INVESTIGACION DE OPERACIONES
REDES PERT CPM
INDICE
1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................................2 2. ¿QUÉ ¿ QUÉ SON PERT Y CPM? ........................................................................................................................................... 3 3. ¿QUÉ SIGNIFICA SIGNI FICA LA PALABRA PALAB RA «DIRECCIÓN»? «DIRE CCIÓN»?...... ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............4 ......4 4. APLICACIONES DE PERT Y CPM..........................................................................................................................5 5. VENTAJAS VENT AJAS DE ESTAS EST AS TÉCNICAS .......................................................................................................................... 6 6. DIFERENCIAS CON EL MÉTODO GANTT.........................................................................................................7 7. FUNDAMENTOS FUNDAMENT OS DE LA REPRESENTAC REPRESENTACIÓN IÓN GRÁFICA DE UN PROYEC TO...... TO ............ ............ ............ ............ ............ .......8 .8 8. TIEMPO DE PREPARACIÓ N Y RESTRICCIONES EXTERNAS EXTE RNAS DEL PROYECTO ............ .................. ............ ........13 ..13 9. FLECHAS FICTICIAS.................................................................................................................................................14 10. PROCEDIMIENT PROCED IMIENTOS OS PARA P ARA DIBUJAR LA L A RED DE FLECHAS ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ..........16 ....16 11. EJEMPLOS....................................................................................................................................................................17 1 2. CÓMPUTO DE TIEMPO TIEMPO «LO «LO MÁS PRONTO PRONT O POSIBLE» POSIB LE» Y «LO MÁS TARDE PERMISIBLE» PERMISIBLE» DE COMENZAR COMENZ AR Y TERMIN TERM INAR AR UNA ACTIVIDAD ACTIVID AD ..............................................................................................2 ..............................................................................................211 13. CONCEPTO DE CAMINO CAM INO CRITICO C RITICO Y HOLGURAS DE TIEMPO ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ........24 ..24 14. UN CRITERIO PARA ACORTAMI ACORTAMIENTO ENTO DE LA DURACIÓN DE PROYECTO ............ .................. ............ ............ .......29 .29 15. RELACIÓN ENTRE LA DURACIÓN Y EL COSTE DIRECTO DE UNA ACTIVIDAD ............ .................. ........32 ..32 16. CRITERIO DE ELECCIÓN DE ACTIVIDADES PARA SU ACORTAMIENTO ACORTAMI ENTO ............ .................. ............ ............ ..........36 ....36 17. ALGUNOS CASOS ESPEC E SPECIALES IALES DE DURACIÓN-COS DURAC IÓN-COSTE TE ............ .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ..........38 ....38 18. PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓ N POR EL MÉTODO MÉTOD O CPM ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ .......39 .39 BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................................................................50
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1. Introducción Cuando la Marina de los Estados Unidos comenzó el proyecto del «submarino atómico Polaris», se dieron cuenta que no sólo debían vencer las dificultades técnicas y científicas, sino también el problema de coordinación y control de estos enormes esfuerzos. En este proyecto había 250 contratistas directos y más de 9,000 subcontratistas, que suponían gran cantidad de recursos y factores humanos y, por tanto, era preciso encontrar una nueva técnica para desarrollar el proyecto con eficacia bajo un nivel razonable de coste y tiempo. En colaboración con la casa Booz, Allen y hamilton se iniciaron los conceptos básicos del sistema PERT (Project Evaluation and Review Technique), como instrumento de planificación, comunicación, control e información. El resultado de la aplicación de esta nueva técnica fue el ahorro de dos años en un proyecto de cinco de duración total. Este éxito no sólo impresionó en el campo militar, sino también en otros sectores; su utilización se extendió rápidamente en el campo industrial y comercial. Hoy prácticamente en los Estados Unidos todas las empresas utilizan PERT para controlar sus proyectos, especialmente las que están vinculadas con el Departamento de Defensa. En 1957, la casa E. I. Du Pont desarrolló un sistema que pudiera mejorar el método de planificación y programación para los programas de construcción. Bajo la dirección de los señores J.E. Kelly y M.R. Walker, se creó la técnica CPM (Critical Path Method). La técnica de CPM es similar al PERT en muchos aspectos. La diferencia fundamental de estos dos sistemas consiste en que, el PERT, estima la duración de cada tarea u operación de los proyectos basándose simplemente en un nivel de costo, mientras que el CPM relaciona duración y coste, de lo cual se deriva una diversidad de duraciones para cada tarea u operación, y la elección de una duración adecuada se hará de modo que el costo total del proyecto sea mínimo. Lo más criticado de PERT y CPM es que ambas son determinístas, es decir, se predetermina que actividades deben hacerse para terminar un proyecto. Es asumido que todas las actividades del gráfico de red se tiene que hacer antes o después, y que la terminación de todas las actividades marca el final del proyecto. La duración de una actividad es lo único que se considera incierto. Para muchos tipos de proyectos, particularmente aquellos en los cuales los procesos no son bien conocidos hay muchas más cosas inciertas que se deberían considerar. Por ejemplo, una actividad en un proyecto de desarrollo de software puede ser "probar los resultados del programa". No siempre el resultado es el que esperábamos y puede ser que no sepamos si esto representa un error en de tipo software o hardware o un poco de ambo am bos. s. Aún sería peor si fuese un problema de diseño o de d e especificación espe cificación entonces el proyecto necesitaría volver atrás hasta llegar al paso de diseño o de especificación. Estas contingencias de salto para rediseñar o reespecificar son normales en proyectos de desarrollo. Como PERT y CPM requieren que todas las tareas estén terminadas no se considera el caso de tener que volver atrás. Para compensar estas deficiencias se han desarrollado sistemas de red más generalizados, probablemente el más conocido es el GERT (Graphical Evaluation and Review Technique).
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2. ¿Qué son PERT y CPM? PERT y CPM son dos métodos usados por la dirección para, con los medios disponibles, planificar el proyecto al fin de lograr su objetivo con éxito. Estos métodos no pretenden sustituir las funciones de la dirección, sino ayudarla. PERT y CPM no resuelven los problemas por sí solos sino que relacionan todos los factores del problema de manera que presentan una perspectiva más clara para su ejecución. Muchas veces las decisiones no son fácilmente tomadas por la dirección debido a su incertidumbre, pero PERT y CPM ofrecen un medio eficaz de reducir ésta, y que las decisiones tomadas y acciones emprendidas sean las adecuadas al problema, con gran probabilidad de éxito. El mayor problema con que la dirección se enfrenta hoy en un proyecto complejo, es cómo coordinar las diversas actividades para lograr su objetivo. Los enfoques tradicionales sobre la planificación y programación resultan inadecuados e insuficientes. Generalmente los diferentes grupos que trabajan para el proyecto tienen sus propios planes de realización independientes entre sí. Esta separación conduce a una falta de coordinación para el proyecto como conjunto. En cambio, las técnicas de PERT y CPM preparan el plan mediante la representación gráfica de todas las operaciones que intervienen en el proyecto y las relacionan, coordinándolas de acuerdo con las exigencias tecnológicas. Además, estas técnicas técnicas proporcionan proporcionan un método de actuación actuación por excepción excepción para la dirección; esto quiere decir que la dirección sólo actuará cuando surjan desviaciones respecto al plan previsto.
