Marinsalta-Sistemas de Ecuaciones Lineales

UTN – Facultad Regional Bahía Blanca Departamento de Ciencias Básicas

Álgebra y Geometría Analítica María Mercedes Marinsalta

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Sistemas de Ecuaciones lineales. Índice de temas 1.-Introducción 1.-Introducción _______________ _______________________ _______________ _______________ ________________ _______________ __________ ___ 2 1.1.-Ecuación 1.1.-Ecuación lineal lineal de 1er grado grado en una o más incógnita incógnitas. s. _______________ ____________________ _____ 3 1.2.-Solución 1.2.-Solución de una ecuación ecuación lineal. lineal. _______________ _______________________ _______________ _______________ ________ 4 1.3.-Sistema 1.3.-Sistema de una una Ecuación Ecuación con una una Incógnita. Incógnita. _______________ _______________________ _____________ _____ 4 2.-Resolución 2.-Resolución de Sistemas Sistemas de n ecuaciones ecuaciones con n incógni incógnitas. tas. _______________ ___________________ ____ 4 2.1.-Método 2.1.-Método de LeibnitzLeibnitz- Cramer. Cramer. ________________ _______________________ _______________ ________________ _________ _ 4 2.2.-Resoluci 2.2.-Resolución ón de Sistemas de Ecuaciones Lineales Lineales por inversión inversión de matrices_____ matrices_____ 6 Sitio web sugerido sugerido _______________ _______________________ _______________ _______________ ________________ ______________ ______ 7

3.-Teorema 3.-Teorema de Rouchè – Frobenius Frobenius _______________ ______________________ _______________ ________________ __________ 8 3.1.-Sistem 3.1.-Sistemas as Incompat Incompatibles ibles.. _______________ ______________________ _______________ ________________ ______________ ______ 8 3.2.-Sistem 3.2.-Sistemas as Compatibles Compatibles.. ________________ _______________________ _______________ ________________ ______________ ______ 8

4.-Resolución 4.-Resolución de sistemas de m ecuaciones ecuaciones con n incógnitas._________ incógnitas.________________ __________ ___ 9 Sitios web sugeridos _______________ _______________________ ________________ _______________ _______________ ____________ ____ 10

5.-Sistema 5.-Sistema homogéneos. homogéneos. ________________ _______________________ _______________ ________________ _______________ _________ __ 13 5.1.-Resoluci 5.1.-Resolución ón de sistemas homogéneos. homogéneos. _______________ ______________________ _______________ ___________ ___ 13 5.2.-Sistem 5.2.-Sistemas as Compatibles Compatibles Determinados Determinados.. _______________ ______________________ _______________ ___________ ___ 13 5.3.-Sistem 5.3.-Sistemas as Compatibles Compatibles Indetermina Indeterminados. dos. _______________ _______________________ ________________ ________ 13

6.-Método 6.-Método de de Gauss Gauss o de de elimina eliminación. ción. _______________ _______________________ ________________ _____________ _____ 15 6.1.-Resoluci 6.1.-Resolución ón de sistemas sistemas lineales lineales por por el método método de Gauss en forma forma matric matricial. ial. __ 15 6.2.-Método 6.2.-Método de de Gauss-Jord Gauss-Jordan. an. _______________ _______________________ _______________ _______________ ____________ ____ 16

Presentación del material. Estas notas de curso están destinadas a los alumnos de primer año de las carreras de ingeniería y contienen material teórico y ejemplos que sirven de referencia para la resolución de los trabajos prácticos planteados por la cátedra. Ambos materiales son complementarios y se recomienda su utilización en simultáneo.

1



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Sistemas de Ecuaciones lineales. En el centro del álgebra lineal, y en gran parte de la matemática aplicada, se halla el problema de la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Estudiaremos las técnicas de resolución y el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales como herramientas fundamentales para comprender los conceptos del álgebra lineal y plantear muchos de los problemas que se presentan en ingeniería y otras ciencias. Por ejemplo: el análisis de circuitos eléctricos, las estructuras de redes y sus posibles flujos en le área de transporte, de comunicaciones, económicas, las cargas que pueden soportar distintas estructuras, el balanceo de reacciones químicas, etc.

