PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matem ate matika bany banyak munc muncu ul dalam dalam berbagai disiplin ilmu ilmu pengetahu pengetahuan, seperti dalam dalam bidang f isika, isika, kim kimia, ekonom ekonomi, atau atau pada persoalan rekay rekayasa. Seringkali model matem ate matika tersebu tersebut munc muncu ul dalam dalam bentu bentuk yang r umit umit yang terkadang tidak dapat diselesaikan dengan r umusumusr umus umus aljabar yang sudah bak u.
Solu olusi SPL secara numeris umeris umumn umumnya selalu selalu (har us) lebih ef isien isien dan cepat dibandingkan dengan metode-m etode-metode analitis, seperti metode Cramer . Namun mun dem demikian, solu solusi numerik umerik ini secara teknis adakalany adakalanya ju juga berkendala, ga berkendala, karena: (1) (1) ada beberapa persam persamaan yang mendekati kom ko m binasi linier, akibat adany adanya ³round off error ´ dari mesin penghit esin penghitu ung pada, ng pada, (2) (2) suatu atu tahap perhit tahap perhitu ungan adany adanya ak umulasi umulasi ³round off error ´ pada proses kom ko m pu putasi akan berakibat dom domain bilangan nyata ( fixed point ) dalam dalam perhitu perhitungan akan terlam terlam pau paui (overflow), overflow), biasany biasanya akibat dari j dari jum umlah lah persa persam maan yang terlalu terlalu besar. Metode-m etode-metode solu solusi numerik umerik yang bany banyak dipakai, dapat diklasif diklasif ikasikan ikasikan sebagai: 1.
Metode Langsung Langsung a. Metode Langsung Eliminasi Gauss (EGAUSS) , prinsipny prinsipnya: mer u pakan operasi elim eliminasi dan su bstitu bstit usi variabel-v ariabel-variabelny ariabelnya sedem sedemikian r u pa sehingga dapat terbentu terbentuk matriks segitiga atas, dan akhirny akhirnya solu solusiny sinya diselesaikan menggu enggunakan teknik s teknik su bstitu bstit usi balik si balik ((backsub stitution), stitution), b. Metode Eliminasi Gauss ini. E lim liminasi Gauss-Jordan (EGJ), (EGJ), prinsipny prinsipnya: mirip sekali dengan metode EG, EG, namu namun n dalam dalam metode ini jum jumlah lah operasi numerik umerik yang dilak ukan jau jauh lebih besar, karena matriks A mengalam engalami inv inversi terlebih dahu dahulu untu ntuk mendapatkan matriks identitas ( I I ). ). K arena arena kendala tersebu tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, namu namun n sangat ber manf anf aat aat untu ntuk m k menginv enginversikan matriks, c. Dekomposisi LU (DECOLU), prinsipny prinsipnya: melak ukan dekom dekom posisi matriks A terlebih dahu dahulu sehingga dapat terbentu terbentuk matriks-m atriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemu kemudian dian secara mudah mudah dapat melak ukan su bstitu bstitusi balik (backsub stitution) stitution) untu ntuk berbagai berbagai vektor VRK ektor VRK (vektor (vektor r r uas kanan). d. Solusi sistem TRIDIAGONAL (S3DIAG) , prinsipny prinsipnya mer u pakan solu solusi SPL dengan bentu bentuk matrik pita atrik pita (satu satu diagonal bawah, satu satu diagonal utam ta ma, dan satu satu diagonal atas) pada atas) pada matriks A atriks A..
2.
