I21, IA21; MNI21
LUCRAREA DE LABORATOR № 1. TEMA: MULŢIMI STA STABILE BILE ÎNTR-UN GRAF 1. Elaboraţi un program pentru găsirea mulţii stabile interior maxime cu algoritmul indicat. Datele pentr pn!tele pn!tele " #$ % &nt la &'(r#$tl '$#$erl$ ". Pentru graul G )n*ta+$ )n*ta+$ ,(r'r$le ra'l$ ! ) x 1 x " /0 #$ !2$$le ! )u1 u" /00: 2.1. !escrieţi matricea de adiacenţă, matricea de incidenţă "i matricea #irc$$go; 2.2. !eterminaţi numerele ∆&G % "i δ &G % ; 2.'. (onstruiţi graul graul complementar complementar lui G; 2.). !escrieţi un subgra subgra complet cu numărul numărul maxim de *+ruri a lui G; 2.. Indicaţi un lanţ elementar de lungime maximă ;i un cilu elementar &dacă există%; 2.-. !escrieţi toate mulţimile a% stabile interior maximale, maximale, b% mulţimile stabile exterior exterior minimale, c% clicele maximale, maximale, d% acoperirile de *+ruri minimale, e% acoperirile de muc$ii minimale, % cupla/ele maximale. maximale. 2.0. !eterminaţi numerele α , β ,α 1 , β 1 ,ϕ . 2.. !escrieţi pe pa"i aplicarea algoritmului din primul punct la graul G.
%. 3e4ol*aţi problemele indicate 5n *ariantă Grpa I"1 3ar$antele 3ar$anta 1.
1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee ". G1-; %. 1), 2.
3ar$anta ".
1. Algoritmul Malgrange. ". G10;
3ar$anta %.
1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G1;
%. 1', 29 %. 12, '
3ar$anta 4. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee ". G19; 3ar$anta 5. 1. Algoritmul Malgrange.". G2;
%. 11, '1
%. 1, '2
3ar$anta 6. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. 8aulbee . ". G1; %. 9, 1 3ar$anta 7. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. 8aulbee . ". G2; 3ar$anta 8. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G';
%. , 1-
%. -, 10
3ar$anta 9. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. 8aulbee . ". G);
%. 0, 1
3ar$anta 1. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. 8aulbee . ". G; %. d%, 19 3ar$anta 11. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. 8aulbee. ". G-; %. ), 2 3ar$anta 1". 1. Algoritmul Malgrange. ". G0 %.', 2) 3ar$anta 1%. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G %. ), 2 3ar$anta 14. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$.. ". G9
%.1, 2-
I21, IA21; MNI21
3ar$anta 15. 1. Algoritmul Malgrange. ". G1
%. 2, 20
Grpa IA"1 3ar$antele 3ar$anta 1.
1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee ". G1; %. 1, 1.
3ar$anta ".
1. Algoritmul Malgrange. ". G2;
3ar$anta %.
1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G';
%. 2, 1%. ', 10
3ar$anta 4. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G); 3ar$anta 5. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G;
%. ), 1
%. a%b%, 1
3ar$anta 6. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G-; %. c%, 19 3ar$anta 7. 1. Algoritmul Malgrange. ". G0;
%. d%, 2
3ar$anta 8. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G;
%. -, 21
3ar$anta 9. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G9;
%. 0, 22
3ar$anta 1. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G1; %. , 2' 3ar$anta 11. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G11; %. 9, 2) 3ar$anta 1". 1. Algoritmul Malgrange. ". G12
%.1, 2)
3ar$anta 1%. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$.". G1' %. 11, 2 3ar$anta 14. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee ". G1) 3ar$anta 15. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G1
%.12, 2-
%. 1', 20
Grpa MNI"1 3ar$antele 3ar$anta 1.
1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G1; %. 1), 2.
3ar$anta ".
1. Algoritmul Malgrange. ". G2;
3ar$anta %.
