MEMAKSIMALKAN VOLUME ALIRAN AIR DALAM DISTRIBUSI AIR PDAM KELURAHAN ’’GADING KASRI’’ DENGAN ALGORITMA-ALGORITMA PADA MAXIMUM FLOW
PROPOSAL
Disusun Oleh : Berlian Trifal Mahendra
409312417670
Mohammad Zakaria
409312417685
Halin Suharto
406312400862
Risa Wijayanti
406312403702
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA FEBRUARI 2012
1
DAFTAR ISI
Halaman Judul Daftar Daftar Isi………………………………………………………………
i
Abstrak…………………………………………………………………. ii BAB I Pendahuluan I. Latar Belakang…………………………………………………..
1
II. Tujuan…………………………………………………………..
2
III. Manfaat…………………………………………………………
3
BAB II Kajian Teori 2.1 Dasar Teori Graph……………………………………………
4
2.2 Maximum flow problem………………………………………
5
2.3 Algoritma………………………………………………………. 6 2.4 Penelitian yang sudah dilakukan……………………………….. 15 BAB III Metodologi Penelitian 3.1 Unsur dalam maksimum flow…………………………………… 17 3.2 Alat Bantu Program …………………………………………
22
3.3 Contoh Kasus Maximum Flow………………………………….. Flow ………………………………….. 23 BAB IV Pembahasan 4.1 Narasi Permasalahan……………………………………………. Permasalahan……………………………………………. 27 4.2 Penyelesaian Masalah dengan algoritma……………………… algoritma ………………………
29
4.3 Penyelesaian Masalah dengan alat bantu ………………………
35
4.4 Analisa Hasil……………………………………………………. 37 BAB V Kesimpulan 5.1 Kesimpulan……………………………………………………… 38
i
ABSTRAK
Teori graph merupakan salah satu cabang matematika yang penting dan banyak manfaatnya manfaatnya dalam memecahkan masalah sehari-hari" Salah satu teori graph yang diterapkan adalah masalah maksimum flow, yaitu bagaimana mencari besar penugasan aliran pada suatu jaringan kerja sehingga aliran yang sampai ke tujuan maksimal" Penyelesaian masalah maximum flow dapat diselesaikan dengan menggunakan tiga algoritma yaitu Algoritma Pelabelan Aka, Algoritma Lintasan Penambah, dan Algoritma Preflow Push" Untuk Algoritma Pelabelan Aka telah dikerjakan pada skripsi terdahulu, operasi dasar algoritma Pelabelan Aka yaitu berulang-ulang mencari suatu lintasan dari titik sumber ke titik tujuan dan menghitung nilai kapasitas sisaannya yang digunakan untuk mengembangkan aliran pada lintasan yang terpilih" Perulangan berhenti jika tidak ada lagi lintasan dan tit ik sumber ke tujuan" Pada skripsi kali ini untuk menyelesaikan masalah maximum flow akan digunakan Algoritma Lintasan Penambah" Pengerjaan Algoritma Lintasan Penambah lebih sederhana dibandingkan dengan Algoritma Pelabelan Aka" Prosesnya diawali dengan merubah graph dasar kedalam bentuk suatu jaringan kerja dengan memberikan aliran awal pada setiap sisi sebesar 0 barulah dapat melakukan langkah pertama yaitu pilih terlebih dahulu lintasan yang akan dilalui yang berasal dari titik sumber ke titik tujuan, langkah kedua cari kapasitas sisaan dari lintasan penambah dengan cara mencari nilai MIN (?) pada lintasan yang terpilih, langkah ketiga kurangkan kapasitas sebesar ? dan tambahkan aliran sebesar ? pada setiap sisi yang berada pada lintasan yang dipilih" Setelah tidak ada lagi lintasan yang dipilih maka lintasan tersebut telah mencapai nilai maksimum" Untuk mempermudah penyelesaian masalah maximum flow dengan algoritma Ford-Fulkerson dan Algoritma Lintasan Penambah digunakan komputer dengan program GIDEN dan Grin" Penyelesaian dengan menggunakan Algoritma Lintasan Penambah dapat diterapkan untuk mengoptimalkan volume aliran air pada jaringan pipa PDAM daerah Gading Kasri" Dengan Algoritma Lintasan Penambah dapat diketahui bahwa aliran dapat dicapai secara maksimum dalam 5 iterasi dengan hasil maximum flow sebesar 280 liter/detik"
ii
BAB I PENDAHULUAN
I.
Latar Belakang
Matematika merupakan disiplin ilmu yang tercipta berkat kemampuan abstraksi manusia sebagai makhluk alam. Dewasa ini semakin banyak banyak disiplin ilmu yang menggunakan model matematika maupun penalaran matematika sebagai alat bantu untuk menyelesaikan permasalahan yang dihadapi. Dalam kehidupan seharihari kita pasti dihadapkan oleh berbagai masalah. Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu tentunya pendekatan ilmu, karena hidup dengan ilmu itu akan menjadi mudah. Dalam ilmu matematika, banyak hal yang kita jumpai yang sulit untuk memberi batasan, misalnya dalam teori graph, dimana teori ini begitu banyak manfaatnya. Akan tetapi tidak banyak orang yang menyadari bahwa teori ini memiliki aplikasi yang begitu luas. Teori graph merupakan salah satu cabang matematika yang yang penting dan banyak model teori graph yang dapat diterapkan adalah masalah maksimum flow, yaitu masalah bagaimana cara menentukan besarnya penugasan flow pada suatu jaringan kerja sehingga flow yang sampai ke tujuan maksimal". Salah satu bentuk graph yang popular digunakan adalah flow network , yaitu graph berarah yang tiap sisinya mempunyai mempunyai kapasitas tertentu. Flow network ini memilik banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Flow
network sering digunakan untuk memodelkan sistem lalu lintas, suatu sistem yang sering menjadi masalah utama dalam kehidupan, terutama di kota besar. Salah satu masalah yang sering muncul dalam flow network adalah maximum flow problem. Secara sederhana, maximum flow problem dapat dideskripsikan
sebagai masalah pencarian untuk mencari arus maksimum yang dapat mengalir pada sebuah network yang hanya hanya memiliki satu source dan sink. Sebagai contoh penerapan maximum flow problem adalah sebagai berikut: suatu perusahaan memiliki pabrik di kota A dimana barang yang sudah diproduksi harus dikirim ke kota B. Kita memiliki data jalan satu arah yang menghubungkan setiap kota, dan jumlah maksimum truk yang dapat melewati jalan tersebut.
