MATERI MATEMATIKA DISKRIT POHON Disusun untuk memenuhi tugas UAS Matematika Diskrit yang diampu oleh : Farahdilla Andhika Y.F. M.Si
Disusun oleh : Diska Zubaidir Sholeh
NIM : 1755202021
Muhammad Yunus
NIM : 1755202039
PROGRAM STUDI TENIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK INFORMASI KOMPUTER DAN AGROTEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM RADEN RAHMAT MALANG
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah mencurahkan segala rahmat dan karunianya kepada kita semua.Karena hanya dengan berkat rahmat dan hidayah-Nya jualah penulis dapat menyelesaikan tugas pembuatan makalah Mata Kuliah Matematika Diskrit ,sesuai dengan waktu yang telah ditentukan.
Dengan selesainya makalah ini penyusun mengucapkan terima kasih kepada Ibu Farahdilla Andhika Y.F. M.Si selaku dosen mata kuliah Matematika Diskrit yang telah memberikan bimbingan kepada saya.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dan bagi penyusun sendiri. Penyusun menyadari bahwa bahwa makalah ini masih terdapat beberapa kekurangan, kekurangan, oleh karena itu kritik yang membangun untuk penulisan selanjutnya sangat penulis harapkan.
Kepanjen, 15 Januari 2018
Penulis
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LatarBelakang Pohon didefinisikan sebagai suatu graftak berarah terhubungkan (connected undirected graph) yang tidak mengandung rangkaian sederhana. Pohon adalah bentuk khusus dari suatu graf yang banyak diterapkan untuk berbagai keperluan. Misalnya struktur organisasi suatu perusahaan, silsilah suatu keluarga, skema sistem gugur suatu pertandingan, dani kata kimia suatu molekul adalah jenis graf yang tergolong sebagai pohon. Pada pohon, simpul-simpul yang berderajat satu dinamakan daun (leave), sedangkan simpul yang derajatnya lebih besar dari pada satu dinamakan simpul cabang (branch node) atau simpul internal (internal node) dan kumpulan pohon-pohon yang terpisahkan satu sama lain disebuthutan (forest).
1.2 Rumsan masalah 1. Definisi Pohon 2. Macam-macam pohon 3. Sifat-sifat Pohon
1.3 Tujuan 1. Mengenal macam-macam Pohon 2. Mengetahui cara mengerjakannya
BAB II PEMBAHASAN
2.1POHON (Tree) Graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit disebut pohon. Di antara sekian banyak konsep dalam teori graf, konsep pohon (tree) mungkin merupakan konsep yang saling penting, karena terapannya yang luas dalam berbagai bidang ilmu. Banyak terapan, baik dalam bidang ilmu komputer maupun di luar bidang ilmu komputer, yang telah mengkaji pohon secara intensif sebagai objek matematika. Dalam kehidupan sehari-hari, orang telah lama menggunakan pohon untuk menggambarkan hirarkhi. Misalnya, pohon silsilah keluarga, struktur organisasi, organisasi pertandingan, dan lain-lain. Para ahli bahasa menggunakan pohon untuk menguraikan kalimat, yang disebut pohon pasing ( parse tree). Pohon sudah lama digunakan sejak tahun 1857, ketika matematikawan inggris Arthur Cayley menggunakan pohon untuk menghitung jumlah senyawa kimia. Bab ini membahas pohon dari sudut pandang teori graf. Pohon sebagai struktur data rekursif merupakan bagian dari perkuliahan Struktur Data.
2.2DEFINISI POHON Pohon (tree) merupakan graf tak-berarah yang terhubung dan tidak memiliki sirkuit. Ada dua sifat penting pada pohon: terhubung dan tidak mengandung sirkuit. Pada Gambar dibawah, hanya G1 dan G2 yang pohon, sedangkan G3 dan G4 bukan pohon. G3 bukan pohon karena ia mengandung sirkuit a,d,f,a sedangkan G4 bukan pohon karena ia tidak terhubung(dengan persilangan dua buah sisi – dalam hal ini sisi(a,f ) dan sisi (b,e) – karena titik silangnya bukan menyatakan simpul).
G1
G2
G3
G4
contoh pohon lainnya: diambil dari [LIU85], misalkan himpunan V={a,A,b,B,c,C,d,D} adalah empat pasangan suami-istri tukang gosip, dengan a,b,c, dan d para suami, dan A,B,C,D para istri. Misalkan a menceritakan gosip lewat telpon kepada istrinya A, yang kemudian A menelpon para istri lainnya untuk menyebarkan gosip itu, dan setiap istri itu menelpon dan menceritakan gosip kepada suami masing-masing. Pohon pada Gambar menunjukkan bagaimana gosip tersebut tersebar, dengan simpul menyatakan istri/suami dan sisi menyatakan panggilan telpon.
