matematika detaljna-rjesenja-zadataka-iz-udzbenika.pdf

1 Rjeˇsenja zadataka 1.1 Zadatak 1.

1) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n . 2) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n − 2 . Kad zadatak ima rjeˇsenje? 3) Zapiˇsi broj koji je za 2 veći od zbroja brojeva m i n . 4) Zapiˇsi broj koji je dvostruko veći od razlike brojeva a i b . 5) Zapiˇsi broj koji je tri puta manji od umnoˇska brojeva a i b .

Rjeˇsenje.

1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 . 2) Prethodnik broja n − 2 je (n − 2) − 1 = n − 3 . Zadatak ima rjeˇsenje kad je n > 3 . ab . 3) To je broj m + n + 2 . 4) To je broj 2(a − b) . 5) To je broj 3

Zadatak 2.

Ispiˇsi: - cijelih brojeva k − 1 i k + 5 ; 1) sve cijele brojeve koji su izmedu 2) sve neparne cijele brojeve koji su veći od 2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje je k cijeli broj; 3) sve parne cijele brojeve veće od 2k − 5 i manje od 2k + 1, gdje je k cijeli broj.

Rjeˇsenje.

1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 , k + 4 . 2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 . 3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 , 2k .

Zadatak 3.

Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?

Rjeˇsenje.

Ako je Luki n godina, a Filip je 3 godine stariji, onda Filip ima n + 3 godina. Marko je dvostruko stariji od Filipa pa ima 2 · (n + 3) = 2n + 6 godina. Sva trojica ukupno imaju n + n + 3 + 2n + 6 = 4n + 9 godina.

Zadatak 4.

Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnoˇzi s 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat? ˇ primjećujeˇs? Obrazloˇzi! Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto

Rjeˇsenje.

[(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = 4n : 4 = n. Tako ovim raˇcunom uvijek dobijemo broj od kojega smo krenuli.

Zadatak 5.

Neka je d dan, a m mjesec rodenja tvojeg prijatelja. Evo kako céˇs odrediti koji je dan njegov rodendan. Zadaj mu neka provede sljedeći raˇcun: — Podvostruˇci broj d. — Pomnoˇzi dobiveni rezultat s 10. — Dodaj 73. — Pomnoˇzi s 5. — Dodaj broj m. Neka ti sada prijatelj kaˇze rezultat koji je dobio. Oduzmi kriˇsom od tog rezultata broj 365 i dobit céˇs datum njegovog rodenja. Obrazloˇzi matematiˇcku pozadinu ovog općeg rjeˇsenja.

1

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) → (20d + 73) · 5 → (100d + 365 + m) → (100d + m) . Rezultat je cˇ etveroznamenkast broj cˇije su prve dvije znamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca rodenja.

Zadatak 6.

Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnoˇzi s 4. Tom broju neka doda 10 pa rezultat pomnoˇzi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini. Konaˇcno, neka razlici doda iznos sitniˇsa u lipama koji ima u svojem dˇzepu (svakako neka je manji od 100). Nakon ovog raˇcuna zahtijevajte da vam kaˇze rezultat. Dodat c´ emo tom rezultatu 115 i oˇcitati: prve dvije znamenke su godine, a sljedeće dvije iznos sitniˇsa u dˇzepu vaˇseg prijatelja. Moˇzete li razobliˇciti ovu “ˇcaroliju”?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo sa n broj godina, a sa s koliˇcinu sitniˇsa. Slijedi niz zapisa: 4n → 4n+10 → (4n+10)·25 → (4n+10)·25−365 → (4n+10)·25−365+s = 100n + s − 115 . Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit cémo 100n + s . Oˇcigledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sitniˇsa.

Zadatak 7.

Na polici se nalazi sˇ est svezaka Opće enciklopedije, poredanih slijeva udesno, jedan do drugog. Svaki svezak ima 515 stranica ne raˇcunajući korice. 1) Koliko ukupno stranica ima Opća enciklopedija? - 313. stranice drugog sveska i 127. stranice 2) Koliko stranica ima izmedu petog? 3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? 4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili?

Rjeˇsenje.

1) 6 · 515 = 3090 ; 2) (515 − 313 + 1) + 2 · 515 + 127 = 1360 ; 3) 1784 − 3 · 515 = 239 ; 4) 3090 − 3000 + 1 = 91 , zaustavili smo se na 91. stranici prvog sveska.

Zadatak 8.

- brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva medusobno Medu razliˇcita broja. Ispiˇsi sve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cˇega? Obrazloˇzi! Moˇzeˇs li provesti analogno zakljuˇcivanje za tri odabrana broja? Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x + y . Jednako je tako xyz = 100x + 10y + z .

Rjeˇsenje.

Odaberemo li primjerice znamenke 2 i 5, svi dvoznamenkasti brojevi su 22, 25, 52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22. Općenito, odaberemo li dvije razliˇcite znamenke x i y , svi dvoznamenkasti brojevi su xx , xy , yx , i yy , a njihov zbroj je xx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x + 10y + x = 22x + 22y = 22 · (x + y).

Zadatak 9.

Broj 100 zapiˇsi povezujući raˇcunskim operacijama 1) cˇ etiri jedinice;

Rjeˇsenje.

2

Primjerice: 1) 111 − 11 ;

2) cˇ etiri trojke; 2) 33 · 3 +

3 ; 3

3) cˇ etiri petice. 3) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

1 Zadatak 10. Rjeˇsenje.

Zadatak 11. Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Ispiˇsi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Poveˇzi te brojeve znakovima + i − (koristeći ih ukupno triput) tako da dobijeˇs 100. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 . Zapiˇsi broj 100 uporabom svih 10 znamenki i uporabom cˇ etiriju osnovnih raˇcunskih operacija. Primjerice: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 . Rijeˇsi rebus: +

O A

H H

O A

H H

O A

A

H

A

H

A

H

A moˇze biti samo 1 pa imamo: O H + 1 H

O 1

H H

O 1

1 H 1 H 1 H Odatle je O = 9 , pa sad rebus izgleda ovako: 9 H 9 H 9 + 1 H 1 H 1 1 H 1 H 1 H Lako se vidi da je H = 0 . Dakle, rjeˇsenje je 90909 + 10101 = 101010 .


Odredi cˇ etiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 1 258 . Neka je n najmanji od traˇzena cˇetiri broja. Onda mora biti n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 1258, 4n + 6 = 1258. Odatle je n = 313 , te su traˇzeni uzastopni brojevi 313, 314, 315, 316.

Zadatak 14.

Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6 080 . Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo treći po redu broj s n . Onda su ostala cˇ etiri jednaka n − 4 , n − 2 , n + 2 i n + 4 pa mora biti (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) = 6080 5n = 6080 te je n = 1216 . Rijeˇc je o brojevima 1 212 , 1 214 , 1 216 , 1 218 , 1 220 .

Zadatak 15.

Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 581. Koliki je zbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?

Rjeˇsenje.

Srednji cémo broj oznaˇciti s n . Onda su preostali brojevi n − 6 , n − 4 , n − 2 , n + 2 , n + 4 i n + 6 pa mora biti (n − 6) + (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) + (n − 6) = 581 7n = 581 te je n = 83 . Rijeˇc je o brojevima 77, 79, 81, 83, 85, 87 i 89. Sedam narednih neparnih brojeva su redom 91, 93, 95, 97, 99, 101 i 103, a njihov zbroj iznosi 679.

3

1


Zadatak 16.

Umnoˇzak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva?

Rjeˇsenje.

Rastavljanjem broja 4080 na proste faktore, dobivamo 4080 = 24 · 3 · 5 · 17 = 16 · 15 · 17 . Dakle, rijeˇc je o umnoˇsku brojeva 15, 16 i 17. Njihov zbroj je 48.


Zadatak 18.

Koja je posljednja znamenka umnoˇska 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99? Rijeˇc je o umnoˇsku uzastopnih neparnih prirodnih brojeva od kojih neki zavrsˇ avaju s 5, te i cijeli umnoˇzak zavrˇsava s 5. S koliko nula zavrˇsava umnoˇzak 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 33 ?

Rjeˇsenje.

Broj je djeljiv s 10 ako je djeljiv s 2 i s 5. Kad bismo zadani umnoˇzak rastavili na proste faktore, zanima nas koliko u tom rastavu ima petica (dvojki oˇcigledno - zadanim brojevima imamo tri koji zavrˇsavaju s ima viˇse nego petica). Medu 5 (5, 15 i 25 – njihov je umnoˇzak djeljiv s 5 cˇetiri puta), te tri koja zavrˇsavaju s nulom (10, 20 i 30 – umnoˇzak je djeljiv s 5 tri puta). Stoga cijeli umnoˇzak zavrˇsava sa sedam niˇstica.

Zadatak 19.

Koja je posljednja znamenka umnoˇska prvih stotinu prostih brojeva? - njima je i Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostali prosti brojevi, a medu broj 5, neparni. Zbog toga umnoˇzak zavrˇsava nulom.

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

U kvadratiće upiˇsi broj tako da dobijeˇs toˇcne jednakosti: 1) −11 + 3) 23 +

= −24 ; = −1 ;

5) 33 − (−44) =

Zadatak 21.

− (−45) = 13 ;

4)

+ (−17) = −34 ;

6) −75 − 28 =

;

= 77 ;

8)

− (−111) = −205 .

1)

= −24 + 11 = −13 ;

2)

= 13 − 45 = −32 ;

3)

= −1 − 23 = −24 ;

4)

= −34 + 17 = −17 ;

5)

= 33 + 44 = 77 ;

6)

= −75 − 28 = −103 ;

7)

= 77 + 61 = 138 ;

8)

= −205 − 111 = −316 .

7) −61 + Rjeˇsenje.

;

2)

Izraˇcunaj: 1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ; 2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ; 3) (−12) · (−11) − (−10) · (−15) ; 4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

Rjeˇsenje.

4

1) 2) 3) 4)

−5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) = −5 · (−9) − 4 · (−9) = 45 + 36 = 81 ; 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) = −6 + 20 + 42 = 56 ; (−12) · (−11) − (−10) · (−15) = 132 − 150 = −18 ; −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 = 36 − 70 − 11 = −45 .

Zadatak 22.

Raˇcunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . . Ako imamo konaˇcan broj pribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?

Rjeˇsenje.

Ako je n paran broj onda imamo (1−2)+(3−4)+(5−6)+. . .+[(n−1)−n] = n n · (−1) = − ; 2 2

1 Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) + (−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . + n n [−(n − 1) + n] = · 1 = . 2 2

Zadatak 23.

Najviˇsa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabiljeˇzena je u Libiji 13.9.1922. Iznosila je 57.8 ◦ C ili 136 ◦ F . Najniˇza je izmjerena na Antarktici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je termometar pokazivao −89.2 ◦ C ili −128.6 ◦ F . - najniˇze i najviˇse temperature ikad izmjerene na ZemKolika je razlika izmedu lji? U Hrvatskoj je do sada najviˇsa izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦ C ili 109 ◦ F , a izmjerena je 5.8.1998. u Ploˇcama. Najniˇza temperatura izmjerena je ˇ u Cakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦ C ili −31.5 ◦ F . - najviˇse i najniˇze izmjerene temperature u Hrvatskoj? Kolika je razlika izmedu

Rjeˇsenje.

Na Zemlji: 57.8 ◦ C − (−89.2 ◦ C) = 147 ◦ C ili 136 ◦ F − (−128.6 ◦ F) = 264.6 ◦ F ; U Hrvatskoj: 42.8 ◦ C − (−35.5 ◦ C) = 78.3 ◦ C ili 109 ◦ F − (−31.5 ◦ F) = 140.5 ◦ F .

Zadatak 24.

Arhimed je zˇ ivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr. Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Arhimed je zˇ ivio od − 287. do − 212. g. Koliko je godina poˇzivio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljedeće matematiˇcare: Tales je zˇ ivio od − 620. do − 540. godine. Vitruvije je zˇ ivio od − 75. do 15. godine. Heron je zˇ ivio od 10. do 70. godine.

Rjeˇsenje.

Arhimed je zˇ ivio −212 − (−287) = 75 godina. Tales je zˇ ivio −540 − (−620) = 80 godina. Vitruvije je zˇ ivio 15 − (−75) = 90 godina. Heron je zˇ ivio 70 − 10 = 60 godina.

Rjeˇsenja zadataka 1.2 Zadatak 1. Rjeˇsenje.



5 5 3 , , , 2 4 8 5 5 = 2.5 , = 1.25 , 2 4

Razlomke

15 prikaˇzi u obliku decimalnog broja. 16 3 15 = 0.375 , = 0.9375 . 8 16

Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikaˇzi u obliku razlomka. 0.5 =

1 1 3 5 1 , 0.25 = , 0.125 = , 0.75 = , 0.625 = . 2 4 8 4 8

Poredaj po veliˇcini brojeve:

2 , 66 % , 0.666 , 0.6˙ . 3

2 = 0.6˙ i Prikaˇzimo razlomak i postotak u obliku decimalnog broja: 3 66 % = 0.66 . Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema najvećem su: 2 0.66 , 0.666 , = 0.6˙ 3

5

1


Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.




6

1 ˙ koliko je 1 ? = 0.3, 3 30 6 2 ˙ ˙ Ako je = 0.285714, koliko je 2 ? 7 7 1 1 1 = · = 0.3˙ : 10 = 0.03˙ . 30 3 10 14 + 6 20 2 6 ˙ ˙ = = · 10 = 0.28571 4˙ · 10 = 2.85714 2 = 2˙ . 7 7 7 7

Ako je

Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja: 5 3 5 1) ; 2) ; 3) ; 6 11 13 5 3 5 ˙ 1) = 0.83˙ ; 2) = 0.2˙ 7˙ ; 3) = 0.38461 5˙ ; 6 11 13

4) 4)

6 . 7

6 ˙ = 0.85714 2˙ . 7

Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne toˇcke u decimalnom zapisu svakog od cˇ etiriju brojeva iz prethodnog zadatka? 5 = 0.83˙ ; Na svim decimalnim mjestima je znamenka 3 pa je i na 101. 1) 6 mjestu. 3 2) = 0.2˙ 7˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od dvije znamenke (27). Podi11 jelimo li 101 s 2 dobit cémo 50 i 1 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 2. 5 ˙ 3) = 0.38461 5˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki (384615). 13 Podijelimo li 101 s 6 dobit cémo 16 i 5 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 1. 6 ˙ 4) = 0.85714 2˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki (857142). 7 Podijelimo li 101 s 6 dobit cémo 16 i 5 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 4. Odredi 303. znamenku u decimalnom zapisu broja

15 . 37

15 ˙ 5˙ . = 0.405405 . . . = 0.40 37 15 uzastopno se ponavlja skupina od tri znamenU decimalnom zapisu broja 37 ke (405). Podijelimo li 303 s 3 dobit cémo 101. To znaˇci da na 303. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 5. Odredi 777. znamenku u decimalnom zapisu broja −

111 . 11

111 = −10.090909 . . . = 0.0˙ 9˙ . 11 15 U decimalnom zapisu broja uzastopno se ponavlja period od dvije zna37 menke (09). Podijelimo li 777 s 2 dobit cémo 388 i ostatak 1. To znaˇci da cé na 777. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 0. −


Zadatak 10.

Odredi 1500. znamenku u decimalnom zapisu broja

3 ˙ = 0.230769230769 . . . = 0.23076 9˙ . 13 15 U decimalnom zapisu broja uzastopno se ponavlja period od sˇ est znamenki 37 (230769). Podijelimo li 1500 s 6 dobit cémo 250. To znaˇci da na 1500. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 9. Za koje su cijele brojeve a brojevi ni?

Rjeˇsenje.




Zadatak 14.

Zadatak 15.

1 a+2 je racionalni broj za sve cijele brojeve a , a = 0 . Broj je a a(a − 3) a racionalan za sve a , a = 0 i a = 3 . Broj je racionalan za sve a , 2a − 10 a+2 je racionalan za sve a , a = −2 i a = 2 . a = 5 . Broj 2 a −4 Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak Razlomak

6 cijeli broj. n+1

6 je cijeli broj za n = −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2 i 5. n+1

Za koje je cijele brojeve n razlomak

6 cijeli broj? n−1

n ∈ {−5, −2, −1, 0, 2, 3, 4, 7} . Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak Zapiˇsimo

n+2 cijeli broj. n−2

n+2 n−2+4 4 = =1+ te je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} . n−2 n−2 n−2

Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti: 2 x = ; 12 3

2)

4 2 = ; x 5

3)

3 x = . 7 21

U rjeˇsavanju primjenjujemo definiciju jednakosti racionalnih brojeva. 1) 3x = 24 , slijedi x = 8 ; 2) 2x = 20 , slijedi x = 10 ; 3) 7x = 63 , slijedi x = 9 . Za koji cijeli broj x vrijedi: 1)

Rjeˇsenje.

a+2 a a+2 1 , , , racionala a(a − 3) 2a − 10 a2 − 4

Broj

1) Rjeˇsenje.

3 . 13

x 1 = ; 5 20

2)

x 1 =− ; 6 3

3) −

x 5 = ? 24 6

1) Iz 5x = 20 slijedi x = 4 ; 2) Iz 3x = −6 slijedi x = −2 ; 3) Iz −6x = 120 slijedi x = −20 .

7

1


Zadatak 16.

Za koji je broj x ispunjena jednakost

9+x 2 = ? 15+x 3

Rjeˇsenje. 9+x 2 = , 15 + x 3 3(9 + x) = 2(15 + x), 27 + 3x = 30 + 2x, x = 30 − 27 = 3.

Zadatak 17.

Za koji je broj x ispunjena jednakost

123−x 5 = ? 101+x 9

Rjeˇsenje. 9(123 − x) = 5(101 + x), 1107 − 9x = 505 + 5x, −14x = −602, x = 43.

Zadatak 18.

15 oduzmemo isti broj x , dobit c´ emo Ako od brojnika i nazivnika razlomka 32 4 . Koliki je x ? razlomak 21

Rjeˇsenje. 15 − x 4 = , 32 − x 21 21(15 − x) = 4(32 − x), 315 − 21x = 128 − 4x, −21x + 4x = 128 − 315, −17x = −187, x = 11.

Zadatak 19.

113 dodamo neki broj, a isti taj broj oduzmemo od 212 2 nazivnika, dobit c´ emo razlomak . O kojem se broju radi? 3

Ako brojniku razlomka

Rjeˇsenje. 113 + x 2 = , 212 − x 3 3(113 + x) = 2(212 − x), 339 + 3x = 424 − 2x, 5x = 85, x = 17.

8

1 Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

Skrati razlomke: 105 1155 1) ; 2) ; 168 5775

6 930 3 333 333 135 135 ; 4) ; 5) . 12 870 5 555 555 234 234 105 3·5·7 5 1) 105 = 3 · 5 · 7, 168 = 8 · 3 · 7, = = ; 168 8·3·7 8 1155 1155 1 2) 5775 = 5 · 1155, = = ; 5775 5 · 1155 5 7 6 930 = ; 3) 6930 = 10 · 9 · 7 · 11, 12870 = 10 · 9 · 11 · 13, 12 870 13 3 3 333 333 = ; 4) 3 333 333 = 3 · 1 111 111, 5 555 555 = 5 · 1 111 111, 5 555 555 5 5) 135 135 = 135 · 1001 = 9 · 15 · 1001, 234 234 = 234 · 1001 = 15 135 135 = . 9 · 26 · 1001, 234 234 26 3)

Poredaj po veliˇcini brojeve: 3 3 11 19 17 67 , , , , ; 2) , 0.7˙ , 4 12 24 18 72 4 3 11 19 17 67 3) − , − , − , − , − . 4 12 24 18 72 3 19 11 67 17 3 13 1) , , , , ; 2) 0.7 , , 0.7˙ , , 4 24 12 72 18 4 16 67 11 3 17 19 3) − , − , − , − , − . 72 12 4 18 24

1)

Rjeˇsenje.



Zadatak 24.

Rjeˇsenje.

13 29 , 0.7 , ; 16 32

29 ; 32

1 2 a , a , a + b, a · b, ? a b 1 1 25 1 1 1 7 1 a= =⇒ = 3 , a2 = , b = = =⇒ a + b = + = , 3 a 9 100 4 3 4 12 1 4 1 1 1 a 3 = . a·b= · = , = 1 3 4 12 b 3 4

Ako je a = 0.3˙ , b = 0.25 , koliko je

1 1 1 1 1 1 + = 1 , + = 2 , + = 5 , koliko je a + b + c ? a b b c c a 1 1 1 a = , b = −1 , c = , a + b + c = − . 2 3 6

Ako je

1 1 1 − = izraˇcunaj: n n+1 n · (n + 1) 1 1 1 1 + + + ...+ . 1·2 2·3 3·4 99 · 100

Primjenjujući jednakost

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. . .+ = − + − + − +. . .+ − = 1·2 2·3 3·4 99 · 100 2 2 2 3 3 4 99 100 99 1 = . 1− 100 100

9

1


Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

10

Izraˇcunaj: 4 3 1 · −2 − 0.2 : − ; 1) 1.6 − 5 4 5 4 5 4 − 1.8 : −1 + 0.1 · − ; 2) 5 5 9 3 2 2 2 3) − 1+ : 0.75 − : 1.25 − 1 ; 2 3 3 3 1 3 2 7 − 1.2 1 + 1 4) : 2.5 − : −3 . 5 2 5 8 3 4 1 4 16 3 9 2 1) 1.6 − − : − · −2 − 0.2 : − = · − − 5 4 5 10 5 4 10 5 9 1 5 9 1 9 1 8 3 − · − − · − = 1· − + =− + = 5 5 4 5 4 4 4 4 4 8 = − = −2; 4 4 4 5 5 9 1 4 18 2) − 1.8 : −1 − · − + 0.1 · − = : − + 5 5 9 5 10 5 10 9 5 5 1 10 − 1 4 9 5 1 1 − = −1 · − = − = = · − − − 5 5 9 18 9 18 9 18 18 1 9 = ; = 18 2 3 2 2 2 3) − 1+ : 0.75 − : 1.25 − 1 2 3 3 3 2 125 3 2 3+2 75 − · − −1 = : : 2 3 3 100 3 100 3 10 3 2 5 3 2 5 9−8 4 − · − − · −1 = : : −1 = : 2 3 3 4 3 4 2 9 12 5 1 4 1 27 − 20 7 7 1 − 15 = : · −1 = : −1 = : 18 12 5 18 15 18 15 15 5 7 · − =− ; = 18 14 12 3 1 2 7 4) − 1.2 1 + 1 : 2.5 − : −3 5 2 5 8 3 12 25 2 7 3 = − − 1+ : : −3 5 10 2 10 5 8 3 6 2+3 5 2 8 = − · − : · −3 5 5 2 2 5 7 3 6 5 3 21 8 25 − 4 8 = − · · −3 = −3 : · −3 : 5 5 2 10 7 5 10 7 12 3 − 15 12 12 − 15 12 5 = : −3 =− : =− · − = 4. 5 5 5 5 5 3

1 Zadatak 26.

Izraˇcunaj: 4 7 + 0.59 : 0.125 + 3.5 25 24 ; 2) . 1) 3 2 − 0.15 : 4 − 0.25 4 3 79 59 4 316 + 59 + 3 + 0.59 100 = 25 100 1) 25 = 3 3 75 − 15 15 1 − 0.15 : 4 − :4 · 4 4 100 100 4 375 375 375 100 = = 25 ; = 100 = 60 1 15 15 · 100 4 100 7 7 1 7 7 7 125 35 7 : + : + : 0.125 + 3.5 ·8+ 2 2) 24 = 24 1000 10 = 24 8 2 = 24 2 2 1 8−3 25 2 − 0.25 − − 3 3 4 12 3 100 7 7 14 + 21 35 + 70 6 = 14 . = 3 2 = = 6 = 5 5 5 5 12 12 12 3

Rjeˇsenje.

Zadatak 27.

Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj: ⎛

⎛ ⎞ ⎞ 1 1 1 1 3 − 1− 3 + 0.875 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0.75 3. 2 ⎠· 2 3 ; 4⎠· : 2) ⎝ : 1) ⎝ 1 1 2 1 1 1.4 1.2 − 1 − 1.2 3.2 − 1 1+ 3 3 4 3 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 3−2 75 3 1 3+ 3+1 − ⎜ 0.75 ⎜ 2⎟ 2⎟· 6 1) ⎝ : · 2 3 = ⎝ 100 : ⎠ 2 1 1 14 ⎠ 4 − 3 5 12 1.4 − 1 − 1.2 − 3 3 4 10 12 3 10 ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 3 6+3 9 3 3 45 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ·2 =⎝ 4 : 2 ⎠· 6 =⎝ : 2 ·2=⎝ 4 : 7 1 7 14 ⎠ 5 6 25 − 18 7 ⎠ − 12 5 15 15 3 5 5 45 14 1 · = · 2 = · 2 = 1; 28 45 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3−1 1 875 3 12 + 3 1 − 3 + ⎜ 0.875 ⎟ ⎟ ⎜ 3 = ⎝ 1000 : 4⎠· 4 2) ⎝ · 3 : 32 4 12 ⎠ 4 + 1 1 1 1.2 − 3.2 − 1 1+ 3 4 10 3 10 4 ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 2 7 7 7 15 25 ⎟ 8 8⎟ 8 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 8 8 : 4 ⎠· 3 =⎝ : · =⎝ 8 · = · 16 4 6 48 − 20 8 ⎠ 15 ⎝ 28 25 ⎠ 15 5 − 5 3 5 15 15 4 2 15 8 8 · · = . = 32 25 15 25 3+1

11

1


Zadatak 28.

Izraˇcunaj x iz sljedećih jednakosti, primjenjujući svojstva osnovnih raˇcunskih operacija s racionalnim brojevima: 32 = (2x − 48) : 2.4 ; 1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ; 2) (184 + x): 5 4 3) 1 : 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) ; 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ; 5 5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ; 10 = 1; 7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ; 8) [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 5 (x − 11.875) : (100 − 3x)·4 8 = 1; 9) 208: 112 − =2 ; 10) 1 8 23 −2 0.625 · 25 5 (145 − 24x) : 5 + 24 : 5 = 5 ; 11) 29 4 3 3 15 12) − 1 = 5.625 . 3 8 (5.5 + x) : 21 7

Rjeˇsenje.

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 4.8 : (3.3 − x) = 12 4.8 = 12(3.3 − x) 4.8 = 39.6 − 12x 12x = 39.6 − 4.8 12x = 34.8 x = 34.8 : 12 x = 2.9;

2) (184 + x) : 32 = (2x − 48) : 2.4 5 5 24 (184 + x) · = 2(x − 24) : 32 10 5 5 = (x − 24) · 2 · (184 + x) · 32 12 1 1 = (x − 24) · (184 + x) · 16 3 3 · (184 + x) = (x − 24) · 16 552 + 3x = 16x − 384 3x − 16x = −384 − 552 −13x = −936

3) 1 :

4 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) 5 4 x + 4 = 55 · 3 − 0.8x 5 15 + 4 x + 4 = 55 · − 55 · 0.8x 5 x + 4 = 209 − 44x x + 44x = 209 − 4 45x = 205 41 ; x= 9

12

x = 72;

1 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 1.2 − 0.8 − x = −3.6

5)

1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 1.1 − 5x − 5.5 = 11.1

0.4 − x = −3.6 −x = −3.6 − 0.4

−4.4 − 5x = 11.1 −5x = 11.1 + 4.4 −5x = 15.5 x = −3.1;

x = 4;

6)

12 · (0.22 − x) = −1.44 12 · 0.22 − 12x = −1.44

7)

−0.36 − 1.2x = −3.6 −1.2x = −3.6 + 0.36

2.64 − 12x = −1.44 −12x = −1.44 − 2.64 −12x = −4.08 x = 0.34; 8)

10 =1 [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 = 10 [(8x + 24) : 5] : 4 = 4 (8x + 24) : 5 = 16 8x + 24 = 80 8x = 80 − 24 8x = 56 x = 7;

−1.2 · (0.3 + x) = −3.6 −1.2 · 0.3 − 1.2x = −3.6

−1.2x = −3.24 x = 2.7; (100 − 3x) · 4 =2 9) 208 : 112 − 23 400 − 12x =1 104 : 112 − 23 400 − 12x = 104 112 − 23 400 − 12x − = 104 − 112 23 400 − 12x = −8 · (−23)

5 (x − 11.875) : 10) 11) 8 =1 1 8 −2 0.625 · 25 5 625 8 11 11875 5 · − x− : = 1000 8 1000 25 5 95 8 5 8 11 x− · = · − 8 5 8 25 5 1 11 8 x − 19 = − 5 5 5 8 x = −2 + 19 5 5 x = 17 · 8 85 x= 8 5 x = 10 ; 8

−12x = 184 − 400 x = −216 : (−12)

x = 18; (145 − 24x) : 5 + 24 : 5 = 5 29 (145 − 24x) : 5 + 24 · 29 = 25 29 24 29 − x + 696 = 725 5 24 725 − x = 725 5 24 − x=0 5 x = 0;

13

1


12)

3

4 15

3 (5.5 + x) : 21 7 49 15

−1

3 = 5.625 8

5625 11 + = 150 1000 8 (5.5 + x) : 7 49 45 11 15 + = 55 7 8 8 +x · 10 150 49 15 · 7 + 7 x = 56 55 150 150 8 10 49 15 =7 7 77 + x 300 150 539 49 49 = + x 15 300 150 49 · 20 = 539 + 49 · 2x −98x = −980 + 539 −98x = −441 9 x= . 2




14

a + 2b − 3c ? 3a − 2b + c Iz a : b : c = 1 : 2 : 4 =⇒ a = k , b = 2k , c = 4k . k + 2 · 2k − 3 · 4k k + 4k − 12k −7k 7 a + 2b − 3c = = = =− . 3a − 2b + c 3k − 2 · 2k + 4k 3k − 4k + 4k 3k 3 Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko je

Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8 . Iz x + y = 135 i x : y = 7 : 8 imamo x = 7k i y = 8k . 7k + 8k = 135 =⇒ k = 9 . Odavde slijedi da je x = 7 · 9 = 63 i y = 8 · 9 = 72 . 135 = 63 + 72 . Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ? 7 x 7 5 x 35 3x = =⇒ = · =⇒ = . Slijedi x : y = 35 : 33 . 5y 11 y 11 3 y 33

Zadatak 32.

Ako su veliˇcine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 , koliki je najveći kut trokuta?

Rjeˇsenje.

α = k , β = 3k i γ = 4k . Iz α +β +γ = 180◦ slijedi k+3k+4k = 180◦ =⇒ 8k = 180◦ =⇒ k = 22.5◦ . Najveći kut u trokutu je γ = 4k = 4·22.5 = 90◦ .

Zadatak 33.

Mjere unutarnjih kutova cˇ etverokuta u omjeru su 1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjera najmanjeg kuta ovog cˇ etverokuta?

1 Rjeˇsenje.

Zbroj svih kutova cˇ etverokuta iznosi 180◦ pa iz zadanog omjera imamo k + 2k + 3k + 4k = 360 , 10k = 360◦ . Najmanji kut ovog cˇ etverokuta ima mjeru 36◦ .

Zadatak 34.

Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako je a : b = 5 : 4 , a : c = 3 : 5 , a opseg trokuta iznosi 156 cm, kolika je duljina najkraće stranice ovog trokuta?

Rjeˇsenje.

5 4 Iz a : b = 5 : 4 =⇒ b = a , a iz a : c = 3 : 5 =⇒ c = a . Odavde 5 3 slijedi 4 5 15 + 12 + 25 52 a + a + a = 156 cm, a = 156 cm, a = 156 cm, 5 3 15 15 a = 45 cm, b = 36 cm, c = 75 cm. Duljina najkraće stranice je b = 36 cm.

Zadatak 35.

Broj 2 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8 .

Rjeˇsenje.

x + y + z = 2400 i x : y : z = 3 : 5 : 8 . Slijedi x = 3k , y = 5k , z = 8k . Uvrstimo li to u prvu jednadˇzbu dobit c´ emo 3k + 5k + 8k = 2400 =⇒ 16k = 2400 =⇒ k = 150 . Odavde slijedi x = 3 · 150 = 450 , y = 5 · 150 = 750 i z = 8 · 150 = 1200 .

Zadatak 36.

Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5 .

Rjeˇsenje.

a : b : c = 9 : 12 : 20 , dijelovi su redom 9k , 12k i 20k te iz 41k = 697 dobijemo k = 17 i a = 153 , b = 204 , c = 340 .

Zadatak 37.

Opseg oranice iznosi 2 800 metara. Kolike su duljina i sˇ irina oranice ako su u omjeru 5 : 9 ?

Rjeˇsenje.

d : sˇ = 5 : 9 =⇒ d = 5k , sˇ = 9k . O = 2d + 2ˇs = 10k + 18k = 28k . 2800 = 28k =⇒ k = 100 . Slijedi da je duljina oranice d = 5 · 100 = 500 m i sˇ = 9 · 100 = 900 m.

Zadatak 38.

Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koliko treba vremena da bi se napunilo 0.9 obujma bazena?

Rjeˇsenje.



0.3 : 0.9 = 1.5 : x =⇒ 1 : 3 = 1.5 : x =⇒ x = 4.5 . Nakon 12 minuta gorenja duljina svijeće smanji se s 30 cm na 25 cm. Nakon koliko cé vremena svijeća dogorjeti? 5 : 25 = 12 : x =⇒ 5x = 25 · 12 =⇒ x =

25 · 12 = 60 minuta. 5

Ako su od 70 proizvoda 3 s greˇskom, koliko se proizvoda s greˇskom moˇze oˇcekivati u 840? 840 · 3 70 : 840 = 3 : x =⇒ 70x = 840 · 3 =⇒ x = = 36 proizvoda. 70

Zadatak 41.

U jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike 1/ 3 uˇcenika nije rijeˇsila jedan zadatak, 1/ 4 nije rijeˇsila po dva zadatka, 1/ 6 po po tri zadatka, a 1/ 8 sva cˇetiri zadatka. Koliko je uˇcenika toˇcno rijeˇsilo sve zadatke ako je u razredu manje od 30 uˇcenika?

Rjeˇsenje.

Najmanji prirodni broj djeljiv sa 3, 4, 6 i 8 je broj 24 (sljedeći je 48). Dakle, barem jedan zadatak netoˇcno je rijeˇsio ukupno 21 uˇcenik pa je sve zadatke rijeˇsilo samo troje.

15

1


Rjeˇsenja zadataka 1.3 Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.




Zadatak 6. 16

Koji su od sljedećih √ brojeva racionalni: 11 √ 5 π 2 − , 17 , , − , 5 , √ , −444 ? 15 2 2 5 Racionalni su brojevi: −

11 , 5 , −444 . 15

- kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalaze sljedeći brojevi: Izmedu √ √ √ √ 5π , − 77 , 777 , −15π ? 117 , − 515 , 3 √ √ √ 5π 10 < 117 < 11 , −23 < 515 < −22 , 5 < < 6 , −9 < − 77 < −8 , 3 √ 27 < 777 < 28 , −48 < −15π < −47 . 22 355 √ , π, , 9.9 . 7 113 Broj π je iracionalan broj. On je pribliˇzno jednak 3.1415926535 . . . Nadalje √ 22 355 je: = 3.142857 . . . , = 3.1415929 . . . , 9.9 = 3.14642 . . . 7 113 355 22 √ , , 9.9 . Poredani po veliˇcini dani brojevi cˇ ine niz: 3.14 , π , 113 7 Poredaj po veliˇcini brojeve: 3.14 ,

Je li broj 0.3333 . . . racionalan ili iracionalan? Obrazloˇzi! Odgovor je neizvjestan, ne znaju se ostale znamenke danog broja. √ Postupajući kao u “Kutku plus” dokaˇzi da broj 3 nije racionalan broj. √ Kad bi 3 bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku koliˇcnika dvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da on to jest, da ga moˇzemo zapisati u √ m obliku razlomka , gdje su m i n prirodni brojevi (jer je 3 pozitivan broj). - moˇzemo npretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi, Takoder kratili bismo ih sve dok to moˇzemo, dok barem jedan od njih ne bude neparan. m √ m2 Kvadriramo jednakost = 3 i dobijemo 3 = 2 , odnosno m2 = 3n2 . n n 2 Ako je n neparan, n2 je isto neparan pa je i m neparan. Ako je n pa√ ran onda je i m paran sto ako je 3 racionalan ne moze biti jer je zapisan m pa bi se moglo skratiti s 2. Dakle, m i n moraju biti nekao razlomak √n parni da bi 3 bio racionalan. Uvrstimo li m = 2k − 1 i n = 2l − 1 , dobijemo 4k2 − 4k + 1 = 3(4l2 − 4l + 1) , 4k2 − 4k + 1 = 12l2 − 12l + 3 , 4k2 −4k = 12l2 −12l+2 . Skratimo sve s 2 i izlucimo: 2k(k−1) = 6l(l−1)+1 . Lijeva strana jednadzbe je ocito parna, a desna neparna sto je nemoguce te za√ kljucujemo da je 3 iracionalan. √ √ √ √ Dokaˇzi da je broj 2 + 3 iracionalan. Uputa: zapiˇsi 2 + 3 = a , gdje je a racionalan broj.

1 Rjeˇsenje.

√ √ Pretpostavimo √ broj. Tada je √ da je 2 + 3 = a , pri cˇ emu je a racionalan √ 3 = a − 2 . Kvadriramo ovu jednakost pa imamo a2 − 2 2a = 1 . Dalje √ a2 − 1 je 2 = . Kako je s lijeve strane ove jednakosti iracionalan, a s desne 2a racionalan broj (Zaˇsto?), ona je proturjeˇcna. Pretpostavka je bila pogreˇsna i zakljuˇcujemo kako je dani broj iracionalan.

Zadatak 7.

Odredi sˇ est brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina jednaka 3, a svaki je sljedeći od prethodnog veći za 0.4.

Rjeˇsenje.

Tih sˇ est brojeva oznaˇcimo ovako: x − 0.8, x − 0.4, x, x + 0.4, x + 0.8, x + 1.2 . Slijedi da je aritmetiˇcka sredina x − 0.8 + x − 0.4 + x + x + 0.4 + x + 0.8 + x + 1.2 =3 6 6x + 1.2 =3 6 x + 0.2 = 3 x = 2.8. Ti su brojevi: 2, 2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 4.

Zadatak 8.

Srednja vrijednost 15 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 14. Koji je najmanji, a koji je najveći od tih brojeva?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo te brojeve ovako: n − 7, n − 6, n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7 , n > 7 . Srednja vrijednost je

n−7+n−6+n − 5+n−4+n−3+n − 2+n−1+n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7 = 14 15 15n = 14 15 n = 14. Srednji je broj 14, najmanji je 7, a najveći 21.

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.


Zadatak 11.

Prosjeˇcna teˇzina djeˇcaka u razredu je 55 kg, a prosjeˇcna teˇzina djevojˇcica 47 kg. Koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka ako je prosjeˇcna teˇzina svih uˇcenika tog razreda 49 kg? 55m + 47c = 49 slijedi m+c 55m + 47c = 49m + 49c te je c = 3m . U razredu je tri puta viˇse djevojˇcica nego djeˇcaka. Ako je m broj djeˇcaka, a c broj djevojˇcica, tada iz

Koji je od brojeva 28, 30, 26, 37 i 29 aritmetiˇcka sredina ostalih cˇetiriju? 28 + 30 + 26 + 37 + 29 150 = = 30 . 5 5 Odredi sedam brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina 6.6, a svaki je sljedeći broj od prethodnog manji za 0.2.

17

1


Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo te brojeve ovako: x − 0.6, x − 0.4, x − 0.2, x, x + 0.2, x + 0.4, x + 0.6 . Aritmetiˇcka sredina je x − 0.6 + x − 0.4 + x − 0.2 + x + x + 0.2 + x + 0.4 + x + 0.6 = 6.6 7 7x = 6.6 7 x = 6.6. Ti su brojevi 6, 6.2, 6.4, 6.6, 6.8, 7, 7.2.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

18

Prosjeˇcna starost igraˇca jedne nogometne momˇcadi, njih jedanaestorice, je 25.5 godina. Ako je iz igre iskljuˇcen igraˇc star 20.5 godina, kolika je prosjeˇcna starost igraˇca koji su ostali u igri? 25.5 · 11 − 20.5 = 26 godina. Prosjeˇcna starost igraˇca je 26 godina. 10 U nekom razredu s 30 uˇcenika prosjeˇcna ocjena općeg uspjeha je 3.85. S prosjekom 5.0 razred je zavrˇsilo 6 uˇcenika. Kolika je prosjeˇcna ocjena ostalih 24 uˇcenika? 3.85 · 30 − 6 · 5 = 3.5625 . Prosjeˇcna ocjena ostalih 24 uˇcenika je .5625 . 24 2 1 U nekoj je sˇ koli svih uˇcenika zavrˇsila razred s odliˇcnim uspjehom, s vrlo 6 3 1 dobrim, s dobrim. S dovoljnim nije zavrˇsio niti jedan uˇcenik, a 13 uˇcenika 8 upućeno je na popravni ispit. Kolika je srednja ocjena uˇcenika koji su uspjeˇsno zavrˇsili sˇ kolsku godinu?

Rjeˇsenje.

Ako s x oznaˇcimo broj svih uˇcenika sˇ kole, onda je 1 2 1 x + x + x + 13 = x. 6 3 8 Odatle se dobije x = 312 . Sada izraˇcunamo da su u sˇ koli 52 odlikaˇsa, da je 208 uˇcenika razred zavrˇsilo s vrlo dobrim uspjehom, a 39 s dobrim. Raˇcunajmo srednju ocjenu: 1209 52 · 5 + 208 · 4 + 39 · 3 = ≈ 4.04. 299 299

Zadatak 15.

Prosjeˇcna visina djevojˇcica u nekom razredu je 164 cm, a djeˇcaka 172 cm. Ako je prosjeˇcna visina svih u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka u tom razredu?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo s c broj djevojˇcica i s d broj djeˇcaka u tom razredu. Aritmetiˇcka 164 · c + 172 · d = 167 . Odavde slijedi 164c + 172d = sredina jednaka je c+d 167c + 167d =⇒ 5d = 3c =⇒ c : d = 5 : 3 . Omjer brojeva djevojˇcica i djeˇcaka u tom razredu je 5 : 3 .

Zadatak 16.

Hotel Plavi Jadran, cˇ iji je kapacitet 180 postelja, u 7. i 8. mjesecu bio je popunjen 95 % , u 6. i 9. popunjenost je bila 75 % . U trima zimskim mjesecima hotel je bio zatvoren, a u ostalim mjesecima popunjenost je bila 45 % . Koliki je bio prosjeˇcan mjeseˇcni broj gostiju tog hotela u vremenu kada je hotel bio otvoren?

1 Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Zadatak 18.

Rjeˇsenje.



Najprije izraˇcunamo broj gostiju po pojedinom mjesecu. U VII. i VIII. mjesecu u hotelu je dnevno boravio prosjeˇcno 180 · 0.95 = 171 gost. U VI. i IX. mjesecu prosjek gostiju je bio 180 · 0.75 = 135 , a prosjek u ostalih 5 mjeseci kada je hotel bio otvoren iznosio je 180 · 0.45 = 81 . I sada raˇcunamo ukupan prosjek za cijelu godinu: 1017 171 · 2 + 135 · 2 + 81 · 5 = = 113. 9 9 7 5 i . Uvjeri se da je taj broj veći od Odredi aritmetiˇcku sredinu brojeva 12 15 manjeg, a manji od većeg od tih dvaju brojeva. 25 + 28 7 5 + 53 53 5 12 15 60 = = . I sada je > = Aritmetiˇcka sredina je 2 2 120 120 12 50 53 7 56 , te < = . 120 120 15 120 Koristeći se svojstvom aritmetiˇcke sredine odredi pet brojeva koji su veći od 5 8 , a manji od . 6 9 5 8 15 + 16 + 5 8 31 6 9 18 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je = = . 6 9 2 2 36 5 31 30 + 31 + 5 31 61 36 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je 6 36 = = . 6 36 2 2 72 31 8 31 + 32 + 31 8 63 36 9 36 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je = = . 36 9 2 2 72 5 61 60 + 61 + 5 61 121 6 72 72 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je = = . 6 72 2 2 144 8 63 64 + 63 + 127 8 63 9 72 72 i je = = . Aritmetiˇcka sredina brojeva 9 72 2 2 144 121 61 31 63 127 8 5 < < < < < . Slijedi < 6 144 72 36 72 144 9 Za neku je gradnju potrebno 200 000 komada opeke. Ako je otpad zbog loma 4.5% koliko komada treba nabaviti? 4.5 4.5 95.5 x− x = 200 000 , x 1 − = 200 000 , x · = 200 000 , 100 100 100 200 000 · 100 x= ≈ 209 425 . 95.5 Kava pri prˇzenju gubi 12% mase. Koliko treba sirove kave da bi se prˇzenjem dobilo 10 kg prˇzene? 88 12 = 10 , x · = 10 , x ≈ 11.4 kg . x − 12%x = 10 , x 1 − 100 100

19

1





Netko za prijevoz robe plati 600 kn sˇ to cˇ ini 1.5% njezine vrijednosti. Koliko vrijedi roba? 600 · 100 1.5 x = 600 , x = = 40 000 . 100 1.5 U nekoj sˇ koli 55% svih uˇcenika su djevojˇcice. Ostalo su djeˇcaci i njih je za 60 manje nego djevojˇcica. Koliko je uˇcenika u toj sˇ koli? 55 55 − 45 45 x + 60 = x, x = 60 , x = 600 . U 100 100 100 55 sˇ koli je 600 uˇcenika. Od toga je 55%600 = · 600 = 330 djevojˇcica i 100 600 − 330 = 270 djeˇcaka. 45%x + 60 = 55%x ,

Uˇcenici triju razreda skupljali su stari papir. Razred A skupio je za 20% veću koliˇcinu od razreda B, a razred B za 20% manje od razreda C. Ako je ukupno skupljeno 759 kg papira, koliko je skupio pojedini razred? A + B + C = 759 A = B + 20%B = B(1 + 0.2) = 1.2B 1 B = 1.25B 0.8 1.2B + B + 1.25B = 759 =⇒ 3.45B = 759 =⇒ B = 220 kg

B = C − 20%C = C(1 − 0.2) = 0.8C =⇒ C = A = 1.2 · 220 = 264 kg C = 1.25 · 220 = 275 kg

20

Zadatak 24.

U predizbornoj kampanji jedan je politiˇcar obećao kako cé za vrijeme svojeg cˇ etverogodiˇsnjeg mandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi 20% i to tako da c´ e ga svake godine umanjiti za 5% u odnosu na prethodnu godinu. Moˇze li taj politiˇcar, bude li izabran, ispuniti svoje obećanje?

Rjeˇsenje.

Ne, ne moˇze. Uz navedene uvjete umanjenje cé biti 18.55%. Kad bi svake godine umanjenje bilo za 5% u odnosu na poˇcetno stanje, onda bi iznosilo 20%.

Zadatak 25.

Novine obavjeˇstavaju kako je porast cijene automobilskog goriva tijekom posljednje 3 godine bio redom za 4%, 5% i 8% Tako je u te 3 godine cijena porasla za ukupno 17%, zakljuˇcuje novinar. No ta je raˇcunica pogreˇsna. Izraˇcunajte koliko je porasla cijena goriva u posljednje tri godine.

Rjeˇsenje.

Prve godine cijena je porasla za 4% te je iznosila 1.04c , gdje je c cijena goriva prije poskupljenja. Naredne godine doˇslo je do poskupljenja za 5% te je nova cijena jednaka 1.04c + 1.04c · 0.05 = 1.04c · 1.05 = 1.092c . I konaˇcno, nakon novog poskupljenja za 8% cijena iznosi 1.092c+1.092·0.08 = 1.092·1.08c = 1.17936c . Ukupno poskupljenje dakle nije 17% već je gotovo 18%.

Zadatak 26.

Odgovori na sljedeća pitanja: 1) Koliko je uˇcenika u tvojem razredu zavrˇsilo osmi razred s općim uspjehom vrlo dobar? Izrazi taj broj u postotcima. 2) Na pismenom ispitu iz matematike u tvojem razredu 32% uˇcenika ocijenjeno je odliˇcnom ocjenom. Koliki je to broj uˇcenika?

Rjeˇsenje.

1) U mom razredu je bilo 25 uˇcenika. 9 ih je zavrˇsilo osmi razred s općim 9 = 0.36 = 36% . uspjehom vrlo dobar. To je 25

1 2) 25 · 32% = 30 · 0.32 = 8 . 8 uˇcenika je ocijenjeno odliˇcnom ocjenom na pismenom ispitu iz matematike.



U morskoj je vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma soli ima u jednom hektolitru morske vode? 1 hl = 100 l pa je u jednom hektolitru 0.003 · 100 = 0.3 kg soli. Od neke svote odbije se 8 % na troˇskove, a ostatak se podijeli na 5 osoba. Koliko je iznosila cijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn? x − 8%x = 930 , x − 0.08x = 4650 , 0.92x = 4650 , x = 5054.35 kn. 5


Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.




Zadatak 6.

Ispiˇsi sve elemente ovih skupova: 1) skup svih djelitelja broja 48; 2) skup svih zajedniˇckih viˇsekratnika brojeva 6 i 9 manjih od 150; 3) skup prostih brojeva manjih od 100; 4) skup svih dvoznamenkastih brojeva cˇije su znamenke 1, 2 ili 3. 1) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} ; 2) {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144} ; 3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} ; 4) {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} . π 0.7 1 Dan je skup S = − √ , 0.11, 3.14159, −101, , . 4 1.23 2 Napiˇsi podskup ovog skupa cˇiji su elementi iracionalni brojevi. 1 π SI = − √ , 2 4 Za prirodni broj n definiramo skup Sn = {x ∈ N : x < n} . Odredi skupove S1 , S10 i S1000 . S1 = {x ∈ N : x < 1} = ∅ ; S10 = {x ∈ N : x < 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; S1000 = {x ∈ N : x < 1000} = {1, 2, 3, . . . , 997, 998, 999} . Odredi sve skupove X za koje vrijedi X ⊆ {a, b, c} . X ∈ {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. ˇ Neka je A ⊆ B . Cemu su jednaki skupovi A ∩ B , A ∪ B ? A ∩ B = A, A ∪ B = B. U kojem su medusobnom odnosu sljedeći skupovi: 1) A = {n ∈ N : n = 3k} , B = {n ∈ N : n = 6k} ; 2) A = {n ∈ N : n = 4k − 1} , B = {n ∈ N : n = 2k + 4} ?

21

1


Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

1) B ⊆ A ; skup A sadrˇzi brojeve djeljive s 3, a skup B brojeve djeljive sa 6; 2) A ∩ B = ∅ ; skup A sadrˇzi neparne brojeve, a skup B parne. Odredi neki skup A tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∩ A = {1, 2} ; 2) {1, 2, 3} ∩ A = ∅ ; 3) {1, 2, 3} ∩ A = {3, 4} . 1) A je bilo koji skup koji sadrˇzi brojeve 1 i 2 ali ne i broj 3; 2) A je bilo koji skup koji ne sadrˇzi niti broj 1 niti broj 2 niti broj 3; 3) takav skup A ne postoji jer u prvom skupu nema broja 4. Odredi neki skup B tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ; 2) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3} .

Rjeˇsenje.

1) B je skup koji sadrˇzi brojeve 4 i 5 i moˇzda joˇs neki od brojeva 1, 2 ili 3, ali nikoji drugi broj. 2) B moˇze sadrˇzavati samo neke od brojeva 1 , 2 ili 3.

Zadatak 9.

Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = {3, 8} , A ∩ C = {8, 9} , B ∩ C = {8} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8, 9} , A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Odredi skupove A , B i C .

Rjeˇsenje.



Zadatak 12.

A = {1, 2, 3, 8, 9} , B = {3, 4, 8} , C = {5, 6, 7, 8, 9} . Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {3, 4} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} , A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7} . Odredi skupove A , B i C . A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 6, 7} , C = {3, 4, 5} . Skupovi A , B i C podskupovi su skupa prirodnih brojeva: A = {n : n = 2k − 1, k ∈ N} , B = {n : n = 3k, k ∈ N} , C = {n : n = 4k, k ∈ N} . Odredi skupove A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C . A = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .} , B = {3, 6, 9, 12, 15 . . .} , C = {4, 8, 12, 16, 20 . . .} . A ∪ B={1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15 . . .}={n : n = 2k − 1 ili n = 3k, k ∈ N} ; A∪C = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16 . . .} = {n : n = 2k − 1 ili n = 4k, k ∈ N} ; B ∪ C = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16 . . .} = {n : n = 3k ili n = 4k, k ∈ N} ; A ∩ B = {3, 9, 15 . . .} = {n : n = 6k − 3, k ∈ N} ; A ∩ C = ∅; B ∩ C = {12, 24, 36 . . .} = {n : n = 12k, k ∈ N} . ˇ se moˇze reći o skupovima A , B , C za koje vrijedi: Sto 1) A ∪ B = A , 3) A ∩ B ∩ C = A ,

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

22

1) B ⊆ A ;

2) A = B ;

2) A ∪ B = A ∩ B , 4) A ∪ B ∪ C = A ? 3) A ⊆ B i A ⊆ C ;

4) B ⊆ A i C ⊆ A .

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: A = {x ∈ N : 2 < x < 11} , B = {x ∈ N : 7 x 17} .

1 Rjeˇsenje.

A ∪ B = {x ∈ N : 2 < x 17} ;

A ∩ B = {x ∈ N : 7 x < 11} .

Zadatak 14.

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: A = {x ∈ Z : −12 < x < −1} ,

B = {x ∈ Z : −2 x 5} .

A ∪ B = {x ∈ Z : −12 < x 5} ;

A ∩ B = {−2} .

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.


Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: 1 1 1 A= x∈Q:0
23

2



Zapiˇsi u obliku potencije sljedeće umnoˇske 1) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 ; 2) 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 ; 2 2 2 2 · · · 3) ; 3 3 3 3 4) (a − b) · (a − b) · (a − b) ; 5) (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) . U svakoj potenciji uoˇci njezinu bazu i njezin eksponent.

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

1) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 77 ; 2) 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 = (0.4)5 ; 2 2 2 2 2 4 · · · = ; 3) 3 3 3 3 3 4) (a − b) · (a − b) · (a − b) = (a − b)3 ; 5) (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) = (ab)6 . Provjeri jednakosti: 1) 13 + 23 = 32 ; 2) 13 + 23 + 33 = 62 ; 3) 13 + 23 + 33 + 43 = 102 ; 4) 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 152 . Uoˇcavaˇs li pravilnost? Zapiˇsi i provjeri istinitost sljedeće jednakosti u ovom nizu.

Rjeˇsenje.

1) 1 + 8 = 9 ; 2) 1 + 8 + 27 = 36 ; 3) 1 + 8 + 27 + 64 = 100 ; 4) 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 . Vrijedi općenito: 13 + 23 + 33 + . . . + n3 =

n(n + 1) 2 2

.

No malo je prerano za provjeru te tvrdnje, valja priˇcekati do cˇetvrtog razreda.

Zadatak 3.

Odredi sve prirodne brojeve n za koje je: 1) 12 < 2n < 42 ; 2) 15 < 3n < 255 ; 3) 1234 < 10n < 100 001 .

Rjeˇsenje.

24

1) 12 < 24 < 25 < 42 , n = 4 ili n = 5 ; 2) 15 < 33 < 34 < 35 < 255 , n ∈ {3, 4, 5} ; 3) 1234 < 104 < 105 < 100 001 , n ∈ {4, 5} .


Zadatak 5.

1) Odredi najmanji prirodni broj n za koji je 5n > 3126 . 2) Odredi najveći broj n za koji je 10n < 55 565 . 1) 3126 = 55 + 1 , n = 6 ; 2) 104 = 10 000 < 55 565 , n = 4 . Kojom znamenkom zavrˇsavaju brojevi 222 , 333 , 444 , 555 ?

Rjeˇsenje.

Napiˇsimo 222 kao 222 = (24 )5 · 22 = 165 · 4 . Pomnoˇzimo li posljednje znamenke ovih brojeva dobit cémo 64. Posljednja znamenka broja 222 je 4. Broj 333 napiˇsemo kao (34 )8 · 3 = (81)8 · 3 . Zadnja znamenka broja (81)8 je 1. To joˇs pomnoˇzimo s 3 i dobijemo da je broju 333 posljednja znamenka 3. Napiˇsimo broj 444 kao 444 = (222 )2 . Posljednja znamenka broja 222 je 4, pa je posljednja znamenka broja 444 jednaka 6. Posljednja znamenka svih potencija broja 5 je 5, pa je posljednja znamenka broja 555 jednaka 5.

Zadatak 6.

Koristeći se zapisom potencije zapiˇsi sljedeće umnoˇske: 1) (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) ; 2) 7 · (−7) · 7 · (−7) · (−7) · 7 · (−7) ; 3) (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) ; 4) −3 · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

1) 2) 3) 4)

(−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) = (−10)6 ; 7 · (−7) · 7 · (−7) · (−7) · 7 · (−7) = 77 ; (−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1) = (−1)11 ; −3 · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) = (−3)5 .

Proˇcitaj brojeve. 1) 5 044 356 301 ; 3) 344 556 667 778 889 000 .

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

2) 1 234 567 890 112 ;

1) Pet milijardi cˇetrdeset cˇetiri milijuna tristo pedeset sˇ est tisuća tristo jedan; 2) Bilijun dvjesto trideset cˇetiri milijarde petsto sˇ ezdeset sedam milijuna osamsto devedeset tisuća sto dvanaest; 3) Tristo cˇetrdeset cˇetiri bilijarde petsto pedeset sˇ est bilijuna sˇ esto sezdeset sedam milijardi sedamsto sedamdeset osam milijuna osamsto osamdeset devet tisuća. Broj zrnaca zˇ ita u priˇci o sˇ ahu je 18 446 744 073 709 551 615. Proˇcitaj taj broj.

Rjeˇsenje.

Osamnaest trilijuna cˇetristo cˇetrdeset sˇ est bilijardi sedamsto cˇetrdeset cˇetiri bilijuna sedamdeset tri milijarde sedamsto devet milijuna petsto pedeset jedna tisuća sˇ esto petnaest.

Zadatak 9.

Koliko je velik broj zrnaca zˇ ita iz priˇce o sˇ ahu, moˇze se vidjeti i iz ovog podatka: - 500 i 600 milijuna posljednjih se godina u svijetu godiˇsnje proizvede izmedu tona pˇsenice.

25

2


1) Ako 1 kg pˇsenice sadrˇzi pribliˇzno 25 000 zrna, koliku masu zˇ ita je zatraˇzio Sissa? 2) Koliko bi prosjeˇcnih godiˇsnjih prihoda pˇsenice u novije doba u svijetu trebalo isporuˇciti izumitelju? Rjeˇsenje.

1) Sissa je zatraˇzio 18 446 744 073 709 551 615 : 25 000 = 737 869 762 948 382.0646 kg zˇ ita. 2) 737 869 762 948 382.0646 kg = 737 869 762 948.3821 t , 737 869 762 948.3821 : 500 000 000 = 1475.74 t , 737 869 762 948.3821 : 600 000 000 = 1229.78 t . - 1229 i 1476 prosjeˇcnih godiˇsnjih prihoda Izumitelju bi trebalo isporuˇciti izmedu pˇsenice.

Zadatak 10.

Pra-pra-pra-. . . -pra Svaka osoba ima dva bioloˇska roditelja, dvije bake i dva djeda, cˇetiri prabake i cˇetiri pradjeda, sˇ esnaest praroditelja itd. Malo rodoslovno (genealoˇsko) stablo zorno prikazuje upravo takvu povezanost za razliku od velikog stabla koje obuhvaća sˇ iru obitelj.

Mala genealogija obitelji Draˇsković u dvorcu Trakoˇsc´ an lijep je primjer malog genealoˇskog stabla. Nastala je 1755. godine, a na slici se vidi i tada najpotpuniji prikaz ovog prelijepog dvorca s kulama i zidinama te visokim tornjem u sredini na kojem je sat.

Koliko izravnih predaka ima svaka osoba u prethodnih 10 generacija? Moˇzeˇs li poopćiti zakljuˇcivanje i dati odgovor za prethodnih n generacija? Uoˇcavaˇs li povezanost izraˇcuna broja zrnaca u priˇci o sˇ ahu i broja predaka? Rjeˇsenje.

26

Broj praroditelja u jednoj generaciji dvostruko je veći od onoga u prethodnoj. Zbog toga imamo dvije bake i dva djeda, 2 · 2 · 2 praroditelja (4 prabake i 4 pradjeda), 2 · 2 · 2 · 2 pra-praroditelja, 2 · 2 · 2 · 2 · 2 pra-pra-praroditelja itd. Svaka osoba u prethodnih 10 generacija ima 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210 izravnih predaka. U n -toj pra-generaciji imamo ukupno 2 · 2 · 2 · . . . · 2 predaka, pri cˇemu je u umnoˇsku n faktora. Svaka osoba u prethodnih n generacija ima 2n izravnih predaka.


Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Izraˇcunaj: 1) x3 + x3 + x3 ; 3) 35 +4·35 −2·35 ;

2) a4 + a4 − 3a4 ; 4) 2·48 −4·48 −6 · 48 ;

5) 11 · 510 − 12 · 510 + 6 · 510 ; 7) 3n6 − 7n6 − 11n6 + 5n6 ;

6) a9 + 2a9 − 3a9 + 4a9 ; 8) 6x4 − 7x4 + 2x4 − x4 .

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

x3 + x3 + x3 = 3x3 ; a4 + a4 − 3a4 = −2a4 ; 35 + 4 · 35 − 2 · 35 = 36 ; 2 · 48 − 4 · 48 − 6 · 48 = −219 ; 11 · 510 − 12 · 510 + 6 · 510 = (11 − 12 + 6) · 510 = 5 · 510 = 511 ; a9 + 2a9 − 3a9 + 4a9 = (1 + 2 − 3 + 4)a9 = 4a9 ; 3n6 − 7n6 − 11n6 + 5n6 = (3 − 7 − 11 + 5)n6 = −10n6 ; 6x4 − 7x4 + 2x4 − x4 = (6 − 7 + 2 − 1)x4 = 0 .

Izraˇcunaj: 1) 33 − (−3)3 − 33 ; 3) −23 − (−2)3 + (−2)3 − 23 ; 5) (−a)2n−1 − a2n−1 .

Rjeˇsenje.

Zadatak 3.

1) 33 − (−3)3 − 33 = 33 = −(−33 ) = 33 ; 2) (−5)4 − 54 − (−5)4 = 54 − 54 − 54 = −54 ; 3) −23 −(−2)3 +(−2)3 −23 = −23 −(−23 )+(−23 )−23 = −23 +23 −23 −23 = −2 · 23 = −24 ; 4) (−a)2n − a2n = a2n − a2n = 0 ; 5) (−a)2n−1 − a2n−1 = −a2n−1 − a2n−1 = −2a2n−1 . Pomnoˇzi: 1) 35 · 37 ; 4) 28 · 2 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 4.

2) (−5)4 − 54 − (−5)4 ; 4) (−a)2n − a2n ;

2) 54 · 56 ; 5) (0.7)2 · (0.7)3 .

3) 106 · 103 ;

2) 54 · 56 = 54+6 = 510 ; 1) 35 · 37 = 35+7 = 312 ; 6 3 6+3 9 = 10 ; 4) 28 · 2 = 28 · 21 = 28+1 = 29 ; 3) 10 · 10 = 10 2 3 2+3 5 = (0.7) . 5) (0.7) · (0.7) = (0.7) Pomnoˇzi: 1) 3a2 b · 4a3 b2 ; 3 3) 5x5 y3 · − x3 y4 ; 10 3 5 4 ab · − a3 b ; 5) 10 9

3 2) −4x3 y · x2 y3 ; 8 4 3 3 2 4) − a b · − a2 b3 ; 8 9 1 2 3 4 6) − a bc · abc2 . 2 5

27

2


Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

1) 3a2 b · 4a3 b2 = 12a2+3 b1+2 = 12a5b3 ; 3 3 3 2) −4x3 y · x2 y3 = − x2+3 y1+3 − x5 y4 ; 8 2 2 3 3 3 3) 5x5 y3 · − x3 y4 = − x5+3 y3+4 = − x8 y7 ; 10 2 2 1 4 1 3 4) − a3 b2 · − a2 b3 = a3+2 b2+3 = − a5 b5 ; 8 9 6 6 2 3 5 4 3 2 ab · − a b = − a1+3 b5+1 = − a4 b6 ; 5) 10 9 15 15 1 4 2 2 6) − a2 bc3 · abc2 = − a2+1 b1+1 c3+2 = − a3 b2 c5 . 2 5 5 5 Pomnoˇzi: 1) 23 · 24 · 25 ; 3) 5 · 55 · 57 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

1) 2) 3) 4)

2) 34 · 36 · 38 ; 4) 10·102 ·103 ·104 ·105 .

23 · 24 · 25 = 23+4+5 = 212 ; 34 · 36 · 38 = 34+6+8 = 318 ; 5 · 55 · 57 = 51 · 55 · 57 = 51+5+7 = 513 ; 10 · 102 · 103 · 104 · 105 = 101 · 102 · 103 · 104 · 105 = 101+2+3+4+5 = 1015 .

Pomnoˇzi: 1) (−3)3 · (−35 ) ; 2) (−2)3 ·(−25 )·(−2)7 ; 3) −102 · (−103 ) · (−10)4 · (−10)5 · (−106 ) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

1) (−3)3 · (−35 ) = (−3)3 · (−3)5 = (−3)3+5 = (−3)8 = 38 ; 2) (−2)3 ·(−25 )·(−2)7 = (−2)3 ·(−2)5 ·(−2)7 = (−2)3+5+7 = (−2)15 ; 3) −102 · (−103 ) · (−10)4 · (−10)5 · (−106 ) = −102 · (−103 ) · 104 · (−105 ) · (−106 ) = 102+3+4+5+6 = 1020 . Izraˇcunaj: 1) 23 · 24 · 25 ; 3) a3 · a · a5 ; 7 3 7 1 1 1 5) · · . a a a

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

23 · 24 · 25 = 23+4+5 = 212 ; 34 · 36 · 38 = 34+6+8 = 318 ; a3 · a · a5 = a3+1+5 = a9 ; 4 · 43 · 45 = 41+3+5 = 49 ; 1 7 1 3 1 7 1 7+3+7 1 17 · · = = . 5) a a a a a

1) 2) 3) 4)

Koliko znamenki ima broj: 1) 211 · 511 ; 4) 47 · 510 ;

28

2) 34 · 36 · 38 ; 4) 4 · 43 · 45 ;

2) 225 · 520 ; 5) 410 · 2511 ;

3) 210 ·510 ·1015 ; 6) 811 · 533 ?

2 Rjeˇsenje.







Zadatak 15.

1) 211 · 511 = (2 · 5)11 = 1011 , broj ima dvanaest znamenki; 2) 225 · 520 = 25 · 220 · 520 = 25 · (2 · 5)20 = 25 · 1020 = 32 · 1020 , broj ima dvadeset dvije znamenke; 3) 210 · 510 · 1015 = 1025 , broj ima dvadeset sˇ est znamenki; 4) 47 · 510 = 214 · 510 = 24 · 210 · 510 = 24 · (2 · 5)10 = 24 · 1010 = 16 · 1010 ; broj ima dvanaest znamenki; 5) 410 · 2511 = 220 · 522 = 220 · 520 · 52 = (2 · 5)20 · 25 = 25 · 1020 ; broj ima dvadeset i dvije znamenke; 6) 811 · 533 = 233 · 533 = (2 · 5)33 = 1033 ; broj ima trideset i cˇ etiri znamenke. Odredi najmanji prirodni broj n za koji broj 2n · 512 ima 15 znamenki. Uzmimo da je n = 12 pa imamo 212 · 512 = (2 · 5)12 = 1012 . To je broj koji ima trinaest znamenki. Treba nam joˇs jedan troznamenkasti broj, koji je potencija broja 2, tako da pomnoˇzen s ovim brojem daje broj s petnaest znamenki. Takav najmanji broj je 27 = 128 . Dakle, 27 · 212 · 512 = 128 · 1012 , n = 19 . Ako je m = 55 , n = 66 , koliko znamenki ima broj m · n ? m · n = 55 · 66 = 306 = 36 · 106 = 729 · 106 . Broj ima devet znamenki. Ako je m = 45 , n = 58 , koliko je nula u zapisu broja m · n ? m · n = 45 · 58 = 210 · 58 = 22 · 28 · 58 = 4 · 108 . U zapisu broja m · n je osam nula. Koliko znamenki ima broj 210 · 515 ? S koliko nula zavrˇsava broj 811 · 2516 ? 210 · 515 = 210 · 510 · 55 = 3125 · 1010 ; broj ima 14 znamenki. 811 · 2516 = 233 · 532 = 2 · 232 · 532 = 2 · 1032 ; broj zavrˇsva s 32 nule. Ako je a = 3 · 511 , b = 5 · 311 , koja je posljednja znamenka umnoˇska a · b ? a · b = 3 · 511 · 5 · 311 = 15 · 1511 , posljednja znamenka je 5. Ako je m = 4 · 312 , n = 3 · 412 , koja je posljednja znamenka broja m + n ? Raˇcunamo li uzastopce potencije broja 3, uoˇcit c´ emo da se posljednje znamenke periodiˇcno ponavljaju. To cé redom biti znamenke 3, 9, 7, 1. Zbog toga je posljednja znamenka potencije 312 jednaka 1. Posljednja znamenka broja m = 4 · 312 je stoga 4. Raˇcunamo li uzastopce potencije broja 4, uoˇcit c´ emo da se posljednje znamenke periodiˇcno ponavljaju. To cé redom biti znamenke 4, 6. Zbog toga je posljednja znamenka potencije 412 jednaka 6. Posljednja znamenka broja n = 3 · 412 je stoga 8. Odatle je posljednja znamenka zbroja m + n jednaka 2. Koliki je n ako je: 1) 44 + 44 + 44 + 44 = 2n ; 2) 55 + 55 + 55 + 55 + 55 = 25n ; 3) 84 + 84 + 84 + 84 = 4n .

Rjeˇsenje.

1) 44 + 44 + 44 + 44 = 4 · 44 = 45 = 210 =⇒ n = 10 ;

29

2


2) 55 + 55 + 55 + 55 + 55 = 5 · 55 = 56 = (52 )3 = 253 =⇒ n = 3 ; 3) 84 + 84 + 84 + 84 = 4 · 84 = 22 · 212 = 214 = 47 =⇒ n = 7 .

Zadatak 16.

Obrazloˇzi: 1) 311 − 310 = 2 · 310 ; 2) 44 + 44 + 44 + 44 = 45 ; 1010 − 109 3) = 100 . 108 − 107

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

1) 311 − 310 = 3 · 310 − 310 = (3 − 1) · 310 = 2 · 310 ; 2) 44 + 44 + 44 + 44 = 4 · 44 = 45 ; 1010 − 108 10 · 109 − 109 (10 − 1) · 109 109 3) = = 109−7 = 102 = 100 . 107 108 − 107 10 · 107 − 107 (10 − 1) · 107 Koliki je n , ako je 1) 22 · 43 · 84 = 16n ; 2) 55 · 255 · 1255 = 25n ; 3) 10 · 1003 · 1000n = 100 000 000 0002 .

Rjeˇsenje.

Zadatak 18.

1) 22 · 43 · 84 = 22 · (22 )3 · (23 )4 = 22 · 26 · 212 = 22+6+12 = 220 = 16n = (24 )n = 24n , 20 = 4n =⇒ n = 5 ; 2) 55 · 255 · 1255 = 55 · (52 )5 · (53 )5 = 55 · 510 · 515 = 55+10+15 = 530 = 25n = (52 )n = 52n , 30 = 2n =⇒ n = 15 ; 3) 10 · 1003 · 1000n = 10 · (102 )3 · (103 )n = 10 · 106 · 103n = 101+6+3n = 100 000 000 0002 = (1011 )2 = 1022 , 1 + 6 + 3n = 22 , 3n = 15 =⇒ n = 5 . Potenciraj: 1) (34 )3 ; 4) (an+1 )3 ;

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5)

2) (82 )2 ; 5) (a4 )n+1 ;

3) (103 )4 ; 6) (an−1 )n+1 .

(34 )3 = 33·4 = 312 ; (82 )2 = 82·2 = 84 = (23 )4 = 23·4 = 212 ; (103 )4 = 103·4 = 1012 ; (an+1 )3 = a(n+1)·3 = a3n+3 ; (a4 )n+1 = a4·(n+1) = a4n+4 ; 2

6) (an−1 )n+1 = a(n−1)·(n+1) = an −1 .

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

30

Izraˇcunaj i zapiˇsi rezultat u obliku potencije: 1) (33 )4 · (34 )3 ;

2) (25 )3 · (23 )3 ;

3) (10n+2 )3 · (102 )n−1 ;

4) (4n−1 )2 · (42 )n+1 .

1) (33 )4 · (34 )3 = 312 · 312 = 324 ; 2) (25 )3 · (23 )3 = 215 · 29 = 224 ; 3) (10n+2 )3 · (102 )n−1 = 103·(n+2) · 102·(n−1) = 103n+6 · 102n−2 = 103n+6+2n−2 = 105n+4 ; 4) (4n−1 )2 · (42 )n+1 = 42·(n−1) · 42·(n+1) = 42n−2 · 42n+2 = 44n = 28n .

2 Zadatak 20.

Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 2: 1) (16 · 43 · 82 )5 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

2) (162 · 43 · 84 )3 .

1) (16 · 43 · 82 )5 = (24 · 26 · 26 )5 = (216 )5 = 280 ; 2) (162 · 43 · 84 )3 = (28 · 26 · 212 )3 = (226 )3 = 278 . Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 3: 1) (272 · 81 · 93 )4 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 22.

Rjeˇsenje.

Zadatak 23.

1) (272 · 81 · 93 )4 = ((33 )2 · (34 ) · (32 )3 )4 = (36 · 34 · 36 )4 = 364 ; 2) (93 · 3 · 272 )3 = ((32 )3 · 3 · (33 )2 )3 = (36 · 3 · 36 )3 = (313 )3 = 339 . Izraˇcunaj: 1) (ab2 )3 · (a2 b)3 ;

2) (a3 b3 )2 · (a2 b2 )3 ;

3) (a3 b4 )5 · (a5 b4 )3 ;

4) (a2 b3 )4 · (a3 b2 )4 .

1) 2) 3) 4)

(ab2 )3 · (a2 b)3 = a3 b2·3 · a3·2 b3 = a9 b9 ; (a3 b3 )2 · (a2 b2 )3 = a6 b6 · a6 b6 = a12 b12 ; (a3 b4 )5 · (a5 b4 )3 = a15 b20 · a15 b12 = a30 b32 ; (a2 b3 )4 · (a3 b2 )4 = a8 b12 · a12 b8 = a20 b20 .

Koji je od sljedećih brojeva veći: 1) 411 ili 166 ; 4) 275 ili 98 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 24.

Rjeˇsenje.

2) (93 · 3 · 272 )3 .

1) 2) 3) 4) 5) 6)

2) 278 ili 912 ; 5) 430 ili 820 ;

3) 12515 ili 2525 ; 6) 522 ili 333 ?

411 = 222 , 166 = 224 , dakle 411 < 166 ; 278 = 324 , 912 = 324 , te je 278 = 912 ; 12515 = 545 , 2525 = 550 , dakle 12515 < 2525 ; 275 = (33 )5 = 315 , 98 = (32 )8 = 316 , dakle 275 < 98 ; 430 = 260 , 820 = (23 )20 = 260 , dakle 430 = 820 ; 522 = 2511 , 333 = 2711 , 25 < 27 , dakle 522 < 333 .

Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

(−23 )4 +2·(−24 )3 +3·(−22 )6 ; (−32 )3 +5·(−3)6 −(−33 )2 ; (−27)2 −36 +(−9)3 −(−32 )3 ; (−252 )3 −(1252 )2 −(−54 )3 +6253 ; (−4)3 +(−23 )2 +(−8)2 −26 ; (−92 )3 −813 +(27)4 +(−93 )2 .

1) 2) 3) 4) 5) 6)

(−23 )4 + 2 · (−24 )3 + 3 · (−22 )6 = 212 − 2 · 212 + 3 · 212 = 2 · 212 = 213 ; (−32 )3 + 5 · (−3)6 − (−33 )2 = −36 + 5 · 36 − 36 = 3 · 36 = 37 ; (−27)2 − 36 + (−9)3 − (−32 )3 = 36 − 36 − 36 + 36 = 0 ; (−252 )3 − (1252 )2 − (−54 )3 + 6253 = −512 − 512 + 512 + 512 = 0 ; (−4)3 + (−23 )2 + (−8)2 − 26 = −26 + 26 + 26 − 26 = 0 ; (−92 )3 − 813 + (27)4 + (−93 )2 = −312 − 312 + 312 + 312 = 0 .

31

2


Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

Zadatak 26.

Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 2 sljedeće brojeve: 1) 3 · 26 + 10 · 25 ; 3) 6 · 211 + 5 · 46 ;

2) 11 · 46 + 20 · 210 ; 4) 213 + 4 · 211 ;

5) 20 · 45 + 3 · 213 + 5 · 84 ;

6) 2 · 163 − 3 · 46 + 5 · 84 .

1) 2) 3) 4) 5) 6)

3 · 26 + 10 · 25 = 3 · 26 + 5 · 26 = 8 · 26 = 29 ; 11 · 46 + 20 · 210 = 11 · 212 + 5 · 212 = 16 · 212 = 216 ; 6 · 211 + 5 · 46 = 3 · 212 + 5 · 212 = 8 · 212 = 215 ; 213 + 213 = 2 · 213 = 214 = 213 + 213 = 2 · 213 = 214 ; 20 · 45 + 3 · 213 + 5 · 84 = 5 · 212 + 6 · 212 + 5 · 212 = 16 · 212 = 216 ; 2 · 163 − 3 · 46 + 5 · 84 = 2 · 212 − 3 · 212 + 5 · 212 = 4 · 212 = 214 .

Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 3 sljedeće brojeve: 1) 37 + 6 · 36 ; 4) 39 + 6 · 94 ;

Rjeˇsenje.




1) 2) 3) 4) 5)

2) 6 · 39 + 95 ; 3) 5 · 95 + 12 · 39 ; 5) 2 · 96 + 15 · 311 + 2 · 274 .

37 + 6 · 36 = 37 + 2 · 37 = 3 · 37 = 38 ; 6 · 39 + 95 = 2 · 310 + 310 = 3 · 310 = 311 ; 5 · 95 + 12 · 39 = 5 · 310 + 4 · 310 = 9 · 310 = 312 ; 39 + 6 · 94 = 39 + 2 · 39 = 3 · 39 = 310 ; 2 · 96 + 15 · 311 + 2 · 274 = 2 · 312 + 5 · 312 + 2 · 312 = 9 · 312 = 314 .

Ako je ab2 = 5 , a a2 b5 = 15 , izraˇcunaj a i b . Rezultat provjeri. Iz ab2 = 5 slijedi a2 b4 = 25 . Tako je onda a2 b5 = a2 b4 · b = 25 · b = 15 , 3 125 odakle slijedi b = . Zatim nalazimo a = . 5 9 Ako je x2 y3 = 80 , a x3 y4 = 50, izraˇcunaj xy2 . 5 Dijeljenjem dviju jednakosti dobijemo xy = . Sada prvu jednakost zapiˇsemo 8 5 u obliku xy · xy2 = 80 i imamo xy2 = 80 odakle slijedi xy2 = 128 . 8 Ako je 2m−1 · 3m+1 = a , koliko je 62m+1 ?

moˇzemo pisati: 62m+1


Zadatak 31. 32

3 m m 3 2a · 2 · 3 = · 6m pa je 6m = . A zatim 2 2 3 2 2a 8 = 6 · (6m )2 = 6 · = a2 . 3 3

Najprije je a = 2m−1 · 3m+1 =

Ako je 2m · 3n = a , koliko je 4m+1 · 9n−1 ? Zadanu jednakost kvadriramo i pomnoˇzimo s Ako je

8n 4m−n

=

4 4 . Dobijemo 4m+1 ·9n−1 = a2 . 9 9

9n 1 te = 3 , izraˇcunaj m i n . Rezultat provjeri. 32 27m+n

2 Rjeˇsenje.


Zadatak 33.

8n

(23 )n 1 1 =⇒ 2m−2n = 5 =⇒ 23n−2m+2n = 2−5 =⇒ 5n − 2m = 32 2 2 9n 32n −5 . = = 3 =⇒ 32n−3m−3n = 3 =⇒ −n − 3m = 27m+n 33m+3n 1 =⇒ n = −3m − 1 . Uvrstimo to u jednadˇzbu 5n − 2m = −5 i dobijemo −15m − 5 − 2m = −5 . Odavde slijedi −17m = 0 =⇒ m = 0 pa je n = −1 . Provjerimo tako da uvrstimo dobivene vrijednosti od m i n u poˇcetne jednakosti. 8n 1 9n = =3 4m−n 32 27m+n −1 8 1 9−1 = =3 40+1 32 270−1 −1 8 1 i 9−1 = =3 4 32 27−1 1 1 27 = =3 8·4 32 9 1 1 3 = 3. = 32 32 4m−n

=

Ako je x = 2n+1 , y = 5n+1 , koliko znamenki ima broj x2 · y2 ? x2 y2 = (xy)2 = (2n+1 · 5n+1 )2 = ((2 · 5)n+1 )2 = (10n+1 )2 = 102n+2 . Broj x2 y2 ima 2n + 3 znamenke. Podijeli: 1) 37 : 34 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 34.

Rjeˇsenje.

2) 511 : 56 ;

3) 66 : 65 .

1) 37 : 34 = 37−4 = 33 ; 2) 511 : 56 = 511−6 = 55 ; 3) 66 : 65 = 66−5 = 6 . Izraˇcunaj: 4 5 3 8 3 2 1) xy : xy ; 5 15

6 2 4 4 xy ; 2) −3x y : 11 9 6 4 a b : 18a3 b ; 4) 16

3) (8a8 b8 ) : (16a5 b5 ) ; 5 3 8 25 2 5 5) ab : − a b . 24 12 4 8 4 15 3 x5 y3 : x3 y2 = · x5−3 y3−2 = x2 y ; 1) 5 15 5 8 2 6 11 11 xy2 = −3 · x4−1 y4−2 = − x3 y2 ; 2) −3x4 y4 : 11 6 2 1 8−5 8−5 1 3 3 8 8 5 5 = a b ; 3) (8a b ) : (16a b ) = 8 · a b 16 2 9 9 1 6−3 4−1 1 3 3 6 4 3 a b : 18a b = · a b a b . = 4) 16 16 18 32 5 25 5 12 3−2 8−5 1 5) a3 b8 : − a2 b5 = · − a b = − ab3 . 24 12 24 25 10

33

2


Zadatak 35.

Izraˇcunaj: 1)

Rjeˇsenje.

Zadatak 36.

Zadatak 37.

34

645 ; 83 · 164

3)

1256 . 258 · 53

3)

254 − 253 . 58 − 57 + 56

99 318 318 = = = 33 = 27 ; 273 · 36 39 · 36 315 645 230 230 2) 3 = 9 16 = 25 = 25 = 32 ; 4 8 · 16 2 ·2 2 1256 518 518 1 3) = = = . 8 3 16 3 19 25 · 5 5 ·5 5 5 Izraˇcunaj: 275 + 274 ; 98 + 97 + 96

2)

167 − 166 ; 810 + 89 + 88

315 + 312 33 · 312 + 312 28 · 312 275 + 274 = = = 98 + 97 + 96 316 + 314 + 312 34 · 312 + 32 · 312 + 312 (81 + 9 + 1) · 312 12 4 28 · 3 28 = ; = = 91 · 312 91 13 167 − 166 228 − 224 24 · 224 − 224 15 · 224 2) 10 = = = 8 + 89 + 88 230 + 227 + 224 26 · 224 + 23 · 224 + 224 (64 + 8 + 1) · 224 15 ; = 73 254 − 253 8 58 − 56 52 · 56 − 56 24 · 56 24 3) 8 = . = 8 = 2 6 = = 7 6 7 6 6 6 6 5 −5 +5 5 −5 +5 5 · 5 − 5 · 5 + 5 21 · 5 21 7 1)

Izraˇcunaj: 1) 20 − (−2)−4 ; 3) (0.2)−4 · (−1.6) ; 1 −10 ; 5) 8−3 · 2

Rjeˇsenje.

2)

1)

1) Rjeˇsenje.

99 ; 273 · 36

2) (−0.25)−2 · 100 ; 4) 0.01 · (−0.5)−3 ; 1 −3 1 −1 6) ·(−4)0 + . 2 2

15 1 1 = ; 1) 20 − (−2)−4 = 1 − 2−4 = 1 − 4 = 1 − 2 16 16 1 −2 1 −2 2) (−0.25)−2 · 100 = − · 100 = · 100 = 42 · 100 = 16 · 100 4 4 = 1 600 ; 1 −4 8 8 3) (0.2)−4 · (−1.6) = = 54 · − = −53 · 8 = −125 · 8 · − 5 5 5 = −1 000 ; 2 1 1 −3 1 8 4) 0.01 · (−0.5)−3 = · − · (−23 ) = − =− ; = 100 2 100 100 25 1 −10 1 −10 1 5) 8−3 · = 2−9 · = 9 · 210 = 2 ; 2 2 2 1 −3 1 −1 6) · (−4)0 + = 23 · 1 + 2 = 8 + 2 = 10 . 2 2

2 Zadatak 38.

Izraˇcunaj: 1 1 , b= ; 3 5 1 (a−1 − b−1 )2 · (a + b)−2 , za a = , b = 3 ; 3 3 2 a−1 b−2 + a−2 b−1 , za a = , b = − . 3 2 1 −1 1 1 1 −1 −2 1 1 −2 (a−1 b + ab−1 )−2 = · + = 3· + ·5 3 5 3 5 5 3 3 5 −2 9 + 25 −2 34 −2 15 2 + = = = = ; 5 3 15 15 34 −2 2 1 1 −1 +3 − 3−1 · (a−1 − b−1 )2 · (a + b)−2 = 3 3 2 −2 2 2 1 10 8 3 64 9 · = 0.64 ; = 3− · = · = 3 3 3 10 9 100 2 −1 3 −2 2 −2 3 −1 a−1 b−2 + a−2 b−1 = · − + · − 3 2 3 2 −2 2 2 3 3 2 2 3 4 3 3 3 2 9 = · = · − = · + · − + · − 2 2 2 3 2 3 4 3 2 9 2 2 3 5 = − =− . 3 2 6

1) (a−1 b + ab−1 )−2 , za a = 2) 3) Rjeˇsenje.

1)

2)

3)

Zadatak 39.

Izraˇcunaj: 1)

4)

6−4·

3·

5 16

2 −2 3 1 −1 2

Rjeˇsenje.

1) 6 − 4 ·

0 −2

+ 4−1

−1 −1 2 3 ; 2) − ; 3 4

;

+5

5 16

1 0 2−2 + 5 · 2 5) 2 −2 ; 3− 3

0 −2 = [6 − 4 · 1]−2 = 2−2 =

3 −2 3−2 − 4 3) 1 −1 ; 2− 5 2 −3 · (2.5)0 + 2−4 6) 3 4 −1 . (−0.4)−2 − 5 1 ; 4

−1 −1 −1 2 3 3 3 3 −1 4 − 2) − = = = ; 3 4 2 4 4 3 3 −2 15 1 16 − − 3−2 − 9 9 = 9 = 5; 4 3) 1 −1 = 2−5 −3 9 2− 5 2 −2 28 9 1 3· + 4−1 3· + 3 4 4 = 4 = 7 = 1; 4) = 1 −1 2+5 7 7 +5 2

35

2


1 0 21 1 +5·1 2−2 + 5 · 2 4 = 4 = 7; 5) 2 −2 = 3 9 3− 3− 4 4 3 2 −3 1 55 55 27 ·1+ · (2.5)0 + 2−4 8 16 16 16 6) 3 4 −1 = 2 −2 5 = 5 2 5 = 25 5 −2 − − − (−0.4) − − − 5 5 4 2 4 4 4 55 11 . = 16 = 20 16 4

Zadatak 40.

Izraˇcunaj: 1) 212 ·

1 · (0.25)5 ; 4

1 · 85 · 0.25−2 ; 32 1 −2 3−10 · 7−5 · 9 5) ; 1 8 · 49 21

3)

Rjeˇsenje.

3) 4) 5)

6)

0.04−2 · 1254 · 0.2−1 . 4 · 258

1 1 1 5 = 212 · 2−2 · 4−5 = 210 · 2−10 = 20 = 1 ; · (0.25)5 = 212 2 · 4 2 4 1 1 12 1 3 4 3 ·125 ·(0.04) = ·5 · = 5−4 ·512 ·25−3 = 58 ·5−6 = 52 = 25 ; 252 54 25 1 −2 1 = 2−5 · 215 · 42 = 210 · 24 = 214 ; · 85 · 0.25−2 = 32−1 · 215 · 32 4 1 5 1 = 512 ·5−2 ·25−5 = 510 ·5−10 = 50 = 1 ; 512 · ·0.045 = 512 ·25−1 · 25 25 1 −2 3−10 · 7−5 · 3−10 · 34 · 7−5 3−6 · 7−5 3−10 · 7−5 · 92 9 = −8 −8 2 = −8 −6 = 1 8 −8 2 21 · 7 3 ·7 ·7 3 ·7 · 49 21 = 3−6+8 · 7−5+6 = 9 · 7 = 63 ; 1 −1 1 −2 12 · 5 · −2 4 −1 0.04 · 125 · 0.2 252 · 512 · 5 54 · 513 25 5 = = = 4 · 258 4 · 516 4 · 516 4 · 516 =

36

6)

1) 212 · 2)

Zadatak 41.

1 · 1254 · (0.04)3 ; 252 1 · 0.045 ; 4) 512 · 25 2)

5 517−16 = . 4 4

Pojednostavni: −3 −3 a 1) · (9a4 b−1 )−2 ; 3b−2 −2 3 −3 16a−3 8a · ; 3) b−3 b−2

2) (0.25x−4 y−3 )2 · 4)

x−3 4y2

−3 ;

−3 −5 −2 4a 9a4 − 3 · . 2b 27b−4

2 Rjeˇsenje.

Zadatak 42.

Rjeˇsenje.

Zadatak 43.

a−3 −3 a9 a9 · 33 b2 a · (9a4 b−1 )−2 = −3 6 · 9−2 a−8 b2 = · 4 8 = 4; −2 3b 3 b b6 3 a 3b 2 x9 x−3 −3 1 1 −4 −3 2) (0.25x−4 y−3 )2 · x = y · −3 −6 = 2 ·x−8 y−6 ·x9 ·43 y6 =4x ; 4y2 4 4 y 4 8a−2 3 16a−3 −3 83 a−6 16−3 a9 · = −9 · = 83 · a−6 · b9 · 2−3 · 8−3 · a9 · b−6 3) −3 −2 b b b b6 1 a3 b3 = a3 b3 ; = 8 8 9a4 −3 4a−5 −2 9−3 · a−12 4−2 a10 4) − 3 · = − · −2 8 2b 27b−4 2−3 b−9 27 · b b −6 −12 3 9 −4 10 6 8 = −3 · a · 2 · b · 2 · a · 3 · b = 2−1 a−2 b = − 2 . 2a 1)

Pojednostavni: −n 1 : 52n−1 ; 1) 25 1−3n 1 ; 4) 272n+1 : 9

−n 1 ; 3) 4n−1 :(2 · 8−n−1 ) ; 9 2n−2 1 n−1 16 : : 45n−3 . 8

2) 32n+1 : 5)

1 −n 1 : 52n−1 = : 52n−1 = 25n : 52n−1 = 52n : 52n−1 = 25 25−n 52n−2n+1 = 5 ; 1 −n = 32n+1 : 9n = 32n+1 : 32n = 32n+1−2n = 3 ; 2) 32n+1 : 9 3) 4n−1 : (2 · 8−n−1 ) = 22n−2 : 2 · 2−3n−3 = 22n−2 : 2−3n−2 = 22n−2+3n+2 = 25n ; 1 1−3n = 36n+3 : 9−1+3n = 36n+3 : 3−2+6n = 36n+3+2−6n = 35 ; 4) 272n+1 : 9 1 2n−2 5) 16n−1 : : 45n−3 = 24n−4 : 82−2n : 210n−6 = 24n−4 : 8 26−6n : 210n−6 = 24n−4+6n−6 : 210n−6 = 210n−10 : 210n−6 = 210n−10−10n+6 = 1 1 2−4 = 4 = . 2 16 1)

Poredaj po veliˇcini brojeve: 1) −105 , 10−5 , (−10)5 , −10−5 , (−10)−5 , 105 ; 2) −0.15 , 0.1−5 , (−0.1)5 , −0.1−5 , (−0.1)−5 , 0.15 .

Rjeˇsenje.

1) −105 = (−10)5 < −10−5 = (−10)−5 < 10−5 < 105 ; 2) (−0.1)−5 < −0.15 = (−0.1)5 < 0.15 < 0.1−5 .

Zadatak 44.

Broj m zapiˇsi u standardnom zapisu: 1) m = 3 · 105 + 8 · 103 + 2 · 10 + 10−1 + 10−2 + 10−3 ; 2) m = 1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 10 + 10−2 .

Rjeˇsenje.

1) 3 · 105 + 8 · 103 + 2 · 10 + 10−1 + 10−2 + 10−3 = 308 020.111 ; 2) 1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 10 + 10−2 = 12 030.01 .

37

2



Zapiˇsi u znanstvenom obliku brojeve 1) 500 · 107 ; 3) 500 · 10−7 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

1) 2) 3) 4)

500 · 107 = 5 · 109 ; 0.05 · 107 = 5 · 105 ; 500 · 10−7 = 5 · 10−5 ; 0.05 · 10−7 = 5 · 10−9 .

Zapiˇsi u znanstvenom obliku sljedeće brojeve: 1) 1100 · 10−6 ; 3) 110 · 108 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 3.

1) 2) 3) 4)

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

38

2) 0.11 · 1010 ; 4) 0.0011 · 10−5 .

1100 · 10−6 = 1.1 · 103 · 10−6 = 1.1 · 10−3 ; 0.11 · 1010 = 1.1 · 10−1 · 1010 = 1.1 · 109 ; 110 · 108 = 1.1 · 102 · 108 = 1.1 · 1010 ; 0.0011 · 10−5 = 1.1 · 10−3 · 10−5 = 1.1 · 10−8 .

Odredi dˇzepnim raˇcunalom rezultat mnoˇzenja i protumaˇci ga: 1) 414 515 · 313 616 ; 3) 0.000535 : 455 566 ; 5) 9 456 728 : 0.00005 .

Rjeˇsenje.

2) 0.05 · 107 ; 4) 0.05 · 10−7 .

2) 123 456 789 · 987 654 321 ; 4) 0.078865 · 0.000956 ;

1) 414 515 · 313 616 = 1.299985362 · 1011 ≈ 1.3 · 1011 . Dˇzepno raˇcunalo pri mnoˇzenju vrlo velikih ili vrlo malih brojeva daje rezultat zapisan u znanstvenom obliku. Jedan je od razloga i taj sˇ to se ponekad zbog prevelikog broja znamenki rezultat i ne moˇze prikazati na zaslonu raˇcunala. 2) 123 456 789 · 987 654 321 = 1.2193263 · 1017 ; 3) 0.000535 : 455 566 = 0.000000001 ; 4) 0.078865 · 0.000956 = 0.000075394 ; 5) 9 456 728 : 0.00005 = 1.8913456 · 1011 . Obrazloˇzi jednakosti: 1) 108 + 107 = 1.1 · 108 ; 2) 44 · 10−4 · 115 · 10−5 = 5.06 · 10−6 ; 3 · 109 1.3 · 108 = 6 · 107 ; 3) 4) = 245 . 50 5.3 · 105 1 · 108 = 108 + 0.1 · 108 = 1.1 · 108 ; 1) 108 + 107 = 108 + 10 2) 44 · 10−4 · 115 · 10−5 = 44 · 115 · 10−9 = 5060 · 10−9 = 5.06 · 103 · 10−9 = 5.06 · 10−6 ; 3 3 · 109 = · 109 = 0.06 · 109 = 6 · 10−2 · 109 = 6 · 107 ; 3) 50 50 1.3 · 108 13 · 107 13 4) = = · 103 = 245 . 5 53 53 · 104 5.3 · 10

2 Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

Neka je a = 8.55 · 108 , te b = 9.12 · 105 . 1) Izraˇcunaj a − b . 2) Koliko je a · b ? Rezultate navedi u znanstvenom zapisu. 1) a − b = 8.55 · 1000 · 105 − 9.12 · 105 = 8550 · 105 − 9.12 · 105 = (8550 − 9.12) · 105 = 8540.88 · 105 = 8.54 · 108 ; 2) a · b = 8.55 · 108 · 9.12 · 105 = 77.976 · 1013 = 7.8 · 1014 . Neka je a = 2.5 · 10−4 , te b = 6 · 10−3 . 1) Izraˇcunaj b − a . 2) Koliko je b3 ? Rezultate navedi u znanstvenom zapisu. 1) b − a = 6 · 10 · 10−4 − 2.5 · 10−4 = (60 − 2.5) · 10−4 = 57.5 · 10−4 = 5.75 · 10−3 ; 2) b3 = 63 · 10−9 = 216 · 10−9 = 2.16 · 10−7 . Neka je a = 4.5 · 10−9 , te b = 6.6 · 105 . 1) Izraˇcunaj a · b . 2) Koliko je a : b ? Rezultate navedi u znanstvenom zapisu. 1) a · b = 4.5 · 10−9 · 6.6 · 105 = 29.7 · 10−4 = 2.97 · 10−3 ; 2) a : b = (4.5 · 10−9 ) : (6.6 · 105 ) = 4.5 : 6.6 · 10−9−5 = 0.681 · 10−14 = 6.8 · 10−15 . 1) Ako je 210 · 512 = n · 1011 , koliki je n ? 2) Ako je 212 · 258 = 6.25 · 10n , koliki je n ? 3) Ako je 410 · 5n = 3.2 · 1016 , koliki je n ? 10 25 · 25 = 1011 · = 2.5 · 1011 , 1) 210 · 512 = 210 · 510 · 52 = 1010 · 25 = 1010 · 10 10 n = 2.5 ; 2) 212 ·258 = 212 ·(52 )8 = 212 ·516 = 1012 ·54 = 1012 ·625 = 6.25·102 ·1012 = 6.25 · 1014 , n = 14 ; 3) 410 · 5n = (22 )10 · 5n = 220 · 5n = 1020 · 5n−20 = 104 · 1016 · 5n−20 , 25 104 · 5n−20 = 3.2 =⇒ 5n−20 = 5 = 5−5 , n − 20 = −5 , n = 15 . 10 Pluton je od Zemlje udaljen 4.58 · 109 km. Radiovalovi se sˇ ire brzinom svjetlosti, 3 · 105 km/ s. Koliko c´ e dugo trajati prijenos radijskog signala s Plutona na Zemlju? Rezultat neka bude u znanstvenom zapisu na dvije decimale i to izraˇcunan: 1) u satima; 2) u sekundama. 1) 4.58 · 109 : 3 · 105 = 1.5 · 104 sati; 2) 1.5 · 104 · 3600 = 5.5 · 107 sekundi.

Zadatak 10.

Kapljica vode ima prosjeˇcnu masu od 0.08 g. Koliko je kapljica vode u 1 m 3 vode?

Rjeˇsenje.

1 m 3 vode ima masu 1000 kg. (1000 · 103) : 0.08 = 12 500 · 103 = 1.25 · 107 .

39

2





Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

Zrno maka ima masu od 5 · 10−4 g. Koliko je zrna u 1 kg maka? 1000 U jednom je kilogramu = 2 · 106 = 2 000 000 zrna maka. 5 · 10−4 Ljudska kosa raste brzinom od 5 · 10−9 m/ s. Koliko centimetara kosa naraste za 10 tjedana? t = 10 tjedana = 70 dana = 70 · 24 · 3 600 = 6 048 000 sekundi. Za to vrijeme kosa naraste za 5 · 10−9 · 6 048 000 = 0.03 m, odnosno oko 3 cm. Godiˇsnje se u svijetu rodi oko 130 000 000 djece. Koliko se djece rodi svake minute? 130 000 000 ˙ = 247.3363774 7˙ . 365 · 24 · 60 Dnevna proizvodnja nafte u svijetu 2005. godine iznosila je oko 7 · 107 barela dnevno. (1 barel = 159 litara).

1) Ako u jednu cisternu stane 2.5 · 104 litara nafte, koliko bi cisterni trebalo za prijevoz ove koliˇcine nafte? 2) Ako je duljina cisterne 10 metara, koliko bi bila duga kolona u koju bi se sloˇzile sve te cisterne? 159 · 7 · 107 = 445, 2 · 103 = 445 200 ; 1) 2.5 · 104 2) 445 200 · 10 = 4 452 000 m . Udio zemalja cˇlanica OPEC-a (engl. Organization of the Petroleum Exporting Countries) u ukupnoj proizvodnji nafte u svijetu iznosi 40 % . Izraˇcunaj kolika je bila proizvodnja nafte u zemljama OPEC-a 2005. godine, a rezultat izrazi u litrama i u znanstvenom zapisu. 40 159 · 7 · 107 · = 159 · 7 · 4 · 106 = 4452 · 106 = 4.452 · 109 . 100 Brzina svjetlosti i brzina zvuka

Brzina svjetlosti je oko c = 3 · 108 m/ s. Brzina zvuka je oko 0.2 milje u sekundi. Koliko je puta brˇza svjetlost od zvuka? Rjeˇsenje.

c = 3 · 108 m/ s, vz = 0.2 · 1609.344 = 321.8688 m/ s, 932 056.79 . Svjetlost je brˇza oz zvuka viˇse od 932 056 puta.

Zadatak 17.

3 · 108 = 321.8688

Pjeˇsice do Mjeseca

Udaljenost Zemlje od Mjeseca je 3.84 · 108 km. Koliko bi vremena trebalo - toliku udaljenost? pjeˇsaku koji hoda brzinom od 4 km/ h da prijede Rjeˇsenje.

40

3.84 · 108 = 0.96 · 108 = 9.6 · 107 h . 4

2 Zadatak 18.

Rjeˇsenje.

Zadatak 19.

Svjetlosna godina

- svjetlost. Od Jedna svjetlosna godina je udaljenost sˇ to je za 365 dana prijede zvijezde Sjevernjaˇce do Zemlje svjetlost putuje 680 godina. Kolika je udaljenost Sjevernjaˇce od Zemlje u metrima? s = v · t = 3 · 108 m/s · 680 · 24 · 60 · 60 == 9.461 · 1015 metara. Proxima Centauri

Proxima Centauri je najbliˇza zvijezda Sunˇcevu sustavu, udaljena je od Zemlje 4.3 svjetlosne godine. Kolika je ta udaljenost u kilometrima?

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

Udaljenost je jednaka 4.3 · 5.9 · 1012 · 1.609 = 40.82 · 1012 = 4.082 · 1013 km. Rubikova kocka

ˇ Cuvenu Rubikovu kocku valja iz nekog stanja dovesti do toga da su sve njezine strane jednobojne. Broj svih mogućih rasporeda boja na vidljivim stranama malih kockica jednak je 43 252 003 274 489 856 000. Prikaˇzi taj broj u znanstvenom zapisu. Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

43 252 003 274 489 856 000 = 4.325 · 1019 . Zagadenje mora

U mnoˇstvu izuma ameriˇckog znanstvenika i izumitelja Benjamina Franklina (1706. – 1790.) moˇzda je najpoznatiji gromobran. Taj je znanstvenik poznat po izreci “Vrijeme je novac”. Franklin je izraˇcunao da 0.1 cm3 nafte oneˇcisti povrˇsinu vode od 40 m2 . Kolika je pri tom debljina naftne mrlje? Ako je povrˇsina Jadranskog mora jednaka 135 595 km2 , kolika bi koliˇcina nafte po Franklinu pokrila cijelu njegovu povrˇsinu? Rjeˇsenje.

Zadatak 22.

Iz V = P · h , gdje je V obujam, P povrˇsina, d debljina dobije se da je debljina naftne mrlje prema Franklinu jednaka d = 2.5 · 10−7 cm = 2.5 · 10−9 m . Primjenom iste formule izraˇcunamo da bi nafta obujma 339 m3 (ˇsto je oko 271 tona uzme li se gustoća 800 kg/m3 ) pokrila cijelo Jadransko more. Ta je koliˇcina oko 400 puta manja od one koju prevozi prosjeˇcan tanker – brod za prijevoz sirove nafte. Voda u oceanima

Srednja dubina svih oceana na Zemlji je 3.7 · 103 m , a povrˇsina oceana iznosi 3.6 · 1014 m2 . Koliki je obujam vode u oceanima? Uzmi da je 1 L = 1 dm3 .

41

2


Rjeˇsenje.

Zadatak 23.

Obujam vode izraˇzen u m3 iznosi 3.7·103 ·3.6·1014 m3 = 1.332·1018 m3 . Kako je 1 m3 = 103 dm3 , a 1 L = 1 dm3 , onda je obujam jednak 1.332 · 1021 litara. Inflacija

Inflacija je jedna od najgorih nepogoda koja moˇze zateći neku drˇzavu. U nepune dvije godine, od poˇcetka 1922. do kraja 1923., u Njemaˇckoj je hiperinflacija podigla cijene s razine 100 na 10 000 000 000. O kakvoj se nedaći radi ilustriraju i dvije sliˇcice na kojima su prednja i straˇznja strana istog pisma upućenog u to vrijeme. Na njima su na ime poˇstarine nalijepljene tri marke od po dvije milijarde maraka, cˇetiri od po 500 milijuna te 50 od po 200 milijuna. Koliko je iznosila poˇstarina za ovo pismo?

Rjeˇsenje.

Zadatak 24.

Rjeˇsenje.

Zadatak 25.

3 · 2 · 109 + 4 · 500 · 106 + 50 · 200 · 106 = 6 · 109 + 2 · 109 + 10 · 109 = 18 · 109 . Inflacijski rekord

Najgora inflacija zadesila je Madarsku u periodu od 1945 do 1946, cijene su se udvostruˇcavale svakih 15 sati. Najveća banknota 1944 iznosila je 1000 pengoa, da bi 1946 bila otisnuta novˇcanica od 1 milijarde bilijuna pengoa. Napiˇsi vrijednost te novˇcanice u znanstvenom zapisu.

18. kolovoza 1946 uvedena je forinta, 1 forinta vrijedila je 4 · 1029 pengoa. Proˇcitajte taj broj koristeći naˇsu skalu. ˇ Cetristo tisuća kvadrilijuna. Puˇsacˇ i

Uzmimo da je neki puˇsaˇc poˇceo puˇsiti s 18 godina (tada neka osoba moˇze legalno kupiti cigarete) i da je doˇzivio 70 godina. Pretpostavimo da popuˇsi kutiju od 20 cigareta dnevno. 1) Koliko cigareta je puˇsaˇc popuˇsio za zˇ ivota? 2) Ako je puˇsenje tom puˇsaˇcu skratilo zˇ ivot za 5 godina, koliko je njegov zˇ ivot skratila jedna popuˇsena cigareta? Rjeˇsenje.

Zadatak 26.

1) 52 godine · 365 dana · 20 cigareta = 379 600 cigareta. 5 god. ≈ 1.32 · 10−5 godina ≈ 7 min. 2) t = 379 600 cig. Solarna energija

Povrˇsina od 1 m2 jedne vrste solarnih célija moˇze proizvesti 140 W elektriˇcne energije. Jednogodiˇsnja potroˇsnja elektriˇcne energije u Republici Hrvatskoj je

42

2 2 100 MW (1 MW = 106 W). Kolika bi bila povrˇsina solarnih célija iz kojih bismo dobivali svu ovu energiju? Rjeˇsenje.

Zadatak 27.

P=

2100 · 106 2 m = 1.5 · 107 m2 = 15 km2 . 140

Kineski zid

- ostaloga stoji kako U Ripleyjevoj knjizi Vjerovali ili ne iz godine 1932. izmedu je Kineski zid, jedno od svjetskih cˇuda, vidljiv golim ljudskim okom i s Mjeseca. Ta je gradevina ukupno duga oko 8800 km, a njezina najveća sˇ irina je 9.1 metar. Je li tvrdnja vjerodostojna?

Usporedimo vidljivost Kineskog zida s Mjeseca s vidljivoˇsc´ u vlasi ljudske kose s neke udaljenosti d . Uzmimo da je promjer ljudske vlasi 8 · 10−8 km . Postavimo omjer: d : 3.844 · 105 = 8 · 10−8 : 9.1 · 10−3 . 3.844 · 105 · 8 · 10−8 ≈ 3.38 km . 9.1 · 10−3 Dakle, tvrdnja da se Kineski zid vidi s Mjesca odgovara tvrdnji da je ljudska vlas vidljiva na udaljenosti većoj od 3 km. Izraˇcunajte s koje je najveće udaljenosti iz svemira vidljiv Kineski zid uz pretpostavku da je ljudska vlas vidljiva na najvećoj udaljenosti od 1 m. Odatle je d =

Rjeˇsenje.

Zadatak 28.

Rjeˇsenje.

d:1=

9.1 · 10−3 =⇒ d = 1.14 · 105 = 114 000 km . 8 · 10−8

Raˇcunalo

- c raˇcunala IBM pustio je u prodaju raˇcunalo Godine 1988. poznati proizvodaˇ 8 koje izvodi 3.9 · 10 raˇcunskih operacija u sekundi. Bilo je to 15 000 puta brˇze od najbrˇzih stolnih raˇcunala toga vremena. Koliko je operacija u sekundi izvodilo “staro” stolno raˇcunalo? Na internetskoj adresi http://element.hr/plus/2/potencije-i-algebarski-izrazi nalazi se nekoliko kvizova koji mogu dobro posluˇziti za uvjeˇzbavanje gradiva o potencijama. Preporuˇcujemo ti da ih proradiˇs. v=

3.9 · 108 = 26 · 000 . 15 000

43

2



Odaberi za x , y i z bilo koje brojeve te provjeri da se nakon njihova uvrˇstavanja u polja tablice dobije magiˇcni kvadrat. Pokaˇzi kako je kvadrat magiˇcan, neovisno o izboru triju brojeva.

Rjeˇsenje.

Zbroj brojeva u svakom retku i u svakom stupcu te na objema dijagonalama tablice jednak je 3x .

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

Zadatak 3.

Sljedeće jednakosti vrijede za sve realne brojeve a, b i c . Provjeri. 1) 2) 3) 4)

a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + ac + bc) ; a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0 ; a(b + c) − b(c + a) − c(a + b) = −2bc ; a(b − c) − b(c − a) − c(a − b) = 2(ab − ac) .

1) 2) 3) 4)

ab + ac + bc + ba + ca + cb = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc) ; ab − ac + bc − ab + ac − bc = ab − ab − ac + ac + bc − bc = 0 ; ab + ac − bc − ba − ca − cb = ab − ba + ac − ca − bc − cb = −2bc ; ab − ac − bc + ba − ca + cb = ab + ba − ac − ca − bc + cb = 2ab − 2ac = 2(ab − ac) .

Pojednostavni: 1) 2a(3a − 5b) + 2b(2a − 3b) − 6a(a − b) ; 2) x(x − 2y2 ) − y(2x2 − y) + 2xy(x + y) ; 3) 2ab(a−b)−a(a−b2 )−b(a2 −b)+a2 −b2 .

Rjeˇsenje.

Zadatak 4.

1) 2a(3a−5b)+2b(2a−3b)−6a(a−b) = 6a2 −10ab+4ab−6b2 −6a2 +6ab = −6b2 ; 2) x(x − 2y2 ) − y(2x2 − y) + 2xy(x + y) = x2 − 2xy2 − 2x2 y + y2 + 2x2 y + 2xy2 = x2 + y2 ; 3) 2ab(a − b) − a(a − b2 ) − b(a2 − b) + a2 − b2 = 2a2 b − 2ab2 − a2 + ab2 − a2 b + b2 + a2 − b2 = a2 b − ab2 . Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4)

44

(x − 2y)(x + 2y) − (2x − y)(2x + y) ; (x − y)(x + 2y) − (x + y)(2x − y) ; (x − y)(x − 1) − (x + y)(x + 1) ; (2a − 3b)(3a + 2b) − (2a − 3b)(3a − 2b) ;

2 5) (2x − 5y)(3x + 4y) + (3x + 2y)(4x − 5y) ; 6) (x2 + 1)(y2 − 1) + (x2 − 1)(y2 + 1) . Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

1) (x − 2y)(x + 2y) − (2x − y)(2x + y) = x2 + 2xy − 2xy − 4y2 − 4x2 − 2xy + 2xy + y2 = −3x2 − 3y2 ; 2) (x − y)(x + 2y) − (x + y)(2x − y) = x2 + 2xy − xy − 2y2 − 2x2 + xy − 2xy + y2 = −x2 − y2 ; 3) (x−y)(x−1)−(x+y)(x+1) = x2 −xy−x+y−x2 −x−xy−y = −2x−2xy ; 4) (2a − 3b)(3a + 2b) − (2a − 3b)(3a − 2b) = 6a2 + 4ab − 9ab − 6b2 − 6a2 + 4ab + 9ab − 6b2 = 8ab − 12b2 ; 5) (2x − 5y)(3x + 4y) + (3x + 2y)(4x − 5y) = 6x2 + 8xy − 15xy − 20y2 + 12x2 − 15xy + 8xy − 10y2 = 18x2 − 14xy − 30y2 ; 6) (x2 + 1)(y2 − 1) + (x2 − 1)(y2 + 1) = x2 y2 − x2 + y2 − 1 + x2 y2 + x2 − y2 − 1 = 2x2 y2 − 2 . Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

(2a − b + 1)(a + b) − (2a + b − 1)(a − b) ; (a − b + c)(a − c) + (a + b − c)(a + c) ; (x − 2y + 3z)(x + y) − (x + 2y − 3z)(x − y) ; (x − 2y − 1)(x − 2y + 1) − (x + 2y − 1)(x + 2y + 1) ; (2a − b + c)(2a + b − c) − (2a − b − c)(2a + b + c) ; (3a − 2b + c)(2a + 3b − c) − (2a + 3b − c)(3a + 2b + c) .

1) (2a − b + 1)(a + b) − (2a + b − 1)(a − b) = 2a2 + 2ab − ab − b2 + a + b − 2a2 + 2ab − ba + b2 + a − b = 2a + 2ab ; 2) (a − b + c)(a − c) + (a + b − c)(a + c) = a2 − ac − ab + bc + ac − c2 + a2 + ac + ab + bc − ac − c2 = 2a2 + 2bc − 2c2 ; 3) (x − 2y + 3z)(x + y) − (x + 2y − 3z)(x − y) = x2 + xy − 2xy − 2y2 + 3zx + 3zy − x2 + xy − 2xy + 2y2 + 3zx − 3zy = −2xy + 6xz ; 4) (x − 2y − 1)(x − 2y + 1) − (x + 2y − 1)(x + 2y + 1) = x2 − 2xy + x − 2xy + 4y2 − 2y − x + 2y − 1 − x2 − 2xy − x − 2xy − 4y2 − 2y + x + 2y + 1 = −8xy ; 5) (2a − b + c)(2a + b − c) − (2a − b − c)(2a + b + c) = 4a2 + 2ab − 2ac − 2ab −b2 +bc+2ac+bc−c2−4a2 −2ab−2ac+2ab+b2+bc+2ac+cb+c2 = 4bc ; 6) (3a − 2b + c)(2a + 3b − c) − (2a + 3b − c)(3a + 2b + c) = 6a2 + 9ab − 3ac − 4ab − 6b2 + 2bc + 2ac + 3bc − c2 − 6a2 − 4ab − 2ac − 9ab − 6b2 − 3bc + 3ac + 2bc + c2 = −8ab − 12b2 + 4bc . Odredi onaj cˇ lan umnoˇska (3a − 5b + 1)(a + 2b − 4ab) koji sadrˇzi ab . (3a − 5b + 1)(a + 2b − 4ab) = 3a2 + 6ab − 12a2 b − 5ab − 10b2 + 20ab2 + a + 2b − 4ab = 3a2 − 10b2 − 12a2 b + 20ab2 − 3ab + a + 2b . Rjeˇsenje je −3ab . Odredi onaj cˇ lan umnoˇska (2a − 3b)(3a + b)(a − b) koji sadrˇzi ab2 .

45

2


Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Promatrajmo samo one cˇ lanove umnoˇska (2a − 3b)(3a + b) koji sadrˇze b2 ili ab . To su −7ab i −3b2 . Njihovim mnoˇzenjem s izrazom u trećoj zagradi uz ab2 dobijemo 7ab2 i −3ab2 . Njihov zbroj je rjeˇsenje zadatka: 7ab2 − 3ab2 = 4ab2 . Odredi onaj cˇ lan umnoˇska (a − b + ab)(a + b − ab)(a + b + ab) koji sadrˇzi a2 b2 .

Rjeˇsenje.

Promatrajmo samo one cˇ lanove umnoˇska (a − b + ab)(a + b − ab) koji sadrˇze ab , ab2 ili a2 b . To su 0ab , 0a2 b i 2ab2 . Mnoˇzenjem 2ab2 s izrazom u trećoj zagradi uz a2 b2 dobijemo 2a2 b2 .

Zadatak 9.

Ako je 3a − b + 2c + 5d = 11 te a+5b+2c−d=9 , koliko je a + b + c + d ?

Rjeˇsenje.

Zbrojimo li dvije jednakosti, dobit cémo: 4(a + b + c + d) = 20 te je a + b + c + d = 5.


Rjeˇsenje.


Zadatak 12.

Ako je 13x − 52y = 1 , koliko je 11x − 44y ? 1 13x − 52y = 13(x − 4y) = 1 =⇒ x − 4y = , 11x − 44y = 11(x − 4y) = 13 11 1 = . 11 · 13 13 11 11 11 Pomnoˇzimo li jednakost 13x−52y = 1 s dobit cémo ·13x− ·52y = 13 13 13 11 11 · 1 =⇒ 11x − 44y = . 13 13 Ako je u = −2x2 + 6xy − 4y2 te v = 3x2 − 9xy + 6y2 , onda je 3u + 2v = 0 . Provjeri! 3u + 2v = −6x2 + 18xy − 12y2 + 6x2 − 18xy + 12y2 = 0 . Ako je (2x − y)(x − 2y) = 4 , koliko je −4x2 + 10xy − 4y2 ?

Rjeˇsenje.


Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

46

Kako je (2x − y)(x − 2y) = 2x2 − 5xy + 2y2 = 4 , onda je −4x2 + 10xy − 8y2 = −8 . Ako je (3x + 2)(2x − 3) = 11 , koliko je (x − 1)(6x + 1)? Iz (3x + 2)(2x − 3) = 11 slijedi 6x2 − 5x = 17 te je (x − 1)(6x + 1) = 6x2 − 5x − 1 = 16 . Ako je (4x − 2)(3x − 4) = 9 , koliko je (3x − 1)(2x − 3)? 1 Iz (4x − 2)(3x − 4) = 9 =⇒ 12x2 − 24x = 1 , odatle 6x2 − 11x = . Sada 2 1 je (3x − 1)(2x − 3) = 6x2 − 9x − 2x + 3 = 6x2 − 11x + 3 = + 3 = 3.5 . 2

2 Zadatak 15.

Rjeˇsenje.



Zadatak 18.

Dokaˇzi da je za svaki prirodni broj n broj (2n + 3)(3n − 2) − (3n + 2)(2n − 3) djeljiv s 10. Dani je izraz jednak 10n , a taj broj djeljiv je s 10 za svaki prirodni broj n . Dokaˇzi da je za svaki prirodni broj n broj (2n + 3)(3n − 7) − (n + 1)(n − 1) djeljiv s 10. Nakon mnoˇzenja i sredivanja danog izraza dobit cémo 5n2 − 5n − 20 = 2 5(n − n − 4) . Taj je broj oˇcito djeljiv s 5. Primijeti da je broj u zagradi uvijek paran. Naime, ako je n paran n2 − n − 4 je paran, ako je n neparan broj n2 − n je paran pa je paran i n2 − n − 4 , te je izraz n2 − n − 4 djeljiv i s 2 za svaki n . Dokaˇzi da je za svaki prirodni broj n broj (5n − 2)(3n − 1) − (2n + 3)(2n − 3) djeljiv s 11. Nakon mnoˇzenja i sredivanja danog izraza dobit cémo 11n2 − 11n + 11 = 2 11(n − n + 1) . Taj je broj oˇcito djeljiv s 11. Izraˇcunaj: 123456787 · 123456788 − 123456789 · 123456786.

Rjeˇsenje.

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

Oznaˇcimo x = 123456789 . Onda je zadatak izraˇcunati (x − 2)(x − 1) − x(x − 3) = x2 − 3x + 2 − x2 + 3x = 2 .

