Matemática y Lógica
LÓGICA
%roposicional&' que tiene la !ro!iedad de convertirse
Termino Termino que deriva del griego “Logike-Logikos (Logos) ” que significa significa razón. Aristótel Aristóteles es fue el que fundó la lógica como medio de conocimiento. •
en !ro!osiciones al asignarle un valor a las variales.
Ejemplo: -
Lógica es una cienci cienciaa formal formal y una Definición Definición..- La Lógica rama ama de la filos iloso ofa fa que que estu estud dia las las form ormas de !ensamiento !rescindiendo de todo contenido. "s el estu estudi dio o de la infe infere renc ncia ia (Ley (Leyes) es)## que que cons consis iste te en e$traer una conclusión a !artir de !remisas que !ueden ser afirmaciones o negaciones !revias.
•
•
ciencia que se ocupa del estudio de los métodos y principios para distinguir el buen razonamiento del malo
%e dice dice adem adem&s &s que es la
A !artir del siglo '' la lógica formal comenzó a ser estudiada en el cam! am!o de las matem& em&tica icas y !osteriormente !or las ciencias com!utacionales# naciendo as la lógica simólica# que esquematiza los !ensamientos claramente usando un lengua*e de signos !ro!ios y distintos al veral.
+ran +ran !art !artee del del tra traa* a*o o mate matem& m&ti tico co se real realiz izaa con con !ro!osiciones (Lógica ,ro!osicional)# !or tal motivo es indis!ensa indis!ensale le tener claro el conce!to conce!to de !ro!osición !ro!osición y efectuar las o!eraciones corres!ondientes.
1. Enunciad iado: "s toda frase u oración que se emite. Los enunciados !ueden ser afirmaciones# negaciones# mandatos# interrogaciones# emotivos# etc.
Ejemplo -
uenos das /0ómo te sientes1 2"studiaras en el Tecnológico3 Tecnológico3 ,ro4iido 4acer ulla La clorofila es verde "l cuadrado de 5 es 67 "studia y ser&s un !rofesional 896 : ;8 ' 9 y < 6= >n cuadrado tiene dos diagonales
variales sin es!ecificar un valor determinado# estos no !ueden ser falsos ni verdaderos. "*em!lo
!; 9 ? < 6; Ella es estudiante ' 9 ? @ ; ! 5 es ca!ital de Londres "l tiene ?8 aBos ! 8 < y 9 ;
(oración aseverativa) al que se le !uede asignar un valor de verdad verdadero o el valor de verdad# falso !ero no amos a la vez TamiFn TamiFn recien el nomre de
sentencias.
"*em!lo - Guaraz es nomre de una ciudad andina. - "l nHmero ;= es mHlti!lo de 5 y 8 - Los 4i!o!ótamos son !eces - Illanta Gumala es candidato !residencial. - ;98 < 67 - "l !recio del dólar es igual al valor del sol t amiFn es !ar. - "l cuadrado de todo nHmero !ar tamiFn Tem!eratura de la tierra 4a disminuido - La Tem!eratura - "l cuadrado del nHmero 6= es igual a 6== !ro!osici icione oness aquell aquellas as e$!res e$!resion iones es ota.- no son !ro!os interrogativas# im!erativas# e$clamativas# duitativas# desider desiderati ativas vas## enunci enunciado adoss aiert aiertos# os# o indefin indefinido idos# s# !seudo!ro!osiciones# !roverios# refranes# filo filoso sofe fem mas o enun enunci ciad ados os filo filosó sófi fico cos# s# 4ec4 4ec4os os## !ersona*es# su!ersticiones y mitos.
-
/JuF es la lógica1 3oración interrogati4a5 Kee Keemo moss 4onr 4onrar ar a nues nuestr tros os 4Fro 4Froes es.. 3oración
-
2e saque la lotera3 3oración e6clamati4a5 Juiz&s llueva maBana. 3oración dubitati4a5 Maime es mentiroso. 37uicio de 4alor5 "duardo es un nHmero racional
imperati4a5
3pseudoproposición5 -
' 9 N < ;6 (enunciado aierto) "l actual !residente del ,erH
3descripción
definida5. La realidad es duración 3$ilosofemas5 La mate ateria se mueve eve en un cicl iclo eterno
3enunciado filosófico5. 8. 09(E(
DE
%%(/0/E(.-
Las
!ro!osiciones se !ueden dividir en dos clases
Los enunciados que usan la !alara “el”# “ella” son enunciados aiertos. A los enunci enunciado adoss aiert aiertos os que contien contienen en varia variales les algeraicas se les denomina #$unción Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
,. %% %%( (/0 /0// ..- es todo enunciado o afirmación
Ejemplo
enunci ciad ado o que que !osee !osee 2. Enun nuncia ciado biert iertoo.- es un enun
-
%ea ' 9 ? < ;6 (i ! ) 1*# entonces 6C 9 ? < ;6# es una !ro!osición# y su valor es Derdadero. (i ! ) 1+# entonces 6= 9 ? < ;6# es una !ro!osición y su valor de verdad es Ealso
Página 1
a5 %% %%( (/0 /0/ / (/% (/%9E 9E ;/0 /0 E9EE;9.- es todo enunciado que !resenta sólo su*eto y !redicado# no se !uede descom!oner en otras y !uede ser verdadera o falsa. 0arece de conectores lógicos
Matemática y Lógica
!ueden en deno denota tarr o re!r re!res esen enta tar r otación.- %e !ued
-
(simolizar) !or letras minHsculas como !# q# r# s# t # O..
-
Ejemplo: -
! ,izarro descurió el continente Americano. q "l 6=P de 7= es 7 r 6C ? @ 8 9 N s La lógica es distinta a la matem&tica t Kolly fue la !rimera ove*a clonada v "l &tomo es una molFcula Q R es un numero !rimo Las !ro!osiciones sim!les# !ueden ser aquellas as que %ropos %roposici icione oness %redic %redicati ati4as 4as..- aquell atriuyen o afirman una caracterstica res!ecto a un o*eto y constan de su*eto y !redicado
Ejemplo: -
"l sol es una estrella ;8 es un nHmero com!uesto. La sangre es una sustancia. "l nHmero ; es !ar "l es!acio es relativo La !izarra es lanca aquellass que %ropos %roposici icione oness relac relacion ionada adas.s.- aquella estalecen una relación entre dos o m&s o*etos que tiene una misma categora gramatical.
Ejemplo: -
Lima es la ca!ital del ,erH La tierra rota alrededor de la luna
, D D E E
q D E D E
-
La lógi lógica ca y la matem atem&t &tic icaa son son cien cienci cias as formales. %i dos dos &ngulo &nguloss adyacen adyacentes tes forma forman n un !ar lineal entonces son su!lementarios %i *uan *uan estu estudi dia# a# ento entonc nces es ser& ser& un uen uen !rofesional. Koris Koris estu estudi diaa enfe enferm rmer era a tFcn tFcnic icaa y Luis Luis estudia agro!ecuaria ;= es nHmero com!uesto# si y solo si es divisile !or 5. %i no 4ay infl inflac ació ión n ento entonc nces es sui suir& r&n n los los !recios. si el dole de ?8 es igual a R=# entonces R= entre ; es igual a ?8
talas que !ermit !ermiten en ;ablas blas de 4erd 4erdad ad..- son talas determinar los valores de verdad de una o m&s !ro!osición com!uesta. "n el caso de dos !ro!osiciones se construye as
9as proposiciones compuestas pueden ser: i5 %ropos %roposicio iciones nes 0onjun 0onjunti4 ti4as as o 0onj 0onjunc unción ión..su conectivo es #y& 3?5# el cual desem!eBa la función de com!atiilizar dos !ro!osiciones.
p ∧ q
! del mismo modo que q %iem!re amos ! con q ! sin emargo q ! es com!atile con q ! es igual que q ! incluso q ! as como q ! tamiFn q ! no ostante q , aunque q ! de la misma manera q ! !ero q tanto ! como# cuando q ! incluso q So solo ! tamiFn q , tal como q - ;? C < 6= - rma estudia en la >niversidad Sacional de ngeniera. 8 es mayor que ? -
"*em!lo “Cuatro es número par y divisor de 32” %imólicamente ! cuatro es nHmero !ar q cuatro es divisor de ?;
son
lgunas lgunas traduccione traduccioness 4erbales 4erbales
Los valo valore ress de <9E 9E( ( DE
-
p D E
b5 %%(/0/ 0%=E(; %on 9E0= 9E0=9 9 09/> 09/>; ;/< /<.aquellas que se otienen de cominar dos o m&s !ro!osiciones sim!les# unidos mediante conectivos lógicos (smolos).
Ejemplo Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
tros Ejemplos:
Página 2
-
"l nHm nHmero ero dos dos es !ar# ar# !ero !ero el tres tres es im!ar. %ilvia es inteligente sin emargo e margo es flo*a. Tanto el !adre como el 4i*o son melómanos. rF a verte aunque llueva Dia*ar a*aree a 04im 04imo ote te aun aun cuan cuando do este este lloviendo.
;abla de
Matemática y Lógica
!
q
D D E E
D E D E
!
! ,edro est& vivo q ,edro est& muerto
∧ q
D E E E! U q q D D E %olo ota.D E D es E D D E E E verdadera cuando amas !ro!osiciones son verdaderas
ii5
%roposición Disyunti4a /ncluyente o débil.llamada tamiFn Disyunción Débil# utiliza el
lgunas traducciones 4erbales son ;abla de
ota.- %olo es falsa cuando amas !ro!osiciones son verdaderas o amas son falsas
Ejemplos:
conector “o” (v)# el cual admite la !osiilidad que se den dos alternativas a la vez.
-
p4q
-
"*em!lo “La lógica o la matemática son ciencias formales”. ! la lógica es una ciencia formal q la matem&tica es una ciencia formal
i45
es el antecedente o @ipótesis con otra que el
consecuente o tesis !
clases
de
%roposición Disyunti4a E6clusi4a o $uerte.- Llamada tamiFn Diferencia (imétrica' !resenta el conectivo “o#.. o” (U) de
amas
p ∆ q "*em!lo “Pedro está vivo o muerto” Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
D D E E
p
D E D E ⟶
D D D E
q
Ejemplo “Si ay inflación entonces su!irán
matem&ticas oto las cosas vie*as o las que no me sirven. Maime 4ala inglFs o francFs
y e$cluye la !osiilidad !ro!osiciones a la vez.
p q
Ejemplos:
iii5
q
∨
Sota.- %olo es falsa cuando amas !ro!osiciones son falsas
-
(!
→ q) el cual enlaza una !ro!osición que
! o q ya ! ya q ! salvo que q ! menos que q ! e$ce!to que q ! a menos que q ! o tamiFn q
-
%roposición /mplicati4a o 0ondicional.llamada tamiFn /mplicati4a material' !resenta el conectivo “si# Oentonces”
lgunas traducciones 4erbales son ;abla de
- ailas o cantas - ,edro es to o es sorino - Goy es martes o 4ay
"l e$amen se a!ruea o se sus!ende. %onia es cristiana o solamente musulmana. ien 4oy da llueve o ien no llueve.
Página 3
los precios” p 4ay inflación q suir&n los !recios
lgunas traducciones 4erbales son %i ! entonces q 0uando ! as !ues q 0on tal que ! es ovio que q "n tal caso de que ! en tal sentido q "n virtud que ! es evidente q Kado ! !or eso q "n cuanto ! !or tanto q
Va que ! ien se ve %iem!re que ! consiguiente Toda vez ! e consecuencia "n la medida que ! q "n el caso de ! e caso q Ke ! derivamo
Matemática y Lógica
Ke ! deviene q , es condición suficiente !ara q Ke ! deducimos en q , es condición suficiente !ara q
-
, im!lica q ! a no ser que q ! solamente si q
-
;abla de
;abla de
q
D D E E
D E D E
!
→
q
D E D D
4i5
conectivo “si”# (
D D E E
D E D E
,resenta
↔ ) el cual desem!eBa el !a!el p↔ q
"*em!lo# ”Pasaras de semestre si y solo si aprue!as todas tus asignaturas” ! ,asaras de semestre q a!roaras todas tus asignaturas
lgunas traducciones 4erbales son: , si y solo si q , es equivalente a q , siem!re y cuando que q , !or lo cual y segHn q
el
"*em!lo “"pro!aras si estudias” ! Tu a!roaras q Tu estudias
lgunas traducciones 4erbales son
?= es nHmero !ar ;
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
, se define , es lo mis , si de la mis que , es idFntic
;abla de
q
D D E E
D E D E
p← q
Ejemplos:
q
D D E D
⟵ ) el cual resulta
, si q , !orque q , es condición necesaria !ara q , siem!re que q , es suficiente !ara q , cada vez que q
⟵
de dole im!licador
cuando el “si” o sus sinónimos est&n entre ! yq
-
!
%roposición Aiimplicati4a o Aicondicional.- !resenta el conector “si y solo si” (
Itros "*em!lo - %i es *oven# es reelde - "l mamfero es 4ervoro si se alimenta de !lantas - Suestra moneda se devalHa solamente si su valor se disminuye. - %i a!rueas matem&tica# te de*are ir a la fiesta el fin de semana. - %i los !recios de los artculos suen# entonces tiene menos demanda. - %i $; < ;8# entonces $< 8 - %o a@ y @c# entonces a@c
eplicati4a.-
q
es falso y el consecuente es verdadero.
es verdadero y el consecuente es falso.
%roposición
!
ota.- %olo es falsa cuando el antecedente
ota.- %olo es falsa cuando el antecedente
45
Dia*aras de e$cursión siempre que tengas dinero "l !recio del !ollo sue ya que los insumos se 4an encarecido remos a la !laya dado que salió el sol
, dado que q , ya que q , !uesto que q , es condición de que q , en vista que q , !ues q
porque es divisile !or
4ii5
!
⟷
D E E D
Sota.- %olo es verdadera cuando amas !ro!osiciones son verdaderas o amas son falsas.
tros ejemplos -
"s fundamentalista si y solo si es tali&n Gar& cosec4a siem!re y cuando llueva. %i a!rueo el e$amen de admisión# entonces y solo entonces ingresare a la universidad.
%roposiciones
egati4as.- !resenta el conector “no” ( B ) el cual !ermite camiar el valor de veracidad de la !ro!osición.
Página 4
q
Matemática y Lógica
b5 icod o egacion 0onjunta.- !resenta el
p
conectivo “ni#O ni” ( "*em!lo ! eres futolista W! no es verdad que seas futolista
la !ro!osición que niega amas !ro!osiciones
Ejemplo:
lgunas traducciones 4erbales son Sunca ! Mam&s ! Tam!oco ! "s asurdo que ! "s inconceile que ! "s im!osile que ! Ke ninguna forma se da que ! "s incierto que ! So ocurre que !
So es verdad que ! So es el caso que ! "s mentira que ! "s inadmisile que ! So acaece que ! So es innegale que ! "s erróneo que ! "s incorrecto que !
“%i &oris tiene sangre a'ul ni &oris tiene sangre verde” p: Koris tiene sangre azul q Koris tiene sangre verde
p↓ q
q
Ejemplo: La materia ni se crea ni se destruye ;abla de
;abla de
↓ ) # se trata de ace!tar
Bp E D
!
q
D D E E
D E D E
!
↓ q E E E D
ota.- %olo es falsa cuando amas !ro!osiciones son verdaderas.
Sota.- 0amia el valor de verdad de la !ro!osición.
tros ejemplos - Sunca 4e odo esa mHsica - Mam&s 4e visto al vecino - "s falso que el Muez sea fiscal - Al !a!a de Selly le falta car&cter - "s im!osile que el &tomo sea molFcula.
C. ;( %%(/0/E( (: !resenta el a5 (@affer o de /ncompatibilidad. ⃓ conectivo “incom!atile ( ). %e trata de ace!tar la !ro!osición donde e$ista incom!atiilidad de amas !ro!osiciones
p q
Ejemplo: dos es numero par es incompati!le “
con $ es primo” p: dos es numero !ar q: cinco es !rimo.
se utilizan cuando se trata de otener esquemas lógicos m&s com!le*os con el fin de evitar las amigXedades en las fórmulas. "*em!lo La e$!resión
p ∧ q ∨ r # es amigua
( p ∧ q ) ∨ r
es m&s !recisa.
9a jerarquGa es otro de los motivos !ara usar los signos q D E D E
!