1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G1;
%. 1', 10
3ar$anta 4. 1. Algoritmul Malgrange. ". G11; 3ar$anta 5. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee
%. 12, 2
%. 11, 1". G9;
%. 1, 1
3ar$anta 6. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G12; %. 9, 21 3ar$anta 7. 1. Algoritmul Malgrange. ". G1';
%. , 2'
I21, IA21; MNI21
3ar$anta 8. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$. ". G1); 3ar$anta 9. 1. Algoritmul Malgrange. ". G1;
%. -, 22
%. 0, 2)
3ar$anta 1. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G19; %. c%, 19 3ar$anta 11. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G0; %. ), 23ar$anta 1". 1. Algoritmul Malgrange. ". G %.', 13ar$anta 1%. 1. Algoritmul 6ron "i #erbosc$.". G' %. ), 29 3ar$anta 14. 1. Algoritmul Malgrange. ". G
%.1, '
3ar$anta 15. 1. Algoritmul lui 6ednare7 "i 8aulbee. ". G-
%. 2, '2
Gra'r$le pentr pn!tl "
1
G
%
G
5
G
7
G
"
G
4
G
6
G
8
G
I21, IA21; MNI21
9
1
G
11
G
1%
G
15
G
7
G1
G
1"
G
14
G
16
G
18
G
I21, IA21; MNI21
19
G
"
G
;r* numărul muc$iilor care au exact o extremitate 5n A. <ă se demonstre4e că numărul k este de aceea"i paritate cu numărul *+rurilor de grad impar din A. 4. <ă se *eriice următoarele airmaţii a%există grauri neorientate de ordin 1 pentru care "irul gradelor *+rurilor sale este respecti* 1, 1, 1, ', ', ', ), -, 0, 9 ; b%există grauri neorientate cu n ≥ ) *+ruri, pentru care exact ' *+ruri sunt de grad impar, iar celelalte &n > '% *+ruri sunt de grad par; 5. <ă se *eriice următoarele airmaţii a%există grauri neorientate pentru care gradele *+rurilor sunt distincte două c+te două; b%pentru orice gra neorientat, numărul *+rurilor de ordin impar este par. 6. :ie G = ( X ;U ) un gra neorientat cu n *+ruri "i m muc$ii. <ă se demonstre4e că dacă gradul iecărui *+r al acestui gra este k sau k + 1 , atunci numărul *+rurilor de grad k este & k + 1% n − 2m . 7. <ă se *eriice care dintre următoarele airmaţii este ade*ărată "i care este alsă a% reuniunea a două lanţuri dis/uncte ce leagă *+rurile x "i y ale unui gra G ormea4ă un ciclu elementar; b% reuniunea a două lanţuri elementare dis/uncte ce leagă *+rurile x "i y ale unui gra G ormea4ă un ciclu elementar. 8. (are este numărul maxim de muc$ii 5ntr=un gra cu n *+ruri ce nu conţine cicluri elementare de lungime pară?
I21, IA21; MNI21
9. <ă se *eriice airmaţiile a%orice ciclu conţine un ciclu elementar; b%orice ciclu de lungime impară conţine un elementar. 1. :ie
un gra neorientat, *+rurile căruia repre4intă primele n numere naturale A1, 2, ..., n@ , iar două *+ruri x, y sunt adiacente, dacă "i numai dacă numerele x "i y sunt reciproc prime. a% <ă se scrie matricea de adiacenţă a graurilor G , G- , G0 . (are este structura matricei de adiacenţă a graului G n ? b% <ă se *eriice dacă graul G n este conex. c% <ă se demonstre4e că G m , m < n este subgra al graului G n , generat de submulţimea de *+ruri A1, 2, ..., m@ . Gn
11. <ă se demonstre4e că dacă G este un gra neorientat cu atunci G este conex. 1". <ă se demonstre4e că dacă
δ &G %
≥
n>
2 *+ruri
& n − 1% 2 , atunci graul G este
"i
2
m > C n −1
muc$ii,
conex.