1
Masalah yang harus dipecahkan adalah menentukan jumlah maksimum truk yang dapat dikirimkan sekali jalan. Banyak penelitian yang telah dilakukan dalam penyelesaian maximum flow. Contohnya adalah skripsi berjudul Eksplorasi Kerja Algoritma Edmons Karp dalam Menyelesaikan Maximum Flow Problem yang disusun oleh Ardanu Pratama Putra, Analisis Kerja Algoritma Dinits yang disusun oleh Bahrul Ulum, Penerapan Model Maximum Flow dalam Teori Graph pada Lalu Lintas Kendaraan yang ditulis oleh Rosyidah tahun 2006. Serta Laporan PKL berjudul Optmalisasi pendistribusian produk PT Coca Cola Indonesia dengan menggunakan Algoritma-algoritma pada maximum Flow pada tahun 2010. Merujuk pada masalah di atas, maka keberadaan aplikasi maximum flow problem sangat penting. Baik bagi perusaahan maupun bagi pelaku atau peneliti.
Bagi peneliti merupakan kesempatan yang penting untuk menerapkan ilmu atau keahlian yang telah diperoleh dari pendidikan formal. Pihak yang paling diuntungkan dari pengembangan maximum flow problem adalah perusahaan. Dengan memberikan kesempatan kepada peneliti mengaplikasikan ilmunya serta memberikan kesempatan untuk belajar maka perusaahaan telah memberikan kesempatan kepada dirinya untuk terus berkembang dan terus menambah keuntungan. Dalam teori graph, ada banyak algoritma yang digunakan untuk menentukan aliran terpendek dari suatu tempat ke tempat lain. Algoritma-algoritma pada aliran terpendek tersebut antara lain Algoritma Lintasan Penambah, Algoritma Preflow Push, Algoritma Dijkstra, Algoritma Ford Fulkerson, Algoritma Edmons Karp, Algoritma Pelabelan Aka, Algoritma Incremental, Algoritma Formal Stat ement, dll. Namun dalam pembahasan masalah ini, hanya akan digunakan beberapa algoritma yang digunakan untuk membahas suatu masalah yang kami beri nama judul ”Memaksimalisasi Volume Aliran Air dalam Distribusi Air PDAM dengan Algoritma-algoritma pada Maksimum Flow”
II. Tujuan
Adapun tujuan dari pelaksanaan observasi adalah : 1.
Secara khusus, tujuan dari pelaksanaan observasi kami adalah:
2
a) Identifikasi masalah pengoptimalan volume aliran air pada distribusi air di PDAM kelurahan„‟Gading Kasri‟‟. b) Menerapkan algoritma Maksimum Flow dalam pengoptimalan volume aliran air pada distribusi air PDAM kelurahan „‟Gading Kasri‟‟ . c) Memberikan solusi untuk pengoptimalan volume aliran air pada distribusi air PDAM kelurahan „‟Gading Kasri‟‟ .
III. Manfaat
MANFAAT OBSERVASI a.
Untuk mengetahui pengoptimalan volume aliran air pada distribusi air PDAM kelurahan „‟Gading Kasri‟‟.
b.
Memberikan solusi untuk pengoptimalan volume aliran air pada distribusi air PDAM kelurahan „‟Gading Kasri‟‟.
3
BAB II Kajian Teori
2.1.Dasar Teori Graph
Definisi dari graph yaitu suatu himpunan tak kosong yang masing-masing unsurnya disebut titik (vertex) dan suatu himpunan pasangan tak berurutan dari titik-titik tersebut yang disebut sisi (edge). Contoh graph:
Digraph adalah graph yang tiap sisinya memiliki arah Contoh digraph:
Digraph berbobot adalah digraph yang tiap sisi berarahnya memiliki bobot (nilai). Contoh digraph berbobot: 7
11 9
6
8
5 5
6
Network adalah digraph berbobot yang memiliki suatu titik sumber dan satu titik tujuan. Pada titik sumber, tidak terdapat sisi masuk, sedangkan pada
4
titik tujuan tidak terdapat sisi keluar, bobot tiap sisi pada suatu network adalah kapasitas (C) sisi tersebut. Contoh network: 7 Titik sumber
11 9
S 6
8 T
5 6
5
Titik tujuan
Residual network adalah network dengan ketentuan pelabelan sisinya sebagai berikut: C‟(i,j) = C(i,j) – F(i,j), C‟(j,i) = F(i,j). Definisi flow (F) adalah suatu bilangan tak negatif yang didefinisikan pada tiap sisi pada suatu network yang memenuhi F ij < Cij untuk sebarang sisi (i,j) pada network tersebut.Setiap arus(flow) dalam network,harus memenuhi suatu batasan yaitu arus yang masuk pada suatu simpul harus sama dengan arus yang keluar pada simpul tersebut, kecuali pada source, yang arus keluarnya lebih besar dari arus masuk, dan sink, yang arus masuknya lebih besar dari arus keluar. 2.2 Maximum Flow Problem
Pada maximum flow problem, sering dijumpai istilah sebagai berikut:
Network N Network adalah digraph berbobot yang memiliki suatu titik sumber
dan satu titik tujuan. Pada titik sumber, tidak terdapat sisi masuk, sedangkan pada titik tujuan tidak terdapat sisi keluar, bobot tiap sisi pada suatu network adalah kapasitas (C) sisi tersebut.
Walk(Jalan) Misalkan titik dan (tidak harus berbeda) pada suatu graph . Jalan (walk) ( ) di adalah barisan dengan
,
adalah
titik,
adalah
menghubungkan titik dan ,
Flow (F)
5
sisi,
dan
Flow (F) merupakan suatu bilangan tak negatif yang didefinisikan
pada tiap sisi pada suatu network yang memenuhi Fij
Residual Network Residual network merupakan network dengan ketentuan pelabelan
sisinya adalah sebagai berikut: C‟(i,j) = C(i,j) – F(i,j), C‟(j,i) = F(i,j). Flow di G=(V,E) adalah bilangan tak negatif Fij sedemikian sehingga
a. Fij < Cij, Cij adalah bobot sisi (i,j) b. j V (G), j t , j s, F ij F ji i
i
Nilai flow adalah jumlah semua flow yang meninggalkan titik sumber (s). 2.3 Algoritma
Beberapa algoritma yang dapat digunakan dalam pencarian maximum flow antara lain: a. Algoritma Lintasan Penambah (Augmenting Path Algorithm)
Lintasan penambah adalah suatu lintasan berarah dari titik S ke titik tujuan T dalam suatu jaringan berarah sisaan sehingga setiap sisinya memiliki kapasitas lebih dari nol. Langkah-langkah: 1. Tentukan suatu lintasan penambah. 2. Tentukan nilai minimum kapasitas semua sisinya, yang dinotasikan dengan .
