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Dinámica
Dinámica FERDINAND P. BEER Lehlgh Unlverslty (finado)
E. RUSSELL JOHNSTON , JA. Unlvorsuy 01 Connecticut
WILLlAM E. CLAUSEN Tlle Ohlo State Unlverslty
Con la colaboración de Philllp J . Cornwell Rose-Hulman Instltute 01 Technology
Revisión técnica : In9. Javier León Cárdenas Jele de Ingenierla Mecanlca Umversldad La Salle. campus Ciudad de MéxIco
MÉXICO. BOGOTÁ. BUENOS AIRES· CARACAS· GUATEMALA LISBOA. MADRID. NUEVA YORK· SAN JUAN • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES. MILÁN. MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO. SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
.................. Ild
.Ite:
ÁJIaeI
Ric:ardo . del Bosque Alay6a
....-= Pablo E. Roig
ázquez EcUton de desan'OIJo: Lorena Campa Rojas Supervisor ele producci6n: Zeferino Garcfa Garcfa Traducd6n:
Elmer Murrieta Murrieta Gabriel agore Cazares
MECÁNICA VECTORIAL PA RA INGENIEROS DINÁMICA Octava edición Prohibida la reproducción total o parcial de e,ta obra. por cualquier medio. sin la autoril:lci6n escrita dd editor.
McGraw-Hi Inte DERECHOS RESERVADOS ([l 2007 resl~ c t l l a la llCt:l \ a edici6n en espanol por McGRAW-HILUI:>JTERA\IERICA:-\A EDITOR ES . SA DF CY A SlIbsidia r\" (~f T"e JfcGraw-Hi/I COIll{Jmlíc\, l ile, Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Refomla , 'úrn. 10 15. Turre A Piso 17. Coloni a Desarrollo Santa I'l' . • Delegación Ah'aro Obreglín c.P. 01376. \1 ¿xicll. D. F. Miembro de la Cámara ~a(ional de la Industria Editorial \1 l'xlcana. Reg. urn 7 6 Créditos de las fotog rafías de pnnada: Pllnad.¡ frontal. ~) Ilnwl SU(fon/.Ht/ I rfill': ( onlrapon.Jda: ul 'nur ' R" BOSliclJllldc,1 Stock ImClIIC /)': Cenlral. © Richard CUI/II/I¡II\/C( )IUI/S; Inferior' c/¡lrlit'll/u/(/¡/CORIlI
lore~ d' lurhm3 d \ lento cc~ a d l'm h r( re.: Alb cna. L()s l'uene, \ Ientos , . - desde 1.1 montan.! \ OC.I'IIlIl.ll1 que esl.1 re 11 n len '<1 l i d I d' \ In! ) Chrn()ok soplan J \ OCI.l promedi o más alta en loda :-':oneamérica, 1:11 mar/o d 200ll. 1:1 ¿Ipa Id.ld 111 \:llad.1 de ir ro cnerado en (.rn.Jd.1 er.1 75 1, I MW. de los cuales 275.4 \ 1\\' e\lán en '\Ihenil, LII aerogeneradores cl1m Icrtell un.1 punlon de la en r;:I.1., IJ de las pan ículas del aIre en energía .:Ié.:tnl'a l.a enlrad;1 de energl.1 es propon:lon I al cubo ti· 1.1 \ loud.ld del \1 nI"
FOlog rafia de /a po r/ada; Conesía de l.lmd SUllon/.\laslerfilc (,enero
La secCIón de crédi t()·' para "'l" l'lh ro ':OI11ICIl/a . ~, ~ en I [SB '_13: 978-970-10-6102_2 ISB -10: 970-10-6102-0 (ISBN : 970- 10-4470-3 edlcHín anteriOr)
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TradUC Ido de la octava edici6n en ingl':s de la ohra I.CrOR t.lI:ClIA!'«''> 1 ()I{ b (11 LI'R~ f)'I 'AMI( COPYright <í) 2(XJ7 hy The !\1LGraw-HIII (ol1lpallics. Ine AII rigllls re,er\cd. I'>B"I 10: ().. 01 29/6914 ISBI\;-13 978-0-07-2lJ7693_1) 134 S6 7 H902
Impreso en Chilla Impreso por CTPS Th. McGraw'HIII Companles
09%.'i4 U I 07 ¡'nlllell/ll (/1/1/<1 ¡'rllltcd b, ("TPI) . .,.,.. .:5-.
