Matlab

Milan R. Ristanovi Dragan V. Lazi

UVOD U MATLAB

2

y(t)

1.5

1

0.5

0 1 0.8

10 0.6

8 6

0.4 4

0.2 ζ

2 0

0

Beograd, 2004.

t [s]

i

Predgovor

Ovaj materijal je nastao kao pratea literatura za osnovni kurs Matlaba koji se dri studentima tree godine Odseka za automatsko upravǉaǌe Maxinskog fakulteta u Beogradu. Materijal je osmixǉen da uvede qitaoca u osnovne pojmove u Matlabu i uqini ih razumǉivim, kako bi se stekla jaka osnovna znaǌa za rexavaǌe ineǌerskih problema. Kroz niz jednostavnih primera qitalac se navodi da se osamostaǉuje da bi nastavio da individualno istrauje mogunosti Matlaba. Prvih sedam poglavǉa odnose se na Matlab u opxtem smislu, tako da mogu da ih koriste i studenti i ineǌeri koji se prvi put sreu sa Matlabom. Posledǌa glava sadri deo mogunosti paketa Matalba koji se koristi za analizu i sintezu sistema automatskog upravǉaǌa, i predstavǉa logiqan nastavak prethodnih poglavǉa.

Autori

Sadraj 1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 1 2 2

Matlab i matrice 2.1 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Manipulisaǌe matricama i vektorima 2.4 Operacije nad matricama i vektorima

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 5 6 8 10

3

Ulaz/izlaz podataka 3.1 Ulazno/izlazne datoteke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stringovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Unos podataka sa tastature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 15 16

4

Kontrola toka programa 4.1 Uvod . . . . . . . . . . . . 4.2 While petǉa . . . . . . . . 4.3 For petǉa . . . . . . . . . 4.4 If naredba . . . . . . . . . 4.5 Naredbe break i continue 4.6 Naredba switch . . . . . .

2

5

6

7

Uvod 1.1 Xta je to Matlab . . . . 1.2 Kako se koristi Matlab . 1.3 Rad sa promenǉivama . . 1.4 Rad u komandnom prozoru

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

19 19 19 20 20 21 21

Funkcije 5.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Funkcijska datoteka . . . . . . . . . 5.2.1 Povratna vrednost funkcije 5.2.2 Posebni sluqajevi . . . . . . 5.2.3 Inline . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Funkcija funkcije (feval) .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

23 23 23 24 25 25 26

2D grafika 6.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Kreiraǌe 2D dijagrama . . . . . 6.2.1 Crtaǌe taqke . . . . . . . 6.2.2 Crtaǌe dui . . . . . . . 6.2.3 Crtaǌe krunice . . . . 6.2.4 Familija funkcija . . . . 6.2.5 Vixe funkcija na slici 6.3 Grafiqka obrada slika . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

29 29 29 30 30 30 30 30 32

3D grafika 7.1 Linije u 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Povrxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 35

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

iii

iv 8

9

SADRAJ

. . . . . . . . .

39 39 39 39 41 42 42 42 43 45

Prilozi 9.1 Prilog A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Prilog B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 55

Control Systems Toolbox 8.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Prikazivaǌe sistema u Matlabu . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Model u prostoru staǌa . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Prenosna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Nule, polovi i pojaqaǌa . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Prevoeǌe izmeu razliqitih oblika modela 8.3 Odreivaǌe odziva sistema . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Rastavǉaǌe racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . 8.5 Uqestanosne karakteristike . . . . . . . . . . . . . . .

Literatura

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

57

Spisak slika 5.1 5.2

Jediniqni odskoqni odziv sistema drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . Jediniqni odskoqni odziv sistema drugog reda za razliqite vredosti ζ

28 28

6.1 6.2 6.3 6.4

Koncentriqne krunice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Familija odziva sistema prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odziv i prvi izvod odziva sistema prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . Odziv i prvi izvod odziva sistema prvog reda sa grafiqkom opremom slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 32

7.1 7.2 7.3

Povrx nacrtana funkcijom mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povrx nacrtana funckijom surf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odziv sistema drugog reda u prikazan u tri dimenzije . . . . . . . . . .

36 36 37

8.1 8.2 8.3

Jediniqni odskoqni odziv sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lik staǌa sistema drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompletan lik staǌa sistema drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 44 44

9.1 9.2 9.3

Elementarni bodeovi dijagrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zbirni bodeov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Najkvistov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 48 56

v

33

Poglavǉe 1

Uvod 1.1

Xta je to Matlab

Matlab je vixi programski jezik nameǌen obradi podataka u formi matrica i brojeva. Sam naziv Matlab izveden je od Matrix Laboratory, qime se sugerixe da su matrice osnovni entiteti za numeriqke proraqune, za razliku od skalara kao kod niih programskih jezika kao xto su FORTRAN, PASKAL ili C. Zahvaǉujui fleksibilnom okrueǌu koje integrixe proraqune sa vizuelizacijom, xirokom spektru ugraenih funkcija kojima se efikasno dolazi do numeriqkih rexeǌa, mogunoxu razvoja algoritama i programiraǌa, Matlab se nametnuo kao nezamenǉiv alat za rexavaǌe problema u gotovo svim oblastima ineǌerske prakse.

1.2

Kako se koristi Matlab

Nakon pokretaǌa Matlaba na ekranu se otvara komandni prozor Matlaba na kome se uoqava komandna linija, u qijem se levom uglu nalazi prompt “>>”, a odmah pored i kursor koji trepti. Komandni prozor Matlaba treba zamisliti kao radni prostor ekvivalentan praznom listu hartije, na kome je mogue vrxiti razliqite akcije posredstvom komandne linije. Komandna linija slui da se izda naredba Matlabu. Nakon xto se izda naredba, ona se nee izvrxiti dok god se ne pritisne taster . Sve naredbe koje se izvrxe u komandnoj liniji, kao i promenǉive nastale posredstvom tih naredbi se automatski smextaju u memoriju i mogu se naknadno koristiti dok god se ne napusti trenutna seansa u Matlabu. Ako se u nekoj naredbi ne definixe promeǉiva kojoj se dodeǉuje vrednost nekog izraza, Matlab tada dodeǉuje vrednost generiqkoj promenǉivoj ans. Prirodno, prilikom izraqunavaǌa sledeeg izraza, nova vrednost e biti prepisana preko prethodne vrednosti promenǉive ans. U jednoj komandnoj liniji moe da se nalazi jedan ili vixe izraza. Najjednostavniji naqin da se upotrebi Matlab jeste kao veoma moan kalkulator. Aritmetiqke, trigonometrijske ili eksponencijalne operacije se izvode posredstvom poziva ugraenih Matlab funkcija. Osim osnovnih, Matlab je opremǉen velikom kolekcijom funkcija koje omoguavaju veoma sloene matematiqke operacije. Pored toga, Matlab dopuxta korisniku da definixe sopstvene funkcije. Kada je potrebno uneti vixe naredbi u komandni prozor, ili je potrebno ponovo pozivati i meǌati izraze, rad u komandnoj liniji poqiǌe da predstavǉa ozbiǉno ograniqeǌe. Potencijalni problemi mogu da se rexe uvoeǌem skript datoteka, tj. datoteka koje sadre jednu ili vixe naredbi koje bi se izvrxile na isti naqin kao kad bi se jedna po jedna unosile u komandnu liniju u komandnom prozoru Matlaba. Skript datoteka je tekstualna datoteka sa ekstenzijom “.m”, koja moe da se kreira u bilo kom programu za obradu teksta, osnosno u editoru teksta i dibageru koji je deo paketa Matlaba. Kreirana skript datoteka se izvrxava kucaǌem ǌenog imena u komandoj liniji bez sufiksa “.m” ili direktno iz Matlabovog editora. 1

2

Poglavǉe 1. Uvod

1.3

Rad sa promenǉivama

Matlab razlikuje identifikatore promenǉivih duine do 31 alfanumeriqki karakter, pri qemu se karakteri posle tridesetprvog ignorixu. Identifikator promenǉive obavezno mora poqeti slovom, dok ostali karakteri mogu biti kombinacija slova, brojeva i znaka podvuqeno ( ). Identfikator promenǉive ne sme da sadri blanko karakter. Matlab razlikuje velika/mala slova u imenu identfikatora promenǉive. Prilikom odreivaǌa identifikatora moe se pridravati jedne od dve programerske konvencije. U prvoj se koriste doǌe crte, dok se kod druge koriste velika slova, kao npr.: ime promenljive odnosno ImePromenljive. Postoje i specijalne promenǉive qiji su nazivi rezervisani i to su: ans, pi, eps, flops, inf, nan, i, j, nargin, nargout, realmin, realmax. Za vreme jedne sesije rada sa Matlabom, tj. dokle god se ne napusti program, u memoriji se quvaju najnovije vrednosti svih definisanih promenǉivih nastalih u komandnoj liniji ili u skript datoteci. Kao xto je prethodno napomenuto, vrednost neke brojqane vrednosti dodeǉene nekoj promenǉivoj se ponovo mogu koristiti jednostavnim kucaǌem identifikatora te promenǉive ili u okviru nekog izraza. Promenǉive se brixu iz memorije naredbom clear. Da bi se videlo koje su promenǉive definisane od posledǌeg izvrxeǌa naredbe clear, dovoǉno je otkucati whos. Skromnija varijanta narebe whos je who. Ako se eli da se iz memorije izbrixu samo pojedine promenǉive to se qini naredbom clear i navoeǌem liste identifikatora promenǉivih razdvojenih blanko karakterom.

1.4

Rad u komandnom prozoru

Svaka naredba u komandnoj liniji moe da ima jedan od dva sledea oblika: >> promenljiva = izraz ili >> izraz Dakle, ako elimo da definixemo tri promenǉive a = 5.23, b = 3 i c = −0.68, to se moe uqiniti na sledei naqin: >> a=5.23 a = 5.2300 >> b=3 b = 3 >> c=-0.68 c = -0.6800 Oqigledno je da je Matlab dao ogovarajui ispis na naredbe ispisujui identifikator i vrednost promenǉive. Stavǉaǌe specijalnog znaka taqka-zarez (;) kao posledǌeg karaktera u naredbi ima za posledicu spreqavaǌe ispisa na tu naredbu. Na primer: >> a=5.23; >> b = 3; >> c=-0.68; Matlab dozvoǉava unos vixe naredbi u komandoj liniji, koje moraju biti razdvojene bilo zarezom (,), ili sa znakom taqka-zarez (;). Ako se koristi zarez, tada sistem daje ispis na naredbu. Prethodni unos se moe kompaktnije napisati kao: >> a=5.23; b=3; c=-0.68;

1.4. Rad u komandnom prozoru

3

Nad promenǉivama je mogue vrxiti aritmetiqke operacije. Recimo da je potrebno sraqunati sledei izraz: d=

√ b

a − 2c

Naredba u komandnoj liniji koja odgovara ovom izrazu bila bi: >> d=(a - 2*c)^(1/b) Da bi se izvrxio numeriqki proraqun, promenǉive u izrazu moraju prethodno da budu definisane, inaqe e se pojaviti poruka o grexci. Poxto su vrednosti promenǉivih a, b i c poznate, nakon izvrxeǌa naredbe sistem vraa vrednost: d = 1.8748 Prilikom izvrxavaǌa aritmetiqkih operacija, Matlab vodi raquna o prioritetu opreratora. Korisno je koristiti Matlabov help sistem iz komandne linije jednostavnim ukucavaǌem help ImeFunkcije. Osim toga, veoma koristan je i ulaz sa tastature ∧c (jednovremen stisak na Ctrl i c) koji obezbeuje prekid izvrxavaǌa skript datoteke ili funkcije. U komandnoj liniji se mogu nai prethodno unete naredbe koje se izlistavaju pomou kurzorskih tastera (↑) i (↓). Pre pritiska na taster mogue je izmeniti pozvanu naredbu.

