MAKALAH GEOMETRI ANALITIK DOSEN PENGAMPU: Dr.KMS.MUHAMMAD AMIN FAUZI,M.Pd
MAKALAH ELIPS
OLEH :
Lulu Lumbantb!n" Mu#ammad $a#%u Su&! A%u Tr!'(a D!nda $!nda F)br! *ant! *ant! P)nd!d!(an R)"ul)r D!(+ K)lm-( III T!"a/
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATAPENGANTAR Puji syukur saya a!ja"ka! k#$a%ira" Tu$a! &a!' Ma$a Esa a"as (#rka" %a! ra$)a"* Nya s#$i!''a ka)i %aa" )#!y#+#saika! )aka+a$ )#!'#!ai E+is %#!'a! (aik, S#)-'a )aka+a$ ya!' ka)i (ua" i!i %aa" )#)(#ri )a).aa" (a'i ki"a s#)ua %a! (#r'u!a (a'i )asyaraka" a%a u)u)!ya/ k$usus!ya a%a )a$asisa s#!%iri, +#$ kar#!a i"u )ari+a$ ki"a sa)a*sa)a )#+i$a" k# %#a! u!"uk )asa ya!' aka! %a"a!' %a! )#+i$a" k# (#+aka!' u!"uk )#!ja%ika! )-"iasi a'ar +#(i$ )#)a$a)i )a"#ri Irisa! K#ru3u" yai"u E+is "#rk$usus s#(a'ai 3a+-! 'uru )a"#)a"ika, Ka)i u3aka! "#ri)a kasi$ k#a%a %-s#! #)(i)(i!' ya!' "#+a$ )#)(#rika! %i%ika!/ #)(#+ajara! %a! (i)(i!'a! u!"uk ka)i %a+a) r-s#s (#+ajar )#!'ajar %a! s#)-'a i+)u ya!' %isa)aika!!ya %aa" (#r)a).aa" (a'i saya s#r"a %aa" %i#r'u!aka! %ik$a+ayak ra)ai,
M#%a!/ 24 s#"#)(#r 2017
#!u+is
0A0 I PENDAHULUAN A. Latar 0)la(an"
Da+a) k#$i%ua! s#$ari*$ari ki"a s#ri!' %i$a%aka! k#a%a (a!yak )asa+a$ ya!' (#r$u(u!'a! %#!'a! '#-)#"ri, &a!' (#r$u(u!'a! %#!'a! "i"ik/ 'aris %a! (i%a!'*(i%a!', Sa!'a" %i#r+uka! #)a$a)a! "#r$a%a $a+ $a+ ya!' (#r$u(u!'a! %#!'a! '#-)#"ri a'ar %#!'a! i"u ki"a %aa" )#!'$a%ai (#r(a'ai #rs-a+a! ya!' ki"a $a%ai, Da+a) )aka+a$ i!i ka)i aka! )#)(a$as (#(#raa )a"#ri ya!' (#r$u(u!'a! %#!'a! '#-)#"ri, Ma"#ri ya!' ka)i (a$as a%a+a$ #+is, 0. P)rumu'an ma'ala#
1,
Aa ya!' %i)aksu% %#!'a! #+is 5
2,
6a'ai)a!a #rsa)aa! #+is ya!' (#rusa" %i 0/08 5
9,
6a'ai)a!a #rsa)aa! #+is ya!' (#rusa" %i A/:8 5
;,
6a'ai)a!a #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is %#!'a! (#r'ra%i#! ) 5
<,
6a'ai)a!a #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is )#+#+ui "i"ik 5
. Tu1uan
A%au! "ujua! #!yusu! )aka+a$ i!i a%a+a$= 1, M#!#!"uka! #rsa)aa! #+is5 2, M#!#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is 5
0A0 II PEM0AHASAN A. P)n")rt!an El!-'
E+is a%a+a$ "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik ya!' ju)+a$ jarak!ya "#r$a%a %ua "i"ik "#r"#!"u )#)u!yai !i+ai ya!' "#"a, S#3ara '#-)#"ri/ #+is %i%#.i!isika! s#(a'ai "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik %a+a) (i%a!' ya!' ju)+a$ jarak %ari %ua "i"ik!ya k-!s"a!, Sua"u #+is u!ya %ua su)(u si)#"ri/ yai"u su)(u su)(u u"a)a su)(u a!ja!'8 %a! su)(u )i!-r su)(u #!%#k8, Ti"ik -"-!' su)(u*su)(u "#rs#(u" %is#(u" "i"ik usa" #+is,
Gambar )ll!-'
6a'ia!*(a'ia! #+is=
%ua su)(u si)#"ri/ yai"u 'aris ya!' )#+a+ui "i"ik*"i"ik .-kus F 1> F2 %a! 'aris ya!' )#+a+ui "i"ik "#!'a$ F1>F2,
Ti"ik .-kus #+is yai"u F 1>F2,
Ti"ik usa" #+is a%a+a$ %i "i"ik ,
Su)(u u"a)a a"au su)(u "ra!s#rsa+ a%a+a$ su)(u si)#"ri ya!' )#+a+ui "i"ik*"i"ik .-3us F1>F2,
Pu!3ak #+is a%a+a$ A > 6,
Su)(u a!ja!' a"au su)(u )ay-r a%a+a$ ruas 'aris A6
Su)(u )i!-r a%a+a$ ruas 'aris D?