le JI
1 1C nlro de ma d un ul 860 de movimiento angular de un sistema de partlculas 1 alrededor de su centro de masa 862 14 6 Conservación de la cantidad de movimiento para sistemas de partlculas 864 873 147 Energfa cmétlca de un sistema de partículas 1 8 PrincipiO del trabajo y la energia. Conservación de la energia para un sistema de partrculas 875 14 9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento de sistemas de partfculas 875 886 '14 10 Sistemas variables de partículas 886 '1411 CorrIente estaCionaria de partfculas 889 '1412 Sistemas que ganan o pierden masa 1
~so y
del capitulo 14
Prob!emU de repaso 908 de computadora
904
911
15 CINEMÁTICA DE CUERPOS RíGIDOS
915 151 15,2 15,3
11.4
11.1 11.1
916 918 de un eje lijo 919 la rotación de un cuerpo rlgido 922 IIIedIdordeunejefijo plano generaJ
YIIocIdId abIaIuIa Y
932
relativa en el rnovImlento
pIIno 11.7
1U *tU
1.
834 CenIro de rotac'6n en el illJ.hnlento plano ....... y reIIIIIva en el plano pIIno en de un
aun
de
Contenido
,
XI
,,,rlcto
todeun portante, mi nto de un miento conciso uniRcado la tre dimensione (capítulos 16 "
Se emplean diagramas de cuerpo libre para blemas de equilibrio y expresar la eq de de fuerzas. I.os diagrum d cuerpo lihn' lOtroduJt'ron al pnn cipio del libro de . i mportuncia se lo largo de I do el texto, " , diagramas" t' l'mple.U1 no sólo para n'sol\ r pmhlt mas de eqUlhhno, tamlllén pum l' presur la l'Cluh .lIt n la dl It si temas de fuer/,as o. de mntaja de t', te t'lIflXIUt' S(' vuel\(' ('\idt'nll' n ti lit la diJlIímil'a dI' cUl'rpos rígido" dondl' (' utililA pan! n )h r prublt llIi\! Irillilllt~nsi()nall'S) hidinll'n,iollall's, l' Plldo logrnr 111M ('01111/'('11 sión n¡¡ír intuith ,1) eomplpl.1 dt' lo pnndpio lund.lInt ni III d( 11 tll niímka al poul'r ma~\Jr I~ufil! is I'U 1,1 "''<'11.1('10111' de lo dI gntm. le ('lIt'rpo lihn:' I'U lugar dt' t~n 1.15 el'uaC'Íont s .tl).!t bruie.\! I I ml.lr 1I 1111 \imit'nto, E,II' t'Ilf(X!UP, inlnxlllddoln 1002 t n la pnllll'r.1 ftlldólIll ,\lI'('ól/il'(/ t'rrtmil/f !)(Im i" '1 lIirm\, "1 o(¡Il'lIIdo 1.1 fl 'h.1 IIIl.1 .IIHplt.1 :!e('plal'ÍólI t'lI E'lado\ l lIidos «,lIlre lo profl'son' dp 1111'<.1111.1 Pur lo taulo t'lI la r(',ollldóu de' t
Se utilizan pre enlacIo n cu ro CO or los vectore. I~I l'olor ,,' h.1 11 .Id" 110 010 paro de la, ¡Iu tmdonc'\, sino tallllnPII p.lr.1 .I~ ud, r .1 lo
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IJ lollllbd tmlt.llltt I ell
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lill~lIir (,Iltn' lo dh,'!"~o lipo dI' \t lor<.' fJlU 11111'(1,11 ('IU~lIItr.lr 111 \ Í1tlld c\<.' qlle 110 hahía inlC'll('1 )JI dI' t olon'.lr por mpl. lo (' 11' te lo
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('apitlllo d.ldo (' lililí/Al I I 1111 1110 (1)lor Ir.1 n'pn' {,lIt.lr d nI! 111<1 tipo el,> ,,.dor Por "jc'lIlpl .. ,1 lo Ilrgo c!,,1 loUlo dc' l' 1 tlC.1 ¡ 1 ro jn 't" lililí/a C'II forma o>,dllSl' ,1 p.lm rt'pn'sl'lIl.11 rlll'rn \ l.Irt' HlIlll tras 'JlIO' lo \( dor," dI' po IUÓII " 11111" II.UI ('11 .I:lul \ 1.1 clIIIH 11 1'111< 1'11 lIegro , E Ic, \1I,'hf' III.JS f.ol p.11'a los l' 11111..1111('\ 1.1 Id'·HIIf¡¡.ICll1' dI' las '1'/.1> '111" <1('11"1:111 ohll' IUlJ p.1I1kul.l o 1I11 <:11"'11° rí"Ic!O tI el. ) Le Cllll1pr .. n í,íll d(' 1" prohlllll 1\ r('\ll/'lto \ dI utro ('Jllllpl, l' pordllll,ldos ,'11 ellihro EII I ),/f(f11lila p<1I.1lo (.ll'fllllo d, c 111 111 1 ,! rojo SI' II\il di' 11111'\1) P'Ir:1 (ut' í"Al!> , IMn'\, .I\í ('(lino para hwrl. L' (1 tl~a, El rolJO t.llllllil>1I s,' lililí/Al P.lnlll'IHe' C'III.tr IlIlplll,o \ (.lIIhd.lll, d,' lllll\íllli"1I111 ,'11 'TU,1I101l" el (b.lgr.llII.ls de IIII:r1'O bbro 1111' nlr 'JlIO' 1'1 \prd,' C" IIlilizildo par.1 ",loC!d ,,1,,\ ) d .I/ul ('11 .lt Il·r. tlt 111 EII lo, dos ('upíllllo\ d .. CIIH'III,ílH'a doude 1111 1 ill\"lm r 11 1I1g1 111 1 fll' r 1 /.<1, ,,, 11\;111 il/l¡]. ,,'rd,', rojo , n' p('('II\