Poglavǉe 2

Matlab i matrice 2.1

Matrice

Neka je skup A poǉe (A = P) i neka su ǌegovi elementi oznaqeni sa a11 , a12 , . . . , amn . Skup od mn elemenata a11 , a12 , . . . , amn poǉa A ureen u obliku pravougaone xeme   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n     .. .. ..  , ..  . . . .  am1 am2 · · · amn naziva se m × n matrica i oznaqava se sa Amn = (aij )m n , ili krae, Amn = (aij ) qim su brojevi m i n poznati. Koriste se i oznake Amn = kaij k, Amn = [aij ], itd. Skalar aij se naziva (i, j)-ti element matrice A. Elementi ak1 , ak2 , . . . , akn qine k-tu vrstu matrice A, a elementi a1k , a2k , . . . , amk qine ǌenu k-tu kolonu. Poxto su elementi aij matrice A elementi poǉa A kae se da je A m × n matrica nad poǉem A. Jasno je da m oznaqava broj vrsta, a n broj kolona. Ako je broj vrsta jednak broju kolona (m = n) matrica je kvadratna. U suprotnom sluqaju matrica je pravougaona. Matrica u Matlabu moe da se kreira na sledei naqin: >> A=[1 2 -3; 4 -1 8; -3 0 6] pri qemu Matlab na ekranu daje, A = 1 4 -3

2 -1 0

-3 8 6

xto predstavǉa matricu (3 × 3) 

 1 2 −3 8  A =  4 −1 −3 0 6 Prilikom unosa matrice, elementi po vrstama se moraju razdvojiti ili blanko simbolom ili znakom (,), dok se vrste razdvajaju znakom (;). Dimenzija matrice moe da se odredi pomou naredbe size(A) ili [m,n] = size(A) Ako su svi elementi aij = 0 tada se matrica naziva nula matrica, A = (0) = 0. Naredba 5

6

Poglavǉe 2. Matlab i matrice

u Matlabu za nula matricu dimenzije (r, c) je zeros(r,c) Na primer: >> nula_mat = zeros(2,3) nula_mat = 0 0

0 0

0 0

Elementi a11 , a22 , . . . , ann kvadratne n × n matrice A qine ǌenu glavnu dijagonalu. Ako su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli, aij = 0, ∀i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j, tada se kvadratna matrica naziva dijagonalna i oznaqava sa A = diag {a11 a22 . . . ann }. Dijagonalna matrica se formira na sledei naqin >> d = diag([1 2 6]) d = 1 0 0

0 2 0

0 0 6

Ako su svi elementi aii dijagonalne n × n matrice jednaki jedinici ona se naziva jediniqna matrica i oznaqava sa In , In = diag {1 1 . . . 1}. Naredba u Matlabu sa formiraǌe jediniqne matrice reda n je eye(n) tako da sledea naredba daje: >> I = eye(3) I = 1 0 0

2.2

0 1 0

0 0 1

Vektori

Matrica An1 tipa n × 1 se naziva vektor kolona, ili krae, vektor, a matrica B1n se naziva vektor vrsta. Transpozicijom vektora kolone dobija se vektor vrsta i obratno. Vektore emo oznaqavati sa a = (ai ), b = (bi ), itd.:   a1  a2    a =  .  ⇒ aT = a1 a2 · · · a n .  ..  an

2.2. Vektori

7

Qesto emo vektore prikazivati pomou vektora vrsta: aT = a 1 a 2 . . . a n ,

Vektori se kreiraju na jedan od sledeih naqina: a = [a b c . . .] ili a = [a, b, c . . .]

gde su a, b, c, . . . bilo identifikatori promenǉivih, brojevi, izrazi, ili stringovi. U prvom sluqaju, izmeu simbola se zahteva blanko karakter, dok u drugom sluqaju po eǉi moe da se izostavi. Vano je napomenuti, da ako se na mestu nekog elementa matrice eksplicitno napixe matematiqki izraz, onda izmeu alfanumeriqkih karaktera i simbola matematiqkih operatora ne smeju da se stavǉaju blanko karakteri. Matlab prua vixe razliqitih naqina da se dodele brojqane vrednosti vektoru. Jedan od naqina je da se specificira opseg vrednosti i priraxtaj izmeu dva susedna broja naredbom oblika: x = pocetna vrednost:prirastaj:krajnja vrednost Na primer: >> t = 0:0.1:2 t = Columns 1 through 12 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 Columns 13 through 21 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000 Duina tako nastalog niza se moe odrediti naredbom n = length(t) Ako se prilikom ovakvog definisaǌa vektora izostavi priraxtaj, Matlab podrazumeva da je razlika izmeu susednih vrednosti 1. Tako da sledea naredba daje: >> t = 0:10 t = 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

S druge strane, mogue je specificirati n jednako udaǉenih vrednosti poqev od poqetne sve do krajǌe vrednosti: x = linspace(pocetna vrednost,krajnja vrednost, n) recimo, >> t = linspace(0,2,21) t =

8


Columns 1 through 12 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 Columns 13 through 21 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000 Podjednako razmaknute vrednosti na logritamskoj skali se dobijaju naredbom x=logspace(pocetna vrednost,krajnja vrednost, n)

2.3

Manipulisaǌe matricama i vektorima

Neka je kreiran vektor b koji ima jednu vrstu i n kolona b = [b1 b2 b3 . . . bn ] Mogue je pristupiti svakom elementu matrice ili vektora. U sluqaju da elimo da pristupimo, na primer, elementu b3 , Matlabova notacija bi bila b(3), odnosno Maltab e da vrati vrednost dodeǉenu treem elementu vektora b. Iako je vektor b, zapravo (1 × n) matrica, Matlabov intepretator je inteligentan da u sluqaju vektora ignorixe dvostruko indeksiraǌe. Drugim reqima, naredba b(3) ima isti smisao kao b(1,3). Meutim, ako se zahteva sledea naredba b(3,1), pojavie se poruka o grexci, zato xto trea vrsta nije ni definisana. Ako definixemo vektor b kao b = [b1 b2 b3 . . . bn ]’ to znaqi da smo kreirali vektor kolonu, tj. (n × 1) matricu. Trei element vektora se indeksira sa b(3), ili b(3,1). Meutim, ako se zahteva b(1,3), Matlab e javiti poruku o grexci jer trea kolona ne postoji. Neka je vektor x definisan kao x = [1 3 -5 8 2 0 -1 4 -3] xto oqigledno predstavǉa vektor saqiǌen od devet elemenata. Ako elimo da kreiramo novi vektor y saqiǌen od prvog, treeg, qetvrtog, petog i devetog elementa vektora x to moe biti uqiǌeno na sledei naqin y = [x(1) x(3) x(4) x(5) x(9)] xto daje y = [1 -5 8 2 -3]. To moe da se uradi i drugaqije: y = [x(1) x(3:5) x(9)] ili, y = x([1 3:5 9]) Isti rezultat se dobija ako se najpre definixe vektor koji sadri odgovarajue indekse index = [1 3:5 9]

2.3. Manipulisaǌe matricama i vektorima

9

y = x(index) Svakom elementu matrice je mogue dodeliti novu vrednost, x(1) = 2; x(4) = -7; sliqno, svakom vektoru, odnosno elementima vektora, moemo da dodamo ili da oduzmemo skalar. x = x+1; ili da odreene elemente pomnoimo ili podelimo skalarom, x(1) = x(1)/3; x(2:5) = x(2:5)/x(1); x(7) = x(7)+2; xto daje kao rezultat x = [1 4 -4 -6 3 1 2 5 -2]. Ako bi smo eleli da sortiramo dobijeni vektor u rastuem nizu to lako moemo da uqinimo pomou funkcije sort z = sort(x) na koji naqin dobijamo vektor z = [-6 -4 -2 1 1 2 3 4 5]. Vixe o mogunostima svake naredbe, pa i naredbe sort se moe dobiti iz Matlabovog help sistema. Pretpostavimo da iz vektora x elimo da izdvojimo, recimo, samo nepozitivne vrednosti. Naredba find odreuje mesto (ne vrednost) elemenata vektora ili matrice koji zadovoǉavaju specificirani uslov ili izraz, tako da je mogue napisati: index = find(x<=0) xto vraa index = [3 4 9], a novi vektor u koji sadri samo nepozitvne elemente vektora x moe da se dobije na sledei naqin u = x(index) Oqigledno je da smo u naredbi find iskoristili relacijski operator 6 qija je notacija u Matlabu <=. Da bi smo znali kako se u Matlabu pixu operatori, najboǉe je da koristimo help sistem. Otuda, ako u komandoj liniji napixemo help +, ili help > i sl., na ekranu e se pojaviti sintaksa za sve operatore. Vektori mogu da poslue da se formiraju matrice. Naime, tri vektora vrste duine 5 daju matricu (3 × 5): >> x1 = (0:4); >> x2 = 1:0.25:2; >> x3 = [-24 38 12 8 1]; >> A = [x1; x2; x3] A = 0 1.0000 2.0000 1.0000 1.2500 1.5000 -24.0000 38.0000 12.0000

3.0000 1.7500 8.0000

4.0000 2.0000 1.0000

Meutim, ako se isti vektori posmatraju kao matrice kolone, onda mogu da daju matricu (5 × 3): >> x1 = (0:4); >> x2 = 1:0.25:2; >> x3 = [-24 38 12 8 1]; >> A = [x1’, x2’, x3’] A =

10

Poglavǉe 2. Matlab i matrice 0 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000

1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000

-24.0000 38.0000 12.0000 8.0000 1.0000

Svakom elementu matrice se pristupa na isti naqin kao i kod vektora. Meutim, veoma je korisno nauqiti kako iz matrice izdvojiti odreenu vrstu, odnosno kolonu. Za to slui sledea notacija A(3,:) xto bi znaqilo “trea vrsta, sve kolone”, odnosno, A(:,3) xto se qita “sve vrste, trea kolona”. Ako elimo da iz matrice izdvojimo prve tri vrste i posledǌe dve kolone, prirodno se namee sledea notacija A(1:3,2:3) U Matlab su ugraene dve naredbe repmat i meshgrid koje omoguavaju da se kreiraju matrice umnoavaǌem skalara, vektora vrste/kolone, ili matrice odreen broj puta. U odreenim situacijama kada je potrebno zameniti mesta vrstama, odnosno kolonama, takve manipulacije nad matricama se efikasno rexavaju naredbama flipup, odnosno fliplr. Konaqno, ako je potrebno da se izbaci neka od vrsta ili kolona date matrice, to se qini tako xto se te vrste i kolone izjednaqe sa praznom matricom, tj. izrazom [], pri qemu se izmeu uglastih zagrada ne nalazi blanko karakter. Tako, npr. ako iz matrice A elimo da izbacimo prvu i qetvrtu vrstu i posledǌu kolonu, to bi izgledalo >> A([1 4],:) = []; >> A(:,3) = [] A = 1.0000 1.2500 2.0000 1.5000 4.0000 2.0000

2.4

Operacije nad matricama i vektorima

Matlab podrava aritmetiqke operacije nad matricama istog tipa i to na elementoj osnovi, dakle u aritmetiqkim operacijama uqestvuju korespodentni elementi obe matrice. U tu svrhu se uvodi dot (.) operator. Taqka (.) koja prethodi nekom operatoru (kao * / \ ili ˆ) oznaqava matriqnu operaciju. Na primer, ako su definisane (3 × 4) matrice A i B



a12 a22 a32

a13 a23 a33

 a14 a24  a34



b12 b22 b32

b13 b23 b33

 b14 b24  b34

a11 A =  a21 a31 b11 B =  b21 b31

2.4. Operacije nad matricama i vektorima

11

eksplicitno se mogu napisati rezultati sledeih dot operatora 

a12 b12 a22 b22 a32 b32

a13 b13 a23 b23 a33 b33

 a14 b14 a24 b24  a34 b34



a12 /b12 a22 /b22 a32 /b32

a13 /b13 a23 /b23 a33 /b33

 a14 /b14 a24 /b24  a34 /b34



b12 /a12 b22 /a22 b32 /a32

b13 /a13 b23 /a23 b33 /a33

 b14 /a14 b24 /a24  b34 /a34

a12ˆb12 a22ˆb22 a32ˆb32

a13ˆb13 a23ˆb23 a33ˆb33

 a14ˆb14 a24ˆb24  a34ˆb34

a11 b11 C = A. ∗ B =  a21 b21 a31 b31 a11 /b11 C = A./B =  a21 /b21 a31 /b31 b11 /a11 C = A.\B =  b21 /a21 b31 /a31 

a11ˆb11 C = A.ˆB =  a21ˆb21 a31ˆb31

Dot operator moe da se primeni i na skalarne konstante, ali samo kada se koristi dot operator kao eksponent. Na primer, ako elimo da sraqunamo potencije broja 2 od nulte do sedme, to moemo da uqinimo na sledei naqin >> x = 0:7; y = 2.^x y = 1 2 4

8

16

32

64

128

Obrnuto, mogue je elemente vektora x dii na kvadrat, tako da se dobija: >> x = 0:7; y = x.^2 y = 0 1 4

9

16

25

36

49

Dot operatori mogu da se kombinuju sa funkcijama i vektorima. Ako je potrebno da se sraquna vrednost funkcije, na primer: y(t) = t2 e−t/2 sin(3t +

π ) 8

za t ∈ [0, 0.1, . . . 10], kompaktno rexeǌe problema bi bilo t = 0:0.1:10; y = t.^2.*exp(-t/2).*sin(3*t+pi/2); Korisne naredbe za rad sa vektorima su sum i cumsum. Ako je norma vektora x = T x1 x2 · · · x n definisana sa v u n uX 1 kxk = (xT x) 2 = t x2i , i=1

tada se ona naziva Euklidova norma vektora x ∈ Rn i ona moe da se sraquna na sledei naqin: norma = sum(x.^2)^0.5

12


Matlab poseduje i svoju naredbu za izraqunavaǌe norme, norm. Transponovaǌe matrica se vrxi operatorom apostrof (’). Tako da ako je matrica A tipa (m × n)   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A= . .. ..  . . .  . . . .  am1 am2 · · · amn onda je B = A’ matrica (n × m)  b11  b21  B = A0 =   bn1

= a11 = a12 .. .

b12 = a21 b22 = a22 .. .