Hubun"an antara a, b, dan &
Misa+ka!
F1 @ F2 @ 3
61F1 @ 61F2 @ 62F1 @ 62F2 @ a 61 @ 62 @ ( D#!'a! )#!#raka! "#-r#)a Py"$a'-ras a%a s#'i"i'a 62F2 = b2 3 a2 4 &2
nt# 'al :
T#!"uka!+a$ "i"ik usa"/ jari*jari #!%#k %a! a!ja!' %ari #rsa)aa! #+is ;2 B Cy2 B1 * 14y * 11 @ 0 P#!y#+#saia! = ;2BCy2B1*14y*11@0 ;2B1BCy2*14y*11@0 ;2B;8BCy2*2y8*11@0 ;2B;B;8BCy2*2yB18@11B1BC ;B282BCy*182@9
Pusa" #+is *2/18 Jari*jari a!ja!' a2 @ C/ )aka a @ C @ 9 Jari*jari #!%#k (2 @ ;/ )aka ( @ ; @ 2
0. P)r'amaan El!-' %an" 0)r-u'at d! O 5,5/
P#rsa)aa! #+is %#!'a! "i"ik usa" 0/08/ %#!'a! su)(u )ay-r #+is (ri)i" %#!'a! su)(u , jarak "i"ik usa" #+is %#!'a! .-3us a%a+a$ 3 s#$i!''a F1*3/08/ F23/08 u!3ak #+is %i 6*a/08 %a! 6a/08,
Misa+ka! P/ y8 s#)(ara!' "i"ik a%a #+is %a! #!ju)+a$a! jarak "#r$a%a "i"ik .-3us a%a+a$ 2a, s#$i!''a %F 1/P8 B %F2/P8 @ 2a B 382By 082 B 38 2By 082 @ 2a B 382By82 @ 2a * 38 2By82
Kua%ra"ka!8
B 382By82 @ ;a2 * ;a 382By2 B 38 2 B y2 2 B 23 B 3 2 By2 @ ;a2 ;a 382By2 B 2 @ 23 B 3 2 B y2 2 2 B 23 B 23 B 3 2 32 B y2 y2 *;a2 @ *;a 38 2By2 ;3 ;a2 @ * ;a 38 2By2 ;a 382By2 @ ;a2 ;3 a 382By2 @ a2 3Kua%ra"ka!8 a2*382By28 @ a2 382 a22 23 B 3 2 B y28 @ a; 2a23 B 322 a2 3282 B a2 B y2 @ a2 328a2 2 B a2
Di(a'i a2a2 3288
y2 @ 1 a2*328
Kar#!a a2*32 @ (2 %a! (0 )aka/ a"au
(22 B a2y2 @ a2 (2
P#rsa)aa! %ir#k"ris @ Ni+ai #ks#!"risi"as # @ A%au! #rsa)aa! #+is (#rusa" %i 0/08/ .-kus F 10/*38 %a! F20/38/ su)(u )ay-r (#ri)i" %#!'a! su)(u y,
P#rsa)aa!!ya a%a+a$= 2 B y2@ 1/ a ( a"au a 22 B (2y2 @ a2 (2
(2
a2
%#!'a! (2 @ a2*32 P#rsa)aa! %ir#k"ris y @ P#rsa)aa! #ks#!"risi"as # @
nt# 'al:
S#(ua$ #+is )#)u!yai #rsa)aa! @ 1, T#!"uka!+a$ a, K--r%i!a" usa"/ .-3us/ %a! u!3ak %ari #+is (, Pa!ja!' su)(u )ay-r %a! su)(u )i!-r 3, Ga)(arka! #+is "#rs#(u" 6a7ab:
a, Gu!aka! @ 1 @1
A @ ( @ ; %a! 3 @ @ @ @9 K--r%i!a" "i"ik usa" %i 0/08 K--r%i!a" .-3us %i F 1*9/08 %a! F29/08 K--r%i!a" "i"ik u!3ak %i A*08 %a! 608 Ti"ik -"-!' %#!'a! su)(u y %i ?0/*;8 %a! D 0/;8 (, Pa!ja!' su)(u )ay-r 2a @ 2 , < @ 10 Pa!ja!' su)(u )i!-r 2( @ 2 , ; @ 4 &. Sumbu ma%r dan m!nr dar! )l!-'