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3. ¿Qué significa la palabra «dirección»? Primero vamos a aclarar la palabra dirección. Su significado en el lenguaje anglosajón management es muy amplio. No sólo se refiere a la dirección propiamente dicha de la empresa, sino que se extiende a todos los niveles de ésta. La diferencia está en que los distintos niveles de dirección tienen distintos grados de autoridad y responsabilidad. Diremos que la «dirección» en sentido anglosajón es cualquier órgano «ejecutivo» de la empresa y es necesario que reúna las siguientes condiciones:
1. el responsable debe escoger o conocer conocer el objetivo de su trabajo; 2. debe organizar los lo s recursos disponibles para lograr el objetivo elegido por medio medio de un proyecto o plan de realización; 3. durante la realización del proyecto, puede ocurrir que cambien sus condiciones iniciales y, entonces, debe controlar y modificar el proyecto original para proseguir su objetivo.
De aquí también se deduce que la función de la dirección está caracterizada por las decisiones que se deben tomar y, a su vez, estas decisiones van acompañadas de la incertidumbre. Sobre todo, cuando el objetivo no tiene precedente y el éxito de la consecución no está garantizado. Aun cuando los trabajos sean repetitivos, la dirección suele encontrarse con problemas tanto de tiempo como de costo. PERT y CPM son sistemas especialmente diseñados para asistir a la dirección en esas tareas donde la incertidumbre pudiera comprometer su eficacia, ya que estos métodos le ofrecen una planificación detallada, con las responsabilidades designadas, y la programación mejor estimada y con más probabilidad de cumplimiento.
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4. Aplicaciones de PERT y CPM El factor tiempo adquiere cada vez más importancia en las industrias. No sólo por la penalidad impuesta por el cliente respecto al plazo de entrega sino también por el concepto de costos. Una empresa mueve millones de dolares al mes; y si la dirección puede conseguir una reducción del tiempo de realización del proyecto con los mismos medios existentes y no causa por ello aumento de costos, significará un beneficio. Esta economía indirecta puede ser conseguida mediante la mejora del método para la planificación, programación y control de proyectos. La fabricación se puede clasificar en dos tipos; producción continua o en serie, y la producción por unidades, que ha de ser compleja para poder utilizar estas técnicas, por ejemplo, toda clase de construcción, como: alternadores, locomotoras, barcos, edificios, carreteras, puentes, instalaciones de plantas, etc. Las técnicas de PERT y CPM son productos del progreso científico para controlar esta clase de producción por unidades. La aplicación de PERT se concentra en aquellas tareas en que hay incertidumbre en cuanto a los tiempos de terminación. Sin embargo, con CPM se supone que las experiencias pasadas nos libran de esta incertidumbre de tiempos, pero sí existe la de costos, ya que lo importante es el costo total mínimo y sobre éste se fijan los tiempos de los trabajos. El caso PERT, por ejemplo, es más indicado para los proyectos de investigación, en los cuales existe el problema de la estimación de los tiempos de trabajo y, por otro lado, tampoco hay antecedente para calcular los costos por unidad de tiempo. En cambio el CPM es aplicable a las construcciones en general en las cuales sea fácil estimar los tiempos y costos, y lo que interesa es saber cuál es la combinación costo duración de cada tarea para que se pueda lograr el coste total mínimo del proyecto.
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5. Ventajas de estas técnicas Las principales ventajas de estas técnicas son el poder proporcionar a la dirección las siguientes informaciones:
a) ¿Qué trabajos serán necesarios primero y cuándo se deben realizar los acopios de materiales y problemas de financiación? b) ¿Qué trabajos hay y cuántos serán requeridos en cada momento? c) ¿Cuál es la situación del proyecto que está en marcha en relación con la fecha programada para su terminación? d) ¿Cuáles son las actividades críticas que al retrasarse cualquiera de ellas, retrasan la duración del proyecto)? e) ¿Cuáles son las actividades no críticas y cuánto tiempo de holgura se les permite si se demoran? f) Si el proyecto está atrasado, ¿dónde se puede reforzar la marcha para contrarrestar la demora y qué coste produce? g) ¿Cuál es la planificación y programación de un proyecto con costo total mínimo y duración óptima?
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6. Diferencias con el método GANTT El método de PERT o CPM separa el proceso de planificación del proceso de programación. Este es el punto de diferencia con el método de GANTT. En el gráfico de GANTT se realiza la planificación y la programación al mismo tiempo, o sea que la longitud de la barra que representa cada tarea indica las unidades de tiempo. Vamos a poner un ejemplo de construcción de maquinaria: Necesitamos las siguientes operaciones: A) Acopios de material. B) Fabricación de maquinaria. C) Construcción de equipo de embalaje. D) Verificación y control. E) Envíos e instalación. Con este ejemplo vamos a planificar con el método GANTT. Este método de GANTT podría conducir a una programación en la cual el tiempo de
cualquier tarea sea diferente del que realmente hubiera necesitado, y entonces, el gráfico no refleja la realidad del proyecto. Además, muchas veces el proyecto se retrasa y la dirección no permite ver claramente en qué tareas tiene que acelerar y en qué medida para que la duración total del proyecto sea la estimada, ni mucho menos saber cuánto le va a costar esta aceleración. Para los sistemas de PERT y CPM, la planificación consiste en un análisis de las actividades que deben intervenir en el proyecto y el orden en que han de tener lugar. La programación en el PERT es estimar las duraciones de las tareas tanto en el sentido determinístico como en el probabilístico. En el CPM, la programación consiste en estimar las duraciones de las tareas con el mínimo de recursos, es decir, que el tiempo y el coste están relacionados directamente en un proyecto.
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7.