··· ··· .. .

b1m = am1 b2m = a2m .. .

= a1n

bn2 = a2n

···

bnm = amn

    

Primer: >> A = [1 2 4; 6 0 5] A = 1 2 4 6 0 5 >> B = A’ B = 1 6 2 0 4 5 Sabiraǌe/oduzimaǌe matrica je definisano samo za matrice A i B istog tipa (m = l, n = k) na sledei naqin A ± B = (aij ± bij ) Mnoeǌe matrice A skalarom α je odreeno sa αA = (αaij ). Matriqno mnoeǌe je definisano samo za matrice saglasnog tipa. Da bi matrica Amn mogla da se pomnoi s desna matricom Blk potrebno je i dovoǉno da je n = l. U tom sluqaju rezultujua matrica C = (cij )pq = AB je odreena sa: 1. p = m ∧ q = k n P 2. cij = aiν bνj , ∀i = 1, 2, . . . , m, ∀j = 1, 2, . . . , k. ν=1

Naredba u Matlabu kojim se izraava AB je

A*B Ovim je istovremeno pokazano kako se matrica B mnoi matricom A s leva. U opxtem sluqaju je AB (ako ima smisla) razliqito od BA (pod uslovom da i ovo ima smisla). Ako oba ova proizvoda imaju smisla i jednaka su, AB = BA, tada su A i B komutativne matrice. Za transpoziciju proizvoda AB vai (AB)T = BT AT . Ako je vektor a vektor vrsta a=

a1

a2

· · · an

b=

b1

b2

· · · bn

reda (1 × n) i b vektor kolona

0

2.4. Operacije nad matricama i vektorima

13

tada (a, b) = ab oznaqava ǌihov skalarni proizvod ili unutraxǌi proizvod, jer je u matriqnom smislu ovakav proizvod daje (1 × n)(n × 1) = (1 × 1) matricu. Naredba u Matlabu za skalarni proizvod ova dva vektora je a*b ili dot(a,b) Meutim, ako je b (m × 1) vektor kolona i ako je a (1 × n) vektor vrsta, onda ǌihov proizvod ba daje matricu (m × n), jer je (m × 1)(1 × n) = (m × n). Neka su A i B kvadratne matrice reda n takve da je AB = BA = I. Tada i samo tada je matrica B inverzna matrica matrice A, xto se oznaqava sa B = A−1 . Odatle sledi, A−1 A = AA−1 = I. Oqigledno je matrica A istovremeno inverzna matrica matrice B, A = B−1 . Kvadratna matrica ima inverznu matricu ako je ǌena determinanta razliqita od nule. U Matlabu determinanta moe da se izraquna naredbom det, na primer >> A = [1 3; -2 4]; >> d = det(A) d = 10 Izraz kojim se dobija inverzna matrica je A^-1 ili, inv(A) Svaki broj λ i vektor x koji zadovoǉavaju Ax = λx, A ∈ Rn×n , nazivaju se karakteristiqna (sopstvena) vrednost i karakteristiqni (sopstveni) vektor matrice A. Matrica λI − A naziva se karakteristiqna matrica matrice A, a n P det (λI − A) = ci λi , cn = 1, je karakteristiqni polinom matrice A. Jednaqina

i=0

det (λI − A) = 0, je karakteristiqna jednaqina matrice A i ona ima taqno n rexeǌa koja ne moraju sva da budu meusobno razliqita. Ova rexeǌa su oqigledno sopstvene vrednosti matrice A. Koeficijenti karakteristiqnog polinoma p(λ) = det (λI − A) = λn + cn−1 λn−1 + · · · + c1 λ + c0 , se nazivaju korenovi ili sopstvene vrednosti ove jednaqine i mogu da se izraqunaju

14


lambda=eig(A) Dat je sistem skalarnih diferencijalnih jednaqina u vektorskom obliku Ax = h, h =

h1

h2

. . . hm

T

, A ∈ Rm×n , x ∈ Rn

(2.1)

On je saglasan ako i samo ako postoji najmaǌe jedno x∗ za koje je Ax∗ = h. Ovo x∗ je rexeǌe datog sistema. Ako rexeǌe sistema jednaqina ne postoji onda je on nesaglasan. Ako je A kvadratna matrica reda n (m = n) tada sistem pri h 6= 0 ima jedinstveno rexeǌe ako i samo ako je A nesingularna matrica. x=A^-1*h ili, x=inv(A)*h Meutim, za rexavaǌe sistema linearnih jednaqina, Matlabu vixe odgovara operator obrnuta kosa crta (\) x=A\h xto predstavǉa deǉeǌe matrica s leve strane. Ova notacija moe da se primeni i u sluqaju kada matrica A nije kvadratna, tada deǉeǌe matrica s leva x = A\h, zapravo izvodi pseudo inverziju matrice A, x = (AT A)−1 AT h. Ovakav pristup ima prednosti jer je vreme sraqunavaǌa izraza krae nego da se trai inverzna matrica. Osim toga, u sluqaju velikih matrica ovaj pristup daje taqnije rexeǌe. Qitaocu se ostavǉa da istrai mogunosti nekih od vanih naredbi za rad sa matricama kao xto su: rank, expm, pinv, cond i svd. Spisak svih ugraenih funkcija u Matlabu za rad sa matricama se dobija sa help matfun

Poglavǉe 3

Ulaz/izlaz podataka 3.1

Ulazno/izlazne datoteke

Podaci koji se koriste za obradu, ili podaci koji predstavǉaju rezultat obrade se mogu uqitati, odnosno saquvati u datotekama. Razlikuju se dve osnovne vrste datoteka: teksualne i binarne. Podaci se iz datoteke unose u radnu memoriju Matlaba naredbom load Ako se radi o tekstualnoj datoteci, naredba load qita red po red te datoteke dok ne doe do sekvence koja predstavǉa kraj reda. Podaci u okviru reda se razdvajaju blanko karakterom ili zarezom. Broj kolona u okviru svake vrste mora da bude isti, a broj vrsta u svakoj koloni takoe mora da bude isti. Ako se u datoteci podaci.dat nalaze podaci koje elimo da uqitamo, jedan od naqina da to uradimo je naredbom load podaci.dat U radnoj memoriji e se pojaviti matrica koja ima isto ime kao i sam naziv datoteke samo bez ekstenzije (u ovom sluqaju bez “.dat”). To moe da se vidi naredbom whos. Na goreopisani naqin se uqitava navedena datoteka koja se nalazi u tekuem direktorijumu. U suprotnom, neophodno je ili navesti celokupnu putaǌu gde se nalazi datoteka, ili podestiti radni direktorijum. Pretpostavimo da su kao rezultat izraqunavaǌa nastali vektori kolone x, y, i z, jednakih duina. Ako hoemo da snimimo dobijene rezultate kao tekstualnu datoteku, moemo najpre da vektore poreamo u matricu, npr. out, a zatim bi trebalo da napixemo: out = [x y z]; save izlaz.dat out -ascii Binarna datoteka se snima tako xto se navede ime fajla sa ekstenzijom “.mat” i navede lista promenǉivih. Ako se izostavi ekstenzija, onda se imenu datoteke automatski pridodaje “.mat”. Prilikom uqitavaǌa binarne datoteke, ako se navede ime datoteke bez ekstenzije, Matlab tu datoteku takoe tretira kao binarnu. Prilikom uqitavaǌa binarne datoteke, sve zahtevane promenǉive se pojavǉuju u radnom prostoru.

3.2

Stringovi

Matlab podrava kreiraǌe, quvaǌe i manipulisaǌe matrica sa bilo kojom kombinacijom slova, brojeva i specijalnih znakova, tj. stringova. Stringovi se definixu na sliqan naqin kao vektori i matrice, s tim xto se prilikom definisaǌa stringa alfanumeriqki karakteri nalaze izmeu jednostrukih znakova navoda (’ . . . ’). Svaki karakter u stringu predstavǉa jedan element u vektoru ili matrici. Definiximo sledei string ’Masinski fakultet’, xto bi bilo ekvivalentno kreiraǌu 15

16

Poglavǉe 3. Ulaz/izlaz podataka

sledeeg vektora: s = ’Masinski fakultet’ ili s = [’Masinski fakultet’] Poxto svaki karakter predstavǉa element matrice, ako elimo da izvojimo fakultet iz prethodnog stringa, trebalo bi da uzmemo elemente vektora od desetog do sedamnaestog: >> s(10:17) ans = fakultet Korisna naredba koja pretvara brojqanu vrednost u string je num2string. Ova naredba se najqexe koristi kada je potrebno ispisati neku konkretnu brojqanu vrednost na sliku ili u komandni prozor Matlaba. Na primer, ako elimo da ispixemo vrednost promenǉive snaga, komanda u Matlabu bi bila: >> snaga = 3.777; ispis = num2str(snaga); disp([’Korisna snaga: ’ ispis ’ kW’]) Korisna snaga: 3.777 kW Matlab dopuxta da se definixe broj cifara koji e da se konvertuje u string, pri qemu je prvi argument naredbe broj koji se konvertuje, dok je drugi broj cifara. Prethodni primer moe kompaktnije da se napixe: >> snaga=3.777; disp([’Korisna snaga: ’ num2str(snaga,2) ’ kW’]) Korisna snaga: 3.8 kW Proxirene mogunosti za formatizovani ispis podataka se mogu dobiti naredbom fprintf, qija je sintaksa: fprintf(identifikator datoteke, format string, lista promenljivih) Ako se umesto identifikatora datoteke stavi ‘1’, to znaqi da e ispis ii na ekran. O ostalim identifikatorima videti u helpu. Format string sadri specifikatore formata ispisa. Naime, svakoj promenǉivoj iz liste promenǉivih se mora dodeliti korespodentan specifikator formata koji opisuje poǉe kako e odgovarajue promenǉive da se ispixu. Specifikatori formata poqiǌu znakom % i opciono sadre flegove, xirinu i preciznost poǉa, specifikatore podtipa i karaktere konverzije. Taqnije, format string je potpuno preuzet iz programskog jezika C. Sledei primer ilustruje upotrebu ove naredbe: >> br = 3; p = 210; t = 293.7; >> fprintf(1,’br.merenja: %1d \nprit: %3.0f Pa \ntemp: %5.1f K’,br,p,t) br.merenja: 3 prit: 210 Pa temp: 293.7 K

3.3

Unos podataka sa tastature

Naredba kojom se na ekranu ispisuje odgovarajua poruka i nakon qega se od korisnika oqekuje da unese izvesne podatke sa tastature je input.