3. Jika telah ditentukan, operasikan dengan kapasitas setiap sisi lintasan penambah tersebut, yakni: Cij*= Cij - dan C ji*= C ji + 6
dengan : ij = sisi pada lintasan penambah ji = sisi berarah kebalikan dari sisi ij Cij = kapasitas sisi ij sebelum iterasi n C ji = kapasitas sisi ji sebelum iterasi n Cij* = kapasitas sisi ij setelah iterasi n C ji* = kapasitas sisi ji setelah iterasi n Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 sampai tidak ada lintasan penambah yang lain, hitung aliran dari jaringan berasal asli, yakni : Fij = Cij – Cij* dengan: Fij = aliran sisi ij pada jaringan berarah asli Cij= kapasitas sisi ij pada jaringan berarah asli Cij*= kapasitas ij pada jaringan berarah sisaan iterasi terakhir. Lihat Contoh berikut
Iteration 1: Dalam gambar tampak bahwa , salah satu lintasan potensial adalah O B- E- T , yang mempunyai kapasitas sisa min{7, 5, 6} = 5. Dengan mengalirkan 5
ke dalam lintasan ini, didapatkan network residual
7
Iteration 2: Alirkan lagi sebanyak 3 ke lintasan potensial O - A- D - T . didapatkan
network residual
Iteration 3: alirkan 1 ke lintasan potensial O _ A-B-D-T . Iteration 4: alirkan 2 ke lintasan O-B-D-T . Nework yang dihasilkan
Iteration 5: : alirkan 1 ke lintasan potensial O-C-E-D-T . Iteration 6: : alirkan 1 ke lintasan potensial O-C-E-T . Hasilnya adalah
8
Iteration 7: : alirkan 1 ke lintasan potensial O-C-E-B-D-T .
Network yang dihasilkan adalah
9
b. Algoritma Preflow-Push Langkah-langkah: 1. Persiapan Tentukan flow awal tiap sisi adalah nol. Hitung distance label tiap vertex (banyaknya sisi berarah pada lintasan terpendek yang menghubungkan suatu vertex ke vertex tujuan). Tentukan F sj=Csj, j V ( D) dengan s adalah vertex asal. 2. Iterasi Jika terdapat vertex i (bukan vertex awal maupun tujuan) yang aktif (excess(i)>0) maka pilih vertex tersebut lalu: a. Jika ada sisi (i,j) yang admissible (distance label (i) = distance label (j) + 1) maka push=min{excess(i),rij} Catatan: excess(i) adalah jumlah flow yang masuk ke vertex i dikurangi
jumlah flow yang keluar dari vertex i. b. Jika tidak ada sisi (i,j) yang admissible maka ganti distance label (i) dengan min{ distance label (j)+1| (i, j ) V (G) }, rij adalah kapasitas residu yaitu C ij F ij . Ulangi langkah 2 sampai tidak ada lagi titik yang aktif. c. Algoritma Pelabelan Aka (Aka’s Labelling Algorithm)
Langkah-langkah: 1. Beri label pada titik sebarang (s) dengan (- ,∞) dan berikan
flow awal
sebesar nol untuk setiap label sisi pada jaringan kerja. Tanda (-)
10
menunjukkan bahwa semua flow berasal dari sumber, tanda (∞) menunjukkan bahwa flow dari sumber nilainya tak terbatas. a. Label titik: (±i, Pf ) dengan i merupakan titik dan P f merupakan potensial A pada titik i. b. Label sisi: (Cij,Fij) dengan Cij merupakan kapasitas sisi (i,j) dan F ij merupakan flow aktual pada sisi (i,j). 2. Lanjutkan ke langkah selanjutnya jika terdapat (salah satu atau keduanya) suatau lintasan pada digraph D yang berkarakteristik sebagai berikut: a. Sisi terorientasi tepat (arahnya dari sumber ke tujuan) dan memenuhi Fij
Langkah-langkah : 1. Buatlah graph c simetris jika ada c [u,v sementara c[v,u] tidak ada dengan membuat c[v,u]=0. 2. Inisialisai f[u,v]= f[v,u]=0, untuk setiap (u,v) dalam graph 3. Inisialisai G[u,v] c[u,v], (u, v) G, G suatu graph. 4. Dapatkan lintasan residual antara s dant,jika ada maka a. Aliri melalui lintasan dengan kapasitas sesuai dengan residu terkecil di dalam lintasan tersebut. b. Update setiap f [u,v] untuk setiap (u,v) dalam lintasan sesuai debit tersebut.
11
c. Hitung residual e [u,v] = c [u,v] – f [u,v] dalam lintasan sebagai residual terbaru. d. Ulangi hingga tidak ada lintasan residual antar s dan t. 5. Graph maximum flow adalah graph f [u,v] dengan hanya mengambil sisi (u,v), jika f [u,v] > 0 e. Algoritma Djikstra
Pada dasarnya, algoritma ini merupakan salah satu bentuk algoritma greedy. Algoritma ini temasuk algoritma pencarian graph yang digunakan untuk menyelesaikan masalah lintasan terpendek dengan satu sumber pada sebuah graph yang tidak memiliki cost sisi negatif, dan menghasilkan sebuah pohon lintasan terpendek. Untuk menyelesaikan Maximum Flow Problem dengan algoritma Djikstra, langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Cari sebuah lintasan yang belum dipilih yang menghubungkan simpul awal dengan simpul tujuan. 2. Carilah sebuah sisi dengan kapasitas minimum. Kapasitas sisa minimum didapat dari kapasitas sisi tersbut dikurangi arus yang sudah mengalir pada sisi itu (c-f). Bila kapasitas minimum sisa sama dengan 0, langsung ke langkah 4. 3. Alirkan arus sejumlah kapasitas minimum sisi pada lintasan yang dipilih. 4. Kembali ke langkah 1 sampai semua lintasan diperiksa. f.