Fundamentos de la representación gráfica de un proyecto
¿Qué es un proyecto? No es fácil definir la palabra proyecto. Sin embargo, algunos autores indican que el proyecto es un conjunto de tareas u operaciones elementales bien diferenciables que se ejecutan según un orden determinado. Los fundamentos de los sistemas PERT y CPM son las representaciones gráficas del proyecto mediante diagramas de flechas, o también lo podemos llamar red de flechas. La red se crea según el orden de realización de las tareas u operaciones, paso a paso, hasta el final del proyecto. Originalmente estas tareas u operaciones se llaman actividades. Un trabajo encargado a una persona responsable, bien lo realice personalmente o bien lo hagan operarios a sus órdenes, es lo que podemos definir como actividades. Una actividad puede comprender una sola tarea o bien una serie de ellas. Todo depende de la designación del responsable de los trabajos que se realizan bajo sus órdenes según la conveniencia de la realización del proyecto. Por tanto habrá tantas actividades como responsables. Gráficamente una actividad está compuesta de dos partes: la primera que es la ejecución del trabajo y está representada por una flecha con orientación de izquierda a derecha → y la segunda se llama suceso que generalmente se dibuja con dos círculos o dos rectángulos poniéndolos en los dos extremos de la flecha O →O. El suceso que está al final de la flecha se llama «suceso inicial» y el suceso que conecta al comienzo de la flecha se le denomina «suceso final». El suceso es un instante de la actividad que sirve como el punto de control, describiendo el momento de comienzo o terminación de una actividad. La actividad es un símbolo de trabajo en proceso. Por tanto, todas las actividades requieren tiempo y recursos. La longitud de la flecha no representa la cantidad de tiempo como en los gráficos de GANTT. Por ejemplo, en nuestra figura 7-1, la actividad A no es más corta de duración que la B, aunque las longitudes de las flechas lo sean:
La dirección de las flechas no tiene sentido vectorial. Es simplemente una progresión de tiempo. Como el tiempo no retrocede, la orientación de la flecha siempre es de izquierda a derecha. por ejemplo, podemos dibujar una red como sigue:
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o
también
Tampoco es preciso que la flecha sea una línea recta, sino que pueden dibujarse en curva:
Esto depende de la facilidad que haya para representar las actividades en una red de flechas que refleje el orden y secuencia de las relaciones del proyecto.
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Una actividad debe estar terminada para que la subsiguiente pueda comenzar. Como todas las actividades tienen sus sucesos iniciales y finales, el suceso final de la actividad precedente es el mismo suceso inicial de la subsiguiente:
Sin embargo, hay una excepción en los sucesos iniciales y finales. El primer suceso inicial del proyecto no tiene una actividad que la preceda y el último suceso final tampoco tiene una actividad que la subsiga. Volvamos a nuestro ejemplo anterior (fig. 6-1) y lo representaremos con una red de flechas. Primero, en la fase de planificación es necesario estudiar las actividades que deben intervenir y sus relaciones de precedencia. En el ejemplo citado las relaciones de precedencia son las siguientes:
Actividad A debe preceder a B y C. Actividad B debe preceder a D. Actividades C y D deben preceder a E.
Corrientemente, el diagrama se puede dibujar de la siguiente forma:
En los sistemas PERT y CPM se separa la actividad en dos sucesos, como anteriormente hemos hablado, uniéndolos con una flecha. Así, podemos representar el diagrama anterior:
Técnicas de planificación de proyectos: CPM
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Como el suceso final de la actividad precedente es igual que el suceso inicial de la actividad subsiguiente, excepto el primero y el último suceso, podemos dibujar la red de flechas de la siguiente forma:
La enumeración de los sucesos es otro sistema para la identificación de la actividad. Hemos visto el diagrama de flechas y que en cada flecha se ponía la denominación de la actividad. Pero para facilitar el cálculo en la computadora es conveniente asignar números naturales a los sucesos iniciales y finales. Por ejemplo, la figura 7-8 será numerada como sigue:
Así podemos llamar a las actividades de la siguiente manera: Actividad A
(1, 2).
Actividad B
(2, 3).
Actividad C
(2, 4).
Actividad D
(3, 4).
Actividad E
(4, 5).
En nuestro ejemplo vemos que cada actividad tiene dos números. A todos los sucesos iniciales los llamamos i y a los sucesos finales j.
Excepto el primer suceso inicial y el último suceso final, en todos los demás, la letra j de la actividad precedente es igual a la letra i de la subsiguiente.
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Normalmente los i y j siguen la sucesión de números naturales con la i menor que la 1. Si se denomina 1 al primer suceso, y se sigue sucesivamente según el orden natural de los números enteros, entonces tenemos: i = 1,2,3 .......................... (n - 1) j= 2,3,4 ........................... ( n ) donde i es siempre menor que j. De esta forma lo hemos enumerado en nuestro ejemplo. Para esta desigualdad i < j no es preciso que se cumpla si no se utiliza la computado para los cálculos. Porque para el cálculo a mano, podemos asignar cualquier número a un suceso determinado, sin tener en cuenta la secuencia de los números naturales.
Normalmente, y para facilitar el orden de realización, es preferible la enumeración secuencial, aunque se efectúen los cómputos a mano.
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8.
Tiempo de preparación y restricciones externas del proyecto
Generalmente en los modelos de red para proyectos hay un tiempo de preparación antes de ejecutarlos. En este tiempo, se realiza una serie de actividades restrictivas, por ejemplo: petición de autorización, espera de la última decisión para el lanzamiento del proyecto, preparación de financiación, condiciones estacionales, etc. El tiempo de preparación se representa con una línea sinuosa ~~→con tiempo 0 de duración. Aplicándolo a nuestro ejemplo anterior será:
Si añadimos una actividad restrictiva (la actividad F), que por ejemplo puede ser autorización gubernamental. En este diagrama de flechas la actividad F no es una actividad interna de la ejecución del proyecto. Vemos que en la figura 9-1 la flecha de la actividad F apunta al suceso 2; esto quiere decir que para empezar la construcción de las actividades B y C es preciso tener la autorización en regla. También podemos interpretar el suceso 0 como el comienzo del proyecto, Y el suceso 1 como el comienzo de la ejecución del mismo.
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9.
Flechas ficticias
En un diagrama de flechas, muchas veces existe una relación de precedencia entre dos actividades, pero no porque se requiera previamente ningún trabajo, ni recurso, ni tiempo, sino por circunstancias especiales, como veremos en los siguientes ejemplos. En estos casos para expresar la conexión de estas actividades se crea una flecha ficticia, representada con una línea punteada (- - - ->) Por ejemplo, supongamos que construimos un gran alternador eléctrico, en el taller de calderería, y no se puede realizar el estator y el rotor al mismo tiempo por su tamaño, siendo estas dos actividades independientes, y para expresar el orden de ejecución unimos con una flecha ficticia, indicando que primero se hace el estator y luego el rotor.
En muchos diagramas, suele ocurrir que entre el mismo suceso inicial y el final, aparecen paralelamente varias actividades, como en el siguiente ejemplo:
En tal caso, para el cálculo de la duración del proyecto a mano no importa mucho que las tres actividades se numeren de la misma forma (2, 3), ya que podemos llamar a las mencionadas actividades por sus nombres A, B y C; pero para el uso de la computadora, no se pueden describir tres actividades con la misma enumeración (2, 3). Para evitar esta confusión se pueden crear las actividades ficticias, aumentando los números de sucesos.
