คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
เมทริกซ์ เมทริกซ์เป็นหัวข้อที่ออกในข้อสอบ PAT1 ประมาณ 2-3 ข้อ ทุกปี ซึ่งข้อสอบมักจะไม่ได้ออกโจทย์ที่ พลิกแพลงมากนัก เน้นวัดที่พื้นฐานเป็นส่วนใหญ่ ถ้าน้องๆมีความเข้าใจเรื่องเมทริกซ์ดีพอสมควร เรื่องเมทริกซ์ก็ ถือว่าเป็นเรื่องที่เก็บคะแนนได้ง่ายเลยครับ
1. ลักษณะทั่วไปของเมทริกซ์ 2. การดาเนินการบนเมทริกซ์ เมทริกซ์
3. ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 4. เมทริกซ์ผกผัน 5. การแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้เมทริกซ์
1
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
1. ลักษณะทัว่ ไปของเมทริกซ์ เมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ซึ่งสามารถนาไปประยุกต์ใช้ประโยชน์ ต่างๆมากมาย เช่น การแก้ระบบสมการเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงพีชคณิตและเรขาคณิต ใช้จัดเก็บข้อมูลต่างๆ (MS Excel) ใช้ในการเก็บ -วิเคราะห์ข้อมูลของโปรแกรมต่างๆ (JAVA, C++) รวมถึงการวิเคราะห์เกี่ยวกับ อิเล็กตรอนและอนุภาคอื่นๆในสาขาฟิสิกส์นิวเคลียร์ เมทริกซ์ ( Matrix) คือ กลุ่มของจานวนที่นามาเขียนเรียงกันอย่างมีระเบียบภายในเครื่องหมายวงเล็บ โดยจานวนเหล่านี้จะเรียงกันเป็นแถว ซึ่งในแต่ละแถวจะมีจานวนหลักเท่ากันทุกแถว - เราเรียกจานวนที่อยู่ในเมทริกซ์ว่า สมาชิกของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะระบุตาแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์ โดยบอกแถว (row) และหลัก (column) ของสมาชิก - เรามักใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่แทนเมทริกซ์ และใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กซึ่งเขียน ตัวเลข 2 ตัวห้อยต่อไว้ทางด้านขวาแทนสมาชิก (เช่น aij คือ สมาชิกของเมทริกซ์ A ที่อยู่ที่แถวที่ i หลักที่ j) - ขนาดของเมทริกซ์จะเรียกว่า มิติของเมทริกซ์ โดยเมทริกซ์ที่มี m แถว n หลักจะมีขนาด m n มิติ หลักที่
1 2 a11 a12 a a22 21 A= a m1 am2
แถวที่ n 1 a1n 2 a2n amn m
- A = [aij ]mn หมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมีขนาด m n มิติ และมีสมาชิกที่ตาแหน่ง ij เป็น aij ตัวอย่าง
กาหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้
1 4 5 B 7 2 6 8 9 3 (1) มิติของเมทริกซ์ A _____________________________________________________ มิติของเมทริกซ์ B _____________________________________________________ (2) a23 + b32 - (a12)2 = ___________________________________________________
2 1 5 A 0 1 12
2
คณิตศาสตร์ ตัวอย่าง
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
i ,i j จงเขียนเมทริกซ์ C = [c ij ]44 ซึง่ cij = i j ,i j
ประเภทของเมทริกซ์ (1) เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
(2) เมทริกซ์แถว (Row matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีแถวเพียงแถวเดียว
1
2 3
(3) เมทริกซ์หลัก (Column matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีหลักเพียงหลักเดียว
1 2 (4) เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนหลัก (มีมิติ n n)
4 5 6 7
3
เมทริกซ์จัตุรัสยังอาจแบ่งประเภทย่อยๆได้เป็น (4.1) เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix) คือ เมทริกซ์ที่นิยามโดย In = [i jk ]nn
1 , j k ijk = 0 , j k
,
3
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
1 0 I2 = 0 1
(4.2) เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular matrix) คือ เมทริกซ์ซึ่งมีสมาชิกที่อยู่เหนือหรือใต้เส้น ทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทั้งหมด
2 4 5 0 1 3 0 0 6
1 0 0 2 3 0 0 1 0
ข้อควรรู้
เส้นทแยงมุมหลัก (main diagonal) คือ เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์จัตุรัสที่ลากจาก มุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่างของเมทริกซ์