Algoritma Edmonds Karp
Berikut ini langkah-langkah algoritma BFS untuk menemukan lintasan penambah terpendek pada suatu residual network. Input: suatu residual network R dengan titik sumber s, titik tujuan t , dan himpunan semua titik V ( R). 1. Inisialisasi himpunan V s = {s}. 2. Labeli titik s dengan nol (ℓ( s)=0). 3. Inisialisasi label penghitung i = 1. 4. Selama V s tidak memuat t , lakukan langkah berikut Jika terdapat busur yang titik awalnya termuat di V s dan titik akhirnya termuat di V ( R) - V s, untuk selanjutnya disebut usable arc, maka
12
Misal e suatu usable arc dengan titik awal v yang memiliki label terkecil, Misalkan w adalah titik akhir dari e yang belum memiliki label, atur v sebagai backpoint dari w, ℓ(w) = i V s = V s
{w}
i = i+1
Jika tidak terdapat usable arc, maka tidak ada lagi lintasan penambah di R. Susun ulang lintasan penambah Q dengan menelusuri backpoint dari titik t . Output: lintasan penambah Q Berikut ini langkah-langkah algoritma Edmons Karp Input: suatu network N 1. Tentukan residual network dari N. 2. Inisialisasi flow Untuk setiap busur ij pada N sebesar nol ( F ij = 0) 3. Identifikasikan suatu lintasan penambah pada
residual network dengan
menggunakan algoritma BFS. 4. Jika telah diperoleh suatu lintasan penambah, maka tentukan kapasitas residu lintasan penambah tersebut yang dinotasikan dengan . 5. Tambahkan flow sebesar ke setiap busur pada lintasan penambah tersebut. Jika masih ada lintasan penambah yang lain, ulangi langkah 3 sampai dengan langkah 5. Jika tidak ada lintasan penambah yang lain, hitung aliran pada setiap busur, yaitu: F ij = C ji
dengan: F ij = flow busur ij pada network asli C ji= kapasitas busur ij pada residual network
Output: flow (F ) pada N merupakan jumlah semua flow yang meninggalkan sumber, yaitu F F si . i
g. Algoritma Dinitz Blocking Flow
Algoritma ini terdiri dari tiga bagian algoritma yaitu: Algoritma Dinitz, Algoritma Konstruksi Layered Network, dan Algoritma Blocking Flow. Algoritma ini tergolong baru karena dikembangkan mulai tahun 2006.
13
h. Algoritma Dinitz (G, s, c, t) Langkah-langkah: 1. f ← 0; bentuk Residual Network N f = (G f , c f , s, t) 2. Selama terdapat lintasan dari s ke t di G f lakukan 3. ► Invariant assertion : f adalah flow di N 4. Bentuk Layered Network L f = (L f , c f , s, t) 5. Temukan Blocking Flow b untuk L f : assertion: d f+b(t) > d f (t) 6. f ← f + b 7. Buat Residual Network N f 8. f adalah maksimum flow di N
i. Algoritma Konstruksi Layered Network Langkah-langkah: 1. V0 ← {s}; i ← 0 2. Selama (Vi ≠ ) dan (t bukan Vi) lakukan 3. Vi+1 ← ; Ei+1 ← 4. Untuk setiap u Vi lakukan 5. Untuik setiap v V sedemikian sehingga ( E f ) dan (v bukan elemen V j untuk setiap j ≤ i) lakukan 6. Jika ( v bukan elemen V i+1) maka 7. Tambahkan u ke V i+1 8. Tambahkan ke E i+1 9. i ← i + 1
10. Jika (Vi = ) maka 11. Kembali Lf = ( , c f , s, t) ; assertion: tidak terdapat linta san dari s ke t di N f 12. L f ← (V0
…Vi, E1 …Ei)
13. Kembali L f = (L f , c f , s, t) 14. Jika t telah dicapai dari s di N f , maka L f adalah Layered Network dari N f
j. Algoritma Blocking Flow 1. b ← 0; M ← L f ; c ← c f
14
2. Ulangi 3. Assertion: hanya s yang merupakan titik di M dengan 0 derajat masuk 4. Temukan lintasan p dari s ke t di M 5. Untuk setiap sisi < u, v> p lakukan 6. b(u, v) ← b(u,v) + c(p); b(v.u) ← -b(u, v) 7. c(u, v) ← c(u, v) – c(p) 8. jika c(u, v) = 0 maka 9. pindahkan dari M 10. Hapus dari M 11. Jika derajat masuk (v) = 0 maka 12. Clean Forward (v, M) Sampai derajat masuk (t) = 0
k. Algoritma Recap l. Algoritma Edmonds Karp-fat pipes m. General push-relabel maximum flow algorithm n. Push-relabel algorithm with FIFO vertex selection rule o. Dinitz Blocking Flow algorithm with dynamic trees p. Push-relabel algorithm with using dynamic trees q. Binary blocking flow algorithm r. Algoritma Formal Statement
2.4 Penelitian Yang Sudah Dilakukan
Banyak penelitian yang sudah dilakukan tentang penyelesaian masalah maksimum flow baik itu mahasiswa maupun instansi pendidikan diantaranya : 1. Skripsi berjudul Penerapan Model Maximum Flow dalam Teori Graph pada Lalu Lintas Kendaraan yang ditulis oleh Rosyidah tahun 2006. 2. Ber-arcs Kaliurang dan Penghitung Maximum Flow di Ruas Jalan Kawi Pasar Besar Kota Malang yang ditulis oleh Titin Wahyuningsih dan Dian Lestari pada tahun 2007.
15
3. Skripsi berjudul Eksplorasi Kerja Algoritma Edmons Karp dalam Menyelesaikan Maximum Flow Problem yang ditulis Ardanu Pratama Putra tahun 2010. 4. Optimalisasi Pendistribusian Produk Menggunakan
PT Cocacola Indonesia Dengan
Algoritma-Algoritma Pada Maximum Flow disusun oleh
Elly Astutik, Septa Paramitha dan Iip Regianto pada tahun 2010.