1) 3) 5) 7) 9)

(3a + 2b)2 ; (7a + 3b)2 ; (2a − 1)2 ; (10a − b)2 ; (11a + 1)2 ;

2) (4a + 5)2 ; 4) (5a + 6)2 ; 6) (4a − 3b)2 ; 8) (6a − 5)2 ; 10) (8a + 3)2 .

1) (3a + 2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2 ; 2) (4a + 5)2 = 16a2 + 40a + 25 ; 3) (7a + 3b)2 = 49a2 + 42ab + 9b2 ; 4) (5a + 6)2 = 25a2 + 60a + 36 ; 5) (2a − 1)2 = 4a2 − 4a + 1 ; 6) (4a − 3b)2 = 16a2 − 24ab + 9b2 ; 7) (10a − b)2 = 100a2 − 20ab + b2 ; 8) (6a − 5)2 = 36a2 − 60a + 25 ; 9) (11a + 1)2 = 121a2 + 22a + 1 ; 10) (8a + 3)2 = 64a2 + 48a + 9 . 1) 3)

1 2 1 2

a+b a−

2

;

2 2 3

;

2) 4)

1

a−1

2

; 3 2 a+ b ; 3 4

2 2

47

2


2 1 1 2 ab − c ; ; 6) 4 6 2 1 2 4 5 2 7) a−1 ; a+ b ; 8) 10 5 6 8 3 1 2 5 2 a+ b ; a− b . 10) 9) 8 6 15 12 2 1 1 a + b = a2 + ab + b2 ; 1) 2 4 1 2 1 2 2) a − 1 = a − a + 1; 2 4 1 2 2 4 1 2 a− 3) = a2 − a + ; 2 3 4 3 9 2 3 2 4 2 9 a + b = a + ab + b2 ; 4) 3 4 9 16 3 1 2 1 9 2 1 a+ a + a+ ; = 5) 4 6 16 4 36 1 2 1 6) ab − c = a2 b2 − abc + c2 ; 2 4 2 1 1 2 1 a−1 = a − a + 1; 7) 10 100 5 4 2 5 25 16 2 4 8) a+ b = a + ab + b2 ; 5 6 25 3 36 3 1 2 1 9 2 1 9) a+ b = a + ab + b2 ; 8 6 64 8 36 8 5 2 25 2 64 2 4 10) a− b = a − ab + b . 15 12 225 9 144 5)

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

1) 3) 5) 7) 9)

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

48

3

a+

2 2 1 2 x2 − y2 ; 2) 5x2 y2 + ; 2 3 4 1 2 1 2 3 3 4 2 x − y2 z3 ; a + bc ; 4) 6 3 3 4 (0.1 + a2 b2 )2 ; 6) (a2 b − ab2 )2 ; (0.2x2 + 0.3y3 )2 ; 8) (0.5a3 − 1)2 ; 1 2 2 x2 − 6yz3 )2 ; a3 − 2 . 10) 3 4 1 2 2 1 2 4 x2 − y2 = x4 − x2 y2 + y4 ; 2 3 4 3 9 1 2 5 2 2 1 2 2 4 4 ; = 25x y + x y + 5x y + 4 2 16 1 2 1 1 2 1 2 3 1 4 6 x − y2 z3 = x − xy z + y z ; 6 3 36 9 9 2 3 4 2 4 6 9 8 2 3 3 4 a + b c = a +a b c+ b c ; 3 4 9 16 (0.1 + a2 b2 )2 = 0.01 + 0.2a2 b2 + a4 b4 ; (a2 b − ab2 )2 = a4 b2 − 2a3 b3 + a2 b4 ; (0.2x2 + 0.3y3 )2 = 0.04x4 + 0.12x2y3 + 0.09y6 ; 1

2 8) (0.5a3 − 1)2 = 0.25a6 − a3 + 1 ; 2 4 x2 − 6yz3 )2 = x4 − 8x2 yz3 + 36y2 z6 ; 9) 3 9 2 1 1 6 3 a −2 = a − a3 + 4 . 10) 4 16

Zadatak 22.

Provjeri sljedeća dva identiteta i opiˇsi njihovo znaˇcenje: 1) (−a − b)2 = (a + b)2 ; 2) (a − b)2 = (b − a)2 .

Rjeˇsenje.



Zadatak 25.

1) (−a − b)2 = (−a + (−b))2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; 2) (a − b)2 = (b − a)2 , a2 − 2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 . Obje ove jednakosti izriˇcu cˇ injenicu da su kvadrati suprotnih brojeva jednaki. Ako je (−2x + 1)2 = 3 , koliko je (4x − 2)2 ? (−2x + 1)2 = (2x − 1)2 = 3 . Onda je (4x − 2)2 = (2(2x − 1))2 = 4 · 3 = 12 . Ako je (−3x + 6)2 = 9 , koliko je (x − 2)2 ? Iz (−3x + 6)2 = 9 · (x − 2)2 = 9 slijedi (x − 2)2 = 1 . Provjeri sljedeće identitete: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.





(x − 2y)2 + 8xy = (x + 2y)2 ; (2a + 3b)2 − 24ab = (2a − 3b)2 ; x2 + 9y2 = (x + 3y)2 − 6xy ; 16a2 + 25b2 = (4a + 5b)2 − 40ab .

1) (x − 2y)2 + 8xy = x2 − 4xy + 4y2 + 8xy = x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2 ; 2) (2a + 3b)2 − 24ab = 4a2 + 12ab + 9b2 − 24ab = 4a2 − 12ab + 9b2 = (2a − 3b)2 ; 3) (x + 3y)2 − 6xy = x2 + 6xy + 9y2 − 6xy = x2 + 9y2 ; 4) (4a + 5b)2 − 40ab = 16a2 + 40ab + 25b2 − 40ab = 16a2 + 25b2 . Ako je 2a(2a − 3) = 10 , koliko je (4a − 3)2 ? 2a(2a−3) = 4a2 −6a = 10 , (4a−3)2 = 16a2 −24a+9 = 4(4a2 −6a)+9 = 4 · 10 + 9 = 49 . Ako je (x − 1)(x − 3) = 5 , koliko je (x − 2)2 ? (x − 1)(x − 3) = x2 − x − 3x + 3 = x2 − 4x + 3 = 5 =⇒ x2 − 4x = 2 , (x − 2)2 = x2 − 4x + 4 = 2 + 4 = 6 . Ako je a + b = 1 , koliko je a(a − 2) + b(b − 2) + 2ab ? a(a − 2) + b(b − 2) + 2ab = (a + b)2 − 2(a + b) = 1 − 2 = −1 . Ako je a + b = 3 , ab = −1 , koliko je a2 + b2 ? a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab = 9 + 2 = 11 .

49

2



Ako je a2 + b2 = 13 , a + b = 11 , koliko je ab ? a2 + b2 = 13 a + b = 11 ab =? (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 121 = 13 + 2ab ab = 54


Ako je a − b = 3 , a + b = 2 , koliko je a2 + b2 ? a−b=3 a+b=2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 4 = a2 + 2ab + b2 ? 9 = a2 − 2ab + b2 ? 13 = 2(a2 + b2 ) =⇒ a2 + b2 =




Zadatak 35.

13 2

Ako je x2 + xy + y2 = 7 i x + y = 2 , koliko je x2 + y2 ? Iz x2 + xy + y2 = (x + y)2 − xy = 7 slijedi xy = −3 . Zatim izraˇcunamo x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 10 . Ako je x2 − xy + y2 = 7 i x − y = 5 , koliko je xy ? Iz x2 − xy + y2 = (x − y)2 + xy = 25 + xy slijedi 25 + xy = 7 odnosno xy = −18 . Ako je a2 − a − 1 = 0 , koliko je a4 − 2a3 + a2 ? Vrijedi a4 − 2a3 + a2 = (a2 − a)2 , a kako je a2 − a = 1 , odgovor je 1. Za koji je broj k dana jednakost identitet: 1) (4a − 2)4 = k · (2a − 1)4 ; 2) (6a − 3)3 = k · (1 − 2a)3 ?

Rjeˇsenje.



50

1) (4a − 2)4 = 16(2a − 1)4 = k · (2a − 1)4 , slijedi k = 16 ; 2) (6a − 3)3 = 27(2a − 1)3 = −k · (2a − 1)3 te je k = −27 . Provjeri: (ka + kb)2 = k2 · (a + b)2 . (ka + kb)2 = k2 a2 + 2 · ka · kb + k2 b2 = k2 · (a2 + 2ab + b2 ) = k2 · (a + b)2 . 3 1 , x · y = − , koliko je x2 + y2 ? 5 5 1 2 3 1 6 31 = + = . −2· − x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 5 5 25 5 25

Ako je x + y =




Zadatak 41.

1 1 = 2 , koliko je x2 + 2 ? x x 2 1 1 − 2 = 4 − 2 = 2. x2 + 2 = x + x x

Ako je x +

Ako je x +

1 1 = 5 , koliko je x4 + 4 ? x x

1 Nakon kvadriranja jednakosti sobije se x2 + 2 = 23 , a nakon joˇs jednog x 1 kvadriranja imamo x4 + 4 = 527 . x 1 1 = 3 , koliko je a2 + 2 ? a a 1 1 2 a2 + 2 = a − + 2 = 9 + 2 = 11 . a a

Ako je a −

Zapiˇsi u obliku kvadrata binoma: 1) 4x2 + 4x + 1 ; 1 3) a2 − ab + b2 ; 4 1 ; 5) 4x2 + x + 16 7) a4 b4 − 8a2 b2 + 16 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 42.

1) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 ; 2) x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 ; 2 1 1 a−b ; 3) a2 − ab + b2 = 4 2 3 2 9 4) a2 + 3a + = a + ; 4 2 1 2 1 = 2x + 5) 4x2 + x + ; 16 4 4 9 2 2 3 2 2 6) a4 + b4 − a2 b2 = a − b ; 9 16 3 4 4 4 2 2 2 2 2 7) a b − 8a b + 16 = (a b − 4) ; 8) 9a2 b4 − 24ab2c3 + 16c6 = (3ab2 − 4c3 )2 . Zapiˇsi u obliku kvadrata binoma: 1) 4a2 + 28a + 49 ; 9 1 1 3) a2 + ab + b2 ; 9 2 16 5) 16a4 + 24a2b3 + 9b6 ; 4 9 4 3 2 a + a b + b2 ; 7) 16 5 25

Rjeˇsenje.

2) x2 − 6x + 9 ; 9 4) a2 + 3a + ; 4 4 4 9 4 2 2 6) a + b −a b ; 9 16 8) 9a2 b4 − 24ab2c3 + 16c6 .

2) 9a2 − 30ab + 25b2 ; 1 4) a2 b2 − 3ab + 9 ; 4 6) 49a6 − 70a3 b4 + 25b8 ; 9 4 2 2 6 a b − ab + . 8) 25 5 4

1) 4a2 + 28a + 49 = (2a + 7)2 ; 2) 9a2 − 30ab + 25b2 = (3a − 5b)2 ;

51

2


3) 4) 5) 6) 7) 8)

Zadatak 43.

Rjeˇsenje.

Zadatak 44.

Rjeˇsenje.



Zadatak 47.

Za koju vrijednost od m se sljedeći trinomi mogu prikazati u obliku kvadrata binoma: 1) mx2 − 12x + 4 ; 2) 16x2 − 8mx + 25 ; 3) x2 − 5x + 4m ? 1) m = 9 ;

2) m = 5 ili m = −5 ;

3) m =

25 . 16

Izraˇcunaj napamet: 1) 2) 3) 4)

5.22 + 6.82 + 10.4 · 6.8 ; 1102 + 102 − 2200 ; 13.82 + 16.22 + 32.4 · 13.8 ; 15.12 − 30.2 · 5.1 + 5.12 .

1) 2) 3) 4)

5.22 + 6.82 + 10.4 · 6.8 = (5.2 + 6.8)2 = 122 = 144 ; 1102 + 102 − 2200 = (110 − 10)2 = 1002 = 10 000 ; 13.82 + 16.22 + 32.4 · 13.8 = (13.8 + 16.2)2 = 302 = 900 ; 15.12 − 30.2 · 5.1 + 5.12 = (15.1 − 5.1)2 = 102 = 100 .

Za koji realni broj a je polinom 9x2 + 3ax + 1 , kvadrat binoma? 9x2 + 3ax + 1 = (3x ± 1)2 = 9x2 ± 6x + 1 =⇒ a = ±2 . Za koji realni broj m je polinom 4x2 − 3mx + 9 , kvadrat binoma? 4x2 − 3mx + 9 = (2x ± 3)2 = 4x2 ± 12x + 9 =⇒ m = ±4 . Za koje x izraz x2 − 2x + 3 prima najmanju vrijednost?

Rjeˇsenje.

Zapiˇsimo x2 − 2x + 3 = (x − 1)2 + 2 . Oˇcito, ovaj izraz prima najmanju vrijednost za x = 1 i ona iznosi 2.

Zadatak 48.

Za koje x izraz 1 − x − x2 prima najveću vrijednost? 2 1 5 2 . Najveću vrijednost izraz prima − Zapiˇsimo 1 − x − x = − x + 2 4 1 5 za x = − . Ta je vrijednost jednaka . 2 4

Rjeˇsenje.

Zadatak 49. 52

1 9 3 1 2 1 a + ab + b2 = a+ b ; 9 2 16 3 4 2 1 1 2 2 a b − 3ab + 9 = ab + 3 ; 4 2 16a4 + 24a2 b3 + 9b6 = (4a2 + 3b3 )2 ; 49a6 − 70a3 b4 + 25b8 = (7a3 − 5b4 )2 ; 3 4 2 2 9 4 3 2 a + a b + b2 = a2 + b ; 16 5 25 4 5 9 2 3 4 2 2 6 a b − ab + = ab − . 25 5 4 5 2

Ako je 4x2 + y2 − 4x + 2y + 2 = 0 , koliki su x i y ?

2 Rjeˇsenje.


Zadatak 51.

Rjeˇsenje.


Zadatak 53.

1 Jednadˇzbu zapiˇsimo u obliku (2x − 1)2 + (y + 1)2 = 0 . Slijedi x = , 2 y = −1 . Ako je 2x2 + 4xy + 4y2 − 2x + 1 = 0 , odredi x i y ? 1 Kao u prethodnom zadatku, iz (x+2y)2 +(x−1)2 = 0 slijedi x = 1 , y = − . 2 Dokaˇzi: 1) (n + 7)2 − n2 je broj djeljiv sa 7 za svaki cijeli broj n ; 2) (n + 2)2 − (n − 2)2 je broj djeljiv s 8 za svaki cijeli broj n . 1) (n + 7)2 − n2 = n2 + 14n + 49 − n2 = 7(2n + 7) . 2) (n+2)2 −(n−2)2 = n2 +4n+4−(n2 −4n+4) = n2 +4n+4−n2 +4n−4 = 8n . Broj (5k + 1)2 + (5m + 2) je djeljiv s 5 za svaka dva broja k i m . (5k + 1)2 + (5m + 2) = 25k2 + 10k + 1 + 25m2 + 20m + 4 = 25k2 + 25m2 + 10k + 20m + 5 = 5(5k2 + 5m2 + 2k + 4m + 1) . Provjeri vrijede li sljedeće jednakosti za sve realne brojeve a , b i c : 1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) ; 2) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab ; 2 2 a−b a+b a2 + b2 ; + = 3) 2 2 2 2 2 a+b a−b 4) − = ab ; 2 2 5) (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 ; 6) (a2 − b2 )(c2 − d 2 ) = (ac + bd)2 − (ad + bc)2 ; 7) (ad+bc)2 +(ac−bd)2 = (ad−bc)2 +(ac+bd)2 ; 8) (ad−bc)2 −(ac−bd)2 = (ad+bc)2 −(ac+bd)2 .

Rjeˇsenje.

1) (a+b)2 +(a−b)2 = a2 +2ab+b2 +a2 −2ab+b2 = 2a2 +2b2 = 2(a2 +b2 ) ; 2) (a + b)2 − (a − b)2 = a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2 = 4ab ; a + b 2 a − b 2 a2 + 2ab + b2 a2 − 2ab + b2 + + = 3) 2 2 4 4 a2 + 2ab + b2 + a2 − 2ab + b2 2a2 + 2b2 a2 + b2 = = = ; 4 4 2 a + b 2 a − b 2 a2 + 2ab + b2 2 2 a − 2ab + b − − = 4) 2 2 4 4 a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2 4ab = = = ab ; 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5) (a + b )(c + d ) = a c + a d + b c + b2 d2 = a2 c2 + 2acbd + b2 d2 + a2 d2 − 2adbc + b2 c2 = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 ; 6) (a2 −b2 )(c2 −d2 ) = a2 c2 −a2 d2 −b2 c2 +b2 d2 = a2 c2 +2acbd +b2d2 −a2 d2 −2adbc−b2 c2 = (ac+bd)2 −(a2 d2 +2adbc+b2c2 )=(ac+bd)2 −(ad+bc)2 ;

53

2


7) (ad + bc)2 + (ac − bd)2 = a2 d2 + 2adbc + b2 c2 + a2 c2 − 2acbd + b2 d2 = a2 d2 − 2acbd + b2 c2 + a2 c2 + 2adbc + b2d2 = (ad − bc)2 + (ac + bd)2 ; 8) (ad − bc)2 − (ac− bd)2 = a2 d2 − 2adbc+ b2c2 − (a2 c2 − 2acbd + b2d2 )a2 d2 − 2adbc + b2c2 − a2 c2 + 2acbd − b2 d2 a2 d2 + 2acbd + b2 c2 − a2 c2 − 2adbc − b2 d2 (ad + bc)2 − (a2 c2 + 2adbc + b2 d2 )(ad + bc)2 − (ac + bd)2 .

Zadatak 54.

Rjeˇsenje.


Pojednostavni: 2 2 1 1 1) 2a + − 2a − ; 4 4 2) 2a(3a − 2b)2 + 6b(2a − 3b)2 ; 3) (2a − 1)2 (a + 1) − (2a + 1)2 (a − 1) ; 4) (x2 − 4)2 − (x + 2)(x − 2)(x2 + 4) ; 5) (a − 2b)2 + (a + 2b)2 ; 6) (2a + 3b)2 − (3a − 2b)2 . 2 2 1 1 1 1 2 2 1) 2a + − 4a − a + − 2a − = 4a + a + 4 4 16 16 1 1 − 4a2 + a − = 2a ; = 4a2 + a + 16 16 2 2 2) 2a(3a−2b) +6b(2a−3b) = 2a(9a2 −12ab+4b2)+6b(4a2 −12ab+9b2) = 18a3 − 24a2 b + 8ab2 + 24a2 b − 72ab2 + 54b3 = 18a3 − 64ab2 + 54b3 ; 3) (2a − 1)2 (a + 1) − (2a + 1)2 (a − 1) = (4a2 − 4a + 1)(a + 1) − (4a2 + 4a + 1)(a − 1) = 4a3 + 4a2 − 4a2 − 4a + a + 1 − (4a3 − 4a2 + 4a2 − 4a + a − 1) = 4a3 − 3a + 1 − 4a3 + 3a + 1 = 2 ; 4) (x2 − 4)2 − (x + 2)(x − 2)(x2 + 4) = x4 − 8x2 + 16 − (x2 − 4)(x2 + 4) = x4 − 8x2 + 16 − (x4 − 16) = x4 − 8x2 + 16 − x4 + 16 = −8x2 + 32 ; 5) (a − 2b)2 + (a + 2b)2 = a2 − 4ab + 4b2 + a2 + 4ab + 4b2 = 2a2 + 8b2 ; 6) (2a + 3b)2 − (3a − 2b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 − (9a2 − 12ab + 4b2 ) = 4a2 + 12ab + 9b2 − 9a2 + 12ab − 4b2 = −5a2 + 24ab + 5b2 . Provjeri da za kvadriranje troˇclanog izraza vrijedi: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. Izraˇcunaj zatim i (a + b + c + d)2 . (a + b + c)2 = ((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2 · (a + b) · c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac . (a + b + c + d)2 = ((a + b + c) + d)2 = (a + b + c)2 + 2 · (a + b + c) · d + d2 = a2 + b2 + c2 + 2ac + 2ab + 2bc + 2ad + 2bd + 2cd + d 2 = a2 + b2 + c2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd .

Zadatak 56.

Kvadriraj sljedeće trinome: 1) 3) 5) 7)

Rjeˇsenje.

54

(a + b − c)2 ; (2a − 3b + c)2 ; (ab − bc − ca)2 ; (2a − 3b + c)2 ;

2) 4) 6) 8)

(a − b − c)2 ; (a − 2b − 3c)2 ; (2ab − b + 3bc)2 ; (3a − 2b − c)2 .

1) (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc ;

2 (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc . (2a − 3b + c)2 = 4a2 + 9b2 + c2 − 12ab + 4ac − 6bc ; (a − 2b − 3c)2 = a2 + 4b2 + 9c2 − 4ab − 6ac + 12bc ; (ab − bc − ca)2 = ((ab − bc) − ca)2 = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 − 2ab2 c − 2a2 bc + 2abc2 ; 6) (2ab − b + 3bc)2 = 4a2 b2 + b2 + 9b2 c2 − 4ab2 + 12ab2c − 6b2 c ; 7) (2a − 3b + c)2 = 4a2 + 9b2 + c2 − 12ab + 4ac − 6bc ; 8) (3a − 2b − c)2 = 9a2 + 4b2 + c2 − 12ab − 6ac + 4bc .

2) 3) 4) 5)

Zadatak 57.

Primjenjujući identitete (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 odredi: 1) (4a + 1)3 ; 3) (ab + 5)3 ; 1 5) (2a2 − )3 ; 6

Rjeˇsenje.

Zadatak 58.

Rjeˇsenje.

2) (a − 6)3 ; 4) (3a − 5b)3 ; 6) (2ab − 3cd)3 .

(4a + 1)3 = (4a)3 + 3(4a)2 + 3 · 4a · 1 + 1 = 64a3 + 48a2 + 12a + 1 ; (a − 6)3 = a3 − 3a2 · 6 + 3a · 36 − 63 = a3 − 18a2 + 108a − 216 ; (ab+5)3 = (ab)3 +3a2 b2 ·5+3ab·25+125 = a3 b3 +15a2 b2 +75ab+125 ; (3a − 5b)3 = (3a)3 − 3(3a)2 · 5b + 3 · 3a · (5b)2 − (5b)3 = 27a3 − 135a2 b + 225ab2 − 125b3 ; 3 1 1 1 1 2 − = (2a2 )3 − 3(2a2 )2 · + 3(2a2 ) · 5) 2a − 6 6 36 216 1 2 1 6 4 = 8a − 2a + a − ; 6 216 6) (2ab − 3cd)3 = (2ab)3 − 3 · (2ab)2 · 3cd + 3 · 2ab · (3cd)2 − (3cd)3 = 8a3 b3 − 36a2 b2 cd + 54abc2d2 − 27c3 d3 . 1) 2) 3) 4)

Primjenjujući identitete (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 odredi: 1 1 3 c2 − d 2 ; 1) 2) (3a2 b − 4c3 )3 ; 3 2 2 3 3 3) a 2 b 2 − c4 ; 4) (2m − 3m )3 ; 3 2 5) (2n + 2m )3 ; 6) (2n+1 − 2n−1 )3 . 1 1 2 1 1 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 c2 − d 2 = c d 1) − 3 c2 · d 2 + 3 · c2 d 2 − 3 2 3 3 2 3 2 2 1 6 1 4 2 1 2 4 1 6 c − cd + cd − d ; = 27 6 4 8 2) (3a2 b − 4c3 )3 = (3a2 b)3 − 3 · (3a2 b)2 · 4c3 + 3 · (3a2 b) · (4c3 )2 − (4c3 )3 = 27a6 b3 − 108a4b2 c3 + 144a2 bc6 − 64c9 ;

55

2


2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 a 2 b 2 − c4 = ab c4 − 3 a 2 b 2 · c4 + 3 · a 2 b 2 · 3 2 3 3 2 3 2 3 4 3 8 6 6 9 27 c a b − 2a4 b4 c4 + a2 b2 c8 − c12 ; − = 2 27 2 8 4) (2m − 3m )3 = (2m )3 − 3 · (2m )2 · 3m + 3 · 2m · (3m )2 − (3m )3 = 8m − 3 · 12m + 3 · 18m − 27m ; 5) (2n + 2m )3 = (2n )3 + 3 · (2n )2 · 2m + 3 · 2n · (2m )2 + (2m )3 = 8n + 3 · 22n+m + 3 · 2n+2m + 8m ; 6) (2n+1 − 2n−1 )3 = (4 · 2n−1 − 2n−1 )3 = (3 · 2n−1 )3 = 27 · 8n−1 .

3)

Zadatak 59.

2

Kubiraj: 1) (a2 b2 − 5)3 ; 3) (4a + 3b2 )3 ; 5) (6a4 − 5)3 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 60.

Rjeˇsenje.

Zadatak 61.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

(a2 b2 − 5)3 = a6 b6 − 15a4 b4 + 75a2 b2 − 125 ; (2ab2 − 1)3 = 8a3 b6 − 12a2 b4 + 6ab2 − 1 ; (4a + 3b2 )3 = 64a3 + 144a2b2 + 108ab4 + 27b6 ; (a3 b3 − 3)3 = a9 b9 − 9a6 b6 + 27a3 b3 − 27 ; (6a4 − 5)3 = 108a12 − 540a8 + 450a4 − 125 ; (4a2 b3 + 3c4 )3 = 64a6 b9 + 144a4b6 c4 + 108a2b3 c8 + 27c12 .

Kubiraj: 3 3 1 2 2 1 1) a b +1 ; 2) a − ; 3 3 3 3 2 1 1 3) 4) a+1 ; a+ b ; 3 2 3 3 3 3 2 2 2 1 2 ab − cd ; a + b 5) 6) . 3 4 5 6 3 1 1 6 6 1 4 4 a2 b2 + 1 = a b + a b + a2 b2 + 1 ; 1) 3 27 3 1 3 1 1 2) a − ; = a3 − a2 + a − 3 3 27 2 3 8 3 4 2 2 3) a+1 = a + a + a + 1; 3 27 3 3 1 3 1 1 3 1 2 1 1 4) a + b = a + a b + ab2 + b3 ; 2 3 8 4 6 27 2 3 3 8 3 3 18 27 5) ab − cd = a b − a2 b2 cd + abc2 d2 − c3 d3 ; 3 4 27 16 64 2 1 3 8 6 2 1 1 6 6) a2 + b2 = a + a4 b2 + a2 b4 + b . 5 6 125 25 30 108 Odredi drugi cˇ lan nakon provedenog kubiranja binoma: 1) (3a2 b3 − 1)3 ;

Rjeˇsenje.

56

2) (2ab2 − 1)3 ; 4) (a3 b3 − 3)3 ; 6) (4a2 b3 + 3c4 )3 .

2) (4a3 b2 + 11c4 )3 .

Drugi cˇ lan nakon provedenog kubiranja binoma (x + y)3 je 3x2 y .

2 1) 3 · (3a2 b3 )2 · (−1) = −27a4 b6 ; 2) 3 · (4a3 b2 )2 · 11c4 = 528a6b4 c4 .

Zadatak 62.

Odredi treći cˇ lan nakon provedenog kubiranja binoma: 1) (3a2 b − 5)3 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 63.

Treći cˇ lan nakon provedenog kubiranja binoma (x + y)3 je 3xy2 . 1) 3 · 3a2 b · (−5)2 = 225a2 b ; 2) 3 · 4a2 b3 · 112 = 1452a2b3 . Za koje cijele brojeve a i b je cˇetveroˇclani izraz kub binoma: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

Zadatak 64.

2) (4a2 b3 + 11)3 .

27x3 +ax2 +bx−64 ; ax3 +12x2 +6x+b ; ax3 +150x2 +bx+8 ; x3 +ax2 +48x+b .

1) a = 3 · 32 · (−4) = −108 , b = 3 · 3 · (−4)2 = 144 ; 2) 3a21 · b1 = 12 , 3a1 · b21 = 6 , a21 b1 = 4 , a1 b21 = 2 , a1 = 2 , b1 = 1 , a = a31 = 8 , b = b31 = 1 ; 150 = 25 =⇒ a1 = 5 , a = a31 = 125 , 3) 3a21 · 2 = 150 , a21 = 6 b = 3 · a1 · 22 = 3 · 5 · 4 = 60 ; 4) a1 = 1 , 3a21 · b1 = a , 3b1 = a , 3a1 · b21 = 48 , 3b21 = 48 , b21 = 16 , b1 = ∓4 , b = b31 = ∓64 , a = 3b1 = ±12 . Zapiˇsi u obliku kuba binoma sljedeće cˇetveroˇclane izraze: a3 + 6a2 + 12a + 8 ; 27a3 − 27a2 + 9a − 1 ; a3 −21a2+147a−343 ; 125a3 +225a2 b+135ab2+27b3 ; a6 b6 − 12a4 b4 + 48a2 b2 − 64 ; 27a6 b3 + 54a4 b2 c3 + 36a2 bc6 + 8c9 ; 1 9 1 ; 7) 27a3 − a2 + a − 2 4 216 1 1 1 1 8) a3 b3 − a2 b2 cd + abc2 d2 − c3 d3 . 8 4 6 27

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Rjeˇsenje.

a3 + 6a2 + 12a + 8 = a3 + 3 · a2 · 2 + 3 · a · 4 + 23 = (a + 2)3 ; 27a3 − 27a2 + 9a − 1 = (3a)3 − 3 · 9a2 · 1 + 3 · 3a · 1 − 13 = (3a − 1)3 ; a3 − 21a2 + 147a − 343 = a3 − 3 · a2 · 7 + 3 · a · 49 − 73 = (a − 7)3 ; 125a3 + 225a2b + 135ab2 + 27b3 = (5a)3 + 3 · 25a2 · b + 3 · 5a · 9b2 + b3 = (5a + 3b)3 ; 5) a6 b6 − 12a4b4 + 48a2b2 − 64 = (a2 b2 )3 − 3 · a4 b4 · 4 + 3 · a2 b2 · 16 − 43 = (a2 b2 − 4)3 ; 6) 27a6b3 + 54a4b2 c3 + 36a2bc6 + 8c9 = (3a2 b)3 + 3 · 9a4 b2 · 2 + 3 · 3a2 b · 4 + (2c3 )3 = (3a2 b + 2c3 )3 ; 1) 2) 3) 4)

57

2


1 1 1 3 9 1 1 1 3 = (3a)3 −3·9a2 · +3·3a· − 7) 27a3 − a2 + a− = 3a− ; 2 4 216 6 36 6 6 1 1 1 1 8) a3 b3 − a2 b2 cd + abc2 d2 − c3 d3 8 4 6 27 1 3 1 1 1 1 3 1 3 1 1 ab − 3 · a2 b2 · cd + 3 · ab · c2 d2 + cd = ab − cd . = 3 4 3 2 9 3 2 3

Zadatak 65.

Zapiˇsi u obliku kuba binoma sljedeće cˇetveroˇclane izraze: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Rjeˇsenje.

27m + 3 · 18m + 3 · 12m + 8m ; 8n − 3 · 22n+m + 3 · 2n+2m − 8m ; a3 − 12a2 + 48a − 64 ; 27a3 + 27a2 + 9a + 1 ; 8a3 + 36a2 b + 54ab2 + 27b3 ; 64a6 − 144a4b + 108a2b2 − 27b3 ; 8a3 + 60a2 b2 + 150ab4 + 125b6 ; a9 − 18a6b2 + 108a3b4 − 216b6 .

27m +3·18m +3·12m +8m = 33m +3·32m ·2m +3·3m ·22m +23m = (3m +2m )3 ; 8n −3·22n+m +3·2n+2m −8m = 23n −3·22n ·2m +3·2n ·22m −23m = (2n −2m )3 ; a3 − 12a2 + 48a − 64 = a3 − 3 · a2 · 4 + 3 · a · 42 − 43 = (a − 4)3 ; 27a3 + 27a2 + 9a + 1 = (3a)3 + 3 · (3a)2 · 1 + 3 · 3a · 12 + 13 = (3a + 1)3 ; 8a3 + 36a2 b + 54ab2 + 27b3 = (2a)2 + 3. 2a)2 · 3b + 3 · 2a · (3a)2 + (3b)3 = (2a + 3b)3 ; 6) 64a6 − 144a4b + 108a2b2 − 27b3 = (4a2 )3 − 3 · (4a2 )2 · 3b + 3 · 4a2 · (3b)2 − (3b)3 = (4a2 − 3b)3 ; 7) 8a3 + 60a2 b2 + 150ab4 + 125b6 = (2a)3 + 3 · (2a)2 · 5b2 + 3 · 2a · (5b2 )2 + (5b)3 = (2a + 5b)3 ; 8) a9 − 18a6 b2 + 108a3b4 − 216b6 = (a3 )3 − 3 · (a3 )2 · 6b2 + 3 · a3 · (6b2 )2 − (6b2 )3 = (a3 − 6b2 )3 . 1) 2) 3) 4) 5)


Rjeˇsenje.

58

Pomnoˇzi: 1) (2a − 3)(2a + 3) ; 3) (ab − 11)(ab + 11) ; 5) (2ab3 + 3)(3 − 2ab3 ) ; 1 3 1 2 1 3 1 2 7) a − bc a + b c ; 3 4 3 4 1) 2) 3) 4) 5)

2) (4a + 5)(4a − 5) ; 4) (a2 b2 − 7)(a2 b2 + 7) ; 6) (a2 + 6b3 )(a2 − 6b3 ) ; 3 3 3 3 3 3 8) a b − 0.1 a b + 0.1 . 5 5

(2a − 3)(2a + 3) = 4a2 + 6a − 6a − 9 = 4a2 − 9 ; (4a + 5)(4a − 5) = 16a2 − 20a + 20a − 25 = 16a2 − 25 ; (ab − 11)(ab + 11) = a2 b2 + 11ab − 11ab − 121 = a2 b2 − 121 ; (a2 b2 − 7)(a2 b2 + 7) = a4 b4 + 7a2 b2 − 7a2 b2 − 49 = a4 b4 − 49 ; (2ab3 + 3)(3 − 2ab3 ) = 6ab3 − 4a2 b6 + 9 − 6ab3 = 9 − 4a2 b6 ;

2 6) (a2 + 6b3 )(a2 − 6b3 ) = a4 − 6a2 b3 + 6a2 b3 − 36b6 = a4 − 36b6 ; 1 1 1 3 1 2 1 6 1 1 1 a3 − b2 c a + b c = a + a 3 b 2 c − a 3 b 2 c − b 4 c2 7) 3 4 3 4 9 12 12 16 1 1 = a 6 − b 4 c2 ; 9 16 3 3 9 6 6 3 3 3 3 a b − 0.1 a3 b3 + 0.1 = a b − 0.1 · a3 b3 + 0.1 · a3 b3 − 0.12 8) 5 5 25 5 5 9 6 6 a b − 0.01 . = 25

Zadatak 2.

Zapiˇsi u obliku razlike kvadrata sljedeće umnoˇske: 1) (2ab − 3)(2ab + 3) ; 3) (5 − abc)(5 + abc) ; 1 3 1 3 a − bc a + bc ; 5) 2 4 2 4 1 1 7) 0.2a − 0.2a + ; 7bc 7bc

Rjeˇsenje.


1) (2ab − 3)(2ab + 3) = 4a2 b2 + 6ab − 6ab − 9 = 4a2 b2 − 9 ; 2) (13x − 12yz)(13x + 12yz) = 169x2 + 156xyz − 156xyz − 144y2 z2 = 169x2 − 144y2 z2 ; 3) (5 − abc)(5 + abc) = 25 + 5abc − 5abc − a2 b2 c2 = 25 − a2 b2 c2 ; 4) (a2 − 10)(a2 + 10) = a4 + 10a2 − 10a2 − 100 = a4 − 100 ; 1 3 1 3 1 3 9 3 1 9 a− bc a+ bc = a2 + abc− abc− b2 c2 = a2 − b2 c2 ; 5) 2 4 2 4 4 8 8 16 4 16 2 3 2 3 4 6 6 9 ab + bc ab − bc = a2 b2 − ab2 c + ab2 c − b2 c2 6) 3 4 3 4 9 12 12 16 4 9 = a 2 b 2 − b 2 c2 ; 9 16 1 a 1 1 a − − 0.2a + = 0.04a2 + 7) 0.2a − 7bc 7bc 35bc 35bc 49b2 c2 1 2 = 0.04a − ; 49b2 c2 3 3 3ab2 3ab2 9 − − 8) 0.1ab2 − 3 0.1ab2 + 3 = 0.01a2 b4 + 5c 5c 50c3 50c3 25c6 9 = 0.01a2b4 − . 25c6 Ako je a2 − b2 = 15 , a − b = 9 , koliko je 1 − 3a − 3b ? a2 − b2 = (a − b)(a + b) = 15 , a + b = 1−3·


Zadatak 5.

2) (13x − 12yz)(13x + 12yz) ; 4) (a2 − 10)(a2 + 10) ; 2 3 2 3 6) ab + bc ab − bc ; 3 4 3 4 3 3 8) 0.1ab2− 3 0.1ab2 + 3 . 5c 5c

15 = 1 − 5 = −4 . 9

15 , 1 − 3a − 3b = 1 − 3(a + b) = 9

Ako je x2 − y2 = 21 , y = x + 3 , koliko je x + y ? x2 − y2 = (x − y)(x + y) = 21 =⇒ x + y =

21 = −7 . −3

Ako je (a + b)2 = 11 , (a − b)2 = 13 , koliko je (a2 − b2 )2 ?

59

2


Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

(a2 − b2 )2 = [(a − b)(a + b)]2 = (a − b)2 (a + b)2 = 13 · 11 = 143 . Ako je (x + 1)(x − 1) = 3 , koliko je: 1) (x2 − x)(x2 + x) ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

2) (x3 − x)(x3 + x) ?

1) Iz (x + 1)(x − 1) = 3 slijedi x2 − 1 = 3 =⇒ x2 = 4 . (x2 − x)(x2 + x) = x(x − 1)x(x + 1) = x2 (x − 1)(x + 1) = 3x2 = 3 · 4 = 12 ; 2) (x3 − x)(x3 + x) = x(x2 − 1)x(x2 + 1) = x2 (x2 − 1)(x2 + 1) = 4 · 3 · (4 + 1) = 12 · 5 = 60 . Izraˇcunaj: 1) (a + b + c)(a − b − c) ; 3) (a − b + c)(a − b − c) ; 5) (2a − b + 3c)(2a + b − 3c) ;

2) (a + b − c)(a − b + c) ; 4) (a − b − c)(a + b − c) ; 6) (a2 + 2b − c3 )(a2 − 2b + c3 ) ;

7) (5a + 3b2 + 4c3 )(5a − 3b2 − 4c3 ) ; 8) (3a2 − 3b2 − 3c2 )(3a2 − 3b2 + 3c2 ) . Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

1) (a + b + c)(a − b − c) = (a + (b + c))(a − (b + c)) = a2 − (b + c)2 = a2 − b2 − c2 − 2bc ; 2) (a + b − c)(a − b + c) = (a + (b − c))(a − (b − c)) = a2 − (b − c)2 = a2 − b2 − c2 + 2bc ; 3) (a − b + c)(a − b − c) = ((a − b) + c)((a − b) − c) = (a − b)2 − c2 = a2 + b2 − c2 − 2ab ; 4) (a − b − c)(a + b − c) = ((a − c) − b)((a − c) + b) = (a − c)2 − b2 = a2 + c2 − b2 − 2ac ; 5) (2a−b+3c)(2a+b−3c) = (2a−(b−3c))(2a+(b−3c)) = 4a2 −(b−3c)2 = 4a2 − b2 − 9c2 + 6bc ; 6) (a2 + 2b − c3 )(a2 − 2b + c3 ) = (a2 + (2b − c3 ))(a2 − (2b − 3c3 )) = a4 − (2b − c3 )2 = a4 − 4b2 − c6 + 4bc3 ; 7) (5a + 3b2 + 4c3 )(5a − 3b2 − 4c3 ) = (5a + (3b2 + 4c2 ))(5a − (3b2 + 4c2 )) = 25a2 − (3b2 + 4c3 )2 = 25a2 − 9b4 − 16c6 − 24b2 c3 ; 8) (3a2 −3b2 −3c2 )(3a2 −3b2 +3c2 ) = ((3a2 −3b2 )−3c2 )((3a2 −3b2 )+3c2 ) = (3a2 − 3b2 )2 − 9c4 = 9a4 + 9b4 − 9c4 − 18a2 b2 . Napiˇsi u obliku umnoˇska sljedeće razlike kvadrata: 1) 9 − a2 b2 ; 3) a2 − 81b4 ; 16 4 4 a b − 1; 5) 81 7) 0.01x2 − 1.44y4 ; 9) 2.25a4 b4 −

1 ; 400

11) 25a2 − 1 ; 13) 16a4 − 1 ; 15) 81a4 − 16 .

60

2) 36a2 b2 − 121 ; 4) 64a4 − b6 ; 6) 64a8 − 1 ; 9 2 4 1 x y − z6 ; 16 25 4 8 25 8 12 10) a − b c ; 9 64 12) 49a2 − 81b2 c2 ; 14) 36a2 b2 − 49 ; 8)

2 Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

9 − a2 b2 = (3 − ab)(3 + ab) ; 36a2b2 − 121 = (6ab − 11)(6ab + 11) ; a2 − 81b4 = (a − 9b2 )(a + 9b2 ) ; 64a4 − b6 = (8a2 − b3 )(8a2 + b3 ) ; 2 4 4 4 2 16 4 4 a b −1= a2 b2 −1 a2 b2 +1 = ab−1 ab+1 a2 b2 +1 ; 5) 81 9 9 3 3 9 6) 64a8 − 1 = (8a4 − 1)(8a4 + 1) ; 7) 0.01x2 − 1.44y4 = (0.1x − 1.2y2 )(0.1x + 1.2y2 ) ; 3 9 2 4 1 1 3 2 1 3 x y − z6 = xy2 − z3 xy + z ; 8) 16 25 4 5 4 5 1 1 1 = 1.5a2 b2 − 1.5a2 b2 + ; 9) 2.25a4b4 − 400 20 20 25 2 4 5 4 6 2 4 5 4 6 4 a − b c a + b c ; 10) a8 − b8 c12 = 9 64 3 8 3 8 11) 25a2 − 1 = (5a + 1)(5a − 1) ; 12) 49a2 − 81b2 c2 = (7a + 9bc)(7a − 9bc) ; 13) 16a4 − 1 = (4a2 + 1)(4a2 − 1) ; 14) 36a2 b2 − 49 = (6ab + 7)(6ab + 7) ; 15) 81a4 − 16 = (9a2 + 4)(9a2 − 4) .

1) 2) 3) 4)

Izraˇcunaj napamet: 1) 6.52 − 3.52 ; 3) 44.22 − 34.22 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4)

2) 1012 − 1 ; 4) 0.992 − 0.012 .

6.52 − 3.52 = (6.5 − 3.5)(6.5 + 3.5) = 3 · 10 = 30 ; 1012 − 1 = (101 − 1)(101 + 1) = 100 · 102 = 10 200 ; 44.22 − 34.2 = (44.2 − 34.2)(44.2 + 34.2) = 10 · 78.4 = 784 ; 0.992 − 0.012 = (0.99 − 0.01)(0.99 + 0.01) = 0.98 · 1 = 0.98 .

Izraˇcunaj bez uporabe dˇzepnog raˇcunala: √ √ 1) 15 · 135 + 98.52 − 97.52 ; 1 2) 3 + 522 − 482 ; 16 652 − 562 3) √ ; 522 − 202 0.652 − 0.162 . 4) 0.372 − 0.122 √ √ √ 2 2 1) 15· 135+ 98.5 − 97.5 = 15 · 9 · 15+ (98.5 − 97.5)(98.5 + 97.5) √ = 15 · 3 + 1 · 196 = 45 + 14 = 59 ; 49 1 7 √ 2 2 2) 3 + 52 − 48 = + (52 − 48)(52 + 48) = + 4 · 100 16 16 4 87 3 7 = 21 ; = + 20 = 4 4 4

61

2


3) = 4) =

Zadatak 11.

√ (65 − 56)(65 + 56) 33 652 − 562 9 · 121 3 · 11 √ = = √ = = 2 2 4·2·6 48 32 · 72 52 − 20 (52 − 20)(52 + 20) 11 ; 16 0.652 − 0.162 (0.65 − 0.16)(0.65 + 0.16) 0.49 · 0.81 = = 0.372 − 0.122 (0.37 − 0.12)(0.37 + 0.12) 0.49 · 0.25 9 0.9 = . 0.5 5

Napiˇsi u obliku umnoˇska sljedeće razlike kvadrata: 1) (a − b)2 − c2 ; 3) (a+b)2 −(c−d)2 ; 5) 25a2 −16(b2 −3c)2 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

(a − b)2 − c2 = (a − b − c)(a − b + c) ; a2 − (b − c)2 = (a − b + c)(a + b − c) ; (a+b)2 −(c−d)2 = (a + b − c + d)(a + b + c − d) ; 9(a2 − 2b)2 − 16c2 = (3a2 − 6b − 4c)(3a2 − 6b + 4c) ; 25a2 − 16(b2 − 3c)2 = (5a − 4b2 + 12c)(5a + 4b2 − 12c) ; 1 2 3 2 1 3 2 1 9 4 a − b − c2 = a − b + c2 a + b − c2 . 6) 16 2 4 2 4 2

1) 2) 3) 4) 5)

Pomnoˇzi: 1) 2) 3) 4) 5)

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

2) a2 − (b − c)2 ; 4) 9(a2 − 2b)2 − 16c2 ; 9 4 1 2 a − b − c2 . 6) 16 2

(2a − 1)2 · (2a + 1)2 ; (4 − 4a + a2 )(4 + 4a + a2 ) ; (a − 1)2 (a2 + 1)2 (a + 1)2 ; (a2 + a + 1)2 · (a2 − a + 1)2 ; (2a2 − 2a − 1)2 · (2a2 + 2a + 1)2 .

1) (2a − 1)2 · (2a + 1)2 = (2a − 1)(2a + 1) · (2a − 1)(2a + 1) = (4a2 − 1)2 = 16a4 − 8a2 + 1 ; 2) (4 − 4a + a2)(4 + 4a + a2) = (a − 2)2 (a + 2)2 = (a2 − 4)2 = a4 − 8a2 + 16 ; 3) (a − 1)2 (a2 + 1)2 (a + 1)2 = (a2 − 1)2 (a2 + 1)2 = (a4 − 1)2 = a8 − 2a4 + 1 ; 4) (a2 + a + 1)2 · (a2 − a + 1)2 = ((a2 + 1) + a)2 ((a2 + 1) − a)2 = ((a2 + 1)2 − a2 )2 = (a4 + a2 + 1)2 = a8 + 2a6 + 3a4 + 2a2 + 1 ; 5) (2a2 − 2a − 1)2 · (2a2 + 2a + 1)2 = (2a2 − (2a + 1))2 (2a2 + (2a + 1))2 = (4a4 − (2a + 1)2 )2 = 16a8 − 32a6 − 32a5 + 8a4 + 32a3 + 24a2 + 8a + 1 . Izraˇcunaj: 1) (a − b)3 · (a + b)3 ; 2) (a2 − 1)3 · (a2 + 1)3 · (a4 + 1)3 .

Rjeˇsenje.

62

1) (a − b)3 · (a + b)3 = (a2 − b2 )3 = a6 − 3a4 b2 + 3a2 b4 − b6 ;

2 2) (a2 − 1)3 · (a2 + 1)3 · (a4 + 1)3 = (a4 − 1)3 (a4 + 1)3 = (a8 − 1)3 = a24 − 3a16 + 3a8 − 1 .

Zadatak 14.

Napiˇsi u obliku umnoˇska: 1) 27a3 + 8b3 ; 3) 8a3 b3 + 1 ; 64 1 12 a + ; 5) 27 125

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

2) 1 − 64a3 ; 4) 125a3 − 64b6 ; 8 6 9 1 12 6) a b − c . 27 125

27a3 + 8b3 = (3a + 2b)(9a2 − 6ab + 4b2 ) ; 1 − 64a3 = (1 − 4a)(1 + 4a + 16a2 ) ; 8a3 b3 + 1 = (2ab + 1)(4a2 b2 − 2ab + 1) ; 125a3 − 64b6 = (5a − 4b2 )(25a2 + 20ab2 + 16b4 ) ; 1 64 4 1 8 4 16 1 12 a + = a4 + a − a4 + ; 5) 27 125 3 5 9 15 25 1 12 2 2 3 1 4 4 4 6 2 1 8 6 9 ab − c = a b − c a b + a 2 b 3 c4 + c8 . 6) 27 125 3 5 9 15 25

1) 2) 3) 4)

Pomnoˇzi: (a − 2b)(a2 + 2ab + 4b2 ) ; (2a − 3)(4a2 + 6a + 9) ; (4ab − 1)(16a2 b2 + 4ab + 1) ; (7a2 − 4b2 )(49a4 + 28a2 b2 + 16b4 ) ; 1 1 2 2 1 3 2 9 4 2 5) ab− c a b + abc + c ; 3 4 9 4 16 2 3 1 3 4 6 1 3 3 1 6 a − b a + a b + b . 6) 5 4 25 10 16

1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

(a − 2b)(a2 + 2ab + 4b2 ) = a3 − (2b)3 = a3 − 8b3 ; (2a − 3)(4a2 + 6a + 9) = (2a)3 − 33 = 8a3 − 27 ; (4ab − 1)(16a2 b2 + 4ab + 1) = (4ab)3 − 13 = 64a3b3 − 1 ; (7a2 − 4b2 )(49a4 + 28a2b2 + 16b4) = (7a2 )3 − (4b2 )3 = 499a6 − 64b6 ; 1 3 1 2 2 1 9 1 3 3 2 3 ab − c2 a b + abc2 + c4 = ab − c 5) 3 4 9 4 16 3 4 1 3 3 27 6 a b − c ; = 27 64 2 4 1 1 1 2 3 3 1 3 3 6) a3 − b3 a6 + a3 b3 + b6 = a b − 5 4 25 10 16 5 4 8 9 1 a − b9 . = 125 64 1) 2) 3) 4)

63

2


Zadatak 16.

Ne mnoˇzeći polinome, izravno zapiˇsi rezultat mnoˇzenja: 1) (2a+5b)(4a2 −10ab+25b2 ) ; 3) (4a+7b)(16a2 −28ab+49b2 ) ; 1 5 1 5) 5ab+ 25a2b2 − ab+ ; 2 2 4

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

(2a + 5b)(4a2 − 10ab + 25b2 ) = (2a)3 + (5b)3 = 8a3 + 125b3 ; (3a − 1)(9a2 + 3a + 1) = (3a)3 − 1 = 27a3 − 1 ; (4a + 7b)(16a2 − 28ab + 49b2 ) = (4a)3 + (7b)3 = 64a3 + 343b3 ; (a2 + 3b3 )(a4 − 3a2 b3 + 9b6 ) = (a2 )3 + (3b3 )3 = a6 + 27b9 ; 1 3 1 5 1 1 25a2 b2 − ab + = (5ab)3 + = 125a3b3 + ; 5) 5ab + 2 2 4 2 8 1 1 1 3 1 2 1 6 2 4 2 3 6) − 1 = x − 1. x −1 x + x +1 = x 2 4 2 2 8

1) 2) 3) 4)

Zapiˇsi u obliku umnoˇska: 1) a3 − 125b3 ; 4) 27a3 − 8b6 c9 ;

Rjeˇsenje.


Zadatak 19.

64

2) (3a − 1)(9a2 + 3a + 1) ; 4) (a2 + 3b3 )(a4 − 3a2 b3 + 9b6 ) ; 1 1 1 x2 − 1 x4 + x2 + 1 . 6) 2 4 2

2) a6 − b6 ; 1 5) a9 b9 − 1 ; 8

3) a9 − 64b6 ; 27 6 9 1 a b − c12 . 6) 125 64

a3 − 125b3 = (a − 5b)(a2 + 5ab + 25b2 ; a6 − b6 = (a2 − b2 )(a4 + a2 b2 + b4 ) ; a9 − 64b6 = (a3 − 4b2 )(a6 + 4a3 b2 + 4b4 ) ; 27a3 − 8b6 c9 = (3a − 2b2 c3 )(9a2 + 6ab2 c3 + 2b4 c6 ; 1 1 1 1 a3 b3 − 1 a6 b6 + a3 b3 + 1 ; 5) a9 b9 − 1 = 8 2 4 2 27 6 9 1 12 3 2 3 1 4 9 4 6 3 1 a b − c = a b − c a b + a 2 b 3 c4 + c8 . 6) 125 64 5 4 25 20 16 1) 2) 3) 4)

Razlika kvadrata dvaju uzastopnih cijelih brojeva neparan je broj. Dokaˇzi! Zapiˇsimo dva uzastopna cijela brojeva kao n i n+1 . Slijedi da je (n+1)2 −n2 = (n + 1 + n)(n + 1 − n) = (2n + 1) · 1 = 2n + 1 . Za bilo koji n ∈ Z broj 2n + 1 je neparan. Umnoˇzak dvaju uzastopnih parnih brojeva djeljiv je s 8. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Tvrdi se da je umnoˇzak 2n · (2n + 2) = 4n(n + 1) , djeljiv s 8. Oˇcito je da je djeljiv sa 4, a kako je jedan od faktora n i n + 1 paran, jer su to dva uzastopna prirodna broja, umnoˇzak je djeljiv s 8.

Zadatak 20.

Umnoˇzak kvadrata prirodnog broja i broja koji prethodi tom kvadratu djeljiv je s 12. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Zapiˇsimo: n2 · (n2 − 1) = (n − 1) · n2 · (n + 1) . Ako je n paran broj, onda je n2 djeljiv sa 4, a jedan od triju uzastopnih brojeva u umnoˇsku sigurno je djeljiv s 3. Ako je n neparan broj, onda su parni prvi i treći faktor umnoˇska.


Zadatak 22.

Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih brojeva djeljiva je s 8. Dokaˇzi! (2n + 3)2 − (2n + 1)2 = 4n2 + 12n + 9 − 4n2 − 4n − 1 = 8n + 8 = 8(n + 1) . Kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0 ili 1. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Ako je broj djeljiv s 3, onda je i njegov kvadrat djeljiv s 3. Ako nije djeljiv s 3, onda je oblika n = 3k ± 1 , pa je n2 = 9k2 ± 6k + 1 = 3k(3k ± 2) + 1 .

Zadatak 23.

Dokaˇzi da zbroj kvadrata triju uzastopnih cijelih brojeva pri dijeljenju s 3 daje ostatak 2.

Rjeˇsenje.




(n − 1)2 + n2 + (n + 1)2 = n2 − 2n + 1 + n2 + n2 + 2n + 1 = 3n2 + 2 . Ako umnoˇsku dvaju uzastopnih cijelih brojeva dodamo veći od njih, dobit cémo kvadrat većeg broja. Dokaˇzi! n(n + 1) + (n + 1) = n2 + n + n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 . Ako umnoˇsku triju uzastopnih cijelih brojeva dodamo srednji broj, dobit cémo kub srednjeg broja. Dokaˇzi! (n − 1) · n · (n + 1) + n = n(n2 − 1) + n = n3 − n + n = n3 . Kvadrat svakog neparnog broja umanjen za 1 djeljiv je s 8. Dokaˇzi! (2n + 1)2 − 1 = (2n + 1 − 1)(2n + 1 + 1) = 4n(n + 1) .

Zadatak 27.

Ako je svaki od dvaju neparnih cijelih brojeva djeljiv s 3, razlika kvadrata tih brojeva djeljiva je sa 72. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

(3(2n − 1))2 − (3(2m − 1))2 = 9((2n − 1)2 − (2m − 1)2 ) = 9(2n − 1 + 2m − 1)(2n − 1 − 2m + 1) = 9 · 2(n + m − 1)2(n − m) = 36(n − m)(n + m − 1) . Jedan je faktor ovog umnoˇska djeljiv s 36, a od ostalih dvaju jedan je paran. Stoga je taj umnoˇzak djeljiv sa 72.

Zadatak 28.

Umnoˇzak cˇ etiriju uzastopnih cijelih brojeva uvećan za 1 potpuni je kvadrat. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 .

Zadatak 29.

Dokaˇzi da je broj (6n − 7)2 − (4n − 3)2 djeljiv s 40 za svaki cijeli broj n .

Rjeˇsenje.

(6n − 7 − 4n + 3)(6n − 7 + 4n − 3) = (2n − 4)(10n − 10) = 20(n − 1)(n − 2) . Broj je oˇcito djeljiv s 20. Od dvaju uzastopnih brojeva n − 1 i n − 2 jedan je sigurno paran pa je broj 20(n − 1)(n − 2) djeljiv s 40.

Zadatak 30.

Dokaˇzi da je broj (20n + 17)2 − (17n + 20)2 djeljiv s 888 za svaki neparni cijeli broj n .

Rjeˇsenje.

Zadani broj zapiˇsemo u obliku (20n + 17)2 − (17n + 20)2 = (20n + 17 + 17n + 20)(20n + 17 − 17n − 20) = (37n + 37)(3n − 3) = 37(n + 1) · 3(n − 1) = 111(n − 1)(n + 1) . Uoˇcavamo da je on djeljiv sa 888. Da je djeljiv sa 111 oˇcito je, a dva preostala faktora, jer je n neparan, parni su brojevi, pri cˇemu je jedan djeljiv sa 4.

Zadatak 31.

Rijeˇsi u skupu cijelih brojeva jednadˇzbu x2 − y2 = 105 .

65

2


Rjeˇsenje.

Zadatak 32.

Uputa: x2 − y2 = (x − y)(x + y) = 1 · 3 · 5 · 7 . Imamo redom cˇetiri sustava: x − 1 = 1, x + y = 105 ; x − 1 = 3, x + y = 21 ; x − y = 5, x + y = 21 i x − y = 7, x + y = 15 . Parovi rjeˇsenja koji zadovoljavaju jednadˇzbu x2 − y2 = 105 redom su: (−53, −52) , (−53, 52) , (53, −52) , (53, 52) ; (−19, −16) , (−19, 16) , (19, −16) , (19, 16) ; (−13, −8) , (−13, 8) , (13, −8) , (13, 8) ; (−11, −4) , (−11, 4) , (11, −4) , (11, 4) . Kub prirodnog broja pri dijeljenju s 9 daje ostatak 0, 1 ili 8. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Razmotrimo sve mogućnosti za n : n = 3k , n = 3k + 1 , n = 3k + 2 . n = 3k =⇒ n3 = 27k3 , sˇ to je djeljivo s 9, a ostatak pri dijeljenju je 0. n = 3k+1 =⇒ n3 = (3k+1)3 = 27k3 +27k2 +9k+1 = 9(3k3 +3k2 +k)+1 , sˇ to pri dijeljenju s 9 daje ostatak 1.

Zadatak 33.

Razlika kuba neparnog prirodnog broja i samog broja djeljiva je s 24. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

(2k−1)3 −(2k−1) = (2k−1)((2k−1)2 −1) = (2k−1)(2k−1+1)(2k−1−1) = 2k · (2k − 1)(2k − 2) . Od triju uzastopnih prirodnih brojeva jedan je sigurno djeljiv s 3, dva su parna od kojih je jedan djeljiv sa 4.


Dokaˇzi: zbroj kubova triju uzastopnih cijelih brojeva djeljiv je s 3. (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3 = n3 − 3n2 + 3n − 1 + n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 = 3n3 + 6n = 3n(n2 + 2) .


Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

66

1) 2a2 b + 4ab2 ; 3) 6a3 b + 8a2 b3 ; 5) 10a2 b3 c + 5ab2 c4 ; 1) 2) 3) 4) 5) 6)

2) 3a4 b + 15a2 b2 ; 4) 9a4 b2 − 15a2 b3 ; 6) 5a3 b2 + 20a2b4 .

2a2 b + 4ab2 + 2ab · a + 2ab · 2b = 2ab(a + 2b) ; 3a4 b + 15a2 b2 = 3a2 b · a2 + 3a2 b · 5b = 3a2 b(a2 + 5b) ; 6a3 b + 8a2 b3 = 2a2 b · 3a + 2a2 b · 4b2 = 2a2 b(3a + 4b2 ) ; 9a4 b2 − 15a2 b3 = 3a2 b2 · 3a2 − 3a2 b2 · 5b = 3a2 b2 (3a2 − 5b) ; 10a2b3 c + 5ab2 c4 = 5abc · 2ab2 + 5abc · bc3 = 5abc(2ab2 + bc3 ) ; 5a3 b2 + 20a2 b4 = 5a2 b2 · a + 5a2 b2 · 4b2 = 5a2 b2 (a + 4b2 ) .

1) 6a2 b2 − 12a2 b + 18ab2 ; 2) 7a3 b + 14a2 b2 − 21a2 b ; 3 2 2 3 3 3 3) 10a b c − 15a b c + 25ab c ; 4) 33a4 b3 c2 − 44a4 bc4 + 55a3b2 c4 ; 5) 30a3 b3 c2 + 18a2 b4 c3 + 6a2 b2 c2 ; 6) 27a2 b4 c − 36a3 b4 − 63a2 b3 c2 . 1) 6a2 b2 − 12a2b + 18ab2 = 6ab ·ab − 6ab ·2a+6ab·3b = 6ab(ab − 2a + 3b) ; 2) 7a3 b + 14a2 b2 − 21a2 b = 7a2 b · a + 7a2 b · 2b − 7a2 b · 3 = 7a2 b(a + 2b − 3) ; 3) 10a3b2 c − 15a2 b3 c + 25ab3 c3 = 5ab2 c · 2a2 − 5ab2c · 3ab + 5ab2 c · 5bc2 = 5ab2 c(2a2 − 3ab + 5bc2 ) ; 4) 33a4b3 c2 − 44a4bc4 + 55a3 b2 c4 = 11a3bc2 · 3ab2 − 11a3 bc2 · 4ac2 + 11a3 bc2 · 5bc2 = 11a3 bc2 (3ab2 − 4ac2 + 5bc2 ) ; 5) 30a3 b3 c2 +18a2b4 c3 +6a2b2 c2 = 6a2 b2 c2 ·5ab+6a2b2 c2 ·3b2 c+6a2b2 c2 ·1 = 6a2 b2 c2 (5ab + 3b2 c + 1) ;

2 6) 27a2b4 c − 36a3 b4 − 63a2 b3 c2 = 9a2 b3 · 3bc − 9a2 b3 · 4ab − 9a2 b3 · 7c2 = 9a2 b3 (3bc − 4ab − 7c2 ) .

Zadatak 3.

Rjeˇsenje.

Zadatak 4.

1) 22a3 b2 c3 − 33a2 b2 c4 + 44a3 bc4 ; 2) 21a3 b3 + 35a3 b3 c − 28a2b2 c2 ; 4) x6 y2 + 2x4 y4 + x2 y6 ; 3) 2a3 b − 4a2 b2 + 2ab3 ; 4 3 2 2 3 5) 4a b − 16a b + 16a b ; 6) 50x2 y3 − 125x3 y4 − 5xy2 . 1) 22a3b2 c3 − 33a2b2 c4 + 44a3bc4 = 11a2bc3 · 2ab − 11a2 bc3 · 3bc + 11a2 bc3 · 4ac = 11a2bc3 (2ab − 3bc + 4ac) ; 2) 21a3b3 + 35a3b3 c − 28a2 b2 c2 = 7a2 b2 · 3ab + 7a2 b2 · 5abc − 7a2 b2 · 4c2 = 7a2 b2 (3ab + 5abc − 4c2 ) ; 3) 2a3 b − 4a2 b2 + 2ab3 = 2ab · a2 − 2ab · 2ab + 2ab · b2 = 2ab(a2 − 2ab + b2) = 2ab(a − b)2 ; 4) x6 y2 +2x4 y4 +x2 y6 = x2 y2 ·x4 +x2 y2 ·2x2 y2 +x2 y2 ·y4 = x2 y2 (x4 +2x2 y2 +y4 ) = x2 y2 (x2 + y2 )2 ; 5) 4a4 b − 16a3 b2 + 16a2 b3 = 4a2 b · a2 − 4a2 b · 4ab + 4a2 b · 4b2 = 4a2 b(a2 − 4ab + 4b2 ) = 4a2 b(a − 2b)2 ; 6) 50x2 y3 − 125x3y4 − 5xy2 = 5xy2 · 10xy − 5xy2 · 25x2 y2 − 5xy2 · 1 = 5xy2 (10xy−25x2 y2 −1) = −5xy2 (25x2 y2 −10xy+1) = −5xy2 (5xy−1)2 . Zapiˇsi u obliku kvadrata binoma: 1) (a − 2b)2 + 8ab ; 3) (a2 − 4b2 )2 + 16a2 b2 ;

Rjeˇsenje.

2) (2a + 3b)2 − 24ab ; 4) 20b2 c + (b2 − 5c)2 .

1) (a − 2b)2 + 8ab = a2 − 4ab + 4b2 + 8ab = a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 ; 2) (2a + 3b)2 − 24ab = 4a2 + 12ab + 9b2 − 24ab = 4a2 − 12ab + 9b2 = (2a − 3b)2 ; 3) (a2 − 4b2 )2 + 16a2 b2 = a4 − 8a2 b2 + 16b4 + 16a2b2 = a4 + 8a2 b2 + 16b4 = (a2 + 4b2 )2 ; 4) 20b2c + (b2 − 5c)2 = 20b2 c + b4 − 10b2 c + 25c2 = b4 + 10b2 c + 25c2 = (b2 + 5c)2 .

Zadatak 5.

1) 3) 5) 7)

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

2a3 − 12a2 + 18a ; 16a3 b + 48a2 b2 + 36ab3 ; −2a3 − 4a4 − 2a5 ; 3a(a2 +1)2 −24a(a2+1)+48a ;

2) 4) 6) 8)

x4 y2 − 4x3 y3 + 4x2 y4 ; 12a2 b − 12a3b − 3ab ; 8a(a − 1)2 + 24a(a − 1) + 18a ; (x + y − 1)2 − 2(1 − x − y) + 1 ;

2a3 − 12a2 + 18a = 2a(a2 − 6a + 9) = 2a(a − 3)2 ; x4 y2 − 4x3 y3 + 4x2 y4 = x2 y2 (x2 − 4xy + 4y2 ) = x2 y2 (x − 2y)2 ; 16a3b + 48a2 b2 + 36ab3 = 4ab(4a2 + 12ab + 9b2 ) = 4ab(2a + 3b)2 ; 12a2b − 12a3 b − 3ab = −3ab(4a2 − 4a + 1) = −3ab(2a − 1)2 ; −2a3 − 4a4 − 2a5 = −2a3(a2 + 2a + 1) = −2a3 (a + 1)2 ; 8a(a − 1)2 + 24a(a − 1) + 18a = 2a(4(a − 1)2 + 12(a − 1) + 9) = 2a(2(a − 1) + 3)2 = 2a(2a + 1)2 ; 7) 3a(a2 + 1)2 − 24a(a2 + 1) + 48a = 3a[(a2 + 1)2 − 8(a2 + 1) + 9] = 3a(a2 + 1 − 4)2 = 3a(a2 − 3)2 ;

67

2


8) (x + y − 1)2 − 2(1 − x − y) + 1 = (x + y − 1)2 + 2(x + y − 1) + 1 = ((x + y − 1) + 1)2 = (x + y)2 .

Zadatak 6.

1) 2) 3) 4)

Zadatak 7.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Zadatak 8.

2) a(b − 2) + 2(b − 2) ; 4) a2 b(b + 1) − b(b + 1) ; 6) a2 b(ab + b2 ) − ab2 (a2 − ab) .

a(a + b) + 3(a + b) = (a + 3)(a + b) ; a(b − 2) + 2(b − 2) = (a + 2)(b − 2) ; ab(a − 1) − a(a − 1) = (ab − a)(a − 1) = a(b − 1)(a − 1) ; a2 b(b + 1) − b(b + 1) = (a2 b − b)(b + 1) = b(a2 − 1)(b + 1) = b(b + 1)(a + 1)(a − 1) ; 5) 2ab(ab − 3) − 4a2 b2 (ab − 3) = (2ab − 4a2 b2 )(ab − 3) = 2ab(1 − 2ab)(ab − 3) ; 6) a2 b(ab + b2 ) − ab2 (a2 − ab) = ab(a(ab + b2 ) − b(a2 − ab)) = ab(a2 b + ab2 − a2 b + ab2 ) = ab(2ab2) = 2a2 b3 .

Rjeˇsenje.

Rjeˇsenje.

68

1) a(a + b) + 3(a + b) ; 3) ab(a − 1) − a(a − 1) ; 5) 2ab(ab − 3) − 4a2 b2 (ab − 3) ;

(2a − 1)(3a + 2) + (2a − 1)(2a + 3) ; (2a − 4b)(a − b) − (6b − 3a)(a + b) ; (a + 2b)(b + c − 1) + (2a + b)(b + c − 1) ; (a − 3b)(a − b + c) + (a − 3b)(a + b + c) ; (a − b + 1)(2b + c) + (a − b + 1)(b + 2c) ; (3a + 6)(2a − 1) − (2a + 1)(a + 2) .

1) (2a − 1)(3a + 2) + (2a − 1)(2a + 3) = (2a − 1)(3a + 2 + 2a + 3) = (2a − 1)(5a + 5) = 5(2a − 1)(a + 1) ; 2) (2a − 4b)(a − b) − (6b − 3a)(a + b) = 2(a − 2b)(a − b) + 3(a − 2b)(a + b) = (a − 2b)(2(a − b) + 3(a + b)) = (a − 2b)(2a − 2b + 3a + 3b) = (a − 2b)(5a + b) ; 3) (a + 2b)(b + c − 1) + (2a + b)(b + c − 1) = (a + 2b + 2a + b)(b + c − 1) = (3a + 3b)(b + c − 1) = 3(a + b)(b + c − 1) ; 4) (a − 3b)(a − b + c) + (a − 3b)(a + b + c) = (a − 3b)(a − b + c + a + b + c) = (a − 3b)(2a + 2c) = 2(a + c)(a − 3b) ; 5) (a − b + 1)(2b + c) + (a − b + 1)(b + 2c) = (a − b + 1)(2b + c + b + 2c) = (a − b + 1)(3b + 3c) = 3(b + c)(a − b + 1) ; 6) (3a + 6)(2a − 1) − (2a + 1)(a + 2) = 3(a + 2)(2a − 1) − (2a + 1)(a + 2) = (a+2)(3(2a−1)−(2a+1)) = (a+2)(6a−3−2a−1) = (a+2)(4a−4) = 4(a − 1)(a + 2) . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

(ab − 1)(a + 2b) − (1 − ab)(2a + b) ; (2a − 3)(b2 − 2) + (2a + 3)(2 − b2 ) ; (a2 − ab)(4a − 2b) − (ab − a2 )(2a − 4b) ; (a − b + 1)(2b + c) − (a − b + 1)(b + 2c) ; (1 + abc)(a + b + c) − (1 + abc)(a − b − c) ; (3a+b−2c)(4a−6b)+(6a+2b−4c)(3b−2a) ; a(a − b + 1) + b(a − b + 1) − a + b − 1 ; a(a + b − 1) + b(a + b − 1) − a − b + 1 .

2 Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

1) (ab − 1)(a + 2b) − (1 − ab)(2a + b) = (ab − 1)(a + 2b) + (ab − 1)(2a + b) = (ab − 1)(a + 2b + 2a + b) = (ab − 1)(3a + 3b) = 3(ab − 1)(a + b) ; 2) (2a − 3)(b2 − 2) + (2a + 3)(2 − b2) = (2a − 3)(b2 − 2) − (2a + 3)(b2 − 2) = (b2 − 2)(2a − 3 − 2a − 3) = (b2 − 2)(−6) = −6(b2 − 2) ; 3) (a2 − ab)(4a − 2b) − (ab − a2 )(2a − 4b) = (a2 − ab)(4a − 2b) + (a2 − ab)(2a − 4b) = (a2 − ab)(4a − 2b + 2a − 4b) = a(a − b)(6a − 6b) = 6a(a − b)2 ; 4) (a − b + 1)(2b + c) − (a − b + 1)(b + 2c) = (a − b + 1)(2b + c − b − 2c) = (a − b + 1)(b − c) = (b − c)(a − b + 1) ; 5) (1 + abc)(a + b + c)− (1 +abc)(a −b−c) = (1 + abc)(a + b + c− a+ b+c) = (1 + abc)(2b + 2c) = 2(1 + abc)(b + c) ; 6) (3a + b − 2c)(4a − 6b) + (6a + 2b − 4c)(3b − 2a) = (3a + b − 2c) · 2(2a − 3b) + 2(3a + b − 2c)(3b − 2a) = 2(3a + b − 2c)(2a − 3b + 3b − 2a) = 0 ; 7) a(a−b+1)+b(a−b+1)−a+b−1 = a(a−b+1)+b(a−b+1)−(a−b+1) = (a − b + 1)(a + b − 1) ; 8) a(a+b−1)+b(a+b−1)−a−b+1 = a(a+b−1)+b(a+b−1)−(a+b−1) = (a + b − 1)(a + b − 1) = (a + b − 1)2 . 1) 2) 3) 4) 5)

a2 (a + 1) − 2a(a + 1) + a + 1 ; (a − 1)a2 + 2a(a − 1) + a − 1 ; (a2 − b2 )(a + b) − 2(a2 − b2 ) + a − b ; a2 (a2 − 1) + 2a(a2 − 1) + a2 − 1 ; (x−y)(x−y+1)2 −2(x−y)(x−y+1)+x−y .

1) a2 (a + 1) − 2a(a + 1) + a + 1 = (a + 1)(a2 − 2a + 1) = (a + 1)(a − 1)2 ; 2) (a − 1)a2 + 2a(a − 1) + a − 1 = (a − 1)(a2 + 2a + 1) = (a − 1)(a + 1)2 ; 3) (a2 − b2 )(a + b) − 2(a2 − b2 ) + a − b = (a + b)(a − b)(a + b) − 2(a + b)(a − b) + (a − b) = (a − b)((a + b)2 − 2(a + b) + 1) = (a − b)(a + b + 1)2 ; 4) a2 (a2 − 1) + 2a(a2 − 1) + a2 − 1 = (a2 − 1)(a2 + 2a + 1) = (a − 1)(a + 1)(a + 1)2 = (a + 1)3 (a − 1) ; 5) (x − y)(x − y + 1)2 − 2(x − y)(x − y + 1) + x − y = (x − y)((x − y + 1)2 − 2(x − y + 1) + 1) = (x − y)(x − y + 1 + 1)2 = (x − y)(x − y + 2) . 1) 3a2 + 2a + 4b + 6ab ; 3) a3 b + a2 + b2 + ab3 ; 5) a3 b + 3a2 − 3ab2 − 9b ;

2) 2a3 + 5a2 b2 + 6ab + 15b3 ; 4) 6a2 bc + 9ab2 + 8ac2 + 12bc ; 6) 21a2 bc − 7ab3 − 3ac2 + b2 c .

3a2 + 2a + 4b + 6ab = 3a(a + 2b) + 2(a + 2b) = (3a + 2)(a + 2b) ; 2a3 +5a2b2 +6ab+15b3 = 2a(a2 +3b)+5b2(a2 +3b) = (2a+5b2)(a2 +3b) ; a3 b + a2 + b2 + ab3 = a2 (1 + ab) + b2 (1 + ab) = (a2 + b2 )(1 + ab) ; 6a2 bc + 9ab2 + 8ac2 + 12bc = 2ac(3ab + 4c) + 3b(3ab + 4c) = (2ac + 3b)(3ab + 4c) ; 5) a3 b + 3a2 − 3ab2 − 9b = a2 (ab + 3) − 3b(ab + 3) = (a2 − 3b)(ab + 3) ;

1) 2) 3) 4)

69

2


6) 21a2bc − 7ab3 − 3ac2 + b2 c = 7ab(3ac − b2 ) − c(3ac − b2 ) = (7ab − c)(3ac − b2 ) .

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

70

1) 3) 5) 7) 9)

2ab + 4a + b2 + 2b ; 4ab + 20a + 3b + 15 ; x3 − 3x2 − 3x + 9 ; 4a2 + 2ab − 2ac − bc ; 6a3 + 8a2 b2 − 3ab − 4b3 ;

2) 4) 6) 8) 10)

6ab + 9a + 4b + 6 ; 3a2 b + 6ab2 + 2a + 4b ; a3 − a2 b − 2ab2 + 2b3 ; 6a3 b − 9a2 b2 − 4a + 6b ; x3 − 2x2 + x − 2 .

1) 2ab + 4a + b2 + 2b = b(2a + b) + 2(2a + b)(2a + b)(b + 2) ; 2) 6ab + 9a + 4b + 6 = 3a(2b + 3) + 2(2b + 3) = (3a + 2)(2b + 3) ; 3) 4ab + 20a + 3b + 15 = 4a(b + 5) + 3(b + 5) = (4a + 3)(b + 5) ; 4) 3a2 b + 6ab2 + 2a + 4b = 3ab(a + 2b) + 2(a + 2b) = (3ab + 2)(a + 2b) ; 5) x3 − 3x2 − 3x + 9 = x2 (x − 3) − 3(x − 3) = (x − 3)(x2 − 3) ; 6) a3 − a2 b − 2ab2 + 2b3 = a2 (a − b) − 2b2 (a − b) = (a − b)(a2 − 2b2 ) ; 7) 4a2 + 2ab − 2ac − bc = 2a(2a + b) − c(2a + b) = (2a + b)(2a − c) ; 8) 6a3 b−9a2b2 −4a+6b = 3a2 b(2a−3b)−2(2a−3b) = (2a−3b)(3a2b−2) ; 9) 6a3 +8a2b2 −3ab−4b3 = 2a2 (3a+4b2)−b(3a+4b2) = (2a2 −b)(3a+4b2) ; 10) x3 − 2x2 + x − 2 = x2 (x − 2) + (x − 2) = (x − 2)(x2 + 1) . 1) 2) 3) 4)

a3 − 2ab − a3 b + 2ab2 + a2 b − 2b2 ; 2a3 − 2a3 b2 + 2ab2 + 3a2 b − 3a2 b3 + 3b3 ; 2a3 − 2a2 b − 2ab2 − 3a2 + 3ab + 3b2 ; 3a3 + 2a3 b + 3a2 b − 3ab2 − 2ab3 − 3b3 .

1) a3 − 2ab − a3b + 2ab2 + a2 b − 2b2 = a(a2 − 2b) − ab(a2 − 2b) + b(a2 − 2b) = (a2 − 2b)(a − ab + b) ; 2) 2a3 − 2a3 b2 + 2ab2 + 3a2 b − 3a2 b3 + 3b3 = 2a(a2 − a2 b2 + b2 ) + 3b(a2 − a2 b2 + b2 ) = (2a + 3b)(a2 − a2 b2 + b2 ) . 3) 2a3 − 2a2 b − 2ab2 − 3a2 + 3ab + 3b2 = a2 (2a − 3)− ab(2a − 3)− b2(2a − 3) = (2a − 3)(a2 − ab − b2 ) ; 4) 3a3 + 2a3 b + 3a2 b − 3ab2 − 2ab3 − 3b3 = 3a(a2 − b2 ) + 2ab(a2 − b2 ) + 3b(a2 − b2 ) = (a2 − b2 )(3a + 2ab + 3b) = (a − b)(a + b)(3a + 2ab + 3b) . 1) (2a−1)(a+2)2 −8a(2a−1) ; 3) (a+3)(3a+1)2 −12a(a+3) ; 5) a(a + 1) − (a + 4)(a + 1)2 .

2) (a − 2)(a − 1)2 + 4a(a − 2) ; 4) (3a−2)(2a−3)2 +24a(3a−2) ;

1) (2a − 1)(a + 2)2 − 8a(2a − 1) = (2a − 1)[(a + 2)2 − 8a] = (2a − 1)[a2 + 4a + 4 − 8a] = (2a − 1)(a2 − 4a + 4) = (2a − 1)(a − 2)2 ; 2) (a − 2)(a − 1)2 + 4a(a − 2) = (a − 2)[(a − 1)2 + 4a] = (a − 2)[a2 − 2a + 1 + 4a] = (a − 2)(a2 + 2a + 1) = (a − 2)(a + 1)2 ; 3) (a + 3)(3a + 1)2 − 12a(a + 3) = (a + 3)[(3a + 1)2 − 12a] = (a + 3)[9a2 + 6a + 1 − 12a] = (a + 3)(9a2 − 6a + 1) = (a + 3)(3a − 1)2 ;

2 4) (3a − 2)(2a − 3)2 + 24a(3a − 2) = (3a − 2)[(2a − 3) + 24a] = (3a − 2)[4a2 − 12a + 9 + 24a] = (3a − 2)(4a2 + 12a + 9) = (3a − 2)(2a + 3)2 ; 5) a(a + 1) − (a + 4)(a + 1)2 = (a + 1)[a − (a + 4)(a + 1)] = (a + 1)[a − a2 − a − 4a − 4] = (a + 1)(−a2 − 4a − 4) = −(a + 1)(a2 + 4a + 4) = −(a + 1)(a + 2)2 .

Zadatak 14.

Zapiˇsi u obliku umnoˇska sljedeće razlike kvadrata: 1) 3) 5) 7) 9)

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

(a2 + b2 )2 − 4a2 b2 ; (a2 + 6ab)2 − 81b4 ; 16a2 b2 − (a2 + 4b2 )2 ; 9(x−3y)2 −25(2x+y)2 ; 9(4x − y)2 − 16(3x + y)2 ;

2) 4) 6) 8) 10)

(a2 + 1)2 − 4a2 ; (a2 + 4b2 )2 − 16a2b2 ; 144a2b2 − (4a2 + 9b2 )2 ; 4(2x − y)2 − 9(x + 3y)2 ; 4a2 (a−5b)2 −25b2 (5a−b)2 .

(a2 + b2 )2 − 4a2 b2 = (a2 + b2 − 2ab)(a2 + b2 + 2ab) = (a − b)2 (a + b)2 ; (a2 + 1)2 − 4a2 = (a2 + 1 − 2a)(a2 + 1 + 2a) = (a − 1)2 (a + 1)2 ; (a2 +6ab)2 −81b4 = (a2 +6ab−9b2)(a2 +6ab+9b2) = (a−3b)2 (a+3b)2 ; (a2 +4b2 )2 −16a2b2 = (a2 +4b2 −4ab)(a2 +4b2 +4ab) = (a−2b)2 (a+2b)2 ; 16a2b2 − (a2 + 4b2 )2 = (4ab − a2 + 4b2 )(4ab + a2 + 4b2 ) = −(a − 2b)2 (a + 2b)2 ; 6) 144a2b2 − (4a2 + 9b2 )2 = (12ab − 4a2 − 9b2 )(12ab + 4a2 + 9b2 ) = −(2a − 3b)2 (2a + 3b)2 ; 7) 9(x − 3y)2 − 25(2x + y)2 = (3(x − 3y) − 5(2x + y))(3(x − 3y) + 5(2x + y)) = (3x − 9y − 10x − 5y)(3x − 9y + 10x + 5y) = (−7x − 14y)(13x − 4y) = −7(x + 2y)(13x − 4y) ; 8) 4(2x − y)2 − 9(x + 3y)2 = (2(2x − y) − 3(x + 3y))(2(2x − y) + 3(x + 3y)) = (4x − 2y − 3x − 9y)(4x − 2y + 3x + 9y) = (x − 11y)(7x + 7y) = 7(x + y)(x − 11y) ; 9) 9(4x − y)2 − 16(3x + y)2 = [3(4x − y) − 4(3x + y)][3(4x − y) + 4(3x + y)] = (12x − 3y − 12x − 4y)(12x − 3y + 12x + 4y) = −7y(24x + y) ; 10) 4a2 (a − 5b)2 − 25b2(5a − b)2 = [(2a(a − 5b) − 5b(5a − b)][2a(a − 5b) + 5b(5a − b)] = [2a2 − 10ab − 25ab + 5b2 ][2a2 − 10ab + 25ab − 5b2 ] = (2a2 − 35ab + 5b2 )(2a2 + 15ab − 5b2 ) . 1) 2) 3) 4) 5)

1) 3) 5) 7) 9)

a2 (b − 1) − b2 (b − 1) ; 4a2 (x − 1) − 4x + 4 ; a2 − 4b2 − 9b2 (a2 − 4b2 ) ; x2 − xy − y − 1 ; a2 b − a2 − b2 + 1 ;

2) 4) 6) 8) 10)

x2 (x + y − 1) − x − y + 1 ; 9a2 (b2 − 1) − 4b2 + 4 ; a2 − 1 − ab + b ; a2 b2 − a2 − ab2 + a ; 4a2 − b2 − 4a + 1 .

1) a2 (b − 1) − b2 (b − 1) = (b − 1)(a2 − b2 ) = (a − b)(a + b)(b − 1) ; 2) x2 (x + y − 1) − x − y + 1 = x2 (x + y − 1) − (x + y − 1) = (x2 − 1)(x + y − 1) = (x − 1)(x + 1)(x + y − 1) ; 3) 4a2 (x − 1) − 4x + 4 = 4a2 (x − 1) − 4(x − 1) = (4a2 − 4)(x − 1) = 4(a − 1)(a + 1)(x − 1) ;

71

2


4) 9a2 (b2 − 1) − 4b2 + 4 = 9a2 (b2 − 1) − 4(b2 − 1) = (9a2 − 4)(b2 − 1) = (b − 1)(b + 1)(3a − 2)(3a + 2) ; 5) a2 − 4b2 − 9b2 (a2 − 4b2 ) = (a2 − 4b2 )(1 − 9b2 ) = (a − 2b)(a + 2b)(1 − 3b)(1 + 3b) ; 6) a2 − 1 − ab + b = (a − 1)(a + 1) − b(a − 1) = (a − 1)(a − b + 1) ; 7) x2 − xy − y − 1 = (x2 − 1) − y(x + 1) = (x − 1)(x + 1) − y(x + 1) = (x + 1)(x − y − 1) ; 8) a2 b2 − a2 − ab2 + a = a2 (b2 − 1) − a(b2 − 1) = (a2 − a)(b2 − 1) = a(a − 1)(b − 1)(b + 1) ; 9) a2 b − a2 − b2 + 1 = a2 (b − 1) − (b2 − 1) = a2 (b − 1) − (b − 1)(b + 1) = (b − 1)(a2 − b − 1) ; 10) 4a2 − b2 − 4a + 1 = 4a2 + 2ab − 2ab − 2a − 2a − b2 + b − b + 1 = 4a2 + 2ab − 2a − 2ab − b2 + b − 2a − b + 1 = 2a(2a + b − 1) − b(2a + b − 1) − (2a + b − 1) = (2a − b − 1)(2a + b − 1) .

Zadatak 16.

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

72

1) 3) 5) 7) 9)

a2 − 2ab + b2 − c2 ; b2 + 6b + 9 − 9c2 ; 16x2 − 25y2 − 24ax + 9a2 ; a2 −b2 +c2 −d 2 +2ac+2bd ; a2 − b2 − c2 − 4a + 2bc + 4 ;

2) 4) 6) 8) 10)

a2 − 10a + 25 − b2 ; 1 − 8xy − x2 − 16y2 ; 25 − a2 − 4b2 + 4ab ; a2 −b2 +c2 −d2 −2ac−2bd ; a2 b2 − a2 − b2 − 4ab + 1 .

a2 − 2ab + b2 − c2 = (a − b)2 − c2 = (a − b − c)(a − b + c) ; a2 − 10a + 25 − b2 = (a − 5)2 − b2 = (a − b − 5)(a + b − 5) ; b2 + 6b + 9 − 9c2 = (b + 3)2 − 9c2 = (b − 3c + 3)(b + 3c + 3) ; 1 − 8xy − x2 − 16y2 = −(x2 + 8xy + 16y2 ) + 1 = 1 − (x + 4y)2 = (1 − x − 4y)(1 + x + 4y) ; 5) 16x2 −25y2 −24ax+9a2 = (3a−4x)2 −25y2 = (3a−4x−5y)(3a−4x+5y) ; 6) 25 − a2 − 4b2 + 4ab = 25 − (a2 − 4ab + 4b2 ) = 25 − (a − 2b)2 = (5 − a + 2b)(5 + a − 2b) ; 7) a2 − b2 + c2 − d 2 + 2ac + 2bd = (a + c)2 − (b − d)2 = (a + c − b + d)(a + c + b − d) ; 8) a2 − b2 + c2 − d 2 − 2ac − 2bd = (a − c)2 − (b + d)2 = (a − c − b − d)(a − c + b + d) ; 9) a2 −b2 −c2 −4a+2bc+4 = (a−2)2 −(b−c)2 = (a−b+c−2)(a+b−c−2) ; 10) a2 b2 − a2 − b2 − 4ab + 1 = (ab − 1)2 − (a + b)2 = (ab − a − b − 1)(ab + a + b − 1) . 1) 2) 3) 4)

1) 3) 5) 7)

4a2 b2 − 4b2 − a2 + 1 ; x4 − 2x3 + 2x − 1 ; x4 − 2x3 − 2x2 + 2x + 1 ; (a + 1)4 − a4 + 2a2 − 1 ;

2) 4) 6) 8)

a2 b2 − 4a2 − 4b2 + 16 ; 16x4 − 16x3 + 4x − 1 ; x4 − 3x3 − 8x2 + 12x + 16 ; (x2 − 2x)2 + 2x2 − 4x + 1 .

1) 4b2 (a2 −1)−(a2 −1) = (a2 −1)(4b2 −1) = (a−1)(a+1)(2b−1)(2b+1) ; 2) a2 (b2 − 4) − 4(b2 − 4) = (a2 − 4)(b2 − 4) = (a − 2)(a + 2)(b − 2)(b + 2) ; 3) (x2 − 1)(x2 + 1) − 2x(x2 − 1) = (x2 − 1)(x2 − 2x + 1) = (x − 1)3 (x + 1) ;

2 4) 5) 6) 7) 8)


Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

(4x2 − 1)(4x2 + 1) − 4x(4x2 − 1) = (2x − 1)3 (2x + 1) ; (x2 − 1)2 − 2x(x2 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 − 2x − 1) ; (x2 − 4)2 − 3x(x2 − 4) = (x − 2)(x + 2)(x + 1)(x − 4) ; (a + 1)4 − (a2 − 1)2 = 4a(a + 1)2 ; (x2 − 2x)2 + 2(x2 − 2x) + 1 = (x2 − 2x + 1)2 = (x − 1)4 .

1) (ab − 1)2 − (a − b)2 ; 3) (x2 − y2 )2 − (x + y)2 ;

1) (ab − 1)2 − (a − b)2 = (ab − a + b − 1)(ab + a − b − 1) = (a − 1)(a + 1)(b − 1)(b + 1) ; 2) 4(ab + 1)2 − (4a + b)2 = (2ab + 2 − 4a − b)(2ab + 2 + 4a + b) = (2a(b − 2) − (b − 2))(2a(b + 2) + (b + 2)) = ((b − 2)(2a − 1))((2a + 1)(b + 2)) = (2a − 1)(2a + 1)(b − 2)(b + 2) ; 3) (x2 − y2 )2 − (x + y)2 = (x2 − y2 − x − y)(x2 − y2 + x + y) = ((x − y)(x + y) − (x + y))((x − y)(x + y) + (x + y)) = ((x + y)(x − y − 1))((x + y)(x − y + 1)) = (x + y)2 (x − y − 1)(x − y + 1) ; 4) (x2 − y2 )2 − (x − y)2 = (x2 − y2 − x + y)(x2 − y2 + x − y) = ((x − y)(x + y) − (x − y))((x − y)(x + y) + (x − y)) = ((x − y)(x + y − 1))((x − y)(x + y + 1)) = (x − y)2 (x + y − 1)(x + y + 1) . 1) a5 b5 − a3 b3 ; 3) a4 b2 + 8ab5 ; 5) 3a4 b8 + 81ab2 ;

2) 2a3 b − 8ab3 ; 4) a6 b3 − a3 b9 ; 6) 64a8 b2 − a2 b2 .

1) a5 b5 − a3 b3 = a3 b3 (a2 b2 − 1) = a3 b3 (ab − 1)(ab + 1) ; 2) 2a3 b − 8ab3 = 2ab(a2 − 4b2 ) = 2ab(a − 2b)(a + 2b) ; 3) a4 b2 + 8ab5 = ab2 (a3 + 8b3 ) = ab2 (a + 2b)(a2 − 2ab + b2 ) = ab2 (a + 2b)(a − b)2 ; 4) a6 b3 − a3 b9 = a3 b3 (a3 − b6 ) = a3 b3 (a − b2 )(a2 + ab2 + b4 ) ; 5) 3a4 b8 + 81ab2 = 3ab2 (a3 + 27) = 3ab2 (a + 3)(a2 − 3a + 9) ; 6) 64a8b2 − a2 b2 = a2 b2 (64a6 − 1) = a2 b2 (4a2 − 1)(16a4 + 4a2 + 1) = a2 b2 (2a − 1)(2a + 1)(16a4 + 4a2 + 1) . 1) a2 + 4ab + 4b2 − 4a2 b2 ; 2) x2 +y2 −2xy−1 ; 4) (a−b)3 −a+b ; 6) (a − b)4 − a4 + 2a2 b2 − b4 ; 8) 2(a2 − 4b2 ) − (a + 2b)2 ; 10) (a2 − b2 )2 − (a − b)4 .

Rjeˇsenje.

2) 4(ab + 1)2 − (4a + b)2 ; 4) (x2 − y2 )2 − (x − y)2 .

1) 2) 3) 4)

3) 2xy−x2 −y2 +1 ; 5) (b−a)3 +a−b ; 7) 3(a2 − 4b2 ) − (a − 2b)2 ; 9) (3a − 1)2 − 3(9a2 − 1) ;

a2 + 4ab + 4b2 − 4a2 b2 = (a + b)2 − 4a2 b2 = (a + b − 2ab)(a + b + 2ab) ; x2 + y2 − 2xy − 1 = (x − y)2 − 1 = (x − y − 1)(x − y + 1) ; 2xy − x2 − y2 + 1 = 1 − (x − y)2 = (1 − x + y)(1 + x − y) ; (a − b)3 − a + b = (a − b)3 − (a − b) = (a − b)[(a − b)2 − 1] = (a − b)(a − b − 1)(a − b + 1) ;

73

2


5) (b − a)3 + a − b = (b − a)3 − (b − a) = (b − a)[(b − a)2 − 1] = (b − a)(b − a − 1)(b − a + 1) ; 6) (a−b)4 −a4 +2a2 b2 −b4 = (a−b)4 −(a2 −b2 )2 = (a−b)4 −(a−b)2 (a+b)2 = (a − b)2 [(a − b)2 − (a + b)2 ] = (a − b)2 [(a − b − a − b)(a − b + a + b)] = (a − b)2 (−2b)(2a) = −4ab(a − b)2 ; 7) 3(a2 − 4b2 ) − (a − 2b)2 = 3(a − 2b)(a + 2b) − (a − 2b)2 = (a − 2b)(3(a + 2b) − (a − 2b)) = (a − 2b)(3a + 6b − a + 2b) = (a − 2b)(2a + 8b) = 2(a − 2b)(a + 4b) ; 8) 2(a2 − 4b2 ) − (a + 2b)2 = 2(a − 2b)(a + 2b) − (a + 2b)2 = (a + 2b)(2a − 4b − a − 2b) = (a + 2b)(a − 6b) = −4b(a + 2b) ; 9) (3a − 1)2 − 3(9a2 − 1) = (3a − 1)2 − 3(3a − 1)(3a + 1) = (3a − 1)(3a − 1 − 3(3a + 1)) = (3a − 1)(3a − 1 − 9a − 3) = (3a − 1)(−6a − 4) = −2(3a − 1)(3a + 1) ; 10) (a2 − b2 )2 − (a − b)4 = (a − b)2 (a + b)2 − (a − b)4 = (a − b)2 (a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2 ) = (a − b)2 (4ab) = 4ab(a − b)2 .


1) x3 − 1 ; 5) x9 − 1 ;

2) x3 + 1 ; 6) x9 + 1 ;

3) x6 − 1 ; 7) x12 − 1 ;

4) x6 + 1 ; 8) x12 + 1 .

x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) ; x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) ; x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) ; x6 + 1 = (x2 )3 + 1 = (x2 + 1)(x4 − x2 + 1) ; x9 −1 = (x3 )3 −1 = (x3 −1)(x6 +x3 +1) = (x−1)(x2 +x+1)(x6 +x3 +1) ; x9 + 1 = (x3 + 1)(x6 − x3 + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1)(x6 − x3 + 1) ; x12 − 1 = (x6 − 1)(x6 + 1) = (x3 + 1)(x3 − 1)(x2 + 1)(x4 − x2 + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1)(x − 1)(x2 + x + 1)(x2 + 1)(x4 − x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)(x4 − x2 + 1) ; 8) x12 + 1 = (x4 )3 + 1 = (x4 + 1)(x8 − x4 + 1) .

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)


Rjeˇsenje.

74

a2 − 4 ; 2a − 4 4a2 − 9 4) ; 4a2 + 6a 1)

a2 − 4 ; a2 − 2a 4a2 − 6a 5) ; 4a2 − 9 2)

a2 − 4 (a − 2)(a + 2) a+2 = = ; 2a − 4 2(a − 2) 2 a2 − 4 (a − 2)(a + 2) a+2 2) 2 = = ; a − 2a a(a − 2) a a2 − 4 (a − 2)(a + 2) a+2 3) = = ; 2 2a − 4a 2a(a − 2) 2a 4a2 − 9 (2a − 3)(2a + 3) 2a − 3 4) = = ; 2 4a + 6a 2a(2a + 3) 2a 1)

a2 − 4 ; 2a2 − 4a 4a2 − 9 6) . 6a − 4a2 3)

2 4a2 − 6a 2a(2a − 3) 2a = = ; 4a2 − 9 (2a − 3)(2a + 3) 2a + 3 4a2 − 9 2a + 3 (2a − 3)(2a + 3) 6) =− . = 6a − 4a2 2a(3 − 2a) 2a

5)

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

a2 + ab ; ab + b2 a3 b − ab3 3) ; ab2 − a2 b

2)

a a2 + ab a(a + b) = ; = ab + b2 b(a + b) b 2 2 a b + ab ab ab(a + b) 2) = ; = a2 − b2 (a − b)(a + b) a−b a3 b − ab3 ab(a − b)(a + b) 3) = = −a − b ; ab2 − a2 b ab(b − a) a3 b − ab3 1 ab(a2 − b2 ) 4) 4 2 = . = a b − a2 b4 a2 b2 (a2 − b2 ) ab 1)

a2 − b2 ; (a + b)2 a2 −b2 4) 3 3 ; a −b

Zadatak 3.

1)

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Zadatak 4.

a2 b + ab2 ; a2 − b2 a3 b − ab3 4) 4 2 . a b − a2 b4

1)

a3 + b3 ; a2 − b2 a4 −b4 6) 2 2 . a −b 3)

a2 − b2 a−b (a − b)(a + b) = ; = 2 (a + b) (a + b)(a + b) a+b (a − b)2 a−b (a − b)(a − b) = ; = 2 2 a −b (a − b)(a + b) a+b a3 + b3 a2 − ab + b2 (a + b)(a2 − ab + b2 ) = ; = a2 − b2 (a − b)(a + b) a−b a2 − b2 a+b (a − b)(a + b) = 2 = ; a3 − b3 (a − b)(a2 + ab + b2 ) a + ab + b2 (a − b)2 (a + b)2 (a2 − b2 )2 = = (a − b)2 ; (a + b)2 (a + b)2 a4 − b4 (a2 − b2 )(a2 + b2 ) = = a2 + b2 . a2 − b2 a2 − b2

x2 − 2x + 1 ; 2x2 − 2x 4a2 − 4a + 1 3) ; 4a2 − 1 16a2 − 24a + 9 5) ; 9 − 16a2

1)

(a − b)2 ; a2 − b2 (a2 −b2 )2 5) ; (a+b)2 2)

a2 + 4a + 4 ; a2 − 4 4a2 − 9 4) ; 4a2 − 12a + 9 25a2 − 9 . 6) 25a2 + 30a + 9 2)

75

2


Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Zadatak 5.

Koliko je: 3 a2 − 2ab + b2 , za a = −0.5 , b = − ? 1) 2 ab − b 2 2)

3) Rjeˇsenje.



76

(x − 1)2 x2 − 2x + 1 x−1 = = ; 2 2x − 2x 2x(x − 1) 2x a2 + 4a + 4 (a + 2)2 a+2 = = ; 2 a −4 (a − 2)(a + 2) a−2 4a2 − 4a + 1 (2a − 1)2 2a − 1 = = ; 2 4a − 1 (2a − 1)(2a + 1) 2a + 1 4a2 − 9 (2a − 3)(2a + 3) 2a + 3 = ; = 2 4a − 12a + 9 (2a − 3)2 2a − 3 16a2 − 24a + 9 3 − 4a (4a − 3)2 = ; = 2 9 − 16a (3 − 4a)(3 + 4a) 3 + 4a 25a2 − 9 (5a − 3)(5a + 3) 5a − 3 = . = 2 2 25a + 30a + 9 (5a + 3) 5a + 3

1 2 a2 + b2 − c2 + 2ab , za a = , b = , a+b+c 4 3 c = −0.25 ? a3 b

a3 b − ab3 3 , za a = , b = −0.4 ? 2 2 3 − 2a b + ab 8

(a − b)2 a−b a = = − 1 = −1 ; b(a − b) b b a2 + b2 − c2 + 2ab (a + b)2 − c2 (a + b − c)(a + b + c) 2) = = a+b+c a+b+c a+b+c 1 2 7 1 2 1 =a+b−c= + + = + = ; 4 3 4 2 3 6 a3 b − ab3 ab(a − b)(a + b) ab(a2 − b2 ) a+b 3) 3 = = = a b − 2a2 b2 + ab3 ab(a2 − 2ab + b2 ) ab(a − b)2 a−b 3 2 15 − 16 − 1 40 = 8 5 = =− . 3 2 15 + 16 31 + 8 5 40 1)

Ako je Iz

x + 3y x − 2y = 3 , koliko je ? 2x + y 3x − y

x − 2y x + 3y 1 = 3 slijedi y = −x te je =− . 2x + y 3x − y 2

Ako je

2 c 3 a+b+c b = , = , koliko je ? a 3 b 4 a−b−c

Iz a : b : c = 6 : 4 : 3 slijedi a = 6k , b = 4k , c = 3k , pa je vrijednost razlomka jednaka −13 .


Zadatak 9.

Ako je

x y x2 − y2 − = y − x , odnosno = y−x . y x xy 1 1 x+y = −1 , odnosno + = −1 . Slijedi xy x y Zadanu jednakost zapiˇsimo u obliku

1) 3) 5)

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Zadatak 11.

y 1 1 x + x = + y , x = y , koliko je + ? y x x y

1 2 3 4 5 2x 2 + + + + ; 2) + ; x x x x x x+1 x+1 b 1 1 a − ; 4) + ; a−b a−b a−b b−a a2 b2 a2 2ab b2 − ; 6) + + . a−b a−b a+b a+b a+b 1 2 3 4 5 1+2+3+4+5 15 + + + + = = ; x x x x x x x 2x 2 2x + 2 2(x + 1) + = = = 2; x+1 x+1 x+1 x+1 a b a−b − = = 1; a−b a−b a−b 1 1 1−1 + = = 0; a−b b−a a−b a2 b2 (a − b)(a + b) − = = a + b; a−b a−b a−b 2ab b2 (a + b)2 a2 + + = = a + b. a+b a+b a+b a+b

1 1 1 − + ; x xy y 1 y x 3) 2 − 2 2 − 2 ; y xy x

1)

1 1 − 2; 2 x y xy 4 2 1−x − − ; 4) x 2x 3x 2)

1 1 1 y−1+x x+y−1 − + = = ; x xy y xy xy 1 1 y−x 2) 2 − 2 = 2 2 ; x y xy xy x 1 y x3 − y3 − 1 3) 2 − 2 2 − 2 = ; y xy x x2 y2 4 12 − 3 + 3x − 8 3x + 1 2 1−x − = = . 4) − x 2x 3x 6x 6x 1)

1 1 + ; a2 −b2 b2 −c2 x−y x+y 3) − ; x2 y xy2 2x + 1 2x − ; 5) 2x − 2 3x − 3

1)

x−y x−y − ; x y 3a − 1 3b − 1 − 4) ; a2 b ab2 a 2 6) − ; 2a − 4 a2 − 2a 2)

77

2


Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4)

5) 6)

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

x ; xy−y2 a2 − b2 a−b 3) 3 − 2 ; 3 a +b a − ab + b2 2 x+1 5) − . x − 3 2x − 6 1)

1)

2)

3) 4)

5)

Zadatak 13.

78

1 1 b 2 − c2 + a 2 − b 2 a 2 − c2 + 2 = 2 = 2 ; 2 2 2 2 2 −b b −c (a − b )(b − c (a − b2 )(b2 − c2 x−y x−y (x − y)2 − =− ; x y xy x−y x+y x2 + y2 − =− 2 2 ; 2 2 xy xy xy 3a − 1 3b − 1 (3a − 1)b − (3b − 1)a 3ab − b − 3ab + a − = = a2 b ab2 a2 b2 a2 b2 a−b = 2 2 ; ab 2x + 1 6x − 4x − 2 2(x − 1) 1 2x − = = = ; 2x − 2 3x − 3 6(x − 1) 6(x − 1) 3 2 a 2 a 2 a −4 (a − 2)(a + 2) − = − = = 2a − 4 a2 − 2a 2(a − 2) a(a − 2) 2a(a − 2) 2a(a − 2) a+2 = . 2a a2

y

x2 −xy

−

y x x y2 − x2 −(x − y)(x + y) y − − = = = 2 2 x − xy xy − y x(x − y) y(x − y) xy(x − y) xy(x − y) x+y =− ; xy 2 a−4 2 a2 − 4a + 4 (a − 2)2 a−4 + 2 = + = = 2a − 4 a − 2a 2(a − 2) a(a − 2) 2a(a − 2) 2a(a − 2) a−2 = ; 2a a−b a2 − b2 a−b (a − b)(a + b) − − 2 = = 0; a3 + b3 a − ab + b2 (a + b)(a2 − ab + b2 ) a2 − ab + b2 2a − 1 a 1 a 3a − 4a + 2 − = =− ; = 2a − 1 2a − 4 3a − 6 6(a − 2) 6 2(a − 2) − 3(a − 2) 2 x+1 2 x+1 4−x−1 1 − = − = =− . x − 3 2x − 6 x − 3 2(x − 3) 2(x − 3) 2

2a−2 a+3 − ; 2a−6 3a−9 4a b − ; 3) 2a2 −ab 2ab−b2 3a+5 a−25 + ; 5) 5a−25 a2 −5a

1)

2 a−4 + 2 ; 2a−4 a −2a 2a−1 a − ; 4) 2a−4 3a−6 2)

3a2 2 − ; 6a+4 9a+6 9a 4b − 4) ; 3a2 +2ab 3ab+2b2 1−6a 8 6) + . 4a2 −6a 6a−9 2)

2 Rjeˇsenje.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

a+3 2(a − 1) a+3 6a − 6 − 2a − 6 4a − 12 2a − 2 − = − = = 2a − 6 3a − 9 2(a − 3) 3(a − 3) 6(a − 3) 6(a − 3) 2 4(a − 3) = ; = 6(a − 3) 3 3a2 2 3a2 2 9a2 − 4 (3a − 2)(3a + 2) − = − = = 6a + 4 9a + 6 2(3a + 2) 3(3a + 2) 6(3a + 2) 6(3a + 2) 3a − 2 = ; 6 b 4a 4a b2 − 4a2 b − − = = 2 2 2a − ab 2ab − b a(2a − b) b(2a − b) ab(2a − b) (b − 2a)(b + 2a) 2a + b = =− ; ab(2a − b) ab 9a 9a 4b2 − 9a2 4b 4b − − = = 3a2 + 2ab 3ab + 2b2 a(3a + 2b) b(3a + 2b) ab(3a + 2b) 2b − 3a (2b − 3a)(2b + 3a) = ; = ab(3a + 2b) ab a − 25 3a + 5 a − 25 3a + 5 a2 − 25a + 15a + 25 + 2 = + = 5a − 25 a − 5a 5(a − 5) a(a − 5) 5a(a − 5) (a − 5)2 a−5 a2 − 10a + 25 = = ; = 5a(a − 5) 5a(a − 5) 5a 8 1 − 6a 8 3 − 18a + 16a 1 − 6a + = + = 4a2 − 6a 6a − 9 2a(2a − 3) 3(2a − 3) 6a(2a − 3) 3 − 2a 1 = =− . 6a(2a − 3) 6a

1 a−1 + ; 6a−4 3a2 −2a a a−1 − 2 ; 3) 2 a −2a a −4 a−1 2a − 3 5) 2 − ; a − 4 2a2 − 4a 1)

2 a+1 − ; 3a−9 2a2 −6a 4−a 2 4) − 2 ; 2a−4 a −2a a+b a−b 6) 2 − . a b − ab2 a2 b + ab2 2)

a−1 1 a−1 a + 2a − 2 3a − 2 1 + = + = = 6a − 4 3a2 − 2a 2(3a − 2) a(3a − 2) 2a(3a − 2) 2a(3a − 2) 1 = ; 2a a+1 2 a+1 4a − 3a − 3 1 2 − = − = = ; 2) 3a − 9 2a2 − 6a 3(a − 3) 2a(a − 3) 6a(a − 3) 6a a−1 a a−1 a (a − 1)(a + 2) − a2 3) 2 − 2 = − = a − 2a a − 4 a(a − 2) (a − 2)(a + 2) a(a − 2)(a + 2) a2 + a − 2 − a2 1 = = ; a(a − 2)(a + 2) a(a + 2) 4−a 2 4−a 2 4a − a2 − 4 (a − 2)2 4) − 2 = − = =− 2a − 4 a − 2a 2(a − 2) a(a − 2) 2a(a − 2) 2a(a − 2) a−2 =− ; 2a 1)

79

2


2a − 3 a−1 2a − 3 2a(a − 1) − (2a − 3)(a + 2) a−1 − 2 = − = 2 a − 4 2a − 4a (a − 2)(a + 2) 2a(a − 2) 2a(a − 2)(a + 2) 2a2 − 2a − 2a2 − 4a + 3a + 6 −3a + 6 3 = = =− ; 2a(a − 2)(a + 2) 2a(a − 2)(a + 2) 2a(a + 2) a+b a−b (a + b)2 − (a − b)2 a−b a+b 6) 2 − = − 2 = 2 2 a b − ab a b + ab ab(a − b) ab(a + b) ab(a − b)(a + b) 4 4ab = 2 . = ab(a − b)(a + b) a − b2

5)

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

2x − 1 3 + 2 ; + 2x x −1 3a − 3 4a − 3 3) − ; 2 2a − 3a 6a − 9 2 a−6 + . 5) 4 − a2 2a − a2 1)

1)

2)

3)

4)

5)

Zadatak 16. 80

1)

2x2

a − 12b 4b ; + 2 2 2 a − 16b a − 4ab 12 − y 6 4) − 2 ; 6y − 36 y − 6y

2)

3 2x − 1 3 2x − 1 3(x − 1) + 2x(2x − 1) + = + = 2x2 + 2x x2 − 1 2x(x + 1) (x − 1)(x + 1) 2x(x + 1)(x − 1) 3x − 3 + 4x2 − 2x 4x2 + x − 3 3x2 − 3 + x2 + x = = = 2x(x + 1)(x − 1) 2x(x + 1)(x − 1) 2x(x + 1)(x − 1) 2 (x + 1)(3(x − 1) + x) 3(x − 1) + x(x + 1) = = 2x(x − 1)(x + 1) 2x(x − 1)(x + 1) 3x − 3 + x 4x − 3 = = ; 2x(x − 1) 2x(x − 1) a − 12b 4 4b a − 12b = + + a2 − 16b2 a2 − 4ab (a − 4b)(a + 4b) a(a − 4b) a2 − 12ab + 4b(a + 4b) a2 − 8ab + 16b2 (a − 4)2 = = = a(a − 4b)(a + 4b) a(a − 4b)(a + 4b) a(a − 4b)(a + 4b) a − 4b ; = a(a + 4b) 3a − 3 4a − 3 3(a − 1) 4a − 3 9a − 9 − 4a2 + 3a − = − = 2a2 − 3a 6a − 9 a(2a − 3) 3(2a − 3) 3a(2a − 3) −(2a − 3)2 2a − 3 −(4a2 − 12a + 9) = =− ; = 3a(2a − 3) 3a(2a − 3) 3a 12 − y 6 12 − y 6 12y − y2 − 36 − 2 = − = 6y − 36 y − 6y 6(y − 6) y(y − 6) 6y(y − 6) −(y2 − 12y + 36) −(y − 6)2 y−6 = = =− ; 6y(y − 6) 6y(y − 6) 6y a−6 2 a2 − 6a + 4 + 2a 2 a−6 + = + = 2 2 4−a 2a − a (2 − a)(2 + a) a(2 − a) a(2 − a)(2 + a) (a − 2)2 a−2 2−a a2 − 4a + 4 = =− = . = a(2 − a)(2 + a) −a(a − 2)(2 + a) a(a + 2) a(a + 2) x+2 4x x−2 + − ; x2 +2x x2 −2x x2 −4

2)

x+2 2−x 5x3 +8 + + ; 2x−4 3x+6 24−6x2

2 16a 2a+b 2a−b − 2 2+ 2 ; 2 2a −ab 4a −b 2a +ab x+3 x 9 5) + + ; x 3 − x x2 − 3x

3)

Rjeˇsenje.

1)

3 2x − 1 2 + 2 − ; + 2x x −1 x 1 x−9 3 6) − + . x x2 − 9 3x − x2 4)

2x2

x+2 4x x−2 x+2 4x x−2 + − = + − x2 + 2x x2 − 2x x2 − 4 x(x + 2) x(x − 2) (x − 2)(x + 2) x2 − 4x + 4 + x2 + 4x + 4 − 4x2 (x − 2)2 + (x + 2)2 − 4x2 = = x(x + 2)(x − 2) x(x + 2)(x − 2) −2x2 + 8 −2(x2 − 4) −2(x − 2)(x + 2) 2 = = = =− ; x(x + 2)(x − 2) x(x + 2)(x − 2) x(x − 2)(x + 2) x

x+2 2−x 5x3 + 8 2−x 5x3 + 8 x+2 + + + + = 2x − 4 3x + 6 24 − 6x2 2(x − 2) 3(x + 2) 6(4 − x2 ) x+2 2−x 5x3 + 8 = + + 2(x − 2) 3(x + 2) −6(x2 − 4) 2−x 5x3 + 8 x+2 + − = 2(x − 2) 3(x + 2) 6(x − 2)(x + 2) 3(x + 2)2 + 2(2 − x)(x − 2) − 5x3 − 8 = 6(x − 2)(x + 2) 3x2 + 12x + 12 − 2(x − 2)2 − 5x3 − 8 = 6(x − 2)(x + 2) 3x2 + 12x + 12 − 2x2 + 8x − 8 − 5x3 − 8 = 6(x − 2)(x + 2) x2 + 20x − 5x3 − 4 x2 (1 − 5x) − 4(1 − 5x) (1 − 5x)(x2 − 4) = = = 6(x − 2)(x + 2) 6(x − 2)(x + 2) 6(x − 2)(x + 2) 5x − 1 (1 − 5x)(x − 2)(x + 2) =− ; = 6(x − 2)(x + 2) 6 2a + b 16a 2a − b 3) − + 2 2a2 − ab 4a2 − b2 2a + ab 16a 2a−b (2a + b)2 −16a2 + (2a−b)2 2a + b − + = = a(2a−b) (2a−b)(2a + b) a(2a + b) a(2a + b)(2a−b) −8a2 + 2b2 4a2 + 4ab + b2 − 16a2 + 4a2 − 4ab + b2 = = a(2a + b)(2a − b) a(2a + b)(2a − b) −2(4a2 − b2 ) −2(2a − b)(2a + b) 2 = = =− ; a(2a + b)(2a − b) a(2a + b)(2a − b) a 2x − 1 2 3 2x − 1 2 3 + 2 − = + − 4) 2 2x + 2x x −1 x 2x(x + 1) (x − 1)(x + 1) x 3(x − 1) + 2x(2x − 1) − 4(x − 1)(x + 1) = 2x(x − 1)(x + 1) 3x − 3 + 4x2 − 2x − 4x2 + 4 x+1 1 = = = ; 2x(x − 1)(x + 1) 2x(x − 1)(x + 1) 2x(x − 1) x+3 x 9 x+3 x 9 5) + + = − + x 3 − x x2 − 3x x x − 3 x(x − 3) (x + 3)(x − 3) − x2 + 9 x2 − 9 − x2 + 9 0 = = = = 0; x(x − 3) x(x − 3) a(x − 3) 2)

81

2


6)

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Zadatak 18.

Rjeˇsenje.

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

x−9 3 x−9 3 1 1 − 2 + − = − 2 x x − 9 3x − x x (x − 3)(x + 3) x(x − 3) (x − 3)(x + 3) − x(x − 9) − 3(x + 3) x2 − 9 − x2 + 9x − 3x − 9 = = x(x − 3)(x + 3) x(x − 3)(x + 3) 6(x − 3) 6 6x − 18 = = . = x(x − 3)(x + 3) x(x − 3)(x + 3) x(x + 3)

Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 1 1 3 + : (a + b) , za a = −1 , b = 0.8 . a b 4 7 8 4 a=− , b= = ; 4 10 5⎛ ⎞ 1 1 7 4 1⎟ 4 5 −35 + 16 ⎜ 1 + + ⎠: − + : (a + b) = ⎝ = − + : 4 7 a b 4 5 7 4 20 − 4 5 19 −20 5 −16 + 35 −19 : = · =− . = 28 20 28 19 7 Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 2 a b ab − , za a = −1.2 , b = 1 . · b a a−b 5 6 7 a=− , b= ; 5 5 ⎛ ⎞ 6 7 6 7 − − · a b 6 7 ab ⎜ 5 ⎟ 5 5 5 − =⎝ − = − + · · · 7 6⎠ 6 7 b a a−b 7 6 − − − 5 5 5 5 1 −36 + 49 42 · = . = 42 13 5 Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 2 a−1 b−1 1 a− : b− , za a = , b = . b+1 a+1 4 3 a=

1 2 , b= ; 4 3

⎞ ⎛ ⎛ 1 − 1 a−1 b−1 ⎟ ⎜2 ⎜1 a− : b− =⎝ − 4 ⎠:⎝ − 2 b+1 a+1 4 3 +1 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2−3 1−4 ⎜1 ⎟ ⎜2 ⎟ ⎜1 =⎝ − 4 ⎠:⎝ − 3 ⎠=⎝ 2+3 1+4 4 3 4 3 4

82

42 25 13 5

⎞ 2 −1 ⎟ 3 ⎠ 1 +1 4 ⎞ ⎛ ⎞ 1 3 − − ⎟ ⎜2 ⎟ − 4⎠:⎝ − 3⎠ 5 5 3 3 4

2 9 4 2 −4 1 2 1 −9 − : − = + : + 4 20 3 15 4 20 3 15 14 15 3 5 + 9 10 + 4 : = · = . = 20 15 20 14 4

=





Zadatak 24.

