Matemática Superior
Segunda Unidad Didáctica
LÍMITES
Facultad de Ciencias Empresariales
LÍMITES INTRODUCCIÓN: El filósofo Zenón de Elea era aficionado a las paradojas acerca del movimiento. Una de las más famosa era algo parecida a ésta. El guerrero Aquiles acepta correr una carrera contra una tortuga. Aquiles puede correr 10 metros por segundo y la tortuga sólo 1 metro por segundo, de modo que la tortuga tiene una ventaja de 10 metros de la línea de salida. Aún así, como Aquiles es mucho más rápido debe ganar. Pero en el tiempo que él haya cubierto sus primeros 10 metros y llegado al lugar en donde la tortuga inició, la tortuga ya avanzó 1 metro y aún lleva la delantera. Después de que Aquiles haya cubierto ese metro, la tortuga ha avanzado 0.1 metro y aún llevaría la delantera. Y así sucesivamente. Por lo tanto, Aquiles cada vez estaría más cerca de la tortuga pero nunca la alcanzaría. (Haeussler, 2003). ¿Qué está mal en el argumento de Zenón?
CAPACIDADES
Entender el concepto de límites y sus propiedades básicas. Entender los límites laterales, límites infinitos y límites al infinito.
DESARROLLO TEMÁTICO: Introducción a los límites. MOTIVACIÓN.
4
Para resolver la paradoja de Zenón podemos plantear una ecuación igualando la distancia recorrida por Aquiles (lado izquierdo) y la distancia recorrida por la tortuga (lado derecho), considerando que la alcanza en t segundos:
y
3 2 1 -3
-2
-1
1
2
3
(10 m/s)t = (1 m/s)t + 10 m
x
-1 -2
La solución es t 1
-3
1 9
segundos.
1 1 Por lo tanto Aquiles recorre: 1 s 10m / s 11 metros. 9 9
-4 -
Lo que desconcertaba a Zenón es cómo podía ser que: 10 1
1 10
1
1
100 1000
... 11
1 9
En donde una suma infinita (lado izquierdo) pueda ser igual a una cantidad finita (lado derecho). La solución moderna a este problema es el concepto de límite. (Haeussler, 2003).
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Desarrollo de subcontenidos
.
Definición de límite Cuando f(x) está arbitrariamente cerca de un número real L, para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de a, se dice que:
lim f ( x) L x a
.
Ejemplo: En la función: f ( x )
x 2 4
, se observa que f (2) no existe, ya que no se puede dividir entre x 2 cero. Si tabulamos valores alrededor de 2 y graficamos, te nemos lo siguiente:
x 2
x 2
f ( x)
x
y 5 4
f ( x)
x
1.9
3.9
2.1
4.1
1.95
3.95
2.05
4.05
1.99
3.99
2.01
4.01
1.995
3.995 2.005
4.005
1.999
3.999 2.001
4.001
3 2 1 -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1 -2
Podemos concluir que: x 2 4 4 lím f ( x) lím x 2 x 2 x 2 como puede verse con toda claridad en la gráfica. En las siguientes gráficas se puede analizar si el límite de la función que representan existe o no, cuando x se acerca a un valor determinado:
4
7
y
6
lím f ( x) 2
3
x 1
2
5
,
f (1) 2
4 3
1 -4
-3
-2
-1
1 -1 -2
y
2
3
4
x
lím f ( x) 6
x 3
2
, f (3) 3
1 -3
-2
-1
-1
-3
-2
-4
-3 -
1
2
3
x
Facultad de Ciencias Empresariales y
y 5
4
4 3
3
2
2
1 -3
-2
-1
1
-1
2
3
1
x
-3
-2
-2
-1
1
2
x
-1
-3 -4
-2
-5 -6
-
-
lím f ( x) 1
f (1) 4
9
x 1
y
y 4
8
3
7
2
6
1
5 4
-3
-2
-1
-1
1
3
-1
2
-2
1 -2
f (1) 1
,
-
-3 1
2
3
4
5
x
-4 -
lím f(x) no existe
lím f ( x) no existe
x 0
x2
f (2) no existe
f (0) no existe
EJERCICIOS Ejercicio 1. Encuentra los límites de la grafica de la derecha: lim f (x)
a)
x 1
d)
x 0
g)
lim f (x)
lim f (x)
x 2
lim f (x) b ) x 1 e)
lim f (x)
x 0
h)
lim f (x)
x 2
c) f)
lim f (x)
x 3
lim f (x)
x 0
i) f(1)
j) f(2)
k) ¿En que valores de x la función es discontinua?