NOTE
Row-echelon form matrix กาหนด A เป็นเมทริกซ์มิติ m n เรากล่าวว่า A มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว เมื่อ 1. ถ้า A มีแถวที่สมาชิกบางตัวไม่เป็น 0 แล้วสมาชิกตัวแรก (จากซ้ายไปขวา) ที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็น 1 เรียก 1 ตัวนี้ว่าเป็น 1 ตัวนา (leading 1) ในแถว 2. ถ้า A มีแถวที่สมาชิกทุกตัวเป็น 0 แล้วแถวเหล่านั้นต้องอยู่ต่ากว่าแถวที่สมาชิกบางตัวไม่เป็น 0 3. ถ้า aij เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i และ a(i+1)k เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i+1 แล้ว j < k ตัวอย่าง Row-echelon form matrix เช่น เมทริกซ์ศูนย์, เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ 1 2 3 1 2 3 4 0 1 9 4 1 3 0 1 0 1 2 0 1 5 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 4
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
2. การดาเนินการบนเมทริกซ์ เมทริกซ์มีความคล้ายคลึงกับระบบจานวนจริงมาก ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาว่า เราสามารถบวก -ลบ-คูณ เมทริกซ์ได้อย่างไร และศึกษาการดาเนินการบนเมทริกซ์บางชนิดซึ่งไม่พบในระบบจานวนจริง
2.1 การเท่ากันของเมทริกซ์ กาหนด A = [aij ]mn และ B = [bij ]pq เป็นเมทริกซ์ เมทริกซ์
A และ B จะเท่ากันกันได้ ก็ต่อเมื่อ - A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน (m = p และ n = q) - สมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน (aij = bij)
2.2 การบวก-ลบเมทริกซ์ กาหนด A = [aij ]mn และ B = [bij ]mn เป็นเมทริกซ์ และให้เมทริกซ์ C = [c ij ]mn เป็นเมทริกซ์ที่ เกิดจากการบวกหรือลบกันของ A กับ B แล้ว cij = aij bij (การบวก-ลบ เมทริกซ์ทาได้โดยนาสมาชิกที่ตาแหน่งเดียวกันมาบวก-ลบ กัน ซึ่งเราจะบวก -ลบ เมทริกซ์ ได้เมื่อ เมทริกซ์ที่นามาบวก-ลบกัน มีมิติเท่ากัน)
ตัวอย่าง
0 2 3 1 2 7 5 0 2 กาหนด A = B = C = 4 2 8 3 1 2 จงหา 1 4 1 (1) A + B
(2) C - B
(3) จงหาเมทริกซ์ X ซึ่งทาให้ A + X = C
5
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
2.3 สมบัติเกี่ยวกับการบวกของเมทริกซ์ กาหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์มิติ m n 1. สมบัติปิดของการบวก A , B เป็นเมทริกซ์มิติ m n แล้ว A + B เป็นเมทริกซ์มิติ m n 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก A+B=B+A 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก (A + B) +C = A + (B + C) 0 ซึ่งทาให้ 4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก จะมีเมทริกซ์ A+ 0 = 0 +A=A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์ 5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ -A ซึ่งทาให้ A + (-A) = (-A) + A = 0 เรียก -A ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A
2.4 การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง A = [aij ]mn เป็นเมทริกซ์ และ k เป็นจานวนจริงใดๆแล้ว
กาหนด
kA = [kaij ]mn (การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริงทาได้โดย นาสมาชิกทุกตาแหน่งในเมทริกซ์คูณด้วยจานวนจริงนั้น)
2.5 การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ กาหนด A = [aij ]mn และ B = [bij ]pq เป็นเมทริกซ์ - เมทริกซ์ A และ B จะคูณกันได้เมื่อ n = p (จานวนหลักของ A เท่ากับจานวนแถวของ B) - เมทริกซ์ผลคูณ A B จะเป็นเมทริกซ์มิติ m q - สมาชิกแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ผลคูณ A B จะหาได้โดยการ นาสมาชิกในแถวที่ i ของ A มาคูณกับสมาชิกในหลักที่ j ของ B เป็นคู่ๆ แล้วนามาบวกกัน ตัวอย่าง (1)
(2)
จงหาผลคูณของเมทริกซ์ต่อไปนี้ 2 1 2 4 1 5
3 0 0 1 3 1 2 1 2
6
คณิตศาสตร์ (3)
4 1 1 2 2 3 3 4
(4)