1.-Introducción Comencemos viendo algunos ejemplos simples de aplicación: Un comercio tiene 5 empleados, cada uno de ellos cobra la hora de trabajo a un valor diferente y trabajan distinta cantidad de horas semanales, según se muestra en la siguiente tabla: Empleado Juan Andrés Martín Mauricio Ailén

Salario por hora 5,60 4,90 4,50 5,50 5,20

Cant. de horas por semana x1 x2 x3 x4 x5

El salario total semanal ( S) estará dado por: S= + + + + Esta es una ecuación lineal en ......variables. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones correspondiente al siguiente problema: Deben comprarse arandelas y tornillos de modo que tengan dos arandelas por cada tornillo. Si el precio de cada tornillo es $2 y el precio de cada arandela $1 y se poseen $240. ¿Cuántas tornillos y arandelas pueden comprarse? Incógnitas: x: número de tornillos y: número de arandelas 1º ) ⎧2 x + y = $240

⎨

2º ) ⎩2 x = y 2x = y → 2x + 2x = 240 4x = 240 60 x = 240 = 60 tornillos 4

∴ y = 120 arandelas

Ejemplo de aplicación a la Geometría. Hallar el punto de intersección de estas líneas rectas: Gráficamente:

2

x-2y = 0

y

2x+4y =8



.

El punto de intersección debe satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente. Resolviendo el sistema por sustitución obtenemos que la solución es x = 2 y y=1 ,

Ejemplo de aplicación a la Ingeniería Industrial. Una perfumería produce un perfume en dos fragancias: Opaline y Opaline Extra en grandes lotes. Un lote de Opaline contiene 1 Ton. de esencia y 16 toneladas de alcohol, el lote de Opaline Extra contiene 2 Ton. de esencia y 16 Ton de alcohol. Se dispone en existencia: 12 Ton de esencia y 112 Ton de alcohol, se desea utilizar todas las existencias.¿ Cuántos lotes de cada tipo de perfume se pueden producir.? Llamemos x1 al número de lotes de Opaline y x2 el número de lotes de Opaline Extra.

Obsérvese que si las cantidades de la existencia fueran distintas podría no existir una solución con números enteros. Deberían aplicarse otros métodos para determinar un programa de producción que utilizase la mayor parte del inventario.

 Ahora podrá resolver los ejercicios Nº 1 y Nº 2 del trabajo práctico que se proponen para practicar la transformación de enunciados verbales en su representación matemática como ecuaciones y sistemas de ecuaciones y de esta forma facilitar su resolución. Estudiaremos : • Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. • Sistemas de n ecuaciones con m incógnitas. • Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.

1.1.-Ecuación lineal de 1er grado en una o más incógnitas. Es aquella expresión algebraica que relaciona coeficientes literales o numéricos con una o más incógnitas, tal que las mismas estén todas elevadas a la 1ª potencia. Se llama ecuación lineal en una o más variables a todo polinomio de primer grado en dichas variables igualado a cero. a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 +.................+ an x n+ a0= 0 ∴a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 +.................+ an x n= k 1

Si llamo k 1 = - a0

Por lo tanto: a11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +.................+ a 1n x n=k 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +................+ a 2n x n=k 2 a31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +.................+ a 3n x n=k 3 :

:

:

:

am1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +................+ a mn x n=k m

3

Sistema de m ecuaciones

con n incógnitas



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1.2.-Solución de una ecuación lineal. Se llama solución de una ecuación lineal de orden n al conjunto de n valores: x1, x 2, x 3,. . . . . . , xn que satisfacen la ecuación. Análogamente. El conjunto de n valores x1, x 2, x3, . . . . . . . . . , xn que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones son solución del Sistema Lineal de Ecuaciones.

1.3.-Sistema de una Ecuación con una Incógnita. a11 0

x 1= k 1 /a11 Admite Solución. Sistema Compatible Determinado . Solución única.

a11 x 1= k 1 k 1=0

0.x 1=0 Admite más de una solución. Sistema Compatible Indeterminado .

a11=0 k 1 0

0.x 1=k 1 0 No tiene solución . Sistema Incompatible.

2.-Resolución de Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. Sistemas regulares Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es regular si se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y si la característica de la matriz del sistema es igual a n. Esto es: un sistema regular tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas y si Δ es el determinante de la matriz del sistema se verifica que Δ ≠ 0.

2.1.-Método de Leibnitz- Cramer. Este método se aplica exclusivamente a sistemas regulares de ecuaciones. Sea :

⎧a11 x1 + a12 x 2 + ..... + a1n ⎪⎪a x + a x + .... + a 21 1 22 2 2n I ⎨ ⎪M ⎪⎩an1 x1 + a n2 x 2 + .... + a nn

x n = b1 x n = b2 x n = bn

con:

a11 a12 L a1n Δ = a 21 a 22 L a2 n ≠ 0 an1 a n2 L ann Multiplicando la primera ecuación por A11 (adjunto de a11) la segunda ecuación por A21.... la última ecuación por An1 y sumando miembro a miembro obtenemos:

x1 ( a11 A11 + a 21 A21 + L + an1 An1 ) + + x 2 ( a 12 A11 + a 22 A21 + L + An2 An1 ) + M

+ x n ( a1n A11 + a2 n A21 + L + ann An1 ) = = b1 A11 + b2 A21 + L + bn An1 (1) Observemos que el coeficiente de x1 en esta ecuación es igual al determinante Δ (desarrollado por la primera columna) y que los coeficientes de las demás incógnitas son todos nulos (suma de los elementos de una línea multiplicados por los adjuntos de los elementos de una paralela). Por consiguiente la ecuación (1) se reduce a:

4

.



Δx1 + 0 x 2 + L + 0 x n = b1 A11 + b2 A21 + L + bn An1

Si representamos Δ1 al determinante que se obtiene reemplazando la primera columna del determinante Δ por ( b1 , b2 , L bn )

b1 a12 .... a1n b2 a22 .... a 2n M

bn se verifica que escribir

M

an 2

= Δ1

ann

Δ 1 = b1 A11 + b2 A21 + .... + bn An1 por consiguiente (1) se puede

Δx 1 + 0 x 1 L + 0 x n = Δ 1

Por lo tanto:

x1 =

Δ1 Δ

Análogamente multiplicando la primera ecuación por A1j, la segunda por A2j, … la última por Anj y sumando, obtenemos otra ecuación (j) que es consecuencia del sistema dado. (y esto vale para j = 1, 2, 3, … n)

x2 =

Δ2 Δ

L xn

=

Δn Δ

Podemos afirmar que el sistema regular dado es determinado y el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo por el determinante del sistema, el determinante formado sustituyendo en éste por los términos independientes, la columna de los coeficientes de dicha incógnita. Ejemplo1: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Calculamos el determinante de A.

Luego calculamos las incógnitas:

Ejemplo2: Resolver el siguiente sistema:

⎧ 2 x1 + 5 x2 + 4 x3 =8 ⎪ ⎨− 3 x1 + x2 + 2 x3 = 5 ⎪ x + Ox − 5 x = −1 2 3 ⎩ 1 n=m=3

Δ ≠ 0 ∴ es regular

5


.


Δ1 79 = = −1 Δ − 79 Δ − 158 =2 x2 = 2 = Δ − 79 Δ 0 =0 x3 = 3 = Δ − 79

x1 =

∴ Solución (-1,2,0) Ejemplo 3



Puede resolver el ejercicio Nº 3 del trabajo práctico

2.2.-Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por inversión de matrices. Dado:

⎧a11 x1 + a12 x 2 + ..... + a1n ⎪⎪a x + a x + .... + a 21 1 22 2 2n I ⎨ ⎪M ⎪⎩an1 x1 + a n2 x 2 + .... + a nn

x n = b1 x n = b2 x n = bn

El sistema (I) puede escribirse en la forma matricial A. X = B ,

A = ( aij ) ∈ M mxn ( K ).