2
3
x
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Solución: a) 2 f) No existe
b) – 1 g) 0
c) 1 h) 0
d) 0 i) No existe
e) 1 j) 3
k) 0, 1, 2
Ejercicio 2. Cuando el precio de un producto esencial (como la gasolina) se eleva rápidamente, el consumo baja lentamente al principio. Sin embargo, si el precio continúa elevándose, puede alcanzarse un punto de “desplome”, en el cual el consumo adquiere una repentina y sustancial caída. Suponga que la gráfica siguiente muestra el consumo de gasolina G(t), en millones de galones, en una cierta zona. Suponemos que el precio está elevándose rápidamente. Aquí t es el tiempo en meses después de que el precio comenzó a elevarse. Use la gráfica para encontrar lo siguiente:
a)
lim G(t )
t 12
lim G(t )
b) t 16 c) G (16) d) El punto de desplome (en meses) Solución: a)
lim G(t ) 3 t 12
b)
lim G(t ) t 16
No existe
Ejercicio 3. La gráfica muestra la ganancia de la producción diaria de x miles de kilogramos de un producto químico industrial. Usa la gráfica para encontrar los siguientes límites. lim P lim P lim P
a) x6 b) x 10 c) x15 d) ¿En que valor de x la función es discontinua?
e) Usa la gráfica para estimar el número de unidades del producto químico que deben producirse para que el segundo turno resulte conveniente.
c) G(16) 2
d) 16 meses
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Solución: lim P 500
a) x6 d) discontinua en x =10
lim P
b) x10 No existe e) 15,000 Kg
c)
lim P 1,500
x 15
TEOREMAS DE LÍMITES. Para facilitar la obtención del límite de una función se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Teorema de límite1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Teorema de límite5:
Teorema de límite2: Para cualquier número dado a,
Teorema de límite6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Teorema de límite3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite7: Teorema de límite4:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema de límite 8:
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LÍMITES.
Si es posible aplicar directamente los teoremas anteriores, el límite se calcula directamente. Cuando calculamos el límite de una función polinómica es indistinto que nos refiramos a cada uno de los teoremas 1, 2, 3 ó 4 ó al teorema 6 ya que se aplican a cualquier polinomio. Lo mismo, ocurre con el teorema 7 y el teorema 4 (III) que se pueden aplicar a funciones racionales. Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc
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Ejercicios resueltos.
Evalué los siguientes límites indicando la teorema o teoremas que se aplican en cada paso:
SOLUCIONES 1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
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4. Solución:
5. Solución:
6. Solución: No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:
7. Solución: No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):
8. Solución: Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:
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9. Solución: No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el lí mite:
10. Solución: Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:
11. Solución: El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:
12. Solución:
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LÍMITES INFINITOS lím f ( x) 0 y lím g ( x) 0 lím
x a
x a
Si: dependiendo del signo del cociente.
x a
f ( x)
g ( x)
,
y 5 4
Ejemplos
3 2
lím
1
x 2
3
x 2
2
1
, puesto que +/+ = +
-2
-1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
x
-
4
2
2 lím x 1 x 1 , puesto que - / - = + 2 lím x 1 x 1 , puesto que - / + = lím f ( x)
x 1
3
y
3 2 1 -5
-4
-3
-2
-1
x
-1 -2 -3
no existe.
