = −0,91 ln 0,27 s + √ . 2R f f Re

On a vu par ailleurs : ζ0 = 0,5 et ζA = 1,3. En programmant avec Mathematica, on trouve que la vitesse vaut 6,1 m, soit un débit de 4,8 m3 /s.

d = 1; L = 1000; = 10^(-6); ks= d/10^5; g = 9.81; h0 = h1= 10; vit = Sqrt[(h0+ h1)*2*g] FindRoot[ {u== ((2 g (h0 + h1))/((f/d) L + 0.5 + 1.3))^(1/2), 1/Sqrt[f] == -0.91 Log[0.27 (ks/d) + 2.51/(Sqrt[f]*Rey)], Rey == u (d/ )}, {{u, vit}, {f, 0.01}, {Rey, vit (d/ )}}] Out[72]= Out[73]= In[1]:=

19.8091 u

6.14456, f

0.00859314, Rey

6.14456 106

? FindRoot FindRoot lhs rhs, x, x0 searches for a numerical solution to the equation lhs x, x0 , y, y0 , ... rhs, starting with x x0. FindRoot eqn1, eqn2, ... , searches for a numerical solution to the simultaneous equations eqni.

Figure 3.5 : exemple de résolution de calcul de f et de u ¯ avec un logiciel de calcul.

33

Chapitre 4

Écoulement à surface libre 4.1

Introduction

4.1.1 Généralités L’hydraulique à surface libre se distingue de l’hydraulique en charge par l’existence d’une surface libre, c’est-à-dire d’une surface où l’écoulement est en contact direct avec l’atmosphère 1 : le gradient de pression ne peut plus être le moteur de l’écoulement, c’est la gravité qui devient l’agent moteur. Le domaine d’application est large : – – – –

cours d’eau : rivières, fleuves, etc. ; canaux de navigation, d’irrigation, etc. ; systèmes d’évacuation : réseaux d’assainissement pluvial ; aménagements : retenues d’eau, usines de production d’électricité, ports, etc.

Une caractéristique de la plupart de ces écoulements : une hauteur d’écoulement petite par rapport à la longueur d’écoulement. On parle d’écoulement filaire.

4.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations – bief : tronçon homogène en termes de pente moyenne et de section d’écoulement (on emploie parfois aussi le mot bisse, notamment dans le Valais) ; – type de cours d’eau : une distinction des cours d’eau en fonction de la pente i : – i < 3 % on parle de rivière, – 3 < i < 6 %, on parle de rivière torrentielle , – i > 6 %, on parle de torrent ; – périmètre mouillé χ : longueur de la surface d’écoulement en contact avec le lit (fond + berges), c’est-à-dire le périmètre de la section d’écoulement – la largeur au miroir. – section d’écoulement (ou section mouillée) S : partie de la section du canal limitée par les parois et la surface libre ; – hauteur d’écoulement : hauteur moyenne d’eau, par définition : h = S/B ; – hauteur normale hn : c’est la hauteur d’un écoulement permanent uniforme dans un bief. La hauteur normale est fonction du débit Q, de la rugosité K, et de la pente moyenne i ; 1. La pression du fluide à cette interface est égale à celle de l’atmosphère.

34

CHAPITRE 4. ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE – tirant d’eau : profondeur maximale d’une section d’écoulement ; – largeur au miroir B : largeur de la section d’écoulement au niveau de la surface libre ; – rayon hydraulique : c’est une longueur caractéristique définie par RH = S/χ. Pour un écoulement dans un canal rectangulaire infiniment large (B h), le rayon hydraulique correspond à la hauteur d’écoulement h ; – régime uniforme : régime d’écoulement le long d’un bief où les caractéristiques d’écoulement (hauteur et vitesse) sont constantes quelle que soit la position le long de la direction d’écoulement. On a ainsi ∂h/∂x = 0 ; – régime permanent : régime où l’écoulement ne dépend pas du temps. On a ainsi ∂h/∂t = 0; – régime graduellement varié : régime d’écoulement où la variation de hauteur dans la direction d’écoulement est très faible, typiquement si L désigne une longueur d’écoulement et ∆h une variation de hauteur, on a ∆h/L 1. Les équations de Saint-Venant ou le calcul différentiel des courbes de remous ne sont valables que pour ce régime ; – régime rapidement varié : régime d’écoulement où la variation de hauteur dans la direction d’écoulement est très importante, typiquement si L désigne une longueur d’écoulement et ∆h une variation de hauteur, on a ∆h/L = O(1). À l’approche d’une singularité ou bien en cas de ressaut hydraulique, l’écoulement peut entrer dans un régime rapidement varié ; – ressaut hydraulique : variation brutale de hauteur d’eau (passage d’un régime torrentiel à un régime fluviam) ; – pente moyenne : pente moyenne longitudinale i = tan θ d’un bief exprimé en % ou en ‰; – rayon hydraulique : c’est la longueur caractéristique RH = S/χ ; – régime torrentiel : régime supercritique (Fr > 1), forte vitesse, faible hauteur ; – régime fluvial : régime subcritique (Fr < 1), faible vitesse, hauteur élevée ; – débit Q : flux d’eau par unité de temps à travers la surface d’écoulement ; – vitesse moyenne u ¯ : vitesse u ¯ = Q/S ; – coefficient de rugosité : coefficient traduisant la rugosité des parois (coefficient de Chézy noté C ou de Manning-Strickler noté K) ; – lit mineur : lit occupé ordinairement par un cours d’eau par opposition au lit majeur qui correspond à l’emprise maximale historique d’un cours d’eau ou à la plaine inondable. On parle aussi de niveau des plus hautes eaux (PHE) pour désigner la cote maximale atteinte par la surface libre d’un cours d’eau ; – la berge ou rive est le talus qui sépare le lit mineur du lit majeur. Lorsque la berge est couverte par la végétation, on parle de ripisylve ; – l’étiage correspond aux plus basses eaux d’un cours d’eau (généralement durant l’été). Le débit d’étiage est donc le débit minimal d’un cours d’eau. Le débit de plein bord (bankfull discharge en anglais) est le débit atteint lorsque la rivière sort de son lit mineur. Durant une crue, on parle de débit de pointe (peak discharge en anglais) pour désigner le débit maximal atteint. Pour les crues, on peut relier le débit de pointe à la période de retour T 2 . On parle de débit dominant est le débit de la crue ordinaire qui permet de façonner un cours d’eau. Pour les rivières à sable, le débit dominant correspond au débit de pointe d’une crue de période 1–2 ans alors que pour un lit à gravier, il correspond à crue de période de retour de quelques dizaines d’années.

2. La période de retour T est définie par rapport à la probabilité d’observer la crue (ou une crue supérieure) P : T = 1/P ; c’est aussi l’intervalle de temps moyen entre deux crues ayant dépassant un certain seuil.

nitions.

français bief rivière rivière torrentielle torrent périmètre mouillé lit majeur lit mineur

allemand Gewässerabschnitt Fluss, Bach Gebirgsfluss Wildbach benetzter Umfang Hochwasservorland Niederwassergerinne

anglais reach rivier torrential river torrent wetter perimeter flood plain low water channel

ripisylve géométrie du lit

Ufervegetation Gerinnegeometrie

riparian vegetation bed geometry

rugosité section d’écoulement section mouillée

Rauighkeit, Rauheit Abflussquerschnitt

roughness flow section

définition, remarques (notation) tronçon homogène d’une rivière cours d’eau à faible pente cours d’eau de piémont à forte pente cours d’eau à très forte pente partie mouillée d’une section en travers (χ) zone envahie lors des grosses crues lit habituellement occupé par le cours d’eau lorsque les eaux sont basses végétation sur les berges caractérisation géométrique à l’aide des profils en long et en travers d’un lit état de surface du lit section transversale d’un cours d’eau ou d’un lit

benetzter Querschnitt hydraulischer Radius Gerinnebreite

wetted section

surface de la section d’écoulement (S)

hydraulic radius

rapport entre la section et le périmètre mouillé (RH = S/χ)

flow width

Gerinnegefälle mittlere Wassertiefe

bed gradient mean flow depth

largeur transversale du cours d’eau calculée au niveau de la surface libre (B) valeur moyenne de la pente d’un bief (i = tan θ) hauteur moyenne définie par h = S/B

kritische Tiefe Niederwasser höchster Hochwasserstand

critical flow depth low water maximum flood stage

rayon hydraulique largeur au miroir pente du lit hauteur d’eau moyenne hauteur critique étiage niveau des plus hautes eaux

4.1. INTRODUCTION

Tableau 4.1 : terminologie française, allemande, anglaise et défi-

hauteur d’eau correspondant au régime critique (hc ) plus basses eaux d’un cours d’eau

35

36

Tableau 4.1 : terminologie française, allemande, anglaise et défi-

nitions.

français plus hautes eaux d’un cours d’eau crue régime uniforme régime (graduellement) varié régime souscritique (fluvial)

nombre de Froude débit vitesse moyenne (débitante) ressaut hydraulique

anglais flood

définition, remarques (notation) niveau d’eau nettement supérieur à ce qui est ordinairement observé

gleichförmige Strömung ungleichförmige Strömung (strömender Strömungszustand) subkritische Strömung (schießender) superkritische Strömung Froude-Zahl Durchfluss mittlere Geschwindigkeit Wechselsprung

uniform flow

hauteur d’eau constante le long du bief

(gradually) varied flow (fluvial) subcritical flow

variation lente du niveau d’eau le long du bief

(torrential) supercritical flow

régime caractérisé par des vitesses fortes : F r > 1

Froude number flow rate, discharge mean flow hydraulic jump

régime caractérisée par des vitesse faible : F r < 1

√ nombre sans dimension F r = u ¯/ gh flux de vitesse à travers la section vitesse moyenne dans la section u ¯ = Q/S augmentation brutale du niveau liée au passage d’un écoulement super- à sub-critique

CHAPITRE 4. ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE

régime supercritique (torrentiel)

allemand Hochwasser

4.1. INTRODUCTION

37

Figure 4.1 : coupe d’une rivière.

Pour un cours d’eau naturel, la géométrie du lit n’est pas quelconque, mais obéit à certaines règles. Un cours d’eau doit laisser transiter un débit, qui varie en fonction du temps. En général, il existe des cycles annuels, mais au gré des précipitations et de la fonte des neiges, le débit peut varier d’une année sur l’autre d’une façon extrêmement variable (voir Fig. 4.2). Les débits ordinairement rencontrés façonnent le cours d’eau, c’est-à-dire la géométrie du lit (section en travers, granulométrie, etc.) est compatible avec le débit moyen transitant par ce cours d’eau. On parle de débit dominant pour désigner un débit (suffisamment élevé) qui est capable de modifier la géométrie du lit. En fonction du terrain (pente, nature géologique du terrain, etc.), le cours d’eau a plusieurs possibilités pour optimiser le transit d’eau en ajustant la largeur, la profondeur, la sinuosité, etc.

Qr1 m3 /3

1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 30 25 20 15 10 5 1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 an Figure 4.2 : variation du débit de pointe journalier sur la rivière Lonza (Valais) sur la période 1974–1999. Chaque point représente le débit maximal journalier.

Une difficulté supplémentaire est qu’outre le débit liquide à faire transiter, il y a également un transport de sédiment. Les sédiments sont apportés au cours d’eau par les montagnes sous forme de blocs grossiers et d’éléments plus ou moins fins. Ces éléments sont transportés et subissent une dégradation progressive et un tri granulométrique d’autant plus marqué que la pente du lit devient faible ; pour ces raisons, on observe que la granulométrie moyenne du lit diminue régulièrement entre la source et le débouché du cours d’eau. Pour un même cours d’eau, selon la section considérée, il existe des interrelations étroites entres capacité de transport solide, débit liquide, et caractéristiques géométriques. Comme le montre la figure 4.3, on trouve des corrélations entre paramètres d’écoulements et les variables caractérisant la géométrie du lit. Ces interrelations sont généralement stables et laissent penser qu’il existe un état de pseudo-équilibre du cours d’eau où les variations lo-

38


cales et temporelles des débits solide et liquide sont contrebalancées sans problème particulier par différents mécanismes. On parle souvent d’équilibre dynamique du lit pour désigner cet ajustement continuel du cours d’eau autour d’un état d’équilibre. Il existe cependant des circonstances pendant lesquelles cet équilibre peut être compromis : typiquement lors d’une crue de période de retour élevée (de quelques années à centaines d’années) ou bien à cause de l’action de l’homme (construction d’un barrage, prise d’eau, etc.), l’équilibre d’un cours peut être rompu, causant des désordres graves, brutaux, et rapides.

Figure 4.3 : relation entre largeur miroir et débit de plein bord pour des rivières de la région Alberta (Canada). D’après des données de données collectées par Gary Parker. La largeur au miroir a été écrite sous forme adimenˆ = B/d50 et Q ˆ = Q/(d5/2 √g), avec d50 le diamètre médian des grains composant le lit. sionnelle : B 50

Compte tenu de la variation de la pente du cours d’eau et de la taille des sédiments, la géométrie du cours d’eau varie de façon très significative entre la source et le débouché. Dans la partie amont, où le sédiment est fourni à la rivière, la pente est généralement forte et le lit est droit (quand il est vu en plan) ; le lit peut être incisé dans un matériau différent des sédiments qu’il transporte ou bien prendre place dans ses dépôts alluviaires. Au contraire, dans les zones de plaine, le cours d’eau coule exclusivement sur son propre alluvion généralement composé de matériaux fins (limons, sables, matériaux organiques). La sinuosité du lit croît le plus souvent de façon inverse à la pente du lit ; inversement, plus la pente est faible, plus le cours d’eau a tendance une section d’écoulement unique et bien calibrée (section homogène).

4.1. INTRODUCTION

39

pente

Profil en long

lit en tresses

lit rectiligne

lit à méandres

lit divaguant

torrent

rivière rivière torrentielle

5-6 %

2-3 % Figure 4.4 : vue en plan du lit d’une rivière.


40

4.2

Les équations de Saint Venant

Les équations de Saint-Venant 3 sont une forme intégrée (intégration selon la hauteur) des équations de Navier-Stokes. Elles permettent de calculer les hauteurs d’eau et vitesses moyennes le long de la direction d’écoulement en fonction du temps. Elles ne sont applicables qu’en régime graduellement varié.

4.2.1 Dérivation des équations Hypothèses Nous allons utiliser ici les hypothèses simplificatrices suivantes : (A1) On s’intéresse à un écoulement d’eau le long d’un profil bidimensionnel curviligne, dont les variations sont faibles (rayon de courbure infini), c’est-à-dire la surface d’écoulement est à peu près plane, d’inclinaison θ par rapport à l’horizontale. On rattache un système de coordonnées cartésiennes (x, y, z) à ce repère (x est orienté selon la ligne de plus grande pente, y est normale au plan de glissement, z représente une direction latérale). (A2) On considère un mouvement essentiellement bidimensionnel (z n’intervient pas dans les calculs). Les calculs peuvent être généralisés à la dimension 3. (A3) Il n’y a pas de variation significative de la section d’écoulement sur de courtes distances (les variations sont toujours progressives). Il en est de même pour les hauteurs d’écoulement, qui varient doucement d’un point à l’autre de l’écoulement sur un même bief. On parle de régime graduellement varié ou bien d’approximation des grandes longueurs d’onde pour désigner ce régime ou cette approximation. Il s’agit donc d’un régime peu éloigné du régime permanent uniforme. Les lignes de courant sont donc parallèles à la surface libre, elle-même à peu près parallèle à la ligne de fond. Le rapport caractéristique = H∗ /L∗ – appelé rapport d’aspect – est petit devant 1 (avec H∗ : échelle de hauteur et L∗ échelle de longueur) ; typiquement pour une rivière de 10 km et profonde de 10 m, on a = 10−3 1. (A4) Les lignes de courant au sein de l’écoulement ne subissent pas de bifurcation brutale. (A5) La surface d’écoulement exerce une contrainte de frottement τp sur l’écoulement. (A6) La masse volumique de l’eau est constante: % ≈ %¯. (A7) Il n’y a pas de variation de masse durant l’écoulement (apport ou perte d’eau). (A8) Le lit est fixe (pas de transport solide, pas d’érosion, pas de dépôt) et de rugosité uniforme tout le long du bief considéré. (A9) La pente locale n’est pas trop forte (tan θ doit être inférieur à 10–20 %) sinon il y a un risque d’instabilité de la surface libre (« roll waves » ou train d’onde). Le principe de base dans les modèles de type Saint-Venant est de partir des équations locales de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, de les intégrer suivant 3. Adhémar Barré de Saint-Venant (1797–1886) était un mécanicien français. Polytechnicien de formation, il étudia aussi à l’École Nationale des Ponts et Chaussée, où il fit l’essentiel de sa carrière. Ses travaux de recherche ont couvert un champ considérable de domaines scientifiques et d’application : hydraulique maritime, navigation le long des canaux et sur route, élasticité, théorie des fluides visqueux, turbulence et perte de charge dans les conduites. Avant Reynolds, il avait pressenti l’importance de la turbulence dans le calcul des pertes de charge. En 1871, il proposa un jeu d’équations aux dérivées partielles décrivant le mouvement unidimensionnel d’une onde de crue.

4.2. LES ÉQUATIONS DE SAINT VENANT

41

la verticale pour les moyenner, puis de les simplifier en supprimant les termes de faible influence. Conservation de la masse Considérons l’équation de conservation de la masse ∂%/∂t + ∇ · (%u) = 0, où u désigne la vitesse locale de l’écoulement. L’intégration de cette équation selon la hauteur d’écoulement, c’est-à-dire le long de la direction y, donne : h(x,t) Z 0

Zh ∂u ∂v ∂h ∂ + − v(x,h,t) − v(x,0,t), u(x,y,t)dy − u(h) dy = ∂x ∂y ∂x ∂x

(4.1)

0

où u et v sont les composantes de la vitesse selon les directions x et y. À la surface libre et au fond, la composante normale de la vitesse v doit satisfaire respectivement v(x,h,t) =

dh ∂h ∂h = + u(x,h,t) et v(x,0,t) = 0. dt ∂t ∂x

(4.2)

D’où l’on déduit l’équation moyennée de conservation de la masse : ∂h ∂hu + = 0, ∂t ∂x

(4.3)

où l’on a défini les valeurs moyennes de la façon suivante : 1 f¯(x,t) = h(x,t)

h(x,t) Z

f (x,y,t)dy.

0

Conservation de la quantité de mouvement La même procédure peut être appliquée à l’équation locale de conservation de la quantité de mouvement : %du/dt = %g−p1+∇·T, où T représente le tenseur des extra-contraintes et p la pression. Toutefois, comme il y a plus de termes que dans l’équation de conservation de la masse et comme certains ont un effet mineur sur la dynamique de l’écoulement, on va se servir de l’analyse dimensionnelle pour simplifier l’équation de conservation de la quantité de mouvement. Outre les échelles de longueur et de hauteur √ (L∗ et H∗ ) introduites précédemment, on définit également une échelle de vitesse U∗ = gH∗ cos θ (de telle sorte que F r = O(1)) dans la direction de l’écoulement, V∗ = U∗ l’échelle de vitesse dans la direction normale au lit (y), une échelle de temps T = U∗ /L∗ , une échelle de pression P∗ = ρgH∗ cos θ (écoulement à surface libre, donc l’ordre de grandeur de la pression est la pression hydrostatique), et les nombres sans dimension de Reynolds et de Froude Re =

U∗ ρU∗ H∗ et F r = √ . µ gH∗ cos θ

On suppose qu’on est en régime turbulent : Re 1. On suppose que le nombre de Froude n’est ni grand, ni petit : F r = O(1) (il peut être plus petit ou plus grand que 1). On peut alors adimensionnaliser toutes les variables v x y t u , vˆ = ,x ˆ= , yˆ = , et tˆ = , u ˆ= U∗ V∗ L∗ H∗ T∗


42

tandis que les contraintes sont transformées de la façon suivante µU∗ µU∗ p µU∗ Txx , Tˆxy = Txy , Tˆyy = Tyy , et pˆ = , Tˆxx = L∗ H∗ L∗ P∗ L’équation locale de quantité de mouvement s’écrit donc Re

dˆ u Re = F r2 dtˆ

Re dˆ v = Re ˆ F r2 dt 3

∂ Tˆxx ∂ Tˆxy + , ∂x ˆ ∂ yˆ

(4.4)

∂ Tˆxy ∂ Tˆyy ∂ pˆ −1 − + 2 + 2 . ∂ yˆ ∂x ˆ ∂ yˆ

(4.5)

∂ pˆ 1 tan θ − ∂x ˆ

+ 2

On va maintenant utiliser le fait que 1 et que le nombre de Reynolds Re 1 (écoulement turbulent). On note que dans les équations apparaît parfois le produit Re, dont la valeur est indéfinie ; on va ici supposer que Re = O(1) (ce qui implique donc 2 Re 1). L’équation (4.5) se simplifie considérablement puisque la plupart des termes sont négligeables sauf la pression et le terme de gravité ∂ pˆ = 0, −1 − ∂ yˆ qui une fois remise sous forme dimensionnelle et après intégration, nous montre que la distribution de pression est hydrostatique p = %g(h − y) cos θ. Dans l’équation (4.4) seule la composante avec Txx disparaît ; les autres termes sont a priori du même ordre de grandeur dˆ u ∂ pˆ ∂ Tˆxy + , = tan θ − ∂x ˆ ∂ yˆ dtˆ qui remise sous forme dimensionnelle donne %

du ∂p ∂Txy = %g sin θ − + . dt ∂x ∂y

Sans difficulté nous obtenons l’équation moyennée de conservation de la quantité de mouvement après avoir intégré l’équation précédente selon y entre 0 et h : ! ∂h¯ p ∂hu ∂hu2 = %gh sin θ − % + − τp , (4.6) ∂t ∂x ∂x où la contrainte de frottement (appelée aussi contrainte pariétale) est τp = Txy (x,0,t), la pression moyenne est p¯, la contrainte normale moyenne dans le sens de l’écoulement est Txx . Le système d’équations (4.3–4.6) n’est pas fermé car le nombre d’inconnues dépasse le nombre d’équations. Une approximation courante est d’introduire un paramètre, appelé parfois le paramètre de quantité de mouvement de Boussinesq, qui relie le carré de la vitesse moyenne à la moyenne du carré de la vitesse u2

1 = h

Zh 0

u2 (y) dy = α¯ u2 .


43

Une approximation courante est d’écrire α = 1. On peut ainsi transformer le terme ∂hu2 /∂x dans l’équation (4.6) ∂αh¯ u2 ∂h¯ u2 ∂hu2 = ≈ . ∂x ∂x ∂x Une autre approximation, que nous avons implicitement utilisée ci-dessus, est relative au calcul des contraintes. Puisque nous avons supposé que les variations de hauteur le long de l’axe x sont faibles (approximation d’onde longue), cela implique que, pour toute quantité m relative au mouvement de l’avalanche, nous avons : ∂m/∂y ∂m/∂x. Cela implique que toute tranche d’écoulement peut être traitée comme localement uniforme. Avec une telle hypothèse, il est possible de calculer la contrainte à la paroi en considérant que son expression en fonction de u et h est identique à celle du régime permanent ; on utilisera alors les formules données dans le prochain chapitre (Manning-Strickler, Chézy, etc.) pour calculer τp .