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La enumeración nueva de nuestro ejemplo podrá hacerse de la siguiente forma:
Otra aplicación de las actividades ficticias es la designación específica de relaciones de precedencia de ciertas actividades, a pesar de que existen otras actividades que parten del mismo suceso inicial. Con nuestro ejemplo anterior (fig. 9-1), las actividades F y A están apuntando al suceso 2. Esto quiere decir que las actividades B y C pueden ‘comenzar una vez terminadas las A y F.
En caso de que la actividad F, sea sólo necesaria para la B, y no para la C, tenemos que trazar una flecha ficticia para marcar la relación de precedencia entre la A y B, separando la relación de precedencia de las F y C.
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10.
Procedimientos para dibujar la red de flechas
Antes de confeccionar cualquier red de flechas, se debe concretar el objetivo del proyecto, es decir, el último suceso del diagrama. Una vez conocido el objetivo, normalmente se suele hacer una lista de las actividades que posiblemente intervendrán en el proyecto. Esta lista se puede hacer en una reunión, o bien consultando el planificador a los responsables del proyecto para ver cuál será el mejor modo de terminar el suceso final y, por tanto el proyecto, anotando las actividades necesarias. Tanto en la reunión de todos los responsables como en la consulta particular de cada uno, el planificador tiene siempre presentes las siguientes preguntas a fin de relacionar las actividades en un orden lógico de realización en forma de red de flechas.
1. ¿Qué actividad debe preceder a ésta? 2. ¿Qué actividad puede seguir a ésta? 3. ¿Qué se puede realizar paralelamente al suceso inicial de ésta?
Volvamos al ejemplo anterior, en la figura 10-5. Seleccionamos cualquier actividad; por ejemplo, la actividad C y hacemos las siguientes preguntas:
1. ¿Qué debe preceder a esta actividad C? Siguiendo las exigencias del proyecto, la respuesta es: la actividad A. 2. ¿Qué puede seguir a ésta? La actividad E. 3. ¿Qué se puede realizar al mismo tiempo que esta actividad? La actividad B.
Al realizar la B debe estar anteriormente terminada la F, pero exclusivamente para ésa, por eso se crea una actividad ficticia.
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11.
Ejemplos
Primer ejemplo Antes de representar el proyecto en forma de red de flechas, es preciso terminar el análisis de actividades que van a intervenir. Supongamos que tenemos seis actividades bien definidas A, B, C, D, E y F, siendo las relaciones de precedencia entre ellas las siguientes:
1. A y B pueden comenzar simultáneamente después de la actividad de T.P. (tiempo de preparación). 2. Actividades C, D y E pueden empezar solamente cuando termine la A. 3. Al terminar la actividad B, se comienza sólo la E. 4. Antes de empezar la F, deben estar terminadas las C, D y E.
Ahora podemos dibujar la red paso a paso. Para el primer paso podemos trazar las siguientes flechas:
Tanto la longitud como la dirección de la flecha no tienen ningún significado vectorial. Por eso, la forma de dibujar la red es completamente a gusto del planificador. El segundo paso es el siguiente:
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El tercer paso es añadir una actividad E después del suceso 3, pero uniéndose con la actividad A con una flecha ficticia.
El cuarto paso es dibujar la actividad F detrás de las C, D y E.
Para facilitar la denominación de las actividades con los números naturales, es conveniente crear otra actividad ficticia para la C o la D, aumentando un suceso entre (2) y (5) que es, en nuestra figura 12-4, el suceso 4. El suceso 6 es el último del proyecto; también podemos llamarle suceso objetivo.
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La red también puede dibujarse al revés, o sea, empezando por el final. Así el cuarto paso puede ser dibujado como primero.
El tercer paso como segundo:
El segundo paso (como tercero) es unir lasC, D y E con la A. El primer paso (como cuarto) es terminar el suceso origen o sea el suceso inicial de la primera actividad:
A pesar de que la numeración de la actividad ficticia entre (2) y (5) en el primer método es (4) y (5), y en el segundo es (2) y (4), la representación gráfica del proyecto es idéntica.
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Segundo ejemplo
Anteriormente hemos supuesto que las actividades subsiguientes no pueden empezarse si no terminan completamente las actividades precedentes. Sin embargo, existen casos de realización de una obra en que no es preciso terminar éstas para comenzar otras siguientes. En estos casos podemos dividir en partes la actividad mencionada. Con objeto de aclarar este punto ponemos el siguiente ejemplo: Una obra consiste en poner una tubería subterránea de 10 km. La descripción de las actividades es:
1. Cavar 10 Km. de tierra. 2. Poner secciones de tubos. 3. Soldar todas las secciones de tubos. 4. Rellenar el terreno.
A simple vista podríamos trazar un diagrama de flechas como el siguiente:
Es evidente que la obra no se realiza de esa forma, sino que antes de terminar de cavar los 10 Km. de terreno, ya se inicia el trabajo de poner las secciones de tubos. Así como antes de poner a lo largo de 10 Km. las secciones de tubos, ya se empiezan las soldaduras. Entonces podemos modificar nuestro diagrama en la siguiente forma:
En este diagrama, la actividad de cavar sólo se termina en su primera parte, por ejemplo: 2 km, y ya se comienza a poner secciones de tubos en esos terrenos cavados.
Por otro lado, antes de terminar de poner todas las secciones de tubos ya se inician los trabajos de soldadura. Sin terminar la soldadura de todas las secciones se emprende el trabajo de recubrir el terreno.
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12. Cómputo de tiempo «lo más pronto posible» y «lo más tarde permisible» de comenzar y terminar una actividad Hasta ahora podemos decir que hemos terminado la fase de planificación y entramos en la fase de programación. La programación consiste en estimar la duración de cada actividad. Esta estimación puede ser deterministica o probabilistica. Vamos a ver primero la determinística. Esto quiere decir que la duración será única y exacta. Primero se construye el diagrama de flechas y se discute, entre los responsables que intervienen en el proyecto, sobre qué actividades son necesarias y qué relación de precedencia hay entre ellas. Luego se estima la duración t (i, j) de cada actividad. Ahora se calculan los tiempos de lo más pronto posible en que puede empezar y terminar una actividad, y lo señalaremos con t(i) y t (j) respectivamente. Por ejemplo, en la actividad (1, 2), el tiemp o lo m ás pro nto p osib le (t) de comenzar t(1)-es cero y el tiempo lo más pronto posible de terminar -t (2)- es tres unidades de tiempo; ya que t(2) = t(1) + t(1,2) = 0 + 3 = 3
En la actividad (1, 3) el tiempo t (1) es cero también y el tiempo t(3) = 4, ya que: t(3) = t (1) + t (1, 3) = 0 + 4 = 4
Al empezar con los sucesos 2 y 3, los t = (i) son 3 y 4 unidades de tiempo respectivamente. Por tanto el tiempo lo más pronto posible de comenzar para la actividad (2, 4) es t(2) = 3 y el de terminar es t(4) = t (2) + t(2, 4) = 3 + 8 = 11.
