Função Logaritmo - ITA 1. (ITA 1999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação log1/4 (x + 1) = log4 (x – 1). Então: (A) S é um conjunto unitário e S ⊂ ] 2, + ∞ [; (B) S é um conjunto unitário e S ⊂ ] 1, 2 [; (C) S possui possui dois elementos elementos distintos e S ⊂ ] –2, 2 [; (D) S possui dois elementos distintos e S ⊂ ] 1, +∞ [; (E) S é o conjunto vazio. 2. (ITA 2009) Seja 2009) Seja S o conjunto solução da inequação
( x − 9 )⋅
log x + 4 ( x 3
− 26 x ) ≤ 0 .Determine o conjunto SC.
3. (ITA 2007) 2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo log k (xy) = 49, log k (x/z) = 44. Então, log k (xyz) é igual a: (A) 52. (B) 61. (C) 67. (D) 80. (E) 97. 4. (ITA 2007) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que 2 A ∪ B ∪ C = {x ∈ IR : x + x ≥ 2}, –x A ∪ B = {x ∈ IR: 8 – 3 . 4 –x – 22–x > 0}, A ∩ C = {x ∈ IR: log(x + 4) ≤ 0}, B ∩ C = {x ∈ IR: 0 ≤ 2x + 7 < 2}. 5. (ITA 2007) Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema log[(x + 2y) (w – 3z) -1] = 0, x+3z y-3z+w 2 – 8 . 2 = 0 3
2 x + y + 6z − 2 w
−2 = 0
∑
101
6. (ITA 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S =
k =0
log8 (4 k 2) :
I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/3 III. S = 3451 IV. S ≤ 3434 + log8 2 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira (s) apenas: (A) I e III (B) II e III (C) II e IV (D) II (E) III. 7. (ITA 2005) Considere a equação em x , ax+1 = b1/x onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2ln a > 0. A soma das soluções da equação é (A) 0. (B) –1. (C) 1. (D) ln 2. (E) 2. Opção (B) 8. (ITA 2004) Seja x ∈ IR e a matriz ,
⎡2 x (x 2 + 1) −1 ⎤ ⎥. A= ⎢ ⎢⎣2 x log 2 5 ⎥⎦ Assinale a opção correta. (A) ∀x ∈ IR, A possui inversa. (B) Apenas para x > 0, A possui inversa. (C) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. (D) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. (E) Para x = log2 5, A não possui inversa. 9. (ITA 2008) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D IR, definida por 2 f(x) = |ln(x – x + 1)| é injetora, é dado por (A) IR (B) (– ∞, 1) (C) [0,1/2] (D) (0, 1) (E) [1/2, ∞). 10. (ITA 2008) Seja f(x) = ln (x2 + x + 1), x ∈ IR. Determine as funções h, g : IR IR tais que f(x) = g(x) + h(x), ∀x ∈ IR, sendo h uma função par e g uma função ímpar.
11. (ITA 2007) Sejam x e y dois números reais tais que ex, e y e o quociente
ex − 2 5 4 −e
y
são todos racionais. A soma x + y é
5
igual a: (A) 0. (B) 1. (C) 2 log5 3. (D) log5 2. (E) 3 loge 2. 12. (ITA 2006) Determine para quais valores de x∈ (- π /2, 2 2 logcos x(4sen x-1) - logcos x(4–sec x)>2.
π /2) vale a desigualdade log
2 13. (ITA 2004) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x: (2x) b –(3x)
14. (ITA 2002) Dada a função quadrática f(x) = x2 In
2 3
1
3
4
2
+ x In6 – In
log 3 b
= 0.
, temos que:
(A) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais. (B) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima. (C) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo. (D) o valor máximo de f é
In 2 In3
.
In3 − In 2 In 2 In3
(E) o valor máximo de f é 2
In3 − In 2
.
15. (ITA 2002) Seja a função f dada por: 2 f(x) = (log35) . log5 8x–1 + log3 41+2x–x – log3 2x(3x+1).
Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa. 16. (ITA 2001) Sendo dado
(
)
1n 2 4 3 6 4 8 ...n 2n = an 1n
(
então,
e
)
2 3 3 4 4 ...2n 2n = bn 1n 2 2
é igual a: (A) an - 2bn (B) 2an - bn (C) an - bn (D) bn - an (E) an + bn.
−
1n 3 3
+
1n 4
1n 5 1n 2n – + ...+ 4 5 2n
17. (ITA 1999) Seja a ∈ R com a > 1. Se b = log2a, então o valor de 3
log4 a + log2 4a + log2
a a +1
2
+ (log8 a) – – log 1
a 2 −1
2
a −1
(A) 2b – 3 65 (B) b + 2 18 (C) (D) (E)
2 b 2 − 3 b + 1 2 2 b
2
+ 63 b + 36 18
b
2
+ 9 b + 7 9
.
Gabarito 1.
B
2.
SC
3.
A
4.
S = ⎥ − 4,−
5. 6. 7. 8. 9.
= ]− ∞, − 4]∪ {− 3}∪ [ 0, 26 ]∪ ] 9, + ∞ [.
5⎡ ⎤ ∪ {− 2}∪ [1, + ∞[. 2 ⎢⎣ ⎦ ⎧⎛ 31 8 5 ⎞ ⎫ S = ⎨⎜ t + , − , − , t ⎟, t ∈ IR − {5}⎬. ⎩⎝ 3 3 3 ⎠ ⎭
B B A C h : IR → IR x
a
h (x ) =
1 4
(
ln x 4
+ x2 + 1)
10. g : IR → IR x
a
g (x ) =
11. E 12. 13. S
⎧ 1⎫ = ⎨ ⎬. ⎩ 6⎭
14. D 15. S 16. C 17. D
⎡ 1 ⎤ = ⎢ , 1⎥ . ⎣ 5 ⎦
1 2
ln
⎛ x 2 + x + 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x 2 − x +1 ⎟ ⎝ ⎠
é:
