2121\\n\\nMakalah Parabola Kelompok 5
21
21
\\n
\\n
MAKALAH GEOMETRI ANALITIK
PARABOLA
DISUSUN OLEH :
KELOMPOK 5
MUHAMMAD RIVA'I (13030045)
HAFIDZ MUFTI A. (13030041)
MELIYANTI (13030053)
SITI SUNDARI (13030055)
MATEMATIKA III B
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP)
MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG
TAHUN PELAJARAN 2013/2014
KATA PENGANTAR
Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahNya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas yang dibuat berdasarkan hasil rangkuman dari berbagai buku yang telah dibaca dan beberapa sumber dari internet. Laporan ini disusun dengan maksud untuk dapat dijadikan pedoman tambahan bagi yang membaca laporan ini. Semoga dapat bermanfaat untuk menambah wawasan pengetahuan kita tentang Parabola.
Namun kami menyadari bahwa hasil yang sederhana ini masih banyak kekurangaan. Kritik dan saran dari semua pembaca yang sifatnya konstruktif sangatlah kami hargai dan butuhkan, guna kesempurnaan laporan ini. Kami juga mohon maaf apabila laporan ini terlalu sederhana dan banyak kesalahan dalam menyampaikannya. Akhirnya kami sebagai penulis berharap semoga laporan ini dapat bermanfaat bagi kita semua untuk menambah sedikit pengetahuan yang kita miliki.
Pringsewu, 02 November 2014
Penulis
DAFTAR ISI
JUDUL 1
KATA PENGANTAR 2
DAFTAR ISI 3
BAB I PENDAHULUAN 4
Latar Belakang 4
Rumusan Masalah 4
Tujuan Penulisan 4
BAB II PEMBAHASAN
Definisi Parabola 5
Persamaan Umum Parabola 6
Garis Singgung Pada Parabola 21
BAB III PENUTUP
Kesimpulan 25
Saran 25
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering diperhadapkan kepada banyak masalah yang berhubungan dengan geometri yang berhubungan dengan titik, garis dan bidang-bidang. Sangat diperlukan pemahaman terhadap hal hal yang berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai persoalan yang kita hadapi.
Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang berhubungan dengan geometri. Materi yang kami bahas adalah materi tentang parabola.
Untuk lebih mengenal lagi bagaimana geometri itu itu dan mateeri yang kami bahas, maka mari kita bersama-sama melihat makalah ini dan mencoba memahaminya.
Rumusan Masalah
Apa yang dimaksud dengan parabola?
Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke kanan?
Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke kiri?
Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke atas?
Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke bawah?
Bagaimana persamaan garis singgung pada parabola?
Tujuan Penulisan
Adapun tujuan menyusun makalah ini adalah:
Untuk mengetahui dan menentukan persamaan umum parabola.
Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung parabola.
BAB II
PEMBAHASAN
DEFINISI PARABOLA
Suatu parabola adalah himpunan (tempat kedudukan) titik, yang titik-titiknya memenuhi syarat, bahwa jaraknya terhadap suatu titik tertentu sama dengan jaraknya terhadap suatu garis tertentu. Dengan kata lain parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik-titik tertentu itu disebut titik api (fokus) dan garis tertentu itu disebut direktriks. Perhatikan gambar berikut:
Y
A T1
L
(Gambar 2.1)
P
Q F
T2
L1 B
Pada gambar 2.1 menunjukkan sebuah parabola yang memiliki titik puncak di sumbu X, yaitu titik P. Pada gambar tampak bahwa PQ = PF, F disebut titik fokus, LL1 disebut lactus rectum, T1T2 disebut tali busur fokal, FB disebut jari-jari fokal, dan I disebut direktriks (garis arah). Pada gambar tersebut tampak juga jarak titik T1 ke A sama dengan jarak titik T1 ke F.
PERSAMAAN UMUM PARABOLA
Parabola yang terbuka ke kanan
Y
Q (-p,y)
P (x,y)
F (p,0)
O
x = -p
Pada gambar 2.2 di atas tampak sebuah parabola yang terbuka ke kanan.
Perhatikan PF = PQ
Maka :
p-x2+ 0-y2= -p-x2+y-y2
p-x2+ y2= -p-x2+0
p-x2+ 0-y2= -p-x2+y-y2
p2-2px + x2 + y2= p2+2px+ x2
y2= 4px
Pada persamaan yang didapat ini merupakan persamaan umum parabola yang terbuka ke kanan yang memiliki puncak di (0,0), titik fokus (p,0), dan sumbu direktriks : x = -p.
Dengan menggunakan translasi susuna\n sumbu dapat kita jabarkan bahwa persamaan parabola yang berpuncak (α, β) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu X adalah:
(y-β)2=4px-α.
Sebuah parabola dengan puncaknya di α, β, fokus Fα+p, β, direktriksnya garis x=α-p yang membuka ke kanan, bila persamaan parabolanya dalam system koordinat X'O'Y, maka persamaannya adalah: (y')2=4px'.
Dengan mensubtitusikan persamaan x'=x- α dan y'=y- β ke dalam persamaan (y')2=4px', dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam system koordinat XOY, yakni:
(y- β)2=4p(x-α)
Contoh soal 2.2 : Tentukanlah persamaan parabola jika diketahui:
Puncak parabola (2,0) dan sumbu direktrisnya x = 1.
Puncak parabola (1,-2) dan latus rektumnya 4.
Koordinat fokusnya (11,4) dan sumbu direktrisnya x = 5.
Penyelesaian :
Puncak parabola (2,0) maka a = 2 dan b = 0
Sumbu direktrisnya x = 1, maka a – p = 1 atau a + p = 1
Karena a = 2 maka p = 1 atau p = -1.
Jadi persamaan parabolanya adalah:
y2=4x-2 atau y2= -4(x-2)
Puncak parabola (1,-2) maka a = 1 dan b = -2.
latus rectum = 4 maka 4p=4. Persamaan parabolanya adalah:
(x-1)2=4y+2 atau (y+2)2=4(x-1)
Koordinat fokusnya (11,4) dan sumbu direktrisnya x = 5
Maka a – p = 5 koordinat fokus (a + p,b)
maka : b = 4 dan a + p = 11.
Dengan mengeliminasi a – p = 5 dan a + p = 11 didapat a = 8 dan p = 3
Jadi, persamaan parabolanya adalah:
(y-4)2=12x-8
Contoh-Contoh Soal
Gambarlah grafik dari parabola y2=8x !
Penyelesaian :
Koordinat puncaknya O (0,0)
4p = 8
p = 2
Titik F(2,0)
Persamaan direktriks g = x = -p = -2
Sumbu simetrinya y = 0
Gambarlah grafik dari parabola y2-2y-4x-9=0 !
Penyelesaian :
y2-2y-4x-9=0
y2-2y+1-1=4x+9
y-12=4x+9+1
y-12=4 x+ 52
Puncak parabola : -52, 1
Parameter : 4p = 4 p = 1
Titik fokus : F1+-52, 1 F=-32, 1
Persamaan direktriks g = x = a – p
= -32-1 = -52
Persamaan lotus rectumnya x = -32
Sketsa Grafik :
Penampang dari reflektor lampu mobil tertentu dapat dimodelkan oleh suatu persamaan 25x= 16y2, dengan x dan y dalam cm dan x bilangan real dari 0 sampai 4. Gunakan informasi yang diberikan untuk menggambarkan grafiknya dengan domain yang diberikan.
Penyelesaian :
Persamaan 25x= 16y2 merupakan persamaan dari parabola horizontal yang memiliki titik pusat di (0, 0). Selanjutnya kita tentukan nilai p dari parabola tersebut.
25x=16y2 persamaan awal
y2= 2516 x bagi kedua ruas dengan 16
y2=4 2564x dijadikan bentuk y2=px
Sehingga kita peroleh p = 25/64 (p > 0), yang artinya grafik dari parabola tersebut terbuka ke kanan. Selanjutnya kita tentukan dua titik selain titik (0, 0) yang dilalui oleh grafik parabola tersebut. Karena domainnya memiliki batas kanan di 4, kita tentukan dua titik pada parabola yang memiliki absis 4.
25x= 64y2 persamaan awal
254=64y2 subtitusi 4 ke x
y2= 25(4)64 bagi kedua ruas dengan 64
y= ±5(2)8= ±1,25 hasil
Diperoleh dua titik tersebut adalah (4, 1,25) dan (4, –1,25). Dengan menggunakan tiga titik (0, 0), (4, 1,25), dan (4, –1,25), kita dapat menggambarkan grafik dari parabola tersebut.
Penampang dari reflektor suatu lampu senter dapat dimodelkan dengan persamaan 4x= y2, dengan x dan y dalam cm dan x bilangan real dari 0 sampai 2,25. Gambarlah grafik dari penampang reflektor tersebut dengan domain yang diberikan.
Penyelesaian :
Persamaan 4x= y2 merupakan persamaan suatu parabola horizontal yang berpusat di (0, 0). Dari persamaan tersebut kita ketahui p = 1 (p > 0), sehingga parabola tersebut terbuka ke kanan. Karena domainnya adalah bilangan real mulai 0 sampai 2,25, selanjutnya kita tentukan dua titik lain yang dilalui oleh parabola dan memiliki absis 2,25.
4x= y2 persamaan awal
42,25= y2 subtitusi 2,25 ke x
y= ±3 hasil
Sehingga dua titik lainnya yang dilalui oleh parabola tersebut adalah (2,25, 3) dan (2,25, –3). Sehingga, grafik dari penampang reflektor yang dimaksud dapat digambarkan sebagai berikut.
Parabola yang Terbuka Ke Atas
Misal garis g sebagai garis tetap (garis direktriks) dan titik F sebagai titik tetap (fokus) atau titik api. Jika F tidak terletak pada g, maka kita dapat memilih sebuah sistem koordinat yang menghasilkan sebuah persamaan yang sederhana untuk parabola dengan mengambil sumbu Y melalui F dan tegak lurus garis g, dan dengan mengambil titik asalnya di titik tengah antara F dan g.
Y
x2=4py
C F (0,p)
P (x,y)
X
direktriks y = -p
Q g
Jika jarak titik F dan garis g adalah 2p, maka koordinat titik F (0,p). dengan demikian persamaan garis g menjadi y = -p. Titik P (x,y) terletak pada parabola jika dan hanya jika PF = PQ, dengan Q(x,-p) adalah kaki garis tegak lurus dari P ke g.
Dari PF = PQ, maka:
x2+y-p2= y+p2
x2+ y-p2= y+p2
x2+y2-2py+ p2= y2+2py+ p2
x2=4py
Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(0,P) didefinisikan dengan persamaan:
x2=4py
Sebuah parabola dengan puncaknya di (a,b) yang membuka ke atas, bila persamaan parabolanya dalam sistem koordinat X'O'Y', maka persamaannya adalah:
(x')2=4py'
Dengan mensubtitusikan persamaan x'=x-a dan y'=y-b ke dalam sistem persamaan (x')2=4py', dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam sistem koordinat XOY, yakni:
(x-a)2=4p(y-b)
Contoh-contoh Soal
Gambarlah grafik dari parabola 4x2 – 25y = 0 !
Penyelesaian :
4x2-25y=0
4x2=25y
x2= 254y
Koordinat puncaknya (0,0)
4p= 254 p=2516
Titik F=0, 2516
Persamaan direktris y= -2516
Sketsa Grafik :
Gambarlah grafik dari parabola x2-2x-9=4y !
Penyelesaian :
x2-2x-9=4y
x2-2x+1-1=4y+9
x-12=4y+9+1
x-12=4y+ 52
Puncak Parabola 1, -52
Parameter : 4p=4 p=1
Titik Fokus F 1, 1+-52
F 1, -32
Persamaan direktriks g = y = b – p
= -32-1 = -52
Persamaan lotus rectumnya y= -32
Gambar di bawah menunjukkan penampang dari piringan antena radio. Seorang teknisi telah menempatkan suatu titik pada penampang antena yang terletak 0,75 meter di atas dan 6 meter di kanan dari titik pusatnya. Pada koordinat mana seharusnya teknisi tersebut menempatkan fokus antena tersebut?