U!"uk sua"u #+is/ jarak "#rjau$ a!"ara %ua "i"ik a%a #+is %is#(u" su)(u )ay-r/ %#!'a! "i"ik*"i"ik uju!' su)(u )ay-r %is#(u" "i"ik*"i"ik u!3ak #+is, Ruas 'aris ya!' "#'ak +urus %a! )#)(a'i su)(u )ay-r )#!ja%i 2 (a'ia! ya!' sa)a %is#(u" su)(u )i!-r, Jika :/ su)(u )ay-r!ya $-ri-!"a+ s#jajar %#!'a! su)(u 8 %#!'a! a!ja!' 2 %a! su)(u )i!-r!ya #r"ika+ %#!'a! a!ja!' 2:, Jika :/ su)(u )ay-r!ya #r"ika+ s#jajar %#!'a! su)(u y8 %#!'a! a!ja!' 2: %a! su)(u )i!-r!ya $-ri-!"a+ %#!'a! a!ja!' 2,
D. P)r'amaan El-!' 0)r-u'at d! A-,8/
E+is (#rusa" %i A/:8/ su)(u u"a)a s#jajar %#!'a! su)(u / a!ja!' su)(u )ay-r 2a/ %a! a!ja!' su)(u )i!-r 2(, D#!'a! )#!''u!aka! %#.i!isi #+is/ %aa" %i"u!jukka! (a$a #rsa)aa! #+is i"u a%a+a$ = B @1 Da! $u(u!'a! a 2 @ (2 B 32
@* '2 @ B
62 / :B(8 P/y8 A1 *a/ :8 61 / :*(8 A2 Ba/ :8 F1 *3/ :8 F2 B3/ k8 A/:8 Su)(u u"a)a y @:
6#r%asarka! #+is %i a"as/ %aa" %i"#!"uka! (#(#raa $a+ (#riku" = a, Su)(u u"a)a a%a+a$ 'aris y @ : %a! su)(u s#kaa! a%a+a$ 'aris @ , (, K--r%i!a" u!3ak %i A 1 *a/:8 %a! A2 Ba/:8/ k--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r a%a+a$ 6 1 / :*(8 %a! 6 2 / :B(8, 3, K--r%i!a" .-3us %i F 1 *3/:8 %a! F2 B3/:8, %, Ni+ai Eks#!"risi"as # @ #, P#rsa)aa! %ir#k"riks a%a+a$ @ * %a! '2 @ B ., Pa!ja!' +a"us r#3"u) @ E+is ya!' (#rusa" %i A/:8/ su)(u u"a)a s#jajar %#!'a! su)(u y/ a!ja!' su)(u )ay-r @ 2a/ %a! a!ja!' su)(u )i!-r 2(,D#!'a! )#!''u!aka! %#.i!isi #+is/ %aa" %i"u!jukka! (a$a #rsa)aa! #+is i"u a%a+a$ = B @1
Su)(u u"a)a @
Da! $u(u!'a! a 2 @ (2 B 32
'2 y @ : B P/y8 A/:8 A2 / :Ba8 F2 / :B38 62 / (B:8 A1 :/ *a8 61 *(/:8 F1 :/ *a8 y@:*
6#r%asarka! 'a)(ar %i a"as/ %aa" %i"#!"uka! (#(#raa $a+ (#riku" =
a, Su)(u u"a)a a%a+a$ 'aris @ %a! su)(u s#kaa! a%a+a$ 'aris y @ :, (, K--r%i!a" u!3ak %i A 1 :/ *a8 %a! A 2 /:Ba8/ k--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r a%a+a$ 6 1 *(/:8 %a! 62 B(/:8, 3, K--r%i!a" .-3us %i F 1 /:*38 %a! F2 /:B38, %, Ni+ai Eks#!"risi"as # @ #, P#rsa)aa! %ir#k"riks a%a+a$ y @ : * %a! '2 y @ : B ., Pa!ja!' +a"us r#3"u) @ 0)ntu( Umum P)r'amaan El!-'
Jika (#!"uk (aku #rsa)aa! #+is i"u %ija(arka!/ )aka ki"a %aa" )#)#r-+#$ (#!"uk u)u) #rsa)aa! #+is/ s#(a'ai 3-!"-$ = B @1
(2 *82 B a2y*:82 @ a2 (2 (2 2*2B28 B a2y2*2:yB:28 @ a2 (2 (22*2(2 B (2 2 B a2y2 2a2:y B a2:2 a2 (2 @ 0 (22 Ba2y2 a(2 2a2:y B (2 2 B a2:2 a2 (28 @ 0 D#!'a! )#!#"aka! (2 @ a / a2@6/ *2(2 @3/ *2a2:@D/ %a! (2 2Ba2:2*a2 (2 @ E/ )aka #rsa)aa!!ya %aa" %i"u+is = A2 B6y2 B ? B Dy B E @ 0