4.2.2 Forme conservative et non conservative Le jeu d’équations du mouvement moyen composé de la conservation de la masse (4.3) et de la quantité de mouvement (4.6) est appelé la forme conservative des équations de Saint-Venant car leur obtention et leur forme finale reflètent directement le principe général de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur un volume de contrôle ; elles peuvent d’ailleurs être obtenues de cette façon sans passer par une intégration de la forme locale des équations du mouvement. On utilise souvent en pratique une forme dite non conservative de l’équation de la quantité de mouvement, qui consiste à se servir de l’équation (4.3) pour transformer les termes ∂h¯ u en ∂ u ¯. On obtient facilement en faisant ainsi ∂u ¯ ∂h ∂u ¯ %h = %gh sin θ − %h cos θ +u ¯ − τp . ∂t ∂x ∂x Formes conservative et non conservative sont strictement équivalentes sur le plan mathématique tant que les solutions u ¯ et h sont continues. En revanche, dans le cas de solutions discontinues (formation d’un ressaut hydraulique par exemple), la forme non conservative fournit une solution fausse au niveau de la discontinuité. Pour la résolution numérique des équations, il est préférable d’employer la forme conservative lorsque des solutions discontinues sont possibles. La formulation non conservative a néanmoins plusieurs avantages. Premièrement, la forme des termes inertiels est très proche de la dérivée matérielle, ce qui facilite la mémorisation et l’interprétation de cette équation. Deuxièmement – et c’est là le point important –, elle permet d’aboutir à une formulation alternative intéressante, dite forme caractéristique des équations de Saint-Venant.

4.2.3 Forme caractéristique des équations de Saint-Venant Pour cela, on transforme l’équation√de conservation de la masse en la multipliant par g cos θ et en introduisant la variable c = gh cos θ ; cette variable représente en fait la célérité des ondes se propageant à la surface libre dans le cas d’une eau peu profonde au repos ∂c2 ∂c2 u ¯ + = 0, ∂t ∂x


44 soit encore

∂u ¯ ∂c ∂c +c + 2¯ u = 0. ∂t ∂x ∂x L’équation de quantité de mouvement devient avec cette nouvelle variable 2

τp ∂u ¯ ∂u ¯ ∂c +u ¯ = g sin θ − 2c − . ∂t ∂x ∂x %h

(4.7)

(4.8)

On ajoute maintenant membre à membre les équations (4.7) et (4.8) et on obtient τp ∂ ∂ (¯ u + 2c) + (¯ u + c) (¯ u + 2c) = g sin θ − . ∂t ∂x %h En retranchant maintenant membre à membre l’équation (4.7) à l’équation (4.8), on obtient τp ∂ ∂ (¯ u − 2c) + (¯ u − c) (¯ u − 2c) = g sin θ − . ∂t ∂x %h On introduit r et s les variables dites de Riemann ainsi que λ+ = u ¯ + c et λ− = u ¯ − c la vitesse de propagation de l’information ; S = g sin θ − τp /(%h) est appelé « terme source ». Les deux équations précédents s’écrivent avec ces nouvelles notations ∂r ∂r + λ+ = S, ∂t ∂x ∂s ∂s + λ− = S. ∂t ∂x

(4.9) (4.10)

Cette formulation est appelée forme caractéristique des équations de Saint-Venant. Elle joue un rôle fondamental dans la méthode dite des caractéristiques qui est très souvent employée pour résoudre numériquement les équations de Saint-Venant. L’idée de base est d’interpréter les équations en termes d’information transmise. Commençons par une remarque liminaire : soit f (x, t) une fonction de x et t et admettons que f soit constante le long d’une courbe C d’équation x = xs (t) dans le plan x − t. Le long de cette courbe on a donc d’après la règle de composition des dérivées : ∂f dxs ∂f d f (xs (t), t) = + = 0, dt ∂t dt ∂x puisque f (xs (t), t) = cste. Inversement, si l’on rencontre une équation aux dérivées partielles de la forme ∂f ∂f +a = 0, (4.11) ∂t ∂x avec a une constante ou bien une fonction de x et t, alors on peut écrire que cette équation est équivalente à l’équation différentielle ordinaire d dxs f (xs (t), t) = 0 le long de la courbe caractéristique = a. dt dt

(4.12)

Physiquement, cela veut dire que le long de la courbe temporelle x = xs (t), la quantité f se conserve ; f représente l’information transmise et dxs /dt représente la vitesse de transmission de cette information ; la courbe dite courbe caractéristique x = xs (t) montre le cheminement de l’information dans le plan x − t. Ce qui est dit ici avec un membre de droite nul (terme source nul) marche également s’il y a un terme de source non nul, par exemple ∂f ∂f +a = g(x, t), ∂t ∂x


45

se transforme en d dxs f (xs (t), t) = g le long de la courbe caractéristique = a. dt dt Dans ce cas là, g se traduit comme la modulation de l’information le long de la courbe caractéristique. Revenons pour l’instant à l’équation (4.11) dans le cas où le terme source est nul et a est une constante. Cherchons à résoudre un problème avec des conditions initiales de la forme f (x,0) = b(x) à t = 0 ; dans ce cas-là, les courbes caractéristiques sont des droites de la forme x = at + x0 . La formulation caractéristique (4.12) du problème nous dit que f est constant le long de x = at + x0 . Donc initialement, si l’on part d’un point x0 , la valeur de f est b(x0 ) et cette valeur est la même tout le long de la courbe caractéristique f (x, t) = b(x0 ) ⇒ f (x, t) = b(x − at), quand on remplace x0 par x − at (puisqu’on reste sur la caractéristique). Notons que les courbes caractéristiques sont toutes des droites parallèles. t

dx/dt = a

x x0 Figure 4.5 : courbes caractéristiques dans un problème à une variable lorsque a est constant.

Ce que nous venons de dire pour un problème différentiel se généralise sans problème lorsque a n’est pas constant (les courbes caractéristiques ne sont alors pas nécessairement des droites), à des termes sources non nuls, et à des problèmes à plusieurs variables. Si l’on se sert de ces quelques résultats pour interpréter la forme caractéristique des équations de Saint-Venant, on arrive aux notions suivantes : – λ± représente la vitesse de propagation de l’information dans un cours d’eau. On l’appelle vitesse caractéristique. La vitesse de l’information est égale à la somme de la vitesse moyenne de l’eau plus ou moins la célérité des ondes. Notons tout d’abord que λ+ > λ− . Puis, notons qu’au repos (¯ u = 0) la vitesse calculée correspond bien à la célérité c : |λ± | = c ; – on a toujours λ+ > 0 (hormis de supposer que u ¯ est dans le sens opposé à x), mais λ− peut être positif ou négatif. Écrivons cette vitesse caractéristique p λ− = u ¯−c=u ¯ − gh cos θ = gh cos θ(F r − 1), donc – lorsque l’écoulement est supercritique (F r > 1), on a λ− > 0. Il s’ensuit que l’information se propage uniquement dans la direction des x positifs (les ondes vont tout le temps dans le sens de l’écoulement) ;


46

– lorsque l’écoulement est subcritique (F r < 1), on a λ− < 0. Il s’ensuit que l’information se propage dans la direction des x positifs (onde progressive) et des x négatifs (onde régressive). Autrement dit, une perturbation d’un écoulement se propage aussi bien vers l’amont que vers l’aval. – considérons un problème initial où u ¯ et h sont connues à t = 0. On souhaite savoir comment évolue le cours d’eau. Prenons l’exemple de la figure 4.6 où l’on est en régime subcritique. Pour simplifier on représente les courbes caractéristiques émanant d’un point x0 sur l’axe t = 0 comme des droites, mais dans le cas général ce sont des courbes quelconques, dont la forme est donnée par l’équation différentielle dx/dt = λ± . Puisqu’on est en régime subcritique, les deux caractéristiques sont l’une croissante et l’autre décroissante. D’un point initial x0 émanent deux courbes ; l’espace compris entre ces deux caractéristiques est appelé domaine d’influence car la valeur prise par u ¯ et h est conditionnée par la valeur initiale en x0 . Inversement considérons un point M dans le plan x − t ; jusqu’à ce point, on peut tracer deux caractéristiques (une positive, une négative) venant des points x0 et x1 situés l’axe t = 0 ; autrement dit, pour connaître u ¯ et h à t, il faut connaître ce qui se passe à t = 0 en x0 et x1 , puis intégrer les équations caractéristiques (4.9) et (4.10) le long des courbes caractéristiques. Cela peut se faire simplement dans des cas simples, mais le plus souvent il faut faire cela numérique ; c’est le principe de la méthode des caractéristiques. t

dx/dt = λ−

dx/dt = λ+

domaine d’influence

x x0

t

M (x, t)

dx dt

= λ+

dx dt

= λ−

x x0

x1

Figure 4.6 : courbes caractéristiques dans un problème à deux variables (régime subcritique).

– considérons un problème avec des conditions initiales et aux frontières, c’est-à-dire on connaît u ¯ et h à t = 0 et on impose leur valeurs sur une frontière, par exemple en


47

x = 0. Par exemple, si on examine le problème du remplissage à débit constant d’un canal, on considère comme conditions initiales u ¯ = h = 0 et comme conditions aux limites h = q et u ¯ = cste en x = 0 (puisque q = u ¯h est constant). Selon que le régime est sub- ou super-critique, les conditions aux limites peuvent ou non être choisies librement. Par exemple en régime subcritique F r < 1), ce qui se passe initialement en A (voir figure 4.7) est propagé dans les deux sens (ondes progressive λ+ et régressive λ− ). L’onde régressive touche au temps tB l’axe x = 0 au point B ; de ce point partent deux nouvelles caractéristiques, dont l’une (onde λ+ ) croise au point M l’autre caractéristique λ+ émanant de A. Dans ce cas-ci, la condition aux limites en x = 0 ne peut pas être choisie n’importe comment puisque l’information est reçue intégralement de la condition initiale en t = 0 ; mathématiquement on peut se passer de cette condition qui n’amène rien de plus que l’on ne sache déjà. La situation est tout différente pour le régime supercritique (F r > 1). Dans ce cas là, aucune caractéristique émanant d’un point A sur l’axe t = 0 ne peut couper l’axe x = 0 : les conditions initiales n’influent pas sur les conditions aux limites en x = 0. Pour savoir ce qui se passe en M à l’instant t, il faut donc une caractéristique émanant de B : il faut donc obligatoirement fournir une condition aux limites sinon on ne peut pas résoudre le problème. On dit que le problème est mal posé.

t dx/dt = λ+ Fr < 1

B

M

dx/dt = λ+ dx/dt = λ−

t

A

Fr > 1

dx dt

= λ+

B

dx dt

x

M

= λ−

x A Figure 4.7 : courbes caractéristiques dans un problème aux conditions initiales et avec des conditions aux limites. Différence entre le problème super- et subcritique pour le choix des conditions initiales. Courbe continue : onde λ+ ; courbe discontinue : onde λ− .

– deux caractéristiques d’une même famille (par exemple deux courbes λ+ ) ne peuvent pas se croiser si la solution est continue. Sur la figure 4.7, on observe deux caractéristiques λ+ émanant de B et C se croiser en M, où arrive également une caractéristique


48

λ− issue de A. Dans ce cas-là, le problème serait indéterminé car on ne peut pas trouver un jeu unique de valeurs de u ¯ et h qui vérifie les équations caractéristiques. Il y a alors formation d’un choc ou une discontinuité dans les valeurs de u ¯ et h (ce qu’on appellera par la suite un ressaut hydraulique). t

C

B

M

x A

Figure 4.8 : courbes caractéristiques dans un problème avec formation d’un choc en M. Courbe continue : onde λ+ ; courbe discontinue : onde λ− .


49

4.2.4 Synthèse Les équations de Saint-Venant sont composées : – d’une équation de conservation de la masse ∂h ∂h¯ u + = 0, ∂t ∂x

(4.13)

– d’une équation de conservation de la quantité de mouvement : τp ∂u ¯ ∂h ∂u ¯ +u ¯ = g sin θ − g cos θ − . ∂t ∂x ∂x %h

(4.14)

Pour boucler ces équations, il faut connaître la loi de frottement τp (¯ u, h). Il faut aussi préciser des conditions aux limites, qui dépendent principalement du type de régime (super/subcritique) – pour un régime supercritique, l’information se propage uniquement de l’amont vers l’aval (il n’y a pas de remontée d’informations). La condition à la limite doit être posée à l’amont. Dans un problème d’évolution, il est nécessaire de spécifier à la fois les conditions et les conditions aux limites ; – pour un régime subcritique, l’information se propage non seulement de l’amont vers l’aval, mais également de l’aval vers l’amont (il y a une remontée d’informations). La condition à la limite doit être posée à l’aval pour un simple problème de type cours de remous. Dans un problème d’évolution, il faut préciser principalement les conditions initiales. Selon le problème, les conditions aux limites peuvent être superflues ou bien non compatibles avec les conditions initiales. Les équations de Saint-Venant permettent de résoudre un grand nombre de problèmes hydrauliques dès lors que la courbure de la surface libre n’est pas trop forte, en particulier lorsqu’il n’y a pas de ressaut hydraulique séparant un régime supercritique d’un régime subcritique ou bien lorsqu’il y a une chute d’eau au niveau d’un seuil. En pratique, les types de problème que l’on peut résoudre sont très divers, par exemple : – propagation d’une crue dans une rivière (voir chap. 11) ; – rupture de barrage dans une rivière (voir chap. 10) ; – évolution d’une ligne d’eau en fonction du débit fourni (voir chap. 7). Ces équations ont été écrites pour un canal infiniment larges et h¯ u représente le débit par unité de largeur. On pourrait les écrire de façon plus générale pour une section S(x, t) par laquelle transite un débit Q(x, t). On a alors : ∂S ∂Q + = 0, ∂t ∂x

(4.15)

τp ∂Q ∂Q2 S −1 ∂h + = gS sin θ − gS cos θ −χ . ∂t ∂x ∂x %

(4.16)

Rappelons que h = S/B et u ¯ = Q/S. Dans cette forme générale, la loi de frottement s’exprime comme une fonction τp (¯ u, RH ). Pour un écoulement à travers une section quelconque, la célérité des ondes est r gS c= , B

50


avec B la largeur au miroir. De là, on déduit que le nombre de Froude est défini comme √ Q B u ¯ Fr = = p . c gS 3/2

En présence de transport solide, il faut compléter ces équations par l’équation d’Exner qui décrit l’érosion ou l’engravement du lit : ∂qs ∂y` =D−E =− , ∂t ∂x avec y` la cote du lit (par rapport à un niveau de référence), E le taux d’érosion du lit (nombre de particules par unité de surface et par unité de temps qui sont entraînées par l’écoulement), D le taux de dépôt, et qs le débit solide (résultat net entre érosion et sédimentation du lit).

51

Chapitre 5

Régime permanent uniforme 5.1

Relation d’équilibre pour un régime permanent uniforme

Considérons un bief uniforme (section en travers uniforme, rugosité uniforme) de pente i = tan θ > 0 et un débit constant. Dans ces conditions, on peut observer un régime permanent uniforme où il y a équilibre parfait entre frottement aux parois et force motrice (gravité). La hauteur est appelée hauteur normale. Considérons une tranche de fluide le long du lit (sur un petit morceau de bief AB) et écrivons que toute la force de pesanteur du volume de fluide soit être entièrement repris par le frottement aux parois.

h A B i Figure 5.1 : équilibre d’une tranche de fluide. La hauteur h est ici le tirant d’eau puisqu’elle correspond à la hauteur maximale d’eau dans le cours d’eau.

τp = %gh sin θ, ou de façon plus générale pour un canal de section quelconque : χτp = S%g sin θ, avec χ le périmètre mouillé, ce qui donne : τp = %g sin θRH ≈ %giRH ,

(5.1)

(canal de section quelconque). Pour des pentes faibles, on a sin θ ≈ tan θ = i.

Relation avec les équations de Saint Venant : en régime permanent uniforme, les termes avec des différentielles disparaissent dans les équations (4.13–4.14). On a donc : g sin θ =

τp , %h

soit encore : τp = %gh sin θ, qui équivaut bien à la relation (5.1) dans le cas où RH = h (canal infiniment large).

CHAPITRE 5. RÉGIME PERMANENT UNIFORME

52

Relation avec le théorème de Bernoulli : Le théorème de Bernoulli s’écrit sur une petite tranche du bief de longueur δL = dx

y` (A) + h(A) +

u ¯2 (A) u ¯2 (B) = y` (B) + h(B) + + ∆H, 2g 2g

avec y` la côte du fond. Comme le régime est supposé permanent et uniforme (¯ u(A) = u ¯(B) et h(A) = h(B)), on déduit que y` (A) = y` (B) + ∆H. En introduit la pente y` (A) − y` (B) = idx et la perte de charge ∆H ≈ dH, on tire idx = dH. On introduit la pente de la perte de charge appelée pente de frottement (voir ci-dessous l’utilisation du théorème de Bernoulli) : jf = dH/dx, avec H la charge hydraulique. La condition d’écoulement permanent uniforme s’écrit alors : i = jf .

5.2

Loi de frottement

Plusieurs lois empiriques ont été proposées pour établir la relation entre τp et les variables d’écoulement u ¯ et h. Ces lois sont les équivalents des formules de pertes de charge régulières vues dans les séances précédentes.

5.2.1 Loi de Manning-Strickler La loi la plus employée car valable pour une large gamme de débits et de rugosité est la loi de Manning 1 -Strickler 2 ; la contrainte pariétale s’écrit

τp =

¯2 %g u , K 2 R1/3

(5.2)

H

1. Robert Manning (1816–1897) était un ingénieur irelandais, travaillant tout d’abord dans l’administration irelandaise (drainage) avant de fonder sa propre société (travaux portuaires). Il est surtout connu pour la formule qu’il proposa en 1895 et qui synthétisait les données obtenues précédemment par le français Henry Bazin. 2. Albert Strickler (1887–1963) était un hydraulicien suisse. La première partie de sa carrière fut consacrée au développement de micro-centrales électriques ; il dirigea notamment la Société suisse de transmission électrique jusqu’à sa dissolution en 1939. Après 1939, il travailla comme consultant indépendant, principalement en Suisse germanophone. Le nom de Strickler est surtout connu grâce à l’important travail expérimental, qui permis d’établir la formule qui porte son nom et qui reprend les lois précédemment développées par Philippe Gauckler et Robert Manning.

5.2. LOI DE FROTTEMENT

53

avec K le coefficient de Manning-Strikler souvent relié à la rugosité du lit, par exemple la loi de Meyer-Peter 3 & Müller 4 (1948) : 26 K = 1/6 , d90 ou bien sa variante actuelle (formule de Jäggi, 1984) : K=

26 1/6 ks

=

23,2 1/6

d90

,

où d90 est diamètre des gros blocs (90 % des blocs ont un diamètre plus petit que d90 ) ; ce diamètre caractéristique sert aussi à définir une échelle caractéristique ks = 2d90 , qui est utilisée notamment dans la formule de Keulegan. Les valeurs de K sont tabulées en fonction du type de cours d’eau : – – – – –

canal en béton lisse : K = 65 − 90 m1/3 s−1 ; canal en terre : K = 40 − 60 m1/3 s−1 ; rivière à galet, rectiligne, section uniforme : K = 30 − 40 m1/3 s−1 ; rivière avec méandre, sinuosité, etc. : K = 20 − 30 m1/3 s−1 ; rivière végétalisée ou torrent : K = 10 m1/3 s−1 .

Principalement dans les pays anglo-saxons, on écrit aussi K en fonction du coefficient de Manning n 1 K= . n Notons que la formule de Manning-Strickler ne s’applique pas sur des fonds très lisses (béton lissé par exemple). On pose parfois la relation suivante K < 78¯ u1/6 , qui fournit la borne supérieure du coefficient K en fonction de la vitesse moyenne u ¯. En 1/3 −1 pratique, cette borne supérieure se situe entre 80 et 100 m s .

5.2.2 Loi de Darcy-Weisbach Pour les écoulements en charge, on a employé la formule de Darcy-Weisbach. Cette formule et ses variantes peuvent également s’appliquer à l’hydraulique à surface libre, surtout dans le cas de fond relativement lisse f 2 τp = % u ¯ , 8

(5.3)

3. Eugen Meyer-Peter (1883–1969) commença sa carrière comme ingénieur pour la société Zschokke à Zürich. En 1920, il fut nommé professeur d’hydraulique de l’ETHZ et créa un laboratoire d’hydraulique pour étudier expérimentalement des écoulements graduellement variés, du transport solide, de l’affouillement de fondations, etc. Les travaux les plus connus de Meyer-Peter sont ceux relatifs au transport de sédiment dans les rivières alpines, notamment la formule dite Meyer-Peter-Müller (1948) obtenue par la compilation de données expérimentales obtenues pendant 16 années à l’ETHZ. 4. Robert Müller (1908–1987) était un ingénieur hydraulicien suisse spécialisé dans le transport de sédiment et les problèmes d’érosion. Il fit l’essentiel de sa carrière au VAW de l’ETH, où il travailla notamment avec Hans Einstein et Eugen Meyer-Peter. En 1957, il démissionna et exerça une activité de conseil en hydraulique. Il s’intéressa plus particulièrement à la correction des eaux dans le canton du Jura et à la liaison des lacs de Murten, Bienne, et Neuchâtel.


54 avec :

1 √ = −2 log10 f

2,51ν ks √ + 14,8RH 4Re¯ u f

,

(formule de Colebrook-White où l’on remplace le diamètre hydraulique par 4RH ). Cette équation non linéaire est complexe à résoudre et on lui préfère une forme approchée : r RH 8 = 3,38 + 5,75 log10 . f d84

On prendra garde que dans un certain nombre de formules de résistance (dont la loi de Darcy-Weisbach), le nombre de Reynolds est défini à partir du rayon hydraulique Re =

4RH u ¯ , ν

car en hydraulique en charge, le nombre de Reynolds est défini à partir du diamètre hydraulique DH et qu’on a DH = 4RH .

5.2.3 Loi de Chézy La loi de Chézy 5 est la formule historique, peu utilisée aujourd’hui si ce n’est pour obtenir des ordres de grandeur %g 2 ¯ , (5.4) τp = 2 u C avec C le coefficient de Chézy variant dans la fourchette 30–90 m1/2 s−1 (du plus rugueux au plus lisse).