⃓
q
E D D D
ota.- %olo es falsa cuando amas !ro!osiciones son verdaderas.
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
9os signos de agrupación (!arFntesis# corc4etes# llaves)
Kee ser
;abla de
=(( DE 9( (/>( DE >=%0/ 7E=F DE 9( 0E0;/<( 9>/0(
de agru!ación# en los conectivos lógicos# el cual es el siguiente
1H La Segación.
∼
"s el de menor *erarqua.
2H La 0on*unción y Kisyunción dFil
∧
tienen el mismo nivel
,H La condicional ⟶ tiene mayor *eraquia
Página
y
∨
Matemática y Lógica
∆
8H La disyunción fuerte CH La icondicional
%e re!resenta
⟷
"n caso contrario se tiene en cuenta los signos de !untuación# siendo el conectivo dominante el que este fuera de todo signo de agru!ación
c) ,uesto que un 4omre !rudente 4uye de los leones y !ues ningHn docente es im!rudente. %e sigue que ningHn docente de*a de 4uir de los leones. %e tiene ! los 4omres !rudentes 4uyen de los leones q Los docentes son !rudentes r Los docentes 4uyen de los leones [ p ∧∼ ( ∼ q ) ]⟶ ∼ ( ∼ r )
"*em!lo a)
( p ∨ q ) ⟶ ( p ∧ ∼ q )
)
[∼ ( ∼ p ⟶ q ) ∧ r ] ∨ ( q ∆r )
d) %i Alfonso estudia aritmFtica# entonces tamiFn estudia lógica o algera. Alfonso no estudia aritmFtica. Luego Alfonso no estudia algera
c5 3p I Bq5 ↓ 3Bp 4 r5 d)
p→ ( p ∧ q )
e)
∼ ( p ∧ q ) △ ∼ (r ∨ t )
f)
[ ∼ ( ∼ p ⟶ q ) ∧ r ]
e) Yant es filósofo# !ero Erege es Lógico
$orma lógica Yant es filósofo y Erege es Lógico
$órmula
= $=9 A/E $DJ Eórmulas "S formadas !
∼
(q r)
∼ ! r
∼ ( ∼ r)
(!
∼
f)
! q(
∼
p ∧ q
(q r))
So iremos al teatro a menos que venga aHl
$orma 9ógica (!(q r))
∼ (!q r))
$9/K0/ (/A9/K0/ DE = %%(/0/ 0%=E(;( 0onsiste en utilizar el lengua*e formal# areviando o simolizando las !ro!osiciones en letras# que van desde la ! 4asta el final del alfaeto# smolos llamados conectivos lógicos y 4aciendo uso de los signos de agru!ación. >na de las recomendaciones es desagregar las !ro!osiciones en !ro!osiciones sim!les "*em!lo a) “%i 4ay lluvia en la sierra y el goierno a!oya a los agricultores# 4ar& uena !roducción agrcola” %e tiene ! Gay lluvias en la sierra q "l goierno a!oya a los agricultores r 4ay uena !roducción agrcola ( p ∧ q ) ⟶ r ¿ %e re!resenta ) %i no es el caso que Maime sea un comerciante y !rós!ero em!resario# entonces es ingeniero o no es comerciante. %e tiene ! Maime es un comerciante q Maime es un !rós!ero em!resario r Maime es ingeniero Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
! Yant es filósofo q Erere es Lógico
Eórmulas AL formadas
∼∼
q
∼( p ∧ q ) ⟶ ( r ∨∼ q )
Página !
%i aHl viene# entonces iremos al teatro Eórmula ! aHl viene q remos al teatro
p→ q o g) Tanto Zaldir %&enz como 04emo del %olar son atletas !orque son futolistas Eorma Lógica %i Zaldir %&enz es futolistas y 04emo del %olar es futolistas# entonces Zaldir %&enz y 04emo del %olar son Atletas
( p ∧ q ) → ( r ∧ s ) 4) 0Fsar es !rofesor o alumno# !ero no !uede ser amas cosas a la vez Eorma lógica 0esar es !rofesor o 0Fsar es alumno y es falso que 0Fsar sea !rofesor y 0Fsar sea alumno Eórmula ! 0esar es !rofesor q 0Fsar es alumno ( p ∨ q ) ∧ ∼( p ∧ q ) ecuerda que dees tener en cuenta en identificar el conectivo de matyor *araquia .
Matemática y Lógica
i)
%i aria es la novia de ,edro y arta es la !rima de !edro# Luis es !rimo de arta.
*)
"st4er estudia matem&tica o comunicación se deduce que !asar& el semestre# aunque ni estudia matem&tica ni comunicación# en consecuencia no !asar& el semestre.
A5 0;D/00/.-
0uando !ar cualquier cominación de valores de una !ro!osición son todos falsos (E).
Ejemplo: p⋀ p
6.
∼
;.
[(∼ p ⟶∼ q )⟷ ( q ⟶ p ) ]
05 0;/>E0/.-
0uando !ar cualquier cominación de valores de una !ro!osición !uede ser verdadera o falsa (D y E).
;A9( DE
tilizando los conectivos lógicos se !ueden cominar cualquier nHmero finitos de !ro!osiciones com!uestas cuyos valores de verdad se !ueden conocer mediante las talas de verdad. ,ara conocer el nHmero de cominaciones de los valores de verdad# segHn el nHmero
Ejemplo:
n
de !ro!osiciones# se utiliza la siguiente fórmula
2
[
Konde n es igual al nHmero de !ro!osiciones.
Ejemplo: 0onstruir la tala de verdad de las siguientes !ro!osiciones a) (! \ Wq) v (W! v r) ) ! q r (! \ W D D D D $ E D D E D $ E D E D D < D D E E D < D E D D E < E E D E E < E E E D E < D E E E E < D c) ! \ (q ] r) d) (! \ W r) ^ (q v !) ∧ W q) \ W r e) W (! f)
1.
[( ∼ p ∧ ∼ q ) ⟶ ∼ r ]
2.
∼( p ∧ q ) ⟶ ( r ∨ ∼ q )
%%(/0/E( E=/<9E;E(
%e dice que dos !ro!osiciones se llaman lógicamente equivalentes si sus talas de verdad son idFnticas. %e
p≡ q
denota !or q) D D E E D D E E
v ( W ! v r) < E D < D $ E D $ E < E D < D < E D $ E < D E < D < D E < E < D E < D < D E < E
%e dice tamiFn que dos !ro!osiciones son lógicamente equivalentes cuando una icondicional
( p ⇔ q )
es
una tautologa "*em!lo Las siguientes !ro!osiciones son equivalentes ∼(! ∧ q)
≡
(∼ ! ∨ ∼q).
( p ⟶ q ) ≡ ( q ⟶ p ) !
q
∼(! ∧ q)
!
(W! ] q) \ W (q v Wr)
9>/0E;E
q
(∼ ! ∨ ∼q).
( p ⟶ ( q ⟶
09(/$/00/ DE 9( ;A9( DE F.-
cuando !ara cominación de valores de una com!uesta son siem!re verdaderos (D).
cualquier !ro!osición
toda
Ejemplo 6. ;.
condicional que es una tautologa. p ⟹ q %e denota !or
( p ⟶ q ) ⟷∼ ( p ∧∼ q ) ∼
( p ∧ q ) ⟷ ( ∼ p ∨ ∼ q )
?.
[( ∼ p ∧ ∼) ⟶ ∼ r ]
5.
( p ∧∼ q ) ⟶ ( q ⟶ p )
/mplicación 9ógica.- Es
Ejemplo: L( ! ⇒ q ) ∧ !_ ⇒ q Equi4alencia 9ógica.- se llama as a toda icondicional que es una tautologa. %e denota !or
p ⇔ q
Ejemplo: ! ⇒ q ⇔ W(! ∧ W q)
ota: !ara construir las talas de verdad es necesario identificar el conectivo de mayor *erarqua# el cual se Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Página "
Matemática y Lógica
desarrolla al Einal# y em!ezando !or los que est&n en signos de agru!ación# si los 4uiera.
c)
9EE( DE 9 9>/0 %%(/0/9 15 efle$iva.-
≡ ! !
25 %imFtrica
si ! ≡ q
,5
0onmutativa
↔ q
∨ q ≡ q ∨
85 dentidad
! ∧ D ≡ ![
! ∨ E ≡ !
