BILANGAN RASIONAL DAN BILANGAN IRASIONAL Disusun untuk memenuhi tugas Matematika
(kasi logo universitasmu)
Disusun oleh :
Dwi Noviandi raset!o ("asi NIM)
#NDIDI"AN G$R$ S#"OLA% DASAR $NI&#RSI'A $NI&#RSI 'AS S '#RB$"A '#R B$"A SAMANG *+ , *-
"A'A #NGAN'AR u.i s!ukur kami /an.atkan kehadirat 'uhan 0ang Maha #sa !ang telah melimahkan rahmat dan anugerah1N!a sehingga kami da/at men!elesaikan /en!usnan makalah dengan .udul 2 Bilangan Rasional dan Irasional 2 3 en!usunan makalah ini 4ertu.uan untuk memenuhi tugas Matematika dan mem4erikan in5ormasi ke/ada /em4a6a tentang 4ilangan Rasional dan Irasional3 "ami men!adari 4ahwa dalam /en!usunan makalah ini ada /ihak !ang terli4at dalam mem4erikan 4antuan dan dorongan selama /en!usunan makalah ini3 $ntuk itu kami mengu6a/kan terimakasih ke/ada teman kami Maulid!a Ri7k! $tami Amd3 Rad dan semua /ihak !ang telah mem4antu dalam /en!usunan makalah ini3 Makalah ini dihara/kan da/at menam4ah /engetahuan ke/ada /em4a6a tentang Bilangan Rasional dan Irasional dan /ada akhirn!a da/at meman5aatkan ilmu !ang di/eroleh se4agaimana mesti!a3 "ami men!adari 4ahwa dalam /en!usunan makalah ini terda/at kesalahan8 untuk itu setia/ saran8 kritik8 dan komentar sangat kami hara/kan untuk /er4aikan makalah ini3
amekasan8 9 Se/tem4er *+
en!usun
DAFTAR ISI
%ALAMAN :$D$L33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 "A'A #NGAN'AR33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 DA;'AR ISI3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 BAB * #NDA%$L$AN A3 B3 <3 D3
Latar Belakang333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 Rumusan Masalah333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 'u.uan enulisan33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 Man5aat enulisan333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
BAB II #MBA%ASAN A3 engertian Bilangan Rasional3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 B3 engerian Bilangan Irasional3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 BAB III #N$'$ A3 "esim/ulan3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 B3 Saran33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
DA;'AR $S'A"A
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah Mata /ela.aran matematika adalah mata /ela.aran !ang isi muatann!a
4erkaitan dengan hitung menghitung3 "eadaan ini menuntut setia/ orang 4aik itu anak1anak mau/u dewasa hingga 4erusia lan.ut sekali/un harus teliti dalam 4erhitung3 'u.uann!a adalah agar tidak ter.adi kesalahan dalam /roses menghitung !ang 4eraki4at 5atal3 Orang !ang mahir matematika 4ukan karena ke4etulan3 $ntuk menguasai materi matematika dis!aratkan mengetahui dan menguasai ka.ian dasarn!a3 Selan.utn!a seringn!a 4erlatih soal1soal !ang 4erkaitan dengan a/a !ang sedang di /ela.arin!a3 Sehingga 4isa menguasai se6ara 4enar teori8 konse/ dan /enera/ann!a untuk mem/ela.ari salah satu disi/lin ilmu ini3 Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan terse4ut8 dalam masalah ini di 6antumkan uraian singkat tentang 4ilangan rasional dan irasional3 B. Ruusan Masalah *3 A/a /engertian 4ilangan rasional = 3 A/a /engertian 4ilangan irasional = !. Tu"uan Penulisan *3 $ntuk memahami /engertian 4ilangan rasional 3 $ntuk memahami /engertian 4ilangan irasional D. Man#aat Penulisan *3 $ntuk mem/erdalam egetahuan tentang 4ilangan rasional dan irasional 3 Agar /em4a6a da/at mem4edakan antara 4ilangan rasional dan irasional