Metode Tak-Langsung (Metode Iteratif) a. Metode Jacobi, prinsipny prinsipnya: mer u pakan metode iteratif iteratif yang melak uakn perbahar uan nilai x yang diperoleh tiap iterasi (mirip (mirip metode su bstitu bstit usi ber ur utan, successive tan, successive su b stitution), stitution), b. Metode Gauss-Seidel, prinsipny prinsipnya: mirip metode Jaco etode Jacobi, namu namun n melibatkan perhitu perhitungan im plisit,
1
c. Metode Successive Over Relaxation (SOR) , prinsipnya: mer u pakan perbaikan secara langsung dari Metode Gauss- Seidel dengan cara menggunakan f aktor relaksasi (f aktor pem bobot) pada setiap tahap/proses iterasi. Metode-metode tak-langsung seperti di atas pada umunya sangat tidak ef isien dan µtime consuming¶ (memerlukan CPU- time) yang jauh lebih besar dari metode langsung. Metode Eliminasi Gauss, metode Dekom posisi LU dan Metode Iterasi Jacobi mer u pakan metode yang dapat dijadikan sebagai alternatif untuk menyelesaikan model matematika. Metode Eliminasi Gauss mereduksi matriks koefisien A ke dalam bentuk matriks segitiga, dan nilai-nilai variabel diperoleh dengan teknik sub stitusi. Pada metode Dekom posisi LU, matriks A dif aktorkan menjadi matriks L dan matriks U, dimana dimensi atau uk uran matriks L dan U har us sama dengan dimensi matriks A. Pada metode iterasi Jacobi, penyelesaian dilak ukan secara iterasi, dimana proses iterasi dilak ukan sam pai dicapai suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang diberikan. Dari hasil pengu jian dapat diketahui bahwa metode Iterasi Jacobi memiliki hasil ketelitian yang lebih baik dan waktu kom putasi yang lebih cepat dari metode Eliminasi Gauss dan metode Dekom posisi LU. Penggunaan pendekatan dengan pemrograman MATLAB, salah satu software kom puter yang dapat digunakan untuk mem berikan solusi kom putasi numerik. K arena metode ± metode numerik dengan bahasa pemrograman yang sederhana, namun dapat menyelesaikan per masalahan yang dihadapi oleh mereka yang bergerak dalam bidang matematika mau pun aplikasi matematika. B. Rumusan Masalah Dari uraian di atas, dapat dir umuskan per masalahannya. 1. A pakah ur utan persamaan di dalam suatu SPL berpengar uh terhadap penam pilan metode iterasi Jacobi? 2. A pakah program MATLAB 7 dapat digunakan sebagai solusi pemrograman dalam metode numerik khususnya metode iterasi Jacobi? C. Batasan Masalah Dalam makalah ini akan mem bahas tentang penggunaan metode iterasi Jacobi dalam penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) ber uk uran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koef isien besar dengan pemrograman MATLAB 7 for Windows.
2
D. Tujuan Tu juan penulisan makalah sebagai berik ut. 1. Mem berikan solusi dalam mem peroleh ur utan persamaan di dalam suatu SPL dengan menggunakan metode iterasi Jacobi. 2. Penggunaan MATLAB 7 untuk mem bantu menyelesaikan pemrograman dalam penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan metode iterasi Jacobi. E. Manfaat Dapat diam bil manf aatnya sebagia berik ut. 1. Dapat digunakan sebagai solusi dalam mem peroleh ur utan persamaan di dalam suatu SPL ber uk uran besar dengan menggunakan metode iterasi Jacobi. 2. Mem beri kemudahan dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) ber uk uran besar dengan metode iterasi Jacobi dengan pemrograman MATLAB 7 for Windows.
3
PEMBAHASAN A. Iterasi Jacobi
Metode ini mer u pakan suatu teknik penyelesaian SPL ber uk uran n x n, AX = b, secara iteratif . Proses penyelesaian dimulai dengan suatu ham piran awal terhadap penyelesaian, X 0, kemudian mem bentuk suatu serangkaian vector X 1, X 2, « yang konvergen ke X . Teknik iteratif jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL ber uk uran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih ef isien dari pada metode iteratif . Akan tetapi, untuk SPL ber uk uran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koef isien besar, teknik iteratif lebih ef isien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori kom puter mau pun waktu kom putasi. Metode iterasi Jacobi, prinsipnya: mer u pakan metode iteratif yang melak uakn perbahar uan nilai x yang diperoleh tiap iterasi (mirip metode su bstitusi ber ur utan, successive sub stitution). B. Algoritma Iterasi Jacobi Untuk menyelesaikan system persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks koef isien n x n, b vector konstan n x 1, dan X vektor n x 1 yang perlu dicari. T
INPUT : n, A, b, dan Him punan awal Y = (y1 y2 y3«yn) , batas toleransi T, dan maksimum iterasi N . T
OUTPUT: X = (x1 x2 x3 ..xn) , atau pesan ³ gagal ³. LANGKAH ± LANGKAH : 1. set penghitung iterasi ke =1 2. WHILE k n DO
(a) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, hitung xi ! ( b) Set X = (x1 x2 x3 ..xn) (c) IF
X
Y
<
bi
§ j
T
T THEN STOP
(d) Tam bahan penghitung iterasi, k = k + 1 (e) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Set yi = xi T (f ) set Y = (y1 y2 y3 ..yn) 3. STOP
4
{i
aii
aij y j
C.
Flow
Chart Iterasi Jacobi
START
AX = b
Input A, b, X0, T, N
[X, g, H]= acobi A,b,X0,T, N)
xi !
bi
§ j {i a ij y j a ii
xi = ( x1 x2 x3 «xn)
STOP D. Iterasi Jacobi dengan Menggunaan Matlab 7 (k)
Jika x menyatakan ham piran ke k penyelesaian SPL , AX = b , dengan (0) x adalah ham piran awal, maka metode iterasi Jacobi dapat dinyatakan sebagai berik ut : xi
( k )
!