Si m = n y det (A) ≠ 0 entonces el sistema es compatible determinado. En notación matricial:

⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎢ ⎥ M M ⎢ ⎥ ⎢⎣ a m1 a m2 L a mn ⎥⎦

⎡ x1 ⎤ ⎡b1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x 2 ⎥ = ⎢b2 ⎥ ⎢⎣ x n ⎥⎦ ⎢⎣bn ⎥⎦

A. X = B A−1 . A. X = A−1 . B X = A− 1 . B

Adj( AT ) Teniendo en cuenta este resultado y que A = , det ( A) −1

6



.

⎛ x1 ⎞ ⎛ A11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x 2 ⎟ ⎜ A21 1 ⎜ . Se tiene ⎜ . ⎟ = ⎜ ⎟ det ( A) ⎜ ⎜ .⎟ ⎜ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ x n ⎠ ⎝ An1

A12 . . A1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ A22 . . A2n ⎟ ⎜ b2 ⎟ .

. .

.

. .

. ⎟ .⎜ . ⎟ = ⎟⎜ ⎟ . ⎟ ⎜ .⎟

⎜ ⎟ An2 . . Ann ⎠⎟ ⎝ bn ⎠

Ejemplo1: Resolver mediante Inversión de matrices: 3 x1 - 2 x2 = 1 4 x1- 3 x2 = - 2

Ejemplo 2 : Sistema resuelto utilizando Inversión de matrices

Ejemplo 3:

⎧ 2 x − 6 y = 3 ⎪ Resolver el siguiente sistema utilizando Inversión de matrices : ⎨ x − 3 y + z = 2 ⎪ 2 y − 3z = −1 ⎩

Sitio web sugerido En la siguiente dirección encontrarás videos explicativos de los distintos métodos vistos: http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al02.htm

7



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 Ya está en condiciones de resolver los ejercicios Nº 4-5-6 y 7 del trabajo práctico 3.-Teorema de Rouchè – Frobenius La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas de la forma (I) tenga solución es que la característica de la matriz A sea igual a la

característica de la matriz ampliada de A= (A´) Car A = Car A´

⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ..... + a 1 n x n = b1 ⎪ a x + a x + .... + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ( I ) ⎨ ⎪M ⎪⎩ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + .... + a mn x n = b m

⎡ a11 ⎢a 21 con A´= ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎣a m1

a12 a 22

...

a1n ... a 2 n

...

...

...

b1 ⎤ b2 ⎥⎥ ... ⎥

se llama

⎥

a m2 ... a mn bm ⎦

matriz ampliada de A pues se le agrega la columna de los términos independientes.

3.1.-Sistemas Incompatibles. Son aquellos que no verifican el teorema anterior, es decir que la característica de la matriz A es distinta de la característica da la matriz ampliada de A.

Car A≠Car A′ 3.2.-Sistemas Compatibles. Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, con Car A = h

⎧ ⎧h=n(Compatible Determinado ) ⎪Si Car A=Car A′(Sistema compatible )⎨ ⎨ ⎩h < n (Compatible indeterminado) ⎪Si Car A≠Car A′(Sistema incompatib le) ) ⎩ Si el sistema es compatible determinado las soluciones se calculan por Cramer o por inversión de matrices. 8



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Ejemplos:

Discutir y resolver el siguiente sistema:

Car A= 2 CarA´=3

.

′ ⇒ Car A≠Car A No

Sistema Incompatible. No tiene Solución

Car A= 3 CarA´=3

.

′ ⇒ Car A=Car A No

Sistema Compatible. Tiene Solución

La solución es única pues la cantidad de incógnitas también es 3




4.-Resolución de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Dado un sistema

⎧a11 x1 +L+ a1h xh + ... + a1n xn = b1 ⎪a x +L+ a x + ... + a x = b 2h h 2n n 2 ⎪ 21 1 ⎪M.................................................. ⎨ ⎪a h1 x1 +L+ a hh xh + ... + a hn xn = bh ⎪.................................................... ⎪ ⎩a m1 x1 +L+ amh xh + ... + a mhn xn = bm 1º Paso. Por el teorema anterior, si la Car A= Car A´= h habrá un determinante de orden h≠ 0 extraído de A.