3.3. Unos podataka sa tastature

17

>> n = input(’Unesi broj jabuka: ’); Unesi broj jabuka: 32 Na ovaj naqin smo uneli skalar. Naredba za unos vektora je potpuno ista, s tim xto nakon ispisane poruke korisnik mora da unese elemente vektora strogo izmeu uglastih zagrada. Prirodno, u sluqaju unosa matrice, moraju da se poxtuju pravila za kreiraǌe matrica. Kod unosa stringa, naredba input ima dodatni argument ’s’: >> ime = input(’Kako se zoves: ’,’s’); Prilikom unosa striga na ovaj naqin ne zahteva se upotreba jednostrukih znakova navoda, zahvaǉujui ’s’. Inaqe, string je mogue uneti kao i svaki drugi niz, ali samo izmeu jednostrukih znakova navoda. Ako se na naredbu input u komandnoj liniji ne unese nikakav karakter, ve se pritisne taster return, naredba input vraa praznu matricu.

Poglavǉe 4

Kontrola toka programa 4.1

Uvod

Kontrola toka izvrxavaǌa naredbi u okviru programa napisanog u Matlabu se vrxi pomou sledee qetiri naredbe: while, if, for i switch. Sintaksa ovih naredbi odreuje da se svaka od ovih naredbi zavrxava naredbom end. Dakle, sve naredbe ili izrazi koji se nalaze izmeu jedne od naredbi kontrole toka programa i naredbe end e se izvrxiti ako je zadovoǉen odgovarajui logiqki uslov. U okviru jedne naredbe kontrole toka je mogue ugnezditi i druge naredbe za kontrolu toka. Kada se koriste naredbe za kontrolu toka programa, dobra programerska praksa je da se naredbe koje se nalaze pod kontrolom tih naredbi uvuku nekoliko karaktera. Nazubǉivaǌe programa znatno poveava qitǉivost programa qime se olakxava traeǌe grexaka i odravaǌe programa. Kada se koristi Matlabov editor/dibager, nazubǉivaǌe se vrxi automatski.

4.2

While petǉa

While petǉa je petǉa sa izlaskom na poqetku. Sintaksa naredbe while izgleda while uslov naredbe end Naredba while ponavǉa naredbe neograniqen broj puta sve dok je ispuǌen uslov. Uslov se najqexe daje kao izraz u obliku izraz relacijski operator izraz Nenulta vrednost izraza se tretira kao logiqki taqna. Sledei program ilustruje primenu while naredbe za sraqunavaǌe prvih N elemenata sledeeg niza, SN =

N X 1 2 n n=1

s tim da priraxtaj niza mora da bude maǌi od 1 · 10−5 . n = 1; S = 0; eps = 1e-5; while 1/n^2 > eps S = S + 1/n^2; n = n + 1; end fprintf(1,’Suma %d elemenata je S = %6.4f’,n,S)

19

20

Poglavǉe 4. Kontrola toka programa

4.3

For petǉa

For petǉa je takoe petǉa sa izlaskom na poqetku. Sintaksa ove naredbe je: for promenljiva = izraz naredbe end For petǉa ponavǉa naredbe odreen broj puta. Qesto promenljiva = izraz ima oblik brojachka promenljiva = N 1 : N 2 : N 3, pri qemu je N 1 inicijalna vrednost, N 3 krajǌa vrednost, a N 2 priraxtaj indeksne promenǉive. Treba primetiti da N 3 moe da bude maǌa od N 1, u kom sluqaju N 2 mora da bude negativno. Ako se N 2 izostavi, podrazumeva se da se indeksna promenǉiva uveava za jedan. Primena for petǉe e biti ilustrovana na sledeem primeru. Recimo da je potrebno sraqunati sumu kvadrata svih elemenata (m × n) matrice A = magic(5); [m,n] = size(A); S = 0; for k=1:m for l=1:n S = S + A(k,l)^2; end end disp([’Suma kvadrata elemenata matrice A je: ’,num2str(S)])

4.4

If naredba

Opxti oblik naredbe if je if uslov1 naredbe1 elseif uslov2 naredbe2 else naredbe3 end Ako je ispuǌen uslov1, izvrxavaju se naredbe1, a zatim se izvrxava prva sledea naredba nakon end. Ako uslov1 nije ispuǌen, ispituje se uslov2. Ukoliko je taj uslov ispuǌen, izvrxavaju se naredbe2, a zatim se izvrxavaǌe programa nastavǉa ispod end. Ukoliko ni jedan od uslova nije ispuǌen, izvrxavaju se naredbe3. Naredbe elseif i else ne moraju obavezno da se koriste. Osim toga, mogue je koristiti vixe od jedne elseif naredbe. Naredba if moe da se koristi da se realizuje funkcija sign(x):   ako je x > 0, 1 sign(x) = 0 ako je x = 0,   −1 ako je x < 0. Program kojim se ova funkcija realizuje je: if x > 0 y = 1; elseif x == 0 y = 0; else y = -1;

4.5. Naredbe break i continue

21

end

4.5

Naredbe break i continue

Matlab nema petǉu sa izlaskom na kraju i na sredini. Zbog toga je naredbom break mogue prekinuti for ili while petǉu. Ako je naredba break u okviru ugnedene for ili while petǉe, prekida se izvrxavaǌe te petǉe i vraa se na vixi nivo for ili while petǉe. Ako se u okviru for ili while petǉe izvrxi naredba continue, tada se prelazi na sledeu iteraciju u petǉi, pri qemu se preskaqu sve preostale naredbe u telu petǉe. Ako se radi o ugnedenoj petǉi, tada se se prelazi u narednu iteraciju u okviru petǉe u kojoj se nalazi naredba continue. Sledei program ilustruje primenu naredbi break i continue. Potrebno je napraviti program koji uqitava sa tastature i pravi sumu deset prirodinih brojeva maǌih od pedeset. n = 1; suma = 0; while 1 str = sprintf(’Unesite element broj %d: ’, n); x = input(str); if x <= 0 | x >= 50 disp([’Pogresan broj! Uneste ponovo!’]) continue; else suma = suma + x; n = n + 1; end if n > 10 break; end end disp([’Suma = ’, num2str(suma)])

4.6

Naredba switch

Naredba switch omoguava vixestruko granaǌe u programu. Opxti oblik naredbe switch je: switch switch izraz case case izraz1 naredbe1 case case izraz2 naredbe2 .. . case case izrazN naredbeN otherwise naredbeN+1 end Najpre se izraqunava switch izraz, koji moe biti ili skalar ili string, a zatim se proverava da li postoji case izraz sa istom vrednoxu, poqev od prvog. Ako postoji case izraz, izvrxavaju se naredbe u oviru istog case-a, a zatim se prelazi na prvu naredbu iza end. Ako ne postoji ni jedan case izraz koji odgovara switch izraz-u, izvrxie se naredbeN+1. Za razliku od programskog jezika C, kada se izvrxe naredbe u okviru jednog case-a, Matlab ne prolazi kroz preostale case-ove, pa se zbog toga ne koristi naredba break.

22

Poglavǉe 4. Kontrola toka programa

Sledei program ilustruje upotrebu naredbe switch. n = input(’Unesi broj: ’); if n ~= 0 n = n/abs(n); end switch n case 1 disp(’Broj je pozitivan’) case -1 disp(’Broj je negativan’) otherwise disp(’Broj je nula’) end

Poglavǉe 5

Funkcije 5.1

Uvod

Jedan od naqina da se grupixe sekvenca naredbi je u obliku skript datoteke sa ekstenzijom ’.m’. Drugi oblik m-datoteke je funkcija. Funkcije su skript datoteke koje kreiraju sopsteveni radni prostor i lokalne promenǉive pod okriǉem Matlaba. Sve promenǉive koje se kreiraju u okviru funkcije su lokalne za tu funkciju i ne korespondiraju sa promenǉivama istih imena u drugim skript ili funkcijskim datotekama. Sve ugraene naredbe u Matlabu su funkcije ovog tipa. Upotrebom funkcija uproxava se sloenost i poveava qitǉivost izvornog kˆ oda, izbegava se dupliraǌe kˆ oda, poveava portabilnost, itd.

5.2

Funkcijska datoteka

Svaka funkcija ima najmaǌe dve linije kˆ oda, pri qemu prva linija obavezno mora da ima zahtevani format. Opxti oblik funkcije je: function PovratnaVrednost = ImeFunkcije(Argumenti) %komentari izrazi Svakoj funkciji mora da se dodeli ime koje bi trebalo da bude smisleno i dovoǉno indikativno da ukazuje na to xta ta funkcija radi. Xta vixe, ime ’.m’ datoteke mora da bude isto kao i ime funkcije. Prva linija u funkciji predstavǉa prototip funkcije, qime se specificira broj promenǉivih i ǌihov tip (skalar, vektor, matrica) koje se prenose iz glavnog programa u funkciju i obratno. Komentare, koji se nalaze neposredno ispod deklaracije funkcije, Matlab tretira kao help informacije vezane za tu funkciju, i ispisuju se kada se u komandnoj liniji Matlaba unese: help ImeFunkcije Na kraju funkcije se ne nalazi terminator krakter ili izraz kao xto je end kod naredbi kontrole toka. Kada se u komandnoj liniji napixe ime funkcije Matlab pokuxava da prepozna funkciju po imenu. Preciznije, Matlab najpre proverava da li je ime funkcije promenǉiva. Ako to nije, proverava se da li ta funkcija ne pripada skupu internih funkcija Matlaba. Ako to ne uspe, Matlab trai na disku datoteku sa istim imenom. Ako se funkcija pronae, Matlab je kompajlira i smexta u memoriju tako da moe da se koristiti i svaki sledei put. Kada se pozove funkcija, bilo iz komandne linije, skript datoteke ili druge funkcije, vrxi se prenos argumenata u funkciju prema specificiranoj listi argumenata u prototipu funkcije. Promenǉive u definiciji funkcije ne moraju obavezno da imaju iste identifikatore kao u pozivu funkcije. Naprotiv, ista imena promenǉivih mogu da imaju potpuno razliqito znaqeǌe u skript datoteci iz koje se poziva funkcija i same funkcije. Argumenti funkcije, koji se nalaze izmeu zagrada u definiciji funk23

24

Poglavǉe 5. Funkcije

cije, predstavǉaju lokalne promenǉive i formiraju se pri pozivu funkcije. Prvom argumentu se dodeǉuje vrednost prvog parametra u pozivu funkcije, i tako daǉe do kraja liste argumenata. Dakle, pri pozivu funkcije mora da se vodi raquna da poziv odgovara definiciji funkcije. Argumenti funkcije se odvajaju zarezom.

5.2.1

Povratna vrednost funkcije

Povratna vrednost funkcije moe da ima nekoliko oblika u zavisnosti od toga kako se rezultati vraaju. Razmotrimo sledei primer funkcije koja ima tri argumenta, od kojih je jedan vektor t i dva su skalari τ , K. Povratna vrednost funkcije je matrica. function izlaz = Odziv(t,tau,K) %Odziv sistema prvog reda %tau.d(y(t))/dt + y(t) = K.u(t) %na hevisajdovu funkciju %y(t) = K*(1 - exp(-t/tau)) %ydot(t) = K/tau*exp(-t/tau) %Argumenti: t - vektor % tau, K - skalari %Povratna vrednost: izlaz = [y ydot] y = K*(1 - exp(-t/tau)); ydot = K/tau*exp(-t/tau); izlaz = [y; ydot]; Deo skripta kojim se poziva funkcija moe da izgleda t = 0:0.1:10; y = odziv(t,1,1); Nakon poziva funkcije Odziv u radnom prostoru se naxla matrica y, koja ima dve vrste i onoliko kolona koliko i vektor t. Ako bi eleli da funkcija vrati obe sraqunate promenǉive pojedinaqno, kˆ od funkcije bi mogao da izgleda function [y, ydot] = Odziv(t,tau,K) y = K*(1 - exp(-t/tau)); ydot = K/tau*exp(-t/tau); dok bi skript mogao da se napixe t = 0:0.1:10; [y1 y2] = odziv(t,1,1); Paǉivim uporeivaǌem definicije funkcije i skripta u navedenom primeru, uoqava se, da su povratne vrednosti u definiciji funkcije strogo razdvojene zarezom, dok u pozivu funkcije promenǉive u vektoru koje primaju te vrednosti, mogu da budu razdvojene ili zarezom ili blanko karakterom. Ako bi se u skriptu umesto vektora koji prihvata povratnu vrednost funkcije napisao skalar, npr. y1, ǌoj bi se dodelila samo povratna vrednost prve promenǉive. Sledea varijanta moe da bude da su argumenti prikazani kao vektor, dok je svaka izlazna promenǉiva individualna. Funkcija bi bila function [y, ydot] = Odziv(t,ulaz) y = ulaz(2)*(1 - exp(-t/ulaz(1))); ydot = ulaz(2)/ulaz(1)*exp(-t/ulaz(1)); a odgovarajui skript t = 0:0.1:10; ulaz = [1, 1]; [y1 y2] = odziv(t,ulaz);

