Tema: Relaciones Par ordenado En matemáticas, un En matemáticas, un par ordenado es ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b). Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B Pares iguales ¿Qué es una igualdad? (matemática) Equivalencia de dos cantidades o expresiones. ¿Qué es una igualdad de pares ordenados? En matemática, un par ordenado es un par (a,b) de objetos a y b , , talque talque si (c,d) es el otro par ordenado,(a,b) y (c,d) serán iguales si y solo si a=c y b=d. Lo anterior sirve para garantizar el orden de los componentes . Igualdad de pares ordenados . D Dos os pares pares ordenados son iguales, si y solo si son iguales sus respectivas componentes. Es decir que (a,b) = (c=d) si y solo si a=c y b=d. Plano Cartesiano Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios en espacios euclídeos, para euclídeos, para la representación gráfica representación gráfica de una función, en función, en geometría geometría analítica , o del movimiento del movimiento o posición en en física, física, caracterizadas caracterizadas porque usa como referencia ejes ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René de René Descartes, quien Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez. Producto Cartesiano En matemáticas, el En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, una operación, que que resulta en otro conjunto, cuyos elementos cuyos elementos son todos los pares los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto. Calculo de parejas de un producto cartesiano Ejemplo 1. Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)} Relación El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas. Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma) Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que: S ---> I Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre todos o algunos del primer conjunto con uno o más del segundo conjunto. Calculo de número de relaciones en un producto cartesiano Relación Reflexiva En matemáticas, una relación reflexiva o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es irreflexiva, anti reflexiva o antirreflejo, lo que denotamos formalmente por: En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de anti reflexividad. Relación Simétrica Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con él, a través de la misma "R". Es lo mismo tener (a,b) que tener (b,a). Relación Transitiva Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Relación identidad En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que matemáticamente se escriben diferente, son de hecho el mismo objeto. En particular, una identidad es a una igualdad entre dos expresiones, lo que es cierto sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas. Las identidades, al confirmarse invariablemente su igualdad, suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación. Relación de equivalencia En teoría de conjuntos y álgebra la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente. Relación de orden En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto. Tema: Funciones y sus graficas Función En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r 2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. Ley de correspondencia Dados dos conjuntos: X e Y, y una función f, que determina alguna relación binaria entre algún elemento de X con algún elemento de Y, diremos que esa función: f, define una correspondencia 1 entre X e Y, que representaremos: F: x ---- y Cuando al menos un elemento de X está relacionado con al menos un elemento de Y.
Dominio de una función
El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x). Ejemplos:
Contradominio de una función Contradominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como codominio, recorrido o rango. Ejemplo: Dada la función f = (4, 12),(6, -7),(-1, 4),(2, 3),(-3, 6): Contradominio: Cf = 12, -7, 4, 3, 6 (son los segundos elementos de los pares ordenados). Imágenes de una función Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función. Rango de una función El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Función Inyectiva Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
Función Biyectiva En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Función Biunívoca Una correspondencia biunívoca, o correspondencia uno-a-uno, es simplemente una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. En otras palabras, la relación biunívoca se establece cuando para cada elemento del primer conjunto que se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, tal elemento del segundo conjunto se corresponde con solo aquel elemento del primer conjunto.
Función real Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función.
Función de identidad En matemática una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento .
Función constante En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente.
Función potencial simple Función Valor Absoluto Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia. La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Función Radical Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical. En esta práctica estudiaremos las funciones del tipo expresión general
y también las que tienen como
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Función racional En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador .1 Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.
Función línea Recta En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta.
Función Cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
Ceros de la función Entonces, encontrar los ceros o raíces de una función f: A B / y = f(x), implica resolver la ecuación f(x) = 0. Así, por ejemplo:
la función y = x 2 + 1 no tiene ceros, la función y = x 3 tiene un cero en x 0 = 0, y la función y = sen(x) tiene infinitos ceros en los valores de la forma x k = k.p, con k entero.
Plano y Semiplano Función inversa Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f −1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f −1(b) = a.
Función logarítmica Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.
Función Exponencial La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