Δ=

a`11 a21 M

ah1

a12 ......... aih a 22 ......... a 2h M

≠0

a h 2 ......... a hh

2º Paso Se escriben las h ecuaciones cuyos coeficientes integran el Δ. 3º Paso. Se dejan en el primer miembro aquellas h incógnitas cuyos coeficientes integran el Δ ≠ 0

⎧a11 x1 + L + a1h x h = b1 −...+a 1n x n ⎪a x + L + a x = b −...+a x ⎪ 21 1 2h h n 2 2n ⎨ ⎪M ⎪⎩a h1 x1 + L + a hh x h = bh −...+a hn x n y habrá n-h incógnitas arbitrarias que actúan como parámetro. Ejemplo 1: Plantear que tipo de sistema es utilizando el Teorema de Rouchè- Frobenius y luego resolver:

⎧ x1 − x 2 + 2 x 3 = 3 ⎪ ⎨ x1 + x 2 − 2 x 3 = 1 ⎪ x + 3 x − 6 x = −1 2 3 ⎩ 1 9



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Sitios web sugeridos Recuerda que en siguiente dirección encontrarás videos explicativos

http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al02.htm#2#2 Ingresa a los siguientes enlaces: 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17.



Primera radiografía de un SLH indeterminado Segunda radiografía de un SLH indeterminado Tercera radiografía de un SLH indeterminado Primera radiografía de un SLNH indeterminado Segunda radiografía de un SLNH indeterminado Tercera radiografía de un SLNH indeterminado


 Veamos este ejemplo tomado de:http://www.terra.es/personal2/jpb00000/trouchefrobenius.htm Discute el siguiente sistema, según los valores de a, y resuelve el sistema en cada caso:

10



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Ejemplo 2 : dado el sistema de ecuaciones lineales:

discútelo para los distintos valores del parámetro y resuélvelo cuando sea compatible.

11



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12



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5.-Sistema homogéneos. Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son nulos. Simbólicamente un sistema homogéneo de m ecuaciones por n incógnitas es de la forma:

⎧a11 x1 + a12 x 2 +.....+ a1n x n = 0 ⎪a x + a x +....+ a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ... M ⎪... ⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 +....+ a mn xn = 0 O bien ai1x1 + ai2x2+…..+ainxn= 0 ( i=1,2,3,….m) Si representamos el sistema anterior matricialmente será: A .X= Ο ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤

⎢a a22 ... a2 n ⎢ 21 ⎢ ... ... ... ... ⎢ ⎣am1 am 2 ... amn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦

⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦

5.1.-Resolución de sistemas homogéneos. Para verificar la compatibilidad del sistema debemos aplicar el teorema de RouchèFrobenius. ⎡ a11 a12 ... a1n 0 ⎤

⎢a ... a 2 n 0 ⎥ a 21 22 ⎥ Siendo, en el caso de sistemas homogéneos la A´= ⎢ ... ... ... ...⎥ ⎢ ... ⎢ ⎥ ⎣am1 am 2 ... a mn 0 ⎦

Si analizamos la característica o rango vemos que siempre se va a verificar que: Car A = Car A´= h

Conclusión: Un sistema homogéneo siempre tiene solución. No existen sistemas homogéneos incompatibles. Vemos que una solución del sistema es x1 = x2 = x3 =…= xn = 0 Debido a que un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial, analizaremos cuales son las posibilidades:

5.2.-Sistemas Compatibles Determinados. Si la característica de la matriz A es igual a n (número de incógnitas) y menor o igual que m (número de ecuaciones), esto significa que va a haber h=n ecuaciones Linealmente Independientes con n incógnitas . CarA = h = n ≤m Sistema compatible determinado Admite como solución única Se denomina solución trivial.

x1 = x2 = x3 =…= xn = 0

5.3.-Sistemas Compatibles Indeterminados. Si en un sistema homogéneo, la Car A = h < n, hay entonces infinitas soluciones. En efecto, se tendrán (n-h) incógnitas arbitrarias y h incógnitas que serán función de las restantes (n-h).