5.2.4 Loi de Keulegan Pendant longtemps, on a utilisé le profil de vitesse logarithmique (en principe valable uniquement près du fond) pour décrire tout le profil de vitesse d’un écoulement hydrauliquement turbulent dans un canal. Fondée sur cette approximation, la loi de Keulegan 6 est une formule bien adaptée pour les écoulements sur des lits à gravier. Elle revient à supposer que la contrainte à la paroi serait similaire à celle donnée par la formule de Chézy, mais √ avec un coefficient C = gκ−1 ln(11h/ks ) fonction de la hauteur d’eau et de la rugosité, soit encore : κ2 %¯ u2 , (5.5) τp = 2 ln (11h/ks ) avec κ la constance de von Kármán et ks une taille caractéristique des rugosités du lit (ks ≈ 2d90 ). La formule est valable tant que le fond est suffisamment rugueux, c’est-à-dire h/ks < 10. Cette formule peut se généraliser à des géométries plus complexes en substituant la hauteur h par le rayon hydraulique RH . 5. Antoine de Chézy (1718–1798) était un ingénieur civil français. On lui doit le canal de l’Yvette, qui alimentait Paris en eau potable, ce qui fut l’occasion de la première formule connue reliant la pente d’un canal, la géométrie de la section en travers, et le débit. Il introduit également la notion de rayon hydraulique. 6. Garbis Hvannes Keulegan (1890–1989) était un mécanicien américain d’origine arménienne. Il commença ses études en Turquie, puis émigra aux États-Unis pour les achever. Il fit l’essentiel de sa carrière dans le National Bureau of Standards (NBS), où il participa à la création du NBS National Hydraulic Laboratory. Ingénieur de recherche, il travailla principalement sur les écoulements turbulents stratifiés. La loi qui porte son nom date de 1938 et résultait d’une étude expérimentale des profils de vitesse pour des écoulements à surface libre dans des canaux rugueux.

5.2. LOI DE FROTTEMENT

55

Notons que de nos jours, on préfère employer une loi puissance de type Manning-Strickler plutôt qu’une loi logarithmique pour relier le coefficient de Chézy aux paramètres hydrauliques. Par exemple, pour des lits à gravier (fond mobile), la formule de Parker donne √ C = 8,10 g

h ks

1/6

,

qui fournit des résultats bien meilleurs que la formule de Keulegan pour des lits très rugueux (h/ks < 5).

5.2.5 Synthèse On en déduit facilement les différentes formules du régime permanent uniforme ; elle sont recensées dans le tableau 5.1. La relation q = f (h) (ou bien u ¯ = f (h)) est appelée courbe de tarage ou bien loi d’écoulement ou bien encore débitance du canal. Tableau 5.1 : vitesse moyenne, hauteur normale, et pente de frottement selon la loi de frottement utilisée.

loi de frottement Manning-Strikler Darcy-Weisbach Chézy a

u ¯ √ 2/3 u ¯ = K iRH r

8g √ 1/2 iRH f √ 1/2 u ¯ = C iRH

u ¯=

uniquement pour un canal infiniment large

hn a 3/5 q √ hn = K i s !2/3 f hn = q 8gi 2/3 1 hn = q √ C i

jf jf = jf =

u ¯2 4/3

K 2 RH

u ¯2 f (RH ) 2g 4RH

jf =

u ¯2 C 2 RH


56

5.3

Justification physique

Dans la majorité des cas, le régime d’écoulement de la phase fluide est turbulent. Une loi de comportement prenant en compte la turbulence peut s’écrire sous la forme suivante :

Σ = −p1 + 2µD + %f u0 ⊗ u0

où u0 la fluctuation de vitesse, <> désigne un opérateur moyenne. Dans cette expression, le premier terme représente les effets de pression du fluide (à cause de l’incompressibilité c’est un terme indéterminé qui doit être trouvé en résolvant les équations du mouvement). Le second terme (loi de Newton) représente les termes de viscosité. Le troisième terme, appelé tenseur de Reynolds, représente les effets des fluctuations de vitesse liées à la turbulence. Une pratique courante consiste à négliger la contribution visqueuse (compte tenu du nombre de Reynolds) et à supposer que les fluctuations de vitesse sont du même ordre de grandeur et peuvent être liées à la vitesse moyenne du fluide de la manière suivante : u0x ≈ u0y ≈ `m

duy dy

Cette hypothèse, due à Prandtl, tire son origine d’une analogie avec le libre parcours moyen d’une particule dans la théorie cinétique des gaz de Boltzmann. Le coefficient de proportionnalité `m introduit dans l’équation est appelé longueur de mélange. La valeur de la longueur de mélange a été déduite expérimentalement. Une difficulté dans la détermination de `m est qu’elle n’a pas en général de caractère intrinsèque excepté dans des régions sous influence de parois (écoulements dits pariétaux).

Figure 5.2 : délimitation et typologie des zones turbulentes dans un écoulement à surface libre.

Ainsi, pour des écoulement à surface libre dans des canaux droits inclinés, il est possible de distinguer grosso modo trois zones turbulentes : – près de la paroi, la turbulence est générée par la rugosité et des processus internes liés à la sous-couche visqueuse (à proximité immédiate de la paroi). Une hypothèse usuelle tirée d’arguments dimensionnels est de relier la longueur de mélange à la profondeur de la manière suivante : `m = κy avec κ la constante de von Kármán (κ ≈ 0,4). Cette zone s’étendant sur environ 20 % de la hauteur d’écoulement est appelée zone logarithmique pour des raisons indiquées ci-après ; – près de la surface libre, la turbulence est fortement influencée par la surface libre ;

5.3. JUSTIFICATION PHYSIQUE

57

– entre les deux interfaces, se trouve une région dite intermédiaire où la turbulence résulte d’échanges entre les deux zones productrices précédentes. La valeur de la longueur de mélange dans les deux régions supérieures peut être estimée de la manière suivante : `m ≈ βh avec β un paramètre empirique de valeur proche de 0,12.

Examinons ce qui se passe pour l’écoulement près de la paroi. En régime permanent uniforme, l’équation du mouvement s’écrit : du 2 τ = %f g sin θ(h − y) = %f κy , dy où %f g sin θ(h − y) est la contrainte de cisaillement déduite de l’équation de conservation de mouvement en régime permanent uniforme. En introduisant la vitesse de frottement à la paroi q p u∗ = τp /%f = gh sin θ,

on obtient :

1 u∗ du = dy κ y

r y 1− . h

En se limitant aux termes du premier ordre en y/h, puis par intégration, on obtient le profil de vitesse à proximité de la paroi : u 1 y = ln u∗ κ y0 où y0 est une profondeur à laquelle on admet que la vitesse s’annule. On trouve donc que le profil des vitesses moyennes est logarithmique. Naturellement, cette expression, valable pour des parois lisses, doit être corrigée si l’on veut prendre en compte une rugosité du fond. Pour des surfaces rugueuses, deux types de condition aux limites sont mis en évidence en fonction de la taille typique des grains composant la rugosité (ds ) et de l’épaisseur de la souscouche visqueuse (δ) : – les surfaces dites lisses (ds δ) ; – celles dites rugueuses (ds δ).

Pour une surface rugueuse, les expériences en conduite indiquent que la distance y0 vérifie : y0 = ds /30. Dans ce cas, par intégration du profil des vitesses moyenne, on déduit que la vitesse moyenne de l’écoulement est : u ¯ 1 30h 11h = ln ≈ 2,5 ln u∗ κ eds ds En pratique, il est souvent commode d’exprimer la vitesse moyenne à la hauteur d’écoulement par l’intermédiaire du coefficient de Chézy C : √ √ u ¯ = C sin θ h, On obtient par simple comparaison : √ g 30h 11h C= ln ≈ 7,83 ln κ eds ds

58


Pour une surface plane (en pratique pour des rugosités de surface inférieures à 250 mm), les expériences montrent que la distance y0 vérifie : y0 ≈ ν/9u∗ . On en déduit que le profil de vitesse près d’une paroi lisse : 1 9u∗ y u ¯ = ln u∗ κ eν Jusqu’à une époque récente, une pratique courante consistait à extrapoler à tout l’écoulement l’expression de la longueur de mélange valable à la paroi. À partir des années 1960, des termes de correction ont été rajoutés pour tenir compte de la modification de la turbulence loin des parois. Parmi les plus connus, la loi (empirique) de sillage de Coles donne de bons résultats pour de nombreuses classes d’écoulement. La méthode consiste à ajouter à la loi logarithmique un terme correctif de la forme suivante : u y πz 1 Π , = ln + sin u∗ κ y0 κ 2h avec Π un paramètre d’intensité, valant approximativement 0,2 lorsque le nombre de Reynolds Re = u ¯h/ν est supérieur à 2000 et proche de zéro lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à 500 (pour un canal à surface libre). Une autre méthode de correction consiste à considérer la variation de la longueur de mélange en fonction de la profondeur comme cela a été vu plus haut.

59

Chapitre 6

Hauteur normale selon la section d’écoulement 6.1

Hauteur normale et courbe de tarage

La hauteur normale est la profondeur moyenne d’eau en régime permanent uniforme. Elle se calcule en égalant contrainte pariétale et contrainte motrice. Par exemple, si l’on applique une loi de type Manning-Strickler, on obtient une équation implicite pour hn 2/3 √ ¯ u Q = hB ¯ = KRH iS,

¯ = f (hn ) la section d’écoulement, B la largeur au miroir, Q le débit total, h ¯ la (avec S = hB hauteur moyenne d’eau) qui peut se résoudre explicitement dans le cas d’un canal infiniment large (B h, soit RH ≈ h) : hn =

q √ K i

3/5

,

avec q le débit par unité de largeur. La hauteur normale est une fonction du débit et de la pente. Elle correspond au tirant d’eau pour un canal rectangulaire ou un canal infiniment large, mais s’en distingue dans les autres cas. À pente constante, la relation h = f (q) est appelée courbe de tarage ou de débitance. Sa représentation graphique se présente sous la forme d’une courbe avec deux branches : – pour les petits débits, une relation rapide de la hauteur avec le débit ; – quand le débit dépasse le débit de plein bord, le cours d’eau quitte son lit mineur, ce qui se traduit par une faible augmentation de la hauteur quand le débit croît. Les géométries de canaux les plus courantes sont la section trapézoïdale (en terre pour la navigation et l’irrigation), rectangulaire (béton ou maçonnerie pour les aménagements hydrauliques), ou circulaire (en béton pour l’assainissement pluvial).

6.2

Granulométrie et résistance à l’écoulement

La résistance à l’écoulement est en grande partie liée à la taille des grains. Par exemple, il existe des formules empiriques donnant le coefficient de Manning-Strickler en fonction de

60

CHAPITRE 6. HAUTEUR NORMALE SELON LA SECTION D’ÉCOULEMENT

i=cte

h

q

qpb Figure 6.1 : courbe de tarage.

Tableau 6.1 : hauteur, périmètre mouillé, section pour trois géométries usuelles.

type h S χ

circulaire R(1 − cos δ) R2 (δ − sin δ cos δ) 2Rδ

rectangulaire h Bh B + 2h

trapézoidal h (B + b)h/2 2h/ cos φ + b

R δ

h b ϕ

h

Figure 6.2 : sections usuelles pour des canaux.

la granulométrie telle que la formule de Meyer-Peter et Müller K=

26 1/6

d90

,

ou ou bien la formule plus de récente de Jäggi K=

23,2 1/6

d90

,

¯ (H, θ) 6.3. LIMITES DES RELATIONS U

61

ou encore celle de Raudkivi K=

24 1/6

d65

,

avec d65 le diamètre des particules tel que 65 % (en poids) des grains du lit aient un diamètre inférieur inférieur. La morphologie d’un chenal varie en fonction de la pente de telle sorte qu’il y ait un certain équilibre entre la pente (terme gravitaire moteur dans les équations du mouvement), le débit liquide, et le débit solide : – Pour les rivières (naturelles) de plaine, la sinuosité du lit, la possibilité de migration des méandres, et le développement de structures morphologiques (dunes, bancs de sable) permettent d’obtenir cet équilibre moyen. – Pour les rivières torrentielles et les torrents, cet équilibre se manifeste principalement à travers un équilibre de la section en travers et il existe une relation entre granulométrie du lit, capacité de transport, et débit dominant ; la dissipation d’énergie est variable en fonction de la composition granulométrique du lit (plus le lit est grossier, plus la dissipation d’énergie est importante) et des structures morphologiques (distribution régulière de seuils et de mouilles, antidune). En général, les lits composés d’éléments granulométriques variés sont pavés (armoring en anglais), c’est-à-dire il se forme une couche à la surface du lit, composée d’éléments grossiers, offrant une bonne résistance à l’érosion et permettant de dissiper suffisamment d’énergie. Le pavage est généralement stable (c’est-à-dire il n’est pas « affouillé » par les petites crues), mais il peut être détruit lors de grosses crues. Pavage et structures morphologiques évoluent sans cesse soit par ajustement local (petite crue), soit par déstabilisation massive, puis restructuration ; les échelles de temps associées varient fortement : Tableau 6.2 : durée moyenne de vie T (en années) du pavage et des structures morphologiques.

type pavage seuil alternance seuil/mouille

6.3

T 1–2 20–50 100–1000

Limites des relations u¯(h, θ)

La principale difficulté dans l’application des formules de régime permanent où l’on suppose que u ¯ = u ¯(h, θ) est que pour un certain nombre de rivières, la pente est loin d’être uniforme même sur de petits espaces de longueur. Un exemple typique est donné par les rivières torrentielles avec un lit irrégulier fait de seuils et mouilles (« step and pool rivers » en anglais) qui – aux basses eaux montrent une courbe de remous très irrégulière suivant le relief du lit (importante dissipation d’énergie). Dans ce cas, le mouvement moyen n’est pas dicté par une relation de la forme u(h, θ) (succession de régimes graduellement et rapidement variés) ; – aux hautes eaux montrent une courbe de remous uniforme qui est plus ou moins parallèle à la ligne moyenne du lit. Dans ce cas, il est possible d’aboutir à une relation u ¯(h, θ).


62

Pour ce type de rivière, il n’est pas possible de trouver une relation univoque u ¯=u ¯(h, θ) pour toutes les hauteurs d’écoulement. Cette indétermination est aggravée lorsqu’il y a transport solide car les formes du fond peuvent changer au cours d’une même crue, ce qui amène à un changement de la relation u ¯=u ¯(h, θ) pour un bief donné.

Figure 6.3 : forme de la courbe de remous en (a) basses eaux, (b) hautes eaux.

De même, le coefficient de rugosité du lit peut varier de façon significative avec le tirant d’eau pour les raisons suivantes : – la rugosité du fond et des berges ne sont pas identiques (par exemple à cause de la végétation). Il faut alors employer des méthodes spécifiques pour calculer une rugosité équivalente. Il existe plusieurs de ces méthodes : méthode d’Einstein, des parallèles confondues, etc. – si le cours d’eau déborde de son lit mineur, il va rencontrer une rugosité très différentes (terrains agricoles, routes, obstacles, etc.).

6.4

Structure morphologique

Toutes les relations vues précédemment ne sont valables que pour des cours d’eau à fond fixe et droit. Lorsque le lit présente des structures morphologiques (comme des dunes), une sinuosité (méandres), et un fond mobile, la résistance à l’écoulement peut croître de façon notable. Ainsi lorsqu’il y a des structures morphologiques de type dune, il faut tenir compte des dissipations supplémentaires induites. La dissipation d’énergie due à la présence de ces structures peut être importante. Elle est due : – à la création de tourbillons à grande échelle au sein du fluide (processus prédominant pour les dunes) ; – au remous de la surface libre, avec parfois apparition de ressauts hydrauliques (processus prédominant pour les anti-dunes). Pour quantifier ces effets, considérons une alternance de dunes le long du lit, de hauteur caractéristique a et de longueur L. En première approximation, on peut admettre que l’on peut assimiler la dissipation d’énergie induite par les dunes à une perte de charge singulière : la dune se comporte comme un rétrécissement de la section d’écoulement, suivi d’un élargissement brusque. À l’aide d’une formule de perte de charge pour écoulements divergents de type Borda, appliquée entre les points 1 et 2, on trouve : (¯ u1 − u ¯ 2 )2 u ¯ 2 a 2 ∆H1 = α , ≈α 2g 2g h

6.4. STRUCTURE MORPHOLOGIQUE

63

Figure 6.4 : géométrie simplifiée d’une dune.

où α est un coefficient de perte de charge. La profondeur d’eau h est calculée par rapport à une ligne fictive, qui représente l’altitude moyenne du fond (représentée par une ligne fine à la figure 6.4). La vitesse au point 1 est donc : u ¯1 = q/(h − a/2) tandis qu’en 2, on a u ¯2 = q/(h + a/2). Cette perte de charge singulière s’ajoute à la dissipation d’énergie par frottement sur le fond Cf u Cf u ¯2 ¯2 ∆H2 = L ≈L , RH 2g h 2g avec Cf = f /4 le coefficient de frottement qui peut être relié, par exemple, au coefficient de Strickler ρg u ¯2 1 2g u2 = 2 1/3 ⇒ Cf = τp = Cf ρ¯ , 1/3 2 2 K R K R H

H

ou bien au coefficient de Chézy 1 ρg 2 2g τp = Cf ρ¯ u2 = 2 u ¯ ⇒ Cf = 2 . 2 C C La perte de charge totale est donc ∆H = ∆H1 + ∆H2 = α

Cf u ¯2 u ¯ 2 a 2 +L , 2g h RH 2g

On peut calculer un coefficient de frottement équivalent Cf∗ comme étant la somme des pertes de charge locale dues à la dune : ∆H = Cf∗

Lu ¯2 , h 2g

soit encore Cf∗ = Cf + α

a2 . Lh

On peut également en déduire un coefficient de Chézy equivalent : Ceq. =

q 2g/Cf∗ . On en

déduit une nouvelle loi d’écoulement similaire à l’équation (voir tableau 5.1) obtenue pour un régime uniforme sur fond plat : s √ √ Lh sin θ h. u ¯=C 2 2 Lh + αa C /(2g) Ce petit calcul simple permet de montrer que, plus la taille de la dune augmente, plus la vitesse moyenne d’écoulement diminue.

64


Il existe des formules empiriques comme celle de Sugio pour des cours d’eau naturels (0,1 < d50 < 130 mm) et des canaux (0,2 < ks < 7 mm) : 0,54 0,27 i , u ¯ = KRH

avec K = 54 − 80 pour des dunes, K = 43 pour une rivière à méandre. D’autres formules ont été développées, mais elles présentent à peu près toutes l’inconvénient de ne fournir que des tendances car les données expérimentales sont très dispersées.

65

Chapitre 7

Régime permanent non-uniforme 7.1

Courbes de remous obtenues par les équations de Saint Venant

En régime permanent, le système d’équations (4.13–4.14) se simplifie. La conservation de la masse devient : ∂h¯ u = 0, ∂x d’où l’on tire que le débit par unité de largeur q = h¯ u est constant, tandis que l’équation de quantité de mouvement se simplifie en : u ¯

τp ∂h ∂u ¯ = g sin θ − g cos θ − . ∂x ∂x %h

(7.1)

En se servant de u ¯ = q/h et ∂h/∂x = dh/dx, on tire : τp u ¯2 dh = g sin θ − . g cos θ − h dx %h

On obtient une équation différentielle du premier ordre dite équation de la courbe de remous ou de la ligne d’eau. Cette équation étant du premier ordre, il faudra une condition aux limites, à l’amont ou à l’aval, sur la hauteur d’écoulement pour pouvoir la résoudre. Pour simplifier les notations on introduit le nombre de Froude qui s’écrit pour des canaux infiniment larges : u ¯ Fr = √ . gh cos θ on aboutit alors : τp − %gh sin θ dh 1 , (7.2) = dx %gh cos θ Fr2 − 1

avec ici τp = τp (¯ u, h) et Fr des fonctions implicites de h(x). Il existe d’autres expressions de cette équation, toutes équivalentes mais faisant appel à des quantités différentes (voir § 7.2).

Pour des canaux quelconques, on peut montrer que la définition du nombre de Froude est identique (puisque h = S/B). En revanche l’équation de remous est plus complexe car il faut tenir compte des éventuelles variations de la largeur au miroir B dans la direction d’écoulement ; on montre qu’on aboutit à : χτp − %gS sin θ − %h¯ u2 B 0 (x) dh 1 . = dx %gS cos θ Fr2 − 1

Notons que la formule du régime permanent se déduit de ces équations en prenant h0 (x) = 0.

CHAPITRE 7. RÉGIME PERMANENT NON-UNIFORME

66

7.2

Résolution de l’équation de remous

L’équation de remous peut se mettre sous la forme usuelle : jf − i dh , = 2 dx Fr − 1

(7.3)

où l’on a introduit i = tan θ et la pente de frottement jf =

τp . %gh cos θ

Dans le cas d’un canal infiniment large et d’une rugosité de type Chézy, on peut également la mettre sous la forme suivante (forme appelée équation de Bresse) : dh 1 − (hn /h)3 =i , dx 1 − (hc /h)3

(7.4)

où l’on a posé : – la hauteur normale hn , qui est solution de l’équation τp = %ghn sin θ (solution : hn = (q 2 /(C 2 i))1/3 pour un canal infiniment large) ; – la hauteur critique hc = (q 2 /g)1/3 . Auparavant on opérait une classification des courbes de remous en fonction des valeurs respectives de h, hn , et hc . Quand la pente est positive (i > 0), on a : – profil de type M (« mild ») pour pente douce quand hn > hc ; – profil de type S (« steep ») pour pente forte quand hn < hc . Il faut ajouter les profils critiques C quand h = hc . Lorsque la pente est nulle, la hauteur normale devient infinie, la courbe de remous devient horizontale ; on parle de profil H. Lorsque la pente est négative, on parle de profil adverse A. Notons qu’il n’y a pas de hauteur normale dans ce cas-là.

7.2.1 Canaux à faible pente : courbes M1–M3 Ce sont les courbes observées pour un canal descendant (i > 0) à pente faible (hn > hc ). On distingue trois branches : – h > hn > hc : la courbe est tangente à hn à l’amont et sa tangente devient horizontale à l’aval. On rencontre ce type de courbe à l’amont d’un barrage, d’un lac, ou d’un obstacle. Le profil est croissant (h0 > 0). – hn > h > hc : la courbe est tangente à hn à l’amont. Le profil est décroissant (h0 < 0). Sa tangente aurait tendance à devenir verticale à l’aval car la courbe de remous croise la hauteur critique. On rencontre ce type de courbe à l’amont d’une chute ou de toute variation brutale de la pente, où il y a passage d’un écoulement fluvial à torrentiel. – hn > hc > h : la courbe est tangente à hn à l’amont. Le profil est croissant (h0 > 0). À l’aval il se forme un ressaut. On rencontre ce type de profil à la sortie d’une vanne lorsque la pente du radier à l’aval est faible.

7.2. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DE REMOUS

67

M1 hn hc

M2 hn hc

M3 hn hc

Figure 7.1 : allure des courbes.

7.2.2 Canaux à forte pente : courbes S1–S3 Ce sont les courbes observées pour un canal descendant (i > 0) à pente forte (hn < hc ). On distingue là encore trois branches : – h > hn > hc : la courbe est tangente à hn à l’aval et sa tangente tendrait à devenir verticale à l’amont car la courbe de remous croise la hauteur critique. On rencontre ce type de courbe à l’aval d’un barrage ou d’un changement. Le profil est croissant (h0 > 0). – hn > h > hc : la courbe est tangente à hn à l’aval. Le profil est décroissant (h0 < 0). Sa tangente aurait tendance à devenir verticale à l’amont. On rencontre ce type de courbe à l’aval d’une augmention brutale de la pente, où il y a passage d’un écoulement fluvial à torrentiel, ou bien lors d’un élargissement brutal de la section d’écoulement. – hn > hc > h : la courbe est tangente à hn à l’aval. Le profil est croissant (h0 > 0). À l’aval il se forme un ressaut. On rencontre ce type de profil à la sortie d’une vanne dénoyée lorsque la pente du radier à l’aval est forte.