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Por otro lado, la actividad (3, 4), los tiempos lo más pronto posibles de comenzar y terminar son t (3) = 4 y t(4) = 9. Como no se pueden comenzar las actividades (4, 5) y (4, 6) sin terminar los (2, 4) y (3, 4) por completo y el tiempo que se tarda en cumplir estas tareas es 11, o sea el del suceso 4 cuyo tiempo es t(4)=11. Con el mismo razonamiento, para llegar al suceso t(5), elegiremos el camino más largo entre (2,5) = 3 + 15 =18 y (4, 5) = 11 + 5 = 16. Así que será 18. El suceso 6 tiene tres llegadas, o sea las actividades (3, 6), (4, 6) y (5, 6) cuyos tiempos son 7, 21 y 19 respectivamente; entonces el t (6) = 21. El suceso final t(7) = 25 es la duración del proyecto. También es el camino más largo del proyecto, ya que como tiempo de cada suceso se elige el máximo de las duraciones de las actividades precedentes:
t(j) = máx. [t(i) + t(i,j)]
j = 2,3,4...n
o también se puede poner: t(j) = máx. [Σ t (i,j)]
j = 2,3,4... n
Ahora vamos a calcular el tiemp o lo más tarde perm isib le (t*) en que podemos terminar y comenzar. El tiempo lo más tarde permisible es muy importante, porque un retraso en cualquier suceso podrá arrastrar el retraso al último suceso. El cómputo se hace desde el final del proyecto hacia el comienzo restando el tiempo de cada actividad. Para la actividad (6, 7), el tiempo lo más tarde permisible para terminar es 25 unidades de tiempo y, lo más tarde permisible para comenzar es t*(7) - t(6, 7) = t*(6); o sea 25 - 4 = 21. Para la actividad (5. 6), el t*(5) es 20 (21 - 1). Para el suceso (4), el t*(4) es 11, ya que entre los dos caminos que tenemos: t*(5) t(4,5)=20 - 5 = 15 y t*(6) - t(4,6) = 21 - 10 = 11, se elegirá el menor de ellos y por eso es 11. Para el suceso 2 también se tienen dos caminos: el menor de ellos es el t*(2) = 3. Para el suceso 3, siguiendo el mismo razonamiento será t*(3) = 6. Para el suceso 1, t (1) = 0. Una interesante observación es que en el primero y en el último suceso, el tiempo lo más pronto posible es igual que lo más tarde permisible. En caso de que no sea así, el cómputo es erróneo. Como resumen: el cómputo del tiempo lo más tarde permisible de un suceso se obtiene eligiendo el mínimo resultado de las diferencias entre los sucesos posteriores y las duraciones correspondientes a las actividades que llevan a estos. La fórmula es: t*(i) = mín. [t* (j) - t(i,j)]
j=1,2 ... (n-1)
puede expresarse en la siguiente fórmula: t*(i) = min [Σ t (i,j)]
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donde t(n) = t*(n) y t(1) = t*(1) = 0 Como t(n) es la duración total del proyecto, lo llamaremos t(n) = λ
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13.
Concepto de camino critico y holguras de tiempo
En cualquier proyecto, algunas actividades son flexibles, respecto a cuándo se pueden comenzar o terminar; otras no son flexibles, de forma que si se demora cualquiera de ellas, se retrasará todo el proyecto. Estas actividades inflexibles se llaman criticas y la cadena de ellas forma un camino crítico. El camino critico es la duración más larga através del proyecto. Hay siempre por lo menos un camino crítico en cada proyecto, y muchas veces varios. Las actividades incluidas en el camino critico suelen ser del 10% al 20% de los totales. Podemos definir el camino crítico como: "aquello en el cual las actividades no tienen holgura de tiempo para comenzar ni para terminar". Desde el punto de vista de la dirección es muy importante estrechar la vigilancia sobre las críticas, ya que al retrasarse cualquiera de ellas se retrasa todo el proyecto. Asimismo, no se deben dejar de controlar las actividades no criticas, porque a pesar de que tengan holguras de tiempo o margen libre para la realización de la tarea, tanto para comenzar como para terminar tienen su limite. Si se pasa este límite, se convierten en críticas. Por esta razón es conveniente calcular la magnitud de estas holguras de tiempo. En CPM llaman a las holguras de tiempo tiempos flotantes. Existen cuatro clases de tiempos flotantes: a) Flotante total. b) Flotante libre. c) Flotante independiente. d) Flotante programado. a) Flotante total Se calcula la diferencia entre el tiempo lo más tarde permisible en que se puede terminar y el tiempo lo más pronto posible en que se puede comenzar una actividad, menos la duración de la misma. Por ejemplo, en la actividad (4, 5) tenemos que el tiempo lo más tarde permisible para terminar es 20, y el tiempo lo más pronto posible para comenzar es de 11. La diferencia de éstos menos la duración de la propia actividad, es 5. El flotante total es FT = t*(5) - t(4) - t(4, 5) = 20 - 11 - 5 = 4 El flotante total es la holgura que permite el que una actividad se pueda demorar sin afectar al tiempo programado en el proyecto. Todas las actividades que tienen tiempos flotantes totales ceros, son actividades críticas. Por tanto, las actividades (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 6) y (6, 7) son críticas, en la figura 14-2. b) Flotante libre El tiempo flotante libre es la cantidad de holgura disponible después de realizar la actividad si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos lo más pronto posible del comienzo. O sea, la diferencia de los tiempos lo más pronto posible de
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comenzar y terminar menos la duración de la actividad, por ejemplo, la actividad (5, 6) tiene el flotante libre: FL= t(6) - t(5) -t(5,6) = 21 - 18 -1 = 2 Calcularemos los tiempos flotantes de nuestro ejemplo:
Veamos en la subruta (2, 5) y (5, 6). Cada actividad tiene a su disposición 2 unidades de flotante total para la realización del trabajo. Esto indica que estas dos unidades son para toda la subruta. De forma que si se retrasaran dos unidades en la actividad (2, 5), entonces para que el proyecto se cumpla en 25 unidades de tiempo, la actividad (5, 6) no debe ser demorada en ningún momento. En cambio, el flotante libre indica que si se quiere que empiece la actividad (5, 6) en su tiempo lo mas pronto posible t(5)=18, la actividad precedente (2, 5) no deberá disponer de ninguna holgura de tiempo. El tiempo flotante libre, desde el punto de vista de la dirección es más interesante para el control del proyecto. Ahora vamos a trasladar los resultados de los cálculos a un cuadro de cómputos de tiempos.