1 0 2 4 5 3 2 8 1 1 0 1
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
จงหา A3 เมื่อกาหนดเมทริกซ์ A ต่อไปนี้
ตัวอย่าง (1)
1 1 0 1
(2)
1 0 0 1
ENT’24
3 กาหนดให้ A = 2 และ B = 1 6 7 แล้ว A B มีค่าเท่าใด 4
7
คณิตศาสตร์ ENT’33
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
x y 2 2 y 1 a กาหนดให้ A = B = C = 2 y 0 1 ถ้า A B = C แล้ว a มีค่า 3 z
เท่าใด
2.6 สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมทริกซ์ กาหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์ 1. สมบัติปิดของการคูณ A , B เป็นเมทริกซ์ แล้ว A B ยังคงเป็นเมทริกซ์ 2. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ (A B) C = A (B C) 3. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการคูณ จะมีเมทริกซ์ I ซึ่งทาให้ AI = IA = A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์ 4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ A-1 ซึ่งทาให้ A A-1 = A-1 A = I เรียก A-1 ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A (มีเฉพาะบางเมทริกซ์) 5. สมบัติการแจกแจง A (B + C) = A B + A C
ข้อควรระวัง ! เมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่และสมบัติการมีอินเวอร์สสาหรับการคูณ ดังนั้น สมบัติที่ เป็นจริงบางประการในระบบจานวนจริง จะไม่เป็นจริงในเมทริกซ์ เช่น
8
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
2.7 ทรานสโพสของเมทริกซ์ กาหนด A = [aij ]mn เป็นเมทริกซ์ แล้ว ทรานสโพส (เมทริกซ์สลับเปลี่ยน) ของเมทริกซ์ A คือ At = [a ji ]nm (ทรานสโพสของเมทริกซ์ก็คือ การสร้างเมทริกซ์ใหม่โดยการเปลี่ยนจากแถวเป็นหลักนั่นเอง) สมบัติของทรานสโพสของเมทริกซ์ กาหนด A = [aij ]mn และ B = [bij ]mn เป็นเมทริกซ์ และ k เป็นจานวนจริงใดๆ 1. (A t ) t = A 2. (A B)t = At Bt 3. (kA)t = kAt 4. (AB)t = BtAt 5. (Am)t = (At)m 6. (A-1)t = (At)-1
NOTE
เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) คือ
___________________
เมทริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew-symmetric matrix) คือ
___________________
ตัวอย่าง กาหนด
1 2 0 2 A = 4 3 B = 2 1 จงหา 0 2 1 3
(1) At
(2) (3B)t
(3) (A - B)t
9
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
5a PAT1 ก.ค.53 ให้ a, b, c, d เป็นจานวนจริง ถ้า 3 c 2 ค่าของ b + c เท่ากับเท่าใด
www.clipvidva.com b 5a 6 4 + = d d 1 3 2c
5a b แล้ว 2d
1 0 x 1 2y 1 1 0 PAT1 มี.ค.53 ให้ x, y, z, w สอดคล้องกับสมการ = 1 w 0 y z 2 1 w ค่าของ 4w – 3z + 2y – x เท่ากับเท่าใด
0 1 1 0 ถ้า A = B = 0 1 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1 0 1. A B = B A 2. A B = -A B 3. A B = -B A 4. A B = B A B
ทุนเล่าเรียนหลวง’37
10
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
กาหนดให้ A = aij 22 โดย A มีสมาชิกเป็นจานวนจริง และ At = -A ข้อใดต่อไปนี้ซึ่งสรุป คุณสมบัติของสมาชิกของ A ได้ถูกต้องที่สุด 1. a12 = a21 และ a11 = a22 = 0 2. a12 = a21 และ a11 a22 3. a12 = -a21 และ a11 = a22 = 0 4. a12 = -a21 และ a11 a22 ENT’24
1 2 2 โควตา มช’49 กาหนดให้ A = ถ้ า A + aA – 2I = 0 เมื่อ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้ว a มี 3 4 ค่าเท่ากับเท่าใด
11
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
3. ดีเทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซ์ ในหัวข้อนี้ เราจะมาศึกษาสมบัติอีกประการหนึ่งของเมทริกซ์ นั่นคือ ดีเทอร์มิแนนต์ ( และนอกจากนี้จะศึกษาเกี่ยวกับสมบัติของเมทริกซ์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับดีเทอร์มิแนนท์ ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (Cofactor) และ เมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint matrix)
