MathematicsT STPM Baharu NSem 2012

2 0 1 2 T R IA L S T P M

1 .   T h e

(i) F (ii) S o

B A H A R U

M A T H E M A T IC S T S M K S e c t i o n      A          [  4 5 m a r k s ]     A n s w e r a ll q u e s tio n s in th is s e c tio f u n c t i o n s f a n d g a r e d e f i n e d a s f o l l o w s   f : x    ↦           x   2    – 2 x , x   ∈    ℜ     g : x    ↦           2 x + 3 x  ∈     ℜ       in d th e ra n g e o f f a n d s ta te , w ith a re a s o n , w h e th e r f h a s a n h o w th a t t h e e q u a tio n g f ( x ) = 0 h a s n o r e a l s o l u t io n a n d s ta f g f(x )

S T P A U L S E R E M B A N

N .S .  

n   

in v e rs e t e t h e d o m a i n   

[ 3 ]   [4 ]

 

 

 

 

6    +    7    x     2   . L e t f ( x ) =         (  2    −    x    ) (  1    +     x    2    )  

(i) E x p re s s f(x ) in p a rtia l fra c tio n s [4 ]     ( i i ) S h o w t h a t , w h e n x i s s u f f i c i e n t l y s m a l l f o r x     4     a n d h i g h e r p o w e r s t o b e n e g l e c t e d ,     1    1 5    f ( x ) =      3     +    5    x    −     x    2    −     xx    3    [ 4  ]   2    4    3   . F i n d t h e i n v e r s e o f m a t r i x      A     b y u s i n g e l e m e n t a r y r o w ⎛   −    3     −    1     6     ⎞  

⎜ 

o p e r a t i o n s  

⎟   −    4    ⎟   ⎜  ⎟   ⎝   −    5    −    2    1 1    ⎠  

A     =     ⎜  2   

[ 4 ]  

1   

H e n c e , s o l v e t h e s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s   2 x + y – 4 z = 2    -3 x – y + 6 z = -2    -5 x - 2 y + 1 1 z = -5 4   . T h e c o m p l e x n u m b e r 1 +     i      3    i s d e n o t e d b y z .   ( i ) E x p r e s s z i n t h e f o r m r ( c o s    θ      +    i      i   s  s i n    θ       )   w h e r e

[3 ]    

r > 0 a n d     −     π      <   

θ     

≤    π      . H e n c e , o r    

o t h e r w i s e , f i n d t h e m o d u l u s a n d a r g u m e n t o f z    3     ( i i ) F i n d t h e v a l u e s o f a l l t h e c u b e r o o t s o f 4 + 4     i     3    i n t h e f o r m

[ 3 ]   r ( c o s   θ       +    i     i   s  s i n   

5    . ( i ) F i n d t h e C a r t e s i a n e q u a t i o n o f t h e e l l i p s e w i t h t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n s     x = 3 c o s   θ        - 3 , y = s i n   θ        + 2 (ii) D e te rm in e th e c e n tre , v e rtic e s a n d fo c i a n d s k e tc h th e e llip s e 6   . T h x (i) (ii)

θ      )  

[ 4 ]  

[2 ] [ 6 ]  

e l i n e     l    h  h a s e q u a t i o n      r    =     jj   +     k     + s (  i   – 2    jj   +     k    ) . T h e p l a n e     p    p     h a s t h e e q u a t i o n       + 2 y + 3 z = 5    S h o w t h a t t h e l i n e      l   l  l i e s i n t h e p l a n e      p    p    [ 2  ]   A s e c o n d p l a n e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e      p     p   , p a r a l l e l t o t h e l i n e      l   a  a n d c o n t a i n s t h e        p o i n t w i t h t h e p o s i t i o n v e c t o r 2 i + j + 4 k . F i n d t h e e q u a t i o n o f t h i s p l a n e , g i v i n g y o u  r   a n s w e r in th e fo rm a x + b y + c z = d [6 ]    

2 0 1 2 T R IA L S T P M

B A H A R U

M A T H E M A T S e c t io A n s w e r a n y    o   n

IC S T S M K S T P A U L S E R E M B A N n      B        [  1 5 m a r k s ]     e    q u e s t i o n i n t h i s s e c t i o n      

7   . R e l a t i v e t o t h e o r i g i n O , t h e p o s i t i o n v e c t o r s o f t h e p o i n t s A

a n d B a r e g i v e n b y   

O A     =  2   i   +  3   j     j  –    k     a n  d      j  +  2   k     O B      =  4   i   –  3   j   ( a ) U s e a s c a la r p ro d u c t to f in d th e a n g le A O B , c o rr e c t to th e n e a r e s t d e g re e

(b ) (i) T h e p o in t C o  f     AA B      a n ( i i ) I f     p    p    > 0 , v e rtic e s . (iii)A s tra ig h t o f th e s tra 8   . ( a ) T h e p o l y n fa c to rs (x (i) F in d th e (ii) F in d th e

N .S .  

[ 4 ]  

i s s u c h t h a t     O C     = 6   j     j  +    p        p   k     w h e r e     p      i s a c o n s t a n t . G i v e n t h a t t h e l e n g t h s  

d     AA C      a r e e q u a l , f i n d t h e p o s s i b l e v a l u e s o f      p    p    fin d th e a re a o f th e p a ra lle lo g ra m A B C D w h e re A , B , C a n d D

[ 3 ]   a r e   

[4 ]   l i n e p a s s e s t h r o u g h C w h e r e      p     p    < 0 a n d p a r a l l e l t o A B . F i n d t h e e q u a t i o n       ig h t lin e in c a rte s ia n fo rm [4 ]    

o m ia l p ( x -1 ) a n d (x v a lu e s o f re m a in d e

) = + a a r w

4 x    4     + a x   3    + b x   2    – x + 2 w h e r e a a n d b a r e r e a l c o n s t a n t s h a s   2 )   n d b a n d h e n c e fa c to ris e p (x ) c o m p le te ly [ 7 ]   h e n p (x ) is d iv id e d b y (4 x + 1 ) [3 ]  

( b ) F i n d t h e s e t o f v a l u e s o f x f o r w h i c h    1    3    <     x    −    1     x    +    2   

[ 5 ]  

 

2 0 1 2 T R IA L S T P M

B A H A R U

M A T H E M A T IC S T

S M K

S T P A U L S E R E M B A N

N .S .  

2 0 1 2 T R IA L S T P M

B A H A R U

M A T H E M A T IC S T

S M K

S T P A U L S E R E M B A N

N .S .  

2 0 1 2 T R IA L S T P M

B A H A R U

M A T H E M A T IC S T

S M K

S T P A U L S E R E M B A N

N .S .