C5 0om!lemento
! ∧ ∼ ! ≡ E[
! ∨ ∼ ! ≡ D
! ∧ (q (q ∨ r) ≡ (! ∨ q) ∨ r
N5
∧ r) ≡ (! ∧ q) ∧
!
O5 Acotamiento
! ∧ E ≡ E [
! ∨ D ≡ D
1+5 nvolución
∼(∼ !) ≡ !
Ke organ ∼ ! ∧ ∼q 0ondicional
185 Asorción
∨
∼D ≡ E
∼(! ∧ q) ≡ ∼ ! ∨ ∼q
[
[
∼E ≡ D
∼(! ∨ q) ≡
! → q ≡ ∼ ! ∨ q ∨ q) ≡
![
!
∨ (! ∧ q) ≡
D<6
0ircuito abierto ! E<=
0uando las !ro!osiciones s encuentran una a continuación de otra. ,ara que !ase la corriente y se encienda el foco es necesario que los conmutadores ! y q estFn cerrados. asta que uno de ellos se ara !ara que la corriente se interrum!a. %e com!orta como una con*unción !
1C5
Asorción generalizada ! ∧ (∼ ! ∨ q) ≡ ! ∧ q[ ∨ (∼ ! ∧ q) ≡ ! ∨ q
!
1M5
icondicional ! ↔ q ≡ (! → q) ∧ ( q → !) [ ↔ q ≡ (∼ ! ∨ q) ∧ (∼q ∨ !) ↔ q ≡ (! ∧ q) ∨ (∼ ! ∧ ∼q)
! !
1N5
Kisyunción e$clusiva ! ∆ q ≡ (! ∨ q) ∧ ( ∼ ! ∨ ∼q) [ ! ∆ q ≡ (! ∧ ∼q) ∨ (∼ ! ∧ q) 0ontra!osición
! → q
Segación de la condicional ∼q
2+5
Segación. de la icondicional q [ ∼(! ↔ q) ≡ ∼ ! ↔ q
0uando los conmutadores se encuentran uno a lado del otro a un mismo nivel. ,ara que la corriente !ase asta que uno de ellos se encuentre cerrado. ,ara que la corriente se interrum!a# los dos conmutadores deen estar aiertos. %e com!orta como una disyunción !
∼(! →
q)
≡
∼(! ↔ q) ≡
∼(! ↔ q)
≡
∼q
( p ⋀ q ) ⟶ p
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
q
A5 0ircuito en %aralelo %e denota !or “p q&
≡ ∼q → ∼ !
1O5
"*em!lo a)
!
5 0ircuito en (erie: (e denota por #p q&
!
1*5
%e denotan !or ! o D o 6 si el circuito est& cerrado o !asa corriente ! o E o = si el circuito est& aierto o no !asa corriente.
;ipos de circuitos
[
I!uesto
! ∧ (!
>n circuito elFctrico es un circuito conmutador que tiene interru!tores que !ermiten el !aso de la corriente o la interru!ción de la misma.
0ircuito 0errado
! ∨ ! ≡ !
115
!
Kistriutiva ! ∧ (q ∨ r) ≡ (! ∧ q) ∨ (! ∧ r)[ ! ∨ (q ∧ r) ≡ (! ∨ q) ∧ (! ∨ r) ! ∧ ! ≡ ! [
1,5
![
r[
*5 dem!otencia
125
La construcción de las com!utadoras electrónicas se asa en la construcción de circuitos electrónicos# y esto es !osile mediante la a!licación de las leyes de la lógica !ro!osicional.
≡ q ↔ !
M5 Asociativa
[ p ⟶ ∼( q ⟶ p )] ⟶∼ q
0/0=/;( 9>/0(:
⟶ q ≡ !
! ∧ q ≡ q ∧ ! [ !
( p ∧ ∼ q ) ⟶ ( q ∨ r )
)
Página #
!
∧
!
∆
q
!↔
05 0ircuito mi6to.- 0uando comina circuitos en serie y en !aralelo
Ejemplo: 0onstruir su circuito lógico de las siguientes esquemas moleculares
Matemática y Lógica
a)
( p ∧∼ q ) ∨(∼ p ∧ q )
') :L $*;gen$ n$ &r$duce &re%encia de metal$ide%.
)
( p ∨ q ) ⟶ ( p ∧ ∼ q ) Ejercicios EJERCICIOS DE PROPOSICIONES 1. Del$% %iguiente% enunciad$% cuale% %$n &r$&$%ici$ne% a'iert$%(
y
cuale%
enunciad
%$a) Ale*i% e% e%tudi$%$ ') +,ia el Pe/
$*id$
en
c) Iant$ la %uma c$m$ la multi&licación de nmer$% naturale% %$n a%$ciatia% d) L$% &ece% %$n acuátic$% &ue%t$ Bue re%&iran &$r 'ranBuia% e) Gl$ria e Jrene %$n c$ntem&$ránea% ) Decir Bue la inteligencia e% 9ereditaria e% deender la idea de Bue nue%tra% acultade% %e tra%miten de &adrea a 9i=$% a%; c$m$ el c$l$r de l$% $=$%. g) La %uma de l$% ángul$% intern$% de un triángul$ e% igual a 1#@K
c) 2032 3! d) Platón nació en Piura
9) I$d$% l$% cuer&$% atraen c$n una uerza directamente &r$&$rci$nal al &r$duct$ de %u% ma%a% e iner%amente &r$&$rci$nal a cuadrad$ de la di%tancia Bue l$% %e&ara.
e) A 0 1# ) 5uál e% tu n$m're6 g) 23 7 128 9) :l d;a e%tá nu'lad$
i) La 9uelga %$lución
i) ,aya c$n Di$%< %eñ$ra =) >icard$ &alma e% tradici$ne% &eruana%
aut$r
de
la%
c$ntinua
&ue%
n$
9ay
3. De la% %iguiente% &r$&$%ici$ne%< identiEca
l) 1@ 0 2@ 31
cuale% %$n &r$&$%ici$ne% di%yuntia% d'il $ uerte< c$n=untia%< im&licatia 5$ndici$nal)< 'iim&licatia% 'ic$ndici$nal)< $ negaci$ne%.
m) :l triángul$ tiene tre% lad
%$a) uan e% &int$ $ al'añil
n) +Marc9en/
') La tiza n$ e% 'lanca
$) uan e% Matemátic$
c) :l =aguar e% cuadr&ed$
?) :l nmer$ cuatr$ e% el d$'le de d
%$&) La nuea c$n%titución P$l;tica del Per ue %anci$nada y &r$mulgada &$r la A%am'lea 5$n%tituyente e 1883. B) Cuin e% narc$tráEc$6
el
&ez
r) L$% nmer$% inteligente%
g$rd$
del
mdic$
carn;$r$ $
%$l$
$
un
e%
un
e) aier y Luz %e aman ) Artur$ n$ llega a tiem&$
raci$nale%
%$n
g) Lui% y Daniel c$rren 9) # e% mlti&l$ de 2 &ue% e% &ar
%) F$l$ % Bue nada %e
i) a 'ien F$nia ia=a a &ar;%< ya 'ien ia=a a 59ile
t) uan e% '$ndad$%$ u) L$% $rgani%m$% %u&eri$re% tiene &ulm$ne% &$rBue nece%itan re%&irar ) $ engañe% nunca a nadie
=) Fi Miguel Grau e% &iuran$< ent$nce% e% &eruan$ ?) 1 e% mlti&l$ de < &er$ e% may$r Bue 2.