determinant) ได้แก่ ไมเนอร์
ดีเทอร์มิแนนต์ เป็นสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส ซึ่งเราจะนาไปใช้ในการหาเมทริกซ์ผกผันและแก้ระบบ สมการหลายตัวแปรต่อไป a11 a12 a13 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ det(A) หรือ A หรือ a21 a22 a23
a31
a32
a33
3.1 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 2 2 และมิติ 3 3 a b กาหนด เมทริกซ์ A มีขนาด 2 2 ซึง่ A = แล้ว c d det(A) = ad – bc
a b c กาหนด เมทริกซ์ B มีขนาด 3 3 ซึง่ A = d e f แล้ว g h i det(A) จะหาได้โดยการนาหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อจากหลักที่ 3 และ หาผลบวกของผลคูณ ในแนวเฉียงลง ลบกับผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงขึ้น
a b c a b d e f d e g h i g h
det(A) = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa +idb)
12
คณิตศาสตร์ ตัวอย่าง (
1)
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้ 1 2 4 6
(2)
x 2 xy 1 y x
(3)
1 0 1 2 3 4 1 5 2
(4)
0 1 4 2 1 2 1 1 0
3.2 ไมเนอร์ และ ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของเมทริกซ์ กาหนด A = [aij ]nn เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อ n 2 ไมเนอร์ (minor) ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Mij(A) ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (cofactor) ของ aij เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Cij(A) โดย Cij(A) = (-1)i+j Mij(A) สมบัติของไมเนอร์ กาหนด A = [aij ]nn เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อ n 2 1. Mij(kA) = kn-1 Mij(A) 2. Mij(At) = Mji(A)
13
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
(สมบัติของโคแฟกเตอร์ก็มีลักษณะทานองเดียวกับสมบัติของไมเนอร์)
(1) M11(A)
3 4 2 A = 6 3 1 จงหาค่าของ 4 7 8 (2) M32(A)
(3) C22(A)
(4) C23(A)
ตัวอย่าง กาหนดเมทริกซ์
3.3 เมทริกซ์ผูกผัน กาหนด A = [aij ]nn เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อ n 2 เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ adj(A) โดย t
adj(A) = Cij (A) = ( 1) i j Mij (A)
t
สมบัติของเมทริกซ์ผูกพัน กาหนด A , B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n n เมื่อ n 2 และ k เป็นจานวนจริงใดๆ 1. adj(A) A = A adj(A) = det(A) I 2. adj(kA) = kn-1 adj(A) 3. adj(A-1) = [adj(A)]-1 4. adj(AB) = adj(B)adj(A) 5. adj(At) = [adj(A)]t 14
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
3 2 1 A= 4 5 6 จงหา adj(A) 2 3 1
ตัวอย่าง กาหนด
3.4 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ n n สาหรับเมทริกซ์มิติ n n (n 2) เราสามารถหาดีเทอร์มิแนนต์ได้ โดยวิธีการกระจายโคแฟกเตอร์ตาม แถวหรือหลัก ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้ 1. เลือกแถวหรือหลักของเมทริกซ์ A nn ขึ้นมา 1 แถว 2. หาค่าดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตร โดยแบ่งออกเป็นสองกรณี 2.1 ในกรณีที่เลือกแถวที่ i ของเมทริกซ์ A จะได้ว่า det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) +... + ainCin(A) 2.2 ในกรณีที่เลือกหลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะได้ว่า det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + ... + anjCnj(A) ตัวอย่าง
จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
(1)
3 2 4 1
8 3 0 3 0 0 5 3 0 0 2 2
15
คณิตศาสตร์
(2)
1 1 0 1 1 0 2 1
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
2 2 2 3 1 2 0 1