Karena definisi pohon diacu dari teori graf, maka sebuah pohon dapat mempunyai hanya sebuah simpul tanpa sebuah sisipun. Dengan kata lain, jika G=(V,E) adalah pohon, maka V tidak boleh berupa himpunan kosong, namun E boleh kosong. Pada sebagian literatur, pohon yang dimaksudkan oleh Definisi 9.1 sering disebut juga pohon bebas ( free tree) untuk membedakannya dengan pohon berakar (rooted tree).
2.3Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon
Sifat-sifat (properti) pohon
Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tung gal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari pohon.
soal 1 : Tentukan mana diantara graf – graf dibawah ini yang merupakan pohon atau hutan!
Penyelesaian : a. Gambar (a) merupakan Pohon, karena gambar tersebut tidak memiliki sirkuit dan merupakan graf yang terhubung; b. Gambar (b) merupakan pohon; c. Gambar (c) bukan merupakan pohon maupun hutan, karena terdapat sirkuit yakni dari titik v 3 v4 v5 v3, dan juga merupakan graf terhubung. d. Gambar (d) merupakan Hutan, karena bukan merupakan Graf terhubung.
Soal 2: Tentukan daun dan titik cabang pohon pada gambar di bawah ini.
Penyelesaian : - Titik v4, v 5, v 6, v 7, v8 derajatnya = 1, jadi titik – titik tersebut merupakan Daun. - Titik v1, v 2, v 3 derajatnya masing – masing >1, maka titik – titik tersebut merupakan titik cabang.
soal 3: Sebuah pohon mempunyai 2 buah simpul berderajat 1, 3n buah simpul berderajat 2, dan n buah simpul berderajat 3. Tentukan simpul dan sisi di dalam pohon itu. Penyelesaian: Menurut Lemma Jabat tangan, jumlah derajat semua simpul di dalam graf adalah 2 jumlah sisi di dalam graf tersebut. Jadi, (2 × 1) + (3 × 2) + ( × 3) = 2|| ↔ 11 = 2||
Menurut Teorema 9.1, jumlah sisi pada sebuah pohon adalah jumlah simpul minus satu. Jadi | | = ( 2 + 3 + ) − 1 = 6 − 1 Dengan menyulihkan persamaan terakhir ke persamaan pertama, 11 = 2(6 − 1) = 12 − 2 ↔ = 2
Jadi, jumlah simpul pada pohon = 6 = 6 × 2 = 12 dan jumlah sisi = 6 − 1 = 11
2.4PEWARNAAN POHON Ditinjau dari teori pewarnaan graf, maka pohon mempunyai bilangan kromatik 2. Dengan kata lain, dua buah warna sudah cukup mewarnai simpul – simpul di pohon sedemikian sehingga tidak ada dua buah simpul bertetangga mempunyai warna sama. Pewarnaan pada pohon T dilakukan dengan cara berikut: petakan warna pertama pada sembarang sebuah simpul. Kemudian , petakan warna kedua simpul tersebut yang bertetangga dengan simpul pertama tadi. Selanjutnya, petakan warna pertama kesemua simpul yang bertetangga dengan simpul – simpul yang
2.5POHON MERENTANG Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf merentang yang berupa pohon. Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di dalam graf. -
-
-
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang. Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).
2.6 Aplikasi Pohon Merentang 1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain. 2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.
Contoh 1: Carilah semua pohon rentang yang mungkin dibuat dari graf G yang tampak pada gambar dibawah ini.
Penyelesaian : Di dalam graf tersebut terdapat satu buah sirkuit, yakni sirkuit dari titik v1 v2 v5 v4 v1, karena pohon merupakan graf yang tidak memiliki sirkuit dan pohon rentang adalah subgraf yang harus melibatkan semua titik dalam G, jadi pohon rentang dari Graf tersebut di atas adalah sebagai berikut:
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v4
v5
v6
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v4
v5
v6
Pohon Merentang Minimum -
-
Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon merentang. Pohon merentang yang berbobot minimum –dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree ).
2.7 Algoritma Prim Misalkan T adalah pohon merentang yang sisi-sisinya diambil dari graf G. Algoritma Prim membentuk pohon merentang minimum langkah per langkah.pada setiap
langkah kita mengambil sisi dari graf G yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul-simpul di dalam T tetapi tidak membentuk sirkuit di dalam T. Algoritma Prim : Langkah 1 : ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T. Langkah 2 : pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T. Langkah 3 : ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali. Jumlah langkah seluruhnya di dalam algoritma Prim adalah • 1 + (n – 2) = n – 1 • yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon rentang dengan n buah simpul.
Dalam notasi pseudo-code, algoritma Prim kita tuliskan sebagai berikut : procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubungberbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer
= V
Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T
{(p,q)}
for i1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T T endfor
{(u,v)}
n
contoh soal : Kita akan mencari pohon merentang minimum pada graf yang ditunjukkan pada Gambar 9.7 algoritma Prim. Penyelesaian: Langkah-langkah pembentukan pohon merentang minimum diperlihatkan pada Tabel 9.1. pohon merentang minimum dari graf pada Gambar 9.7(a) adalah seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 9.7(b). Bobot pohon merentang minimum ini adalah 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
Gambar 9.7 (a) Contoh graf untuk algoritma Prim dan Kruskal. (b) Pohon merentang minimum dari graf pada Gambar.