H) La %emana tiene # d;a% *) A e% la ca&ital del Per y) :l nmer$ cinc$ %$nrió
2. Diga %i la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% %$n atómica% $ m$leculare%( a) O%ama y Omar %$n c$ncuñad$% Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
d) Daid e% enermer$
un
Página 8
l) Fi %e calienta un cuer&$ ent$nce% %e dilataN y %i %e enr;a< ent$nce% %e c$ntrae. m) Fin a&arición de la gala*ia < %in la $rmación de e%trella%< =amá% 9a'r;a e*i%tid$ el 9$m're ni la ida
Matemática y Lógica
n) La% e%trella% nacen< tam'in mueren.
ien<
&er$
e) Fi n$ 9ay nu'e% en el ciel$< ent$nce% el F$l e%tá 'rilland$
$) Del 2@ de 1@ e% 3@ $ @
4. :%cri'a la &ala'ra %i cuand$ la $rmula e%te 'ien $rmada y n$ en ca%$ c$ntrari$. Ademá% diga cóm$ %e llama< e%ta'leciend$ la =erarBu;a entre %u% $&erad$re% a)
) O e%tá ll$iend$ $ el %$l e%tá 'rilland$
6. Fean &< B y r del e=ercici$ anteri$r. Iraducir la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% %im'ólica% a $raci$ne% en e%&añ$l(
p⟶ q
')
( p ∧ q ) ∧∼ ( r ∧ s )
c)
( p ∨ q ) ∨ ⟶ ( r ∧ ∼ s ) ∼¿
d)
∼[ p ⟶ ( ∼ q ∨ r ) ]
e)
∼∼ [ ( p ∧ ∼ q ) ⟶ ∼ ( t ∧ s ) ]
)
p↓ ∼ ( q ∼ r ) ∨∼ q
g)
∼ p p [ q ⟶ ∼ ( r ∧ s ∧ t ) ]
7. Lectr!" #C!$! %! es&es! ''(i!. J!% se )es&ert* + '!%,* % -ei)o /Aj0 !j0 e' co'e-io Se 'e(!%t* )e '! c!! + se se%t* e% %! si''!. O+* '! oci%! )e % !to o e' si'!to )e % &o'ic$!. E%to%ces se estreeci*. Por c!s! )e' r$o o )e' ie)o. Est!!% !cie%)o t!%to ri)o. Re&e%ti%!e%te se 'e i'i%* '! c!r!. / ie% Se !$!% !cor)!)o )e !'-o. L!s c'!ses %o e&ie,!% o+0 si%o !8!%!9 Actiidade%
r s r
9)
i)
q ↓ ∼ ¿ ) ∼ p ↓ ¿
a)
r ↓ ∧ ( r ↓t ) & ⟶ q ¿ ∼ ¿
>edacta una li%ta de la% &r$&$%ici$ne% %im&le% de la lectura le;da
&( RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRR
5. Fean p, q y r la% &r$&$%ici$ne% %iguiente%( &( e%tá ll$iend$Q B( el %$l e%tá 'rilland$Q
B( RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRR r(RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRR
r( 9ay nu'e% en el ciel$Q Iraducirem$% la% %iguiente% $raci$ne% a n$tación %im'ólica utilizand$ la% letra% a%ignada% y l$% c$necti$% lógic$%( a) :%tá ll$iend$ y el F$l 'rilland$ ') Fi e%tá ll$iend$< ent$nce% 9ay nu'e% en el ciel$ c) Fi n$ e%tá ll$iend$< ent$nce% el F$l n$ e%tá 'rilland$ y 9ay nu'e% en el ciel$ d) :l F$l e%tá 'rilland$ %i< y %ól$ %i< n$ e%tá ll$iend$
%RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRR t(RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRR 2.
:n 'a%e a la% &r$&$%ici$ne% anteri$re% 9az una li%ta de &r$&$%ici$ne% c$m&ue%ta%
RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRR
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Página 1@
Matemática y Lógica
RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
EJERCICIOS DE SI:;OLI
r) Fure la &ena< &ue% c$meti%te la cul&a %) Fin %u li're c$n%entimient$< %in la de'ida retri'ución< n$ %e &uede le &uede $'ligar a &re%tar tra'a=$. t) Iant$ 5arl$% c$m$ Tederic$ %$n ate$% &$rBue %$n materiali%ta%.
a) :% inc$rrect$ Bue 1 e% un cuadrad$ &erect$< &ue%t$ Bue tiene ra;z cuadrada e*acta. ') J%a'el n$ irá al teatr$< %i y %$l$ %i %e c$m&ra un li'r$ $ %e c$m&ra un di%c$ c) Fi 9ace cal$r y el ciel$ e%tá clar$< ent$nce% am$% a nadar y &a%ear en '$te. d) La agu=a de la 'r=ula gira en i%ta de Bue la em'arcación a cam'iad$ de rum'$< y la em'arcación 9a cam'iad$ de rum'$ dad$ Bue 9ay t$rmenta en alta mar.
u) AunBue e%t enerm$< n$ altare a cla%e%.
EJERCICIOS DE >A;LAS DE ?ERDAD @. 5$n%truye la Ia'la de erdad &ara la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% a) U& V & W B )X Y & ') & W U & V B ) Y &X c) & V B ) Y & W B) d) U& W B ) W rX Y U& W B W r )X e) U & ^ B ) ^ rX Y U& ^ B ^ r )X ) U& W B V r )X Y U & W B ) V & W r )X
e) >$drig$ nación en Amrica $ :ur$&a
g) & ` B) Y & W B )
) Fi A'elard$ e%tá en :ur$&a< $ l e%tá en 5$l$m'ia< ent$nce% n$ $curre Bue uan e%tá en el :cuad$r.
9) U& \ B \ r )X Y UB \ & \ r )X
g) :l Per im&$rta arr$z< &ue%t$ Bue n$ 9ay &r$ducción &$rBue e*i%te rece%ión 9) :%t9er e%tudia matemática $ c$municación %e deduce Bue &a%ará el %eme%tre< aunBue ni e%tudia matemática ni c$municación< en c$n%ecuencia n$ &a%ará el %eme%tre. i) $ e% ciert$ Bue %ea un 'uen e%tudiante y de%taBue en el ut'$l. =) $ e% el ca%$ Bue< 9ace r;$ y n$ %e c$ngele< %in em'arg$ n$ 9ace r;$.
i)
& V B ) \ Zr Y U& \ B \ r )X[
1B. Fean la% &r$&$%ici$ne% &< B< r cuy$% al$re% de erdad e% ,< T y T Sallar el al$r de erdad de la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% a)
( p ⋀ q )⟶ p
')
(
c)
( p ∧ ∼ q ) ⟶ ( q ∨ r )
d) &
p ⋁ q ) ⋀ [( p ∨ ∼ r ) ∧ ( q ∨ r ) ]
⟶q
¿ ⟷(q ∨ ∼ r )
?) Fi :l 3@ de 3@@ e% 8@ ent$nce% el 4@ de @ e% 2@ $ 2
e) U& ∧ r ¿ ∨( p ⟶ q )¿ ∧ q
l) La Suelga %$lución
)
c$ntinua
&ue%
n$
9ay
m) Daid n$ e% l$retan$ ni limeñ$ n) Fi %e calienta un cuer&$ ent$nce% %e dilata y %i %e enr;a ent$nce% %e c$ntrae. $) La% e%trella% nacen y ien< &er$ tam'in mueren. &) Fi el cicl$trón '$m'ardea el át$m$< ent$nce% acelera la el$cidad de l$% &r$t$ne%. B) La unier%idad e%tá %in rect$r. Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Página 11
{ [ ( p ∧ q ) ∧ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ] }
11. De la% %iguiente% &r$&$%ici$ne%< diga cuale% %$n taut$l$g;a%< c$ntradicci$ne% $ c$ntingencia%
!
( p ⋀ q ) ⟷ ( p ∨ ∼ q )
& c
⟶q
¿ ⟶r
( p ⟶ q ) ⟷ ( p ∨ q ) X ∼¿
Matemática y Lógica
)
∼
) &
( p ⟷ q ) ⟷ ( p ⟷ q )
∧ q ∧ r ¿ ∨ [( p ∧∼ q ∧ r ) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ∧ r )]
e
[ ( p ∧ q ) ∧ q ] ⟶ p
[( p ⟶ q ) ∧ ( q ⟶ r ) ] ⟶ ( p ⟶ r )
e p ∨ [ ( p ∨ p ) ∧ ( q ∨∼ p ) ∧ ( r ∨ p ) ∧ ( r ∨∼ p ) ]
- [ ( p ⟶ q ) ∧ ∼ q ] ⟶∼ p
( p ↔q ) ↔ [ ( p ⟶ q ) ∧ ( p ⟶ q ) ]
( ! ⇒ q ) ∧ !_ ⇒ q
g5
¿ ⟷ ∼( p ∧ q )
i
∼ ( p ∧ q ) ⟶∼ ¿ B ∼¿
E7E0/0/( DE 0/0=/;( 9>/0( ∨ ∼ p
¿¿
15. Di%eñe l$% circuit$% de la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% c$m&ue%ta%(
!
j [( ∼ p → ∼ q ) ∧ ( ∼ q → ∼ r ) ]→ ( ∼ p → ∼ r )
∼[ p → ∼ ( q ∧ ∼ p )] ↓ ¿
12. De
la
Tal%edad
de
la
%iguiente
c
p ∨ ( q ∧ r ) p ∧ ( q ∨ r ) ∼
X
¿
( p ∧ q ) ∨( r ∧ s )
&r$&$%ición ( p → ∼ q ) ∨ ( ∼ r ⟶ s )
∼ p
∧∼ q ∧ ∼ r
¿
)
( p ∧ q ∧ r ) ∨ ¿
∼ r ∨∼ q ¿ ⟷ [( ∼ q ∨ r ) ∧ s ]
e
( p ∧ q ) ∨ [ q ∧ ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧∼ q ) ]
( p ∨ q ) ∧∼ q c & ⟶ q ¿ ⟶ ¿ X
( p ⟶ q )∧ (r ⟶ s )
-
∼ [ ∼ ( p ∨ q ) ∧ ( ∼ p ∨∼ q ) ]
( p ∨ q ) ⟶ [ ( ∼ p ∨ q ) ⟶ ( p ∧ q ) ]
∼ p ∧ ∼ q
!