3.5 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์พื้นฐาน กาหนด A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n n และ k เป็นจานวนจริงใดๆ 1. det(At) = det(A) 2. det(kA) = kndet(A) 3. det(AB) = det(A) det(B) (A และ B ต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเท่ากัน) m m 4. det(A ) = [det(A)] 1 5. det(A-1) = (เมื่อ A-1 หาค่าได้) det(A) 6. det(I) = 1 , det( 0 ) = 0 7. det(adj(A)) = [det(A)]n-1 8. det(A) = 0 เมื่อ - มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมทริกซ์เป็นศูนย์ทั้งหมด - มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมทริกซ์ซ้ากัน - มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมทริกซ์เป็น k เท่าของอีกแถว (หรือหลัก) 9. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมแล้ว det(A) จะเท่ากับผลคูณของสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์กับ row operation – column operation กาหนด A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n n และ k เป็นจานวนจริงใดๆ 1. ถ้าเมทริกซ์ B เกิดจากการสลับระหว่างแถว 2 แถว(หรือหลัก) ของ A แล้ว det(B) = -det(A) 2. ถ้าเมทริกซ์ B เกิดจากการนาค่าคงที่ k คูณเข้าไปในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลัก) ของ A จะได้ว่า det(B) = k det(A) 3. ถ้าเมทริกซ์ B เกิดจากการแปลงแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลัก) ของ A โดยนาค่าคงที่ k ไปคูณกับแถวอื่น (หรือหลักอื่น) แล้วนามาบวกเข้ากับแถวที่ต้องการจะเปลี่ยน จะได้ว่า det(B) = det(A)
16
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
ข้อควรรู้
Row operation - Column operation การดาเนินการตามแถว(หรือหลัก)กับเมทริกซ์ A จะกระทาได้ 3 แบบ คือ 1. สลับที่แถว(หรือหลัก)ที่ i กับ j ของ A เขียนแทนด้วย _______________ 2. คูณแถว(หรือหลัก)ที่ i ด้วยจานวนจริง k 0 เขียนแทนด้วย _______________ 3. เปลี่ยนแถว(หรือหลัก)ที่ i ของ A โดยการนาค่าคงตัว c คูณแถว(หรือหลัก)ที่ j ซึง่ j i แล้ว นาไปบวกกับแถวที่ i เขียนแทนด้วย _______________ ถ้าเมทริกซ์ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการดาเนินการตามแถว(หรือหลัก)กับเมทริกซ์ A จะกล่าวว่า B สมมูลแบบแถว(หรือหลัก)กับ A เขียนแทนด้วย A B ตัวอย่าง กาหนดเมทริกซ์ (1) det(A2B)
A และ B เป็นเมทริกซ์มิติ 3 3 โดย det(A) = 2 และ det(B) = -13 จงหา
(2) det(2Atadj(B))
(3) det(-B-1Atadj(A2))
(4) det(adj(adj(A))B)
ตัวอย่าง
2 0 0 3 1 0 จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A = 4 5 3 6 7 8
17
0 0 0 6
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
PAT1 ต.ค.53 กาหนดให้ X เป็นเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับสมการ
3 2 2 1 2 0 1 3 1 4 3 1 แล้วค่าของ det(2Xt(X + Xt)) เท่ากับเท่าใด
1 2 4 3 + 4X =
ENT’46 มี.ค. กาหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ขนาด 2 2 5 4 2 1 ถ้า A + 2B = และ A B = แล้ว det(2A-1B) เท่ากับเท่าใด 8 16 1 5
PAT1 ก.ค.52 กาหนดให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ 2 2 และ det(A) = 4 ถ้า I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และ A - 3I เป็นเมทริกซ์เอกฐาน แล้ว det(A + 3I) เท่ากับเท่าใด
18
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
0 a b โควตา มช’50 ถ้า A = a 0 c แล้ว det(adj(A)) เท่ากับเท่าใด (ตอบในรูป a, b, c) b c 0
โควตา มช’49 ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเดียวกัน ซึ่ง det(A) = -2, det(Bt A-1 B) = -4, det(B-1 (Bt + At) A) = - 3 2 และ det(B) > 0 แล้ว det(A + B) มีค่าเท่าใด
1 2 1 PAT1 มี.ค.52 กาหนดให้ A = 2 x 2 โดยที่ x และ y เป็นจานวนจริง ถ้า C11(A) = 13 และ 2 1 y C21(A) = 9 แล้ว det(A) มีค่าเท่าใด
19
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