Rjeˇsenje.

a+b b a−b a+b a = 5 , koliko je , , , ? b b a a a−b a b 1 a−b b 4 a+b = + 1 = 6; = ; = 1− = ; Imamo redom: b b a 5 a a 5 a + 1 a+b 6 3 = = . = ba a−b 4 2 −1 b

Ako je

a b b a−b a+b = 3 , koliko je , , , ? b b a+b a a a+b Iz = 3 slijedi a + b = 3b te je a = 2b . I sada imamo redom: b a 2b b b 1 b b 1 a−b 2b − b 1 = = 2; = = ; = = ; = = . b b a+b 3b 3 a 2b 2 a 2b 2

Ako je

2 a a = , koliko je ? a−b 3 b b 3 b 1 a a−b = 1 − = , slijedi = − , te = −2 . Iz a a 2 a 2 b

Ako je

Ako je

1 1 1 1 1 + = , koliko je + ? a(b + 1) b(a + 1) (a + 1)(b + 1) a b

a+1 b+1 + = 1, Nakon mnoˇzenja jednakosti sa (a + 1)(b + 1) dobijemo a b 1 1 1 1 a odatle slijedi 1 + + 1 + = 1 , odnosno + = −1 . a b a b

Pomnoˇzi razlomke: x2 + 2x 2x · ; 1) x+2 x+1 x 4x2 −1 3) · ; 2x−1 4x 3x−1 3x 5) · 2 ; 3x+1 9x −1 1)

x − 1 2x + 2 · ; x + 1 x2 − x x2 − 1 x 4) ; · x2 2x + 2 x2 +4x+4 x2 6) · 2 . 4x x −4 2)

x2 + 2x 2x x(x + 2) 2x2 2x · = · = ; x+2 x+1 x+2 x+1 x+1

83

2


2) 3) 4) 5) 6)

Zadatak 25.

x − 1 2(x + 1) 2 x − 1 2x + 2 · 2 = · = ; x+1 x −x x + 1 x(x − 1) x x 4x2 − 1 x (2x − 1)(2x + 1) 2x + 1 · = · = ; 2x − 1 4x 2x − 1 4x 4 x2 − 1 (x − 1)(x + 1) x−1 x x = = ; · · x2 2x + 2 x2 2(x + 1) 2x 3x 3x − 1 3x 3x 3x − 1 · 2 = · = ; 3x + 1 9x − 1 3x + 1 (3x − 1)(3x + 1) (3x + 1)2 x2 + 4x + 4 x2 (x + 2)2 x2 x(x + 2) · 2 = · = . 4x x −4 4x (x − 2)(x + 2) 4(x − 2)

Podijeli razlomke: a2 −4 a+2 ; : 4a2 2a−4 x2 −1 x2 −x 3) 2 : ; x +1 x2 +x

1)

5) Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

x2 −1 x2 −x : ; 2x+2 (x+1)2

1) 3) 5) 7) 9)

84

6)

x2 +4x+4 1 : . x2 −4x+4 (x2 −4)2

(a − 2)(a + 2) 2(a − 2) (a − 2)2 a2 − 4 a + 2 = = : · ; 2 2 4a 2a − 4 4a a+2 2a2 9a2 3a 2a(3a − 1) 3a 2 : = · ; = 2 2 2 9a − 1 6a − 2a (3a − 1)(3a + 1) 9a 3(3a + 1) x2 − 1 x2 − x (x − 1)(x + 1) x(x + 1) (x + 1)2 : = · = ; x2 + 1 x2 + x x2 + 1 x(x − 1) x2 + 1 a(a − 3) a(a + 3) a2 − 3a (a − 3)2 a2 = ; : · = (a + 3)2 a2 + 3a (a + 3)2 (a − 3)2 a2 − 9 x2 − x x2 − 1 (x + 1)2 x x(x − 1) : · = ; = 2 2x + 2 (x + 1) 2(x + 1) (x − 1)(x + 1) 2 1 x2 + 4x + 4 1 (x − 2)2 (x + 2)2 : = · = 1. x2 − 4x + 4 (x2 − 4)2 (x − 2)2 (x + 2)2

Zadatak 26.

3a 9a2 : ; 9a2 −1 6a2 −2a a2 −3a (a−3)2 4) ; : (a+3)2 a2 +3a 2)

a2 + 4 a− 4

8 ; · 4 − a2 2 a 3a − 3a2 − 2 ; · 3a 2a − 2 2a + 4 10a − 9 1 − 2a 2a − ; · 2a − 1 9 − 4a2 3x x2 − 1 1− ; · x+1 1 − 4x2 a+1 1 − 4a2 : a− ; 6 3

2) 4) 6) 8) 10)

1 a+2 a − 4a3 − ; · 2 a 2a + 1 a −1 2 a+4 a2 − ; · 3 a a−2 a −8 a−3 a+1 ; 1− · 2 2a + 2 a + 5a 9 x−1 · x− ; 2 1 − 9x 4 1 1 4 + a2 − 4− : . a 2 a

2 Rjeˇsenje.

8 8 a2 + 4 4a − a2 − 4 · · 1) a − = 2 4 4−a 4 (2 − a)(2 + a) −(a − 2)2 8 2 = · = −(a − 2)2 · 4 (2 − a)(2 + a) −(a − 2)(2 + a) 2(a − 2) ; = a+2 1 a + 2 a − 4a3 2a + 1 − a2 − 2a a(1 − 4a2 ) 2) − · 2 = · a 2a + 1 a −1 a(2a + 1) (a − 1)(a + 1) a(1 − 2a)(1 + 2a) (1 − 2a) 1 − a2 · =1−a· = a(2a + 1) (a − 1)(a + 1) a−1 1 − 2a = −(a − 1) · = 2a − 1 ; a−1 2 −3a(a − 1) a 3a − 3a2 2 a 3) − 2 · = − · 3a 2a − 2 2a + 4 3a 2(a2 − 1) 2(a + 2) 2 2 2 −3a(a − 1) a −4 −1 4a − 4 − 3a · = · = 6a(a − 1)(a + 1) 2(a + 2) 2(a + 1) 4(a + 2) −1 2−a (a − 2)(a + 2) · = ; = (a + 1) 4(a + 2) 4(a + 1) 2 a + 4 a2 a 4) − · 3 − a a−2 a − 8 (a − 2)2 a2 2a − 4 − a2 − 4a · = a(a − 2) (a − 2)(a2 + 2a + 4) a −a2 − 2a − 4 · = 2 a−2 (a − 2)(a + 2a + 4) −(a2 + 2a + 4) a a = · =− ; (a − 2) (a − 2)(a2 + 2a + 4) (a − 2)2 1 − 2a 10a − 9 1 − 2a 4a2 − 2a − 10a + 9 · · 5) 2a − = 2 2a − 1 9 − 4a 2a − 1 (3 − 2a)(3 + 2a) 4a2 − 12a + 9 −(2a − 1) (2a − 3)2 2a − 3 = · = = ; 2a − 1 (3 − 2a)(3 + 2a) (2a − 3)(3 + 2a) 2a + 3 a−3 a+1 2a + 2 − a + 3 a + 1 a+5 a+1 6) 1 − · = · = · 2a + 2 a2 + 5a 2a + 2 a(a + 5) 2a + 2 a(a + 5) a+1 a+1 1 = = = ; a(2a + 2) 2a(a + 1) 2a 3x x2 − 1 x + 1 − 3x (x − 1)(x + 1) 7) 1 − · · = 2 x+1 1 − 4x x+1 (1 − 2x)(1 + 2x) x−1 x−1 = 1 − 2x · = ; (1 − 2x)(1 + 2x) 2x + 1 9 9 4x − x + 1 x − 1 8) = · · x − 1 − 9x2 4 (1 − 3x)(1 + 3x) 4 9 1 + 3x 9 = · = ; (1 − 3x)(1 + 3x) 4 4(1 − 3x)

85

2


1 − 4a2 a + 1 (1 − 2a)(1 + 2a) 3a − a − 1 : a− = : 6 3 6 3 (1 − 2a)(1 + 2a) 3 −(2a − 1)(1 + 2a) 2a + 1 = · = =− ; 6 2a − 1 2(2a − 1) 2 4 + a2 1 1 4a − 4 − a2 a − 2 10) 4 − : − = : a 2 a a 2a 2 −(a − 4a + 4) 2a 2 2 = · = −(a − 2) · = −2(a − 2) . a a−2 a−2

9)

2 a + 2a 2a − 1 −1 · 2 ; a+2 a −9 2 1 a − 4a + 4 ; a− · 2−a a2 − 1 4ab a2 −b2 1− ; : (a+b)2 a2 +2ab+b2 ab b 2b − : 2 2 2 a −b 2a − 2b a − b2

a 4a2 − 1 2) 1 − ; · 2 2a − 1 a − 2a + 1 1 2 1 4) − 2 ; : 2 2 a − 2a a − 4 a + 4a + 4 3 (a − b)2 a b − a2 b2 + ab3 6) 1 + ; · 4ab a3 + b3

Zadatak 27.

1) 3) 5) 7)

Rjeˇsenje.

86

2a − 1

.

a2 + 2a 2a − 1 − a − 2 a(a + 2) −1 · 2 = · a+2 a −9 a+2 (a − 3)(a + 3) a(a + 2) a a−3 · = ; = a + 2 (a − 3)(a + 3) a+3 a 4a2 − 1 2a − 1 − a (2a − 1)(2a + 1) 2) 1 − · 2 = · 2a − 1 a − 2a + 1 2a − 1 (a − 1)2 a − 1 (2a − 1)(2a + 1) 2a + 1 · ; = = 2a − 1 (a − 1)2 a−1 1 a2 − 4a + 4 2a − a2 − 1 (a − 2)2 3) a − · = · 2−a a2 − 1 2−a (a − 1)(a + 1) (a − 2)2 (a − 1)2 (a − 2)2 −(a2 − 2a + 1) · = · = 2−a (a − 1)(a + 1) a−2 (a − 1)(a + 1) (a − 1)(a − 2) ; = a+1 1 2 1 4) − : 2 2 2 a − a + 4a + 4 2a 1 a − 4 2 1 − : = a(a − 2) (a − 2)(a + 2) (a + 2)2 a−2 a + 2 − 2a 2−a · (a + 2)2 = · (a + 2) = − · (a + 2) = a(a − 2)(a + 2) a(a − 2) a(a − 2) a+2 =− ; a a2 + 2ab + b2 − 4ab (a − b)(a + b) 4ab a2 − b2 5) 1− = : 2 : 2 2 (a + b) a + 2ab + b (a + b)2 (a + b)2 2 2 2 a−b a − 2ab + b (a + b) 1 = (a−b)2 · = ; = · 2 (a + b) (a − b)(a + b) (a − b)(a + b) a+b 1)

2 (a − b)2 a3 b − a2 b2 + ab3 · 6) 1 + 4ab a3 + b3 2 ab(a2 − ab + b2 ) 4ab + a − 2ab + b2 · = 4ab (a + b)(a2 − ab + b2 ) 2 2 a + 2ab + b ab (a + b)2 a+b = · = = ; 4ab a+b 4(a + b) 4 ab 2b b 7) : 2 − 2 2 a − b 2a − 2b a − b2 b 2b ab − : = (a − b)(a + b) 2(a − b) (a − b)(a + b) 2ab − b(a + b) (a − b)(a + b) 2ab − ab − b2 ab − b2 = · = = 2(a − b)(a + b) 2b 4b 4b a−b b(a − b) = . = 4b 4

Zadatak 28.

1) 2) 3) 4) 5)

Rjeˇsenje.

2a 2a2 + 2a 4 2 − − ; · 3 a2 − a 1 − a2 a −1 a−1 a2 − b2 a2 − b2 b a 2 a− · a+ + − ; ab ab a b 3 12 x 1− − ; : 2 2 x−3 x − 3x (3 − x) (a + b)2 2a a−b · 4 + 2 ; 2 2 2 a −b a + 2ab + b 9a − b4 x−3 6x − 18 5x − 15 − . : 3 x2 − 3x + 9 x3 + 27 4x + 108

2 2a 2a2 + 2a 4 2 2a · 3 − − = − · 2 −a 1−a a −1 a−1 a(a − 1) (1 − a)(1 + a) 2a(a + 1) 4 2a + 2 + 2a2 2a(a + 1) − = · − (a − 1)(a2 + a + 1) a−1 a(a − 1)(a + 1) (a − 1)(a2 + a + 1) 4 4a − 8 4 4 4(a − 2) = = − = ; a−1 (a − 1)2 a−1 (a − 1)2 (a − 1)2 a2 − b2 a2 − b2 b a 2 (a2 − b2 )2 (b2 − a2 )2 2) a− · a+ + − = a2 − + ab ab a b a2 b2 a2 b2 2 =a ; 12 12 x−3−3 x 3 = : − : − 3) 1 − 2 2 x−3 x − 3x (3 − x) x−3 x(x − 3) x − 6 12(x − 3) − x2 x−6 x x(x − 3)2 = = : · = (−(x − 3))2 x−3 x(x − 3)2 x − 3 12x − 36 − x2 x(x − 3) x(x − 3) x(x − 3)(x − 6) =− = ; 2 −(x − 12x + 36) x−6 6−x 2a (a + b)2 a−b a−b 2a 4) · · + + = a2 − b2 a2 + 2ab + b2 9a4 − b4 (a − b)(a + b) (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 2a(a + b) + (a − b)2 · = 2 2 2 2 2 2 (3a − b )(3a + b ) (a − b)(a + b) (3a − b2 )(3a2 + b2 ) 1)

a2

87

2


3a2 + b2 2a2 + 2ab + a2 − 2ab + b2 = 2 2 2 2 (a − b)(3a − b )(3a + b ) (a − b)(3a2 − b2 )(3a2 + b2 ) 1 = ; (a − b)(3a2 − b2 ) x−3 x−3 6x − 18 5x − 15 6(x − 3) − 3 : 3 = 2 − · 5) 2 x − 3x + 9 x + 27 4x + 108 x − 3x + 9 (x + 3)(x2 − 3x + 9) 4(x3 + 27) x2 − 9 − 6x + 18 4(x3 + 27) 4(x2 − 6x + 9) 4(x − 3)2 = · = = 2 5(x − 3) (x + 3)(x − 3x + 9) 5(x − 3) 5(x − 3) 5(x − 3) 4(x − 3) . = 5 =

Zadatak 29.

1) 1+

a3 − 1 1 a−

⎛ ⎜ 3) ⎜ ⎝1 −

Rjeˇsenje.

88

;

a+

a a+1

⎞

1 a2 1− a−1

⎟ a3 + 1 ⎟· ; ⎠ a2

⎛

1 1 − a2 a+ a

⎜ 4) ⎝1 −

;

⎞

1 ⎟ a ⎠ · a3 + 1 . a+ a−1 1

a3 − 1 a3 − 1 a3 − 1 = = 1 1 a+1 1+ 1+ 2 1+ 1+ 2 a 2 a a +a−a a a− a+1 a+1 a+1 a3 − 1 a2 (a − 1)(a2 + a + 1) = a2 (a − 1) ; = 2 = a2 + a + 1 a +a+1 a2 2a 2a 2a 2a 2a 2) = = 1; = = = 1 1 1 a+a 2a a+ a + a + 1 1 − a2 a2 + 1 − a2 a+ a a a 3 1 1 a +1 a3 + 1 3) 1 − = 1 − · · 2 2 a a−1−a a2 a2 1 − a−1 a−1 3 2 a−1 a − 1 − a − a + 1 a3 + 1 a +1 = 1− = · · a − 1 − a2 a2 a − 1 − a2 a2 2 2 (a + 1)(a − a + 1) a · = 2 = a + 1; a −a+1 a2 1 1 1 1 4) 1 − · 3 = 1 − a2 −a+a · 3 a a + a−1 a +1 a +1 a−1 2 a−1 1 a −a+1 1 = 1− 2 · 3 = · a a +1 a2 (a + 1)(a2 − a + 1) 1 = 2 . a (a + 1) 1)

a3 − 1 1

2a

2)

=

2 Zadatak 30.

Rjeˇsenje.

1 1 1 − 1− 3 2 a a − 1 a 1) · 1 1 1 + 1+ 3 2 a a+1 a a+b a−b − b+ 3) a − b 2 a +2 b · a +b a+ 1− 2 a − b2

; 1 a; 1 b

1 1 b 2 + c2 − a 2 − 1+ 2bc 2) a b + c · ; 1 1 c+b−a + a b+c abc 4)

a3 − b3 a3 + b3 − . ab ab a−b+ a+b− a−b a+b

a − 1 − a2 a3 − 1 1 1 1 − 1 − 2 2 a−1 · a3 = a (a − 1) · a3 1) a 1 1 1 a + 1 + a2 a3 + 1 + 1+ 3 2 a a+1 a a2 (a + 1) a3 −(a + 1)(a2 − a + 1) (a − 1)(a2 + a + 1) · = −1 ; = (a − 1)(a2 + a + 1) (a + 1)(a2 − a + 1) b + c − a 2bc + b2 + c2 − a2 1 1 b 2 + c2 − a 2 − 1+ a(b + c) 2bc 2bc 2) a b + c · = · 1 1 c+b−a b+c+a c+b−a + a b+c abc a(b + c) abc b + c−a a[(b + c)2 −a2 ] a(b + c−a)(b + c + a) a(b + c−a) · = = ; = b+c+a 2(b + c−a) 2(b + c + a) 2 a2 + b2 + 2ab − a2 + 2ab − b2 ab + 1 a+b a−b 1 − b+ (a − b)(a + b) a = a 3) a − b 2 a +2 b · · 2 1 ab + 1 a +b a − b2 − a2 − b2 a+ 1− 2 b b a − b2 (a − b)(a + b) 4ab b = · = −2 ; −2b2 a 4)

a3 + b3 a3 −b3 a3 −b3 a3 + b3 − − = 2 ab ab a −2ab + b2 + ab a2 + 2ab + b2 −ab a−b + a + b− a−b a+b a−b a+b (a − b)(a + b)(a2 − ab + b2 ) (a + b)(a − b)(a2 + ab + b2 ) = − a2 − ab + b2 a2 + ab + b2 2 2 2 2 = a − b − a + b = 0.


Rijeˇsi jednadˇzbe: x−1 x = ; 2 3 x+1 x−1 3) + = 1; 2 3 x−1 x−1 x+1 5) − = ; 2 3 4

1) 1 +

x x x−2 + =1− ; 2 3 6 2x − 3 x x 4) 1 − = − ; 3 2 6 2x − 3 x − 1 x 6) − =1− ; 3 2 6 2)

89

2


1 x+2 x−1 = x− . 7) 2 1 − 3 2 3 Rjeˇsenje.

1)

2) x x−1 1+ = / ·6 2 3 6 + 3x = 2x − 2 ; x = −8

3)

4) x+1 x−1 + = 1/ ·6 2 3 3x + 3 + 2x − 2 = 6 ;

x x x−2 + =1− / ·6 2 3 6 3x + 2x = 6 − x + 2 ; 6x = 8 4 x= 3

1−

5x = 5 x=1 5)

7)

x x 2x − 3 = − / ·6 3 2 6 ; 6 − 4x + 6 = 2x x=2

6) x+1 x−1 x−1 − = / · 12 2 3 4 6x − 6 − 4x + 4 = 3x + 3 ;

2x − 3 x − 1 x − = 1− / ·6 3 2 6 4x − 6 − 3x + 3 = 6 − x ;

x = −5

x = 4.5

x−1 1 x+2 2 1− = x− 3 2 3 3 − x + 1 1 3x − x − 2 = 2 3 2 3 . 2(4 − x) 2(x − 1) = / ·3 3 6 8 − 2x = x − 1 x=3

Zadatak 2.

Provjeri je li dani broj x0 rjeˇsenje dane jednadˇzbe: 1) 2x −

1 x − 0.2 = 0.1 , x0 = ; 3 50

(x−1)(x+1) (2x+1)2 1 − = 1 − x , x0 =2 ; 3 12 4 59 x x 1 x 1 x − −3 = , x0 = − 1 ; 3) + − 2 3 5 4 7 6 84 1 2 − 3x 0.01 − x −2 = ; x0 = 0.808 ; 4) 0.02 2 0.01 2)

5)

90

0.2x−0.02 0.3x−1 1.5x−1 − =3− , x0 =1 . 0.05 0.5 0.01

2 Rjeˇsenje.

1)

2)

1 50 x − 0.2 = 0.1 ·3 2x − 3 6x − x + 0.2 = 0.3 1 1 =⇒ x = 5x = 0.1 = 10 50 x0 = 2 x0 =

(x − 1)(x + 1) (2x + 1)2 5 − = −x 3 12 4 4(x2 − 1) − (2x + 1)2 = 15 − 12x

3)

4) 5)

Zadatak 3.

· 12

4x2 − 4 − 4x2 − 4x − 1 = 15 − 12x 5 8x = 20 =⇒ x = 2 x0 = −1 x x 1x 1 + − − 2 3 5 4 7 5 1 x x 3 59 x− − + = 6 5 4 24 7 84 1 19x 3 59 5 x− + = 6 5 84 7 84 5 19x 3 59 x− − = · 420 6 420 35 84 350x − 19x − 36 = 295 331x = 331 =⇒ x = 1 1 2 − 3x 0.01 − x −2 = ; x0 = 0.808 ; 0.02 2 0.01 0.3x − 1 1.5x − 1 0.2x − 0.02 − =3− , x0 = 1 . 0.05 0.5 0.01

Za koju je vrijednost realnog broja k rjeˇsenje jednadˇzbe 0.6 broj 1?

0.1x − 1 0.2x − k − = 3 2

Rjeˇsenje. 0.1x − 1 0.2x − k − = 0.6 3 2 0.1 − 1 0.2 − k − = 0.6 / · 6 3 2 − 1.8 − 0.6 + 3k = 3.6 3k = 6 k = 2.

91

2


Zadatak 4.

mx − 1 3 1 + = Za koju vrijednost broja m je broj − rjeˇsenje jednadˇzbe 2 3 4 1 1− ? x

Rjeˇsenje. 1 m· − −1 3 1 2 + =1− , 1 3 4 − 2 −m − 2 9 = , −2m − 4 = 27, 6 4

Zadatak 5.

m −1 3 2 =1− +2 3 4 m=−

31 . 2

Rijeˇsi sljedeće jednadˇzbe: 1) (x + 3)(3x − 1) − (x + 2)(2x − 1) = (x + 2)2 ; 2) 3(x − 1)(x − 2) − 2(x − 2)(x − 3) − (x − 3)(x − 4) = 0 ; 3) (5x − 1)2 − (3x − 1)2 = (4x − 3)(4x + 3) ; 4) 4(x − 1)(x − 3) − 3(x + 1) = (2x − 3)2 ; 5) (4x − 1)(x + 3) − 3(x − 2) = (2x − 3)2 ; 6) (x + 5)(x + 2) − 3(4x − 3) = (x − 5)2 ; 7) (x − 3)(x + 4) − 2(3x − 2) = (x − 4)2 ; 8) (3x − 1)2 − 5(2x + 1)2 = (x − 1)2 − (6x − 3)(2x + 1) ; 9) (x − 2)3 − (x + 2)3 = (1 − 3x)(1 + 4x) ; 10) (x − 2)3 (x + 5) − 8 = (x + 2)2 (x2 − 5x − 2) .

Rjeˇsenje.

1) (x + 3)(3x − 1) − (x + 2)(2x − 1) = (x + 2)2 3x2 − x + 9x − 3 − 2x2 + x − 4x + 2 = x2 + 4x + 4 x2 + 5x − x2 − 4x = 4 + 1 x = 5; 2) 3(x − 1)(x − 2) − 2(x − 2)(x − 3) − (x − 3)(x − 4) = 0 2

3x − 6x − 3x + 6 − 2x2 + 6x + 4x − 12 − x2 + 4x + 3x − 12 = 0 8x = 18 9 x= ; 4

92

2 3) (5x − 1)2 − (3x − 1)2 = (4x − 3)(4x + 3) 25x2 − 10x + 1 − 9x2 + 6x − 1 = 16x2 + 12x − 12x − 9 −4x = −9 9 x= ; 4 4) 4(x − 1)(x − 3) − 3(x + 1) = (2x − 3)2 4x2 − 12x − 4x + 12 − 3x − 3 = 4x2 − 12x + 9 −7x = 0 x = 0; 5) (4x − 1)(x + 3) − 3(x − 2) = (2x − 3)2 4x2 + 12x − x − 3 − 3x + 6 = 4x2 − 12x + 9 20x = 6 3 x= ; 10 6) (x + 5)(x + 2) − 3(4x − 3) = (x − 5)2 x2 + 2x + 5x + 10 − 12x + 9 = x2 − 10x + 25 5x = 6 6 x= ; 5 7) (x − 3)(x + 4) − 2(3x − 2) = (x − 4)2 x2 + 4x − 3x − 12 − 6x + 4 = x2 − 8x + 16 3x = 24 x = 8; 8) (3x − 1)2 − 5(2x + 1)2 = (x − 1)2 − (6x − 3)(2x + 1) 9x2 − 6x + 1 − 20x2 − 20x − 5 = x2 − 2x + 1 − 12x2 − 6x + 6x + 3 −24x = 8 1 x=− ; 3 9) (x − 2)3 − (x + 2)3 = (1 − 3x)(1 + 4x) x3 − 6x2 + 12x − 8 − x3 − 6x2 − 12x − 8 = 1 + 4x − 3x − 12x2 −x = 17 x = −17;

93

2


10) (x − 2)3 (x + 5) − 8 = (x + 2)2 (x2 − 5x − 2) (x3 − 6x2 + 12x − 8)(x + 5) − 8 = (x2 + 4x + 4)(x2 − 5x − 2) x4 + 5x3 − 6x3 − 30x2 + 12x2 + 60x − 8x − 40 − 8 = x4 −5x3 −2x2 +4x3 −20x2 −8x+4x2 −20x−8 80x = 40 1 x= . 2

Zadatak 6.

2) Ako je 3) Ako je 4) Ako je 5) Ako je Rjeˇsenje.

1 − 3x , koliko je x ? 1 + 3x p+x , koliko je x ? y= 1 + px a−b c= , koliko je a ? 1 − ab 1 1 1 = + , koliko je z ? x y z mx1 + nx2 c= , izraˇcunaj n . m+n 2)

1) Ako je y =

1)

p+x 1 + px y + ypx = p + x y=

1 − 3x y= 1 + 3x y + 3xy = 1 − 3x 3x(y + 1) = 1 − y 1−y x= ; 3(y + 1) 3)

x(yp − 1) = p − y p−y x= py − 1 y−p ; x= 1 − py 4)

a−b 1 − ab c − abc = a − b c=

−a(bc + 1) = −b − c b+c ; a= bc + 1

1 1 1 = + x y z zy = xz + xy z(y − x) = xy xy z= ; y−x

5) c = drmx1 + nx2 m + n mc + nc = mx1 + nx2 n(c − x2 ) = mx1 − mc mx1 − cm n= . c − x2

94

2 Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.


Zadatak 10.

Temperaturne skale po Celsiusu (C ◦ ) i Fahrenheitu (F ◦ ) vezane su relacijom 5 C ◦ = (F◦ −32) . Izrazi iz te jednakosti F. 9 1 F◦ = (9C◦ + 160) . 5 Povrˇsinu trapeza raˇcunamo po formuli P = duljinu visine v .

v=

a+c · v . Izrazi iz te formule 2

2P . a+c

Oploˇsje kvadra s bridovima duljina a , b i c raˇcuna se po formuli O = 2(ab + bc + ca) . Izrazi iz te formule duljinu brida c . Kolika je duljina brida b ? Moramo li ponovno raˇcunati? Zaˇsto? O O = 2(ab + bc + ca), = ab + bc + ca 2 O O − 2ab O − 2ab bc + ca = − ab, c(a + b) = , c= 2 2 2(a + b) 2 je harmonijska sredina brojeva x i y . Ako su zadani + 1y brojevi h i x , koliki je y ? Broj h =

1 x

Rjeˇsenje. h=

2 , 1 1 + x y

hy + hx = 2xy,

Zadatak 11.

1)

h h + = 2 / · xy x y y(h − 2x) = −hx,

3 − 4x 4+x =2− ; 8 5

3) 2 − 3x +

hx hx = h − 2x 2x − h

2−x x =1+ ; 3 2

7x − 5 16 − x x+3 1 − 2x =1− ; 4) 2x − 6 − = ; 5 2 3 2

3 − 2x x + 1 5x − 1 − =1− ; 3 2 6 1 x 1 1 x 1 1 − + 7) − = ; 3 2 4 6 9 8 2 1 x 2 1 x+6 9) − − 1− = 3 2 3 2 6

5)

2) x −

y=−

2x + 3 1 x−1 − =1+ ; 5 2 10 1 x 1 1 2 − 8) 1 − = 2+ x ; 4 2 6 8 3 6) x −

1 . 36

95

2


Rjeˇsenje.

1) 4+x 3 − 4x =2− 8 5 20 + 5x = 80 − 24 + 32x −27x = 36 4 x=− ; 3 2) 2−x x =1+ 3 2 6x − 4 + 2x = 6 + 3x x−

5x = 10 x = 2; 3) 1 − 2x 7x − 5 =1− 5 2 20 − 30x + 2 − 4x = 10 − 35x + 25 x = 13; 2 − 3x +

4) 16 − x x+3 = 3 2 12x − 36 − 32 + 2x = 3x + 9 11x = 77 2x − 6 −

x = 7; 5) 3 − 2x x + 1 5x − 1 − =1− 3 2 6 6 − 4x − 3x − 3 = 6 − 5x + 1 −2x = 4 x = −2; 6) 2x + 3 1 x−1 − =1+ 5 2 10 10x − 4x − 6 − 5 = 10 + x − 1 x−

5x = 20 x = 4;

96

2 7) 1 x 1 1 1x 1 − − = + 3 2 4 6 9 8 2 1 x 1 x = + 1+ − 6 12 72 18 72 + 12x − 6 = x + 4 11x = −62 62 x=− ; 11 8) 1x 1 1 2 − = 2+ x 4 2 6 8 3 1 1 x x = + 1− + 8 24 4 12 24 − 3x + 1 = 6 + 2x −5x = −19 19 x= ; 5

1−

9) x + 6 1 1 x 2 1 − − 1− = 3 2 3 2 6 36 x 2 1 x+6 1 − − + = 6 9 2 12 36 6x − 8 − 18 + 3x + 18 = 1 9x = 9 x = 1.

Zadatak 12.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

1 0.12 − x 0.01 + 3x + =4 ; 0.03 0.02 2 x − 0.5 x − 0.25 x − 0.125 + + = 0; 2 4 8 1−x 2−x 1− 2− 3 − 5 =1 1 ; 4 3 15 9x − 3 12 − x 3x − +1 19 15 − 5 = ; 9 6 90 5x − 1 2x − 1 3x + x− 8 3 − = 5; 3 2 x + 1.2 x − 0.8 0.3x − 0.4x − 5 4 − = 0.45 . 5 4

97

2


Rjeˇsenje.

1) 0.12 − x 0.01 + 3x 1 + =4 0.03 0.02 2 12 − 100x 1 + 300x 9 + = 3 2 2 24 − 200x + 3 + 900x = 27 −1100x = 0 x = 0; 2) x − 0.5 x − 0.25 x − 0.125 + + =0 2 4 8 4x − 2 + 2x − 0.5 + x − 0.125 = 0 7x = 2.625 21 7x = 8 3 x= ; 8 3) 1−x 2−x 2− 3 − 5 =1 1 4 3 15 3 − 1 + x 10 − 2 + x 16 − = 12 15 15 16 2+x 8+x − = 12 15 15 10 + 5x − 32 − 4x = 64 1−

x = 86; 4) 9x − 3 12 − x +1 19 15 − 5 = 9 6 90 19 45x − 12 + x 9x − 3 + 5 − = 15 · 9 30 90 19 46x − 12 9x + 2 − = 9 2 6 92x − 24 − 81x − 18 = 57 3x −

11x = 99 x = 9;

98

2 5) 2x − 1 5x − 1 x− 8 3 − =5 3 2 24x + 5x − 1 3x − 2x + 1 8 3 − =5 3 2 29x − 1 x + 1 − =5 24 6 29x − 1 − 4x − 4 = 120 3x +

25x = 125 x = 5; 6) x + 1.2 x − 0.8 0.3x − 5 4 − = 0.45 5 4 1.5x − x − 1.2 1.6x − x + 0.8 5 4 − = 0.45 5 4 1.5x + 0.8 1.4x − 1.2 − = 0.45 20 20 1.5x + 0.8 − 1.4x + 1.2 = 9

0.4x −

0.1x = 7 x = 70.

Zadatak 13.

1)

(x − 3)(2x − 5) (x − 2)2 − = 3 − (x − 4) ; 2 4

2)

x (x + 1)(x − 2) (2x − 3)2 − =1+ ; 2 8 2

5x (2x − 3)2 (3x − 2)(2x + 3) = − ; 3 6 2 x−3 4) 2x(3x − 2) − 3 1 − (2 − x)(2x + 3) − = 13 ; 2 x+3 3x − 1 − 1−2 x− 5) 3 x − = 5x − 2 ; 4 5 x x 1 x 1 x x − − −2 6) − = . 2 4 3 3 4 2 3 3) 1 −

99

2


Rjeˇsenje.

1)

(x − 2)2 (x − 3)(2x − 5) − = 3 − (x − 4) 2 4 2x2 − 8x + 8 − 2x2 + 5x + 6x − 15 = 12 − 4x + 16 7x = 35 x = 5; 2)

(x + 1)(x − 2) (2x − 3)2 x − = 1+ 2 8 2 4x2 − 8x + 4x − 8 − 4x2 + 12x − 9 = 8 + 4x 4x = 25 25 x= ; 4 3)

(3x − 2)(2x + 3) 5x (2x − 3)2 = − 3 6 2 6 − 12x2 − 18x + 8x + 12 = 5x − 12x2 + 36x − 27 −51x = −45 15 ; x= 17 1−

4) x − 3 2x(3x − 2) − 3 1 − (2 − x)(2x + 3) − = 13 2 3x − 9 = 13 6x2 − 4x − 3 + 3(4x + 6 − 2x2 − 3x) + 2 3x − 9 = 13 6x2 − 4x − 3 + 3x + 18 − 6x2 + 2 3x − 9 = 13 −x + 15 + 2 −2x + 30 + 3x − 9 = 26 x = 5;

100

2 5)

3x − 1 x + 3 3 x− − 1−2 x− = 5x − 2 4 5 4x − 3x + 1 5x − x − 3 3 − 1−2· = 5x − 2 4 5 x + 1 8x − 6 3 − 1− = 5x − 2 4 5 x + 1 5 − 8x + 6 − = 5x − 2 3 4 5 x + 1 11 − 8x 3 − = 5x − 2 4 5 3x + 3 33 − 24x − = 5x − 2 4 5 15x + 15 − 132 + 96x = 100x − 40 11x = 77 x = 7;

6)

x x x 1x 1 x − − − −2 = 2 4 3 3 4 2 3 x x 1 x x 1 x − + − + = 2 4 3 3 8 2 3 2x − x 1 8x − 3x + 12 x + · = 4 3 24 3 x 1 5x + 12 x + · = 4 3 24 3 18x + 5x + 12 = 24x −x = −12 x = 12.

Zadatak 14.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

2 2 2x − 15 2x − 3 − = 4; 6 6 2 2 3x 1 3x 1 1 − + − =1 ; 2 3 2 2 9 2 2 1 1 5x + − 4x + = (3x − 1)2 ; 2 2 2 2 2 1 1 1 5x − − 4x − = 3x − ; 2 2 3 2 2 x 3 x 1 1 − + − =1 ; 2 4 2 4 2 2 2 2 3x 1 x 2 1 1 − + − = ; x− 4 2 4 3 2 3 2 2 x 3 x 1 x 2 + − − =5 1+ . 2 4 3 4 6

101

2


Rjeˇsenje.

1) 2x − 15 2 6

−

2x − 3 2 6

= 4;

S lijeve strane jednadˇzbe uoˇcavamo razliku kvadrata. Tako moˇzemo zakljuˇciti: 2x − 15 6

−

2x − 3 2x − 15 2x − 3 + = 4; 6 6 6

Dalje redom slijedi: 2x − 15 − 2x + 3 2x − 15 + 2x − 3 · =4 6 6 4x − 18 =4 −2 · 6 −8x + 36 = 24 −8x = −12 3 x= ; 2 2) 3x

1 2 3x 1 2 1 − + − =1 2 3 2 2 9 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 10 − − − − + + = 2 3 2 2 2 3 2 2 9 3 − 2 10 −2 − 3 · 3x + = 6 6 9 5 10 15x − = − 6 36 9 −90x − 5 = 40 −90x = 45 1 x=− ; 2 3)

1 2 1 2 5x + − 4x + = (3x − 1)2 2 2 1 1 1 1 5x + − 4x − 5x + + 4x + = (3x − 1)2 2 2 2 2 x(9x + 1) = (3x − 1)2 9x2 + x = 9x2 − 6x + 1 7x = 1 1 x= ; 7

102

2 4)

1 2 1 2 − 4x − = 3x − 5x − 2 2 1 1 1 1 5x − − 4x + 5x − + 4x − = 3x − 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

1 9 1 2 2 9x − x = 9x − 2x + 9 1 x= ; 9

x(9x − 1) = 9x2 − 2x +

5) x

3 2 x 1 2 1 − + − =1 2 4 2 4 2 x 3 x 1 x 3 x 1 3 − − − − + + = 2 4 2 4 2 4 2 3 2 3 1 = −1 x − 2 2 3 1 −x + = 2 2 −x = 1 x = −1;

6) 3x

1 2 x 2 2 1 2 1 − + x− − = 4 2 4 3 2 3 3x 1 x 2 3x 1 x 2 1 1 2 2 − − − − + + = x − x+ 4 2 4 3 4 2 4 3 2 3 9 x 7 1 x2 1 1 − x+ = − x+ 2 6 6 2 3 18 x2 x 7x 7 x2 1 1 + − − = − x+ 2 12 6 36 2 3 18 3x − 42x − 7 = −12x + 2 −27x = 9 1 x=− ; 3

103

2


7) x

3 2 x 1 2 x 2 + − − =5 1+ 2 4 3 4 6 x 3 x 1 x 3 x 1 x x2 + − + + + − =5 1+ + 2 4 3 4 2 4 3 4 3 36 3x + 2x 1 3x − 2x 5x 5x2 +1 + =5+ + 6 6 2 3 36 x 5x 1 5x 5x2 +1 + =5+ + 6 6 2 3 36 x 5x 1 5x 5x2 5x2 + + + =5+ + 36 12 6 2 3 36 x + 10x + 6 = 60 + 20x −9x = 54 x = −6.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

1)

1 2 3 − = ; x 6 − 2x 3x − x2

2)

2−x 3 1 = ; − x−1 x − x2 2x

3)

4 5 9 − ; = 2 x x−x 2x − 2

4)

1 1 4x − = 2 ; 2x 1 − 2x 4x − 1

5)

2 5 2 + 2 = ; x x −x 3x − 3

6)

5x−4 4x−1 2x+3 − =1− ; 2x−1 6x−3 10x−5

7)

x+3 1 x+3 − = ; 2x2 −6x 3x2 −9x 6x

8)

x+3 3x+5 1−2x − = ; 8x2 −2x 12x2 +3x 16x2 −1

9)

2x + 1 1 7 − = ; 9x2 − 1 1 − 3x 6x + 2

10)

2x2 + 1 1 1 − 3x = . − 2x − 4x2 6x − 3 3x

1) Najprije postavimo ograniˇcenja koja proistjeˇcu iz definiranosti razlomka u jednadˇzbi: x = 0 , x = 3 ; 3 1 2 − = x 6 − 2x 3x − x2 1 1 3 − = · 2x(3 − x) x 2(3 − x) x(3 − x) 2(3 − x) · 3 − x = 2 18 − 6x − x = 2 −7x = −14 x = 2;

104

2 2) x = 0 , x = 1 ; 2−x 1 3 = − 2 x−1 x−x 2x 3 x−2 1 = − · 2x(x − 1) x−1 x(x − 1) 2x 6x = 2x − 4 − x + 1 5x = −3 3 x=− ; 5 3) x = 0 , x = 1 ; 4 5 9 − = x x − x2 2x − 2 4 5 9 + = · 2x(x − 1) x x(x − 1) 2(x − 1) 2(x − 1) · 4 + 10 = 9x 8x − 8 + 10 = 9x −x = −2 x = 2; 1 1 4) x = 0 , x = − , x = ; 2 2 1 1 4x − = 2 2x 1 − 2x 4x − 1 1 4x 1 + = · 2x(2x − 1)(2x + 1) 2x 2x − 1 (2x − 1)(2x + 1) 4x2 − 1 + 2x(2x + 1) = 4x · 2x 4x2 − 1 + 4x2 + 2x = 8x2 2x = 1 1 x= . 2 Jednadˇzba nema rjeˇsenja. 5) x = 0 , x = 1 ; 2 5 2 + 2 = x x −x 3x − 3 2 2 5 + = · 3x(x − 1) x x(x − 1) 3(x − 1) 3(x − 1) · 2 + 6 = 5x 6x − 6 + 6 = 5x x = 0. Jednadˇzba nema rjeˇsenja.

105

2


6) x =

1 ; 2 5x − 4 4x − 1 2x + 3 − =1− 2x − 1 6x − 3 10x − 5 4x − 1 2x + 3 5x − 4 − = 1− · 15(2x − 1) 2x − 1 3(2x − 1) 5(2x − 1) 75x − 60 − 20x + 5 = 30x − 15 − 6x − 9 31x = 31 x = 1;

7) x = 0 , x = 3 ; x+3 x+3 1 − = 2x2 − 6x 3x2 − 9x 6x x+3 x+3 1 − = 2x(x − 3) 3x(x − 3) 6x 3x + 9 − 2x − 6 = x − 3 3 = −3. Jednadˇzba nema rjeˇsenja. 1 1 8) x = 0 , x = − , x = ; 4 4 x+3 3x + 5 1 − 2x − = 8x2 − 2x 12x2 + 3x 16x2 − 1 x+3 3x + 5 1 − 2x − = 2x(4x − 1) 3x(4x + 1) (4x − 1)(4x + 1) 3(4x + 1)(x + 3) − 2(4x − 1)(3x + 5) = 6x − 12x2 12x2 + 36x + 3x + 9 − 24x2 − 40x + 6x + 10 = 6x − 12x2 −x = −19 x = 19; 1 1 9) x = − , x = ; 3 3 2x + 1 1 7 − = 9x2 − 1 1 − 3x 6x + 2 2x + 1 1 7 + = (3x − 1)(3x + 1) 3x − 1 2(3x + 1) 4x + 2 + 6x + 2 = 21x − 7 −11x = −11 x = 1;

106

2 10) x = 0 , x =

1 ; 2 1 2x2 + 1 1 − 3x = − 2x − 4x2 6x − 3 3x 1 − 3x 1 2x2 + 1 − = −2x(2x − 1) 3(2x − 1) 3x

−3 · (2x2 + 1) − 2x · (1 − 3x) = 2(2x − 1) −6x2 − 3 − 2x + 6x2 = 4x − 2 1 x=− . 6

Zadatak 16.

1)

1 x 3x − 1 + 2 = ; 6x − 3 4x − 1 2x + 1

x−5 x + 25 x+5 − = 2 ; x2 − 5x 2x2 − 10x 2x − 50 x−3 x x+3 − = 2 ; 3) 2x2 − 6x 3x2 + 9x 6x − 54 x−1 2x 3 − 2x 4) − = 2 ; 2x2 + x 2x2 − x 4x − 1 x−1 1 x+1 = 2 ; 5) + 2 1 − 4x2 2x + x 2x − x 2)

6) 7)

4(x + 9) x+3 x−3 + = 2 ; 5x2 − 45 5x2 − 15x x + 3x 5 1 3 − = ; 2 2 + 2x 30x − 6x 25x − 1

10x2

3x − 1 15 2x + 1 + = ; 2 12x − 15 32x − 50 8x + 10 1 − 3x 2 2x − 1 − = ; 9) 6x2 − 4x 9x2 + 6x 3x 1 3x − 1 x − . 10) = 6x − 3 1 − 4x2 2x + 1 1 1 1) x = − , x = ; 2 2 3x − 1 1 x + = 6x − 3 4x2 − 1 2x + 1 3x − 1 1 x + = 3(2x − 1) (2x − 1)(2x + 1) 2x + 1 (3x − 1)(2x + 1) + 3 = 3x(2x − 1) 8)

Rjeˇsenje.

6x2 + 3x − 2x − 1 + 3 = 6x2 − 3x 1 x=− . 2 Jednadˇzba nema rjeˇsenja.

107

2


2) x = −5 , x = 0 , x = 5 ;

x−5 x + 25 x+5 − 2 = 2 2 x − 5x 2x − 10x 2x − 50 x+5 x−5 x + 25 − = x(x − 5) 2x(x − 5) 2(x2 − 25) 2(x + 5)2 − (x2 − 25) = x2 + 25x 2x2 + 20x + 50 − x2 + 25 = x2 + 25x −5x = −75 x = 15;

3) x = −3 , x = 0 , x = 3 ;

x+3 x−3 x − = 2 2x2 − 6x 3x2 + 9x 6x − 54 x+3 x−3 x − = 2x(x − 3) 3x(x + 3) 6(x2 − 9) 3(x + 3)2 − 2(x − 3)2 = x2 3x2 + 18x + 27 − 2x2 + 12x − 18 = x2 30x = −9 3 x=− ; 10

1 1 4) x = − , x = 0 , x = ; 2 2

x−1 2x 3 − 2x − 2 = 2 2 2x + x 2x − x 4x − 1 x−1 2x 3 − 2x − = x(2x + 1) x(2x − 1) (2x − 1)(2x + 1) (2x − 1)(x − 1) − 2x(2x + 1) = 3x − 2x2 2x2 − 2x − x + 1 − 4x2 − 2x = 3x − 2x2 −8x = −1 1 x= ; 8

108

2 1 1 5) x = − , x = 0 , x = ; 2 2 x−1 1 x+1 = 2 + 2 1 − 4x2 2x + x 2x − x x+1 x−1 1 + = (1 − 2x)(1 + 2x) x(2x + 1) x(2x − 1) 1 x+1 1−x + = (1 − 2x)(1 + 2x) x(1 + 2x) x(1 − 2x) x + (x + 1)(1 − 2x) = (1 − x)(x + 2x) x + x − 2x2 + 1 − 2x = 1 + 2x − x − 2x2 −x = 0 x = 0.

Jednadˇzba nema rjeˇsenja. 6) x = −3 , x = 0 , x = 3 ;

x+3 x−3 4(x + 9) + = 2 5x2 − 45 5x2 − 15x x + 3x x+3 x−3 4(x + 9) + = 2 5(x − 9) 5x(x − 3) x(x + 3) 4x(x + 9) + (x + 3)2 = 5(x − 3)2 4x2 + 36x + x2 + 6x + 9 = 5x2 − 30x + 45 72x = 36 1 x= ; 2

1 1 7) x = − , x = 0 , x = ; 5 5

3 5 1 − = 2 2 + 2x 30x − 6x 25x − 1 3 5 1 − = 2x(5x + 1) 6x(5x − 1) (5x − 1)(5x + 1) 9(5x − 1) − 5(5x + 1) = 6x 45x − 9 − 25x − 5 = 6x 10x2

14x = 14 x = 1;

109

2


5 5 8) x = − , x = ; 4 4 3x − 1 15 2x + 1 + = 12x − 15 32x2 − 50 8x + 10 15 2x + 1 3x − 1 + = 3(4x − 5) 2(16x2 − 25) 2(4x + 5) 2(3x − 1)(4x + 5) + 45 = 3(2x + 1)(4x − 5) 24x2 + 30x − 8x − 10 + 45 = 24x2 − 30x + 12x − 15 40x = 50 5 x= . 4 Jednadˇzba nema rjeˇsenja. 2 2 9) x = − , x = 0 , x = ; 3 3 1 − 3x 2 2x − 1 − = 6x2 − 4x 9x2 + 6x 3x 2x − 1 1 − 3x 2 − = 2x(3x − 2) 3x(3x + 2) 3x 3(2x − 1)(3x + 2) − 2(1 − 3x)(3x − 2) = 4(9x2 − 4) (6x − 3)(3x + 2) − (2 − 6x)(3x − 2) = 36x2 − 16 18x2 + 12x − 9x − 6 − 6x + 4 + 18x2 − 12x = 36x2 − 16 −15x = −14 14 ; x= 15 1 1 10) x = − , x = ; 2 2 3x − 1 1 x − = 2 6x − 3 1 − 4x 2x + 1 3x − 1 1 x − = 3(2x − 1) (1 − 2x)(1 + 2x) 2x + 1 3x − 1 1 x + = 3(2x − 1) (2x − 1)(2x + 1) 2x + 1 (3x − 1)(2x + 1) + 3 = 3x(2x − 1) 6x2 + 3x − 2x − 1 + 3 = 6x2 − 3x 4x = −2 1 x=− . 2 Jednadˇzba nema rjeˇsenja.

110

2 Zadatak 17.

Rijeˇsi sljedeće jednadˇzbe u kojima je a parametar, a x nepoznanica: 1) a(a2 − x) = a − x ; 3) a2 (x − 1) = x + a ; 5) a2 (x − 1) = ax − 1 ;

Rjeˇsenje.

2) a2 (x − 1) = 2ax − 4 ; 4) 9a2 (x + 1) = 4 + 6ax ; 6) a2 (2x − 1) = −4 − 4ax .

1) a(a2 − x) = a − x a3 − ax = a − x x − ax = a − a3 (1 − a)x = a(1 − a2 ); Za a = 1 jednadˇzba je neodredena jer je 0 · x = 0 i rjeˇsenje moˇze biti svaki realni broj x . Za a = 1 , x = a(a + 1) ; 2) a2 (x − 1) = 2ax − 4 a2 x − a2 = 2ax − 4 a2 x − 2ax = a2 − 4 a(a − 2)x = (a − 2)(a + 2). Za a = 0 jednadˇzba nema rjeˇsenja jer je 0 · x = −4 a takav x ne postoji, za a = 2 jednadˇzba je neodredena, za a = 0 i a = 2 rjeˇsenje jednadˇzbe je a+2 x= . a 3) a2 (x − 1) = x + a a2 x − a2 = x + a a2 x − x = a + a2 (a − 1)(a + 1)x = a(a + 1). Za a = 1 jednadˇzba nema rjeˇsenja, za a = −1 jednadˇzba je neodredena, za a . a = 1 i a = −1 rjeˇsenje jednadˇzbe je x = a−1 4) 9a2 (x + 1) = 4 + 6ax 9a2 x + 9a2 = 4 + 6ax 9a2 x − 6ax = 4 − 9a2 3a(3a − 2)x = (2 − 3a)(2 + 3a). 2 jednadˇzba je neodredena, za Za a = 0 jednadˇzba nema rjeˇsenja, za a = 3 2 3a + 2 a = 0 i a = rjeˇsenje jednadˇzbe je x = − . 3 3a

111

2


5) a2 (x − 1) = ax − 1 a2 x − a2 = ax − 1 a2 x − ax = a2 − 1 a(a − 1)x = (a − 1)(a + 1). Za a = 0 jednadˇzba nema rjeˇsenja, za a = 1 jednadˇzba je neodredena, za a+1 . a = 0 i a = 1 rjeˇsenje jednadˇzbe je x = a 6) a2 (2x − 1) = −4 − 4ax 2a2 x − a2 = −4 − 4ax 2a2 x + 4ax − a2 − 4 2a(a + 2)x = (a − 2)(a + 2). Za a = 0 jednadˇzba nema rjeˇsenja, za a = −2 jednadˇzba je neodredena, za a−2 . a = 0 i a = −2 rjeˇsenje jednadˇzbe je x = 2a

Zadatak 18.

Uz raspravu o ovisnosti rjeˇsenja o realnom parametru a rijeˇsi jednadˇzbe: a−1 1 a − = ; x+1 x x−a (1 − a)2 (1 + a)2 3) = ; x−a x+a ax − 1 ax + 1 a−1 5) − = 2 ; 2 2 ax − a ax + a x − a2 1)

Rjeˇsenje.

a 1 a+1 + = ; x−1 x−a x (1 − a)3 (1 + a)3 4) = ; 1 − ax 1 + ax a x+a x−a + 2 = 2 . 6) 2 x −1 x +x x −x 2)

1) x = −1 , x = 0 , x = a ; a a−1 1 − = x+1 x x−a ax(x − a) − (a − 1)(x + 1)(x − a) = x2 + x ax2 − a2 x + (1 − a)(x2 − ax + x − a) = x2 + x ax2 − a2 x + x2 − ax + x − a − ax2 + a2 x − ax + a2 = x2 + x −2ax = −a2 + a −a(a − 1) x= −2a a−1 x= . 2 Za a = 0 jednadˇzba je neodredena, za a = −1 i a = 1 jednadˇzba nema rjeˇsenja. Naime, za a = −1 dobije se x = −1 a za a = 1 je x = 0 a 0 i 1 a−1 ne mogu biti rjeˇsenja zadane jednadˇzbe. Za sve ostale realne a je x = . 2

112

2 2) x = 0 , x = 1 , x = a ; a 1 a+1 + = x−1 x−a x ax(x − a) + x(x − 1) = (a + 1)(x − 1)(x − a) ax2 − a2 x + x2 − x = (a + 1)(x2 − ax − x + a) ax2 − a2 x + x2 − x = ax2 − a2 x − ax + a2 + x2 − ax − x + a 2ax = a2 + a a(a + 1) x= 2a a+1 . x= 2 Za a = 0 jednadˇzba je neodredena, za a = −1 i a = 1 jednadˇzba nema a+1 . rjeˇsenja, za sve ostale realne a je x = 2 3) x = −a , x = a ; (1 − a)2 (1 + a)2 = x−a x+a 2 (1 − 2a + a )(x + a) = (1 + 2a + a2 )(x − a) x − 2ax + a2 x + a − 2a2 + a3 = x + 2ax − a − 2a2 + a2 x − a3 −4ax = −2a3 − 2a −2a(a2 + 1) −4a a2 + 1 . x= 2 Za a = 0 jednadˇzba je neodredena, za a = −1 i a = 1 jednadˇzba nema a2 + 1 rjeˇsenja. Za a = 0 , a = 1 i a = −1 rjeˇsenje je jedinstveno: x = . 2 1 1 4) x = − , x = ; a a (1 + a)3 (1 − a)3 = 1 − ax 1 + ax (1 − 3a + 3a2 − a3 )(1 + ax) = (1 + 3a + 3a2 + a2 )(1 − ax) x=

1−3a+3a2 −a3 +ax−3a2 x+3a3 x−a4 x = 1+3a+3a2 +a3 −ax−3a2 x−3a3 x−a4 x 6a3 x + 2ax = 2a3 + 6a 2a(3a2 + 1)x = 2a(a2 + 3) 2a(a2 + 3) 2a(3a2 + 1) a2 + 3 . x= 2 3a + 1 Za a = 0 jednadˇzba je neodredena, za a = −1 i a = 1 jednadˇzba nema a2 + 3 rjeˇsenja. Za a = 0 , a = 1 i a = −1 rjeˇsenje je jedinstveno: x = 2 . 3a + 1 x=

113

2


5) x = −a , x = a ; ax − 1 ax + 1 a−1 − = 2 2 2 ax − a ax + a x − a2 (ax − 1)(x + a) − (ax + 1)(x − a) = a(a − 1) ax2 + a2 x − x − a − ax2 + a2 x − x + a = a2 − a 2a2 x − 2x = a2 − a a(a − 1) x= 2(a2 − 1) a(a − 1) x= 2(a − 1)(a + 1) a−1 . x= 2(a + 1) Za a = 1 jednadˇzba je neodredena, za a = 0 i a = −1 jednadˇzba nema a rjeˇsenja. Za a = 0 , a = 1 i a = −1 rjeˇsenje je jedinstveno: x = . 2(a + 1) 6) x = −1 , x = 1 ; x−a a x+a + = 2 x2 − 1 x2 + x x −x a x+a x−a + = (x − 1)(x + 1) x(x + 1) x(x − 1) x2 − ax + a(x − 1) = (x + a)(x + 1) x2 − ax + ax − a = x2 + x + ax + a −ax − x = 2a x(−a − 1) = 2a x=−

2a . a+1

Za a = 0 , a = −1 i a = 1 jednadˇzba nema rjeˇsenja. Za a = 0 , a = −1 i 2a a = 1 rjeˇsenje je jedinstveno: x = − . a+1

Zadatak 19.

Rijeˇsi jednadˇzbe: x a+ 1+a 1 − a 1) x = 1−a; a− 1+a ax 1+ a −x = 3) ax 1+ 1+ a+x 1−

114

1 1 − a x ; 1 1 + a x

a−x a+x = x+1; 2) 1 − a−x a2 1+ a+x 1−

x+a x−a + a x+a = a + x . 4) x − 2 x a x−a 1− x+a

2 Rjeˇsenje.

1) x = −a , x = a ;

x 1−a = 1+a x 1−a a− 1+a a − a2 + x 1+a 1−a = 1−a a + a2 − x 1+a 1+a (1 + a)(a − a2 + x) = (1 − a)(a + a2 − x) 1−a 2 a−a +x =1 a + a2 − x a − a2 + x = a + a2 − x a+

2x = 2a2 x = a2 ;

2) x = −a , x = a ;

a−x a+x = x+1 1− a−x a2 1+ a+x a+x−a+x x+1 +x 1 − a + ax + a − x = a2 a+x x+1 2x = 1− 2a a2 x+1 2a − 2x = 2a a2 x+1 a−x = a a2 2 a − ax = x + 1 1−

−(a + 1)x = 1 − a2 (1 − a)(1 + a) x= −(a + 1) x = a − 1;

115

2


3) x = 0 , x = −a , x = a ; ax 1 1 1+ − a−x = a x ax 1 1 1+ 1+ + a+x a x a − x − ax ax + x − a a−x ax a + x + ax = ax + x + a a+x ax ax + x − a (a + x)(a − x − ax) = (a − x)(a + x + ax) ax + x + a a+x =1 a−x a+x = a−x 2x = 0 1−

x = 0. Jednadˇzba nema rjeˇsenja jer x ne smije biti jednak nuli. 4) x = 0 , x = −a , x = a ; x+a x−a + x−a x+a = a + x x − a 2 x a 1− x+a x2 + 2ax + a2 + x2 − 2ax + a2 a 2 + x2 (x − a)(x + a) = ax (x − a)2 1− (x + a)2 2x2 + 2a2 a 2 + x2 (x − a)(x + a) = ax x2 + 2ax + a2 − x2 + 2ax − a2 (x + a)2 2(x + a)(x2 + a2 ) a 2 + x2 = (x − a)(4ax) ax x+a =1 2(x − a) x + a = 2x − 2a x − 2x = −2a − a −x = −3a x = 3a.

116

Zadatak 20.

Ako zrakoplov za 4 sata leta preleti 3 200 km, koliki put cé preletjeti za 5 sati?

Rjeˇsenje.

4x = 3200 =⇒ x = 800 . Za 1 sat zrakoplov preleti 800 km, a za 5 sati preletjet cé 4 000 km.


Zadatak 22.

Rjeˇsenje.





Zadatak 27.

Rjeˇsenje.


Neki automobil troˇsi 5.2 litre goriva za put od 90 km. Koliko cé goriva taj automobil potroˇsiti za 225 km? 13 13 . Za 1 km automobil potroˇsi litara goriva, a za 90x = 5.2 =⇒ x = 225 225 225 km automobil cé potroˇsiti 13 litara goriva. - 45.5 km. Uz uvjet Gospodin Brzić svojim automobilom za 35 minuta prijede da automobil ne zakaˇze, koliko c´ e daleko dospjeti gospodin Brzić za 6 sati neprekidne i jednolike voˇznje? 7 km 60 · 9.1 km 45.5 km = . Gospodin Brzić i nije tako brz, vozi = 35 7 h 8 h h 60 prosjeˇcnom brzinom 78 km/ h te cé za 6 sati prijeći 468 km. x=

U jednoj brzoj praonici automobila za 25 minuta operu 8 automobila. Koliko im vremena treba da operu 12 automobila? 25 = 3.125 . Za pranje jednog automobila potrebno je 3.125 minuta, a za x= 8 pranje 12 automobila utroˇsi se 37.5 minuta. Radeći dnevno po 8 sati, Roko za dva dana zaradi 240 kuna. Koliko cé Roko zaraditi za 12 sati rada? 240 x= = 15 kuna po satu. Roko c´ e za 12 sati rada zaraditi 180 kuna. 16 Baka Marija je 2.5 kg banana platila 15 kuna. Koliko bi platila 2 kg? 15 150 x= = = 6 kuna po kilogramu. Baka Marija bi 2 kg banana platila 2.5 25 12 kuna. Vrijedna tipkaˇcica za 5 minuta otipka 140 rijeˇci. Koliko joj vremena treba da otipka 630 rijeˇci? 140 = 28 rijeˇci u minuti. Za 630 rijeˇci tipkaˇcici treba Tipkaˇcica otipka x = 25 630 = 22.5 minuta. 28 Omjer broja osobnih automobila i broja svih drugih vozila koji se kreću auto- 88 vozila koja cestom je 15 : 4 . Ako u nekom vremenu tom autocestom prode nisu osobni automobili, koliko bi osobnih automobila trebalo proći u istom vremenu? 15 15 y. x = · 88 = 330 . Trebalo x : y = 15 : 4 =⇒ 4x = 15y =⇒ x = 4 4 bi proći 330 osobnih automobila. Udaljenost od 100 km na zemljovidu je predoˇcena udaljenoˇsc´ u od 2.5 cm. Kolika udaljenost na zemljovidu odgovara stvarnoj udaljenosti od 39 km? 100 = 40 kilometara stvarne uda2.5 39 ljenosti. Stvarnoj udaljenosti od 39 km na zemljovidu pripada = 0.975 40 cm. Jedan centimetar na karti predstavlja x =

117

2



Zadatak 30.

Rjeˇsenje.

7 - ca. Da nahrani 60 izvidaˇ - ca, kuhar je Kuhar zamuti x = jaja za jednog izvidaˇ 3 7 zamutio · 60 = 140 jaja. 3 U mjenjaˇcnici “Najbolji teˇcaj” za 100 kruna dobiju se 354 kune. Ako neki kaput stoji 335 kruna, kolika je njegova cijena u kunama ravnamo li se po teˇcaju iz navedene mjenjaˇcnice? 354 = 3.54 kune. Cijena kaputa u U navedenoj mjenjaˇcnici 1 kruna vrijedi 100 kunama iznosi 3.54 · 335 = 1 185.9 kuna.

Zadatak 31.

U nekom je razredu 12 odlikaˇsa, sˇ to cˇ ini 37.5 % broja svih uˇcenika tog razreda. Koliko taj razred ima uˇcenika?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo li ukupan broj uˇcenika u razredu s x , onda je 0.375x = 12 , odakle se dobije x = 32 .

Zadatak 32.

Ako cijena neke koˇsulje nakon sniˇzenja od 15 % iznosi 204 kune, kolika je bila cijena te koˇsulje prije sniˇzenja?

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe 0.85x = 204 nalazimo cijenu koˇsulje prije sniˇzenja x = 240 kuna.

Zadatak 33.

Cijena knjige umanji se za 20 %, a potom joˇs i za 25 % nove cijene. Koliko je ukupno umanjena poˇcetna cijena knjige?

Rjeˇsenje.





118

- ckom taboru priprema kajganu tako da na svaka tri izvidaˇ - ca Kuhar u izvidaˇ planira 7 jaja. Koliko je kuhar zamutio jaja ako kani nahraniti 60 izvidaˇca?

Ako je x cijena knjige prije umanjenja, onda 4 1 4 4 sniˇzenja x , a nakon drugog x − · x = 5 5 4 5 cijene 40 %.

je njezina cijena nakon prvog 3 x . Stoga je ukupno sniˇzenje 5

Trostruki broj x umanjen za pet daje isti rezultat kao isti taj dvostruki uvećan za sedam. O kojem je broju rijeˇc? 3x − 5 = 2x + 7 , x = 12 . Dvostruki najmanji od tri uzastopna neparna broja za 15 je veći od najvećeg. Koliki je zbroj tih triju brojeva? 2(2x − 1) = 2x + 3 + 15 . To su brojevi 19, 21, 23, zbroj im je 63. Zbroj dvaju brojeva od kojih je veći za 3 manji od dvostrukog manjeg je 333. Koji su to brojevi? x + 2x − 3 = 333 , odatle x = 112 . Drugi je broj 221. Zbroj cˇetvrtine i sˇ estine nekog broja za 5 je manji od polovine tog broja. Koji je to broj? x x x Iz jednadˇzbe + + 5 = dobije se x = 60 . 4 6 2

Zadatak 38.

Zbroj dvaju brojeva je 30, a razlika njihovih kvadrata je 120. Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe a2 − (30 − a)2 = 120 dobijemo a = 17 . Drugi je broj jednak 13.

2 Zadatak 39.

Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih cijelih brojeva iznosi 128. Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe (2n + 1)2 − (2n − 1)2 = 128 dobije se n = 16 , te su traˇzeni brojevi 31 i 33.

Zadatak 40.

Ako od umnoˇska triju uzastopnih neparnih cijelih brojeva oduzmemo kub srednjeg od tih triju brojeva, dobit c´ emo 60. Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje. (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) − (2n + 1)3 = 60 (2n + 1)[(2n − 1)(2n + 3) − (2n + 1)2 ] = 60 (2n + 1)(4n2 + 6n − 2n − 3 − 4n2 − 4n − 1) = 60 (2n + 1)(−4) = 60 2n + 1 = −15 2n = −16 n = −8. To su brojevi −17, −15, −13 .

Zadatak 41.

Ako umnoˇsku triju uzastopnih parnih prirodnih brojeva pribrojimo njihov udvostruˇcen zbroj i oduzmemo kub srednjeg broja, dobit cémo 20. Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje. (2n − 2) · 2n · (2n + 2) + 2(2n − 2 + 2n + 2n + 2) − 8n3 = 20 2n(4n2 − 4) + 2(6n) − 8n3 = 20 8n3 − 8n + 12n − 8n3 = 20 4n = 20 n = 5. Traˇzeni su brojevi 8, 10 i 12.

Zadatak 42.

Zbroj dvaju brojeva iznosi 531. Ako veći broj podijelimo manjim, dobit cémo koliˇcnik 6 i ostatak 20. Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje.

Postavimo jednadˇzbu a + (6a + 20) = 531 iz koje je a = 73 . Drugi, veći broj je 458.

Zadatak 43.

Znamenka desetica dvoznamenkastog broja veća je za 4 od znamenke jedinica. Ako tom broju pribrojimo broj zapisan istim znamenkama, ali u obrnutom poretku, dobit c´ emo 154. O kojem je dvoznamenkastom broju rijeˇc?

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe (a + 4) · 10 + a + 10a + (a + 4) = 154 slijedi a = 5 , te je rijeˇc o broju 95.

Zadatak 44.

Nazivnik razlomka za 700 je veći od brojnika. Nakon kraćenja dobije se 3 razlomak . Kojim je brojem kraćen razlomak? 7 a 3 525 = . Iz ove jednadˇzbe izraˇcunamo a = 525 . Razlomak a + 700 7 1 225 3 kratimo sa 175, te dobijemo razlomak . 7

Rjeˇsenje.

119

2


Zadatak 45.

Rjeˇsenje.

Koliki je vanjski kut trokuta ABC pri vrhu A ?

x + x + 1 + 2x + 4 = 180 4x = 175 x = 43.75◦ = 43◦ 45 =⇒ α = 44◦ 45 α = 180◦ − 44◦ 45 = 179◦ 60 − 44◦ 45 = 135◦ 15

Zadatak 46.

Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta je 8 cm, a duljina je druge katete 36 cm. Kolika je povrˇsina ovog trokuta?

Rjeˇsenje.

Primjenjujemo Pitagorin pouˇcak i postavljamo jednakost a2 + 362 = (a + 8)2 iz koje dobijemo a = 77 . Dalje nalazimo b = 36 cm te izraˇcunamo povrˇsinu koja iznosi 1 386 cm 2 .

Zadatak 47.

Opseg pravokutnika je 80 m. Njegova je dulja stranica tri puta dulja od kraće. Kolika je povrˇsina tog pravokutnika?

Rjeˇsenje.

o = 2a + 2b = 80 , a = 3b , 6b + 2b = 80 =⇒ b = 10 , a = 30 , P = 30 · 10 = 300 m2 .

Zadatak 48.

Duljina igraliˇsta oblika pravokutnika za 8 je metara veća od sˇ irine. Kad duljinu povećamo za 2 m, a sˇ irinu za 1 m, povrˇsina igraliˇsta poveća se za 46 m2 . Kolike su duljina i sˇ irina igraliˇsta?

Rjeˇsenje. x · (x + 8) + 46 = (x + 1)(x + 10) x2 + 8x + 46 = x2 + 2x + 9x + 10 −3x = −36 x = 12. Duljina je igraliˇsta 20, a sˇ irina 12 metara.

Zadatak 49.

Rjeˇsenje.

120

3 Tri brata imaju zajedno 58 godina. Koliko je kojem od njih godina ako su 4 - jednake 2 broja godina srednjeg, odnosno 1 broja broja godina najmladeg 3 2 godina najstarijeg brata? Iz jednadˇzbi x + y + z = 58 ,

3 2 9 3 1 3 x = y =⇒ y = x i x = z =⇒ z = x 4 3 8 4 2 2

2 dobijemo jednadˇzbu 3 9 x + x + x = 58 8 2 8 + 9 + 12 x = 58 8 29 x = 58 8 x = 16. Braći je 16, 18 i 24 godine.

Zadatak 50.

Rjeˇsenje.

Zadatak 51.

Rjeˇsenje.

Zadatak 52.

Perica ima u dˇzepu 50 kn sitniˇsa od po 1, 2 i 5 kuna. Novˇcića od 5 kn dva je puta viˇse nego od onih po 2 kn, a novˇcića po 1 kn dva je puta manje nego onih po 2 kn. Koliko novˇcića po 5 kn ima Perica? x x Oznaˇcimo sa x broj novˇcića od 5 kn. Tada imamo: 5x + · 2 + = 50 , 2 4 x = 8. Uˇze duljine 10 m prerezano je na dva dijela. Veći je dio za 0.5 m kraći od dvostrukog kraćeg. Kolike su duljine dvaju komada? x + y = 10 , x = 2y − 0.5 , 2y − 0. + y = 10 , y = 3.5 m i x = 6.5 m. Jedan je komad zˇ ice dulji od drugog 54 metra. Kad od svakog komada odreˇzemo po 12 m, dulji cé komad biti cˇ etiri puta dulji od kraćeg. Koliko su dugaˇcki ti komadi zˇ ice?

Rjeˇsenje. x + 54 − 12 = 4(x − 12) x + 42 = 4x − 48 −3y = −90 y = 30. Jedan komad zˇ ice dug je 30 metara, a drugi 84 metra.

Zadatak 53.

Na dvije police su 72 knjige. Kad s prve na drugu premjestimo 6 knjiga, na prvoj c´ e biti dvaput viˇse knjiga nego na drugoj. Koliko je knjiga na svakoj polici?

Rjeˇsenje. 72 − x − 6 = 2(x + 6) −3x = −54 x = 18. Na jednoj je polici 18 knjiga, a na drugoj 54 knjige.

Zadatak 54.

Na kolodvoru stoje dvije kompozicije vlaka. Jedna ima 12 vagona viˇse nego druga. Kad bismo svaku kompoziciju umanjili za 6 vagona, u jednoj bi ostalo 3 puta viˇse vagona nego u drugoj. Koliko je vagona u kojoj kompoziciji?

121

2


Rjeˇsenje. 12 + x − 6 = 3(x − 6) −2x = −24 x = 12. U jednoj je kompoziciji 12, a u drugoj 24 vagona.

Zadatak 55.

Uˇcenici jednog razreda uˇce dva strana jezika. Od njih 32 prvi strani jezik uˇci ih 24, a drugi 28. Ako svaki od uˇcenika uˇci barem jedan strani jezik, koliko uˇcenika uˇci oba jezika? Izrazi taj broj i u postotcima.

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe 32 = 24 + 28 − x , gdje smo s x oznaˇcili broj uˇcenika koji uˇce oba strana jezika, dobije se x = 20 , sˇ to je u postotcima 62.5 %.

Zadatak 56.

Na jednom pisanom ispitu koji sadrˇzi 40 pitanja za toˇcan odgovor dobije se 20 bodova, a za netoˇcan oduzima 5 bodova. Ako je neki ispitanik odgovorivˇsi na sva pitanja sakupio 425 bodova, na koliko je pitanja dao pogreˇsan odgovor?

Rjeˇsenje.

Zadatak 57.

Rjeˇsenje.

Zadatak 58.

Rjeˇsenje.

Zadatak 59.

122

Postavimo jednadˇzbu (40 − x) · 20 + x · (−5) = 425 , a iz nje je x = 15 . Ako se posuda puni prvom slavinom, napunit cé se za 18 minuta, a ako se puni drugom, bit c´ e puna za 27 minuta. Otvorimo li obje slavine, koliko cé vremena 5 proći dok u posudi bude njezina obujma? 6 1 1 posude, a vodom iz druge Za 1 minutu vodom iz prve slavine napuni se 18 27 obujma posude. Ako su obje slavine otvorene, nakon jedne minute u posudi cé 1 5 5 1 + = njezina obujma vode. A obujma napunit cé se vodom biti 18 27 54 6 nakon 9 minuta. Vodom iz prve slavine bazen se napuni za m sati, a vodom iz druge za n sati. Ako se istovremeno ukljuˇce obje slavine, za koliko cé se vremena napuniti bazen? 1 1 Prva slavina za sat vremena napuni bazena, a druga slavina bazena. m n Kada su istovremeno ukljuˇcene obje slavine bazen cé se napuniti za x sati. 1 1 mn n+m + · x = 1 =⇒ x = 1 =⇒ x = . Bazen c´ e se napuniti m n nm m+n mn sati. nakon m+n Tekućinom iz prve slavine posuda se napuni za 10 minuta, a tekućinom iz druge za 15 minuta. Ako otvorimo ove dvije i joˇs jednu, treću slavinu, posuda c´ e se napuniti za 4 minute. Koliko bi vremena bilo potrebno da se posuda napuni tekućinom samo iz treće slavine?

2 Rjeˇsenje.

1 1 1 posude u jednoj minuti, druga slavina , a treća Prva slavina napuni 10 15 x posude u jednoj minuti. Sve tri slavine cˇ itavu posudu napune za 4 minute. 1 1 1 + + ·4=1 10 15 x 4 4 4 + + =1 10 15 x 12x + 8x + 120 = 30x −10x = −120 x = 12. Bilo bi potrebno 12 minuta.

Zadatak 60.

Svjeˇze smokve sadrˇze 72 % vode, a suhe 20 %. Koliko se suhih smokava dobije suˇsenjem 20 kg svjeˇzih?

Rjeˇsenje.

U 20 kg svjeˇzih smokava 5.6 kg je suha tvar, ostalo je voda. Tih 5.6 kg u suhih je smokava 80 % njihove mase te iz 0.8x = 5.6 dobijemo x = 7 , odnosno, od 20 kg svjeˇzih smokava suˇsenjem se dobije 7 kg suhih.

Zadatak 61.

U svjeˇzim je gljivama 88 % vode, a u suhim svega 8 %. Koliko bismo svjeˇzih gljiva trebali ubrati zˇ elimo li nakon suˇsenja imati 3 kg suhih gljiva?

Rjeˇsenje.

U 3 kg suhih gljiva ima 3 · 0.92 = 2.76 kg suhe tvari, koja u svjeˇzim gljivama cˇ ini svega 12 %. Stoga je 2.76 = 0.12x , odakle se izraˇcuna x = 23 kg.

Zadatak 62.

Suˇsenjem oraha gubi se 25 % njihove mase. Od koje cé se mase svjeˇzih oraha nakon suˇsenja dobiti 3 kg suhih oraha?

Rjeˇsenje.

4 3 · x = 3 =⇒ x = 3 · = 4 . Od 4 kg. 4 3

Zadatak 63.

U morskoj je vodi 4.5 % soli. Koliko slatke vode valja uliti u 40 litara morske kako bi u tako pomijeˇsanoj vodi bilo 2 % soli?

Rjeˇsenje.

U 40 litara morske soli ima 1.8 litara cˇiste soli, a tih 1.8 litara je 2 % u masi od 90 litara. Stoga valja doliti 50 litara slatke vode.

Zadatak 64.

Ako u 60 litara alkohola koncentracije 75 % ulijemo 30 litara alkohola koncentracije 90 %, kolika c´ e biti koncentracija alkohola u smjesi?

Rjeˇsenje.

Zadatak 65.

60 · 75 + 30 · 90 = 80 , te je jakost alkohola u smjesi jednaka 80 %. 60 + 30 Pomijeˇsamo li vruću vodu temperature 76 ◦ C i hladnu temperature 12 ◦ C , dobit cémo 96 litara vode s temperaturom 40 ◦ C . Koliko je pritom uzeto vruće vode?

123

2


Rjeˇsenje.

Zadatak 66.

Rjeˇsenje.



Mijeˇsamo tri vrste kave. Uzmemo li 120 kg po cijeni 40 kn za kilogram i 150 kg po cijeni 36 kn za kilogram, koliko moramo uzeti kave po 45 kn za kilogram zˇ elimo li da cijena mjeˇsavine bude 42 kn za kilogram?

Iz jednadˇzbe

120 · 40 + 150 · 36 + x · 45 = 42 dobije se x = 380 kg. 120 + 150 + x

Jedna vrsta duˇsiˇcne kiseline koncentracije je 30 %, druga 55 %. Koliko koje vrste treba pomijeˇsati kako bi se dobilo 100 litara kiseline koncentracije 50 %? Iz jednadˇzbe

30x + (100 − x) · 55 dobijemo x = 20 . 100

Dva automobila, jedan stalnom brzinom od 100 km/ h drugi 115 km/ h u isto vrijeme krenu autocestom iz Splita za Zagreb. Nakon koliko vremena cé biti udaljeni 5 km? 115t − 100t = 5 , t = 20 min.

Zadatak 69.

- put od kuće do sˇ kole za 20 minuta. No ako bi brzinu Ivica biciklom prijede povećao za 5 km/ h, u sˇkolu bi stizao za 15 minuta. Koliko je Iviˇcina kuća udaljena od sˇ kole?

Rjeˇsenje.

Ako je v1 prva, a v2 druga, od v1 za 5 km/ h veća brzina, onda iz v2 = v1 + 5 s s s uvrˇstavajući v = imamo 1 = 1 + 5 , odakle dobijemo s = 5 km. t 4 3

Zadatak 70.

- polovinu puta, a potom ubrza za 15 km/ h i drugu poVozaˇc za 1 sat prijede lovinu prijede za 45 minuta. Kojom je brzinom vozaˇc vozio prvu polovinu puta?

Rjeˇsenje.

Zadatak 71.

Rjeˇsenje.

Zadatak 72.

124

76x + (96 − x) · 12 = 40 , dobije se x = 42 , dakle valja uzeti Iz jednadˇzbe 96 42 litre vrele vode.

Iz jednadˇzbe v · 1 = (v + 15) ·

3 dobijemo v = 45 km/ h. 4

2 4 sata, a teretni za 4 5 3 sata. Ako je putniˇcki vlak brˇzi od teretnog za 26 km/ h, kolika je udaljenost Zagreba i Rijeke? - put izmedu - Rijeke i Zagreba za 2 Putniˇcki vlak prijede

14 14 = (v−26)· imamo v = 65 km/ h, te je traˇzena udaljenost s = 182 Iz v· 5 3 km. Iz mjesta M krene pjeˇsak, a nakon 2 sata u istom smjeru za njim se uputi biciklist. Brzina kretanja pjeˇsaka je 4.5 km/ h, a biciklist za 45 minuta prijede 9 km. Koliki je put preˇsao pjeˇsak u trenutku kad ga je biciklist dostigao?

2 Rjeˇsenje.

Brzina biciklista je je s = 14.4 km.

Zadatak 73.

Rjeˇsenje.

9 3 4

= 12 km/ h. Iz 4.5t = 12(t − 2) slijedi t = 3.2 sata, te

Iz dvaju gradova istovremeno krenu jedan drugom ususret dva automobila, jedan brzinom 60 km/ h, drugi 80 km/ h. Ako su gradovi udaljeni 448 km, nakon koliko c´ e se vremena automobili susresti? x 448 − x Iz jednadˇzbe = slijedi x = 192 minute. Automobili cé se susresti 60 80 nakon 3 sata i 12 minuta.

Zadatak 74.

- put od mjesta A do mjesta B za 6 sati. Uzvodno Ploveći niz rijeku, brod prijede mu za isti put treba 10 sati. Ako je brzina broda po mirnoj vodi 16 km/ h, kolika je brzina rijeke?

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe (16 + v) · 6 = (16 − v) · 10 , gdje je s v oznaˇcena brzina rijeˇcnog toka, slijedi v = 4 km/ h.

Zadatak 75.

Ploveći uzvodno, brod preplovi put od mjesta M do mjesta N za 6 sati i 15 minuta. Obratno ploveći brodu za isti put treba 3 sata i 45 minuta. Ako je brzina rijeke 4 km/ h, kolika je brzina broda po mirnoj vodi?

Rjeˇsenje.

Zadatak 76.

Rjeˇsenje.

Zadatak 77.

Rjeˇsenje.

Zadatak 78.

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe (v + 4) · 3

3 1 = (v − 4) · 6 dobijemo v = 16 km/ h. 4 4

1 Baka Marta iz pune sˇ alice crne kave otpije pa do vrha dolije mlijeko. Zatim 6 1 1 otpije i opet do vrha dolije mlijeko. Otpije potom joˇs bijele kave i do 3 2 vrha dolije mlijeko. Koliko je tada mlijeka u sˇ alici? 5 5 5 1 5 kave, nakon drugog − · = , 6 6 6 3 9 5 5 1 5 13 a nakon trećeg − · = . Konaˇcno, u sˇ alici je ostalo mlijeka. 9 9 2 18 18 Nakon prvog ispijanja u sˇ alici je ostalo

1 Raˇcunalni virus prvoga dana pojede svih podataka pohranjenih na raˇcunalu, 2 1 1 preostalih podataka, a trećeg dana nestane joˇs od drugog dana pojede 3 3 onoga sˇ to je joˇs ostalo. Koliko je podataka ostalo na raˇcunalu? 1 1 1 1 Nakon prvog dana ostalo je podataka, nakon drugog − = , a nakon 2 2 6 3 1 1 2 trećeg − = . 3 9 9 Ani je pukla ogrlica. Jednu trećinu perlica naˇsla je na podu, jednu cˇetvrtinu na stolu, jednu petinu na naslonjaˇcu, a jedna se sˇ estina zadrˇzala na niti. Na kraju su nedostajale 3 perlice. Koliko je perlica bilo na ogrlici prije njezinog raspadanja? Iz jednadˇzbe

1 1 1 1 x + x + x + x + 3 = x dobije se x = 60 . 3 4 5 6

125

3



Koji je broj veći: 1) π ili

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

24 ; 7

2)

24 24 1) π ≈ 3.1416 , ≈ 3.4286 , slijedi > π; 7 7 √ √ 2) 2 ≈ 1.412 , slijedi 2 < 1.414 . Usporedi brojeve m i n ako je: 1) m + 3 = n ;

Rjeˇsenje.


Zadatak 4.

√ 2 ili 1.414 ?

1) m < n ;

2) m − n = −5 ;

2) m = n − 5 , m < n ;

3) m − 10 = n .

3) m = n + 10 , m > n .

Usporedi brojeve n i p , p i q te m i q , ako je m > p , n > m , n < q . n > m , m > p =⇒ n > p ; p < m , m < n , n < q =⇒ p < q ; m < n , n < q =⇒ m < q . Vrijedi li tvrdnja: 1) ako je a > b , onda je a2 > b2 ; 2) ako je a2 > b2 , onda je a > b ; 3) ako je a3 > b3 , onda je a > b ; 4) ako je a > b , onda je an > bn , za svaki prirodni n ; 5) ako je a > b i c > d , onda je ac > bd ?

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

1) Ne! Npr. 1 > −2 , 12 = 1 < 4 = (−2)2 ; 2) Ne! Npr. (−4)2 = 16 > 4 = (−2)2 , ali −4 < −2 ; 3) Da! Npr. 2 > −3 i 23 = 8 > −27 = (−3)3 ; 4) Ne! Primjer da tvrdnja ne vrijedi je pod 2); 5) Ne! Npr. uzmemo li a = 2 , b = 1 , c = −3 , d = −4 dobijemo 2 > 1 , −3 > −4 , ali −6 < −4 . ˇ moˇzeˇs kazati o brojevima a i b ako je: Sto a 0; 3) ab 0 ; 1) ab > 0 ; 2) b 1) ab > 0 =⇒ (a > 0 i b > 0) ili (a < 0 i b < 0) ; a 2) 0 =⇒ (a 0 i b > 0) ili (a 0 i b < 0) ; b 3) ab 0 =⇒ (a 0 i b < 0) ili (a 0 i b > 0) ; a 4) < 0 =⇒ (a > 0 i b < 0) ili (a < 0 i b > 0) . b Provjeri jesu li istinite sljedeće tvrdnje: 1) ako je a > b , onda je (a + 1)b < a(b + 1) ; 2) ako je a > b , onda je (a + 1)(b − 1) < ab .

126

4)

a < 0? b

3 Rjeˇsenje.


Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

1) a > b =⇒ b < a =⇒ ab + b < ab + a =⇒ (a + 1)b < a(b + 1) ; 2) a > b =⇒ b < a =⇒ b < a + 1 =⇒ b − a − 1 < 0 =⇒ ab + b − a − 1 < ab =⇒ b(a + 1) − (a + 1) < ab =⇒ (a + 1)(b − 1) < ab . 1 1 − > 2. a2 a 1 − a − 2a2 1 1 Nejednakost 2 − > 2 ekvivalentna je nejednakosti > 0 . Nju a a a2 (1 − 2a)(1 + a) moˇzemo zapisati u obliku > 0 . Kako je a ∈ −1, 0 ova je a2 nejednakost ispunjena.

Dokaˇzi tvrdnju: za svaki broj a , −1 < a < 0 vrijedi

Zapiˇsi odgovarajućim oznakama za intervale podskupove skupa realnih brojeva sˇ to su zadani sljedećim nejednakostima: 3 2) x > 3.5 ; 3) −5 < x 0 ; 1) x − ; 2 √ √ 3 4) x − 3 ; 6) x < −2 2 . 5) − x 11 ; 4 3 1) x ∈ −∞, ; 2) x ∈ 3.5, +∞ ; 3) x ∈ −5, 0] ; 2 √ √ 3 4) x ∈ [− 3, +∞ ; 5) x ∈ − , 11 ; 6) x ∈ −∞, −2 2 . 4 Naznaˇci na brojevnom pravcu skupove toˇcaka T(x) ako za x vrijedi sljedeći uvjet: 1) −1 x < 3 ; 3) x −1 i x < 3 ;

Rjeˇsenje.

2) x < −1 ili x 2 ; 4) x < −3 i x > 1 .

1) 2) 3) 4) ∅

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Zapiˇsi odgovarajućim oznakama za intervale sljedeće skupove realnih brojeva: 1) skup svih brojeva x većih od −1 i manjih od 3; 3 2) skup svih brojeva x manjih od 1 ili većih od ; 2 3 3) skup svih brojeva x koji su manji od − ; 4 1 4) skup svih brojeva x koji su manji od ili jednaki ili veći od ili jednaki 3 ; 2 5) skup svih brojeva x većih ili jednakih −1.1 ; √ 6) skup svih brojeva x koji su manji ili jednaki 2, i veći od ili jednaki 5 . ! 3 3! 1) −1, 3 ; 2) −∞, 1 ∪ , +∞ ; 3) −∞, − ; 2 4 1 4) −∞, ∪ [3, +∞ ; 5) [−1.1, +∞ ; 6) ∅ . 2

127

3


Zadatak 11.

Zapiˇsi uobiˇcajenim oznakama intervale koji su istaknuti na sljedećim crteˇzima: -1

0

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

1) −∞, −1] ∪ 1, 2] ; 4) [0, +∞ .

2

1

3

1

3

0

2) [−2, 1] ∪ 3, +∞ ;

3) −∞, 0 ∪ [3, +∞ ;

Odredi skupove A ∪ B i A ∩ B ako su A i B intervali realnih brojeva: 1) A = −1, 2] , B = 0, 3] ; 3) A = −∞, 1] , B=[−1, +∞ ; 5) A = −∞, 5 , B = [−5, 1 ; 7) A = [−3, 5 , B = [0, 7] ;

Rjeˇsenje.

-2

2) A = −3, 5 , B = [0, +∞ ; 4) A = −∞, −2 , B = [0, 2] ; 2 2 6) A = − , , B = [−2, 2] ; 3 3 8) A = 1, 5 , B = 0, 4] .

1) A∪B = −1, 3] , A∩B = 0, 2] ; 2) A∪B = −3, +∞ , A∩B = [0, 5 ; 3) A ∪ B = R , A ∩ B = [−1, 1] ; 4) A ∪ B = −∞, −2 ∪ [0, 2] , A ∩ B = ∅ ; 5) A ∪ B = A , A ∩ B = B , jer je B ⊂ A ; 6) A ∪ B = B , A ∩ B = A .


Rjeˇsenje.

1 3 1 2 3 1 2) 2x + < − ; 3) x − 1 > ; 1) − x + 2 ; 2 3 4 3 3 4 2 2 1 4) −3x − 1 ; 5) − x − 1 1 . 3 3 4 1 1 1 3 1) − x + 2 2) 2x + < − ·6 · 12 2 3 4 3 −3x + 12 2 24x + 9 < −4 −3x 2 − 12 24x < −4 − 9 1 1 −3x −10 · − 24x < −13 · 3 24 10 13 ; x x<− ; 3 24 2 3 2 ·3 4) − 3x − 1 x−1> 3) · 12 3 3 4 −9x − 2 3 8x − 12 > 9 8x > 9 + 12 1 8x > 21 · 8 21 ; x> 8

128

−9x 3 + 2 1 −9x 5 · − 9 5 x− ; 9

3 5)

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

1 2 − x−11 3 4 5 2 3 − x−1 · − 3 4 2 27 x− . 4

3x − 1 2x − [1 − 3(2 − x)] > ; 3 4 1 x 1 x 1 x−7 2) x − − − ; x− 2 3 2 4 3 12 x+1 x 2 1 x−6 3) −3 − . x− 1− 4 2 3 2 6 1)

1)

2x 3x − 1 − [1 − 3(2 − x)] > 3 4 2x 3x − 1 − (1 − 6 + 3x) > 3 4 2x 3x − 1 − (3x − 5) > 3 4 3x − 1 2x − 3x + 5 > · 12 3 4 8x − 36x + 60 > 9x − 3 8x − 36x − 9x > −3 − 60 1 −37x > −63 · − 37 63 ; x< 37

1 x 1 x 1 x−7 2) x − − − x− 2 3 2 4 3 12 x 1 1 x 12x x − 7 − + − x− 2 3 8 6 12 12 1 5x 1 11x + 7 + x− 2 24 6 12 1 11x + 7 5x − x− 48 12 12 1 11x + 7 43x − · 48 48 12 12 43x − 4 44x + 28 −x 32 / · (−1) x −32;

129

3


3)

1 x−6 x+1 x 2 −3 − x− 1− 4 2 3 2 6 x 2x 1 x+1 6−x+6 −3 − + 4 2 3 3 6 x+1 x 1 12 − x −3 − + 4 6 3 6 12 − x x+1 x + −1 4 2 6 12 − x x + 1 + 2x − 4 4 6 3x − 3 12 − x · 12 4 6 9x − 9 24 − 2x 11x 33 / : 11 x 3;

Zadatak 3.

1) 1 −

x x−3 2x + 1 < − ; 3 2 6

2)

x+1 x−1 2x + 1 − x− ; 4 3 6

x 5x + 1 2x − 3 3x + 1 x + 3 3 − 2x −1> − ; 4) 2x − − ; 4 3 6 3 4 6 x x−1 x−2 x−3 x−4 2x − 1 3x + 1 − <1− ; 6) − − <1− . 5) 3 4 12 2 3 4 8 x x−3 2x + 1 2x + 1 x+1 x−1 < − − x− 1) 1 − 2) ·6 · 12 3 2 6 4 3 6 6 − 4x − 2 < 2x + 3 3x + 3 − 4x + 4 12x − 4x − 2 1 1 −6x < −1 · − −9x −9 · − 6 9 1 x> ; x 1; 6 3 − 2x x 5x + 1 3) −1> − · 12 4 3 6 9 − 6x − 12 > 4x − 10x − 2

3)

Rjeˇsenje.

−3 > −2. Nejednadˇzba nema rjeˇsenja, ona je ekvivalentna netoˇcnoj nejednakosti −3 > −2 ; 2x − 3 3x + 1 x + 3 4) 2x − − · 12 3 4 6 24x − 8x + 12 9x + 3 − 2x − 6 1 9x −15 · 9 5 x− ; 3

130

3 x " 2x − 1 3x + 1 − < 1− · 12 3 4 12 8x − 4 − 9x − 3 < 12 − x −7 < 12; Rjeˇsenje nejednadˇzbe je svaki realni broj x , nejednadˇzba je ekvivalentna toˇcnoj nejednakosti −7 < 12 ; x−4 x−1 x−2 x−3 − − < 1− 6) · 24 2 3 4 8 12x − 12 − 8x + 16 − 6x + 18 < 24 − 3x + 12 5)

x < 14.

Zadatak 4.

(3x − 1)(3x + 1) 1 2x + 3 (2x − 1)2 − < − ; 4 9 3 12 1 1 (4x + 3)2 2) − 2x · + 2x > x − ; 3 3 4

1)

3) (x − 2)3 − (x + 2)3 < 2(1 − 2x)(1 + 3x) ; (2x − 1)3 (3x + 1)2 (x + 1)3 − < . 2 16 4 (2x − 1)2 (3x − 1)(3x + 1) 1 2x + 3 1) − < − · 36 4 9 3 12

4) Rjeˇsenje.

9(2x − 1)2 − 4(3x − 1)(3x + 1) < 12 − 3(2x + 3) 9(4x2 − 4x + 1) − 4(9x2 − 1) < 12 − 6x − 9 36x2 − 36x + 9 − 36x2 + 4 < 3 − 6x 1 −30x < −10 · − 30 1 x> ; 3 1 1 (4x + 3)2 − 2x · + 2x > x − 2) 3 3 4 2 4x − (4x + 3)2 1 − (2x)2 > 3 4 1 4x − 16x2 − 24x − 9 − 4x2 > · 36 9 4 4 − 144x2 > 9 · (−16x2 − 20x − 9) 4 − 144x2 > −144x2 − 180x − 81 4 > −180x − 81 1 180x > −85 · 180 17 x>− ; 36

131

3


3)

(x − 2)3 − (x + 2)3 < 2(1 − 2x)(1 + 3x) (x − 2 − x − 2)[(x − 2)2 + (x − 2)(x + 2) + (x + 2)2 ] < 2(1 + 3x − 2x − 6x2 ) −4(x2 − 4x + 4 + x2 − 4 + x2 + 4x + 4) < 2 + 2x − 12x2 −4(3x2 + 4) < 2 + 2x − 12x2

4)

−12x2 − 16 < 2 + 2x − 12x2 −16 < 2 + 2x 1 −18 < 2x · 2 x > −9; 3 3 (2x − 1) (3x + 1)2 (x + 1) − < · 16 2 16 4 8(x + 1)3 − (2x − 1)3 < 4(3x + 1)2 [2(x + 1)]3 − (2x − 1)3 < 4(9x2 + 6x + 1) (2x + 2)3 − (2x − 1)3 < 36x2 + 24x + 4

[(2x+2)−(2x−1)][(2x+2)2 +(2x+2)(2x−1)+(2x−1)2 ]<36x2 +24x+4 (2x+2−2x+1)(4x2 +8x+4+4x2 −2x+4x−2 + 4x2 −4x+1)<36x2 +24x+4 3 · (12x2 + 6x + 3) < 36x2 + 24x + 4 36x2 + 18x + 9 < 36x2 + 24x + 4 −6x < −5 5 x> ; 6

Zadatak 5.

1 Odredi najveći cijeli broj koji je rjeˇsenje nejednadˇzbe (2x+1)−0.2(3x+1) > 4 1 − . 3

Rjeˇsenje. 1 1 (2x + 1) − 0.2(3x + 1) > − 4 3 1 1 1 x + − 0.6 − 0.2 > − 2 4 3 1 1 1 −0.1x > − + − 4 5 3 23 x< 6 Najveći cijeli broj koji je rjeˇsenje nejednadˇzbe je x = 3 .

Zadatak 6.

132

Odredi najmanji cijeli broj koji je rjeˇsenje nejednadˇzbe 49.4 − 27 − 9x 47.4 − . 10

27 − x < 10

3 Rjeˇsenje. 27 − x 27 − 9x < 47.4 − 10 10 27 − x − 27 + 9x 2< 10 20 < 8x 5 x> 2

49.4 −

Najmanji cijeli broj koji je rjeˇsenje nejednadˇzbe je x = 3 .

Zadatak 7.

Uvjeri se da je svaki realni broj x rjeˇsenje nejednadˇzbe 3.5(x+1) > 4x−

x−1 . 2

Rjeˇsenje. x−1 / ·2 2 7x + 7 > 8x − x + 1

3.5(x + 1) > 4x − 6>0

Nejednadˇzba je ekvivalentna nejednakosti 6 > 0 pa je svaki realni broj x rjeˇsenje nejednadˇzbe.

Zadatak 8.

Nejednadˇzba

2x − 1 x x−1 − 1.2 > + nema rjeˇsenja. Provjeri ovu tvrdnju. 2 5 10

Rjeˇsenje. 2x − 1 x x−1 − 1.2 > + / · 10 2 5 10 5x − 5 − 12 > 4x − 2 + x 15 < 0 Nejednadˇzba je ekvivalentna nejednakosti 15 < 0 pa nejednadˇzba nema rjeˇsenja.


Zadatak 10.

Za koje je vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje jednadˇzbe mx + 3x = 5 pozitivan broj? 5 > 0 , m + 3 > 0 . Za m > −3 je m+3 rjeˇsenje jednadˇzbe mx + 3x = 5 pozitivan broj. mx + 3x = 5 , x(m + 3) = 5 , x =

mx − 3 = 2(x − m) Za koje je vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje jednadˇzbe 2 negativan broj?

133

3


Rjeˇsenje. mx − 3 = 2(x − m) / · 2 2 mx − 6 = 4x − 4m x(m − 4) = 6 − 4m 2(3 − 2m) < 0, m = 4 x= m−4 1◦ 3 − 2m < 0 i m − 4 > 0 2◦ 3 − 2m > 0 i m − 4 < 0 3 3 i m>4 m< i m<4 m> 2 2 3 m>4 m< 2 mx 3 − 3 = 2(x − m) je negativan broj. Za m < ili m > 4 rjeˇsenje jednadˇzbe 2 2

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Za koje vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje jednadˇzbe m−x 1− pripada intervalu −1, 1 ? 6

x+1 mx + 1 − = 2 3

mx + 1 x + 1 m−x − =1− / ·6 2 3 6 3mx + 3 − 2x − 2 = 6 − m + x x(3m − 3) = 5 − m 5−m x= 3(m − 1) 5−m < 1/ ·3 −1 < 3(m − 1) 5−m 5−m +3>0 i −3<0 m−1 m−1 5 − m + 3m − 3 5 − m − 3m + 3 >0 i <0 m−1 m−1 4(2 − m) 2(1 + m) >0 i <0 m−1 m−1 1+m 2−m >0 i <0 m−1 m−1 m−1 >0 i 1+m>0 i 2−m<0 m > 1 i m > −1 i m > 2 m−1 <0

m>2 i 1+m<0 i 2−m>0

m < 1 i m < −1 i m < 2 m < −1 x+1 m−x mx + 1 − = 1− Za m < −1 ili m > 2 rjeˇsenje jednadˇzbe 2 3 6 pripada intervalu −1, 1 .

134

3 Zadatak 12.

Marko kupuje raˇcunalo

Marko namjerava kupiti prijenosno raˇcunalo i pritom raspolaˇze s 3 600 kn gotovine. Na cijene izloˇzene u trgovini zaraˇcunava se porez na dodanu vrijednost (PDV) u iznosu od 25 %, a ako se plaća u gotovini cijena s pridodanim PDV-om umanjuje se za 10 %.

1) Moˇze li Marko kupiti prijenosno raˇcunalo na slici? 2) Moˇze li Marko kupiti i skuplje raˇcunalo? Koliku najviˇsu cijenu (bez PDV-a i popusta) moˇze “podnijeti” njegov dˇzep? 3) Koliko se na tu najviˇsu cijenu zaraˇcunava PDV-a, a koliki je popust za gotovinu? Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

1) Kad na cijenu od 3 000 kn dodamo 25 % poreza na dodanu vrijednost (PDV) bit c´ e to ukupno 3 750 kn. Oduzmemo li od toga 10 % popusta na gotovinsko plaćanje dobit cémo konaˇcnu cijenu 3 375 kn. Zakljuˇcujemo da Marko moˇze kupiti izloˇzeno prijenosno raˇcunalo uz uvjet da plaća gotovinom. 2) Iz c · 1.125 3 600 slijedi c 3200 , sˇ to znaˇci da Marko uz zadane uvjete moˇze kupiti i skuplje raˇcunalo, ali najviˇse ono s istaknutom cijenom od 3 200 kn. 3) Kad bi Marko kupio raˇcunalo po cijeni 3 200 kn na to bi morao dodati 25 % PDV-a sˇ to bi ukupno iznosilo 4 000 kn. Nakon popusta za gotovinsko plaćanje od 10 % dobije se 3 600 kn, a upravo s toliko novca Marko raspolaˇze. Pismeni ispit

Pismeni ispit sastojao se od 30 pitanja. Svaki toˇcan odgovor donosio je 2 boda. Za zadatak koji nije rijeˇsen oduziman je jedan bod. Ocjene su potom rasporedene prema sljedećoj skali: 20 – 30 bodova 31 – 40 bodova 41 – 50 bodova 51 – 60 bodova

dovoljan dobar vrlo dobar odliˇcan

1) Koju je ocjenu dobio uˇcenik/ uˇcenica koji/ koja je toˇcno rijeˇsio/ rijeˇsila 23 zadatka?

135

3


2) Koliko je zadataka toˇcno rijeˇsio uˇcenik/ uˇcenica koji/ koja je sakupio/ sakupila 39 bodova? 3) Koliko zadataka mora rijeˇsiti uˇcenik/ uˇcenica koji/ koja zˇ eli dobiti ocjenu vrlo dobar? 4) Moˇze li broj osvojenih bodova biti negativan? Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

Rjeˇsenje.


Zadatak 16.

136

1) Uˇcenik koji je rijeˇsio toˇcno 20 zadataka sakupio je ukupno 20·2+10·(−1) = 30 bodova, a to znaˇci da je dobio ocjenu dovoljan. 2) Iz jednadˇzbe 2x + (30 − x) · (−1) = 39 , gdje je x broj toˇcno rijeˇsenih zadataka, slijedi x = 23 . 3) Iz uvjeta 41 2x + (30 − x) · (−1) 50 slijedi 71 3x 80 pa zakljucˇ ujemo kako je za vrlo dobru ocjenu potrebno rijeˇsiti 24, 25 ili 26 zadataka. 4) Ako sa x oznaˇcimo broj toˇcno rijeˇsenih zadataka u ovom ispitu, tada je ukupan broj osvojenih bodova jednak 3x − 30 . Nakon rjeˇsavanja nejednadˇzbe 3x − 30 < 0 zakljuˇcit cémo da je za manje od 10 toˇcno rijeˇsenih zadataka ukupan broj bodova negativan. Najam automobila

Iznajmljivaˇc automobila nudi dvije mogućnosti najma automobila: 150 kn po danu i 0.5 kn po prijedenom kilometru ili 250 kn po danu bez dodatnog plaćanja po prijedenom kilometru. 1) Ako zˇ elite unajmiti automobil na 3 dana uz koji cé uvjet biti povoljnije da taj najam bude po prvoj tarifi? 2) Uz koji c´ e uvjet općenito iznajmljivanje po prvoj tarifi biti povoljnije nego po drugoj? 1) Ako je k broj prijedenih kilometara, onda je ukupan troˇsak po prvoj tarifi za trodnevni najam jednak 150 · 3 + 0.5k . Po drugoj tarifi troˇsak je jednak 250 · 3 i on ne ovisi o broju prijedenih kilometara. Iz uvjeta 150 · 3 + 0.5k < 250 · 3 slijedi 0.5k < 300 te je k < 600 km. Dakle, odabir prve tarife u trodnevnom najmu automobila povoljniji je ako se automobil uzima u najam za put kraći od 600 km. 2) Uzmimo da auto unajmljujemo na d dana pri cˇemu cémo prijeći k kilometara. Tada bi troˇsak po prvoj tarifi iznosio 150d + 0.5k , a po drugoj 250d . Iz uvjeta 150d + 0.5k < 250d slijedi k < 200d . S punim spremnikom u koji stane 55 litara goriva automobil moˇze prevaliti iz- 650 i 700 km. Koliki put taj automobil moˇze prijeći ako su u spremniku medu 33 litre goriva? - s punim spremniNeka je V obujam spremnika, d put koji automobil prijede 3 njegova obujma, tada kom. Dakle, 650 < d < 700 . Kako je 33 l goriva 5 3 imamo 390 < d < 420 . 5 Nina je u posjeti prijateljici u Kanadi i zˇ eli je iznenaditi kolaˇcem koji c´ e sama ispeći. Ali na sˇtednjaku su oznake u stupnjevima Fahrenheita. Nina zna da se biskvit peˇce na temperaturi od 180 ◦ C do 190 ◦ C i da su temperaturne skale u Fahrenheitovim stupnjevima (F ◦ ) i Celzijevim stupnjevima (C ◦ ) vezane 9 jednakosˇsc´ u F = C +32 . Procijenila je da bi pećnicu valjalo postaviti na 5 400 ◦ F . Je li donijela dobru odluku? U kojim granicama moˇze biti temperatura u pećnici kako bi se kolaˇc dobro ispekao?

3 Rjeˇsenje.

9 Iz 180 < C < 190 slijedi 356 < C +32 < 374 . Postoji opasnost da Nina 5 prepeˇce biskvit jer je 400 ◦ F temperatura iznad gornje dopustive granice.

Zadatak 17.

U poduzeću “Ured” koristili su se uslugama umnoˇzavanja kopiraonice “Preslik” u kojoj je cijena 15 lipa po stranici. No u “Uredu” su odluˇcili sˇtedjeti pa su nabavili svoj stroj za kopiranje cˇ ija je cijena 6300 kn, a preslika jedne stranice na tom stroju stoji 3 lipe. Koliko najmanje kopija trebaju napraviti u “Uredu” na svojem stroju kako bi im se isplatila nabavka? Ako do prvog servisa stroj izvuˇce 150 000 kopija, kolika je uˇsteda?

Rjeˇsenje.

Troˇsak kopiranja u “Uredu” za n kopija iznosi 0.03n + 6300 , a za isti broj kopija troˇsovi u “Presliku” iznosili bi 0.15n . Zahtjev 0.03n + 6300 < 0.15n ispunjen je za n > 52 500 . Ako bi se svih 150 000 kopija platilo “Presliku” to bi iznosilo 22 500 kn. A troˇskovi istog posla u “Uredu” stoje 10 800 kn pa je uˇstedeno 11 700 kn.

Zadatak 18.

Teta Inka se odluˇcila na dijetu kako bi smanjila svoju tjelesnu teˇzinu s 80 kg na 65 do najviˇse 68 kg. Dijeta koju je primijenila tjedno odnosi 75 dkg. Koliko tjedana teta Inka mora biti na dijeti kako bi ostvarila svoj cilj?

Rjeˇsenje.

Iz 65 80 − 0.75t 68 slijedi 12 0.75t 15 te je 16 t 20 . Teta Inka mora biti na dijeti najmanje 16, a najviˇse 20 tjedana kako bi ostvarila svoj cilj.

Zadatak 19.

- dva operatera. Kod prvoga Marija zˇ eli nabaviti mobitel i dvoumi se izmedu mjeseˇcna je pretplata 100 kn u sˇ to je ukljuˇceno 100 minuta razgovora, a svaka se dodatna minuta naplaćuje 25 lipa. Mjeseˇcna pretplata kod drugog je operatera - 100 minuta razgovora, a svaka se dodatna minuta 125 kn sˇ to ukljuˇcuje takoder naplaćuje 20 lipa. Ako se Marija odluˇci za drugog operatera koliko minuta razgovora smije obaviti kako bi mogla zakljuˇciti da je donijela dobru odluku?

Rjeˇsenje.

Neka je m broj minuta dodatnih razgovora. Tada mora biti 0.20m + 125 < 0.25 + 100 . Odatle slijedi m > 500 .

Zadatak 20.

Rijeˇsi sljedeće sustave nejednadˇzbi: # 10 − 4x > 3(1 − x) x 1) 3.5 + < 2x 4 ⎧ ⎪ ⎨ 0.3x + x > x + 1 6 2 3) x 2x − 5 ⎪ ⎩ −x> 3 2 ⎧ ⎪ ⎨ 4x − 3 − 0.1 > x 5 2 5) x 4−x ⎪ ⎩ > 2 3

# 2)

6 − 2x > 3(x − 3) x 0.5 − < x 2

⎧ ⎪ ⎨ x − x − 0.5 < 3x − 0.1 5 2 4) 2x − 1 x ⎪ ⎩ − 0.25 > 3 4 ⎧ ⎪ ⎨ 2x − 1 < 0.2x 3 6) x−1 x ⎪ ⎩ +2< 5 2

137

3


Rjeˇsenje.

1) Rijeˇsimo svaku nejednadˇzbu sustava posebno. x 10 − 4x > 3(1 − x) 3.5 + < 2x 4 35 x + < 2x 10 − 4x > 3 − 3x 10 4 7 x −x > −7 + < 2x / · 4 2 4 x<7 14 + x < 8x 14 < 7x x>2 Rjeˇsenje sustava presjek je skupova rjeˇsenja dvaju nejednadˇzbi koje cˇine sustav. To je interval x ∈ 2, 7 ;

2)

x
6 − 2x > 3(x − 3)

0.5 −

6 − 2x > 3x − 9 −5x > −15 / : (−5) x < 3;

1 < 3x 1 x> ; 3

x∈

( 1 ,3 ; 3

3) x+1 x > 6 2 3 x x+1 x+ > / · 30 10 6 2 9x + 5x > 15x + 15 −x > 15

0.3x +

2x − 5 x −x> /·6 3 2 4x − 10 − 6x > 3x

x < −15;

x ∈ −∞, −15 ;

138

−5x > 10 x < −2;

3 4) 2x − 1 − 0.25 > 3 2x − 1 1 − > 3 4

3x x − 0.5 < − 0.1 5 2 x − 12 3x 1 x− < − 5 2 10 3x 1 2x − 1 < − / · 10 x− 10 2 10 10x − 2x + 1 < 15x − 1 x−

8x − 4 − 3 > 3x 5x > 7 7 x> ; 5

−7x < −2 x>

2 ; 7

x∈

x 4 x / · 12 4

( 7 , +∞ ; 5

5) 4x − 3 x − 0.1 > 5 2 4x − 3 1 x − > / · 10 5 10 2 8x − 6 − 1 > 5x

4−x x > /·6 2 3 12 − 3x > 2x −5x > −12 12 x< ; 5

3x > 7 x>

7 ; 3

x∈

7 12 , 3 5

( ;

6) 2x − 1 < 0.2x 3 2x 1 − 1 < x / · 15 3 5 10x − 15 < 3x 7x < 15 15 ; x< 7

x−1 x +2< / · 10 5 2 2x − 2 + 20 < 5x −3x < −18 x > 6;

139

3


15 , a iz druge x > 6 . Sustav nema rjeˇsenja 7 15 jer ne postoji realni broj x koji je i veći od 6 i manji od . 7

Iz prve nejednadˇzbe slijedi x <

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

1 1) − x2 (x − 5) 0 ; 2

2) x(x − 1)2 > 0 ;

3) (3x − 2)(4x2 + 3) 0 ;

4) (x + 1)(x2 + 1) 0 ;

5)

−3 0; 2x + 5

6)

7)

−2 < 0; −x + 1

8)

x2

2 − 3x < 0; − 4x + 4

x2 + 1 0. 2x − 1

1 1) Za x = 0 , − x2 (x − 5) = 0 , pa je x = 0 jedno rjeˇsenje. Za x = 0 2 1 − x2 < 0 pa slijedi da mora biti (x − 5) 0 ., odnosno x 5 . Rjeˇsenje 2 polazne nejednadˇzbe je x 5 ili x = 0 ; 2) (x − 1)2 0 , pa je nejednadˇzba ekvivalentna sustavu nejednadˇzbi: x > 0, (x − 1)2 > 0. (x − 1)2 0 , za svaki x ∈ R , joˇs treba vrijediti (x − 1)2 = 0 , odnosno x = 1 . Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x > 0 , x = 1 ; 3) Zbog 4x2 + 3 > 0 za svaki x ∈ R nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe 3x − 2 0 . 3x − 2 0,

3x 2,

x

2 . 3

2 ; 3 4) Zbog x2 + 1 > 0 za svaki x ∈ R nejednadˇzba se svodi na rjeˇsvanje nejednadˇzbe x + 1 0 . Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x

x + 1 0,

x −1.

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x −1 ; 5) Zbog −3 < 0 nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe 2x + 5 < 0 . 2x + 5 < 0,

2x < −5,

5 x<− . 2

5 Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x < − ; 2 2 − 3x 6) Sredivanjem dobijemo < 0 ; (x − 2)2 je veći ili jednak 0 za svaki (x − 2)2 x ∈ R . U zadanoj nejednadˇzbi se nalazi u nazivniku pa mora biti razliˇcit od 0 , to jest x − 2 = 0 , x = 2 . Sada se rjeˇsavanje polazne nejednadˇzbe svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe 2 − 3x < 0 . 2 − 3x < 0,

140

−3x < −2,

x>

2 . 3

3 2 , x = 2 . 3 7) Zbog −2 < 0 nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe −x + 1 > 0 .

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x > −x + 1 > 0,

−x > −1,

x < 1.

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x < 1 ; 8) Zbog x2 +1 > 0 nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe 2x−1 > 0 . 2x − 1 > 0,

2x > 1,

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x >

Zadatak 22.

Rjeˇsenje.

x>

1 . 2

1 ; 2

1) (x − 1)(x − 2) > 0 ;

2) (2x − 1)(x + 5) 0 ;

3) (4x + 1)(1 − 3x) > 0 ;

4) (3x + 5)(4x + 7) 0 ;

5) (5x − 1)(2 − 7x) 0 ;

6) (4x − 3)(3x − 4) 0 .

1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. x − 1 > 0, x − 1 < 0, 1) ili 2) x − 2 > 0, x − 2 < 0. Rjeˇsenje sustava 1) je x > 2 , a sustava 2) x < 1 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe x < 1 ili x > 2 ; 2) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 2x − 1 0, 2x − 1 0, 1) ili 2) x + 5 0, x + 5 0. 1) 2x − 1 0 2x 1 1 x 2

x+50 x −5

2) 2x − 1 0 2x 1 1 x 2

x+50 x −5

1 Rjeˇsenje sustava 1) je −5 x , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 2 1 polazne nejednadˇzbe −5 x ; 2 3) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 4x + 1 > 0, 4x + 1 < 0, 1) ili 2) 1 − 3x > 0, 1 − 3x < 0. 1) 4x + 1 > 0

1 − 3x > 0 2) 4x + 1 < 0 1 − 3x < 0 1 1 1 1 x>− x< x<− x> 4 3 4 3 1 1 Rjeˇsenje sustava 1) je − < x < , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 4 3 1 1 polazne nejednadˇzbe − < x < ; 4 3 4) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 3x + 5 0, 3x + 5 0, 1) ili 2) 4x + 7 0, 4x + 7 0.

141

3


1) 3x + 5 0 5 x− 3

4x + 7 0

2) 3x + 5 0

7 x− ; 4

4x + 7 0

5 x− 3

7 x− ; 4

7 5 Rjeˇsenje sustava 1) je − x − , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 4 3 7 5 polazne nejednadˇzbe − x − ; 4 3 5) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 5x − 1 0, 5x − 1 0, 1) ili 2) 2 − 7x 0, 2 − 7x 0. 1) 5x − 1 0 1 x 5

2 − 7x 0 2) 5x − 1 0 2 − 7x 0 2 1 2 x ; x x ; 7 5 7 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x , a sustava 2) x , pa je rjeˇsenje polazne 5 7 2 1 nejednadˇzbe x ili x ; 5 7 6) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 4x − 3 0, 4x − 3 0, 1) ili 2) 3x − 4 0, 3x − 4 0. 1) 4x − 3 0 3 x 4

3x − 4 0 2) 4x − 3 0 3x − 4 0 4 3 4 x ; x x ; 3 4 3 3 4 Rjeˇsenje sustava 1) je x , a sustava 2) x , pa je rjeˇsenje polazne 3 4 3 4 nejednadˇzbe x ili x . 4 3

Zadatak 23.

1)

x−3 0; x+3

2x + 1 0; 3 − 5x −3x + 8 7) 0; 2x − 1 4)

Rjeˇsenje.

2)

2x + 1 0; 3x + 2

3x + 2 > 0; 2x − 5 1 − 2x 8) 0. 2x + 3 5)

3)

x < 0; 1 − 7x

6)

5 − 3x > 0; 3 − 5x

1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. x − 3 0, x − 3 0, 1) ili 2) x + 3 > 0, x + 3 < 0. 1) x − 3 0 x+3>0 2) x − 3 0 x+3<0 x3 x > −3; x3 x < −3; Rjeˇsenje sustava 1) je x 3 , a sustava 2) x < −3 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe x < −3 ili x 3 ; 2) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 2x + 1 0, 2x + 1 0, 1) ili 2) 3x + 2 > 0, 3x + 2 < 0.

142

3 1) 2x + 1 0 1 x− 2

3x + 2 > 0

2) 2x + 1 0

2 x>− ; 3

1 x− 2

3x + 2 < 0 2 x<− ; 3

1 2 Rjeˇsenje sustava 1) je − < x − , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 3 2 2 1 polazne nejednadˇzbe − < x − ; 3 2 3) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. x < 0, x > 0, 1) ili 2) 1 − 7x > 0, 1 − 7x < 0. 1) x < 0

1 − 7x > 0 1 x< ; 7

2) x > 0

1 − 7x < 0 1 x> ; 7 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < 0 , a sustava 2) x > , pa je rjeˇsenje polazne 7 1 nejednadˇzbe x < 0 ili x > ; 7 4) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 2x + 1 0, 2x + 1 0, 1) ili 2) 3 − 5x > 0, 3 − 5x < 0. 2) 2x + 1 0 3 − 5x < 0 3 − 5x > 0 3 1 3 x< ; x− x> ; 5 2 5 1 3 Rjeˇsenje sustava 1) je − x < , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 2 5 1 3 polazne nejednadˇzbe − x < ; 2 5 5) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 3x + 2 > 0, 3x + 2 < 0, 1) ili 2) 2x − 5 > 0, 2x − 5 < 0. 1) 2x + 1 0

1 x− 2

1) 3x + 2 > 0

2x − 5 > 0 2) 3x + 2 < 0 2x − 5 < 0 5 2 5 x> ; x<− x< ; 2 3 2 2 5 Rjeˇsenje sustava 1) je x > , a sustava 2) x < − , pa je rjeˇsenje polazne 2 3 2 5 nejednadˇzbe x < − ili x > ; 3 2 6) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 5 − 3x > 0, 5 − 3x < 0, 1) ili 2) 3 − 5x > 0, 3 − 5x < 0. 2 x>− 3

1) 5 − 3x > 0 5 x< 3

3 − 5x > 0 3 x< ; 5

2) 5 − 3x < 0 5 x> 3

3 − 5x < 0 3 x> ; 5

143

3


5 3 , a sustava 2) x > , pa je rjeˇsenje polazne 5 3 3 5 nejednadˇzbe x < ili x > ; 5 3 7) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. −3x + 8 0, −3x + 8 0, 1) ili 2) 2x − 1 > 0, 2x − 1 < 0.

Rjeˇsenje sustava 1) je x <

1) − 3x + 8 0 8 x 3

2x − 1 > 0 2) − 3x + 8 0 2x − 1 < 0 1 8 1 x> ; x x< ; 2 3 2 1 8 Rjeˇsenje sustava 1) je x , a sustava 2) x < , pa je rjeˇsenje polazne 3 2 1 8 nejednadˇzbe x < ili x ; 2 3 8) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. 1 − 2x 0, 1 − 2x 0, 1) ili 2) 2x + 3 > 0, 2x + 3 < 0. 1) 1 − 2x 0 1 x 2

2x + 3 > 0

2) 1 − 2x 0 2x + 3 < 0 3 1 3 x>− ; x x<− ; 2 2 2 1 3 Rjeˇsenje sustava 1) je x , a sustava 2) x < − , pa je rjeˇsenje polazne 2 2 1 3 nejednadˇzbe x < − ili x . 2 2

Zadatak 24.

Rjeˇsenje.

x > 1; x+1 3 3x + 1 < ; 3) 2x − 3 2 x2 + 6 5) 3; 2x − 1 x2 7) x + 1; x−1

1)

2x − 1 < 1; 2x + 1 x2 + 2 4) 1; 2x + 1 x2 6) 1; 2x − 1 x2 + 2x 8) x + 1. x+1 2)

1) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x −1>0 x+1 x − (x + 1) >0 x+1 x−x−1 >0 x+1 −1 > 0. x+1 Budući da je −1 < 0 mora biti x + 1 < 0 , x < −1 ;

144

3 2) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x − 1 −1<0 2x + 1 2x − 1 − (2x + 1) <0 2x + 1 2x − 1 − 2x − 1 <0 2x + 1 −2 < 0. 2x + 1 1 Budući da je −2 < 0 mora biti 2x + 1 > 0 , x > − ; 2 3) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 3x + 1 3 − 2x − 3 2 2(3x + 1) − 3(2x − 3) 2(2x − 3) 6x + 2 − 6x + 9 4x − 6 11 4x − 6

<0 <0 <0 < 0.