¿ ∨∼ q
13. Fi el e%Buema U& ∨∼ q ¿ ⟶ ( r ⟶ q ) ,
<
e% al%a< 9allar el al$r de erdad de l$% %iguiente% e%Buema% m$leculare%< %i %e da a l &r$&$%ición &( 2 e% dii%$r de
!
%iguiente% circuit$%(
( p ∨ q ) ∧ ( r ∨ ∼ q )
& c
16. Iraduzca a e%Buema% m$leculare% l
%$⟶∼
!
r ¿ ∨ ( ∼ q ∧ p )
[ p ∨ ( q ∧ ∼ r ) ] ⟷ ( p ∧ ∼ r )
EJERCICIOS DE LEES DEL ALGE;RA PROPOSICIONAL 14. Determinar l$% e%Buema% má% %im&le%
B
r
%
&
B
c
& B
r
[ ( p ∧ q ) ⟶ ∼ q ] ∨ p
%
t
∼ ∼
p ∨ [ ( q ∧ r ) ∨ ( q ∧∼ r ) ]
c
[ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧∼ q ) ] ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q )
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
r
t
de la% %iguiente% &r$&$%ici$ne%(
!
&
)
Página 12
& \B
B
\&
Matemática y Lógica
:l &r$medi$ de %u% d$% nmer$% e%
& \r
may$r Bue ^4
c ]n$ de %u% nmer$% e% tre% ) La dierencia entre %u% nmer$% e%
r \%
1
e
e :l &rimer$ de l$% nmer$% en Bue e%tá &en%and$ e% may$r Bue el %egund$
La %uma de l$% cuadrad$% de %u% nmer$% e% men$r Bue 14
AUTOEVALUACIÓN
1. De l$% %iguiente% enunciad$% cuale% %$n de &r$&$%ici$ne% y n$ &r$&$%ici$ne%(
! I$d$% l$% &laneta% giran alreded$r del %$l
Fi un nmer$ e% dii%i'le &$r 4 tam'in l$ e% &$r 2
c a 0 ' 0 1@ 2@ ) a 0 ' 0 1@ 2@N d$nde a 4< ' " e atman e% el 9$m're murcilag$ +F$c$rr$/ - I$d$ $rgani%m$ iiente %e ada&ta a %u medi$ ;%ic$
Sa'rá =uici$ Enal6 2. JdentiEca la% &remi%a% y c$nclu%i$ne% en el %iguiente% te*t$( La luz Bue em$% &r$eniente% de la% gala*ia% di%tante% %alió de ella% 9ace mill$ne% de añ$%< y en el ca%$ del $'=et$ má% di%tante Bue 9em$% i%t$< la luz %urgió de%de 9ace $c9$ mill$ne% de añ$%. A%; &ue%< cuand$ $'%eram$% el unier%$< l$ e%tam$% iend$ c$m$ ue en el &a%ad$Q.
3. ]n &r$e%$r dice a %u% e%tudiante% l$ %iguiente( :%t$y &en%and$ en d$% nmer$% de l$% tre% nmer$% 1< 2 y 3Q. Lueg$ l$% alumn$% $rmular$n la% %iguiente% &r$&$%ici$ne%( determinar el al$r de erdad de()
! P$r l$% men$% un$ de l$% nmer$% e% im&ar Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Página 13
Matemática y Lógica
Los congresistas re!resentas a la nación y los congresistas no est&n su*etos a mandato im!erativo Luego los congresistas re!resentan a la Sación
$ormula: ! Los congresistas re!resentan a la Sación q Los congresistas est&n su*etos a mandato im!erativo
p ∼q ∴ p I TamiFn
( p ∧∼ q ) → p
Ejemplo: %i esta figura tiene cuatro lados# es un cuadril&tero. %i esta figura tiene tres lados# es un tril&tero. "sta figura tiene cuatro lados o tiene tres lados. ,or lo tanto# esta figura es un cuadril&tero o un tril&tero ,remisas • %i esta figura tiene cuatro lados es un cuadril&tero • %i esta figura tiene tres lados es un tril&tero "sta figura tiene cuatro lados o tiene tres lados. • 0onclusión ,or lo tanto# esta figura es un cuadril&tero o un tril&tero
$ormula Ejemplo: Eeli!e no ser& e$!ulsado del clu a menos que el cometa actos de traición e inmoralidad. So 4a sido e$!ulsado# "n consecuencia no 4a cometido actos de traición ni de inmoralidad
$orma lógica 6. %i Eeli!e comete actos de traición y actos de inmoralidad# entonces ser& e$!ulsado del clu. ;. Eeli!e no 4a sido e$!ulsado del clu ?. Luego Eeli!e no 4a cometido actos de traición y no 4a cometido actos de inmoralidad
$ormula /$EE0/( 9>/0.- 3implicaciones notables5 =na
inferencia
(llamada tamiFn razonamiento# deducción# argumentación o argumento) es una o!eración lógica que consiste en derivar a !artir de la verdad de ciertas !ro!osiciones# conocidas como !remisas# la verdad de otra !ro!osición conocida como conclusión. La conclusión est& en !arte contenida en las !remisas# de modo que !ara que el razonamiento estF ien construido tiene que 4aer una relación de necesidad entre las !remisas y la conclusión. "st&n !recedidas de la !alara “!uesto que”# “ya que”# “!ues”# “!orque”# “siem!re que”# “si”# etc.
Ejemplo: Los congresistas re!resentan a la Sación# !ero no est&n su*etos a mandato im!erativo. Luego# los congresistas re!resentan a la Sación ,remisas 0onclusión
$orma 9ógica: Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Página 14
6.
( p ∧ q ) →r
;.
∼r
?.
∴ ∼ p ∧ ∼ q
{[ ( p ∧ q ) → r ] ∧ ∼ r } → ( ∼ p ∧∼ q ) 9 /$EE0/ 9>/0 /%9/00/ 9>/0 Aquellas que indican# si la proposición p proposición q# y que esta im!licación 3p tautologGa.
implica la q5 es una
Las im!licaciones o nferencias lógicas se !ueden escriir de dos formas a)
$orma @orizontal se utilizan los conectivos ∧ y → 3p1 p2 ... pn5
q
Matemática y Lógica
)
$orma 4ertical.- no se utilizan los conectivos
y → . %e escrien verticalmente las !remisas y al final de la Hltima se escrie una raya y luego los tres !untos seguido de la conclusión ∧
p1 p2 p, . P.
Ejemplo "l !uelo es una masa !asiva que sigue ien las ideas de un gran 4omre# ien los !rece!tos de la idea asoluta. %igue los !rece!tos de la idea asoluta. ,or lo tanto no sigue las ideas de un gran 4omre.
Ejemplo.- Los actos del !residente de la e!ulica son nulos a menos que tengan refrendación inisterial. %on nulos# !ues no tiene refrendación ministerial.