ENT’47 ต.ค. กาหนดให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ 3 3 และ Aij คือเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j 2 5 1 1 2 1 1 ของเมทริกซ์ A ออก ถ้า adj(A) = 28 10 1 A11 = และ A32 = 3 2 แล้ว 5 8 17 5 1 det(A) มีค่าเท่าใด 1. -92 2. -15 3. 15 4. 92
ENT’43 ต.ค. ให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์มิติ 3 3 ถ้า det(A) = -3 และ AtB - 2AtCt = -3A-1 แล้ว det(2C – Bt) เท่ากับเท่าใด
ENT’44 มี.ค. กาหนดให้ A = aij 33 โดยที่
2i1 aij = 2
adj(A t ) แล้ว det 4 เท่ากับเท่าใด det(A)
20
,i j ,i j
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
4. เมทริกซ์ผกผัน ในระบบจานวนจริง จานวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ย่อมมีอินเวอร์สการคูณ เมทริกซ์ก็มีอินเวอร์สการคูณ เช่นกัน สาหรับในหัวข้อนี้ เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
4.1 เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ 2 2 a b กาหนด A = แล้ว เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ) ของเมทริกซ์ A คือ c d 1 d b A-1 = ad bc c a ตัวอย่าง
จงหาตัวผกผันของเมทริกซ์ต่อไปนี้ (1)
2 1 1 3
(2)
2 4 3 6
4.2 เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ n n กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n n แล้ว เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A คือ A-1 =
1 adj(A) det(A)
ข้อควรรู้
เมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) – เมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non-singular matrix) กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n n ถ้า A สามารถหาอินเวอร์สการคูณได้ เราจะเรียกเมทริกซ์ A ว่า ___________________________ ถ้า A ไม่สามารถหาอินเวอร์สการคูณได้ เราจะเรียกเมทริกซ์ A ว่า _________________________
ข้อควรรู้
ข้อความต่อไปนี้ มีความหมายเหมือนกัน
21
คณิตศาสตร์ NOTE
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
ขั้นตอนการหาเมทริกซ์ผกผัน
ตัวอย่าง ตัวอย่าง
จงหาตัวผกผันของเมทริกซ์ต่อไปนี้ (1)
1 2 4 3 8 0 1 2 1
(2)
2 3 1 0 5 2 0 0 2
4.3 สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน กาหนด A, B เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน m เป็นจานวนเต็มบวก และ k เป็นจานวนจริงใดๆ 1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 1 2. (kA)-1 = (A-1) k -1 t 3. (A ) = (At)-1 4. (A-1)m = (Am)-1 5. (A B)-1 = B-1 A-1 1 6. det(A-1) = det(A) 22
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
1 2 3 โควตา มอ’51 เมทริกซ์ 0 4 5 ไม่มีตัวผกผันการคูณ เมื่อ x มีค่าอยู่ในช่วงใด 6 7 x 1. 10,11 2. 11,12 3. 12,13 4. 13,14
ENT’40
3 4 กาหนดให้ A = , B = 2 3
1 2 1 3 , X =
a b c d ถ้า AX + B = A แล้ว b + c
มีค่าเท่ากับเท่าใด
ให้ A เป็นเมทริกซ์ และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ 3 3 1 2 1 0 2 3 1 ถ้า B = 3 0 1 C = 3 1 2 สอดคล้องกับสมการ AB - AC - I = 0 แล้ว 2 2 1 0 0 2 1 A-1 คือเมทริกซ์ใด ENT’37
1 2 4 PAT1 ต.ค.52 กาหนดให้ A = 3 8 0 สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A-1 เท่ากับเท่าใด 1 2 1
23
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
2x 1 PAT1 มี.ค.54 กาหนดให้ x เป็ยจานวนเต็มและ A = เป็นเมทริกซ์ที่มี det(A) = 3 ถ้า B เป็น x x -1 เมทริกซ์มีมิติ 2 2 โดยที่ BA + BA = 2I เมื่อ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณมิติ 2 2 แล้วค่าของ det(B) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 1. 1,2 2. 1,0 3. 0,1 4. 2, 1
1 1 0 1 x ENT’48 มี.ค. กาหนดให้ B = 0 1 2 , C = 0 , X = y และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ถ้า 3 0 1 2 z A เป็นเมทริกซ์มิติ 3 3 ซึ่งสอดคล้องกับสมการ 2AB = I และ AX = C แล้วค่าของ x + y + z เท่ากับข้อใด ต่อไปนี้