Penyelesaian :
Berdasarkan gambar di atas, kita tahu bahwa parabola di atas merupakan suatu parabola vertikal dengan titik pusat (0, 0). Hal ini berarti bahwa persamaan dari parabola tersebut haruslah berbentuk x² = 4py. Karena titik (6, 0,75) terletak pada grafik, maka kita dapat mensubstitusi titik tersebut ke dalam persamaan dan menyelesaikan nilai p:
x2=4py Persamaan parabola vertikal, titik pusat (0,0)
62=4p(0,75) subtitusi 6 ke x dan 0,75 ke y
36=3p sederhanakan
p=12 hasil
Karena diperoleh p = 12, maka fokus dari parabola tersebut terletak di koordinat (0, 12). Atau dengan kata lain, fokus dari parabola tersebut seharusnya ditempatkan 12 meter di atas titik pusatnya.
Salah satu bentuk teknologi yang menggunakan piringan parabolis adalah panel surya. Pada umumnya, sinar matahari yang datang ke panel tersebut dipantulkan ke fokusnya, dan menghasilkan suhu yang sangat tinggi. Misalkan suatu panel surya memiliki diameter 10 meter dan penampangnya dapat dimodelkan dengan persamaan x² = 50y. Berapakah kedalaman dari panel surya tersebut? Di manakah lokasi dari fokusnya?
Penyelesaian :
Persamaan x² = 50y merupakan persamaan suatu parabola vertikal dengan titik pusat (0, 0). Dari persamaan tersebut, kita peroleh p = 50/4 = 12,5 (p > 0). Sehingga grafik dari persamaan tersebut berupa parabola yang terbuka ke atas. Selain itu, kita juga peroleh bahwa koordinat titik fokusnya adalah (0, 50/4), atau dengan kata lain, fokusnya terletak 50/4 meter di atas titik pusatnya. Untuk menentukan kedalaman dari panel surya tersebut, kita selesaikan y untuk x = 10/2 = 5 (diameter dibagi dua).
x2=50y persamaan awal
52=50y subtitusi 5 ke x
y= 2550= 12 bagi kedua ruas dengan 50; hasil
Sehingga kedalaman dari panel surya tersebut adalah 0,5 meter. Panel surya parabolis tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Reflektor dari suatu lampu sorot yang berupa piringan parabolis memiliki diameter 120 cm. Berapakah kedalaman dari reflektor tersebut jika penempatan bola lampu yang tepat adalah 11,25 cm di atas titik pusatnya (titik terendah dari piringan)? Tentukan persamaan yang digunakan oleh teknisi dalam membuat piringan reflektor tersebut!
Penyelesaian :
Lokasi yang tepat dari bola lampu merupakan lokasi dari fokus parabola. Sehingga lokasi fokusnya 11,25 di atas titik pusat. Jika kita anggap penampang dari reflektor tersebut berupa parabola vertikal dengan titik pusat (0, 0) yang terbuka ke atas, maka koordinat titik fokusnya adalah (0, 11,25). Artinya, kita peroleh p = 11,25. Sehingga, persamaan dari parabola yang dimaksud adalah x² = 4 11,25y atau ekuivalen dengan x² = 45y. Karena diameter reflektornyanya 120 cm, kedalaman dari reflektor tersebut dapat ditentukan dengan menyelesaikan nilai y untuk x sama dengan jari-jari, yaitu x = 120/2 = 60.