16
BAB III METODOLOGI 3.1 Unsur Dalam Maksimum Flow
Dalam mengaplikasikan algoritma-algoritma yang ada pada maksimum flow problem dibutuhkan unsur-unsur yang dapat di representasikan sebagai elemen – elemen dalam graph yaitu vertex, edge dan bobot untuk setiap sisi. Unsur-unsur beserta representasinya adalah sebagai berikut :
Salah satu kantor PDAM yang ada di Malang
Tandon air sebagai vertex (titik)
Pipa dari satu tandon ke tandon yang lainnya sebagai edge (sisi)
Sedangkan kapasitas pipa sebagai bobot dari sisinya.
Algoritma-algoritma yang digunakan dalam laporan ini antara lain:
Algoritma Lintasan Penambah
Algoritma Preflow Push
Algoritma Ford Fulkerson
Langkah-langkah penerapan : 1. Mengumpulkan data-data berupa :
Jalur pipa yang dilewati
Kapasitas pipa
Arus yang melewati pipa
2. Penerapan algoritma-algoritma maksimum flow, yaitu Algoritma Lintasan Penambah, Algoritma Ford Fulkerson, dan Algoritma Preflow Push. 3. Menentukan banyaknya volume aliran air PDAM di kelurahan Gading Kasri berdasarkan hasil dari penyelesaian masalah maksimum flow.
17
3.2 Alat Bantu Program
Dalam penyelesaian masalah maksimum flow terdapat alat bantu berupa software untuk menyelesaikan masalah maksimum flow yaitu Giden dan Grin. Sebagai contoh, misal akan dicari maximum flow dari titik A sebagai titik sumber ke titik E sebagai titik tujuan yang akan diselesaikan dengan menggunakan software giden. Rute yang dapat dilalui dari titik A ke titik E beserta kapasitasnya di representasikan ke dalam graph berikut ini:
Langkah-langkah penggunaan software GIDEN dalam penyelesian masalah Maksimum Flow: a. Buka aplikasi software GIDEN
b. Klik file, lalu pilih new
18
c. Pilih new node untuk menggambar titik
Kemudian beri nama titiknya d. Pilih new edge untuk menggambar sisi, kemudian beri nilai pada sisinya
Gambar titik dan sisi sesuai bentuk asli e. Untuk memberi nama pada pilih menu node dataadd data field, lalu isi nama pada enter field name OK, lalu klik edit pada GIDEN f. Untuk memberi nilai pada sisi, pilih menu add data field, lalu isi nilai pada enter field name OK, lalu klik edit pada GIDEN
19
g. Untuk menampilkan atau menghilangkan arah pada edge, pilih menueditdirected edges h. Untuk menyelesaikannya, pilih menu solverpilih cara penyelesaiannya. Misalnya pilih maximum fow pre-flow push.
Maximum flow dapat dilihat pada nilai edge yang menuju k t, yaitu 6+4=10. Jadi maksimum flow dari kota A ke kota E adalah 10. a. Langkah – langkah penggunaan software grin dalam penyelesian masalah Maksimum Flow:
Pilih Grin pada tampilan Windows kemudian Klik dua kali
untuk membukanya. Tampilannya sebagai berikut
Pilih File kemudian New, tampilannya sebagai berikut.
20
Klik Add Point untuk membuat titik. Klik Add Edge untuk
membuat sisi,pilih Move Point untuk mengubah letak titik (sesuaikan posisinya).
Untuk mengisi muatan pada sisi,menamai tiik, klik Table-
edit, lalu isikan setiap muatan,namai titik pada kolom yang
disediakan. Titik pada sisi atas tabel merupakan titik tujuan j dan titik pada sisi kiri tabel merupakan titik asal i untuk setiap arc ij.
21
Untuk melihat jaringan yang diubah klik Network, diperoleh
jaringan berikut
Untuk mencari maximum flow pada jaringan kerja tersebut
pilih Property – Network - Maximal Flow. Pilih titik 1(S) sbgai titik smber dan titik 6(T) sebagai tujuan.
Diperoleh maksial flow pada jaringan sebesar 7. Hasilnya
adalah sebagai berikut
22
3.3 Contoh Kasus Maximum Flow
Untuk lebih memahami masalah arus maksimum, kembali kita ambil contoh dari Istec Corporation. Kali ini masalah yang diangkat adalah masalah maximum flow of cars (arus kendaraan maksimum) yang melewati jalan penghubung antara Mess karyawan dengan kantor baru. Jalan penghubung tersebut dapat digambarkan dalam gambar jaringan di bawah ini.
Sebelum menjelaskan ke pemecahan masalah, maka perlu dijelaskan terlebih dahulu arti dari angka-angka yang terdapat pada tiap cabang. Cabang yang menghubungkan antara node-1 dengan node-2 memuat angka 2 dan 0, maksudnya adalah : - arus maksimal kendaraan yang dapat melintasi jalan dari node-1 ke node-2 adalah 200 mobil per jam - arus dari node-2 ke node-1 adalah 0 mobil per jam, artinya tidak ada arus dari node-2 ke node-1 (arus hanya searah dari node-1 ke node-2) Interpretasi di atas juga dapat diterapkan pada cabang-cabang lain yang menghubungkan antar node. Permasalahannya adalah berapakah arus maksimum dari jalan yang menghubungkan mess karyawan dengan kantor?
23
Berikut ini adalah penerapan langkah-langkah penyelesaian arus maksimal untuk menjawab permasalahan arus maksimal dari mess karyawan Istec Corporation ke kantor barunya. Secara arbitrer diambil garis edar 1-2-5-7-8
Arus maksimal dari node-1 ke node-8 yang melewati garis edar 1-2-5-7-8 adalah sebesar 2 atau 200 mobil per jam. Tiap arus menuju ke node-8 dikurangi 2 dan arus yang berlawanan ditambah 2, sehingga menghasilkan hasil sebagai berikut.
Hasil di atas memperlihatkan bahwa tidak ada lagi jalan yang dapat ditempuh melalui node-1 ke node-2, karena arus maksimumnya adalah nol (0). Secara arbitrer diambil garis edar 1-3-6-8. Arus maksimum pada garis edar ini adalah 2 atau 200 mobil per jam, sehingga total arus maksimum yang dapat masuk adalah sebesar 4 atau 400 mobil per jam. Karena arus maksimum pada garis edar 1-3-6-8 adalah 2, maka tiap arus menuju node-8 dikurangi 2 dan tiap arus berlawanan ditambah 2.