-4
x 2 si x 1 f ( x) 1 si x 1 x 1
4
y
3 2 1
lím f ( x) lím x 2 1
x 1
x 1
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1 -2
lím f ( x) lím
x 1
lím f ( x)
x 1
x 1
1
x 1
-3
-4 -
no existe . 4 3
x 3
lím x 3 x 3 x 3 x 2 9 lím 2 no existe lím 2 x 3 x 9 x 3 x 9 x 3 lím 2 x 3 x 9 4 Observar que el punto (-3, -1/6)
y
2 1 -3 -2
-1
1 -1 -2 -3 -4
2
3
4
5
6
7
x
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LÍMITES AL INFINITO
lím f ( x)
lím f ( x) L
x
x
o . La x puede tender al infinito positivo o al infinito negativo y el resultado del límite es L, en el segundo caso, puede ser infinito positivo o infinito negativo, dependiendo de la función.
Ejemplos
4
y
3
lím
3
2
0
x 1 . Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores positivos. 3 0 lím x x 1 2. . Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores negativos. 1.
x
1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
0 x x 4 5 lím 0 2 x x 4 En ambos casos, la función tiende a 3. 5
lím
y
2
4 3 2
cero a través de valores positivos.
lím
4.
x
5.
x
x7
x 1 2 3 4 5 6 7
1
-3 -2 -1
.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
-1
lím x 7
no existe, porque la función no está definida para valores de x 7 y 4 3 2 1
Todas las propiedades vistas para límites normales, también son válidas para límites al infinito. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Propiedad
particular:
Si
p
1 lím 0 x x p lím 1 0 , si 1 está definido para x 0 x p x x p
>
0
-1
x 1 2 3
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CÁLCULO DE LÍMITES QUE IMPLICAN LA FORMA INDETERMINADA 2 lím
x
2 5 x 2 3 x 2 x 1
x 2 1
lím
x
3
1.
5
1
x x 2
4 x x
lím
3 00
5 3
5 3
2
1
x 1
2
x
2 4 3 004 x x lím 2 lím x x x 1 x 1 1 1 000 x x 2 x 3 2 x 4 x
3.
05
x 3 x 2 0 0 0 lím x x 3 3 x 2 2 x 3 2 1 0 0 1 2 3 2
2.
3
Límites al infinito de funciones racionales (Reglas prácticas) a n x n f ( x ) Si es una función racional (el cociente de dos funciones polinomio) y si es el m b m x término con la mayor potencia de x en el numerador y es el término con la mayor n a n x a n x n y lím f ( x) lím lím f ( x) lím x x b x m x x b x m m m potencia de x en el denominador .
Ejemplos
1.
lím
x
2 5 x 2 3 x 2 x 1
lím
2. 3.
x
4.
x
4 x 2 x
x
lím
lím
x 3 x 2 3
2
2 x 4 x 3
x 2 x 1
5 x 2 3 x 2
lím
x
lím
4 x 2
x
x 2
x
3
lím
3
4 x 3
5
x
5 3
4
x
0
lím 4 x x
a n x n f ( x ) Si es una función polinomio y es el término con la mayor potencia de x n lím f ( x) lím a n x x
x
Ejemplo
lím 2 x 3 3 x 2 4 x 5 lím 2 x 3 ;
x
x
lím 2 x 3 3 x 2 4 x 5 lím 2 x 3
x
x
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Actividad 1 A.