13



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Teorema. La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo, de m ecuaciones con n incógnitas, tenga solución no nula es que la Car A sea menor que n es decir que el determinante de la matriz A sea =0.

Ejemplo: Sea el sistema: ⎧ 2 x − y + z = 0

⎪3 x + 2 y + z = 0 ⎪ ⎨ ⎪ x + 3 y = 0 ⎪⎩5 x + y + 2 z = 0

Ejemplo de aplicación: Balance de una ecuación química

Durante el proceso de fotosíntesis de las plantas, con la presencia del sol convierten el bióxido de carbono y el agua en glucosa y oxígeno. Simbólicamente el proceso puede ser representado así: Bióxido de carbono( CO2 ) + Agua( H 2 O ) → Glucosa( C6 H 12 O6 ) + Oxígeno( O2 ) Balancear la ecuación química de la reacción, determinando los valores enteros más pequeños para las variables, si denominamos: x = la proporción bióxido de carbono presente , y = la proporción de agua presente, w = la proporción de glucosa producida, y z = la proporción de oxígeno producido. La ecuación de la reacción química puede ser representada así:

x CO2 + y H 2 O → w C6 H12 O6 + z O2 . Solución. El número de átomos presente en un elemento químico está indicado mediante un subíndice. Comparando la cantidad de átomos de cada elemento que hay en los reactantes y los productos, obtenemos el siguiente sistema; x 2x + y 2y

(1) (2) (3)

= 6w = 6w + 2z = 12w

x6w 2x + y - 6w - 2z 2y - 12 w

para balancear C para balancear O para balancear H

= 0 = 0 = 0

El sistema siempre será compatible pues es homogéneo.

Resolviendo obtenemos: (4)

x = y = z = 6w .

Luego la ecuación balanceada será:

6 CO2 + 6 H 2 O → C6 H12 O6 + 6 O2 .

14



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 Ya está en condiciones de resolver los ejercicios Nº 10-11-12-14 del trabajo práctico 6.-Método de Gauss o de eliminación. Permite reducir un sistema de m ecuaciones con n incógnitas a un sistema equivalente escalonado. . ⎧a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1 ⎧a11 x1 + a1 2 x2 + ..... + a1n xn = b1

⎪a x + a x + .... + a x = b ⎪ 0 + a x + .... + a x = b ⎪ 21 1 ⎪ 22 2 2n n 2 22 2 2n n 2 ⇒ I ⎨ I ⎨ ⎪M ⎪M ⎪⎩a m1 x1 + a m2 x2 + .... + a mn xn = bm ⎪⎩0 + 0 + 0 + a mn xn = bm

El método consiste en aplicar al sistema original (I) las llamadas operaciones elementales :

1) Intercambiar ecuaciones entre sí. 2) Multiplicar una ecuación por una constante no nula. 3) Reemplazar una ecuación por la que resulta de sumar a la misma otra multiplicada por una constante.

Observación : • Si en el proceso de las transformaciones obtenemos una ecuación en la que los coeficientes de las incógnitas son iguales a 0 mientras que el término independiente es diferente de 0, entonces el sistema es incompatible.

• Si no nos encontramos con tal ecuación el sistema será compatible. Será compatible determinado si se puede reducir a una forma triangular (número de ecuaciones igual al número de incógnitas) ; e indeterminado si se puede reducir a una forma trapezoidal (número de ecuaciones menor que el número de incógnitas)

6.1.-Resolución de sistemas lineales por el método de Gauss en forma matricial. Consiste en transformar la matriz ampliada de A (A´) en una matriz escalonada mediante operaciones elementales entre filas ⎡ a11 a12 ... a1n b1 ⎤

⎢a ⎢ 21 ⎢ ... ⎢ ⎣a m1

a 22

... a2 n

...

...