x2=45y persamaan parabola
602=45y subtitusi 60 ke x
y= 360045=80 bagi kedua ruas dengan 45; hasil
Jadi, kedalaman dari reflektor lampu sorot tersebut adalah 80 cm. Grafik dari pemodelan reflektor tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Parabola yang Terbuka Ke Kiri
Jika jarak titik F dan garis g adalah 2p, maka koordinat titik F(-p,0). Dengan demikian persamaan garis g menjadi x = p. Titik P(x,y) terletak pada parabola jika dan hanya jika PF = PQ, dengan Q(p,y)
Y
y2= -4px Direktriks x=p
P(x.y) Q(p,y)
F(-p,0) 0 X
g
Dari PF = PQ, maka:
-p-x2+0-y2= p-x2+ y-y2
-p-x2+y2= p-x2+ 0
-p-x2+ y2= p-x2
p2+ 2px+ x2+ y2= p2-2px+ x2
y2= -4px
Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(-p,0) didefinisikan dengan persamaan:
y2= -4px
Sebuah parabola dengan puncaknya di (a,b), fokus F(a-p, b), dan persamaan direktriksnya x = a + p yang membuka ke kiri, bila persamaaan parabolanya dalam sistem koordinat X'O'Y', maka persamaannya adalah:
(y')2= -4px'
Dengan mensubtitusikan persamaan x'=x-a dan y'=y-b ke dalam persamaan
(y')2= -4px', dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam sistem koordinat XOY, yakni:
(y-b)2= -4p(x-a)
Parabola yang Terbuka Ke Bawah
Jika jarak titik F dan garis g adalah 2p, maka koordinat titik F(0,-p). Dengan demikian persamaan garis g menjadi y = p. Titik P(x,y) terletak pada parabola jika dan hanya jika PF = PQ, dengan Q(x,p)..
Dari PF = PQ, maka:
x2+y+p2= y-p2
x2+ (y+p)2= (y-p)2
x2= -4py
Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(0,-p) didefinisikan dengan persamaan:
x2= -4py
Sebuah parabola dengan puncaknya di (a,b), fokus F(a, p-b), dan garis direktriksnya y = b + p yang membuka ke bawah, bila persamaaan parabolanya dalam sistem koordinat X'O'Y', maka persamaannya adalah:
(x')2= -4py'
Dengan mensubtitusikan persamaan x'=x-a dan y'=y-b ke dalam persamaan
(x')2= 4py', dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam sistem koordinat XOY, yakni:
(x-a)2= -4p(y-b)
Contoh-contoh Soal
Tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaan x² = –12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya.
Penyelesaian :
Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p:
4p= -12
p= -124= -3
Karena p = –3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = –6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan.
Tentukan titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola yang diberikan, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktriksnya: x² – 6x + 12y – 15 = 0.
Penyelesaian :
Karena hanya suku-x yang dikuadratkan, maka grafik dari persamaan tersebut berbentuk parabola vertikal. Untuk menentukan kecekungan, titik puncak, fokus, dan direktriks, kita terlebih dulu melengkapkan kuadrat dalam x dan membandingkannya dengan persamaan bentuk fokus-direktriks dengan pergeseran.
x2-6x-15=0 persamaan yang diberikan
x2-6x= -12y+15 memisah suku x
x2-6x+9= -12y+24 tambahkan dengan 9
x-32= -12(y-2) faktorkan
Dari persamaan yang dihasilkan, kita dapat melihat bahwa grafiknya merupakan suatu parabola yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan. Oleh karena itu, semua unsur dari parabola tersebut juga akan bergeser. Karena kita mendapatkan 4p = –12, maka p = –3 (p < 0) dan parabola tersebut terbuka ke bawah. Jika parabola tersebut berada pada posisi biasa, maka titik puncaknya akan di (0, 0), fokusnya di (0, –3), dan direktriksnya y = 3. Karena parabola tersebut bergeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan, maka kita harus menambahkan nilai x dengan 3 dan nilai y dengan 2 dari semua unsur parabola tersebut. Sehingga titik puncaknya akan berada di (0 + 3, 0 + 2) = (3, 2), fokusnya pada (0 + 3, –3 + 2) = (3, –1), dan direktriksnya adalah y = 3 + 2 = 5. Dan akhirnya, jarak horizontal antara fokus dan grafik adalah "2p" = 6 satuan (karena "4p" = 12), sehingga memberikan titik-titik tambahan yang dilalui grafik, yaitu (–3, –1) dan (9, –1).