68

S

1

hc hn

S

2

hc hn

S

3

hc hn

Figure 7.2 : allure des courbes.

7.2.3 Résolution De nos jours, on résout numériquement l’équation de remous. Comme il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre, il suffit de connaître une seule condition aux limites. En pratique, on ne peut pas choisir n’importe comment la position amont/aval de cette condition (pour des problèmes de propagation d’onde abordés au § 4.2.2). En effet : – pour un régime fluvial, la condition aux limites peut être choisi à l’amont ou à l’aval ; – pour un régime torrentiel, il faut placer la condition aux limites à l’amont. L’imposition d’une condition aux limites dans un cours d’eau peut se faire à l’aide de singularités où le débit et/ou la hauteur sont imposés (vanne, seuil, chute). En pratique, les écoulements fluviaux sont calculés dans la direction inverse de celle de l’écoulement (condition à la limite à l’aval) tandis qu’en régime torrentiel, la condition à la limite est placée à l’amont.

7.2. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DE REMOUS

Figure 7.3 : tableau récapitulatif des courbes.

69

70


Figure 7.4 : quelques exemples des courbes de remous en fonction des aménagements.

71

Chapitre 8

Courbes de remous et écoulement critique 8.1

Hauteur critique et régimes associés

La hauteur croît ou décroît selon le signe respectif du numérateur et du dénominateur dans l’équation différentielle (7.2), ce qui donne différentes formes de courbes de remous (voir figure 7.3). Notons ce point important : lorsque le nombre de Froude prend la valeur 1, le dénominateur est nul et en ce point la dérivée devient infinie, ce qui est physiquement impossible. En fait au voisinage de ce point, il se forme – soit une discontinuité de la surface libre appelée ressaut qu’il faut étudier avec des outils spécifiques (cf. § 8.2) lorsqu’on passe d’un régime super- à subcritique ; – soit une « chute » d’eau, c’est-à-dire une accélération brutale et un raidissement de la surface libre (passage d’un seuil par exemple, avec transition d’un régime sub- à supercritique). La pente du canal et/ou la hauteur pour lesquelles on a Fr = 1 s’appelle la pente critique et la hauteur critique hc . On distingue deux régimes selon la valeur du nombre de Froude : – Fr < 1, régime sub-critique plus couramment appelé régime fluvial pour lequel on a h > hc ; – Fr > 1, régime super-critique plus couramment appelé régime torrentiel pour lequel on a h < hc . La hauteur critique étant définie comme étant Fr(hc ) = 1, on tire que : hc =

1 Q2 g B2

1/3

,

avec Q le débit total et B la largeur au miroir. Dans le cas d’un canal rectangulaire, en introduisant le débit par unité de largeur q = Q/B, on tire : hc =

q2 g

1/3

.

Le débit critique ne dépend pas (directement) de la pente, mais uniquement du débit liquide.

CHAPITRE 8. COURBES DE REMOUS ET ÉCOULEMENT CRITIQUE

72

8.2

Ressaut hydraulique

Au niveau d’un ressaut, la courbure de la ligne d’eau est trop importante et les équations de Saint Venant cessent d’être valables. On utilise alors le théorème de quantité de mouvement de part et d’autre du ressaut (sur un volume de contrôle) pour simplifier le problème et déduire les caractéristiques du ressaut. Pour cela on considère un volume de contrôle (par unité de largeur) de part et d’autre du ressaut. Notons que l’écoulement va de la gauche vers la droite et il faut se souvenir que dans ce sens d’écoulement, un ressaut provoque une augmentation de hauteur, jamais une diminution (en effet le ressaut est associé à une dissipation d’énergie, donc à un ralentissement de l’écoulement). La tranche amont (resp. aval) est référencée par l’indice 1 (resp. 2). La longueur du volume de contrôle est L.

(a)

L

¶V h2 h (b)

1

u2

u1

Figure 8.1 : simulation d’un ressaut au laboratoire (a) et schématisation d’un ressaut (b).

On fait les hypothèses suivantes – l’écoulement est permanent et le débit par unité de largeur vaut q ; – l’écoulement est unidirectionnel ; – le ressaut est immobile (sa vitesse de déplacement est nulle) ; – la pression est hydrostatique loin du ressaut ; – le profil de vitesse est uniforme ; – le fond est peu rugueux.

8.2. RESSAUT HYDRAULIQUE

73

On considère un volume de contrôle dont les frontières englobent le ressaut. – L’équation de continuité donne : u1 h1 = u2 h2 = q. – L’équation de quantité de mouvement Z Z Z Z ρu(u · n)dS = ρgdV − pndS + ∂V

V

∂V

∂V

T · ndS

projetée le long de la direction d’écoulement donne :

1 %q(u2 − u1 ) = −Lτp + %g(h21 − h22 ). 2 On suppose que l’on connaît les conditions à l’amont et on veut déduire ce qui se passe à l’aval. Quand on peut négliger le frottement τp , on tire : q 1 h2 2 = 1 + 8Fr1 − 1 . (8.1) h1 2

6

h2 /h1

5 4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

Fr1 Figure 8.2 : variation du rapport h2 /h1 en fonction du nombre de Froude.

La figure 8.2 montre que le rapport h2 /h1 varie de façon à peu près linéaire avec le nombre de Froude amont F r1 . L’équation (8.1) s’appelle équation de conjugaison et les hauteurs h1 et h2 sont dites conjuguées. La perte de charge associée s’écrit : 3 q 2 1 + 8Fr − 3 1 u2 − u21 (h2 − h1 )3 . ∆H = H2 − H1 = h2 − h1 + 2 = = h1 q 2g 4h1 h2 2 16 1 + 8Fr1 − 1 La longueur du ressaut n’est en général pas très élevée, ce qui permet de justifier notre approximation. Expérimentalement on trouve que : Fr L = 160 tanh − 12, h1 20 pour 2 < Fr < 16.


74

8.3

Conjugaison d’une courbe de remous

8.3.1 Données du problème ♣ Exemple. – On considère un aménagement composé :

– d’un réservoir avec une vanne de 2 mètre de hauteur laissant passer un débit q = 10 m2 /s en O ; – d’un coursier en pente raide (i1 = 5 %) et moyennement rugueux (coefficient de Chézy C = 50 m1/2 .s−1 ), d’une longueur de 10 m entre O et A ; – d’un canal de pente douce (i1 = 0,2 %) et de même rugosité rugueux que le coursier C = 50 m1/2 .s−1 , d’une longueur de 1000 m entre A et B ; – d’un seuil d’une pelle p = 0,5 m en B. Le coursier et le canal sont très larges.

Figure 8.3 : aménagement étudié (échelle de longueur non respectée).

8.3.2 Résolution du problème On souhaite calculer la courbe de remous et notamment la position et les caractéristiques du ressaut. Pour cela on calcule les caractéristiques de l’écoulement : – pour le coursier, on est en régime supercritique (torrentiel) : hn = 0,92 m, Fr0 = 1,12, Frn = 3,6 ; – pour le canal, on est en régime subcritique (fluvial) : hn = 2,71 m, Frn = 0,71. Pour l’ensemble de l’aménagement, la hauteur critique est la même et vaut : s q2 hc = 3 = 2,17 [m], g Connaissant la hauteur d’écoulement à l’amont du coursier (h = 2 m), on peut calculer la courbe de remous en résolvant l’équation (7.4) numériquement. On trouve qu’en A, la hauteur vaut hA = 1,54 m. On peut ensuite commencer à intégrer l’équation (7.4) pour le canal. Sans surprise, on trouve qu’il y a une transition critique au point C. On trouve numériquement xC = 90 m. Pour calculer la position du ressaut, on commence par calculer l’autre branche reliant le point C à l’exutoire B. Au niveau du seuil le débit est « contrôlé » par la hauteur de p (voir § 10.3) : 3/2 2 √ q= g (H − p) [m2 /s], 3

8.3. CONJUGAISON D’UNE COURBE DE REMOUS

75

ce qui implique que la charge totale H doit s’adapter à l’amont du seuil pour laisser transiter le débit q. On trouve qu’au voisinage de B, la charge H doit valoir H = 3,73 m, d’où l’on déduit que la hauteur avant le seuil doit être de hB = 3,25 m. On calcule alors la courbe de remous entre A et B en résolvant l’équation (7.4) avec la condition à l’aval h = hB en B. La position du front est trouvée en recherchant l’intersection de la courbe conjuguée (tracée en tireté sur la figure) de la courbe de remous AC avec la courbe de remous émanant de D. On trouve que l’intersection se fait en D’ de coordonnée : xD = 24 m. On relie les deux courbes de remous émanant de A et celle venant de B en considérant qu’elle se rejoignent au point D et qu’en ce point elles subissent un saut représenté par le segment DD’ sur la figure 8.4. u t 3.25 3

D’

2.75

h

2.5 2.25

C

O 2 D

1.75 A 1.5 0

50

100

150

200

x Figure 8.4 : courbes de remous : solution donnée par l’équation (7.4) (courbe continue), courbe conjuguée (trait discontinue), et position du ressaut (courbe en gras).


76

8.3.3 Résolution assistée

1. On commence par calculer les caractéristiques hydrauliques dans les deux biefs.

In[19]:=

q 10; Ch 50; i1 0.05; hn1 q Ch Sqrt i1 ^ 2 3 Frn q hn1 ^ 1.5 Sqrt 9.81 hc q ^ 2 9.81 ^ 1 3 Fr1 q 2 ^ 1.5 Sqrt 9.81

Out[22]=

0.928318

Out[23]=

3.56961

Out[24]=

2.16825

Out[25]=

1.12881

In[26]:=

i2 0.002; hn2 q Ch Sqrt i2 ^ 2 3 Fr2 q hn2 ^ 1.5 Sqrt 9.81

Out[27]=

2.71442

Out[28]=

0.713922

2. On calcule la ligne d’eau dans le bief OA. On note que la hauteur en A vaut 1,54 m, donc elle est supérieure à la hauteur normale, mais inférieure à la hauteur critique, ce qui veut qu’en A l’écoulement est toujours supercritique.

In[14]:=

eqn1 NDSolve h' x i1 1 hn1 h x ^ 3 1 hc h x ^ 3 , h 0 des0 Plot Evaluate h x . eqn1 , x, 0, 10 ; hs Evaluate h x . eqn1 1 . x 10 h x

Out[14]=

InterpolatingFunction 2

4

6

0., 100. 8

,

2 , h x , x, 0, 100

x

10

1.9

1.8

1.7

1.6

Out[16]=

1.53911

3. On calcule la ligne d’eau dans le bief AB. Au point C, la routine de calcul s’arrête car une singularité est détectée (dénominateur tendant vers l’infini dans l’équation 7.4).


In[20]:=

77

eqn2 NDSolve h' x i2 1 hn2 h x ^ 3 1 hc h x ^ 3 , h 10 hs , h, x, 10, 600 xl Flatten h . eqn2 . HoldPattern InterpolatingFunction x__, y___ x 2 des1 Plot Evaluate h x . eqn2 , x, 10, xl , PlotRange 0, 3 ; NDSolve::ndsz : At x 90.30048673927307`, step size is effectively zero; singularity or stiff system suspected.

h

Out[20]= Out[21]=

InterpolatingFunction

10., 90.3005

,

90.3005 3 2.5 2 1.5 1 0.5

20

40

60

80

4. On calcule la courbe conjuguée de la ligne d’eau dans le bief AB.

In[26]:=

conj h_ : 1 2 h Sqrt 8 q h ^ 1.5 Sqrt 9.81 ^ 2 1 1 des2 Plot conj Evaluate h x . eqn2 1 , x, 10, xl , PlotRange All, PlotStyle Dashing 0.01, 0.01 Show des0, des1, des2 ;

;

2.8

2.6

2.4

40

60

80

2.8 2.6 2.4 2.2 20

40

60

80

1.8 1.6

5. On calcule les caractéristiques hydrauliques au niveau du seuil.

Plus…


78

In[48]:=

Out[50]=

p 0.5; g 9.81; Hf q ^ 2 3 3 2 g^ 1 3 p q h ^2 2 g sol h . Solve h q sol 3 ^ 1.5 Sqrt g 3.75238 1.03212, 1.50644, 3.27807

Out[51]= Out[52]=

N Hf, h

0.537945

6. On calcule la courbe de remous dans le bief AB.

In[70]:=

eqn3 NDSolve h ' x i2 1 hn2 h x ^ 3 1 hc h x ^ 3 , h 1000 h, x, 1000, 10 xl2 Flatten h . eqn3 . HoldPattern InterpolatingFunction x__, y___ x 1 des3 Plot Evaluate h x . eqn3 , x, 1000, xl2 , PlotRange All ; des4 Plot conj Evaluate h x . eqn3 1 , x, 1000, xl2 , PlotRange 0, 3 , PlotStyle Dashing 0.01, 0.01 ;

Out[70]=

h

Out[71]=

10.

InterpolatingFunction

10., 1000.

sol

3

,

,

3.2 3.1

200

400

600

800

200

400

600

800

1000

2.9 2.8

3 2.5 2 1.5 1 0.5

1000

7. On peut tracer les courbes de remous et leur conjuguée. On note la symétrie de la représentation graphique.


In[57]:=

79

des

Show des0, des1, des2, des3, des4, Frame True, Axes False, FrameLabel StyleForm " x ", FontSize 18, FontSlant "Italic", FontFamily "Times", PrivateFontOptions "OperatorSubstitution" False , "Italic", StyleForm " h ", FontSize 18, FontFamily "Times", FontSlant PrivateFontOptions "OperatorSubstitution" False , DefaultFont "Times", 14 , ImageSize 500 ;

8. On calcule le point d’intersection entre la courbe de remous (l’une des deux) et la conjuguée de l’autre courbe.

In[58]:=

Out[58]= Out[59]=

xr

x . FindRoot conj Evaluate h x . eqn3 1 FindRoot conj Evaluate h x . eqn2 37.8227 x

37.8227

1

Evaluate h x . eqn2 , x, 10, 90 1 Evaluate h x . eqn3 , x, 10, 90

80


81

Chapitre 9

Équation de Bernoulli et ses applications 9.1

Charge totale et charge spécifique

La charge totale hydraulique s’écrit : H = y` + h +

u ¯2 , 2g

avec y` la cote du fond. La charge totale représente l’énergie totale (énergie potentielle + énergie piézométrique + énergie cinétique) traduite en termes de hauteur (c’est-à-dire en divisant l’énergie par %/g) Pour simplifier, on a négligé le terme cos θ devant h. La quantité Hs = h +

u ¯2 2g

s’appelle l’énergie spécifique et représente l’énergie du fluide à une cote donnée (pression + énergie cinétique) ; la charge totale est donc la somme de la charge spécifique Hs et de l’énergie potentielle y` . Pour une pente donnée, l’énergie spécifique est une fonction de la hauteur ou bien du débit.

9.1.1 Débit à charge spécifique constante Si on écrit la charge spécifique comme une fonction du hauteur, on a : Hs (h) = h +

q¯2 , 2gh2

d’où l’on tire que le débit par unité de largeur q = u ¯h vaut p q(h) = 2gh2 (Hs − h).

ou sous forme adimensionnelle

p q(h) q∗ = p = 2ξ 2 (1 − ξ), gHs3

(9.1)

CHAPITRE 9. ÉQUATION DE BERNOULLI ET SES APPLICATIONS

82

avec ξ = h/Hs . Il s’agit d’une courbe en cloche asymétrique prenant sa valeur maximale en ξ = 2/3 (h = 2Hs /3) puisque dq∗ 2 2 − 3ξ = 0 pour ξ = . =√ dξ 3 2 − 2ξ

0.5

q*

0.4 0.3 0.2

Fr>1

Fr<1

0.1 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ξ Figure 9.1 : variation de l’énergie spécifique avec la hauteur d’écoulement.

Il s’ensuit queple débit ne peut pas prendre n’importe quelle valeur, mais varie entre 0 et p 3 qmax = gh = 8gHs3 /27. On note que pour ce débit maximal, on Fr = 1. Le débit maximal dans une section correspond au débit critique. On note également que pour un même débit, il existe deux hauteurs possibles, l’une en régime supercritique, l’autre en régime subcritique.

9.1.2 Hauteur à charge spécifique constante Si l’on se place à un débit donné 0 < q < qmax , l’énergie spécifique est une fonction de la hauteur : q¯2 , Hs (h) = h + 2gh2 p que l’on peut écrire également sous forme adimensionnelle en divisant par hc = 3 q 2 /g H∗ =

1 1 Hs =ξ+ , hc 2 ξ2

avec ξ = h/hc . La courbe correspondante est reportée à la figure 9.2 ; le comportement de cette courbe est le suivant : – quand h → 0, Hs ∝ q 2 h−2 → ∞ : la charge diverge aux faibles profondeurs ;

– quand h → ∞, Hs ∝ h : la charge spécifique tend asymptotique vers la droite Hs = h.

9.1. CHARGE TOTALE ET CHARGE SPÉCIFIQUE

83

8

H*

6

4

2 Fr>1

Fr<1

0 0

2

4

6

8


Le minimum de Hs est atteint pour la hauteur critique puisque 2 1 dH∗ =1− = 0 pour ξ = 1. dξ 2 ξ3 Le diagramme Hs = Hs (h) permet de raisonner qualitativement sur la forme des courbes de remous. Il faut pour cela bien distinguer le cas supercritique du cas subcritique. Considérons un régime subcritique sur une marche d’escalier de hauteur p = zb − za . A B

ha

hb marche

za

zb

Figure 9.3 : courbe de remous sur une marche d’escalier en régime subcritique.

La charge totale se conservant, doit avoir une diminution de la charge spécifique de p HA = HB = z + h +

u ¯2 ⇒ Hs (B) = Hs (A) − p. 2g

Sur la figure 9.4, on a représenté les états (ξ = h/hc , H∗ ) correspondants aux points A et B. Le point B est obtenu en opérant une translation verticale −p. On note que la hauteur hb en B


84 8 7 6

H*

A’

A

5 4 B 3 B’ 2 0

2

4

6

8


est nécessairement plus faible qu’en A. On peut reproduire le raisonnement dans le cas d’un régime supercritique et on trouve un résultat opposé : au passage d’une marche ascendante, la courbe de remous est croissante (augmentation de la hauteur entre les points A’ et B’ sur la figure 9.4).

9.2

Courbes de remous obtenues par l’équation de Bernoulli

L’équation de Bernoulli permet également de retrouver l’équation de remous. En différentiant la charge totale H par rapport à x et en introduisant la pente de frottement : jf = −dH/dx, on a : dh d q2 −jf = i + + , dx dx 2gh2 soit encore :

jf − i dh , = 2 dx Fr − 1

comme précédemment avec les équations de Saint-Venant.

9.3

Effet d’un obstacle

9.3.1 Écoulement sur une topographie Considérons un écoulement permanent de profondeur h0 et de vitesse u ¯0 √ à la cote de référence z0 = 0. Le nombre de Froude associé à cet écoulement est F0 = u0 / gh0 . Sur le fond, il existe une protubérance de hauteur zm ; la cote du fond est donnée par une équation de la forme y = z(x).

9.3. EFFET D’UN OBSTACLE

85

h 0

zm Figure 9.5 : variation d’une ligne d’eau le long d’une protubérance.

La conservation de la charge implique d’après le théorème de Bernoulli 2 ¯ d u + h + z = 0, dx 2g tandis que la conservation du débit entraîne d (h¯ u) = 0. dx En tout point x, on a donc :

u ¯2 u ¯2 + h + z = 0 + h0 + z0 , 2g 2g

qui peut se transformer en divisant par h0 h0 2 z 1 h 1 F0 + = F02 + 1. + 2 h h0 h0 2

(9.2)

Il existe certaines contraintes quant à l’utilisation de cette équation pour déterminer la ligne d’eau dans des cas concrets. En effet si on différentie (9.2) par x, on obtient 2 dh dz u ¯ −1 = , gh dx dx ce qui montre que sur la crête de l’obstacle (z = zm , z 0 = 0) on doit avoir F r = 1 (écoulement critique) ou bien h0 = 0. Notons aussi que si localement le nombre de Froude vaut 1, alors z 0 = 0, ce qui veut dire que le nombre de Froude ne peut pas dépasser la valeur critique 1 (ou bien passer au-dessous de 1 si F0 > 1) quand F0 < 1. Un écoulement subcritique reste subcritique (et inversement pour un écoulement supercritique). Cela implique également qu’il existe une hauteur maximale d’obstacle associée à un nombre de Froude F r = 1 ; de l’équation (9.2), on tire en posant F r = 1 que zmax 3 2/3 1 = 1 − F0 + F02 . h0 2 2 Lorsque zm > zmax , on ne peut appliquer aussi simplement le théorème de Bernoulli et l’écoulement prend une forme beaucoup plus complexe, notamment avec la formation de ressaut et d’onde de part et d’autre de l’obstacle.

9.3.2 Dune À partir de l’équation de conservation de la quantité de mouvement ∂u ∂u 1 + u∇ · u = + ∇ |u|2 + (∇ × u) × u = %g − ∇p + ∇ · T, ∂t ∂t 2

86


on déduit qu’en régime permanent (∂t u = 0) et pour un écoulement irrotationnel (ce qui implique que (∇ × u) × u = 0), la contrainte de cisaillement au fond (en y = 0) vérifie l’équation de bilan suivante ∂Hs 1 ∂τ =g , (9.3) g sin θ + % ∂y ∂x où on a introduit l’énergie spécifique : Hs = h cos θ +

u ¯2 , 2g

et on a supposé que la pression était hydrostatique (ce qui se montre en considérant la projection selon y de la quantité de mouvement et en supposant que les variations de hauteur sont faibles) : p = %gh cos θ. En régime permanent et uniforme, l’énergie spécifique est constante et on retrouve que la contrainte de cisaillement varie selon l’expression déjà vue dans le chapitre consacré au régime permanent uniforme y , τ = τp 1 − h avec la contrainte au fond τp = %gh sin θ. On a reporté sur la figure 9.7 la variation de l’énergie spécifique en fonction de la hauteur d’écoulement à débit constant. L’effet d’une protubérance sur la contrainte de cisaillement dépend du régime d’écoulement. La présence d’une protubérance de hauteur a modifié la surface libre de l’eau (voir fig. 9.6). Elle induit donc le passage à un régime non uniforme. Recherchons comment varie la contrainte de cisaillement de part et d’autre de la protubérance. On se placera dans le cas d’un régime fluvial (le traitement du régime torrentiel est similaire).

Figure 9.6 : variation d’une ligne d’eau le long d’une protubérance. On a également reporté les variations de la contrainte de cisaillement selon que l’on est à l’amont ou à l’aval de la protubérance. La variation de la contrainte de cisaillement en régime non uniforme est calculée à partir de l’équation (9.3).