...

b2 ⎥⎥ ... ⎥

⎥

a m2 ... a mn bm ⎦

Ejemplos esquemáticos:

Sistema n x n ⎡x x x x⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 x x x ⎥ Compatible determinado ⎢⎣0 0 x x ⎥⎦

Sistema m x n ⎡x x x x x⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 x x x x ⎥ Compatible ⎢⎣0 0 x x x ⎥⎦ Indeterminado

⎡x x x x⎤ ⎢ ⎥ 0 x x x ⎢ ⎥ Incompatible ⎢⎣0 0 0 x ⎥⎦

⎡ x x x x x⎤ ⎢ ⎥ 0 x x x x ⎢ ⎥ Incompatible ⎢⎣ 0 0 0 0 x ⎥⎦

15



.

⎡x x x x⎤ ⎢ ⎥ 0 x x x Compatible Indet ⎢ ⎥ Compatible ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado

⎡x x x x x⎤ ⎢ ⎥ 0 x x x x ⎢ ⎥ Compatible ⎢⎣0 0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado

Nota: las x representan valores numéricos distintos de cero. Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz ampliada:

Luego aplicamos operaciones elementales entre filas para llegara a una matriz equivalente escalonada.

(-4)R 1 +

(-3)R 1 +

R 3

R 3

(-(1÷ 3)) R 2

R 2

(-1)R 3

R 3

(-5)R 2 +

R 3

R 2

R 2

R 3

Con la matriz final rearmamos al sistema de ecuaciones:

Que equivale al sistema original. Despejando y sustituyendo obtenemos la solución: x = 4, y = -2, z = 3

6.2.-Método de Gauss-Jordan. Consiste en transformar la A´ en una operaciones elementales entre filas

matriz canónica o reducida por filas mediante

Ejemplos esquemáticos:

16



.

Sistema n x n

Sistema m x n

⎡1 0 0 x ⎤ ⎢ ⎥ 0 1 0 x ⎢ ⎥ Compatible ⎢⎣0 0 1 x ⎥⎦ Determinado

⎡1 0 0 x x ⎤ ⎢ ⎥ 0 1 0 x x ⎢ ⎥ Compatible ⎢⎣0 0 1 x x ⎥⎦ Indeterminado

⎡1 0 0 x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 0 x ⎥ Incompatible ⎢⎣0 0 0 x ⎥⎦

⎡1 0 x x x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 x x x ⎥ Incompatible ⎢⎣0 0 0 0 x ⎥⎦

⎡1 0 0 x ⎤ ⎢0 1 x x ⎥ ⎢ ⎥ Compatible ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado

⎡1 0 x x x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 x x x ⎥ Compatible ⎢⎣0 0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado

Ejemplo1: Sistema compatible determinado resuelto por el método de Gauss

Ejercicio

propuesto:

resolver

el

siguiente

sistema por

el

⎧ x + 2 y − z = −1 ⎪ ⎨ 4 x + 9 y − z = 14 ⎪3x + 8 y + 2z = 28 ⎩

Ejemplo 2 Sistema compatible indeterminado resuelto por el método de Gauss

Ejemplo 3:

17

método

de

Gauss :



.

Sistema compatible determinado resuelto por el método de Gauss Jordan

⎧ x − y + z =11 ⎪ ⎨2 x− y − + z =5 ⎪3 x +2 y + z =24 ⎩

Solución: x

=4 y =5 z= 2

⎧2 x − y + 2 z = 8 ⎪ Ejercicio Propuesto: resolver por Gauss- Jordan ⎨3x + 2 y − 2 z = − 1 ⎪5x + 3 y − 3z = 3 ⎩



Más ejemplos resueltos con videos http://www.matematicasbachiller.com/temario/sel/enuncia/seten02.htm

 Ya está en condiciones de resolver el ejercicio Nº 13 del trabajo práctico utilizando el método de Gauss y de plantear y resolver todos los ejercicios restantes.  Si desea realizar una autoevaluación de sus conocimientos, en la página 9 de la guía de trabajos prácticos encontrará los enlaces a los sitios web sugeridos.

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Marinsalta-Sistemas de Ecuaciones Lineales

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