BAB II PEMBAHASAN
A. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah 4ilangan !ang da/at din!atakan dengan /er4andingan (rasio)
dalam 4entuk
a b
8 !ang mana adalah 4ilangan 4ulat 8 4 adalah 4ilangan 4ulat dan 4 > 3
Bilangan rasional dilam4angkan dengan ?3 :adi 4ilangan rasional ? terdiri atas @ 4ulat /ositi5 B 8 4ulat negati5 B 18 /e6ahan /ositi58 /e6ahan negative dan nol3 Bilangan rasional terdiri atas @ *3 Bilangan 4ulat8 misaln!a@ 18 1C8 18 1*8 8 *8 8 3 Bilangan /e6ahan8 misaln!a −
*
8−
* * * 8 8 B B
Bilangan rasional da/at din!atakan dalam 4entuk desimal ter4atas8 atau dalam 4entuk desimal 4erulang ter4atas3
3
C3
C B 9 (
*
3
(
E 8-9
93
E 89
+3
* C
E 8CCCCC
F **
CC
E 8---
E 8***
8CCC
H E C
C(
H E
:adi 8CCC E
II
C( II
43 8++++ atau 8+ Missal @ H E 8++++ *H E +8++++33 H E 8++++33 H E HE
(B I
F
E
C
:adi 8++++ E
F C
B. Bilangan Irasional
Bahwa 4ilangan irrasional adalah 4ilangan !ang tidak da/at din!atakan se4agai 4entuk
a b
dengan a dan 4 4ilangan 4ulat8 4
≠
dengan kata lain 4ilangan irasonal adalah
4ilangan !ang tidak rasional3 ada umumn!a 4ilangan 4entuk akar meru/akan 4ilangan irasional8 akan teta/i /erlu diketahui 4ahwa tidak semua 4ilangan !ang menggunakan tanda akar /asti 4entuk akar3 Bentuk akar adalah akar suatu 4ilangan !ang hasiln!a 4ukan 4ilangan rasional3
8
C
8
9
8 π8 log 8 log C3
erhatikan 6ontoh di 4awah ini
9
E
4entuk akar
)
I
E C (rasional) .adi 4ukan 4entuk akar
C)
()
E 4entuk akar
)
*))
E * ( rasional) .adi 4ukan 4entuk akar
9) C B
+)
-
E 4entuk akar
F* E C (rasional) .adi 4ukan 4entuk akar3
Men$e%erhanakan Bentuk Akar
Bilangan 4entuk akar dise4ut sederhana .ika @ *3 Indeks ( /angkat akar) tidak da/at di/erke6il 3 'idak ada 5a6tor dari radikan (4ilangan di 4awah tanda akar) !ang 4er/angkat sama 4esar dengan atau le4ih dari indeks3 :ika salah satu atau kedua , duan!a tak memenuhi 8 maka 4ilangan 4entuk akar itu da/at disederhanakan3 Da/at .uga dengan 6ara lain !aitu dengan mem5aktorkan 4ilangan di 4awah tanda akar men.adi dua 4ilangan 4ulat8 dengan salah satu 4ilangan 4eru/a 4ilangan kuadrat murni3
43
C(
63
*F
d3
(B
F)
e3
F)
:awa4 @ a3 43
C(
E
*F E
*+3 I3
*+ 3
=
I3
=
63
(B
E
B3+
=(
+
d3
F)
E
*+39
=
*+3
e3
F)
E
BI3C
=-
=
9
=
B
C
=B
9
C
&'erasi Bilangan Pa%a Bentuk Akar
*3 en.umlahan dan engurangan Bentuk Akar Bentuk akar da/at di.umlahkan atau dikurangkan .ika 4entuk akarn!a se.enis3
C
+
C
43 C + + + + B + − 9 + 9 + C −B 9 +9 C 63
d3
C
+
F
e3
+
F
9
+ −
IF
−
*9 +
+C −
:awa4 @ a3
C
+
C
(* + ) C
=
43 C + + + + B + − 9 + 63
9
d3
C
+
=
(C +*+ B − 9) + (* − B) 9
C
−
B 9
+
9 C
=
F
+
9
−
IF
=
+
*+3
=
e3
F
+
*9 +
−
+C
B
−
F
+
+
+
B 3
=
( + 9) 9
+
9
9
+
= −-
93
+
9
a x b
axb
=
a c xb d
•
a x a
•
=
axbx cxd
=
a
9 x
(
C
-
×B
(
:awa4 @ a3 b.