3 ; 2 4) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. Budući da je 11 > 0 mora biti 4x − 6 < 0 , x <

x2 + 2 −10 2x + 1 x2 + 2 − 2x − 1 0 2x + 1 x2 − 2x + 1 0 2x + 1 (x − 1)2 0. 2x + 1 Iz (x − 1)2 0 slijedi da je jedno od rjeˇsenja kada je (x − 1)2 = 0 , to 1 jest x = 1 , a za x = 1 mora biti 2x + 1 < 0 , x < − . Rjeˇsenje polazne 2 1 nejednadˇzbe je x < − ili x = 1 ; 2

145

3


5) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x2 + 6 −30 2x − 1 x2 + 6 − 6x + 3 0 2x − 1 x2 − 6x + 9 0 2x − 1 (x − 3)2 0. 2x − 1 Iz (x − 3)2 0 slijedi da je jedno od rjeˇsenja kada je (x − 3)2 = 0 , to jest 1 x = 3 , a za x = 3 mora biti 2x−1 < 0 , x < . Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe 2 1 je x < ili x = 3 ; 2 6) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x2 −10 2x − 1 x2 − 2x + 1 0 2x − 1 (x − 1)2 0. 2x − 1 (x − 1)2 jednak je nuli za x = 1 . Za x = 1 zbog (x − 1)2 > 0 , 2x − 1 1 u sˇ to ulazi i nejednadˇzba je veća od 0 kada je 2x − 1 > 0 , odnosno x > 2 1 rjeˇsenje x = 1 . Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x > ; 2 7) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli.

Izraz

x2 − (x + 1) 0 x−1 x2 − (x + 1)(x − 1) 0 x−1 x2 − x2 + 1 0 x−1 1 0. x−1 Budući da je 1 > 0 mora biti x − 1 < 0 , x < 1 ;

146

3 8) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x2 + 2x − (x + 1) 0 x+1 x2 + 2x − (x + 1)2 0 x+1 x2 + 2x − x2 − 2x − 1 0 x+1 −1 0. x+1 Budući da je −1 < 0 mora biti x + 1 > 0 , x > −1 .

Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

2x < 1; x+3 1 4) < 3; x+2

1)

x−1 2; 2x + 3 x+1 5) 1; 2x − 1 2)

x−2 1 < ; 2x + 5 2 2x − 1 3 6) < . x+3 2 3)

1) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x −1<0 x+3 2x − x − 3 <0 x+3 x−3 < 0. x+3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. x − 3 < 0, x < 3 x − 3 > 0, x > 3, 1) ili 2) x + 3 > 0, x > −3 x + 3 < 0, x < −3. Rjeˇsenje sustava 1) je −3 < x < 3 , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe −3 < x < 3 ; 2) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x−1 −20 2x + 3 x − 1 − 4x − 6 0 2x + 3 −3x − 7 0. 2x + 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ −3x − 7 0, x − 7 ⎨ −3x − 7 0, x − 7 3 3 1) ili 2) 3 3 ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 3 > 0, x > − ⎩ 2x + 3 < 0, x < − . 2 2 7 3 Sustav 1) nema rjeˇsenja, a rjeˇsenje sustava 2) je − x < − , pa je rjeˇsenje 3 2 7 3 polazne nejednadˇzbe − x < − ; 3 2

147

3


3) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1 x−2 − <0 2x + 5 2 2x − 4 − 2x − 5 <0 4x + 10 −9 < 0. 4x + 10 5 Budući da je −9 < 0 mora biti 4x + 10 > 0 , x > − ; 2 4) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1 −3<0 x+2 1 − 3x − 6 <0 x+2 −3x − 5 < 0. x+2 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # 5 5 −3x − 5 < 0, x > − −3x − 5 > 0, x < − 1) ili 2) 3 3 x + 2 > 0, x > −2 x + 2 < 0, x < −2. 5 Rjeˇsenje sustava 1) je x > − , a rjeˇsenje sustava 2) je x < −2 , pa je rjeˇsenje 3 5 polazne nejednadˇzbe x < −2 ili x > − ; 3 5) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 −10 2x − 1 x + 1 − 2x + 1 0 2x − 1 −x + 2 0. 2x − 1 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # −x + 2 0, x 2 −x + 2 0, x 2 1 1 1) ili 2) 2x − 1 > 0, x > 2x − 1 < 0, x < . 2 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x 2 , a rjeˇsenje sustava 2) je x < , pa je rjeˇsenje 2 1 polazne nejednadˇzbe x < ili x 2 ; 2 6) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x − 1 3 − <0 x+3 2 4x − 2 − 3x − 9 <0 2x + 6 x − 11 < 0. 2x + 6

148

3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. x − 11 < 0, x < 11 x − 11 > 0, x > 11 1) ili 2) 2x + 6 > 0, x > −3; 2x + 6 < 0, x < −3. Rjeˇsenje sustava 1) je −3 < x < 11 , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe −3 < x < 11 .

Zadatak 26.

Rjeˇsenje.

1 x−1 ; 2x − 1 3 2x − 1 4) 3; x+2

1)

x 2 ; 2x + 3 3 1−x 5) 1; 2x + 3 2)

x+1 2 ; x 3 x−1 2 6) . 2x − 1 3 3)

1) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1 x−1 − 0 2x − 1 3 3x − 3 − 2x + 1 0 2x − 1 x−2 0. 2x − 1 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # x − 2 0, x 2 x − 2 0, x 2 1 ili 2) 1 1) 2x − 1 > 0, x > 2x − 1 < 0, x < . 2 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je < x 2 , sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 2 1 polazne nejednadˇzbe < x 2 ; 2 2) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x 2 − 0 2x + 3 3 3x − 4x − 6 0 2x + 3 −x − 6 0. 2x + 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # −x − 6 0, x −6 −x − 6 0, x −6 3 3 1) ili 2) 2x + 3 > 0, x > − ; 2x + 3 < 0, x < − . 2 2 3 Sustav 1) nema rjeˇsenje, a rjeˇsenje sustava 2) je −6 x < − , pa je rjeˇsenje 2 3 polazne nejednadˇzbe −6 x < − ; 2

149

3


3) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 2 − 0 x 3 3x + 3 − 2x 0 3x x+3 0. 3x Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. x + 3 0, x −3 x + 3 0, x −3 1) ili 2) 3x > 0, x > 0; 3x < 0, x < 0. Rjeˇsenje sustava 1) je x > 0 , a sustava 2) je x −3 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe x −3 ili x > 0 ; 4) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x − 1 −30 x+2 2x − 1 − 3x − 6 0 x+2 −x − 7 0. x+2 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. −x − 7 0, x −7 −x − 7 0, x −7 ili 2) 1) x + 2 < 0, x < −2. x + 2 > 0, x > −2; Sustav 1) nema rjeˇsenje, a rjeˇsenje sustava 2) je −7 x < −2 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe −7 x < −2 ; 5) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1−x −10 2x + 3 1 − x − 2x − 3 0 2x + 3 −3x − 2 0. 2x + 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ −3x − 2 0, x − 2 ⎨ −3x − 2 0, x − 2 3 3 ili 2) 1) 3 3 ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 3 < 0, x < − . ⎩ 2x + 3 > 0, x > − ; 2 2 2 3 Rjeˇsenje sustava 1) je x − , a sustava 2) je x < − , pa je rjeˇsenje polazne 3 2 3 2 nejednadˇzbe x < − ili x − ; 2 3

150

3 6) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2 x−1 − 0 2x − 1 3 3x − 3 − 3 − 4x + 2 0 6x − 3 −x − 1 0. 6x − 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # −x − 1 0, x −1 −x − 1 0, x −1 1 1 1) ili 2) 6x − 3 > 0, x > ; 6x − 3 < 0, x < . 2 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x > , a sustava 2) je x −1 , pa je rjeˇsenje polazne 2 1 nejednadˇzbe x −1 ili x > . 2

Zadatak 27.

1) (1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x) > 0 ; 3)

Rjeˇsenje.

x−1 < 0; (x + 2)(x + 3)

2) (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) < 0 ; 4)

(x + 1)(x + 2) > 0. x−3

ˇ 1) Cetiri su mogućnosti ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − x > 0, x < 1 1 − x < 0, x > 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 1) 2) 1 − 2x > 0, x < 1 − 2x < 0, x > ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ 1 − 3x > 0, x < ; ⎩ 1 − 3x > 0, x < ; 3 3 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − x > 0, x < 1 1 − x < 0, x > 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 4) 3) 1 − 2x < 0, x > 1 − 2x > 0, x < ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 − 3x < 0, x > 1 ; ⎩ 1 − 3x < 0, x > 1 ; 3 3 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < , sustav 2) nema rjeˇsenja, sustav 3) nema rjeˇsenja, 3 1 a rjeˇsenje sustava 4) je < x < 1 . Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja sustava 2 1 1 1)–4), to jest x < ili < x < 1 ; 3 2 ˇ 2) Cetiri su mogućnosti ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 2 ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 1) 2) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 < 0, x < − ; ⎩ 4x + 1 > 0, x > − 1 ; 4 4

151

3


⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 > 0, x > − 2x + 1 > 0, x < − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 3) 4) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 > 0, x > − ; ⎩ 4x + 1 < 0, x > − 1 ; 4 4 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < , sustav 2) nema rjeˇsenja, rjeˇsenje sustava 3) je 2 1 1 − < x < − , a sustav 4) nema rjeˇsenja. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja 4 3 1 1 1 sustava 1)–4), to jest x < − ili − < x < − ; 2 3 4 ˇ 3) Cetiri su mogućnosti # # x − 1 < 0, x < 1 x − 1 < 0, x < 1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 1) 2) x + 3 < 0, x < −3; x + 3 > 0, x > −3; # # x − 1 > 0, x > 1 x − 1 > 0, x < 1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 3) 4) x + 3 > 0, x > −3; x + 3 < 0, x > −3; Rjeˇsenje sustava 1) je x < −3 , a sustava 2) −2 < x < 1 , sustavi 3) i 4) nemaju rjeˇsenja. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest x < −3 ili −2 < x < 1 ; ˇ 4) Cetiri su mogućnosti ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 1 ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 1) 2) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 < 0, x < − ; ⎩ 4x + 1 > 0, x > − 1 ; 4 4 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 > 0, x > − 2x + 1 > 0, x < − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 3) 4) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 > 0, x > − ; ⎩ 4x + 1 < 0, x > − 1 ; 4 4 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < , sustav 2) nema rjeˇsenja, rjeˇsenje sustava 3) je 2 1 1 − < x < − , a sustav 4) nema rjeˇsenja. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja 4 3 1 1 1 sustava 1)–4), to jest x < − ili − < x < − ; 2 3 4 ˇ 3) Cetiri su mogućnosti # # x + 1 < 0, x < −1 x + 1 < 0, x < −1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 1) 2) x − 3 < 0, x < 3; x − 3 > 0, x > 3; # # x + 1 > 0, x > −1 x + 1 > 0, x < −1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 3) 4) x − 3 > 0, x > 3; x − 3 < 0, x > 3;

152

3 Rjeˇsenje sustava 1) je x > 3 , sustav 2) nema rjeˇsenje, rjeˇsenje sustava 3) je −2 < x < −1 , a sustav 4) nema rjeˇsenje. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest −2 < x < −1 ili x > 3 .

Zadatak 28.

Rijeˇsi sustave nejednadˇzbi: x−1 0; 3 x−1 3) −1 < < 1; x+1

1) −1

Rjeˇsenje.

1)

2x − 1 2; 2 1 2x + 3 1 4) < . 3 3x − 4 2 2) 1 <

2) x−1 0/ ·3 −1 3 −3 x − 1 0

x − 1 −3 x −2

i x−1<0 i x<1

−2 x 1 3)

2x − 1 2/ ·2 2 2 < 2x − 1 4

1<

2x − 1 > 2 i 2x − 1 4 3 5 x> i x 2 2 5 3
x−1 <1 x+1 x−1 x−1 +1>0 i −1<0 x+1 x+1 2x 2 >0 i − <0 x+1 x+1 x + 1 > 0 =⇒ x > 0 4) 1 2x + 3 1 < 3 3x − 4 2 2x + 3 1 2x + 3 1 − 0 i − <0 3x − 4 3 3x − 4 2 6x + 9 − 3x + 4 4x + 6 − 3x + 4 0 i <0 3(3x − 4) 2(3x − 4) 3x + 13 x + 10 0 i <0 3(3x − 4) 2(3x − 4) 3x − 4 > 0 i 3x + 13 0 i x + 10 < 0 4 13 x> i x− i x < −10 nema zajedniˇckog rjeˇsenja 3 3 3x − 4 < 0 i 3x + 13 0 i x + 10 > 0 13 4 i x− i x > −10 x< 3 3 13 −10 < x − 3 −1 <

153

3


Zadatak 29.

Rjeˇsenje.

Rijeˇsi sljedeće sustave nejednadˇzbi: ⎧ x+1 ⎪ ⎪ >1−x ⎨ x 1) 1 x ⎪ ⎪ < ⎩ 1+ x−1 (x − 1)2 ⎧ x+1 x ⎪ < ⎨ x x + 1 3) 1 ⎪ ⎩ 4x + 1 + <2 4x + 1

⎧ 1 x ⎪ ⎨ 1− > x x+1 2) 1 1 ⎪ ⎩ < x−1 x+1 ⎧ 1 x ⎪ < ⎨ 1− 2 x − 1 x + 1 4) x 1 ⎪ ⎩ x+1< − 0.25 + 1−x 4

1) Svaku pojedinu nejednadˇzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 1 x −1+x>0 1+ − <0 x x − 1 (x − 1)2 x−1+x−1−x x + 1 − x + x2 >0 <0 x (x − 1)2 x−2 x2 + 1 >0 <0 x (x − 1)2 Dobili smo sustav ⎧ x2 + 1 ⎪ ⎪ ⎨ >0 x ⎪ x−2 ⎪ ⎩ <0 (x − 1)2 Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe sustava, zbog x2 + 1 > 0 , je x > 0 , a druge, zbog (x − 1)2 > 0 za x = 1 , je x < 2 , x = 1 . Rjeˇsenje polaznog sustava je presjek ovih rjeˇsenja, to jest 0 < x < 2 ali x = 1 ; 2) Svaku pojedinu nejednadˇzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x 1 1 1 >0 − <0 1− − x x+1 x−1 x+1 x2 + x − x − 1 − x2 x+1−x+1 >0 <0 x(x + 1) (x − 1)(x + 1) −1 2 >0 <0 x(x + 1) (x − 1)(x + 1) Dobili smo sustav ⎧ −1 ⎪ ⎪ >0 ⎨ x(x + 1) ⎪ 2 ⎪ ⎩ <0 (x − 1)(x + 1) Zbog −1 < 0 , 2 > 0 sustav je ekvivalentan uniji dvaju sustava nejednadˇzbi # # x + 1 < 0, x < −1 x + 1 > 0 x > −1 x>0 x<0 ili x − 1 > 0, x > 1; x − 1 < 0, x < 1; Rjeˇsenje sustava je −1 < x < 0

154

3 3) Svaku pojedinu nejednadˇzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 x 1 − <0 4x + 1 + −2<0 x x+1 4x + 1 (x + 1)2 − x2 (4x + 1)2 + 1 − 2(4x + 1) <0 <0 x(x + 1) 4x + 1 (x + 1 − x)(x + 1 + x) (4x + 1 − 1)2 <0 <0 x(x + 1) 4x + 1 2x + 1 4x2 <0 <0 x(x + 1) 4x + 1 Dobili smo sustav ⎧ 2x + 1 ⎪ ⎪ ⎨ <0 x(x + 1) 2 ⎪ ⎪ ⎩ 4x < 0 4x + 1 Sustav je ekvivalentan uniji sustava nejednadˇzbi ⎧ ⎧ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 < 0 x < − 2x + 1 < 0 x < − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎨ ⎨ x<0 x>0 1) 2) x + 1 < 0, x < −1 x + 1 > 0, x > −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 < 0, x < − ; ⎩ 4x + 1 < 0, x < − 1 ; 4 4 ⎧ ⎧ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 > 0 x > − ⎪ 2x + 1 > 0 x > − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎨ ⎨ x<0 x>0 3) 4) x + 1 > 0, x > −1 x + 1 < 0, x < −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 < 0, x < − 1 ; ⎩ 4x + 1 < 0, x < − 1 ; 4 4 Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest x < −1 ili 1 1 −
<0 <0 <0 <0 <0

1 1−x + 1−x 4 4(1 + x)(1 − x) − 4 + (1 − x)2 4(1 − x) 2 4 − 4x − 4 + 1 − 2x + x2 4(1 − x) −3x2 − 2x + 1 4(1 − x) −3x(x + 1) + (x + 1) 4(1 − x) (1 + x)(1 − 3x) 4(1 − x) x+1−

<0 <0 <0 <0 <0 <0

155

3


Dobili smo sustav

⎧ ⎪ ⎪ ⎨

1 <0 (1 − x)(1 + x) ⎪ ⎪ ⎩ (1 + x)(1 − 3x) < 0 4(1 − x) Sustav je ekvivalentan uniji sustava nejednadˇzbi ⎧ ⎧ ⎪ 1−x<0 x>1 ⎪ ⎨ ⎨ 1−x>0 x <1 1 + x > 0, x > −1 1 + x < 0, x < −1 1) 2) 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ 1 − 3x > 0, x < ; ⎩ 1 − 3x > 0, x < ; 3 3 Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1) i 2), to jest x < −1 .

Zadatak 30.

Rjeˇsenje.

1)

x2 − 4 0; x3 − x2 + 4x − 4

2)

3)

x4 + 3x3 + 3x2 + 9x > 0; x3 − x2

4)

4x2 − 1 < 0; x3 − 4x2 + x − 4 3x4

3x3 + x2 0. − x3 + 9x2 − 3x

1) Sredimo nejednadˇzbu x2 − 4 0 x3 − x2 + 4x − 4 (x − 2)(x + 2) 0 x2 (x − 1) + 4(x − 1) (x − 2)(x + 2) 0 (x − 1) (x2 + 4) ) *+ , >0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: # # x − 2 0, x 2 x − 2 0, x 2 x + 2 0, x −2 x + 2 0, x −2 2) 1) x − 1 < 0, x < 1; x − 1 > 0, x > 1; # # x − 2 0, x 2 x − 2 0, x 2 x + 2 0, x −2 x + 2 0, x −2 3) 4) x − 1 > 0, x > 1; x − 1 < 0, x < 1; Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest −2 x < 1 ili x 2 ; 2) Sredimo nejednadˇzbu 4x2 − 1 <0 x3 − 4x2 + x − 4 (2x − 1)(2x + 1) <0 x(x2 + 1) − 4(x2 + 1) (2x − 1)(2x + 1) <0 (x − 4) (x2 + 1) ) *+ , >0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi:

156

3 ⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2x − 1 < 0, x < ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ 1 1) 2x + 1 < 0, x < − ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − 4 < 0, x < 4; ⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2x − 1 > 0, x > ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ 1 3) 2x + 1 < 0, x < − ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − 4 > 0, x > 4;

⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2x − 1 < 0, x < ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ 1 2) 2x + 1 > 0, x > − ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − 4 > 0, x > 4; ⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2x − 1 > 0, x > ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ 1 4) 2x + 1 > 0, x > − ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − 4 < 0, x < 4;

1 Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest x < − ili 2 1 < x < 4; 2 3) Sredimo nejednadˇzbu x4 + 3x3 + 3x2 + 9x >0 x3 − x2 x[x2 (x + 3) + 3(x + 3)] >0 x2 (x − 1) >0

+ ,) * (x + 3) (x2 + 3) >0 x(x − 1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: # # x + 3 > 0, x > −3 x + 3 > 0, x > −3 x > 0, x < 0, 1) 2) x − 1 > 0, x > 1; x − 1 < 0, x < 1; # # x + 3 < 0, x < −3 x + 3 < 0, x < −3 x > 0, x < 0, 4) 3) x − 1 < 0, x < 1; x − 1 > 0, x > 1; Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest −3 < x < 0 ili x > 1 ; 4) Sredimo nejednadˇzbu 3x3 + x2 >0 3x4 − x3 + 9x2 − 3x x2 (3x + 1) >0 x[x2 (3x − 1) + 3(3x − 1)] x(3x + 1) >0 (3x − 1) (x2 + 3) ) *+ , >0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi:

157

3


⎧ x 0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1 0, 1) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 < 0, ⎧ x 0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1 0, 3) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 > 0,

1 x− 3 1 x< ; 3 1 x− 3 1 x> ; 3

⎧ x 0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1 0, 2) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 > 0, ⎧ x 0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1 0, 4) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 < 0,

1 x− 3 1 x> ; 3 1 x− 3 1 x< ; 3

1 Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest x − ili 3 1 0
Zadatak 31.

Rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) 3) 5) 7) 9)

Rjeˇsenje.

x2 + 1 1 x − 2 > ; x+1 x −1 2 2x + 1 x−3 ; x+3 2x − 1 1 x <1− ; x−1 x+1 1 x−1 x+1 − < 2 ; x x2 + x x −x 2 x+2 1 + 2 ; x2 + 2x x − 2 x − 2x

x−2 1 ; 2 (x − 1) x−1 x+1 x+2 ; x+2 x+3 x+1 x 1− ; x−1 x+1 2x − 3 1 3 > − ; 4x2 + 6x 2x 2x2 − 3x 2 2x − 1 1− . 2x + 1 x

2) 1 − 4) 6) 8) 10)

1) Sredimo nejednadˇzbu x x2 + 1 1 − 2 − x+1 x −1 2 2x2 − 2x − 2x2 − 2 − x2 + 1 2(x2 − 1) −x2 − 2x − 1 2(x2 − 1) −(x + 1)2 2(x2 − 1)

>0 >0 >0 >0

−(x + 1)2 > 0 , cˇije je rje2(x2 − 1) sˇ enje svaki realni broj x za koji vrijedi x2 − 1 < 0 , to jest svaki realni broj x , −1 < x < 1 ; Zadana nejednadˇzba je ekvivalentna nejednadˇzbi

158

3 2) Sredimo nejednadˇzbu 1 x−2 − (x − 1)2 x−1 x2 − 2x + 1 − x + 2 − x + 1 (x − 1)2 x2 − 4x + 4 (x − 1)2 (x − 2)2 (x − 1)2 1−

Nejednadˇzba je ekvivalentna nejednadˇzbi svaki realni broj x , x = 1 ; 3) Sredimo nejednadˇzbu

0 0 0 0

(x − 2)2 0 , pa je njezino rjeˇsenje (x − 1)2

x−3 2x + 1 − 0 x+3 2x − 1 4x2 − 1 − x2 + 9 0 (2x − 1)(x + 3) >0

+ ,) * 3x2 + 8 0 (2x − 1)(x + 3) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨ 2x − 1 > 0, x > ⎨ 2x − 1 < 0, x < 1 2 2 1) 2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + 3 > 0, x > −3; ⎩ x + 3 < 0, x < −3; 1 ; jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ; 2 4) Sredimo nejednadˇzbu x < −3 ili x >

x+1 x+2 − 0 x+2 x+3 x2 + 4x + 3 − x2 − 4x − 4 0 (x + 2)(x + 3) <0

+,)* −1 0 (x + 2)(x + 3) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: x + 2 > 0, x > −2 x + 2 < 0, x < −2 1) 2) x + 3 > 0, x > −3; x + 3 < 0, x < −3; x < −3 ili x > −2 , jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ;

159

3


5) Sredimo nejednadˇzbu x 1 −1− <0 x−1 x+1 x2 + x − x2 + 1 − x + 1 <0 (x − 1)(x + 1) >0

+,)* 2 <0 (x − 1)(x + 1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: # # x < 0, x < 0, x − 1 < 0, x < 1 x − 1 > 0, x > 1 1) 2) x + 1 < 0, x < −1; x + 1 > 0, x > −1; # # x > 0, x > 0, x − 1 < 0, x < 1 x − 1 > 0, x > 1 4) 3) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1; x < −1 ili 0 < x < 1 ; 6) Sredimo nejednadˇzbu x x+1 −1+ <0 x−1 x+1 x2 + 2x + 1 − x2 + 1 + x2 − x <0 (x − 1)(x + 1) >0

+ ,) * x2 + x + 2 <0 (x − 1)(x + 1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: x − 1 > 0, x > 1 x − 1 < 0, x < 1 1) 2) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1; Slijedi x < −1 ili x > 1 . Jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ; 7) Sredimo nejednadˇzbu 1 x−1 x+1 − 2 − 2 <0 x x +x x −x x2 − 1 − x2 + 2x − 1 − x2 − 2x − 1 <0 x(x − 1)(x + 1) <0

+ ,) * −(x2 + 3) <0 x(x − 1)(x + 1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: # # x > 0, x > 0, x − 1 > 0, x > 1 x − 1 < 0, x < 1 1) 2) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1; # # x < 0, x < 0, x − 1 < 0, x < 1 x − 1 > 0, x > 1 4) 3) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1;

160

3 −1 < x < 0 ili x > 1 ; 8) Sredimo nejednadˇzbu 1 3 2x − 3 − + >0 4x2 + 6x 2x 2x2 − 3x 4x2 − 12x + 9 − 4x2 + 9 + 12x + 18 <0 2x(2x + 3)(2x − 3) >0

+,)* 36 <0 2x(2x + 3)(2x − 3) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: ⎧ ⎧ x < 0, x < 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 3 2x + 3 < 0, x < − 2x + 3 > 0, 1) 2) 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ 2x − 3 < 0, x < ; ⎩ 2x − 3 > 0, 2 ⎧ ⎧ x > 0, x > 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 3 2x + 3 > 0, 2x + 3 < 0, x < − 4) 3) 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎩ 2x − 3 > 0, x > ; 2x − 3 < 0, 2 3 3 − < x < 0 ili x > ; 2 2 9) Sredimo nejednadˇzbu 1 2 x+2 + − x(x + 2) x − 2 x(x − 2) x − 2 + 2x2 + 4x − x2 − 4x − 4 x(x + 2)(x − 2) x2 + x − 6 x(x + 2)(x − 2) x2 − 4 + x − 2 x(x + 2)(x − 2) (x − 2)(x + 2) + (x − 2) x(x + 2)(x − 2) (x − 2)(x + 3) x(x + 2)(x − 2) x+3 x(x + 2)

3 x>− 2 3 x> ; 2 3 x>− 2 3 x< ; 2

0 0 0 0 0 0 (x = 2) 0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: # # x > 0, x > 0, x + 3 0, x −3 x + 3 0, x −3 1) 2) x + 2 > 0, x > −2; x + 2 < 0, x < −2; # # x < 0, x < 0, x + 3 0, x −3 x + 3 0, x −3 3) 4) x + 2 > 0, x > −2; x + 2 < 0, x < −2; Rjeˇsenje je svaki realni broj x , −3 x < −2 ili x > 0 i x = 2 ;

161

3


10) Sredimo nejednadˇzbu 2x − 1 2 − 2x + 1 x 2x2 + x − 2x − 4x2 + 1 x(2x + 1) −2x2 + x + 1 x(2x + 1) 1 − x2 − x2 + x x(2x + 1) (1 − x)(1 + x) − x(1 − x) x(2x + 1) 1−x x(2x + 1) 1−

0 0 0 0 0 0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ x < 0, ⎨ x < 0, 1 − x 0, x 1 1 − x 0, x 1 1) 2) 1 ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 1 < 0, x < − ; ⎩ 2x + 1 > 0, x > − 1 ; 2 2 ⎧ ⎧ x > 0, x > 0, ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 − x 0, x 1 1 − x 0, x 1 3) 4) ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 1 > 0, x > − 1 ; ⎩ 2x + 1 < 0, x < − 1 ; 2 2 1 1 x −1 ili − < x < 0 ili x . 2 2


Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 1) a = −2 , b = −3 ; √ √ 3) a = 1 − 2 , b = 1 + 2 .

Rjeˇsenje.

162

a|b| − b|a| za: |a| − |b| 2 1 2) a = − , b = ; 2 3

−2 · 3 + 3 · 2 0 −2| − 3| − (−3)| − 2| = = = 0; | − 2| − | − 3| 2−3 −1 - 1 -2- 2 - 11 2 2 1 2 − -- -- − --− -− · − · − 2 3 3 2 2 3 3 2 3 - - 2) = = = 4; - 1- -21 2 1 -− - − - − − - 2- -32 3 6 √ √ √ √ √ √ √ √ (1− 2)|1+ 2|−(1+ 2)|1− 2| (1− 2)(1+ 2)−(1+ 2)( 2−1) √ √ √ √ 3) = |1− 2|−|1+ 2| 2−1−1− 2 1−2−2+1 = = 1. −2 1)

3 Zadatak 2.

Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza a|a − b| − b|a + b| za: |a − b| − |a + b| 1) a = −1 , b = −3 ; √ √ 3) a = 2 , b = − 3 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 3.

Rjeˇsenje.

2 1 2) a = − , b = − ; 2 3 √ √ √ √ 4) a = 2 − 3 , b = 2 + 3 .

(−1) · 2 + 3 · 4 −10 (−1)| − 1 − (−3)| − (−3)| − 1 + (−3)| = = = 5; | − 1 − (−3)| − | − 1 + (−3)| 2−4 −2 - 1 -- 1 2 2 -- 1 2 1 1 2 7 − − − − -- − − − + − -− · + · 2 2 3 3 2 3 - 2) = 2 6 3 6 - 1 - - 1 1 7 2 2 -− − − - − -− + − − - 2 6 6 3 2 3 1 14 − + 14 1 28 − 3 25 12 18 = = − = = ; −1 18 12 - 36 36 √ --√ √ -√ √ -√ -√ √ √ √ √ √ 2 - 2 − (− 3)- − (− 3) - 2 + (− 3)2( 2 + 3) + 3( 3 − 2) -√ √ √ √ √ 3) = √ -- --√ √ -2+ 3− 3+ 2 - 2 − (− 3)- − - 2 + (− 3)√ √ √ 2+ 6+3− 6 5 5 2 √ = = √ = 4 2 -2 2 2 √ √ √ -√ √ √ √ -√ -- √ √ √ √ -( 2 − 3) -( 2 − 3) − ( 2 + 3)- − ( 2 + 3) -( 2 − 3) + ( 2 + 3)-√ 4) √ √ √ √ -- -- √ √ √ --( 2 − 3) − ( 2 + 3)- − -( 2 − 3) + ( 2 + 3)√ √ √ √ √ √ √ √ 2 6−6−4−2 6 −5 ( 2 − 3) · 2 3 − ( 2 + 3) · 2 2 √ √ √ √ √ = = √ = 2( 3 − 2) 3− 2 √ 2 3−2 2 √ √ √ −5( 3 + 2) = = −5( 3 + 2) . 1 1)

Koliko je: -6 8√ 2) |1 − 2| ; 1) - − -- ; 7 9 √ √ ˙ ; 3) | 2 − 1.414| ; 4) | 6 − 2.4˙ 5| √ √ √ √ 5) |1 + 2 − 5| ; 6) |1 − 2 − 5| ? -6 8- 8 6 1) - − -- = − , jer je 6 · 9 < 7 · 8 ; 7 9 9 7 √ √ √ 2) |1 − 2| = 2 − 1 , jer je 1 < 2 ; √ √ √ 3) | 2 − 1.414| = 2 − 1.414 , jer je 2 > 1.414 ; √ √ √ ˙ = 2.4˙ 5˙ − 6 ; 4) 6 ≈ 2.449 < 2.4˙ 5˙ , te je stoga | 6 − 2.4˙ 5| √ √ √ √ 5) |1 + 2 − 5| = 1 + 2 − 5 ; √ √ √ √ 6) |1 − 2 − 5| = −1 + 2 + 5 .

163

3


Zadatak 4.

Izraˇcunaj: √ √ |x − 1| − |y + 1| , za x = 2, y = − 3 ; |x + y| √ √ |a−b| − |a+b| , za a=2− 2, b=3− 3 . 2) |a+b−1| √ √ √ √ √ √ −( 3 − 2) 2 − 1 − ( 3 − 1) | 2 − 1| − | − 3 + 1| √ √ √ √ √ = = √ = −1 ; 1) | 2 + − 3| 3− 2 3− 2 √ √ √ √ √ √ √ √ |2− 2−(3− 3)|−|2− 2+(3− 3)| |2− 2−3 + 3|−|2− 2 + 3− 3| √ √ √ √ 2) = |2− 3)−1|√ 3−1| √ √ 2+(3− √ |2−√2 + 3− √ √ √ | − 1 − 2 + 3| − |5 − 2 − 3| 1 + 2 − 3 − (5 − 2 − 3) √ √ √ √ = = |4 − 2 − 3| 4− 2− 3 √ √ √ √ √ 2 2−4 1+ 2− 3−5+ 2+ 3 √ √ √ √ . = = 4− 2− 3 4− 2− 3 1)

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Izraˇcunaj: .√ .√ √ √ ( 2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 ; 1) .√ √ .√ . √ (1− 2)2 − ( 2− 3)2 − ( 3−2)2 ; 2) .√ . √ . √ (1− 2)2 − ( 2−2)2 + (2 2−3)2 . 3) .√ .√ -√ √ √ √ -- --√ √ -1) ( 2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 = - 2 − 3- − - 3 − 2√ √ √ √ = 3 − 2 − ( 3 − 2) = 0 ; . .√ .√ √ √ 2) (1 − 2)2 − ( 2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 √ -- --√ √ -- --√ = -1 − 2- − - 2 − 3- − - 3 − 2√ √ √ √ √ √ √ √ √ = 2−1−( 3− 2)−(2− 3) = 2−1− 3+ 2−2+ 3 = 2 2−3 ; .√ . √ . √ 3) (1 − 2)2 − ( 2 − 2)2 + (2 2 − 3)2 - - √ - √ √ -- --√ √ √ - = -1 − 2- − - 2 − 2- + -2 2 − 3- = 2 − 1 − (2 − 2) + 3 − 2 2 √ √ √ = 2 − 1 − 2 + 2 + 3 − 2 2 = 0. Izraˇcunaj:

√ 1) ||x| − 1| za x = 1 − 2 ; √ √ 2) ||x − 2| − 2| za x = 2 ; 3) |||x − 1| − 2| − 3| za x = π ; √ 4) |1 − |1 − |1 − x||| za x = 2 ;

√ 3; √ 6) |x − 1| + |x − 2| − |x − 3| za x = 5 . - -√ - -√ √ √ - - 1) -|1 − 2| − 1- = - 2 − 1 − 1- = - 2 − 2- = 2 − 2 ; 5) |x − 3| − |x − 2| − |x − 1| za x =

Rjeˇsenje.

164

3 -√ √ -- -√ -- -√ √ √ -2) -| 2 − 2| − 2- = -2 − 2 − 2- = -2 − 2 2- = 2 2 − 2 ; 3) |||π − 1| − 2| − 3| = ||π − 1 − 2| − 3| = |π − 3 − 3| = 6 − π ; -- √ √ ---- -√ ------ -√ --- 4) -1 − -1 − -1 − 2--- = -1 − -1 − ( 2 − 1)-- = -1 − -2 − 2-- = -1 − 2 + 2√ = -√ 2 −-1 ; -√ - -√ √ √ √ - - 5) - 3 − 3- − - 3 − 2- − - 3 − 1- = 3 − 3 − (2 − 3) − ( 3 − 1) √ √ √ √ = 3 − 3 − 2 + 3 − 3 + 1 = 2 − - -√ - -√ - √ 3; -√ √ √ - - 6) - 5 − 1- + - 5 − 2- − - 5 − 3- = 5 − 1 + 5 − 2 − (3 − 5) √ √ √ = 2 5 − 3 − 3 + 5 = 3 5 − 6.

Zadatak 7.

Koliko je: 1) |x − 1| za x > 1 ; 1 3) |2x + 1| za − < x < 0 ; 2 5) |3x + 2| za x < −1 ?

2) |2 − x| za x < 2 ; 3 4) |3 − 2x| za x > ; 2

Rjeˇsenje.

1) x − 1 ;

4) 2x − 3 ;

Zadatak 8.

Koliko je:

2) 2 − x ;

3) 2x + 1 ;

5) −3x − 2 .

1) |x − 1| + |x + 2| za −2 < x < 1 ; 1 2) |3 − x| − |1 − 2x| za x < ; 2 3) |x − 2| − |2x + 3| , ako je −1 < x < 1 ; 4) |3x + 2| − |1 − 4x| , ako je x < −1 ; 5) |3x + 4| − |2 − 3x| za x ∈ −3, −2 ; 6) |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| za −3 < x < −2 ? Rjeˇsenje.

1) | )x *+ − 1, | + | )x *+ + 2, | = 1 − x + x + 2 = 3 ; <0

>0

2) | 3 − x | − | 1 − 2x | = 3 − x − 1 + 2x = x + 2 ; ) *+ , ) *+ , >0

>0

3) | )x *+ − 2, | − | )2x*+ + 3, | = 2 − x − 2x − 3 = −3x − 1 ; <0

>0

4) | 3x + 2 | − | 1 − 4x | = −3x − 2 − 1 + 4x = x − 3 ; ) *+ , ) *+ , <0

>0

5) | )3x*+ + 4, | − | 2 − 3x | = −3x − 4 − 2 + 3x = −6 ; ) *+ , <0

>0

6) | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 | = −x − 1 − x − 2 + x + 3 = −x . ) *+ , ) *+ , ) *+ , <0


<0

>0

Koliko je: √ √ 1) x2 − 4x + 4 , za x 2 ; 2) 9x2 + 6x + 1 , za x > − 31 ? √ 1) x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 = |x − 2| = (x − 2 < 0 za x 2) = 2 − x ;

165

3


2)

√ 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2 = |3x + 1| =

3x + 1 .



Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

√ √ 2 −6x+9− x2 +6x+9 . Koliko je f (x) za −3 < Dana je funkcija f (x)= x √ x < 3 ? Izraˇcunaj f (− 8) . Najprije zapiˇsimo f (x) = (x − 3)2 − (x + 3)2 = |x − 3| − √|x + 3| . Za −3 < je f (x) √ = 3 − x − x − 3 = −2x . A jer je −3 < − 8 < 3 , to je √x < 3 √ f (− 8) = 2 8 = 4 2 . √ √ 2 Dana je funkcija f (x) = √x2 + 4x √ + 4 + x − 4x + 4 . Koliko je f (x) , za −2 < x < 2 ? Izraˇcunaj f ( 2 − 3) . Najprije zapiˇsimo f (x) = (x + 2)2 + (x − 2)2 = |x +√2| + |x √− 2| . Za −2 <√x < 2√je f (x) = x + 2 + 2 − x = 4 . A jer je −2 < 2 − 3 < 2 , to je f ( 2 − 3) = 4 . √ √ √ Dana je funkcija f (x) = 4x2 − 4x + 1 − x2 + 6x + 9 − x2 . 33 √ Koliko je f (x) , za x < −3 ? Izraˇcunaj f − , f (− 112) , f (−π ) . 8 √ Najprije zapiˇsimo f (x) = (2x − 1)2 − (x + 3)2 − x2 = |2x−1|−|x+3|− |x| . Za x < −3 je f (x) = |2x−1|−|x+3|−|x| = 1−2x−(−x−3)−(−x) = 4 . 33 √ A jer je svaki od brojeva − , − 112, −π manji od −3 , vrijednost funkcije 8 za svaki od njih jednaka je 4. Koliko je: 1) ||x + 1| − 2| , za −1 < x < 0 ; 3) |1 − |1 + x|| , za x < −2 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

Skrati razlomke: x2 − |x − 1| − 1 ; x2 − 1 x|x − 1| − x + 1 3) ; x2 − 2|x| + 1

166

2) |1 − |1 − x|| , za 0 < x < 1 ; 4) ||x + 1| − x − 1| , za x < −1 ?

1) ||x + 1| − 2| = (x + 1 > 0 za − 1 < x < 0) = |x + 1 − 2| = |x − 1| = (x − 1 < 0 za − 1 < x < 0) = −x + 1 ; 2) |1 − |1 − x|| = (1 − x > 0 za 0 < x < 1) = |1 − 1 + x| = |x| = (x > 0 za 0 < x < 1) = x ; 3) |1 − |1 + x|| = (1 + x < 0 za x < −2) = |1 − (−1 − x)| = |x + 2| = (x + 2 < 0 za x < −2) = −x − 2 ; 4) ||x + 1| − x − 1| = (x + 1 < 0 za x < −1) = | − x − 1 − x − 1| = | − 2x − 2| = (−2x − 2 > 0 za x < −2) = −2x − 2 = −2(x + 1) .

1)

Rjeˇsenje.

1 = 3x + 1 > 0 za x > − 3

(|x| − 1) · (x − 1) ; x2 − 2|x| + 1 x(x − 2) + |x − 2| 4) . |x − 1|(x − 2) 2)

1) Za x > 1 imamo razlomak x2 − (x − 1) − 1 x2 − x + 1 − 1 x2 − x x(x − 1) x = = 2 = = , 2 2 x −1 x −1 x −1 (x − 1)(x + 1) x+1 a za x < 1 razlomak

3 (x − 1)(x + 1) + x − 1 x2 − (−x + 1) − 1 x2 + x − 1 − 1 x2 − 1 + x − 1 = = = 2 2 x −1 x −1 x2 − 1 (x − 1)(x + 1) x+2 (x − 1)(x + 2) = , = (x − 1)(x + 1) x+1 x = −1 ; 2) Za x < 0 i x = −1 imamo razlomak −(x + 1) · (x − 1) (−x − 1) · (x − 1) x−1 = , =− x2 + 2x + 1 (x + 1)2 x+1 a za x > 0 i x = 1 vrijednost razlomka je jednaka (x − 1) · (x − 1) (x − 1)2 = 1. x2 − 2x + 1 (x − 1)2 3) Za x 0 i x = −1 imamo razlomak x(1 − x) − x + 1 x − x2 − x + 1 x−1 (1 − x)(1 + x) 1−x = =− , = = x2 + 2x + 1 (x + 1)2 (x + 1)2 x+1 x+1 za 0 x < 1 razlomak x(1 − x) − x + 1 (1 − x)(1 + x) (x − 1)(x + 1) x+1 = , =− =− x2 − 2x + 1 (x − 1)2 (x − 1)2 x−1 a za x > 1 vrijednost razlomka jednaka je x(x − 1) − x + 1 (x − 1)(x − 1) (x − 1)2 = = = 1. 2 2 x − 2x + 1 (x − 1) (x − 1)2 4) Za x < 1 razlomak je jednak (x − 2)(x − 1) x(x − 2) − x + 2 = = −1 , (−x + 1)(x − 2) −(x − 1)(x − 2) za 1 < x < 2 vrijednost razlomka jednaka je x(x − 2) − x + 2 (x − 2)(x − 1) = = 1, (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x − 2) a za x > 2 dobije se razlomak (x − 2)(x + 1) x+1 x(x − 2) + x − 2 = = . (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x − 2) x−1


Odredi udaljenost toˇcaka A i B ako je: 1) A(3) , B(7) ; 3) A(−11) , B(−1.1) ; 1 1 5) A −3 , B −1 ; 4 3

Rjeˇsenje.

1 ; 2) A(−7) , B 2 3 5 4) A , B ; 5 3

6) A(−2.3) , B(3.45) .

1) |AB| = |xB − xA | = |7 − 3| = 4 ; -1 1 2) |AB| = |xB − xA | = - + 7-- = 7 ; 2 2 3) |AB| = |xB − xA | = | − 1.1 + 11| = 9.9 ;

167

3


- 5 3 - 16 ; 4) |AB| = |xB − xA | = -- − -- = 3 5 15 - 4 13 - 23 ; 5) |AB| = |xB − xA | = --− + -- = 3 4 12 6) |AB| = |xB − xA | = |3.45 + 2.3| = 5.75 .

Zadatak 2.

Odredi koordinatu x toˇcke T(x) i prikaˇzi tu toˇcku na brojevnom pravcu ako je: 1) |x| = 1 ;

Rjeˇsenje.

2) |x| = 2.5 ;

1 3) |x| = 3 . 3

1) T(−1) ili T(1) ; 2) T(−2.5) ili T(2.5) ; 10 10 3) T − ili T . 3 3

Zadatak 3.

Prikaˇzi na brojevnom pravcu skup svih toˇcaka T(x) za cˇ ije koordinate x vrijedi: 1) |x| < 2 ;

Rjeˇsenje.

1 2) |x| 4 ; 2

3) |x| 3 ;

4) |x| >

5 . 4

1) −2 < x < 2 ; 2) x −

9 9 ili x ; 2 2

3) −3 x 3 ; 4) x < −

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

168

5 5 ili x > . 4 4

Odredi koordinatu x toˇcke T(x) koja je od toˇcke: 1) A(−1) udaljena za 3; 2) B(2.2) udaljena za 1.7; 1 3 udaljena za 0.4; 4) D udaljena za 0.5. 3) C −2 5 2 1) |x − (−1)| = |x + 1| = 3 . Imamo dva sluˇcaja 1) x + 1 = −3 , x = −4 , T(−4) ili 2) x + 1 = 3 , x = 2 , T(2) ; 2) |x − 2.2| = 1.7 . Imamo dva sluˇcaja 1) x − 2.2 = −1.7 , x = 0.5 , T(0.5) ili 2) x − 2.2 = 1.7 , x = 3.9 , T(3.9) ; - 3- 13 2 3) --x + 2 -- = --x + -- = 0.4 = . Imamo dva sluˇcaja 5 5 5 13 2 13 2 11 11 1) x + = − , x = −3 , T(−3) ili 2) x + = , x=− , T − ; 55 5 5 5 5 11 4) --x − -- = 0.5 = . Imamo dva sluˇcaja 2 2 1 1 1 1 1) x − = − , x = 0 , T(0) ili 2) x − = , x = 1 , T(1) . 2 2 2 2

3 Zadatak 5.

Odredi koordinatu x toˇcke T(x) i tu toˇcku prikaˇzi na brojevnom pravcu ako je: 1) |x − 1| = 2 ; 4) |x − 3| = 1 ;

Rjeˇsenje.

2) |x + 3| = 1 ; 3 5) |2x − 1| = ; 4

3) |x + 11| = 11 ; 1 6) |3x + 2| = . 3

1) x − 1 = −2 , x = −1 , T(−1) ili x − 1 = 2 , x = 3 , T(3) ;

2) x + 3 = −1 , x = −4 , T(−4) ili x + 3 = 1 , x = −2 , T(−2) ;

3) x + 11 = −11 , x = −22 , T(−22) ili x + 11 = 11 , x = 0 , T(0) ;

4) x − 3 = −1 , x = 2 , T(2) ili x − 3 = 1 , x = 4 , T(4) ;

1 1 1 3 7 3 ili 2x − 1 = , 2x = , 5) 2x − 1 = − , 2x = , x = , T 4 4 8 8 4 4 7 7 x= , T ; 8 8

7 7 7 1 5 1 ili 3x + 2 = , 3x = − , 6) 3x + 2 = − , 3x = − , x = − , T − 3 3 9 9 3 3 5 5 x=− , T − . 9 9

Zadatak 6.

Prikaˇzi na brojevnom pravcu skup svih toˇcaka T(x) za cˇ ije koordinate x vrijedi: 1) |x − 3| 2 ;

2) |x + 1| > 2 ;

4) |x + 5| 2 ;

5) |2 − x| < 4 ;

3) |x + 2| 2 ; 2 6) |2x + 3| > . 3

169

3


Rjeˇsenje.

1) To su sve toˇcke koje su od toˇcke A udaljene najviˇse 2 tj. za cˇ ije koordinate x vrijedi 1 x 5 ;

2) To je skup toˇcaka koje su od toˇcke A(−1) udaljenije od 2 , tj. za cˇije koordinate x vrijedi x < −3 ili x > 1 ;

3) To su sve toˇcke koje su od toˇcke A(−2) udaljene najviˇse 2 tj. za cˇije koordinate x vrijedi −4 x 0 ;

4) To je skup toˇcaka koje su od toˇcke A(−5) udaljene najmanje 2 , tj. za cˇije koordinate x vrijedi x −7 ili x −3 ;

5) To je skup toˇcaka koje su od toˇcke A(2) udaljene manje od 4 , tj. za cˇije koordinate x vrijedi −2 < x < 6 ; 3 -1 2 =⇒ -x + - > . To je skup toˇcaka koje su od toˇc6) |2x + 3| > 2 3 3 3 11 1 ke A − ili udaljenije od , tj. za cˇ ije koordinate x vrijedi x < − 2 3 6 7 x>− . 6

Zadatak 7.

Odredi toˇcku T(x) za koju je: 1) |x − 1| = |x + 3| ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

1) Rijeˇc je o poloviˇstu duˇzine AB , A(1) , B(−3) , a to je toˇcka T(−1) ; 2) Rijeˇc je o poloviˇstu duˇzine AB , A(−2) , B(−4) , a to je toˇcka T(−3) . Koristeći se udaljenoˇscú toˇcaka rijeˇsi sustav nejednadˇzbi: 1) 2 |x − 2| < 4 ;

Rjeˇsenje.

170

2) |x + 2| = |x + 4| .

2) 1 < |2x + 3| < 7 ;

3)

5 1 |1 − x| . 2 2

1) To je presjek skupa toˇcaka koje su od toˇcke A(2) udaljene najmanje 2 i skupa toˇcaka koje su od toˇcke A(2) udaljene manje od 4 , tj. ( −∞, 0] ∪ [4, +∞ )∩ ( −2, 6 ) , odnosno −2, 0] ∪ [4, 6 ; 1 -3 -- 7 2) 1 < |2x + 3| < 7 , < -x + - < . To je presjek skupa toˇcaka koje su od 2 2 2 3 3 1 toˇcke A − i skupa toˇcaka koje su od toˇcke A − udaljene viˇse od 2 2 2

3 7 , tj. ( −∞, −2 ∪ −1, +∞ ) ∩ ( −5, 2 ) , odnosno 2 −5, −2 ∪ −1, 2 ; 1 3) To je presjek skupa toˇcaka koje su od toˇcke A(1) udaljene najmanje i sku ( 2 5 1 3 pa toˇcaka koje su od toˇcke A(1) udaljene njviˇse , tj. −∞, ∪ , +∞ 2 2 2 3 1 3 7 3 7 ∩ − , ∪ , , odnosno − , . 2 2 2 2 2 2

udaljene manje od

Zadatak 9.

Odredi poloviˇste P(x) duˇzine AB ako je: 1) A(5) , B(11) ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

2) A(−3) , B(1) ;

11 5 3) A − , B − . 9 6

11 + 5 = 8 , P(8) ; 2 −3 + 1 2) xP = = −1 , P(−1) ; 2 5 11 37 − + − 9 6 = − 18 = − 37 , P − 37 . 3) xP = 2 2 36 36 1) xP =

Rjeˇsenje.

Ako je P1 poloviˇste duˇzine AB , A(−4) , B(3) , a P2 poloviˇste duˇzine CD , C(−3) , D(5) , kolika je udaljenost toˇcaka P1 i P2 ? 1 1 −4 + 3 −3 + 5 = − , P 1 − , xP 2 = = 1 , P2 (1) , xP 1 = 2 2 2 2 1 - 3 |P1 P2 | = --1 − − -- = . 2 2

Zadatak 11.

Odredi toˇcku A(x) koja je simetriˇcna toˇcki B(−3) s obzirom na toˇcku C(−1) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

−3 + x = −1 slijedi x = 1 . Toˇcka je A(1) . 2 1 1 simetriˇcna je toˇcki B(x) s obzirom na toˇcku C −3 . Odredi Toˇcka A − 4 2 toˇcku B . 1 − +x 1 −1 + 4x 7 = −3 , = − , −1 + 4x = C je poloviˇste duˇzine AB . Iz 4 2 2 8 2 27 27 −28, x = − , slijedi B − . 4 4 1 , C(5) . Odredi duljinu duˇzine P1 P2 gdje je P1 Dane su toˇcke A(−3), B 2 poloviˇste duˇzine AB , a P2 poloviˇste duˇzine BC . C je poloviˇste duˇzine AB . Iz

1 5 5 2 xP 1 = = − , P1 − , 4 - 4 -2 - 11 5 |P1 P2 | = - + - = 4 . 4 4 −3 +

xP 2

1 11 +5 11 2 = , P2 , = 2 4 4

171

3



Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

Rjeˇsenje.

Toˇcka P1 (−2) poloviˇste je duˇzine AB , a toˇcka P2 (3) poloviˇste je duˇzine BC . Ako je B(0) , odredi duljinu duˇzine AC . xA + 0 = −2 , xA = −4 , A(−4) , 2 0 + xC = 3 , xC = 6 , C(6) , 2 |AC| = |6 − (−4)| = 10 . Toˇcka C(1) simetriˇcna je toˇcki A(−2) s obzirom na toˇcku B . Toˇcka D simetriˇcna je toˇcki C s obzirom na A , a E je simetriˇcna D s obzirom na C . Odredi poloˇzaj toˇcke E na brojevnom pravcu. 1 −2 + 1 =− . 2 2 1 + xD Toˇcka A je poloviˇste duˇzine CD , −2 = , xD = −5 , D(−5) . 2 −5 + xE , xE = 7 , E(7) . Toˇcka C je poloviˇste duˇzine DE , 1 = 2

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC , xB =

Toˇcka T2 (−2) poloviˇste je duˇzine T1 T3 . Toˇcka T3 poloviˇste je duˇzine T2 T4 , toˇcka T4 poloviˇste je duˇzine T3 T5 , toˇcka T5 poloviˇste je duˇzine T4 T6 itd. Kolika je duljina duˇzine T1 T100 ? |T1 T3 | = 2|T1 T2 | , |T1 T4 | = 3 · |T1 T2 | , |T1 T5 | = 4 · |T1 T2 | . T1 T100 | = 99 · |T1 T2 | .

Zato je

Zadatak 17.

Toˇcka T2 (−2) poloviˇste je duˇzine T1 T3 . Toˇcka T3 poloviˇste je duˇzine T1 T4 , toˇcka T4 poloviˇste je duˇzine T1 T5 , toˇcka T5 poloviˇste je duˇzine T1 T6 itd. Konaˇcno, toˇcka T10 poloviˇste je duˇzine T1 T11 . Kolika je duljina duˇzine T1 T11 ?

Rjeˇsenje.

|T1 T3 | = 2 · |T1 T2 | , |T1 T4 | = 4 · |T1 T2 | = 22 · |T1 T2 | , |T1 T5 | = 8 · |T1 T2 | = 23 |T1 T2 | . Zato je |T1 T11 | = 29 · |T1 T2 | = 512|T1 T2 | .




172

1) |x| = 10; 4) | − x| = 2;

2) |x| = 0.5; 5) |x| = 0;

3) |x| = −1; 6) |x| = π .

1) x = −10 ili x = 10 ; 2) x = −0.5 ili x = 0.5 ; 3) nema rjeˇsenja; 4) x = −2 ili x = 2 ; 5) x = 0 ; 6) x = −π ili x = π ; 1) |x| = x; 1) x 0 ;

2) |x| = −x. 2) nema rjeˇsenja.

1) |x − 1| = 2; 4) |x + 1| = 2;

2) |x − 2| = 1; 5) |x + 3| = 3;

1) x = −3 ili x = −1 ; 2) x = 1 ili x = 3 ; 4) x = 1 ili x = −3 ; 5) x = 0 ili x = −6 ;

3) |x − 3| = 3; 6) |x − 1| = −1. 3) x = 6 ili x = 0 ; 6) nema rjeˇsenja.

3 Zadatak 4.

1) |2x + 3| = 7; 4) |2x + 1| =

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

3 4;

2) |3x − 1| = 2;

3) |4x + 3| = 8;

5) |5x − 2| = 0.75;

6) |4x + 1| = 0.

1) 2x + 3 = 7 , 2x = 4 , x = 2 ili −2x − 3 = 7 , −2x = 10 , x = −5 ; 1 2) 3x − 1 = 2 , 3x = 3 , x = 1 ili −3x + 1 = 2 , −3x = 1 , x = − ; 3 11 5 3) 4x + 3 = 8 , 4x = 5 , x = ili −4x − 3 = 8 , −4x = 11 , x = − ; 4 4 3 1 1 3 7 7 4) 2x + 1 = , 2x = − , x = − ili −2x − 1 = , −2x = , x = − ; 4 4 8 4 4 8 5) 5x − 2 = 0.75 , 5x = 2.75 , x = 0.55 ili −5x + 2 = 0.75 , −5x = −1.25 , x = −0.25 ; 1 1 6) 4x + 1 = 0 , 4x = −1 , x = − ili −4x − 1 = 0 , −4x = 1 , x = − . 4 4 1) |2x − 3| = |x + 1|; 3) |4x + 5| = |2x − 3|; 5) |2x − 5| = |3x − 5|;

2) |3x + 1| = |2x − 1|; 4) |2x + 1| = |2x − 1|; 6) |4x + 1| = | − x|.

2 . 3 2) Iz 3x + 1 = 2x − 1 slijedi x = −2 , a iz 3x + 1 = −2x + 1 je x = 0 .

1) Iz 2x − 3 = x + 1 slijedi x = 4 , a iz 2x − 3 = −x − 1 je x =

1 3) Iz 4x + 5 = 2x − 3 slijedi x = −4 , a iz 4x + 5 = −2x + 3 je x = − . 3 4) Jednakost 2x + 1 = 2x − 1 nema rjeˇsenja, a iz 2x + 1 = −2x + 1 slijedi x = 0. 5) Iz 2x − 5 = 3x − 5 slijedi x = 0 , a iz 2x − 5 = −3x + 5 je x = 2 . 1 1 6) Iz 4x + 1 = −x slijedi x = − , a iz 4x + 1 = x je x = − . 5 3

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

1) |2x − 1| = x − 1; 3) |4x − 5| = 2x − 1; 5) |2x − 3| = 2x − 5;

2) |3x + 2| = x − 2; 4) |2x + 1| = 2x + 1; 6) |x + 1| = −x + 1.

1) Za 2x − 1 0 je 2x − 1 = x − 1 , slijedi x = 0 sˇ to ne moˇze biti rjeˇsenje 2 1 jer je x . Za 2x − 1 < 0 je −2x + 1 = x − 1 , slijedi x = sˇ to ne moˇze 2 3 1 biti rjeˇsenje jer je x < . 2 2) Za 3x + 2 0 je 3x + 2 = x − 2 , slijedi x = −2 sˇ to ne moˇze biti rjeˇsenje 2 jer je x − . Za 3x + 2 < 0 je −3x − 2 = x − 2 , slijedi x = 0 sˇ to ne moˇze 3 2 biti rjeˇsenje jer je x < − . 3 5 3) Za 4x − 5 0 , x je 4x − 5 = 2x − 1 , slijedi x = 2 . Za 4x − 5 < 0 , 4 5 x < je −4x + 5 = 2x − 1 , slijedi x = 1 . 4

173

3


1 4) Za 2x + 1 0 , x − dobivamo 2x + 1 = 2x + 1 , sˇ to vrijedi za svaki 2 1 1 1 x − . Za 2x + 1 < 0 , x < − je −2x − 1 = 2x + 1 , slijedi x = − . 2 2 2 5) Za 2x − 3 0 je 2x − 3 = 2x − 5 , −3 = −5 sˇ to ne moˇze biti. Za 2x − 3 < 0 je −2x + 3 = 2x − 5 , slijedi x = 2 sˇ to ne moˇze biti rjeˇsenje jer je 3 x< . 2 6) Za x + 1 0 , x −1 je x + 1 = −x − 1 , slijedi x = 0 . Za x + 1 < 0 je −x − 1 = −x + 1 , −1 = 1 sˇ to ne moˇze biti.

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

174

1) 3) 5) 7)

||x| − 1| = 2 ; ||x| − 2| = 1 ; ||x − 1| − 2| = 3 ; ||2x+1|−3|=2 ;

2) 4) 6) 8)

||x| + 3| = 4 ; ||x − 1| + 1| = 3 ; ||x + 1| − 2| = 1 ; ||3x − 1| − 2| = 1 .

1) |x| − 1 = −2 ili |x| − 1 = 2 odnosno |x| = −1 ili |x| = 3 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −3 ili x = 3 ; 2) |x| + 3 = −4 ili |x| + 3 = 4 odnosno |x| = −7 ili |x| = 1 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −1 ili x = 1 ; 3) |x| − 2 = −1 ili |x| − 2 = 1 odnosno |x| = 1 ili |x| = 3 . Rjeˇsenja prve jednakosti su x = −1 ili x = 1 , a druge x = −3 ili x = 3 . Sva rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = −3 , x2 = −1 , x3 = 1 , x4 = 3 ; 4) |x−1|+1 = −3 ili |x−1|+1 = 3 odnosno |x−1| = −4 ili |x−1| = 2 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −1 ili x = 3 ; 5) |x−1|−2 = −3 ili |x−1|−2 = 3 odnosno |x−1| = −1 ili |x−1| = 5 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −4 ili x = 6 ; 6) |x + 1| − 2 = −1 ili |x + 1| − 2 = 1 odnosno |x + 1| = 1 ili |x + 1| = 3 . Rjeˇsenja prve jednakosti su x = −2 ili x = 0 , a druge x = −4 ili x = 2 . Sva rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = −4 , x2 = −2 , x3 = 0 , x4 = 2 ; 7) |2x+1|−3 = −2 ili |2x+1|−3 = 2 odnosno |2x+1| = 1 ili |2x+1| = 5 . Rjeˇsenja prve jednakosti su x = −1 ili x = 0 , a druge x = −3 ili x = 2 . Sva rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = −3 , x2 = −1 , x3 = 0 , x4 = 2 ; 8) |3x−1|−2 = −1 ili |3x−1|−2 = 1 odnosno |3x−1| = 1 ili |3x−1| = 3 . 2 4 2 Rjeˇsenja prve jednakosti su x = ili x = 0 , a druge x = − ili x = . Sva 3 3 3 2 2 4 rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = − , x2 = 0 , x3 = , x4 = . 3 3 3 Rijeˇsi jednadˇzbe: -x − 1- 1 -= ; 1) -x − 2- 2 - 2−x - 1 -= ; 3) 2x + 1 - 3

- x+1 - = 1; 2) -2x − 3 - - 2x + 1 - - 2x + 1 -. 4) = x−3 - - x−5 -

3 Rjeˇsenje.

Ovakve nejednadˇzbe rjeˇsavaju se na temelju cˇinjenice |a| = |b| ako i samo ako je a = b ili a = −b . 1) |x − 1| 1 = / · 2|x − 2|, x = 2 |x − 2| 2 2|x − 1| = |x − 2| |2x − 2| = |x − 2| 2x − 2 = x − 2 ili 2x − 2 = −x + 2 . Rjeˇsenje prve jednakosti je x = 0 , a 4 druge x = . 3 4 Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = 0 ili x = ; 3 Moˇze se postupati i na ovaj naˇcin: -x − 1- 1 - = slijedi x − 1 = 1 ili x − 1 = − 1 . Iz prve jednadˇzbe slijedi Iz x − 2- 2 x−2 2 x−2 2 4 x = 0 , a iz druge x = . 3 2) |x + 1| 3 = 1 / · |2x − 3|, x = |2x − 3| 2 |x + 1| = |2x − 3| x + 1 = 2x − 3 ili x + 1 = −2x + 3 . Rjeˇsenje prve jednakosti je x = 4 , a 2 druge x = . 3 2 Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = ili x = 4 ; 3 3) |2 − x| 1 1 = / · 3|2x + 1|, x = − |2x + 1| 3 2 |6 − 3x| = |2x + 1| 6 − 3x = 2x + 1 ili 6 − 3x = −2x − 1 . Rjeˇsenje prve jednakosti je x = 1 , a druge x = 7 . Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = 1 ili x = 7 ; 1 4) Jedno od rjeˇsenja je x = − , tada jednakost poprima oblik 0 = 0 . Uzmimo 2 1 sada x = − : 2 |2x + 1| |2x + 1| = |x − 3| |x − 5| 1 1 = / · |x − 5| · |x − 3|, x = 3, x = 5 |x − 3| |x − 5| |x − 3| = |x − 5| x − 3 = x − 5 ili x − 3 = −x + 5 . Prva jednakost nema rjeˇsenja, a rjeˇsenje druge je x = 4 . 1 Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = − ili x = 4 ; 2

175

3


Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

176

Rijeˇsi jednadˇzbe: - - x - - 2x - = 1; + 1) 2x − 1 - - 2x − 1 1)

- - x−1 - - x+1 - = 3. 2) − 2x − 1 - - 2x − 1 -

|x| |2x| 1 + = 1 / · |2x − 1| x = |2x − 1| |2x − 1| 2 |x| + |2x| = |2x − 1| |3x| = |2x − 1| 3x = 2x − 1 ili 3x = 1 − 2x , rjeˇsenje prve jednakosti je x = −1 , a druge 1 x= ; 5 1 Rjeˇsenja polazne jednadˇzbe su x1 = −1 , x2 = ; 5 Moglo se i ovako: - - x - - 2x -+- 2x − 1 - - 2x − 1 - = 1, - x - + 2 - x - = 1, - 2x − 1 - 2x − 1 - x - = 1, 3 -2x − 1 - x - 1 - 2x − 1 - = 3 , 1 3x = 2x − 1 ili −3x = 2x − 1 , x = −1 ili x = . 5 2) |x − 1| |x + 1| 1 + = 3 / · |2x − 1| x = |2x − 1| |2x − 1| 2 |x − 1| − |x + 1| = 3|2x − 1| |x − 1| − |x + 1| − 3|2x − 1| = 0 1 x − 1 = 0 za x = 1 , x + 1 = 0 za x = −1 , 2x − 1 = 0 , x = . Pogledaj2 mo predznake zadanih izraza unutar cˇ etiri intervala koje na brojevnom pravcu - brojevi −1 , 1 i 1 . odreduju 2 a) x < −1 ; x − 1 < 0 , x + 1 < 0 , 2x − 1 < 0 ; 1 −x + 1 + x + 1 + 6x − 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 6 1 b) −1 x < ; x − 1 < 0 , x + 1 0 , 2x − 1 < 0 ; 2 3 −x + 1 − x − 1 + 6x − 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 4 1 c) x < 1 ; x − 1 < 0 , x + 1 > 0 , 2x − 1 0 ; 2 3 −x + 1 − x − 1 − 6x + 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 8

3 d) x 1 ; x − 1 0 , x + 1 > 0 , 2x − 1 > 0 ; 1 x − 1 − x − 1 − 6x + 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 6 Jednadˇzba nema rjeˇsenja.

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Odredi sve realne brojeve x koji zadovoljavaju sustav nejednadˇzbi: 1- 3 3 2 -1 |3x + 2| < ; 3) < -3x − -- . 1) 1 |x − 2| < 3 ; 2) 2 4 3 2 4 1) Najprije rijeˇsimo nejednadˇzbu |x − 2| 1 . Ona je ekvivalentana sustavu nejednadˇzbi: x − 2 −1 ili x − 2 1 a njihovo je rjeˇsenje x 1 ili

x 3.

Rijeˇsimo zatim i drugu nejednadˇzbu |x − 2| < 3 . Ona je ekvivalentna nejednadˇzbi: −3 < x − 2 < 3 cˇije je rjeˇsenje −1 < x < 5. Rjeˇsenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjeˇsenja: x ∈ −1, 1] ∪ [3, 5 ; 1 2) Najprije rijeˇsimo nejednadˇzbu |3x + 2| . Ona je ekvivalentana sustavu 2 nejednadˇzbi: 1 2 5 3x − 2

3x + 2 −

ili 3x + 2 ili 3x −

3 2

1 2

a njihovo je rjeˇsenje x−

5 6

ili

1 x− . 2

3 Rijeˇsimo zatim i drugu nejednadˇzbu |3x + 2| < . Ona je ekvivalentna 4 nejednadˇzbi: −

3 3 < 3x + 2 < , 4 4

−

11 5 < 3x < − 4 4

cˇije je rjeˇsenje −

5 11
Rjeˇsenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjeˇsenja: ( 11 5 5 1 x ∈ − ,− ∪ − ,− ; 12 6 2 12

177

3


3) Najprije rijeˇsimo nejednadˇzbu --3x − nejednadˇzbi: 3x −

2 1 <− 2 3 1 3x < − 6

1 -- 2 > . Ona je ekvivalentana sustavu 2- 3

1 2 > 2 3 7 ili 3x > 6 ili 3x −

a njihovo je rjeˇsenje 7 . 18 3 1 -Rijeˇsimo zatim i drugu nejednadˇzbu -3x − - . Ona je ekvivalentna 2 4 nejednadˇzbi: x<−

−

1 18

ili x >

1 3 3 3x − , 4 2 4

−

1 5 3x ; 4 4

cˇije je rjeˇsenje −

5 1 x . 12 12

Rjeˇsenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjeˇsenja: 1 1! 7 5 x ∈ − ,− , ∪ . 12 18 18 12

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

178

2 1 = ; |2x − 1| 3|2x − 1| 2 3 3) +1= ; |3x − 6| |2x − 4| 1 2x 5) −1= . |1 − 2x| |4x − 2| 1) 1 −

2 1 −1= ; |x − 2| 2|x − 2| 2x − 1 x 4) +1= ; |4 − 2x| |x − 2|

2)

1 pa jednakost postaje 2 1 2 1− = / · 3(2x − 1) 2x − 1 3(2x − 1) 6x − 3 − 3 = 2 4 x= . 3 1 Za 2x − 1 < 0 , x < pa jednakost postaje 2 2 1 = / · 3(1 − 2x) 1− 1 − 2x 3(1 − 2x) 3 − 6x − 3 = 2 1 x=− ; 3

1) Za 2x − 1 > 0 , x >

3 2) Za x − 2 > 0 , x > 2 pa jednakost postaje 2 1 −1= / · 2(x − 2) x−2 2(x − 2) 4 − 2x + 4 = 1 1 nije rjeˇsenje; x=− 2 Za x − 2 < 0 , x < 2 pa jednakost postaje 2 1 −1= / · 2(2 − x) 2−x 2(2 − x) 4 − 4 + 2x = 1 1 x= ; 2 3) Za x − 2 > 0 , x > 2 pa jednakost postaje 2 3 +1= / · 6(x − 2) 3(x − 2) 2(x − 2) 4 + 6x − 12 = 9 17 x= ; 6 Za x − 2 < 0 , x < 2 pa jednakost postaje 2 3 +1= / · 6(2 − x) 3(2 − x) 2(2 − x) 4 + 12 − 6x = 9 7 x= ; 6 4) Za 2 − x > 0 , x < 2 pa jednakost postaje 2x − 1 x +1= / · 2(2 − x) 4 − 2x 2−x 2x − 1 + 4 − 2x = 2x 3 x= ; 2 Za 2 − x < 0 , x > 2 pa jednakost postaje 2x − 1 x +1= / · 2(x − 2) 2(x − 2) x−2 2x − 1 + 2x − 4 = 2x 5 x= ; 2 1 5) Za 1 − 2x > 0 , x < pa jednakost postaje 2 x 1 −1= / · 1 − 2x 1 − 2x 1 − 2x 1 − 1 + 2x = x x = 0;

179

3


Za 1 − 2x < 0 , x >

1 pa jednakost postaje 2

1 x −1= / · 2x − 1 2x − 1 2x − 1 1 − 2x + 1 = x 2 x= . 3

Zadatak 12.

1) |x| 1; 4) |x| −1;

Rjeˇsenje.


2) |x| > 2; 5) |x|

3) |x| < 0;

1 2;

6) |x| < 0.1

1) 0 x 1 ;

2) x < −2 ili x > 2 ; 3) nema rjeˇsenja; 1 1 4) vrijedi za svaki x ∈ R ; 5) x − ili x ; 6) −0.1 < x < 0.1 . 2 2

1) |x − 1| 2; 4) |x + 2| 1;

2) |x − 1| > 1; 5) |x + 5| 3;

3) |x + 1| < 3; 6) |x − 3| < 0.

1) −2 x − 1 2 , −1 x 1 ; 2) za x − 1 0 =⇒ x 1 i x − 1 > 1 =⇒ x > 2 rjeˇsenje je x > 2 , za x − 1 < 0 , x < 1 nema rjeˇsenja; 3) −1 < x + 1 < 3 , −2 < x < 2 ; 4) za x + 2 0 =⇒ x −2 i x + 2 1 =⇒ x −1 rjeˇsenje je x −1 , za x + 2 < 0 =⇒ x < −2 i −x − 2 1 =⇒ x −3 rjeˇsenje je x −3 ; 5) −3 x + 5 3 , −8 x −2 ; 6) nema rjeˇsenja. |2 − x| 1; 1 − |x − 2| 1 2 4) 1 − < . |1 − 2x| |6x − 3|

3 < 2; 1 + |x − 1| 2 1 3) −1< ; |x − 2| |4 − 2x|

Zadatak 14.

1)

Rjeˇsenje.

1)

2)

3 < 2 / · 1 + |x − 1| 1 + |x − 1| ) *+ , >0

3 < 2 + 2|x − 1| 2|x − 1| > 1 1 |x − 1| > 2 x−1<−

1 1 ili x − 1 > odnosno 2 2 x<

180

1 2

ili

x>

3 ; 2

3 0

+ ,) * |x − 2| 2) 1 . Odavde slijedi: 1 − |x − 2| )*+, >0

1 − |x − 2| > 0;

|x − 2| < 1

to jest, x − 2 > −1 ili x − 2 < 1 x > 1 ili x < 3 x ∈ 1, 3 Uz ovaj uvjet sredimo polaznu nejednadˇzbu |x − 2| 1 / · (1 − |x − 2|) 1 − |x − 2| |x − 2| 1 − |x − 2| 1 |x − 2| 2 1 1 ili x − 2 x−2− 2 2 5 3 ili x x 2 2 ( 3 5 Uz gornji uvjet rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je 1, ∪ ,3 ; 2 2 No mogli smo rjeˇsavanje provesti i na drugi naˇcin. Dana nejednadˇzba ekviva2|x − 2| − 1 lentna je nejednadˇzbi 0 . Odavde slijedi 2|x − 2| − 1 0 i 1 − |x − 2| 1 1 − |x − 2| > 0 , odnosno |x − 2| i |x − 2| < 1 , druga mogućnost otpada. 2 Iz ovih nejednadˇzbi dobije se uvjet 1 |x − 2| < 1 2 koji je ekvivalentan sustavu nejednadˇzbi 1 −x + 2 < 1 2 a njihovo je rjeˇsenje 1
3 2

ili

ili

1 x − 2 < 1, 2 5 x < 3. 2

2 1 / · 2|x − 2|, x = 2 −1< |x − 2| 2|x − 2| ) *+ ,

>0, za x=2

4 − 2|x − 2| < 1 3 |x − 2| > 2

181

3


x−2<−

3 3 ili x − 2 > odnosno 2 2 1 x< ili 2

4) 1−

x>

7 ; 2

1 1 2 / · 3|2x − 1|, x = < |2x − 1| 3|2x − 1| 2 ) *+ , >0, za x= 12

3|2x − 1| − 3 < 2 5 |2x − 1| < ; 3 −

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

5 < 2x − 1 < 3 1 − 3

5 , 3

−

Rijeˇsi nejednadˇzbe: - 1 - 2; 1) x − 1- x−1 - > 1; 3) 2x + 1 -

4 . 3

2 8 < 2x < , 3 3

- x - 1 - ; 2) x + 1- 2 - x+1 - 1 - . 4) 2x − 3 - 2

1) 1 2 / · |x − 1|, x = 1 |x − 1| ) *+ ,

>0, za x=1

2|x − 1| 1, 1 |x − 1| ; 2 − 2)

1 1 3 1 x − 1 , x = 1 odnosno x , x = 1 ; 2 2 2 2 |x| |x + 1| ) *+ ,

1 / · 2|x + 1|, x = −1 2

>0, za x=−1

2|x| |x + 1| 2|x| − |x + 1| 0 Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz jednak je nuli za x = 0 , a drugi za x = −1 . Brojevi −1 i 0 odreduju tri intervala unutar kojih cémo razmatrati predznake zadanih izraza. 1) x < −1 ; x < 0 , x + 1 < 0 −2x+ x+ 1 0 , x 1 , nije rjeˇsenje jer se ne nalazi u promatranom intervalu.

182

3 2) −1 < x < 0 ; x < 0 , x − 1 > 0 (zbog uvjeta x = −1 ) 1 −2x − x − 1 0, 3x −1, x − . 3 ( 1 1 Iz −1 < x < 0 i x − slijedi da je rjeˇsenje x ∈ − , 0 . 3 3 3) x 0 ; x 0 , x − 1 > 0 2x − x − 1 0, x 1. Iz x 0 i x 1 slijedi da je rjeˇsenje x ∈ [0, 1] . 1 Konaˇcno rjeˇsenje je unija pojedinih sluˇcaja, a to je x ∈ − , 1 , odnosno 3 1 − x 1; 3 3) |x − 1| 1 > 1 / · |2x + 1|, x = − |2x + 1| 2 ) *+ , >0, za x=− 12

|x − 1| > |2x + 1| |x − 1| − |2x + 1| > 0 Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz 1 1 tri jednak je nuli za x = 1 , a drugi za x = − . Brojevi − i 1 odreduju 2 2 intervala unutar kojih cémo razmatrati predznake zadanih izraza. 1 1) x < − ; x − 1 < 0 , 2x + 1 < 0 2 −x + 1 + 2x + 1 > 0, x > −2. 1 1 Iz x < − i x > −2 slijedi da je rjeˇsenje −2 < x < − 2 2 1 1 2) − < x < 1 ; x − 1 < 0 , 2x + 1 > 0 (zbog uvjeta x = − ) 2 2 −x + 1 − 2x − 1 > 0, −3x > 0, x < 0. 1 1 Iz − < x < 1 i x < 0 slijedi da je rjeˇsenje − < x < 0 . 2 2 3) x 1 ; x − 1 0 , 2x + 1 > 0 x − 1 − 2x − 1 > 0, −x > 2, x < −2. Nema rjeˇsenja. 1 Konaˇcno rjeˇsenje je unija pojedinih sluˇcaja, a to je x ∈ −2, 0 , x = − ; 2 4) |x + 1| 3 1 / · 2|2x − 3|, x = |2x − 3| 2 2 ) *+ , >0, za x= 32

2|x + 1| |2x − 3| 2|x + 1| − |2x − 3| 0

183

3


Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz 3 3 odreduju tri jednak je nuli za x = −1 , a drugi za x = . Brojevi −1 i 2 2 intervala unutar kojih cémo razmatrati predznake zadanih izraza. 1) x < −1 ; x + 1 < 0 , 2x − 3 < 0 −2x − 2 + 2x − 3 0, −5 0; Tvrdnja nije istinita, nema rjeˇsenja. 3 2) −1 x < ; x + 1 0 , 2x + 1 < 0 2 1 2x + 2 + 2x − 3 0, 4x 1, x . 4 3 1 1 3 Iz −1 x < i x slijedi da je rjeˇsenje x < . 2 4 4 2 3 3) x > ; x + 1 > 0 , 2x − 3 > 0 2 2x + 2 − 2x + 3 0, 5 0. 3 Istinita tvrdnja, rjeˇsenje je svaki x > . 2 1 3 Konaˇcno rjeˇsenje je unija pojedinih sluˇcaja, a to je x , x = . 4 2

184


Nacrtaj trokut ABC , A(4, −2) , B(−3, 2) , C(0, −4) . Nacrtaj potom trokut simetriˇcan zadanom s obzirom na os apscisa i odredi koordinate njegovih vrhova.

Rjeˇsenje.

A (4, 2) , B (−3, −2) , C (0, 4) .

Zadatak 2.

Nacrtaj trokut simetriˇcan trokutu ABC , A(−3, 0) , B(0, −5) , C(3, 3) s obzirom na ishodiˇste koordinatnog sustava i odredi koordinate vrhova tog trokuta.

Rjeˇsenje.

A (3, 0) , B (0, 5) , C (−3, −3) .

Zadatak 3.

Toˇcke (1, 1) , (5, 1) i (5, −3) tri su vrha kvadrata. Odredi koordinate cˇetvrtog vrha i koordinate srediˇsta kvadrata.

Rjeˇsenje.

ˇ Cetvrti je vrh toˇcka (1, −3) , a srediˇste kvadrata je (3, −1) .

185

4


Zadatak 4.

Toˇcke A i B susjedni su vrhovi kvadrata ABCD . Odredi vrhove C i D ako je: 1) A(4, −2), B(4, 4);

Rjeˇsenje.

2) A(−3, 1), B(5, 1).

1)

C(−2, 4) , D(−2, −2) ili C(10, 4) , D(10, −2) ; 2)

C(5, −7) , D(−3, −7) ili C(5, 9) , D(−3, 9) .

Zadatak 5.

Toˇcke A i C suprotni su vrhovi kvadrata ABCD . Odredi ostale vrhove kvadrata ako je: 1) A(1, −6), C(1, 2); 3) A(0, −5) , C(5, 0) .

Rjeˇsenje.

1)

B(5, −2) , D(−3, −2) ;

186

2) A(−3, 2), C(3, −2);

4 2)

B(−2, −3) , D(2, 3) ; 3)

B(5, −5) , D(0, 0) .

Zadatak 6.

Kolike su duljine ortogonalnih projekcija duˇzine AB na koordinatne osi ako je: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

A(−3, −2) , B(3, −1) ; A(−2, 1) , B(5, −3) ; A(−2, 3) , B(3, −3) ; A(−1, −4) , B(−1, 2) ?

1) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinica. 2) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinice. 3) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinica. 4) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinica.

AB na os x je 6 jedinica, a na os y 1 AB na os x je 7 jedinica, a na os y 4 AB na os x je 5 jedinica, a na os y 6 AB na os x je 0 jedinica, a na os y 6

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) u ravnini kojima koordinate zadovoljavaju uvjet: 1) x = −1 ; 3 4) y − ; 2

2) y = 2 ;

3) x 3 ;

5) 2x−3>0 ;

6) 3y + 5 < 0 .

187

4


Rjeˇsenje.

1) Pravac paralelan s osi ordinata, a prolazi toˇckom (−1, 0) ;

2) Pravac paralelan s osi apscisa, prolazi toˇckom (0, 2) ;

U sljedećim cˇetirima zadatcima danim nejednakostima odredene su poluravnine. Uoˇci da rub poluravnine pripada ili ne pripada poluravnini. To ovisi je li nejednakost stroga ili nije. 3) 4)

5)

Zadatak 8.

Odredi skup svih toˇcaka T ravnine kojima koordinate x i y zadovoljavaju uvjet: 1) x + y > 0 ;

188

6)

2) x − y 0 .

4 Rjeˇsenje.

1) Kad bi bila zadana jednakost x + y = 0 , odnosno y = −x , potraˇzili bismo sve toˇcke ravnine tipa T(x, −x) , dakle toˇcke kojima su koordinate suprotni brojevi. Sve takve toˇcke pripadaju simetrali II. i IV. kvadranta. No mi imamo uvjet y > −x , pa je rijeˇc o poluravnini kojoj je granica pravac y = −x .

2) Sliˇcno kao u prethodnom zadatku, rijeˇc je o poluravnini iznad granice y = x , ali sada je ukljuˇcena i granica.

Zadatak 9.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine kojima kooordinate x i y zadovoljavaju sustav nejednadˇzbi:

1) 2) Rjeˇsenje.

(x + 1)(x − 2) 0; (y − 1)(y + 2) 0; (2x − 3)(x + 3) 0; (2y + 5)(y − 2) 0.

1) Rjeˇsimo prvu nejednadˇzbu: (x + 1)(x − 2) 0 1) x + 1 0, x − 2 0 x2

2) x + 1 0, x − 2 0 x −1

Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je svaki realni broj x , x −1 ili x 2 . Skup - uvjetom (x + 1)(x − 2) 0 , stoga je unija dviju toˇcaka ravnine sˇto je odreden poluravnina.

189

4


Sada rjeˇsimo drugu nejednadˇzbu: (y − 1)(y + 2) 0 1) y − 1 0, y + 2 0 −2 y 1

2) y − 1 0, ∅

y+20

Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je svaki realni broj y , −2 y 1 , sˇ to u ravnini - jednu prugu. odreduje

No rijeˇc je o sustavu nejednadˇzbi, pa kao njegovo konaˇcno rjeˇsenje valja nam odrediti presjek pojedinih rjeˇsenja.

2) Rjeˇsimo prvu nejednadˇzbu: (2x − 3)(x + 3) 0 1) 2x − 3 0, x + 3 0 3 x , x −3 2 3 −3 x 2

190

2) 2x − 3 0, x + 3 0 3 x , x −3 2 ∅

4 3 Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je svaki realni broj x , −3 x . Skup toˇcaka 2 - uvjetom (2x − 3)(x + 3) 0 je pruga. ravnine sˇto je odreden

Sada rjeˇsimo drugu nejednadˇzbu: (2y + 5)(y − 2) 0 2y + 5 0, y − 2 0 5 y− , y2 2 ∅

2y + 5 0, y − 2 0 5 y− , y2 2 5 − y2 2

5 Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je svaki realni broj y , − y 2 , sˇ to u ravnini 2 - jednu prugu. odreduje

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek pojedinih rjeˇsenja. Skup toˇcaka je kvadrat, presjek dviju pruga.

191

4


Zadatak 10.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine za koje vrijedi: 1) x(y − 1) 0 ; 3) (2x + 3)(y − 2) < 0 ;

Rjeˇsenje.

2) (x + 1)y 0 ; 4) (x − 3)(y + 1) > 0 .

1) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x 0 i y 1 ili x 0 i y 1.

2) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x −1 i y 0 ili x −1 i y 0 .

3 3) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x < − i y > 2 ili 2 3 x > − i y < 2. 2

4) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x > 3 i y > −1 ili x < 3 i y < −1 .

Zadatak 11.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine za koje je: 1) |x| < 1 ; 3) |x + 1| 2 ;

192

2) |y| 2 ; 4) |y − 2| 1 .

4 Rjeˇsenje.

1) Iz |x| < 1 slijedi −1 < x < 1 , pa je rjeˇsenje pruga bez granica (slika)

2) Uvjet |y| 2 znaˇci y −2 ili y 2 , te imamo za rjeˇsenje uniju dviju zatvorenih poluravnina (slika);

3) Uvjet |x+1| 2 znaˇci x+1 −2 ili x+1 2 odnosno x −3 ili x 1 , te imamo za rjeˇsenje uniju dviju zatvorenih poluravnina (slika);

4) Iz |y − 2| 1 slijedi −1 y − 2 1 odnosno 1 y 3 , pa je rjeˇsenje pruga (slika).

Zadatak 12.

Prikaˇzi grafiˇcki skup svih uredenih parova (x, y) realnih brojeva x i y za koje je: 1) |x| 2 i |y| 2 ; 3) |x + 1| > 2 i |y − 1| > 3 ; 5) |x − 1| > 2 ili |y + 1| < 3 ;

Rjeˇsenje.

2) |x| 3 ili y 1 ; 4) |2x − 5| 1 ili |y + 2| > 2 ; 6) |x| 3 i |y + 1| 2 .

1) Rjeˇsenje je presjek dvaju pruga: −2 x 2 i −2 y 2 , tj. kvadrat (na slici zelenom).

193

4


2) Rjeˇsenje je presjek pruge −3 x 3 i zatvorene poluravnine za y 1 (na slici zelenom).

3) Iz |x + 1| > 2 proizlazi x + 1 < −2 ili x + 1 > 2 odnosno x < −3 ili x > 1 . Iz |y − 1| > 3 proizlazi y − 1 < −3 ili y − 1 > 3 odnosno y < −2 ili y > 4 . Rjeˇsenje je presjek poluravnina x < −3 , x > 1 s poluravninama y < −2 , y > 4 (na slici zelenom).

4) Konaˇcno rjeˇsenje je unija rjeˇsenja pojedinih nejednadˇzbi. Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe |2x − 5| 1 je −1 2x − 5 1 odnosno pruga 2 x 3.

Rjeˇsimo i drugu nejednadˇzbu. Iz |y + 2| > 2 slijedi y + 2 < −2 ili y + 2 > 2 , odnosno rjeˇsenja su poluravnine y < −4 i y > 0 .

Unija svih toˇcaka ravnine koje pripadaju dobivenoj prugi ili poluravninama je konaˇcno rjeˇsenje (na slici zelenom).

194

4

5) Konaˇcno rjeˇsenje je unija rjeˇsenja pojedinih nejednadˇzbi. Rjeˇsimo prvu nejednadˇzbu. Iz |x − 1| > 2 slijedi x − 1 < −2 ili x − 1 > 2 odnosno x < −1 ili x > 3 .

Rjeˇsimo i drugu nejednadˇzbu. Iz |y + 1| < 3 slijedi −3 < y + 1 < 3 odnosno pruga −4 < y < 2 .

Unija svih toˇcaka ravnine koje pripadaju dobivenim poluravninama iz prve jednadˇzbe ili dobivenoj prugi iz druge jednadˇzbe je konaˇcno rjeˇsenje.

195

4


6) Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja pojedinih nejednadˇzbi. Iz |x| 3 slijedi −3 x 3 (pruga).

Rjeˇsimo drugu nejednadˇzbu. Iz |y + 1| 2 slijedi −2 y + 1 2 odnosno dobije se pruga −3 y 1 .

Toˇcke ravnine koje pripadaju objema dobivenim prugama je konaˇcno rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine kojima kooordinate x i y zadovoljavaju sustav nejednadˇzbi: 1) 1 |x − 1| < 3 ; 3) x · y 0 i |x| 1 ; 5) x · y 0 i 1 < |x| 2 ;

Rjeˇsenje.

196

2) 1 < |y + 1| 3 ; 4) x · y 0 i |y| < 2 ; 6) x · y 0 i 1 |y| 2 .

1) Iz 1 |x−1| < 3 imamo sustav dviju nejednadˇzbi |x−1| 1 i |x−1| < 3 . Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je x − 1 −1 ili x − 1 1 odnosno x 0 ili x 2 (dvije zatvorene poluravnine).

4

Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je −3 < x − 1 < 3 odnosno pruga −2 < x < 4 .

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja prve i druge nejednadˇzbe.

2) Iz 1 < |y+1| 3 imamo sustav dviju nejednadˇzbi |y+1| > 1 i |y+1| 3 . Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je y + 1 < −1 ili y + 1 > 1 odnosno y < −2 ili y > 0 (dvije poluravnine).

Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je −3 y + 1 3 odnosno pruga −4 y 2 .

197

4



3) Uvjet x · y 0 zadovoljavaju sve toˇcke iz II. i IV. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

Uvjet |x| 0 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi x −1 ili x 1.


4) Uvjet x · y 0 zadovoljavaju sve toˇcke iz I. i III. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

198

4 Uvjet |y| < 2 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi −2 < y < 2 .


5) Uvjet x · y 0 zadovoljavaju sve toˇcke iz II. i IV. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

Uvjet 1 < |x| 2 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi x < −1 ili x > 1 i −2 x 2 odnosno −2 x < −1 ili 1 < x 2 .


199

4


6) Uvjet x · y 0 zadovoljavaju sve toˇcke iz I. i III. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

Uvjet 1 |y| 2 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi y −1 ili y > 1 i −2 y 2 odnosno −2 y −1 ili 1 y 2 .


Zadatak 14.

- pojedini skup toˇcaka istaknut u koordinatnoj Zapiˇsi uvjete kojima je odreden ravnini: 1)

2)

y

1

y

x

x

-1 -1

3)

y

4) 2

x -1

200

y

x

4 Rjeˇsenje.

1) x 1 ; 2) x + 1 > 0 i y + 1 > 0 ; 4) |x| 2 i |y| 2 .

3) −1 < y 2 ;


Rjeˇsenje.

Odredi udaljenost |AB| toˇcaka A i B ako je: 1) A(1, 2) , B(4, 6) ; 2) A(−3, 5) , B(5, −1) ; 3) A(1, −2) , B(−1, 2) ; 4) A(−3, 0) , B(0, −4) ; 5) A(−3, 1) , B(5, 5) ; 6) A(−11, 8) , B(9, −7) . √ 1) |AB| = (4 − 1)2 + (6 − 2)2 = 9 + 16 = 5 ; √ 2) |AB| = (5 − (−3))2 + (−1 − 5)2 = 64 + 36 = 10 ; √ √ √ √ 3) |AB| = (−1 − 1)2 + (2 − (−2))2 = 4 + 16 = 20 = 4 · 5 = 2 5 ; √ 4) |AB| = (0 − (−3))2 + (−4 − 0)2 = 9 + 16 = 5 ; √ √ √ 5) |AB|√= (5 − (−3))2 + (5 − 1)2 = 64 + 16 = 80 = 16 · 5 = 4 5; √ 6) |AB| = (9 − (−11))2 + (−7 − 8)2 = 400 + 225 = 25 .

Zadatak 2.

Toˇcke (0, −2) , (−4, 8) i (3, 1) pripadaju kruˇznici sa srediˇstem u toˇcki (−2, 3) . Provjeri!

Rjeˇsenje.

A = (0, −2) , B = (−4, 8) i C = (3, 1) , O = (−2, 3) . √ √ |AO| = (−2 − 0)2 + (3 − (−2))2 = 4 + 25 = 29 √ √ |BO| = (−2 − (−4))2 + (3 − 8)2 = 4 + 25 = 29 √ √ |CO| = (−2 − 3)2 + (3 − 1)2 = 25 + 4 = 29 √ Svaka od triju danih toˇcaka jednako je, za r = 29 , udaljena od toˇcke (−2, 3) , tj. srediˇsta kruˇznice.

Zadatak 3.

Dokaˇzi da toˇcke A , B i C pripadaju jednom pravcu: 1) A(4, −2) , B(1, 2) , C(−2, 6) ; 2) A(1, −1) , B(5, 1) , C(11, 4) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

1) |AB| = 5 , |BC| = 5 , |AC| = 10 , te je |AC| = |AB| + |BC| , dapaˇce, toˇcka B poloviˇste je duˇzine AC . √ √ √ 2) Izraˇcunamo |AB| = 2 5 , |BC| = 3 5 , |AC| = 5 5 , te vidimo da je |AB| + |BC| = |AC| , sˇ to znaˇci da toˇcke A , B i C pripadaju jednom pravcu. Provjeri da je trokut ABC jednakokraˇcan ako su njegovi vrhovi toˇcke: 1) A(0, −3) , B(2, 3) , C(6, −1) ; 2) A(3, −1) , B(9, 5) , C(2, 6) . √ √ 1) |AB| = (2 − 0)2 + (3 − (−3))2 = 4 + 36 = 40 ; √ √ |AC| = (6 − 0)2 + (−1 − (−3))2 = 36 + 4 = 40 ; √ |AB| = |AC| = 40 – trokut je jednakokraˇcan; √ √ 2) |AB| = (9 − 3)2 + (5 − (−1))2 = 36 + 36 = 72 ;

201

4


√ √ (2 − 3)2 + (6 − (−1))2 = 1 + 49 = 50 ; √ √ |BC| = (2 − 9)2 + (6 − 5)2 = 49 + 1 = 50 ; √ |AC| = |BC| = 50 – trokut je jednakokraˇcan.

|AC| =




Zadatak 8.

Toˇcke A(−3, 1) i C(2, −4) nasuprotni su vrhovi kvadrata. Kolika je povrˇsina kvadrata? √ √ 50 = 5 2 , te je duljina Duljina dijagonale kvadrata jednaka je |AC| = √ |AC| 5 2 stranice kvadrata a = √ = √ = 5 . Stoga je povrˇsina kvadrata jednaka 2 2 P = a2 = 25 kv. jed. Duˇzina MN , M(−4, −3) , N(2, 5) , promjer je kruga. Kolika je povrˇsina kruga? √ |MN| = 2r , |MN| = (2 − (−4))2 + (5 − (−3))2 = 36 + 64 = 10 , 2r = 10 , r = 5 , P = r2 π = 25π . Izraˇcunaj povrˇsinu jednakostraniˇcnog trokuta kojem su toˇcke A(0, 5) i B(2, 1) dva vrha. Duljina stranice trokuta jednaka je a = |AB|√= (2 − 0)2 + (1 − 5)2 = √ √ √ 3 2 a = 5 3. 4 + 16 = 20 . Povrˇsina trokuta iznosi P = 4 Koristeći se obratom Pitagorina pouˇcka dokaˇzi da je trokut ABC pravokutan ako je: 1) A(2, 2) , B(6, 4) , C(5, 6) ; 2) A(5, 3) , B(4, 6) , C(−4, 0) .

Rjeˇsenje.


Zadatak 10. 202

1) |AB|2 = (6 − 2)2 + (4 − 2)2 = 16 + 4 = 20 , |BC|2 = (5 − 6)2 + (6 − 4)2 = 1 + 4 = 5 , |AC|2 = (5 − 2)2 + (6 − 2)2 = 9 + 16 = 25 , te je |AB|2 + |BC|2 = |AC|2 ; 2) |AB|2 = (4 − 5)2 + (6 − 3)2 = 1 + 9 = 10 ; |BC|2 = (−4 − 4)2 + (0 − 6)2 = 64 + 36 = 100 , |AC|2 = (−4 − 5)2 + (0 − 3)2 = 81 + 9 = 90 ; |BC|2 = |AB|2 + |AC|2 , hipotenuza je stranica |BC| . Toˇcke A(4, 3) , B(5, 1) , C(3, 0) vrhovi su jednakokraˇcnog pravokutnog trokuta. Provjeri! |AB|2 = (5 − 4)2 + (1 − 3)2 = 1 + 4 = 5 , |AC|2 = (3 − 4)2 + (0 − 3)2 = 1 + 9 = 10 , |BC|2 = (3 − 5)2 + (0 − 1)2 = 4 + 1 = 5 ; √ |AB| = |BC| = 5 – trokut je jednakokraˇcan. |AB|2 + |BC|2 = |AC|2 – trokut je pravokutan. Koliki je polumjer kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(−1, −3) , B(9, 7) , C(−3, 3) ?

4 Rjeˇsenje.

Kako je |AB|2 = (9 − (−1))2 + (7 − (−3))2 = 100 + 100 = 200 , |BC|2 = (−3 − 9)2 + (3 − 7)2 = 144 + 16 = 160 , |AC|2 = (−3 − (−1))2 + (3 − (−3))2 = 4 + 36 = 40 , |BC|2 + |AC|2 = |AB|2 , pa je trokut pravokutan. Hipotenuza pravokutnog trokuta promjer je trokutu opisane kruˇznice √ (Talesov pouˇcak). Ovdje je hipotenuza stranica AB √ , njezina je duljina 10 2 , pa je duljina polumjera opisane kruˇznice jednaka 5 2 .

Zadatak 11.

Odredi duljinu polumjera i koordinate srediˇsta kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(5, 5) , B(5, −1) , C(−2, −2) .

Rjeˇsenje.

Srediˇste kruˇznice opisane trokutu je toˇcka S(x, y) jednako udaljena od svih triju vrhova trokuta. No vrhovi A i B imaju istu apscisu pa cé ordinata srediˇsta biti jednaka y = 2 , odnosno toˇcka oblika S(x, 2) . Iz uvjeta |SB| = |SC| dobije se (x − 5)2 + (2 − (−1))2 = (x + 2)2 + (−2 − 2)2 x2 − 10x + 25 + 9 = x2 + 4x + 4 + 16 −14x = −14 x = 1. Dakle, srediˇste kruˇznice je toˇcka S(1, 2) . Polumjer kruˇznice je √ r = |AS| = (1 − 5)2 + (2 − 5)2 = 16 + 9 = 5.

Zadatak 12.

Odredi koordinate srediˇsta i duljinu polumjera kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(−3, 1) , B(−1, −3) , C(3, −3) .

Rjeˇsenje.

Neka je S(x, y) srediˇste kruˇznice. Tada mora vrijediti |AS| = |BS| = |CS| . Vrhovi B i C imaju istu ordinatu pa cé apscisa srediˇsta biti jednaka x = 1 . Dakle, srediˇste je oblika S(1, y) . Iz uvjeta |AS| = |BS| dobije se (1 − (−3))2 + (y − 1)2 = (1 − (−1))2 + (y − (−3))2 16 + y2 − 2y + 1 = 4 + y2 + 6y + 9 −8y = −4 1 y= . 2 1 Tako je srediˇste kruˇznice toˇcka S 1, . 2 2

2

2

Joˇs izraˇcunamo r = |AS| = (1 + 3) +

Zadatak 13.

1 −1 2

2 = 16 +

65 1 = . 4 4

Odredi koordinate srediˇsta i polumjer kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(−3, 2) , B(5, −2) , C(1, 6) .

203

4


Rjeˇsenje.

Mora vrijediti |AS| = |BS| = |CS| , S(x, y) . |AS| = |BS| (x − (−3))2 + (y − 2)2 = (x − 5)2 + (y − (−2))2 x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 10x + 25 + y2 + 4y + 4 16x − 8y − 16 = 0 8y = 16x − 16 y = 2x − 2, |AS| = |CS| 2

(x − (−3)) + (y − 2)2 = (x − 1)2 + (y − 6)2 x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 2x + 1 + y2 − 12y + 36 8x + 8y − 24 = 0 8y = 24 − 8x y = 3 − x. Izjednaˇcimo li jednadˇzbe dobivene iz gornjih uvjeta dobijemo 2x − 2 = 3 − x 5 x= . 3 5 4 5 4 Uvrstimo li x = u y = 3 − x dobijemo y = ; S , ; 3 3 3 3 √ 2 2 4 5 10 2 196 4 200 +3 + −2 = + = = . r = |AS| = 3 3 9 9 9 3



204

Toˇcke A(2, 1) , B(7, 1) , C(8, 4) i D(3, 4) vrhovi su paralelograma. Provjeri! √ |AB| = 52 + 02 = 5 , √ √ |BC| = 12 + 32 = 10 , |CD| = (−5)2 + 02 = 5 √ √ |AD| = 12 + 32 = 10 . √ |AB| = |CD| = 5 , |BC| = |AD| = 10 – cˇ etverokut je paralelogram. Toˇcke A(−3, −2) , B(2, 0) , C(1, 4) i D(−4, 2) vrhovi su paralelograma. Provjeri! Kolike su duljine dijagonala tog paralelograma? √ √ √ |AB| = 52 + 22 = 25 + 4 = 29 √ √ |BC| = (−1)2 + 42 = 1 + 16 = 17 , √ √ |CD| = (−5)2 + (−2)2 = 25 + 4 = 29 , √ √ |AD| = (−1)2 + 42 = 1 + 16 = 17 , dakle cˇ etverokut ABCD je paralelogram. Duljine njegovih dijagonala jednake su √ √ √ |AC| = 42 + 62 = 16 + 36 = 52 ,

4 |BD| =

√ √ (−6)2 + 22 = 36 + 4 = 40 .

Zadatak 16.

Toˇcke A(−2, −1) , B(1, 0) , C(2, 3) i D(−1, 2) vrhovi su romba. Provjeri te odredi povrˇsinu romba.

Rjeˇsenje.

Najprije provjeravamo da je cˇ etverokut ABCD romb. Dovoljno je pokazati da su sve cˇetiri stranice tog cˇetverokuta jednake duljine. √ |AB| = 32 + (−1)2 = 10 , √ |BC| = (−1)2 + 32 = 10 , √ |CD| = (−3)2 + (−1)2 = 10 , √ √ |AD| = 12 + 32 = 10 ; √ Uistinu, |AB| = |BC| = |CD| = |AD| = 10 . Duljine su dijagonala romba √ √ √ e = |AC| = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 , √ √ f = |BD| = (−2)2 + 22 = 4 + 4 = 8 , a kako je romb cˇetverokut s okomitim dijagonalama, njegova povrˇsina jednaka 1 je P = ef = 8 . 2

Zadatak 17.

ˇ Cetverokut ABCD je pravokutnik. Provjeri to i odredi povrˇsinu pravokutnika ako je: 1) A(−3, 0) , B(3, −6) , C(6, −3) , D(0, 3) ; 2) A(−2, 1) , B(0, −3) , C(8, 1) , D(6, 5) .

Rjeˇsenje.

1) |AB|2 = 62 + (−6)2 = 36 + 36 = 72 , |BC|2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 , |CD|2 = (−6)2 + 62 = 36 + 36 = 72 , |AD|2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 . Dakle, cˇ etverokut ABCD jest paralelogram. No joˇs je i |AC|2 = 92 + (−3)2 = 81 + 9 = 90 , |BD|2 = (−3)2 + 92 = 9 + 81 = 90 , sˇ to znaˇci da je pravokutnik. Njegova je povrˇsina √ √ P = |AB||BC| = 6 2 · 3 2 = 36. 2) |AB|2 = 22 + (−4)2 = 4 + 16 = 20 , |BC|2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 , |CD|2 = (−2)2 + 42 = 4 + 16 = 20 , |AD|2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 . Dakle, cˇ etverokut ABCD jest paralelogram. No joˇs je i |AC|2 = 102 + 02 = 100 , |BD|2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 , sˇ to znaˇci da je pravokutnik. Njegova je povrˇsina √ √ P = |AB||BC| = 2 5 · 4 5 = 40.

205

4



Zadatak 19.

Odredi na osi apscisa toˇcku koja je od toˇcke A(3, 6) udaljena 10. Neka je T(x, 0) toˇcka na osi apscisa. Iz uvjeta |AT| = 10 dobijemo jednadˇzbu (x − 3)2 + 36 = 100 , odnosno (x − 3)2 = 64 . Odatle je |x − 3| = 8 pa imamo dva rjeˇsenja, dvije toˇcke: T1 (−5, 0) i T2 (11, 0) . Na osi ordinata odredi toˇcku koja je od toˇcke A(3, 2) udaljena 5.

Rjeˇsenje.

Neka je T(0, y) toˇcka na osi ordinata. Iz uvjeta |AT| = 5 dobijemo jednadˇzbu 9 + (y − 2)2 = 25 , odnosno (y − 2)2 = 16 . Odatle je |y − 2| = 4 pa imamo dvije toˇcke T1 (0, −2) i T2 (0, 6) koje zadovoljavaju postavljene uvjete.

Zadatak 20.

Toˇcka T(x, 2x − 6) jednako je udaljena od toˇcaka A(0, 4) i B(8, 0) za svaˇ je skup svih toˇcaka T s ovim ku vrijednost realnog broja x . Dokaˇzi! Sto svojstvom? Rijeˇsi isti zadatak ako je: 1) A(−2, 3) , B(6, −5) , T(x + 1, x − 2) ; 2) A(−1, 2) , B(3, 0) , T(x, 2x − 1) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

Jednostavno izraˇcunamo |AT|2 = x2 + (2x − 10)2 = 5x2 − 40x + 100 , te |BT|2 = (x − 8)2 + (2x − 6)2 = 5x2 − 40x + 100 . Oˇcito, |AT| = |BT| . Skup svih toˇcaka T je pravac, simetrala duˇzine AB . 1) |AT|2 = (x + 1 + 2)2 + (x − 2 − 3)2 = (x + 3)2 + (x − 5)2 , |BT|2 = (x + 1 − 6)2 + (x − 2 + 5)2 = (x − 5)2 + (x + 3)2 . |AT| = |BT| . 2) |AT|2 = (x+1)2 +(2x−1−2)2 = x2 +2x+1+4x2 −12x+9 = 5x2 −10x+10 , |BT|2 = (x − 3)2 + (2x − 1)2 = x2 − 6x + 9 + 4x2 − 4x + 1 = 5x2 − 10x + 10 . |AT| = |BT| . Odredi na osi apscisa toˇcku koja je jednako udaljena od toˇcaka: 1) A(−1, 1) i B(5, 3) ;

Rjeˇsenje.

2) A(−3, −2) i B(1, 4) .

1) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(x, 0) toˇcka koju traˇzimo, dobije se (x + 1)2 + 1 = (x − 5)2 + 9, x2 + 2x + 1 + 1 = x2 − 10x + 25 + 9, 12x = 32, 8 x= . 3 8 Tako smo dobili toˇcku T , 0 . 3 2) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(x, 0) toˇcka koju traˇzimo, dobije se (x + 3)2 + 4 = (x − 1)2 + 16, x2 + 6x + 9 + 4 = x2 − 2x + 1 + 16, 8x = 4, 1 x= . 2

206

4 Tako smo dobili toˇcku T

Zadatak 22.

1 2

Odredi na osi ordinata toˇcku koja je jednako udaljena od toˇcaka: 1) A(−3, −1) i B(5, 1) ;

Rjeˇsenje.

,0 .

2) A(3, 3) i B(5, −1) .

1) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(0, y) toˇcka koju traˇzimo, dobije se 9 + (y + 1)2 = 25 + (y − 1)2 , 9 + y2 + 2y + 1 = 25 + y2 − 2y + 1, 4y = 16, y = 4. Tako smo dobili toˇcku T(0, 4) . 2) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(0, y) toˇcka koju traˇzimo, dobije se 9 + (y − 3)2 = 25 + (y + 1)2 , 9 + y2 − 6y + 9 = 25 + y2 + 2y + 1, −8y = 8, y = −1. Tako smo dobili toˇcku T(0, −1) .


Odredi toˇcku T(x, x) koja je jednako udaljena od toˇcaka A(5, −2) i B(6, 5) . Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(x, x) toˇcka koju traˇzimo, dobije se (x − 5)2 + (x + 2)2 = (x − 6)2 + (x − 5)2 (x + 2)2 = (x − 6)2 x2 + 4x + 4 = x2 − 12x + 36 16x = 32 x=2 Tako smo dobili toˇcku T(2, 2) .

Zadatak 24.

Dane su toˇcke M(−2, −5) i N(2, −2) . Odredi na osi ordinata toˇcku T tako da kut < )MTN bude pravi.

Rjeˇsenje.

Primijenit c´ emo obrat Pitagorinog pouˇcka, tj. potraˇziti toˇcku T(0, y) tako da vrijedi |MT|2 + |NT|2 = |MN|2 . |MT|2 = 4 + (y + 5)2 |NT|2 = 4 + (y + 2)2 |MN|2 = 16 + 9 = 25.

207

4


Iz gornjeg uvjeta dobijemo jednadˇzbu 4 + (y + 5)2 + 4 + (y + 2)2 = 25 8 + y2 + 10y + 25 + y2 + 4y + 4 = 25

2

2y + 14y + 12 = 0

·

1 2

y2 + 7y + 6 = 0. Polinom s lijeve strane rastavimo na faktore te imamo (y + 1)(y + 6) = 0 . Dvije toˇcke rjeˇsenja su zadatka: T1 (0, −6) i T2 (0, −1) .

Zadatak 25.

Dane su toˇcke M(4, −2) i N(7, 2) . Odredi na osi apscisa toˇcku T tako da kut < )MTN bude pravi.

Rjeˇsenje.

Primijenit c´ emo obrat Pitagorinog pouˇcka, tj. potraˇziti toˇcku T(x, 0) tako da vrijedi |MT|2 + |NT|2 = |MN|2 . |MT|2 = (x − 4)2 + 4 |NT|2 = (x − 7)2 + 4 |MN|2 = 9 + 16 = 25. Iz gornjeg uvjeta dobijemo jednadˇzbu (x − 4)2 + 4 + (x − 7)2 + 4 = 25 x2 − 8x + 16 + x2 − 14x + 49 + 8 − 25 = 0 2x2 − 22x + 48 = 0

·

1 2

x2 − 11x + 24 = 0. Polinom s lijeve strane rastavimo na faktore te imamo (x − 3)(x − 8) = 0 . Dvije toˇcke rjeˇsenja su zadatka: T1 (3, 0) i T2 (8, 0) .


Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako su zadani njegovi vrhovi: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

A(−3, 0) , B(3, −2) , C(1, 4) ; A(−2, 1) , B(4, −3) , C(0, 5) ; A(−2, −2) , B(5, 0) , C(1, 4) ; A(0, −5) , B(5, 0) , C(−3, 3) .

1) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−3(−2 − 4) + 3(4 − 0) + 1(0 + 2)| 2 1 P = |18 + 12 + 2| 2 P = 16; P=

208

4 2) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−2(−3 − 5) + 4(5 − 1) + 0(1 + 3)| 2 1 P = |16 + 16| 2 P = 16; P=

3) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−2(0 − 4) + 5(4 + 2) + 1(−2 − 0)| 2 1 P = |8 + 30 − 2| 2 P = 18; P=

4) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |0(0 − 3) + 5(3 + 5) − 3(−5 − 0)| 2 1 P = |40 + 15| 2 55 . P= 2 P=

Zadatak 2.

Koristeći se formulom za povrˇsinu trokuta koji je zadan koordinatama svojih vrhova provjeri da toˇcke A , B i C pripadaju jednom pravcu: 1) A(−2, 4) , B(2, 2) , C(6, 0) ; 2) A(−4, −1, ) , B(2, 1) , C(5, 2) .

Rjeˇsenje.

1) Toˇcke A , B i C pripadaju istom pravcu ako je PABC = 0 . Provjerimo: 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−2(2 − 0) + 2(0 − 4) + 6(4 − 2)| 2 1 P = |−4 − 8 + 12| 2 P = 0; P=

Povrˇsina trokuta jednaka je nuli, a to znaˇci da sve tri toˇcke, A , B i C pripadaju jednom pravcu.

209

4


2) Toˇcke A , B i C pripadaju istom pravcu ako je PABC = 0 . Provjerimo: 1 P = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−4(1 − 2) + 2(2 + 1) + 5(−1 − 1)| 2 1 P = |4 + 6 − 10| 2 P = 0; Povrˇsina trokuta jednaka je nuli, a to znaˇci da sve tri toˇcke, A , B i C pripadaju jednom pravcu.

Zadatak 3.

Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke C tako da ta toˇcka pripada pravcu AB : 1) A(−1, 4) , B(1, 0) , C(x, −4) ; 2) A(1, −2) , B(3, 1) , C(7, y) .

Rjeˇsenje.

1) Iz uvjeta PABC = 0 dobije se: 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (−1(0 + 4) + 1(−4 − 4) + x(4 − 0)) 2 1 0 = (−4 − 8 + 4x) 2 0 = 2x − 6 x = 3; 2) Iz uvjeta PABC = 0 dobije se: 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (1(1 − y) + 3(y + 2) + 7(−2 − 1)) 2 1 0 = (1 − y + 3y + 6 − 21) 2 1 0 = (2y − 14) 2 0=y−7 y = 7.


210

Toˇcke A(−4, 3) , B(5, y) i C(2, 1) pripadaju jednom pravcu. Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B . Iz uvjeta PABC = 0 slijedi 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (−4(y − 1) + 5(1 − 3) + 2(3 − y)) 2 1 0 = (−4y + 4 − 10 + 6 − 2y) 2 y = 0.


Zadatak 6.

Toˇcke A(−2, −3) , B(x, 3) i C(2, 9) pripadaju jednom pravcu. Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B . Iz uvjeta PABC = 0 slijedi 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (−2(3 − 9) + x(9 + 3) + 2(−3 − 3)) 2 1 0 = (12 + 12x − 12) 2 x = 0. Odredi povrˇsinu paralelograma ABCD ako su dana tri njegova vrha: 1) B(3, 3) , C(−2, 4) , D(−5, 0) ; 2) A(−3, 1) , C(5, −3) , D(2, 0) .

Rjeˇsenje.

1) Povrˇsina paralelograma dvostruko je veća od povrˇsine trokuta BCD , tj. P = 2 · PBCD ) : 1 P = 2 · |xB (yC − yD ) + xC (yD − yB ) + xD (yB − yC )| 2 P = |3(4 − 0) − 2(0 − 3) − 5(3 − 4)| P = |12 + 6 + 5| P = 23; 2) Povrˇsina paralelograma dvostruko je veća od povrˇsine trokuta ACD , tj. P = 2 · PACD ) : 1 P = 2 · |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 P = |−3(−3 − 0) + 5(0 − 1) + 2(1 + 3)| P = |9 − 5 + 8| P = 12.


Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC kojem su zadani vrhovi A(−2, −2) i C(7, 3) , te poloviˇste P(2, −1) stranice AB . Povrˇsina trokuta ABC dvostruko je veća od povrˇsine trokuta APC . Stoga je PABC = 2 · PAPC 1 PABC = 2 · |xA (yP − yC ) + xP (yC − yA ) + xC (yA − yP )| 2 PABC = |−2(−1 − 3) + 2(3 + 2) + 7(−2 + 1)| PABC = |8 + 10 − 7| PABC = 11.

Zadatak 8.

Izraˇcunaj povrˇsinu cˇ etverokuta ABCD ako su zadani njegovi vrhovi: 1) A(−4, 0) , B(−1, −3) , C(3, −2) , D(2, 5) ; 2) A(−3, −3) , B(5, 2) , C(1, 1) , D(−2, 3) ; 3) A(1, 1) , B(1, −2) , C(3, −1) , D(4, 3) .

211

4


Rjeˇsenje.

1) P = PABC + PACD ; 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−4(−3 + 2) − 1(−2 − 0) + 3(0 + 3)| 2 1 PABC = |4 + 2 + 9| 2 15 ; PABC = 2 1 PACD = |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 PACD = |−4(−2 − 5) + 3(5 − 0) + 2(0 + 2)| 2 1 PACD = |28 + 15 + 4| 2 47 ; PACD = 2 15 47 + = 31; P= 2 2 PABC =

2) P = PABC + PACD ; 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−3(2 − 1) + 5(1 + 3) + 1(−3 − 2)| 2 1 PABC = |−3 + 20 − 5| 2 PABC = 6; 1 PACD = |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 PACD = |−3(1 − 3) + 1(3 + 3) − 2(−3 − 1)| 2 1 PACD = |6 + 6 + 8| 2 PACD = 10; P = 6 + 10 = 16; PABC =

3) P = PABC + PACD ; 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 = |1(−2 + 1) + 1(−1 − 1) + 3(1 + 2)| 2 1 = |−1 − 2 + 9| 2 = 3;

PABC = PABC PABC PABC

212

4 1 |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 = |1(−1 − 3) + 3(3 − 1) + 4(1 + 1)| 2 1 = |−4 + 6 + 8| 2 = 5;

PACD = PACD PACD PACD

P = 3 + 5 = 8.


Izraˇcunaj povrˇsinu peterokuta kojem su vrhovi toˇcke A(−3, 1) , B(−2, −3) , C(3, −2) , D(5, 2) i E(1, 5) . P = PABC + PACD + PADE . 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−3(−3 + 2) − 2(−2 − 1) + 3(1 + 3)| 2 1 PABC = |3 + 6 + 12| 2 21 PABC = ; 2 1 |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 = |−3(−2 − 2) + 3(2 − 1) + 5(1 + 2)| 2 1 = |12 + 3 + 15| 2 = 15; 1 = |xA (yD − yE ) + xD (yE − yA ) + xE (yA − yD )| 2 1 = |−3(2 − 5) + 5(5 − 1) + 1(1 − 2)| 2 1 = |9 + 20 − 1| 2 = 14; 79 21 + 15 + 14 = . P= 2 2

PACD = PACD PACD PACD PADE PADE PADE PADE

Zadatak 10.

Izraˇcunaj duljinu visine na stranicu AB trokuta ABC ako su vrhovi trokuta toˇcke A(−3, 2) , B(1, −1) i C(−3, −3) .

Rjeˇsenje.

Najprije izraˇcunamo povrˇsinu trokuta i duljinu stranice |AB| , a zatim iz 1 P = |AB| · v nalazimo v . 2 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−3(−1 + 3) + 1(−3 − 2) − 3(2 + 1)| 2

213

4


1 |−6 − 5 − 9| 2 PABC = 10; |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 |AB| = (1 + 3)2 + (−1 − 2)2 √ |AB| = 16 + 9 PABC =

|AB| = 5 2P v= |AB| 20 v= 5 v = 4.

Zadatak 11.

Izraˇcunaj duljinu visine na stranicu BC trokuta ABC ako su vrhovi trokuta toˇcke A(1, 4) , B(−3, −2) i C(9, 3) .

Rjeˇsenje.

Najprije izraˇcunamo povrˇsinu trokuta i duljinu stranice |BC| , a zatim iz 1 P = |BC| · v nalazimo v . 2 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |1(−2 − 3) − 3(3 − 4) + 9(4 + 2)| 2 1 PABC = |−5 + 3 + 54| 2 PABC = 26; |BC| = (xC − xB )2 + (yC − yB )2 |BC| = (9 + 3)2 + (3 + 2)2 √ |BC| = 144 + 25 |BC| = 13; 2P v= |BC| 52 v= 13 v = 4.


214

Odredi apscisu x toˇcke A(x, 2) ako je A jedan vrh trokuta ABC , ostala dva vrha su toˇcke B(4, −1) i C(0, 5) , a povrˇsina trokuta jednaka je 12. A(x, 2) , B(4, −1) i C(0, 5) Iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 12 imamo 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 12 = |x(−1 − 5) + 4(5 − 2) + 0(2 + 1)| 2

4 1 |−6x + 12| 2 12 = |−3x + 6| 4 = |x − 2| . 12 =

Dobili smo jednadˇzbu |x − 2| = 4 , a njezina su rjeˇsenja x1 = 6 i x2 = −2 . Tako imamo toˇcke A1 (6, 2) i A2 (−2, 2) .


Odredi ordinatu y toˇcke C(−1, y) ako je C vrh trokuta ABC , ostala dva vrha su toˇcke A(3, −1) i B(1, 2) , a povrˇsina trokuta iznosi 5. Iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 5 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 5 = |3(2 − y) + 1(y + 1) − 1(−1 − 2)| 2 1 5 = |6 − 3y + y + 1 + 3| 2 1 5 = |2y − 10| 2 5 = |y − 5| .

PABC =

Dobili smo jednadˇzbu |y − 5| = 5 , a njezina su rjeˇsenja y1 = 10 i y2 = 0 . Tako imamo toˇcke C1 (−1, 10) , C2 (−1, 0) .

Zadatak 14.