c'lI 1111
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S antlc e, n forma con I nt un u d e tre I s Un! des del SI y a Uf d I I I lid" a J..:¡ It 'lIdl 11('1.' qUI I xlsI,~ ,'11 1.1 .lelll.llld,1(1 (' 11 (1 'Ollll ni" t n,l ('\1. dlj\lllldlll~f ~ dI adopt.lr el "1 t, 111.1 rllle ni lu"ull tI( (11 I11dl(¡'~ 111{olnc.lS ~rl 1.1 Illlld.cd, .,1 CfIlC 11 11 ,,1/1 1Ill\ ,r En l't I (TI IIH 1 illit ,1 ~( IItI rodu{'l 11 I 11 ( 1 (. JI 11110 J (1lI11, 11 11 I lihrn \l'rfJ Ihl,ld,IIT1lIl!' 1, 1111 ,11) dI lo probl, 1111 n 11 It 11111
HI,IÚlll'lo~probltllhl
dlt,n
'f
1[l111I1t ... I"
111
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lit"
,1
I
I I '1 ,n
'B
1
llrud IU' dI"
11
o
lO
el qu qwenes como
foque
de unidades de uníComo el sisla longitud Y la el la
la lOIución de J lo
boduccl6n que la que se describe y aplicaciooes en la vos lineamientos del caplhdo previa de los temas que
Lecciones en al unidades, cada una de las cual
El cuerpo del texto
consiste en una o mú teoría, uno o varios problemas resueltos, una blemas de tarea Cada unidad coliesponde a un tema bien que, por lo general, puede r cubierto en una lección, embargo en ciertos casos el profesor enrontranl que deseable dedicar de una lección a un tema en particular, Problemas resueltos. Los problemas rPSueltos de manera muy similar a la que u, ar.in In t'studiante re ueh'lll lo pmblemas que se le a.~ignen, Pnr lo tanto, esto pmblem cumplen el dohl(' pmpó Un de ampliar ('1 tf'xtn y demostrar la forma de trabajo clara y ordenada que los estudiantt's deben ('ultivar en soludnDl's, Resolución de problemas en forma independiente, Elltn'lo prohlt'mas resueltos y los dt' tarea, cada 1t'l'CiólI illclu~e ulla S('("(:iólI hhIlada Resll/uciólI de lIrobll'I/l(l.,~ ,'11 f"mu¡ illdt71l'IIdú lit.', El prop'~sll() de estas secciones t's a~"dar a lo e' tudiaulf's 11 organizar 1II('III,t1mclIt(' la l('olÍa \11 cubierta ('n ('1 texto \ m{otodos d" n oluci(1II ell' lo • • prohlt'mas rt·sudtos. de mallera que' pUl'dall n'soher ('011 lIIa\lIr é ito los prohlelllas dI' lan'a, Adelllá.s. 1'11 I'sla.s St'l'('iOlll's lalllhil~n St' IIldll)'1'11 slIgl'n'n('Í¡LS y I'slrah' ri:lS I·sl)(·cjflca.s Ijlll' Il's I)('nnilinin I'nlrl'lllar dI' marll'ra 1II:l\ 1·f1dl·lIlt· ('lIal'llIil'r prohlema ,Isigllado, Series de problemas de tarea, La rlla~lIrfa d,' los prohlt'rll.~ SOIl di' lIa! 11 mil '''1 pníd im \ d!'hl'lI lIalllar la .11t '1Il'Í{1II d!'1 ('sllllli.mll' dI ill!.!;,'nit'rfa, Sill "IIIJ,argo, I'~t¡ín di ('fiados para ilmlrar el m.tI,'rí.11 pn'S( JItado 1'11,,1 I,'xlo \ il\lldar .1 los ,'SllIdialll,'s.1 {,(lIllllrl'Jld"r los príJldllll~ ,It, • • 1 la Ull'(~íui(~l, Los prohl"IIl:l\ (' hall aJ.tntpado di' UCUI·rt! .. ('Oll .L\ 11;1r1' d"llIIal"IÍal tpll' i1llstrall) "'1m' ,'nl.m "1101111'11 d,' diflclllt.1I1 1'f('(1,'nll' Los prohl"JJ1¡LS 'PII' rt"pli"n'Jl ult'lll'i,')Jl "SI)I'(i.lI,'slaJl \('jl,II,ldo 1ll1'(It.Ul !t, :LSIt'ri, ('(IS, Al Hual d"IIt'\11I s,' prtlpllr('itlll,m h, n-splll'sl.1 ('om"I"m di"IIIt's a llll 70 pllr d"III0 di' los prtlhl"lIlas propuestll" \ .H/lldlo, p.lra los ('lIal"s uo ,,' da n"lltlt'~la s,, iJldieau ,'u ,,1 lihro l''1Tihll'lldo u
.