En régime fluvial, en admettant que l’énergie totale (Hs + y` , avec y` la cote du fond) se conserve, l’énergie spécifique au droit de la protubérance (point 3) doit être plus faible que l’énergie spécifique du régime uniforme (point 1). La différence entre les deux énergies vaut a. Comme l’indique la figure 9.7, cela conduit aux deux observations suivantes : – sur la face amont de la protubérance, la contrainte de cisaillement près du fond est plus forte qu’en régime uniforme ;

9.3. EFFET D’UN OBSTACLE

87

H Hs=H1

3

1

hc

br an ch e

su

bc rit

2

iq ue

branche supercritique

Hs=H 3

h1 h3 h2

h

Figure 9.7 : variation de l’énergie spécifique en fonction de la hauteur à débit constant pour le régime permanent uniforme établi loin de la protubérance. La courbe en pointillé correspond à l’énergie spécifique au droit de la protubérance (déduite d’une translation verticale de a de la précédente). Les points 1, 2, 3 renvoient aux indices des hauteurs d’écoulement. Dans le diagramme h − H, les courbes d’énergie spécifiques sont toutes parallèles et la distance entre deux courbes correspond à la différence d’énergie potentielle.

– sur la face aval, la contrainte de cisaillement est plus faible près du fond que celle déterminée en régime uniforme. Lorsqu’on est près des conditions critiques d’érosion pour le régime uniforme, on en déduit que la face amont sera le lieu d’une érosion plus importante et qu’inversement, la face aval sera le siège d’un dépôt (si la contrainte pariétale est suffisamment faible). Lorsque le processus d’érosion et dépôt de part et d’autre de la protubérance est opérant, on assiste au déplacement de la structure ainsi créée. On désigne en général par dune le nom de telles structures morphologiques, qui se déplace de l’amont vers l’aval.

88


89

Chapitre 10

Rupture de barrage écoulements rapidement variés Les équations de Saint-Venant peuvent servir à calculer des problèmes d’écoulements transitoires rapides comme la rupture d’un barrage. C’est principalement parce que le rapport d’aspect = H∗ /L∗ reste petit que ces équations sont encore capables de fournir une approximation correcte des écoulements réels. Pour des écoulements rapidement variés, comme l’écoulement au-dessus d’un seuil, les équations de Saint-Venant cessent d’être valables ; on emploie alors des équations qui spécifient localement la relation entre hauteur et débit. Ces équations sont le plus souvent empiriques, mais leur forme est justifiée à l’aide du théorème de Bernoulli.

10.1 Rupture de barrage 10.1.1 Solution de Ritter On considère un mur vertical qui retient un lac de retenue, dont le volume est supposé infini. La hauteur d’eau initiale est hi . À l’instant t = 0, on suppose que le mur du barrage s’efface totalement et laisse s’écouler le volume d’eau sur un lit horizontal. C’est la géométrie la plus simple qu’on puisse imaginer. Le problème correspondant est appelé problème de rupture de barrage. La première solution analytique connue est due à Ritter 1 . La méthode classique de résolution est fondée sur la méthode des caractéristiques, évoquée au chapitre 4.2. Nous allons voir cette méthode ainsi qu’une autre approche dite « méthode des formes autosimilaires » qui exploite les propriétés d’invariance des équations différentielles.

1. August Ritter (1826–1908) était un ingénieur (génie mécanique) allemand. Il commença sa carrière dans des usines fabriquant des machines, puis en 1859 il obtient un poste à l’université d’Hannovre. Il fut nommé professeur de mécanique à Aix-la-Chapelle en 1870, où il finit sa carrière. Ses recherches l’ont amené à s’intéresser à différents problèmes pratiques de la mécanique et de la thermique. En particulier, il proposa en 1892 la première solution analytique du problème de rupture de barrage. En fait, la première solution mathématique de ce type de problème est vraisemblablement dû au mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann, qui proposa en 1859 une méthode générale de résolution des équations hyperboliques comme celles de Saint-Venant.

90

CHAPITRE 10. RUPTURE DE BARRAGE ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS

hi x

Figure 10.1 : géométrie du problème dit de « rupture de barrage ».

Méthode des formes auto-similaires Lorsqu’on néglige le frottement sur le fond et qu’on considère un fond horizontal, les équations de Saint-Venant s’écrivent ∂h ∂hu + = 0, (10.1) ∂t ∂x ∂u ∂h ∂u +u +g = 0. (10.2) ∂t ∂x ∂x Dans le cas d’une rupture de barrage, les conditions initiales et aux limites sont les suivantes −∞ < x < ∞, u(x,0) = 0,

x < 0, h(x,0) = hi ,

(10.3)

x > 0, h(x,0) = 0. On recherche une solution sous la forme d’une solution auto-similaire u ¯ = tβ/α U (ζ) et h = tγ/α H(ζ), avec ζ = x/tα la variable de similarité, H et U deux fonctions à déterminer. En replaçant u ¯ et h par leur forme auto-similaire dans les équations (10.1–10.2), on trouve : β + α = 1 et γ + 2α = 2. Pour que cette solution satisfasse les conditions initiales et aux limites, on doit poser β = γ = 0, d’où α = 1. Le système d’équations (10.1–10.2) devient alors dU dH + (U − ζ) = 0, dζ dζ dH dU +g =0 (U − ζ) dζ dζ

H

On aboutit alors à un système d’équations, qui mis sous forme matricielle s’écrit 0 H U −ζ U · = 0, U −ζ g H0

où le prime symbolise la dérivée selon ζ. Pour que ce système admette une solution non triviale, il faut que son déterminant s’annule, ce qui conduit à gH = (U − ζ)2 . On substitute cette relation dans le système d’équations ci-dessus et on tire U 0 = 2ζ/3, d’où U = 2(ζ + c)/3, où c est une constante d’integration, H √ = 4(c − 21 ζ)2 /(9g). La constante c0 est trouvée en se servant des conditions aux limites : c0 = ghi . Retournant aux variables originales, on déduit finalement la solution dite de Ritter des équations de Saint-Venant 2 x + c0 , (10.4) u ¯(x, t) = u ¯= 3 t 2 1 x h(x, t) = − + 2c0 . (10.5) 9g t

10.1. RUPTURE DE BARRAGE

91

6 5

u( x,t )

4 3 2 1 0 -10

-5

(a)

0

5

10

x 1

h( x,t )

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -10

(b)

-5

0

5

10

x

Figure 10.2 : solution du problème de rupture de barrage aux temps : t = 0 ; 0,5 s ; 1 s ; 1,5 s ; 2 s. (a) Variation de la vitesse moyenne u en fonction de x pour les différents temps ; notons que la variation verticale au niveau du front n’est pas la solution physique et ne sert ici qu’à positionner le front. (b) variation de la hauteur en fonction de x pour différents temps.

La justification du terme de forme auto-similaire apparaît clairement quand on examine la solution tracée sur la figure 10.2 : les solutions se ressemblent toutes et semblent être des formes « étirées » à partir d’une seule courbe. Quelques autres remarques : – le front est le point où h = 0, donc ici c’est le point tel que x = 2c0 t, ce qui indique que la vitesse du front est uf = 2c0 . C’est une valeur qui ne dépend que de la hauteur initiale et d’aucun autre paramètre (comme le volume de fluide). Cette valeur est aussi √ le double de la célérité des ondes en eau peu profonde c0 = ghi ; – la forme du front est parabolique : le fluide se présente comme une lame de plus en plus fine au fur et à mesure que l’on s’approche du front. Cela n’est pas cohérent avec les observations puisqu’en général le front se présente plutôt comme un mur d’eau. On verra comment on peut expliquer cela en faisant intervenir localement la rugosité du lit (voir § 10.1.2) ; – toutes les courbes h(x, t) passent par le point x = 0 et h = 4c20 /(9g) = 4hi /9. De même, toutes les courbes u(x, t) passent par le point x = 0 et u = 2c0 /3. Cela montre q que la rupture de barrage est équivalent à injecter un débit constant et égal à uh = 8

gh3i /27.


92

Méthode des caractéristiques On a vu au § 4.2 que l’on pouvait transformer les équations de Saint Venant, c’est-à-dire un jeu d’équations aux dérivées partielles : ∂ ∂h + (uh) = 0, ∂t ∂x ∂u ∂h ∂u +u +g = 0, ∂t ∂x ∂x

(10.6) (10.7)

en un système d’équations différentielles ordinaires en soustrayant ou additionnant membre chaque équation dr = 0 le long de dt ds = 0 le long de dt

p dx (10.8) = λ+ = u + gh, dt p dx = λ− = u − gh. (10.9) dt √ √ Cela fait apparaître deux nouvelles inconnues : r = u + 2 gh et s = u − 2 gh), dites variables de Riemann. Dans le cas présent, les variables r et s sont constantes le long des courbes caractéristiques d’équation dx/dt = λ± . Pour cette raison elle sont appelées invariantes de Riemann. Remarque sur l’obtention de la forme caractéristique. Le passage du système (10.6–10.7) au système (10.8–10.9) peut ressembler à un tour de passe-passe puisqu’on a additionné et retranché des équations pour obtenir le résultat souhaité. En fait, cette transformation repose sur un mécanisme assez général de transformation des équations différentielles hyperboliques que l’on va expliciter ici. Rappelons tout d’abord que l’on peut écrire (10.6–10.7) sous la forme condensée ∂ ∂ U+A· U = S, ∂t ∂x avec : U = {h, u}, S = 0 et : A=

u h g u

.

Les valeurs propres de la matrice A introduite dans le système d’équations (10.6–10.7) sont :

avec c =

√

λi = u ± c, gh, et les vecteurs propres à gauche 2 sont : c vi = ± , 1 . h

Multipliant les équations (10.6–10.7) par le vecteur à gauche v1 , on tire : c ∂h ∂hu ∂h ∂u ∂u + −c +u , = h ∂t ∂x ∂x ∂t ∂t que l’on peut arranger de la façon suivante : c ∂h ∂u ∂h ∂u = + (u − c) + (u − c) , h ∂t ∂x ∂t ∂t 2. Les vecteurs propres à gauche vérifient : vi · A = λi vi .

(10.10)


93

On note la présence du facteur c/h et une certaine symétrie des membres de droite et de gauche. Le membre de droite peut s’interpréter comme la dérivée de u par rapport à t le long de la courbe C− d’équation dx/dt = λ− = u − c. On aimerait bien faire de même avec le membre de gauche, mais le facteur c/h pose problème. On souhaiterait pouvoir faire entrer le rapport c/h dans les termes différentiels ; pour cela introduisons une fonction ϕ(h) telle que : dϕ c dh = . dt h dt √ √ On trouve facilement par intégration (puisque c = gh) : ϕ(h) = 2 gh = 2c. L’équation (10.10) peut donc s’écrire p du dx dϕ = le long de = λ− = u − gh, dt dt dt

soit encore

p ds dx = 0 le long de = λ− = u − gh, dt dt

avec s = u − ϕ = u − 2c. On fait ensuite de même avec le second vecteur à gauche v2 ; on obtient une équation similaire à (10.10) au signe près et où u − c est remplacé par u + c. p dr dx = 0 le long de = λ+ = u + gh, dt dt

avec r = u + ϕ = u + 2c. u t

t x

=

− c0

C−

Les équations de Saint-Venant sont équivalentes au système d’équations différentielles ordinaires : √ d (u ± 2 h) = 0, dt √ le long des courbes caractéristiques C± : dx/dt = u ± h.

C+

R2 t

2 x=

R1

c 0t R3

u = 0, h = 0 x Figure 10.3 : éventail des caractéristiques émanant du point origine.

Si on considère une rupture de barrage, on doit avoir comme conditions initiales : – pour la vitesse – pour la hauteur

−∞ < x < ∞ x<0 x>0

u(x,0) = 0 h(x,0) = hi h(x,0) = 0

94


La perturbation engendrée à t = 0 et x = 0 par la rupture va se propager à l’amont et à l’aval. Initialement, comme u et h sont constants, les variables r et s le sont aussi. Après la rupture, toute la partie du volume d’eau qui n’est pas encore mis en mouvement est également caractérisée par des valeurs de r et s constantes. Mathématiquement, on montre que lorsqu’on a un domaine d’écoulement « constant » (R1 sur la figure 10.3), c’est-à-dire où u et h sont constants, il existe nécessairement un domaine dit « onde simple » (R2 ) avec une dépendance u(h) et une famille de caractéristiques qui sont des droites. Il existe un troisième domaine « vide » (R3 ) où l’écoulement n’est pas encore parvenu. On ne connaît pour l’instant pas l’extension de ces différents domaines dans le plan x − t. Examinons tout d’abord les caractéristiques C+ émanant de l’axe t = 0 et x < 0. Le long de ces caractéristiques, les invariants sont p r = u + 2 gh = 2c0 , (10.11) √ avec c0 = ghi la vitesse initiale de l’onde de rupture. Ces caractéristiques ont pour équation p dx = λ+ = u + gh, dt

qui sont des courbes (que l’on ne connaît pas encore) dans le domaine R2 , mais des droites dans le domaine R1 puisque u et h sont constants. L’information est transmise le long de ces caractéristiques du domaine R1 vers le domaine R2 . La caractéristique marquant les limites de cette zone non perturbée, que l’on appellera domaine R1 (voir figure 10.3), est la droite x = c0 t reportée en gras sur la figure 10.3. Cette caractéristique émanant de 0 représente tout simplement la propagation de la discontinuité initiale de h en x = 0 (à t = 0). Elle appartient à la famille C− d’équation p dx = λ− = u − gh, dt

qui avec les valeurs initiale à gauche de 0 donne ici dx/dt = −c0 . Dans le domaine R2 , la famille de caractéristiques C− est forme un réseau en éventail (onde simple centrée) d’équation p x (10.12) = λ− = u − gh, t En résolvant le système d’équation (10.11–10.12), on trouve alors : 2 x u= (10.13) + c0 , 3 t 2 1 x h= − + 2c0 , (10.14) 9g t À noter qu’en x = 2c0 t, la hauteur devient nulle. Le domaine R3 représentant le domaine non encore concerné par la rupture de barrage est délimité par la caractéristiques x = 2c0 t qui est à la fois une caractéristique C− et C+ . L’avancée du front se fait à la vitesse 2c0 . √ À noter qu’on a ici : u = 2(c0 − gh) dans tout le domaine d’écoulement (c’est l’invariant r de Riemann qui se conserve). En reportant cette expression dans l’équation de conservation de la masse, on obtient : p ∂h ∂h + (2c0 − 3 gh) = 0. ∂t ∂x √ qui est l’équation de l’onde cinématique, avec une vitesse de propagation 2c0 − 3 gh.


95

10.1.2 Solution de Whitham : prise en compte de la rugosité du fond En 1954, Whitham a proposé une méthode approchée pour calculer l’effet du frottement sur le front. Loin du front, la solution de Ritter est valable. Les champs de vitesse et de hauteur donnés par 2 p 2 x p 1 x + gh0 et h = u= − + 2 gh0 3 t 9g t sont donc valables jusqu’au point B, d’abscisse x = xb (t). Pour la région frontale située entre xb et xa (position du front), Whitham suggère de ne pas résoudre les équations mais d’intégrer les équations pour obtenir des équations globales du front (méthode de Pohlhausen). Il considère notamment que dans la région frontale, la variation de vitesse est faible de telle sorte que l’on peut écrite u(x, t) = u(t).

Figure 10.4 : modification de la forme du front.

Notons que cette méthode intégrale ne permet pas de déterminer exactement la forme de la surface libre, mais il est possible d’en avoir une idée en faisant un simple bilan de quantité mouvement près du front. En effet, en négligeant l’inertie du fluide au niveau du front, on tire que le gradient de pression doit contrebalancer le frottement gh

∂h = −cd u2 (t), ∂x

or u(t) ≈ dxa /dt. D’où l’on déduit l’approximation : r dxa 2cd p xa (t) − x. h(x) = dt g

Pour obtenir les équations globales du fluide au niveau du front, on note que :

– la vitesse au point de transition xb est ub − dxb /dt, où (ub , hb ) sont les solutions de Ritter à gauche du point de transition B ; – le flux de masse M s’écrit ρhb (ub − dxb /dt) ; – le flux de quantité de mouvement est ρhb ub (ub − dxb /dt).

L’équation globale du mouvement s’écrit donc dxb 1 dP = ρhb ub ub − + F + ρgh2b , dt dt 2 où P est la quantité de mouvement et F la force de frottement : Z xa F = ρcd u2 dx ≈ ρcd u2 (xa − xb ). x0

Par ailleurs, puisque la vitesse est supposée constante dans la zone frontale, on a P = M ub , or dM dxb , = ρhb ub − dt dt

96


avec xb = c0 (3ub /(2c0 )−1)t et hb = h0 (1−ub /(2c0 ))2 d’après la solution de Ritter. L’intégration donne ub 3 t. M = ρh0 c0 1 − 2c0 Notons que l’on peutRtrouver ce résultat directement en faisant remarquer que, dans la sox lution de Ritter M = xbf ρhdx (il n’y a pas de variation de masse, juste un changement de la surface libre et une vitesse front moins grande). On déduit la vitesse : M

dub 1 = ρgh2b − ρcd u2b (xa − xb ). dt 2

Introduisant les variables sans dimension η = cd /h0 (xf − xa ) et τ = 4τ η˙ η¨ + η˙ 4 = 16(2 − η) ˙ 2 (3ητ ˙ − 2η).

p g/c0 cd t, on tire :

On s’est servi du fait que dans le front la vitesse est constante et égale à x˙ a : ub = x˙ a ; de plus on peut aussi interpréter la vitesse du front en termes de vitesse relative η˙ en posant : x˙ a = c0 (2 − η). ˙ On ne peut pas résoudre directement cette équation numériquement car en τ = 0 le terme η¨ tend vers une limite impropre. Il faut déterminer cette limite. Pour cela on va considérer ce qui se passe au premier ordre en τ = 0. On pose η = K(τ ) = Aτ n et on cherche n et A. En reportant cela dans l’équation on trouve au premier ordre n = 4/3 et A = 3 × 32/3 /141/3 ≈ 2.58916. On trouve donc que η¨ → ∞ quand τ → 0. On peut de là résoudre numériquement l’équation avec comme condition initiale η(ε) = K(ε) et η(ε) ˙ = K 0 (ε) où −6 l’on choisit ε très proche de 0 (typiquement ε = 10 ). On obtient la courbe reportée sur la figure 10.5. On pourrait chercher le développement asymptotique plus loin en écrivant η = Aτ n + + · · · , mais cela ne marche pas. On ne peut pas faire de développement de Taylor en 0 car les dérivées d’ordre 2 ou supérieures divergent. En fait, comme le montre la solution numérique, très rapidement η devient linéaire ; il ne sert donc à rien de chercher un développement polynômial vu que l’ordre 1 (x4/3 ) a une pente plus forte que 1. Bxm

2.5 2

Η

1.5 1 0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x Figure 10.5 : comparaison de la solution numérique (courbe continue) et de l’approximation asymptotique en τ = 0.

10.2. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME DE RUPTURE DE BARRAGE

97

Il faut plutôt rechercher la solution sous la forme d’une fonction rationnelle (approximation de Padé). Recherchons donc une solution sous la forme : η=

Ax4/3 . 1 + Bxn

B = 4 × 422/3 /59 ≈ 0.81917 et n = 1/3. On obtient la courbe à tiret mi-long de la figure 10.6. Si on pousse à un ordre supérieur, on obtient : η=

Ax4/3 , 1 + Bx1/3 + Cx2/3

avec C ≈ 0.204158. On obtient la courbe à tiret long de la figure 10.6, donnant un accord encore meilleur avec la courbe numérique.

2.5 2

Η

1.5 1 0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x Figure 10.6 : approximations successives de la solution.

On obtient ainsi l’approximation au premier ordre quand t est petit : s r ! dxa p g . ua = = gh0 2 − 3.452 3 cd t dt h0

Aux temps très longs, on peut recherche un nouveau développement asymptotique. La solution numérique nous pousse à rechercher une solution sous la forme η = ατ + β. Injectant cette forme dans l’équation différentielle, puis prenant τ → ∞, on trouve que β = 2. Donc, on aboutit à l’expression asymptotique : s dxa p h0 ua = = gh0 . dt 2cd t

10.2 Résolution numérique du problème de rupture de barrage Il est possible d’autres solutions analytiques ou des approximations du problème de rupture de barrage pour des conditions aux limites plus complexes ou bien lorsqu’on tient

CHAPITRE 10. RUPTURE DE BARRAGE ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS 1 0.8

h( x,t )

98

A

B

0.6 0.4 0.2

H0

O

-1 -0.5

0

0.5

θ

1

1.5

2

2.5

x

10

6

t=1

t=4 4

0.15 t=2 0.1

t=2 t=1

2

0.2

h( x,t )

u( x,t )

0.25

t=8

8

t=4 t=8

0.05

0 0

10

20

30

40

0

10

20

x

30

40

x

Figure 10.7 : approximations successives de la solution.

compte du frottement ou bien de la pente du canal. La figure 10.7 montre ainsi la rupture de barrage d’un volume fini de fluide le long d’une pente inclinée de θ. Assez rapidement, les solutions analytiques et les approximations se révèlent insuffisantes pour résoudre des problèmes concrets. Il faut passer par des méthodes numériques. La principale difficulté à résoudre est la gestion des discontinuités éventuelles de la solution. Plusieurs stratégies de calcul ont été proposées, dont les différences portent sur : – la méthode de discrétisation des équations : méthode des éléments finis, méthode des volumes finis, etc. ; – la méthode de maillage du domaine : maillage régulier ou régulier en espace et temps, maillage adaptatif (le pas de la maille s’adapte à la précision désirée), mais également nœuds du maillage advectés ou non par l’écoulement – résolution des équations lagrangiennes : les nœuds de la grille de calcul suivent l’écoulement, – résolution des équations eulériennes : les nœuds de la grille de calcul sont indépendantes de l’écoulement ; – la gestion des discontinuités : différentes méthodes (front tracking, shock-capturing, etc.) ont été développées pour détecter et/ou suivre une discontinuité de la solution. La plupart des méthodes modernes se fondent sur l’utilisation de la méthode des caractéristiques, que nous avons exposée brièvement.