Jedan vrh ABC je toˇcka A(−2, 4) , vrh B je ishodiˇste, a vrh C leˇzi na pravcu y − 2 = 0 . Odredi koordinate vrha C ako je povrˇsina trokuta jednaka 5 kv. jed.

Rjeˇsenje.

Toˇcka B je ishodiˇste, odnosno ima koordinate (0, 0) . Iz uvjeta da toˇcka C leˇzi na pravcu y − 2 = 0 , zakljuˇcujemo da su koordinate toˇcke (x, 2) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 5 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 5 = |−2(0 − 2) + 0(2 − 4) + x(4 − 0)| 2 1 5 = |4 + 4x| 2 5 = |2x + 2| .

PABC =

3 7 Dobili smo jednadˇzbu |2x + 2| = 5 , a njezina su rjeˇsenja x1 = i x2 = − . 2 2 3 7 , 2 i C2 − , 2 . Tako imamo toˇcke C1 2 2

Zadatak 15.

Jedan vrh ABC je u ishodiˇstu koordinatnog sustava, drugi je na pravcu x + 1 = 0 , a treći je toˇcka (5, −1) . Ako je povrˇsina trokuta jednaka 8 kv. jed., odredi koordinate nepoznatog vrha trokuta.

Rjeˇsenje.

Toˇcka A je ishodiˇste A(0, 0) , B leˇzi na pravcu x + 1 = 0 , B(−1, y) , a toˇcka C ima koordinate (5, −1) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 8

215

4


imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 8 = |0(y + 1) − 1(−1 − 0) + 5(0 − y)| 2 1 8 = |1 − 5y| 2 16 = |1 − 5y| .

PABC =

Dobili smo jednadˇzbu |5y − 1| = 16 , a njezina su rjeˇ senja y1 = −3 i 17 17 y2 = − . Tako imamo toˇcke B1 (−1, −3) i B2 −1, . 5 5

Zadatak 16.

Dva su vrha trokuta ABC toˇcke A(−2, 2) i B(4, 0) , a treći je vrh na simetrali prvog i trećeg kvadranta. Ako je povrˇsina tog trokuta jednaka 8, odredi koordinate vrha C .

Rjeˇsenje.

Vrh C je na simetrali prvog i trećeg kvadranta, tj. na pravcu y = x , pa su mu koordinate jednake (x, x) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 8 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 8 = |−2(0 − x) + 4(x − 2) + x(2 − 0)| 2 1 8 = |2x + 4x − 8 + 2x| 2 1 8 = |8x − 8| 2 2 = |x − 1| .

PABC =

Dobili smo jednadˇzbu |x − 1| = 2 , a njezina su rjeˇsenja x1 = −1 i x2 = 3 . Tako imamo toˇcke C1 (−1, −1) , C2 (3, 3) .

Zadatak 17.

Dva su vrha trokuta ABC toˇcke A(−2, 1) i C(4, 3) , a treći je vrh na simetrali drugog i cˇ etvrtog kvadranta. Ako je povrˇsina tog trokuta jednaka 13, odredi koordinate vrha B .

Rjeˇsenje.

Vrh B je na simetrali drugog i cˇ etvrtog kvadranta, tj. na pravcu y = −x , pa su mu koordinate jednake (x, −x) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 13 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 13 = |−2(−x − 3) + x(3 − 1) + 4(1 + x)| 2 1 13 = |2x + 6 + 2x + 4 + 4x| 2 1 13 = |8x + 10| 2 13 = |4x + 5| .

PABC =

216

4 9 Dobili smo jednadˇzbu |4x + 5| = 13 , a njezina su rjeˇsenja x1 = 2 i x2 = − . 2 9 9 Tako imamo toˇcke B1 (2, −2) , B2 − , . 2 2

Zadatak 18.

Toˇcke A(−3, 2) i B(5, 0) vrhovi su na osnovici jednakokraˇcnog trokuta ABC . Odredi treći vrh trokuta ako mu je povrˇsina jednaka 34.

Rjeˇsenje.

Neka je C(x, y) treći vrh trokuta. Povrˇsina trokuta jednaka je 34, te imamo: 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 34 = |−3(0 − y) + 5(y − 2) + x(2 − 0)| 2 1 34 = |3y + 5y − 10 + 2x| 2 1 34 = |2x + 8y − 10| 2 34 = |x + 4y − 5|

PABC =

No trokut je jednakokraˇcan, sˇ to znaˇci |AC| = |BC| : |AC|2 = |BC|2 (x + 3)2 + (y − 2)2 = (x − 5)2 + (y − 0)2 x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 10x + 25 + y2 16x − 4y − 12 = 0 :4 4x − y − 3 = 0 y = 4x − 3 Tako smo dobili sustav dviju jednadˇzbi s rjeˇsenjima koja su koordinate toˇcke C : y = 4x − 3 34 = |x + 4y − 5| 34 = |x + 4(4x − 3) − 5| 34 = |17x − 17| 1

◦

34 = −17x + 17 2 = −x + 1 x = −1, y = −7 =⇒ C1 (−1, −7)

2◦

34 = 17x − 17 2=x−1 x = 3, y = 9 =⇒ C2 (3, 9)

Dvije su toˇcke rjeˇsenja zadatka, C1 (−1, −7) i C2 (3, 9) .

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

Vrhovi cˇ etverokuta ABCD su toˇcke A(−3, 1) , B(−1, −5) , C(5, −3) i D(3, 3) . 1) Dokaˇzi da je ovaj cˇ etverokut kvadrat. 2) Kolika je povrˇsina ovog kvadrata? ˇ 1) Cetverokut ABCD cé biti kvadrat ako ima sve stranice jednake duljine i dijagonale jednake duljine. √ √ |AB| = (−1 + 3)2 + (−5 − 1)2 = 4 + 36 = 40; √ √ |BC| = (5 + 1)2 + (−3 + 5)2 = 36 + 4 = 40;

217

4


√ √ 4 + 36 = 40; √ √ |AD| = (3 + 3)2 + (3 − 1)2 = 36 + 4 = 40; √ √ |AC| = (5 + 3)2 + (−3 − 1)2 = 64 + 16 = 80; √ √ |BD| = (3 + 1)2 + (3 + 5)2 = 16 + 64 = 80; √ √ |AB| = |BC| = |CD| = |AD| = 40 ; |AC| = |BD| = 80 , 2) P = |AB|2 = 40 kv. jed. |CD| =

Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

(3 − 5)2 + (3 + 3)2 =

Vrhovi cˇ etverokuta ABCD su toˇcke A(−5, 3) , B(3, −1) , C(5, 3) i D(−3, 7) . 1) Dokaˇzi da je ovaj cˇ etverokut pravokutnik. 2) Kolika je povrˇsina tog pravokutnika? ˇ 1) Cetverokut ABCD c´ e biti pravokutnik ako ima nasuprotne stranice jednake duljine i dijagonale jednake duljine. √ √ |AB| = (3 + 5)2 + (−1 − 3)2 = 64 + 16 = 80; √ √ |BC| = (5 − 3)2 + (3 + 1)2 = 4 + 16 = 20; √ √ |CD| = (−3 − 5)2 + (7 − 3)2 = 64 + 16 = 80; √ √ |AD| = (−3 + 5)2 + (7 − 3)2 = 4 + 16 = 20; √ |AC| = (5 + 5)2 + (3 − 3)2 = 100 = 10; √ |BD| = (−3 − 3)2 + (7 + 1)2 = 36 + 64 = 10; √ √ |AB| = |CD| = 80 , |BC| = |AD| = 20 , |AC| = |BD| = 10 ; √ √ √ 2) P = |AB| · |BC| = 80 · 20 = 1600 = 40 kv. jed. Vrhovi cˇ etverokuta ABCD su toˇcke A(−1, 1) , B(0, −2) , C(5, 1) i D(4, 4) . 1) Dokaˇzi da je ovaj cˇ etverokut paralelogram. 2) Kolika je povrˇsina tog paralelograma? ˇ 1) Cetverokut je paralelogram ako su mu nasuprotne stranice jednake duljine. Nadimo duljine stranica: √ √ |AB| = (0 + 1)2 + (−2 − 1)2 = 1 + 9 = 10; √ √ |BC| = (5 − 0)2 + (1 + 2)2 = 25 + 9 = 34; √ √ |CD| = (4 − 5)2 + (4 − 1)2 = 1 + 9 = 10; √ √ |AD| = (4 + 1)2 + (4 − 1)2 = 25 + 9 = 34; √ √ |AB| = |CD| = 10 , |BC| = |AD| = 34 . 2) P = 2 · P(ACD) = |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| P = |−1(1 − 4) + 5(4 − 1) + 4(1 − 1)| P = |3 + 15| P = 18. kv. jed.

218


Rjeˇsenje.

Odredi poloviˇste duˇzine AB ako je: 1) A(−3, −3) , B(7, 5); 2) A(−4, 1) , B(3, −1). 7−3 5−3 1) P , , P(2, 1) ; 2 2 3 − 4 −1 + 1 1 , , P − ,0 ; 2) P 2 2 2

Zadatak 2.

Odredi koordinate toˇcaka koje su simetriˇcne toˇckama A(−4, 0) , B(1, −3) , C(3, 4) i D(−1, 5) s obzirom na toˇcku S(−1, 1) .

Rjeˇsenje.

Neka su A , B , C i D redom toˇcke simetriˇcne toˇckama A , B , C i D . S(−1, 1) je poloviˇste duˇzina AA , BB , CC i DD . Sada iz formule za poloviˇste duˇzine imamo redom: xA = 2xS − xA = −2 + 4 = 2, yA = 2yS − yA = 2 − 0 = 2, A (2, 2); B (−3, 5);

xB = 2xS − xB = −2 − 1 = −3, yB = 2yS − yB = 2 + 3 = 5,

xC = 2xS − xC = −2 − 3 = −5, yC = 2yS − yC = 2 − 4 = −2, C (−5, −2); xD = 2xS − xD = −2 + 1 = −1, yD = 2yS − yD = 2 − 5 = −3, D (−1, −3).


Toˇcka A (−3, −5) simetriˇcna je slika toˇcke A , toˇcka B (2, 0) toˇcke B , a toˇcka C (−1, 4) toˇcke C s obzirom na toˇcku S(−2, −1) . Odredi koordinate toˇcaka A, B i C. S(−1, 1) je poloviˇste duˇzina AA , BB i CC . Sada iz formule za poloviˇste duˇzine imamo redom: xA = 2xS − xA = −4 + 3 = −1, yA = 2yS − yA = −2 + 5 = 3, A(−1, 3); xB = 2xS − xB = −4 − 2 = −6, yB = 2yS − yB = −2 − 0 = −2, B(−6, −2); xC = 2xS − xC = −4 + 1 = −3, yC = 2yS − yC = −2 − 4 = −6, C(−3, −6).

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Toˇckama B i C duˇzina AD podijeljena je na tri jednaka dijela. Odredi koordinate toˇcaka: 1) C i D , ako je A(−3, 2) , B(0, 1) ; 2) A i C , ako je B(2, −3) , D(5, 4) ; 3) A i D , ako je B(2, −1) , C(3, 1) . 1) Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xC = 2xB − xA = 0 + 3 = 3,

yC = 2yB − yA = 2 − 2 = 0,

C(3, 0);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xD = 2xC − xB = 6 − 0 = 6, yD = 2yC − yB = 0 − 1 = −1, D(6, −1); 2) Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xC =

2+5 7 −3 + 4 1 xB + xD yB + yD = = , yC = = = , C 2 2 2 2 2 2

7 1 , 2 2

;

219

4


Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: 1 7 xA = 2xB − xC = 4 − = , 2 2

13 1 yA = 2yB − yC = −6 − = − , 2 2

A

1 13 ,− 2 2

;

3) Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = 4 − 3 = 1,

yA = 2yB − yC = −2 − 1 = −3,

A(1, −3);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xD = 2xC − xB = 6 − 2 = 4,

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

yD = 2yC − yB = 2 + 1 = 3,

D(4, 3).

Toˇckama B , C i D duˇzina AE podijeljena je na cˇetiri jednaka dijela. 1) Ako je B(−3, 3) i D(1, −1) , odredi koordinate toˇcaka A, C i E ; 2) ako je C(−1, 2) i E(3, 6) , odredi koordinate toˇcaka A , B i D ; 3) ako je D(10, 0) i E(12, 1) , odredi koordinate toˇcaka A , B i C . 1) Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xC =

−3 + 1 xB + xD = = −1, 2 2

yC =

3−1 yB + yD = = 1, 2 2

C(−1, 1);

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = −6 + 1 = −5,

yA = 2yB − yC = 6 − 1 = 5,

A(−5, 5);

Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: xE = 2xD − xC = 2 + 1 = 3,

yE = 2yD − yC = −2 − 1 = −3,

E(3, −3);

A(−5, 5) , C(−1, 1) , E(3, −3) ; 2) Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: −1 + 3 2+6 xC + xE yC + yE = = 1, yD = = = 4, 2 2 2 2 Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo:

xD =

xB = 2xC − xD = −2 − 1 = −3,

yB = 2yC − yD = 4 − 4 = 0,

D(1, 4);

B(−3, 0);

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = −6 + 1 = −5,

yA = 2yB − yC = 0 − 2 = −2,

A(−5, −2);

A(−5, −2) , B(−3, 0) , D(1, 4) ; 3) Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: xC = 2xD − xE = 20 − 12 = 8,

yC = 2yD − yE = 0 − 1 = −1,

C(8, −1);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xB = 2xC − xD = 16 − 10 = 6,

yB = 2yC − yD = −2 − 0 = −2,

B(6, −2);

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = 12 − 8 = 4,

yA = 2yB − yC = −4 + 1 = −3,

A(4, −3);

A(4, −3) , B(6, −2) , C(8, −1) .

Zadatak 6. 220

Toˇckama B , C i D duˇzina AE podijeljena je na cˇetiri sukladna dijela. Ako su zadane toˇcke A(−7, 5) i C(−3, 3) , odredi koordinate toˇcaka B , D i E .

4 Rjeˇsenje.

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xB =

−7 − 3 xA + xC = = −5, 2 2

yB =

5+3 yA + yC = = 4, 2 2

B(−5, 4);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xD = 2xC − xB = −6 + 5 = −1,

yD = 2yC − yB = 6 − 4 = 2,

D(−1, 2);

Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: xE = 2xD − xC = −2 + 3 = 1,

yE = 2yD − yC = 4 − 3 = 1,

E(1, 1);

B(−5, 4) , D(−1, 2) , E(1, 1) .


Duˇzina MN , M(1, 5) , N(7, 3) , promjer je kruˇznice. U kojoj je toˇcki srediˇste kruˇznice? Kolika je duljina polumjera? Srediˇste je poloviˇste duˇzine MN : 1+7 3+5 xM + xN yM + yN = = 4, yS = = = 4, 2 2 2 2 √ r = |SM| = (4 − 1)2 + (4 − 5)2 = 10.

xS =


S(4, 4);

Odredi srediˇste kruˇznice kojoj je promjer duˇzina AB , A(−4, −2) , B(4, 4) . Kolika je povrˇsina kruga omedenog tom kruˇznicom? Srediˇste je poloviˇste duˇzine AB : −4 + 4 −2 + 4 xA + xA yA + yA = = 0, yS = = = 1, 2 2 2 2 √ r = |SA| = (0 + 4)2 + (1 + 2)2 = 16 + 9 = 5;

xS =

S(0, 1);

P = r2 π = 25π .

Zadatak 9.

Izraˇcunaj udaljenosti poloviˇsta P duˇzine AB do toˇcaka A i B i uvjeri se da 1 vrijedi |PA| = |PB| = |AB| . 2

Rjeˇsenje. 2 2 xB + xA yB + yA + yA − xA − 2 2 2 2 2 2 2xA − xB − xA xA − xB 2yA − yB + yA yA − yB = + = + 2 2 2 2 1 1 1 (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = [(xA − xB )2 + (yA − yB )2 ] = 4 4 4 1 1 1 = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = |BA| = |AB|. 2 2 2

|PA| = (xA − xP )2 + (yA − yP )2 =

221

4


2 2 xB + xA yB + yA + yB − xB − 2 2 2 2 2 2 2yB − yB + yA yB − yA 2xB − xB − xA xB − xA = + = + 2 2 2 2 1 1 1 (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = [(xB − xA )2 + (yB − yA )2 ] = 4 4 4 1 1 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = |AB|. 2 2

|PB| = (xB − xP )2 + (yB − yP )2 =

Zadatak 10.

Ako su A(−1, −1) i B(3, 0) dva susjedna vrha, a S(1, 2) sjeciˇste dijagonala paralelograma ABCD , odredi vrhove C i D . Izraˇcunaj povrˇsinu paralelograma.

Rjeˇsenje.

Dijagonale paralelograma se raspolovljavaju pa je toˇcka S srediˇste duˇzina AC i BD . Imamo: yC = 2yS − yA = 4 + 1 = 5, C(3, 5); xC = 2xS − xA = 2 + 1 = 3, xD = 2xS − xB = 2 − 3 = −1, yD = 2yS − yB = 4 − 0 = 4, D(−1, 4); 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 = |−1(0 − 5) + 3(5 + 1) + 3(−1 − 0)| = |5 + 18 − 3|

P = 2 · PABC = 2 ·

= 20 kv. jed.

Zadatak 11.

Toˇcke A(−1, −4) i B(6, −3) dva su vrha paralelograma ABCD , a toˇcka S(3, −1) sjeciˇste je dijagonala. 1) Odredi koordinate vrhova C i D paralelograma. 2) Kolike su duljine dijagonala paralelograma? 3) Izraˇcunaj povrˇsinu paralelograma.

Rjeˇsenje.

1) Dijagonale paralelograma se raspolovljavaju pa je toˇcka S srediˇste duˇzina AC i BD . Imamo: xC = 2xS − xA = 6 + 1 = 7, yC = 2yS − yA = −2 + 4 = 2, C(7, 2); xD = 2xS − xB = 6 − 6 = 0, yD = 2yS − yB = −2 + 3 = 1, D(0, 1); 2)

√ (7 + 1)2 + (2 + 4)2 = 64 + 36 = 10; √ √ √ |BD| = (0 − 6)2 + (1 + 3)2 = 36 + 16 = 50 = 5 2; |AC| =

3) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 = |−1(−3 − 2) + 6(2 + 4) + 7(−4 + 3)|

P = 2 · PABC = 2 · = |5 + 36 − 7| = 34 kv. jed.

222

4 Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadan je cˇ etverokut ABCD , A(−2, −1) , B(6, −3) , C(4, 3) , D(0, 5) . Poloviˇsta stranica cˇ etverokuta vrhovi su paralelograma. Provjeri! Dokaˇzi da je povrˇsina cˇ etverokuta ABCD dva puta veća od povrˇsine paralelograma. Neka su P1 , P2 , P3 i P4 redom poloviˇsta stranica AB , BC , CD i AD . −2 + 6 = 2, 2 6+4 = 5, = 2 4+0 = 2, = 2 −2 + 0 = −1, = 2

−3 − 1 = −2, 2 −3 + 3 = 0, = 2 3+5 = 4, = 2 −1 + 5 = 2, = 2

xP 1 =

yP 1 =

P1 (2, −2)

xP 2

yP 2

P2 (5, 0)

xP 3 xP 4

yP 3 yP 4

P3 (2, 4) P4 (−1, 2)

Neka je sada P poloviˇste duˇzine P1 P3 , a P poloviˇste duˇzine P2 P4 . 2+2 −2 + 4 = 2, yP = = 1, P(2, 1) 2 2 5−1 0+2 = 2, yP = = 2, P (2, 1) xP = 2 2 P = P , a to znaˇci da je cˇ etverokut P1 P2 P3 P4 paralelogram. xP =

P(ABCD) = P(ABD) + P(BCD) 1 = |xA (yB −yD )+xB (yD −yA )+xD (yA −yB )| 2 1 + |xB (yC −yD )+xC (yD −yB )+xD (yB −yC )| 2 1 = |−2(−3 − 5) + 6(5 + 1) + 0(−1 + 3)| 2 1 + |6(3 − 5) + 4(5 + 3) + 0(−3 − 3)| 2 1 1 = |16 + 36| + |−12 + 32| 2 2 = 26 + 10 = 36 P(P1 P2 P3 P4 ) = 2 · P(P1 P2 P3 ) = |xP1 (yP2 − yP3 ) + xP2 (yP3 − yP1 ) + xP3 (yP1 − yP2 )| = |2(0 − 4) + 5(4 + 2) + 2(−2 − 0)| = |−8 + 30 − 4| = 18 P(ABCD) = 36 , P(P1 P2 P3 P4 ) = 18 kvadratnih jedinica.

Zadatak 13.

Povrˇsina paralelograma ABCD jednaka je 14 kvadratnih jedinica. Ako su A(1, −1) i B(5, −2) dva vrha, a sjeciˇste dijagonala leˇzi na pozitivnom dijelu osi x , odredi vrhove C i D .

Rjeˇsenje.

Toˇcka S je poloviˇste dijagonale AC i nalazi se na osi x , pa je toˇcka C jednako udaljena od osi x kao i toˇcka A , i nalazi se s druge strane osi x , odnosno

223

4


ima ordinatu yC = 1 , C(xC , 1) . Isto tako zakljuˇcujemo D(xD , 2) . Pomoću formule za povrˇsinu trokuta 1 P(ABC) = P = 7, 2 odredimo apscisu toˇcke C : 1 7 = |1(−2 − 1) + 5(1 + 1) + xC (−1 + 2)| 2 14 = | − 3 + 10 + xC | 14 = |7 + xC |; Dobili smo jednadˇzbu |xC + 7| = 14 , xC = 7 , C(7, 1) ; Sada iz formule za srediˇste imamo: 1+7 xA + xC = = 4, S(4, 0) xS = 2 2 xD = 2xS − xB = 8 − 5 = 3, D(3, 2).

Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

Kolike su duljine srednjica trokuta ABC ako su vrhovi trokuta toˇcke: 1) A(−3 , 1) , B(3, −5) , C(5, 7) ; 2) A(−4, 0) , B(6, −5) , C(0, 3) ? 1) 1 |AB| = 2 1 |B1 C1 | = |BC| = 2 1 |A1 C1 | = |AC| = 2 |A1 B1 | =

√ 1 1√ 1 √ (3 + 3)2 + (−5 − 1)2 = 72 = · 6 2 = 3 2; 2 2 2 √ √ √ 1 1 1 (5 − 3)2 + (7 + 5)2 = 148 = · 2 37 = 37; 2 2 2 √ 1 1 1 (5 + 3)2 + (7 − 1)2 = 100 = · 10 = 5. 2 2 2

Zadatak 15.

Toˇcke A1 (2, −3) , B1 (6, −6) , C1 (6, 0) poloviˇsta su stranica trokuta. Odredi koordinate vrhova trokuta.

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo vrhove trokuta s A(xA , yA ) , B(xB , yB ) , C(xC , yC ) , i neka je A1 poloviˇste od BC , B1 od AC , i C1 od AB . Tada imamo sustav jednadˇzbi ⎫ xA + xB = 12, ⎪ ⎬ xB + xC = 4, / · (−1) + ⎪ ⎭ xA + xC = 12 xA + xB − xB − xC + xA + xC = 20, iz kojeg se dobije xA = 10 , xB = 2 , xC = 2 . Iz sustava ⎫ yA + yB = 0, ⎪ ⎬ yB + yC = −6, / · (−1) + ⎪ ⎭ yA + yC = −12 yA + yB − yB − yC + yA + yC = −6 slijedi yA = −3 , yB = 3 , yC = −9 . Vrhovi trokuta su toˇcke A(10, −3) , B(2, 3) , C(2, −9) .

224

4 Zadatak 16.

Toˇcke P(1, −1) , Q(0, 4) i R(4, 2) poloviˇsta su stranica trokuta. Odredi koordinate vrhova trokuta.

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo vrhove trokuta s A(xA , yA ) , B(xB , yB ) , C(xC , yC ) , i neka je P poloviˇste od BC , Q od AC , i R od AB . Tada imamo sustav jednadˇzbi ⎫ xA + xB = 8, ⎪ ⎬ xB + xC = 2, / · (−1) + ⎪ ⎭ xA + xC = 0 xA + xB − xB − xC + xA + xC = 6, iz kojeg se dobije xA = 3 , xB = 5 , xC = −3 . Iz sustava

⎫ ⎪ ⎬ yB + yC = −2, / · (−1) + ⎪ ⎭ yA + yC = 8 yA + yB = 4,

yA + yB − yB − yC + yA + yC = 14 slijedi yA = 7 , yB = −3 , yC = 1 . Vrhovi trokuta su toˇcke A(3, 7) , B(5, −3) , C(−3, 1) .


Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako su toˇcke A1 (5, 2) , B1 (2, 3) i C1 (1, 1) poloviˇsta njegovih stranica. Odredimo vrhove trokuta. Imamo sustav jednadˇzbi: ⎫ xA + xB = 2, ⎪ ⎬ xB + xC = 10, / · (−1) + ⎪ ⎭ xA + xC = 4 xA + xB − xB − xC + xA + xC = −4, iz kojeg se dobije xA = −2 , xB = 4 , xC = 6 . ⎫ yA + yB = 2, ⎪ ⎬ yB + yC = 4, / · (−1) + ⎪ ⎭ yA + yC = 6 yA + yB − yB − yC + yA + yC = 4 slijedi yA = 2 , yB = 0 , yC = 4 . A(−2, 2) , B(4, 0) , C(6, 4) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 = |−2(0 − 4) + 4(4 − 2) + 6(2 − 0)| 2 1 = |8 + 8 + 12| 2 = 14.

P=

225

4


Moˇzemo i izravno raˇcunati povrˇsinu trokuta A1 B1 C1 , a povrˇsina trokuta ABC je cˇetiri puta veća od povrˇsine trokuta A1 B1 C1 . 1 P(A1 B1 C1 ) = |xA1 (yB1 − yC1 ) + xB1 (yC1 − yA1 ) + xC1 (yA1 − yB1 )| 2 1 = |5(3 − 1) + 2(1 − 2) + 1(2 − 3)| 2 1 = |10 − 2 − 1| 2 7 = 2 7 P = 4 · = 14 . 2

226

Zadatak 18.

Dan je trokut ABC , A(−1, 1) , B(3, −1) , C(5, 3) . Toˇcka A1 poloviˇste je stranice BC , toˇcka B1 stranice AC , a toˇcka C1 stranice AB . Izraˇcunaj opsege i povrˇsine trokuta ABC i A1 B1 C1 i pokaˇzi da je opseg prvoga dvostruko, a povrˇsina cˇetverostruko veća od opsega, odnosno povrˇsine drugog.

Rjeˇsenje.

Najprije odredimo poloviˇsta A1 , B1 , C1 stranica BC , AC i AB trokuta ABC . 3 + 5 −1 + 3 , A1 , A1 (4, 1) 2 2 −1 + 5 1 + 3 B1 , , B1 (2, 2) 2 2 −1 + 3 1 − 1 , C1 , C1 (1, 0). 2 2 Potom izraˇcunamo: √ |AB| = (3 + 1)2 + (−1 − 1)2 = 20 √ |BC| = (5 − 3)2 + (3 + 1)2 = 20 √ |AC| = (5 + 1)2 + (3 − 1)2 = 40 √ |A1 B1 | = (2 − 4)2 + (2 − 1)2 = 5 √ |B1 C1 | = (1 − 2)2 + (0 − 2)2 = 5 √ |A1 C1 | = (1 − 4)2 + (0 − 1)2 = 10. Usporedimo sada opsege i povrˇsine: √ √ √ √ √ √ √ √ O(ABC) = 20 + 20 + 40 = 2 5 + 2 5 + 2 10 = 2(2 5 + 10), √ √ √ √ √ O(A1 B1 C1 ) = 5 + 5 + 10 = 2 5 + 10; 1 1 P(ABC) = | − 1(−1 − 3) + 3(3 − 1) + 5(1 + 1)| = |4 + 6 + 10| = 10, 2 2 1 5 1 O(A1 B1 C1 ) = |4(2 − 0) + 2(0 − 1) + 1(1 − 2)| = |8 − 2 − 1| = . 2 2 2 Time je tvrdnja zadatka dokazana.

5 Rjeˇsenja zadataka 5.1 Zadatak 1. Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Koje su od sljedećih veliˇcina vektorske, a koje skalarne: temperatura, obujam, brzina, masa, ubrzanje, sila, elektriˇcni napon? Vektroske veliˇcine su: brzina, ubrzanje, sila. Skalarne veliˇcine su: temperatura, obujam, masa, elektriˇcni napon. Dan je paralelogram ABCD . Toˇcka O sjeciˇste je njegovih dijagonala. Promatramo skup vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka vrh paralelograma ili toˇcka O .

−→ 1) Ispiˇsi sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor AO . Ispiˇsi sve −→ vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor AO . −→ 2) Ispiˇsi sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor BD . Ispiˇsi sve −→ vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor BD . Rjeˇsenje.



Zadatak 5.

−→ −→ −→ 1) Jednak smjer kao i vektor AO imaju vektori: OA , AC , −→ −→ Jednaku orijentaciju kao i vektor AO imaju vektori: AC i −→ −→ −→ 2) Jednak smjer kao i vektor BD imaju vektori: DB , DO , −→ −→ Jednaku orijentaciju kao i vektor BD imaju vektori: BO i

−→ CA , −→ OC . −→ OD , −→ OD .

−→ −→ OC , CO . −→ −→ OB , BO .

Koliko ima vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka neka dva vrha trokuta ABC ? − → −→ − → −→ −→ −→ Ima ih 6. To su vektori AB , AC , BA , BC , CA i CB . Koliko ima vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka vrhovi cˇetverokuta ABCD ako je taj cˇ etverokut paralelogram, a koliko ako nije paralelogram? − → −→ − → − → −→ Ima ih 12 (za bilo koji cˇ etverokut). To su vektori: AB , AC , AS , BA , BC , −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ BD , CA , CB , CD , DA , DB i DC . Nacrtaj pravilan sˇ esterokut ABCDEF . Neka je S sjeciˇste dijagonala tog sˇ esterokuta. Ispiˇsi sve vektore kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka neki vrh sˇ esterokuta ili toˇcka S , a koji su −→ 1) jednaki vektoru BC ; − → 2) suprotni vektoru SA .

227

5


Rjeˇsenje.

D

E

F

− → − → − → 1) AS , SD , FE ;

C

S A

B

− → − → −→ −→ 2) AS , SD , BC , FE .


Dan je paralelogram ABCD . Neka je toˇcka S sjeciˇste njegovih dijagonala. Izraˇcunaj: − → −→ − → − → −→ −→ 1) SD + CD ; 2) AS + BS ; 3) AD + CB ; − → − → − → − → − → − → 5) AB + BS ; 6) BS + CS . 4) AB + SD ;

Rjeˇsenje.

D

E

F

C

S A

B

− → −→ −→ −→ −→ − → − → − → − → 1) SD + CD = BC + CD = BD ; 2) AS + BS = AS + SE = −→ −→ −→ − → − → − → − → − → −→ 3) AD + CB = AD + DS = AS ; 4) AB + SD = AB + BC = − → − → − → − → − → − → − → − → 5) AB + BS = AS ; 6) BS + CS = BS + SF = BF .

Zadatak 2.

− → AE ; −→ AC ;

Toˇcka S sjeciˇste je dijagonala paralelograma ABCD . Izraˇcunaj: − → − → − → 1) AS + BS + CS ; − → − → −→ 2) AB + CS + BD ; − → −→ −→ 3) AB + AC + AD ; − → − → − → − → 4) SA + SB + SC + SD .

Rjeˇsenje.

D

C

S A

B

− → − → − → − → − → − → − → − → − → − → 1) AS + BS + CS = BS + AS + CS = BS + AS + SA = BS ; − → − → −→ −→ − → − → −→ −→ − → − → 2) AB + CS + BD = BD + AB + CS == BD + DC + CS = BS ; −→ −→ − → −→ −→ − → −→ −→ −→ − → 3) AB + AC + AD = AC + AB + AD = AC + AB + BC = 2 AC ;

228

5 − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → 4) SA + SB + SC + SD = SA + SC + SB + SD = SA + AS + SB + BS = 0 .

Zadatak 3.

Neka je ABCDEF pravilan sˇ esterokut i neka je S sjeciˇste njegovih dijagonala. Izraˇcunaj: − → − → − → − → −→ − → 1) AB + EF ; 2) AB + SD ; 3) BC + ES ; − → − → −→ − → −→ − → 4) CS + EF ; 5) DE + SC ; 6) CF + AS .

Rjeˇsenje. F

1) 3) 4) 6)

Zadatak 4.

− → − → AB + EF −→ − → BC + ES − → − → CS + EF −→ − → CF + AS

A

= = = =

B

− → − → − → −→ −→ 2) AB + SD = AB + BC = AC ; − → −→ SD = ED ; −→ − → −→ −→ 5) DE + SC = DE + ED = 0 ;

Toˇcka S sjeciˇste je dijagonala pravilnog sˇ esterokuta ABCDEF . Izraˇcunaj: − → − → − → − → −→ − → 1) AB + SD + SF ; 2) AB + CD + EF ; − → − → − → − → − → − → 3) AB + AS + AF ; 4) SB + SD + SF . D

E

F

1) 2) 3) 4)

C

S A

Rjeˇsenje.

C

S

− → −→ − → SC + CB = SB ; − → −→ − → ES + BC = ES + − → − → −→ CS + SA = CA ; −→ − → −→ CF + FE = CE .

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

D

E

B

− → − → − → − → −→ − → − → AB + SD + SF = AB + BC + CS = AS ; − → −→ −→ − → − → − → AB + CD + EF = AB + BS + SA = 0 ; − → − → − → − → −→ −→ −→ AB + AS + AF = AB + BC + CD = AD ; − → − → − → − → −→ − → SB + SD + SF = SB + BC + CS = 0 .

Odredi zbroj vektora: −→ −→ −→ − → 1) AC + DB + CD + BA ; − → −→ −→ −→ 2) AB + CD + BC + DE . −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ − → −→ −→ − → 1) AC + DB + CD + BA = ( AC + CD ) + DB + BA = AD + DB + BA = − → − → AB + BA = 0 ; − → −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ −→ −→ − → 2) AB + CD + BC + DE = ( AB + BC )+( CD + DE ) = AC + CE = AE .

229

5


Zadatak 6.

Moˇze li zbroj vektora biti vektor manje duljine nego sˇ to je duljina svakog pojedinog pribrojnika? Moˇze li razlika vektora biti manje duljine od njihova zbroja?

Rjeˇsenje.

Zbroj vektora moˇze biti vektor manje duljine nego sˇ to je duljina svakog poje− → − → dinog pribrojnika, npr: AB + BA = 0 (A = B) . − → − → Razlika vektora moˇze biti manje duljine od njihova zbroja, npr: AB + AB = − → − → − → 2 AB , AB − AB = 0 (A = B) .

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

Nacrtaj paralelogram ABCD i odredi njegovo srediˇste −→ −→ − → −→ 1) BC − DC ; 2) AB − BC ; 3) − → − → −→ − → 4) BS − SD ; 5) AC − SC ; 6) −→ −→ −→ −→ −→ 1) BC − DC = BC + CD = BD ; − → −→ − → −→ −→ − → −→ 2) AB − BC = AB + DA = DA + AB = DB ; − → − → − → − → − → 3) AS − BS = AS + SB = AB ; − → − → − → − → 4) BS − SD = BS − BS = 0 ; −→ − → −→ − → − → 5) AC − SC = AC + CS = AS ; − → − → − → − → − → − → − → 6) AS − SD = AS − BS = AS + SB = AB .

D

C

S B

A

Neka su A , B , C , D , E , F vrhovi pravilnog sˇ esterokuta. Provjeri jednakosti: − → −→ −→ −→ −→ − → 1) AB − DC = BC ; 2) BC − ED = AF ; −→ −→ − → − → −→ −→ 3) CD − FE = BA ; 4) AF − DE = BC . − → −→ − → − → − → − → 1) AB − DC = AB − SB = AB + BS = − → −→ AS = BC ; −→ −→ −→ − → −→ − → 2) BC − ED = BC − SC = BC + CS = − → − → F BS = AF ; −→ −→ −→ − → −→ − → 3) CD − FE = CD − SD = CD + DS = − → − → CS = BA ; → −→ − → − → − → − → − → −→ − 4) AF − DE = AF − SF = AF + FS = AS = BC .

E

2) a − b + c ;

D

C

S

A

Nacrtaj neka tri vektora a , b i c te konstruiraj sljedeće vektore: 1) a + b − c ;

230

S . Izraˇcunaj: − → − → AS − BS ; − → − → AS − SD .

3) a − b − c .

B

5 Rjeˇsenje.

1)

a + b -c c

a +b

b a

2)

3) c

a-b +c b

c a-b a


Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

b

a

a-b -c b

a-b a

− → − → −→ Toˇcka T teˇziˇste je trokuta ABC . Odredi zbroj vektora TA + TB + TC . − → − → −→ − → Konstruiramo paralelogram ADBT . Tada je: TA + TB + TC = ( TA + − → −→ −→ −→ TB ) + TC = TD + TC = 0 .

Pojednostavni: − → −→ −→ −→ 1) AB − BC − CD − DA ; − → −→ −→ −→ −→ −→ 2) ( AB − BC ) − ( CD + AD ) + ( CB − CD ) . − → −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ 1) AB − BC − CD − DA = AB + CB + DC + AD = AB + CB + AD + DC −→ −→ − → −→ −→ − → − → − → − → = AB + CB + AC = AB + AC + CB = AB + AB = 2 AB ; − → −→ −→ −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ −→ −→ 2) ( AB − BC )−( CD + AD )+( CB − CD ) = AB − BC − CD − AD + CB − CD −→ −→ −→ − → −→ −→ − → −→ −→ −→ = AB + CB + DC + DA + CB + DC = DA + AB + 2( DC + CB ) −→ −→ −→ = DB + 2 DB = 3 DB . −→ −→ Dan je trapez ABCD . Dokaˇzi da je vektor AC + DB kolinearan s vektorom − → AB . −→ −→ −→ −→ − → −→ − → −→ Zapiˇsimo: AC = AD + DC = AD + k · AB , DB = AB − AD . Tada je −→ −→ − → AC + DB = (k + 1) AB .

231

5




Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

232

Toˇcka O srediˇste je pravilnog peterokuta ABCDE . Dokaˇzi da su vektori −→ −→ −→ −→ −→ OA + OB + OC i OD + OE kolinearni. −→ −→ D Vektor OA + OC kolinearan je s vek−→ torom OB . Oni leˇze na pravcu OB , te −→ −→ −→ je i vektor OA + OB + OC na pravcu E C OB . −→ −→ OD + OE ima smjer simetrale stranice O ED a ona leˇzi na pravcu OB . −→ −→ −→ −→ Dakle, vektori OA + OB + OC i OD + −→ B A OE leˇze na pravcu OB , tj. kolinearni su. Srednjica trokuta je duˇzina koja spaja poloviˇsta dviju stranica trokuta. Srednjica je paralelna trećoj stranici i od nje je upola kraća. Dokaˇzi! Neka su M i N poloviˇsta stranica AC i BC tro−→ −→ −→ − → kuta ABC . Tada je AM + MN + NB = AB , te −→ −→ −→ CM + MN + NC = 0 . Zbrojimo li ove dvije jed−→ − → nakosti dobit cémo izravno 2 MN = AB , odnosno → −→ 1− MN = AB . 2 Srednjica trapeza duˇzina je koja spaja poloviˇsta njegovih krakova. Srednjica je 1 paralelna osnovicama i njezina je duljina s = (a + c) , gdje su a i c duljine 2 osnovica trapeza. Dokaˇzi! Neka su M i N poloviˇsta krakova AD , odnosno BC , −→ −→ trapeza ABCD . Moˇzemo zapisati: AM + MN + −→ − → −→ −→ −→ −→ NB = AB , te DM + MN + NC = DC . Nakon −→ zbrajanja ovih dviju jednakosti dobijemo 2 MN = → −→ − → −→ −→ 1 − AB + DC , a odatle MN = ( AB + DC ) . Kako 2 − → −→ su vektori AB i DC kolinearni, iz ove jednakosti izravno slijedi tvrdnja iskazana u zadatku. −→ Ako je P poloviˇste duˇzine AB , a O neka toˇcka u ravnini, tada je OP = −→ 1 −→ ( OA + OB ) . Dokaˇzi! 2

5 Rjeˇsenje.


−→ −→ − → −→ Zbrojimo li jednakosti OP = OA + AP i OP = −→ − → −→ −→ −→ OB + BP , dobit cémo 2 · OP = OA + OB , a odatle −→ −→ 1 −→ OP = ( OA + OB ) . 2 Dokaˇzi da je duˇzina MN koja spaja poloviˇsta M i N dijagonala AC i BD trapeza ABCD paralelna s osnovicama trapeza. −→ −→ −→ 1 −→ 1 −→ Kako je AM = AC = ( AD + DC ) te AN = 2 2 → −→ −→ −→ −→ → 1 − 1 − ( AB + AD ) , to je MN = AN − AM = ( AB − 2 2 −→ − → −→ DC ) . No, vektori AB i DC su kolinearni, tj. postoji − → −→ takav realni broj k , k = 0 , za kojega je AB = k· DC . −→ −→ 1 Stoga je MN = (k − 1) DC . 2

C

D N

M

A

B


−→ −→ Dan je paralelogram ABCD . Prikaˇzi vektore AC i BD kao linearnu kombi− → −→ naciju vektora AB i AD . D

−→ − → −→ − → −→ AC = AB + BC = AB + AD ; −→ − → −→ − → −→ BD = BA + AD = − AB + AD . B

A


−→ − → Dan je paralelogram ABCD . Prikaˇzi vektore AD i AB kao linearnu kombi−→ −→ naciju vektora AC i BD . D

−→ 1 −→ 1 −→ AD = AC + BD ; 2 2 − → 1 −→ 1 −→ AB = AC − BD . 2 2 A


C

C

B

−→ −→ − → Dan je paralelogram ABCD . Neka je AC = a , BD = b . Izrazi vektore AB , −→ −→ BC i CD kao linearnu kombinaciju vektora a i b . − → 1 1 AB = a − b ; D 2 2 −→ 1 1 BC = a + b ; 2 2 a b −→ − → 1 1 CD = − AB = b − a ; 2 2 B A −→ −→ 1 1 DA = − BC = − a − b . 2 2

C

233

5


Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

234

Toˇcke E, F, G i H poloviˇsta su stranica paralelograma ABCD . − → −→ AE = a , AH = b provjeri sljedeće jednakosti: − → −→ 1) AF = 2a + b ; 2) AC = 2a + 2b ; −→ −→ 3) AG = a + 2b ; 4) BD = 2b − 2a .

Ako je

− → − → − → −→ − → −→ 1) AF = AB + BF = 2a + b ; 2) AC = AB + BC = 2a + 2b ; −→ −→ −→ 3) AG = AD + DG = 2b + a = a + 2b ; −→ − → −→ 4) BD = BA + AD = −2a + 2b = 2b − 2a . Stranica BC trokuta ABC toˇckama P i Q podijeljena je na tri jednaka dije− → −→ − → la. Izrazi vektore AP i AQ kao linearnu kombinaciju vektora AB = c i −→ AC = b . −→ BC = b − c , − → − → 1 −→ 1 AP = c + BP = c + BC = c + (b − c) = 3 3 1 2 b + c , 3 3 −→ −→ 2 −→ 2 AQ = c + BQ = c + BC = c + (b −c) = 3 3 2 1 b + c . 3 3

A

c

b

P

B

C

Q

Toˇcke D, E i F poloviˇsta su stranica BC , AC i AB trokuta ABC . Prika−→ − → −→ − → zˇ i vektore AD , BE i CF kao linearnu kombinaciju vektora AB = c i −→ AC = b . − → −→ −→ AB = c , AC = b BC = b − c −→ 1 −→ 1 1 AD = c + BC = c + (b − c) = b + 2 2 2 1 c ; 2 − → − → − → 1 BE = BA + AE = −c + b ; 2 −→ −→ − → 1 CF = CA + AF = −b + c . 2

C

E

D

b A

c F

B

5 Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Dan je kvadrat ABCD . Toˇckama E i F dijagonala BD kvadrata podijeljena je − → − → −→ na tri sukladna dijela. Izrazi vektore AE , AF i EF kao linearnu kombinaciju − → −→ vektora v1 = AB i v2 = AD .

− → −→ −→ − → −→ AB = v1 , AD = v1 , BD = BA + AD = −v1 + v2 − → − → 1 −→ 1 2 1 AE = AB + BD = v1 + (−v1 + v2 ) = v1 + v2 ; 3 3 3 3 − → − → 2 −→ 2 1 2 AF = AB + BD = v1 + (−v1 + v2 ) = v1 + v2 ; 3 3 3 3 − → 1 −→ 1 1 1 EF = BD = (−v1 + v2 ) = − v1 + v2 . 3 3 3 3 −→ −→ Neka je ABCDEF pravilan sˇ esterokut. Izrazi vektore BC i BD kao linearnu − → − → kombinaciju vektora AB i AF .

Rjeˇsenje.

D

E

F

C

S A

B

−→ − → − → − → − → − → − → BC = BS + SC = SC + BS = AB + AF ; −→ −→ −→ − → − → − → − → − → BD = BC + CD = ( AB + AF ) + AF = AB + 2 AF .

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

− → Toˇcke A , B , C , D , E i F vrhovi su pravilnog sˇ esterokuta. Ako je AF = e1 , − → −→ − → −→ AC = e2 , prikaˇzi vektore AB , AD i AE kao linearnu kombinaciju vektora e1 i e2 . −→ −→ − → AB = e2 + CB = e2 + OA − − → − → − → = e2 + OF + FA = e2 − AB − e1 − → − → 1 1 =⇒ 2 AB = e2 − e1 =⇒ AB = e2 − e1 ; 2 2 − → −→ −→ −→ AD = AC + CD = e1 + AF = e1 + e2 ; − → − → − → 1 3 1 1 AE = AB + BE = e2 − e1 + 2e1 = e1 + e2 . 2 2 2 2

E

F

D

C

O e1

e2 A

B

235

5


Zadatak 10.

Rjeˇsenje.


Neka su M , N i P poloviˇsta stranica BC , AC i AB trokuta ABC . Prika−→ −→ −→ − → zˇ i vektore AM , BN i CP kao linearne kombinacije vektora AB = e1 i −→ AC = e2 . −→ BC = e1 − e1 ; −→ − → −→ 1 −→ 1 −→ AM = AB + BM = e1 + CB = e1 − BC = 2 2 1 1 1 e1 − (e1 − e1 ) = e1 + e2 ; 2 2 2 −→ − → −→ 1 BN = BA + AN = e2 − e1 ; 2 → −→ −→ − → −→ 1 − 1 CP = CA + AP = − AC + AB = e1 − e2 . 2 2

236

N e2

A

M

e1 P

U trokutu ABC toˇcke M i N poloviˇsta su stranica AB i AC . Prikaˇzi vektore − → −→ −→ −→ −→ = CM i n = BN . AB , AC i MN kao linearnu kombinaciju vektora m − → − − → AB = 2AM − → −→ − − → AB = 2(AC + CM) − → −→ AB = 2AC + 2 m − → − − → AB = 2 · 2AN + 2 m − → − → AB = 4(AB + n) + 2 m → − m −3AB = 4n + 2 − → 2 4 AB = − n − m 3 3 −→ − − → AC = 2AN −→ − → − − → AC = 2(AB + BN) −→ − → AC = 2AB + 2n −→ − − → AC = 2 · 2AM + 2n −→ −→ ) + 2n AC = 4(AC + m −→ −3AC = 4 m + 2n −→ 2 4 − n AC = − m 3 3

Zadatak 12.

C

C

N

m n

A

M

B

−−→ − − → − − → MN = MA + AN −−→ 1 − → 1 −→ MN = BA + AC 2 2 → 1 −→ −−→ 1− MN = − AB + AC 2 2 −−→ 2 1 4 2 1 4 + − n − m MN = − − n − m 2 3 3 2 3 3 −−→ 2 1 2 1 − m − n MN = n + m 3 3 3 3 −−→ 1 1 MN = n − m 3 3

Toˇcka M poloviˇste je stranice BC , a toˇcka N stranice CD paralelograma − → −→ −→ ABCD . Prikaˇzi vektore AB i AD kao linearne kombinacije vektora AM i −→ AN .

B

5 N

D

Rjeˇsenje.

C M B

A

− → 1 −→ − − → AB + AD = AM / · 2 2 → − − → −→ 1 − AD + AB = AN / · (−1) 2 − → −→ − − → 2AB + AD = 2AM

⎫ ⎪ ⎬

−→ 1 − → − − →⎪ − AD − AB = −AN ⎭ 2

− → − → 1 −→ − AB + AD = AM 2 → − − → −→ 1 − AD + AB = AN / · (−2) 2 ⎫ − → 1 −→ − − → ⎪ ⎬ AB + AD = AM 2 + −→ − → − − →⎪ ⎭ − 2AD − AB = −2AN

+

− → − − → 2 3 −→ − − AD = AM − 2AN · − 2 3 −→ − → 4− − → 2− AD = − AM + AN 3 3

→ − − → − − → 2 3− AB = 2AM − AN · 2 3 − → 4− − → 2− − → AB = AM − AN 3 3


− → Dane su toˇcke A(4, 0) , B(1, 3) , C(−2, −1) , D(1, −1) . Odredi vektore AB , −→ −→ −→ −→ BC , CD , BD i AC . Dobivene rezultate provjeri crtanjem u koordinatnoj ravnini.

Rjeˇsenje. A(4, 0),

B(1, 3),

C(−2, −1),

D(1, −1)

√ √ − → − → AB = (1 − 4)ı + (3 − 0)j = −3ı + 3j, |AB| = (−3)2 + (3)2 = 18 = 3 2; −→ −→ BC = (−2 − 1)ı + (−1 − 3)j = −3ı − 4j, |BC| = (−3)2 + (−4)2 = 5 − − → − − → CD = (1 − (−2))ı + (−1 − (−1))j = 3ı, |CD| = (−3)2 = 3 −→ −→ BD = (1 − 1)ı + (−1 − 3)j = −4j, |BD| = (−4)2 = 4 √ −→ −→ AC = (−2 − 4)ı + (−1 − 0)j = −6ı − 1j, |AC| = (−6)2 + (−1)2 = 37; y 3

B

2 1 -2 -1

C

Zadatak 2.

-1 -2

x

A 1

2

3

4

5

D

− → −→ Dane su toˇcke A(−1, −3) , B(4, 1) i C(2, 4) . Odredi vektore AB , BC i −→ CA .

237

5


Prikaˇzi toˇcke A , B i C u koordinatnoj ravnini i provjeri je li dobro rijeˇsen zadatak. Rjeˇsenje.

A(−1, −3),

B(4, 1),

C(2, 4)

√ − → − → AB = (4 − (−1))ı + (1 − (−3))j = 5ı + 4j, |AB| = 52 + 42 = 41; √ −→ −→ BC = (2 − 4)ı + (4 − 1)j = −2ı + 3j, |BC| = (−2)2 + 32 = 13 √ −→ − − → CA = (−1 − 2)ı + (−3 − 4)j = −3ı − 7j, |CD| = (−3)2 + (−7)2 = 58 y

4

C

3 2 1 -2 -1

A


-1

B 1

2

3

4

x 5

-2 -3

−→ − → Dane su toˇcke A(−2, 0) , B(0, 1) i C(4, 3) . Provjeri da je BC = 2 · AB . A(−2, 0),

B(0, 1),

C(4, 3)

− → AB = (0 − (−2))ı + (1 − 0)j = 2ı + j −→ BC = (4 − 0)ı + (3 − 1)j = 4ı + 2j − → −→ 2 · AB = 2 · (2ı + j) = 4ı + 2j = BC


Toˇcke A(−1, 1) , B(2, −1) , C(5, −3) pripadaju jednom pravcu. Provjeri! - da je toˇcka B poloviˇste duˇzine AC . Provjeri takoder − → −→ Dovoljno je pokazati da su vektori AB i BC kolinearni, tj. da postoji broj − → −→ k = 0 takav da je AB = k · BC . − → AB = (2 − (−1))ı + (−1 − 1)j = 3ı − 2j −→ BC = (5 − 2)ı + (−3 − (−1))j = 3ı − 2j − → −→ AB = BC =⇒ k = 1 =⇒ toˇcke su kolinearne, B je poloviˇste od AC.

Zadatak 5. 238

Toˇcke A(101, −49) , B(−51, 27) , C(77, −37) pripadaju jednom pravcu, odnosno, kolinearne su. Provjeri!

5 Rjeˇsenje.

− → −→ Dovoljno je pokazati da su vektori AB i BC kolinearni, tj. da postoji broj − → −→ k = 0 takav da je AB = k · BC . − → AB = (−51 − 101)ı + (27 − (−49))j = −152ı + 76j −→ BC = (77 − (−51))ı + (−37 − 27)j = 128ı − 64j − → −→ AB = k · BC −152ı + 76j = k · (128ı − 64j) 19 Ako postoji takav k onda mora vrijediti −152 = 128k , odnosno k = − . 16 19 Provjerimo da li je k = − traˇzeni k : 16 19 −152ı + 76j = − · (128ı − 64j) 16 −152ı + 76j = 152ı + 76j =⇒ toˇcke su kolinearne



− → −→ −→ → − Dane su toˇcke A(−2, 4) , B(5, 1) , C(3, 5) . Provjeri: AB + BC + CA = 0 . A(−2, 4), B(5, 1), C(3, 5) − → AB = (5 − (−2))ı + (1 − 4)j = 7ı − 3j −→ BC = (3 − 5)ı + (5 − 1)j = −2ı + 4j −→ CA = (−2 − 3)ı + (4 − 5)j = −5ı − j − → −→ −→ AB + BC + CA = 7ı − 3j − 2ı + 4j − 5ı − j = 0 Dane su toˇcke A(−1, 1) , B(2, −1) , C(x, −3) . Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke C tako da sve tri toˇcke pripadaju jednom pravcu. − → −→ Mora vrijediti AB = k · BC , k = 0 . − → AB = (2 − (−1))ı + (−1 − 1)j = 3ı − 2j −→ BC = (x − 2)ı + (−3 − (−1))j = (x − 2)ı − 2j − → −→ AB = k · BC =⇒ −2 = k · (−2) =⇒ k = 1 3 = k · (x − 2) 3 = 1 · (x − 2) 3=x−2 x=5

Zadatak 8.

Dane su toˇcke A(−5, −3) , B(−2, y) , C(4, 0) . Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B tako da toˇcke A , B i C budu kolinearne.

239

5


Rjeˇsenje.


− → −→ Mora vrijediti AB = k · AC , k = 0 . − → AB = (−2 − (−5))ı + (y − (−3))j = 3ı + (y + 3)j −→ AC = (4 − (−5))ı + (0 − (−3))j = 9ı + 3j − → −→ 1 AB = k · AC =⇒ 3 = k · 9 =⇒ k = 3 (y + 3) = k · 3 1 y+3= ·3 3 y+3=1 y = −2 Ako su A(1, −1) , B(3, 2) i C(−2, 3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD , odredi koordinate cˇetvrtog vrha D . A(1, −1), B(3, 2), C(−2, 3), D(x, y), − → − − → AB = DC (paralelogram) (3 − 1)ı + (2 + 1)j = (−2 − x)ı + (3 − y)j 2ı + 3j = (−2 − x)ı + (3 − y)j 2 = −2 − x =⇒ x = −4 3 = 3 − y =⇒ y = 0 =⇒ D(−4, 0)


Ako su A(2, 1) , B(−2, 4) i D(0, −3) tri vrha paralelograma ABCD , odredi koordinate vrha C . A(2, 1), B(−2, 4), C(x, y), D(0, −3), − → − − → AB = DC (paralelogram) (−2 − 2)ı + (4 − 1)j = (x − 0)ı + (y + 3)j − 4ı + 3j = xı + (y + 3)j − 4 = x =⇒ x = −4 3 = y + 3 =⇒ y = 0 =⇒ C(−4, 0).

240


Toˇcke A(0, 3) i B(2, 2) dva su vrha paralelograma ABCD , toˇcka S(3, 4) sjeciˇste je njegovih dijagonala. Odredi koordinate vrhova C i D . A(0, 3),

B(2, 2),

S(3, 4),

C(xC , yC ),

D(xD , yD )

C, D =? − → − → AS = SC

− → − → BS = SD

(3−0)ı+(4−3)j=(xC −3)ı+(yC −4)j 3ı + 1j = (xC − 3)ı + (yC − 4)j

(3−2)ı+(4−2)j=(xD −3)ı+(yD −4)j ı + 2j = (xD − 3)ı + (yD − 4)j

3 = xC − 3 =⇒ xC = 6 1 = yC − 4 =⇒ yC = 5

1 = xD − 3 =⇒ xD = 4 2 = yD − 4 =⇒ yD = 6

=⇒ C(6, 5)

Zadatak 12.

=⇒ D(4, 6)

1 3 Toˇcke B(1, −2) i C(3, 2) vrhovi su paralelograma ABCD , toˇcka S − , 2 2 sjeciˇste je njegovih dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

Rjeˇsenje. A(xA , yA ),

B(1, −2),

1 3 , S − , 2 2

C(3, 2),

D(xD , yD )

A, D =? − → − → AS = SC 1 3 1 3 − − xA ı + − yA j = 3 + ı + 2 − Br)j 2 2 2 2 3 1 7 1 − yA j = ı + j − − xA ı + 2 2 2 2 1 7 =⇒ xA = −4 − − xA = 2 2 1 3 − yA = =⇒ yA = 1 2 2 =⇒ A(−4, 1) − → − → BS = SD 1 3 1 3 j − − 1 ı + ( + 2)j = xD + ı + yD − 2 2 2 2 7 3 1 3 j − ı + j = xD + ı + yD − 2 2 2 2 3 1 − = xD + =⇒ xD = −2 2 2 3 7 = yD − =⇒ yD = 5 2 2 =⇒ D(−2, 5)

241

5



Toˇcke A(−1, −1) , B(3, −2) i C(5, 2) tri su uzastopna vrha paralelograma ABCD . Kolika je duljina dijagonale BD ? A(−1, −1),

B(3, −2),

C(5, 2),

D(xD , yD )

|BD| =? − → − − → AB = DC (3 + 1)ı + (−2 + 1)j = (5 − xD )ı + (2 − yD )j 4ı − j = (5 − xD )ı + (2 − yD )j 5 − xD = 4 =⇒ xD = 1 2 − yD = −1 =⇒ yD = 3 =⇒ D(1, 3) −→ BD = (1 − 3)ı + (3 + 2)j = −2ı + 5j √ √ −→ |BD| = (−2)2 + 52 = 4 + 25 = 29


Toˇcke A(3, 2) , B(1, −2) i D(5, 1) tri su vrha paralelograma ABCD . Kolika je duljina dijagonale AC ? A(3, 2),

B(1, −2),

D(5, 1),

C(xC , yC ),

|AC| =? − → − − → AB = DC (1 − 3)ı + (−2 − 2)j = (xC − 5)ı + (yC − 1)j − 2ı − 4j = (xC − 5)ı + (yC − 1)j xC − 5 = −2 =⇒ xC = 3 yC − 1 = −4 =⇒ yC = −3 =⇒ C(3, −3) −→ AC = (3 − 3)ı + (−3 − 2)j = −5j √ −→ |AC| = 0 + 52 = 25 = 5


− → Odredi jediniˇcni vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor AB ako je A(3, 1) , B(−1, −2) . A(3, 1),

B(−1, −2),

− → AB = (−1 − 3)ı + (−2 − 1)j = −4ı − 3j √ − → |AB| = (−4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 5

242

5 → 1 1 − e = − → · AB = 5 (−4ı − 3j) |AB| 4 3 e = − ı − j 5 5

Zadatak 16.

Odredi jediniˇcni vektor koji ima isti smjer, ali suprotnu orijentaciju od vektora − → AB ako je A(−4, 9) , B(−2, 5) .

Rjeˇsenje. A(−4, 9),

B(−2, 5),

− → AB = (−2 + 4)ı + (5 − 1)j = 2ı − 4j √ √ √ − → |AB| = 22 + (−4)2 = 4 + 16 = 20 = 2 5 → 1 1 − √ e = − → · AB = 2 5 (2ı − 4j) |AB| 1 2 e = √ ı − √ j 5 5

Zadatak 17.

Toˇcke A(−1, 1) , B(3, −2) , C(7, 7) vrhovi su trokuta ABC . Odredi vektor u smjeru simetrale unutarnjeg kuta pri vrhu A ovog trokuta.

Rjeˇsenje. A(−1, 1),

B(3, −2),

C(7, 7),

s =? √ − → AB = (3 + 1)ı + (−2 − 1)j = 4ı − 3j = 16 + 9 = 5 4 3 1 e1 = (4ı − 3j) = ı − j 5 5 5 −→ AC = (7 + 1)ı + (7 − 1)j = 8ı + 6j √ −→ |AC| = 64 + 36 = 10 4 3 1 (8ı + 6j) = ı + j e2 = 10 5 5 s = k( e1 + e2 ), k ∈ R 4 3 4 3 8 s = k ı − j + ı + j = kı 5 5 5 5 5

Zadatak 18.

− → Odredi vektor v kolinearan s vektorom AB , gdje je A(2, −1) , B(−1, 3) ako je |v| = 20 .

243

5


Rjeˇsenje.

− → v = kAB, |v| = 20, A(2, −1), B(−1, 3) − → AB = (2 − 1)ı + (3 + 1)j = −3ı + 4j √ − → |AB| = 9 + 16 = 5 1 e = − → |AB| − → 1 3 4 AB = (−3ı + 4j) = − ı + j 5 5 5 3 4 v = ±|v| · e = ±20 − ı + j 5 5 v1 = −12ı + 16j v2 = 12ı − 16j


−→ Dane su toˇcke A(1, 1) , B(2, 2) , C(0, 3) i D(5, 8) . Prikaˇzi vektor AD kao − → −→ linearnu kombinaciju vektora AB i AC . − → AB = (2 − 1)ı + (2 − 1)j = ı + j −→ AC = (0 − 1)ı + (3 − 1)j = −ı + 2j −→ AD = (5 − 1)ı + (8 − 1)j = 4ı + 7j −→ − → −→ AD = α AB + β AC α (ı + j) + β (−ı + 2j) = 4ı + 7j (α − β )ı + (α + 2β )j = 4ı + 7j

α −β =4 α + 2β = 7

2 −

− 3β = −3 =⇒ β = 1 α − 1 = 4 =⇒ α = 5 −→ − → −→ AD = 5AB + AC

Zadatak 20. 244

−→ − → −→ Vektor AD prikaˇzi kao linearnu kombinaciju vektora AB i AC ako je A(−2, 1) , B(−1, −1) , C(1, 2) i D(1, 9) .

5 Rjeˇsenje. − → AB = (−1 + 2)ı + (−1 − 1)j = ı − 2j −→ AC = (1 + 2)ı + (2 − 1)j = 3ı + j −→ AD = (1 + 2)ı + (9 − 1)j = 3ı + 8j − → −→ −→ AD = α AB + β AC

α (ı − 2j) + β (3ı + j) = 3ı + 8j (α + 3β )ı + (−2α + β )j = 3ı + 8j α + 3β = 3/ · 2 − 2α + β = 8 2α + 6β = 6 − 2α + β = 8 7β = 14 =⇒ β = 2

α + 6 = 3 =⇒ α = −3 −→ − → −→ AD = −3AB + 2AC

Zadatak 21.

− → Dane su toˇcke A(1, 3) , B(2, 2) , C(3, 5) i D(4, 7) . Vektor AB prikaˇzi kao −→ −→ linearnu kombinaciju vektora BC i BD .

Rjeˇsenje. − → AB = (2 − 1)ı + (2 − 3)j = ı − j −→ BC = (3 − 2)ı + (5 − 2)j = ı + 3j −→ BD = (4 − 2)ı + (7 − 2)j = 2ı + 5j − → −→ −→ AB = α BC + β BD α (ı + 3j) + β (2ı + 5j) = ı − j (α + 2β )ı + (3α + 5β )j = ı − j

α + 2β = 1/ · (−3) 3α + 5β = −1 − 3α − 6β = −3 3α + 5β = −1

245

5


− β = −4 =⇒ β = 4

α + 8 = 1 =⇒ α = −7 − → −→ −→ AB = −7BC + 4BD


Dani su vektori a = 3ı − j , b = i − 2j , c = −ı + 7j . Vektor v = a + b + c prikaˇzi kao linearnu kombinaciju vektora a i b . a = 3ı − j b = ı − 2j c = −ı + 7j v = αa + βb v = a + b + c v = 3ı − j +ı − 2j −ı + 7j = 3ı + 4j 3ı + 4j = α (3ı − j) + β (ı − 2j) 3ı + 4j = (3α + β )ı + (−α − 2β )j 3α + β = 3/ · 2 − α − 2β = 4 6α + 2β = 6 − α − 2β = 4 5α = 10 =⇒ α = 5 6 + β = 3 =⇒ β = −3 v = 2a − 3b


Odredi |a − 3b| i |3a − 2b| ako je a = ı − 3j , b = 2ı − 5j . |a − 3b| =? |3a − 2b| =? a = ı − 3j b = 2ı − 5j a − 3b = ı − 3j − 3(2ı − 5j) = −5ı + 12j √ |a − 3b| = (−5)2 + 122 = 169 = 13 3a − 2b = 3(ı − 3j) − 2(2ı − 5j) = −ı + j √ |3a − 2b| = (−1)2 + 12 = 2

246


Dani su vektori a = −ı + 2j , b = 3ı + 4j i c = −2ı + j . Odredi vektor v kolinearan s c , a duljine jednake duljini vektora a + b . a = −ı + 2j b = 3ı + 4j c = −2ı + j v = αc |v| = |a + b| a + b = −ı + 2j + 3ı + 4j = 2ı + 6j √ √ √ |a + b| = 22 + 62 = 40 = 2 10 =⇒ α = ±2 10 √ |c| = (−2)2 + 12 = 5 1 1 e = · c = √ (−2ı + j) |c| 5 √ √ 1 v = ±2 10 · √ (−2ı + j) = ±2 2(−2ı + j) 5 √ √ v1 = −4 2ı + 2 2 √ √ v2 = 4 2ı − 2 2j

247

6



Nacrtaj grafove sljedećih jednadˇzbi: 1) 3) 5) 7) 9) 11)

x + y = 8; x = −1 ; 3x + 4y = 6 ; 3x = −9 ; 3x + 2y = 0 ; x + 4 = 0;

2x − y = 0 ; 2y + 1 = 0 . x + y = 0; −2y = 1 . 2y = 5 ; 4x − 6y = 15 .

2) 4) 6) 8) 10) 12)

Rjeˇsenje. 1) y

2)

3)

y

y

8 2 1

x

8

4)

-1

x

-1 -2

5) y

6)

y

x

-1 2

7)

3 2

y

x

x

2

8)

y

x

-1

9) y

y 3 2

x

-3

10)

11)

y

x

-1 2

-13 2

12)

y

y

5 2 x

248

-4

x

x

1

-5 2

15 4

x

6 Zadatak 2.

Dane su toˇcke A i B . Napiˇsi jednadˇzbu pravca odredenog tim dvjema toˇckama ako je: 1) A(2, −1) , B(5, 2) ; 2) A(−4, −4) , B(2, 5) ; 3) A(−1, 0) , B(5, −4) .

Rjeˇsenje.

1) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: −1 = 2a + b, 2 = 5a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = −2a − 1 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit cémo 2 = 5a − 2a − 1 . Odatle je a = 1 i potom b = −3 . Jednadˇzba pravca glasi y = x − 3 ; 2) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: −4 = −4a + b, 5 = 2a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = 4a − 4 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, 3 i potom b = 2 . Jednadˇzba dobit cémo 5 = 2a + 4a − 4 . Odatle je a = 2 3 pravca glasi y = x + 2 ; 2 3) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: 0 = −a + b, −4 = 5a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = a i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit 2 2 cémo −4 = 5a + a . Odatle je a = − , pa je i b = − . Jednadˇzba pravca 3 3 2 2 glasi y = − x − . 3 3

Zadatak 3.

- dvjema toˇckama: Odredi jednadˇzbu pravca koji je odreden 1) A(−3, −3) , B(5, −3) ; 2) A(−4, 2) , B(−4, −5) ; 3) A(−1, 1) , B(5, −5) .

Rjeˇsenje.

1) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: −3 = −3a + b, −3 = −a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = 3a − 3 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit cémo −3 = −a + 3a − 3 . Odatle je a = 0 , a b = −3 . Jednadˇzba pravca glasi y = −3 . Uoˇcimo li odmah da toˇcke A i B imaju istu y koordinatu i stoga odreduju pravac paralelan s x -osi, i bez raˇcunanja zakljuˇcujemo da jednadˇzba tog pravca glasi y = −3 ; - pravac pa2) Obje toˇcke imaju istu x koordinatu koja iznosi −4 pa odreduju ralelan s y -osi zadan jednadˇzbom x = −4 ;

249

6


3) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: 1 = −a + b, −5 = 5a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = a + 1 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit cémo −5 = 5a + a + 1 . Odatle je a = −1 , a b = 0 . Jednadˇzba pravca glasi y = −x .


Dokaˇzi da toˇcka B(−2, 0) pripada pravcu AC , A(−3, 2) , C(1, −6) te da je |BC| = 3 · |AB| . Jednadˇzba pravca AC glasi: −6 − 2 y−2= · (x + 3) =⇒ y − 2 = −2x − 6 =⇒ y = −2x − 4; 1+3 B(−2, 0) ∈ AC ⇐⇒ 0 = −2 · (−2) − 4 ⇐⇒ 0 = 0 =⇒ toˇcka B pripada pravcu AC √ √ |AB| = (−2 + 3)2 + (0 − 2)2 = 1 + 4 = 5 √ √ |BC| = (1 + 2)2 + (−6 − 0)2 = 9 + 36 = 3 5 =⇒ |BC| = 3 · |AB|

Zadatak 5.

Dokaˇzi da toˇcke P(2, 1) i Q(5, 0) pripadaju pravcu AB , A(−1, 2) , B(8, −1) , te da duˇzinu AB dijele na tri jednaka dijela.

Rjeˇsenje.

Jednadˇzba pravca AB glasi: −1 − 2 1 5 y−2= (x + 1) =⇒ y = − x + . 8+1 3 3 U dobivenu jednadˇzbu pravca uvrstimo koordinate toˇcke P : 1 5 1= − ·2+ =⇒ 1 = 1. 3 3 Dakle, toˇcka P pripada tom pravcu. Na isti naˇcin provjerimo da i toˇca Q pripada tom pravcu: 1 5 0= − ·5+ =⇒ 0 = 0. 3 3 Pogledajmo sada duljine duˇzina AP , PQ i QB : √ √ |AP| = (2 + 1)2 + (1 − 2)2 = 9 + 1 = 10; √ √ |PQ| = (5 − 2)2 + (0 − 1)2 = 9 + 1 = 10; √ √ |QB| = (8 − 5)2 + (−1 − 0)2 = 9 + 1 = 10. √ =⇒ |AP| = |PQ| = |QB| = 10. Dakle, toˇcke P i Q dijele duˇzinu AB na tri jednaka dijela.

Zadatak 6.

250

Toˇcke A(−3, −2) , B(−1, y) i C(1, 6) pripadaju jednom pravcu. 1) Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B . 2) Odredi jednadˇzbu pravca koji je simetriˇcan pravcu AC prema osi apscisa. 3) Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga taj pravac zatvara s koordinatnim osima?

6 Rjeˇsenje.

Jednadˇzba pravca AC glasi: y+2=

6+2 (x + 3), 1+3

y + 2 = 2(x + 3) =⇒ y = 2x + 4.

1) Uvrstimo koordinate toˇcke B u dobivenu jednadˇzbu pravca i slijedi da je: y = 2 · (−1) + 4 = 2 =⇒ B(−1, 2); 2) Pravac simetriˇcan pravcu AC prema osi apscisa prolazi toˇckama A (−3, 2) i C (1, −6) pa je njegova jednadˇzba: y−2=

−6 − 2 (x − 3), 1+3

y − 2 = −2(x − 3) =⇒ y = −2x − 4;

3) Pravac sijeˇce koordinatne osi u toˇckama (0, 4) i (−2, 0) te je: P=

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

| − 2| · |4| = 4 kv. jed. 2

Toˇcke A(−4, 0) , B(0, −2) i C(x, −5) pripadaju jednom pravcu. 1) Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke C . 2) Odredi jednadˇzbu pravca koji je simetriˇcan pravcu AC prema osi ordinata. 3) Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga taj pravac zatvara s koordinatnim osima? Jednadˇzba pravca AB glasi: y−0=

−2 − 0 (x + 4), 0+4

1 =⇒ y = − x − 2. 2

1) Uvrstimo koordinate toˇcke C u dobivenu jednadˇzbu pravca i slijedi da je 1 −5 = − · x − 2, 2

1 x = 3, 2

x = 6 =⇒ C(6, −5);

2) Pravac simetriˇcan pravcu AB prema osi ordinata prolazi toˇckama A (4, 0) i B (0, −2) pa je njegova jednadˇzba: A(-4, 0) , B(0, -2) y−0=

−2 − 0 (x − 4), 0−4

y=

1 x − 2; 2

3) Pravac sijeˇce koordinatne osi u toˇckama (−4, 0) i (0, −2) , te je: P=

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

| − 4| · | − 2| 8 = = 4 kv. jed. 2 2

Toˇcke A(−3, −2) i B(−1, 4) leˇze na pravcu p . 1) Nacrtaj pravac p u koordinatnom sustavu. 2) U kojim toˇckama pravac p sijeˇce koordinatne osi? 3) Odredi jednadˇzbu pravca koji je simetriˇcan pravcu p prema osi apscisa. 1) Jednadˇzba pravca AB glasi: y+2=

4+2 (x + 3), −1 + 3

y + 2 = 3(x + 3) =⇒ y = 3x + 7.

251

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA y 7 -7 3

x

7 7 =⇒ M − , 0 ; 3 3 x = 0 =⇒ y = 3 · 0 + 7, y = 7 =⇒ N(0, 7) ; 3) Pravac simetriˇcan pravcu AC prema osi apscisa prolazi toˇckama A (−3, 2) i B (−1, −4) pa je njegova jednadˇzba: −4 − 2 (x + 3), y − 2 = −3(x + 3) =⇒ y = −3x − 7. y−2= −1 + 3

2) y = 0 =⇒ 0 = 3x + 7,

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.


252

x=−

Kako glasi jednadˇzba pravca AB ako je A(2, 2) , B(−4, −1) ? 1) Odredi apscisu toˇcke C(x, −5) tako da ta toˇcka pripada pravcu AB . 2) U kojim toˇckama pravac AB sijeˇce koordinatne osi? 3) Kolika je udaljenost pravca AB od ishodiˇsta? Jednadˇzba pravca AB glasi: −1 − 2 1 y−2= (x − 2) =⇒ y = x + 1. −4 − 2 2 1) Uvrstimo koordinate toˇcke C u jednadˇzbu pravca i dobijemo: 1 1 −5 = x + 1, x = −6, x = −12 =⇒ C(−12, −5); 2 2 1 2) y = 0 =⇒ 0 = x + 1, x = −2 =⇒ M(−2, 0) ; 2 1 x = 0 =⇒ y = · 0 + 1, y = 1 =⇒ N(0, 1) ; 2 3) Udaljenost pravca od ishodiˇsta izraˇcunat cémo tako da prvo nademo povrˇsinu trokuta kojeg pravac zatvara s koordinatnim osima: | − 2| · |1| P= = 1 kv. jed. 2 |MN| · d Ta je povrˇsina jednaka P = odnosno, 2 2P 2 2 d= = =√ . |MN| 5 (0 + 2)2 + (1 − 0)2 Toˇckom A(2, −3) prolazi pravac s nagibom a = presijeca os x ? Zadatak rijeˇsi grafiˇcki.

1 2

. U kojoj toˇcki taj pravac

U jednadˇzbu pravca y = ax + b uvrstimo koordinate toˇcke A i vrijednost koeficijenta smjera a i dobijemo: 1 −3 = · 2 + b =⇒ b = −4. 2 1 Jednadˇzba pravca glasi y = x − 4 . Uvrstimo li u tu jednadˇzbu x = 0 dobit 2 cémo y = −4 , N(0, −4) .

6

Zadatak 11.

Toˇckom A(−4, 0) prolazi pravac s nagibom a = 2 . U kojoj toˇcki taj pravac presijeca os y ? Zadatak rijeˇsi grafiˇcki.

Rjeˇsenje.

U jednadˇzbu pravca y = ax + b uvrstimo koordinate toˇcke A i vrijednost koeficijenta smjera a i dobijemo: 0 = 2 · (−4) + b =⇒ b = 8. Jednadˇzba pravca glasi y = 2x + 8. Uvrstimo li u tu jednadˇzbu x = 0 dobit cémo y = 8 , N(0, 8) .


Toˇckom A(0, 3) prolazi pravac s nagibom a = 32 . Toˇcke E(x, 6) , F(−6, y) pripadaju tom pravcu. Odredi njihove nepoznate koordinate. Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: y = ax + b =⇒ y =

3 x + b. 2

U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 3=

3 · 0 + b =⇒ b = 3. 2

Jednadˇzba pravca glasi: y=

3 x + 3. 2

U tu jednadˇzbu uvrstimo ordinatu toˇcke E : 3 3 x + 3, x = 3, x = 2 =⇒ E(2, 6). 2 2 Potom u jednadˇzbu pravca uvrstimo apscisu toˇcke F : 6=

y=

Zadatak 13.

3 · (−6) + 3, 2

y = −6 =⇒ F(−6, −6).

Pravac prolazi toˇckama A(−2, 4) i B(x, 6) . Odredi apscisu toˇcke B ako je koeficijent smjera pravca jednak 23 .

253

6


Rjeˇsenje.

Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: y = ax + b =⇒ y =

2 x + b. 3

U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 2 16 4 = · (−2) + b =⇒ b = . 3 3 Jednadˇzba pravca glasi: 2 16 y= x+ . 3 3 U tu jednadˇzbu uvrstimo ordinatu toˇcke B i dobijemo: 16 2 6 = x + , 18 = 2x + 16, x = x = 1 =⇒ B(1, 6). 3 3


Pravac prolazi toˇckama A(2, −1) i B(−2, y) . Odredi ordinatu toˇcke B ako je koeficijent smjera pravca jednak − 43 . Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: 3 y = ax + b =⇒ y = − x + b. 4 U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 3 1 −1 = − · 2 + b =⇒ b = . 4 2 Jednadˇzba pravca glasi: 3 1 y=− x+ . 4 2 U tu jednadˇzbu uvrstimo apscisu toˇcke B i dobijemo: 1 3 y = − · (−2) + , y = 2 =⇒ B(−2, 2). 4 2


Toˇckom A(−1, 2) prolazi pravac s nagibom a = − 32 . Toˇcke E(x, 4) , F(2, y) pripadaju tom pravcu. Odredi njihove nepoznate koordinate. Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: 2 y = ax + b =⇒ y = − x + b. 3 U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 4 2 2 = − · (−1) + b =⇒ b = . 3 3 Jednadˇzba pravca glasi: 2 4 y=− x+ . 3 3 U tu jednadˇzbu uvrstimo ordinatu toˇcke E i dobijemo: 4 2 4 = − x + ., 12 = −2x + 4, x = −4 =⇒ E(−4, 4) 3 3 Uvrstimo li u jednadˇzbu pravca apscisu toˇcke F dobijemo: 4 2 y = − · 2 + , y = 0 =⇒ F(2, 0). 3 3

254

6 Zadatak 16.

Rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) x − 3y > 3 ; 3) 3x − 5y > 15 . 5) −4x + y < 4 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

2) 2x + 3y 6 ; 4) x + y 2 ; 6) 2x + 5y 5 .

1 2 x − 1; 2) y − x + 2 ; 3 3 2 5) y < 4x + 4 ; 6) y − x + 1 . 5

1) y <

Zadatak 18.

1) y < −x ;

2) x + 1 0 ; 2) x −1 ;

3) y

4) y 2 − x ;

3) 2y 3 .

3 . 2

Iscrtaj u koordinatnoj ravnini skup svih rjeˇsenja nejednadˇzbe: 1) 3x − 5y + 15 0 ; 3) 3x − 4y − 12 0 ;

Rjeˇsenje.

3 x − 3; 5

Prikaˇzi grafiˇcki u koordinatnoj ravnini skup svih rjeˇsenja nejednadˇzbe: 1) x + y < 0 ;

Rjeˇsenje.

3) y <

1) y

3 x + 3; 5

2) 2x + 3y − 6 0 ; 4) x + 3y + 3 0 .

2 2) y − x + 2 ; 3

3

3) y

3 x − 3; 4

1 4) y − − 1 . 3

2 3

-5

255

6


4 -3

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

-3

-1

Odredi skup rjeˇsenja sustava nejednadˇzbi: # # x + 3y + 2 0, x − 4y − 4 0, 1) 3x − 2y + 6 0, 2) x + y − 4 0, 4x + y − 3 0; 3x − 2y − 2 0. ⎧ 1 2 ⎪ ⎪ ⎨ y −3x − 3, 3 1) y x + 3, ⎪ ⎪ ⎩ 2 y −4x + 3;

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎨ y 4 x − 10, y −x + 4, 2) ⎪ ⎪ ⎩ y 3 x − 1. 2

3 2

-2

2 -1

4

-1


Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−1) = −2 , f (3) = 6 . Koliki je nagib te funkcije? U kojoj toˇcki graf funkcije sijeˇce os y ?

Rjeˇsenje.

Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit cémo jednadˇzbe: −2 = −a + b 6 = 3a + b Oduzmemo li prvu od druge dobit cémo: 4a = 8, a = 2. Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo: −2 = −2 + b, b = 0, te je f (x) = 2x . Nagib je 2. Graf funkcije je pravac koji prolazi ishodiˇstem.

256

6 Zadatak 2.

Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−5) = 2 , f (4) = −7 . Koliki je nagib te funkcije? U kojoj toˇcki graf funkcije sijeˇce os y ?

Rjeˇsenje.

Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit cémo jednadˇzbe 2 = −5a + b −7 = 4a + b. Oduzmemo li prvu jednadˇzbu od druge dobijemo: −9 = 9a, a = −1. Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo: 2 = −5 · (−1) + b, b = −3. Slijedi da je f (x) = −x − 3 . Nagib je −1 . Graf funkcije sijeˇce os y u toˇcki (0, −3) .


Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−5) = 5 , f (4) = 4 . Koliki je nagib te funkcije? U kojoj toˇcki graf funkcije sijeˇce os y ? Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit cémo jednadˇzbe: 5 = −5a + b 4 = 4a + b. Oduzmemo li prvu jednadˇzbu od druge dobijemo: 1 −1 = 9a, a = − , 9 Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo: 1 40 5 = −5 · − , + b, b = 9 9 40 1 1 . Nagib je − . Graf funkcije sijeˇce os y u toˇcki s te je f (x) = − x + 9 9 9 40 . ordinatom y = 9

Zadatak 4.

Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−2) = 1 , f (2) = 3 . Koliki je nagib ove funkcije?

Rjeˇsenje.

Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit cémo jednadˇzbe: 1 = −2a + b 3 = 2a + b.

257

6


Oduzmemo li prvu jednadˇzbu od druge dobijemo: 1 2 = 4a, a = . 2 Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo: 1 1 = −2 · + b, b = 2, 2 1 1 te je f (x) = x + 2 . Nagib je jednak . 2 2

Zadatak 5.

Odredi linearnu funkciju f (x) = ax + b ako je f (−1) + f (1) = 4 , f (−1) − f (1) = 2 .

Rjeˇsenje.

f (−1) + f (1) = a · (−1) + b + a · 1 + b = 4 =⇒ 2b = 4 =⇒ b = 2 . f (−1) − f (1) = a · (−1) + b − a · 1 − b = 2 =⇒ −2a = 2 =⇒ a = −1 . f (x) = −x + 2 .

Zadatak 6.

Odredi linearnu funkciju f (x) = ax+b ako je f (1)+f (2) = 3 , f (1)−f (2) = 5.

Rjeˇsenje.


f (1) + f (2) = a · 1 + b + a · 2 + b = 3 =⇒ 3a + 2b = 3 ; f (1) − f (2) = a · 1 + b − a · 2 − b = 5 =⇒ a = −5 ; −15 + 2b = 3 =⇒ b = 9 ; a = −5 ; f (x) = −5x + 9 . Ako je f linearna funkcija te ako je f (1) = 1 , f (3) = 5 , koliko je f (−1) i f (7) ? Uvrstimo li dane uvjete dobijemo dvije jednadˇzbe s dvije nepoznanice: a·1+b=1 a·3+b=5 Odavde slijedi a = 2 i b = −1 . Linearna funkcija je f (x) = 2x − 1 te je: f (−1) = 2 · (−1) − 1 = −3 f (7) = 2 · 7 − 1 = 13.


Ako je f linearna funkcija te ako je f (−1) = 1 i f (0) = −3 , koliko je f (2) i f (−2) ? Uvrstimo li dane uvjete dobijemo dvije jednadˇzbe s dvije nepoznanice: a · (−1) + b = 1 a · 0 + b = −3 Odavde slijedi a = −4 i b = −3 . Linearna funkcija je f (x) = −4x − 3 te je: f (2) = −4 · 2 − 3 = −11 f (−2) = −4 · (−2) − 3 = 5.

258

6 Zadatak 9.

Ako x naraste od 0 na 1, vrijednost linearne funkcije naraste od 2 na 3. Kolika je promjena vrijednosti ove funkcije kad x naraste od 3 na 11?

Rjeˇsenje.

Za x = 0 vrijednost funkcije f (0) = 2 , a za x = 1 vrijednost funkcije je f (1) = 3 . Uvrstimo li dobiveno imamo: a·0+b=2 a·1+b=3 Odavde slijedi b = 2 i a = 1 , tj. f (x) = x + 2 . Nagib funkcije je a = 1 . Δf (x) = a · Δx = 1 · 8 = 8 .

Zadatak 10.

Kada x naraste od −1 na 1, vrijednost linearne funkcije padne od 1 na −3 . Kolika je promjena vrijednosti ove funkcije kad x naraste od 2 na 5?

Rjeˇsenje.

Za x = −1 vrijednost funkcije f (−1) = 1 , a za x = 1 vrijednost funkcije je f (1) = −3 . Iz f (x) = ax + b slijedi: a · (−1) + b = 1 a · 1 + b = −3 te je a = −2 i b = −1 , tj. f (x) = −2x − 1 . Nagib funkcije je a = −2 , Δf (x) = −2 · 3 = −6 .

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

2 3 . Poredaj po veliˇcini brojeve: Dana je linearna funkcija f (x) = x + 7 11 3 1 7 f − , f (−1.5) , f 1 , f (0) , f (−0.7) , f . 4 5 8 7 1 3 Kako je −1.5 < − < −0.7 < 0 < < 1 , a funkcija je rastuća, onda su u 4 8 5 istom poretku i vrijednosti funkcije za ove brojeve. 1 2 . Poredaj po veliˇcini brojeve: Dana je linearna funkcija f (x) = − x + 21 22 3 2 5 11 7 f , f , f , f , f . 5 3 6 12 9 2 5 7 11 3 , a funkcija je padajuća, onda su u vrijednosti Kako je < < < < 4 3 6 9 12 funkcije za ove brojeve u obrnutom poretku. Dane su linearne funkcije: 1 f 1 (x) = x ; f 2 (x) = 3x ; 2

3 3 f 3 (x) = x ; f 4 (x) = x ; f 5 (x) = x . 4 2 4 4 4 4 Poredaj po veliˇcini brojeve: f 1 − , f2 − , f3 − , f4 − , 9 9 9 9 4 f5 − . 9 Nije potrebno izraˇcunavati vrijednosti funkcije već samo usporediti nagibe pojedinih funkcija. Tako onda zakljuˇcujemo: 4 4 4 4 4 f1 − < f3 − < f4 − < f5 − < f2 − . 9 9 9 9 9

259

6


Zadatak 14.

Dane su linearne funkcije: 2 4 1 f 1 (x) = − x ; f 2 (x) = −2x ; f 3 (x) = − x ; f 4 (x) = −x ; f 5 (x) = − x . 3 3 2 5 5 5 5 5 Poredaj po veliˇcini brojeve f 1 , f2 , f3 , f4 , f5 . 7 7 7 7 7

Rjeˇsenje.

Nije potrebno izraˇcunavati vrijednosti funkcije već samo usporediti nagibe pojedinih funkcija. Tako onda zakljuˇcujemo: 5 5 5 5 5 < f3 < f4 < f1 < f5 . f2 7 7 7 7 7

Zadatak 15.

Zadana je funkcija f (x) = 2x + 1 . 1) Nacrtaj graf ove funkcije. 2) Odredi njezinu nul-toˇcku. 3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost f (x) −1 ? 4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −1 na 2? f (x2 ) − f (x1 ) = 2 za svaka dva razliˇcita realna broja x1 i 5) Uvjeri se da je x2 − x1 x2 . Rjeˇsenje svakog dijela zadatka potkrijepi slikom i opiˇsi rijeˇcima.

Rjeˇsenje.

1)

1 -1

1 2) 2x + 1 = 0 =⇒ x0 = − ; 2 3) f (x) −1 =⇒ 2x + 1 −1 =⇒ 2x −2 =⇒ x −1 ; 4) f (2) − f (−1) = 5 − (−1) = 6 .

Zadatak 16.

1) 2) 3) 4) Rjeˇsenje.

1 x − 1. 4 Nacrtaj graf ove funkcije. Odredi njezinu nul-toˇcku. Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost |f (x)| 2 ? Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −4 na 6?

Zadana je funkcija f (x) =

1)

4 -1

2)

260

1 x − 1 = 0 =⇒ x0 = 4 ; 4

6 1 1 x − 1 2 =⇒ − 1 x 3 =⇒ − 4 x 12 ; 4 4 1 5 4) f (6) − f (−4) = − (−2) = . 2 2

3) |f (x)| 2 =⇒ − 2

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

3 Zadana je funkcija f (x) = − x + 3 . 2 1) Nacrtaj graf ove funkcije. 2) Odredi njezinu nul-toˇcku. 3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost | f (x)| 4 ? 4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −1 na 3? 1) 3

2

3 2) − x + 3 = 0 =⇒ x0 = 2 ; 2 3 3 3) | f (x)| 4 =⇒ −4 − x + 3 4 =⇒ −7 − x 1 2 2 14 3 2 14 =⇒ x − =⇒ − x ; 3 2 3 3 3 12 9 = −6 . 4) f (3) − f (−1) = − + 3 − − 3 = − 2 2 2

Zadatak 18.

1 Zadana je funkcija f (x) = − x − 1 . 2 1) Nacrtaj graf ove funkcije. 2) Odredi nul-toˇcku ove funkcije. 3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost f (x) 1 ? 4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −4 na 3? 1 f (x2 ) − f (x1 ) = − za svaka dva razliˇcita realna broja x1 5) Uvjeri se da je x2 − x1 2 i x2 . Rjeˇsenje svakog dijela zadatka potkrijepi slikom i opiˇsi rijeˇcima.

Rjeˇsenje. 1)

1

-

5 2

261

6


1 2) Nul-toˇcku x0 odredujemo iz uvjeta f (x0 ) = 0 , dakle iz − x0 − 1 = 0 . 2 Dobije se x0 = −2 . 1 3) Rjeˇsenje nejednadˇzbe f (x) = − x − 1 1 je svaki broj x, x −4 . 2 1 Grafiˇcki, promatramo onaj dio pravca y = − x − 1 koji pripada poluravnini 2 y 1 , te je rjeˇsenje nejednadˇzbe skup apscisa svih toˇcaka tog polupravca.

-4

-2

-1

Najjednostavnije je rjeˇsenja vidjeti kao interval koji je ortogonalna projekcija tog polupravca na os apscisa. 5 7 4) Izraˇcunamo: f (3) − f (−4) = − − 1 = − . Tu promjenu pratimo na osi 2 2 ordinata, i ona je predoˇcena iscrtavanjem intervala. 1 1 1 − x2 − 1 + x1 + 1 − (x2 − x1 ) f (x2 ) − f (x1 ) 1 2 2 2 5) = = =− . x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 2

Zadatak 19.

Kojim funkcijama pripadaju sljedeći grafovi? 1) 2) y

y

3

2 1

x

x

-3

3)

4) y

-1

Rjeˇsenje.

262

3 2

x

y 2 3

x

1) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f (−3) = 0 i f (0) = −3 . Slijedi da je −3 · a + b = 0 i a · 0 + b = 3 , odnosno b = 3 i a = 1 ; f (x) = x + 3 ; 2) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f (1) = 0 i f (0) = 2 . Slijedi da je 1 · a + b = 0 i a · 0 + b = 2 , odnosno b = 2 i a = −2 ; f (x) = −2x + 2 ; 3 = 0 i f (0) = −1 . Slijedi da je 3) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f 2 3 2 2 · a + b = 0 i a · 0 + b = −1 , odnosno b = −1 i a = ; f (x) = x − 1 ; 2 3 3

6 4) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f (3) = 0 i f (0) = 2 . Slijedi da je 2 2 3 · a + b = 0 i a · 0 + b = 2 , odnosno b = 2 i a = − ; f (x) = − x + 2 . 3 3

Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

2x − 1, ako je x 0 −2x − 1, ako je x > 0 1 Izraˇcunaj: f (−3.5) , f (11) , f (−2) , f (0) , f , f (−9) , f (1000) . 2

Zadana je funkcija f (x) =

f (−3.5) = 2 · (−3.5) − 1 = −8 , f (11) = −2 · 11 − 1 = −23 , f (−2) = 2 · (−2) − 1 = −5 , f (0) = 2 · 0 − 1 = −1 , 1 1 = −2 · − 1 = −2 , f 2 2 f (−9) = 2 · (−9) − 1 = −19 , f (1000) = −2 · 1000 − 1 = −2001 . #

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

Zadatak 22.

2x + 3, x −1 1, −1 < x < 2 −x + 3, x 2 Izraˇcunaj: f (−3.5) , f (11) , f (−0.317) , f (0) , f (1.111) , f (−9) , f (1000) . Zadana je funkcija f (x) =

f (−3.5) = 2 · (−3.5) + 3 = −4 , f (11) = −11 + 3 = −8 , f (−0.317) = 1 , f (0) = 1 , f (1.111) = 1 , f (−9) = 2 · (−9) + 3 = −15 , f (1000) = −1000 + 3 = −997 . Prikaˇzi grafiˇcki funkcije: 3x, x1 1) f (x) = x + 2, x>1 # 3) f (x) =

−2x + 3, 1 x − 2, 2

# 2) f (x) =

x2

4) f (x) =

x>2

x + 2, 1 − x + 2, 3

x0

−3x − 4, −x − 2,

x −1 x > −1

x>0

Rjeˇsenje. 3

3

2

1

-2

6

4

263

6


Zadatak 23.

Prikaˇzi grafiˇcki funkcije: # x + 3, x0 3, 02 # 2) f (x) = # 3) f (x) =

−2x + 2, 2x − 2, 2,

x1 12

−2x − 3, 3x − 8, x − 2,

x1 13

⎧ ⎪ ⎨ −2x − 6, −2, 4) f (x) = ⎪ ⎩ 1 x − 3, 2

x −2 −2 < x 2 x>2

Rjeˇsenje. 3 6

2 -3

2

-3 1

Zadatak 24.

-2

2

Opiˇsi funkcije kojima pripadaju sljedeći grafovi: 1) 2)

y

y

2

x -2 -1

x -1

2

3)

4

-2

4)

y 1 -1

y 1

x (2,-2)

-2

#

1) 3)

264

x

-1 -2

Rjeˇsenje.

2

2x + 2, x 0 2, 0 < x 2 f (x) = −x + 4, x > 4 # −2x − 2, x 0 2x − 2, 0 < x 1 f (x) = −2x + 2, x > 1

#

2) 4)

−2x − 4, x −1 −2, −1 < x 2 −x, x > 2 # x + 1, x −1 −2x − 2, −1 < x 0 f (x) = −2, x > 0

f (x) =

6 Zadatak 25.

Koristeći se grafiˇckim prikazom funkcija f (x) = 2x + 1 i g(x) = x − 3 , rijeˇsi nejednadˇzbe: 1)

2x + 1 0; x−3

2) (2x + 1)(x − 3) 0 .

Rjeˇsenje.

( 1 1) − , 3 ; 2

Zadatak 26.

1 2) −∞, − ∪ [3, +∞ . 2

Dane su linearne funkcije f (x) = x + 1 i g(x) = 2x − 3 . Prikaˇzi te funkcije grafiˇcki, te koristeći se slikom zapiˇsi rjeˇsenja sljedećih nejednadˇzbi: f (x) 0; g(x) f (x) 4) 0. g(x)

1) f (x)g(x) 0 ;

2)

3) f (x)g(x) 0 ; Rjeˇsenje.

1) Rjeˇsenje nejednadˇzbe f (x) · g(x) 0 je svaki realni broj x za koji su vrijednosti funkcija f i g suprotni brojevi. Promatranjem grafova funkcija f 3 i g vidjet cémo da je to svaki x , x ∈ −1, . Za svaki x iz tog intervala je 2 f (x) 0 a g(x) 0 .

1 -1

2

-3

Primijeti da je za svaki x < −1 i f (x) < 0 i g(x) < 0 pa je f (x) · g(x) > 0 . 3 Jednako tako je za x > i f (x) > 0 , i g(x) > 0 , te je f (x) · g(x) > 0 . 2 ! 3 2) x ∈ −∞, −1] ∪ , +∞ ; 2 3 ! 3) x ∈ −∞, −1] ∪ , +∞ ; 2 3! 4) x ∈ −1, . 2

Zadatak 27.

Rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) (3x − 1)(2x + 5) < 0 ; 4−x 0; 3) 2x + 7

2) (2x + 3)(−3x + 2) > 0 ; −x − 1 4) 0. −5x + 8

265

6


Rjeˇsenje. 1)

<

3)

2)

5

3

4)

< <2

<

–3 2

1 – 5 –1 3 2

3

3

<

Zadatak 28.

( 1 − ,3 ; 2

2)

( 3 2 − , ; 2 3

3)

<

4

2 3

–7 2

1)

8

2

( 7 −∞, − ∪[4, +∞ ; 2

[ –1

<8 5

( 8 4) −1, . 5

Koristeći se grafiˇckim prikazom linearnih funkcija f (x) = x−1 , g(x) = x−2 , h(x) = x − 3 rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) (x − 1)(x − 2)(x − 3) 0 ;

2)

x−1 0. (x − 2)(x − 3)

Rjeˇsenje.

1) x ∈ −∞, 1] ∪ [2, 3] ;

Zadatak 29.

2) x ∈ [1, 2 ∪ 3, +∞ .

Zadane su funkcije f (x) = 2x − 1 , g(x) = −x + 3 , h(x) = 3x + 5 . Koristeći se grafiˇckim prikazom tih funkcija, rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) f (x)g(x)h(x) 0 ;

2)

f (x) 0. g(x)h(x)

Rjeˇsenje. 1)

2) 5

5

3

3

[ [ ‒1 1 –5 3 2

1) x ∈ −∞, −

266

5 1 ∪ ,3 ; 3 2

[ 3

<‒1 [1

–5 3

2

<

3

5 1 2) x ∈ − , ∪ 3, +∞ . 3 2

6 Zadatak 30.

Rijeˇsi nejednadˇzbe: x−5 0; −2x · (2x + 4) 3) (4x + 3)(1 − 3x)(x − 1) < 0; 1)

(−x + 1)(x − 3) 0; 2x + 1 4) (1 − x)(2 − x)(3 − x) 0 . 2)

Rjeˇsenje.

1) −2, 0 ∪ [5, +∞ ; ( 3 1 ∪ 1, +∞ ; 3) − , 4 3

( 1 2) −∞, − , ∪[1, 3] ; 2 4) −∞, 1] ∪ [2, 3] .

Zadatak 31.

- kilometar Polazna cijena (start) za voˇznju taksijem je 10 kn, a za svaki prijedeni naplaćuje se 7 kn. Koliko stoji voˇznja taksijem na putu duljine: 7.5 km, 8 km, 8.5 km, 9 km, 9.5 km, 10 km? Opiˇsi cijenu prijevoza taksijem ovisno o duljini puta.

Rjeˇsenje.

Cijenu prijevoza taksijem ovisno o duljini puta moˇzemo opisati jednadˇzbom y = 7x + 10 , gdje je y ukupna cijena prijevoza, a x duljina puta. Za x = 7.5 km cijena prijevoza iznosi y = 7 · 7.5 + 10 = 62.5 kuna. Za x = 8 km cijena prijevoza iznosi y = 66 kuna. Za x = 8.5 km cijena prijevoza iznosi y = 69.5 kuna. Za x = 9 km cijena prijevoza iznosi y = 73 kune. Za x = 9.5 km cijena prijevoza iznosi y = 76.5 kuna. Za x = 10 km cijena prijevoza iznosi y = 80 kuna.

Zadatak 32.

Serviser kućanskih aparata naplaćuje dolazak u kuću 50 kn, a svaki sat rada cijeni 75 kn. Koliko cé serviser naplatiti svoj rad koji je trajao: 12 sata, 1 sat, 1.5 sati, 2 sata, 2.5 sata? Zapiˇsi funkciju koja opisuje cijenu servisera ovisno o vremenu koje je utroˇsio na popravak aparata.

Rjeˇsenje.

Cijenu servisera ovisno o vremenu utroˇsenom na popravak aparata moˇzemo opisati jednadˇzbom y = 75x + 50 , gdje je y ukupna cijena popravka, a x utroˇseno vrijeme.

267

6


Za x = 0.5 sata cijena popravka iznosi y = 75 · 0.5 + 50 = 87.5 kuna. Za x = 1 sat cijena popravka iznosi y = 125 kuna. Za x = 1.5 sati cijena popravka iznosi y = 162.5 kuna. Za x = 2 sata cijena popravka iznosi y = 200 kuna. Za x = 2.5 sata cijena popravka iznosi y = 237.5 kuna.

Zadatak 33.

Rjeˇsenje.

Na pisma do 20 dag plaća se 10 kn poˇstarine, a po svakom dodatnom dekagramu dodaje se 1.5 kn. Kolika je poˇstarina na pismo od: 25 dag, 30 dag, 35 dag, 40 dag i 50 dag? Zapiˇsi funkciju koja opisuje iznos cijene pisma ovisno o njegovoj masi. Poˇstarinu ovisno o masi pisma moˇzemo opisati jednadˇzbom 10, x 20 y= 1.5(x − 20) + 10, x > 20 gdje je y ukupna cijena poˇstarine, a x masa pisma. Za pismo od x = 25 grama cijena poˇstarine iznosi y = 1.5 · 25 − 20 = 17.5 kuna. Za pismo od x = 30 grama cijena poˇstarine iznosi y = 25 kuna. Za pismo od x = 35 grama cijena poˇstarine iznosi y = 32.5 kuna. Za pismo od x = 40 grama cijena poˇstarine iznosi y = 40 kuna. Za pismo od x = 50 grama cijena poˇstarine iznosi y = 55 kuna.

Zadatak 34.

Uz cestu se nalazi prometni znak uspona ceste od 8 % . Za koliko se popnemo nakon: 10 m, 20 m, 30 m, 40 m, 50 m prijedenog puta? Opiˇsi funkcijom to uspinjanje.

Rjeˇsenje.

Uspinjanje moˇzemo opisati funkcijom y = 0.08x gdje je y visinska razlika, a - put. x prijedeni Nakon 10 metara popnemo se y = 0.08 · 10 = 0.8 metara. Nakon 20 metara popnemo se y = 1.6 metara. Nakon 30 metara popnemo se y = 2.4 metra. Nakon 40 metara popnemo se y = 3.2 metra. Nakon 50 metara popnemo se y = 4 metra.

Zadatak 35.

Na poˇcetku puta spremnik automobila bio je pun. U njemu je bilo 48 litara goriva. Nakon 640 prijedenih kilometara pokazivaˇc stanja goriva pokazivao je 16 litara. Kolika je prosjeˇcna potroˇsnja goriva ovog automobila? Opiˇsi funkcijom potroˇsnju goriva. Za prijedenih 640 kilometara utroˇseno je 48 − 16 = 32 litre goriva. U prosje32 = 0.05 litara po kilometru. Nagib funkcije je 0.05 , a ona glasi ku to je 640 - put. y = 0.05x gdje je y utroˇseno gorivo, a x prijedeni

Rjeˇsenje.

Zadatak 36.

Marko je na poˇcetku sˇ kolske godine bio visok 175 cm, a na kraju sˇ kolske godine 182 cm. Koliki je bio njegov prosjeˇcan tjedni rast ako sˇ kolska godina ima 35 tjedana?

Rjeˇsenje.

Marko je u sˇ kolskoj godini narastao 182 − 175 = 7 centimetara. Njegov 7 = 0.2 centimetra. prosjeˇcni tjedni rast je bio 35

Zadatak 37.

Na temelju humerusa, kosti nadlaktice, antropolozi mogu procijeniti visinu muˇskarca, odnosno zˇ ene. Ako je x duljina te kosti izraˇzena u centimetrima, tada se procjenjuje da je visina muˇskarca kojem ta kost pripada jednaka m(x) = 2.89x + 70.64.

268

6 Za zˇ enu se visina raˇcuna po formuli f (x) = 2.75x + 71.48. Ako je u iskopinama naden humerus dugaˇcak 45 cm, uz pretpostavku da je pripadao muˇskarcu, koliko je bio visok taj muˇskarac? A ako je rijeˇc o zˇ eni, kolika je bila njezina visina? Rjeˇsenje.

Muˇskarac je bio visok 2.89 · 45 + 70.64 = 200.69 centimetara, a zˇ ena 2.75 · 45 + 71.48 = 195.23 centimetra.

Zadatak 38.

Brzina impulsa u zˇ ivˇcanom vlaknu pribliˇzno je jednaka 100 metara u sekun- od stopala do mozga osobe visoke di. Koliko vremena treba da impuls dode 178 cm? - 1.78 metara. Za to mu je potrebno Od stopala do mozga osobe impuls prijede 1.78 = 0.0178 sekunda. 100

Rjeˇsenje.


Duljina puta sˇ to ga pri koˇcenju uz brzinu od 50 km/h i vanjskoj temperaturi - automobil jednak je d(x) = 2x + 15 . Kolika je x ◦ F na skliskoj cesti prijede duljina tog puta na temperaturi 23 ◦ F ? d(23) = 2 · 23 + 15 = 61 m.


Nacrtaj grafove sljedećih funkcija: 1 |x| ; 2 4) f (x) = −|x| ; 3 6) f (x) = |x| . 4

1) f (x) = 2|x| ;

2) f (x) =

3) f (x) = 3|x| ; 1 5) f (x) = − |x| ; 2 Rjeˇsenje.

1)

2)

y

3)

y

y 3

2 1 -1

4)

1

x

-2

5)

y

2

x

-1

6)

y

1

x

y 3

-1

1

x

-1

Zadatak 2.

-2

2 -1

x -4

4

x

Nacrtaj grafove sljedećih funkcija: 1) f (x) = 1 − |x| ; 1 3) f (x) = − |x| + 1 ; 2

2) f (x) = −2|x| + 3 ; 4) f (x) = −|x| − 2 ;

269

6


Rjeˇsenje.

3)

4)

y

y

1 -2

Zadatak 3.

x

x

2

-2

Prikaˇzi grafiˇcki sljedeće funkcije: 1) f (x) = |x − 1| ;

2) f (x) = |2x + 3| ; - 1 4) f (x) = -− x + 1- ; 2

3) f (x) = −|2 − x| ; Rjeˇsenje. 3)

4)

y 2

x

1

-2

Zadatak 4.

y

2

x

Na slikama su grafovi funkcija: 3 f (x) = − |x| + 3, 2 f (x) = |x − 2|,

f (x) = −2|x + 1| + 2, f (x) =

1 |x| − 1. 2

Kojoj od tih funkcija pripada pojedini graf? 1)

2)

y

x

4)

y

x

-2

1) f (x) = 12 |x| − 1 , 2) f (x) = − 32 |x| + 3 , 4) f (x) = −2|x + 1| + 2 .

x

3) f (x) = |x − 2| ,

Prikaˇzi grafiˇcki funkcije: 1) f (x) = |x − 1| − 2 ; 3) f (x) = −|x − 2| + 3 ;

270

x

2 2

Zadatak 5.

2

y

2

Rjeˇsenje.

3

-2

-1 3)

y

2) f (x) = |2x + 1| − 1 ; 4) f (x) = −|3 − 2x| − 3 ;

6 Rjeˇsenje. y

1)

y

2)

3)

4)

y

y

2 -1

3

x

-1

x x

-1

-2

-1

5

2

x

-3

-6

Zadatak 6.

Nacrtaj grafove sljedećih funkcija: 1) f (x) = |1 − |x|| ; 3) f (x) = ||1 − 2x| + 2| ;

2) f (x) = ||x + 1| − 1| ; 4) f (x) = ||x + 1| + 2| − 3 .

Rjeˇsenje. y

1)

y

2)

y

3)

3

1 -1

x

1

x

-2 -1

x

-2

x

1

Zadatak 7.

y

4)

Prikaˇzi grafiˇcki funkcije: 1) f (x) = |x − 1| + |x + 1| ; 3) f (x) = |x + 3| − |2x + 3| ;

2) f (x) = |2x − 1| + |x − 3| ; 4) f (x) = |x + 1| − |x + 2| − |x + 3| .

Rjeˇsenje. 1)

2)

y

y

3)

4)

y

5

y

4 3 2

3 5 2

2

x

1

- 3 - 2 -1 1 14 2 2 3

3

-3 1

x

x

x

-4

Zadatak 8.

Koristeći se grafiˇckim postupkom rijeˇsi sljedeće jednadˇzbe: 1) 2x − 1 = |x + 3| ; 3) |3x + 2| = −x ;

Rjeˇsenje.

1) x = 4 ;

2) |2x − 3| = 2 − x ; 4) |3 − x| = x − 3 . 2) x1 = 1 , x2 =

5 ; 3

3

-3

4

3 2 2

271

6


1 3) x1 = −1 , x2 = − ; 2

4) x 3 . 3

2 3

1 -1 -3

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

272

Koliki je opseg lika sˇ to ga graf funkcije 4 f (x) = |x| − 4 zatvara s osi x ? 3 4 Nacrtajmo graf funkcije f (x) = |x| − 4 . On zatvara jednakokraˇcan trokut 3 √ s osi x . Duljina kraka tog trokuta jednaka je 9 + 16 = 5 . Opseg trokuta jednak je o = 6 + 2 · 5 = 16 .

Zadatak 10.

Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga s osi apscisa zatvara graf funkcije f (x) = −|x| + 3 ?

Rjeˇsenje.

Nacrtajmo graf funkcije f (x) = −|x| + 3 . On zatvara jednakokraˇcan trokut s 3·6 osi x cˇ ija je visina 3 . Povrˇsina trokuta jednaka je P = = 9. 2

Zadatak 11.

Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga s osi apscisa zatvara graf funkcije f (x) = |x − 2| − 3 ?

Rjeˇsenje.

Nacrtajmo graf funkcije f (x) = |x − 2| − 3 . On zatvara jednakokraˇcan trokut 3·6 s osi x cˇ ija je visina 3 . Povrˇsina trokuta jednaka je P = = 9. 2

Zadatak 12.

Kolika je povrˇsina lika omedenog grafom funkcije f (x) = 4 − 2|x| i pravcima y − 1 = 0 i y + 2 = 0?

6 Rjeˇsenje.

Njegova je povrˇsina jednaka P =

Lik na slici je jednakokraˇcan trapez. 1 (3 + 6) · 3 = 13 (vidi sliku). 2 2

1 2

-2 -2


Kolika je povrˇsina lika omedenog grafom funkcije f (x) = |x − 1| + |x + 1| i pravcem y − 4 = 0 ? - grafom funkcije f i pravcem y = −4 je trapez cˇ ije su osnovice Lik omeden duljina 2 i 4, a duljina visine trapeza jednaka je 2.

4

2

-1

Povrˇsina trapeza iznosi P =

Zadatak 14.

1

(2 + 4) · 2 = 6 kv. jed. 2

Kolika je duljina duˇzine sˇ to je na osi x odsijeca graf funkcije: 1) f (x) = −2|x| + 5 ; 2) f (x) = 2|x − 1| − 3 ?

Rjeˇsenje.

4

2

-1

- - - 5 - - 5 - 10 = 5; 1) d = -− -- + -- -- = 2 2 2

1

- - - 1- -5- 6 2) d = -− -- + -- -- = = 3 . 2 2 2

273

6



Odredi sjeciˇste pravaca: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

x − y = 5 , x − 2y = 2 ; x + 3y = 5 , 2x − y = 3 ; x − 2y + 11 = 0 , −2x + 4y + 3 = 0 ; 3x + 2y = 6 , 2x − 3y = 4 ; 3x − 6y − 15 = 0 , 4x − 8y − 20 = 0 ; 4x − 5y = 2 , 2x + 3y = 12 .

Rjeˇsenje.

1) x = 8 , y = 3 ; 4) x = 2 , y = 0 ;

274

2) x = 2 , y = 1 ; 3) Pravci su paralelni; 5) Pravci se poklapaju; 6) x = 3 , y = 2 .

6 Zadatak 2.

Dani su sustavi jednadˇzbi: 5x − 3y = 7 1) 4x − 11y = 10 3x − 4y = 1 3) 6x − 8x = 2

2)

x − 2y = 1 −2x + 4y = 5

- jedan nema rjeˇsenja, a jedan ima jedinstveno rjeˇseJedan od njih je neodreden, nje. Ne rjeˇsavajući sustave odredi kakav je koji. Rjeˇsenje.

Sustav 1) ima jedinstveno rjeˇsenje, sustav 2) nema rjeˇsenja, a sustav 3) je neodreden.

Zadatak 3.

Moˇze li sustav dviju linearnih jednadˇzbi s dvjema nepoznanicama imati toˇcno dva rjeˇsenja? Obrazloˇzi!

Rjeˇsenje.

Sustav dviju linearnih jednadˇzbi s dvije nepoznanice ne moˇze imati toˇcno dva rjeˇsenja, zato jer se pravci sijeku u jednoj jedinoj toˇcki.

Zadatak 4.

Za koji je c sustav jednadˇzbi 3x + cy = 5 1) 2x − 5y = 1

2)

2x + y = 10 4x + 2y = c

- a za koji c taj sustav nema rjeˇsenja? Postoji li c za koji isti sustav neodreden, ima jedinstveno rjeˇsenje? Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

15 = −7.5 nema rjeˇsenja. Za sve druge vrijednosti broja c 1) Za c = − 2 sustav ima jedinstveno rjeˇsenje. 2) Pravci 2x + y = 10 i 4x + 2y = c imaju jednak nagib. Za c = 20 sustav - a za sve ostale vrijednosti broja c sustav nema rjeˇsenja. je neodreden, Za koje vrijednosti realnih brojeva m i n sustav jednadˇzbi mx − 3y + 2 = 0 x−y=m 1) 2) 2x + y + n = 0 nx + y = 1 nema rjeˇsenja, a za koje je neodreden? Uz koje uvjete sustav ima jedinstveno rjeˇsenje?

Rjeˇsenje.

2 1) Za m = −6, n = − sustav nema rjeˇsenja. Pravci su paralelni. Za 3 2 m = −6, n = − sustav je neodreden, pravci se poklapaju. Za m = −6 3 sustav ima jedinstveno rjeˇsenje. 2) Za n = −1, m = −1 sustav nema rjeˇsenja. Pravci su paralelni. Za - pravci se poklapaju. Za n = −1 sustav n = −1, m = −1 sustav je neodreden, ima jedinstveno rjeˇsenje.

Zadatak 6.

U kojoj se toˇcki sijeku pravci AB i CD ako je A(−2, 4) , B(6, −2) , C(−4, −9) i D(−1, −4) ?

Rjeˇsenje.

Uvrstimo koordinate toˇcaka A i B u jednadˇzbu pravca y = ax + b i dobi3 5 jemo 4 = −2a + b i −2 = 6a + b . Odavde slijedi a = − , b = , tj. 4 2

275

6


5 3 y = − x + . Jednadˇzba pravca AB je 3x + 4y = 10 . Zatim uvrstimo koor4 2 dinate toˇcaka C i D u jednadˇzbu pravca y = ax + b i dobijemo −9 = −4a + b 5 7 5 7 i −4 = −a + b . Odavde slijedi a = , b = − , tj. y = x − . Jednadˇzba 3 3 3 3 pravca CD je 5x − 3y = 7 , a pravci se sijeku u toˇcki S(2, 1) . y 3x+4y=10

S 0

Zadatak 7.

1

5x–3y=7 x

Napiˇsi jednadˇzbu pravca koji prolazi sjeciˇstem pravaca x − 2y − 3 = 0 i 3x + 4y − 4 = 0 1) okomito na os x ;

2) okomito na os y .

Rjeˇsenje.

1 Sjeciˇste pravaca je u toˇcki S 2, − . 1) Pravac okomit na x os koji prolazi 2 toˇckom S ima jednadˇzbu x − 2 = 0 . 2) Pravac okomit na y os koji prolazi toˇckom S ima jednadˇzbu 2y + 1 = 0 .


276

Napiˇsi jednadˇzbu pravca koji prolazi sjeciˇstem pravaca y−2 = 0 i 2x−3y+4 = 0 paralelno s pravcem AB , A(0, 5) , B(2, 1) .

6 Sjeciˇste pravaca y − 2 = 0 i 2x − 3y + 4 = 0 je toˇcka S(1, 2) . Jednadˇzba pravca AB glasi 1−5 (x − 0) =⇒ y − 5 = −2x =⇒ y = −2x + 5. 2−0 Koeficijent smjera tog pravca je −2 . Pravac paralelan tom pravcu ima isti koeficijent smjera. Dakle, traˇzeni pravac ima koeficijent smjera a = −2 i prolazi toˇckom S(1, 2) . Njegovu jednadˇzbu dobijemo uvrˇstavajući koordinate toˇcke S i koeficijenta smjera a u jednadˇzbu y = ax + b . Dakle, y−5=

2 = −2 + b =⇒ b = 4. Traˇzena jednadˇzba glasi y = −2x + 4 .

Zadatak 9.

Kolika je povrˇsina trokuta ABC kojem su stranice na pravcima x − 4y − 6 = 0 , 2x − y + 9 = 0 i 3x + 2y − 4 = 0 ?

Rjeˇsenje.

Sjeciˇsta pravaca su toˇcke A(−6, −3) , B(2, −1) , C(−2, 5) , Povrˇsinu raˇcunamo pomoću Heronove formule 1 | − 6(−1 − 5) + 2(5 + 3) − 2(−3 + 1)| 2 1 1 = |36 + 16 + 4| = · 56 = 28. 2 2

P=

Zadatak 10.

Srednjice trokuta ABC pripadaju pravcima 2x − 3y − 4 = 0 , 3x − 2y − 1 = 0 i x + y − 2 = 0 . Odredi vrhove trokuta.

Rjeˇsenje.

Sjeciˇsta pravaca su toˇcke S1 (2, 0) , S2 (1, 1) i S3 (−1, −2) . Pravac na kojem leˇzi jedna stranica trokuta paralelan je pravcu 3x − 2y − 1 = 0 i prolazi toˇckom

277

6


S1 (2, 0) . To znaˇci da mu je koeficijent smjera a =

3 i iz 2

3 · 2 + b =⇒ b = −3 2 dobijemo jednadˇzbu tog pravca 3 y = x − 3. 2 Druga stranica leˇzi na pravcu koji je paralelan pravcu 2x − 3y − 4 = 0 i prolazi 2 toˇckom S2 (1, 1) . To znaˇci da mu je koeficijent smjera a = i iz 3 2 1 1 = · 1 + b =⇒ b = 3 3 dobijemo jednadˇzbu pravca 2 1 y= x+ . 3 3 Treća stranica leˇzi na pravcu koji je paralelan pravcu x + y − 2 = 0 i prolazi toˇckom S3 (−1, −2) . To znaˇci da mu je koeficijent smjera a = −1 i iz −1 = −1 · (−1) + b =⇒ b = −3 dobijemo jednadˇzbu pravca y = −x − 3. Prvi i drugi pravac se sijeku u toˇcki A(4, 3) . Drugi i treći pravac se sijeku u toˇcki B(−2, −1) . Treći i prvi pravac se sijeku u toˇcki C(0, −3) . Vrhovi trokuta su A(4, 3) , B(−2, −1) , C(0, −3) . 0=

Zadatak 11.

- pravcima x − 3y + 3 = 0 , 3x + y − 11 = 0 i Dokaˇzi da je trokut omeden x − y + 3 = 0 pravokutan.

Rjeˇsenje.

Sjeciˇsta pravaca su toˇcke A(3, 2) , B(−3, 0) i C(2, 5) . Za pravokutan trokut vrijedi |AB|2 + |AC|2 = |BC|2 . ( (−3−3)2 + (0−2)2 )2 + ( (2−3)2 + (5−2)2 )2 = ( (2 + 3)2 + (5−0)2 )2 √ √ √ ( 36 + 4)2 + ( 1 + 9)2 = ( 25 + 25)2 40 + 10 = 50 50 = 50.