1%. :ie G un gra conex. Este ade*ărat oare că graul complementar nu este conex? (um ar i graul complementar, dacă graul G nu ar i conex? 14. <ă se *eriice airmaţia 5ntr=un gra conex orice două lanţuri elementare de lungime maximă conţin cel puţin un *+r comun. 15. <ă se construiască un gra neorientat 5n care orice mulţime de *+ruri stabilă exterior minimă nu este "i stabilă interior. 16. :ie
G = & X ;U %
un gra neorientat, care nu conţine *+ruri i4olate. <ă se demonstre4e că 5n
G există mulţime stabilă exterior A, astel 5nc+t
X B A de asemenea este mulţime stabilă exterior.
17. <ă se demonstre4e că dacă graul neorientat G = & X ;U % nu conţine *+ruri i4olate, atunci β &G % ≤ X C 2 . <ă se construiască un gra conex cu un număr par de *+ruri pentru care β &G % = X C 2 .
18. Dn ca4ul unui gra neorientat
G = & X ;U %
, să se *eriice inegalitatea
α &G % ≥ β &G %
19. <ă se *eriice airmaţia orice acoperire de *+ruri a unui gra conţine o acoperite de *+ruri minimă. 3ăspunsul să se argumente4e. ". <ă se *eriice airmaţia orice mulţime de *+ruri stabilă interior a unui gra neorientat se conţine 5ntr=o mulţime stabilă interior maximă. 3ăspunsul să se argumente4e. "1. Pentru un gra neorientat
, să se *eriice dacă sunt ade*ărate inegalităţile β &G % ≥ α 1 &G % , β 1 &G % ≥ α &G % .
G = & X ;U %
I21, IA21; MNI21
"". <ă se *eriice inegalitatea β 1 &G % ≥ δ &G % . Dn ca4ul unui răspuns airmati*, inegalitatea să se demonstre4e. Dn ca4 contrar, răspunsul să se argumente4e printr=un exemplu concret. "%. <ă se demonstre4e sau să se respingă printr=un exemplu concret airmaţia orice cupla/ al graului se conţine 5ntr=un cupla/ maxim. "4. <ă se demonstre4e că 5ntr=un gra bipartit cu m muc$ii are loc inegalitatea m ≤ α &G % ⋅ β &G % , care se transormă 5ntr=o egalitate, dacă "i numai dacă G este un gra bipartit complet. "5. <ă se demonstre4e că 5ntr=un gra bipartit G are loc egalitatea α 1 &G %
=
β &G % .
"6. <ă se construiască un gra neorientat cu - *+ruri, dierit de K - , 5n care orice mulţime stabilă interior se conţine 5ntr=o mulţime stabilă interior maximă. Există oare grauri cu proprietatea indicată pentru orice număr de *+ruri n? "7. <ă se ale cardinalul mulţimii de *+ruri stabile exterior minime pentru ciclurile simple de lungimea n, notate prin C n , "i pentru lanţurile elementare de lungimea n, notate prin P . n
"8. <ă se construiască toate graurile neorientate G cu - *+ruri "i un număr minim de muc$ii, pentru care se respectă inegalitatea α &G % < k , unde k = ', ), , - . "9. <ă se demonstre4e că printre "ase persoane luate la 5nt+mplare numaidec+t se *or găsi trei care se cunosc 5ntre ele, sau in*ers > nu se cunosc. %. <ă se demonstre4e că 5n orice gra G cu n *+ruri are loc inegalitatea α 1 &G %
≥
n
2
.
%1. <ă se dea exemple de grauri pentru care mulţimea de muc$ii U ormea4ă un cupla/. Dn ce condiţii acest cupla/ *a i perect? %". <ă se determine toate graurile pentru care există cupla/ maximal ormat dintr=o singură muc$ie.