24
Jalur lain atau garis edar lain yang masih memungkinkan untuk dilewati adalah jalur 1-4-6-8 dan 1-4-8 dengan arus maksimum masing-masing jalur adalah 1 atau 100 mobil per jam, sehingga meningkatkan total arus maksimum yang dapat masuk sebesar 5 atau 500 mobil per jam. Secara arbitrer diambil garis edar 1-4-8. Tiap arus menuju node-8 dikurangi 1 dan tiap arus berlawanan ditambah 1.
Pada langkah ini tidak ada lagi jalur atau garis edar yang dapat menghubungkan arus dari node-1 ke node-8. Agar lebih jelasnya diagram jaringan disajikan dengan tanda-tanda panah berikut :
25
Karena tidak ada lagi arus yang dapat mengalir dari node-1 ke node-8, maka proses iterasi telah mencapai penyelesaian optimun. Dari sini dapat diambil kesimpulan bahwa arus maksimum yang menghubungkan antara lokasi mess karyawan dengan kantor baru adalah sebesar 5 atau 500 mobil per jam dengan rincian sebagai berikut Jalur
Maksimum Arus Mobil
1 – 2 – 5 – 7 – 8
200
1 – 3 – 6 – 8
200
1 – 4 – 8
100
Total
500
26
BAB IV PEMBAHASAN
4.1. Narasi Permasalahan
Kota malang sebagian besar penduduknya menggunakan air PDAM untuk kebutuhan sehari-hari.Setiap harinya,pihak PDAM menyuplai air di setiap kelurahan yang ada di kota Malang.Dan setiap kelurahan oleh pihak PDAM dibangun Tandon yang gunanya untuk dapat menampung volume air agar penyuplaian debit air di setiap rumah terbagi dengan teratur.Akhir-akhir ini tidak sedikit warga yang komplain akibat kurangnya penyuplaian air PDAM di rumahnya khususnya di daerah antara tendon Betek sampai tendon kelurahan Gading Kasri.Agar permasalahan tentang kurangnya suplai air,bagaimana cara/solusi yg digunakan untuk memenuhi penyuplaian air di setiap rumah di kelurahan BetekGading Kasri? Berikut diberikan data-data tentang debit air setiap tendon dan gr aliran pipa air PDAM. Dari survey yang telah kami lakukan di PDAM BETEK yang terletak di Mayjen Panjaitan kita dapatkan bahwa besarnya aliran air tiap kelurahan berbeda – beda. Selain itu kami juga memperoleh data tentang pipa penghubung antar tandon yang dijadikan sebagai sisi dan kelurahan sebagai titik yang disajikan pada tabel dibawah ini. Tabel Daftar Titik
NO
Daftar Titik (Vertex)
Keterangan
1
Tandon PDAM Betek
Titik S
2
Tandon Kelurahan Oro – oro Dowo
Titik A
3
Tandon Kelurahan Kauman
Titik B
4
Tandon Kelurahan Gading Kasri
Titik T
5
Tandon Kelurahan Rampal Celaket
Titik C
6
Tandon Kelurahan Bareng
Titik D
7
Tandon Kelurahan Klojen
Titik E
27
Tabel Daftar Sisi No.
Daftar sisi (Edge)
Keterangan
1.
Pipa Betek – Oro-oro Dowo
2.
Pipa Oro-oro Dowo – Kauman
3.
Pipa Oro-oro Dowo – Klojen
4.
Pipa Kauman – Gading Kasri
5.
Pipa Kauman – Rampal Celaket
6.
Pipa Betek – Klojen
7.
Pipa Klojen – Bareng
8.
Pipa Klojen – Rampal Celaket
9.
Pipa Bareng – Gading Kasri
10.
Pipa Bareng – Rampal Celaket
11.
Pipa Rampal Celaket – Gading Kasri
Data-data yang didapatkan dari hasil pengamatan yang dilakukan secara langsung terdapat pada table berikut ini : No.
Kapasitas
Pipa Aliran
Aliran Air
1.
Pipa Betek – Oro-oro Dowo
135 l/s
2.
Pipa Oro-oro Dowo – Kauman
124 l/s
3.
Pipa Oro-oro Dowo – Klojen
103 l/s
4.
Pipa Kauman – Gading Kasri
105 l/s
5.
Pipa Kauman – Rampal Celaket
102 l/s
6.
Pipa Betek – Klojen
145 l/s
7.
Pipa Klojen – Bareng
121 l/s
8.
Pipa Klojen – Rampal Celaket
110 l/s
9.
Pipa Bareng – Gading Kasri
70 l/s
10.
Pipa Bareng – Rampal Celaket
100 l/s
11.
Pipa Rampal Celaket – Gading 114 l/s Kasri
28
Dengan memisalkan Pipa Aliran, Tandon Kelurahan, dan Kapasitas Aliran air berturut-turut sebagai sisi, titik, dan bobot. Maka diperoleh model graph seperti dibawah ini. 124 l/s
A
B
105 l/s
135 l/s
T 102 l/s
S
103 l/s 114 l/s
70 l/s
C
145 l/s 110 l/s
E
121 l/s
100 l/s
D
4.2 Penyelesaian Masalah dengan algoritma
a. Dengan
Menggunakan
Algoritma
Lintasan
Penambah
Diperoleh
Sebagai Berikut : Iterasi 1 1.
Pilih Lintasan Penambah (S – A – B – T)
2.
Δ = Min {CSA; CAB; CBT} = Min {135;124;105} = 105 l/s
3.