Tabel pembentukan pohon merentang minimum dengan algoritma Prim Langkah
1
Sisi
(1, 2)
(2, 6)
2
Bobot
Pohon rentang 1
10
2
1
10
2
10
25
25
3
(3, 6)
6
1
15
10
3
25
15
6
4
1
(4, 6)
10
2
20 3 4 25 20 15
6
5
(3, 5)
1
10
2
35 45
3 35
4 25 5 55
20
15
6
-
Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
Hal ini terjadi jika ada beberapa sis iyang akan dipilih berbobot sama. Contoh Soal : Gambarkan 3 buah pohon mrentang minimum yang berbeda beserta bobotnya untuk graf pada Gambar 9.8 dengan menggunakkan algoritma Prim. -
Penyelesaian: Graf di atas memiliki beberapa sisi yang berbobot sama, maka ada kemungkinan pohon merentang minimumnya lebih dari satu. Tiga buah di antaranya adalah seperti di bawah ini :
Ketiga buah pohon merentang minimum di atas sama hanya bentuknya yang berbeda, namun jumlah bobot seluruh sisinya tetap sama, yaitu 36.
Algoritma Kruskal ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) . Langkah 1 : T masih kosong Langkah 2 : pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3
: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung – berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer
= V
Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) T {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T T endif endfor
{(u,v)}
contoh soal 4: Tinjau kembali graf pada Gambar 9.7 (a) di atas. Carilah pohon merentang minimumnya dengan algoritma Kruskal. Penyelesaian: Sisi-sisi graf diurut menaik menaik berdasarkan bobotnya:
n
Sisi-sisi diurut menaik: Sisi Bobot
(1,2) 10
Langkah
(3,6) 15
(4,6) 20
Sisi
(2,6) 25
(1,4) 30
(3,5) 35
Bobot
0
1
(1, 2)
10
2
(3, 6)
15
(2,5) 40
(1,5) 45
(2,3) 50
Hutan merentang
1
2
1
2
1
2
3
3
4
5
4
5
6
6 3
(4, 6)
20
1
2
3
5
4 6
4
(2, 6)
25
1
4
2
3
5
(5,6) 55
5
(1, 4)
30
6
(3, 5)
35
ditolak
1
2
3
5 4 6
Pohon merentang minimum yang dihasilkan: 1
10
2
45
3 35
4 25
4
(2, 6)
25
5
55
20
1 15
6
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
4
2
3
5
Pohon Berakar Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).
b e
a b
e
f
d g
a
d
c
d
f
c h
e
g
f b sebagai
h
b g
h
a
akar
e sebagai
Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan dua simpul berbeda sebagai akar
c
akar
Contoh9.5 (contohsoal2) Graph pada Gambar 9.11 (a) adalah pohon berakar dengan akar A karena (1) bila arah pada sisinya diabaikan, graph hasilnya merupakan pohon, dan (2) A berderajat masuk 0, dan semua titik lainnya berderajat masuk 1. Cara biasa untuk menggambarkan graph itu ditunjukkan pada Gambar 9.11 (b).
Titik-titik D, H, E, dan B disebut titik terminal , yaitu titik dengan derajat keluar 0. Sedangkan titik-titik A, C, F, dan G disebut titik internal , yaitu titik yang memiliki derajat keluar yang tidak nol. Contoh 9.6 (contoh soal 3): Perhatikan gambar di bawah ini!
a. b. c. d.
Tentukan tingkat tiap – tiap titik jika akarnya adalah V 2! Berapa tinggi pohon jika akarnya adalah V2? Tentukan anak, orang tua, dan saudara titik V1 jika akarnya adalah V 2. Apakah pertanyaan a – c memiliki jawaban yang berbeda jika akarnya adalah v1? Penyelesaian: Gambar Pohon dengan akar v2 adalah sebagai berikut :
v2
v1
v4
v5
v3
v7
v8
a. Tingkat titik v 1 = v4 = v5 = v6 = 1 Tingkat titik v 3 = 2 Tingkat titik v 7 = v8 = 3 b. Tinggi pohon = 3 c. Anak v1 = v3 ; orang tua v1 = v2; saudara v1 = v4 v5 v6 d. Gambar pohon dengan akar v1
v1
v2
v4
v5
v3
v6
v7
v8
Tingkat titik v 2 = v3 = 1 Tingkat titik v 4=v5=v6=v7=v8=2 Tinggi pohon = 2 Anak v1 = v2 v3; orang tua dan saudara v1 tidak ada karena v1 merupakan akar.
Daftar Pustaka http://naelyrizkyyy.blogspot.co.id/2013/05/matematika-diskrit-pohon_15.html http://nursidratimath.blogspot.co.id/2015/12/makalah-matematika-diskritpohon.html