1 ¨
¸ © bi § aij x j ( k 1) ¹ , i = 1, 2, 3, ..., n ; k = 1, 2, 3, .. ¹ a ii ©ª j { i º
Dalam bentuk matriks, r umus iterasi dapat dinyatakan sebagai -1 (k-1) X = D ( b-(L+U)X ), Dengan A = L + D + U ( L matriks segitiga bawah, D matriks diagonal, U Matriks segitiga atas). Berik ut adalah gam baran bagaimana penggunaan metode iterasi Jacobi dengan sebuah contoh. Misalkan kita ingin menyelesaikan SPL. (k)
10x1 ± x2 + x3 = 6 -x1 + 11x2 ± x3 + 3x4 = 25 2x1 ± x2 + 10x3 ± x4 = - 11 3x2 ± x3 + 8x4 = 15
Mula ± mulakita nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lainnya 1. Nyatakan x1 dari persamaan (P1) dalam x2, x3, dan x4, 2. Nyatakan x2 dari persamaan (P2) dalam x1, x3, dan x4,
5
3. Nyatakan x3 dari persamaan (P3) dalam x1, x3, dan x4, 4. Nyatakan x4 dari persamaan (P4) dalam x1, x2, dan x3. Hasilnya adalah SPL x 2 x3 3
x1 !
x 2 ! x3 ! x 4 !
10 x1
5 x3
5 3 x 4
11 11 11 x1 x 2 x 4
25 11 11
5 10 10 10 3 x 2 x 3 15
8 8 8 T Misalkan kita pilih hapiran penyelesaian awal (0 0 0 0) , maka ham piran pertama terhadap penyelesaian SPL tersebut adalah 3 x1 ! ! 0.6 = 1 5 25 x 2 ! ! 2.2727 = 2 11 11 x3 ! ! 1.1 = -1 10 15 x 4 ! ! 1.8750 = 2 8 Sekarang dengan menggunakan nilai ± nilai ini pada r uas kanan persamaan (P5) ± (P8), kita dapat menghitung ham piran kedua. Proses ini dapat diulangulang sam pai keak uratan ham piran yang diinginkan tercapai. Berik ut adalah hasil proses iterasi dengan menggunakan kom puter. No 1 2 3 4 5 6 7 8
x1 0.6 1.04727 0.932636 1.0152 0.988991 1.0032 0.998128 1.00063
x2 2.27273 1.71591 2.05331 1.9537 2.01141 1.99224 2.00231 1.99867
x3
x4
-1.1 -0.805227 -1.04934 -0.968109 -1.01029 -0.994522 -1.00197 -0.999036
1.875 0.885227 1.13088 0.973843 1.02135 0.994434 1.00359 0.998888
Setelah iterasi ke-8 diperoleh ham piran penyelesaian T x = (1.00063 1.99867 -0.999036 0.998888) T bandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni x = (1 2 -1 1) . Menyelesaikan contoh SPL berik ut ini dengan menggunakan metode iterasi Jacobi. 2x1 ± x2 + 10x3 = -11 3x2 ± x3 + 8x4 = -11 10x1 ± x2 + 2x3 =6 -x1 + 11x2 ± x3+ 3x4 = 25
6
E. Penulisan Logaritma dalam Layar Editor MATLAB 7 function [X,g,H]= jacobi(A,b,X0,T, N) H = X0'; n = length( b); X1 = X0; f or k =1: N, f or i = 1:n, S = b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*X0([1:i-1,i+1:n]); X1(i)=S/A(i,i); end g = abs(X1-X0); err = nor m(g); relerr = err/(nor m(X1)+ eps); X0 = X1; H = [H;X0']; if (err
end
Layar Editor MATLAB 7
F.