278

6 Zadatak 12.

Dokaˇzi da je trokut cˇije stranice pripadaju pravcima x + 5y + 3 = 0 , 2x − 3y + 6 = 0 i 3x + 2y − 17 = 0 jednakokraˇcan i pravokutan.

Rjeˇsenje.

Sjeciˇsta pravaca su toˇcke A(−3, 0) , B(7, −2) , C(3, 4) . Za jednakokraˇcan trokut vrijedi |AC| = |BC| 2 (3 + 3) + (4 − 0)2 = (3 − 7)2 + (4 + 2)2 √ √ 36 + 16 = 16 + 36 √ √ 52 = 52. Za pravokutan trokut vrijedi |AC|2 + |BC|2 = |AB|2 √ 2 · ( 52)2 = ( (7 + 3)2 + (−2 − 0)2 )2 √ 2 · 52 = ( 100 + 4)2 104 = 104.

Zadatak 13.

- pravcima 11x − 3y − 12 = 0 , 4x − 7y + 37 = 0 Dokaˇzi da je trokut omeden i 7x + 4y + 16 = 0 jednakokraˇcan.

Rjeˇsenje.

279

6


Sjeciˇsta pravaca su toˇcke A(3, 7) , B(0, −4) , C(−4, 3) . Trokut je jednakokraˇcan ako je |AC| = |BC| 2 (−4 − 3) + (3 − 7)2 = (−4 − 0)2 + (3 + 4)2 √ √ 49 + 16 = 16 + 49 √ √ 65 = 65.

Zadatak 14.

Ishodiˇstem koordinatnog sustava poloˇzi pravac koji s osi x i s pravcem 3x − 4y + 18 = 0 zatvara trokut povrˇsine 9.

Rjeˇsenje.

Nul-toˇcka zadanog pravca je x0 = −6 , sˇ to znaˇci da je duljina osnovice trokuta 1 jednaka 6. Povrˇsina trokuta jednaka je 9, odnosno P = · |x0 · v| , gdje je v 2 ordinata trećeg vrha trokuta (slika dolje). 3 Imamo dva rjeˇsenja: v = 3 ili v = −3 , odnosno dva pravca, y = − x i 2 3 x. y= 10

-10 -6

1 -3

Zadatak 15.

Ishodiˇstem koordinatnog sustava poloˇzi pravac koji c´ e s osi ordinata i s pravcem x + y = 6 zatvarati trokut povrˇsine 12.

Rjeˇsenje.

Odsjeˇcak zadanog pravca na osi y je osnovica trokuta. Taj je odsjeˇcak jednak 1 6, te je P = · |6v| , odakle je v = −4 ili v = 4 . Dva su rjeˇsenja zadatka, 2 1 5 pravci y = − x i y = x . 2 2 10

6

-4

Zadatak 16. 280

6

Kolika je povrˇsina lika omedenog grafom funkcije f (x) = 2|x| i pravcem x − y + 3 = 0?

6 Rjeˇsenje.

Vidi sliku. P=

1 1 1 | − 1(0 − 6) + 0(6 − 2) + 3(2 − 0)| = |6 + 6| = · 12 = 6. 2 2 2

(3,6)

(-1,2)

-1

3

Zadatak 17.

Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta sˇ to ga zatvaraju pravac x − y = 0 i graf funkcije f (x) = 2|x| − 3 .

Rjeˇsenje.

Graf dane funkcije i dani pravac sijeku se u toˇckama A(−1, −1) , B(0, −3) i C(3, 3) (vidi sliku). Te su toˇcke vrhovi trokuta cˇija je povrˇsina jednaka P=

1 1 1 | − 1(−3 − 3) + 0(3 + 1) + 3(−1 + 3)| = |6 + 6| = · 12 = 6. 2 2 2 3

3

-3


Kolika je povrˇsina lika koji graf funkcije 1 f (x) = |x − 1| zatvara s pravcem y = x + 1 ? 2 Pravac s grafom funkcije zatvara trokut s vrhovima u toˇckama (0, 1) , (1, 0) , (4, 3) (vidi sliku). Povrˇsina tog trokuta jednaka je P=

1 1 1 |0(0 − 3) + 1(3 − 1) + 4(1 − 0)| = |2 + 4| = · 6 = 3. 2 2 2

3

1 1

Zadatak 19.

4

- graf funkcije f (x) = −2|x| + 3 i pravac Odredi povrˇsinu lika sˇ to ga omeduju 2x + 5y + 9 = 0 .

281

6


Rjeˇsenje.

Pravac s grafom funkcije zatvara trokut s vrhovima u toˇckama (−2, −1) , (3, −3) , (0, 3) (vidi sliku). Povrˇsina tog trokuta jednaka je P=

1 1 1 |−2(−3−3) + 3(3 + 1) + 0(−1 + 3)| = |12 + 12| = · 24 = 12. 2 2 2 3

-2

3

-3


3 Kolika je povrˇsina lika omedenog grafom funkcije f (x) = |x − 2| i pravcem 2 x + 2y − 10 = 0 ? Pravac s grafom funkcije zatvara trokut s vrhovima A(2, 0) , B(4, 3) i C(−2, 6) . Povrˇsina trokuta je P=

1 1 1 |2(3−6) + 4(6−0)−2(0−3)| = |−6 + 24 + 6| = · 24 = 12. 2 2 2 (-2,6)

(4,3)

2


Zadatak 22. 282

Kolika je povrˇsina lika sˇ to ga graf funkcije f (x) = |2x − 3| zatvara s pravcem y = x ?

3 , 0 i (3, 3) , a povrˇsina tog Lik je trokut s vrhovima u toˇckama (1, 1) , 2 trokuta jednaka je - 1 1 3 1 -3 P = -1(0 − 3) + (3 − 1) + 3(1 − 0)-- = | − 3 + 3 + 3| = · 3 = . 2 2 2 2 2

- graf funkcije f (x) = |x − 1| − 2 i pravac Odredi povrˇsinu lika sˇ to ga omeduju x + 4y − 8 = 0 .

6 Rjeˇsenje.

Graf funkcije i pravac zatvaraju trokut ABC , A(−4, 3) , B(1, −2) , C(4, 1) . Povrˇsina trokuta iznosi P=

1 1 1 | − 4(−2 − 1) + 1(1 − 3) + 4(3 + 2)| = |12 − 2 + 20| = · 30 = 15. 2 2 2


Rjeˇsenje.

Rijeˇsi sustave jednadˇzbi: 3x − 2y + 4 = 0 1) 5x − 3y + 6 = 0 6x − 5y = 3 3) 7x − 8y = 10 0.1x + 0.5y = 0.4 5) 0.2x + y = 0.2

2) 4) 6)

1)

3x − 2y + 4 = 0 / · (−3) 5x − 3y + 6 = 0 / · 2 " −9x + 6y − 12 = 0 + 10x − 6y + 12 = 0

4x + 3y − 12 = 0 2x + 5y + 15 = 0 0.3x − 0.5y + 0.9 = 0 2.1x + y − 7.2 = 0 2.4x − 5.1y + 10.5 = 0 3x + 2y − 12 = 0

2)

4x + 3y − 12 = 0 2x + 5y + 15 = 0 / · (−2) " 4x + 3y − 12 = 0 + −4x − 10y − 30 = 0 − 7y = 42

x=0 6y = 12 =⇒ y = 2;

y = −6 2x − 30 + 15 = 0 =⇒ x = 7.5;

3)

4) 6x − 5y = 3 / · (−7) 7x − 8y = 10 / · 6 −42x + 35y = −21 42x − 48y = 60

" +

− 13y = 39

0.3x − 0.5y + 0.9 = 0 / · (−7) 2.1x + y − 7.2 = 0 " −2.1x + 3.5y − 6.3 = 0 + 2.1x + y − 7.2 = 0 4.5y = 13.5

y = −3

y=3

6x + 15 = 3 =⇒ x = −2;

0.3x − 1.5 + 0.9 = 0 =⇒ x = 2;

283

6


5)

0.1x + 0.5y = 0.4 / · (−2) 0.2x + y = 0.2 " −0.2x − y = −0.8 + 0.2x + y = 0.2

0 = −0.6; Sustav nema rjeˇsenja.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

Rijeˇsi sustave jednadˇzbi: 9x + 7y = 50 1) 11x − 5y = 156 18x − 21y = 2 3) 24x − 15y = 7 9x + 8y = −50 5) 5x + 36y = −12

6)

2.4x − 5.1y + 10.5 = 0 / · (−3) 3x + y + 2y − 12 = 0 / · 2.4 " −7.2x + 15.3y − 31.5 = 0 + 7.2x + 4.8y − 28.8 = 0 20.1y = 60.3 y=3 3x + 6 − 12 = 0 =⇒ x = 2. 2) 4) 6)

15x + 7y = 11 8x − 9y = −96 64x + 51y = 90 25x + 34y = 7 21x − 17y = 173 13x + 11y = 21

1) Sustav jednadˇzbi ima rjeˇsenje ako je - 9 7- = 9 · (−5) − 7 · 11 = −45 − 77 = −122 = 0 D=11 −5 - 50 7 - 156 −5 50 · (−5) − 7 · 156 −250 − 1092 −1342 = = = = 11 x= −122 −122 −122 −122 - 9 50 - 11 156 9 · 156 − 50 · 11 1404 − 550 854 y= = = = = −7 −122 −122 −122 −122 2) Sustav jednadˇzbi ima rjeˇsenje ako je - 15 7 - = 15 · (−9) − 7 · 8 = −135 − 56 = −191 = 0 D=8 −9 - 11 7 - −96 −9 11 · (−9) − (−96) · 7 −99 + 672 573 = = = = −3 x= −191 −191 −191 - −191 - 15 11 - 8 −96 15 · (−96) − 8 · 11 −1440 − 88 −1528 y= = = = =8 −191 −191 −191 −191 3) Sustav jednadˇzbi ima rjeˇsenje ako je - 18 −21 - = 18 · (−15) − (−21) · 24 = −270 + 504 = 234 = 0 D = -24 −15 - 2 −21 - 7 −15 2 · (−15) − (−21) · 7 −30 + 147 117 1 x= = = = = 234 234 234 234 2

284

6 - 18 2 - 24 7 -

18 · 7 − 2 · 24 126 − 48 78 1 = = = = 234 234 234 234 3 4) Sustav jednadˇzbi ima rjeˇsenje ako je - 64 51 - = 64 · 34 − 51 · 25 = 2176 − 1275 = 901 = 0 D = -25 34 - 90 51 - 7 34 90 · 34 − 51 · 7 3060 − 357 2703 x= = = = =3 901 901 901 901 - 64 90 - 25 7 64 · 7 − 90 · 25 448 − 2250 −1802 y= = = = = −2 901 901 901 901 y=

5) Sustav jednadˇzbi ima rjeˇsenje ako je -9 8- = 9 · 36 − 8 · 5 = 324 − 40 = 284 = 0 D = -5 36 - −50 8 - −12 36 −50 · 36 − 8 · (−12) −1800 + 96 −1704 x= = = = = −6 284 284 284 284 - 9 −50 - 5 −12 9 · (−12) − (−50) · 5 −108 + 250 142 1 y= = = = = 284 284 284 284 2 6) Sustav jednadˇzbi ima rjeˇsenje ako je - 21 −17 - = 21 · 11 − (−17) · 13 = 231 + 221 = 452 = 0 D = -13 11 - 173 −17 - 21 11 173 · 11 − (−17) · 21 1903 + 357 2260 x= = = = =5 452 452 452 452 - 21 173 - 13 21 21 · 21 − 173 · 13 441 − 2249 −1808 y= = = = = −4 452 452 452 452

Zadatak 3.

Rijeˇsi sustave jednadˇzbi: ⎧ x+y x−y ⎪ ⎨ − =8 2 3 1) ⎪ ⎩ x + y + x − y = 11 3 4 ⎧ 2x − 3y 3x + 2y 5 ⎪ ⎪ − = ⎨ 4 3 12 2) ⎪ 3x + 2y 1 2x − 3y ⎪ ⎩ + =3 3 4 3 ⎧ 3 4 3 ⎪ ⎪ : =− ⎨ 2x + 1 y − 1 4 3) 2 1 ⎪ ⎪ : = −10 ⎩ x + 1 2y − 3

285

6


⎧ ⎪ ⎪ ⎨

5 4 25 : = x−1 y−1 24 4) 3 7 2 ⎪ ⎪ : = ⎩ x+1 y+1 12 Rjeˇsenje.

1) ⎧ x+y x−y ⎨ − =8/·6 2 3 x + y x − y ⎩ + = 11 / · 12 3 4 3x + 3y − 2x + 2y = 48 4x + 4y + 3x − 3y = 132 x + 5y = 48 7x + y = 132 / · (−5) " x + 5y = 48 + −35x − 5y = −660

2)

⎧ 5 2x − 3y 3x + 2y ⎪ ⎨ − = / · 12 4 3 12 ⎪ ⎩ 2x − 3y + 3x + 2y = 3 1 / · 12 3 4 3 6x − 9y − 12x − 8y = 5 8x − 12y + 9x + 6y = 40 −6x − 17y = 5 / · 17 17x − 6y = 40 / · 6 " −102x − 289y = 85 + 102x − 36y = 240

− 34x = −612

− 325y = 325 y = −1

x = 18 18 + 5y = 48 =⇒ y = 6. 3) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

17x + 6 = 40 =⇒ x = 2. 4)

3 4 3 : =− 2x + 1 y − 1 4 1 2 : = −10 x + 1 2y − 3 3 y−1 3 · = − / · 4(2x+1) 2x+1 4 4 2 · (2y−3) = −10 / · (x+1) x+1 3y − 3 = −6x − 3 4y − 6 = −10x − 10

6x + 3y = 0 / · (−5) 10x + 4y = −4 / · 3 " −30x − 15y = 0 + 30x + 12y = −12 − 3y = −12 y=4 6x + 12 = 0 =⇒ x = −2.

286

⎧ ⎪ ⎨

4 25 5 : = x−1 y−1 24 3 7 2 ⎪ ⎩ : = x+1 y+1 12 ⎧ y−1 25 5 ⎪ · = / · 24(x−1) ⎨ x−1 4 24 ⎪ ⎩ 2 · (y+1) = 7 / · 12(x+1) x+1 3 12 30y − 30 = 25x − 25 8y + 8 = 7x + 7 −25x + 30y = 5 / (−5) −7x + 8y = −1 5x − 6y = −1 / · 4 −7x + 8y = −1 / · 3 " 20x − 24y = −4 + −21x + 24y = −3 − x = −7 x=7 35 − 6y = −1 =⇒ y = 6.

6 Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Rijeˇsi sustave jednadˇzbi: ⎧ ⎧ 3x − y y x x − 2y ⎪ ⎪ ⎨ − = 0.2 − 0.1 = x − ⎨ 2 3 4 3 2) 1) ⎪ ⎪ ⎩ x + 2y − 0.3 = y + x ⎩ y + 2x − y = 1.2 3 2 3 2 ⎧ ⎧ x y x−y 1 y − 1 2(2 − x) ⎪ ⎪ ⎨ 2.5 − ⎨ − = 0.3 + =1+ 2 2 3 5 3 4 3) 4) x x + y x − y 1 y x + y ⎪ ⎪ ⎩ 1.4 − ⎩ =1− + = 0.4 + 4 5 2 2 3 5 ⎧ ⎧ 1 x y 3(x + y) x−y −x + 3y ⎪ ⎪ ⎨ 1− ⎨ = + − 1.5 = 3 3 2 3 5 3 5) 6) x−y 1 x y ⎪ ⎪ 1 2x − 3y 2(x − y) ⎩ ⎩ 1.2 + = − −1 = 6 5 3 2 3 4 6 ⎧ ⎧ 4x + y 7y − 1 x − 1 3x + 1 5x + 3y y +7 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ + − =1 − + =1 2 9 12 5 9 4 7) 8) y − x x + y 5y − x 3y − 1 7x − y 3y + 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ − + =x − + =y−1 2 6 5 2 8 5 1) 2) ⎧ ⎧ ⎪ 3x − y − 0.1 = x − y / · 12 ⎨ x x − 2y ⎪ ⎨ − = 0.2 / · 6 4 3 2 3 x + 2y x ⎪ ⎩ − 0.3 = y + /·6 2x − y y ⎪ ⎩ + 3 2 = 1.2 / · 6 3 2 9x − 3y − 1.2 = 12x − 4y 3x − 2x + 4y = 1.2 2x + 4y − 1.8 = 6y + 3x 2y + 6x − 3y = 7.2 −3x + y = 1.2 =⇒ y = 1.2 + 3x x+4y=1.2 =⇒ x=1.2 − 4y −x − 2y = 1.8 6x − y = 7.2 − x − 2.4 − 6x = 1.8 7.2 − 24y = 7.2 − 7x = 4.2 y=0 x = −0.6 x = 1.2. y=1.2−1.8 =⇒ y= − 0.6. 3) 4) ⎧ ⎧ 2(2 − x) y−1 1 x y x−y ⎪ ⎨ 2.5 − ⎪ =1+ / · 12 − = 0.3 + / · 60 ⎨ 3 4 2 2 3 5 x − y x + y ⎪ ⎩ 1.4 − ⎪ ⎩ 1 x + y = 0.4 + x + y / · 60 = 1− / · 20 4 5 2 2 3 5 30 − 16 + 8x = 12 + 3y − 3 15x − 10y = 18 + 12x − 12y 28 − 5x + 5y = 20 − 4x − 4y 15x + 10y = 24 + 12x + 12y " 8x − 3y = −5 3x + 2y = 18 + −x + 9y = −8 =⇒ x = 8 + 9y 3x − 2y = 24 64 + 72y − 3y = −5 69y = −69 y = −1 x = 8 − 9 =⇒ x = −1.

6x = 42 x=7 3 21 + 2y = 18 =⇒ y = − . 2

287

6


5) 6) ⎧ ⎧ −x + 3y x − y x y ⎪ ⎪ − 1.5 = x + y / · 5 ⎨ 1− = + / · 18 ⎨ 5 3 6 9 ⎪ ⎪ ⎩ 1.2 + x − y = x − y / · 30 ⎩ 2(x − y) − 5 = 2x − 3y / · 12 6 15 10 3 4 6 18 − 6x + 6y = 3x + 2y −x + 3y − 7.5 = 5x + 5y 36 + 5x − 5y = 2x − 3y 8x − 8y − 15 = 4x − 6y " −9x + 4y = −18 −6x − 2y = 7.5 − 3x − 2y = −36 / · 2 4x − 2y = 15 " −9x + 4y = −18 − 10x = −7.5 + 6x − 4y = −72 x = 0.75 − 3x = −90 3 − 2y = 15 =⇒ y = −6. x = 30 90 − 2y = −36 =⇒ y = 63. 7) ⎧ ⎪ ⎨ x − 1 + 4x + y − 7y − 1 = 1 / · 36 2 9 12 x + y 5y − x 3y − 1 ⎪ ⎩ − + = x / · 30 2 6 5 18x − 18 + 16x + 4y − 21y + 3 = 36 15x + 15y − 25y + 5x + 18y − 6 = 30x 34x − 17y = 51 / : 17 −10x + 8y = 6 / : 2 2x − y = 3 =⇒ y = 2x − 3 −5x + 4y = 3 − 5x + 8x − 12 = 3 x=5 y = 10 − 3 =⇒ y = 7. 8) ⎧ ⎪ ⎨ 3x + 1 − 5x + 3y + y + 7 = 1 / · 180 5 9 4 y − x 7x − y 3y + 1 ⎪ ⎩ − + = y − 1 / · 40 2 8 5 108x + 36 − 100x − 60y + 45y + 315 = 180 20y − 20x − 35x + 5y + 24y + 8 = 40y − 40 8x − 15y = −171 / · 6 9y − 55x = −48 / · 10 " 48x − 90y = −1026 + −550x − 90y = −480 − 502x = −1506

288

x=3 24 − 15y = −171 =⇒ y = 13.

6 Zadatak 5.

Rijeˇsi sljedeće sustave jednadˇzbi: (2x+y−1)(x+3y+5)=0 1) x+y=3

3) 5) Rjeˇsenje.

1)

2)

(x+2y+3)(x−y−1)=0 (x + 2y + 2)(y − 3) = 0

4)

x2 + 2xy + y2 − 1 = 0 2x − y + 5 = 0

6)

(x + 2y + 3)(x − y − 1) = 0 (x + y + 2)(x + 3y + 1) = 0 x2 − 4y2 = 0 x+y+3=0 x2 − y2 − 2x − 2y = 0 3x + y − 2 = 0

(2x + y − 1)(x + 3y + 5) = 0 x + y = 3 =⇒ x = 3 − y

(6 − 2y + y − 1)(3 − y + 3y + 5) = 0 (5 − y)(8 + 2y) = 0 5−y=0 ili 8 + 2y = 0 y=5 ili y = −4 x = 3 − 5 = −2 ili x = 3 + 4 = 7 (−2, 5), (7, −4); 2)

(x + 2y + 3)(x − y − 1) = 0 (x + y + 2)(x + 3y + 1) = 0

x − y − 1 = 0 =⇒ x = y + 1 (y + 1 + 2)(y + 1 + 3y + 1) = 0 (2y + 3)(4y + 2) = 0 2y + 3 = 0 ili 4y + 2 = 0 1 3 ili y = − y=− 2 2 1 1 1 3 ili x = − + 1 = x=− +1=− 2 2 2 2 x + 2y + 3 = 0 =⇒ x = −2y − 3 (−2y − 3 + 2)(−2y − 3 + 3y + 1) = 0 (−y − 1)(y − 2) = 0 −y − 1 = 0 ili y − 2 = 0 y = −1 ili y = 2 x = −2 · 2 − 3 = −7 ili x = −2 · (−1) − 3 = −1 1 1 1 3 (−1, −1), (−7, 2), ,− , − ,− 2 2 2 2 3)

(x + 2y + 3)(x − y − 1) = 0 (x + 2y + 2)(y − 3) = 0 y − 3 = 0 =⇒ y = 3 (x + 6 + 3)(x − 3 − 1) = 0

289

6


(x + 9)(x − 4) = 0 x + 9 = 0 ili x − 4 = 0 x = −9 ili x = 4 x + 2y + 2 = 0 =⇒ x = −2y − 2 (−2y − 2 + 2y + 3)(−2y − 2 − y − 1) = 0 (−3y − 3) = 0 −3y = 3 =⇒ y = −1 x = −2 · (−1) − 2 = 0 (−9, 3), (4, 3), (0, −1); 4)

(x − 2y)(x + 2y) = 0 x + y + 3 = 0 =⇒ x = −y − 3

(−y − 3 − 2y)(−y − 3 + 2y) = 0 (−3y − 3)(y − 3) = 0 −3y − 3 = 0 ili y − 3 = 0 y = −1 ili y = 3 x = −(−1) − 3 = −2 ili x − 3 − 3 = −6 (−2, −1), (−6, 3); 5)

(x + y)2 − 1 = 0 2x − y + 5 = 0

(x + y − 1)(x + y + 1) = 0 y = 2x + 5 (x + 2x + 5 − 1)(x + 2x + 5 + 1) = 0 (3x + 4)(3x + 6) = 0 3x + 4 = 0 ili 3x + 6 = 0 4 ili x = −2 x=− 3 7 8 ili y = −4 + 5 = 1 y=− +5= 3 3 4 7 (−2, 1), − , ; 3 3 6)

(x + y)(x − y) − 2(x + y) = 0 3x + y − 2 = 0 (x + y)(x − y − 2) = 0 y = −3x + 2

(x − 3x + 2)(x + 3x − 2 − 2) = 0 (−2x + 2)(4x − 4) = 0

290

6 −2(x − 1) · 4(x − 1) = 0 −8(x − 1)2 = 0 x − 1 = 0 =⇒ x = 1 y = −3 + 2 = −1 (1, −1)

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

Sustave jednadˇzbi rijeˇsi uvodenjem novih nepoznanica: ⎧ ⎧ 4 6 2 4 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + =0 − = ⎨ ⎨ x y x y 15 1) 2) 3 4 3 5 5 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − = −2 − = ⎩ ⎩ x y 6 x y 2 ⎧ ⎧ 1 1 2 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + =2 + = 1.1 ⎨ ⎨ 3−x y−2 x−y x+y 3) 4) 4 9 2 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − = 0.1 − = −3 ⎩ ⎩ x−y x+y 3−x y−2 ⎧ ⎧ 3 2 37 5 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + = + =5 ⎨ ⎨ 4x + 3y 4x − 3y 55 2x + y 2x − y 5) 6) 1 14 5 15 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − = + =5 ⎩ ⎩ 4x + 3y 4x − 3y 55 2x + y 2x − y ⎧ ⎧ 1 1 6 2 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − = − = ⎨ ⎨ 1−x+y x+y−1 2x+y−1 2x−y+3 2 7) 8) 1 1 4 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − = + =3 ⎩ ⎩ 1−x+y 1−x−y 2x+y−1 2x−y+3 1)

⎧ 4 ⎪ ⎨ + x 3 ⎪ ⎩ − x

2 3 4 3

6 =0 " 1" 1 y , v = u = 4 17 x y =− y 6

4u + 6v = 0 / · 2 17 3u − 4v = − / · 3 6 8u + 12v = 0 17 9u − 12v = − 2 1 17 =⇒ u = − 17u = − 2 2 6v = −4u 2 1 1 = v=− · − 3 2 3 1 x = = −2 u 1 y= =3 v x = −2, y = 3;

291

6


2) ⎧ 2 ⎪ ⎨ − x ⎪ ⎩ 3− x

4 4 = " 1" 1 y 15 , v = u = 5 1 x y = y 2 4 / · (−3) 2u − 4v = 15 1 3u − 5v = / · 2 2 4 −6u + 12v = − 5 6u − 10v = 1 1 1 =⇒ v = 5 10 4 2u = 4v + 15 2 1 1 + = u=2· 10 15 3 1 x= =3 u 1 y = = 10 v x = 3, y = 10; 2v =

3) ⎧ ⎪ ⎨

1 1 + =2 " 1 1 " 3−x y−2 u = , v = 5 ⎪ 2 3−x y−2 ⎩ − = −3 3−x y−2 u + v = 2 =⇒ u = 2 − v 2u − 5v = −3 4 − 2v − 5v = −3 −7v = −7 =⇒ v = 1 u=2−1=1 1 1 =⇒ 3 − x = u= 3−x u 1 x = 3− = 3−1= 2 u 1 1 v= =⇒ y − 2 = y−2 v 1 y= +2=3 v x = 2, y = 3;

292

6 4)

⎧ ⎪ ⎨

2 6 + = 1.1 " 1 " 1 x−y x+y , v = u = 9 ⎪ 4 x−y x+y ⎩ − = 0.1 x−y x+y 2u + 6v = 1.1 / · (−2) 4u − 9v = 0.1 −4u − 12v = −2.2 4u − 9v = 0.1 −21v = −2.1 v = 0.1 2u = 1.1 − 6v =⇒ u = 0.25 1 1 =⇒ x − y = u= x−y u 1 1 v= =⇒ x + y = x+y v x−y=4 x + y = 10 2x = 14 =⇒ x = 7 y = 10 − x = 3 x = 7, y = 3;

5)

⎧ ⎪ ⎨

5 4 + =5 " 1 1 " 2x + y 2x − y u= , v= ⎪ 2x + y 2x − y ⎩ 15 + 2 = 5 2x + y 2x − y 5u + 4v = 5 15u + 2v = 5 / · (−2) 5u + 4v = 5 −30u − 4v = −10 −25u = −5 1 u= 5 4v = 5 − 5u =⇒ v = 1 1 u= =⇒ 2x + y = 2x + y 1 =⇒ 2x − y = v= 2x − y 2x + y = 5 2x − y = 1 3 4x = 6 =⇒ x = 2

1 u 1 v

293

6


y = 5 − 2x = 2 3 x = , y = 2; 2 6) ⎧ ⎪ ⎨

2 37 3 + = " 1 " 1 4x + 3y 4x − 3y 55 , v = u = 5 1 14 ⎪ 4x + 3y 4x − 3y ⎩ − = 4x + 3y 4x − 3y 55 37 3u + 2v = 55 14 /·2 5u − v = 55 37 3u + 2v = 55 28 10u − 2v = 55 65 13u = 55 1 u= 11 11 37 − 3u =⇒ v = 2v = 55 55 1 1 =⇒ 4x + 3y = u= 4x + 3y u 1 1 =⇒ 4x − 3y = v= 4x − 3y v 4x + 3y = 11 4x − 3y = 5 8x = 16 =⇒ x = 2 3y = 11 − 4x = 3 =⇒ y = 1 x = 2, y = 1;

⎧ 7) 6 2 5 ⎪ − = ⎨ " " 1 1 2x + y − 1 2x − y + 3 2 , v = u = 4 4 ⎪ 2x + y − 1 2x − y + 3 ⎩ + =3 2x + y − 1 2x − y + 3 5 /·2 2 4u + 4v = 3 6u − 2v =

12u − 4v = 5 4u + 4v = 3 16u = 8 1 u= 2

294

6 4v = 3 − 4u =⇒ v =

1 4

1 =⇒ 2x + y − 1 = 2x + y − 1 1 v= =⇒ 2x − y + 3 = 2x − y + 3 2x + y = 3

u=

1 u 1 v

2x − y = 1 4x = 4 =⇒ x = 1 y = 3 − 2x = 1 x = 1, y = 1; 8) ⎧ ⎪ ⎨

1 1 2 − = " " 1 1 1−x+y x+y−1 3 , v = u = −1 4 1 ⎪ 1−x+y 1−x−y ⎩ − = 1−x+y x+y−1 3 2 u−v= /·2 3 4 u+v= 3 2u = 2 u=1 4 1 v = − u =⇒ v = 3 3 1 =⇒ 1 − x + y = u= 1−x+y 1 =⇒ x + y − 1 = v= x+y−1 −x + y = 0 x+y=4

1 u 1 v

2y = 4 =⇒ y = 2 x=4−y=2 x = y = 2.


Rijeˇsi sustav jednadˇzbi:

123x + 321y = 345 321x + 123y = 543

Najprije zbrojimo jednadˇzbe. 123x + 321y = 345 321x + 123y = 543

" +

444x + 444y = 888 / : 444 x+y=2

295

6


Onda oduzmimo jednadˇzbe. " −

123x + 321y = 345 321x + 123y = 543

−198x + 198y = −198 / : 198 −x + y = −1 Sada imamo x+y=2 −x + y = −1 2y = 1 =⇒ y = x=2−y= Rjeˇsenje je

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

3 1 , 2 2

3 2

1 2

.

Za koje je vrijednosti realnih brojeva m i n uredeni par (1, −2) rjeˇsenje sustava jednadˇzbi: mx − 3y = 11 mx − ny = 10 1) 2) 2x + ny = 4 nx + my = −5 1) Uvrstimo u jednadˇzbe x = 1 i y = −2 i dobijemo m + 6 = 11 2 − 2n = 4 m=5 n = −1 m = 5, n = −1 ; 2) Uvrstimo u jednadˇzbe x = 1 i y = −2 i dobijemo m + 2n = 10 / · 2 n − 2m = −5 2m + 4n = 20 −2m + n = −5 5n = 15 =⇒ n = 3 m = 10 − 2n = 4 m = 4, n = 3 .

Zadatak 9.

296

Ako je (33, 13) jedno rjeˇsenje jednadˇzbe ax − 5y = 1 , odredi rjeˇsenje sustava jednadˇzbi: ax − 5y = 1 x − 3y = 1

6 Rjeˇsenje.

Nadimo vrijednost parametra a . Uvrstimo u prvu jednadˇzbu x = 33 i y = 13 i dobijemo 33a − 65 = 1 33a = 66 a = 2. Sada rijeˇsimo sustav jednadˇzbi. 2x − 5y = 1 x − 3y = 1 =⇒ x = 1 + 3y 2 + 6y − 5y = 1 y = −1 x = −2

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Ako je (6, 1) jedno rjeˇsenje jednadˇzbe x + 3y = c , odredi rjeˇsenje sustava jednadˇzbi: 3x − 2y = 5 x + 3y = c Nadimo vrijednost parametra a . Uvrstimo u drugu jednadˇzbu x = 6 i y = 1 i dobijemo 6+3=c c = 9. Sada rijeˇsimo sustav jednadˇzbi. 3x − 2y = 5 x + 3y = 9 =⇒ x = 9 − 3y 27 − 9y − 2y = 5 −11y = −22 y=2 x=3

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Za koju vrijednost realnog koeficijenta a sustav jednadˇzbi nema rjeˇsenja? ax − y = 1 3x + ay = 1 ax − ay = 1 1) 2) 3) x + 2y = 3 x − 2y = a 2x + ay = 3 ax − y = 1 / · 2 1) x + 2y = 3 " 2ax − 2y = 2 + x + 2y = 3 2ax + x = 5 x(2a + 1) = 5 5 x= 2a + 1

1 Sustav nema rjeˇsenja ako je realni koeficijent a = − ; 2

297

6


2)

3x + ay = 1 x − 2y = a / · (−3) " 3x + ay = 1 −3x + 6y = −3a + ay + 6y = 1 − 3a y(a + 6) = 1 − 3a 1 − 3a y= a+6

Sustav nema rjeˇsenja ako je realni koeficijent a = −6 ; 3)

ax − ay = 1 2x + ay = 3

"

+

ax + 2x = 4 x(a + 2) = 4 4 x= a+2 Sustav nema rjeˇsenja ako je realni koeficijent a = −2 .

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Za koju vrijednost realnog koeficijenta a dani sustavi jednadˇzbi nemaju rjeˇsenja, a za koju su neodredeni? ax − y = 1 ax − ay = 2 1) 2) x − ay = 1 x − ay = 2 x−y=1 ax + y = a 4) 3) 2ax + ay = 4 a2 x − y = a x + ay = a x + a2 y = a 6) 5) ax + y = 2a − 1 x + 4y + 2 = 0 1)

ax − y = 1 =⇒ y = ax − 1 x − ay = 1 x − a2 x + a = 1 x(1 − a2 ) = 1 − a 1−a x= (1 − a)(1 + a) 1 x= 1+a

Za a = −1 sustav nema rjeˇsenja, za a = 1 sustav je neodreden;

298

6 2)

ax − ay = 2 x − ay = 2 =⇒ x = 2 + ay 2a + a2 y − ay = 2

y(a2 − a) = 2 − 2a −2(a − 1) y= a(a − 1) 2 x=− a Za a = 0 sustav nema rjeˇsenja, za a = 1 sustav je neodreden; 3)

ax + y = a =⇒ y = a − ax 2ax + ay = 4 2ax + a2 − a2 x = 4

x(2a − a2 ) = 4 − a2 (2 − a)(2 + a) x= a(2 − a) 2+a x= a Za a = 0 sustav nema rjeˇsenja, za a = 2 je neodreden;

4)

x − y = 1 =⇒ y = x − 1 a2 x − y = a a2 x − x + 1 = a

x(a2 − 1) = a − 1 a−1 x= (a − 1)(a + 1) 1 x= a+1 Za a = −1 sustav nema rjeˇsenja, za a = 1 je neodreden; 5)

x + a2 y = a =⇒ x = a − a2 y x + 4y + 2 = 0 a − a2 y + 4y + 2 = 0

y(4 − a2 ) = −2 − a −(2 + a) y= (2 − a)(2 + a) 1 y=− 2−a 1 − 3a y= a+6 Za a = 2 sustav nema rjeˇsenja, za a = −2 je neodreden;

299

6


6)

x + ay = a =⇒ x = a − ay ax + y = 2a − 1 a2 − a2 y + y = 2a − 1 y(1 − a2 ) = 2a − 1 − a2 y(1 − a2 ) = −(a2 − 2a + 1) −(a − 1)2 (1 − a)(1 + a) a−1 y=− a+1

y=

Za a = −1 sustav nema rjeˇsenja, a za a = 1 je neodreden.

Zadatak 13.

Odredi realni broj m tako da rjeˇsenje sustava jednadˇzbi

mx + y = 1 x − (m − 2)y = m

zadovoljava uvjet |x − y| 1 . Rjeˇsenje.

mx + y = 1 =⇒ y = 1 − mx x − (m − 2)y = m x − (m − 2)(1 − mx) = m x − m + m2 x + 2 − 2mx = m x(1 − 2m + m2 ) = m + m − 2

x(m − 1)2 = 2(m − 1) 2 m − 1 − 2m 2 y = 1−m· = x= m−1 m−1 m−1 m+1 y=− m−1 - za m = 1 rjeˇsenje je sustava x = 2 , Za m = 1 sustav je neodreden, m−1 -m + 3m+1 . Uvjet |x − y| = y= - 1 ispunjen je za svaki m , m −1 . 1−m m−1

Zadatak 14.

Za koje vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje sustava jednadˇzbi

mx − my = 4 x + (m + 1)y = m

zadovoljava uvjet x > 0 i y > 0 ?

300

6 Rjeˇsenje.

mx − my = 4 x + (m + 1)y = m =⇒ x = m − (m + 1)y m2 − m(m + 1)y − my = 4 y[−m(m + 1 + 1)] = 4 − m2

y[−m(m + 2)] = (2 − m)(2 + m) (2 − m)(2 + m) y= −m(m + 2) m−2 m−2 x = m − (m + 1) y= m m m2 − m2 + 2m − m + 2 x= m−1 m+2 x= m - a za m = 0 Za m = 0 sustav nema rjeˇsenja, za m = −2 sustav je neodreden, m−2 m+2 , y= . Uvjet x > 0 i y > 0 ispunjen i m = −2 rjeˇsenje je x = m m je za svaki m , m < −2 ili m > 2 .

Zadatak 15.

Odredi realni broj m tako da za rjeˇsenje sustava jednadˇzbi (m − 1)x + y = m mx + my = 4 vrijedi uvjet x < 0 i y < 0 .

Rjeˇsenje.

(m − 1)x + y = m =⇒ y = m − (m − 1)x mx + my = 4 mx + m2 − m(m − 1)x = 4 x[m − m(m − 1)] = 4 − m2

x[m(1 − m + 1)] = (2 − m)(2 + m) (2 − m)(2 + m) x= m(2 − m) 2+m 2+m y = m − (m − 1) x= m m 2 2 m − 2m − m + 2 + m y= m 2−m x= m - a za m = 0 i Za m = 0 sustav nema rjeˇsenja, za m = 2 sustav je neodreden, −m + 2 m+2 , y= . Uvjet x < 0 i y < 0 ispunjen m = 2 rjeˇsenje je x = m m je za svaki m , −2 < m < 0 .

301

6


Zadatak 16.

Rjeˇsenje.

Za koje vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje sustava jednadˇzbi x + (m + 1)y = m (m + 1)x + 4my = m + 1 zadovoljava uvjet |x + y| 1 ? x + (m + 1)y = m =⇒ x = m − (m + 1)y (m + 1)x + 4my = m + 1 m(m + 1) − (m + 1)(m + 1)y + 4my = m + 1 y[4m − m2 − 2m − 1] = (m + 1)(1 − m) y[−(m − 1)2 ] = (1 − m)(1 + m) (m − 1)(1 + m) y= (m − 1)2 m+1 m+1 x = m − (m + 1) y= m−1 m−1 m2 − m − m2 − 2m − 1 x= m−1 −3m − 2 x= m−1 −3m − 1 , Za m = 1 sustav je neodreden, a za m = 1 rjeˇsenje je x = m−1 1 m+1 - 2m . Uvjet |x + y| = . y= - 1 ispunjen je za svaki m ∈ −1, m−1 m−1 3

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Za koje vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje sustava jednadˇzbi (m − 1)x + 3y = m x + (m + 1)y = 2 zadovoljava uvjet x 1 i y 1 ? (m − 1)x + 3y = m x + (m + 1)y = 2 =⇒ x = 2 − (m + 1)y 2(m − 1) − (m − 1)(m + 1)y + 3y = m y[3 − (m − 1)(m + 1)] = m − 2m + 2 y(3 − m2 + 1) = 2 − m y(4 − m2 ) = 2 − m 2 − m) y= (2 − m)(m + 2) 1 1 y= x = 2 − (m + 1) m+2 m+2 2m + 4 − m − 1 x= m+2 m+3 x= m+2

302

6 Za m = 2 sustav je neodreden, za m = −2 nema rjeˇsenja, a za m = ±2 1 m+3 ,y = . Uvjet x 1 i y 1 ispunjen je za svaki rjeˇsenje je x = m+2 m+2 m ∈ −2, −1] .

Zadatak 18.

Rjeˇsenje.

Odredi m iz uvjeta da rjeˇsenje sustava jednadˇzbi (2m − 1)x − my = 1 mx − y = m zadovoljava nejednakost x + y < 1 . (2m − 1)x − my = 1 mx − y = m =⇒ y = −m + mx (2m − 1)x + m2 − m2 x = 1 x(2m − 1 − m2 ) = 1 − m2 −x(m − 1)2 = (1 − m)(1 + m) (m − 1)(1 + m) x= (m − 1)2 m+1 1+m y = −m + m x= m−1 m−1 −m2 + m + m2 + m x= m−1 2m x= m−1 - za m = 1 rjeˇsenje je x = m + 1 , y = 2m , Za m = 1 sustav je neodreden, m−1 m−1 a postavljeni zahtjev daje m ∈ −1, 1 .

Zadatak 19.

Odredi realni broj m tako da za rjeˇsenje sustava jednadˇzbi mx + (m + 2)y = 1 x + my = m vrijedi x y .

Rjeˇsenje.

mx + (m + 2)y = 1 x + my = m =⇒ x = m − my m2 − m2 y + (m + 2)y = 1 y(m + 2 − m2 ) = 1 − m2

y(m + 1 + 1 − m2 ) = (1 − m)(1 + m) y[(m + 1) + (1 + m)(1 − m)] = (1 − m)(1 + m) y[(m + 1)(1 + 1 − m)] = (1 − m)(1 + m) (1 − m)(1 + m) y= (m + 1)(2 − m) 1−m 1−m x=m−m y= 2−m 2−m

303

6


2m − m2 − m + m2 2−m m x= 2−m - a za m = 2 Za m = 2 sustav nema rjeˇsenja, za m = −1 sustav je neodreden, −m m−1 i m = −1 rjeˇsenje je x = , y= . Uvjet x y ispunjen je za m − 2 m −2 1 ! svaki m , m ∈ , 2 . 2 x=

Zadatak 20.


Rjeˇsenje.

|x| + |y| = 3 |x| − |y| = −1 "

|x| + |y| = 3 |x| − |y| = −1

+

2|x| = 2 |x| = 1 |y| = 3 − |x| |y| = 2 |x| = 1 , |y| = 2 , rjeˇsenja su (1, 2) , (−1, 2) , (1, −2) , (−1, −2) .

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.


2|x + 1| − |y − 1| = 3 |x + 1| − 2|y − 1| = 0

2|x + 1| − |y − 1| = 3 |x + 1| − 2|y − 1| = 0 / · (−2) 2|x + 1| − |y − 1| = 3 −2|x + 1| + 4|y − 1| = 0 3|y − 1| = 3 |y − 1| = 1 |x + 1| = 2|y − 1| |x + 1| = 2

|x + 1| = 2 , |y − 1| = 1 , rjeˇsenja su (1, 2) , (1, 0) , (−3, 2) , (−3, 0) .

Zadatak 22.

Rjeˇsenje.

304

Rijeˇsi sljedeće sustave jednadˇzbi: # x+y+z =6 2x + y − z = 1 1) 3x − y + z = 4 # x+y+z =6 3x − 2y − z = 0 3) 5x + 2y − 4z = 6

# 2)

3x − 4y + 5z = 18 2x + 4y − 3z = 26 x − 6y + 8z = 0

1) Zbrojimo li drugu i treću jednadˇzbu dobit c´ emo da je 5x = 5 =⇒ x = 1 . Zbrojimo zatim prvu i treću jednadˇzbu i dobit c´ emo 4x + 2z = 10 . Uvrstimo

6 x = 1 i dobijemo da je z = 3 . Uvrstimo sada poznate vrijednosti u prvu jednadˇzbu i dobijemo da je y = 2 . (1, 2, 3) . 2) Iz treće jednadˇzbe izluˇcimo x = 6y−8z i to uvrstimo u prve dvije jednadˇzbe. Dobit cémo sustav 18y − 24z − 4y + 5z = 18 12y − 16z + 4y − 3z = 26 " 14y − 19z = 18 16y − 19z = 26 − −2y = −8 y = 419z = 14y − 18 14 · 4 − 18 z= 19 38 z= 19 z = 2. Konaˇcno, x = 6 · 4 − 8 · 2 = 8 . (8, 4, 2) ; 3) Iz prve jednadˇzbe imamo x = 6 − y − z . Uvrstimo to u drugu i treću jednadˇzbu i dobijemo 18 − 3y − 3z − 2y − z = 0 30 − 5y − 5z + 2y − 4z = 0 −5y − 4z = −18 / · (−3) −3y − 9z = −24 / · 5 15y + 12z = 54 −15y − 45z = −120 −33z = −66 z = 2. − 5y − 8 = −18 −5y = −10 y = 2. Na kraju, x = 6 − 2 − 2 = 2 . (2, 2, 2) .

Zadatak 23.

Rjeˇsenje.

Rijeˇsi sustave jednadˇzbi: ⎧ ⎪ ⎨ x−y+u−v=2 x + 2y − 2u − v = 5 1) ⎪ ⎩ 3x − 2y − 5u − v = 3 2x − u − v = 4

⎧ ⎪ ⎨ x + y − u + v = −7 −x + y + 3u − 4v = 9 2) ⎪ ⎩ 2x − 3y + 3u − 8v = 16 x − 2y + u − v = 12

1) Oduzmimo od prve jednadˇzbe preostale tri. −3y + 3u = −3 − 2x + y + 6u = −1 −x − y + 2u = −2 =⇒ x = −y + 2u + 2 −3y + 3u = −3 2y − 4u − 4 + y + 6u = −1 " −3y + 3u = −3 + 3y + 2u = 3

305

6


5u = 0 u=0 −3y = −3 y=1 x = −1 + 2 = 1 v=1−1+0−2 v = −2 (1, 1, 0, −2) 2) Pomnoˇzimo prvu, drugu i cˇ etvrtu jednadˇzbu s 2. 2x + 2y − 2u + 2v = −14 −2x + 2y + 6u − 4v = 18 2x − 3y + 3u − 8v = 16 2x − 2y + 2u − 2v = 24 Drugoj jednadˇzbi pribrojimo prvu, treću i cˇ etvrtu i dobijemo 4y + 4u − 6v = 4 / : 2 −y + 9u − 16v = 34 / + 2 −2y + 8u − 10v = 42 " 2y + 2u − 3v = 2 −2y + 18u − 32v = 68 + −2y + 8u − 10v = 42 20u − 35v = 70 10u − 13v = 44 / · (−2) 20u − 35v = 70 −20u + 26v = −88 / · (−2) −9v = −18 v=2 10u − 26 = 44 10u = 70 u=7 2y + 14 − 6 = 2 2y = −6 y = −3 x − 3 − 7 + 2 = −7 x=1 (1, −3, 7, 2)

306


Udˇzbenik iz matematike sastoji se od dva dijela s ukupno 410 stranica. Ako prvi dio ima 50 stranica manje od drugog, koliko stranica ima drugi dio?

Rjeˇsenje.

Neka je x broj stranica prvog dijela, y broj stranica drugog dijela. Iz uvjeta zadatka imamo: x + y = 410 x = y − 50 Uvrstimo li drugu jednadˇzbu u prvu dobijemo: y − 50 + y = 410 =⇒ 2y = 460 =⇒ y = 230, x = 180 Prvi dio ima 180, drugi 230 stranica.

Zadatak 2.

Sebastijan je slavio rodendan i poˇcastio svojih osam prijatelja kolaˇcima. Svaki, ukljuˇcujući Sebastijana, naruˇcio je ili kremˇsnitu (12 kn) ili komad torte (15 kn). Ako je raˇcun bio 111 kn, koliko je Sebastijanovih prijatelja naruˇcilo tortu?

Rjeˇsenje.

Djece je ukupno bilo 9. Neka je x njih naruˇcilo kremˇsnitu, tada ih je tortu naruˇcilo 9 − x pa dobijemu jednadˇzbu: 12 · x + 15(9 − x) = 111 −3x + 135 = 111 3x = 24 x=8 Osam ih je naruˇcilo kremˇsnitu, a samo jedan tortu.


Fran je u svoju sˇ tednu kasicu ubacivao kovanice od 2 kn i 5 kn. Ubacio je ukupno 34 kovanice te uˇstedio 110 kn. Koliko je kojih kovanica bilo u kasici? x – broj kovanica od 2 kn y – broj kovanica od 5 kn Sada imamo: x + y = 34 =⇒ y = 34 − x 2 · x + 5 · y = 110 2 · x + 5 · (34 − x) = 110 − 3x + 170 = 110 3x = 60 x = 20, y = 14 14 kovanica od 5 i 20 kovanica od 2 kn.


Zbroj dvaju brojeva jednak je 7.1. Njihova je razlika 11.5. Koji su to brojevi? Imamo sustav: a + b = 7.1 a − b = 11.5 Iz prve jednadˇzbe slijedi a = 7.1 − b . Uvrstimo li to u drugu jednadˇzbu dobit cémo 7.1 − b − b = 11.5 =⇒ −2b = 4.4 =⇒ b = −2.2, a = 9.3.

307

6



Dana su dva broja. Ako dvostrukom prvom dodamo drugi, dobit cémo 17, a ako dvostrukom drugom dodamo prvi, dobijemo 19. Koji su to brojevi? Imamo sustav: 2a + b = 17 a + 2b = 19. Iz prve jednadˇzbe slijedi b = 17 − 2a . Uvrstimo li to u drugu jednadˇzbu dobit cémo a + 34 − 4a = 19 =⇒ −3a = −15 =⇒ a = 5, b = 7.


Zbroj dvaju brojeva jednak je 40, a razlika njihovih kvadrata 880. Koji su to brojevi? Imamo sustav: a + b = 40 a2 − b2 = 880. Iz prve jednadˇzbe slijedi a = 40 − b . Uvrstimo li to u drugu jednadˇzbu dobit cémo 1600 − 80b + b2 − b2 = 880 =⇒ −80b = −720 =⇒ b = 9. To su brojevi a = 31 , b = 9 .


Zbroj znamenki dvoznamenkastog broja je 11. Ako od tog broja oduzmemo broj zapisan istim znamenkama, ali u obrnutom poretku, dobit c´ emo 27. Koji je to broj? Neka je traˇzeni broj ab . Tada je a + b = 11 , te ab − ba = 10a + b − (10b + a) = 9(a − b) = 27 =⇒ a − b = 3. Zbrojimo li te jednadˇzbe dobit cémo 2a = 14 =⇒ a = 7, b = 4. Traˇzeni broj je 74.


Zbroj znamenki dvoznamenkastog broja je 9. Ako zamijenimo poredak znamenki, dobit cémo broj koji je za 45 veći od prvog. Koji je to broj? Neka je traˇzeni broj ab . Tada je a + b = 9 , te ab = ba + 45 =⇒ 10a + b = (10b + a) + 45 =⇒ 10a + b − 10b − a = 9(a − b) = 45 =⇒ a − b = 5. Zbrojimo li te jednadˇzbe dobit cémo 2a = 14 =⇒ a = 7, b = 2 Traˇzeni broj je 72.


Razlika znamenki dvoznamenkastog broja je 4. Zbroj toga broja i broja zapisanog istim znamenkama ali u obrnutom poretku jednak je 154. Koji je to broj? Neka je traˇzeni broj ab . Tada je |a − b| = 4 , te: ab + ba = 154 =⇒ 10a + b + 10b + a = 154 =⇒ 11(a + b) = 154 =⇒ a + b = 14.

308

6 Ako uzmemo da je a > b . Tada imamo sustav jednadˇzbi: a−b=4 a + b = 14. Zbrojimo li te jednadˇzbe dobijemo a = 9 , b = 5 , te je traˇzeni broj 95. Ako uzmemo da je b > a . Tada imamo sustav jednadˇzbi: b−a=4 a + b = 14. Zbrojimo li te jednadˇzbe dobijemo b = 9 , a = 5 , te je traˇzeni broj 59.


Zbroj znamenki broja a0b jednak je 6. Ako se zamijeni redoslijed znamenki dobit c´ e se broj veći za 396. O kojem je broju rijeˇc? Imamo: a + 0 + b = 6 , tj. a + b = 6, te a0b = b0a − 396 =⇒ 100a + b = (100b + a) − 396 =⇒ 99(a − b) = −396 =⇒ a − b = −4. Zbrojimo li te jednadˇzbe dobit cémo 2a = 2 =⇒ a = 1, b = 5 Traˇzeni broj je 105.


Zbroj znamenki broja aab jednak je 21. Ako se zamijeni redoslijed znamenki dobit c´ e se broj manji za 297. O kojem je broju rijeˇc? Imamo: a + a + b = 21 , tj. 2a + b = 21, te aab = baa + 297 =⇒ 100a + 10a + b = (100b + 10a + a) + 297 =⇒ 99(a − b) = 297 =⇒ a − b = 3. Zbrojimo li te jednadˇzbe dobit cémo 3a = 24 =⇒ a = 8, b = 5 Traˇzeni broj je 885.


Trostruki zbroj znamenki dvoznamenkastog broja n jednak je broju n . Ako tom broju dodamo 45, dobit cémo dvoznamenkasti broj cˇijom zamjenom znamenki dobijemo broj n . Odredi broj n . Neka je n = ab = 10a + b . Tada je 3(a + b) = 10a + b 10a + b + 45 = 10b + a. Imamo sustav: 7a = 2b a − b = −5. Iz druge jednadˇzbe imamo a = −5 + b i to uvrstimo u prvu te dobijemo −35 + 7b = 2b =⇒ 5b = 35. Rjeˇsenje tog sustava je a = 2 , b = 7 , te je traˇzeni broj n = 27 .

309

6



Ako dvoznamenkastom broju pribrojimo zbroj njegovih znamenki, dobit cémo 68. Ako od istog dvoznamenkastog broja oduzmemo 45, dobit cémo broj napisan istim znamenkama, ali u obrnutom poretku. Koji je to broj? Imamo sustav jednadˇzbi: 10a + b + (a + b) = 68 10a + b − 45 = 10b + a, tj. 11a + 2b = 68 a − b = 5. Iz druge jednadˇzbe imamo a = b + 5 , sˇ to uvrˇsteno u prvu daje 55 + 11b + 2b = 68 =⇒ 13b = 13, odnosno b = 1 i a = 6 . Broj koji traˇzimo jest 61.


Aritmetiˇcka sredina dvaju brojeva jednaka je 185. Ako veći od njih podijelimo manjim, dobit cémo koliˇcnik 2 i ostatak 40. Koji su to brojevi? Uvjete zadatka moˇzemo izraziti u obliku sustava jednadˇzbi: a + b = 370, a = 2b + 40. Uvrstimo drugu jednadˇzbu u prvu i dobijemo 3b + 40 = 370 =⇒ 3b = 330 =⇒ b = 110. Rjeˇsenje tog sustava je a = 260 , b = 110 .


Aritmetiˇcka sredina dvaju brojeva jednaka je 51. Ako veći broj podijelimo manjim, dobit cémo koliˇcnik 7 i ostatak 6. Koji su to brojevi? Iz sustava jednadˇzbi a + b = 102, a = 7b + 6 imamo 8b + 6 = 102 =⇒ 8b = 96 =⇒ b = 12,


a = 90.

Ako dvoznamenkasti broj podijelimo zbrojem njegovih znamenki, dobit cémo koliˇcnik 4 i ostatak 3. Ako pak od tog dvoznamenkastog broja oduzmemo dvostruki zbroj njegovih znamenki, dobit cémo 25. O kojem je broju rijeˇc? Imamo sustav jednadˇzbi 10a + b = 4(a + b) + 3 10a + b − 2(a + b) = 25, odnosno 2a − b = 1 8a − b = 25. Od prve jednadˇzbe oduzmemo drugu i dobijemo −6a = −24 . Odatle je a = 4 , b = 7 , pa je rijeˇc o broju 47.

310


Znamenka jedinica dvoznamenkastog broja n za 4 je veća od znamenke dese- znamenki tog broja upiˇsemo dvoznamenkasti broj za 1 manji tica. Ako izmedu od n , dobit c´ emo cˇ etveroznamenkasti broj 91 puta veći od n . Odredi broj n . Imamo sustav b = a + 4, axyb = 91 · ab, xy = ab − 1. Drugu jednadˇzbu zapiˇsemo u obliku 1000a + b + 10(10a + b − 1) = 91(10a + b), odakle nakon pojednostavljenja imamo jednadˇzbu 19a−8b = 1 , a ona zajedno s b = a + 4 cˇini linearni sustav s rjeˇsenjem a = 3 , b = 7 , te je n = 37 .

Zadatak 18.

Rjeˇsenje.

3 . Ako 4 2 od brojnika i nazivnika istog razlomka oduzmemo 1, dobit cémo razlomak . 3 Koji je to razlomak?

Ako brojniku i nazivniku razlomka dodamo 1, dobit cémo razlomak

Uvjete zadatka izrazimo pomoću sustava

δ ra + 1b + 1 =

3 4

2 a−1 = . b−1 3 Sredivanjem jednadˇzbi dobijemo 4a − 3b = −1 3a − 2b = 1. Prvu jednadˇzbu pomnoˇzimo s −3 , drugu s 2, zbrojimo ih i dobijemo a = 5 i 5 b = 7 . Traˇzeni razlomak je . 7


Brat je 3 godine stariji od sestre. Ako zajedno imaju 31 godinu, koliko godina ima sestra, a koliko brat? Imamo sustav s+3 =b s + b = 31. Uvrstimo li prvu jednadˇzbu u drugu dobit c´ emo 2s = 28 =⇒ s = 14, b = 17.


Sestra je starija od brata 4 godine. Za godinu dana omjer njihovih godina bit c´ e 3 : 4 . Koliko je godina sestri, a koliko bratu? Iz sustava jednadˇzbi s−b=4 (s + 1) : (b + 1) = 4 : 3 dobijemo 4+b+1 4 = =⇒ 15 + 3b = 4b + 4 =⇒ −b = −11, b+1 3

311

6


b = 11 i s = 15 godina.


Koliko je godina majci, a koliko kćeri ako c´ e za 11 godina majka biti dvostruko starija od kćeri, a prije 9 godina bila je starija 12 puta? Uvjete zadatka izrazimo pomoću sustava m + 11 = 2(k + 11) m − 9 = 12(k − 9).

Sredivanjem dobijemo

m − 2k = 11 m − 12k = −99. Od prve jednadˇzbe oduzmemo drugu i dobijemo 10k = 110 =⇒ k = 11, m = 33. Majka ima 33, a kći 11 godina.


Prije 12 godina majka je bila 9 puta starija od kćeri, a prije 3 godine samo tri puta. Koliko godina ima majka, a koliko kći? Iz sustava jednadˇzbi m − 12 = 9(k − 12) m − 3 = 3(k − 3)

sredivanjem dobijemo

m − 9k = −96 m − 3k = −6. Od prve jednadˇzbe oduzmemo drugu i dobijemo −6k = −90 =⇒ k = 15, m = 39.

Zadatak 23.

Jedan starinski zadatak.

U nekog su seljaka fazani i kunići. Ako je broj glava svih ovih zˇ ivotinja 35, a broj nogu 94, koliko je kojih zˇ ivotinja u seljaka? Rjeˇsenje.

Imamo sustav jednadˇzbi f + k = 35 2f + 4k = 94. Prvu jednadˇzbu pomnoˇzimo s −2 i pribrojimo drugoj te dobijemo 2k = 24 =⇒ k = 12, f = 23.


Opseg pravokutnika je 52 cm, a razlika duljina njegovih stranica iznosi 6 cm. Kolika je povrˇsina pravokutnika? Iz uvjeta zadatka imamo sustav 2a + 2b = 52 a − b = 6. Iz druge jednadˇzbe a = 6 + b uvrstimo u prvu i dobijemo 6 + b + b = 26 =⇒ 2b = 20 =⇒ b = 10, a = 14. Povrˇsina pravokutnika iznosi P = a · b = 140 cm2 .

312


Igraliˇste ima oblik pravokutnika. Opseg igraliˇsta je 80 m, a duljina mu je za 5 m veća od sˇ irine. Kolika je povrˇsina tog igraliˇsta? Iz sustava a + b = 40 a−b=5 izraˇcunamo duljinu ( 2a = 45 =⇒ a = 22.5 m) i sˇ irinu ( b = 17.5 m) igraliˇsta, te mu je povrˇsina jednaka P = a · b = 393.75 m2 .


Vrt u obliku pravokutnika ima opseg 54 m. Kolika je povrˇsina ovog vrta ako je njegova veća stranica za 1.5 m kraća od dvostruke duljine manje stranice? Iz sustava 2a + 2b = 54 a = 2b − 1.5 uvrˇstavanjem druge jednadˇzbe u prvu dobijemo 2(2b − 1.5) + 2b = 54 =⇒ 6b − 3 = 54 =⇒ b = 9.5, =⇒ a = 2 · 9.5 − 1.5 = 17.5 Duljine stranica pravokutnika su 9.5 m i 18 m.

Zadatak 27.

Rjeˇsenje.

Ako duljinu jedne stranice pravokutnika umanjimo za 5.2 cm, a duljinu druge povećamo za 1.5 cm, povrˇsina cé se smanjiti za 7.5 cm 2 . A ako duljinu prve uvećamo za 6.2 cm, a duljinu druge smanjimo za 0.5 cm, povrˇsina pravokutnika cé se povećati za 16.9 cm 2 . Kolike su duljine stranica pravokutnika? Iz uvjeta zadatka imamo sustav (a − 5.2) · (b + 1.5) = a · b − 7.5 (a + 6.2) · (b − 0.5) = a · b + 16.9

koji sredivanjem ima oblik

1.5a − 5.2b = 0.3 −0.5a + 6.2b = 20. Pomnoˇzimo li drugu jednadzbu s 3 i pribrojimo li je prvoj jednadˇzbi dobit cémo 13.4b = 60.3 =⇒ b = 4.5 cm,

Zadatak 28.

Rjeˇsenje.

a = 15.8 cm.

Ako duljinu pravokutnika uvećamo za 2 cm, a sˇ irinu smanjimo za 1 cm, povrˇsina cé se povećati za 3 cm2 . No ako duljinu umanjimo za 3 cm, a sˇ irinu povećamo za 2 cm, povrˇsina cé se umanjiti za 5 cm2 . Kolike su duljina i sˇ irina tog pravokutnika? Iz (a + 2)(b − 1) = ab + 3 (a − 3)(b + 2) = ab − 5 dobijemo sustav linearnih jednadˇzbi −a + 2b = 5, 2a − 3b = 1.

313

6


Prvu jednadˇzbu pomnoˇzimo s 2 i pribrojimo drugoj. Tada dobijemo b = 11 , a = 17 cm.

Zadatak 29.

Rjeˇsenje.

Ako dulju katetu pravokutnog trokuta ABC povećamo za 1 cm, a kraću skratimo za 5 cm, ili ako dulju skratimo za 1 cm, a kraću uvećamo za 3 cm, duljina hipotenuze neće se promijeniti. Kolike su duljine kateta tog trokuta? Iz sustava (a + 1)2 + (b − 5)2 = c2 (a − 1)2 + (b + 3)2 = c2 dobijemo sustav linearnih jednadˇzbi a − 5b + 13 = 0 −a + 3b + 5 = 0. Zbrojimo li te dvije jednadˇzbe dobit cémo rjeˇsenje a = 32 cm, b = 9 cm.

Zadatak 30.

Ako duljine hipotenuze i kraće katete pravokutnog trokuta ABC umanjimo za 1 cm, odnosno 3 cm, ili ako ih povećamo za 2 cm, odnosno 4 cm, duljina dulje katete neće se promijeniti. Kolike su duljine kraće katete i hipotenuze trokuta ABC ?

Rjeˇsenje.

Iz sustava (c + 2)2 − (a + 4)2 = b2 i (c − 1)2 − (a − 3)2 = b2 dobijemo sustav linearnih jednadˇzbi c − 2a = 30 −c + 3a = 4. Zbrojimo li te dvije jednadˇzbe dobijemo rjeˇsenje a = 7 cm, c = 17 cm.


Opseg jednog kruga za 6π cm veći je od opsega drugog. Razlika njihovih povrˇsina je 24π cm2 . Kolike su duljine promjera ovih krugova? Iz 2r1 π − 2r2 π = 6π r12 π − r22 π = 24π r1 − r2 = 3 (r1 − r2 )(r1 + r2 ) = 24 r1 − r2 = 3 3(r1 + r2 ) = 24 r1 − r2 = 3 r1 + r2 = 8 slijedi r1 = 5.5 cm i r2 = 2.5 cm.

Zadatak 32.

314

Petra je dio novca uloˇzila uz godiˇsnju kamatnu stopu od 3 %, a dvostruko veći iznos uloˇzila je uz 5 %. Ako je nakon godinu dana dobila 55.25 kn kamata, koliko je ukupno novca uloˇzila?

6 Rjeˇsenje.

Imamo sustav:

0.03x + 0.05y = 55.25 y = 2x 3x + 5y = 5525 y = 2x 3x + 5 · 2x = 5525 13x = 5525 x = 425, y = 850

pa je x + y = 1275 .


Na nekom pisanom ispitu postavljeno je 25 zadataka. Toˇcno rijeˇsen zadatak donosi 5 bodova, a po svakom netoˇcno rijeˇsenom ili nerijeˇsenom oduzima se 3 boda. Ako je netko dobio ukupno 69 bodova, koliko je zadataka rijeˇsio toˇcno? Iz uvjeta zadatka dobijemo sustav jednadˇzbi 5t − 3n = 69 t + n = 25. Drugu jednadˇzbu pomnoˇzimo s 3 i pribrojimo prvoj te dobijemo 8t = 144 =⇒ t = 18.

Zadatak 34.

Rjeˇsenje.

U dvjema posudama od 144 l i 100 l nalaze se neke koliˇcine tekućine. Ako bismo u veću posudu dolili do vrha tekućinu iz manje, u manjoj bi ostalo 15 prvotne koliˇcine tekućine. Kad bismo pak manju napunili dolijevanjem iz veće 7 posude, u većoj bi ostalo 12 prvotne koliˇcine. Koliko je tekućine u pojedinoj posudi? Ako je u prvoj x litara, a u drugoj y litara tekućine, tada je 4 x + y = 144 5 5 x + y = 100. 12 Sredivanjem jednadˇzbi dobijemo 5x + 4y = 720 5x + 12y = 1200. Oduzmemo od prve drugu jednadˇzbu. Odatle se dobije −8y = −480 =⇒ y = 60 l,

Zadatak 35.

Rjeˇsenje.

x = 96 l.

U dvjema je posudama razliˇcita koliˇcina tekućine. Ako bismo iz prve odlili 18 litara, a iz druge 12 litara, u drugoj bi ostalo dvostruko viˇse tekućine nego u prvoj. Ako bismo iz prve odlili 8 litara, a iz druge 16 litara, koliˇcine tekućine koje bi ostale u prvoj i drugoj posudi bile bi u omjeru 7 : 8 . Koliko je u kojoj posudi tekućine? Iz sustava jednadˇzbi 2(x − 18) = y − 12 (x − 8) : (y − 16) = 7 : 8

315

6


sredivanjem dobije se 2x − y = 24 8x − 7y = −48. Iz prve jednadˇzbe y = 2x − 24 uvrstimo u drugu i dobijemo 8x − 14x + 168 = −48 =⇒ −6x = −216 =⇒ x = 36 l,

y = 48 l.

Zadatak 36.

U dvjema se posudama nalazi kiselina, jedna je koncentracije 20 % , druga 1 kiseline iz prve posude prelijemo u drugu, kiselina u drugoj 50 % . Ako 6 posudi bit c´ e koncentracije 44 % . Ako pak svu kiselinu iz druge posude pomijeˇsamo s kiselinom iz prve posude i dodamo 50 litara vode, dobit cémo kiselinu koncentracije 25.6 % . Koliko je kiseline u kojoj posudi?

Rjeˇsenje.

Neka je x koliˇcina kiseline u prvoj, a y koliˇcina kiseline u drugoj posudi (u x y litrama). Tada imamo , odnosno litara cˇiste kiseline. 5 2 x y Nakon prelijevanja u drugoj c´ e posudi biti + cˇ iste kiseline, odnosno 30 2 x y + litara tekućine, te je 6 x y + 2 30 · 100 = 44. x y+ 6 Na jednak naˇcin dobijemo x y + 5 2 · 100 = 25.6. x + y + 50 Sredivanjem sustava dobijemo 3y = 2x − 5.6x + 24.4y = 1280. Iz ovog sustava jednadˇzbi slijedi 3 y 2 3 −5.6 · y + 24.4y = 1280 =⇒ −8.4y + 24.4y = 1280 2 =⇒ 16y = 1280 =⇒ y = 80 l, x = 120 l. x=

Zadatak 37.

Rjeˇsenje.

316

Teˇzina od 24 g nekog metala u vodi je 21 g, a 14 g drugog 12 g. Teˇzina od 100 g slitine tih dvaju metala nakon uranjanja u vodu umanji se za 13 g. Koliko je kojeg metala u slitini? 21 7 Jedan gram metala x u vodi ima masu = grama, jedan grama metala y 24 8 12 6 u vodi ima masu = grama. Dakle, 14 7 7 6 x + y = 100 − 13 = 87. 8 7

6 Radi jednostavnijeg rjeˇsavanja tu jednadˇzbu moˇzemo zapisati ovako y x + = 13 8 7 x y gdje su i dio mase koji se izgubi uranjanjem u vodu. Imamo sustav 8 8 jednadˇzbi x + y = 100 x y + = 13. 8 7 Iz prve jednadˇzbe x = 100 − y uvrstimo u drugu i dobijemo y y 1 25 y − + = 13 =⇒ = =⇒ y = 28 grama, x = 72 grama. 2 8 7 56 2

Zadatak 38.

U trima posudama nalazi se voda. Ako 12 koliˇcine iz prve prelijemo u drugu posudu, pa zatim 13 koliˇcine iz druge u treću, i konaˇcno 14 iz treće u prvu, u svakoj cé posudi ostati 6 litara vode. Koliko je vode bilo u kojoj posudi prije prelijevanja?

Rjeˇsenje.

Neka je u prvoj posudi x litara vode, u drugoj y litara. Tada je u trećoj x 18 − x − y litara vode. Nakon prvog prelijevanja u prvoj posudi ostat cé 2 x litara, a u drugoj cé biti y + litara. Nakon sljedećeg prelijevanja u drugoj 2 2 x 1 x posudi ostat cé y+ , a u trećoj cé biti 18 − x − y + y+ . Nakon 3 2 3 2 1 x 3 18 − x − y + y+ litara. joˇs jednog prelijevanja u toj posudi ostane 4 3 2 I sada iz sustava 3 1 x 18 − x − y + y+ =6 4 3 2 2 x y+ =6 3 2 sredivanjem dobijemo −5x − 4y = −60 2y + x = 18. Iz druge uvrstimo x = 18 − 2y u prvu jednadˇzbu i dobijemo −90 + 10y − 4y = −60 =⇒ 6y = 30 =⇒ y = 5 litara, x = 8 litara.

Zadatak 39.

ˇ Camac je za 3 sata preplovio 24 km niz rijeku i 15 km uz rijeku, a za 4 sata 8 km niz rijeku i 35 km uz rijeku. Kolika je brzina plova cˇ amca po mirnoj vodi?

Rjeˇsenje.

Ako je x brzina kretanja cˇ amca pri plovu niz rijeku, a y njegova brzina pri s plovu uzvodno, onda iz temeljne formule t = moˇzemo pisati v ⎧ 24 15 ⎪ ⎪ ⎨ x + y = 3, ⎪ 8 35 ⎪ ⎩ + = 4. x y

317

6


Iz ovog sustava jednadˇzbi dobijemo x = 16 km/ h, y = 10 km/ h. Brzina pri plovu nizvodno zbroj je brzine v1 cˇ amca u mirnoj vodi i brzine v2 samog rijeˇcnog toka. Pri plovu uzvodno brzina cˇamca jednaka je razlici tih brzina. Tako dobivamo novi sustav v1 + v2 = 16, v1 − v2 = 10, cˇije je rjeˇsenje v1 = 13 km/ h, v2 = 3 km/ h. Brzina cˇ amca po mirnoj vodi je 13 km/ h.

318


Toˇcke A i B s raznih su strana pravca p i od njega su jednako udaljene. Dokaˇzi da pravac p raspolavlja duˇzinu AB .

Rjeˇsenje.

Neka su A i B noˇziˇsta visina spuˇstenih iz toˇcaka A i B na pravac p , P presjek duˇzine AB i pravca. Trokuti AA P i BB P su pravokutni, podudaraju se u jednoj kateti i kutu kod vrha P (vrˇsni kutovi). Zato su sukladni pa je |AP| = |BP| .

Zadatak 2.

Duˇzine AB i CD imaju zajedniˇcko poloviˇste. Dokaˇzi: ACD ∼ = CBD i ABD ∼ = ACB .

Rjeˇsenje.

Neka je P sjeciˇste tih duˇzina. Trokuti APD i BPC podudaraju se u dvjema - njima pa su sukladni. Zato se podudaraju u trećoj stranicama i kutu medu stranici, dakle |AD| = |BC| . Na isti naˇcin pokaˇzemo da je |AC| = |BD| . Trokuti ACD i CBD sada se podudaraju u svim trima stranicama, pa su sukladni. Isto vrijedi i za trokute ABD i ACB .

Zadatak 3.

1) Dokaˇzi da su visine spuˇstene na krakove jednakokraˇcnog trokuta sukladne. 2) Ako trokut ima dvije sukladne visine, dokaˇzi da je on jednakokraˇcan.

Rjeˇsenje.

1) Trokuti AA B i BB A su pravokutni. Podudaraju se u hipotenuzi i kutu. (Kutovi uz katetu jednakokraˇcnog trokuta.) Zato su sukladni pa je |AA | = |BB | . 1 Drugi dokaz ove tvrdnje slijedi iz formule za povrˇsinu trokuta: P = ava = 2 1 bvb . Ako je = b , onda mora biti va = vb . 2 2) Trokuti ABB i BAA su pravokutni, podudaraju se u hipotenuzi i jednoj kateti, pa su sukladni. Zato se podudaraju i u kutovima: < )A ∼ )B . Na= < suprot jednako velikim kutovima leˇze jednako duge stranice. Zato je trokut jednakokraˇcan.

Zadatak 4.

Na visini CD spuˇstenoj na osnovicu AB jednakokraˇcnog trokuta ABC odabrana je toˇcka E . Dokaˇzi da je trokut ABE jednakokraˇcan.

Rjeˇsenje.

Trokuti ADC i BDC su pravokutni, podudaraju se u hipotenuzi i kateti pa su sukladni. Zato je |AD| = |DB| . Sada su ADE i BDE pravokutni, podudaraju se u dvjema katetama, pa su i oni sukladni. Znaˇci, |AE| = |BE| pa je ABE jednakokraˇcan.

Zadatak 5.

Na kracima AC i BC jednakokraˇcnog trokuta ABC nalaze se toˇcke D i E takve da je |AD| = |BE| . Dokaˇzi da je |AE| = |BD| .

Rjeˇsenje.

Trokuti ABD i ABE su sukladni: stranica AB im je zajedniˇcka, prema pretpostavci je |AD| = |BE| , a < )DAB = < )ABE , jer je trokut ABC jednakokraˇcan. Duˇzine AE i BD odgovarajuće su stranice u tim sukladnim trokutima te su jednake duljine.

319

7


C

D

A


320

E

B

Trapez ABCD je jednakokraˇcan, |AD| = |BC| . Toˇcka S sjeciˇste je dijagonala trapeza. Dokaˇzi da je ASD ∼ = BSC . ∼ Iz ABC = ABD slijedi < )ACB = < )BDA . Sada se trokuti ADS i BCS podudaraju u dvama kutovima i stranici pa su sukladni.

Zadatak 7.

∼ Toˇcka P poloviˇste je kraka BC trapeza ABCD (vidi sliku). Dokaˇzi: CDP = BEP . Koristeći se ovom cˇ injenicom izvedi poznatu formulu za povrˇsinu traa+c · v , gdje su a i c duljine osnovica, a v duljina visine peza, P = 2 trapeza.

Rjeˇsenje.

Trokuti BEP i CDP su sukladni (vidi sliku uz zadatak), jer je |PB| = |PC| ( P je poloviˇste), < )BPE = < )CPD i < )PDC = < )PEB (kutovi uz presjeˇcnicu).

Zadatak 8.

Na duˇzini AB odabere se toˇcka C te se nad duˇzinama AC i BC s razliˇcitih strana pravca AB konstruiraju jednakostraniˇcni trokuti ACD i CEB . Dokaˇzi da je |AE| = |BD| .

Rjeˇsenje.

Treba prvo dokazati da su trokuti CDB i AEC sukladni. < )ACE = < )DCB jer su to kutovi uz presjeˇcnicu. |AC| = |CD| jer je trokut ACD jednakostraniˇcan. |CE| = |CB| jer je trokut CEB jednakostraniˇcan. Dakle, imamo dva troku- njih. Ta su dva trokuta ta koja se podudaraju u dvije stranice i kutu izmedu sukladna. Odatle slijedi da je |AE| = |DB| .

7 Zadatak 9.

Na duˇzini AB odabere se toˇcka M te se nad duˇzinama AM i MB s razliˇcitih strana pravca AB konstruiraju kvadrati AMCD i MEFB . Dokaˇzi da je trokut AFC jednakokraˇcan.

Rjeˇsenje.

Treba prvo pokazati da su trokuti AFB i CEF sukladni. < )CEF = < )FBA = 90◦ jer su to kutovi istog kvadrata. |EF| = |FB| jer su to stranice istog kvadrata. |AB| = |EC| ( |AB| = |AM| + |MB| i |EC| = |EM| + |MC| ) jer je |AM| = |MC| (stranice istog kvadrata) i |MB| = |ME| (stranice istog kvadrata). Dakle, imamo dva trokuta koji se podudaraju u dvjema stranicama i kutu - njih. Ta su dva trokuta sukladna, pa slijedi da je |AF| = |CF| . izmedu

Zadatak 10.

Vrhovima konveksnog cˇ etverokuta poloˇzeni su pravci paralelno dijagonalama cˇ etverokuta i ti pravci zatvaraju novi cˇ etverokut. Odredi omjer povrˇsina ovih dvaju cˇ etverokuta.

Rjeˇsenje.

Neka je ABCD dani cˇ etverokut, a A1 B1 C1 D1 cˇ etverokut koji dobijemo opisanom konstrukcijom. Oˇcito je ADD1 ∼ = ASD, AA1 B ∼ = ABS, BB1 C ∼ = CSB, CC1 D ∼ = DSC.

Povrˇsina cˇ etverokuta A1 B1 C1 D1 dvostruko je veća od povrˇsine cˇ etverokuta ABCD .

Zadatak 11.

Dokaˇzi da su trokuti ABC i A B C sukladni ako je: 1) 2) 3) 4) 5)

Rjeˇsenje.

α = α , β = β , va = va ; α = α , β = β , vb = vb ; a = a , b = b , vb = vb ; a = a , b = b , vc = vc ; va = va , vb = vb , γ = γ .

1) Trokut ABA1 sukladan je trokutu A B A1 . Ti trokuti imaju jednake sve odgovarajuće kutove, te je va = va . No onda je i c = c . Dalje je lako, jer je α = α , β = β , c = c , trokuti ABC i A B C su sukladni.

321

7


2) Trokut ABB1 sukladan je trokutu A B B1 . Ti trokuti imaju jednake dvije stranice ( a = a i vb = vb ) i kut nasuprot većoj stranici (pravi kut pri vrhu B1 , odnosno B1 . No onda je i c = c . Dalje je lako, jer je a = a , b = b i c = c , trokuti ABC i A B C su sukladni. 3) Trokut ABB1 sukladan je trokutu A B B1 . Ti trokuti imaju jednake sve odgovarajuće kutove, te je va = va . No onda je i c = c . Dalje je lako, jer je α = α , β = β , c = c , trokuti ABC i A B C su sukladni. 4) Iz DBC ∼ = A D C slijedi = D B C , slijedi β = β , a iz ADC ∼ α = α . No onda je i γ = γ . Budući da je a = a , b = b i γ = γ , trokuti ABC i A B C su sukladni.

5) BCB1 ∼ = B C B1 , jer ti trokuti imaju jednake odgovarajuće kutove i jednu stranicu zajedniˇcku. Iz istih je razloga AA1 C ∼ = A A1 C . Zbog prve je sukladnosti a = a , a zbog druge b = b . Kako je joˇs i γ = γ , slijedi ABC ∼ = A B C .

322

Zadatak 12.

Na stranicama AB , BC i AC jednakostraniˇcnog trokuta ABC nalaze se toˇcke C1 , A1 i B1 , pri cˇemu je |AC1 | = |BA1 | = |CB1 | (vidi sliku). Dokaˇzi da je trokut A1 B1 C1 jednakostraniˇcan.

Rjeˇsenje.

Iz |AC1 | = |BA1 | =⇒ |C1 B| = |A1 C| , iz |AC1 | = |CB1 | =⇒ |AB1 | = |C1 B| i iz |BA1 | = |CB1 | =⇒ |CA1 | = |AB1 | . Trokuti AC1 B1 i C1 BA1 su sukladni jer se podudaraju u dvjema stranicama ( |AC1 | = |BA1 | i |A1 C| = |C1 B| ) i kutu - njih ( < izmedu )AC1 B1 = < )C1 BA1 = 60◦ ). To znaˇci da je |C1 B1 | = |C1 A1 | .

7 Trokuti AC1 B1 i B1 A1 C su sukladni jer se podudaraju u dvjema stranicama - njih ( < ( |AC1 | = |CB1 | i |AB1 | = |CB1 | ) i kutu izmedu )B1 AC1 = < )A1 CB1 = 60◦ ). To znaˇci da je |C1 B1 | = |B1 A1 | . Trokuti A1 C1 B i B1 A1 C su sukladni jer se podudaraju u dvjema stranicama - njih ( < )C1 BA1 = < )A1 CB1 = ( |BA1 | = |CB1 | i |C1 B| = |A1 C| ) i kutu izmedu ◦ 60 ). To znaˇci da je |A1 C1 | = |B1 A1 | . Iz toga slijedi da je |A1 C1 | = |B1 A1 | = |C1 B1 | , tj. trokut A1 B1 C1 je jednakostraniˇcan.

Zadatak 13.

Stranice AB , BC i AC jednakostraniˇcnog trokuta ABC produˇzimo redom preko vrhova B , C i A za duˇzine jednake duljine. Tako dobijemo toˇcke C1 , A1 i B1 . Dokaˇzi da je trokut A1 B1 C1 jednakostraniˇcan.

Rjeˇsenje.

Trokuti BC1 A1 i B1 CA1 su sukladni jer se podudaraju u dvije stranice ( |BC1| = - njih ( < |CA1 | i |BA1 | = |B1 C| ) i kutu izmedu )A1 BC1 = < )B1 CA1 = 120◦ ). To znaˇci da je |C1 A1 | = |B1 A1 | . Trokuti BC1 A1 i B1 AC1 su sukladni jer se podudaraju u dvije stranice ( |BC1| = - njih ( < )A1 BC1 = < )B1 AC1 = 120◦ ). To |AB1 | i |BA1 | = |AC1 | ) i kutu izmedu znaˇci da je |C1 A1 | = |B1 C1 | . Trokuti B1 CA1 i B1 AC1 su sukladni jer se podudaraju u dvije stranice ( |CA1| = - njih ( < |AB1 | i |B1 C| = |AC1 | ) i kutu izmedu )A1 CB1 = < )B1 AC1 = 120◦ ). To znaˇci da je |B1 A1 | = |B1 C1 | . Iz toga slijedi da je |C1 A1 | = |B1 A1 | = |B1 C1 | , tj. trokut A1 B1 C1 je jednakostraniˇcan.

Zadatak 14.

Na stranicama AB , BC , CD i AD kvadrata ABCD nalaze se toˇcke A1 , B1 , C1 i D1 takve da je |AA1 | = |BB1 | = |CC1 | = |DD1 | . Dokaˇzi da je cˇ etverokut A1 B1 C1 D1 kvadrat. ∼ BB1 A1 ∼ Treba dokazati da je AA1 D1 = = CC1 B1 ∼ = DD1 C1 , jer onda se odatle zakljuˇcuje da je |A1 B1 | = |B1 C1 | = |C1 D1 | = |D1 A1 | . Osim toga, zbog jednakosti odgovarajućih sˇ iljastih kutova u tim pravokutnim trokutima slijedi < )D1 A1 B1 = < )A1 B1 C1 = < )B1 C1 D1 = < )C1 D1 A1 = 90◦ (vidi sl. dolje).

Rjeˇsenje.

323

7


Zadatak 15.

Stranice AB , BC , CD i DA kvadrata ABCD produˇzimo redom preko vrhova B , C , D i A za duˇzinu jednake duljine. Tako dobijemo toˇcke A1 , B1 , C1 i D1 . Dokaˇzi da je cˇ etverokut A1 B1 C1 D1 kvadrat.

Rjeˇsenje.

Trokuti AD1 A1 , BA1 B1 , CB1 C1 i DC1 D1 su sukladni. Stranice |DD1 | = |AA1 | = |BB1 | = |CC1 | , |AD1 | = |BA1 | = |CB1 | = |DC1 | i kutovi )B1 BA1 = < )B1 CC2 = < )C1 CB1 . Slijedi da je |C1 D1 | = C1 B1 | = < )D1 AA1 = < |B1 A1 | = |A1 D1 | , tj. cˇ etverokut A1 B1 C1 D1 je kvadrat.

Zadatak 16.

Nacrtaj paralelogram ABCD . Neka je toˇcka N noˇziˇste okomice iz vrha B , a toˇcka M noˇziˇste okomice iz vrha D na dijagonalu AC . Dokaˇzi da je cˇ etverokut MBND paralelogram. Uoˇcavamo (vidi sliku) da je AMD ∼ = CNB . Zato je |MD| = |BN| i DM BN pa je cˇ etverokut MBND paralelogram.

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

Nad stranicom CD kvadrata ABCD konstruiran je jednakostraniˇcni trokut DCE . Dokaˇzi da je trokut ABE jednakokraˇcan.

Rjeˇsenje.

Trokut nad CD moˇzemo konstruirati na dva naˇcina. U oba je sluˇcaja dovoljno dokazati da je AED ∼ = BCE . Jer onda je i |AE| = |BE| , pa je trokut ABE jednakokraˇcan.

Zadatak 18.

Nad stranicama BC i CD kvadrata ABCD konstruirani su s vanjske strane jednakostraniˇcni trokuti BPC i DCQ . Dokaˇzi da je trokut APQ jednakostraniˇcan.

Rjeˇsenje.

Trokuti ADQ , ABP i PCQ su jednakokraˇcni s krakovima jednake duljine. Kut < )ABP = < )PCQ = < )ADQ = 150◦ . Ti su trokuti sukladni pa je |AP| = |PQ| = |AQ| . Slijedi da je trokut APQ jednakostraniˇcan.

Zadatak 19.

Nad stranicama AD i CD paralelograma ABCD konstruirani su s vanjske strane jednakostraniˇcni trokuti ADN i DCM . Dokaˇzi da je trokut BMN jednakostraniˇcan. ∼ BCM = ∼ NDM . Lako je vidjeti da sva tri Dovoljno je dokazati ABN = trokuta imaju jednake po dvije odgovarajuće stranice |AN| = |BC| = |ND| , te

Rjeˇsenje.

324

7 |AB| = |CM| = |DM| . Osim toga je < )NAB = < )BCM = < )NDM = 60◦ + α , gdje je α = < )DAB .


Nad stranicama BC i CD paralelograma ABCD konstruirani su s vanjske strane kvadrati BEFC i DCMN . Dokaˇzi da je |AN| = |AE| . Je li |FM| = |AN| = |AE| ? Pokaˇzimo da je ADN ∼ = AEB . Ti trokuti imaju par jednakih stranica ( |AD| = |BE| i |AB| = |DN| ) te je osim toga i < )ADN = < )EBA . Dakle, |AN| = |AE| .

Općenito ne vrijedi |FM| = |AN| = |AE| . Te jednakosti vrijede u sluˇcaju da su nad stranicama paralelograma konstruirani jednakostraniˇcni trokuti.

Zadatak 21.

Nad stranicama AC i BC trokuta ABC konstruirani su s vanjske strane kvadrati BMNC i ACPQ . Dokaˇzi da je |AN| = |BP| .

Rjeˇsenje.

Trokuti BCP i NCA su sukladni. Imaju dvije jednake stranice ( |BC| = |CN| - njih ( < i |AC| = |PC| ) i kut izmedu )NCA = < )BCP = γ + 90◦ ). Slijedi da je |AN| = |BP| .

Zadatak 22.

Dva jednakostraniˇcna trokuta ABC i BDE imaju zajedniˇcki vrh B . Dokaˇzi da je |AE| = |CD| .

Rjeˇsenje.

Treba pokazati da su trokuti CBD i ABE sukladni. |AB| = |BC| i |BE| = |BD| . Oznaˇcimo s β kut pri vrhu B trokuta CBE . < )CBD = < )ABE = β + 60◦ . Trokuti CBD i ABE su sukladni pa je prema tome |AE| = |CD| .

Zadatak 23.

Nad stranicama jednakostraniˇcnog trokuta ABC konstruirani su s vanjske strane kvadrati. Dokaˇzi da su srediˇsta tih kvadrata vrhovi novog jednakostraniˇcnog trokuta. Valja dokazati da je AMP ∼ = MBN ∼ = PNC .

Rjeˇsenje.

325

7


Zbog sukladnosti triju kvadrata (jer su im stranice jednake stranicama jednakostraniˇcnog trokuta ABC ) navedeni su trokuti jednakokraˇcni s medusobno jednakim krakovima. No i kutovi pri vrhovima A , B i C u tim su trokutima jednaki, svaki iznosi 150◦ . Onda su i treće stranice, osnovice triju jednakokraˇcnih trokuta medusobno jednake, zbog cˇ ega je trokut MNP jednakostraniˇcan.


Nad stranicama kvadrata ABCD konstruirani su jednakostraniˇcni trokuti ABM , CBN , DCP i DAQ . Dokaˇzi da je cˇ etverokut MNPQ kvadrat. Uoˇcavamo sukladne trokute: AQM ∼ = BMN ∼ = CNP ∼ = DPQ .

Obrazloˇzenje. |AQ| = |AM| = |BM| = |BN| = |CN| = |CP| = |DP| = |DQ| = |AB| , te k tome < )MAQ = < )MBN = < )PCN = < )QDP = 150◦ . Dakle, |MN| = |NP| = |PQ| = |QM| , te < )QMN = < )MNP = < )NPQ = < )PQM = 15◦ + 60◦ + 15◦ = 90◦ .

Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

Zadatak 26.

Vrh jednog kvadrata nalazi se u srediˇstu drugog, sukladnog kvadrata. Ako je duljina stranice svakog od tih dvaju kvadrata jednaka a , kolika je povrˇsina dijela ravnine koji im je zajedniˇcki? a Zbog sukladnosti dvaju osjenˇcanih trokuta (podudaraju se u stranici i kutovi2 ma uz tu stranicu 90◦ i 45◦ − γ ), moˇzemo zakljuˇciti da je povrˇsina zajedniˇckog 1 dijela uvijek jednaka a2 , tj. cˇetvrtini povrˇsine jednog kvadrata. 4

Konstruiraj trokut ABC ako je zadano: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

326

a = 4 cm, b = 3 cm, c = 6 cm; α = 75◦ , β = 45◦ , b = 5 cm; a = 3.5 cm, c = 4.5 cm, β = 105◦ ; b = 5 cm, c = 4 cm, β = 60◦ .

1) Konstruiramo duˇzinu AB duljine 6 cm. Iz toˇcke A zasijecimo kruˇzni luk polumjera b = 3 cm, a iz toˇcke B luk polumjera a = 4 cm. U sjeciˇstu lukova nalazi se toˇcka C . Ti se lukovi sijeku u dvjema toˇckama pa postoje dva rjeˇsenja.

7 2) Konstruiramo duˇzinu AC duljine b = 5 cm. U vrhu A konstruiramo kut α = 75◦ , a u vrhu C kut γ = 180◦ − α − β = 180◦ − 120◦ = 60◦ . U sjeciˇstu krakova tih kutova nalazi se toˇcka B . 3) Konstriramo duˇzinu AB duljine c = 4.5 cm. U vrhu B konstruiramo kut β = 105◦ . Iz toˇcke B nanesemo na krak tog kuta duˇzinu BC duljine a = 3.5 cm. Spojimo vrhove C i A i dobijemo traˇzeni trokut. 4) Konstruiramo duˇzinu AB duljine c = 4 cm. U vrhu B konstruiramo kut β = 60◦ . Iz vrha A zasijeˇcemo kruˇzni luk polumjera b = 5 cm. U sjeciˇstu kruˇznog luka i kraka kuta β nalazi se toˇcka C .

Zadatak 27.

Konstruiraj trokut ABC ako je: 1) a = 3.5 cm, b = 2.5 cm, c = 6 cm; 2) a = 7 cm, c = 5.5 cm, γ = 60◦ .

Rjeˇsenje.

Zadatak 28.

1) Ne postoji trokut sa zadanim duljinama stranica. Nije, naime, ispunjena nejednakost a + b > c ; - već se konstrukcijom 2) S danim podatcima trokut nije jednoznaˇcno odreden dobiju dva rjeˇsenja. Razlog tome je sˇ to je zadan kut nasuprot kraćoj od stranica a i c. Konstruiraj trokut kojem je zadano 1) c , a − b , γ ; 3) a − b , α , β ;

Rjeˇsenje.

2) c − a , b , β ; 4) a + b , α , β .

γ 1) Konstruiramo kut 90◦ + . Na jedan njegov krak nanesemo duˇzinu A B 2 duljine a − b . Iz vrha B zasijeˇcemo kruˇzni luk polumjera c . Drugi krak kuta iz vrha A i kruˇzni luk sijeku se u toˇcki A . Zatim, u toˇcki A konstruiramo γ kut 90◦ − tako da mu jedan krak leˇzi na pravcu na kojem leˇzi i duˇzina AA . 2 Drugi krak i produljena stranica AB sijeku se u toˇcki C .

2) Konstruiramo duˇzinu AC duljine c − a . Iz vrha A zasijeˇcemo kruˇzni luk β polumjera b . U vrhu C konstruiramo kut 90◦ + . Krak tog kuta i kruˇzni 2 β tako da mu luk sijeku se u toˇcki C . U toj toˇcki konstruiramo kut 90◦ − 2 jedan krak leˇzi na pravcu na kojem leˇzi duˇzine CC . Drugi krak i produljena stranica AC sijeku se u toˇcki B .

327

7


3) Konstruiramo duˇzinu BA duljine a − b . U vrhu B konstruiramo kut β tako da mu jedan krak leˇzi na pravcu na kojem leˇzi i duˇzina BA . U vrhu α +β A konstruiramo kut 90◦ + tako da mu jedan krak leˇzi na pravcu na 2 kojem leˇzi i duˇzina BA . Krakovih tih kutova sijeku se u toˇcki A . U vrhu A konstruiramo kut α tako da mu jedan krak leˇzi na pravcu na kojem leˇzi i duˇzina AB . Drugi krak tog kuta i produljena stranica BA sijeku se u toˇcki C .

4) Konstruiramo kut β u vrhu B . Na jedan krak nanesemo duˇzinu BC duljine γ a + b . U vrhu C konstriuramo kut 90◦ − tako da mu jedan krak leˇzi na 2 pravcu na kojem leˇzi i duˇzine BC . Drugi krak tog kuta i krak kuta β sijeku se u toˇcki A . Zatim u toˇcki A konstruiramo kut α tako da jedan krak tog kuta leˇzi na stranici AB . Sjeciˇste drugog kraka i duˇzine BC dat cé toˇcku C .

Zadatak 29.

Konstruiraj paralelogram ako je zadano: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

328

a = 6 cm, a = 6 cm, e = 5 cm, a = 5 cm,

b = 4 cm, α = 45◦ ; e = 6 cm, f = 8 cm; f = 4 cm, va = 3 cm; f = 7 cm, ϕ = 75◦ .

1) Konstruiramo duˇzinu AB duljine a = 6 cm. U toˇcki A konstruiramo kut α = 45◦ . Na krak kuta nanesemo duˇzinu AD duljine b = 4 cm. U toˇcki D 1 konstruiramo kut β = (360◦ − 2 · 45◦ ) = 135◦ . Na krak tog kuta nanesemo 2 duˇzinu DC duljine a = 6 cm. Spojimo toˇcke C i B . e = 3 cm i 2) Konstruiramo trokut ABS duljina stranica a = 6 cm, 2 f f = 4 cm. Produljimo stranicu BS preko vrha S za i dobijemo toˇcku 2 2 e i dobijemo toˇcku C . Spojimo D . Produljimo stranicu AS preko vrha S za 2 Toˇcke D i A , B i C , C i D i dobijemo traˇzeni paralelogram. 3) Konstruiramo pravokutnik duljina stranica va = 3 cm i a + x e2 − v2a = √ 25 − 9 = 4 cm. Dijagonala tog pravokutnika je ujedno i dijagonala traˇzenog paralelograma e = 5 cm. U poloviˇstu dijagonale konstruiramo kruˇznicu

7 f = 2 cm. Kruˇznica sijeˇce stranice pravokutnika u cˇetiri toˇcke. B 2 i B te D i D . Imamo dva rjeˇsenja, paralelogram ABCD i AB CD . f = 3.5 cm. U vrhu S konstruiramo 4) Konstruiramo duˇzinu BS duljine 2 kut 180◦ − ϕ = 105◦ . Iz vrha B opiˇsemo kruˇznicu polumjera a = 5 cm. Sjeciˇste kruˇznice i kraka kuta je toˇcka A . Produljimo stranicu BS preko vrha f e i dobijemo toˇcku D . Produljimo stranicu AS preko vrha S za i S za 2 2 dobijemo toˇcku C . Spojimo toˇcke B i C , C i D , D i A i dobijemo traˇzeni paralelogram. polumjera

Zadatak 30.

Konstruiraj jednakokraˇcni trapez ako je zadano: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

Zadatak 31.

a=6 a=5 a=6 a=6

cm, cm, cm, cm,

b = 4 cm, c = 3 cm, b = 3 cm, c = 3 cm,

c = 3 cm; α = 60◦ ; v = 2.5 cm; v = 4 cm.

a−c = 1.5 cm. Iz vrha D po2 vuˇcemo okomicu na duˇzinu AD . Iz vrha A opiˇsemo kruˇznicu polumjera b = 4 cm. Sjeciˇste okomice i kruˇznice je toˇcka D . Iz toˇcke D povuˇcemo okomicu na duˇzinu D D duljine c = 3 cm i dobijemo toˇcku C . Produljimo stranicu AD preko toˇcke D za a − x = 4.5 cm i dobijemo toˇcku B . Spojimo toˇcke B i C . a−c = 1 cm. Iz toˇcke D povu2) Konstruiramo duˇzinu AD duljine x = 2 cˇ emo okomicu na duˇzinu AD . U toˇcki A konstruiramo kut α = 60◦ tako da mu jedan krak leˇzi na pravcu na kojem leˇzi i duˇzina AD . Sjeciˇste drugog kraka i okomice iz D je toˇcka D . Produljimo stranicu AD preko vrha D za a − x = 4 cm i dobijemo toˇcku B . Iz vrha D povuˇcemo okomicu na duˇzinu D D duljine c = 3 cm i dobijemo toˇcku C . Spojimo toˇcke B i C . 3) Konstruiramo duˇzinu AB duljine a = 6 cm. Na visini v = 2.5 cm konstruiramo pomoćni pravac paralelan duˇzini AB . Iz vrhova A i B opiˇsemo kruˇznice polumjera b = 3 cm. Sjeciˇsta kruˇznice i pomoćnog pravca su toˇcke C , C , D i D . Imamo dva rjeˇsenja. a−c 4) Konstruiramo duˇzinu AD duljine x = = 1.5 cm. Iz vrha D po2 vuˇcemo okomicu duljine v = 4 cm i dobijemo toˇcku D . Spojimo toˇcke A i D . Produljimo stranicu AD preko toˇcke D za a − x = 4.5 cm i dobijemo toˇcku B . Iz toˇcke D povuˇcemo okomicu na duˇzinu D D duljine c = 3 cm i dobijemo toˇcku C . Spojimo toˇcke B i C . 1) Konstruiramo duˇzinu AD duljine x =

Konstruiraj trapez kojem je zadano: 1) a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm; 2) a = 5 cm, c = 3 cm, α = 60◦ , β = 45◦ .

Rjeˇsenje.

1) Konstruiramo duˇzinu AB duljine a = 6 cm. Oko vrha B opiˇsemo kruˇznicu polumjera c = 3 cm koja sijeˇce duˇzinu AB u toˇcki D . Oko te toˇcke opiˇsemo kruˇznicu polumjera b = 4 cm, a oko toˇcke A kruˇznicu polumjera d = 5 cm. Te se kruˇznice sijeku u dvije toˇcke D1 i D2 . Oko vrha A opiˇsemo kruˇznicu polumjera c = 3 cm koja sijeˇce duˇzinu AB u toˇcki C . Oko te toˇcke opiˇsemo

329

7


kruˇznicu polumjera d = 5 cm, a oko toˇcke B kruˇznicu polumjera b = 4 cm. Te se kruˇznice sijeku u dvije toˇcke C1 i C2 . Imamo dva rjeˇsenja ovisno o tome s koje strane duˇzine AB odaberemo toˇcke C i D . 2) Konstruiramo duˇzinu AB duljine a = 5 cm. U vrhu A konstruiramo kut α = 60◦ a pri vrhu B kut β = 45◦ . Oko vrha B opiˇsemo kruˇznicu polumjera c = 3 cm. Kruˇznica sijeˇce duˇzinu AB u toˇcki D . U toj toˇcki konstruiramo kut β = 45◦ tako da mu jedan krak leˇzi na pravcu na kojem leˇzi i duˇzina D A . Drugi krak tog kuta sijeˇce krak kuta od 60◦ iz vrha A u toˇcki D . Oko vrha A opiˇsemo kruˇznicu polumjera c = 3 cm. Kruˇznica sijeˇce duˇzinu AB u toˇcki C . U toj toˇcki konstruiramo kut α = 60◦ tako da mu jedan krak leˇzi na pravcu na kojem leˇzi i duˇzina C B . Drugi krak tog kuta sijeˇce krak kuta od 45◦ iz vrha B u toˇcki C . Spojimo toˇcke C i D .


Konstruiraj trokut ako su mu dane duljine dviju njegovih stranica i polumjer opisane kruˇznice.

Rjeˇsenje.

Konstruiramo kruˇznicu polumjera trokutu opisane kruˇznice. Odaberemo toˇcku na toj kruˇznici (jedan vrh trokuta) i oko nje opiˇsemo kruˇznicu polumjera jednakog duljini jedne stranice trokuta. U sjeciˇstu tih kruˇznica (ima ih dva) nalazi se drugi vrh trokuta. Oko tog vrha (ili oko prvog) opiˇsemo kruˇznicu polumjera jednakog duljini druge stranice trokuta. U sjeciˇstu te kruˇznice i trokutu opisane kruˇznice (ima ih dva) nalazi se treći vrh trokuta.

Zadatak 2.

330

Zadana je kruˇznica, ali ne i njezino srediˇste. Kako ga konstruirati?

Rjeˇsenje.

Odaberi na kruˇznici bilo koje tri toˇcke. Srediˇste kruˇznice je sjeciˇste simetrala bilo kojih dviju duˇzina koje su odredene s odabranim toˇckama.

Zadatak 3.

Ako je zadan kut γ trokuta, koliki kut zatvaraju simetrale ostalih dvaju kutova istog trokuta?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo s C sjeciˇste simetrala preostalih dvaju kutova trokuta ABC . α β Promatrajmo trokut ABC s kutovima , i γ . Kut γ jednak je 2 2 α β 1 1 + γ = 180◦ − = 180◦ − (α + β ) = 180◦ − (180◦ − γ ) = 2 2 2 2 γ γ 180◦ − 90◦ − = 90◦ − . 2 2

Zadatak 4.

Konstruiraj trokut ako su zadana dva njegova vrha i srediˇste upisane kruˇznice.

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo zadane toˇcke s A , B i S te ih spojimo. AS je simetrala kuta pri vrhu A , a BS simetrala kuta pri vrhu B . Nanesemo prvi kut s druge strane simetrale AS i dobijemo kut α . Nanesemo drugi kut s druge strane simetrale BS i dobijemo kut β . U sjeciˇstu krakova kutova α i β nalazi se toˇcka C .

Zadatak 5.

Neka je U srediˇste trokutu upisane kruˇznice. Paralela toˇckom U sa stranicom AB sijeˇce druge dvije stranice u toˇckama D ∈ AC i E ∈ BC . Dokaˇzi da je |DE| = |AD| + |BE| .

Rjeˇsenje.

Iz < )BAU = < )DAU ( AU je simetrala kuta α ) te < )BAU = < )AUD (kutovi s paralelnim kracima) slijedi < )DAU = < )AUD sˇ to znaˇci da je trokut AUD

7 jednakokraˇcan. Onda je |AD| = |DU| . Analogno je |BE| = |EU| . Tako je |AD| + |BE| = |DU| + |UE| = |DE| .

Zadatak 6.

Toˇcke A1 , B1 i C1 poloviˇsta su stranica trokuta ABC . Konstruiraj trokut ABC .

Rjeˇsenje.

Spojimo zadane toˇcke. Duˇzina A1 B1 je srednjica traˇzenog trokuta. To znaˇci da je paralelna sa stranicom AB i dvostruko kraća od nje. Konstruiramo pravac paralelan duˇzini A1 B1 kroz toˇcku C1 . Lijevo i desno od toˇcke C1 na pravca nanesemo duˇzinu |A1 B1 | i dobijemo toˇcke A i B . Povuˇcemo pravac kroz toˇcke B i A1 , te A i B1 . U sjeciˇstu tih dvaju pravaca nalazi se toˇcka C .

Zadatak 7.

Konstruiraj trokut ako su zadana dva njegova vrha i njegov ortocentar.

Rjeˇsenje.

Povuˇcemo pravac iz jednog vrha koji prolazi ortocentrom. Iz drugog vrha povuˇcemo okomicu na taj pravac. Sada iz drugog vrha povuˇcemo pravac kroz ortocentar. Iz prvog vrha povuˇcemo okomicu na taj pravac. U sjeciˇstu tih dviju okomica nalazi se treći vrh trokuta.

Zadatak 8.

Konstruiraj trokut ako je zadan njegov vrh A i pravci na kojima leˇze visine iz vrhova B i C .

Rjeˇsenje.

Ti se pravci sijeku u jednoj toˇcki. To je ortocentar O traˇzenog trokuta. Spojimo toˇcke A i O i dobijemo pravac na kojem leˇzi visina iz vrha A . Iz vrha A povuˇcemo okomice na zadane pravce. U sjeciˇstu jednog zadanog pravca i okomice na drugu zadani pravac nalazi se drugi vrh trokuta. Treći vrh trokuta nalazi se u sjeciˇstu drugog zadanog pravca i okomice na prvi zadani pravac.

Zadatak 9.

ˇ Konstruiraj visinu iz nedostupnog vrha C trokuta ABC . ( Cinjenica da je neki vrh trokuta nedostupan znaˇci da iz nekih razloga pri konstrukciji ne moˇzemo koristiti taj vrh — recimo, da je prekriven mrljom tinte.)

Rjeˇsenje.

Konstruiramo visine iz vrhova A i B . One se sijeku u jednoj toˇcki, ortocentru O . Sada konstruiramo okomicu na stranicu AB koja prolazi toˇckom O .

Zadatak 10.

Dan je pravac p kojem pripada stranica AB trokuta ABC te dvije toˇcke P i Q koje su noˇziˇsta visina poloˇzenih na stranice BC i AC trokuta. Konstruiraj trokut.

Rjeˇsenje.

Trokuti ABP i ABQ su pravokutni. Simetrala duˇzine PQ sijeˇce pravac p u srediˇstu S tim dvama trokutima opisane kruˇznice (Talesov pouˇcak). Kruˇznica sijeˇce pravac p u vrhovima A i B . Spojimo toˇcke A i P , te toˇcke B i Q . U sjeciˇstu duˇzina AP i BQ nalazi se ortocentar O traˇzenog trokuta. Poloˇzimo okomicu na pravac p toˇckom O i dobijemo pravac na kojem leˇzi visina iz vrha C . Produljimo pravac na kojem leˇzi duˇzina BP i u njihovom sjeciˇstu dobijemo vrh C .

Zadatak 11.

Dane su toˇcke A1 i B1 , poloviˇsta stranica BC i AC trokuta ABC . Dana je i toˇcka D , noˇziˇste visine iz vrha A . Konstruiraj trokut.

Rjeˇsenje.

Poloˇzimo okomicu toˇckom D na pravac A1 D . Toˇckom B1 poloˇzimo paralelu p s pravcem A1 D . Pravac simetriˇcan pravcu A1 D s obzirom na p sijeˇce okomicu u vrhu A . Toˇckom A povuˇcemo paralelu s duˇzinom B1 A1 . Paralela sijeˇce pravac na kojem leˇzi duˇzina A1 D u toˇcki B . Poloˇzimo pravac kroz toˇcke A i B1 . On sijeˇce pravac na kojem leˇzi duˇzina A1 D u toˇcki C .

Zadatak 12.

1 Ako je ta duljina teˇziˇsnice trokuta ABC , onda je ta < (b + c) . Dokaˇzi! 2 Iskaˇzi ovo svojstvo u općem obliku.

331

7


Rjeˇsenje. A c

b

ta

B b

P ta

C

A1

Produˇzimo teˇziˇsnicu |AP| tako da je |AA1 | = 2ta .Tada je cˇ etverokut ABA1 C paralelogram. Promotrimo trokut ABA1 . Vrijedi |AA1 | < |AB| + |BA1 | , a to se upravo u zadatku i tvrdi.

Zadatak 13.

Zbroj duljina teˇziˇsnica trokuta ABC veći je od polovine opsega trokuta. Dokazˇ i!

Rjeˇsenje. C

A1

B1 T A

C1

B

a b Za stranice trokuta AA1 C vrijedi ta > b − . Analogno je tb > c − (iz 2 2 c trokuta ABB1 ) te tc > a − (iz trokuta BCC1 ). 2 Zbrajanjem ovih triju nejednakosti dokazujemo tvrdnju iskazanu u zadatku.

Zadatak 14.

332

Konstruiraj trokut ako su zadana dva njegova vrha i njegovo teˇziˇste.

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo zadane vrhove trokuta s A i C , a teˇziˇste s T . Povuˇcemo pravce kroz toˇcke A i T , C i T . Primijenimo Pouˇcak o teˇziˇstu trokuta u kojem se kaˇze da teˇziˇste dijeli pojedinu teˇziˇsnicu u omjeru 2 : 1 raˇcunajući od vrha trokuta. To znaˇci da je |AT| = |TA1 i |CT| = |TC1 | . Sad kad smo dobili toˇcke A1 i C1 povuˇcemo pravce kroz toˇcke A i C1 , te C i A1 . U njihovom sjeciˇstu nalazi se toˇcka B .

Zadatak 15.

Dana su dva pravca na kojima leˇze teˇziˇsnice ta i tb trokuta ABC i toˇcka C1 , poloviˇste stranice AB . Konstruiraj trokut.

Rjeˇsenje.

Dani se pravci sijeku u teˇziˇstu T . Vrh C trokuta odredimo iz uvjeta |CT| = 2|TC1 | . Konstruiraj zatim poloviˇste D duˇzine CT . Pravac polozˇ en toˇckom D paralelno teˇziˇsnici ta sijeˇce teˇziˇsnicu tb u poloviˇstu stranice AC , tj. B1 . Produljimo pravac na kojem leˇze toˇcke C i B1 za duljinu duˇzine CB1 i dobijemo vrh A . Vrh B odredimo iz uvjeta 2|TB1 | = |BT| .

Zadatak 16.

Dana toˇcka T teˇziˇste je trokuta ABC i toˇcke A1 i B1 poloviˇsta stranica BC , odnosno AC trokuta. Konstruiraj trokut.

7 Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

Kako je |AT| = 2 · |TA1 | i |BT| = 2 · |TB1 | , moˇzemo konstruirati vrhove A i B . Povuˇcemo pravce kroz toˇcke A i B1 , odnosno B i A1 i u njihovom sjeciˇstu dobijemo toˇcku C . Teˇziˇsnica trokuta dijeli trokut na dva dijela jednakih povrˇsina. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Neka je zadan trokut ABC , teˇziˇsnica ta i poloviˇste stranice a , toˇcka A1 . Iz vrha A spustimo visinu na stranicu a . Trokuti AA1 B i ACA1 imaju zajedniˇcku 1 a visinu i jednaku osnovicu. P(AA1 C) = P(ABA1 ) = · · va . 2 2

Zadatak 18.

Teˇziˇsnice trokuta dijele trokut na sˇ est manjih trokuta. Dokaˇzi da su povrˇsine tih sˇ est trokuta jednake. Uputa: dva trokuta jednakih osnovica i jednakih visina imaju jednake povrˇsine.

Rjeˇsenje. C

P3

B1

A1

P2

P2

P3 P1 A

P1 C1

B

Uoˇci trokute jednakih povrˇsina. Zatim imamo: P(AC1 C) = P(C1 BC) , odnosno P1 + 2P3 = P1 + 2P2 . Slijedi P2 = P3 . Analogno iz P2 + 2P1 = P2 + 2P3 imamo P1 = P3 . Zakljuˇcujemo P1 = P2 = P3 .


Konstruiraj trokut ako su zadane duljine svih triju njegovih teˇziˇsnica. Nacrtaj neki trokut ABC . Neka je T1 simetriˇcna slika teˇziˇsta T s obzirom na poloviˇste C1 stranice AB trokuta. Stranice trokuta AT1 T imaju duljine |AT1 | = |BT| = 23 tb , |TT1 | = 23 tc , |AT| = 23 ta .

Konstruiramo najprije trokut ATT1 . Toˇcka C1 je poloviˇste stranice TT1 . Spojimo toˇcke A i C1 . Budući da je C1 poloviˇste stranice AB trokuta, produljimo 1 stranicu AC1 za duljinu |AC1 | i dobijemo toˇcku B . Budući da je |T1 C1 | = tc 3 2 produljimo stranicu C1 T1 za tc i dobijemo vrh C . 3

Zadatak 20.

Konstruiraj trokut kojem su zadane stranice a i b te teˇziˇsnica tc . Uputa: konstruiraj trokut sa stranicama duljina a , b i 2tc .

333

7


Rjeˇsenje.

Konstruiramo najprije trokut DAC sa stranicama duljine a , b i 2tc . Povuˇcemo paralelu sa stranicom a iz vrha C i paralelu sa stranicom b iz vrha D . Dobijemo paralelogram cˇ ije se dijagonale raspolavljaju. dijagonala AB je treća stranica trokuta.

Zadatak 21.

Konstruiraj trokut kojem su zadane stranica a , teˇziˇsnica ta i polumjer R opisane kruˇznice.

Rjeˇsenje.

Najprije nacrtajmo kruˇznicu polumjera R pa odredimo tetivu BC duljine a . Odredimo poloviˇste stranice a pa sˇ estarom opiˇsimo luk polumjera ta . U sjeciˇstu luka i kruˇznice polumjera R bit cé vrh A traˇzenog trokuta.

Zadatak 22.

Rjeˇsenje.




334

Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ako su zadane duljine njegovih stranica: 1) a = 29 cm, b = 25 cm, c = 6 cm; 2) a = 13 cm, b = 20 cm, c = 21 cm; 3) a = 5.2 dm, b = 8 dm, c = 8.4 dm. √ a+b+c = 30 ; P = 30(30 − 29)(30 − 25)(30 − 6) = 30 · 5 · 24 = 1) s = 2 60 cm 2 ; √ 2) s = 27 ; P = 27(27 − 13)(27 − 20)(27 − 21) = 27 · 14 · 7 · 6 = 126 cm 2 ; √ 3) s = 10.8 ; P = 10.8(10.8 − 5.2)(10.8 − 8)(10.8 − 8.4) = 10.8 · 5.6 · 2.8 · 2.4 = 20.16 dm2 . Kolika je duljina najkraće visine trokuta ako su duljine stranica trokuta 13 cm, 14 cm i 15 cm? √ s = 21 ; P = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 21 · 8 · 7 · 6 = 84 cm 2 . 15 · v izraˇcunamo Najkraća visina pripada najduljoj stranici te iz P = 84 = 2 v = 11.2 cm. Kolika je duljina najdulje visine trokuta ako su duljine stranica trokuta 15 cm, 112 cm i 113 cm? √ s = 120 ; P = 120 · 105 · 8 · 7 = 840 cm 2 . Najdulja visina pripada najkra2 · 840 = 112 cm. cój stranici te je v = 15 Kolika je povrˇsina paralelograma ako su duljine njegovih stranica 12 cm i 17 cm, a duljina jedne dijagonale 25 cm? Povrˇsina paralelograma jednaka je dvostrukoj povrˇsini trokuta sˇ to ga cˇine zada12 + 17 + 25 ne stranice i dijagonala. P = 2 (27 − 12)(27 − 17)(27 − 25) = 2 √ 2 27 · 15 · 10 · 2 = 2 · 90 = 180 cm 2 .


Zadatak 27.

Kolika je povrˇsina paralelograma ako je duljina jedne njegove stranice 51 cm, a duljine dijagonala su 40 cm i 74 cm? Dijagonale dijele paralelogram na cˇ etiri trokuta i medusobno se raspolavljaju. Ti trokuti imaju jednake povrˇ s ine jer imaju zajedniˇ cke visine na odgo 37 + 20 + 51 varajuće stranice. P = 4 (54 − 51)(54 − 20)(54 − 37) = 2 √ 4 54 · 3 · 34 · 17 = 4 · 306 = 1224 cm 2 . Kolika je povrˇsina trapeza ako su duljine njegovih osnovica jednake 22 cm i 16 cm, a duljine krakova 25 cm i 29 cm?

Rjeˇsenje. C

D

v A

E

B

Vrhom D trapeza povucimo paralelu sa stranicom BC . Povrˇsina trokuta AED √ 25 + 29 + 6 (30 − 29)(30 − 25)(30 − 6) = 30 · 5 · 24 = jednaka je P = 2 2 · 60 2 = 20 cm. Konaˇcno je 60 cm . Duljina visine trapeza iznosi v = 6 a+c P= · v = 380 cm 2 . 2


Konstruiraj jednakostraniˇcni trokut cˇiji je opseg jednak duljini dane duˇzine. o 3a = o =⇒ a = . Zadanu duˇzinu AP podijelimo na tri jednaka dijela tako 3 da iz toˇcke A povuˇcemo po volji odabran polupravac p i na njemu odredimo po volji toˇcku A1 . Duˇzinu AA1 nanesemo sˇ estarom joˇs dva puta na polupravac p dobivˇsi tako toˇcke A2 i A3 . Spojimo toˇcke A3 i P i zatim povuˇcemo paralele kroz toˇcke A2 i A1 . One sijeku zadanu duˇzinu u toˇckama B i B1 . Sada iz toˇcaka A i B zasijeˇcemo kruˇzne lukove polumjera AB i u njihovom sjeciˇstu dobijemo treći vrh traˇzenog trokuta.

Zadatak 2.

Nacrtaj neku duˇzinu pa konstruiraj trokut kojem je opseg jednak duljini te duˇzine, a stranice trokuta u omjeru su 2 : 3 : 4 .

Rjeˇsenje.

Duljine stranica trokuta su u omjeru a : b : c = 2 : 3 : 4 , tj. a = 2k , b = 3k i c = 4k . Opseg trokuta jednak je o = a + b + c = 2k + 3k + 4k = 9k . Dakle, potrebno je odabranu duˇzinu podijeliti na 9 jednakih dijelova. Kada smo to uˇcinili, konstruiramo duˇzinu AB duljine c . Iz toˇcke A sˇ estarom zasijeˇcemo luk polumjera a , a iz toˇcke B luk polumjera B . U sjeciˇstu lukova nalazi se toˇcka C .

Zadatak 3.

Duljina dane duˇzine jednaka je opsegu trokuta za cˇ ije stranice vrijedi a : b = 1 : 2 , b : c = 3 : 2 . Konstruiraj taj trokut.

335

7


Rjeˇsenje.

Duljine stranica trokuta su u omjeru a : b : c = 3 : 6 : 4 , tj. a = 3k , b = 6k i c = 4k . Opseg trokuta je jednak o = 13k . Dakle, potrebno je zadanu duˇzinu podijeliti na 13 jednakih dijelova. Kada smo to uˇcinili, konstruiramo duˇzinu AB duljine c . Iz toˇcke A sˇ estarom zasijeˇcemo luk polumjera a , a iz toˇcke B luk polumjera B . U sjeciˇstu lukova nalazi se toˇcka C .

