MODELO DE KRONIG PENNEY Y ECUACION DE SCHORINGER
PRESENTADO A Héctor Julio Romero
PRESENTADO POR Jessica Marcela Cardona Reinoso CODIGO 162205110
UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA ELECTRONICA FISICA DEL ESTADO SOLIDÓ FUSAGASUGA 2007
MODELO DEL ELECTRÓN EN UNA RED PERIÓDICA: MODELO DE KRONIGPENNEY El modelo del electrón libre no tiene en cuenta los efectos debidos a interacciones de los electrones con la red cristalina. Recordemos que cuando un electrón pasa cerca de un átomo es acelerado, y cuando se aleja es desacelerado hasta que entra dentro del campo de acción del próximo átomo, estableciéndose niveles de energía potencial que delimitan el movimiento del electrón a través de la red. Desde el punto de vista de la mecánica cuántica un electrón en un cristal se encuentra en un potencial periódico del tipo mostrado en la figura 1.a.
L Figura 1.a Potencial real
Figura 1.b Modelo de Kronig-Penney
a L
b
Para estudiar el comportamiento del electrón en una red periódica unidimensional se utiliza un modelo de potencial periódico formado por un arreglo de pozos y barreras rectangulares de potencial que tienen la periodicidad de la red, como se muestra en la figura 1.b. Este es el modelo de Kronig-Penney. La figura 2 muestra el potencial periódico unidimensional utilizado para estudiar el comportamiento del electrón en este modelo.
V(x)
Vo E
I
Figura 2
II
x -b
0
a L=a+b
a+b
La solución del sistema requiere resolver la ecuación de Schrdinger: d 2 dx
2
2 m (E - Vo) 2
0
Sujeta a las condiciones en las regiones: I (V(x) = 0) y II (V(x) = Vo), resultando: Región I:
1 A e (i x) B e (-i x) Región II:
2 C e ( x) D e (- x)
A, B, C y D son coeficientes constantes. y están dados por:
2
2mE
2
y
2
2m (Vo - E) 2
Como la red cristalina es periódica se introduce el factor de periodicidad por medio del teorema de Bloch1, por lo cual: Donde la periodicidad de la red L, requiere que: (x) u(x) e(ikx)
u(x) = u(x + L) = u(x + nL),
n es entero.
Se obtienen funciones periódicas en las regiones I y II: u1 A ei( k) x B e- i( k) x u2 C e( - ik) x D e- ( ik) x
Los coeficientes A, B, C y D se obtienen de las condiciones de continuidad para la función de onda y su primera derivada, las que deben ser continuas donde ocurre un cambio abrupto de potencial. Es decir:
1
Ecuación de una onda plana cuya amplitud es modulada por el factor u(x) que expresa la periodicidad de la red cristalina.
u1(0) u2(0)
du1 dx
y
u1(a) u2(-b)
x0 du1 dx
y
du2 dx
xa
x0 du2 dx
Y además:
x -b
Aplicando estas condiciones resulta un sistema de cuatro ecuaciones. La solución del sistema se puede expresar como: cos ( a) cosh( b) -
2 - 2 sen ( a) senh( b) cos k(a b) cos kL 2
El lado derecho de la ecuación se puede convertir en una función de la energía f(E): f(E) cos a
2mE
2 m (Vo - E)
2
2
cosh b
Vo sen a E (Vo - E)
2mE
2 m (Vo - E)
2
2
senh b
Esta función queda limitada entre los valores +1 y -1 por la condición impuesta por el segundo miembro de la ecuación, se debe cumplir f(E) = cos kL. La figura 3 muestra una representación esquemática de dicha relación, para valores positivos de k. f(E)
Banda permitida
Figura 3
Banda prohibida k = 2/L
k = 2/L
k = 4/L
k=0 +1 0
E1
E2 E3
E4
E5
E6
E7
E8
-1 k = /L
k = /L
k = 3/L
k = 3/L
E
Como puede verse f(E) permanece dentro del rango [-1, 1] sólo para ciertos valores de energías. Estos valores de "energías permitidas" forman las denominadas "bandas de energía permitidas". Los valores restringidos de energía forman las denominadas "bandas de energía prohibidas" o "gap" de energía. El agrupamiento de los valores de energía permitidos en bandas es una de las características más importantes del comportamiento de los electrones en las redes periódicas. Utilizando la curva obtenida anteriormente se puede graficar la energía E como una función de k, como se muestra en forma esquemática en la figura 4, donde se la compara con la obtenida para el electrón libre (línea de trazos).
B
gap
Banda permitida gap
Banda permitida
gap
permitida
E(k)
Figura 4
k
4 L
3 L
2 L
L
0
L
2 L
Primera zona de Brillouin Segunda zona de Brillouin
3 L
4 L
Bandas de energía
El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagación de una onda electromagnética en un cristal. La dispersión de la onda electromagnética por los átomos de la red da lugar a una onda dispersada que se refuerza cuando se cumple la condición de Bragg: 2 L = = 2 = 3 = …n ¿Cómo se relacionan los valores de k con la condición de Bragg para reflexión constructiva? Se define la velocidad del electrón representado por un paquete de ondas centrado alrededor de la energía E y con un número de onda k por la relación: v
1 dE dk
Si sobre el electrón actúa una fuerza externa F, el trabajo realizado por esta fuerza en un intervalo de tiempo dt será: F v dt, produciendo una variación en la energía del electrón de magnitud dE: dE dE F v dt dk dk entonces: dk F dt Diferenciando la velocidad respecto al tiempo se obtiene la aceleración del electrón: a
dv 1 d 2 E dk 1 d 2E F dt dk 2 dt 2 dk 2
Asemejando la anterior a la forma de la segunda ley de Newton se obtiene: F = m* a donde m* se denomina masa efectiva y está dada por: m*
2 d 2E dk 2
De este modo, asignando a los electrones en la red periódica una masa efectiva m* podemos tratarlos como si fuesen libres, y describir su movimiento en presencia de un campo aplicado de la misma forma que para un electrón libre. Las propiedades de la red cristalina determinan el valor de m* ya que determinan la forma de la función E(k) y de su derivada segunda d 2E/dk2.