Hasil Output fungsi MATLAB 7 Berik ut adalah contoh pemakaian fungsi MATLAB 7 jacobi dan hasil keluaran dari yang diperoleh: >> A=[2 -1 10 0;0 3 -1 8;10 -1 2 0;-1 11 -1 3] A= 2 -1 10 0 0 3 -1 8 10 -1 2 0 -1 11 -1 3 >> b=[-11;-11;6;25] b = -11
7
-11 6 25 >> X0=[0;0;0;0] X0 = 0 0 0 0 >> T=.00001 T= 1.0000e-005 >> N=25 N = 25 >> [X,g,H]= jacobi(A,b,X0,T, N) X= 1.0e+017* -4.1950 0.5698 2.1380 0.0451 g= 1.0e+017* 3.7699 0.5442 1.2965 0.1535 H= 1.0e+017* 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 -0 . 0007 0 . 0000 0 . 0013 -0 . 0002 -0 . 0066 0 . 0009 0 . 0036 0 . 0000 -0 . 0173 0 . 0011 0 . 0333 -0 . 0042 -0 . 1661 0 . 0224 0 . 0873 0 . 0013 -0 . 4251 0 . 0256 0 . 8415 -0 . 1085 -4 . 0000 0 . 5698 2 . 1380 0 . 0451
8
Dari hasil diatas, metode Jacobi belum konvergen setelah melak ukan iterasi. Untuk mengetahui penyelesaian SPL kita, selanjutnya gunakan metode langsung dengan menggunakan invers matriks A. MATLAB mem berikan penyelesaian sebagai berik ut. >> X=inv(A)*b X= 1.1039 2.9965 -1.0211 -2.6263
A pakah metode jacobi tidak dapat menghasilkan penyelesaian Dengan mengu bah susunan SPL, yakni persamaan pertama dan kedua menjadi persamaan ketiga dan keem pat, metode Jacobi ternyata mem berikan penyelesaian tersebut, sebagaimana terlihat pada hasil MATLAB berik ut. >> A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 0;0 3 -1 8] A= 10 -1 2 0 -1 11 -1 3 2 -1 10 0 0 3 -1 8 >> b=[6;25;-11;-11] b = 6 25 -11 -11 >> X0=[-2;1;3;-1] X0 = -2 1 3 -1 >> [X,g,H]= jacobi(A,b,X0,T, N) X= 1.1039 2.9965 -1.0211 -2.6263 g= 0.0795 0.2004 0.0797 0.1511 H= -2 . 0000 1 . 0000 3 . 0000 -1 . 0000 1 . 1000 2 . 6364 -1 . 6000 -2 . 3750 1 . 9836 2 . 6023 -1 . 8564 -2 . 4386 1 . 0315 2 . 9494 -1 . 0365 -2 . 4579 1 . 1022 2 . 9426 -1 . 0114 -2 . 6106 1 . 1065 2 . 9930 -1 . 0262 -2 . 6049 1 . 1045 2 . 9895 -1 . 0200 -2 . 6256
9
tersebut? dipindah berhasil keluaran
1 . 1030 1 . 1040 1 . 1037 1 . 1039 1 . 1039 1 . 1039 1 . 1039
2 . 9965 2 . 9856 2 . 9966 2 . 9964 2 . 9965 2 . 9965 2 . 9965
-1 . 0220 -1 . 0209 -1 . 0212 -1 . 0211 -1 . 0211 -1 . 0211 -1 . 0211
-2 . 6236 -2 . 6264 -2 . 6260 -2 . 6264 -2 . 6263 -2 . 6263 -2 . 6263
Iterasi Jacobi konvergen (dengan menggunakan batas toleransi 0.0001) setelah iterasi ke-13. Penyelesaian yang diberikan persis sama dengan yang dihasilkan dengan metode langsung. Ham piran penyelesaian SPL kita adalah X = (1.1039 T 2.9965 -1.0211 -2.6263) . Layar MATLAB 7 (command window)
Dari contoh di atas bahwa ur utan persamaan di dalam suatu SPL sangat berpengar uh terhadap penam pilan metode iterasi Jacobi. K alau kita amati lebih lanjut contoh di atas, kekonvergenan iterasi Jacobi pada strategi kedua dikarenakan kita telah mengu bah susunan SPL sedemikian hingga elemen-elemen aii mer u pakan elemen-elemen terbesar pada setiap baris. Dengan kata lain, apabila matriks koef isien A mer u pakan matriks dominan secara diagonal, maka metode iterasi Jacobi akan konvergen. Suatu matrik A ber uk uran n x n dikatakan dominan secara diagonal apabila | a ii |"| a i ,1 | ... | a i ,i 1 | | a i ,i 1 | ... | a i ,n | untuk i = 1, 2, 3, ..., n.
10
SIMPULAN
A. Sim pulan Dari pem bahasan di atas kita dapat mengam bil kesim pulan bahwa. 1. Ur utan persamaan di dalam suatu SPL sangat berpengar uh terhadap penam pilan metode iterasi Jacobi. 2. Dengan menggunakan pemrograman MATLAB 7 dapat mem bantu pemrograman dalam dalam metode numeric khususnya metode iterasi Jacobi B. Saran Dari hasil pem bahasan disarankan untuk. 1. Menggunakan metode iterasi Jacobi lebih ef ektif untuk memecahkan masalah numerik dalam SPL ber uk uran besar. 2. Menggunakan program MATLAB 7 f or Windows dalam mem bantu pengolahan metode iterasi Jacobi.
11