Técnicas de planificación de proyectos: CPM
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c) Flotante independiente El flotante independiente es la holgura disponible de una actividad, cuando la actividad precedente ha terminado en el tiempo lo más tarde permisible, y la actividad subsiguiente a la considerada comienza en el tiempo lo más pronto Posible. Esta holgura es escasa, y a veces negativa. Por ejemplo, la actividad (3, 4) tiene tiempo flotante independiente cero. FI = t(4) - t*(3) - t (3,4) = 11 - 6 - 5 = 0. d) Flotante programado. El flotante programado tiene por objeto la distribución del tiempo flotante total de una subruta no crítica según algún criterio. En nuestro ejemplo anterior, la subruta (2, 5) y (5, 6) tiene el flotante total dos unidades, y del flotante libre sólo goza la actividad (5, 6) con dos unidades. Sin embargo, por razones subjetivas, podemos repartir la holgura total en las dos actividades según los criterios, tales como el grado de incertidumbre de la estimación de duración esperada, la función de la proximidad de la actividad a la ruta crítica, desconfianza en el cumplimiento de plazos de entrega de ciertos suministradores o subcontratistas, etc. Vamos a poner un ejemplo: Tenemos el diagrama
Las actividades A, B, C y D son criticas; mientras la E, F y G tienen las mismas holguras totales. Sin embargo, a éstas no podemos distribuir la holgura total en igualdad de condiciones entre ellas, porque las varianzas de las tres actividades no críticas pueden ser distintas. Si el criterio de la distribución de holgura total es la magnitud de la varianza de cada actividad, el flotante programado estará determinado por la ponderación sobre el grado de la incertidumbre de la duración estimada. Representaremos con IV el que se tiene que ponderar a una actividad, y este peso varia de uno a nueve, números enteros. Supongamos 2 2 2 que σ E = 4, σ F = 0 y σ G = 9; entonces el flotante programado es:
F P =
W ij
∑ W ij
⋅ F T
(i,j) ∈ P
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En el cuadro 14-2, se indica que a la actividad G, hay que darle más holgura que a la F, y a su vez, la E debe tener mas que la F.
En el gráfico de Gantt no se tiene en cuenta el reparto de holguras, sino se convierten todas las actividades en criticas. Véase el gráfico 14-2.
Por otra parte, si se desea tener en cuenta el factor de promixidad al camino crítico, entonces se puede expresar en una función E(u), cuya determinación depende del criterio del programador. El cálculo del flotante programado será de la siguiente forma:
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F P =
W ij
∑W ij
⋅ F T ( i , j ) F ( u)
Si se retrasa la actividad E, más de lo que está permitido, disminuye la holgura de tiempo para la G, que podría sobrepasar el tiempo total de las actividades criticas A, B y C, Para evitar cualquier error que puede retrasar el proyecto, ponderamos con mayor F(u) a la G, con el fin de graduar la holgura de tiempo según la proximidad de la actividad al camino critico.
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14.
Un criterio para acortamiento de la duración de proyecto
Como hemos visto, si queremos reducir la duración de un proyecto, es preciso acortar las duraciones de las actividades críticas. Sin embargo, ¿qué actividades críticas acortamos? Prescindiendo del criterio del coste total mínimo de que hablaremos más tarde, ahora sólo elegiremos las actividades críticas que se han de acelerar desde el punto de vista de su control. Para aclarar este punto vamos a exponer un ejemplo: Tenemos una red de flecha con las duraciones de sus actividades como se muestra en la siguiente figura:
Supongamos que vamos a acortar 2 unidades de tiempo, es decir, reducir la duración del proyecto desde 30 a 28 unidades. Una reducción de tiempos de una actividad supone un mayor esfuerzo. Por tanto procuraremos reducir el menor número posible de actividades. En nuestro ejemplo una reducción de 2 unidades sólo es aplicable a la actividad (1, 2) o la (5, 6), porque si acortamos la actividad (6, 8) o la (6, 7) tenemos que reducir las dos últimas simultáneamente. Si no es así, no se logrará el propósito de la duración total con 28 unidades de tiempo. Ahora bien, vamos a ver que efectos se producen si acortamos la (1, 2) o la (5, 6). a) Si acortamos la actividad (5,6)
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El resultado es la conversión de dos actividades (2,4) y (4,6), en críticas.
b) Si acortamos la actividad (1,2)
El efecto de este acortamiento es el de no añadir ninguna actividad crítica a las existentes en la Figura 15-1.
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Es obvio que se elegirá este último acortamiento porque tiene menos actividades críticas para controlar
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15.
Relación entre la duración y el coste directo de una actividad
Si queremos acelerar la marcha de alguna actividad para reducir la duración del proyecto, es evidente que ello ocasionará un aumento de coste directo y a su vez una disminución en el coste indirecto. Por otra parte, muchos proyectos nos han sido impuestos con la condición de que si no se terminan en la fecha del contrato, nos exigirán indemnizaciones y, en cambio, si adelantamos el proyecto nos concederán una prima. Si queremos tener un juicio de si preferimos recibir una prima o una penalidad, es imprescindible tener un criterio de comparación. Según este criterio se elige la combinación de duración-coste óptima entre un gran numero de combinaciones alternativas. El método CPM nos proporciona una técnica para conocer la programación de un proyecto con la combinación coste-tiempo óptima. Cada una de las actividades en el diagrama de flechas requiere cierta cantidad de tiempo para su terminación. Esta es la duración de la actividad. Sin embargo, existe no sólo una duración, sino que podemos elegir entre una serie de posibles duraciones. Con la duración más corta, el coste directo para la terminación de esta actividad aumenta, Por ejemplo, supongamos que hay una actividad que es el corte de chapas. Normalmente, se trabaja con un operario una máquina y un turno de trabajo. Ahora bien, si queremos acelerar el trabajo, y sólo se aumentan las turnos de trabajo sin aumentar la utilización de otras máquinas, es evidente que al aumentar el turno, aumentará el coste, y además el salario del segundo turno no es el normal, sino con una prima en concepto de horas extraordinarias. Por eso, el aumento no es proporcional. Haremos un ejemplo numérico: con un operario, un cortador y un turno hay que realizar el corte de chapa en 50 días, suponiendo el coste directo de la mano de obra es de 8,000 dls. (salario de 20 dls./ hora) y el del cortador de 10,000 dls. Tenemos que el coste total directo es de 18,000 dls. Si aumentamos dos turnos de trabajo, disminuirá la duración, pero aumentarán los salarios y gastos generales adicionales. Vamos a ver todos los datos en el siguiente cuadro:
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En nuestro ejemplo, hemos supuesto que sólo disponemos de tres operarios y un cortador; no se pueden aumentar los turnos de trabajo y, por tanto, no podemos disminuir la duración de la actividad más que en las actuales condiciones. Naturalmente, si disponemos de más cortadores y máquinas, la duración disminuirá. Pero en este caso ya se han modificado las condiciones de nivel de inversión, incrementando el coste indirecto. A través de este ejemplo numérico, podemos trazar la curva del coste directo de la actividad corte de chapa.