D#!'a! A/ 6/ D/ D/ %a! E )#ruaka! (i+a!'a!*(i+a!'a! r#a+ A 6 / A 6/ A %a! 6 (#r"a!%a sa)a 8, P#rsa)aa! i!i %is#(u" (#!"uk u)u) #rsa)aa! #+is, nt# :
Dik#"a$ui #+is %#!'a! #rsa)aa! B @ 1/ "#!"uka! = a, K--r%i!a" "i"ik usa"/ k--r%i!a" "i"ik u!3ak/ k--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r %a! k--r%i!a" .-3us,
(, P#rsa)aa! su)(u u"a)a/ #rsa)aa! su)(u s#kaa!/ a!ja!' su)(u )ay-r %a! a!ja!' su)(u )i!-r, 3, Ni+ai #ks#!"risi"as %a! #rsa)aa! %ir#ks"riks, %, Pa!ja!' +a"us r#3"u) #, Ga)(ar 6a7ab:
B @ 1/ )#ruaka! #+is $-ri-!"a+ %#!'a! a 2 @ @ a @ / %a! (2 @ ; @ ( @ 2/ %ari $u(u!'a! 32@a2*(2/ %i%aa" 32@ * ;@ @ 3 @ a, K--r%i!a" "i"ik usa" %i M;/98 K--r%i!a" "i"ik u!3ak A 1 *a/:8 @ ;* / 98 @ 1 / 98 A2 Ba/:8 @ ;B / 98 @ / 98
K--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r 6 1 / :*(8 @ ;/ 9*28 @ ;/18 62 / :B(8 @ ;/9B28 @ ;/<8 K--r%i!a" .-3us F 1 *3/:8 @ ;* /98 @ 2 / 98 F2 B3/:8 @ ;B /98 @ < / 98 (, P#rsa)aa! su)(u u"a)a a%a+a$ y@9 %a! #rsa)aa! su)(u s#kaa! a%a+a$ Pa!ja!' su)(u )ay-r @ 2a @ 2 8 @ < %a! a!ja!' su)(u )i!-r @ 2(@ 228 @ ; (, Ni+ai #ks#!"risi"as # @ @ @ @ 0/ 3, P#rsa)aa! %ir#k"riks @ * @ ;* @ * '2 @ B @ ;B @ 4 %, Pa!ja!' +a"us r#3"u) @ @ @
@;
E.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS
Garis si!''u!' #+is a%a+a$ sua"u 'aris ya!' )#)-"-!' #+is "#a" a%a sa"u "i"ik, E+is )#)u!ya "i'a )a3a) 'aris si!''u!' yai"u #rsa)a! 'aris si!''u!' #+is )#+a+ui "i"ik x1/ y18 %i%a+a) kura #+is/ P#rsa)aa! Garis Si!''u!' E+is yai"u 'aris si!''u!' #+is ya!' %ik#"a$ui 'ra%i#!!ya m8/ P#rsa)aa! Garis Si!''u!' E+is yai"u 'aris si!''u!' #+is ya!' )#+a+ui "i"ik x1/ y18 ya!' "#r+#"ak %i +uar kura #+is, &a!' aka! %i(a$as a%a k#s#)a"a! ka+i i!i yai"u #rsa)aa 'aris si!''u!' #+is ya!' %ik#"a$ui 'ra%i#!!ya, P#rsa)aa! 'aris si!''u!' ya!' %ik#"a$ui 'ra%i#!!ya %i(a'i a"as %ua (a'ia! yai"u=
Gra%i#! %ik#"a$ui %#!'a! usa" 0/08
Gra%i#! %ik#"a$ui %#!'a! usa" P/8
a. Grad!)n d!()ta#u! d)n"an -u'at 5,5/
Misa+ #rsa)aa! 'aris si!''u!' y@)Bk s#$i!''a a%a sa"u "i"ik #+is )#)#!u$i #rsa)aa! 'aris si!''u!' %i a"as, Aki(a"!ya ruas %ika+ika! a2 (2 aka! %i%aa", (22Ba2)Bk82@ a2 (2
x a
2
a
2
+
2
y
2
b
=1
ya!'