CSA*= C SA – Δ = 135 – 105 = 20 l/s dan CAS*= C AS + Δ = 0 + 105 = 105 l/s CAB*= CAB – Δ = 124 – 105 = 19 l/s dan CBA*= C BA + Δ = 0 + 105 = 105 l/s CBT*= CBT – Δ = 105 – 105 = 0 l/s dan C TB*= CTB + Δ = 0 + 105 = 105 l/s 19 l/s
A
B
105 l/s
30 l/s
0 l/s
105 l/s
105 l/s
T
102 l/s
S
103 l/s 114 l/s
70 l/s
C
145 l/s 110 l/s
E
121 l/s
29
D
100 l/s
Iterasi 2 1. Pilih Lintasan Penambah (S – A – B – C – T) 2. Δ = Min {CSA; CAB; CBC; CCT} = Min {30;19;102;114} = 19 l/s 3. CSA*= CSA – Δ = 30 – 19 = 11 l/s dan CAS*= CAS + Δ = 105 + 19 = 124 l/s CAB*= CAB – Δ = 19 – 19 = 0 l/s dan CBA*= CBA + Δ = 105 + 19 = 124 l/s CBC*= C BC – Δ = 102 – 19 = 83 l/s dan CCB*= CCB + Δ = 0 + 19 = 19 l/s CCT*= C CT – Δ = 114 – 19 = 95 l/s dan CTC*= C TC + Δ = 0 + 19 = 19 l/s 0 l/s
A
B
0 l/s
124 l/s 11 l/s
105 l/s
124 l/s
T
19 l/s 83 l/s
S
19 l/s
103 l/s
95 l/s
70 l/s
C
145 l/s 110 l/s
E
121 l/s
100 l/s
D
Iterasi 3 1. Pilih Lintasan Penambah (S – A – E – C – T) 2. Δ = Min {CSA; CAE; CEC; CCT} = Min {11;103;110;105} = 11 l/s 3. CSA*= CSA – Δ = 11 – 11 = 0 l/s dan CAS*= CAS + Δ = 124 + 11 = 135 l/s 30
CAE*= C AE – Δ = 103 – 11 = 92 l/s dan CEA*= CEA + Δ = 0 + 11 = 11 l/s CEC*= C EC – Δ = 110 – 11 = 99 l/s dan CCE*= CCE + Δ = 0 + 11 = 11 l/s CCT*= C CT – Δ = 95 – 11 = 84 l/s dan C TC*= C TC + Δ = 19 + 11 = 30 l/s 0 l/s
A
B
124 l/s
0 l/s
0 l/s
105 l/s
135 l/s
T
19 l/s
83 l/s
S
30 l/s
92 l/s
11 l/s
84 l/s
70 l/s 145 l/s
C
11 l/s 99 l/s
E
100 l/s
D
121 l/s
Iterasi 4 1. Pilih Lintasan Penambah (S – E – D – T) 2. Δ = Min {CSE; CED; CDC; CCT} = Min {145;121;70} = 70 l/s 3. CSE*= CSE – Δ = 145 – 70 = 75 l/s dan CES*= CES + Δ = 0 + 70 = 70 l/s CED*= C ED – Δ = 121 – 70 = 51 l/s dan CDE*= C DE + Δ = 0 + 70 = 70 l/s CDT*= C DT – Δ = 100 – 70 = 30 l/s dan CTD*= C TD + Δ = 0 + 70 = 70 l/s 0 l/s
A
B
124 l/s
0 l/s
0 l/s
105 l/s
135 l/s
19 l/s
93 l/s
S
92 l/s
11 l/s 0 l/s
75 l/s 70 l/s
99 l/s
E
51 l/s 70 l/s
31
D
30 l/s 70 l/s 84 l/s
C
11 l/s 100 l/s
T
Iterasi 5 1. Pilih Lintasan Penambah (S – E – D – C – T) 2. Δ = Min {CSE; CED;CDC; CDT} = Min {75;51;100;84} = 51 l/s 3. CSE*= CSE – Δ = 75 – 51 = 24 l/s dan CES*= CES + Δ = 70 + 51 = 121 l/s CED*= C ED – Δ = 51 – 51 = 0 l/s dan CDE*= CDE + Δ = 70 + 51 = 121 l/s CDC*= CDC – Δ = 100 – 51 = 49 l/s dan CTC*= C TC + Δ = 0 + 51 = 51 l/s CCT*= C CT – Δ = 84 – 51 = 33 l/s dan C TC*= C TC + Δ = 30 + 51 = 81 l/s
0 l/s
A
B
124 l/s
0 l/s
0 l/s
105 l/s
135 l/s
19 l/s S
83 l/s
87 l/s
T 81 l/s 33 l/s
16 l/s 0 l/s
70 l/s
24 l/s
C
11 l/s
121 l/s
99 l/s
E
0 l/s
D
49 l/s
51 l/s
121 l/s
Iterasi 6 1. Pilih Lintasan Penambah (S – E – C – T) 2. Δ = Min {CSE; CEC; CCT} = Min {24;99;33} = 24 l/s 3. CSE*= CSE – Δ = 24 – 24 = 0 l/s dan CES*= C ES + Δ = 121 + 24 = 145 l/s CEC*= CEC – Δ = 99 – 24 = 75 l/s dan CCE*= CCE + Δ = 11 + 24 = 35 l/s
32
CCT*= C CT – Δ = 33 – 24 = 9 l/s dan CTC*= C TC + Δ = 81 + 24 = 105 l/s
0 l/s
A
B
124 l/s
0 l/s
0 l/s
105 l/s
135 l/s
19 l/s
83 l/s
S
T 105 l/s 9 l/s
87 l/s
16 l/s 0 l/s
70 l/s
0 l/s
C
35 l/s
145 l/s
75 l/s
49 l/s
51 l/s
E D 0 l/s 121 b. Dengan Menggunakan Algoritma Ford-Fulkerson diperoleh l/s
Sebagai Berikut : Iterasi 1
Pilih lintasan S-E-D-T ,tambah flow sebesar 70 l/s ke setiap sisi pada lintsan S-E-D-T sehingga terjadi perubahan kapasitas beberapa sisi pada residual network 124 l/s
A
B
105 l/s
135 l/s
T
70 l/s
102 l/s
S
103 l/s
70 l/s
114 l/s
0 l/s
C
75 l/s 110 l/s
E
51 l/s
D
100 l/s
Iterasi 2
Pilih lintasan S-E-C-T,tambah flow sebesar 75 l/s ke setiap sisi pada lintasan S-E-C-T
33
124 l/s
A
B
105 l/s
135 l/s
T 102 l/s
S
145 l/s
103 l/s
145 l/s
39 l/s
0 l/s
C
0 l/s 35 l/s
E
51 l/s
100 l/s
D
Itarasi 3
Pilih lintasan S-A-B-T,tambah flow sebesar 105 l/s ke setiap sisi pada lintasan S-A-B-T 19 l/s
A
B
0 l/s
30 l/s
T 102 l/s
S
250 l/s
103 l/s
250 l/s
39 l/s
0 l/s
C
0 l/s 35 l/s
E
51 l/s
100 l/s
D
Iterasi 4
Pilih lintasan S-A-E-C-T,tambah flow sebesar 30 l/s ke setiap sisi pada lintasan S-A-E-C-T 19 l/s
A
B
0 l/s
0 l/s
T 102 l/s
S
73 l/s
280 l/s
9 l/s
0 l/s
C
0 l/s 5 l/s
E
51 l/s
Hasil akhir iterasinya
34
D
100 l/s
280 l/s
19 l/s
A
B
105 l/s
0 l/s
0 l/s
105 l/s
135 l/s
0 l/s S
102 l/s
73 l/s
30 l/s 0 l/s
T 105 l/s 9 l/s
70 l/s
0 l/s
C
105 l/s 145 l/s
5 l/s
E
51 l/s
D
0 l/s 100 l/s
70 l/s
4.3 Penyelesaian Masalah dengan alat bantu