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A medida que se aumentan los turnos, se incrementará el coste de la operación, pero siempre hay un tope, en el cual ya no se puede disminuir más la duración de la actividad, aunque se incremente el coste. Es inconcebible que la disminución de duración pueda llegar a cero, aun cuando se utilicen todos los recursos de que se disponga.
A esta duración la llamaremos duración-tope con el signo d (i,j), y el coste de esta duración-tope, se denomina el coste tope (C T). El coste tope es el coste directo más elevado de la actividad. Por otra parte, el coste más bajo de la actividad está relacionado con el punto de la duración normal. Más allá de esta duración será irreal pues se daría más tiempo, más
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coste. Este coste se llama coste normal (C N) y a la duración con el coste normal se le designa el nombre de la duración normal D (i, i). El punto de intersección entre el coste normal y la duración normal en el gráfico se llama punto normal y el otro extremo el punto tope. Entre la duración tope y la duración normal puede existir una gama continua de posibles duraciones. Para el caso general, podemos trazar una curva continua de coste directo de una actividad que represente la relación entre la duración y el coste de la misma. En la práctica, para facilitar el cálculo de coste-duración se sustituye la curva por una línea recta, uniéndose el punto tope con el punto normal; o también, se pueden trazar lineas poligonales convexas de más de un tramo rectilíneo entre los puntos normal y tope, según se muestra en la figura 20-3.
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16.
Criterio de elección de actividades para su acortamiento
El criterio de aceleración del proyecto es elegir para su reducción de tiempo de realización aquellas actividades cuyos incrementos de coste directo por unidad de tiempo sean menores que en otras. Es fácil de calcular el incremento de coste directo por unidad de tiempo:
c (i , j ) =
(21-1)
C N − C T D (i , j ) − d (i , j )
Podemos representar la recta de duración-coste con la siguiente ecuación b (i,j) - c (i,j) t (i,j)
(21-2)
En nuestro ejemplo de corte de chapa, el CN = 18.000 y el CT = 22.200. La duración normal D (i,j) = 50 días y la d (i,j) = 20 días. Con estos valores (prescindiendo de los valores intermedios) sustituimos en la ecuación (21-1)
c (i, j ) =
− 22000 + 18000
50 − 20
=−
4200 = −140 30
por unidad de tiempo. Esto quiere decir que al aumentar un día de trabajo, se disminuye el coste en 140 dls. Naturalmente para reducir la duración del proyecto, la primera condición es reducir las duraciones de las actividades críticas, y la segunda es elegir, entre estas actividades, las que tienen menor incremento del coste directo por unidad de tiempo. 36
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17.
Algunos casos especiales de duración-coste
Hasta ahora, sólo hemos mencionado la relación de duracion-coste en sentido general. Pero hay cuatro casos especiales que vamos a tratar: a) Relación de duración-coste horizontal. b) Casos no continuos. e) Actividades artificiales. d) Inclinación opcional del coste.
a) Relación horizontal Muchas veces, en la práctica, se ve que al reducir la duración no se ocasiona al mismo tiempo un aumento de coste. Por ejemplo, si el personal trabajó horas extraordinarias sin mas pagas que el jornal normal, esto significa la disminucion de duración sin incremento del coste directo por unidad de tiempo. Otro caso es que con el mismo nivel de inversión. el personal responsable del cálculo de duración lo ha sobrestimado, y tiene que acortarlo ulteriormente para corregirlo. Esta clase de reducción no va acompañada de ningún aumento de coste directo. b) Casos no continuos Hay casos en que sólo existen los puntos tope y normal. En otras palabras, que en tal actividad no existe una relación de duración-coste en forma continua. Por ejemplo, el correo postal con un pais extranjero en que sólo existen dos clases de tarifas: aéreo o normal. No se hace la mitad del trayecto por ruta aérea y la otra mitad por mar. c) Actividades artificiales En el diagrama de flechas, se representan estas actividades con líneas punteadas y, como no requieren ni recursos ni tiempo, los puntos normales y topes son ceros. Estas actividades artificiales no tienen incremento de coste. d) Inclinación opcional. La inclinación indica el coeficiente del incremento del coste directo en relación con la disminución de la duración. En nuestra figura 22-1, se puede acortar la duración ventajosamente, pero no lo podemos hacer por razones ajenas, tales como dificultades para disponer de fondos, o la gran inseguridad de estimación del coste. Y por ello creamos una recta opcional que tenga mayor inclinación con el fin de que al usar la computad , éste no nos indique que hay que acortar la duración.
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18.
Programación por el método CPM
Ya hemos visto la relación de duración-coste de una actividad. Ahora podemos asegurar:
a) Que la duración total del proyecto no puede ser inferior a la suma total de las duraciones-topes de las actividades. b) Que el mínimo coste directo total se da si todas las actividades han sido programadas con duraciones normales.
El primer caso, lo llamamos todo tope duración del proyecto. El segundo, todo normal duración del proyecto. Entre estos dos extremos, existe un número infinito de combinaciones de duracion-coste del proyecto. Pero sólo hay unas pocas que pueden llevar a cabo el proyecto con un coste total óptimo. El problema está en: 1. Identificar las actividades del proyecto que influyen en la duración de éste. 2. Especificar, para una duración determinada del proyecto aquella combinación de duraciones de actividades que dé lugar al coste total óptimo.
Para la explicación más clara sobre el proceso de programación con el coste directo total mínimo, empezaremos con un ejemplo numérico que lo resolveremos con un simple razonamiento. Tenemos una red de flechas como sigue y con los valores en el cuadro 23-1.