99

10.2.1 Résolution par une méthode lagrangienne On cherche à résoudre les équations de Saint-Venant dans leur forme générale (4.13– 4.14) ∂h ∂hu + = 0, ∂t ∂x τp ∂u ∂u ∂h +u = g sin θ − g cos θ − . ∂t ∂x ∂x %h Cette forme est la forme eulérienne des équations. Un point délicat dans la résolution numérique est dû au terme non linéaire d’advection u∂u/∂x. Cette difficulté peut être contournée en mettant les équations sous une forme lagrangienne : au lieu de se placer à un endroit x au temps t et regarder ce qui se passe, on va suivre une parcelle de fluide (ici une tranche) au cours du temps. Mise sous forme lagrangienne Appelons a la position de cette parcelle de fluide à l’instant initial et on appelle X(a, t) la trajectoire suivie par la particule a au cours du temps. Dans un système lagrangien, la vitesse de cette parcelle est simple uL = ∂X(a, t)/∂t ; l’indice L rappelle qu’il s’agit d’une vitesse lagrangienne. Vitesses eulérienne et lagrangienne sont reliées à l’instant t par uL = u(X(a, t), t). De même, la hauteur lagrangienne est définie par rapport à la hauteur eulérienne évaluée le long de la trajectoire hL = h(X(a, t), t). On va transformer la forme eulérienne des équations de Saint-Venant – où les variables indépendantes sont x et t en une forme lagrangienne – où les variables indépendantes sont a et t. Pour cela, quelques manipulations différentielles sont utiles ; la règle de composition des différentielles nous donne ainsi ∂UL ∂ ∂u ∂X = u(X(a, t), t) = , ∂a ∂a ∂x (X(a, t), t) ∂a ∂UL ∂ ∂u ∂u ∂X = u(X(a, t), t) = + , ∂t ∂t ∂x ∂t ∂t (X(a, t), t)

= UL

(X(a, t), t)

∂u ∂u + . ∂x ∂t

Le symbole |(X(a, t), t) rappelle que les dérivées sont évaluées au point X(a, t) et à l’instant t. On fait de même pour la hauteur ∂hL ∂h ∂X = , ∂a ∂x ∂a ∂h ∂h ∂hL = UL + . ∂t ∂x ∂t Quand substitue ces différentes relations dans l’équation de conservation de la masse (4.13), on obtient : ∂X ∂hL ∂hL ∂h ∂uL + uL − uL + hL = 0. ∂a ∂t ∂x ∂a ∂a

En regroupant les termes, on obtient

∂X ∂hL ∂uL + hL = 0, ∂a ∂t ∂a

100


soit encore

∂ ∂t

∂X hL = 0. ∂a

(10.15)

La quantité m(a) = hL

∂X ∂a

est indépendante du temps. Notons que ce résultat aurait également pu obtenu en faisant remarquer que le volume de fluide contenu dans une tranche entre X(a1 , t) et X(a2 , t) est constante Z X(a2 , t)

h(x, t)dx = cste,

X(a1 , t)

or avec un changement de variable, cela implique Z a2 ∂X da = cste. hL (a, t) ∂a a1 On trouve bien que

R a2 a1

m(a)da est constant.

L’équation de conservation de la quantité de mouvement sous forme lagrangienne s’obtient de la même façon τp ∂X ∂uL ∂hL = −g cos θ − g sin θ + . (10.16) ∂a ∂t %h ∂a

Comme on le voit, le terme convectif non linéaire a disparu, ce qui simplifie quelque peu le problème (même si l’équation a l’air plus compliqué). Par la suite, on va résoudre numériquement les équations (10.15–10.16) ; notons que l’on ne mettra plus l’indice L derrière u et h pour alléger les notations (étant entendu que ces variables sont bien lagrangiennes). Schéma numérique L’idée est de diviser un écoulement en N tranches comme le montre la figure 10.8. On introduit donc N +1 nœuds xi qui sont advectés avec l’écoulement. La tranche i est délimitée à gauche par le nœud xi et à droite par le nœud xi+1 . Sa hauteur est supposée constante et égale hi ; cela revient à dire que l’on remplace la surface libre par une courbe en marches d’escalier. Le centre de gravité de chaque tranche se situe à l’abscisse ξi = (xi + xi+1 )/2. Chaque nœud est susceptible de bouger au cours du temps et on écrit xni la position du nœud xi au temps t = nδt, où δt est un incrément de temps. Puisque les nœuds sont advectés, la masse de fluide de la tranche i se conserve au cours du temps. On a Z xi+1

h(x)dx = cste,

xi

or ici on suppose que

Z

xi+1

xi n− 1

h(x)dx ≈ hi (xi+1 − xi ).

Supposons que l’on connaisse ui 2 , xin−1 , et hin−1 ; au temps t = 0, ces valeurs correspondent aux valeurs initiales. Notons aussi que l’on va considérer un léger décalage en temps (δt/2) entre la hauteur et la vitesse. La conservation de la masse et la définition de la vitesse

10.2. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME DE RUPTURE DE BARRAGE x3

x1 x2

101

xN xN +1

xi

ξ2

ξ1

h1

h2

ξN

hN

Figure 10.8 : découpage en tranches et approximation de la solution.

(lagrangienne) impliquent que l’on puisse mettre à jour la position des nœuds de la façon suivante n− 12

xni = xin−1 + ui hni =

δt,

n−1 n−1 n−1 xi+1 − xi hi . xni+1 − xni

(10.17) (10.18)

La vitesse est déterminée en se servant de la conservation de la quantité de mouvement (4.14)   n− 21 n n n 1 1 h − hi−1 τp (ui ,hi ) n+ n− . − (10.19) ui 2 = ui 2 + δt g sin θ − g cos θ in n ξi − ξi−1 ρhni

On itère ainsi de suite.

Il faut faire une remarque importante sur la manière dont nous avons discrétisé les termes différentielles. Pour discréter un terme différentiel, la règle de base est de se servir du développement limité d’une fonction régulière 1 f (x + δx) = f (x) + δxf 0 (x) + δx2 f 00 (x) + · · · 2 Cela permet d’obtenir différentes évaluations de f 0 au premier ordre et au second ordre (ou à d’autres ordres encore) : f (x + δx) − f (x) + O(δx) : schéma aval, δx f (x) − f (x − δx) f 0 (x) = + O(δx) : schéma amont, δx f (x + δx) + f (x − δx) + O(δx2 ) : schéma centré. f 0 (x) = 2δx f 0 (x) =

102


Dans le schéma numérique présenté, on emploie un schéma amont en temps et en espace pour la vitesse, mais aval pour la hauteur. D’autres schémas de discrétisation sont possibles, mais tous ne convergent pas ou ne sont pas stables. La figure 10.9 montre la grille de calcul et les nœuds employés pour le calcul de la vitesse. On dit que la discrétisation est explicite car dans le terme source, on a écrit que la contrainte à la paroi τp était évaluée au nœud xi et au temps n (ou n − 12 pour la vitesse) ; on aurait pu choisir un schéma implicite, où τp est évaluée au temps n + 1 (n + 21 pour la vitesse) et comme τp dépend à la fois de h et u, il aurait n+ 21

fallu résoudre une équation non linéaire en ui (mais le rend plus stable).

, ce qui complique le schéma numérique

t

n+2

n+1

n

i−1

i

i+1

x

Figure 10.9 : grille de calcul dans le plan x − t : lorsqu’on veut calculer ce qui se passe au nœud (i, n + 1), on se sert de l’information aux nœuds (i, n) et (i − 1, n).

La notion de stabilité peut être en partie étudiée à l’aide de la notion de nombre de Courant qui fixe l’incrément de temps maximal de temps δt à ne pas dépasser pour que le calcul soit stable. La figure 10.10 montre ce qui se passe quand on choisit un incrément de temps √ δt trop grand [fig. 10.9(b)] : comme la vitesse de propagation de l’information est c = gh, on ne peut pas prendre d’incrément de temps trop grand car sinon le schéma choisi n’est pas suffisant pour transmettre toute l’information au temps n + 1. Pour que le schéma soit stable, une condition nécessaire est de choisir un incrément de temps vérifiant la condition de Courant 3 δt < cδx, (10.20) avec δx la taille des cellules dans la direction x (ici l’espacement du maillage varie au cours du temps et dans l’espace, donc il faut vérifier la condition de Courant. Pour fermer les équations de discrétisation, il faut des conditions aux limites. S’agissant d’un schéma amont pour la vitesse, on a besoin de fixer la vitesse au nœud x1 . Par exemple, pour une rupture de barrage d’une volume fini sur fond horizontal, on suppose que le niveau du fluide descend le long de la paroi verticale, mais il reste toujours du fluide collé à cette paroi. On a donc : un1 pour n ≥ 0. Pour la hauteur, on n’a pas de problème car ici on 3. Richard Courant (1888–1972) était un mathématicien allemand. Après ses études en Allemagne, puis à l’ETH de Zürich, il devint professeur de mathématiques à l’Université de Münster (Rhénanie). Juif, il fut contraint à l’exil en 1933. Après un passage à Cambridge, il s’installa à New York, où il fonda un institut de mathématiques mondialement reconnu, appelé aujourd’hui l’Institut Courant. Courant a une influence considérable en mathématiques appliquées (fondement des méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles et en mathématiques physiques (onde de choc, aérodynamique).

10.2. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME DE RUPTURE DE BARRAGE n+2

103

t

t

n+1 n+1

n

n

i−1

i

i+1

x

(a)

i−1

i

i+1

x

(b)

Figure 10.10 : grille de calcul dans le plan x − t et report des caractéristiques C− et C+ . Pour chaque cellule i et i + 1 autour du nœud xn i , on trace les réseaux de caractéristiques ; ces caractéristiques se croisent dans un domaine coloré en jaune. Lorsque le nœud xn+1 se trouve dans ce domaine, cela veut qu’il est influencé i uniquement par ce qui se passe dans les i et i + 1 au temps n (cas a). Sinon, cela veut dire qu’il faudrait connaître ce qui se passe dans les cellules voisines, par exemple i − 1 et i + 2, pour mener à bien le calcul par la méthode des caractéristiques (cas b). Dans ce dernier cas le calcul a peu de chances d’être stable.

ne fait qu’exprimer la conservation de la masse, donc le problème principal qui va se poser est de trouver la position du point frontal xN . Un problème qui se pose lorsqu’on veut calculer numériquement la rupture de barrage sur un fond horizontal lisse (θ = 0 et τp = 0) est l’imprécision de la discrétisation pour calculer la position du front. On a en effet vu précédemment que la position du front est donnée à l’avance par xf = 2c0 t, √ avec c0 = ghi et hi la hauteur d’eau initiale. On peut donc imposer : xnN = 2c0 nδt pour tout n. La difficulté est qu’on injecte une partie de la solution analytique pour trouver la solution numérique... mais si on ne le fait pas, le modèle n’est pas très précis pour le calcul du front. Malheureusement, dans la plupart des cas pratiques, on ne sait pas calculer par avance la position du front et il faut donc recourir à des approximations. Un autre problème que nous ne mentionnons pas ici est que les équations de SaintVenant peuvent générer des chocs (ressaut hydraulique), mais les méthodes lagrangiennes sont mal adaptées pour calculer ces discontinuités ; il existe des astuces numériques pour s’en sortir, mais c’est toujours au prix d’une perte d’informations et de précision. Dans le cas de rupture de barrage sur fond lisse et sec, le problème ne se pose pas car aucun choc ne se forme. Exemple d’application Considérons un exemple où l’on lâche à t = 0 un volume fini de fluide contenu dans un réservoir de hauteur hi et de longueur L (voir figure 10.11). Cette géométrie est très proche du problème étudié par Ritter si ce n’est que le volume est fini.

104

CHAPITRE 10. RUPTURE DE BARRAGE ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS L

hi x

x=0

Figure 10.11 : géométrie étudiée. Paramètres du calcul : L = 1 m, N = 50 mailles, δ = 10−3 s.

On considère N mailles. Le pas initial entre chaque nœud est donc δx = L/N et on a à t = 0 la position de chaque nœud donnée par la relation x0i = (i − 1)δx pour 1 ≤ i ≤ N + 1, alors que la hauteur initiale est donnée par h0i = hi pour 1 ≤ i ≤ N, et la vitesse initiale est u0i = 0 pour 1 ≤ i ≤ N, et au niveau du barrage au moment de son effacement (en x = L) p u0N +1 = 2ci = 2 ghi .

On se sert des relations (10.17–10.19) pour trouver la position des nœuds, leur vitesse, et leur hauteur au temps n ≥ 1. On reporte sur la figure 10.12 le résultat d’un calcul avec N = 50 mailles pour le temps t = 0,2 s et t = 1 s. On compare aussi la solution numérique avec la solution de Ritter valable pour un volume infini, donnée par les équations (10.4–10.5). On note le très bon accord à t = 0,2 s, mais il y a une différence notable pour le temps t = 1 s, qui illustre en fait l’effet de taille finie du réservoir. On note aussi sur cette figure que le point frontal est situé très loin des autres points, ce qui montre à quel point il est crucial de fournir au modèle numérique la bonne solution au niveau du front pour que la solution soit précise.

10.2.2 Méthode des caractéristiques Parmi les méthodes de résolution des équations de Saint-Venant sous forme eulérienne, la méthode des caractéristiques est sans doute l’une des plus intéressante pour comprendre la physique du phénomène, mais elle reste d’un intérêt numérique plus limité. Mise sous forme caractéristique L’exposition complète de cette méthode nécessiterait de traiter de façon plus complète les invariants de Riemann, les ondes de choc et de détente, etc., ce qui est bien au-delà de

10.2. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME DE RUPTURE DE BARRAGE 1

6 5

0.8

h( x,t )

4

u( x,t )

105

3

0.6 0.4

2 0.2

1 0

0 0

(a)

0.5

1

1.5

2

0

1

2

0.6

5

0.5

4

0.4

h( x,t )

u( x,t )

1.5

x

6

3

0.3

2

0.2

1

0.1

0

(b)

0.5

x

0 0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

x

3

4

5

6

7

x

Figure 10.12 : comparaison entre la solution de Ritter (trait discontinu) et la solution numérique (chaque point noir représente un nœud du calcul). (a) Calcul au temps t = 0,2 s. (b) Calcul au temps t = 1 s. Paramètres du calcul : L = 1 m, N = 50 mailles, δt = 10−3 s. Se reporter au site web du laboratoire http://lhe.epfl.ch/MFprogramme.html pour voir le code écrit avec Mathematica.

l’objectif du présent cours ; on se contentera d’un exposé général. Les équations de SaintVenant peuvent se mettre sous la forme : ∂U ∂U +A· = B, ∂t ∂x

(10.21)

où l’on a introduit le vecteur U = (h, u ¯), la matrice A, et le vecteur B : 0 u ¯ h . A= et B = τ − %p + gh sin θ g cos θ u ¯ √ La matrice A possède deux valeurs propres λi (U) = u ¯ ± c, avec c = gh cos θ (rappelons que c est la célérité et représente la vitesse caractéristique de propagation des ondes à la surface libre), associées aux vecteurs propres à gauche vi = (±c/h, 1) : vi A = λi vi . Si on multiple l’équation (10.21) par vi , on tire : ∂U ∂U vi · = vi · B. + λi ∂t ∂x Soit Γi la courbe dite caractéristique dont l’équation dans un plan x − t vérifie dxi (t)/dt = λi ; pour toute fonction f prenant ses valeurs sur cette courbe, on a df (xi (t), t) ∂f dxi ∂f ∂f ∂f = + = + λi . dt ∂x dt ∂t ∂t ∂x On déduit que l’équation précédente peut se mettre sous la forme simplifiée : dU vi · = vi · B. dt x=xi (t)

106


Ce qui nous intéresserait à ce niveau, c’est de pouvoir faire entrer le vecteur vi dans le terme différentiel ; il faut pour cela que le produit scalaire vi · dU forme une différentielle totale. Autrement dit, on cherche s’il existe une fonction ϕi telle que dϕi = vi · dU = c/hdh ± d¯ u. On voit facilement qu’effectivement une telle fonction existe ; elle vaut : ϕi = u ¯ ± 2c. On aboutit alors à la forme simplifiée : dϕi = vi · B. dt x=xi (t)

L’interprétation en est simple : le long des courbes caractéristiques Γi , la variation de ϕi = u ¯ ± 2c est vi · B ; si cette dernière quantité est nulle (pas de frottement et fond horizontal), alors ϕi se conserve le long des courbes caractéristiques. Le principe de résolution numérique s’en déduit aisément. Admettons qu’au temps t on connaisse la solution U(x, t) ; on veut maintenant la calculer à l’instant t + ∆t (point M sur la figure 10.13). Plutôt que de travailler avec les variables u et h, on travaille avec les variables ϕi . On peut tracer deux caractéristiques Γ1 et Γ2 issues du point M ; ces caractéristiques coupent l’axe x au temps t aux points P et Q.

Γ1

t

λ1

t + ∆t

Γ2

λ2

M

t

Q

P

P'

x

Figure 10.13 : principe de résolution numérique par la méthode des caractéristiques.

Au premier ordre (les sections de courbes PM et PQ sont alors des segments de droite), on ∆ϕi = (vi · B)∆t. La valeur de ϕi en M est alors incrémentée ϕi (P ou Q) + ∆ϕi . Connaissant ϕi en M, on fait le changement de variable inverse pour retrouver u et h. C’est le principe général pour résoudre des équations différentielles de la forme (10.21). En pratique, il faut tenir compte de problèmes de stabilité numérique pour discrétiser correctement les équations et de la possibilité d’apparition de chocs. En effet, si deux caractéristiques de la même famille (Γ1 partant de P et P’ par exemple, voir figure 10.13) se croisent au point M, alors on a affaire à un système qui aurait plusieurs valeurs possibles de u et h, ce qui n’est pas admissible pour une solution continue d’un point de vue physique. La seule autre possibilité est que la solution soit localement discontinue : on dit qu’une onde de choc se forme. Cette formation d’un choc peut se comprendre à l’aide de la figure 10.14 : quand une onde se déplace et se déforme non linéairement, il peut arriver qu’une partie de l’onde ait tendance à vouloir aller plus vite que l’autre partie. Sur la figure 10.14(c), on note que plusieurs valeurs de hauteur seraient possibles, mais une telle solution n’est pas possible car elle correspondrait à une vague déferlante ; on remplace alors la solution continue par une solution discontinue (ressaut).


(a)

(b)

107

(c)

Figure 10.14 : déformation d’une onde non linéaire jusqu’à la formation d’une discontinuité (choc). (a) État initial. (b) Déformation de l’onde (trait continu) par rapport à l’état initial (trait discontinu). (c) Déformation non admissible (tiret large) conduisant à la formation d’un choc (trait continu).

Mise sous forme caractéristique Pour comprendre ce qui se passe considérons le cas simple d’un écoulement sur un fond horizontal et sans résistance (θ = 0 et τp = 0). On a vu que la formation caractéristique des équations de Saint-Venant est dx dr = 0 le long de C+ : = λ+ , dt dt ds dx = 0 le long de C− : = λ− , dt dt √ avec r = u ¯ + 2c, s = u ¯ − 2c, λ+ = u ¯ + c, λ− = u ¯ − c, c = gh. On considère qu’à t = 0 on connaît ce qui se passe en nombre fini de points espacés de δx (points 1 à 4 sur la figure 10.15). Les pentes des caractéristiques passant par ces points sont connues et égales à λ± . Ces caractéristiques se coupent aux points 5 à 7. Si on remplace localement les courbes par des segments de droite, nous pouvons calculer les coordonnées de ces points. Une fois ces coordonnées calculées, on peut se servir de l’invariance de r et s le long des courbes caractéristiques. Par exemple, pour le point 5, on a : u5 + 2c5 = u1 + 2c1 (C+ ) et u5 − 2c5 = u2 − 2c2 (C− ). De même pour le point 6 on a u6 + 2c6 = u2 + 2c2 (C+ ) et u6 − 2c6 = u3 − 2c3 (C− ). On fait ainsi de suite pour déterminer les autres points. On comprend mieux la notion de domaine d’influence : on voit ainsi que le domaine triangulaire compris entre les points 1, 4, et 10 est entièrement influencé par la condition initiale à t = 0 au niveau des points 1 à 4. On voit aussi que si l’on se place à gauche du point de 5, on peut bien faire partir une caractéristique C− , mais il manque l’information transmise par C+ ; il faut alors des conditions aux limites (par exemple, fournies le long de x = 0) ou bien d’autres conditions initiales à gauche du point 1. La principale difficulté de cette méthode est que les points d’intersection sont irrégulièrement répartis dans le plan x − t, ce qui impose d’interpoler les résultats pour calculer par exemple un profil de hauteur à un instant t. De plus, lorsque de des chocs se produisent (intersection de deux caractéristiques C+ par exemple) En pratique, cette méthode n’est plus tellement utilisée de nos jours, mais elle est très utile pour comprendre ce qui se passe physiquement. Dans la plupart des algorithmes modernes de résolution des équations du mouvement (10.21), le traitement numérique est prise en compte à l’aide de techniques spécifiques (solveurs de Riemann, de Roe, etc.).


108

t

10

C−

8

9

C+

5

6

7

1

2

3

4

x

δx

Figure 10.15 : réseau de caractéristiques.

10.2.3 Méthode des différences finies Principe

On discrétise les termes différentiels selon un schéma de discrétisation diffusif explicite dit de Lax 4 n + f n fi+1 ∂f 1 i−1 n+1 n fi − αfi + (1 − α) , ≈ ∂t δt 2 n f n − fi−1 ∂f ≈ i+1 , ∂x 2δx avec 0 ≤ α < 1 un coefficient (constant) qui contrôle la stabilité de l’algorithme : plus α est choisi proche de 0, plus le schéma est diffusif, c’est-à-dire il a tendance à lisser toutes les irrégularités. Plus α est proche de 1, moins il est diffusif, mais il devient instable pour α = 1 et a tendance à générer d’importantes fluctuations pour α proche de 1. Les équations de Saint-Venant (sous forme non conservative) deviennent hni+1 + hni−1 δt δt − uni hni+1 − hni−1 − hni uni+1 − uni−1 , 2 2δx 2δx n + un u δt δt i−1 − uni uni+1 − uni−1 − g cos θ hni+1 − hni−1 = αuni + (1 − α) i+1 un+1 i 2 2δx 2δx τp (uni , hni ) . + g sin θ − ρ

hin+1 = αhni + (1 − α)

On peut ainsi mettre à jour au temps n + 1 les valeurs de u et h en tout point de la grille sauf n+1 à ses extrémités : (un+1 , hn+1 ) et (un+1 1 1 N +1 , hN +1 ) doivent être fixés indépendamment par des conditions aux limites. Le schéma est stable dès lors que la condition de Courant est vérifiée p δt (u + c) < 1, avec c = gh cos θ. δx Comme tous les schémas diffusifs, cet algorithme introduit de la diffusion numérique, qui peut fausser les résultats. Le schéma ne peut être employé en présence de choc (ressaut). 4. Peter Lax est un mathématicien américain d’origine hongroise, né en 1926 à Budapest. Il a travaillé sur le projet Manhattan à Los Alamos en 1945–1946. Professeur à New York University, il est à l’origine de nombreuses contributions en mathématiques appliquées pour résoudre numériquement des équations différentielles.


109

C’est pour ces raisons que l’on préfère des schémas plus performants. Parmi les méthodes aux différences finies, le schéma implicite de Preissmann développé par la société Sogreah ainsi que le schéma implicite d’Abbott-Ionescu sont parmi les plus populaires. Exemple d’application On a considéré la rupture d’un barrage sur fond lisse, horizontal et sec. La figure 10.16 montre la géométrie étudiée. La grille de calcul est composé d’un découpage en N = 100 mailles d’espace régulièrement distribuées entre x = 0 et L. Le barrage occupe une longueur L0 . On a choisi un coefficient α = 0,9. Comme le montre la figure 10.17, la solution numérique s’écarte très rapidement de la solution théorique de Ritter. L L0

hi x

x=0

Figure 10.16 : géométrie étudiée. Paramètres du calcul : L = 2 m, N = 100 mailles, δ = 5 × 10−4 s.