Evalúe y determine formalmente el límite de las siguientes expresiones:
Lím (3 x 2 + 7 x - 1) 1. x
→
2
Lím
x 2 + 3 x + 2 2
x - 1
11. x →-1
Lím 20. x →-2
Lím (2 x 2 + 3 x + 1) 2. x
→
-1
2
Lím x + 1
Lím 3. x
3
→
4. x
3
→
5. x
5
2
x + 11
6. x
→
2 -2 x + 3 x + 2
x 2 - 16
Lím 7. x →4
8. x
x - 4 x 2 - 5 x + 6
Lím 3
→
2
x - 3 x 2 - 1
Lím
2
9. x 1 x + x - 2 →
2
Lím 10. x
→
2
Lím 13. x
→
x + 4 x + 4 x 2 - 4
-2
x - 5 x + 6 2
x - x - 2
22. x
Lím
2
+ 3 x + 2
Lím 16. x
4
→
Lím 17. x
9
→
Lím 18. x
2
x - 4 x - 2 9 - x x - 3
x - 3
2 9 x - 81
→
Lím
x 3 - 1
2 19. x 1 x - 1 →
2
Lím 24. x
→
0
x 2 + x - 2
15. x 1 x - 3 x + 2 →
→
x 2 + 4 x + 3
14. x →-1 x
Lím
9
→
Lím 23. x
x 2 - 4
Lím
21. x → 4
Lím
x + 3 x - 25
→
x 2 - 5 x + 6
2
2
Lím
3
→
x - 2
x 2 + 1
Lím
12. x
x - 9
Lím
Lím 25. x
→
0
Lím 26. x
→
2
Lím 27. x →1
Lím 28. x
→
0
Lím 29. x
→
0
Lím 30. x 1 →
x 3 + 8 x 2 - 4
x - 2 x 3 - 64 x 3 - 729 x - 3 x + 1 x - 2
2 x 2 + 5 x + 7 x
4 + x - 2 x x + 7 - 3 x - 2 x + 3 - 2 x 2 - 1 9 + x - 3 x 2 + 2 x 1 + x - 1 4 + x - 2
2 - x - 1 2 - x + 3
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B. Aproximación y Formalización
x 4 - 1
f ( x) = 3 x - 1
1. Con la calculadora evalúa la función:
2. En x = 1.2, 1.1, 1, 1.05, 1.01, 1.005 y 1.001. Demuestre formalmente que el límite de esta función cuando x tiende a 1 es 4/3. ¿Coinciden los valores?
3. Use la calculadora para evaluar:
f ( x) =
x + 3 - 2 x - 1
Para x = 0.9, 0.99, 0.999 y 0.9999 y para x = 1.1, 1.01, 1.001 y 1.0001. Demuestre formalmente que el límite de esta función cuando x tiende a 1 es 1/4. ¿Se acercan los valores calculados a este límite?
4. A partir de la siguiente función:
f ( x ) =
Ln x x - 1
Pruebe y demuestre que el límite de la función cuando x tiende a 1 es igual a 1.
Autoevaluación 2 Lea detenidamente los siguientes problemas, halle los solicitado e interprete los resultados.
1. La empresa Dur Hazo S.A.C. dedicada a la fabricación de cemento está concentrada actualmente en diseñar una estrategia que le permita tener una mayor participación en el mercado. Actualmente su nivel de producción es de 3,000 bolsas de 45 Kg. cada una; se sabe que los costos varían según el nivel de producción “Q” de acuerdo a la siguiente función:
C (Q) =
Q 2 + 3'000,000 Q - 1,000
2. El gerente de ventas sugiere que se reduzca la producción para reducir costos e indica que entre 1,000 y 2,000 sería suficiente. Usted en su calidad de gerente de operaciones es consultado por el directorio acerca de la pertinencia de tomar esa decisión ¿cuál sería su respuesta en la siguiente reunión de directorio?
3. En su calidad de nuevo gerente general de una conocida empresa internacional de retail, usted le ha pedido al gerente de recursos humanos que optimice el trabajo en todas las tiendas, él le indica que el clima de satisfacción laboral entre horas trabajadas “T” y horas de descanso “d” se ajusta a la siguiente función:
T (d ) = Matemática Superior 24
5 d - 1 d - 1
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4. Este gerente le comenta que va a aplicar mano dura porque todos son unos ociosos, a esta gente no le gusta trabajar, de ahora en adelante se reduce el refrigerio, se acabaron los permisos y se instalarán más cámaras de vigilancia para supervisar las labores del personal. ¿Qué opina acerca de esta nueva política laboral? ¿Son ciertas las conjeturas del gerente? Explique formalmente sus conclusiones.
4 x 2 100 C ( x) x 5 x 5 , en donde x es el número de 5. Cierta función de Costo se define como artículos producidos (en cientos) y C es el costo de producción (en miles de soles). Encontrar e interpretar: a)
lim C ( x)
x 5
, b)
lim C ( x)
x 3
, c)
lim C ( x)
x 0
.