2
2 2
x
+
( mx + k ) b
2
=1 , Jika k#%ua
(22B a2)2 2B2a2)kBa2k 2* a2 (2@0 (2B a2)282B2a2)kBa2k 2* (28@0 Garis ya!' aka! )#!yi!''u!' #+is/ jika "i"ik*"i"ik -"-!' (#ri)i" a"au )#)-"-!' %isa"u "i"ik, Ha+ i!i "#rja%i aa(i+a #rsa)aa! kua%ra" %ia"as )#)u!yai %ua akar ya!' sa)a a"au aa(i+a %isri)i!a!!ya sa)a %#!'a! !-+, D2@(2*;a3@0 2a2)k82B;(2B a2)28 a2k 2* (28@0 ;a; )2 k 2*; (2 a2 k 2B; (; a2*;a;)2k 2B; a; )2 (2@0 6a'ika! #rsa)aa! %ia"as %#!'a! *;a 2 %a! %i#r-+#$ aka! %i%aa" K@ √ b
2
2
+a
m
2
?-!"-$= 1,
T#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is
ya!' (#r'ra%i#! 1
6a7ab :
) @ 1/ a2 @ / %a! ( 2 @ 9 P#rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya (isa %i"u+is s#(a'ai (#riku"
)aka
Ja%i/ 'aris si!''u!'!ya a%a+a$ y @ B 9 %a! y @ 9 2, T#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is ya!' "#'ak +urus %#!'a! 'aris y @ 2 B < Garis y @ 2 B < )#)i+iki 'ra%i#! ) 1 @ 2
Kar#!a 'aris i!i "#'ak +urus %#!'a! 'aris si!''u!' )aka (#r+aku )1,)2 @ 1 2)2 @ 1 )2 @ O S#+a!ju"!ya 'ra%i#! ya!' ki"a akai a%a+a$ ) @ ) 2 @ O %ari #+is %i#r-+#$ (2 @ C/ %a! a 2 @ 14 Maka #rsa)aa! 'aris!ya a%a+a$ aka #rsa)aa! 'aris!ya a%a+a$
Ja%i #rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya a%a+a$ B 2y B C @ 0 %a! B 2y C @ 0 b.
Grad!)n d!()ta#u! d)n"an -u'at 9 -,8/
D#!'a! 3ara ya!' s#rua %#!'! ya!' %ia"as %aa" %i"#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is ya!' (#rusa" %i 0/08 )isa+ /:8
y*@)*:8 √ b a"au
2
+
2
a m
2
y*@)*:8 √ a
2
2
m
+
2
b
3-!"-$= 1, T#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is 'ra%i#! 1 6a7ab :
) @ 1 / a 2 @ ;0/ %a! ( 2 @ 10 Kar#!a usa" #+is 1/ 98 )aka #rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya
Jika ki"a i+i$ ya!' -si"i. )aka y 14 @ B 1 B 20 B y 9C @ 0 y B 9C @ 0 Jika ki"a i+i$ ya!' !#'a"i. )aka y 14 @ B 1 20 B y B 1 @ 0 y 1 @ 0
%#!'a!
Ja%i/ #rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya a%a+a$ y B 9C @ 0 %a! y 1 @ 0
0A0 III PENUTUP A.
KESIMPULAN
E+is a%a+a$ "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik ya!' ju)+a$ jarak!ya "#r$a%a %ua "i"ik "#r"#!"u )#)u!yai !i+ai ya!' "#"a, S#3ara '#-)#"ri/ #+is %i%#.i!isika! s#(a'ai "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik %a+a) (i%a!' ya!' ju)+a$ jarak %ari %ua "i"ik!ya k-!s"a!, Sua"u #+is u!ya %ua su)(u si)#"ri/ yai"u su)(u su)(u u"a)a su)(u a!ja!'8 %a! su)(u )i!-r su)(u #!%#k8, Ti"ik -"-!' su)(u*su)(u "#rs#(u" %is#(u" "i"ik usa" #+is,