/$EE0/( 9>/0( ;A9E(
∴
15
q
dición 1. p
Konde !6# ! ;# ...# !n son !ro!osiciones llamadas !remisas y q es la conclusión
∴ p ∨ q
"n el lengua*e formal la conclusión va !recedida !or el
& o el smolo “ ⊢ ” que se lee #por lo tanto& o #luego& ∴
smolo #
! → (! ∨ q) ≡ D
25
Ejemplo: b%i estudio# a!rendo. "s as que estudio# luego
(implificación a)
1. p q
)
1. p q
a!rendob. ∴ p
6.
p→ q
( !rimera !remisa )
;.
p
( segunda !remisa )
(! ∧ q) → ! ≡ D
∴q
(! ∧ q) → q ≡ D
Ejemplo Tanto la din&mica como la cinem&tica
∴q
(conclusión)
ota.- "n resumen# en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las !ro!osiciones# sino las relaciones lógicas
estudian el movimiento. ,or lo tanto# la cinem&tica estudia el movimiento
,5
que e$isten entre ellas >n razonamiento es 4Qlido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las !remisas y es in4Qlido cuando la conclusión no se deriva de las !remisas
1. p → q
Ejemplos de razonamiento 6.
;.
p→ q
p→ q
odus %onendo %onens significa# “afirmando afirmo” y en un condicional estalece# que si el antecedente (!rimer tFrmino# en este caso !) se afirma# necesariamente se afirma el consecuente (segundo tFrmino# en este caso q). 2. p
?. p→ q
5.
∴q
p→ q
p
q
∼ p
∼q
∴q
∴ p
∴∼ q
∴ ∼ p
((! → q) ∧ !) → q
Ejemplo: %i el 7 es divisor de 5;# entonces es divisor de C5. ,ero 7 es divisor de 5;. ,or lo tanto es divisor de C5
Ejemplos: %i el tri&ngulo tiene dos lados iguales se llama sósceles. "l tri&ngulo no se llama sósceles. "n consecuencia el tri&ngulo no tiene dos lados iguales ! "l tri&ngulo tiene dos lados iguales q "l tri&ngulo se llama isósceles 1. p → q 2. ∼ q
Ejemplo: si llueve l# entonces las calles se mo*an. Llueve# luego las calles se mo*an
85
odus ;ollendo ;ollens
significa “negando# niego”# %i de un condicional# a!arece como !remisa el consecuente negado (el efecto)# eso nos conduce a negar el antecedente (la causa)# !uesto que si un efecto no se da# su causa no 4a !odido darse.
∴ ∼ p
1. p → q
( Evaluacion : Tablade verdad)
2. ∼ q ∴ ∼ p
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Página 1
≡ D
Matemática y Lógica
Ejemplo %i llueve# entonces las calles se mo*an.
((! → q) ∧ ∼ q) → ∼ ! ≡ D
%i l atierra tiemla# los edificios se caen. ,ero llueve o la tierra tiemla. ,or tanto las calles se mo*an o los edificios se caen
Ejemplo: %i 4ay calor entonces llueve. So llueve. "n consecuencia no 4ace calor.
Ejemplo: %i llueve# entonces las calles se mo*an. Las calles no se mo*an# !or lo tanto no llueve
Ejemplo %i aumenta el +D# los !recios suen. Los !recios no 4an suido # !or lo tanto el +D no 4a aumentado
C5
odus ;ollendo %onens si uno de los miemros de una disyunción es negado# el otro miemro queda autom&ticamente afirmado# ya que uno de los tFrminos de la elección 4a sido descartado (! ∨ q) ∧ ∼ !_ → q (! ∨ q) ∧ ∼ q_ → !
≡ D
;EE DE ED=00/ 9 A(=D ";D AE
3p1 p2 ... pn
So vas a la discoteca. ,or lo tanto vas al tecnológico.
•
%e su!one verdadero el antecedente y falso el consecuente.
•
%e determinan los valores de las variales del consecuente# que e$!resen la falsedad de este.
•
%e trasladan estos valores al antecedente# y se designan los valores de las dem&s variales.
•
%i no se verifica la 4i!ótesis# la formula ser& tautologa# en consecuencia la inferencia es v&lida.
Ejemplo: Ge ido al cine o me 4e ido de com!ras# no 4e ido de com!ras# !or lo tanto me 4e ido ak cine
M5
(ilogismo @ipotético dadas dos im!licaciones# de
es una contradicción.
"l mFtodo es inverso al de la tala de verdad y consiste en lo siguiente
≡ D
Ejemplo: Das al tecnológico o vas a la discoteca.
q5
las cuales el antecedente de la una sea el consecuente de la otra# !odemos construir una nueva im!licación donde el antecedente sea el antecedente de la !rimera im!licación y el consecuente sea de la consecuente de la segunda im!licación
Ejemplo
(! → q) ∧ (q → r)_
Ejemplo: %i eres un cardiólogo# eres mFdico. %i eres
→ (! → r) ≡ D
Ejemplo: %i te levantas tem!rano# !odr&s asistir a la clase de matem&tica. %i ingresas a la clase de matem&ticas a!render&s sore el tema de inferencias lógica. Te levantas tem!rano# entonces a!render&s el tema de inferencia lógica
%i eres fiscal# eres aogado. %i eres !rofesional eres aogado. Luego# si eres fiscal# eres !rofesional. Eormula
[( p → q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p→ r )
mFdico. "res colegiado. Luego# si eres cardiólogo# eres colegiado
[ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p→ r )
"*em!lo %i la ola ro*a gol!ea a la ola lanca# la ola lanca se mueve. %i la ola lanca gol!ea ala ola negra# la ola negra se mueve. ,or lo tanto si la ola ro*a gol!ea a la ola lanca# la ola negra se mueve.
N5
(ilogismo disyunti4o.- Kadas tres !remisas# dos de ellas im!licaciones# y la tercera una disyunción cuyos miemros sean los antecedentes de los condicionales# !odemos concluir en una nueva !remisa en forma de disyunción# cuyos miemros seran los consecuentes de las dos im!licaciones. Lógicamente# si !lanteamos una elección entre dos causas# !odemos !lantear una elección igualmente entre sus dos !osiles efectos# que es el sentido de esta regla. (! → q) ∧ (r → s) ∧(!∨r_ → (!∨s)
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
≡ D
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9>/0 0=;/$/00/9
Matemática y Lógica
0(E0=E0/ 9>/0
&)
q es consecuencia lógica de las proposiciones p1' p2' ...' pn# si la !ro!osición La !ro!osición
3p1 p2 ... pn5
B)
q es una tautologGa.
∼ p p [ q ⟶ ∼ ( r ∧ s ∧ t ) ]
r r s q ↓ ∼ ¿ ) ∼ p ↓ ¿
r) &
r ↓ ∧ ( r ↓t ) ⟶q ¿∼¿
2. Fean
y r la% &r$&$%ici$ne% %iguiente%( &( e%tá ll$iend$Q B( el %$l e%tá 'rilland$Q r( 9ay nu'e% en el ciel$Q Iraducirem$% la% %iguiente% $raci$ne% a n$tación %im'ólica utilizand$ la% letra% a%ignada% y l$% c$necti$% lógic$%( p,
q
g) :%tá ll$iend$ y el F$l 'rilland$ 9) Fi e%tá ll$iend$< ent$nce% 9ay nu'e% en el ciel$ i) Fi n$ e%tá ll$iend$< ent$nce% el F$l n$ e%tá 'rilland$ y 9ay nu'e% en el ciel$ =) :l F$l e%tá 'rilland$ %i< y %ól$ %i< n$ e%tá ll$iend$ ?) Fi n$ 9ay nu'e% en el ciel$< ent$nce% el F$l e%tá 'rilland$ l) O e%tá ll$iend$ $ el %$l e%tá 'rilland$
3. Fean &< B y r del e=ercici$ anteri$r. Iraducir la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% %im'ólica% a $raci$ne% en e%&añ$l(
PRAC>ICA
1. :%cri'a la &ala'ra %i cuand$ la $rmula e%te 'ien $rmada y n$ en ca%$ c$ntrari$. Ademá% diga cóm$ %e llama< e%ta'leciend$ la =erarBu;a entre %u% $&erad$re% p⟶ q =) ?)
( p ∧ q ) ∧∼ ( r ∧ s )
l)
( p ∨ q ) ∨ ⟶ ( r ∧ ∼ s ) ∼¿
m) ∼[ p ⟶ ( ∼ q ∨ r ) ] n)
∼∼ [ ( p ∧ ∼ q ) ⟶ ∼ ( t ∧ s ) ]
$)
p↓ ∼ ( q ∼ r ) ∨∼ q
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
4.