Dengan menggunakan algoritma Preflow-Push dari giden diperoleh sebagai berikut: 1. Buka Giden 2. Klik File ⟶ New 3. Pilih New Node dan posisikan node-node tersebut seperti gambar berikut
4. Klik Node Data ⟶ Add Data Field... beri nama Field dengan “titik”, beri nilai awal dengan “0”, ganti tipe data Field dengan text, klik OK 5. Pilih New Edge dan sambungkan node-node seperti gambar berikut
35
6. Klik Edge Data⟶Add Data Field... beri nama Field dengan “bobot”, beri nilai awal dengan “0”, ganti tipe data Field dengan integer, klik OK 7. Pilih Edit Value dan beri nama/nilai pada masing-masing titik dan sisi seperti gambar berikut
8. Klik Solvers ⟶ Maximum Flow ⟶ Pre-Flow Push, ganti kapasitas dengan „‟bobot” 9. Klik Trace ⟶ klik sink ⟶ klik source ⟶ yes 10. Klik Trace berulang kali sampai iterasi berhenti ditandai dengan berubahnya Trace menjadi Reset 11. Nilai akhir dapat dilihat pada bagian atas seperti pada gambar berikut
36
4.4Analisis Hasil
Dari permasalahan diatas,untuk memperoleh solusi menggunakan 3 algoritma yaitu algoritma lintasan penambah,algoritma ford-fulkerson dan algoritma preflow-push. Pada
algoritma
lintasan
penambah
dan
algoritma
ford-fulkerson
menggunakan penghitungan manual,dimana algoritma lintasan penambah menghasilkan 6 iterasi.Pada iterasi pertama mengalirkan arus sebesar 105 l/s,iterasi kedua mengalirkan aliran 19 l/s,iterasi ketiga 11 l/s,iterasi keempat 70 l/s,iterasi kelima 51 l/s,dan iterasi keenam 24 l/s.Sedangkan dengan menggunakan algoritma ford-fulkersen menghasilkan 4 iterasi.Iterasi pertama mengalirkan arus 70 l/s,iterasi kedua 75 l/s,iterasi ketiga 105 l/s,dan iterasi keempat 30 l/s.Pada algoritma preflow-push dilakukan penghitungan dengan menggunakan program giden. Setelah dilakukan penghitungan baik manual maupundenga program semuanya menghasilkan arus yang maksimal sebesar 280 l/s.
37
BAB V KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
1. Pendistribusian air PDAM kota Malang dibagi disetiap tandon-tandon air yang menampung Debit air yang berasal dari pusat tepatnya di daerah sawojajar, malang.Tandon-tandon seperti dikelurahan Betek,kelurahan Orooro dowo,kelurahan Gading kasri,kelurahan Kauman,kelurahan Klojen memiliki kapasitas yang cukup untuk dapat menyuplai debit air di setiap rumah.Pipa-pipa air yang berdekatan harus saling memenuhi suplai air sehingga air yang masuk di setiap rumah dapat digunakan untuk kebutuhan sehari-hari seperti pipa air kelurahan betek dengan pipa air kelurahan Gading Kasri.Oleh karena itu,disini kita akan menganalisa “Jumlah volume aliran air dari kelurahan Betek ke kelurahan Gading Kasri dalam pendistribusiannya” dengan mempertimbangkan aliran air yang masuk
dari setiap jalur pipa yang lain. 2. Dengan adanya data yang ada seperti aliaran air/debit pada setiap jalur pipa (sisi) dan jalur pipa itu sendiri memudahkan untuk menerapkan algoritma yang ada pada maksimum flow.Dalam hal ini digunakan algoritma augmenting path,algoritma ford-fulkerson dan algoritma preflow-push. 3. Dari data yang telah direpresentasikan, selain dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma yang dihitung secara manual, permasalahn tersebut juga dapat dihitung menggunakan alat bantu giden sehingga akan menghasilkan solusi yang sama dengan perhitungan manual Dari penerapan Algoritma pada permasalahan Tandon PDAM Betek, baik menggunakan alat bantu program maupun perhitungan manual diperoleh hasil nilai maximum flow sebesar 280 l/s yang kemudian dikonversikan ke dalam jumlah volume air/debit air untuk menghasilkan solusi permasalahan yang diinginkan.
38
39
DAFTAR PUSTAKA
Oktaviana, Sri Syahadatina.2007. Aplikasi Teori Graph dengan Menggunakan Maximum Flow sebagai Upaya Pengoptimalan Aliran Air pada Jaringan pipa PDAM Daerah Sawojajar Blok H-1 . Skripsi. Universitas Negeri
Malang. Enni, Elizabeth dan Wuntikaratri, Inu. 2007. Penerapan Graph Kompantibel dan
Maximum
Flow
dalam
Teori
Graph
pada
Lalu
Lintas
Kendaraan .Laporan
Rosyidah. 2006. Penerapan Model Maximum Flow dalam Teori Graph pada Lalu Lintas Kendaraan. Skripsi. Universitas Negeri Malang.
Willson.1990.Graph An Introduction Approach.Canada:Wiley. http://www.informatika.org/~rinaldi/Stmik/2007-2008/Makalah2008 http://carbon.cudenver.edu/hgreenbe/ http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_flow_problem
40