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Primera programación
La primera programación es la de todo normal de duraciones de las actividades del proyecto, en la cual, el coste directo total es mínimo, y la duración del proyecto es más larga. Como el objetivo es buscar una duración del proyecto con coste total mínimo, es preciso encontrar otras duraciones del proyecto con los costes directos mínimos y luego los sumaremos con los costes indirectos para obtener los costes totales. La duración que coincide con el punto mínimo resultante del coste total es la que deseamos para nuestro proyecto. En nuestro proyecto hay seis caminos con las siguientes duraciones del proyecto. Camino primero
G (22) + H (14) + I(6) = 42 semanas
Camino segundo
T.P. (0) + A (8) + D (18) + H (14) + I(6) = 46 semanas Camino tercero
T.P.(0) + A(8) + C(12) + E(10) + H(14) + I(6) = 50 semanas
Camino cuarto T.P. (0) + A (8) + C(12) + F(8) + I(6) = 34 semanas
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Camino quinto T.P. (0) + B(14) + E(10) + H(14) + I(6) = 44 semanas Camino sexto T.P. (0) + B(16) + F(8) + I(6) = 30 semanas El camino más largo en duraciones de todo normal es el tercero Obtenemos del cuadro 23-1 las duraciones y costes directos de todo normal programación en el cuadro 23-2. Segunda programación Si se desea la reducción del proyecto, las actividades que están en el camino critico de la primera programación deben ser aceleradas. Cualquier intento en la reducción de otras actividades no criticas significaría un aumento de coste directo sin afectar en nada a la duración del proyecto. ¿Qué actividades tenemos que reducir? Naturalmente se elegirá la que tenga el coste por unidad de tiempo más bajo. En nuestro cuadro 23-1, la actividad C debe ser acortada, y además la duración normal de la C es de 12 semanas y la tope es de 6. Se pueden reducir hasta 6 semanas. Ahora bien, sólo vamos a reducir 4 semanas, y así tendremos la duración del proyecto con 46 semanas, igual que el camino segundo. Con esta reducción, vemos que el camino segundo se convierte también en crítico.
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En caso de que no se redujeran 4 semanas en la actividad C sino en otras actividades, por ejemplo en A, el coste directo total hubiera sido mayor que si se reduce en la C o sea, en cifras concretas 6.380.000 dls, frente a 6.300.000 dls. Si queremos reducir las 6 semanas en la actividad C para llegar a la duración de 44 semanas en vez de las 4 semanas que hemos reducido, se requiere una reducción simultánea de 2 en el camino segundo, para que queden los dos caminos iguales con una duración de 44 semanas. En este caso, sólo se puede acelerar la actividad D, con un coste directo reducción simultánea de las actividades C y D es de 100.000 + 60.000 = 160.000. Este aumento es más elevado que si se comprimiesen 2 semanas de la actividad A que es la ruta común para el camino segundo y tercero; y para la actividad A, el coste directo adicional de 2 semanas es sólo de 140.000 dls. Un ahorro de 20.000 dls. También la actividad H es la ruta común de los dos caminos citados, pero el coste directo adicional es de 300.000 dls. por 2 semanas, no siendo conveniente reducirla. Tercera programación Según lo que hemos calculado en la segunda programación, no existe otra alternativa que la de reducir 2 semanas en la actividad A, ya que cualquier otra posibilidad, no daría el coste directo total mínimo, con esa duración de 44 semanas y así se convierte el camino quinto en el crítico.
Cuarta programación Antes de decidir la cuarta programación, es necesario considerar las posibilidades de aceleración. Como queda sólo una posibilidad de reducción simple (la de la actividad H), y además no siempre es mínimo el incremento del coste directo causado por esa reducción (como más tarde se verá) ya que en los tres caminos críticos existen otras combinaciones de actividades cuya reducción puede ser más ventajosa. 1ª. Reducción simple: La actividad H que es camino común de tres caminos supone un coste directo adicional de 150.000, por semana.
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2ª. Combinación de reducción: A y B se comprimen simultáneamente. Esto equivale al aumento de coste directo de 150.000 por semana. 3ª. Combinación de reducción: D combina con C y B, esto significa un aumento de coste directo de 160.000, por semana. 4ª. Combinación de reducción: D y E al mismo tiempo incrementarán 120.000 por semana. Aparentemente, lo más económico para reducir la duración del proyecto, es elegir la cuarta combinación de reducción, con el coste directo adicional de 120.000 por semana. Por otra parte, la reducción de la E está limitada a 2 semanas, así que la duración más corta para la cuarta programación será de 42 semanas con un incremento del coste directo de 240.000. Pero esta forma de aceleración no conduce a un coste directo total mínimo con la duración del proyecto en 42 semanas, porque hay otra posibilidad de que salga más barata. Por ejemplo, si reducimos las actividades A y E simultáneamente en 2 semanas, el coste directo adicional será de 320.000 , pero al mismo tiempo tenemos que aumentar duración de C en 2 semanas, quedando todos los caminos en 42 semanas. Y así se ahorra un total de 100.000. Entonces el coste directo adicional de la reducción de 2 semanas va a ser de 220.000 (320.000 - 100,000) -); 20.000 más barata que la combinación cuarta anteriormente citada. De lo expuesto se deduce la complejidad de las combinaciones de duración y coste para una programación con coste directo total mínimo. En nuestro ejemplo hay pocos caminos, pero en la práctica, no es posible programar un proyecto complejo sin acudir a un modelo matemático y ala computadora . El diagrama de flechas se presenta en la siguiente forma:
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En la cuarta programación, el camino primero se convierte en crítico. Quinta programación Las actividades A y E ya han llegado a su duración tope y no se pueden reducir más sus tiempos de realización. Sólo quedan las siguientes posibilidades de reducción: 1. Reducción simple de la H con un coste directo adicional de 150.000 por semana. 2. Combinación de reducción formada por las actividades B, C, D y G a 210.000 por semana. Es natural que se elija la primera posibilidad, con una reducción de 2 semanas. Observamos que después de reducir la H, la segunda combinación de reducción, se queda como única posibilidad de reducción, porque después de ésta, en el camino quinto, todas las actividades llegan a sus duraciones topes. Esto quiere decir, que aunque no todas las actividades están en sus puntos topes, concretamente las C y D en las que todavía pueden reducirse sus duraciones, ya se haya llegado a la duración mínima del proyecto con 38 semanas.
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La actividad G es discreta; se reduce de 22 a 2 semanas sin valores intermedios y, por tanto, el camino primero se ha vuelto no critico. Si hubiéramos programado el proyecto con las duraciones-topes de todas las actividades, la duración del proyecto hubiera sido igual que 38 semanas, pero el coste
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directo total hubiera ascendido a 8.690.000. La diferencia representa un ahorro del 14 % del coste directo total aproximadamente Existen otras combinaciones de costes directos intermedios entre el mínimo y el todo tope. Por ejemplo: si reducimos la duración de la D a tope, el coste directo total asciende a 7.390.000 ; si se hace en la C, el coste directo total llega a 7.430000 y, por último, si reducimos a tope las dos, el coste directo aumenta hasta 7.490.000 , etc. En resumen, en un proyecto complejo habrá miles de combinaciones de duraciones-costes para cada λ determinada; por eso no se puede resolver el problema como lo hemos resuelto. Sin embargo, con un modelo matemático se hallarán fácilmente las soluciones del coste directo total mínimo para cada λ. En la figura 23-7 la curva lineal gruesa representa los costes directos totales mínimos en relación con las posibles duraciones del proyecto.
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