ECUACIÓN DE SCHRODINGER La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austriaco Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger en 1925, describe la dependencia temporal de los sistemas mecano cuánticos. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa un papel análogo a las leyes de Newton en la mecánica clásica. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo Usando la notación bra-ket de Dirac, denotamos a un vector de estado en el instante de tiempo t del tipo introducido en la sección anterior, como |ψ(t) 〉 . La ecuación de Schrödinger es, entonces:
Donde i es el número imaginario unidad, es la constante de Planck dividida por 2π(constante reducida de Planck), y el Hamiltoniano H es un operador lineal hermítico y autoadjunto que actúa sobre el espacio de estados. El hamiltoniano describe la energía total del sistema. Como con la fuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no la da la ecuación de Schrödinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades físicas del sistema cuántico. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Para cada hamiltoniano (si la energía potencial es independiente del tiempo), existe un conjunto de estados cuánticos, conocidos como estados propios para la energía que satisfacen la ecuación de valores propios:
Donde soluciones de la ecuación de Schrödinger
Se pueden obtener soluciones analíticas de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para varios sistemas relativamente sencillos. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y en ocasiones son una aproximación razonable al comportamiento de sistemas más complejos (como en mecánica estadística se aproximan las vibraciones moleculares como osciladores armónicos). Algunas de las soluciones analíticas más comunes son:
Números Cuánticos La partícula en una caja La partícula en un anillo La partícula en un potencial de simetría esférica El oscilador armónico cuántico El átomo de hidrógeno La partícula en una red monodimensional
Sin embargo, para muchos sistemas no hay solución analítica a la ecuación de Schrödinger. En estos casos, hay que recurrir a soluciones aproximadas, como:
La teoría perturbacional El método variacional Las soluciones Hartree-Fock Los métodos cuánticos de Monte Carlo Parámetros
Las diferentes versiones de la ecuación de Schrödinger contienen los siguientes parámetros: Constante de Plank, : es la energía por unidad de frecuencia de cada cuanto de luz. Entra en la ecuación de Schrödinger para satisfacer las
relaciones de conmutación canónicas, . Constante imaginaria, : indica el carácter complejo de las funciones de onda. Representa una cantidad compleja tal que
Energía propia, estado propio.
.
: valor propio del hamiloniano asociado a su n-ésimo Condiciones de validez
La ecuación de Schrödinger es útil en aquellas situaciones en que la acción del sistema (la integral temporal de la función lagrangiana) es muy pequeña, comparable al valor de la constante de Plank.
Por otra parte, la ecuación de Schrödinger deja de ser válida en las condiciones siguientes:
Cuando la energía cinética, es comparable a la energía en reposo, en cuyo caso son importantes las correcciones relativistas. Cuando existe creación y destrucción de partículas, en cuyo caso deben utilizarse los métodos de la teoría cuántica de campos (que también pueden incorporar la relatividad). en general, el formulismo de la ecuación independiente del tiempo tiene sentido tan solo cuando el propio hamiltoniano es también independiente del tiempo.
La ecuación de Schrödinger tan solo se puede resolver analíticamente a través del formalismo del operador de evolución, o mediante la teoría de ecuaciones diferenciales una vez se ha escrito en una base concreta (usualmente en la base de posiciones o en la de momentos). Sin embargo, los problemas de muchas partículas (es decir, más de una), tan solo existe solución exacta para los sistemas en que la ecuación diferencial se puede separar en tantas ecuaciones mono-particulares como partículas existan. Por otra parte, la ecuación de Schrödinger de una sola partícula (mono-particular) tiene solución analítica en los siguientes casos:
Problemas unidimensionales, o que por separación de variables se pueden descomponer en varias ecuaciones unidimensionales, donde el potencial es constante a trozos. Problemas tridimensionales en regiones finitas, rodeadas por paredes impenetrables, con geometría adaptada a algún tipo de coordenadas curvilíneas. Problemas unidimensionales con potenciales cuadráticos en la posición (oscilador harmónico, campos eléctricos y magnéticos constantes y perpendiculares entre si, etc.).
En otros casos, la solución de la ecuación de Schrödinger exige métodos numéricos, o bien simulaciones por ordenador.
BIBLIOGRAFIA
Física vol. III - Alonso-Finn, Cap. 6.3, 6.4, 6.5
Física de los semiconductores- Mc Kelvey- Cap. 8.1, 8.2, 8.3, 8.4
Physical principles of microelectronics - Yepifanov- 5.2, 5.3, 5.4
http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Kronig-Penney
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_Schrödinger"