Zadatak 4.

Konstruiraj jednakokraˇcni trokut ako su duljine njegove osnovice i kraka u omjeru 3 : 4 , a opseg trokuta jednak je duljini dane duˇzine.

Rjeˇsenje.

Duljine stranica trokuta su u omjeru a : b = 3 : 4 , tj. a = 3k i b = 4k . Opseg trokuta je jednak o = a + 2b = 3k + 8k = 11k . Dakle, potrebno je zadanu duˇzinu podijeliti na 11 jednakih dijelova. Kada smo to uˇcinili, konstruiramo duˇzinu AB duljine a . Iz toˇckaka A i B sˇ estarom zasijeˇcemo lukove polumjera b . U sjeciˇstu lukova nalazi se toˇcka C .

Zadatak 5.

Dana duˇzina ima duljinu jednaku opsegu trapeza kojem su duljine stranica u omjeru a : b : c : d = 5 : 2 : 1 : 3 . Konstruiraj taj trapez.

Rjeˇsenje.

Podijeli danu duˇzinu na 5 + 2 + 1 + 3 = 11 sukladnih dijelova pa konstruiraj najprije trokut AED , gdje je E toˇcka u kojoj pravac DE paralelan s krakom BC sijeˇce stranicu AB . Primijeti da je |AE| = a − c .

Zadatak 6.

Duljine osnovica trapeza ABCD jednake su a = 2.4 dm i c = 1.6 dm, a duljine krakova b = 1.6 dm i d = 2 dm. Produˇzetci krakova AD i BC sijeku se u toˇcki E . Kolike su duljine produˇzetaka CE i DE ?

Rjeˇsenje.

Iz omjera |AB| : |BE| = |DC| : |CE| , odnosno a : (b + x) = c : x slijedi bc ax = (b + x) · c =⇒ ax − cx = bc =⇒ x(a − c) = bc =⇒ x = = a−c 1.6 · 1.6 = 3.2 . |CE| = 3.2 dm. Iz omjera |AB| : |AE| = |DC| : |DE| , 0.8 odnosno a : (d + x) = c : x slijedi ax = (d + x) · c =⇒ ax − cx = cd =⇒ cd 1.6 · 2 x(a − c) = cd =⇒ x = = = 4 . |DE| = 4 dm. a−c 0.8

Zadatak 7.

Duljine osnovica AB i CD trapeza ABCD u omjeru su 9 : 5 , i joˇs je |AD| = 16 cm. Ako se kraci AD i BC sijeku u toˇcki E , koliko je |AE| ?

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

336

9 c . Iz omjera a : (16 + x) = c : x =⇒ ax = 5 16c (16 + x)c =⇒ ax − cx = 16c =⇒ x(a − c) = 16c =⇒ x = =⇒ a−c 16c 16c x= =⇒ x = slijedi x = 20 cm, te je |AE| = 36 cm. 9 4 c−c c 5 5 Neka je |DE| = x . a =

Pravci kojima pripadaju kraci AD i BC trapeza ABCD sijeku se u toˇcki E . 1) Koliko je |CE| ako je |AD| = 1 cm, |BC| = 15 cm, |DE| = 9 cm? 1 2) Ako je |AD| = 1.2 cm, te |BC| : |CE| = : 0.25 , izraˇcunaj |DE| . 6 3) Koliko je |BC| ako je |AD| : |DE| = 25 : 17 i |BC| − |CE| = 1.6 cm? 1) Iz omjera |AD| : |DE| = |BC| : |CE| , odnosno 1 : 9 = 15 : x =⇒ x = 9 · 15 = 135 . |CE| = 135 cm;

7 1 2) Iz omjera |AD| : |DE| = |BC| : |CE| , odnosno 1.2 : x = : 0.25 =⇒ 6 1 x = 1.2 · 0.25 =⇒ x = 1.8 . |DE| = 1.8 cm; 6 3) Iz omjera |AD| : |DE| = |BC| : |CE| , odnosno 25 : 17 = x : (x − 1.6) =⇒ 25x − 25 · 1.6 = 17x =⇒ 8x = 40 =⇒ x = 5 . |BC| = 5 cm.

Zadatak 9.

Izraˇcunaj |DE| ako je AB DE te: 1) |AB| = 21 cm, |AC| = 18 cm, |AD| = 6 cm; 2) |AB| = 18 cm, |AC| = 15 cm, |AD| = 10 cm.

Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

1) Iz omjera |AB| : |AC| = |DE| : |DC|

=⇒

|AB| : |AC| = |DE| : 21 · 12 = 14 cm; (|AC| − |AD|) =⇒ 21 : 18 = |DE| : 12 =⇒ |DE| = 18 2) Iz omjera |AB| : |AC| = |DE| : |DC| =⇒ |AB| : |AC| = |DE| : 18 · 5 = 6 cm. (|AC| − |AD|) =⇒ 18 : 15 = |DE| : 5 =⇒ |DE| = 15

Toˇcke D i E pripadaju kracima AC , odnosno BC trokuta ABC i joˇs je AB DE . 1) Ako je |AB| = 20 cm, |DE| = 15 cm, |AC| = 16 cm, koliko je |AD| ? 2) Ako je |AB| : |DE| = 7 : 5 , koliko je |AD| : |CD| ?

Rjeˇsenje.

1) Iz omjera |AB| : |AC| = |DE| : |DC| =⇒ 20 : 16 = 15 : |DC| =⇒ 16 · 15 |DC| = = 12 cm, |AD| = 4 cm; 20 |AD| +1 = 2) Iz omjera |AB| : |DE| = |AC| : |DC| = (|AD|+|DC|) : |CD| = |CD| |AD| 2 7 , te je = . 5 |CD| 5

Zadatak 11.

Stranica BC trokuta ABC podijeljena je na tri sukladna dijela te su djeliˇstima povuˇcene paralele p i q sa stranicom AC . Ako je |AC| = 18 cm, kolike su - stranica AB i BC trokuta? duljine odsjeˇcaka pravaca p i q izmedu a =⇒ ax = 6a =⇒ x = 6 cm. Iz omjera Iz omjera 12 : x = a : 3 2a 18 : y = a : =⇒ ay = 12a =⇒ y = 12 cm. 3

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Duljina stranice AB trokuta ABC jednaka je 20 cm. Stranica AC podijeljena je na pet sukladnih dijelova i djeliˇstima su povuˇcene paralele s AB . Kolike su duljine odsjeˇcaka tih paralela unutar trokuta?

337

7


Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Krak trapeza podijeljen je na osam sukladnih dijelova i djeliˇstima su povuˇceni pravci paralelno s osnovicom trapeza. Ako su duljine osnovica trapeza 50 cm i 30 cm, kolike su duljine odsjeˇcaka tih pravaca unutar trapeza?

Rjeˇsenje.

Neka pravac vrhom D paralelan s krakom BC sijeˇce osnovicu AB u toˇcki 7 E . Promatraj trokut AED . Imamo redom omjere |AE| : |ED| = x1 : |ED| , 8 3 5 |AE| : |ED| = x2 : |ED| , |AE| : |ED| = x3 : |ED| , |AE| : |ED| = 4 8 1 3 1 x4 : |ED| , |AE| : |ED| = x5 : |ED| , |AE| : |ED| = x6 : |ED| i 2 8 4 1 |AE| : |ED| = x7 : |ED| , pa su x1 = 17.5 , x2 = 15 , x3 = 12.5 , x4 = 10 , 8 x5 = 7.5 , x6 = 5 i x7 = 2.5 . Duljine odsjeˇcaka redom su jednake 32.5, 35, 37.5, 40, 42.5, 45 i 47.5 cm.

Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

338

4 Iz omjera 20 : x1 = a : a =⇒ ax1 = 16a =⇒ x1 = 16 cm. Iz 5 3 omjera 20 : x2 = a : a =⇒ ax2 = 12a =⇒ x2 = 12 cm. Iz om5 2 jera 20 : x3 = a : a =⇒ ax3 = 8a =⇒ x3 = 8 cm. Iz omjera 5 a 20 : x4 = a : =⇒ ax4 = 4a =⇒ x = 4 cm. 5

Dokaˇzi: BC DE .

Uoˇcimo da je |AC| : |AB| = 3 : 4 = |AE| : |AD| . Dva paralelna pravca p i q sijeku krakove kuta s vrhom u toˇcki O . Ako je |OC| + |AC| = 21 cm, te |OD| : |OB| = 5 : 3 , koliko je |OA| ?

7 Rjeˇsenje.

Iz |OC| = |OA| + |AC| = |OA| + 21 − |OC| , slijedi 2|OC| = |OA| + 21 . 1 I sada iz 5|OA| = 3 · (|OA| + 21) , jer je |OC| : |OA| = 5 : 3 , dobijemo 2 |OA| = 9 cm.

Zadatak 16.

Krakovi kuta α presjeˇceni su dvama paralelnim pravcima BC i DE (slika gore desno). 1) Ako je |AB| = 8 cm, |AD| = 12 cm, |AC| = 10 cm, koliko je |AE| ? 2) Koliko je |AB| ako je |AB| + |AD| = 21 cm, |AC| = 12 cm, |AE| = 16 cm? 3) Koliko je |AD| ako je |AC| : |AE| = 3 : 5 , |BD| = 12 cm?

Rjeˇsenje.

1) Iz omjera |AB| : |AC| = |AD| : |AE| =⇒ 8 : 10 = 12 : |AE| =⇒ 8|AE| = 12 · 10 =⇒ |AE| = 15 cm; 2) Iz omjera |AD| : |AB| = |AE| : |AC| =⇒ |AD| : (21 − |AD|) = 16 : 12 =⇒ 12|AD| = 16 · 21 − 16|AD| =⇒ 28|AD| = 16 · 21 =⇒ |AD| = 12 . |AB| = 21 − |AD| = 9 cm; 3) Iz omjera |AB| : (|AB| + |BD|) = |AC| : |AE| =⇒ |AB| : (|AB| + 12) = 3 : 5 =⇒ 5|AB| = 3(|AB| + 12) =⇒ 2|AB| = 36 =⇒ |AB| = 18 . |AD| = |AB| + |BD| = 18 + 12 = 30 cm.

Zadatak 17.

Jesu li pravci BC i DE paralelni ako je: 1) |AB| : |BD| = 3 : 4 , |AC| = 1.2 cm, |AE| = 2.8 cm; 5 2) |AD| : |BD| = 12 : 7 , |AC| = |CE| ; 7 3 3) |AB| = |AD| , |AC| = 3.6 cm, |CE| = 2.4 cm? 5

Rjeˇsenje.

1) Iz |AB| : |BD| = 3 : 4 slijedi |AB| : |AD| = 3 : 7 , a kako je |AC| : |AE| = 12 : 28 = 3 : 7 , pravci BC i DE su paralelni; 2) Iz |AD| : |BD| = 12 : 7 slijedi |AB| : |BD| = 5 : 7 , a |AC| : |CE| = 5 : 7 . Dakle, pravci BC i DE su paralelni; 3) |AB| : |AD| = 3 : 5 , no |AC| : |AE| = 3.6 : 6 = 3 : 5 . Pravci BC i DE su paralelni.

Zadatak 18.

Simetrala kuta γ trokuta ABC sijeˇce stranicu AB u toˇcki D . 1) Ako je |AC| = 10 cm, |BC| = 15 cm i |AB| = 20 cm, koliko je |AD| i |BD| ? 2) Ako je |AD| : |BD| = 8 : 5 , i |AC| = 16 cm, koliko je |BC| ?

Rjeˇsenje.

1) Neka je |AD| = x . Iz omjera 15 : (20 − x) = 10 : x =⇒ 15x = 10(20 − x) =⇒ 25x = 200 =⇒ x = 8 . |AD| = 8 , |BD| = 12 cm; 8 2) |AD| : |BD| = 8 : 5 =⇒ |AD| = |BD| . Iz omjera 16 : |AD| = |BC| : 5 |BD| |BD| =⇒ |BC| · |AD| = 16|BD| =⇒ |BC| = 16 =⇒ |BC| = |AD|

339

7


16

|BD| 5 =⇒ |BC| = 16 · = 10 cm. 8 8 |BD| 5

Zadatak 19.

Duljine stranica trokuta ABC jednake su |AB| = 12 cm, |BC| = 15 cm i |AC| = 18 cm. U kojem omjeru srediˇste S trokutu upisane kruˇznice dijeli duzˇ ine AA1 i BB1 ako su A1 i B1 sjeciˇsta simetrala kutova α i β s nasuprotnim stranicama?

Rjeˇsenje.

Odredit cémo najprije duljine |AB1 |, |B1 C|, |A1 B| i |A1 C| primjenjujući Teorem o simetrali kuta u trokutu. |AC| : |AB| = |CA1 | : |A1 B| =⇒ 18 : 12 = 2 2 |CA1 | : |A1 B| =⇒ |A1 B| = |CA1 | . |A1 B| + |CA1 | = |CA1 | + |CA1 | = 3 3 5 |CA1 | = 15 =⇒ |CA1 | = 9 , |A1 B| = 6 . Na isti naˇcin |BC| : |AB| = 3 4 |B1 C| : |B1 A| =⇒ 15 : 12 = |B1 C| : |B1 A| =⇒ |B1 A| = |B1 C| . 5 4 9 |B1 C| + |B1 A| = |B1 C| + |B1 C| = |B1 C| = 18 =⇒ |B1 C| = 10 , 5 5 |B1 A| = 8| . Te su duljine naznaˇcene na slici.

Primjenom istog teorema potom nalazimo: |AS| : |A1 S| = 12 : 6 = 2 : 1 , te |BS| : |B1 S| = 3 : 2 .

340

Zadatak 20.

Simetrala kuta β trokuta ABC sijeˇce stranicu AC u toˇcki D . Toˇckom D poloˇzena je paralela DE , E ∈ BC , s AB , a potom toˇckom E paralela EF , F ∈ AC , s BD . Kolika je duljina stranice b ako je a = 30 cm, c = 20 cm, te |AD| − |CF| = 1 cm?

Rjeˇsenje.

)DEC i vrijedi: Kako je BD simetrala kuta β , to je EF simetrala kuta < |AD| : |DC| = |DF| : |FC| = 2 : 3 . Iz |AB| : |DE| = |AC| : |DC| slijedi |AD| + |DC| |AD| 2 5 20 = = + 1 = + 1 = , pa je |DE| = 12 cm. No |DE| |DC| |DC| 3 3 2 3 2 3 1 |AD| = |DC| i |FC| = |DC| , pa imamo |DC| − |DC| = |DC| = 1 , 3 5 3 5 15 5 odakle je |DC| = 15 cm. Konaˇcno, |AC| = |DC| = 25 cm. 3

7

Zadatak 21.

Duljine stranica trokuta jednake su 5.1 cm, 8.5 cm i 10.4 cm. Kruˇznica sa srediˇstem na najduljoj stranici dira dvije kraće stranice trokuta. Kolike su duljine odsjeˇcaka na koje srediˇste kruˇznice dijeli najdulju stranicu trokuta?

Rjeˇsenje.

Srediˇste kruˇznice je toˇcka u kojoj simetrala kuta nasuprot toj stranici sijeˇce stranicu. Primjenom Teorema o simetrali kuta u trokutu naći cémo duljine 5 odsjeˇcaka: |AS| : |SB| = 8.5 : 5.1 =⇒ |AS| = |SB| . |AS| + |SB| = 3 8 5 |SB| + |SB| = |SB| = 10.4 =⇒ |SB| = 3.9 cm i |AS| = 6.5 cm. 3 3

Zadatak 22.

Srediˇste kruˇznice upisane jednakokraˇcnom trokutu dijeli visinu na osnovicu trokuta u omjeru 12 : 5 . Ako je duljina kraka trokuta 60 cm, kolika je duljina osnovice trokuta?

Rjeˇsenje.

Primjenom Teorema o simetrali kuta u trokutu imamo omjer |CS| : |SC1 | = 1 |BC| : |BC1 | =⇒ 12 : 5 = 60 : |AB| =⇒ 6|AB| = 300 =⇒ |AB| = 2 50 cm.

Zadatak 23.

Duljina visine na osnovicu jednakokraˇcnog trokuta iznosi 20 cm, a duljine osnovice i kraka u omjeru su 4 : 3 . Kolika je duljina polumjera kruˇznice upisane ovom trokutu?

Rjeˇsenje.

Kako je AS simetrala kuta < )CAD , stoga vrijedi |AC| : |AD| = |CS| : |DS| , odnosno 3 : 2 = (20 − r) : r , odakle je r = 8 cm.

Zadatak 24.

Trapez ABCD presjeˇcen je pravcem paralelnim s osnovicama. Dokaˇzimo da - stranica i dijagonala jednaki: |MN| = |PQ| . su odsjeˇcci tog pravca izmedu

Rjeˇsenje.

341

7


|AN| |MN| = (Ta|DC| |AC| lesov teorem s obzirom na pravce kroz vrh A ). Primijenimo isti teorem s obzirom na pravce kroz vrh C :

Triput cémo primijeniti Talesov teorem. Najprije, vrijedi

|AN| |BQ| = |NC| |QC| i joˇs jednom s obzirom na pravce kroz vrh B : |PQ| |BQ| = . |BC| |DC| Dobili smo: |MN| |AN| 1 1 = = = |NC| |AN| + |NC| |DC| |AC| 1+ |AN| |AN| 1 |PQ| 1 |BQ| = = , = = |BQ| + |QC| |QC| |BC| |DC| 1+ |BQ| |BQ| pa je |MN| = |PQ| .

Zadatak 25.

Zadan je trapez ABCD . Povucimo pravac paralelan s osnovicom AB tako da dijagonale trapeza dijele odsjeˇcak tog pravca unutar trapeza na tri jednaka dijela.

Rjeˇsenje.

Neka je E poloviˇste osnovice AB , P toˇcka u kojoj se sijeku pravci CE i BD . Tvrdimo da je rjeˇsenje zadatka pravac koji prolazi toˇckom P .

Prema Talesovom teoremu vrijedi |CE| |EB| |AE| = = , |NP| |CP| |PQ| pa iz |AE| = |EB| slijedi |NP| = |PQ| . Prema prethodnom primjeru znamo da vrijedi i |MN| = |PQ| . Drugo rjeˇsenje, na slici naznaˇceno crtkanim linijama, dobiva se pomoću poloviˇsta F osnovice DC .


342

Jesu li trokuti ABC i A1 B1 C1 sliˇcni ako su duljine njihovih stranica jednake: 1) 12 cm, 16 cm, 20 cm, odnosno 15 cm, 20 cm, 25 cm ; 2) 4.2 cm, 5.4 cm, 6 cm, odnosno 15 cm, 10.5 cm, 13.5 cm ?

7 Rjeˇsenje.

Da, u oba sluˇcaja rijeˇc je o sliˇcnim trokutima, a koeficijenti sliˇcnosti redom su jednaki: 1) 15 : 12 = 20 : 16 = 25 : 20 = 5 : 4 ; k = 1.25 ; 2) 10.5 : 4.2 = 13.5 : 5.4 = 15 : 6 = 2.5 ; k = 2.5 .

Zadatak 2.

Dana su tri trokuta. Duljine stranica prvog su 8 cm, 12 cm i 15 cm, drugog - ovim 1.6 cm, 2.4 cm i 3 cm, a trećeg 20 cm, 30 cm i 35 cm. Ima li medu trokutima sliˇcnih?

Rjeˇsenje.


Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

8 : 1.6 = 12 : 2.4 = 15 : 3 = 5 , prva dva trokuta su sliˇcna. Duljine stranica prvog trokuta su 10 cm, 8 cm i 12 cm, drugog 7.5 dm, 6 dm i - ovim trokutima sliˇcnih? 7.2 dm, a trećeg 25 mm, 20 mm i 30 mm. Ima li medu Sliˇcni su prvi i treći trokut, 30 : 12 = 25 : 10 = 20 : 8 . Duljine stranica trokuta su 5.4 cm, 4.5 cm i 9 cm. Odredi duljine stranica sliˇcnog trokuta, ako je duljina njegove 1) najkraće; 2) najdulje stranice jednaka 3 cm. 3 2 1) k = = , duljine stranica jednake su k · 5.4 = 3.6 , 3 i k · 9 = 6 cm; 4.5 3 3 1 2) k = = , duljine su stranica k · 5.4 = 1.8 , k · 4.5 = 1.5 i 3 cm. 9 3

Zadatak 5.

Jedan je kut trokuta ABC jednak 56◦ 22 , a jedan kut sliˇcnog trokuta CDE iznosi 61◦ 49 . Koliki su ostali kutovi ovih dvaju trokuta?

Rjeˇsenje.

Kutovi sliˇcnih trokuta su jednaki. Dakle, treći kut obaju trokuta je jednak 180◦ − 56◦ 22 − 61◦ 49 = 180◦ − 118◦ 11 = 61◦ 49 .

Zadatak 6.

Kut pri vrhu jednakokraˇcnog trokuta jednak je 64◦ , a kut uz osnovicu drugog jednakokraˇcnog trokuta iznosi 58◦ . Jesu li ti trokuti sliˇcni? ◦ Da, ti su trokuti sliˇcni, jer kut uz osnovicu prvoga takoder je jednak 58 116◦ 180◦ − 64◦ = = 58◦ . 2 2

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

Ako je u dvama jednakokraˇcnim trokutima jednak jedan par odgovarajućih kutova, ti su trokuti sliˇcni. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Pretpostavimo da je treći kut trokuta γ , odnosno γ . Za prvi trokut vrijedi 180◦ = α + β + γ , za drugi 180◦ = α + β + γ i α = α , β = β . Pokaˇzimo da je γ = γ . γ = 180◦ − α − β = 180◦ − α b = γ . Iz α = α , β = β i γ = γ slijedi da su trokuti sliˇcni.

Zadatak 8.

Dana su tri trokuta. Jedan je kut prvoga jednak 66◦ 43 , jedan kut drugoga 51◦ 33 , a jedan kut trećega 61◦ 44 . Ako su ti trokuti medusobno sliˇcni, odredi ostale kutove svakog od njih.

Rjeˇsenje.

Preostali kutovi prvog trokuta su 51◦ 33 i 61◦ 44 , drugog trokuta 66◦ 43 i 61◦ 44 i trećeg trokuta 51◦ 33 i 66◦ 43 .

Zadatak 9.

Jedan unutarnji kut trokuta ABC jednak je 75◦ , a jedan vanjski 134◦ . Jedan unutarnji kut trokuta A1 B1 C1 je 59◦ , a jedan vanjski 105◦ . Jesu li ovi trokuti sliˇcni?

Rjeˇsenje.

Kutovi trokuta ABC su α = 75◦ , β = 180◦ − 134◦ = 46◦ i γ = 180◦ − 75◦ − 46◦ = 59◦ . Kutovi trokuta A1 B1 C1 su α = 180◦ − 105◦ = 75◦ ,

343

7


γ = 59◦ i β = 180◦ − 75◦ − 59◦ = 46◦ . Trokuti ABC i A1 B1 C1 su sliˇcni jer je α = α , β = β i γ = γ .



Duljine stranica trokuta su 11 cm, 12 cm i 13 cm. Razlika duljina dviju kracíh stranica sliˇcnog trokuta iznosi 11 cm. Kolike su duljine stranica sliˇcnog trokuta? b1 − a1 = kb − ka = k(b − a) = 11 cm, k = 11 ; a1 = 121 cm, b1 = 132 cm, c1 = 143 cm.

Zadatak 12.

Duljine stranica trokuta su 8.5 cm, 10 cm i 12.5 cm. Odredi duljine stranica slicˇnog trokuta ako je razlika duljina njegove najdulje i najkraće stranice jednaka 4.8 cm.

Rjeˇsenje.

c1 − a1 = kc − ka = k(c − a) = k · 4 = 4.8 =⇒ k = 1.2 , duljine stranica su 10.2 cm, 12 cm i 15 cm.

Zadatak 13.

Duljine stranica trokuta odnose se kao 5 : 6 : 8 . Koliko one iznose ako je razlika duljina najdulje i najkraće stranice jednaka 15 cm?

Rjeˇsenje.

Neka su duljine stranica jednake a = 5k , b = 6k , c = 8k , gdje je k pozitivan broj. Iz 8k − 5k = 15 slijedi k = 5 cm, te je a = 25 , b = 30 , c = 40 cm.

Zadatak 14.

Duljine kateta pravokutnog trokuta jednake su 1 dmi 2.4 dm, a duljina hipotenuze sliˇcnog trokuta iznosi 3.9 dm. Kolike su duljine kateta drugog trokuta?

Rjeˇsenje.


344

Dva su kuta trokuta jednaka 18◦ i 54◦ . Dokaˇzi da simetrala trećeg kuta odsijeca od trokuta sliˇcan trokut. α = 54◦ , Kutovi trokuta ABC su α = 108◦ , β = 54◦ i γ = 18◦ . Kako je 2 to je < )ADC = 108◦ , a to znaˇci da je trokut ADC sliˇcan zadanom trokutu.

3 3.9 = = k. Duljina hipotenuze prvog trokuta jednaka je 2.6 dm, te je k = 2.6 2 Dakle, duljine kateta drugog trokuta jednake su 1.5 dm i 3.6 dm. Duljina jedne katete pravokutnog trokuta jednaka je 10.8 cm, a duljina hipotenuze iznosi 11.7 cm. Ako je duljina odgovarajuće katete sliˇcnog trokuta 7.5 cm, kolike su duljine ostalih dviju njegovih stranica? √ Duljina druge katete prvog trokuta jednaka je 11.72 − 10.82 = 4.5 cm. 7.5 : 4.5 = 5 : 3 = k . Duljine stranica drugog trokuta su 7.5 cm, 19.5 cm i 18 cm.

7 Zadatak 16.

U trokutu ABC je |AB| = 15 cm , |AC| = 30 cm . Iz toˇcke D na stranici AC )ADE = < )ABC . povuˇcen je pravac koji stranicu AB sijeˇce u toˇcki E tako da je < Odredi |AD| i |AE| ako je |AE| dulja od |AD| za 5 cm.

Rjeˇsenje.

Iz AED ∼ ABC slijedi |AE| : |AD| = |AC| : |AB| , odakle |AE| = 2 · |AD| (slika).

I sada iz |AE| = |AD| + 5 dobijemo |AD| = 5 cm, a potom |AE| = 10 cm.

Zadatak 17.

U trokutu ABC je |AB| = 25 cm, |BC| = 20 cm, |AC| = 30 cm . Na stranici AB od vrha B nanesena je duˇzina BD , |BD| = 4 cm, a na BC odredena je toˇcka E tako da je < )BDE = γ . Koliki je opseg trokuta BED ?

Rjeˇsenje.

Iz ABC ∼ DBE slijedi 4 : x = 20 : 25 te 4 : y = 20 : 30 (slika). Iz prve se jednakosti dobije x = 5 cm, iz druge y = 6 cm, te je opseg trokuta BED jednak 15 cm.

Zadatak 18.

Pravac vrhom B trokuta ABC ( β > α ) sijeˇce stranicu AC u toˇcki D , pri cˇemu je < )DBC = < )CAB . Ako je |DC| = 10 cm, |BC| = 12 cm, |BD| = 15 cm, izraˇcunaj |AB| i |AD| .

Rjeˇsenje.

Iz sliˇcnosti trokuta ABC i DBC slijedi |AB| : |BC| = |BD| : |CD| , a odatle je |AB| = 18 cm. Nadalje, iz |AC| : |BC| = |BC| : |DC| dobije se |AC| = 14.4 cm, te je konaˇcno |AD| = 4.4 cm.

345

7


Zadatak 19.

U trokutu ABC je |AB| = 9 cm, |AC| = 18 cm, |BC| = 15 cm . Toˇckom D )DEC = α . Ako na stranici AC poloˇzen je pravac DE , E ∈ BC , tako da je < je |ED| = 6 cm, koliko je |CD| i |CE| ?

Rjeˇsenje.

Iz sliˇcnosti trokuta ABC i DEC slijedi 6 : x = 9 : 15 , odatle x = 10 cm, te 6 : y = 9 : 18 , i odatle y = 12 cm.

Zadatak 20.

U poloviˇstu hipotenuze pravokutnog trokuta podignuta je okomica na hipotenuzu i ona dulju katetu dijeli na dva dijela duljina 25 cm i 7 cm. Kolika je duljina hipotenuze?

Rjeˇsenje.

Neka je D poloviˇste hipotenuze pravokutnog trokuta ABC i neka okomica na hipotenuzu u toˇcki D sijeˇce katetu AC u toˇcki E (vidi sliku). Kut α zajedniˇcki je kut pravokutnim trokutima ADE i ABC pa su ti trokuti sliˇcni. 7 25

Iz

346

c : 25 = 32 : c slijedi c2 = 1600 , odakle je c = 40 cm. 2

Zadatak 21.

U trokutu ABC poloˇzene su visine AD na stranicu BC i BE na stranicu AC . Dokaˇzi da je trokut ABC sliˇcan trokutu EDC .

Rjeˇsenje.

Najprije uoˇcimo sliˇcne trokute ADC i BCE . Ti su trokuti pravokutni, a kut γ im je zajedniˇcki. Zbog te je sliˇcnosti |CD| : |EC| = |AC| : |BC| . No to je ujedno i jednakost omjera duljina stranica u trokutima EDC i ABC i to onih koje zatvaraju zajedniˇcki kut γ .

7 Zadatak 22.

U sliˇcnim je trokutima omjer duljina odgovarajućih teˇziˇsnica jednak omjeru duljina stranica koje su nasuprotne vrhovima iz kojih su povuˇcene teˇziˇsnice. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Kako je ABC ∼ A B C , (neka je k koeficijent sliˇcnosti) onda je i AA1 C ∼ A A1 C s istim koeficijentom sliˇcnosti k . Naime, γ = a a γ , |A1 C| = = k· , |AC| = b = k·b . Onda je ta = k·ta , tj. ta : ta = a : a . 2 2

Zadatak 23.

Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a duljine dviju visina na stranice koje zatvaraju te kutove su proporcionalne, onda su ti trokuti sliˇcni. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Pretpostavka je γ = γ , |AA1 | = |A A1 | , |BB1 | = |B B1 | . Iz ovoga slijedi AA1 C ∼ A A1 C , a odatle je b = k · b .

No isto je tako BB1 C ∼ B B1 C te je a = k · a . I sada, zbog a = k · a , b = k · b , γ = γ slijedi ABC ∼ A B C .


Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

Opseg jednakokraˇcnog trokuta iznosi 110 cm, a duˇzina koja spaja poloviˇsta krakova ima duljinu 15 cm. Kolike su duljine stranica trokuta? b i jednadˇzbe a + 2b = 110 imamo 30b = 2 110b − 2b2 =⇒ b2 = 40b =⇒ b = 40 cm; a = 30 cm. Iz omjera a : b = 15 :

Poloviˇstem P visine na osnovicu AB jednakokraˇcnog trokuta ABC poloˇzen je pravac paralelno s krakom AC . Taj pravac sijeˇce stranicu AB u toˇcki D , a stranicu BC u toˇcki E . Ako je opseg trokuta ABC jednak 18 cm, koliki je opseg trokuta DBE ? 3 . Naime, 4 trokuti AFC ( F je noˇziˇste visine iz vrha C ) i DFP su sliˇcni. Vrijedi omjer Uoˇci sliˇcne trokute ABC i DBE . Koeficijent sliˇcnosti je k =

347

7


1 1 |DF| : |FP| = |AF| : |FC| =⇒ |DF| : |FC| = |AB| : |FC| =⇒ |DF| = 2 2 1 1 3 3 3 1 |AB| . |DB| = |AB| + |AB| = |AB| . Iz |DB| : |AB| = =⇒ k = . 4 4 2 4 4 4

Opseg o trokuta DBE jednak je o =

Zadatak 26.

Duljine stranica trokuta su 3 cm, 4 cm i 6 cm. Kolike su duljine stranica sliˇcnog trokuta kojem je opseg jednak 58.5 cm?

Rjeˇsenje.

o = 3 + 4 + 6 = 13 . Iz o = k · o nalazimo k = 4.5 , te su duljine stranica sliˇcnog trokuta jednake 13.5 cm, 18 cm i 27 cm.

Zadatak 27.

Povrˇsina trokuta ABC jednaka je 22.5 cm2 , a duljine stranica sliˇcnog trokuta iznose 2.4 cm, 3.4 cm i 5 cm. Kolike su duljine stranica trokuta ABC ? √ Iz P = 5.4 · 3 · 2 · 0.4 = 3.6 cm 2 i P = k2 · P nalazimo k2 = 6.25 , odnosno k = 2.5 . Duljine stranica trokuta ABC su 6 cm, 8.5 cm i 12.5 cm.

Rjeˇsenje.


Zadatak 29.

Rjeˇsenje.

348

3 27 · 18 = = 13.5 cm. 4 2

Duljine stranica trokuta su 5.5 cm, 12.5 cm i 15 cm. Sliˇcan trokut ima povrˇsinu 21.12 cm2 . Kolike su duljine stranica tog drugog trokuta? √ Povrˇsina prvog trokuta jednaka jeP = 16.5 · 11 · 4 · 1.5 = 33 cm2 . Iz 21.12 = 0.8 . Duljine stranica drugog P = k2 · P dobijemo da je k = 33 trokuta su 4.4 cm, 10 cm i 12 cm. Duljine stranica trokuta su 4 cm, 13 cm i 15 cm. Kolika je povrˇsina sliˇcnog 2 trokuta ako je koeficijent sliˇcnosti k = ? 5 √ Povrˇsina zadanog trokuta jednaka je P = 16 · 12 · 3 = 24 cm 2 . Njemu 2 ima povrˇsinu P = P · k2 = sliˇcan trokut s koeficijentom sliˇcnosti k = 5 3.84 cm 2 . Moglo bi se shvatiti da je sliˇcan trokut veći, onda bi mu povrˇsina bila 150 cm 2 .

Zadatak 30.

Duljine stranica trokuta iznose 5.2 cm, 8 cm i 8.4 cm. Povrˇsina sliˇcnog trokuta iznosi 31.5 cm2 . Kolike su duljine stranica drugog trokuta?

Rjeˇsenje.

Najprije Heronovom formulom odredimo povrˇsinu prvog trokuta, ona je jed√ naka P = 10.8 · 5.6 · 2.8 · 2.4 = 20.16 cm 2 . Zatim iz P : P = 20.16 : 4 koeficijent sliˇcnosti k = . Stranice drugog trokuta duljine 31.5 = k2 nademo 5 su 6.5 cm, 10 cm i 10.5 cm.



Zadatak 33.

Rjeˇsenje.

Duljine stranica trokuta su 10 cm, 10 cm i 16 cm. Ako je povrˇsina sliˇcnog trokuta 12 cm 2 , koliki mu je opseg? √ P = 18 · 8 · 8 · 2 = 4 cm 2 . P : P = k2 =⇒ k = 0.5 . Duljine stranica sliˇcnog trokuta su 5 cm, 5 cm i 8 cm, a opseg je o = 18 cm. Duljine stranica trokuta su 4 cm, 13 cm i 15 cm. Duljina visine na najkraću stranicu sliˇcnog trokuta iznosi 18 cm. Kolike su duljine stranica tog drugog trokuta? √ Pomoću Heronove formule nademo najprije povrˇsinu trokuta: P = 16 · 12 · 3 = 48 2P a · va imamo va = = = 12 cm. Koeficijent 24 cm. Iz formule P = 2 a 4 3 sliˇcnosti izraˇcunamo iz k = va : va = 18 : 12 = . Duljine stranica sliˇcnog 2 trokuta su 6 cm, 19.5 cm i 22.5 cm. Trokut ABC, a = 12 cm, b = 17 cm i c = 25 cm, presjeˇcen je pravcem usporednim stranici AB. Tako je od trokuta ABC odrezan manji trokut povrˇsine 40 cm 2 . Koliki je opseg tog manjeg trokuta? √ Povrˇsina većeg trokuta jednaka je P = 27 · 10 · 15 · 2 = 90 cm 2 . Koefici4 2 =⇒ k = . Stranice manjeg jent sliˇcnosti je k2 = P : P = 40 : 90 = 9 3 trokuta su 8 cm, 11.33 cm i 16.66 cm. Opseg manjeg trokuta je o = 36 cm.

Zadatak 34.

Duljine stranica trokuta su |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm i |AC| = 15 cm. Trokut je presjeˇcen pravcem paralelnim s AB i taj pravac sijeˇce AC u toˇcki D, a BC u toˇcki E. Ako je opseg trokuta DEC jednak 24 cm, kolika je povrˇsina cˇ etverokuta ABED?

Rjeˇsenje.

Opseg većeg trokuta je o = 36 cm, pa je koeficijent sliˇcnosti k = o : o = 24 : √ 2 36 = . Povrˇsina većeg trokuta je P = 18 · 3 · 9 · 6 = 54 cm 2 . Onda je 3 2 2 4 povrˇsina manjeg trokuta P = · P = · 54 = 24 . Povrˇsina cˇ etverokuta 3 9 jednaka je PABED = P − P = 54 − 24 = 30 cm 2 .

Zadatak 35.

Ako je povrˇsina cˇ etverokuta ABED jednaka 63 cm2 , kolika je povrˇsina trokuta DEC (vidi sliku)?

Rjeˇsenje.

Trokuti ABC i DEC su sliˇcni, jer im je < )ACB zajedniˇcki te je |AC| : |BC| = 5 |CE| : |CD| = 4 : 3 . Koeficijent sliˇcnosti je k = |AC| : |EC| = 20 : 8 = . 2

349

7


Povrˇsina trokuta DEC jednaka je k2 · P = 63 + P =⇒ P = 12 cm 2 .

350

21 P = 63 =⇒ 4

Zadatak 36.

Ako je povrˇsina trokuta DBE jednaka 8 cm2 , kolika je povrˇsina trokuta ABC (vidi sliku)?

Rjeˇsenje.

Kut < )ABC zajedniˇcki je za oba trokuta, te je joˇs |AB| : |BE| = |BC| : |BD| = 1 k = 2 . Dalje je P(DBE) = P(ABC) , dakle P(ABC) = 32 cm 2 . 4

Zadatak 37.

Duljine stranica trokuta ABC su a = 30 cm, b = 25 cm i c = 15 cm. Na stranici AB nalazi se toˇcka D te je tom toˇckom poloˇzen pravac DE , E ∈ AC , tako da je < )DEA = < )ABC . Ako je opseg trokuta ADE jednak 28 cm, koliko je |BD| i |CE| ?

Rjeˇsenje.

Kut α zajedniˇcki je kut za ADE i ABC , a u svakom od tih trokuta jedan je kut β (vidi sliku). Stoga su ti trokuti sliˇcni, a koeficijent sliˇcnosti jednak 2 2 2 je o : o = . Slijedi |AD| = |AC| = 10 cm, |AE| = |AB| = 6 cm. 5 5 5 Konaˇcno, |BD| = 5 cm, |CE| = 19 cm.

Zadatak 38.

Duljina stranice AB trokuta ABC jednaka je 12 cm. Na toj stranici nalazi se toˇcka D te je |AD| = 9 cm . Toˇckom D poloˇzena je paralela s AC i ona sijeˇce stranicu BC u toˇcki E . Koliki je omjer povrˇsina trokuta ABC i DBE ?

Rjeˇsenje.

Koeficijent sliˇcnosti jednak je k = |AB| : |DB| = |AB| : (|AB| − |DB|) = 12 : (12 − 9) = 12 : 3 = 4 . P(ABC) : P(DBE) = 16 .

Zadatak 39.

Na stranici AC trokuta ABC nalazi se toˇcka D , a na stranici BC toˇcka E , te je |AD| = 5 cm, |DC| = 4 cm, |BE| = 9 cm, |EC| = 3 cm. Ako je PABC = 36 cm 2 , kolika je povrˇsina cˇ etverokuta ABED ?

7 Rjeˇsenje.

Trokuti ABC i CDE su sliˇcni jer imaju zajedniˇcki kut pri vrhu C i |AC| : P(ABC) |EC| = |BC| : |DC| = 9 : 3 = 12 : 4 = 3 = k . P(CDE) = = k2 36 = 4 cm 2 . P(ABED) = P(ABC) − P(CDE) = 36 − 4 = 32 cm 2 . 9

Zadatak 40.

U trokutu ABC je |AB| = 20 cm, |AC| = 15 cm . Na stranici AB nalazi se toˇcka D te je |AD| = 6 cm, a na stranici AC toˇcka E tako da je |AE| = 8 cm . Ako je PABC = 12.5 cm2 , kolika je povrˇsina trokuta ADE ?

Rjeˇsenje.

Trokuti ABC i ADE su sliˇcni jer imaju zajedniˇcki kut pri vrhu A i |AB| : 5 P(ABC) |AE| = |AC| : |AD| = 20 : 8 = 15 : 6 = = k . P(ADE) = = 2 k2 12.5 = 2 cm 2 . 25 4

Zadatak 41.

Duljine stranica trokuta ABC su |AB| = 14 cm, |BC| = 13 cm i |AC| = 15 cm. Na kojoj udaljenosti od pravca AB valja poloˇziti pravac paralelno s njim tako da taj pravac od trokuta ABC odsijeca trokut opsega 14 cm?

Rjeˇsenje.

Povrˇsina trokuta ABC jednaka je 84 cm 2 , visina na stranicu AB ima duljinu 12 cm. Opseg trokuta ABC iznosi 42 cm, pa kako je opseg odsjeˇcenog trokuta 14 cm, koeficijent sliˇcnosti tih trokuta jednak je k = 3 . Visina manjeg trokuta onda je 4 cm, a pravac koji odsijeca trokut od AB je udaljen 8 cm.

Zadatak 42.

Visina trokuta dugaˇcka je 12 cm. Na kojoj udaljenosti od vrha iz kojeg je povuˇcena visina treba povući paralelu s nasuprotnom stranicom tako da trokut tom paralelom bude podijeljen na dva dijela jednakih povrˇsina?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo s P povrˇsinu trokuta ABC , a s P1 povrˇsinu trokuta A1 B1 C1 . Tada √ |CD| P . Odatle nalazimo |CD1 | = 6 2 cm. = 2 = k2 = je P1 |CD1 |

Zadatak 43.

Duljina visine na osnovicu AB trokuta ABC iznosi 6 cm. Na kojoj udaljenosti od vrha C treba povući paralelu s AB tako da trokut bude podijeljen na dva dijela cˇ ije su povrˇsine u omjeru 4 : 5 ?

Rjeˇsenje.

Dvije su mogućnosti: ili je P1 : P2 = 4 : 5 ili je P1 : P2 = 5 : 4 . U prvom 3 te je sluˇcaju koeficijent sliˇcnosti trokuta ABC i trokuta A1 B1 C1 jednak je 2 √ 3 d = 4 cm, a u drugom je pak k = √ pa je d = 2 5 cm. 5

351

7


Zadatak 44.

Rjeˇsenje.


Zadatak 46. 352

Neka su p i q duljine odsjeˇcaka na koje noˇziˇste visine iz vrha pravog kuta pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu, v duljina te visine.

1) Ako je p = 9 cm, q = 16 cm, izraˇcunaj duljine kateta a i b trokuta. 2) Ako je p = 24 cm, a = 26 cm, izraˇcunaj duljine katete b i hipotenuze trokuta. 3) Ako je b = 6 cm, q = 3.6 cm, kolike su duljine katete a i hipotenuze trokuta? 4) Ako je v = 60 cm, a = 68 cm, kolike su duljine stranica trokuta? 5) Ako je v = 6 cm, b = 10 cm, kolike su duljine stranica trokuta? √ √ √ √ 1) c = p+q = 25 cm, a = cp = 25 · 9 = 15 cm, b = cq = 25 · 16 = 20 cm; √ √ √ 2) v = a2 − p2 = 262 − 242 = 10 cm, v = pq =⇒ 10 = 24q =⇒ 25 65 5 625 4225 100 = ; b = q 2 + v2 = + 100 = = = 10 q= 24 6 36 36 6 6 1 cm, c = p + q = 28 cm; 6 √ 23.04 v2 3) v = b2 − q2 = 36 − 12.96 = 4.8 cm; p = = = 6.4 cm; q 3.6 √ a = v2 + p2 = 23.04 + 40.96 = 8 cm, c = p + q = 10 cm; √ √ 3600 v2 = = 112.5 cm; 4) p = a2 − v2 = 4624 − 3600 = 32 cm; q = p 32 √ b = v2 + q2 = 3600 + 12656.25 = 127.5 cm, c = p + q = 144.5 cm; √ 36 v2 = = 4.5 cm; a = v2 + p2 = 5) q = 100 − 36 = 8 cm; p = q 8 1 7.5 cm; c = p + q = 12 cm. 2 Duljine ortogonalnih projekcija kateta na hipotenuzu pravokutnog trokuta jednake su 18 cm i 32 cm. Kolika je povrˇsina ovog trokuta? √ √ c = p + q = 18 + 32 = 50 cm; a = cp = 50 · 18 = 30 cm; √ ab √ = b = cq = 50 · 32 = 40 cm. Povrˇsina trokuta jednaka je P = 2 30 · 40 = 600 cm 2 . 2 Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu na dijelove duljina 9 cm i 16 cm. Koliki je opseg ovog trokuta?

7 Rjeˇsenje.

√ √ c = p + q = 9 + 16 = 25 cm; a = cp = 25 · 9 = 15 cm; √ √ b = cq = 25 · 16 = 20 cm. Opseg trokuta je o = a + b + c = 60 cm.

Zadatak 47.

Omjer duljina odsjeˇcaka na koje hipotenuzu pravokutnog trokuta dijeli noˇziˇste visine spuˇstene iz vrha pravog kuta jednak je 4 : 9 . Ako je duljina visine 12 cm, kolike su duljine stranica trokuta?

Rjeˇsenje.

Iz 4k · 9k = 122 dobije se k = 2 , te je p = 8 cm i q = 18 cm. Dakle,√c = 26 2 2 cm, a zatim √ iz a = c · p i b = c · q nalazimo duljine kateta: a = 4 13 cm i b = 6 13 cm.

Zadatak 48.

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta jednaka je 18 cm, a duljina jedne katete 6 cm. Kolike su duljine odsjeˇcaka na koje noˇziˇste visine na hipotenuzu dijeli hipotenuzu?

Rjeˇsenje.

Neka je b = 6 cm. Iz b2 = c · q slijedi q = 2 cm, a potom je p = c − q = 16 cm.

Zadatak 49.

Duljine ortogonalnih projekcija kateta na hipotenuzu pravokutnog trokuta jednake su 2 dm i 6 dm. Kolike su duljine kateta tog trokuta? √ √ √ √ √ c = 8 dm; a = pc = 2 · 8 = 4 dm, b = qc = 6 · 8 = 4 3 dm.

Rjeˇsenje.

Zadatak 50.

Rjeˇsenje.

Zadatak 51.

Rjeˇsenje.

Duljina jedne katete pravokutnog trokuta iznosi 9 cm, a duljina njezine ortogonalne projekcije na hipotenuzu je 5.4 cm. Kolike su duljine druge katete i hipotenuze? Neka je a = 9 cm i p = 5.4 cm; c =

a2 √ = 15 cm i b = cq = 12 cm. p

Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta dugaˇcka je 6 cm i dijeli hipotenuzu na dva dijela tako da je duljina jednog od njih 9 cm. Kolika je duljina hipotenuze ovog trokuta? Iz v =

36 v2 √ = = 4 cm; c = p + q = 4 + 9 = 13 cm. pq slijedi da je p = q 9

Zadatak 52.

Dokaˇzi da za pravokutni trokut ABC s pravim kutom pri vrhu C vrijedi |BC|2 |AC|2 = , gdje je D noˇziˇste visine iz vrha C na hipotenuzu. |AD| |BD|

Rjeˇsenje.

Iz ADC ∼ ABC slijedi |AC| : |AD| = |AB| : |AC| , a odatle |AC|2 | = |AB| · |AD| . Potom iz BCD ∼ ABC imamo |BC| : |BD| = |AB| : |BC| , a odatle |BC|2 = |AB| · |BD| . Iz dviju dobivenih jednakosti slijedi ona koju je trebalo dokazati.

Zadatak 53.

Kateta pravokutnog trokuta je za 3 cm dulja od svoje ortogonalne projekcije na hipotenuzu, a duljina projekcije druge katete na hipotenuzu iznosi 15 cm. Odredi duljine stranica trokuta.

Rjeˇsenje.

Neka je p = a − 3 , q = 15 . Zbrojimo li ih, dobit cémo c = a + 12 . Kako je b2 = 15c , iz Pitagorinog pouˇcka imamo: (c − 12)2 + 15c = c2 , a odatle je √ c = 16 cm. Nadalje, a = 4 cm, b = 4 15 cm.

353

7


Zadatak 54.

Rjeˇsenje.

Zadatak 55.

Rjeˇsenje.


Omjer duljina kateta pravokutnog trokuta jednak je 3 : 2 , a noˇziˇste visine dijeli hipotenuzu na dijelove od kojih je jedan za 2 cm dulji od drugog. Kolika je duljina hipotenuze? c+2 , Neka je a = 3k , b = 2k , i neka je p − q = 2 . No p + q = c , te je p = 2 c−2 c + 2 q= . I dalje, a2 = c · p daje 9k2 = · c , a analogno se dobije i 2 2 9 c+2 c−2 · c . Podijelimo li ove dvije jednakosti, dobit cémo = , 4k2 = 2 4 c−2 odakle je c = 5.2 cm. U poloviˇstu hipotenuze pravokutnog trokuta poloˇzena je okomica na hipotenuzu. Odsjeˇcak te okomice u trokutu dugaˇcak je 3 cm, a duljina njezinog odsjeˇcka izvan trokuta do sjeciˇsta s produˇzetkom kraće katete iznosi 9 cm. Kolika je duljina hipotenuze tog trokuta? c c Vrijedi: ABC ∼ ASE . Obrazloˇzi zaˇsto. Zbog te je sliˇcnosti 3 : = : 2 2 12 , a odatle se dobije c = 12 cm.

Opseg paralelograma iznosi 48 cm, a duljine visina paralelograma u omjeru su 5 : 7 . Kolike su duljine stranica paralelograma? va 24 − a 5 b = = . Odatle se dobije = vv a a 7 a = 14 cm, a potom i b = 10 cm. Iz AED ∼ CDF proistjeˇce

Zadatak 57.

U trapezu ABCD je |BC| = 15 cm, |CD| = 10 cm i |BD| = 20 cm. Ako je < )ADB = < )DCB , koliko je |AB| i |AD| ?

Rjeˇsenje.

Uz zadanu jednakost kutova joˇs je i < )ABD = < )BDC . Zbog toga su trokuti ABD i BCD sliˇcni te imamo ove dvije jednakosti: |AB| : 20 = 20 : 10 i |AD| : 20 = 15 : 10. Iz prve je |AB| = 40 cm, a iz druge |AD| = 30 cm.

354

7

Zadatak 58.

Duljine osnovica AB i CD trapeza ABCD jednake su 27 cm i 12 cm. Ako je < )ADC = < )ACB , kolika je duljina dijagonale AC tog trapeza?

Rjeˇsenje.

Iz vrha C povuˇcemo paralelu sa stranicom AD i dobijemo trokut AC C koji je sukladan trokutu ADC jer imaju odgovarajuće stranice jednakih duljina. Iz )CAB i < )ADC = < )ACB slijedi da je ABC ∼ ACD . < )ACD = < )CAC = < Odatle je 27 : d = d : 12 , gdje je d = |AC| . Tako se dobije d = 18 cm.

Zadatak 59.

Dijagonale trapeza ABCD sijeku se u toˇcki S tako da je |BS| : |SD| = 5 : 3 . Ako je razlika duljina osnovica trapeza jednaka 8 cm, kolika je duljina srednjice trapeza?

Rjeˇsenje.

Iz vrha C povuˇcemo paralelu sa stranicom AD . ADC ∼ = AC C jer su im odgovarajuće stranice jednake duljine, pa je < )CAC = < )ACD . Iz vrha ∼ D povuˇcemo paralelu sa stranicom CB . DD B = BCD jer su im odgovarajuće stranice jednake duljine, pa je < )D BD = < )CDB . Slijedi da je ABS ∼ DSC jer se podudaraju u kutovima pri vrhovima A i C , te pri vrhovima B i D . Odatle slijedi |BS| : |SD| = 5 : 3 = a : c . Odatle je 3a c= , pa iz a − c = 8 dobijemo a = 20 cm, c = 12 cm. 5 a+c Duljina srednjice trapeza iznosi = 16 cm. 2

Zadatak 60.

Trokutu ABC s osnovicom duljine 10 cm i visinom na osnovicu duljine 15 cm upisan je kvadrat kojem je jedna stranica na osnovici trokuta. Kolika je duljina stranice kvadrata?

Rjeˇsenje.

Nacrtajmo trokut ABC i upiˇsimo mu kvadrat. Odmah se uoˇcava ABC ∼ A1 B1 C , zbog cˇ ega je 10 : x = 15 : (15 − x) , gdje je s x oznaˇcena duljina stranice kvadrata. Iz ove se jednakosti dobije x = 6 cm.

355

7


15

Primijeti kako podatcima u zadatku trokut nije jednoznaˇcno zadan, već se vrh C moˇze nalaziti bilo gdje na pravcu paralelnom s AB koji je od AB udaljen 15 cm. Jedino je ograniˇcenje da kut uz A , odnosno B nije veći od 90◦ . No bez obzira na odabir toˇcke C (uz navedeno ograniˇcenje) duljina stranice upisanog kvadrata jednoznaˇcno je odredena.

Zadatak 61.

Duljina osnovice trokuta jednaka je 5 cm, a duljina visine na osnovicu 3 cm. Trokutu je upisan kvadrat kojem je jedna stranica na osnovici trokuta. Kolika je duljina stranice kvadrata?

Rjeˇsenje.

Nacrtajmo trokut ABC i upiˇsimo mu kvadrat. Odmah se uoˇcava ABC ∼ A1 B1 C , zbog cˇega je 5 : x = 3 : (3 − x) , gdje je s x oznaˇcena duljina 15 stranice kvadrata. Iz ove se jednakosti dobije x = cm. 8

Zadatak 62.

Trokutu ABC upisan je paralelogram cˇ iji je jedan kut ujedno i kut trokuta. Duljine stranica trokuta uz taj kut jednake su |AB| = 25 cm i |AC| = 20 cm, a duljine stranica paralelograma u omjeru su 6 : 5 . Kolike su duljine stranica paralelograma?

a

356

Rjeˇsenje.

Ako je kraća stranica paralelograma paralelna sa stranicom AB trokuta, onda imamo omjer 25 : 5k = 20 : x =⇒ x = 4k ; 4k + 6k = 20 =⇒ k = 2 pa su duljine stranica paralelograma 10 cm i 12 cm. Ako je dulja stranica paralelograma paralelna sa stranicom AB , onda imamo omjer 25 : 6k = 20 : 24 49 100 24 k. k + 5k = k = 20 =⇒ k = pa su duljine x =⇒ x = 5 5 5 49 500 600 stranica paralelograma jednake cm i cm. 49 49

Zadatak 63.

Duljina osnovice AB trokuta ABC jednaka je 30 cm, a duljina visine na osnovicu iznosi 10 cm. Tom je trokutu upisan jednakokraˇcan pravokutni trokut s vrhom pravog kuta na osnovici AB i hipotenuzom paralelnom s AB . Kolika je duljina katete upisanog trokuta?

7 Rjeˇsenje.

c Iz ABC ∼ A1 B1 C slijedi 30 : c = 10 : (10 − vc ) . vc = pa je 2 c = 10c =⇒ 300−15c = 10c =⇒ 25c = 300 =⇒ c = 12 cm; 30 10− √2 √ c 2 a= = 6 2 cm. Duljina hipotenuze jednaka je 12 cm, a duljina katete √ 2 6 2 cm.

Zadatak 64.

Pravokutnik kojem je jedna stranica dvostruko dulja od druge upisan je trokutu s osnovicom duljine 8 cm i visinom na osnovicu duljine 6 cm. Kolike su duljine stranica pravokutnika ako jedna njegova stranica leˇzi na osnovici trokuta?

Rjeˇsenje.

Zadatak ima dva rjeˇsenja. U prvom sluˇcaju imamo omjer 8 : 2a = 6 : (6 − a) =⇒ 48 − 8a = 12a =⇒ 20a = 48 =⇒ a = 2.4 cm. Duljine stranica pravokutnika su 4.8 cm i 2.4 cm. U drugom sluˇcaju imamo omjer 24 8 : a = 6 : (6 − 2a) =⇒ 48 − 16a = 6a =⇒ 22a = 48 =⇒ a = cm. 11 48 24 cm i cm. Duljine stranica pravokutnika su 11 11

Zadatak 65.

Jednakokraˇcnom pravokutnom trokutu ABC upisan je kvadrat na dva naˇcina. Ako je povrˇsina prvog kvadrata P1 = 441 cm2 , kolika je povrˇsina drugog? C

C

P1 A

P2 B A

B

Rjeˇsenje.

Duljina stranice prvog kvadrata jednaka je 21√ cm. Zakljuˇcujemo da je duljina katete trokuta 42 cm, a duljina hipotenuze 42 2 cm. Duljina stranice drugog √ √ √ √ a kvadrata jednaka je 21 2 : = 21 2 : (21 2 − a) =⇒ a = 14 2 te je 2 P2 = 392 cm 2 .

Zadatak 66.

Kvadratu povrˇsine 128 cm2 upisan je pravokutnik kojem su stranice paralelne dijagonalama kvadrata, a duljine su im u omjeru 3 : 5 . Kolika je povrˇsina pravokutnika? √ √ √ Duljina stranice√kvadrata je 8 2 . Iz omjera 16 : 5k = 8 2 : (8 2 − x) i 16 : 3k = 8 2 : x dobijemo k = 2 . Duljine stranica pravokutnika su 3k = 6 cm i 5k = 10 cm, a njegova je povrˇsina P = 60 cm 2 .

Rjeˇsenje.

Zadatak 67.

Iz vrha A paralelograma ABCD poloˇzene su okomice AM i AN na pravce BC i CD ( M ∈ BC , N ∈ CD ). Dokaˇzi da su trokuti AMN i ABC sliˇcni.

Rjeˇsenje.

Najprije uoˇcavamo AMB ∼ ADN (tim su trokutima jednaki odgovarajući kutovi). Zbog te je sliˇcnosti |AM| : |AN| = |AB| : |AD| = |AB| : |BC| , a osim toga je i < )ABC = < )NAM , jer su to kutovi s okomitim kracima.

357

7


Zadatak 68.

Sva su tri trokuta na slici jednakostraniˇcna. Kolika je duljina stranice najvećeg od tih triju trokuta?

Rjeˇsenje.

Primjenjujemo pouˇcke o sliˇcnosti trokuta. Najprije iz 3 : 2 = (y + 2) : y 9 dobijemo y = 4 , a zatim iz x : 3 = 9 : 6 slijedi x = . 2

Zadatak 69.

Rjeˇsenje.

Zadatak 70.

Rjeˇsenje.

358

Na slici su tri kvadrata upisana u kut. Izraˇcunaj duljine duˇzina x i y .

16 , Iz omjera 9 : 4 = (4 + x + y) : (x + y) i 4 : x = (x + y) : y dobijemo x = 9 64 . y= 45 Duljina polumjera kruˇznice upisane jednakokraˇcnom trokutu ABC jednaka je 1 duljine osnovice AB . Opseg trokuta iznosi 72 cm. Kolike su duljine stranica 3 trokuta? a 1 1 Uoˇcavamo da je DBC ∼ SEC , odakle slijedi : b = a : v− a 2 3 3 a 2 a + 2b 72 (vidi sliku). Odatle je v = = = 24 cm. Dalje, b2 = + v2 = 3 3 2 (36 − b)2 + v2 , te se tako dobije b = 26 cm, a = 20 cm.

7

Zadatak 71.

Rjeˇsenje.

Zadatak 72.

Rjeˇsenje.

Jednakokraˇcnom trokutu ABC s osnovicom AB duljine 12 cm i krakom duljine 18 cm upisana je kruˇznica. Na tu kruˇznicu poloˇzena je tangenta paralelno os- njezinim novici trokuta. Kolika je duljina odsjeˇcka te tangente koji je omeden sjeciˇstima s kracima trokuta? √ Najprije izraˇcunamo povrˇsinu trokuta, ona je jednaka P = 72 2 cm2 √(slika). Zatim iz P = r · s , gdje je s pola opsega trokuta, nalazimo r = 3 2 cm. Sad koristimo ABC ∼ MNC te zapisujemo |AB| : |MN| = |CD| : |CE| , a odatle se dobije |MN| = 6 cm.

Jednakokraˇcnom trokutu ABC , |AB| = 30 cm , |AC| = |BC| = 25 cm , upisana je kruˇznica i ona krak AC trokuta dira u toˇcki E , a krak BC u toˇcki F . Izraˇcunaj duljinu duˇzine EF . 15 cm Sliˇcnost trokuta CDB i CSF povlaˇci 15 : r = 25 : (20 − r) =⇒ r = 2 2 15 15 20 − i |CF| = = 10 cm. − 2 2 15 Zatim iz CDB ∼ PSF slijedi 25 : = 20 : |PF| =⇒ |PF| = 6 cm, a 2 onda |EF| = 2 · |PF| = 12 cm.

359

7


Zadatak 73.

Rjeˇsenje.

Osnovica jednakokraˇcnog trokuta dugaˇcka je 36 cm, a duljina kraka trokuta iznosi 54 cm. Tom trokutu upisana je kruˇznica. Kolike su duljine duˇzina koje spajaju diraliˇsta kruˇznice sa stranicama trokuta? √ √ 36 2 · 36 Visina trokuta je v = 36 2 cm. Povrˇsina trokuta je P = = 2 √ √ √ P 648 2 cm 2 , a polumjer upisane kruˇznice je r = = 9 2 cm. 36 2 : s √ |A1 C| = 18 : 9 2 =⇒ |A1 C| = 36 cm. Iz omjera 36 : |A1 B1 | = B1 . 54 : 36 =⇒ |A1 B1 | = 24 cm. √Neka je toˇcka P poloviˇste duˇzine A1√ v : |CP| = |C1 B| : |PA√ | =⇒ 36 2 : |CP| = 18 : 12 =⇒ |CP| = 24 2. 1 √ 2 2 2 2 |PC √1 | = v − |CP| = 12 2 ; |A1 C1 | = |PA1 | + |PC1 | = 12 + 12 · 2 = 12 3 cm; B1 C1 = 12 cm.

Rjeˇsenja zadataka 7.6

360

Zadatak 1.

Nacrtaj kvadrat ABCD pa konstruiraj njegovu sliku pri homotetiji sa srediˇstem u srediˇstu kvadrata i koeficijentom k = 23 .

Rjeˇsenje.

Nacrtamo kvadrat ABCD duljine stranica a . Iz srediˇsta kvadrata povuˇcemo pravce kroz vrhove kvadrata. Duˇzinu AS podijelimo na tri jednaka dijela. 2 ˇ Sestarom prenesemo duljinu |AS| na ostale pravce i dobijemo toˇcke A1 , B1 , 3 2 C1 i D1 . Spojimo ih i dobijemo kvadrat cˇija je duljina stranice jednaka a . 3

Zadatak 2.

Nacrtaj kvadrat ABCD te mu odredi sliku pri homotetiji sa srediˇstem u toˇcki A i koeficijentom k = − 21 .

Rjeˇsenje.

Nacrtamo kvadrat ABCD duljine stranica a . Preko vrha A produljimo stra1 nice AB i AD za a i dobijemo toˇcke B1 i D1 . Produljimo preko vrha A 2 1 dijagonalu AC za |AC| i dobijemo toˇcku C1 . Spojimo te toˇcke i dobijemo 2 1 kavdrat cˇija je duljina stranice jednaka a . 2

Zadatak 3.

Konstruiraj sliku jednakostraniˇcnog trokuta ABC pri homotetiji sa srediˇstem u srediˇstu trokuta i koeficijentom homotetije k = − 23 .

Rjeˇsenje.

Nacrtamo jednakostraniˇcan trokut ABC duljine stranica a . Iz vrhova kroz srediˇste trokuta povuˇcemo pravce. Preko srediˇsta S na pravac nanesemo du3 ljinu |AS| i dobijemo toˇcku A1 . Isto uˇcinimo i za ostala dva vrha trokuta i 2

7 dobijemo toˇcke B1 i C1 . Spojimo ih i imamo jednakostraniˇcan trokut A1 B1 C1 3 duljine stranica a . 2

Zadatak 4.

Nacrtaj trokut ABC te mu konstruiraj sliku pri homotetiji sa srediˇstem u teˇziˇstu trokuta i koeficijentom −2 .

Rjeˇsenje.

Nacrtamo trokut ABC . Spojimo vrhove trokuta s poloviˇstima nasuprotnih stranica i dobijemo teˇziˇste T . Produljimo teˇziˇsnice. Preko teˇziˇsta T na teˇziˇsnicu ta nanesemo duljinu 2|AT| i dobijemo toˇcku A1 . Isto uˇcinimo i za ostala dva vrha trokuta i dobijemo toˇcke B1 i C1 . Spojimo ih i imamo trokut A1 B1 C1 .

Zadatak 5.

Nacrtaj homotetiˇcnu sliku dane kruˇznice ako je srediˇste homotetije neka toˇcka na kruˇznici, a koeficijent homotetije jednak −2 .

Rjeˇsenje.

Nacrtamo kruˇznicu k polumjera r . Odaberemo na kruˇznici toˇcku O . Povuˇcemo pravac kroz toˇcke S i O . Lijevo od toˇcke O na pravac nanesemo duˇzinu r1 = 2|OS| i dobijemo toˇcku S1 oko koje opiˇsemo kruˇznicu k1 radijusa r1 koja je homotetiˇcna slika kruˇznice k .

Zadatak 6.

Dokaˇzi da za svake dvije kruˇznice postoji homotetija pri kojoj je jedna kruˇznica slika druge.

Rjeˇsenje.

Ako su dane dvije kruˇznice te je manja kruˇznica unutar veće, vrh homotetije je toˇcka koja duˇzinu S1 S2 dijeli u omjeru r1 : r2 . (Dvije su mogućnosti). Ako kruˇznice nisu jedna unutar druge, a nisu ni sukladne, vrh homotetije je toˇcka u kojoj se sijeku pravac S1 S2 i bilo koja zajedniˇcka tangenta tih dviju kruˇznica. I u ovom sluˇcaju imamo dvije homotetije kojima se jedna kruˇznica preslika na drugu. I konaˇcno, ako su kruˇznice sukladne, vrh homotetije je poloviˇste duˇzine S1 S2 , a koeficijent je jednak −1 .

Zadatak 7.

Dan je trokut ABC . Toˇcka P poloviˇste je stranice BC , toˇcka Q stranice AC , a toˇcka R stranice AB . Dokaˇzi da postoji homotetija kojom se trokut ABC preslika u trokut PQR .

Rjeˇsenje.

Vrh homotetije je teˇziˇste trokuta, a koeficijent homotetije jednak je − 12 . Tvrdnja proistjeˇce neposredno iz teorema o teˇziˇstu trokuta.

Zadatak 8.

Nacrtaj kruˇznicu sa srediˇstem u toˇcki S i neka su SA i SB neka dva polumjera kruˇznice. Konstruiraj tetivu iste kruˇznice tako da je duˇzine SA i SB dijele na tri sukladna dijela.

Rjeˇsenje.

Odredimo na pravcu AB toˇcke C i D tako da bude |CA| = |AB| = |BD| . - tetivu Spojimo C i D sa S . Sjeciˇsta E i F tih spojnica s kruˇznicom odreduju EF koja zadovoljava uvjete zadatka.

361

7


Zadatak 9.

Konstruiraj trokut ABC ako je zadano 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

362

a : b : c = 3 : 4 : 6 , va = 3 ; b : c = 4 : 3 , α = 45◦ , va = 4 cm; a : b = 3 : 5 , c = 4.5 cm, β = 105◦ ; b = 5 cm, a : c = 2 : 3 , β = 60◦ .

1) Konstruiramo trokut sa stranicama a = 3 cm, b = 4 cm i c = 6 cm. Iz vrha A spustimo visinu va na stranicu a . Nanesemo va = 3 cm na pravac na kojem leˇzi visina va i dobijemo toˇcku A1 . Kroz nju povuˇcemo paralelu sa stranicom a . Produljimo stranice b i c i u njihovim sjeciˇstima s paralelom dobijemo vrhove B i C traˇzenog trokuta. (Homotetija sa srediˇstem u toˇcki A .) 2) Konstruiramo kut α = 45◦ u vrhu A . Na krakove kuta nanesemo duljine b = 4 cm i c = 3 cm i dobijemo toˇcke B i C . Iz vrha A spustimo visinu va na stranicu a . Na pravac na kojem leˇzi visina va nanesemo va = 4 cm i dobijemo toˇcku A1 . Kroz tu toˇcku povuˇcemo paralelu sa stranicom a . U sjeciˇstima te paralele i krakova kuta α = 45◦ . Nalaze se toˇcke B i C . (Homotetija sa srediˇstem u toˇcki A .) 3) Konstruiramo kut β = 105◦ s vrhom B . Na krak nanesemo duljinu a = 3 cm i dobijemo toˇcku C . Oko te toˇcke zasijeˇcemo kruˇzni luk polumjera b = 5 cm. U sjeciˇstu tog luka i kraka kuta dobijemo toˇcku A . Na stranicu BA trokuta A BC nanesemo duljinu c = 4.5 cm i dobijemo toˇcku A . Iz toˇcke A povuˇcemo paralelu sa stranicom C A . U sjeciˇstu paralele i kraka kuta nalazi se toˇcka C . (Homotetija sa srediˇstem u toˇcki B .) 4) Konstruiramo kut β = 60◦ i na njegove krakove nanesemo duljine a = 2 cm i c = 3 cm i dobijemo toˇcke C i A . Produljimo duˇzinu C A i na nju nanesemo duljinu b = 5 cm i dobijemo toˇcku A1 . Kroz toˇcku A1 povuˇcemo paralelu sa stranicom BC . U sjeciˇstu te paralele i kraka kuta β , na kojem leˇzi stranica BA , nalazi se toˇcka A . Iz toˇcke A povuˇcemo paralelu sa stranicom C A i u sjeciˇsu te paralele i kraka kuta β na kojem leˇzi stranica BC nalazi se toˇcka C . (Homotetija sa srediˇstem u toˇcki B .) Konstruiraj kvadrat upisan u zadani polukrug.

Rjeˇsenje.

U zadani polukrug konstruiramo manji kvadrat duljine stranice a , po volji odabrane, tako da jedna stranica kvadrata leˇzi na promjeru polukruga i da se poloviˇste te stranice poklapa sa srediˇstem S zadanog polukruga. Povuˇcemo sad pravce kroz toˇcku S i ostala dva vrha kvadrata. U toˇckama gdje ti pravci sijeku polukruˇznicu nalaze se dva vrha traˇzenog kvadrata. Iz njih spustimo okomice na promjer polukruga te dobijemo preostala dva vrha traˇzenog kvadrata. (Traˇzeni je kvadrat homotetiˇcna slika po volji odabranog kvadrata u toˇcki S .)

Zadatak 11.

U dani sˇ iljastokutni trokut ABC upiˇsi jednakostraniˇcni trokut DEF , tako da je vrh D na stranici BC , vrh E na stranici AC i vrh F na stranici AB , te EF ⊥ AB .

Rjeˇsenje.

Odaberimo na stranici AB bilo koju toˇcku F1 i poloˇzimo okomicu na AB . Tako dobijemo toˇcku E1 na AC . Konstruirajmo potom i treći vrh D1 jednakostraniˇcnog trokuta D1 E1 F1 . Upisani je trokut homotetiˇcna slika ovoga pri homotetiji s vrhom A. Zato cé toˇcka D biti sjeciˇste spojnice AD1 i stranice BC .

7

Zadatak 12.

U polukruˇznicu s promjerom MN upiˇsi kvadrat ABCD kojem je stranica AB na MN .

Rjeˇsenje.

Neka je A1 B1 duˇzina na MN kojoj je srediˇste S poloviˇste. Konstruiramo kvadrat A1 B1 C1 D1 pa zatim tom kvadratu homotetiˇcan kvadrat ABCD .

Zadatak 13.

Nacrtaj trokut ABC ako su zadana dva njegova kuta i duˇzina po duljini jednaka njegovom opsegu.

Rjeˇsenje.

Nacrtamo trokut A1 B1 C1 s kutovima kao sˇ to su zadani. Zatim konstruiramo duˇzinu D1 E1 cˇija je duljina jednaka opsegu ovog trokuta ( |D1 A1 | = |A1 C1 | , |B1 E1 | = |B1 C1 | ).

Nacrtamo zatim paralelnu duˇzinu DE koja je po duljini jednaka opsegu trokuta ABC . Konstruiramo vrh homotetije kojom se D1 E1 preslikava na DE . Sada je lako odrediti vrhove A i B , a onda i vrh C trokuta ABC .

Zadatak 14.

Dana duˇzina jednaka je zbroju stranice i dijagonale kvadrata. Konstruiraj taj kvadrat.

363

7


Rjeˇsenje.

Konstruiramo bilo koji kvadrat A1 B1 C1 D1 i neka je A1 E1 duˇzina jednaka zbroju njegove stranice i dijagonale. Na produˇzetku stranice A1 D1 odaberimo toˇcku A i neka je AE zadani zbroj stranice i dijagonale kvadrata koji valja konstruirati.

Spojimo toˇcke E i E1 te u sjeciˇstu s pravcem AA1 odredimo vrh homotetije pri kojoj se kvadrat A1 B1 C1 D1 preslika na kvadrat ABCD .

Zadatak 15.

364

Danom trokutu upiˇsi romb tako da jedan vrh romba bude vrh danog trokuta.

Rjeˇsenje.

U danom trokutu odaberemo bilo koji vrh A . Taj nam je vrh ujedno i vrh romba kojeg konstruiramo tako da mu dvije susjedne stranice leˇze na stranicama trokuta iz odabranog vrha. Povuˇcemo pravac kroz A i njemu nasuprotni vrh romba C . U sjeciˇstu tog pravca i stranice trokuta nalazi se toˇcka C koja je vrh romba upisanog u taj trokut. Kroz nju povuˇcemo paralele sa stranicama trokuta i u sjeciˇstima paralela i stranica dobijemo preostale vrhove. (Homotetija sa srediˇstem u odabranom vrhu trokuta, toˇcki A .)

Zadatak 16.

Danom kvadratu upiˇsi pravokutnik kojem je jedna stranica dvostruko dulja od druge, a stranice paralelne dijagonalama kvadrata.

Rjeˇsenje.

U danom kvadratu konstruiramo pravokutnik kojemu je jedna stranica dvostruko dulja od druge tako da mu dijagonale kvadrata raspolavljaju stranice i da su okomite na njih. Iz sjeciˇsta dijagonala povuˇcemo pravce kroz vrhove pravokutnika. U sjeciˇstu tih pravaca i stranica kvadrata nalaze se vrhovi traˇzenog pravokutnika. (Homotetija sa srediˇstem u sjeciˇstu dijagonala kvadrata.)

Zadatak 17.

Primjenom homotetije konstruiraj jednakostraniˇcan trokut ako je dana duˇzina razlika njegove stranice i visine.

Rjeˇsenje.

Konstruiramo jendakostraniˇcan trokut duljine stranice a . Spustimo visinu iz vrha C na stranicu a u toˇcku N . Njenu duljinu nanesemo iz vrha C na stranicu a . Dobijemo toˇcku N1 . Sada zadanu duˇzinu nanesemo na pravac na kojem leˇzi duˇzina BC iz vrha B i dobijemo toˇcku N1 . Povuˇcemo paralelu s duˇzinom N N1 iz toˇcke N1 . U sjeciˇstu te paralele i pravca na kojem leˇzi stranica A B nalazi se toˇcka N . U toˇcki N dignemo okomicu na NB . U sjeciˇstu te okomice i pravca na kojem leˇzi BC nalazi se toˇcka C . Produljimo duˇzinu NB za |NB| preko toˇcke N i dobijemo toˇcku A .

Zadatak 18.

Konstruiraj kruˇznicu koja prolazi danom toˇckom T unutar danog kuta α i koja dira krakove kuta.

7 Rjeˇsenje.

Konstruiramo simetralu tog kuta i na njoj odaberemo toˇcku S . Iz te toˇcke dignemo okomicu koja sijeˇce krak kuta u toˇcki A . Oko toˇcke S opiˇsemo kruˇznicu radijusa |AS | . Kroz vrh kuta i zadanu toˇcku T povuˇcemo pravac. On sijeˇce kruˇznicu u dvije toˇcke P i Q (postoje dva rjeˇsenja). Odaberemo, npr. toˇcku P i spojimo je sa srediˇstem S . Zatim povuˇcemo pravac paralelan duˇzini PS toˇckom T . On sijeˇce simetralu kuta u toˇcki S koja je srediˇste traˇzene kruˇznice polumjera |ST| . (Homotetija sa srediˇstem u vrhu zadanog kuta.)

Zadatak 19.

Dane su dvije kruˇznice razliˇcitih polumjera. Konstruiraj zajedniˇcke tangente tih dviju kruˇznica. Uputa: konstruiraj centar homotetije dviju kruˇznica pa zatim povuci tangente na kruˇznice iz tog centra.

Rjeˇsenje.

Kroz srediˇsta danih kruˇznica povuˇcemo pravac. Na jednoj kruˇznici odaberemo bilo koju toˇcku P i spojimo je sa srediˇstem S1 te kruˇznice. Zatim povuˇcemo paralelu duˇzini PS1 kroz srediˇste S2 druge kruˇznice. U sjeciˇstu paralele i druge kruˇznice je toˇcka P . Povuˇcemo pravac kroz toˇcke P i P . On sijeˇce pravac kroz srediˇsta kruˇznica u toˇcki O koja je srediˇste homotetije. Odredimo polo|OS1 | viˇste duˇzine OS1 i u njemu konstruiramo kruˇznicu polumjera . Spojimo 2 sjeciˇstima te kruˇznice i kruˇznice k1 s toˇckom O i dobijemo traˇzene tangenate.

Zadatak 20.

Preslikavanje koje svakoj toˇcki T(x, y) ravnine pridruˇzuje toˇcku T (kx, ky), k = 0 je homotetija sa srediˇstem u ishodiˇstu koordinatnog sustava i koeficijentom k . Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Toˇcke O , T(x, y) i T (kx, ky) leˇze na istom pravcu. Pravac kroz toˇcke O i T glasi y = x . Toˇcka T (kx, ky) je na tom pravcu jer zadovoljava tu jed| = |k| · |OT| = nadˇ pokazati da je |OT kx . Treba joˇs zbu pravca ky = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (kx) + (ky) = k x +k y = k (x + y ) = |k| x2 + y2 = |k| · |OT| .

365

8



Rjeˇsenje.



Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

366

√

1√ 144 ; 6 3√ 1 3) 2.56 − 1.2 · 2 ; 4 4

1) 0.5 ·

0.04 +

√ 1√ 196 + 1.5 · 0.36 ; 2 √ 2√ 4) 0.81 + 4 · 1.21 . 3 2)

√ 1√ 1 0.04 + 144 = 0.5 · 0.2 + · 12 = 2.1 ; 6 6 √ 1 1√ 196 + 1.5 · 0.36 = · 14 + 1.5 · 0.6 = 7 + 0.9 = 7.9 ; 2) 2 2 3√ 3 3 9 1 3) = 1.2−1.2· = 0.3−0.9 = −0.6 ; 2.56−1.2· 2 = ·1.6−1.2 4 4 4 4 2 √ 2 2√ 0.81 + 4 · 1.21 = · 0.9 + 4 · 1.1 = 2 · 0.3 + 4.4 = 5 . 4) 3 3 1) 0.5 ·

√ √ 1) 22 · 48 · 11 · 54 ; 2) 72 · 6 · 45 · 15 ; √ √ 4) 39 · 21 · 13 · 28 . 3) 42 · 18 · 27 · 7 ; √ √ 1) 22 · 48 · 11 · 54 = 11 · 2 · 6 · 4 · 2 · 11 · 6 · 9 = 11 · 2 · 6 · 2 · 3 = 792 ; √ √ 2) 72 · 6 · 45 · 15 = 36 · 2 · 2 · 3 · 9 · 5 · 5 · 3 = 6 · 2 · 3 · 3 · 5 = 540 √ √ 3) 42 · 18 · 27 · 7 = 2 · 3 · 7 · 2 · 9 · 9 · 3 · 7 = 2 · 3 · 7 · 9 = 378 ; √ √ 4) 39 · 21 · 13 · 28 = 13 · 3 · 3 · 7 · 13 · 4 · 7 = 13 · 3 · 7 · 2 = 546 . 1)

√

1092 − 602 ;

2)

√ 1532 − 722 ;

3)

√

1602 − 962 .

√ √ 1092 − 602 = (109 − 60)(109 + 60) = 49 · 169 = 7 · 13 = 91 ; √ √ 2) 1532 − 722 = (153 − 72)(153 + 72) = 81 · 225 = 9 · 15 = 135 ; √ √ 3) 1602 − 962 = (160 − 96)(160 + 96) = 64 · 256 = 8 · 16 = 128 . 1)

Provjeri jednakosti: √ √ √ √ 4 + 2 3 = 1 + 3; 2) 2 − 1 = 3 − 2 2 ; 1) √ √ √ √ √ 5 + 2 6 = 2 + 3; 4) 2 − 3 = 7 − 4 3 . 3) . √ √ √ √ 1) 4 + 2 3 = 1 + 2 3 + 3 = (1 + 3)2 = 1 + 3 ; .√ √ √ √ 2) 2 − 1 = ( 2 − 1)2 = 2 − 2 2 + 1 = 3 − 2 2 ; . .√ √ √ √ √ √ 3) 5 + 2 6 = 2 + 2 2 · sq3 + 3 = ( 2 + 3)2 = 2 + 3 ; . √ √ √ √ 4) 2 − 3 = (2 − 3)2 = 4 − 4 3 + 3 = 7 − 4 3 .

8 Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj: .√ .√ . √ √ (1 − 2)2 + ( 2 − 3)2 + ( 3 − 2)2 ; 1) . √ . √ √ √ (2 3 − 3 2)2 + (2 2 − 3 3)2 . 2) . .√ .√ √ √ 1) (1 − 2)2 + ( 2 − 3)2 + ( 3 − 2)2 .√ .√ . √ √ = ( 2 − 1)2 + ( 3 − 2)2 + (2 − 3)2 √ √ √ √ = 2 − 1 + 3 − 2 + 2 − 3 = 1; . . √ . √ . √ √ √ √ √ √ 2) (2 3−3 2)2 + (2 2−3 3)2 = (3 2−2 3)2 + (3 3−2 2)2 √ √ √ √ √ √ = 3 2 − 2 3 + 3 3 − 2 2 = 2 + 3. Pojednostavni: √ √ | 8 − 3| + |1 − 2| √ √ 1) ; | 2 − 2| + 18 √ √ |3 − 8| − |2 − 18| √ √ . 3) |4 − 3 2| + | 2 − 2|

2)

√ √ |3 − 12| − |4 − 27| √ √ ; |1 − 3| − |3 − 3|

1) √ √ √ √ √ | 8 − 3| + |1 − 2| 3−2 2+ 2−1 2− 2 √ √ √ √ √ = = | 2 − 2| + 18 2− 2+3 2 2+2 2 3 √ √ √ √ 2− 2 1− 2 2−2 2− 2+2 √ √ = = · −2 2(1 + 2) 1− 2 √ √ 3 2−4 4−3 2 = ; = −2 2 2)

3 √ √ √ √ √ √ |3 − 12| − |4 − 27| 3+2 2 3−3−3 3+4 1− 3 √ √ √ = √ = √ ·√ |1 − 3| − |3 − 3| 3−1−3+ 3 2( 3 − 2) 3+2 √ √ √ 1+ 3 3+2−3−2 3 = = ; −2 2

3)

3 √ √ √ √ √ √ 3−2 2−3 2+2 5−5 2 2+1 |3 − 8| − |2 − 18| √ √ √ = √ = √ ·√ |4 − 3 2| + | 2 − 2| 3 2−4+2− 2 2( 2 − 1) 2+1 √ √ 5 5(1 − 2)(1 + 2) =− . = 2 2

Zadatak 7.

Za koje realne brojeve x vrijedi: (2x − 1)2 = 2x − 1 ; 1) 3) (3 − 4x)2 = 4x − 3 ; √ 5) 9x2 − 12x + 16 = 3x − 4 ;

(x + 2)2 = −x − 2 ; √ 4) x2 − 6x + 9 = 3 − x ; √ 6) 4x2 − 4x + 1 = 1 − 2x ? 2)

367

8


Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

368

1 ; 2 2) Mora vrijediti −x − 2 0 , tj. x −2 ; 3 3) Mora vrijediti 4x − 3 0 , tj. x ; 4 √ 4) x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 . Mora vrijediti 3 − x 0 , tj. x 3 ; √ 4 5) 9x2 − 12x + 16 = (3x − 4)2 . Mora vrijediti 3x − 4 0 , tj. x ; 3 √ 1 2 2 6) 4x − 4x + 1 = (2x − 1) . Mora vrijediti 1 − 2x 0 , tj. x . 2 1) Mora vrijediti 2x − 1 0 , tj. x

Koliko je: √ √ 1) x2 − 2x + 1 − x2 + 4x + 4 , za −2 x 1 ; √ √ 1 2) 4x2 − 4x + 1 − x2 + 2x + 1 , za −1 x ; 2 √ √ √ 3) x2 −6x+9 − x2 −4x+4 − x2 −2x+1 , za 2 x 3 ? 1) f (x) = (x − 1)2 − (x + 2)2 = |x − 1| − |x + 2| , za −2 x 1 je f (x) = −x + 1 − x − 2 = −2x − 1 ; 2) f (x) = (2x − 1)2 − (x + 1)2 = |2x − 1| − |x + 1| = −2x + 1 − x − 1 = 1 −3x , za −1 x ; 2 3) f (x) = (x − 3)2 − (x − 2)2 − (x − 1)2 = |x − 3| − |x − 2| − |x − 1| = −x + 3 − x + 2 − x + 1 = −3x + 6 , za 2 x 3 .

Izraˇcunaj: √ √ √ √ 1) ( 3 − 1)2 (4 + 2 3) ; 2) (3 + 2 2)(1 − 2)2 ; √ √ √ 3) ( 3 + 5)2 (4 − 15) . √ √ √ √ 1) ( 3 − 1)2 (4 + 2 3) = (4 − 2 3)(4 + 2 3) = 16 − 12 = 4 ; √ √ √ √ 2) (3 + 2 2)(1 − 2)2 = (3 + 2 2)(3 − 2 2) = 9 − 8 = 1 ; √ 2 √ √ √ √ √ √ 3) ( 3 + 5) (4 − 15) = (8 + 2 15)(4 − 15) = 2(4 + 15)(4 − 15) = 2(16 − 15) = 2 . Izraˇcunaj: √ √ 2 2+ 3+ 2− 3 ; 1) √ √ 2 3) 4− 7− 4+ 7 .

2)

√ √ 2 3+ 5− 3− 5 ;

1) . . . . √ √ 2 √ √ √ √ 2+ 3+ 2− 3 =2+ 3+2 2+ 3 2− 3+2− 3 . √ √ = 4 + 2 (2 + 3)(2 − 3) = 4 + 2 · 1 = 6;

8 2) . . . √ √ 2 √ √ . √ √ 3+ 5− 3− 5 =3+ 5−2 3+ 5 3− 5+3− 5 . √ √ = 6 − 2 (3 + 5)(3 − 5) = 6 − 2 · 2 = 2; 3) .

4−

√ 7−

. . √ 2 √ √ √ √ 4 + 7 = 4 − 7 − 2 (4 − 7)(4 + 7) + 4 + 7 = 8 − 2 · 3 = 2.


Zadatak 12.

Rjeˇsenje.


Zadatak 14.

1 1 √ , y= √ √ ? 3− 2 3+ 2 √ √ √ √ √ 3+ 2 3+ 2 √ 1 √ √ = = 3 + 2; x= √ ·√ 1 3− 2 3+ 2 √ √ √ √ √ 3− 2 3− 2 √ 1 √ √ = = 3 − 2; y= √ ·√ 1 3+ 2 3− 2 √ √ 2 √ √ √ √ √ √ 2 √ √ ( 3+ 2) −( 3+ 2)( 3− 2)+( 3− 2) = 5+2 6−1+5−2 6 = 9. √ √ 2−1 Izraˇcunaj a − ab + b za a = √ , 2+1 √ 2+1 b= √ . 2−1 3 √ √ √ √ 2−1 2−1 3−2 2 a= √ = 3 − 2 2; ·√ = 1 2+1 2−1 3 √ √ √ √ 2+1 2+1 3+2 2 = 3 + 2 2; b= √ ·√ = 1 2−1 2+1 . √ √ √ √ √ √ a − ab + b = 3 − 2 2 − (3 − 2 2)(3 + 2 2) + 3 + 2 2 = 6 − 1 = 5 . Koliko je x2 − xy + y2 ako je x = √

√ √ 2− 2 a b 3− 3 √ , b= √ . Izraˇcunaj vrijednost izraza + za a = b a 3+ 3 2+ 2 √ √ 2− 2 3− 3 √ √ √ √ √ √ a b (2 − 2)(2 + 2) (3 − 3)(3 + 3) 3 + √3 2 + √2 √ √ + √ √ + = + = b a 3− 3 (3 + 3)(3 − 3) (2 + 2)(2 − 2) 2− 2 √ √ 2+ 2 3+ 3 20 10 1 2 6 = =3 . = + = 6 2 6 3 3 √ √ 1 5+ 3 √ , y = , koliko je 3x2 + 4xy + 3y2 ? Ako je x = √ x 5− 3

369

8


Rjeˇsenje.



√ √ √ 3 √ √ √ 5+ 3 5+ 3 8 + 2 15 √ √ = = 4 + 15 ; x= √ ·√ 2 5− 3 5+ 3 √ √ √ 4 − 15 1 1 4 − 15 √ √ = = 4 − 15 ; b= = · x 1 4 + 15 4 − 15 √ √ 3x2 + 4xy + 3y2 = 3(31 + 8 15) + 4(16 − 15) + 3(31 − 8 15) √ √ = 93 + 24 15 + 4 + 93 − 24 15 = 190. √ 1−2 2 . Izraˇcunaj vrijednost funkcije f (x) = 9x − 9x − x + 1 za x = 3 3

2

f (x) = 9x3 − 9x2 − x + 1 = 9x2 (x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(9x2 − 1) ; ⎤ ⎡ √ √ 2 √ 1−2 2 1 − 2 2 1−2 2 − 1 ⎣9 = f − 1⎦ 3 3 3 √ √ √ √ 2+2 2 8 8√ =− (9−4 2−1) = − (1 + 2)(2− 2) = − 2. 3 3 3 Ako je f (x) =

x3

√ x−1 1 : 2 , koliko je f ( 3) ? +1 x −x+1

x2 − x + 1 1 x2 − x + 1 1 1 · = · = 2 ; 3 2 x +1 x−1 (x + 1)(x − x + 1) x−1 x −1 √ 1 1 f ( 3) = = . 3−1 2 f (x) =

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Pojednostavni: √ 1 x+1 √ : 2 √ ; 1) 1+ x+x x − x √a √b √a−√b 3) √ + √ −2 : √ ; a b ab

a√a+b√b √ √a+√b 2 2) ; √ √ − ab · a−b a+ b √ √a b a−b 4) √ √ − √ √ · . a a− b a+ b

1) √ √ √ √ √ x2 −x + x2 x− x x+1 x+1 1 x2 − x √ √ √ = : 2 √ = · 1 1+ x+x x − x 1+ x+x 1+ x+x √ 2 √ x(x−1) + x(x −1) (x−1)(x + x(x + 1) √ √ = = 1+ x+x 1+ x+x √ √ √ √ (x−1)(x + x x + x) x(x−1)( x + x + 1) √ √ = = 1+ x+x 1+ x+x √ = x(x−1); 2) √ √ 2 √ √ √ √ √ √ √ √ a+ b a a + b b−a b−b a ( a + b)2 a a+b b √ √ √ − · ab · = √ √ a−b (a−b)2 a+ b a+ b

370

8 √ √ √ √ [ a(a−b)− b(a−b)]( a− b) = (a−b)2 √ √ √ √ (a−b)( a− b)( a− b) = (a−b)2 √ √ √ √ a−b ( a− b)( a− b) = = 1; = a−b a−b 3) √ √a √b √a − √b √a √b ab √ √ + √ −2 : √ = √ + √ −2 · √ a a b ab b a− b √ √ √ √ a + b − 2 ab ab ( a − b)2 √ √ = √ √ = ·√ ab a− b a− b √ √ = a − b; 4)

Zadatak 18.

√ √ √ √ √ √ √ √ a b a−b a( a + b) − b( a − b) a−b √ √ · = · − √ √ a a−b a a− b a+ b √ √ a+b a + ab − ab + b = ; = a a

Racionaliziraj nazivnik u razlomku: 1) 5)

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

2 6 3 √ ; ; 3) 2) √ √ ; 4 6 3 5 √ 2ab 2a a b √ ; ; 7) √ ; 6) 3b a 3 6a √ √ √ 6 6 2 6 2 √ ·√ = = ; 6 3 6 6 √ √ √ √ 6 6 15 2 15 3 5 √ √ ·√ √ = = 15 5 3 5 3 5 √ √ 3 3 3 = √ = ; 4 2 4 √ √ √ √ 3 2 3 6 3 6 √ ·√ = = ; 6 2 2 3 3 √ √ √ a b a ab √ a √ ·√ = = ab ; a a a √ √ √ 2a 2a 3b 6ab =√ ·√ = ; 3b 3b 3b 3b √ √ √ 6a b 6a 2ab 2ab 6a √ ·√ = = ; 18a 9a 3 6a 6a

√ 3 2 4) √ ; 2 3 √ 2 x+1 √ . 8) 3 x

371

8


8)

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

√ √ √ 2 x+1 2x + x x √ . ·√ = 3x 3 x x

Racionaliziraj nazivnik u razlomku: √ √ √ 3 2 5−3 2 √ . ; 2) √ 1) √ 2 3−3 2 5+3 2 √ √ √ √ 3 2 3+3 6+3 3 1) √ = 2 + 3; · √ = 3 2 3−3 2 3+3 √ √ √ √ √ √ 20 − 12 10 + 18 38 − 12 10 2 5−3 2 2 5−3 2 √ · √ √ = = = 2) √ 20 − 18 2 2 √ 5+3 2 2 5−3 2 19 − 6 10 . Racionaliziraj nazivnik u razlomku: 36 √ √ ; (3 2 − 2 3)2 √ √ 3 2+ 3 3) √ √ ; 3 2− 3 1)

Rjeˇsenje.

4 √ √ ; (2 5 − 3 2)2 √ 7−4 3 4) √ . 7+4 3 2)

1) √ √ √ √ 36 (3 2 + 2 3)2 36(3 2 + 2 3)2 √ √ √ · √ = √ √ √ √ 2 (3 2 − 2 3)2 (3 2 + 2 3)2 (3 2 − 2 3)(3 2 + 2 3) √ √ √ √ 36(3 2 + 2 3)2 = = (3 2 + 2 3)2 ; 2 (18 − 12) 2) √ √ √ √ 4 (2 5 + 3 2)2 4(2 5 + 3 2)2 √ √ √ · √ = √ √ √ √ 2 (2 5 − 3 2)2 (2 5 + 3 2)2 (2 5 − 3 2)(2 5 + 3 2) √ √ √ √ 4(2 5 + 3 2)2 = = (2 5 + 3 2)2 ; 2 (20 − 18) 3)

. √ √ √ √ √ √ √ √ √ (3 2 + 3)(3 2 − 3) 3 2+ 3 3 2− 3 18 − 3 √ √ √ √ = √ √ · √ √ = 3 2− 3 3 2− 3 3 2− 3 3 2− 3 √ √ √ √ √ 3 2+ 3 3 30 + 45 15 √ · √ √ = = √ 15 3 2− 3 3 2+ 3 √ √ √ √ √ √ 3 5( 6 + 1) 3 5 6+3 5 5 √ = = ( 6 + 1); = 15 15 5

372

8 4) . √ √ √ √ √ (7 − 4 3)(7 + 4 3) 7−4 3 7+4 3 1 7−4 3 √ √ · √ = √ · √ = 7+4 3 7+4 3 7−4 3 7+4 3 7+4 3 √ √ 7−4 3 = 7 − 4 3. = 1

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

Racionaliziraj nazivnik u razlomku: √ 2 3 √ ; √ 1) √ 2+ 3+ 5 1 √ √ √ ; 3) 2− 2+ 3− 6

4 √ √ ; 1− 2+ 3 1 √ √ 4) √ . 12+ 8+ 6+3 2)

1)

√ √ √ √ √ √ √ √ 2 + 3− 5 2 3 2 3( 2 + 3− 5) √ √ √ ·√ √ √ √ √ = ( 2 + 3)2 −5 2+ 3+ 5 2 + 3− 5 √ √ √ √ 2 3( 2 + 3− 5) √ √ = 5 + 2 2 3−5 √ √ √ √ √ √ 2 3( 2 + 3− 5) 2 3 √ √ ·√ √ = 2 2 3 2 3 √ √ √ √ √ √ √ 6 2( 2 + 3− 5) 2 √ = ( 2 + 3− 5) = 12 2 2) √ √ √ √ √ √ 4 1− 2− 3 4(1− 2− 3) 4(1− 2− 3) √ √ · √ √ = √ √ = 1− 2 + 3 1− 2− 3 (1− 2)2 −3 3−2 2−3 √ √ √ √ √ √ −2(1− 2− 3) 2 −2 2(1− 2− 3) √ = ·√ = 2 2 2 √ √ √ √ √ = − 2(1 − 2 − 3) = 6 − 2 + 2; 3)

2−

√

1 1 √ √ = √ √ √ √ 2+ 3− 6 2( 2 − 1) − 3( 2 − 1) √ √ √ 1 ( 2 + 1)( 2 + 3) √ √ √ √ √ √ = · ( 2 − 1)( 2 − 3) ( 2 + 1)( 2 + 3) √ √ √ √ √ √ ( 2 + 1)( 2 + 3) = = −( 2 + 1)( 2 + 3); (2 − 1)(2 − 3)

373

8


4) 1 1 √ √ √ √ √ √ = √ 12 + 8 + 6 + 3 2 3+2 2+ 2 3+3 1 √ √ √ √ = √ 2( 3 + 2) + 3( 2 + 3) √ √ √ ( 3 − 2)(2 − 3) 1 √ √ √ √ √ √ · = ( 3 + 2)(2 + 3) ( 3 − 2)(2 − 3) √ √ √ √ √ √ ( 3 − 2)(2 − 3) = ( 3 − 2)(2 − 3). = (3 − 2)(4 − 3)

Zadatak 22.

Koliko je: 1

1) 49 2 ;

Rjeˇsenje.

3)

16 12

;

25 √ √ 1 2 1) 49 = 49 = 7 ; 2) −0.09 = − 0.09 = −0.3 ; 12 4 16 16 1 = ; 4) (−144) 2 nema realnih rjeˇsenja. = 3) 25 25 5

5) 1) 3) 5) 7)

1 13

1 13 64 13 − ; 4) − ; 8 8 125 81 14 1 1 1 16 4 ; 6) −16 4 ; 7) ; 8) (−256) 4 . 625 1 13 √ 1 1 1 3 −27 3 = − 27 = −3 ; 2) = 3 = ; 8 8 2 1 13 64 13 1 4 1 64 3 − =− ; = − = − ; 4) − = 3 − 8 8 2 125 125 5 √ √ 1 1 16 4 = 4 16 = 2 ; 6) −16 4 = − 4 16 = −2 ; 81 14 3 81 1 = ; 8) (−256) 4 nema realnih rjeˇsenja. = 4 625 625 5 1

2)

1

2) (−32) 5 ;

1) −27 3 ;

;

3)

1

3) 243 5 ;

Zadatak 24. 1) −32 5 ; 1

5) 2 4 ; Rjeˇsenje. Rjeˇsenje.

374

1

4) (−144) 2 ?

1 2

Zadatak 23.

Rjeˇsenje.

1

2) −0.09 2 ;

1

6) 3 3 ;

1

1 16 ; 64 1 8) 16 5 . 4)

1

7) (−10) 3 ;

1) −2 ; 2) −2 ; 3) 3 ; 4) 2 ; 5) 1.189207 ; 6) 1.44225 ; 7) 2.154435 ; 8) 1.741101 . √ √ 1 1 1) −32 5 = − 5 32 = −2 ; 2) (−32) 5 = 5 −32 = −2 ; 1 16 √ √ 1 = 6 64 = 2 ; 3) 243 5 = 5 243 = 3 ; 4) 64

8 √ √ 1 1 5) 2 4 = 4 2 = 1.189207 ; 6) 3 3 = 3 3 = 1.44225 ; √ √ √ 1 1 7) (−10) 3 = 3 −10 = − 3 10 = 2.154435 ; 8) 16 5 = 5 16 = 1.741101 .

Zadatak 25. 1) 5) Rjeˇsenje.

√ 4 √ 5

16 ; −32 ;

√ 1) 4 16 = 2 ; √ 5 32 = 2 ; √ 7) 6 64 = 2 ;

4)

Zadatak 26.

√ 2) 4 −16 ; 16 ; 6) 4 81

3) 7)

3

−

27 ; 125

√ 6 64 ;

√ 2) 4 −16 nema realnih rjeˇsenja; 3) √ 2 16 5 = ; 5) −32 = −2 ; 6) 4 81 3 √ 8) 3 −343 = −7 ;

4)

√ 5 32 ;

8)

√ 3 −343 .;

3

−

3 27 =− ; 125 5

Rijeˇsi u skupu realnih brojeva jednadˇzbe: 1) x3 = 125 ; 4) 81x4 − 256 = 0 ;

Rjeˇsenje.

1) 3) 4) 5) 6)

2) 8x3 = 27 ; 5) x5 = 16 ;

3) 16x4 − 1 = 0 ; 6) 3x4 = 25 . √ 3 27 3 3 3 , x= ; x = 125 , x = 125 , x = 5 ; 2) 8x = 27 , x = 3 8 2 1 1 1 1 16x4 − 1 = 0 , 16x4 = 1 , x4 = , x= 4 , x1 = , x2 = − ; 16 16 2 2 256 256 4 4 ,x= 4 , x1 = , x2 = − ; 81x4 −256 = 0 , 81x4 = 256 , x4 = 81 81 3 3 √ x5 = 16 , x = 5 16 , x = 1.741101 ; 25 25 4 4 , x= 4 , x1 = 1.699044 , x2 = −1.699044 . 3x = 25 , x = 3 3


Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Zapiˇsi u obliku potencije: √ √ 2) 4 27 ; 1) 3 4 ;

1 3) √ ; 10

4)

√ 5 16 .

√ √ √ √ 2 3 3 4 3 4 = 22 = 2 3 ; 2) 4 27 = 33 = 3 4 ; √ √ √ 1 1 4 5 3) √ = ( 10)−1 = 10− 2 ; 4) 5 16 = 24 = 2 5 . 10 1)

Izraˇcunaj: 1

1) 16− 2 − 0.251.5 ; 1 23 ; 3) 0.04−1.5 · 125

1 −0.5 2 2) 0.008− 3 · ; 25 1 0.5 2 4) + 0.027− 3 . 9

375

8


Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4)

Zadatak 3.

1.5 3 1 1 1 1 1 1 16 − 0.25 = = − = − = ; 4 4 2 4 8 8 −2 1 −0.5 1 − 12 √ 1 2 2 0.008− 3 · = (0.2)−3· 3 · = · 25 = 25·5 = 125 ; 25 25 5 2 −3 1 23 1 1 1 1 = 53 ·25 = 125· = 5; = 0.2−3 · = · 0.04−1.5 · 125 5 5 25 25 2 1 0.5 1 1 10 4 1 1 100 2 = 11 . + 0.027− 3 = + 0.3−2 = + = + 9 3 3 3 3 9 9 − 12

1.5

1 − 16

Izraˇcunaj: 1 −0.5 3 ; 1) 0.25− 2 · 16 1 −0.75 ; 3) 160.5 + 16

Rjeˇsenje.

1) 0.25

− 32

·

1 16

1 − 23

· (0.81)−0.5 ; 8 27 − 23 1 4) − 1.44− 2 . 8 2)

−0.5 = 0.5

−3

−2 3 1 1 · = · 22 = 23 · 22 = 25 = 32 ; 2 2

− 23 −2 10 40 4 1 1 · (0.81)−0.5 = · (0.9)−1 = 22 · = =4 ; 8 2 9 9 9 1 −0.75 1 −3 3) 160.5 + = 22 + = 4 + 23 = 4 + 8 = 12 ; 16 2 −2 2 − 23 3 2 27 4 5 7 5 1 − 1.44− 2 = − 1.2−1 = − = − =− . 4) 8 2 3 6 9 6 18 2)

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

376

Koliko je: 1 √ √ 2 1 2 1) 9− 2 + (3 3)− 3 · (9− 2 − (3 3)− 3 ; √ 1 √ 1 2) 16−0.25 − (2 2) 3 16−0.25 + (2 2) 3 ; √ √ 3 3 4 4 3) 18 − 2− 4 18 + 2− 4 ; 1 √ 1 2 1 1 4) (27− 4 )− 3 −( 125) 3 · (9 3 )0.75 −(0.04)− 4 ? 1 1 2 3 2 2 1 √ √ 2 2 1) 9− 2 + (3 3)− 3 · 9− 2 − (3 3)− 3 = 9− 2 − 3− 2 · 3 1 1 = − = 0; 9 9 √ 1 −0.25 √ 1 2 3 1 2 16 2) 16−0.25 − (2 2) 3 + (2 2) 3 = 2−1 − 2 2 · 3 7 1 = −2=− ; 4 4

8 √ √ 3 3 4 3) 4 18 − 2− 4 18 + 2− 4 =

34 34 1 1 1 18 − 18 4 + 2 2 1 4

32 √ 11 1 1 =3 2− √ = √ ; = 18 − 2 2 2 2 2 1 √ 1 1 − 14 − 23 0.75 4) (27 ) − ( 125) 3 · (9 3 ) − (0.04)− 4 2 3 1 1 3 2 3 1 = 3− 4 ·(− 3 ) − 5 2 · 3 · 3 3 · 4 − )− 4 25 3 2 1 1 − 14 1 3 1 2 3 1 1 − 4 ·(− 3 ) · · = 3 − 52 3 · 33 4 − = 32 − 52 · 32 − 52 25 = 3 − 5 = −2 . 1 2

Zadatak 5.

Ako je a > 0 , izraˇcunaj: 1

2

1

2

1) (a− 2 )− 3 · (a 3 )−4 ; 3

2

3

3) (a− 5 )2 · (a 5 )3 ; √ 1 2 4 5) (a−2 · a 3 ) 5 · a3 ; √ 2 3 4 7) (a− 3 · a 4 )3 · a3 ; Rjeˇsenje.

1

2

1

2) (a2 )− 3 · (a− 3 )2 ;

√ 4 a; √ 2 · a 3 )−2 · a · 3 a ; √ √ 3 : a4 )−0.8 : (a 3 a) . 3

1

4) (a− 4 · a 2 )− 3 · a · 1

6) (a− 2 3

8) (a− 4

1

1

1

2

2

1

1

4

1

4

1) (a− 2 )− 3 · (a 3 )−4 = a− 2 ·(− 3 ) · a 3 ·(−4) = a 3 · a− 3 = a 3 − 3 = a−1 = 2

1

4

2

4

2

2) (a2 )− 3 · (a− 3 )2 = a2·(− 3 ) · a−2· 3 = a− 3 · a− 3 = a− 3 − 3 = a−2 = 3

2

3

2

6

6

6

1 ; a

1 ; a2

6

3) (a− 5 )2 · (a 5 )3 = a−2· 5 · a3· 5 = a− 5 · a 5 = a− 5 + 5 = 1 ; √ 3 3 1 3 3 1 1 3 1 5 1 5 4) (a− 4 · a 2 )− 3 · a · 4 a = (a− 4 + 2 )− 3 · a · a 4 = a 4 ·(− 3 ) · a 4 = a− 4 + 4 = a ; √ 1 2 1 2 3 5 2 3 2 3 1 4 5) (a−2 · a 3 ) 5 · a3 = (a−2+ 3 ) 5 · a 4 = a− 3 · 5 · a 4 = a− 3 + 4 = a 12 ; √ 1 2 1 2 1 1 1 1 4 6) (a− 2 · a 3 )−2 · a · 3 a = (a− 2 + 3 )−2 · a · a 3 = a 6 ·(−2) · a1+ 3 = a− 3 · a 3 1 4 = a− 3 + 3 = a ; √ 2 3 2 3 3 1 3 1 3 4 7) (a− 3 · a 4 )3 · a3 = (a− 3 + 4 )3 · a 4 = a 12 ·3 · a 4 = a 4 + 4 = a ; √ √ 3 3 4 4 1 3 8) (a− 4 : a4 )−0.8 : (a 3 a) = (a− 4 : a 3 )− 5 : (a · a 3 ) 3 4 4 1 25 4 4 5 4 5 4 1 = (a− 4 − 3 )− 5 : a1+ 3 = a− 12 ·(− 5 ) : a 3 = a 3 : a 3 = a 3 − 3 = a 3 .

Zadatak 6.

Izraˇcunaj: 3

1)

10 5 · 2−0.6 ; 5−1.4

2

2)

1

15 3 · 3 3 1

5− 3

3

;

3)

12 4 · 2−0.5 1

3− 4

1

;

4)

2

12− 3 · 2 3 1

2

6− 3 · 4 3

.

3

Rjeˇsenje.

10 5 · 2−0.6 3 3 3 3 3 7 3 7 3 3 = 5 5 · 2 5 · 2−0.6 · 51.4 = 5 5 · 2 5 · 2− 5 · 5 5 = 5 5 + 5 · 2 5 − 5 −1.4 5 = 52 · 20 = 25 ; 2 1 15 3 · 3 3 2 2 1 1 2 1 2 1 = 5 3 · 3 3 · 3 3 · 5 3 = 5 3 + 3 · 3 3 + 3 = 5 · 3 = 15 ; 2) 1 5− 3 3 12 4 · 2−0.5 3 3 1 1 3 1 3 1 3 1 = 3 4 · 4 4 · 2− 2 · 3 4 = 3 4 + 4 · 2 2 · 2− 2 = 3 · 2 2 − 2 = 3 · 2 = 6 ; 3) 1 3− 4 1)

377

8


1

4)

Zadatak 7.

2

12− 3 · 2 3 1 6− 3

2 3

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

4

= 3− 3 · 4− 3 · 2 3 · 6 3 · 4− 3 = 3− 3 · 2− 3 · 2 3 · 3 3 · 2 3 · 2− 3

·4 1 1 1 2 2 1 4 = 3− 3 + 3 · 2− 3 + 3 + 3 − 3 = 1 · 2−1 = . 2

Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 2 1 0.5 3 3 23 − 32 a− 3 b 3 : a− 4 b− 4 , 1 , b = 2. 16 0.5 3 3 23 − 32 1 1 1 1 − 32 − 23 13 a b : a− 4 b− 4 = a− 3 b 6 : a− 2 b− 2 1 1 1 1 − 32 1 1 1 1 − 32 1 2 − 32 1 = a− 3 b 6 a 2 b 2 = a− 3 + 2 b 6 + 2 = a6 b3 = a− 4 b−1 . za a =

Rjeˇsenje.

Uvrstimo a =

Zadatak 8.

− 1 1 1 = 2−4 , b = 2 : 2−4 4 2−1 = 2 · = 1 . 16 2

Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza − 13 2 2 − 12 a2 b−1.5 : a− 3 b , 1 8 , b= . 27 81 − 13 2 2 − 12 2 1 4 − 12 2 1 4 − 12 a2 b−1.5 : a− 3 b = a− 3 b 2 : a− 3 b2 = a− 3 b 2 a 3 b−2 2 4 1 − 12 2 3 − 12 1 3 = a− 3 + 3 b 2 −2 = a 3 b− 2 = a− 3 b 4 . 3 4 3 − 13 4 34 2 1 2 1 8 1 = = Uvrstimo a = , b= : = 27 3 81 3 3 3 −1 3 1 2 3 1 1 = . = · 3 3 2 27 18 za a =

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 2 3 −2 − 13 − 13 a− 3 b 4 : a2 b−1.5 , za a = 8 , b =

Rjeˇsenje.

378

1 . 64

1 −2 − 1 − 3 4 − 3 − 2 1 − 13 2 3 a− 3 b 4 : a2 b−1.5 3 = a3 b 2 : a 3 b2 23 4 3 2 1 − 13 a − 23 − 1 b = a 3 b− 2 a 3 b− 2 = a2 b−2 3 = = . b a 6 −6 23 2 1 2 1 3 −6 Uvrstimo a = 8 = 2 , b = = =2 : = 2−6 2−3 3 = 3 64 2 2 1 −9· 23 −6 . =2 = 2 64

8 Zadatak 10.

Izraˇcunaj: 1)

√ 2 15− 3 · 3 1.8 ; 0.040.5

√ 3 12− 4 · 4 27 √ ; 0.005 √ 3 0.125 √ . 4) 3 − 48 4 · 4 27 2)

1

3)

Rjeˇsenje.

72− 3 3

0.25− 2 ·

− 23

√ 3

√ ; 3 81 2

2

3− 3 · 5− 3 ·

13 9 5

2

2

2

1

· 1.8 3− 3 · 5− 3 · 3 3 · 5− 3 = = 1) 0.040.5 0.2 5−1 = 30 · 5−1 · 51 = 50 = 1 ; √ 3 3 3 3 3− 4 · 2− 2 · 3 4 1 12− 4 · 4 27 3 1 3 1 = = 2− 2 200 2 = 2− 2 · 10 · 2 2 = · 10 = 5 ; 2) √ 12 2 0.005 1 15

200 − 13

− 13

1

2

8 · 9− 3 2−1 · 3− 3 2 4 = 3) = = 2−1 · 3− 3 · 2−3 · 3− 3 √ 3 3 4 3 − − 3 2 2 3 0.25 · 81 2 ·3 1 4 · 33 4 1 1 1 · = ; = 2−4 · 3−2 = 16 9 144 13 1 √ 3 0.125 2−1 8 4) = −3 = 2−1 · 23 = 4 . √ 3 3 3 = 4 − − 2−3 48 4 · 27 3 4 · 16 4 · 3 4 72

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Pojednostavni: b 1 1 1 1 1) − 2a− 2 b 2 + 1 : a− 2 − a−1 b 2 ; a 1 1 1 1 2) 1 + a 2 b− 2 + ab−1 : ab− 2 − a− 2 b ; 1 a 1 1 1 1 3) + a− 2 b 2 : a 2 b−1 − b− 2 + a− 2 . b 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1) ba−1 − 2a− 2 b 2 + 1 : a− 2 − a−1 b 2 = a− 2 b 2 − 1 : −a− 2 a− 2 b 2 − 1 1 1 1 1 1 = −a 2 a− 2 b 2 − 1 = a 2 − b 2 ; 1 a a2 a b 1 1 1 1 − −1 − − : ab 2 − a 2 b = 1 + 1 + : − 2) 1 + a 2 b 2 + ab 1 1 b b2 b2 a2 1 1 3 3 1 1 1 1 a2 b2 b + a2 b2 + a b + a2 b2 + a a2 − b2 : · 1 = = 1 1 1 1 1 b b 2 2 2 2 a b (a − b )(a + a 2 b 2 + b) 1 a2 = 1 1 ; 1 b 2 (a 2 − b 2 )

379

8


3)

a

+a

b

1 1 1 b : a 2 b−1 − b− 2 + a− 2 =

− 12 1

=

Zadatak 12.

1

1

3

·

1

a2 b

1

a2b 1

1

a − a2 b2 + b

1

(a 2 + b 2 )(a − a 2 b 2 + b) 1

3

a2 + b2

1

1

= a2 + b2 .

1

a − a2 b2 + b

Skrati razlomke: 1

1)

3

1)

;

1

a − 9a 2 a − 9a

=

1

a 3 + 2a 3

=

1

a − 4a 3

3a 4 + 12 2a − 32a

1 2

1

4)

a + 4a

1 6

1 2

1 2

1

1

a 3 (a 3 + 2) 1

2

a 3 (a 3 − 4) 1 2

=

1 4

1 4

(a − 3)(a + 3)

=

1

a3 + 2 1

1

(a 3 + 2)(a 3 − 2)

1 4

−1 1 4

a +3

=

1 1

a3 − 2

1

3(a 4 + 4) 1 2

1 4

1 4

2a (a + 4)(a − 4)

1

1

1 12

a (a + 4a )

1

=

=

1

a 3 + 4a 6

.

; ;

1

=

(a 4 − 4a 12 )(a 4 + 4a 12 ) 1 12

=

1

a 2 − 16a 6

4)

1

=

2a (a − 16) 1

1

;

1

3(a 4 + 4) 1 2

1

2a − 32a 2

3 − a4

1

=

3a 4 + 12

3)

1

a (a − 9)

1

a 2 − 16a 6 1 3

1

a 2 (3 − a 4 )

1

3)

1

;

a − 4a 3

1

1 2

1

a 3 + 2a 3

2)

3

3a 2 − a 4 2

2)

2

3a 2 − a 4 1

Rjeˇsenje.

1 2

3 1 2

1

2a (a 4 − 4)

;

1

a 4 − 4a 12 a

1 12

1

= a6 − 4.


Provjeri i obrazloˇzi: 1) 5)

Rjeˇsenje.

1) 3) 5) 7)

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

380

√ 1 2 1 16 1 3 = ; 4) 4 = ; 0.125 = ; 3) 5 2 32 2 625 5 √ √ 3 5 27 125 6 = ; 7) 3 = ; 8) 4 0.0625 = 0.5 . 64 = 2 ; 6) 3 125 5 216 6 3 √ √ √ 1 1 1 4 3 4 81 = 34 = 3 ; 2) 3 0.125 = 3 = = ; 8 2 2 5 4 1 2 16 1 2 5 4 5 1 = = = ; 4) 4 = ; 32 2 2 625 5 5 3 √ √ 3 27 3 6 3 6 = 64 = 26 = 2 ; 6) 3 = ; 125 5 5 3 √ √ 5 5 4 3 3 125 = = ; 8) 4 0.0625 = 0.54 = 0.5 . 216 6 6 √ 4

81 = 3 ;

2)

Izraˇcunaj: √ √ √ √ 6 3 2) 9 · 10002 − 0.25 · 102 ; 1) 2.56 · 10−2 + 2 · 3 0.008 ; √ √ √ √ 4 1.6 · 10−3 + 2 · 3 0.125 ; 4) 3 0.09 · 300 + 5 · 0.16 . 3) √ √ √ √ √ 3 1) 2.56 · 10−2 + 2 · 3 0.008 = 0.0256 + 2 · 0.23 = 0.162 + 2 · 0.2 = 0.16 + 0.4 = 0.56 ;

8 √ √ √ √ √ √ 6 6 6 3 9 · 10002 − 0.25 · 102 = 36 · 106 − 0.52 · 102 = 306 − 52 = 30 − 5 = 25 ; √ √ √ √ √ 4 3 4 3) 1.6 · 10−3 + 2 · 3 0.125 = 4 0.0016 + 2 · 0.53 = 0.24 + 2 · 0.5 = 0.2 + 1 = 1.2 ; √ √ √ √ √ 3 3 4) 0.09 · 300 + 5 · 0.16 = 3 27 + 5 · 0.42 = 33 + 5 · 0.4 = 3 + 2 = 5 . 2)

Zadatak 3.

Rjeˇsenje.

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj: √ √ √ 3 4 4 6 8 8 ; 2) 4 ; 3) 162 ; 1) √ √ √ 9 4 12 5) 1256 ; 6) 813 ; 7) 648 ; √ √ 3 3 1) 84 = 212 = 24 , jer je (24 )3 = 212 ; . √ √ 4 4 4 4 2) 46 = 212 = (23 ) = 23 = 8 ; √ √ √ √ 8 8 6 6 3) 162 = 28 = 2 ; 4) 272 = 36 = 3 ; . √ √ 9 9 9 9 5) 1256 = 51 8 = (52 ) = 52 = 25 ; . √ √ 4 4 4 4 6) 813 = 312 = (33 ) = 33 = 27 ; . √ √ 12 12 12 12 648 = 248 = (24 ) = 24 = 16 ; 7) . √ √ 8 8 8 8 8) 6254 = 516 = (52 ) = 52 = 25 .