1 a b โควตา มอ’51 ถ้า A = 0 0 1 และ A-1 = 0 1 1
1 1 2 0 1 1 แล้ว จงหาค่าของ a + b + c + d c d 0
24
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
5. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เราได้เคยศึกษาเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสาม ตัวแปรแล้ว สาหรับในเรื่องนี้ เราจะนาความรู้เรื่องเมทริกซ์มาประยุกต์ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นตั้งแต่สอง ตัวแปรขึ้นไป
5.1 ระบบสมการเชิงเส้น สาหรับระบบสมการเชิงเส้นที่มี n ตัวแปร m สมการ ซึ่งมี x1, x2, x3, ... , xnจะมีรูปแบบเป็น a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm ซึ่งผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นจากระบบสมการจะแบ่งได้ 3 แบบ คือ 4x – y = 2 x-y=1 2x - 2y = 2
2x + y = 4 ระบบสมการมีคาตอบเดียว
x + 2y = 1 ระบบสมการมีคาตอบเป็นจานวนอนันต์
ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ (1) 2x - y = 3 x + 3y = -2
(2)
2x + 4y = 5
x - 2y - z = -2 -x + y + 2z = -1 2x + 3y - 2z = 10
25
ระบบสมการไม่มีคาตอบ
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
5.2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร 3 สมการ ax + by + cz = m dx + ey + fz = n gx + hy + iz = p
a b c x m d e f y n ซึ่งเราสามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์ได้เป็น g h i z p ซึ่งอยู่ในรูป A X = B โดยเราเรียกเมทริกซ์ A ว่า เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ( Coefficient Matrix) เรียก เมทริกซ์ B ว่า เมทริกซ์ค่าคงตัว และเรียกเมทริกซ์ X ว่า เมทริกซ์ตัวแปร ซึ่งสามารถหาคาตอบของสมการเมท ริกซ์นี้ได้จาก X = A-1 B (เมื่อ A-1 หาค่าได้)
ข้อควรรู้
ข้อสรุปเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้ระบบสมการกับเมทริกซ์
- กรณีที่เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน จะได้ว่า __________________________ - กรณีที่เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน จะได้ว่า ____________________________ ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการนี้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน x - y + 2z = 9 2x + y - z = 0 3x - 2y + z = 11
26
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
5.3 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคาร์เมอร์ กาหนดระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปร n สมการ โดย A X = B (A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ X เป็น เมทริกซ์ตัวแปร และ B เป็นเมทริกซ์ค่าคงตัว) เป็นสมการเมทริกซ์ซึ่งสัมพันธ์กับระบบสมการดังกล่าว ถ้า det(A) 0 และให้ x1 b1 x b 2 2 X= B= x b n n แล้วคาตอบของระบบสมการนี้คือ det(A1 ) det(A 2 ) det(A n ) x1 = , x2 = , ... , xn = det(A) det(A) det(A) เมื่อ Ai คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A ด้วยหลักของ B ทุก i {1, 2, ..., n} Ent’27 (ดัดแปลง)
จงหาค่า y และ t ที่ทาให้ระบบสมการนี้เป็นจริง โดยใช้กฎของคาร์เมอร์ 2x + y - 2z = -1 x + 3z - t = 2 -2x + y + 2z + 2t = 0 x - y + 3z + t = 1
27
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
5.4 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ Row-Operation พิจารณาการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร 2 สมการ เทียบกับการดาเนินการกับเมทริกซ์ที่สร้างขึ้น ใหม่ (เรียกเมทริกซ์นี้ว่า เมทริกซ์แต่งเติม : augmented matrix) ต่อไปนี้
ข้อควรรู้
ตัวอย่าง
สรุปหลักการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการใช้ row-operation
จงแก้ระบบสมการนี้โดยใช้ row-operation x - 2y + 3z = 9 -x + 3y = -4 2x - 5y + 5z = 17