9 x -
(
C
9 x-
=
×B
(
=
C9
E ( H ) H
EFH
C
×(
C ×
-
-
9
+
- C
BI3
−
−9
+9
3 erkalian Bentuk Akar Dengan Bentuk Akar •
−
= −C
9
=
B
+
C -
−
B 9
F
EF
+
Merasionalkan Pen$e(ut
Dengan menggunakan 4entuk akar !ang hasil kalin!a rasional 0aitu
@ *3
a
3
a
×
a
=
a
b
+
a
b
−
=
a
−
b
/e6ahan !ang /en!e4utn!a 4entuk akar da/at dirasionalkan dengan 6ara se4agai 4erikut@ *3
3
C3
a
a
=
b
b
×
b c
a
=
b
+
a
b
+
b
−
×
c a
b
b
b
c a
a
=
a
b
+
a
+
a ×
b
a
b
−
c =
c =
a
(
−
b
−
b
−
(
b
a
c =
a
−
b
b
−
(
a
)
−
b
)
9
B
43
C
+
−
63
C
:awa4 a3
43
9 C
9
=
C
×
B +
−
C
C C
=
9
B
E
E
E
C
C
B
+
−
C
(
+
+
+
B + −
+
(
×
C
− *(
+
F C −
+
+
+
C
+
+
C
C− C+
d3
9−
C C
E C−
63
E
C+
E
B −
+
+
F − −
C− C+ I
−
+
×
C
+
C− +
(
−
+
I
−
F
+
(
C
+
F
E *- 1 * 9−
d3
E
E
E
9−
*
9
−
×
9
−*
!. BILAN)AN BERPAN)*AT RASI&NAL
Se4elum ini telah dikenalkan /er/angkatan 4ilangan real dengan 4ilangan 4ulat3 ertan!aan selan.utn!a adalah 2a/akah di/er4olehkan 4ilangan real 4er/angkat dengan rasional =J3 ada su44a4 ini akan di4ahas 4ilangan real di/angkatkan dengan 4ilangan rasional3 DEFINISI
Akar /angkat tiga dari suatu 4ilangan a adalah 4ilangan b !ang a/a4ila di/angkatkan C men.adi 4ilangan a, ditulis dengan @ C
a
=
b .ika b
C
=
a
$ntuk le4ih .elasn!a8 kita lihat 6ontoh numerik 4erikut ini3 C E F3
*)
C
F
)
C
*9 = 9 karena 9C E *93
C)
C
)
C
*
9)
C
− * = −* karena
−
=
( karena
(-
= −C
karena (1C)C E 1-3
= * karena
*C E *3 (1*)C E 1*3
DEFINISI
Akar /angkat n dari suatu 4ilangan a adalah 4ilangan b !ang a/a4ila di/angkatkan n men.adi 4ilangan a, ditulis dengan @ n
a
= b .ika
bn
=
a
:ika n gena/8 maka nilai a harus non negati53 Dalam keadaan khusus@ *3 :ika n gena/ maka
n
EK
an
a8 jika
− a8 jika
3 :ika n gan.il maka n a n
=
a 8
a≥
−
a<
untuk sem4arang nilai a.
DEFINISI *
$ntuk n 4ilangan asli8 arti dari a n adalah
n
a
*
a
n
=
n
a
*
a n akan mem/un!ai nilai a/a4ila@ •
$ntuk n gena/8 nilai a harus /ositi53
•
$ntuk n gan.il3
angkat 4ilangan rasional se6ara umum dide5inisikan 4erikut ini3 m
$ntuk 4ilangan 4ulat non negati5 m dan 4ilangan asli n, arti dari a n adalah m
a
n
= a
*
n
m
= (
n
) atau m
a
m
a
n
( )
*
m
=
a
n n
=
m
a
3
BAB III PENUTUP
A3 "esim/ulan Bilangan rasional da/at 4er4entuk rasional 4ulat atau rasional /e6ahan3 O/eras1o/erasi
/ada
4ilangan
rasional
adalah
/en.umlahan8
/erkalian8
/engurangan8 dan /em4agian3 Bilangan rasional da/at din!atakan se4agai desimal 4erakhir atau desimal 4erulang3 Bilangan rasional da/at din!atakan
se4agai
4ilangan desimal dengan mengu4ah /en!e4ut men.adi *8 *8 *8 333333333 atau dengan /em4agian 4iasa3 Bilangan irasional adalah 4ilangan !ang tidak irasional3 Bilangan irasional tidak da/at din!atakan se4agai /er4andingan
a b
!ang mana a8 4 I dan 4 > 3
Bentuk14entuk 4ilangan irasional antara lain 4entuk akar8 4entuk logaritma8 dan 4entuk nilai 5ungsi trigonometri3 Nilai 4ilangan irasional tertentu daat di6ari /endekatann!a dengan 6ara16ara khusus3
B3 Saran
Se4aikn!a /em4a6a le4ih memahami terle4ih dahulu konse/ dasar tentang 4ilangan Rasional dan Irasional3
DAFTAR PUSTA*A
Sadi.ah
'angerang Selatan @ $niversitas 'er4uka8 *3