6

1

5

0.8

h( x,t )

u( x,t )

4 3

0.6 0.4

2 0.2

1 0

0 0

(a)

0.5

1

1.5

2

0

0.5

x

1.5

2

1.5

2

x 1

6 5

0.8

h( x,t )

4

u( x,t )

1

3

0.6 0.4

2 0.2

1 0

(b)

0 0

0.5

1

x

1.5

2

0

0.5

1

x

Figure 10.17 : comparaison entre la solution de Ritter (trait discontinu) et la solution numérique (chaque point noir représente un nœud du calcul). (a) Calcul au temps t = 0,01 s. (b) Calcul au temps t = 0,1 s. Paramètres du calcul : L = 2 m, hi = 1 m, L0 = 1 m, N = 100 mailles, δt = 5 × 10−4 s, α = 0,9. Se reporter au site web du laboratoire http://lhe.epfl.ch/MFprogramme.html pour voir le code écrit avec Mathematica.

110


10.3 Écoulements rapidement variés On parle de régime rapidement varié lorsque les caractéristiques de l’écoulement varient sur de courtes distances. Typiquement cela se produit lorsque : – les conditions hydrologiques changent rapidement : l’arrivée soudaine d’eau provoque une augmentation très rapide de la hauteur et du débit d’eau et cette augmentation est d’autant plus rapide que les pentes sont fortes ; – un obstacle (déversoir, barrage, seuil, dérivation, etc.) ou une singularité (variation brutale de section, etc.) provoque une variation brutale de la courbe de remous, souvent accompagnée d’une forte dissipation (création de ressaut, zone de recirculation, zone morte, etc.). Les écoulements rapidement variés sont souvent associés – à des changements de régime super-critique → sub-critique (torrentiel/fluvial), donc à des ressauts, – à des changements de régime sub-critique → super-critique (fluvial/torrentiel), donc à des chutes, ce qui permet de dissiper l’excédent d’énergie. En pratique, on force le développement d’un régime graduellement varié pour : – augmenter la dissipation d’énergie (bassin de dissipation d’un barrage) ; – mesurer le débit dans une section donnée (canal jaugeur de type Parshall, Venturi) ; – maîtriser/assurer/contrôler un débit (déversoir, seuil, vanne). Il n’est en général pas possible de traiter un écoulement rapidement varié autour de singularités (élargissement brutal par exemple) à l’aide des équations de Saint Venant. Pour traiter un écoulement rapidement varié, il faut : – pour des transitions super-critique → sub-critique, passer par des méthodes globales sur des volumes de contrôle (voir § 8.2 sur le ressaut) ; – pour des transitions sub-critique → super-critique, utiliser l’approche énergétique (calcul des courbes de remous par le théorème de Bernoulli). Cela permet d’aboutir à des solutions en utilisant des formules empiriques pour décrire les pertes de charge locales induites dans les écoulements rapidement variés. Par exemple, un élargissement brutal peut être traité avec la formule de Borda. Le couplage des méthodes (Saint Venant + Bernoulli) est possible selon les cas de figure. ♣ Exemple. – Débit d’un déversoir à seuil épais

Les déversoirs sont des ouvrages aux formes variées : déversoir à paroi mince pour mesure un débit (plaque mince verticale), barrage-déversoir (barrage au fil de l’eau avec évacuation du trop plein), déversoir mobile (vanne à clapet, vanne à batardeaux, etc.) qui permet d’ajuster la pelle, et déversoir à seuil épais (ouvrage souvent profilé). Un seuil épais permet de « contrôler » un débit (voir figure 10.18). Si le seuil est suffisamment épais 5 , la hauteur d’écoulement au niveau de la crête du seuil est nécessairement égale à la hauteur critique (voir la justification au § 9.3.1), c’est-à-dire 2 1/3 q hc = , g 5. Un seuil épais a une épaisseur de crête ` telle que ` > 3(H − p).

10.3. ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS

`

h1

111

h2

hc

h

p

Figure 10.18 : passage d’un seuil. Trait continu : seuil dénoyé ; trait pointillé : seuil noyé. Attention les échelles de longueur ne sont pas respectées.

avec q le débit par unité de largeur à l’amont du seuil. La charge totale au niveau du seuil vaut donc : q2 H = hc + + p, 2gh2c avec p la « pelle » (hauteur de seuil). Dans le cas d’un fluide parfait, la charge au niveau du seuil est égale à la charge calculée à l’amont H = u ¯2 /(2g) + h, avec u ¯ = q/h la vitesse moyenne. En égalant les deux charges totales, on déduit :

q=

√

g

3/2 2 . (H − p) 3

En pratique, l’approximation de fluide parfait n’est pas très bonne et on emploie à la place la formule empirique pour un seuil dénoyé 6 : √

q = CD g

3/2 2 , (H − p) 3

avec CD le coefficient de débit. Ce coefficient dépend de la géométrie du seuil (épais, à paroi mince), de sa largeur, et de la géométrie d’écoulement (contraction ou non de la lame). Dans le cas où le seuil est noyé, la loi de débit est alors une relation liant le débit et la différence de hauteur de part et d’autre du seuil noyé √

Q = CD g

1/2 2 (h1 − h2 ) (h2 − p). 3

u t ♣ Exemple. – Élargissement brutal de la section

Un élargissement brutal entraîne une dissipation d’énergie et une variation rapide de la courbe de remous, dont on ne peut rendre compte avec les équations de Saint-Venant. On considère alors que les équations sont valables de part et d’autre de la singularité et on fournit de nouvelles équations aux limites, par exemple en calculant la vitesse et la hauteur 6. Un seuil est dit dénoyé lorsque l’écoulement à l’aval du seuil n’influe pas sur l’écoulement à l’amont, ce qui implique que la hauteur critique est bien atteinte au droit du seuil et/ou qu’un régime supercritique s’établisse au pied du seuil.

112


au niveau de la section 2 (voir figure 10.19) à partir des valeurs calculées pour la section 1 et en servant d’une relation généralisée de Bernoulli h1 + z1 +

u2 (u1 − u2 )2 u21 = h2 + z2 + 2 + ζ , 2g 2g 2g

où ζ est le coefficient de perte de charge singulière (par exemple, formule de Borda : ζ = 0,5). u t 1 Saint-Venant applicables

régime 2 rapidement varié Saint-Venant applicables

Figure 10.19 : changement de la largeur d’un canal.

♣ Exemple. – Confluence de cours d’eau

La confluence de cours d’eau peut également entraîner une dissipation d’énergie importante. On considère alors que les équations sont valables à l’amont et à l’aval de la confluence. La confluence impose par ailleurs un certain nombre de relations de compatibilité : – les débits s’ajoutent Q3 = Q2 + Q1 . – l’eau a la même profondeur h1 = h2 = h3 . – la charge se conserve h1 + z1 +

u21 u2 u3 = h2 + z2 + 2 = h3 + z3 + 1 . 2g 2g 2g

En cas de chargement brutal de section ou d’un brassage important de l’eau (par exemple confluence en T, avec un angle à 90°), on peut tenir compte d’une dissipation d’énergie sous forme de perte de charge singulière. Notons qu’en général la cote du fond est identique à la confluence z1 = z2 = z3 . u t ♣ Exemple. – Chute d’eau

Un décrochement brutal de la cote de fond entraîne une chute d’eau. En général, la hauteur d’eau au droit du décrochement est hs = αhc ,

!"#

10.3. ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS

113

1

3

2

Figure 10.20 : changement de la largeur d’un canal.

avec hc la hauteur critique (hc = (q 2 /g)1/3 pour un canal rectangulaire) et α = 1 en théorie si les lignes d’écoulement étaient parallèles au fond, mais qui prend le plus souvent la valeur α = 0,72.

hs

Figure 10.21 : chute d’eau.

114


115

Chapitre 11

Phénomènes de propagation dans l’eau 11.1 Phénomènes de propagation Il existe plusieurs phénomènes de propagation de matière, de quantité de mouvement, et/ou d’énergie dans les fluides. On passe ici en revue ces phénomènes en mettant l’accent sur les cas rencontrés en hydraulique. La caractéristique générale de ces phénomènes est qu’ils sont décrits par des équations différentielles (aux dérivées partielles) en temps et en espace.

11.1.1 Convection La convection est un mode de transfert d’un élément ou d’une quantité où celle-ci est advectée par le fluide. Par exemple, si on libère un polluant dans un cours d’eau, celui-ci sera généralement transporté à la même vitesse que l’eau. On parle de convection ou d’advection (la convection est plus souvent employée en thermique pour décrire le transfert de chaleur). L’équation la plus simple qui soit représentative de la convection est la suivante ∂f ∂f +u = 0, ∂t ∂x

(11.1)

où f (x, t) est une quantité advectée par un courant d’eau à la vitesse constante u. C’est une équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre. Ce type d’équation peut s’interpréter géométriquement en écrivant   ∂f 1  ∂t  ·  ∂f  = n · ∇f = 0. u ∂x

Cela veut dire que la solution f (x, t) = cst dessine dans le plan t − x une courbe dont la normale est parallèle au vecteur n = (1, u) ; un vecteur (dt, dx) est tangent à la courbe solution s’il est perpendiculaire à n. . Il existe donc en tout point de cette courbe un scalaire λ tel que (dt,dx) = λn, soit dt = λ et dx = uλ. En faisant le rapport de ces deux expressions, on peut faire disparaître λ et on a dx dt df dx = u ou bien encore = = . dt u 1 0

CHAPITRE 11. PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION DANS L’EAU

116

La dernière équation s’appelle l’équation caractéristique associée à l’équation aux dérivées partielles (11.1). Comme u est supposée constante, cela veut dire que la solution de l’équation caractéristique est x − ut = cste ; toute fonction F (x − ct) dont l’argument est x − ct est solution de l’équation (11.1). L’une des caractéristiques de cette solution est que la forme initiale F (x) (à t = 0) est conservée tout le long du mouvement : elle simplement translatée de ut comme le montre la figure 11.1.

f

u(t2 − t1 )

t1

t2

x Figure 11.1 : advection d’une quantité f .

11.1.2 Diffusion La diffusion est un mode de transfert d’un élément sous l’effet de l’agitation thermique (mouvement brownien) ou bien de la turbulence. Dans un cours d’eau, outre le mouvement moyen, il existe des fluctuations de vitesse qui dispersent rapidement un élément ou un fluide dans le volume. L’équation la plus simple représentation de la diffusion est la suivante ∂f ∂2f = D 2, ∂t ∂x

(11.2)

avec D le coefficient de diffusion et f (x, t) est ici une quantité telle que la concentration d’un polluant dans une rivière. C’est une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre. Selon les conditions initiales imposées, il existe parfois des solutions analytiques à cette équation sous la forme de solution auto-similaire tm F (ξ) avec ξ = x/tn . Quand on substitue f par cette forme dans l’équation 11.2, on trouve que n = 21 . On note que m n’est pas déterminé par l’équation différentielle, mais il l’est par les conditions aux limites. En général, dans les problèmes physiques, on impose que la quantité de matière diffusée soit constante Z ∞ f (x)dx = V, −∞

où V est le volume total (supposé constant) de matière qui diffuse. Un changement de vaR R riable donne f (x)dx = tm+1/2 F (ξ)dξ = V . Il est donc nécessaire que m = − 21 car V ne dépend pas de t.

L’avantage de ce changement de variable est qu’on transforme l’équation aux dérivées partielles en équation différentielle ordinaire linéaire d’ordre 2, bien plus simple à résoudre.

11.1. PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION

117

Voyons cela en pratique dans un cas particulier où l’on suppose que dans un cours d’eau au repos, on lâche un volume V de polluant initialement contenu en un point x = 0 ; la condition initiale est donc f (x, 0) = δ(x) où δ est la fonction Dirac (δ(x) = 1 si x = 0 et δ(x) = 0 si x 6= 0) F + ξF 0 (ξ) + 2DF 00 (ξ) = 0, qui donne en intégrant une première fois ξF + 2DF 0 = a, avec a une constante d’intégration. Comme la solution est attendue être symétrique en x = 0 (donc en ξ = 0), on a F 0 = 0 en x = 0 (F doit admettre une tangente horizontale en ce point), donc a = 0. Une nouvelle intégration donne x2 x2 b F (ξ) = be− 4D ⇒ f (x, t) = √ e− 4Dt , t

√ √ R∞ x2 avec b une constante d’intégration. Comme −∞ e− 4D = 2 Dπ, on déduit que b = V /2 Dπ, d’où la solution x2 V (11.3) f (x, t) = √ e− 4Dt . 4πDt

0.8

f ( x,t )

0.6

0.4

0.2

0 -10

-5

0

5

10

x Figure 11.2 : diffusion d’une quantité f . Calcul avec D = 1 m2 /s et au temps t = 0,1, t = 0,5, t = 1, t = 5, et t = 10 s.

Comme le montre la figure 11.2, la forme du front de diffusion reste identique au cours du temps (elle est en forme de cloche), quoique le front s’étale de plus en plus. Notons que la solution obtenue a un intérêt général car elle est la solution particulière du problème dit de Green. Par exemple, admettons que la condition initiale soit plus complexe : f (x, 0) = g(x). Puisque l’équation différentielle est linéaire, la somme de deux solutions est également solution. La solution générale s’écrit alors Z ∞ (x−ζ)2 1 f (x, t) = √ g(ζ)e− 4Dt dζ. 4πDt −∞ Cette intégrale signifie que la concentration f à tout temps t et pour tout x est la somme des contributions élémentaires induites par la distribution de source d’intensité g(ζ) par unité de longueur.

118


11.1.3 Convection-diffusion La convection-diffusion est la combinaison des deux phénomènes. C’est le phénomène couramment rencontré en hydraulique. Par exemple, le déversement d’un polluant dans une rivière conduit à un transport de ce polluant par diffusion (turbulente) et convection (advection à la vitesse de l’eau). L’équation caractéristique est donc df ∂f ∂f ∂2f = +u = D 2, dt ∂t ∂x ∂x

(11.4)

où D et u sont supposées constantes. On peut se ramener à un problème de diffusion linéaire par le changement de variable suivant (qui revient à faire un déplacement de référentiel et à se placer dans le référentiel du cours d’eau) ζ = x − ut,

τ = t. On a alors

∂· ∂ζ ∂· ∂τ ∂· = + , ∂x ∂ζ ∂x ∂τ ∂x ∂· = , ∂ζ ∂· ∂· ∂ζ ∂· ∂τ = + , ∂t ∂ζ ∂t ∂τ ∂t ∂· ∂· + . = −u ∂ζ ∂τ L’équation (11.4) devient alors ∂f ∂2f = D 2, ∂τ ∂ζ qui est similaire à l’équation de diffusion (11.2) vue plus haut. Un cas particulier de convection-diffusion est rencontré avec l’équation de Burgers ∂f ∂2f ∂f +u = D 2, ∂u ∂x ∂x

(11.5)

qui peut être transformée également en une équation de diffusion à l’aide de la transformation de Cole-Hopf 2D ∂φ u=− , φ ∂x avec φ(x, t) une fonction auxiliaire. On a en effet ∂u 2D ∂ 2 φ 2D ∂φ 2 =− + 2 , ∂x φ ∂x2 φ ∂x 2D ∂ 2 φ 2D ∂φ ∂φ ∂2u = − + 2 , 2 ∂x φ ∂x∂t φ ∂x ∂t 2D ∂ 3 φ 4D ∂φ 3 6D ∂ 2 φ ∂φ ∂u =− . − 3 + 2 ∂t φ ∂x3 φ ∂x φ ∂x2 ∂x

11.1. PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION

119

On obtient alors après simplification 3 ∂φ ∂φ ∂2φ ∂ φ ∂φ ∂ 2 φ = 0, −φ + 2D φ 3 − ∂t ∂x ∂x∂t ∂x ∂x ∂x2 que l’on peut transformer – en divisant par φ2 , puis en intégrant par rapport à x, et enfin en multipliant de nouveau par φ – en une équation de diffusion linéaire ∂φ ∂2φ = D 2. ∂t ∂x

11.1.4 Onde Au sens strict, une onde est la propagation d’une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l’énergie sans transporter de matière. Par extension, une onde peut désigner la propagation d’un signal quelconque dans un fluide : onde de choc, onde de crue, etc. Dans de tels cas, l’onde peut être associée à un transport de matière. En hydraulique, on est amené à distinguer les types d’onde selon leur dynamique : – les ondes dynamiques, où la dynamique de la perturbation est gouvernée par l’équation de conservation de la quantité de mouvement. Les effets dynamiques sont prépondérants ; – les ondes cinématiques, où la dynamique de la perturbation est régie par l’équation de conservation de la masse. Les effets dynamiques sont négligeables.

11.1.5 Onde dynamique Les ondes dynamiques se présentent souvent sous la forme d’une solution à une équation différentielle de la forme d’une équation aux dérivées partielles du second ordre : 2 ∂2f 2∂ f = c , ∂t2 ∂x2

(11.6)

avec c la vitesse phase. Cette forme n’est pas exhaustive ; par exemple, on va voir plus loin que l’équation des ondes de surface s’écrit : ∂2f ∂f = −g , 2 ∂t ∂y avec ici f le potentiel de vitesse (u(x, y, t) = ∇f ) et g l’accélération de la gravité. On recherche souvent les solutions sous la forme d’harmoniques : f (t) = A exp[ı(kx − ωt)], où A est l’amplitude, k le nombre d’onde (λ = 2π/k est la longueur d’onde), ω la fréquence angulaire. L’équation différentielle est linéaire, ce qui implique que toute combinaison de solutions est également solution (principe de superposition). Il existe deux sens de propagation : – onde progressive f = f (x − ct) : l’onde va dans le sens x > 0 ; – onde régressive f = f (x + ct) : l’onde va dans le sens x < 0.

120


Notons par ailleurs que que l’équation (11.6) peut se factoriser ainsi ∂2f ∂2f − c2 2 = 2 ∂t ∂x

∂ ∂ −c ∂t ∂x

∂ ∂ +c ∂t ∂x

f = 0,

ce qui permet également de transformer une équation aux dérivées partielles du second ordre en un système d’équations du premier ordre

ft − cfx = v, vt + cvx = 0.

Cela permet notamment de montrer que la solution générale de l’équation des ondes (11.6) s’écrit f = a(x − ct) + b(x + ct), avec a et b deux fonctions quelconques (solution dite d’Alembert). Remarquons que dans bien des cas d’intérêt pratique, les équations sont linéaires ; la linéarité permet d’appliquer le principe de superposition. Une onde stationnaire résulte de la superposition d’une onde régressive et d’une onde progressive de même amplitude. Dans ce cas, la dépendance en temps disparaît. Le plus souvent, la fréquence angulaire est trouvée être une fonction du nombre d’onde : ω = ω(k). La relation correspondante est appelée « relation de dispersion » car elle traduit commet un paquet d’ondes de longueur d’onde différente se disperse. En effet, pour bien des phénomènes physiques, plus la longueur d’onde est petite (donc le nombre d’onde k grand), plus la vitesse de phase est grande ; la fonction ω(k) est alors croissante. On introduit également la vitesse de groupe cg = ω 0 (k) : lorsqu’un groupe d’ondes de même amplitude, mais de fréquence angulaire différente (mais variant dans une plage étroite de valeurs) se déplace, la vitesse moyenne de propagation de l’énergie est appelée « vitesse de groupe ».

11.1.6 Onde cinématique Considérons le cas d’un écoulement permanent dans une √rivière. Il existe donc une relation u(h) en toute section de cette rivière ; par exemple u = k h si une formule à la Chézy est employée. Supposons que l’écoulement soit capable de s’adapter rapidement face à de petites perturbations. Cela signifie que, malgré la perturbation (par exemple, la hauteur a cru légèrement), la relation u(h) est toujours valable. La perturbation va se propager. D’après l’équation de continuité (10.1), on a : ∂hu ∂h ∂h =− =− u + hu0 , ∂t ∂x ∂x

d’où si l’on note c(h) = u + hu0 la célérité de l’onde cinématique, on tire : ∂h ∂h + c(h) = 0. ∂t ∂x De même, si l’on multiplie cette équation par ∂u/∂h, on tire : ∂u ∂u + c(h) = 0. ∂t ∂x

11.2. ONDES DYNAMIQUES : ONDES DE SURFACE

121

Vitesse et hauteur sont donc toutes deux solutions de la même équation différentielle : ∂f ∂f +c = 0, ∂t ∂x Il s’agit d’une équation de type convectif. La solution générale est donc de forme f (x − ct) : il s’agit d’une onde progressive (« travelling wave » en anglais) qui ne se propage que dans un seul sens contrairement aux équations dynamiques. Les ondes cinématiques ne sont en fait que des approximations des ondes dynamiques lorsque les propriétés dynamiques de la transmission d’onde sont négligeables. Leur avantage par rapport aux ondes dynamiques réside principalement dans un traitement mathématique allégé. Les ondes de crue dans les gros cours d’eau peuvent souvent être traitées dans le cadre des ondes cinématiques.

11.2 Ondes dynamiques : ondes de surface Les ondes dues à la gravité (gradient de pression) provoque des ondes dynamiques à la surface des écoulements. On parle d’onde de gravité ou onde de surface. Leurs caractéristiques générales peuvent se déduire en considérant en première approximation que les effets visqueux sont d’influence négligeable sur la propagation de ces ondes.

11.2.1 Calcul approximatif Une des caractéristiques souvent rencontrées pour les ondes est qu’elles transmettent une information, une énergie, etc., mais ne sont pas associées à un mouvement des particules. Ce phénomène est bien visible à la surface d’un lac ou d’une mer : les vagues ne sont pas associées à un transport de particule. Ainsi, une bouée à la surface de l’eau est soulevée, puis rabaissée, mais reste grosso modo à la même place. Considérons donc une intumescence d’épaisseur η se déplaçant à la surface d’une nappe d’eau peu épaisse (profondeur h0 ) et au repos. Si on suppose que cette onde n’induit pas de transport de fluide durant son mouvement, alors le débit doit être nul d(ηu) = 0. Considérons l’équation (4.13) de continuité des équations de Saint Venant ∂h ∂h¯ u + = 0, ∂t ∂x avec h = h0 + η, soit encore ∂η ∂u ¯ + h0 = 0, ∂t ∂x (compte tenu de d(ηu) = 0). L’équation de conservation de la quantité de mouvement (4.14) s’écrit : τp ∂u ¯ ∂h ∂u ¯ +u ¯ = −g − . ∂t ∂x ∂x %h En linéarisant l’équation (c’est-à-dire en supprimant le terme convectif u∂u/∂x en supposant que la vitesse induite par la vague est faible) et en considérant un fluide parfait (τp = 0), on tire : ∂u ¯ ∂η = −g . ∂t ∂x


122

En combinant équation de la masse et équation linéarisée de quantité de mouvement, on tire que : ∂2η ∂2η = gh , 0 ∂t2 ∂x2 ce qui montre que la vitesse√de l’intumescence satisfait l’équation typique des ondes dynamiques vue (11.6) avec c = gh0 . On peut aboutir au même résultat sans passer par l’approximation de Saint Venant, ce qui permet de calculer la vitesse des ondes lorsque la profondeur d’eau est quelconque. C’est ce que l’on va voir maintenant en considérant les équations locales du fluide parfait au lieu des équations moyennées. η h0

Figure 11.3 : déplacement d’une intumescence à la surface de l’eau (au repos).