5.2. Funkcijska datoteka

25

Zamislimo sada da elimo da izvedemo isti proraqun, ali za vixe razliqitih vrednosti, recimo promenǉive τ . Ovo moe da se rexi uz pomo, npr. for petǉe. Skript bi izgledao t = 0:0.1:10; tau = 1:5; y1 = zeros(length(tau),length(t)); y2 = zeros(length(tau),length(t)); for k = 1:length(tau) [y1(k,:) y2(k,:)] = odziv(t,tau(k),1); end Veoma je vano da se primeti da su matrice y1 i y2 deklarisane neposredno pre nego xto se ǌihovim elementima dodeǉuje vrednost u for petǉi. Ova praksa se preporuquje zbog toga xto znatno skrauje vreme izvrxavaǌa ovog dela programa, jer bi u suprotnom Matlab vrxio dinamiqku alokaciju memorije u svakoj iteraciji for petǉe. Ovo se objaxǌava time xto Matlab interpretira, a ne kompajlira, funkcije koje pixe korisnik. Iz ovog razloga programi pisani u Matlabu mogu da budu dosta sporiji od sliqnih napisanih u programskim jezicima Fortran ili C. Da bi se izvukao maksimum performansi Matlaba, preporuquje se da se, kad god je mogue, koriste ugraene Matlabove funkcije i operatori.

5.2.2

Posebni sluqajevi

Postoje situacije kada funkcija nema povratnu vrednost. Kada se crta dijagram naredbom plot, ili se pohraǌuju podaci u datoteku naredbom save, prilikom poziva funkcija ne vraaju se podaci u glavni program. Prototip funkcije moe da se generalizuje kao function ImeFunkcije(Argumenti) Funkcija moe da ne sadri argumente. To je qest sluqaj ako se funkcija koristi da sloi podatke u odreen naqin. U tom sluqaju prototip funkcije je function PovratnaVrednost ImeFunkcije Iz funkcije se izlazi kada se dosegne posledǌa naredba u telu funkcije. Meutim, naredbom return je mogue izdejstvovati raniji prekid funkcije.

5.2.3

Inline

Matlab dozvoǉava da se naredbom inline kreira funkcija koja ne mora da se saquva u posebnoj datoteci. Funkcija kreirana na ovaj naqin mora da bude saqiǌena iskǉuqivo od Matlabovskih izraza i ne moe da poziva druge inline funkcije. Ovakva funkcija moe da vraa samo jednu promenǉivu (nikako vixe promenǉivih poreanih u vektor). U opxtem sluqaju naredba inline se koristi na sledei naqin ImeFunkcije = inline (’Izraz’,’Argument1’,’Argument2’,. . .) Primer iz 5.2.1 moe da se rexi primenom inline Izlaz = inline(’K*(1-exp(t/tau))’,’t’,’tau’,’K’) xto za posledicu ima ispis na komandnom prozoru Matlaba Izlaz = Inline function: Izlaz(t,tau,K) = K*(1-exp(t/tau))

26

Poglavǉe 5. Funkcije

Funkcija moe da se pozove iz komandne linije y = Izlaz(0:0.1:10,1,1); Naredba inline bi mogla da se shvati i kao ekvivalent makrou u programskom jeziku C.

5.2.4

Funkcija funkcije (feval)

Naredba feval izvrxava specificiranu funkciju od strane korisnika. Naime, feval(F,x1,. . .,xn) izvrxava funkciju specificiranu hendlom funkcije ili imenom funkcije, F, za date argumente x1,. . . , xn. Feval se najqexe koristi unutar funkcija koje kao argumente koriste hendl funkcija ili stringove funkcija. Matlab ima nekoliko funkcija koje obrauju funkcije definisane od strane korisnika. U daǉem tekstu e biti ilustrovane funkcije fzero, roots i ode45. Traeǌe nula funkcije Matlab ima ugraenu funkciju koja trai rexeǌe f (x) = 0 unutar tolerancije t0 bilo u okolini x0 ili na intervalu [x1 x2 ]. Ova naredba u opxtem sluqaju je oblika fzero(ImeFunkcije,x0,opcije,p1,p2,. . .) gde je ImeFunkcije ime funkcijske datoteke izmeu jednostrukih znakova navoda, ali bez sufiksa “.m’’. Ako se koristi inline nisu potrebni znaci navoda. Na primer, fzero(’sin(x)+cos(2*x+pi/4)’,10) ili, g = inline(’sin(x)+cos(2*x+pi/4)’,’x’); fzero(g,10) Ako je funkcija f (x) data u obliku polinoma f (x) = c1 xn + c2 xn−1 + . . . + cn x + cn+1 jednostavnije je da se za traeǌe korenova koristi roots(c) gde je c = [c1 c2 . . . cn+1 ] Na primer: >> r = roots([1 6 11 6]) r = -3.0000 -2.0000 -1.0000 Obrnuto, ako su poznati korenovi, koeficijenti polinoma se dobijaju naredbom poly >> c = poly(r) c = 1.0000 6.0000

11.0000

6.0000

Dva polinoma je mogue pomnoiti naredbom conv(a,b) gde vektori a i b sadre koeficijente polinoma respektivno.

5.2. Funkcijska datoteka

27

Numeriqko rexavaǌe obiqnih diferencijalnih jednaqina Funkcijom ode45 se rexava sistem n obiqnih diferencijalnih jednaqina prvog reda, u vektorskom obliku dy = f(t, y1 , y2 , . . . , yn ) dt na intervalu t0 6 t 6 tf , za poqetne uslove y(t0 ) = y(0). U opxtem sluqaju, argumenti i povratna vrednost funkcije su [t,y] = ode45(ImeFunkcije,[t0 tf],y0,opcije,p1,p2. . .) Argument ImeFunkcije moe da bude ili ime funkcijske datoteke izmeu jednostrukih znakova navoda bez sufiksa “.m” ili identifikator funkcije definisane sa inline. U svakom sluqaju mora da bude oblika, npr. function y izvod = ImeFunkcije(t,y,flag,p1,p2,. . .) gde je t nezavisna promenǉiva, y je vektor qiji su elementi u korespodenciji sa elementima vektora y diferencijalne jednaqine, flag je string koji mora da se koristi ako se navode parametri p1, p2, . . . koji se prosleuju funkciji. Povratna vrednost se definixe u telu funkcije tako da funkcija vraa vektor kolonu korespodentnu sa vrstama u sistemu od n diferencijalnih jednaqina. U opxtem sluqaju, ode45 predstavǉa najboǉi alat za rexavaǌe diferencijalnih jednaqina u veini sluqajeva i zbog toga je podexeno da bude difoltni metod u Matlabu. Osim ode45, Matlab ima i druge metode za rexavaǌe diferencijalnih jednaqina. Primena ode45 e biti ilustrovana na odreivaǌu odziva sistema drugog reda d2 y dy + 2ζwn + wn2 y = wn2 u(t) 2 dt dt Diferencijalna jednaqina moe da se, nakon uvoeǌa smene y1 y2

= y dy = dt

napixe kao sistem dve diferencijalne jednaqine prvog reda dy1 dt dy2 dt

= y1 = −wn2 y1 − 2ζwn y2 + wn2 u

Sada moe da se napixe funkcija koja predstavǉa sistem function ydot = DrugiRed(t,y,flag,zeta,wn,u) ydot = [y(2); -wn^2*y(1)-2*zeta*wn*y(2)+u]; Skript koji poziva funkciju i crta dijagram za vrednosti ζ = 0.7, wn = 1 [rad/s], na vremenskom intervalu [t0 , tf ] = [0, 10], za nulte poqetne uslove, ako je ulaz jediniqna odskoqna funkcija u(t) = 1 je sledei [tt,yy] = ode45(’DrugiRed’,[0 10],[0 0]’,[],0.7,1,1); plot(tt,yy(:,1)) Ako bi smo eleli da reximo istu diferencijalnu jednaqinu za razliqite vrednosti stepena priguxeǌa ζ = 0, 0.2, . . . , 1, dovoǉno je da napixemo odgovarajui skript close all

28

Poglavǉe 5. Funkcije 1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Slika 5.1. Jediniqni odskoqni odziv sistema drugog reda

hold on for k = 0:0.2:1 [tt,yy] = ode45(’DrugiRed’,[0 10],[0 0]’,[],k,1,1); plot(tt,yy(:,1)) pause(0.1) end Odgovarajui dijagram je dat na slici 5.2. 2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Slika 5.2. Jediniqni odskoqni odziv sistema drugog reda za razliqite vredosti ζ

Poglavǉe 6

2D grafika 6.1

Uvod

Matlab sadri veoma fleksibilne funkcije za dvo- i trodimenzionalnu grafiku. Ovim funkcijama je mogue generisati krive ili povrxi, vrxiti manipulacije sa dijagramima i meǌati karakteristike i notaciju na dijagramima. Svaki dijagram se kreira u prozoru slike, tj. u prozoru koji otvori Matlab za vreme izvrxavaǌa funkcije koja kreira dijagram. Ako se u programu koristi vixe funkcija koje generixu dijagrame, Matlab e pri izvrxavaǌu svake funkcije da kreira novi prozor slike tako xto e da prebrixe prethodni. Da bi se zadrao svaki novi dijagram u novom prozoru slike, potrebno je to uqiniti funkcijom figure(n) gde je n prirodan broj koji oznaqava broj slike. Ako se ovaj broj izostavi Matlab sam dodeǉuje sledeu vrednost. Kada je potrebno na jednoj slici postaviti vixe nezavisnih dijagrama neophodno je da se koristi funkcija subplot(k,l,m) gde prva dva argumenta dele sliku na sektore, poput matrice sa k vrsta i l kolona, dok posledǌi argument predstavǉa redni broj dijagrama poqev od gorǌeg levog ugla, raqunajui s leva na desno i odozgo na dole. Poxto svako generisaǌe dijagrama kreira novi prozor slike, da bi se u okviru istog dijagrama nacrtalo vixe od jedne linije ili povrxi potrebno je “zamrznuti” tekui prozor da bude aktivan naredbom hold on Gotovu sliku je mogue saquvati, konvertovati u pogodan format za ukǉuqivaǌe u druge dokumente ili doraivati.

6.2

Kreiraǌe 2D dijagrama

Dvodimenzionalni dijagram se kreira naredbom plot(x,y,s) kojom se crtaju kolone vektora y nasuprot vektoru x. Argumenti x i y ne moraju strogo da budu vektori, ve to mogu da budu par taqaka, matrice istog tipa ili izrazi koji se sraqunavaju. Ukoliko se izostavi x iz liste argumenata, na ordinatnoj osi e se xtampati vrednosti elemenata vektora y, dok e se na apscisnoj osi nalaziti odgovarajui indeksi elemenata tog vektora. Argument s je string karakter kojim se definixe boja taqke, odn. linije, tip taqke na dijagramu i vrsta linije. Na primer, 29

30

Poglavǉe 6. 2D grafika

’k–’ znaqi da e linija da bude isprekidana i crne boje. U helpu naredbe plot se nalazi detaǉan opis string karaktera. Ako se izostavi string karakter, koriste se sistemske difolt vrednosti. Ukoliko se na slici crta vixe od jedne krive, boje se meǌaju u skladu sa difolt sekvencom.

6.2.1

Crtaǌe taqke

Taqka sa koordinatom (-1,2) oznaqena plavim kruiem se crta naredbom plot(-1,2,’bo’)

6.2.2

Crtaǌe dui

Naredba plot([-1 1],[-1 2]) crta du izmeu taqaka (−1, −1) i (1, 2)

6.2.3

Crtaǌe krunice

Krunica moe da se nacrta u polarnim koordinatama x = xc + ρ · cos(θ) y

= yc + ρ · sin(θ)

Sledei skript crta koncentriqne krunice sa centrom u koordinatnom poqetku teta = linspace(0,2*pi,36); ro = 0:0.2:1; x = cos(teta)’*ro; y = sin(teta)’*ro; plot(x,y) pri qemu su x i y u naredbi plot matrice i iscrtavaju se kolonu po kolonu. Karakter string je izostavǉen, pa je svaka krunica na slici 6.1 drugaqije boje.