28
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
NOTE
Gauss Elimination Gauss Elimination เป็นวิธีการหนึ่งซึ่งใช้ในการแก้ระบบสมการซึ่งใช้วิธีการเดียวกันกับการแก้ ระบบสมการโดยใช้ row-operation เพียงแต่ในวิธี Gauss Elimination เราจะทาการดาเนินตามแถวไป จนเมทริกซ์แต่งเติมเป็นเมทริกซ์ที่อยู่ในลักษณะเดียวกับ row-echelon form matrix (เป็นเมทริกซ์ สามเหลี่ยมล่าง) ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการนี้โดยใช้ Gauss Elimination
โควตา มข’50 กาหนดให้ (x, y, z, t) = (a, b, c, d) เป็นคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น x + y - z - t = -4 -y + 3z + 3t = 8 5z + 5t = 15 จงหาค่าของ 2a + 3b + c + d
29
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
ข้อควรรู้
การหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้ row-operation นอกจาก row-operation จะช่วยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้แล้ว ยังสามารถใช้หาเมทริกซ์ ผกผันได้ โดยการทาตามขั้นตอนดังนี้ - นาเมทริกซ์ A nn ที่ต้องการหาอินเวอร์สมาเขียนในรูป AIn - ทาการ row-operation จนได้เมทริกซ์ In B จะได้ว่า B = A-1
ตัวอย่าง กาหนด
1 1 0 A = 1 0 1 จงหา A-1 โดยใช้ row-operation 6 2 3
ENT’47 ต.ค. ให้ x, y, z เป็นคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น a11x + a12y + a13z = 2 a21x + a22y + a23z = 1 a31x + a32y + a33z = 0 a11 a12 a13 1 0 0 ถ้า a21 a22 a23 0 1 0 ~ a31 a32 a33 0 0 1 แล้วค่าของ x + y + z เท่ากับเท่าใด
30
1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 2 3 0
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
4 12 9 ENT’48 มี.ค. กาหนดให้ A = 7 10 5 และ B, C, D เป็นเมทริกซ์มิติ 3 3 ซึง่ A~B~C~D 1 0 0 4 โดยที่ B ได้จาก A โดยการดาเนินการ R1 - R2 3 C ได้จาก B โดยการดาเนินการ 5R1 D ได้จาก C โดยการดาเนินการ R23 แล้ว det(D) เท่ากับเท่าใด
a b 1 ทุนเล่าเรียนหลวง’37
เมื่อ A คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัส A ต่อไปนี้ข้อใดเท่ากับ 2 4 1
1 2 1 a b
1
a b 1
1. 0 0 1
2. 0 0 1
0 0
1
1 2 1
a b
1
a b 1
3. 0 0 1
1 2
ENT’40
4. 0 0 1
0
0 0 1
1 2 3 p 1 กาหนดให้ A = 0 1 0 และ X = q ถ้า A2(adj(A))X = 6 แล้ว p มีค่า 2 1 0 r 0
เท่ากับเท่าใด
31
คณิตศาสตร์ ENT’25 (x + y + z)2
กาหนดระบบสมการต่อไปนี้
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
4 2 3 1 2 1 = 0 , = 4 และ = 2 จงหาค่าของ x y y z x z
ตัวอย่าง
สาหรับระบบสมการเชิงเส้น x + y+ kz = 1 x + ky + z = 1 kx + y + z = -2 จงหาเงื่อนไขสาหรับค่า k ที่จะทาให้ ระบบสมการเชิงเส้นมีคาตอบเดียว มีหลายคาตอบ และไม่มีคาตอบ
1 4 3 ทุนเล่าเรียนหลวง’46 ให้ adj(A) = 1 1 0 เป็นเมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ของ 3 3 3 เมทริกซ์ A และ det(A) < 0 จงหาเมทริกซ์ A
32
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
www.clipvidva.com
a b PAT1 ก.ค. 53 ให้ a, b, c, d, t เป็นจานวนจริง ถ้า A = โดยที่ det(A) = t 0 และ c d 2 -1 2 -1 det(A + t A ) = 0 แล้วค่าของ det(A - t A ) เท่ากับเท่าใด
ทุนเล่าเรียนหลวง’37 ถ้า A, B, C เป็นเมทริกซ์แล้ว ข้อใดถูกต้อง 1. ถ้า AB = AC แล้ว B = C 2. ถ้า AB = C และ A 0 (เมทริกซ์ศูนย์) แล้ว B = A-1C 3. (A + B)C = AC + BC 4. (A + B)(A – B) = A2 - B2
ENT’30
ข้อใดต่อไปนี้ผิด
1 0 a 0 1. กาหนดเมทริกซ์ A = และ B = b a เมื่อ a, b เป็นจานวนจริง จะได้ว่า AB = BA 1 1 2 k 2 2. ถ้า A = เป็นนอนซิงกูลาร์เมทริกซ์แล้ว k 1 และ k 4 1 k 3 3. ถ้า A เป็น 2 2 เมทริกซ์ และ k เป็นจานวนจริงใดๆ ซึ่ง k 0 แล้ว det(kAt) = kdet(A) 4. ถ้า A และ B เป็น 2 2 เมทริกซ์ ที่หา A-1 และ B-1 ได้ แล้ว det(AB)-1 = det(B-1)det(A-1)
33