6. Un colegio privado de San Bernardo ha lanzado una campaña para reunir fondos. Se supone que 10 x f ( x ) 150 x semanas lograr el x% de su los directivos del colegio estiman que llevará a objetivo. a) ¿Cuánto tiempo llevará alcanzar el 50% del objetivo de la campaña?, b) ¿Cuánto lim f ( x) tiempo se tomará cuando se tiende a alcanzar el 100% de los objetivos, es decir x ?
7. El costo (en soles) de eliminar x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dado por: 75 000 x C ( x) para 0 x 100 100 x 1. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución. 2. ¿qué porcentaje de la polución puede eliminarse con 20 000 soles? 3. Evaluar e interpretar el resultado de
lim C ( x)
x 100
Soluciones de la actividad 1 Evaluando y determinando formalmente el límite de las expresiones:
1. 25
8. 1 5. 0
2. 0
9. 2/3 6. factorizando, 4
3. 4
10. -1/3 7. 8
4. 5/3
11. -1/2
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24. infinito 12. 6
25. ¼
18. 1/162 19. recordando la diferencia de cubos:(x3-1) = (x-1)
13. 0
26. 1/6
(x2+x+1), 3/2
27. 1/8
14. 2
20. -3 28. 1/12
15. -3
21. 1/192
16. Artificio: multiplicando y dividiendo por un
29. 2 22. 1,458 30. 2
mismo factor, 4
23. infinito 17. -6
Aproximación y Formalización Recordando la diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos. Límite igual a 4/3. Multiplicando y dividiendo para formar una diferencia de cuadrados en el numerador. Límite igual a 1/4 Por definición y = Ln x, entonces: e y = x Recordando al definición del número e como la suma límite de: ( 1+ y)1/y. Límite igual a 1.
Soluciones de la autoevaluación 2
Aplicaciones 1. Cuando se reemplaza Q = 3,000 se obtiene el costo mínimo, por lo tanto se debe seguir en ese nivel de producción. En el límite cuando Q = 1,000 el costo tiende a infinito, por lo tanto debemos alejarnos de esa cantidad.
2. Cuando se levanta la indeterminación se demuestra que cuando el descanso “d” tiende al infinito el trabajo tiende a 5 horas, por lo tanto incluso si se les da todo el tiempo para “divertirse” las personas trabajarán 5 horas.
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3. a) 40, b) 32 , c) 20 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Población. Se pronostica que la población de cierta unidad pequeña t años a partir de ahora será :
. Determine la población a largo plazo, esto es, determine .
2. Relación huésped - parásito. Para una relación particular huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad de huésped (número de huéspedes por unidad de área) es “x”, el número de . Si la densidad de huésped aumentara huéspedes parasitados en un período es: indefinidamente, ¿a qué valor se aproximaría?
3. Relación huésped - parásito. Para una relación particular huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad de huésped (número de huéspedes por unidad de área) es “x”, el número de huéspedes parasitados en un período es: . Si la densidad de huésped aumentara indefinidamente, ¿a qué valor se aproximaría y ?
4. Relación presa - depredador. Para una relación particular de presa - depredador, se determinó que el número “y” de presas consumidas por un depredador a lo largo de un período fue una función de la densidad de presas “x” (el número de presas por unidad de área) suponga que : . Si la densidad de presas aumentara indefinidamente, ¿a qué valor se aproximaría y ?
ANEXOS DIRECCIONES ELECTRÓNICAS RECOMENDADAS.:
http://www.sectormatematica.cl/superior/NM4_Teoremas%20de%20limites.doc
http://iteso.mx/~goll/matematicas2/programa_matematicas2_primavera_%202008.doc
http://iteso.mx/~carloshz/matematicas2_nuevo.htm
BIBLIOGRAFÍA
Arya, Jagdish. (1994). Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía. Ed. Prentice Hall , México. 3ra edición.
Haeussler E., Paul R. (2003). Matemáticas para administración y economía. Ed. Pearson. México.
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