GARIS SINGGUNG PADA PARABOLA
Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Parabola
Parabola dengan puncak (0,0)
Syarat garis menyinggung parabola adalah D = 0. Sehingga dari persamaan
y2=4px
y=mx+n
mx+n2=4px
m2x2+2mnx+ n2=4px
m2x2+2mnx-4px+ n2=0
m2x2+2mn-2px+ n2=0
Substitusi ke rumus diskriminan:
D= b2-4ac
D= 2mn-2p2-4m2n2
D= 4mn-2p2-4m2n2 :4
D= mn-2p2-m2n2
D= m2n2-4pmn+ 4p2-m2n2
D= -4pmn+ p2
D= 4p2-4pmn=0 (menyinggung)
4p-4mn=0
n= 4p4m
n= pm
Jadi persamaan garis singgung pada parabola y2=4px adalah:
y=mx+ pm
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradient m seperti tabel berikut ini:
No
Persamaan Parabola
Persamaan Garis Singgung
1
y2=4px
y=mx+pm
2
y2= -4px
y=mx- pm
3
x2=4py
y=mx-pm2
4
x2=-4py
y=mx+ pm2
Parabola dengan Puncak (a,b)
Untuk parabola dengan bentuk umum (x-a)2=4p (y-b). Dengan garis singgung y=mx+n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan y=mx+n ke dalam persamaan parabola.
(x-a)2=4p (y-b)
Subtitusi y=mx+n
x-a2=4p mx+n-b
x2-2ax+ a2=4pmx+4pn-b
x2-2ax+ a2-4pmx-4pn-b=0
x2-2ax-4pmx+ a2-4pn-b=0
x2+-2a-4pmx+ a2-4pn-b=0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0
-2a-4pm2-4.1-4pn-b+ a2=0
4a2+16pma+ 16p2m2+16pn-b- 4a2=0
16pma+ 16p2m2+16pn-b=0
ma+ pm2+n-b=0
n= -ma- pm2+ b
Jadi persamaan garis singgung parabola (x-a)2=4p (y-b) diperoleh dengan cara mensubtitusikan nilai n= -ma- pm2+b pada y=mx+n.
y=mx+n
y=mx+-ma- pm2+b
y=mx-ma- pm2+b
y-b=mx-a- pm2
Untuk p dengan bentuk umum (y-b)2=4p (x-a) dengan garis singgung y=mx+n dapat diperoleh garis singgungnya dengan mensubtitusikan garis y=mx+n ke dalam persamaan parabola.
(y-b)2=4p (x-a)
mx+n-b2=4px-a
mx-n2-2mx+nb+ b2=4px-a
m2x2+2mxn+ n2-2mbx-2bn+ b2=4px-a
m2x2+2mnx-2mbx-4px+4pa-2bn+ n2+ b2=0
m2x2+2mn-2mb-4px+4pa-2bn+ n2+ b2=0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0
2mn-2mb-4p2- 4m24pa-2bn+ n2+ b2=0
4m2n2- 8m2nb+ 4m2b2-16mnp+16mbp+ 16p2- 16m2pa+ 8m2bn
- 4m2n2- 4m2b2=0
-16mnp+16mbp+ 16p2-16m2pa=0
-mn+mb+p- m2a=0
-mn= -mb+m2a-p
mn=mb- m2a+p
n= -ma+b+ pm
Subtitusi nilai n pada persamaan y=mx+n
y=mx+n
y=mx-ma+b+pm
y-b=mx-a+ pm
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini:
No
Persamaan Parabola
Persamaan Garis Singgung
1
(y-b)2= 4p(x-a)
y-b=mx-a+ pm
2
(y-b)2= -4p(x-a)
y-b=mx-a- pm
3
(x-a)2= 4p(y-b)
y-b=mx-a- pm2
4
(x-a)2= -4p(y-b)
y-b=mx-a+ pm2
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis singgung parabola y2= 43x dengan gradient sama dengan 2.