6.2.4

Familija funkcija

Matlab dopuxta da se jedna osa prikae vektorom, a druga matricom. Podaci sa apscisne ose se uzimaju iz vektora, dok se na ordinatu nanose podaci iz kolona, odn. vrsta matrice, u zavisnosti od toga koja dimenzija matrice odgovara duini vektora. Sledei skript ilustruje familiju odziva sistema prvog reda za razliqite vrednosti vremenske konstante. Rezultat je prikazan na slici 6.2. t = 0:0.1:10; T = 0.5:0.5:3; K = 1; [TT,tt] = meshgrid(T,t); yy = K*(1-exp(-tt./TT)); plot(t,yy)

6.2.5

Vixe funkcija na slici

Postoji vixe naqina da se nacrta vixe funkcija u okviru jedne slike. Odziv i prvi izvod odziva sistema prvog reda mogu da se prikau na istoj slici skriptom

6.2. Kreiraǌe 2D dijagrama

31

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8

−1

−0.5

0

0.5

1

Slika 6.1. Koncentriqne krunice 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Slika 6.2. Familija odziva sistema prvog reda

t = 0:0.1:10; T = 1; K = 1; y = K*(1-exp(-t/T)); ydot = K/T*exp(-t/T); plot(t,y,’b’,t,ydot,’m:’) ili t = 0:0.1:10; T = 1; K = 1; y = K*(1-exp(-t/T)); ydot = K/T*exp(-t/T); plot(t,y,’b’) hold on plot(t,ydot,’m:’)

10

32


Rezultat prethodna dva skripta je prikazan na slici 6.3. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Slika 6.3. Odziv i prvi izvod odziva sistema prvog reda

6.3

Grafiqka obrada slika

Slike je mogue oplemeǌivati u smislu davaǌa imena slici, natpisa na osama, definisaǌa legendi, senqeǌa, umetaǌa teksta, zatim meǌaǌa atributa osa, linija i teksta. Takoe, mogue je koristiti grqka slova, matematiqke simbole, kao i slova u indeksu i eksponentu. Sledei primer ilustruje deo mogunosti. Na slici 6.4 prikazan je odziv sistema prvog reda kao na slici 6.3, meutim daleko bogatije grafiqki opremǉen. Skript koji to omoguava je sledei close all, clear, pack t = 0:0.1:10; T = 1; K = 10; y = K*(1-exp(-t/T)); ydot = K/T*exp(-t/T); plot(t,y,t,ydot) title(’Odziv sistema prvog reda na odskocnu promenu ulaza’,’fontname’,’arial’,’fontsize’,11) xlabel(’t [s]’,’fontsize’,12) ylabel(’y(t), dy(t)/dt’,’fontsize’,12) legend(’y(t)’,’dy(t)/dt’) set(gca,’fontsize’,12) indx = min(find(y>=0.63*K)); hold on plot([0 t(indx)],[y(indx) y(indx)],’r:’) plot([t(indx) t(indx)],[y(indx) 0],’r:’) plot([0 K/ydot(1)],[0 K],’k’) ispis = sprintf(’\\tau = %0.2f sec’,t(indx)); text(t(indx)+0.2,0.95*y(end),ispis,’fontsize’,14) grid ax = axis; axis([ax(1) 7 ax(3) ax(4)])

6.3. Grafiqka obrada slika

33 Odziv sistema prvog reda na odskocnu promenu ulaza

10

τ = 1.00 sec

y(t) dy(t)/dt

9 8

y(t), dy(t)/dt

7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

t [s]

Slika 6.4: Odziv i prvi izvod odziva sistema prvog reda sa grafiqkom opremom slike

Nakon sraqunavaǌa, iscrtavaju se krive odziva i prvog izvoda odziva sistema. Obzirom da u naredbi plot nije naveden trei argument, uzima se difolt sekvenca boja. Slici je dodato ime naredbom title, koja sadri string koji se ipisuje. Naredba title moe da ima dodatne argumente kojima se meǌaju atributi teksta. Natpis uz apcisnu osu se dodaje naredbom xlabel, odn. na ordinatnu osu naredbom ylabel. String koji se ispisuje je obavezan, dok su ostali argumenti u ovim naredbama opcioni. Veoma praktiqna naredba za identifikaciju krivih na dijagramu je naredba legend. Broj argumenata u ovoj naredbi moe da bude jednak maksimalnom broju razliqitih krivih na jednom dijagramu, pri qemu je bitno da se vodi raquna o redosledu. Prvi argument odgovara prvoj krivoj u naredbi plot, idt. Ova naredba moe da ima posledǌi argument koji je opcioni (uzima vrednosti 1, 2, 3 ili 4), i koji definixe poloaj legende u odnosu na uglove slike. Ukoliko se stavi vrednost 0, Matlab bira “najboǉe” mesto za legendu, a ako se ovaj argument izostavi, uzima se difolt vrednost (gorǌi desni ugao). Raster, tj. mrea sa podelom se ukǉuquje naredbom grid. Naredbom set se u Matlabu podexavaju svojstva objekta. Konkretno, u gorǌem skriptu se podexava veliqina slova kojim se oznaqava podela na osama (hendl gca). Na slici su nacrtane linije koje naznaqavaju vremensku konstantu sistema (63% vrednosti u stacionarnom staǌu), odnosno, tangentu na vremensku promenu uzlaza u poqetnom trenutku. Vrednost vremenske konstante se ispisuje na dijagramu naredbom text. Naredba text, za razliku od legend moe da se upotrebi vixe puta na jednoj slici. Uoqava se da je vremenska konstanta napisana grqkim slovom τ . Matlab dopuxta da se osim grqkih slova koriste matematiqki simboli, oznake u indeksu i oznake u eksponentu, pri qemu se koristi LATEX notacija (sve sekvence poqiǌu obrnutom kosom crtom (\)). String koji se ispisuje naredbom text u konkretnom primeru je najpre pripremǉen naredbom sprintf. Konaqno, granice apscisne i ordinatne ose su promeǌene naredbom axis kako bi se dobio najboǉi vizuelni efekat. Naredba axis bez argumenata vraa vektor [xmin xmax ymin ymax ] sa trenutnim granicama na slici. Ako se kao argument navede vektor, postavǉaju se nove granice crtea. U prethodnom primeru su iskorixene samo neke od mogunosti opremaǌa slika u Matlabu, a qitaocu se ostavǉa da uz pomo help sistema istrai ostale.

Poglavǉe 7

3D grafika 7.1

Linije u 3D

Naredba kojom se crtaju linije u tri dimenzije je plot3(x,y,z,s) pri qemu su x, y, z bilo taqke ili nizovi taqaka, odnosno tripleti brojeva, vektora iste duine, matrica istog tipa ili izraza koji kada se sraqunaju daju jednu od prethodnonabrojanih veliqina. Argument s je string karakter kojim se definixe boja taqke, odn. linije, tip taqke na dijagramu i vrsta linije kao kod naredbe plot. Sledei skript crta heliks. t = 0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t);

7.2

Povrxi

Matlab raspolae monim funkcijama za trodimenzionalno prikazivaǌe povrxi, kontura, zapremina, kao i kombinacija prethodnonabrojanih. Osnovne funkcije za crtaǌe povrxi su surf i mesh Funkcija surf crta mreu qija su poǉa obojena, dok se kod funkcije mesh crtaju granice poǉa na mrei, a sama poǉa ostaju bela. Kod naredbe surf granice poǉa su crne boje, a boja poǉa zavisi od intenziteta z, dok mesh boja granice poǉa mree odreena intenzitetom z. Neka je funkcija v(x1 , x2 ) definisana kao v(x1 , x2 ) = x21 + x22 + x1 x2 Na slici 7.1 nacrtana je v(x1 , x2 ) funkcijom mesh, odgovarajuim skriptom xx1 = linspace(-10,10,25); xx2 = linspace(-10,10,25); [x1,x2] = meshgrid(xx2,xx2); z = x1.^2 + x2.^2 + x1.*x2; mesh(x1,x2,z)

35

36


300 250 200 150 100 50 0 10 10

5 5

0 0

−5

−5 −10

−10

Slika 7.1. Povrx nacrtana funkcijom mesh Ista funkcija generisana sa surf je data na slici 7.2. Ako se koristi funkcija surfc, na slici e se nai konture koje predstavǉaju pojedine projekcije povrxi na ravan z = 0.

300 250 200 150 100 50 0 10 10

5 5

0 0

−5

−5 −10

−10

Slika 7.2. Povrx nacrtana funckijom surf Na slici 7.3 prikazan je odziv sistema drugog reda na jediniqnu odskoqnu promenu ulaza za razliqite vrednosti stepena priguxeǌa. Skript za prethodi primer je close all, clear, pack t = 0:0.1:10; wn = 1; zeta = 0:0.2:1; y = zeros(length(t),length(zeta)); for k=1:length(zeta) y(:,k) = step(tf([wn^2],[1 2*zeta(k)*wn wn^2]),t); end mesh(t,zeta,y’)

7.2. Povrxi

37

2

y(t)

1.5

1

0.5

0 1 0.8

10 0.6

8 6

0.4 4

0.2 ζ

2 0

0

t [s]

Slika 7.3. Odziv sistema drugog reda u prikazan u tri dimenzije

xlabel(’t [s]’), ylabel(’\zeta’), zlabel(’y(t)’)

Poglavǉe 8

Control Systems Toolbox 8.1

Uvod

Osim osnovih funkcija, Matlab raspolae dodatnim paketima alata za rexavaǌe posebnih klasa problema. (Control Systems Toolbox) obezbeuje funkcije koje su od posebne koristi za analizu i sintezu sistema automatskog upravǉaǌa. Naredbom help control iz komandne linije Matlaba, ispisuju se naredbe iz ovog paketa, qime se stiqe uvid u napredne mogunosti.

8.2

Prikazivaǌe sistema u Matlabu

Analiza i sinteza linearnih sistema automatskog upravǉaǌa zasniva se na rexavaǌu i razumevaǌu rexeǌa obiqnih linearnih diferencijalnih jednaqina, koje u opxtem obliku mogu da se napixu dn−1 y(t) dy(t) dm u(t) dm−1 u(t) du(t) dn y(t) +a +. . . a +a y(t) = b +b +. . . b1 +b0 u(t) n−1 1 0 m m−1 dn t dn−1 t dt dm t dm−1 t dt (8.1) gde je n > m, y(t) izlazna vrednost, u(t) ulazna vrednost. Ako su koeficijenti u jednaqini ai i bi realne konstante, radi se o linearnoj diferencijalnoj jednaqini sa konstantim koeficijentima. Jednaqinom (8.1) moe da se opixe bilo koji jednostruko prenosan linearni stacionarni vremenski neprekidan sistem. Sistem opisan jednaqinom (8.1) moe da se prikae u Matlabu na tri naqina: • prenosnosnom funkcijom (tf), • u prostoru staǌa (ss) i • nulama, polovima i pojaqaǌem (zpk) Prethodna tri naqina za prikazivaǌe sistema postoje i za linearne vremenski diskretne sisteme.

an

8.2.1

Model u prostoru staǌa

Bilo koji sistem opisan diferencijalnom jednaqinom n-tog reda moe da se prevode na sistem od n jednaqina prvog reda xto je jednostavnije i pouzdanije za numeriqko rexavaǌe. Na primer, sistem drugog reda opisan diferencijalnom jednaqinom d2 y dy + 2ζwn + wn2 y = wn2 u(t) dt2 dt moe da se, nakon uvoeǌa smene x1 x2

= y dy = dt 39

(8.2)

40

Poglavǉe 8. Control Systems Toolbox

napixe kao sistem dve diferencijalne jednaqine prvog reda dx1 dt dx2 dt

= x2 = −wn2 x1 − 2ζwn x2 + wn2 u

Ako se uvede vektor staǌa x(t) = [x1 (t), x2 (t)]T model sistema u prostoru staǌa izgleda, dx(t) dt y(t)

= Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t)

gde su A=

0 1 −wn2 x1 −2ζwn x2 0 B= wn2 C= 1 0 D=

0

Naredbe kojom se definixe model u prostoru staǌa je ss. Naredba ss ima qetiri argumenta, matrice A, B, C i D modela u prostoru staǌa. Odgovarajui skript kojim se predstavǉa sistem (8.2) je wn = 1; zeta = 0.7; A = [0 1; -wn^2 -2*zeta*wn]; B = [0; wn^2]; C = [1 0]; D = [0]; sistem = ss(A,B,C,D); Ako se iz komandne linije pozove definisani model dobija se >> sistem a = x1 x2 x1 0 1 x2 -1 -1.4 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 1 0 d = u1 y1 0 Ako elimo da od objekta uzmemo matrice A, B, C i D, onda koristimo naredbu [A,B,C,D] = ssdata(sistem)

8.2. Prikazivaǌe sistema u Matlabu

8.2.2

41

Prenosna funkcija

Primenom Laplasove tranformacije na sistem opisan diferencijalnom jednaqinom pri svim poqetnim uslovima jednakim nuli, dobija se prenosna funkcija sistema, u opxtem obliku W (s) =

Y (s) bm sm + bm−1 sm−1 + . . . + b1 s + b0 = U (s) an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0

(8.3)

gde je an 6= 0 i n 6 m. Naredbom tf definixe se model u obliku prenosne funkcije. Ova naredba ima dva argumenta, vektore qiji su elementi koeficijenti polinoma u brojiocu i imeniocu prenosne funkcije respektivno. Vektor koji sari koeficijente brojioca je num = [bm

bm−1

...

b1

b0 ]

odnosno, imenioca prenosne funkcije (8.3) je den = [an

an−1

...

a1

a0 ]

Na primer, prenosna funkcija W (s) =

2s + 1 s3 + 6s2 + 11S + 6

(8.4)

se definixe sledeim skriptom num = [2 1]; den = [1 6 11 6]; W = tf(num,den) dok se u komandnom prozoru Matlaba vidi Transfer function: 2 s + 1 ---------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 Koeficijenti polinoma broijoca i imenioca mogu da se ekstrahuju iz prenosne funkcije naredbom [num, den] = tfdata(W,’v’) String karakter ’v’ ukazuje naredbi da povratne vrednosti num i den budu vektori vrste. Ako se ovaj argument izostavi, funkcija vraa sel matricu, koja se koristi kod reprezentacije vixestruko prenosnih sistema. Dve korisne naredbe za rad sa prenosnim funkcijama su pole i zero. Prva naredba vraa polove, a druga nule prenosne funkcije. Na primer, polovi = pole(W) nule = zero(W) prikazuju na ekranu polovi = -3.0000 -2.0000 -1.0000 nule = -0.5000

42

Poglavǉe 8. Control Systems Toolbox

8.2.3

Nule, polovi i pojaqaǌa

U opxtem sluqaju, prenosna funkcija moe da se predstavi faktorizovanim polinomima u brojiocu i imeniocu W (s) = k

(s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm ) (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )

Na primer, prenosna funkcija (8.4) se sledeim skriptom definixe nulama, polovima i pojaqaǌem W = zpk([-0.5],[-1 -2 -3],2)

8.2.4

Prevoeǌe izmeu razliqitih oblika modela

Model definisan na jedan od tri objaxǌena naqina je mogue prevesti u druga dva Matlabovim funkcijama ss2tf, tf2ss, zp2tf i zp2ss. Metode konverzije modela koriste Matlabove funkcije za numeriqko oreivaǌe nula polinoma, i zbog toga su podlone numeriqkim grexkama, posebno kod sistema vixih redova. Treba napomenuti da Matlabu najvixe “odovara” model u prostoru staǌa, zato xto se sistem prevodi u n linearnih diferencijalnih jednaqina prvog reda. Zatim sledi model u obliku prenosne funkcije, a na kraju model u obliku nula, polova i pojaqaǌa.

8.3

Odreivaǌe odziva sistema

Matlab raspolae funkcijama za odreivaǌe odziva sistema, a to su step, impulse, initial i lsim. Naredbom step odreuje se jediniqni odskoqni odziv sistema. Najprostija varijatna naredbe step je kada se ne koristi povratna vrednost funkcije. Za model iz poglavǉa 8.2.1, sledei skript daje jediniqni odskoqni odziv sistema. step(sistem) xlabel(’Vreme’) ylabel(’Izlaz’) title(’Jedinicni odskocni odziv sistem’) Funkcija automatski odreuje pogodan opseg vremena za koji vrxi simulaciju i iscrtava odgovarajui dijagram (slika 8.1). Boǉa kontrola nad procesom simulacije odvija se ako se definixe vremenski opseg i koristi povratna vrednost funkcije. Dakle t = 0:0.1:10; y = step(sistem,t); plot(t,y) U funkciji se pojavǉuje drugi argument, vektor vremenskih trenutaka simulacije. Funkcija impulse se koristi na isti naqin kao i funkcija step, s tim xto raquna impulsni odziv sistema. Matlab ne raspolae funkcijama za odreivaǌe odziva na sve tipiqne promene ulaznih veliqina. Zbog toga postoji funkcija koja odreuje odziv na proizvoǉnu sekvencu ulaza, lsim(sys,u,t) gde je sys sistem koji se razmatra, u vektor qiji su elementi amplitude ulaznog signala u trenucima vremena definisanim vektorom t. Duine vektora u i t moraju da budu iste. Sinusni odziv sistema (8.2) na ulazni signal jediniqne amplitude i uqestanosti 1 rad/s se odreuje skriptom

8.4. Rastavǉaǌe racionalnih funkcija

43 Jedinicni odskocni odziv

1.4

1.2

1

y

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

t (sec)

Slika 8.1. Jediniqni odskoqni odziv sistema

t = 0:0.1:10; u = sin(t); y = lsim(sistem,u,t); Ako je sistem predstavǉen u prostoru staǌa, funkcijom initial(sys,x0) vrxi se simulacija sistema u slobodnom radnom reimu za poqetne uslove definisane vektorom x0. Dobijeni rezultati mogu da se iskoriste za crtaǌe lika (ili portreta) staǌa datog sistema. Za sistem (8.2) sledei skript x0 = [-0.5;-0.5]; [y,t,x] = initial(sistem,x0); plot(x(:,1),x(:,2)) axis equal grid xlabel(’x_1(t)’) ylabel(’x_2(t)’) title(’Lik stanja sistema drugog reda’) daje rezultat na slici 8.2. Ako se ista funkcija primeni za razliqita poqetna staǌa i rezultat prikae na istoj slici, dobija se kompletnija predstava o sistemu (slika 8.3)

8.4

Rastavǉaǌe racionalnih funkcija

Svaku racionalnu funkciju, koja je koliqnik dva polinoma mogue je rastaviti na parcijalne qinioce. Funkcija [R,P,K] =residue(B,A) trai rezidijume, polove i direktni qlan razvoja u parcijalne razlomke koliqnika dva polinoma B(s)/A(s).

44

Poglavǉe 8. Control Systems Toolbox Lik stanja sistema drugog reda

0.2

0.1

x2(t)

0

−0.1

−0.2

−0.3

−0.4

−0.5

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3 x1(t)

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Slika 8.2. Lik staǌa sistema drugog reda Lik stanja sistema drugog reda 1 0.8 0.6 0.4

2

x (t)

0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

−1

−0.5

0 x1(t)

0.5

1

Slika 8.3. Kompletan lik staǌa sistema drugog reda

Na primer, ako je potrebno odrediti prelaznu funkciju sistema, pri nultim poqetnim uslovima, datog sledeom prenosnom funkcijom, W (s) =

s2

2 + 5s + 6

kompleksni lik G(s) prelazne funkcije 2 1 · + 5s + 6 s na osnosu rezultata izvrxavaǌa sledee naredbe, G(s) =

s2

>> [r,p,k] = residue([2],[1 5 6 0]) r =

8.5. Uqestanosne karakteristike

45

0.6667 -1.0000 0.3333 p = -3.0000 -2.0000 0 k = [] moe da se prikae kao 0.6667 −1 0.3333 + + s+3 s+2 s Svi parcijalni razlomci u prethodnom izrazu predstavǉaju tabliqne sluqajave Laplasove transformacije, tako da je prelazna funkcija u vremenskom domenu G(s) =

g(t) = 0.6667e−3t − e−2t + 0.3333 h(t)

8.5

Uqestanosne karakteristike

Funkcije kojima se u Matlab-u odreuju uqestanosne karakteristike su bode i nyquist. Funkcija bode(sistem) crta Bodeov dijagram sistema sistem pri qemu se opseg uqestanosti i broj taqaka odreuju automatski, dok funkcija [ampl,faza] = bode(sistem,w) vraa amplitudu i fazu u stepenima za uqestanosti definisane vektorom w. U prilogu A ilustrovana je primena funkcije bode u programu za ispitivaǌe sistema primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Funkcija nyquist(sistem) crta Najkvistov dijagram sistema sistem pri qemu se opseg uqestanosti i broj taqaka odreuju automatski, dok funkcija [re,im] = nyquist(sistem,w) vraa realni i imaginarni deo uqestanosne karakteristike sistema za uqestanosti definisane vektorom w. Primena funkcije nyquist je data u sklopu programa kojim se ispituje stabilnost sistema primenom Najkvistovog kriterijuma datog u Prilogu B.

Poglavǉe 9

Prilozi 9.1

Prilog A

Sledei program ilustruje primenu bodeovog kriterijuma za ispitivaǌe stabilnosti sistema qija je prenosna funkcija otvorenog kola 1 s2 1 −s(s2 + 9) = − · s · ( + 1) · 2 s2 + 2s + 4 36 9 s s + +1 4 2 Program najpre odreuje dijagrame elementarnih prenosnih funkcija, slika 9.1, a zatim i zbirni dijagram na slici 9.2 Wok (s) =

−32 0

10

0

−50 −2 10 100

0

10

2

10

0 0

10

2

10

−0.5

3

3

0

10

−1 −2 10 0

2

10

φ (ω) [π rad]

0 −50 −100 −2 10

0

10

2

10

−0.5

4

4

0

10

1

−1 −2 10 0

2

10

0

−100 −2 10 50 L (ω) [dB]

1

0 −2 10 2

2

10

φ2(ω) [π rad]

L2(ω) [dB]

φ1(ω) [π rad]

−31

−33 −2 10 50

L (ω) [dB]

2

φ (ω) [π rad]

L1(ω) [dB]

−30

0

10 ω [rad/s]

−1 −2 10

2

10

Slika 9.1. Elementarni bodeovi dijagrami close all, clear, pack % brojioci elementarnih prenosnih funkcija 47

0

10 ω [rad/s]

2

10

48

Poglavǉe 9. Prilozi 100

ok

L (ω) [dB]

50 0 −50 −100 −150 −2 10

−1

0

10

1

10 P≡0

Σ≡0

→

10

2

10

ZSAU je stabilan

1.5

φok(ω) [π rad]

1 ⊕/2

∅

0.5

0

−0.5 −2 10

−1

10

0

10 ω [rad/s]

Slika 9.2. Zbirni bodeov dijagram

num = [0, 0, -1./36.;... 0, 1, 0;... 1/9., 0, 1;... 1/4., 1/2., 1]; % stepen elementarne prenosne funkcije stepen = [1, 1, -1, -1]; % imenilac je konstantan - sve prenosne funkcije % se posmatraju kao elementarne den =[0, 0, 1]; % broj elementarnih prenosnih funkcija [br, tmp] = size(num); % odredjivanje broja P - broj polova Wok u desnoj poluravni P = 0; for i=1:br %drugi stepen if num(i,1) ~= 0 & stepen(i) < 0 if num(i, 2) < 0 P = P - 2*stepen(i); end elseif num(i,1) == 0 & stepen (i) < 0 if num(i, 2) < 0 P = P - stepen(i); end