11.2.2 Calcul plus complet Si l’on considère un mouvement d’une onde provoquant une variation de la surface libre d’un fluide parfait initialement au repos (pas de mouvement hormis celui induit par l’onde), les équations du mouvement sont les équations d’Euler : ∇ · u = 0, du 1 = g − ∇p. dt % On introduit le potentiel des vitesses φ : u = ∇φ. L’équation de conservation de la masse devient alors : ∇2 φ = 0,

(appelée équation de Laplace) tandis que l’équation de quantité de mouvement 1 ∂∇φ 1 1 + ∇ (∇φ · ∇φ) = g − ∇p, ∂t 2 % soit encore :

1 ∂φ 1 + ∇φ · ∇φ = −ψ − p, ∂t 2 %

avec ψ le potentiel gravitaire (g = −∇ψ) ; on reconnaît une variante de l’équation de Bernoulli. Recherchons des solutions sous forme d’onde progressive : φ(x, y, t) = F (x − ct)G(Y ). Le report dans l’équation ∇2 φ = 0 donne : F 00 G00 =− = −k 2 , F G 1. On s’est servi de u × (∇ × u) = ∇( 12 u · u) − u · ∇u.

11.2. ONDES DYNAMIQUES : ONDES DE SURFACE

123

dont la solution générale est : F = A cos(x − ct) + B sin(x − ct) et G = Ceky + De−ky . Pour déterminer la relation de dispersion, il faut prendre en compte l’équation de Bernoulli, qui va considérée à la surface libre y = h(x, t) de telle sorte que le terme de pression (p = 0) puisse être omis. De plus, si on ne retient que les termes de premier ordre (c’est-à-dire on néglige ∇φ · ∇φ), on tire : ∂φ = −gh. (11.7) ∂t De plus, à la surface libre, on a la condition : v=

dh dy = dt dt

or v = ∂φ/∂y et u = ∂φ/∂x, d’où l’on tire : ∂h ∂φ ∂h ∂h ∂φ = + ≈ . ∂y ∂t ∂x ∂x ∂t En différentiant (11.7) par rapport à t, puis en reportant l’expression de ∂h/∂t déterminée dans la condition sur v à la surface libre, on tire : ∂φ ∂2φ = −g . 2 ∂t ∂y C’est l’équation des ondes de surface d’un courant d’eau. La relation de dispersion est obtenue en reportant l’expression de F et G. Après calcul, on obtient : c2 = On peut faire les remarques suivantes :

ω 2 k

=

g tanh kh. k

– la vitesse apparaît au carré, donc on peut déterminer deux vitesses (une négative, l’autre positive) avec des sens de propagation opposés ; √ – en eau peu profonde (c’est-à-dire h λ), on tanh kh ≈ kh, d’où l’on tire : c = ± gh. C’est la vitesse critique (correspondant à Fr = 1). Toutes les ondes de surface ont la même vitesse de propagation quelle que soit leur longueur d’onde λ ; p – en eau profonde (c’est-à-dire h λ), on tanh kh ≈ 1, d’où l’on tire : c = ± gλ/(2π). La vitesse des ondes de surface dépend de la longueur d’onde λ. Ces ondes sont désignées sous le terme général de houle. Dans le cas des cours d’eau, on est dans le premier cas de figure (eaux peu profondes). Si on réitère le raisonnement précédent pour un fluide en écoulement à la vitesse moyenne u ¯, la célérité des ondes est calculée par√rapport à la vitesse moyenne u ¯ : les ondes de gravité se propagent donc à la vitesse c = u ¯ ± gh, soit encore : p c = gh(Fr ± 1), √ avec Fr = u ¯/ gh le nombre de Froude. On tire le résultat important : – en régime fluvial Fr < 1, les ondes se propagent d’amont vers l’aval et d’aval vers l’amont. L’information se propage dans les deux sens. Une modification de l’écoulement se produit à l’amont est répercutée à l’aval et, de même, la modification des conditions d’écoulement entraîne une modification de ce qui se passe à l’amont une fois que l’onde a remonté l’information ;


124

– en régime torrentiel Fr > 1, les ondes se propagent d’amont vers l’aval uniquement. L’information ne se propage que dans le sens de l’écoulement. Il n’y pas de « contrôle » aval, c’est l’amont qui dicte ce qui se passe dans le bief.

11.3 Ondes dynamiques : ondes de choc (mascaret) Les équations du mouvement en hydraulique sont souvent des équations non linéaires aux dérivées partielles hyperboliques. L’une des propriétés de ces équations est qu’elles peuvent propager des discontinuités. Le mascaret est une onde avec un front raide qui se propage dans les cours d’eau : typiquement lors d’une marée montante, la modification du niveau de la mer amène à la formation d’un mascaret. Certaines rivières comme la Dordogne à Vayres (près de Libourne) produisent régulièrement des mascarets qui font la joie des surfeurs. La forme de la surface libre près d’une discontinuité ne peut plus être étudiée par les équations de Saint-Venant à cause de la courbure de la surface libre et de la dissipation d’énergie libre ; toutefois, la dynamique des discontinuités reste entièrement dictée par ces équations. On montre ci-après qu’on peut dériver un jeu d’équations, dites relations de Rankine 2 -Hugoniot 3 , qui décrivent la variation brutale de masse et de quantité de mouvement au passage de la discontinuité. De façon plus générale, un mascaret peut se produire sur un cours aménagé lorsqu’on impose une variation soudaine du niveau d’eau (lâcher d’eau par exemple). On étudie la formation d’un choc pour un problème le plus simple possible. On examine l’équation convective non linéaire: ∂ ∂ u(x, t) + c(u ; x, t) u(x, t) = 0, ∂t ∂x

(11.8)

avec comme condition initiale u(x, 0) = u0 (x) et c une fonction donnée de u et éventuellement x et t. Cette équation peut aussi se mettre sous la forme ∂u ∂f (u) + = 0, ∂t ∂x

(11.9)

avec f 0 (u) = c(u). Cela permet d’écrire cette relation sous la forme intégrale d dt

Z

xR xL

u(x, t)dx = f (u(xL , t)) − (u(xR , t)),

où xL et xR sont les abscisses de points fixes. Si la solution admet une discontinuité en x = s(t) sur l’intervalle [xL , xR ], alors : d dt

Z

xR

xL

u(x, t)dx =

d dt

Z

s

u(x, t)dx + xL

Z

xR s

u(x, t)dx ,

2. William John Macquorn Rankine (1820–1872) était un physicien écossais. Avec le physicien allemand Rudolf Clausius et son compatriote William Thomson (lord Kelvin), il est à l’origine de la thermodynamique moderne. Rankine s’intéressa plus particulièrement aux applications de cette théorie pour concevoir des machines à vapeur. Homme curieux, il s’intéressa également à des domaines aussi variés que la botanique, la théorie de la musique, les mathématiques, la fatigue des métaux, et la mécanique des sols. Sa publication scientifique a été extrêmement importante. 3. Pierre-Henri Hugoniot (1851–1887) était un autoditacte féru de mathématiques et de mécanique des fluides. Il s’est spécialement intéressement aux problèmes d’onde de choc dans les gaz.

11.3. ONDES DYNAMIQUES : ONDES DE CHOC (MASCARET)

125

Soit encore : Z s Z xR Z ∂ d xR ∂ u(x, t)dx = u(x, t)dx + u(x, t)dx + su(x ˙ ˙ L ,t) − su(x R ,t). dt xL ∂t xL ∂t s En faisant tendre xR → s et xL → s, on tire : sJuK ˙ = Jf (u)K, où JuK = u+ − u− =

lim

x→s,x>s

u−

lim

x→s,x
u,

les signes + et − sont employés pour désigner ce qui se passe à droite et à gauche respectivement de la discontinuité x = s(t). Il s’ensuit que s’il y a une discontinuité en un point x = s(t), alors on doit avoir de part et d’autre de x = s(t) : sJuK ˙ = Jf (u)K

(11.10)

Cette relation s’appelle Rankine-Hugoniot. Remarque : on a parle de forme conservative ou de loi de conservation pour désigner des systèmes d’équations qui se mettent sous la forme donnée par l’équation (11.9). Si cela a du sens d’un point de vue mathématique, cela n’en a pas nécessairement du point de vue physique. En effet, si une grandeur – appelons-la u(x, t) – vérifie une équation de conservation de la forme : ∂ ∂ u+ f (u) = 0, ∂t ∂x alors on peut créer une infinité d’équations de conservation de la forme : ∂t [g(u)]+∂x [h(u)] = 0 – sous la condition que g et h vérifient h0 = g 0 f 0 – qui soient similaires à l’équation originelle. Tant que la fonction u(x, t) est continûment différentiable, cela n’amène guère de problèmes. En revanche, si l’on s’intéresse aux solutions dites faibles (c’est-à-dire présentant une discontinuité), alors les solutions ne sont pas équivalentes. Il faut donc bien utiliser l’équation de conservation qui a un sens physique. La question est naturellement : comment savoir si une équation de conservation a une origine physique ou non. En général, les équations utilisées en physique sont tirées de bilans macroscopiques. Par exemple, l’équation de conservation de la masse m implique que sur un volume de contrôle V Z dm d ρdV = 0 ; =0⇒ dt dt V de là on tire que : ρt + ∇ · (ρu) = 0. Or comme les solutions faibles sont toujours obtenues en réintégrant les équations locales, il convient donc de se ramener au problème de formulation physique d’origine. À noter que du point de vue mathématique, le passage d’une équation de bilan macroscopique à une équation locale se fait sans problème ; en revanche, le processus inverse induit la perte d’unicité de la solution. Revenons aux équations de Saint-Venant sous une forme conservative. Pour calculer la position du choc, on écrit les équations du mouvement sous une forme intégrée. On intègre le système d’équation le long d’un segment [x1 , x2 ] comprenant le point x = s(t). L’équation de conservation de la masse s’écrit alors : Z d x2 hdx + [uh]xx21 = 0 dt x1 Z Z x2 τp d x2 1 2 x2 2 dx. hudx + [u h + g cos θh ]x1 = gh sin θ − dt x1 2 ρ x1

126


s˙ h1 h2

x = s(t)

Figure 11.4 : déplacement d’un mascaret (« onde de choc »).

Quand on fait la décomposition [x1 , x2 ] = [x1 , s] + [s, x2 ], puis en faisant le passage à la limite x1 → s et x2 → s, on obtient pour la conservation de la masse : sJhK ˙ = JuhK, ainsi que pour la quantité de mouvement : 1 sJhuK ˙ = Ju2 h + g cos θh2 K. 2 Notons que le terme source ρg sin θ−τp /ρ n’a aucune influence sur les conditions de RankineHugniot. On trouve donc que la quantité (flux de masse) uh se conserve à travers le choc quand on exprime cette quantité dans un repère mobile rattaché au choc. La vitesse s’écrit alors de manière relative comme : u0 = u − s˙ : Ju0 hK = 0. De même, le flux de quantité de mouvement u02 h + g cos θh2 /2 se conserve : Ju02 h + g cos θh2 /2K = 0 (pour montrer cette dernière relation, il faut également se servir de la conservation de la masse dans le référentiel mobile). ♣ Exemple. – Mascaret induit par une vanne en translation.

Considérons une vanne qui à l’instant t = 0 se met en mouvement de translation le long d’un canal plat où l’eau est initialement au repos. La vitesse de cette vanne est V . On peut calculer la vitesse de l’intumescence créée par le mouvement de l’eau. Si on se replace dans le repère fixe, on peut écrire : s(h ˙ 2 − h1 ) = −V h1 ,

s(−V ˙ h1 ) = gh22 /2 − (h1 V 2 + gh21 /2).

En éliminant s, ˙ on tire la relation : (1 − η)2 (1 + η) = 2F r2 η,

√ où F r = V / gh2 est le nombre de Froude et η = h1 /h2 . Il y a deux solutions à cette équation mais une seule 4 permet d’avoir η > 1 (dans le cas plus général, c’est une condition de dissipation d’énergie qui permet de choisir la bonne solution). On reporte sur la figure 11.5 les deux courbes 2F r2 η et (1 − η)2 (1 + η) = 2F r2 η, dont l’intersection nous fournit la valeur η voulue et donc nous permet de calculer la vitesse de propagation du mascaret. Notons sur ce même graphique que si l’on se place dans le cas F r > 1, on trouverait une valeur de η < 1, donc une vitesse s˙ < 0, ce qui n’a pas de sens ; en fait, dans ce cas-là, la solution est plus complexe : elle comprend une onde simple de détente précédée d’un mascaret. 4. En effet, il faut que s˙ > 0 or s˙ = V η(η − 1)−1 , d’où il faut que η > 1.

11.4. ONDES DYNAMIQUES : ROLL WAVES

127

2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0

0.5

1

1.5

2

Η

Figure 11.5 : tracé des courbes 2F r2 η (trait discontinu) et (1 − η)2 (1 + η) = 2F r2 η (trait continu). On a tracé 2F r2 η pour deux valeurs de F r : F r = 0,5 (tiret long) et F r = 1,5 (tiret court).

11.4 Ondes dynamiques : roll waves Les équations de Saint-Venant (10.6–10.7) s’écrivent sous la forme condensée

avec :

∂ ∂ U+A· U = S, ∂t ∂x 0 u ¯ h h A= ,U = , et S = g sin θ − g cos θ u ¯ u ¯

(11.11)

τp ρh

.

Considérons maintenant que l’on a une solution U0 = (H, U ) à ces équations et qu’on perturbe cette solution pour savoir si elle stable U = U0 + U0 ,

(11.12)

où le vecteur U0 = (η, κ) est la perturbation, avec κ et η la perturbation de la hauteur et celle de la vitesse, respectivement. En substituant cette décomposition dans l’équation (11.11) et en gardant uniquement les termes du premier ordre, on obtient une équation linéarisée gouvernant les perturbations U0 ∂U0 ∂U0 + A(U0 ) · = S(U0 ). ∂t ∂x

(11.13)

Nous supposons que la solution peut s’écrire sous la forme η = Re(∆ei(nx−ct) ), κ = Re(Xei(nx−ct) ),

(11.14)

où ∆ et X sont les amplitudes complexes respectivement de la hauteur et de la vitesse, n est le nombre d’onde (qui est un réel positif ), et c une constante complexe qui reste à déterminer. Le symbol i est le nombre imaginaire. La partie réelle de c peut être interprétée comme la vitesse de propagation des perturbations tandis que sa partie imaginaire reflète le taux de croissance (ou de décroissance) de l’amplitude. Dans le cadre de la théorie de la stabilité linéaire, l’écoulement est supposé devenir instable dès qu’une solution au système (11.13) est caractérisée par une partie imaginaire de c positive. En substituant la forme complexe (11.14) dans (11.13) fournit le système suivant " # nA11 − c nA12 ∆ = 0, (11.15) ∂(τp /¯ ρH) ∂(τ /¯ ρH) X nA21 − i ∂H nA22 − c − i p∂U

128


où Aij est la composante (i, j) de la matrice A. Ce système admet aucune solution triviale pourvu que son déterminant soit nul. L’équation de dispersion est obtenu en calculant le déterminant du système et en l’exprimant en fonction de c c2 − 2αc − β = 0, with

(11.16)

ρH) A22 + A11 1 ∂(τp /¯ α = αr + iαi = n −i , 2 2 ∂U ∂(τp /¯ ρH) ∂(τp /¯ ρH) − A12 . β = βr + iβi = n n (A12 A21 − A22 A11 ) + i A11 ∂U ∂H

Nous cherchons maintenant une solution à l’équation (11.16) mise sous la forme (c − α)2 = reiΘ .

(11.17)

La partie imaginaire de la solution à l’équation (11.17) peut être écrite c=α±

√

reiΘ/2 ⇒ ci = Im(c) = αi ±

√

r sin

Θ . 2

(11.18)

La plus grande partie imaginaire est √ Θ ci = αi + r sin . 2

(11.19)

Nous cherchons maintenant quel domaine cette expression est positive : ci > 0. En prenant la racine carrée de chaque des membres de cette équation, puis considérant que 2αi2 +r cos Θ est toujours positive, on obtient après réarrangement : r > 2αi2 + r cos Θ ⇔ βi2 > 4αi (βr αi − βi αr ). Le critère d’instabilité est le suivant : ∂τp ∂τp ∂τp 2 H − τp − τp > gH cos θ H ∂H ∂H ∂U

(11.20)

(11.21)

On peut montrer que la source d’énergie pour que l’instabilité se développe est fournie par le travail de la gravité ; l’écoulement est linéairement instable si la puissance des forces gravitaires excède l’énergie dissipée aux frontières par τp . En prenant par exemple une contrainte de frottement à la Chézy (τp = ρg¯ u2 /C 2 ), on trouve que le critère d’instabilité est F r > 2, √ avec F r = u ¯/ gh cos θ le nombre de Froude.

11.5 Ondes cinématiques : ondes de crue Dans le cas d’une crue lente (typiquement ce qui se passe pour de grands bassins-versants), les termes inertiels jouent un rôle faible dans la propagation des ondes. On peut, en première approximation, considérer qu’en toute section la vitesse d’écoulement s’adapte immédiatement à tout changement de profondeur. Autrement dit, la relation u ¯ = u ¯(h) obtenue en régime permanent reste valable.

11.5. ONDES CINÉMATIQUES : ONDES DE CRUE

129

Dans ce cas-là, dit « approximation d’onde cinématique », on peut calculer les caractéristiques de l’onde de crue à l’aide de l’équation de continuité. Prenant l’exemple d’une √ courbe de tarage fondée sur le nombre de Chézy, c’est-à-dire u ¯(h) = C h, avec C le nombre de Chézy, on tire de : ∂h ∂h¯ u + = 0, ∂t ∂x la relation ∂h ∂h + c(h) = 0, ∂t ∂x √ avec c = u ¯ + h¯ u0 = 32 C h la vitesse de propagation de l’onde : on note que l’onde de crue se déplace plus rapidement que l’écoulement moyen (50 % plus vite si une loi de Chézy est employée) et elle se déplace d’autant plus vite que la hauteur est grande. Pour un canal de section quelconque, on peut montrer que la célérité des ondes est donnée par : c=

∂Q , ∂S

avec Q le débit total et S la section mouillée (formule de Kleitz-Seddon).

Index élargissement, 67

dune, 62, 87

approximation de Padé, 97

écoulement de Couette, 9 de Poiseuille, 9, 11, 17 laminaire, 21 turbulent, 14, 21 effet peau de requin, 24 élargissement, 29, 112 énergie énergie cinétique turbulente, 13 pécifique, 81 piézométrique, 81 équation caractéristique, 116 d’Exner, 50 de Bernoulli, 25, 84, 122 de Bresse, 66 de Burgers, 118 de Colebrook, 27 de conjugaison, 73 de dispersion, 120 de la charge, 22 de Laplace, 122 de McKeon, 27 de Navier-Stokes, 8, 40 de Saint-Venant, 40, 41, 43, 49, 65, 89

barrage, 31, 37, 49, 66, 67, 89, 95, 97 berge, 34 bief, 33 célérité, 43, 49 charge hydraulique, 22, 52, 81 choc, 47, 124 chute, 66, 71, 113 coefficient de frottement, 52 de Boussinesq, 42 de frottement, 23, 24, 26 coefficient de frottement, 23 condition de Courant, 102, 108 confluence, 112 convection, 115, 118 couche externe, 15 interne, 15 limite, 15 courbe caractéristique, 43 courbe caractéristique, 105 courbe de remous, 65, 84 débit d’étiage, 34 de pointe, 34 dominant, 34 débitance, 55 déversoire, 110 diagramme de Moody, 27 diamètre hydraulique, 23 diffusion, 116, 118 discontinuité, 124 dissipation turbulente, 13

forme caractéristique, 43 conservative, 43, 125 eulérienne, 99 lagrangienne, 99 non conservative, 43 formule de Borda, 30, 62, 110, 112 de Colebrook, 53 de Kleitz 5 -Seddon, 129 5. Charles Kleitz (1808–1886) était un hydraulicien français, diplômé de l’École des Ponts et Chaussées. Il travailla principalement sur l’aménagement du Rhône

130

INDEX de Parker, 54 de Poiseuille, 11 de Weissbach, 30 frottement, 23 Green, 116 hauteur critique, 66, 71 d’écoulement, 33 normale, 33, 51, 59, 66 houle, 123 invariant de Riemann, 92 lisse, 26 lit majeur, 34 mineur, 34 loi d’écoulement, 52 de Chézy, 52, 54, 57, 128 de Coles, 58 de Darcy-Weisbach, 52, 53, 55 de frottement, 52 de Keulegan, 54 de Manning-Strickler, 52, 55 de tarage, 52 longueur d’établissement, 21 de mélange, 13, 18, 56 méthode des caractéristiques, 43, 89, 104 des formes autosimilaires, 89 mascaret, 124 modèle de Prandtl, 13 de Prandtl-Kolmogorov, 13 de turbulence k − `, 13 de turbulence k − , 13 nombre et son travail d’ingénieur l’amena à publier des travaux en hydraulique. En particulier, il s’intéressa à la propagation des crues et aux hydrogrammes de crue. Il montra notamment comment on pouvoir estimer la vitesse de propagation d’une crue en fonction de la hauteur d’eau et du débit. Sa formule fut, semble-t-il, découverte indépendamment une trentaine d’années après par Seddon dans son étude de la rivière Missouri.

131 de Froude, 33, 41, 45, 49, 65, 128 de Froude critique, 123 de Reynolds, 14, 23, 41 nombre de Froude, 126 obstacle, 84 onde cinématique, 92, 119, 128 de crue, 128 de gravité, 121 de surface, 121 dynamique, 119 positive, 45 progressive, 120 régressive, 45, 120 simple, 92 simple centrée, 92 périmètre mouillé, 33 paroi lisse, 14, 18, 26 rugueuse, 14, 18, 26 pente critique, 71 d’énergie, 24 pente de frottement, 52, 66 perte de charge singulière, 112 perte de charge, 22, 23, 62, 110 d’un ressaut, 73 régulière, 52 singulière, 29 Pohlhausen, 95 pression généralisée, 8 problème de Green, 116 puissance dissipée, 25 puissance dissipée, 22 régime critique, 82 fluvial, 33, 71, 124 graduellement varié, 33 permanent, 33 rapidement varié, 33, 110 torrentiel, 33, 71, 124 uniforme, 33 rétrécissement, 30 relation

132 de Rankine-Hugoniot, 124 ressaut, 33, 47, 71, 72, 74, 110, 124 ripisylve, 34 rivière, 33 rivière torrentielle, 33 rugueux, 26 rupture de barrage, 89 section d’écoulement, 33 seuil, 74, 110 dénoyé, 110 noyé, 110 singularité, 110 solution faible, 125 solution de Ritter, 89 sous-couche visqueuse, 15 stabilité numérique, 102 terme source, 43 théorème de Bernoulli, 84, 110 tirant d’eau, 33 torrent, 33 transformation de Cole-Hopf, 118 transport solide, 50 turbulence, 18 vanne, 67, 74 variable de Riemann, 43, 92 viscosité turbulente, 16 vitesse caractéristique, 45 de cisaillement, 14 de frottement, 14, 26 de groupe, 120 de phase, 120 zone centrale, 15, 16 logarithmique, 15, 19, 56

INDEX

Hydraulique

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