Penyelesaian :
y2= 43x, maka 4p= 43, sehingga p= 13
Gradien = 2, maka m = 2
Persamaan garis singgungnya adalah :
y=mx+ pm
y=2x+ 132
y=2x+ 16
Persamaan garis singgung pada parabola dengan titik singgung T (x1, x2)
Y
l
P(x, y)
X
y = -p
Pada gambar 3 tampak garis l melalui titik P(x,y) terlatak pada parabola x2 = 4py. Persamaan garis l adalah: y – y1 = m(x – x1) dengan m adalah gradien garis l melalui P(x1, y1) yang terletak pada parabola x2 = 4py maka m= dydx" x=x1
(dibaca m sama dengan turunan y terhadap x di x = x1)
Perhatikan persamaan parabola x2 = 4py!
x2 = 4py x = x24p
dydx= x24p
dydx = x2p
dydx"x=x1=x12p
Jadi, m = x12p. Ini berarti persamaan garis l adalah :
y – y1 = x12p (x – x1) atau 2py – 2py1 = x1x – x12
2py – 2x1x – py1 + x12 = 0
Karena titik P(x1y1) terletak di parabola x2 = 4py maka x12 = 4py1
Jadi, persamaan garis l dapat dinyatakan dalam bentuk :
2py – 2py1 = x1x – 4py1
2py – x1x – 2py1 + 4py1 = 0
2py – x1x + 2py1 = 0
2p(y+y1) = x1x
y + y1 = 12px1x
Jadi, persamaan garis singgung parabola x2 = 4py di titik P(x1,y1) adalah :
y + y1 = x1x2p
Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola x2 = 8y yang melalui titik (4,2)!
Penyelesaian :
Titik (4,2) terletak pada parabola x2 = 8y. Dari persamaan parabola diperoleh p = 2, maka 2p = 4.
Persamaan garis singgung parabola yang melalui titik (4,2) adalah :
y + 2 = 4x4
y – 2 = x
x – y = 2
Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik Diluar Parabola
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis yang melalui garis singgung parabola y2 = 4x yang melalui titik (2,3)!
Penyelesaian :
Titik (2,3) terletak di luar parabola y2 = 4x karena 32 > 4.2 atau 9 > 8.
Misalkan, gradien garis singgung parabola tersebut adalah m maka persamaan garis singgungnya adalah y-3 = m(x-2) atau y = m(x-2) + 3.
Jika persamaannya y = m(x-2) + 3, kita substitusikan ke y2 = 4x, maka didapat:
m((x-2) + 3)2 = 4x
m2(x-22) + 6m(x-2) + 9 = 4x
m2(x2-4x + 4) + 6mx – 12m + 9 = 4x
m2x2 – 4m2x + 4m2 + 6mx – 12m + 9 – 4x = 0
m2x2 – (m2 – m + 1)4x + 4m2 – 8m + 4 = 0
Diskriminan dari persamaan kuadrat itu adalah:
D = [(m2 – (m – 1))]2 – 4m2(4m2 – 8m + 4) = 0
= 16(m4 2m2(m – 1) + (m – 1)2) - 16m4 + 32m3 – 16 m2
= 16m4 – 32m3 + 16m2 + 16m2 – 32m+ 16 – 16m + 32m3 – 16m2
= 16m2 – 32m + 16
Garis y – 3 = m(x – 2) menyinggung parabola y2= 4x
Maka haruslah D = 0.
Jadi, 16m2 – 32m + 16 = 0 atau
m2 – 2m + 1 = 0
(m-1)2 = 0
m = 1
ini berarti persamaan garis singgungnya adalah y – 3 = 1(x – 2) atau y – 1 = 1, dan gambarnya seprti pada gambar 4 berikut :
Y y – x = 1
(2, 3)
3
X
2
y2=4x
x = -1
DAFTAR PUSTAKA
Buku Bahan Ajar Perkuliahan Oleh Herdian, S.Pd., M.Pd. "Geometri Analitik" Edisi Revisi Pertama Tahun 2013
Http://www.toermoedy.wordpress.com. Diakses pada 11 November 2014 pukul 12.30 WIB
Http://yos3prens.wordpress.com/2014/05/27/5-soal-dan-pembahasan-penerapan-parabola Diakses pada 11 November pukul 13.04 WIB
LAMPIRAN