1

10

2

10

9.1. Prilog A end end % na prvoj slici nacrtaj sve elementarne logaritamske karakteristike figure (1); % broj tacaka za crtanje N=10000; % leva i desna granica na ucestanosnoj osi - logaritamska podela w = logspace(-2, 2, N); % ukupan broj razlicitih ucestanosti u datom opsegu n=length(w); % inicijalizacija zbirne asimptote asimp_zbir = zeros(n, 1); % inicijalizacija zbirne logaritamske amplitudne karakteristike mag_zbir = zeros(n, 1); % inicijalizacija zbirne logaritamske fazne karakteristike phase_zbir = zeros(n,1); % inicijalizacija vertikalnih asimptota asimp_vert = zeros(br, 2); vert = zeros(br, 1); skok = 0; % petlja po svim elementarnim prenosnim funkcijama date Wok for i=1:br, k=2*i-1; [mag,phase,w] = bode(num(i,:),den,w); magdB = 20*log10(mag); % uticaj stepena elementarne funkcije na L i fi if stepen(1, i) ~= 1 magdB = stepen(1,i)*magdB; phase = stepen(1,i)*phase; end mag_zbir = mag_zbir + magdB; phase_zbir = phase_zbir + phase; asimp=zeros(n,1); j = 1; %ASIMPTOTE % drugi stepen if num(i,1) while w(j)
49

50

Poglavǉe 9. Prilozi asimp_vert(i, 2) = -stepen(i); vert(i)=j; end z=j; while j <= n, asimp(j,1)= stepen(1,i)*40*log10(w(j)) - stepen(1,i)*40*log10(w(z)); asimp_zbir(j, 1) = asimp_zbir(j, 1) + asimp(j,1); j = j+1; end

% prvi stepen elseif num(i,2) % da li je u pitanju realini pol van koord. pocetka if num(i,3) while w(j)<=1/abs(num(i,2)), asimp(j,1)= 0; asimp_zbir(j, 1) = asimp_zbir(j, 1) + asimp(j,1); j = j+1; end z=j; % druga asimptota (verodostojna pravoj krivoj za \omega >> \omega_kr while j <= n, asimp(j,1)= stepen(1,i)*20*log10(w(j))-stepen(1,i)*20*log10(w(z)); asimp_zbir(j, 1) = asimp_zbir(j, 1) + asimp(j,1); j = j+1; end % da li je u pitanju pol u koordinatnom pocetku elseif num(i,3) == 0 skok = skok + 90*stepen(1,i); for j=1:n asimp(j,1)=stepen(1,i)*20*log10(w(j)); asimp_zbir(j, 1) = asimp_zbir(j, 1) + asimp(j,1); end end

% nulti stepen else for j=1:n asimp(j,1)=stepen(1,i)*20*log10(abs(num(i,3))); asimp_zbir(j,1) = asimp_zbir(j,1) + asimp(j,1); end end subplot(br,2,k); semilogx(w, magdB, w, asimp, ’r’, asimp_vert(i,1), asimp_vert(i,2)*(1:.1:100)’,’r’) grid s=strcat(’{\itL_{’, int2str(i), ’}}(\omega) [dB]’); ylabel(s); if i==br xlabel (’\omega [rad/s]’) end k=2*i; subplot (br,2,k); semilogx(w, phase/180)

9.1. Prilog A

51

grid s=strcat(’{\it\phi_{’, int2str(i), ’}}(\omega) [\pi rad]’); ylabel (s) if i==br xlabel (’\omega [rad/s]’) end end

figure(2) subplot(2,1,1) % Nacrtaj logaritamsku ucestanosnu karakteristiku semilogx(w, mag_zbir, w, zeros(1, N), w, asimp_zbir) hold on for i=1:br if vert(i) ~= 0 semilogx(asimp_vert(i,1), asimp_zbir(vert(i))+asimp_vert(i,2)*(1:.1:100)’,’r’) end end hold off % Nacrtaj grid i nazive osa grid %xlabel (’\omega [rad/s]’,’FontName’, ’Times New Roman’) ylabel (’{\itL_{ok}}(\omega) [dB]’, ’FontName’, ’Times New Roman’); % Na drugoj slici nacrtaj fazu subplot (2, 1, 2) % Nacrtaj logaritamsku faznu ucestanosnu karakteristiku sk = []; laz = []; if skok == 0 semilogx(w, phase_zbir/180) else for i=-3600:90:3600 if abs(phase_zbir(1)-i) < 30 phase_zbir(1) = i; end end sk = 0:-sign(skok):-skok; sk = sk + phase_zbir (1); if sk(length(sk)) ~= 0 laz = sk(length(sk)):-sign(sk(length(sk))):0; end if length(laz) semilogx(w, phase_zbir/180, w(1), laz/180, ’og’, w(20), sk/180,... ’or’, ’MarkerSize’, 1.5) else semilogx(w, phase_zbir/180, w(1), sk/180, ’or’, ’MarkerSize’, 1.5) end %set(gca, ’YTickLabel’, -600:180:600) %semilogx(w, phase_zbir, w(1),laz, ’g’, w(20), sk, ’r’, ’LineWidth’, 1.5) end hold on % Prave (2*m+1)*pi min_phase = min([phase_zbir; sk’; laz’])-10; max_phase = max([phase_zbir; sk’; laz’])+10;

52

Poglavǉe 9. Prilozi

% fazna ucestanosna karakteristika mora u nuli da bude nula if max_phase < 0 max_phase = 0; end if min_phase > 0 min_phase = 0; end p_min = []; for i=-180*7:360:180*7 if i >= min_phase & i<= max_phase p_min = [p_min, i]; end end prave = p_min; if length(p_min) p_min = (p_min’*ones(1, N))’; semilogx (w, p_min/180, ’r’); end % nacrtaj preseke i polupreseke presek_plus = []; presek_minus = []; polupresek_plus = []; polupresek_minus = []; sum = 0; if length(prave) for i=1:length(prave) phase_zbir_p = phase_zbir(1); for j=1:n if phase_zbir(j) > prave(i) & phase_zbir_p < prave(i) presek_plus = [presek_plus j]; if mag_zbir(j) > 0 text (w(presek_plus(length(presek_plus))), prave(i)/180,’\bf\oplus’,... ’FontSize’, 10); sum = sum+1; else text (w(presek_plus(length(presek_plus))), prave(i)/180,’\bf\oplus’,... ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end end if phase_zbir(j) < prave(i) & phase_zbir_p > prave(i) presek_minus = [presek_minus j]; if mag_zbir(j) > 0 text (w(presek_minus(length(presek_minus))), prave(i)/180,’\bf\oslash’,... ’FontSize’, 10); sum = sum-1; else text (w(presek_minus(length(presek_minus))), prave(i)/180,’\bf\oslash’,... ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end end phase_zbir_p = phase_zbir(j); end end

9.1. Prilog A

53

end % deo u nuli if skok & length(prave) sk_p = sk(length(sk)); for i=1:length(prave) % polazni deo iz nule (nastavak laznog skoka) ka phase_zbir if sk(length(sk)-1) > sk(length(sk)) & abs(sk(length(sk))-prave(i)) < 10. polupresek_plus = [polupresek_plus 1]; if mag_zbir(1) > 0 text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum + 0.5; else text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10,... ’Color’, ’g’); end elseif abs(sk(length(sk))-prave(i)) < 10. polupresek_minus = [polupresek_minus 1]; if mag_zbir(1) > 0 text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum - 0.5; else text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10,... ’Color’, ’g’); end end % kraj skoka u delu do phase_zbir if sk(1) > sk(2) & abs(sk(1)-prave(i)) < 10. polupresek_plus = [polupresek_plus 1]; if mag_zbir(1) > 0 text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum + 0.5; else text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10,... ’Color’, ’g’); end elseif abs(sk(1)-prave(i)) < 10. polupresek_minus = [polupresek_minus 1]; if mag_zbir(1) > 0 text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum - 0.5; else text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end end sk_p = sk(length(sk)-1); for j=length(sk)-1:-1:2 if sk(j) > prave(i) & sk_p <= prave(i) presek_plus = [presek_plus j]; if mag_zbir (1) > 0 text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oplus’, ’FontSize’, 10); sum = sum + 1; else text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oplus’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end end if sk(j) < prave(i) & sk_p >= prave(i)

54

Poglavǉe 9. Prilozi presek_minus = [presek_minus j]; if mag_zbir (1) > 0 text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oslash’, ’FontSize’, 10); sum = sum - 1; else text (w(20), prave(i)/180, ’\bf\oslash’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end end sk_p = sk(j); end

end end

% deo phase_zbir u nuli for i=1:length(prave) if abs(phase_zbir(1)-prave(i)) < 20. & phase_zbir(2) > phase_zbir(1) polupresek_plus = [polupresek_plus 1]; if mag_zbir(1) > 0 text (w(40), phase_zbir(40)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum + 0.5; else text (w(40), phase_zbir(40)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end elseif abs(phase_zbir(1)-prave(i)) < 20. & phase_zbir(2) < phase_zbir(1) polupresek_minus = [polupresek_minus 1]; if mag_zbir(1) > 0 text (w(40), phase_zbir(40)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum - 0.5; else text (w(40), phase_zbir(40)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end end end % deo phase_zbir u beskonacnosti for i=1:length(prave) if abs(phase_zbir(n)-prave(i)) < 10 if phase_zbir(n) > phase_zbir(n-1) polupresek_plus = [polupresek_plus n]; if mag_zbir(n) > 0 text (w(n), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum + 0.5; else text (w(n), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end elseif phase_zbir(n) < phase_zbir(n-1) polupresek_minus = [polupresek_minus n]; if mag_zbir(n) > 0 text (w(n), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum - 0.5; else text (w(n), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end else j=n; while phase_zbir(j) == phase_zbir(n) & j > 1 j = j - 1;

9.2. Prilog B

55

end if phase_zbir(j) < phse_zbir(n) & j > 1 polupresek_plus = [polupresek_plus j]; if mag_zbir(j) > 0 text (w(j), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum + 0.5; else text (w(j), prave(i)/180, ’\bf\oplus/2’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end elseif phase_zbir(j) > phse_zbir(n) & j > 1 polupresek_minus = [polupresek_minus j]; if mag_zbir(j) > 0 text (w(j), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10); sum = sum - 0.5; else text (w(j), prave(i)/180, ’\bf\oslash/2’, ’FontSize’, 10, ’Color’, ’g’); end end end end end

hold off

% Nacrtaj grid i napisi nazive osa grid %xlabel (’\omega [rad/s]’, ’FontName’, ’Times New Roman’, ’FontAngle’, ’italic’) %ylabel (’\phi_{ok}(\omega) [rad/\pi]’, ’FontName’, ’Times New Roman’,’FontAngle’,... ’italic’) xlabel (’\omega [rad/s]’, ’FontName’, ’Times New Roman’) ylabel (’{\it\phi_{ok}}(\omega) [\pi rad]’, ’FontName’, ’Times New Roman’) if sum == P/2 zaklj = ’ ZSAU je stabilan’; else zaklj = ’ ZSAU nije stabilan’; end s=strcat(’P\equiv’, int2str(P), ’ \Sigma\equiv’, num2str(sum), ’ zaklj); title (s, ’FontName’, ’wncyr10’);

9.2

\rightarrow

Prilog B

Sledeim programom ispituje se stabilnost sistema qija je prenosna funkcija otvorenog kola 2s + 1 Wok = 2 s −s

’,...

P≡1

∆Φ≡−1*2π

→

20

ZSAU je stabilan + ω→0

15

10

ImFok(jω)

5 ω→ −∞

0

ω→ +∞

−5

−10

−15

−20 −30

ω→0

−

−25

−20

−15

−10 −5 ReF (jω) ok

Slika 9.3. Najkvistov dijagram

0

5

10

Literatura [1] Magrab, B. Edward, ”An Engineer’s Guide to Matlab”, Prentice Hall, Uper Saddle River, NJ 2000., ISBN 0-13-011335-2 [2] Tewari, Ashish ”Modern Control Design with Matlab and Simulink”, John Wiley & Sons, Chichester, England 2002., ISBN 0 471 496790 [3] Ogata, Katshuhiko ”Modern Control Engineering”, Prentice Hall, Uper Saddle River, NJ 2002., ISBN 0-13-043245-8 [4] Dragan V. Lazi, ”Nelinearni sistemi”, Xtampana skripta iz predmeta Nelinearni sistemi na Maxinskom fakultetu u Beogradu, Beograd, 2000. [5] Vrdoljak, Milan, ”Uvod u Matlab”, www.fsb.hr/ mvrdolja/matlab/,

57

Matlab

Recommend Documents