Lectr!" #C!$! %! es&es! ''(i!. J!% se )es&ert* + '!%,* % -ei)o /Aj0 !j0 e' co'e-io Se 'e(!%t* )e '! c!! + se se%t* e% %! si''!. O+* '! oci%! )e % !to o e' si'!to )e % &o'ic$!. E%to%ces se estreeci*. Por c!s! )e' r$o o )e' ie)o. Est!!% !cie%)o t!%to ri)o. Re&e%ti%!e%te se 'e i'i%* '! c!r!. / ie% Se !$!% !cor)!)o )e !'-o. L!s c'!ses %o e&ie,!% o+0 si%o !8!%!9 a) >edacta una li%ta de la% &r$&$%ici$ne% %im&le% de la lectura le;da
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Matemática y Lógica
&( RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR B( RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR r(RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR %RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR t(RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR ') :n 'a%e a la% &r$&$%ici$ne% anteri$re% 9az una li%ta de &r$&$%ici$ne% c$m&ue%ta% RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR 5. Fim'$liza la% %iguiente% &r$&$%ici$ne%( a) :% inc$rrect$ Bue 1 e% un cuadrad$ &erect$< &ue%t$ Bue tiene ra;z cuadrada e*acta. ') J%a'el n$ irá al teatr$< %i y %$l$ %i %e c$m&ra un li'r$ $ %e c$m&ra un di%c$ c) Fi 9ace cal$r y el ciel$ e%tá clar$< ent$nce% am$% a nadar y &a%ear en '$te. d) La agu=a de la 'r=ula gira en i%ta de Bue la em'arcación a cam'iad$ de rum'$< y la em'arcación 9a cam'iad$ de rum'$ dad$ Bue 9ay t$rmenta en alta mar. e) Fi A'elard$ e%tá en :ur$&a< $ l e%tá en 5$l$m'ia< ent$nce% n$ $curre Bue uan e%tá en el :cuad$r. ) :l Per im&$rta arr$z< &ue%t$ Bue n$ 9ay &r$ducción &$rBue e*i%te rece%ión. g) :%t9er e%tudia matemática $ c$municación %e deduce Bue &a%ará el %eme%tre< aunBue ni e%tudia matemática ni c$municación< en c$n%ecuencia n$
l) Fi %e calienta un cuer&$ ent$nce% %e dilata y %i %e enr;a ent$nce% %e c$ntrae. m)La% e%trella% nacen y ien< &er$ tam'in mueren. n) Fi el cicl$trón '$m'ardea el át$m$< ent$nce% acelera la el$cidad de l$% &r$t$ne%. $) Fure la &ena< &ue% c$meti%te la cul&a &) Fin %u li're c$n%entimient$< %in la de'ida retri'ución< n$ %e &uede le &uede $'ligar a &re%tar tra'a=$. B) Iant$ 5arl$% c$m$ Tederic$ %$n ate$% &$rBue %$n materiali%ta%. r) AunBue e%t enerm$< n$ altare a cla%e%. 1. 5$n%truye la Ia'la de erdad &ara la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% =) & V & W B ) Y & ?) & W & V B ) Y & l) & V B ) Y & W B m) & W B ) W r Y & W B W r ) n) & ^ B ) ^ r Y & ^ B ^ r ) $) & W B V r ) Y & W B ) V & W r ) &) & ` B Y & W B ) B) & \ B \ r ) Y B \ & \ r ) r) & V B ) Y& WB %) & V B ) \ r Y & \ B \ r ) 2. Fean la% &r$&$%ici$ne% &< B< r cuy$% al$re% de erdad e% ,< T y T Sallar el al$r de erdad de la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% g)
( p ⋀ q )⟶ p
9)
(
i)
( p ∧ ∼ q ) ⟶ ( q ∨ r )
p ⋁ q ) ⋀ [( p ∨ ∼ r ) ∧ ( q ∨ r ) ]
=) &
⟶q
¿ ⟷(q ∨ ∼ r )
?) U& ∧ r ¿ ∨( p ⟶ q )¿ ∧ q
9) i) =) ?)
&a%ará el %eme%tre. $ e% ciert$ Bue %ea un 'uen e%tudiante y de%taBue en el ut'$l. $ e% el ca%$ Bue< 9ace r;$ y n$ %e c$ngele< %in em'arg$ n$ 9ace r;$. La Suelga c$ntinua &ue% n$ 9ay %$lución Daid n$ e% l$retan$ ni limeñ$
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
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3. De la% %iguiente% &r$&$%ici$ne%< diga cuale% %$n taut$l$g;a%< c$ntradicci$ne% $ c$ntingencia%
'
( p ⋀ q ) ⟷ ( p ∨ ∼ q ) & ⟶ q ¿ ⟶ r
( p ⟶ q ) ⟷ ( p ∨ q ) % ∼¿
Matemática y Lógica
o
∼
( p ⟷ q ) ⟷ ( p ⟷ q )
". Di%eñe l$% circuit$% de la% %iguiente% &r$&$%ici$ne% c$m&ue%ta%(
& [ ( p ∧ q ) ∧ q ] ⟶ p F [( p ⟶ q ) ∧ ( q ⟶ r ) ] ⟶ ( p ⟶ r )
∨∼ p ¿ ¿
4. De
la
de
la
%iguiente
&r$&$%ición ( p → ∼ q ) ∨ ( ∼ r ⟶ s ) ) ∼ p ∧ ∼ q ¿ ∨ ∼ q
e
& ( p ∨ q ) ⟶ [ ( ∼ p ∨ q ) ⟶ ( p ∧ q ) ] %) Iraduzca a e%Buema% m$leculare% l$% %iguiente% circuit$%(
∼ r ∨∼ q ¿ ⟷ ( ∼ q ∨ r ) ∧ s
& ⟶ q ¿ ⟶ ( p ∨ q ) ∧∼ q . Fi el e%Buema U& ∨∼ q ¿ ⟶ ( r ⟶ q ) ,
<
e% al%a< 9allar el al$r de erdad de l$% %iguiente% e%Buema% m$leculare%< %i %e da a l &r$&$%ición &( 2 e% dii%$r de
) ( p ∨ q ) ∧ ( r ∨∼ q ) e & ⟶∼ r ¿ ∨ (∼ q ∧ p )
( p ∧ q ) ∨ [ q ∧ ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ]
% ( p ⟶ q )∧ (r ⟶ s ) ∼ ( p ∨ q ) ∧ ( ∼ p ∨ ∼ q ) o ∼¿
¿
Tal%edad
∧∼ q ∧ ∼ r ¿
( p ∧ q ∧ r ) ∨ ¿
p→ ∼ ( q ∧∼ p ) ↓ ¿ ∼
¿
∼ p
'
t [( ∼ p → ∼ q ) ∧ ( ∼ q → ∼ r ) ]→ ( ∼ p → ∼ r )
∼
( p ∧ q ) ∨( r ∧ s )
∼
( p ∧ q ) ⟶∼ ¿ B ∼¿
p ∧ ( q ∨ r )
j
r [ ( p ⟶ q ) ∧ ∼ q ] ⟶∼ p s
p ∨ ( q ∧ r )
i
&
B
r
%
-
[ p ∨ ( q ∧ ∼ r ) ] ⟷ ( p ∧ ∼ r )
&
B
!. Determinar l$% e%Buema% má% %im&le% de la% %iguiente% &r$&$%ici$ne%(
∼[ ∼ ( p ∧ q ) ⟶ ∼ q ] ∨ p
i
p ∨ (q ∧ r )∨ (q ∧ ∼ r)
t
r
i
&
B
\B
p ∨ [ ( p ∨ p ) ∧ ( q ∨∼ p ) ∧ ( r ∨ p ) ∧ ( r ∨∼ p ) ] p↔ q ¿ ↔ [ ( p ⟶ q ) ∧ ( p ⟶ q ) ]
& \r
¿ ⟷ ∼( p ∧ q )
r \%
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%
t
'
n5
& B
j [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧∼ q ) ] ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ) & ∧ q ∧ r ¿ ∨ ( p ∧ ∼ q ∧ r ) ∨ ( ∼ p ∧∼ q ∧ r )
r
\&
Matemática y Lógica
j D
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
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