√ 6 272 ; √ 8 8) 6254 . 4)

√ √ √ Primjenjujući jednakost n a · n b = n ab , izraˇcunaj: √ √ √ √ √ √ 2) 3 12 · 3 18 ; 3) 4 40 · 4 250 ; 1) 3 100 · 3 10 ; √ √ √ √ 5 9 √ 5 6 3 √ 6 4) 4 50 · 4 200 ; 5) 3 · 311 ; 6) 4 · 84 . √ √ √ √ 1) 3 100 · 3 10 = 3 100 · 10 = 3 1000 = 10 ; √ √ √ √ 2) 3 12 · 3 18 = 3 12 · 18 = 3 216 = 6 ; √ √ √ √ 3) 4 40 · 4 250 = 4 40 · 250 = 4 10000 = 10 ; √ √ √ √ 4) 4 50 · 4 200 = 4 50 · 200 = 4 10000 = 10 ; √ √ √ √ 5 5 5 5 5) 39 · 311 = 39 · 311 = 320 = 5 (34 )5 = 34 = 81 ; √ √ √ √ 6 6 6 6 6) 43 · 84 = 26 · 21 2 = 218 = 6 (23 )6 = 23 = 8 . Izraˇcunaj: √ 1) 3 8 · 27 ; √ 5 10 4) 3 · 0.515 ; 1) 2) 3) 4)

√ √ 4 625 · 16 ; 3) 3 75 · 45 ; 1 6 1 3 5) ·9 ; 6) 4 256 · 3 . 4 8 16 √ √ √ 3 3 3 3 8 · 27 = 2 · 33 = 63 = 6 ; √ √ √ 4 4 4 625 · 16 = 54 · 24 = 104 = 10 ; √ √ √ √ 3 3 3 75 · 45 = 3 3 · 25 · 5 · 9 = 33 · 53 = 153 = 15 ; 8 5 9 5 5 3 9 √ 1 1 9 9 5 10 5 5 5 3 · 0.515 = :(32 )5 · = 95 · = = ; 2 8 8 8 2)

381

8


6 6 1 3 3 6 6 5) · 36 = = ; 4 4 4 12 4 4 1 1 1 125 125 4 12 4 4 4 6 4 . = 125 · = = 6) 25 · 3 = 5 · 16 2 8 8 8 6

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.


382

1 · 93 = 84

Izraˇcunaj: √ √ √ 4 3 5 3 40 486 ; 2) ; 3) ; 1) √ √ √ 4 3 5 48 625 64 √ 4 4 3 1 1 4 4 3 4 1 = = = 1) √ = ; 4 48 16 2 2 48 √ 3 3 2 40 40 8 2 3 3 3 2) √ = = = = ; 3 625 125 5 5 625 √ 5 5 486 486 243 3 3 5 3) √ = 5 = = 5 = ; 5 64 32 2 2 64 √ 3 √ √ 1.25 1.25 3 = 3 = 3 125 = 53 = 5 . 4) √ 3 0.01 0.01

√ 3 1.25 . 4) √ 3 0.01

Provjeri jednakosti: √ √ √ √ √ 3 4 7 + 5 2 = 1 + 2; 2) 49 + 20 6 = 2 + 3 ; 1) √ √ √ √ 3 4 26 − 15 3 = 2 − 3 ; 4) 28 − 16 3 = 3 − 1 . 3) √ 3 √ √ √ 1) 1 + 2 = 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 7 + 5 2 ; √ √ 4 √ √ 2 2 √ 2 √ 2) 2+ 3 = 2+ 3 = 5 + 2 6 = 25 + 20 6 + 24 √ = 49 + 20 6 ; √ √ √ √ 3 3) 2 − 3 = 8 − 12 3 + 18 − 3 3 = 26 − 15 3 ; 2 √ √ √ √ 4) ( 3 − 1)4 = ( 3 − 1)2 = (3 − 2 3 + 1)2 = (4 − 2 3)2 √ √ = 16 − 16 3 + 12 = 28 − 16 3 . Djelomice korjenuj: √ √ √ 1) 3 54 ; 2) 3 1080 ; 3) 5 160 ; √ √ √ √ 3 1) 3 54 = 3 2 · 27 = 2 · 33 = 3 3 2 ; √ √ √ 2) 3 1080 = 3 5 · 8 · 27 = 6 3 5 ; √ √ √ √ 5 3) 5 160 = 5 5 · 32 = 5 · 25 = 2 5 5 ; √ √ √ √ 4 4) 4 80 = 4 5 · 16 = 5 · 24 = 2 4 5 ; √ √ √ √ 4 5) 4 324 = 4 4 · 81 = 4 · 34 = 3 4 4 .

4)

√ 4

80 ;

5)

√ 4

324 .

8 Zadatak 9.

Pomnoˇzi: √ √ 1) 2 · 3 2 ; √ √ √ 4) 3 · 3 9 · 4 27 ; 7)

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Zadatak 11.

√ √ √ √ 3 · 4 27 ; 3) 3 4 · 4 8 ; √ √ √ √ 1 √ 3 4 12 5) 25 · 125 · 5 ; 6) 3 · 6 32 · 4 8 ; 2 √ √ √ √ √ 1 3 . 4 · 4 8 · 6 32 ; 8) 3 4 · 4 8 · 6 32 √ √ √ √ √ √ 6 6 2 · 3 2 = 23 · 22 = 6 8 · 4 = 6 32 ; √ √ √ √ √ √ √ √ 4 4 4 4 4 3 · 4 27 = 32 · 33 = 32 · 33 = 35 = 34 · 3 = 3 4 3 ; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4 12 12 12 12 12 3 4· 4 8= 22 · 23 = 28 · 29 = 28 · 29 = 217 = 212 · 25 =2 12 32 ; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4 3 12 12 12 12 3 · 3√9 · 4 27 √ = 3 · 32 · √ 3 = 36 · 38 · 39 = 36 · 38 · 39 12 23 12 12 12 11 11 = 3 = 3 ·3 =3 3 ; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4 3 12 12 12 12 3 4 12 25 · √ 125 · √5 = 52 · 5√ · 5 =√ 58 · 59 · 12 5 = 58 · 59 · 5 12 18 12 12 12 6 6 5 = 5 · 5 = 5 5 = 5 5; = √ √ √ √ √ √ √ √ 6 3 4 12 12 12 3 1 · 6 32 · 4 8 = 2−1 · 25 · 23 = 2−4 · 210 · 29 2 √ √ √ √ √ 12 12 −4 12 12 = 2 · 210 · 29 = 215 = 212 · 23 = 2 23 = 2 4 2 ; √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 3 2 √ 4 12 12 12 12 3 4 · 4√ 8 · 6 32 = 2 · 23 · 25 = 28 · 2√9 · 210√= 28 · 29 · 210 √ 12 27 12 24 12 3 4 12 3 2 12 3 = 2 = 2 ·2 = (2 ) · 2 = 4 2 = 4 2 ; √ √ √ √ √ √ √ √ 1 6 3 4 12 12 12 3 = 22 · 23 · 2−5 = 4· 4 8· 6 28 · 29 · 2−10 32 √ √ 12 12 = 28 · 29 · 2−10 = 27 . 2)

Ako je a > 0 , pomnoˇzi: √ √ √ √ √ 3 3 2 √ 4 2) a · a2 ; 3) a · a3 ; 1) a · 4 a ; √ √ √ √ √ √ √ √ 4) 3 a · 6 a ; 5) a · 3 a · 4 a ; 6) 3 a · 4 a · 6 a ; √ √ √ √ √ 6 4 8 3 7) a · a3 · a7 ; 8) a · a2 · a5 . √ √ √ √ √ √ 4 4 4 1) a · 4 a = a2 · 4 a = a2 · a = a3 ; √ √ √ √ √ √ √ √ 3 6 6 6 6 6 2) a · a2 = a3 · a4 = a3 · a4 = a7 = a6 · a = a 6 a ; √ √ √ √ √ √ √ √ 12 12 12 3 4 12 8 12 9 12 8 12 17 3) a2 · a3 = a · a = a · a9 = a = a · a5 = a a5 ; √ √ √ √ √ √ √ 6 6 6 4) 3 a · 6 a = a2 · 6 a = a2 · a = a3 = a ; √ √ √ √ √ √ √ √ √ 12 6 12 4 12 3 12 6 12 12 5) √ a· 3 a· 4 a = a · a · a = a · a4 · a3 = a13 = a12 · a = a 12 a ; √ √ √ √ √ √ √ √ 4 a · 6 a = 12 a4 · 12 a3 · 12 a2 = 12 a4 · a3 · a2 = 12 a9 6) 3 a · √ 4 = a3 ; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 8 8 8 8 8 8 8 7) a · a3 · a7 = a4 · a6 · a7 = a4 · a6 · a7 = a17 = a16 · a=a2 8 a ; √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 6 6 6 3 6 6 6 8) a · a2 · a5 = a6 · a4 · a5 = a6 · a4 · a5 = a15 = a12 · a3 =a2 a . Pomnoˇzi: √ √ 4 2 + 3 · 7 − 4 3; 1)

2)

√ √ 3 6 1 + 2 · 3 − 2 2.

383

8


Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

384

. . √ √ √ √ √ √ 4 4 2 + 3· 7 − 4 3 = 4 (2 + 3)2 · 7 − 4 3 = 4 (7 + 4 3) · (7 − 4 3) √ √ = 4 49 − 48 = 4 1 = 1 ; . . √ √ √ √ √ √ 3 6 6 2) 1 + 2· 3 − 2 2 = 6 (1 + 2)2 · 3 − 2 2 = 6 (3 + 2 2) · (3 − 2 2) √ √ = 6 9 − 8 = 6 1 = 1.

1)

Pojednostavni: 5 √ 4 √ 4 √ 3 √ 4 15 3 √ 3 4 3 √ 3 3 8 3 6 4 9 a · a ; 2) a : a ; 3) a · a ; 1) √ 5 √ 4 √ 3 √ 3 5 4 √ 3 10 3 √ 7 4 9 3 4 3 2 4) a · a ; 5) a : a ; 6) a · a ; √ 3 √ 6 √ 3 √ 9 4 9 3 9 6 7) a · a ; 8) a : a . √ √ √ √ √ √ √ 4 3 4 3 6 6 6 1) a · a3 = 3 a · a = a2 · a3 = a5 ; √ √ √ √ 4 3 8 3 3 6 3 3 2) a : a = a2 : a2 = 1 ; √ √ √ √ √ 5 √ 4 15 3 √ 4 9 4 4 4 4 a · a = a3 · a3 = a6 = a a2 = a a ; 3) √ √ √ √ 4 √ 3 5 3 √ 7 6 3 10 3 √ 7 6 6 a · a = a · a = a5 · a7 = a12 = a2 ; 4) √ √ √ √ √ √ √ 3 4 9 3 4 4 3 12 9 12 8 a : a = a3 : a2 = a : a = 12 a ; 5) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 5 3 4 3 2 3 a = 3 a · 6 a = 6 a2 · 6 a = 6 a3 = a5 · a = 3a· a; 6) √ √ √ √ 3 √ 9 3 6 3 3 6 a · a = a · a = a =a ; 7) √ √ √ √ √ √ 3 √ 6 √ 4 9 3 9 4 6 12 12 12 8) a : a = a3 : a3 = a9 : a6 = a3 = 4 a . Pojednostavni: √ √ √ 4 4 3 √ 1) 2 2; 2) 6 · 3 6; 3) 3 · 3 3; 4) 9 · 3 9; √ √ √ √ 4 5 3 7 5) 4 · 4 4; 6) 9 · 4 3; 7) 25 · 3 25 ; 8) 8 · 6 8. √ 3 √ 3 3 √ 2 √ 3 √ 1) 2 2 = 2 · 2= 2 = 2; .√ √ √ √ √ 3 3 √ 3 4 3 6 · 36= 6 = 62 = 3 36 ; 2) 6 · 3 6 = .√ √ √ 4 √ 4 3 3 √ 4 3 4 3 · 33= 3 = 3 3; 3) 3 · 3 3 = √ √ √ √ 4 4 √ 4 √ 4 3 3 6 √ 3 3 8 3 3 · 32 = 3 = 32 = 3 9 ; 4) 9 · 3 9 = 32 · 32 = . √ √ √ √ 5 √ 5 √ 5 4 5 4 4 √ 4 4 · 44= 4 = 4 4 = 22 = 2 ; 5) 4 · 4 4 = .√ √ √ √ √ 3 √ 3 4 8 √ 3 3 4 9 4 6) 9 · 4 3 = 32 · 4 3 = 3 · 43= 3 = 33 = 4 27 ; √ √ √ 4 √ 4 √ 4 3 3 253 · 3 25 = 254 = 3 25 ; 7) 25 · 3 25 = . √ √ √ √ 7 √ 7 √ 7 6 6 √ 6 7 6 8) 8 · 6 8 = 8 · 68= 8 = 6 8 = 23 = 2 . Izraˇcunaj: √ √ 3 1) 4 · 3 2 · 4 · 2; √ √ 3 3) 5 · 3 25 · 25 · 4 125 ; √ √ 3 4 · 2 : 2 · 3 4; 5)

√ √ 3 4 3 · 4 27 · 3 · 3 9 ; √ √ 3 4) 2 · 3 4 · 8 · 3 2; √ √ 4 6) 8 · 3 2 : 2 · 3 4;

2)

8 √ √ 4 3 27 · 3 9 : 9 · 3 ; 1 √ 1 √ 3 9) · 4 · 3 · 4 8; 2 2 1 √ 1 6 ; 11) 3 · 2 : 4 · 4 4 7)

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

√ √ 4 3 25 · 5 · 125 · 3 5 ; 1 1 √ 3 · · 3 9; 10) 9· 3 3 1 √ 3 1 12) : 3 · 2. 2· 4 4 8)

.√ √ √ √ 3 √ 4 √ 3 2 √ 3 6 √ 3 7 3 3 2 1) 2 · 2 · 2 · 2 = 2 · 32· 2 · 2= 2 · 25 √ √ √ 6 7 6 5 6 12 = 2 · 2 = 2 = 22 = 4 ; √ √ √ 3 4 3 √ 4 √ 3 √ 4 3 4 4 √ 4 3 3 √ 3 4 7 4 3 5 = 3 · 33 · 3 · 32 = 3 · 3 2) 3 · √33 · √3 · 32√ 12 7 12 5 12 12 = 3 · 3 = 3 = 3; √ √ √ √ 3 3 5 3 √ 3 4 3 3 3 √ 3 2 3 √ 4 8 √ 4 3 4 11 = 5 · 5 · 5 · 5 = 5 · 5 3) 5 · √ 52 · √ 52 · 5√ √ √ √ √ √ 6 5 12 11 12 10 12 12 12 4 3 4 11 21 9 = 5 · 5 = 5 · 5 = 5 = 5 5 = 5 5 = 5 125 ; .√ √ √ √ 3 √ 3 3 √ 3 5 3 2 3 3 √ 3 2 3 9 √ 3 10 3 3 4) 2 · 2 · 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 32= 2 · 2 √ √ √ √ √ √ √ 9 5 6 10 18 10 18 30 18 40 18 4 9 = 2 · 2 = 2 · 2 = 2 = 4 2 = 4 4; √ √ √ 3 √ 5 3 √ 4 √ 3 2 √ 3 5 3 2 3 3 √ 3 · 2:√2· 2 = 2 · 2: 2 · 22 = 2 : 2 5) 2 √ 6 6 = 25 : 25 = 1 ; .√ √ √ √ 4 √ 4 3 9 √ 4 3 √ 3 5 3 2 3 3 √ 3 3 10 3 2 · 3 2: 2 · 22 = 2 : 2 6) 2 · 2: 2 · 2 = √ √ √ √ 12 10 6 5 12 10 12 10 = 2 : 2 = 2 : 2 = 1; 4 3 √ 4 √ 3 √ 4 √ 3 2 √ 3 2 3 9 √ 3 7) 3 · 3 : 3 · 3= 3 · 32 : 3 · 3 √ √ √ √ √ 4 √ 3 √ 5 6 3 11 12 11 12 11 12 10 = 3 : 3 = 3 : 35 = 3 : 3 = 12 3 ; √ √ √ 4 √ 3 √ 5 4 √ 4 3 √ 4 √ 3 3 3 10 · 5 · √53 · 3 5 √ = 5√ · 5 · √ 59 · 3 5√= 5 · 5 8) 52 √ √ √ 6 5 12 10 12 10 12 10 12 20 12 8 3 2 = 5 · 5 = 5 · 5 = 5 = 5 5 = 5 5 = 5 3 25 ; √ √ √ √ 3 3 √ 3 √ 3 4 3 −3 √ 3 4 −4 √ 4 3 4 −1 9) 2−1 · 22 · 2−1 · 23 = 2 · 22 · 2 · 23 = 2−1 · 2 √ √ √ √ √ √ 1 1 6 12 12 −2 12 −1 12 −3 4 ; = 2−1 · 2−1 = 2 · 2 = 2 = 2−1 = 4 = √ 4 2 2 √ √ √ √ 3 3 √ 4 √ −1 3 3 −3 3 2 10) 32· 3−1 · 3−1 · 32 = 3 · 3 · 3 · 3 √ √ √ √ √ 3 √ 3 3 −1 6 6 6 = 3 · 3 = 33 · 3−1 = 32 = 3 3 ; √ √ 6 6 √ 4 √ −2 3 √ −4 √ 3 11) 2−2 · 2 : 22 · 2−2 = 2 · 2: 2 · 2 √ √ √ √ √ √ √ 3 6 6 12 2 12 −6 12 12 = 2−3 : 22 = 2−3 : 2 = 2 : 22 = 2−8 √ 1 1 3 = 2−2 = 3 = √ ; 3 4 4 √ √ √ 3 √ −4 √ 3 3 3 3 √ 3 · 2−2 : 2−2 · 2 = 2 · 2−2 : 2 · 2 12) 2 √ √ √ √ √ √ √ 3 6 −3 6 4 3 2 3 6 −3 = 2: 2 = 2 : 2 = 2 = 2 = 3 4. Izraˇcunaj: √ √ √ √ √ 1) ( 3 9 − 3 6 + 3 4)( 3 3 + 3 2) ; √ √ √ √ √ 2) ( 3 25 + 3 10 + 3 4)( 3 5 − 3 2) ; √ √ √ 3 3) (1 − 3 x)(1 + 3 x + x2 ) ;

385

8


Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

Rjeˇsenje.

386

√ √ √ √ √ 4) ( 3 a + 6 ab + 3 b)( 6 a − 6 b) ; √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 5) ( a2 + b2 )( a4 − a2 b2 + b4 ) ; √ √ 6) (a2 − a b + b)(a + b) ; √ √ √ √ √ 7) (a − a · 4 b + b)( a + 4 b) ; a b 1√ 1√ 3 3 2 2 . 8) 1 + ab + a b · 3 − 3 a b b a √ 3 √ 3 √ √ √ √ √ 1) ( 3 9 − 3 6 + 3 4)( 3 3 + 3 2) = 3 3 + 3 2 = 3 + 2 = 5 ; √ 3 √ 3 √ √ √ √ √ 2) ( 3 25 + 3 10 + 3 4)( 3 5 − 3 2) = 3 5 − 3 2 = 5 − 2 = 3 ; √ 2 3 √ 3 √ √ √ √ √ 3 =1 − 3 x =1−x ; 3) (1− 3 x)(1+ 3 x+ x2 )=(1− 3 x) 1 + 3 x + 3 x √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 6 4) ( 3 a + 6 ab + 3 b)( 6 a − 6 b) = ( a2 + 6 ab + b2 )( 6 a − 6 b) √ √ 3 √ √ 3 = 6 a − 6 b = a − b; √ 3 √ 3 √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 2 3 2 a + b = a2 + b2 ; 5) ( a2 + b2 )( a4 − a2 b2 + b4 ) = √ 3 √ √ √ √ √ b 6) (a2 − a b + b)(a + b) = a2 − a b + ( b)2 (a + b) = a3 + √ 3 = a + b b; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 7) (a− a · 4 b + b)( a + 4 b)= ( a)2 − a · 4 b + ( 4 b)2 ( a + 4 b) 3 √ √ 3 √ √ 4 = a + 4 b = a a + b3 ; a b 1√ 1√ 3 3 2 2 ab + a b · 3 − 3 8) 1 + a b b a 2 2 b a a b 3 3 = +1+ · 3 − 3 2 2 s b b a 2 2 a b a a b 3 b 3 = + 3 · 3 + · 3 − 3 s2 b a b2 b a 3 3 a2 − b2 a b a b = 3 . − 3 = − = b a b a ab Izraˇcunaj: √ √ √ √ 1 6 3 1) ( a + 3 b)(a − a3 b2 + b2 ) za a = , b = 0.125 ; 4 √ √ √ √ √ 3 6 2) ( 3 a − 2 6 b)( a2 + 2 a2 b + 4 3 b) za a = 2, b = 4; √ √ √ √ 1 1 3 2 6 4 3 3 3) ( a − 2 b)(a · a + 2 a b + 4b) , za a = − √ b = 3 ; 4 2 2 √ √ √ √ 6 3 6 3 3 4) ( a + b b)( a − b ab + b ) za a = b = 0.25 . 1) Prvo sredimo izraz:

8 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 3 ( a + 3 b)(a − a3 b2 + b2 ) = ( a + 3 b) ( a)2 − a 3 b + ( 3 b)2 √ √ √ = ( a)3 + ( 3 b)3 = a3 + b . 3 √ 1 Uvrstimo sada vrijednosti za a i b : a3 + b = + 0.125 = 4 6 1 1 1 1 1 + = + = . 2 8 8 8 4 2) Prvo sredimo izraz: √ √ √ √ √ √ 3 √ 3 √ √ 3 6 ( 3 a − 2 6 b)( a2 + 3 a · 2 6 b + 22 b2 ) = 3 a − 2 6 b = a − 8 b . Uvrstimo sada vrijednosti za a i b : √ √ a − 8 b = 2 − 8 4 = 2 − 16 = −14; 3) Prvo sredimo izraz: √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 6 3 2 3 4 3 ( a2 −2 b)(a· 3 a+2 a4 b3 +4b) = a −2 b a + a2 · 2 b + (2b)2 √ 3 √ 3 √ 3 2 a − 2 b = a2 − 8 b3 . = Uvrstimo sada vrijednosti za a i b : 8 9 3 2 9 1 1 31 1 1 1 3 1 : = −8· =− . − √ −8 = −8 4 8 4 8 2 8 2 2 4) Prvo sredimo izraz: √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 6 ( 6 a + b b)( 3 a − b ab3 + b3 ) = ( 6 a + b b)( a2 − 6 a · b +(b b)2 ) √ √ √ 3 √ 3 √ √ = 6 a + b b = a + b3 b3 = a + b4 b . 1 . 4 Uvrstimo sada vrijednosti za a i b : √ √ 1 1 1 1 257 1 1 4 = + · = . a+b b= + 2 256 4 2 256 2 512 a = b = 0.25 =

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Ako su a i b pozitivni brojevi, pojednostavni: √ √ √ √ 3 2 3 3 2 3 √ √ 3 2 3 a − b2 a + b2 a b + ab2 2) 1) √ ; √ √ √ ; 3 3 a3b−b3a a2 · b2 − b2 · a2 √ √ √ √ 4 4 4 4 ( a3 + b3 )( a3 − b3 ) √ 2 √ − ab · . 3) √ a+b a− b √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3a+ 3 b 3a+ 3b 3 2 3 ab ab 2 a b + ab 1) √ = √ √ √ √ = √ √ 3 3 3 3 2 3 3 a3 b−b3a a b − ab3 ab a − b2 √ √ 3a+ 3b 1 = √ √ ; √ √ √ = √ 3a− 3b 3a− 3b 3a+ 3b

387

8


√ √ √ 3 2 √ 3 3 2 3 √ √ 3 4 √ 3 3 4 √ 3 a − b2 a + b2 a − b4 a − b4 1 = √ 2) = = ; √ √ √ √ √ √ 3 2 3 2 3 6 2 3 2 6 3 2 2 3 2 2 3 4 √ 3 4 2 2 a · b −b · a a b− a b a b a b a − b √ √ √ √ √ √ 4 4 4 4 4 6 4 2 2 ( a3 + b3 )( a3 − b3 ) √ a − b6 √ = √ √ − ab · 3) − ab · √ √ a+b a+b a− b a− b √ √ √ √ √ √ √ √ 4 4 a a2 −b b2 −a b + b a 2 a a−b b−a b + b a 2 = = · · √ √ √ √ a+b a+b a− b √ a− b √ √ √ √ √ a( a− b)−b( a− b) ( a− b)(a−b) 2 2 = = = 2. · · √ √ √ √ a+b a+b a− b a− b

Zadatak 18.

Racionaliziraj nazivnik u razlomku: 2 1 3) ; 4) . √ 4 3 √ 3 2· 2 442 √ √ 3 3 1 1 2 2 1 1 √ = .√ √ = √ = = ; · √ 3 3 √ 3 4 3 2 2 3 3 2 2 2· 2 3 2 2 · 2 √ √ 4 √ 10 5 10 10 4 5 10 10 √ = √ = 2 4 5; = · √ √ = √ = √ 4 3 4 5 2 3 5 5 5· 5 5 · 5 5 √ √ 3 2 3 √ 2 2 2 2 22 2 2 3 . · = = = √ = 4; = √ √ √ 3 3 4 3 4 4 √ √ 3 2 2 4 3 2 2 2· 2 2 23 · 3 2 √ √ 4 4 1 1 1 1 2 2 = . = = = √ · √ √ √ √ 4 3 4 3 4 9 3 3 2 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2

1 1) √ ; 2· 32 Rjeˇsenje.

1)

2) 3)

4)

Zadatak 19.

Racionaliziraj nazivnik u razlomku: 1 1 ; 3) √ 2) √ ; √ 4 3 4 3−1 5+ 3 2 3 5) √ √ √ ; 6) √ √ . 3 1− 32+ 34 9+ 3 15+ 3 25 √ √ √ √ √ √ 4 4 1 1 4+ 43 4+ 4 3 4+ 3 √ ·√ √ 1) √ = √ · √ √ √ √ = √ 4 4 4− 3 4+ 3 2−√ 3 √4 4 − 3 √4 4 + 4 3 √ √ √ √ ( 4 4 + 4 3)( 4 + 3) = ( 2 + 4 3)(2 + 3) ; = 4−3 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 4 ( 4 5 − 4 3)( 5 + 3) 5− 43 5− 43 5+ 3 1 √ ·√ √ = 2) √ √ ·√ √ = √ 4 5−3 5− 3 5+ 3 5+ 43 45− 43 √ √ √ √ √ √ 1 √ 1 √ 4 4 4 4 = ( 5 − 3)( 5 + 3) = ( 5 − 3)( 5 + 3) ; 2 2 √ √ √ √ √ √ 3 2 3 2 3 3 1 3 + 3+1 3 + 33+1 9+ 33+1 3) √ √ √ = · = √ 3 3−1 3 − 1 3 32 + 3 3 + 1 ( 3 3)3 − 13 √ 1 √ 3 9+ 33+1 ; = 2

1) √

1

√ ; 2− 43 1 √ ; 4) √ 3 2+ 62 Rjeˇsenje.

388

10 2) √ ; 5· 5

8 √ √ √ 2 √ √ 2√ √ 3 3 262+ 62 4− 62 62+ 32 4) √ √ · √ √ √ √ √ √ = 3 2 + 6 2 3 22 − 3 2 6 2 + 6 22 ( 3 2)3 + ( 6 2)3 √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4− 2+ 32 2− 2 ( 3 4 − 2 + 3 2)(2 − 2) √ √ = = · 4−2 2+ 2 2+ 2 √ √ √ 1 √ 3 3 = ( 4 − 2 + 2)(2 − 2) ; 2 √ √ 3 2 2 3− 35 5) √ √ √ = √ 2 √ √ √ 2 · √ 3 3 3 9 + 3 15 + 3 25 3− 35 3 + 33·5+ 35 √ √ √ √ √ √ √ √ 2 · 3 3− 3 5 2 · 3 3− 3 5 = √ 3 √ 3 = = − 3 3− 3 5 = 3 5− 3 3 ; 3−5 3 3 − 35 √ √ 3 3 3 · 1 + 2 3 3 1+ 2 = 6) √ √ √ = √ 2 · √ 3 3 3 √ 3 3 1− 2+ 4 1+ 32 1− 2+ 2 13 + 3 2 √ 3· 1+ 32 √ = 1 + 3 2. = 1+2 1

Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

√ 3

2

2 −

Oploˇsje O kocke cˇiji je brid duljine a je 6a2 . Obujam V iste kocke je a3 . 1) Izrazi obujam kocke kao funkciju njezina oploˇsja. 2) Ako je zadan obujam kocke, koliko je njezino oploˇsje? O3 O3 2 6 3 3 6 2 . V = a , O = 6 a . V = 3 =⇒ V = 6 63 Kod većine ptica povrˇsina krila ovisi o njihovoj tjelesnoj masi. Pritom je 2 P(m) = 0.3m 3 gdje je m masa ptice u kg, a P povrˇsina obaju krila u m2 . Kolika je povrˇsina krila bjeloglavog supa cˇija je masa 7 kg? 2

Zadatak se rjeˇsava pomoću dˇzepnog kalkulatora. P(7) = 0.3 · 7 3 ≈ 1 m2 .

Zadatak 22.

- njima Postoji viˇse formula po kojima se raˇcuna povrˇsina ljudskog tijela, a medu 0.425 0.725 ·h , koju su joˇs davne najˇsire je prihvaćena formula P = 0.007184 · m 1916. postavili supruˇznici Du Bois u cˇasopisu Archives of Internal Medicine. U toj formuli je m tjelesna masa osobe izraˇzena u kg, h visina u cm, a rezultat za P je u m 2 . Kolika je povrˇsina tijela osobe mase 75 kg i visine 180 cm?

Rjeˇsenje.

Zadatak se rjeˇsava pomoću dˇzepnog kalkulatora. P = 0.007184 · 750.425 · 1800.725 ≈ 1.94 m2 .


Rjeˇsenje.

Dokaˇzi da sljedeće jednadˇzbe nemaju rjeˇsenja u skupu realnih brojeva: √ √ √ √ 1) 4 − x − x − 6 = 2 ; 2) 2x + 3 + x + 3 = 0 ; √ √ √ √ √ 3) x − 3 − x + 9 = x − 2 ; 4) x + x + 9 = 2 . 1) Ne postoji realan broj x za koji je istovremeno 4 − x 0 i x − 6 0 odnosno x 4 i x 6 ;

389

8


2) Zbroj dva nenegativna je nuli ako i samo ako su istodobno oba √ broja jednak √ jednaka nuli. No to 2x + 3 i x + 3 nisu ni za koji realni broj x ; 3) Iz sustava √ x 3 , x −9 i x 2 slijedi x 3 . Ali za x 3 je √ x − 3 − x + 9 < 0; 4) Kad √ bi√dana jednadˇzba imala rjeˇsenja, bio bi to broj x , x 0 . No za x 0 je x + x + 9 3 , stoga jednadˇzba nema rjeˇsenja.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

√ 1) 8 − 2 2x + 3 = 6 ; √ 3) 3 − 3x + 1 = 1 ; √ √ 5) 3x + 19 − 5x − 1 = 0 ;

√ 2) 11 − 3 x + 3 = 2 ; √ √ 4) 7x + 1 = 2 x + 4 ; √ √ 6) 4 − 9x2 = 2 − 3x .

√ 1) 8 − 2 2x + 3 = 6 √ 4 − 2x + 3 = 3 √ 2x + 3 = 1 2x + 3 = 1 2x = −2 x = −1; Provjerom potvrdujemo da je x = −1 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe. √ 2) 11 − 3 x + 3 = 2 √ 3 x+3=9 √ x+3=3 x+3=9 x = 6; Provjerom potvrdujemo da je x = 6 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe. √ 3) 3 − 3x + 1 = 1 √ 3x + 1 = 2 3x + 1 = 4 3x = 3 x = 1; Provjerom potvrdujemo da je x = 1 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe. √ √ 4) 7x + 1 = 2 x + 4 7x + 1 = 4(x + 4) 7x + 1 = 4x + 16 3x = 15 x = 5; Provjerom potvrdujemo da je x = 5 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe.

390

8 5)

√ √ 3x + 19 − 5x − 1 = 0 √ √ 3x + 19 = 5x − 1 3x + 19 = 5x − 1

2x = 20 x = 10; Provjerom potvrdujemo da je x = 10 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe. √ 6) 4 − 9x2 = 2 − 3x 4 − 9x2 = 2 − 3x (2 − 3x)(2 + 3x) − (2 − 3x) = 0 (2 − 3x)(1 + 3x) = 0 2 1 x1 = , x2 = − ; 3 3 2 1 Provjerom potvrdujemo da su x1 = i x2 = − uistinu rjeˇsenja jednadˇzbe. 3 3

Zadatak 3.

√ 3 + x − 3 = 2; √ 3) 7 − x + 1 = 2; 1)

Rjeˇsenje. 1)

√ 2 − 2x − 1 = 1 ; . √ 4) 3 − 2 + 3x + 1 = 1 . 2)

. √ 3+ x−3=2 √ 3+ x−3=4 √ x−3=1

x−3=1 x = 4; Provjerom potvrdujemo da je x = 4 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe. . √ 2) 2 − 2x − 1 = 1 √ 2 − 2x − 1 = 1 √ 2x − 1 = 1 2x − 1 = 1 x = 1; Provjerom potvrdujemo da je x = 1 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe. . √ 3) 7− x+1=2 √ 7− x+1=4 √ x+1=3 x+1=9 x = 8; Provjerom potvrdujemo da je x = 8 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe.

391

8


4)

. √ 2 + 3x + 1 = 1 . √ 3 − 2 + 3x + 1 = 1 . √ 2 + 3x + 1 = 2 √ 2 + 3x + 1 = 4 √ 3x + 1 = 2 3−

3x + 1 = 4 x = 1; Provjerom potvrdujemo da je x = 1 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe.


x−1 1) √ =4+ x+1

√ x−1 ; 2

2)

√ 1 x−1 =1− √ . x−1 x+1

√ √ x−1 x−1 x−1 ·√ =4+ 1) √ 2 x+1 x−1 √ √ x−1 x−1=4+ √ 2 √ 2 x−2=8+ x−1 √ x=9 x = 81; Provjerom potvrdujemo da je x = 81 uistinu rjeˇsenje jednadˇzbe. 2) √ √ 1 x−1 x−1 =1− √ ·√ x−1 x+1 x−1 √ √ x−1 x−1 =1− x−1 x−1 √ x−1 =1 2 x−1 √ 2( x − 1) = x − 1 √ 2 x−2=x−1 √ 2 x=x+1 4x = x2 + 2x + 1 x2 − 2x + 1 = 0 (x − 1)2 = 0 x = 1; Za x = 1 razlomak

392

√ x−1 nije definiran, pa jednadˇzba nema rjeˇsenja. x−1

8 Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

√ √ 1) 6 + x · 6 − x = x ; √ √ 3) 5x − 6 · 5x + 6 = 8 ; √ √ 5) 3x − 2 · x + 2 = x + 2 . √ √ 1) 6+x· 6−x=x 36 − x2 = x

√ √ 2) 2x + 3 · 2x − 3 = 4 ; √ √ 4) 2x + 3 · 2x − 1 = 2x ; 2)

√ √ 2x + 3 · 2x − 3 = 4 4x2 − 9 = 4 4x2 − 9 = 16

36 − x2 = x2

4x2 = 25 25 x2 = 4 5 x= ; 2

x2 = 18 √ x = 18 √ x = 3 2; 3)

√ √ 5x − 6 · 5x + 6 = 8 25x2 − 36 = 8

4)

25x2 − 36 = 64

√ √ 2x + 3 · 2x − 1 = 2x (2x + 3)(2x − 1) = 2x

2

25x = 100 x2 = 4 x = 2;

5)

√ √ 3x − 2 · x + 2 = x + 2 (3x − 2)(x + 2) = x + 2

4x2 + 4x − 3 = 4x2 4x = 3 3 x= ; 4

3x2 + 4x − 4 = x2 + 4x + 4 2x2 = 8 x2 = 4 x = 2.

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

√ √ √ √ 1) x + 1 · 5 − x = x + 3 · 4 − x ; √ √ √ √ 2) 3x − 1 · 4x + 3 = 2x + 3 · 6x − 5 ; √ √ √ √ 3) x + 1 · x + 3 = x + 2 · x + 4 . √ √ √ √ 1) x+1· 5−x= x+3· 4−x (x + 1)(5 − x) = (x + 3)(4 − x) −x2 + 4x + 5 = −x2 + x + 12 3x = 7 7 x= ; 3√ √ √ √ 2) 3x − 1 · 4x + 3 = 2x + 3 · 6x − 5 (3x − 1)(4x + 3) = (2x + 3)(6x − 5) 12x2 + 5x − 3 = 12x2 + 8x − 15 −3x = −12 x = 4;

393

8


3)

√ √ √ √ x+1· x+3= x+2· x+4 (x + 1)(x + 3) = (x + 2)(x + 4) x2 + 4x + 3 = x2 + 6x + 8 2x = −5 5 x=− ; 2

Uvrˇstavanjem se vidi da x = −


5 nije rjeˇsenje. Jednadˇzba nema rjeˇsenja. 2

√ 1) 2x + 5 = x + 1 ; √ 3) x − 2 = 4 + 2x − x2 ; √ 2x + 5 = x + 1 1)

√ 2) 2 x + 5 = x + 2 ; √ 4) 2x2 − 3x + 1 = x + 1 .

2x + 5 = x2 + 2x + 1 x2 − 4 = 0 (x − 2)(x + 2) = 0 x = ±2; Za x = −2 izraz pod korjenom je negativan, pa x = −2 nije rjeˇsenje. x = 2 jest rjeˇsenje jednadˇzbe; √ 2) 2 x+5=x+2 4x + 20 = x2 + 4x + 4 x2 = 16 x = ±4; Uvrˇstavanjem dobijemo da je rjeˇsenje x = 4 ; 3) x − 2 = 4 + 2x − x2 x2 − 4x + 4 = 4 + 2x − x2 2x2 − 6x = 0 2x(x − 3) = 0; Za x = 0 lijeva strana jednadˇzbe je negativna, a desna pozitivna, pa x = 0 nije rjeˇsenje jednadˇzbe. x = 3 jest rjeˇsenje; 4) 2x2 − 3x + 1 = x + 1 2x2 − 3x + 1 = x2 + 2x + 1 x2 − 5x = 0 x(x − 5) = 0 Rjeˇsenje je x = 0 ili x = 5 , sˇ to se provjeri uvrˇstavanjem.

Zadatak 8.

394

√ √ 1) x + 5 + 5 − x = 4 ; √ √ 3) x − 4 + 3 − x = 1 ; √ √ 5) 2x − 1 + 2x − 6 = 5 ;

√ √ 2) 3x + 1 + 16 − 3x = 5 ; √ √ 4) x + 5 − x − 3 = 2 ; √ √ √ 6) x + 1 + 2x = 3x + 1 .

8 Rjeˇsenje. 1)

√ √ x+5+ 5−x=4 25 − x2 = 16

x2 = 9; Rjeˇsenja jednadˇzbe su x = −3 i x = 3 ; √ √ 2) 3x + 1 + 16 − 3x = 5 √ √ 5 − 3x + 1 = 16 − 3x √ 25 − 10 3x + 1 + 3x + 1 = 16 − 3x √ 6x + 10 = 10 3x + 1 √ 3x + 5 = 5 3x + 1 9x2 + 30x + 25 = 75x + 25 9x2 − 45x = 0 9x(x − 5) = 0 x = 0 i x = 5 su rjeˇsenja zadane jednadˇzbe.

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

√ √ √ √ 1) 6x + 1 + 4x + 2 = 8x + 2x + 3 ; √ √ √ √ 2) 3x + 2 − 2x = 2x + 3 − 3x − 1 ; √ √ √ √ 3) 3x − 1 − x + 1 = 2x + 1 − 2x − 1 . √ √ √ √ 6x + 1 + 4x + 2 = 8x + 2x + 3 √ √ √ √ 10x + 3 + 2 6x + 1 4x + 2 = 10x + 2 8x 2x + 3 + 3 √ √ √ √ 6x + 1 4x + 2 = 8x 2x + 3

1)

24x2 + 16x + 2 = 16x2 + 24x 8x2 − 8x + 2 = 0 4x2 − 4x + 1 = 0 (2x − 1)2 = 0 1 x= ; 2 √ √ √ √ 3x + 2 − 2x = 2x + 3 − 3x − 1 √ √ 3x + 2 − 2 (3x + 2)2x + 2x = 2x + 3 − 2 2x + 3 3x − 1 + 3x − 1 √ √ (3x + 2)2x = 2x + 3 3x − 1

2)

6x2 + 4x = 6x2 + 7x − 3 3x = 3 x = 1;

395

8


√ √ √ √ 3x − 1 − x + 1 = 2x + 1 − 2x − 1 √ √ √ √ 3x − 1 − 2 3x − 1 x + 1 + x + 1 = 2x + 1 − 2 2x + 1 2x − 1 + 2x − 1 √ √ √ √ 3x − 1 x + 1 = 2x + 1 2x − 1

3)

3x2 − 2x − 1 = 4x2 − 1 x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 Moguća rjeˇsenja su x = 0 i x = 2 . Uvrˇstavanjem dobijemo da je jedino rjeˇsenje x = 2 .

396






Koliko kruˇznica prolazi jednom toˇckom ravnine? A kroz dvije toˇcke? S koliko toˇcaka je jednoznaˇcno odredena kruˇznica? Beskonaˇcno mnogo. Beskonaˇcno mnogo. Kruˇznica je jednoznaˇcno odredena s tri toˇcke. Je li kruˇznica osnosimetriˇcan skup toˇcaka? A je li centralno simetriˇcan? Da. Da. Promjer tramvajskog kotaˇca je 70 cm. Koliko se puta taj kotaˇc okrene na putu od 1 km? 1000 1 km = 1000 m = k · 2rπ =⇒ k = = 455 puta. 0.7π Ako je promjer kotaˇca bicikla 80 cm, koliki put biciklist prevali uz 500 punih okretaja kotaˇca? 500 · 2rπ = 500 · 0.8π = 1257 m. Polumjeri dvaju krugova u omjeru su 1 : 2 . U kojem su omjeru opsezi, a u kojem povrˇsine ovih krugova? o1 : o2 = r1 : r2 = 1 : 2 ; P1 : P2 = r12 : r22 = 1 : 4 .

Zadatak 6.

Ako utrostruˇcimo polumjer kruga, koliko mu se puta poveća opseg, a koliko puta povrˇsina?

Rjeˇsenje.

r = 3r =⇒ o = 2r π = 2 · 3 · rπ = 3 · 2rπ = 3o, P = r2 π = 9r2 π = 9P . Opseg kruga se utrostruˇci, a povrˇsina se poveća devet puta.

Zadatak 7.

Polumjer jednog kruga pet puta je manji od polumjera drugog. Usporedi opsege i povrˇsine ovih krugova. ⎧ 1 1 1 ⎪ ⎨ o = 2r π = 2 · · rπ = · 2rπ = o, 1 5 5 5 r = r =⇒ ⎪ 5 ⎩ P = r2 π = 1 r2 π = 1 P. 25 25 Opseg prvog kruga manji je pet puta od opsega drugog, a povrˇsina prvog manja je 25 puta od povrˇsine drugog.

Rjeˇsenje.



Ako je opseg kruga 22π cm, kolika je njegova povrˇsina? o = 2rπ =⇒ r =

o 22π = = 11 , P = r2 π = 121π cm2 . 2π 2π

Ako je povrˇsina kruga 56.25π cm2 , koliki je njegov opseg? P = 56.25π cm2 =⇒ r2 = 56.25 , r = 7.5 cm, o = 2 · 7.5π = 15π cm.

Zadatak 10.

Mala pizza promjera 30 cm stoji 30 kn, a velika promjera 40 cm stoji 50 kn. Jesu li ove dvije cijene ravnopravne?

Zadatak 11.

Ako za pizzu promjera 36 cm treba 20 dag tijesta, koliko tijesta treba za pizzu promjera 32 cm?

397

9


Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Ako se opseg kruga umanji za 75%, za koji mu se postotak umanji povrˇsina? Ako se povrˇsina kruga umanji za 75 %, za koliko mu se umanji opseg?

Rjeˇsenje.

Ako se opseg kruga umanji za 75%, povrˇsina mu se umanji za 93.75%. Ako se povrˇsina kruga umanji za 75%, opseg mu se umanji za 50%.

Zadatak 13.

Kotaˇc zamaˇsnjak polumjera 0.8 m okrene se u minuti 105 puta. Koliki put prevali neka toˇcka na rubu zamaˇsnjaka tijekom jednog sata?

Rjeˇsenje.

Opseg kotaˇca je 2rπ = 1.6π m. Toˇcka na njegovu rubu u jednom satu prevali put koji iznosi 60 · 105 · 1.6π = 10 080π m ≈ 32 km .

Zadatak 14.

Presjek dvaju sukladnih krugova ima povrˇsinu 96π cm2 , a istu ukupnu povrsˇ inu imaju i dijelovi tih krugova koji su izvan presjeka. Koliki je polumjer svakog od ovih dvaju krugova?

Rjeˇsenje.

Povrˇsina kruge jednaka je 96π +

96π = 144π . Odatle slijedi r = 12 cm . 2

Zadatak 15.

- dvama koncentriˇcnim kruKolika je povrˇsina kruˇznog prstena koji je omeden govima opsega 9π i 3π dm?

Rjeˇsenje.

Iz o1 = 9π i o2 = 3π dobijemo r1 = 4.5 dm, r2 = 1.5 dm. Tada je P = P1 − P2 = (r12 − r22 )π = 18π dm2 .

Zadatak 16.

Povrˇsina kruˇznog prstena je 160π cm2 . Ako je opseg manjeg kruga 6π cm, koliki je opseg većeg?

Rjeˇsenje.

398

Iz (182 π ) : 20 = (162 π ) : x slijedi x = 15.8 dag.

P = 160π cm2 o1 = 6π cm o2 =? o = 3 cm r1 = 2π P = P2 − P1 160π cm2 = r22 π − 9π cm r22 = 169 cm2 r2 = 13 cm o2 = 2r2 π = 26π cm

Zadatak 17.

Povrˇsina kruga sa srediˇstem u toˇcki S je 10π cm2 . Koliki je polumjer kruˇznice kojoj je S srediˇste, a koja dani krug dijeli na dva dijela s omjerom povrˇsina 2 : 3?

Rjeˇsenje.

Kruˇznica dijeli krug povrˇsine Pk = 10π cm2 na manji krug povrˇsine P i kruˇzni isjeˇcak povrˇsine Pk − P . Imamo dva sluˇcaja: √ 3 1) (Pk − P) : P = 2 : 3, P = Pk = 6π cm2 , r2 = 6 cm2 , r = 6 cm; 5 2 2) P : (Pk − P) = 2 : 3, P = Pk = 4π cm2 , r2 = 4 cm2 , r = 2 cm. 5 √ Zadatak ima dva rjeˇsenja; u prvom je r = 6 cm, u drugom r = 2 cm.


Dan je krug sa srediˇstem S i polumjerom r . Podijeli taj krug dvjema koncentriˇcnim kruˇznicama sa srediˇstem u S na tri dijela jednakih povrˇsina. Neka je povrˇsina manjeg kruga P1 , a većeg P2 , imamo: √ √ 3 6 1 1 2 2 2 2 2 2 r; P2 = P, r2 = r , r2 = r. P1 = P, r1 = r , r1 = 3 3 3 3 3 3

Zadatak 19.

Konstruiraj krug cˇija je povrˇsina jednaka zbroju povrˇsina dvaju zadanih krugova.

Rjeˇsenje.

Ako su r1 i r2 polumjeri dvaju zadanih krugova, onda je r12 π + r22 π = r2 π , gdje je s r oznaˇcen polumjer kruga koji valja konstruirati. Dakle, r2 = r12 + r22 , pa je r hipotenuza pravokutnog trokuta kojem su r1 i r2 katete.

Zadatak 20.

Nacrtaj neka dva kruga pa potom konstruiraj treći kojem je povrˇsina jednaka razlici njihovih povrˇsina.

Rjeˇsenje.

Ako su r1 i r2 polumjeri dvaju zadanih krugova r1 > r2 , onda je r2 π = r12 π − r22 π , gdje je s r oznaˇcen polumjer kruga koji valja konstruirati. Dakle, r2 = r12 − r22 , pa je r kateta pravokutnog trokuta kojem je r1 hipotenuza i r2 kateta.

Zadatak 21.

Kvadratu je upisan i opisan krug. Koliki je omjer povrˇsina tih dvaju krugova? √ a 2 a , pa je Polumjer kvadratu upisanog kruga je , a polumjer opisanog 2 2 2 a a2 povrˇsina kvadratu upisanog kruga jednaka π , a povrˇsina opisanog π. 4 2 Omjer tih povrˇsina jednak je 1 : 2 .

Rjeˇsenje.



Zadatak 24.

U krug je upisan i istom je krugu opisan jednakostraniˇcni trokut. Dokaˇzi da je povrˇsina opisanog trokuta cˇetiri puta veća od povrˇsine upisanog. Za trokut upisan u krug vrijedi: √ √ a1 3 , a1 = r 3; r= 3 Za trokut opisan krugu vrijedi: √ √ a2 3 , a2 = 2r 3 r= 6 Sada imamo P1 : P2 = a21 : a22 = 3 : 12 = 1 : 4. Jednakostraniˇcnom trokutu upisan je i opisan krug. Dokaˇzi da je povrˇsina opisanog kruga cˇetiri puta veća od povrˇsine upisanog. P1 – povrˇsina upisanog, P2 – povrˇsina opisanog kruga. √ 2 √ 2 a 3 a 3 2 2 P1 : P2 = r1 : r2 = : =1:4 6 3 Jednakokraˇcnom pravokutnom trokutu upisan je krug povrˇsine 8π cm2 . Kolika je povrˇsina kruga opisanog ovom trokutu?

399

9


Rjeˇsenje.

Iz povrˇsine kruga dobijemo polumjer upisane kruˇznice r : √ P1 = 8π cm2 , r2 = 8 cm2 , r = 2 2 cm. 1 1 Izjednaˇcavanjem formula za povrˇsinu trokuta P = (a+b+c)r i P = a2 2 2 imamo: 1 2 1 a = (a + b + c)r, 2 2 √ a2 = (2a + a 2)r, √ a = (2 + 2)r, √ √ a = (2 + 2)2 2, √ a = 4(1 + 2). Slijedi: √ √ √ a 2 c = 2 2(1 + 2). R= = 2 2 Povrˇsina opisane kruˇznice je: √ P2 = R2 π = 8(3 + 2 2)π .

Zadatak 25.

U krug je upisan kvadrat, a krugu je opisan jednakostraniˇcni trokut. Koliki je omjer povrˇsina trokuta i kvadrata?

Rjeˇsenje.

Neka je a stranica, d dijagonala, a P povrˇsina upisanog kvadrata, imamo: √ √ √ d = 2r, d = a 2, a 2 = 2r, a = r 2, P = a2 = 2r2 . Za trokut imamo:

√ a 3 , r= 6

P


400

6r a = √ , 3 2√ 36r √ 3 √ a2 3 = 3 = 3 3r2 ; = 4 4 √ P : P = 3 3 : 2.

Ako su a = 12 cm i b = 16 cm duljine kateta pravokutnog trokuta, koliki je opseg ovom trokutu upisane, a koliki opisane kruˇznice? c Najprije, c = 20 cm, te je polumjer opisane kruˇznice jednak = 10 2 cm. Opseg opisane kruˇznice iznosi 20π cm. Iz c = a + b − 2r slijedi a+b−c = 4 cm, te je opseg upisane kruˇznice 8π cm. r= 2

Zadatak 27.

Duljina stranice pravokutnika je 6 cm, a dijagonale pravokutnika sijeku se pod kutom od 60◦ . Koliki je opseg kruˇznice opisane ovom pravokutniku?

Rjeˇsenje.

Ako je dulja √ stranica 6 cm, onda je polumjer√kruˇznice opisane pravokutniku jednak 2 3 cm, a opseg kruˇznice iznosi 4 3π cm. Ako je duljina kraće stranice 6 cm, onda je i polumjer opisane kruˇznice 6 cm, te je njezin opseg 12π cm.

9 Zadatak 28.

Kruˇznica dira stranice AB , CD i AD pravokutnika ABCD te prolazi sjeciˇstem njegovih dijagonala. Ako je polumjer kruˇznice jednak 4 cm, kolika je povrˇsina pravokutnika?

Rjeˇsenje.

|AD| = 2r, |AB| = 4r,

P = 8r2 = 128 cm2 .

Zadatak 29.

Koliki je polumjer kruˇznice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm?

Rjeˇsenje.

Uoˇcimo pravokutni trokut SCE (vidi sliku). Primijenimo Pitagorin pouˇcak: (12 − r)2 + 36 = r2 . Odatle se dobije r = 7.5 cm.

Zadatak 30.

Povrˇsina kruˇznog prstena je 12.5π cm2 . Kolika je duljina tetive većeg kruga ako ta tetiva dira manju kruˇznicu? t 2 P Iz pravokutnog trokuta SBD (slika) slijedi = r12 − r22 = = 12.5 , 2 π √ pa je t2 = 50 , t = 5 2 cm.

Rjeˇsenje.

- prsten nisu jednoznaˇcno Valja primijetiti da polumjeri kruˇznica koje omeduju odredeni, a ipak je duljina tetive potpuno odredena.

Zadatak 31.

Ako je |AB| = 2r , |AC| = 2m , kolika je povrˇsina osjenˇcanog dijela kruga na slici dolje lijevo?

401

9


Rjeˇsenje.

Zadatak 32.

Oznaˇcimo traˇzenu povrˇsinu s P , povrˇsinu kruga promjera |AB| s P1 , povrˇsinu kruga promjera |CB| = 2r − 2m s P2 , a povrˇsinu kruga promjera |AC| s P3 , imamo: 1 1 1 1 2 r − (r − m)2 + m2 π P = P1 − P2 + P3 = 2 2 2 2 1 2 r − r2 + 2rm − m2 + m2 π = rmπ . = 2 Koji dio povrˇsine kruga cˇ ini osjenˇcani lik na slici gore desno?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo li traˇzenu povrˇsinu s P , povrˇsinu kruga promjera 2r s P1 , a povrˇsinu kruga promjera r s P2 , imamo: 1 1 1 1 1 P1 − P2 + P2 = P1 = r2 π cm2 . P=2· 4 2 2 2 2

Zadatak 33.

Nad hipotenuzom i nad katetama pravokutnog trokuta ABC konstruirane su polukruˇznice, te su na taj naˇcin dobivene dvije lunule povrˇsina P1 i P2 (slika). Dokaˇzi: P1 + P2 = PABC .

Rjeˇsenje.

Traˇzenu povrˇsinu dobijemo tako da zbrojimo povrˇsine polukrugova nad AB i BC i povrˇsinu trokuta ABC i od tog zbroja oduzmemo polovinu povrˇsine trokutu opisanog kruga. b 2 c 2 a 2 π π π ab ab P1 + P2 = 2 + 2 + − 2 = = P(ABC) . 2 2 2 2 2

Zadatak 34.

Promjer MN kruga podijeljen je toˇckama A , B , C i D na pet sukladnih dijelova i nad tim dijelovima konstruirane su polukruˇznice kao na slici. Dokaˇzi da je na ovaj naˇcin krug podijeljen na pet dijelova jednakih povrˇsina. Dokaˇzi da je opseg svakog dijela jednak opsegu kruga.

M

402

A

B

C

D

N

9 Rjeˇsenje.

Ne umanjujući općenitost uzet cémo |MN| = 10a . Neka je P povrˇsina kruga. P1 je jednaka razlici zbroja povrˇsina polukrugova nad MA i MN i povrˇsine polukruga nad AN : 1 2 1 1 1 1 a π + · 25a2 π − · 16a2 π = 5a2 π = · (5a)2 π = P. 2 2 2 5 5 1 Dakle P1 = P5 = P . 5 P2 je jednaka razlici zbroja povrˇsina polukrugova nad MB i MN i zbroja povrˇsine P1 i povrˇsine polukruga nad BN : 1 1 1 1 (2a)2 π + (5a)2 π − · (5a)2 π − (3a)2 π 2 2 5 2 25 2 1 9 20 2 1 2 a π − · (5a)2 π = 2a π + a π − · (5a)2 π − a2 π = 2 5 2 2 5 10 1 2 1 1 1 (5a)2 π − · (5a)2 π = (5a)2 π − · (5a)2 π = · (5a)2 π = P. = 25 5 5 5 5 5 1 Dakle, P2 = P4 = P . No onda je i 5 1 4 P3 = P − P = P. 5 5 Sliˇcno se vidi i za opsege: P1 =

1 (2a + 2 · (5a) + 2 · (4a)) π = 10aπ = 2 · 5aπ = O; 2 1 o2 = o4 = (2 · (2a) + 2 · (5a) + 2 · (3a)) π = 10aπ = 2 · 5aπ = O; 2 1 o5 = · 2 (2 · (2a) + 2 · (3a)) π = 10aπ = 2 · 5aπ = O. 2

o1 = o5 =

Zadatak 35.

Dane su dvije kruˇznice jednakog polumjera a , od kojih jedna prolazi srediˇstem druge. Ako su toˇcke S1 i S2 srediˇsta tih kruˇznica, a A i B toˇcke u kojima se kruˇznice sijeku, kolika je povrˇsina kruga upisanog cˇ etverokutu ABCD ?

Rjeˇsenje.

403

9


Toˇcke A i B nalaze se na kruˇznicama k1 i k2 , iz cˇega slijedi: |S1 A| = |S1 B| = - toˇcka S2 se nalazi na kruˇznici k1 pa je |S1 S2 | = a . |S2 A| = |S2 B| = a . Takoder Dobiveni cˇetverokut je romb duljina stranica i jedne dijagonale a (slika). Neka je sjeciˇste dijagonala romba toˇcka C . Promatrajmo pravokutni trokut S1 BC . Visina iz C je ujedno polumjer traˇzene kruˇznice. Pomoću formule za povrˇsinu trokuta imamo: √ √ a a 3 a 3 a·r = · , r= ; 2 2 4 te je traˇzena povrˇsina: √ 2 a 3 3π 2 P= a . π= 4 16

Zadatak 36.

Rjeˇsenje.

Zadatak 37.

Dvije kruˇznice jednakog polumjera r diraju se izvana i obje diraju treću kruzˇ nicu polumjera 8 cm u toˇckama A i B . Ako je |AB| = 12 cm, koliki je r? r+8 2r Iz sliˇcnosti trokuta SS1 S2 i SAB slijedi = . Odatle je r = 24 12 8 cm.

Odredi duljinu nacrtane krivulje ako je |AB| = 4 cm . 1) A

B

A

B

2)

Rjeˇsenje.

404

3 5 1 1 1 7 + + + |AB|π = · 8 cm . π = 7π cm . 2 8 16 16 4 8 5 3 2 9 1 1 + + + 2) d = 2 · |AB|π = · 8 cm . π = 9π cm . 2 2 16 16 16 8

1) d = 2 ·


Zadatak 2.

Rjeˇsenje.







Luku duljine 3.5π cm pripada srediˇsnji kut od 225◦ . Kolika je duljina cijele kruˇznice? l · 180◦ 3.5π cm · 180◦ r= = = 2.8 cm , o = 2 · 2.8 cm · π = 5.6π cm. πα π · 225◦ Povrˇsina kruga je 72 cm2 . Kolika je povrˇsina isjeˇcka ovog kruga ako tom isjeˇcku pripada srediˇsnji kut α = 72◦ ? 72 cm2 · π · 72◦ 2 πα 72 r π 2 2 cm , Pi = = = 14.4 cm2 . r = π 360◦ 360◦ Koliki je srediˇsnji kut kruˇznog isjeˇcka cˇ ija povrˇsina cˇ ini 16 % povrˇsine kruga? 16 2 r2 πα , r π= 100 360◦

α=

16 · 360◦ = 57.6◦ = 57◦ 36 . 100

Kruˇznom luku duljine 4.8π cm pripada srediˇsnji kut od 36◦ . Kolika je povrsˇ ina odgovarajućeg kruˇznog isjeˇcka? 180◦ · l 180◦ · 4.8π cm = = 24 cm ; π·α 36◦ · π 24 cm · 4.8π cm rl Pi = = = 57.6π cm2 . 2 2

r=

Povrˇsina kruˇznog isjeˇcka je 16.8π cm2 , a pripadni srediˇsnji kut iznosi 42◦ . Kolika je duljina kruˇznog luka ovog isjeˇcka? 16.8π cm2 · 360◦ = 144 cm2 , r = 12 cm π · 42◦ 2 · 16.8π cm2 = 2.8π cm ≈ 8.8 cm . l= 12 cm r2 =

Povrˇsina kruga je 25π cm2 . Kolika je duljina luka na rubu ovog kruga ako tom luku pripada srediˇsnji kut od 72◦ ? r2 = 25 cm2 , r = 5 cm ;

l=

rπα 5 cm · π · 72◦ = = 2π cm . 180◦ 180◦

Opseg kruga je 20π cm. Kolika je povrˇsina kruˇznog isjeˇcka ovog kruga ako tom isjeˇcku pripada srediˇsnji kut od 216◦ ? o 20π cm = = 10 cm, 2π 2π r2 πα 100 cm2 · π · 216◦ = = 60π cm2 . Pi = 360◦ 360◦ o = 20π cm, r =

Povrˇsina kruˇznog isjeˇcka iznosi 3.2π cm2 , duljina pripadnog kruˇznog luka je 0.8π cm. Koliki je srediˇsnji kut isjeˇcka? r=

2 · 3.2π cm2 2 · Pi = = 8 cm , l 0.8 cm

405

9


α=

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.





180◦ · l 180◦ · 0.8π cm = = 18◦ . rπ 8 cm · π

Dva kruˇzna luka razliˇcitih kruˇznica imaju jednake duljine. Ako prvom pripada srediˇsnji kut od 60◦ , a drugom od 45◦ , koliki je omjer povrˇsina dvaju odgovarajućih krugova? l · 180◦ l · 180◦ : = 45 : 60 = 3 : 4 , π · 60◦ π · 45◦ P1 : P2 = r12 : r22 = 9 : 16 .

l1 = l2 = l ;

r1 : r2 =

Duljina kruˇznog luka kruˇznice polumjera 8 cm je 6 cm. Kolika je povrˇsina kruˇznog isjeˇcka odredenog ovim lukom? Iz P =

r·l nalazimo P = 24 cm2 . 2

Ako je povrˇsina kruˇznog isjeˇcka kruga s polumjerom 12 cm jednaka 18 cm2 , kolika je duljina kruˇznog luka koji odgovara tom isjeˇcku? l=

2p 2 · 18 cm2 = = 3 cm. r 12 cm

Ako je povrˇsina kruˇznog isjeˇcka 16.5 cm2 , a duljina pripadnog kruˇznog luka 11 cm, koliki je polumjer kruga? 2P 2 · 16.5 cm2 = = 3 cm. l 11 cm √ √ √ Tri kruˇznice, polumjera 3 + 1 , 3−1 i 3− 3 , medusobno se diraju izvana. Kolika je povrˇsina zakrivljenog trokuta omedenog lukovima ovih triju kruˇznica? r=

Promatrajmo trokut S1 S2 S3 . Stranice trokuta su: √ a = r1 + r2 = 2 3, b = r2 + r3 = 2, c = r1 + r3 = 4; c2 = a 2 + b 2 . Dakle, srediˇ √ sta triju kruˇznica odreduju pravokutni trokut s katetama duljina 2 cm i 2 3 cm te hipotenuzom duljine 4 cm. Nadopunom pravokutnog trokuta do jednakostraniˇcnog zakljuˇcujemo da su sˇ iljasti kutovi 30◦ , 60◦ . Povrˇsina opisanog lika jednaka je √ √ √ √ ◦ 2 ◦ 2 ◦ 2 30 ( 3 + 1) + 60 ( 3 − 3) + 90 ( 3 − 1) π cm2 2·2 3 2 cm − P= 2 360◦ √ √ √ 30(4 + 2 3) + 60(12 − 6 3) + 90(4 − 2 3) π √ cm2 = 2 3 cm2 − 360 √ √ 1200 − 480 3 π √ √ 10 − 4 3 2 2 cm = 2 3 − = 2 3 cm − π cm2 . 360 3

406

9

Zadatak 14.

Kolika je povrˇsina kruˇznog odsjeˇcka kruga cˇ iji je polumjer jednak 20 cm, a odsjeˇcku pripada srediˇsnji kut od 45◦ ?

Rjeˇsenje.

Neka je v visina iz A i neka je noˇziˇste visine toˇcka C . Trokut ACS je pravokutan. Kut pri vrhu S jednak je 45◦ , pa je i kut pri vrhu A trokuta ACS 45◦ iz cˇ ega slijedi da je trokut jednakokraˇcan pa pomoću Pitagorinog pouˇcka imamo: √ v2 + v2 = 202 , 2v2 = 400, v = 10 2.

Povrˇsina odsjeˇcka jednaka je razlici povrˇsine isjeˇcka i povrˇsine trokuta ABS : √ √ 400 cm2 · π · 45◦ 1 Po = Pi −P = − (20·10 2) cm2 = (50π −100 2) cm2 ≈ 15.66 cm2 . ◦ 360 2

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Dan je kvadrat sa stranicom duljine a te su konstruirani lukovi sa srediˇstima u a vrhovima kvadrata i polumjerom . U dio ravnine (unutar kvadrata) omedene 2 tim lukovima upisana je kruˇznica. Koliki je njezin polumjer?

2r = d − 2 ·

√ √ a = a 2 − a = a( 2 − 1) , 2

r=

a √ ( 2 − 1) . 2

407

9


Zadatak 16.

Oko vrhova na hipotenuzi jednakokraˇcnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kruˇznice koje se medusobno diraju. Oko vrha pravog kuta opisana je kruˇznica koja dira prve dvije izvana. Koliki su opseg i povrˇsina krivocrtnog √ - ovih triju kruˇznica ako je duljina hipotenuze trokuta 2 2 dm? trokuta izmedu

Rjeˇsenje.

Trokut je jednakokraˇcan i pravokutan pa imamo: α = β = 45◦ , γ = 90◦ , c a = √ = 2 dm . 2 Oznaˇcimo kruˇznice iz vrhova hipotenuze s k1 i k2 , a treću kruˇznicu sa k3 . Duljina polumjera kruˇznica k1 i k2 jednaka je polovici dulljine hipotenuze, tj. √ r1 = r2 = 2 dm. Duljina r3 jednaka je razlici a − r1 : r3 = 2 −

√ 2 dm.

Sada imamo:

√ √ r1 πα 2 dm · π · 45◦ π 2 l1 = l2 = = = dm; ◦ 180◦ 4 √ √ 180 π (2 − 2) r3 πγ (2 − 2) dm · π · 90◦ dm; l3 = = = 180◦ 180◦ 2 √ √ π 2 π (2 − 2) dm + dm = π dm; o = l1 + l2 + l3 = 2l1 + l3 = 2 · 4 2 √ r1 l1 r3 l3 π π (2 − 2)2 a2 2 2 P = P − 2P1 − P3 = −2· − = 2 dm − dm − dm2 2 2 2 2 4 √ √ 3π π π (6 − 4 2) π 2 2 = 2 dm − dm − dm2 = 2 dm2 − dm2 − dm2 + π 2 dm2 2√ 4 2 2 2 = 2 − (2 − 2)π dm .

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

408

Oko svakog vrha jednakostraniˇcnog trokuta opisan je luk s polumjerom koji je jednak duljini stranice trokuta (vidi sliku). Kolika je povrˇsina lika omedenog tim trima lukovima ako je duljina stranice trokuta jednaka a ?

P = 3Pi − 2P = 3 ·

√ √ a2 π · 60◦ a2 3 1 − 2 = (π − 3)a2 . ◦ 360 4 2

9 Zadatak 18.

Rjeˇsenje.

Oko vrhova B i D kvadrata ABCD , cˇ ija je stranica duga a , opisani su lukovi s polumjerom duljine a (vidi sliku). Kolika je povrˇsina lika omedenog tim dvama lukovima?

Neka je P povrˇsina kvadrata. Traˇzena povrˇsina jednaka je P = 2Pi − P = 2 ·

Zadatak 19.

π−2 2 a2 · π · 90◦ a2 · π − a2 = a . − a2 = ◦ 360 2 2

Izraˇcunaj povrˇsinu cvijeta na slici. Duljina stranice kvadrata je 2 cm.

Neka je P povrˇsina kvadrata, a Pi povrˇsina polukruga. Traˇzena povrˇsina jednaka je razlici zbroja povrˇsina polukrugova i povrˇsine kvadrata: a 2 a 2 π P = 4Pi − P = 4 · 2 π − a2 = 2π cm2 − 4 cm2 ≈ 2.283 cm2 − a2 = 2 2 2

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

Oko vrhova A i B kvadrata ABCD s duljinom stranice a opisani su lukovi polumjera a . Kolika je povrˇsina osjenˇcanog dijela kvadrata?

Rjeˇsenje.

Neka je toˇcka E sjeciˇste lukova. E se nalazi na kruˇznici iz A polumjera a i na kruˇznici iz B polumjera a , pa je |AE| = |BE| = |AB| = a , tj. trokut ABE je jednakostraniˇcan. Sada moˇzemo izraˇcunati povrˇsinu P zakrivljenog trokuta ABE : √ √ √ a2 π a2 3 π 3 a2 π · 60◦ a2 3 = − = − a2 . − P =2· 360◦ 4 3 4 3 4

409

9


Traˇzena povrˇsina je √ ◦ π · 90 π 3 a2 − + P = 2 · (Pi − P ) = 2 · 360◦ 3 4 √ √ π π 3 3 π 2 − + a = − a2 . =2· 4 3 4 2 6

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

Dokaˇzi da svaki od cˇetiriju dijelova na koje je podijeljen krug imaju jednaku povrˇsinu.

Neka je P povrˇsina kruga, a ostale povrˇsine oznaˇcimo kao na slici.

r 2

1 2 1 r π = P; 2 4 4 1 1 1 1 P2 = P3 = P1 + P − P1 = P; 2 4 2 4 1 1 1 1 1 P4 = P − 2 · P1 = P − P = P. 2 2 2 4 4

P1 =

Zadatak 22.

π=

Kolika je povrˇsina jajeta ako je |AB| = 3 cm ?

A

410

B

9 Rjeˇsenje.

2 3 3√ 2 1 9π · 45◦ 1 9 1 · · + (3 − π+2· 2) π ◦ − 2 2 360 2 2 4 2 √ 9 9 9 9 1 27 9 27 9√ = π + π − + (9 + − 9 2)π = π− + π− 2π 8 4 4 4 2 8 4 8 4 √ 27 9 9√ 9 (3 − 2)π − 1 . = π− − 2π = 4 4 4 4

P=

Zadatak 23.

Ako je duljina stranice kvadrata jednaka a , kolika je povrˇsina osjenˇcanog dijela kvadrata na slici?

Rjeˇsenje.

Od povrˇsine cˇ etvrtine kruga s polumjerom a oduzmemo povrˇsinu polovine a kruga s polumjerom , te neosjenˇcani dio malog kvadrata. 2 a 2 1 a 2 1 2 1 a 2 P= a π− π−2 − π 4 2 2 2 4 2 2 2 1 a a2 1 a a2 1 = a2 π − a2 π − 2 − π = a2 π − + π 4 8 4 16 8 2 8 2 1 π 1 a = − 1 a2 . = a2 π − 4 2 2 2

Zadatak 24.

Dokaˇzi da je povrˇsina osjenˇcanog dijela kvadrata ABCD jednaka povrˇsini kvadrata EFGH (vidi sliku).

411

9


Rjeˇsenje.

Tvrdnju moˇzemo lako provjeriti, bez ikakva raˇcunanja, samo usporedivanjem i razmjeˇstanjem pojedinih dijelova kvadrata. Naime povrˇsine kruˇznih odsjeˇcaka iznad HE , EF , FG i GH su jednake.

Zadatak 25.

Kut pri vrhu C jednakokraˇcnog trokuta ABC je 36◦ , a duljina osnovice AB trokuta iznosi 6 cm. Nad duˇzinom AB kao promjerom konstruirana je polukruˇznica koju krakovi AC i BC trokuta dijele na tri luka. Kolike su duljine tih lukova?

Rjeˇsenje.

Trokuti ASD , BSE i ABC su sliˇcni. Kutovi pri vrhovima C i S su jednaki 36◦ , pa imamo 3 cm · π · 36◦ 3 = π cm ◦ 180 5 3 9 l2 = 3 · π cm − 2 · π cm = π cm 5 5

l1 = l3 =

Zadatak 26.

Rjeˇsenje.

412

√ Dvije kruˇznice, polumjera 2 dm i 2 dm se sijeku, a sjeciˇsta su krajevi tetive koja je dugaˇcka 2 dm. Kolika je povrˇsina dijela ravnine omedenog ovim dvjema kruˇznicama? Neka je S1 srediˇste kruˇznice polumjera 2 dm, a S2 srediˇste kruˇznice polumjera √ 2 dm. Krajeve tetive oznaˇcimo s A i B . Trokut S1 AB je jednakostraniˇcan duljine stranice 2 dm, pa je kut pri vrhu S1 jednak 60◦ . √ √ Trokut S2 AB je jednakokraˇcni pravokutni (22 = ( 2)2 + ( 2)2 ) , pa je kut pri vrhu S2 jednak 90◦ .

9

Prvo izraˇcunajmo povrˇsinu presjeka dviju kruˇznica: P = PS1 AB − PS1 AB + PS2 AB − S2 AB √ 4 dm2 · π · 60◦ 4 3 2 dm2 · π · 90◦ 2 = − + − 1 dm2 dm 360◦ 4 360◦ √ √ 2 1 7 = π − 3 + π − 1 dm2 = π − 3 − 1 dm2 3 2 6 √ √ 7 29π + 1 + 3 dm2 . P = Pk1 + Pk2 − P = 4π + 2π − π + 3 + 1 dm2 = 6 6

Zadatak 27.

Oko vrhova B , D i F pravilnog sˇ esterokuta ABCDEF opisani su lukovi s polumjerom koji je jednak duljini stranice sˇ esterokuta. Koliki su opseg i povrˇsina - ta tri luka? lika sˇ to ga omeduju

Rjeˇsenje.

Opseg je jednak duljini kruˇznice opisane sˇesterokutu, o = 2aπ , a povrˇsina iznosi √ √ 3 3 a2 · π · 60◦ a2 · 3 2 =a π− . − P=6· 360◦ 4 2

413

9





Razlika srediˇsnjeg i njemu pripadnog obodnog kuta kruˇznice je 33◦ . Koliki su ti kutovi?

β = 2α , β − α = 33◦ , α = 33◦ , β = 66◦ . Obodni kut jednak je 33◦ , srediˇsnji 66◦ . Zbroj obodnog i pripadnog srediˇsnjeg kuta kruˇznice je 216◦ 45 . Koliki su ti kutovi?

β = 2α , β + α = 216◦45 , 3α = 216◦45 , α = 72◦ 15 , β = 144◦ 30 . Obodni je kut jednak 72◦ 15 , srediˇsnji 144◦ 30 . Obodni je kut za 28◦ manji od pripadnog srediˇsnjeg. Koliki su ti kutovi?

β = 2α , α = β − 28◦ , α = 28◦ , β = 56◦ .

Zadatak 4.

Obodni kut nad danom tetivom jednak je srediˇsnjem kutu nad istom tom tetivom. Je li to moguće?

Rjeˇsenje.

Danoj tetivi odgovaraju dva srediˇsnja kuta. Neka su to β1 i β2 s pripadajuc´ im obodnim kutovima α1 i α2 . Kako uvjet zadatka ne moˇze biti ispunjen za odgovarajuće obodne i srediˇsnje kutove, pretpostavimo da je β1 = α2 . Imamo:

β1 + β2 = 360◦ , β1 = α2 , β2 = 2α2 ; α2 + 2α2 = 360◦, α2 = 120◦. Dakle, moguće je. Ti kutovi su svaki 120◦ , samo sˇ to nisu odgovarajući, nego obodnom pripada srediˇsnji od 240◦ , a srediˇsnjem obodni od 60◦ .


414

Iz toˇcke A na kruˇznici povuˇcene su tetive AB i AC , nad kojima su obodni - tih dviju tetiva? kutovi od 70◦ i 40◦ . Koliki je kut α izmedu x = 20◦ , y = 50◦ α = y − x = 30◦ .

=⇒ α = 70◦ . Druga mogućnost (vidi drugu sliku):

Zadatak 6.

Ako su A , B i C toˇcke na kruˇznici sa srediˇstem S te ako je < )ACB = 45◦ , onda su pravci AS i BS medusobno okomiti. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Kut < )ACB obodni je kut kruˇznice nad njezinom tetivom AB . Dakle, pripadni je srediˇsnji kut < )ASB pravi.

Zadatak 7.

Toˇcke A , B i C su na kruˇznici sa srediˇstem u toˇcki S . Ako je < )ACB = 30◦ te |AS| = 3 cm, kolika je povrˇsina kruˇznog isjeˇcka ASB ?

9 Rjeˇsenje.

< )ASB je pripadni srediˇsnji kut obodnog kuta < )ACB = 30◦ , pa je < )ASB = 60◦ te povrˇsina isjeˇcka Pi =

9 cm2 · π · 60◦ 3 = π cm2 . 360◦ 2

Zadatak 8.

Kruˇznici je upisan pravokutnik cˇ ija je dijagonala dvostruko dulja od kraće stranice pravokutnika. Koliki su obodni kutovi nad stranicama pravokutnika?

Rjeˇsenje.

Srediˇste kruˇznice opisane pravokutniku je sjeciˇste dijagonala, a duljina polumd jera je jednaka , odnosno kraćoj stranici pravokutnika. 2

Trokut ASB je jednakostraniˇcni, te je srediˇsnji kut nad kraćom stranicom pravokutnika 60◦ ili 300◦ , a pripadajući obodni 30◦ ili 150◦ . Srediˇsnji kut nad duljom stranicom pravokutnika je 120◦ ili 240◦ , a pripadajući obodni 60◦ ili 120◦ .


Duˇzina AB tetiva je kruˇznice sa srediˇstem S . Ako je < )ABS = 23◦ 48 , koliki je kut nad tetivom AB ? Primijeti da je trokut ABS jednakokraˇcan. )BAS = 23◦ 48 slijedi Iz < )ABS = 23◦ 48 i < < )ASB = 180◦ − (23◦ 48 + 23◦ 48 ) = 132◦ 24 , < )BSA = 360◦ − 132◦24 = 227◦ 36 , te su pripadajući obodni kutovi 66◦ 12 , odnosno 113◦ 48 .

Zadatak 10.

Toˇcke A , B i C leˇze na kruˇznici sa srediˇstem S . Ako je < )ACB = 131◦ 44 , koliki je kut < )ABS ?

Rjeˇsenje.

< )ACB = 131◦44 je obodni kut nad tetivom AB . Pripadni srediˇsnji kut < )ASB je 263◦ 28 , iz cˇega slijedi da je < )BSA = 96◦ 32 . Trokut ABS je jednakokraˇcan (|AS| = |BS|) pa je 1 1 1 (180◦ − 96◦ 32 ) = (179◦ 60 − 96◦ 32 ) = (83◦ 28 ) = 41◦ 44 . 2 2 2 Uzeli smo manji srediˇsnji kut.

< )ASB =

Zadatak 11.

Ako je α = 28◦ , β = 32◦ , koliki je kut < )ABC na slici?

415

9


Rjeˇsenje.

< )ABC je obodni kut nad tetivom AB s pripadnim srediˇsnjim kutom 360◦ − (2α + 2β ) = 360◦ − 120◦ = 240◦ , pa je < )ABC = 120◦ .

Zadatak 12.

Odredi duljinu tetive kruˇznice promjera 12 cm ako toj tetivi pripada obodni kut od 1) 30◦ ; 2) 45◦ ; 3) 60◦ ; 4) 90◦ ?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo krajeve tetive s A i B , a srediˇste kruˇznice sa S . 1) Pripadni srediˇsnji kut je 60◦ te je trokut ABS jednakostraniˇcni, odnosno duljina tetive jednaka je polumjeru kruˇznice t = 6 cm; ◦ 2) Pripadni srediˇ √snji kut je 90 te je trokut ABS pravokutni, hipotenuze √ t = 2 · 36 = 6 2 cm; 3) Pripadni srediˇsnji kut je 120◦ te je trokut ABS jednakokraˇcni s kutevima 120◦ , 30◦ , 30◦ . Visina iz vrha S dijeli trokut ABS na dva pravokutna trokuta s kutevima 60◦ , 30◦ , 90◦ koji se daju nadopuniti na jednakostraniˇcne trokute cˇije su duljine stranica jednake polumjeru kruˇznice, a duljina visine jednaka je polovini duljine traˇzene tetive. √ √ 6 3 t = 2·v= 2· cm = 6 3 cm; 2

4) Obodni kut je pravi iz cˇega zakljuˇcujemo da je tetiva jednaka promjeru kruˇznice pa je njena duljina t = 12 cm.

Zadatak 13.

Ako su α = 42◦ i β = 72◦ dva kuta trokuta ABC , pod kojim se kutovima iz toˇcaka kruˇznice opisane trokutu vidi stranica AB ?

Rjeˇsenje.

Treći kut trokuta ABC je obodni kut nad stranicom AB i jednak je 180◦ −

(42◦ + 72◦ ) = 66◦ , te se iz svih toˇcaka s lukova AC i BC ta stranica vidi pod kutom od 66◦ .

Drugi obodni kut nad stranicom AB jednak je 114◦ , pa se iz toˇcaka luka AB stranica AB vidi pod kutom od 114◦ . Iz toˇcaka A i B vidi se pod kutom 0◦ .

Zadatak 14.

416

Dijagonala pravokutnika s jednom njegovom stranicom zatvara kut od 15◦ . Pod kojim se kutovima iz toˇcaka kruˇznice opisane pravokutniku vide stranice pravokutnika?

9 Rjeˇsenje.

Dijagonale pravokutnika sijeku se pod kutom od 30◦ . Dulja stranica pravokutnika iz toˇcaka kruˇznice vidi se pod 75◦ , odnosno 105◦ . Isto vrijedi i za drugu dulju stranicu. Ostale se dvije stranice vide pod kutom od 15◦ , odnosno 165◦ . Iz vrhova pravokutnika stranice kojima pripada taj vrh vide se pod 0◦ .

Zadatak 15.

Tetiva AB dijeli kruˇznicu na dva luka kojima su duljine u omjeru 3 : 5 . Koliki su obodni kutovi nad tom tetivom?

Rjeˇsenje.

Iz α + α = 360◦ , gdje su α i α srediˇsnji kutovi nad tetivom AB , te 3 α = α , dobije se α = 225◦ . Obodni su kutovi jednaki 67◦ 30 , odnosno 5 112◦ 30 .

Zadatak 16.

Duljine stranica trokuta su 13 cm, 14 cm i 15 cm. Kolike su povrˇsine trokutu upisanog i opisanog kruga?

Rjeˇsenje.

Najprije pomoću Heronove formule odredimo povrˇsinu trokuta, √ P = 21 · 6 · 7 · 8 = 84 cm2 . abc odredimo polumjere upisanog i opisanog kruga: Potom iz P = r · s i P = 4R 65 65 r = 4 cm, R = cm, o1 = 8π cm, o2 = π cm, P1 = 16π cm 2 , 8 4 4225 P2 = π cm 2 . 64

Zadatak 17.

Duljine stranica trokuta u omjeru su 4 : 13 : 15 , povrˇsina trokuta je 15.36 cm2 . Koliki su polumjeri trokutu upisane i opisane kruˇznice?

Rjeˇsenje.

Najprije nalazimo duljine stranica trokuta: 13 15 a : b = 4 : 13 =⇒ b = a, a : c = 4 : 15 =⇒ c = a, 4 4 15 13 a+ a+ a a+b+c 4 4 = 4a s= = 2 2 3 3 1 P = s(s − a)(s − b)(s − c) = 4a · 3a · a · a = a2 ; 4 4 2 2 2 2 2 2 a = P = 15.36 cm = 10.24 cm , 3 3 a = 3.2 cm, b = 10.4 cm, c = 12 cm, 15.36 abc P cm = 1.2 cm, R = = 6.5 cm. r= = s 4 · 3.2 4P

417

9


Zadatak 18.

Teˇziˇsnica povuˇcena iz vrha pravog kuta pravokutnog trokuta dugaˇcka je 5 cm. Kolika je duljina kruˇznice opisane ovom trokutu?

Rjeˇsenje.

Teˇziˇsnica iz vrha pravog kuta pravokutnog trokuta polumjer je kruˇznice opisane trokutu. Stoga je o = 10π cm.

Zadatak 19.

Na kracima a i b sˇ iljastog kuta odabrane su toˇcke A i B . Ako je A ortogonalna projekcija toˇcke A na krak b , a B ortogonalna projekcija toˇcke B na a , dokaˇzi da toˇcke A , A , B i B leˇze na jednoj kruˇznici.

Rjeˇsenje.

Trokuti ABB i AA B su pravokutni trokuti sa zajedniˇckom hipotenuzom AB pa prema Talesovom pouˇcku toˇcke A i B pripadaju kruˇznici s promjerom AB .

Zadatak 20.

Jedan sˇ iljasti kut pravokutnog trokuta je 27◦ . Pod kojim se kutovima iz srediˇsta tom trokutu opisane kruˇznice vide katete tog trokuta?

Rjeˇsenje.

Neka je α = 27◦ , tada je β = 63◦ . α je obodni kut nad katetom BC , pa je pripadni srediˇsnji kut pod kojim se vidi kateta BC iz srediˇsta opisane kruˇznice 2α = 54◦ . β je obodni kut nad katetom AC , pa je pripadni srediˇsnji kut pod kojim se vidi kateta AC iz srediˇsta opisane kruˇznice 2β = 126◦ .

Zadatak 21.

Duljine stranica trokuta ABC su |AB| = 10 cm, |AC| = 8 cm i |BC| = 6 cm. Najmanja kruˇznica koja dira pravac AB i prolazi vrhom C sijeˇce AC u toˇcki Q , a BC u toˇcki R . Koliko je |QR| ?

Rjeˇsenje.

Najprije valja uoˇciti da je trokut ABC pravokutan: |AC|2 + |BC|2 = |AB|2 . Najmanja kruˇznica koja dira AB , a prolazi toˇckom C je ona nad visinom CD . No QR je promjer te kruˇznice, jer ona prolazi vrhom C pravog kuta. Stoga je ab 8·6 2P = = = 4.8 cm. |QR| = |CD| = c c 10 B

R

C

418

D

Q

A

Zadatak 22.

Kolika je duljina kruˇznice opisane trokutu sa stranicama duljina 7.5 cm, 10 cm i 12.5 cm?

Rjeˇsenje.

Trokut je pravokutan, jer je 7.52 + 102 = 12.52 . Duljina kruˇznice opisane trokutu jednaka je 12.5π cm.

9 Zadatak 23.

Kut pri vrhu jednakokraˇcnog trokuta ABC je 54◦ . Nad krakom BC kao promjerom opisana je polukruˇznica koju sjeciˇsta s krakom AC i osnovicom AB dijele na tri luka. Koliki su srediˇsnji kutovi koji pripadaju tim lukovima?

Rjeˇsenje.

Neka je S srediˇste kruˇznice, D toˇcka presjeka kruˇznice i kraka AC . Trokut DSC je jednakokraˇcan s kutovima pri osnovici od 54◦ . Kut pri vrhu S je ujedno i srediˇsnji kut nad tetivom CD i jednak je 180◦ − 2 · 54◦ = 72◦ . Neka je E toˇcka presjeka kruˇznice i osnovice AB . Trokut EBS je jednakokraˇcan s kutom pri vrhu B od 63◦ . Kut pri vrhu S trokuta EBS je srediˇsnji kut nad tetivom BE i jednak je 180◦ − 2 · 63◦ = 54◦ . Treći srediˇsnji kut zajedno s preostala dva cˇ ini ispruˇzeni kut, te je jednak 180◦ − 72◦ − 54◦ = 54◦ .

Dakle, dva su kuta jednaka 54◦ , a jedan 72◦ .

Zadatak 24.

Konstruiraj pravokutni trokut ABC s hipotenuzom AB duljine 7 cm i visinom na hipotenuzu, v = 3 cm.

Rjeˇsenje.

Nad duˇzinom AB kao promjerom opiˇsemo kruˇznicu, zatim vrh C pravog kuta, koji pripada toj kruˇznici, odredimo iz uvjeta v = 3 cm.


Konstruiraj duˇzinu duljine

√ 7 cm.

Nacrtamo duˇzinu AB duljine 8 cm. Neka je toˇcka D toˇcka na duˇzini tako da je |AD| = 1 cm. Okomica na AB u D sijeˇce kruˇznicu s promjerom AB u toˇcki √ C , te je |CD| = 7 cm. Naime, kut < )ACB prema Talesovom pouˇcku je pravi, a tada je prema Euklidovom pouˇcku |CD|2 = |AD| · |BD| = 7 . C

A

D

S

B

419

9



Rjeˇsenje.

U toˇckama A , B i C kruˇznice, koje kruˇznicu dijele na tri luka cˇije su duljine u omjerima 3 : 5 : 7 , poloˇzene su tangente na kruˇznicu. Koliki su unutarnji kutovi trokuta sˇ to ga zatvaraju te tri tangente? l1 : l2 : l3 = 3 : 5 : 7 =⇒ α1 : α2 : α3 = 3 : 5 : 7 , α2 = 5 α1 + α2 + α3 = α1 + α1 + 3 α1 = 72◦ , α2 = 120◦ ,

5 7 α1 , α3 = α1 , 3 3

7 α1 = 360◦ =⇒ 3 α3 = 168◦ .

Srediˇsnji kutovi nad tetivama AB , BC i AC jednaki su 72◦ , 120◦ i 168◦ . Vrhove dobivenog trokuta oznaˇcimo kao na slici:

Kutovi trokuta jednaki su α = 180◦ − 72◦ = 108◦ , β = 180◦ − 120◦ = 60◦ i γ = 180◦ − 168◦ = 12◦ .

420

Zadatak 2.

Iz toˇcke P koja ne pripada kruˇznici konstruirane su tangente na kruˇznicu i one zatvaraju kut od 33◦ . Pod kojim se kutom iz toˇcaka kruˇznice vidi tetiva koja spaja diraliˇsta tangenata?

Rjeˇsenje.

Unutarnji kutovi nad danom tetivom su 180◦ − 33◦ = 147◦ i 360◦ − 147◦ = 213◦ . Odgovarajući obodni kutovi su 73◦ 30 i 106◦30 . Iz toˇcaka većeg luka tetiva se vidi pod 73◦ 30 , a s manjeg pod 106◦30 . Iz D1 i D2 pod 0◦ .

Zadatak 3.

Dvije kruˇznice jednakog polumjera r diraju se izvana, a obje, jednu u toˇcki A , drugu u toˇcki B , dira treća kruˇznica polumjera 8 cm. Ako je |AB| = 12 cm, koliki je r ?

Rjeˇsenje.

Kako je SS1 S2 ∼ SAB, (obrazloˇzi!), zbog toga je |S1 S2 | : |AB| = |SS1 | : |SA| , odnosno 2r : 12 = (r + 8) : 8 , a odatle se dobije r = 24 cm.

9

S1

r

S2

r

A

B S

Zadatak 4.

Iz toˇcke A poloˇzene su tangente na kruˇznicu i one je diraju u toˇckama B i C . - toˇckama B i C sijeˇce AB u toˇcki Tangenta na kraći luk kruˇznice sˇ to je odreden M , a AC u toˇcki N . Koliki je opseg trokuta AMN ako je |AB| = 15 cm?

Rjeˇsenje.

Opseg trokuta AMN jednak je |AM| + |MN| + |AN| = |AM| + |MD| + |DN| + |NA| = |AM| + |MB| + |CN| + |NA| = |AB| + |AC| = 2|AB| = 30 cm.

Zadatak 5.

Nad duˇzinom AB , |AB| = a , opisana je polukruˇznica, a potom joˇs dvije sukladne polukruˇznice. Potom je u dio ravnine omedene tim trima polukruˇznicama upisana kruˇznica koja ih sve tri dira (vidi sliku). Koliki je polumjer te kruˇznice?

Rjeˇsenje.

1 Promotrimo pravokutni trokut MOS . U njemu je |MO| = a , |MS| = 4 1 a a + r , |OS| = − r . 4 2 Ako primijenimo Pitagorin pouˇcak, iz |MO|2 + |OS|2 = |MS|2 , dobit cémo 1 r = a. 6 S

A

M

O

N

B

421

9


Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

Krajnje toˇcke duˇzine AB , |AB| = a , srediˇsta su dvaju kruˇznih lukova s polumjerom a koji se sijeku u toˇcki C . Nad AB konstruirane su dvije sukladne - lukovima i polukruˇznicama polukruˇznice, a potom je u dio ravnine omeden upisana kruˇznica (vidi sliku). Koliki je polumjer te kruˇznice?

Iz jednakosti |DS|2 = |AS|2 − |AD|2 = |ES|2 − |ED|2 dobije se |AS|2 − |AD|2 a 2 (a − r)2 − 2 a2 a2 − 2ar + r2 − 4 a a− 4

= |ES|2 − |ED|2 2 a 2 a +r − = 4 4 a2 a2 ar = + + r2 − 16 2 16 r = + 2r 2 3 a. r= 10

Zadatak 7.

U kut s vrhom u toˇcki V upisane su dvije kruˇznice koje se medusobno diraju i cˇija su srediˇsta od vrha kuta udaljena 4 cm i 12 cm. Koliki su polumjeri tih kruˇznica?

Rjeˇsenje.

VS1 D1 ∼ VS2 D2 te je r1 : r2 = 4 : 12 , a odatle slijedi r2 = 3r1 . No |S1 S2 | = r1 + r2 = 12 cm − 4 cm = 8 cm. Tako dobijemo 4r1 = 8 pa je r1 = 2 cm, r2 = 6 cm.

D2 D1

S2 S1

V

Zadatak 8.

Dvije kruˇznice polumjera R = 7 cm i r = 3 cm diraju se izvana. Kolika je udaljenost njihove toˇcke dodira od zajedniˇcke vanjske tangente?

Rjeˇsenje.

Promatramo pravokutni trapez S1 ABS2 . Povlaˇcenjem paralele s AB dobijemo pravokutni trokut S1 ES2 . Iz S1 ES2 ∼ DFS2 , slijedi |S1 E| : |S1 S2 | = |DF| : |DS2 | =⇒ (R − r) : (R + r) = |DF| : r, a odatle nalazimo |DF| =

422

4·3 cm = 1.2 cm 10

9 te je onda |CD| = r + |DF| = 3 cm + 1.2 cm = 4.2 cm.

Zadatak 9.

Dvije kruˇznice polumjera 15 cm i 5 cm diraju se izvana. Kolika je duljina ods- dviju vanjskih zajedniˇckih jeˇcka njihove zajedniˇcke unutarnje tangente izmedu tangenata?

Rjeˇsenje.

Poloˇzimo paralelu diraliˇstem G s pravcem S1 P . Tako dobijemo trokut EFG sliˇcan trokutu S1 PE . E B

G

F S1

P D

S2 A

Onda je |S1 P| : |S1 E| = |FG| : |FE| =⇒ |S1 P| : R = (R + r) : (R − r), te je 20 · 15 (R + r) · R = = 30 cm. |S1 P| = R−r 10 Izraˇcunamo sada √ √ |EP| = |S1 P|2 − |S1 E|2 = 900 − 225 cm = 15 3 cm, pa zatim iz |BD| : |DP| = |S1 E| : |EP| , sˇ to je posljedica BDP ∼ PES1 , dobijemo √ 15 · (30 − 15) |S1 E| · |DP| √ = |BD| = = 5 3. |EP| 15 3 Konaˇcno je √ |AB| = 2 · |BD| = 10 3 cm.

Zadatak 10.

Dvije kruˇznice polumjera R = 12 cm i r = 3 cm diraju se izvana. Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga zatvaraju tri zajedniˇcke tangente ovih kruˇznica?

Rjeˇsenje.

Poloˇzimo paralelu diraliˇstem G s pravcem S1 C . Tako dobijemo trokut EFG sliˇcan trokutu S1 CE .

423

9


Onda je |S1 C| : |S1 E| = |FG| : |FE| =⇒ |S1 C| : R = (R + r) : (R − r), te je 15 · 12 (R + r) · R = = 20 cm. |S1 C| = R−r 9 Izraˇcunamo sada √ |CE| = |S1 C|2 − R2 = 400 − 144 cm = 16 cm, pa zatim iz |BD| : |DC| = |S1 E| : |EC| , sˇ to je posljedica BDC ∼ CES1 , dobijemo |S1 E| · |CD| |S1 E| · (|S1 C| − |S1 D|) 12 · (20 − 12) |BD| = = = cm = 6 cm. |CE| |CE| 16 Konaˇcno je P = |BD| · |CD| = |BD| · (|S1 C| − |S1 D|) = 6 · (20 − 12) = 48 cm2 .

Zadatak 11.

Zajedniˇcke unutarnje tangente dviju kruˇznica k1 (S1 , r1 ) i k2 (S2 , r2 ) sijeku se u toˇcki A , a njihove se zajedniˇcke vanjske tangente sijeku u toˇcki B . Ako je r1 = 8 cm, r2 = 3 cm, te |S1 B| = 24 cm, kolika je udaljenost |AB| ?

Rjeˇsenje.

Iz S1 BC ∼ S2 BD , dobijemo |S1 B|:|S1 C| = |S2 B|:|S2 D| =⇒ |S2 B| = a odavde

24 · 3 |S1 B| · |S2 D| = cm = 9 cm, |S1 C| 8

|S1 S2 | = |S1 B| − |S2 B| = 15 cm.

Iz S1 AE ∼ S2 AF , dobijemo |S1 A| : |S1 E| = |S2 A| : |S2 F|, (|S1 S2 | − |S2 A|) : |S1 E| = |S2 A| : |S2 F|,

424

9 odnosno |S2 A| =

45 cm. 11

Sada je |AB| = |S2 A| + |S2 B| =

Zadatak 12.

144 45 cm + 9 cm = cm. 11 11

Srediˇsta dviju kruˇznica cˇ iji su polumjeri 10 cm i 6 cm udaljena su 24 cm. Kolika je udaljenost sjeciˇsta P zajedniˇckih vanjskih i sjeciˇsta Q zajedniˇckih unutarnjih tangenata ovih dviju kruˇznica?

Rjeˇsenje.

Povucimo paralelu s vanjskom tangentom kroz S2 . Iz S1 S2 E ∼ S1 QA imamo |S1 S2 | : |S1 E| = |S1 Q| : |S1 A| 24 · 10 |S1 S2 | · |S1 A| = cm = 60 cm. =⇒ |S1 Q| = |S1 E| 10 − 6 Iz S1 CP ∼ S2 DP imamo |S1 P| : |S1 C| = |S2 P| : |S2 D|, |S1 P| : |S1 C| = (|S1 S2 | − |S1 P|) : |S2 D|, |S1 P| = 15 cm. |PQ| = |S1 Q| − |S1 P| = 60 cm − 15 cm = 45 cm.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

Tri kruˇznice imaju zajedniˇcke vanjske tangente, te se redom diraju. Dokaˇzi da je polumjer srednje od tih triju kruˇznica geometrijska sredina polumjera ostalih dviju. r1 − r2 r2 − r3 Iz S1 S2 P ∼ S2 S3 Q slijedi = , odakle izravno slijedi r1 + r2 r2 + r3 2 r2 = r1 · r3 .

P S1

Q S2

S3

425

9


Zadatak 14.

Dvije kruˇznice imaju polumjere duljina r1 = 8 cm i r2 = 5 cm, te se medusobno diraju. Koliki je polumjer treće kruˇznice koja dira jednu od ovih dviju i obje njihove zajedniˇcke tangente?

Rjeˇsenje.

Koristeći se tvrdnjom dokazanom u prethodnom zadatku da je polumjer srednje od tih triju kruˇznica geometrijska sredina polumjera ostalih dviju, dobit cémo za rjeˇsenje dvije kruˇznice, jednu koja dira manju i jednu koja dira veću od dviju danih kruˇznica. Neka je r polumjer kruˇznice koja dira manju, a R polumjer kruˇznice koja dira veću od danih kruˇznica, imamo: 25 = 8r, r =

25 cm; 8

64 = 5R, R =

64 cm. 5


Dva su kuta tetivnog cˇ etverokuta jednaka 27◦ i 155◦ . Kolika su ostala dva kuta?

Rjeˇsenje.

Zbroj zadanih kutova je razliˇcit od 180◦ , pa moˇzemo uzeti da je α = 27◦ , β = 155◦ . Iz α + γ = β + δ = 180◦ dobijemo

γ = 180◦ − 27◦ = 153◦,

Zadatak 2.

Ako su dva kuta tetivnog cˇ etverokuta jednaka 35◦ i 145◦ , koliki su ostali kutovi cˇ etverokuta?

Rjeˇsenje.

Ako su dva dana kuta kutovi uz istu stranicu cˇ etverokuta, onda su ostala dva jednaka 35◦ (kut nasuprot kutu od 145◦ ) i 145◦ . Ako su dva dana kuta suprotni kutovi cˇ etverokuta, onda zadatak ima beskonaˇcno mnogo rjeˇsenja, te su ostala dva kuta bilo koja dva cˇiji je zbroj 180◦ .

Zadatak 3.

Mjere dvaju nasuprotnih kutova tetivnog cˇ etverokuta u omjeru su 2 : 3 , a omjer mjera ostalih dvaju je 4 : 5 . Koliki su kutovi ovog cˇ etverokuta?

Rjeˇsenje.

α : (180◦ − α ) = 2 : 3 =⇒ 3α = 360◦ − 2α , α = 72◦ , γ = 108◦ ; β : (180◦ − β ) = 4 : 5 =⇒ 5β = 720◦ − 4γ , β = 80◦ , δ = 100◦ .

Zadatak 4.

U tetivnom cˇ etverokutu α , β , γ i δ uzastopni su unutarnji kutovi. Ako je zadan omjer α : β : γ = 2 : 3 : 4 , koliki je kut δ ?

Rjeˇsenje.

Kutovi α i γ su suprotni te je stoga α + γ = 180◦ , odnosno 2k + 4k = 180◦ . Dakle, koeficijent proporcionalnosti je k = 30◦ . Onda je β = 3k = 90◦ te je i δ = 90◦ .

Zadatak 5.

426

δ = 180◦ − 155◦ = 25◦ .

Koliki je kut γ trokuta ABC na slici?

9 Rjeˇsenje.

ˇ Cetverokut A1 SC1 B je tetivan ( < )SC1 B + < )SA1 B = 90◦ + 90◦ = 180◦ =⇒ ◦ < )C1 SA1 + < )C1 BA1 = 180 ), te je β = 180◦ − 120◦ = 60◦ . Slijedi da je γ = 180◦ − 40◦ − 60◦ = 80◦ .

Zadatak 6.

Ako su α = 55◦ i β = 70◦ dva kuta trokuta ABC , pod kojim se kutovima iz srediˇsta trokutu upisane kruˇznice vide stranice trokuta?

Rjeˇsenje.

Primijetimo da je trokut jednakokraˇcan ( α = γ = 55◦ ). Neka je S srediˇste upisane kruˇznice. Spojnice srediˇsta upisane kruˇznice i vrhova trokuta su si55 ◦ metrale kutova, te je trokut CAS s kutovima od pri vrhovima A i C , te 2 ◦ ◦ ◦ kutom od 180 − 55 = 125 pri vrhu S , a to je ujedno kut pod kojim se vidi stranica AC iz srediˇsta S upisane kruˇznice. Istim postupkom dobijemo kut pod kojim se vide preostale dvije stranice. Stranica AC se vidi pod kutom od 125◦ , a stranice AB i BC pod kutom od 117◦ 30 .

Zadatak 7.

Jednakokraˇcnom trokutu ABC , |AC| = |BC| , upisana je kruˇznica i ona dira )ASD = 50◦ , gdje je S srediˇste kruˇznice, koliki krak AC u toˇcki D . Ako je < su kutovi trokuta?

Rjeˇsenje.

Kako je < )ASD = 50◦ , onda je i < )ASE = 50◦ ( ASD ∼ ASE jer < )DAS = < )EAS i < )SDA = < )SEA ). Tada je, ( cˇ etverokut AESD je tetivan), α = 180◦ − < )ESD = 80◦ , β = 80◦ , γ = 20◦ . C

D 50 A

S

E

B

Zadatak 8.

ˇ Cetverokut ABCD upisan je kruˇznici. Dijagonala AC okomita je na dijagonalu BD i raspolavlja je. Ako je < )BCD = 72◦ , koliki su ostali kutovi cˇ etverokuta?

Rjeˇsenje.

Kutovi < )ABC i < )ADC su pravi (Talesov pouˇcak), te je < )BAD = 180◦ −72◦ = 108◦ .

Zadatak 9.

U kruˇznicu je upisan cˇ etverokut ABCD te je < )DAC = 88◦ i < )ADC = 105◦ . Koliki je vanjski kut pri vrhu B ovog cˇ etverokuta?

Rjeˇsenje.

Kut < )ABC = 180◦ − 105◦ = 75◦ , pa je vanjski kut kod vrha B jednak 180◦ − 75◦ = 105◦ . Primijeti kako podatak o kutu < )DAC i nije bio potreban za odgovor na postavljeno pitanje.

Zadatak 10.

Diraliˇste kruˇznice upisane pravokutnom trokutu dijeli jednu katetu trokuta na dva dijela duljina 3 cm i 5 cm. Kolika je povrˇsina trokuta?

Rjeˇsenje.

Iz jednadˇzbe a2 + b2 = c2 , (x + 3)2 + (3 + 5)2 = (x + 5)2 slijedi x = 12 , te su duljine stranica trokuta jednake 8 cm, 15 cm i 17 cm. Povrˇsina trokuta iznosi 60 cm 2 (vidi sliku).

427

9


5 5

12

3 3

12

Zadatak 11.

Trokutu sa stranicama duljina 8 cm, 13 cm i 17 cm upisana je kruˇznica. Diraliˇste kruˇznice s najkraćom stranicom dijeli tu stranicu na dva dijela. Kolike su duljine tih dijelova?

Rjeˇsenje.

Promotri sliku te izvedi jednadˇzbu 8 − m + 13 − m = 17 . Rjeˇsenje jednadˇzbe je m = 2 , te diraliˇste dijeli najmanju stranicu na dijelove duljina 2 cm i 6 cm. m

13-m

8-m 8-m


Zadatak 13.

Rjeˇsenje.



Zadatak 16. 428

m

13-m

Duljine triju uzastopnih stranica cˇ etverokuta opisanog kruˇznici jednake su 10 cm, 13 cm i 15 cm. Koliki je opseg ovog cˇ etverokuta? ˇ Cetverokut je tangencijalni, pa je opseg cˇ etverokuta jednak 2 · (10 + 15) = 50 cm. Podatak o duljini druge stranice (13 cm) i nije bio potreban. Duljine dviju nasuprotnih stranica tangencijalnog cˇ etverokuta u omjeru su 3 : 5 , a omjer duljina ostalih dviju jednak je 1 : 8 . Ako je opseg cˇetverokuta jednak 72 cm, kolike su duljine njegovih stranica? 5 a; 3 16 8 a; o = a + b + c + d = 2 · (a + c) = 2 · a = 3 3 3 3 5 a= o= · 72 = 13.5 cm; c = · 13.5 = 22.5 cm; 16 16 3 b : d = 1 : 8 , d = 8b , b + 8b = 13.5 + 22.5 = 36 cm, b = 4 cm ; d = 8 · 4 = 32 cm. Stranice su: 13.5 cm, 4 cm, 22.5 cm i 32 cm. a + c = b + d; a : c = 3 : 5, c =

Opseg trapeza opisanog kruˇznici jednak je 32 cm. Kolika je duljina srednjice trapeza? Iz a + b + c + d = 32 cm i a + c = b + d = 16 cm slijedi

a+c = 8 cm. 2

Ako je duljina srednjice trapeza opisanog oko kruˇznice jednaka 7 cm, koliki je opseg trapeza? a+c = 7 =⇒ a + c = 14 . Iz a + c = b + d imamo a + b + c + d = 2 2 · (a + c) = 28 cm . Oko kruˇznice promjera 15 cm opisan je jednakokraˇcni trapez. Ako je duljina kraka trapeza jednaka 17 cm, kolike su duljine osnovica trapeza?

9 Rjeˇsenje.

Po teoremu o tangencijalnom cˇ etverokutu slijedi a + c = b + d = 34 . Iz osjenˇcanog pravokutnog trokuta nalazimo √ a − c = 2 · (172 − 152 ) = 2 · 289 − 225 = 2 · 8 = 16 cm. Dobili smo sustav jednadˇzbi: a + c = 34, a − c = 16. On ima rjeˇsenje a = 25 cm, c = 9 cm.

Zadatak 17.

Pravokutnom trapezu upisana je kruˇznica. Ako je opseg trapeza 40 cm, a duljina većeg kraka 15 cm, koliki je promjer upisane kruˇznice?

Rjeˇsenje.

Promjer upisane kruˇznice jednak je duljini kraćeg kraka (koji s osnovicama zatvara prave kutove). Neka je b dulji, a d kraći krak trapeza. Imamo: o 40 2 · (b + d) = o , d = − b , d = − 15 = 5 cm. Dakle, 2r = 5 cm. 2 2

Zadatak 18.

Kruˇznici polumjera 2 cm opisan je jednakokraˇcni trapez povrˇsine 20 cm2 . Kolike su duljine stranica trapeza?

Rjeˇsenje.

a + c = 2b , P =

a+c P P · v = b · v, b = = = 5 cm ; 2 v 2r

2 a−c = 25 − 16 = 9 cm2 =⇒ a − c = 6 cm . 2 Dobili smo sustav jednadˇzbi: a + c = 2b = 10 cm; a − c = 6 cm, odakle se dobije a = 8 cm , c = 2 cm . Konaˇcno stranice trapeza su: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 2 cm.

429

9


Zadatak 19.

U krajnjim toˇckama promjera AB kruˇznice poloˇzene su tangente na kruˇznicu. U toˇcki T kruˇznice poloˇzena je joˇs jedna tangenta i ona sijeˇce tangentu toˇckom A u toˇcki C , a tangentu toˇckom B u toˇcki D . Ako je |AC| = 9 cm, |BD| = 4 cm, koliki je polumjer kruˇznice?

Rjeˇsenje.

Najprije imamo: |CD| = |CT| + |DT| = |AC| + |BD| = 13 cm. Iz pravokutnog trokuta CDE je zatim |DE| = 2r = (9 + 4)2 − (9 − 4)2 = 12 cm, pa je r = 6 cm (vidi sliku). B

4

D 4

T

S 9 C

E

A

Zadatak 20.

Diraliˇste kruˇznice upisane rombu dijeli njegovu stranicu na dva dijela duljina 2.25 dm i 1.21 dm. Kolika je povrˇsina romba?

Rjeˇsenje.

Uoˇci da je trokut ABS pravokutan (slika) i da je duljina polumjera kruzˇ nice jednaka duljini visine na hipotenuzu tog trokuta. Prema Euklido√ √ vom pouˇcku ( v = pq ) slijedi r = 2.25 · 1.21 = 1.65 dm. Zatim je P = r · s = 1.65 · 6.92 = 11.418 dm 2 . C

D

S

A

B

Zadatak 21.

Povrˇsina mnogokuta opisanog kruˇznici polumjera r je P = r · s , gdje je 2s opseg mnogokuta. Dokaˇzi!

Rjeˇsenje.

Neka su stranice mnogokuta a1 , a2 , a3 , . . . , an . Spajanjem vrhova mnogokuta sa srediˇstem kruˇznice mnogokut je podijeljen na trokute kojima su osnovice stranice mnogokuta, a visine su polumjer upisane kruˇznice. Zbrajanjem povrˇsina svih tih trokuta dobijemo povrˇsinu mnogokuta.

P=

1 1 1 1 1 1 a1 r + a2 r + a3 r + . . .+ an r = r(a1 + a2 + a3 + . . .+ an ) = r ·2s = rs. 2 2 2 2 2 2


Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi: 1) 135◦ ;

430

2) 150◦ ;

3) 144◦ ;

4) 121◦ ?

9 Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

(n − 2)180◦ , 135n = 180n − 360 , 45n = 360 ; n = 8 ; n (n − 2)180◦ , 150n = 180n − 360 , 30n = 360 ; n = 12 ; 2) 150◦ = n (n − 2)180◦ 3) 144◦ = , 144n = 180n − 360 , 36n = 360 ; n = 10 ; n (n − 2)180◦ , 121n = 180n − 360 , 59n = 360 ; n = 6.102 . Ne 4) 121◦ = n postoji pravilni mnogokut cˇ iji je jedan unutarnji kut jednak 121◦ . 1) 135◦ =

Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako je jedan njegov vanjski kut: 1) 36◦ ;

Rjeˇsenje.


2) 24◦ ;

3) 18◦ ;

4) 108◦ ?

Vanjski kut pravilnog mnogokuta jednak je srediˇsnjem. 360◦ ; n = 10 ; 1) n = 36◦ ◦ 360 2) n = ; n = 15 ; 24◦ ◦ 360 3) n = ; n = 20 ; 18◦ ◦ 360 4) n = , n = 3.33 . Ne postoji takav pravilni mnogokut cˇiji je jedan 108◦ vanjski kut jednak 108◦ . Koliki je zbroj vanjskih kutova pravilnog sedmerokuta? Neka su ABS i BCS karakteristiˇcni trokuti pravilnog mnogokuta, pri cˇemu je S srediˇste tom mnogokutu opisane, odnosno upisane kruˇznice. Tada je α + 2β = 180◦ i 2β + γ = 180◦ . Slijedi da je α = γ , i zakljuˇcujemo da je zbroj vanjskih kutova bilo kojeg pravilnog mnogokuta, pa onda i sedmerokuta, jednak 360◦ . S a

b A



Zadatak 6.

C

b

b

g

B

Odredi onaj pravilni mnogokut cˇ iji je jedan unutarnji kut tri puta veći od vanjskog. Neka je α unutarnji, a β vanjski (srediˇsnji) kut mnogokuta, 360◦ α = 3β , α + β = 180◦ , 4β = 180◦, β = 45◦ ; n = , n = 8. 45◦ Koji pravilni mnogokut ima 6 puta viˇse dijagonala nego stranica? Iz jednakosti

n(n − 3) = 6n slijedi n − 3 = 12 , a odatle n = 15 . 2

Koji mnogokut ima 44 dijagonale?

431

9


Rjeˇsenje.

Iz

1 n(n − 3) = 44 slijedi n(n − 3) = 11 · 8 , te je n = 11 . 2

Zadatak 7.

Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta jednak je 2340◦ . Koliko dijagonala ima taj mnogokut?

Rjeˇsenje.

Iz jednakosti (n − 2) · 180◦ = 2 340◦ slijedi n = 15 , te je broj dijagonala 1 petnaesterokuta jednak · 15 · 12 = 90 . 2

Zadatak 8.

Koliki je unutarnji kut pravilnog mnogokuta koji ima tri puta viˇse dijagonala nego stranica?

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

Iz jednakosti

n−3 n(n − 3) = 3n slijedi = 3 , a odatle n = 9 . 2 2

Toˇcke A , B , C , D i E pet su uzastopnih vrhova pravilnog dvanaesterokuta. Koliki kut zatvaraju pravci AB i CD , a koliki AB i DE ?

Rjeˇsenje.

Trokut BCM je jednakokraˇcan s kutovima pri vrhovima B i C jednakim vanjskim kutevima dvanaesterokuta iz cˇega slijedi 360◦ < )BMC = 180◦ − 2 · β = 180◦ − 2 · = 180◦ − 60◦ = 120◦ . 12 Promatrajmo sada trokut ANS . Kut pri vrhu N jednak je polovici kuta izmedu pravaca AB i DE , kut pri vrhu S jednak je dvostrukom srediˇsnjem, a kut pri vrhu A polovici unutarnjeg kuta dvanaesterokuta. Imamo: 360◦ 1 (12 − 2)180◦ < )ANS = 180◦ − 2 · − · = 180◦ − 60◦ − 75◦ = 45◦ . 12 2 12 Konaˇcno: < )(AB, DE) = 2 · < )ANS = 2 · 45◦ = 90◦ . Pravci AB i CD zatvaraju kut od 120◦ , a pravci AB i DE kut od 90◦ .

432

Zadatak 10.

Zbroj svih unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta osim jednog je 2190◦ . Koliko stranica ima taj mnogokut?

Rjeˇsenje.

Zapiˇsimo jednakost (n − 2) · 180◦ = 2 190◦ + x , gdje je x taj jedan kut x◦ 2190◦ , 0 < x < 180 , koji nije ukljuˇcen u zbroj. Tada je n − 2 = ◦ + 180 180◦ x 0< < 1 . Odatle slijedi 180 2190 2190 n−2< + 1, 180 180

9 odnosno 12

1 1 n − 2 < 13 , 6 6

te je n = 15 .

Zadatak 11.

Kolika je povrˇsina pravilnog sˇ esterokuta ako je duljina njegove stranice a = 2.4 dm?

Rjeˇsenje.

Povrˇsina je jednaka sˇ esterostrukoj povrˇsini karakteristiˇcnog trokuta. Kaα = rakteristiˇcni trokut je jednakostraniˇcni duljine stranice a = 2.4 dm ( 2 ◦ 1 (6 − 2) · 180◦ 1 360 · = · 120◦ = 60◦ , β = = 60◦ ), odakle slijedi: 2 6 2 6 √ √ 2.42 3 dm2 = 8.64 3 dm2 ≈ 15 dm2 . P=6· 4

Zadatak 12.

√ Kolike su duljine dijagonala pravilnog sˇ esterokuta ako mu je povrˇsina 12 3 cm2 ?

Rjeˇsenje.

√ √ √ a2 3 a2 3 3 12 · 2 P = 6· , 12 3 cm2 = , a2 = cm2 = 8 cm2 , a = 4 2 3 √ 2 2 cm ; √ √ √ a 3 = a 3 = 2 6 cm , d1 = 2 · 2√ d2 = 2a = 4 2 cm .

Zadatak 13.

Duljina kraće dijagonale pravilnog sˇ esterokuta je sˇ esterokuta?

√ 3 dm. Kolika je povrˇsina

433

9


Rjeˇsenje.

Povrˇsina je jednaka sˇ esterostrukoj povrˇsini karakteristiˇcnog trokuta. Duljina √vid 3 sine mu je jednaka polovini duljine kraće dijagonale sˇ esterokuta v = = , 2 2 2v te mu je duljina stranice a = √ = 1 . Slijedi 3 √ 2 1 3 3√ dm2 = 3 dm2 . P6 = 6 · 4 2

Zadatak 14.

Dokaˇzi da je duljina stranice pravilnog dvanaesterokuta upisanog kruˇznici po√ lumjera r jednaka r 2 − 3 .

Rjeˇsenje.

Neka je ABS karakteristiˇcan trokut pravilnog dvanaesterokuta. Kut pri vrhu √ √ 1 3 · r . Primijenimo S jednak je 30◦ , zbog cˇega je v = r , x = v 3 = 2 2 √ 2 2 Pitagorin pouˇcak na trokut ABN te dobijemo a = r (2 − 3) .

Zadatak 15.

Ako je duljina stranice pravilnog osmerokuta jednaka a , kolika je duljina polumjera osmerokutu opisane kruˇznice?

Rjeˇsenje.

Promotrimo karakteristiˇcni trokut pravilnog osmerokuta. Trokut ANS je jed√ r 2 . Potom iz trokuta ABN nakokraˇcan pravokutni trokut, te je stoga x = 2 a2 √ . nalazimo r2 = 2− 2 S 45 r x A

434

x N r-x B

9 Zadatak 16.

Kolika je povrˇsina pravilnog osmerokuta upisanog kruˇznici polumjera 8 cm?

Rjeˇsenje.

√ r2 = 32 cm2 , x = 4 2 cm; 2 √ a2 = x2 + (r − x)2 = 32 + (8 − 4 2)2 √ √ = 32 + 64 − 64 2 + 32 = 64(2 − 2) cm2 ; . √ a = 8 2 − 2 cm; x2 =

√ √ √ a2 = 64 − 16(2 − 2) = 16(2 + 2) cm2 ; v = 4 2 + 2 cm; 4 . √ √ √ √ 1 1 P8 = 8· ·a·v = 8· ·8 2 − 2·4 2 + 2 = 128 (2 − 2)(2 + 2) = √2 √ 2 128 4 − 2 = 128 2 ≈ 181 cm 2 . v2 = r 2 −

Zadatak 17.

Kolika je povrˇsina pravilnog dvanaesterokuta upisanog kruˇznici polumjera 10 cm?

Rjeˇsenje.

Sa slike vidimo da za visinu karakteristiˇcnog trokuta vrijedi 2v = r , odnosno r v = = 5 cm , pa je 2 1 P12 = 12 · · r · v = 6 · 10 · 5 = 300 cm2 . 2

435

matematika detaljna-rjesenja-zadataka-iz-udzbenika.pdf

Recommend Documents