'
1I1JIIH'rO PII ("lIrSlvas.
Repaso y resumen del capItulo, (:.lIla capítlllo f'lu.IIi/,1 1"'>1III~ n'paso)' '1l1 n'SIlIIl"U d,·1 lllillt'riall'llhi,'!1o (,Jl ,,1 mismo, l.lS llul. l " ,'z:ar Sil Ir.l!>.I)O ("1 Illar!.!;I'U SI' llll'1'l/mi para ;1)111 Iar ji 1 ,'sIn, l'tal! Il' .1 org,lIl1 rt'visi,íll , adl'lll¡ís SI' hall illclllido n-f"f('fI('las erll/AIII.IS par.lu\udarl o • "ll('Olllrar las part"s d,' IIlal"ri.d '111(' ft'qlli(>ft'lI .1!"1Il1ÓU' 1)1"1.11 Problemas de repaso, Al rmal di cada ('3p(11I11I I IIlc!UH 1111 ~nl po de probll'1lHLS de f( P,l o, I',slo pro"I, '11l~ propllflllJll.lJl lo ( tudiautl's lIua Opc)rtullid.ltl .ltlll'lOU,11 di' ¡¡pltl,.lr lo l,JIl(I'I'11l mol 1111 port.mtl' preselllados ('u , I C:ll'ft 1110
Lista d
símbolos
('(,I('raclón ( ollSt.lllh'· r,t
B ( ( \
(
I
•
J
A
rt'a
ndlO; di tanda: ('j(' St'mimenor de la elipse Con tantt'; ('()('ficil'nt(' de amortiguamiento visroso C ntroide; centro in tantán('() de rotación: capacitancia
1:
centro de masa; constante de g¡avitación
Ulgular por unitaria Ulgular alrededor del punto O cambio de la de movimiento Ulgular de orientaci1Sn fija de la cantidad de mOYimi Dto Ulgu1ar
lo ....
G%yz.
con respecto a un con
aun
•u Trabajo
U
ek-;dad Rapidez
-
elocidad del centro de elocidad de B al sistema de
w
dePrelativaal vec.'torial olumen; potencial Caiga por de longitud
W
Peso'•
p
V \
x 1) Z x 1) , -x - -IJ ,
,
Q'
,
a
a f3, 'Y
Derivadas temporales de las
%
fJ ~
Coordenadas rectangulares del cenboide. centro ~celeración angular Angulos
o cesobo de
'Y 5
Peso especifico
e
Excentricidad de sección cónica o de órbita Vector unitario a lo largo de una línea Eficiencia Coordenada angular; ángulo euleriano; ángulo; polar Coeficiente de fricción Densidad; radio de curvatura Periodo Periodo de vibración libre Ángulo de fricción; án~III() l'uleriano; ángulo de fase; ángulo Diferencia dl' fase • Angulo euleriano Velocidad angular Frecuencia circular de ~iur,ld611 lorJ'.ad.1
A TI (J ¡.t
P T T"
.p .p
t/J W
de
(d
(') 1
,,,
U
Elongación
Frpcul'lI('ia dn'lIJar 1I.ltllral Velocidad .Inglllar dd '1 tI 1111 di' n
fl tI r1C I I
'''pon. que
C.optidere la partÍ<:ula que se lJIueve en IIna
e lá definida por la ocuacióu
exprpsa en st'~lJldo y r en metros. La velocidad de ., .. (.'Ualquier tiempo t se ohli('ne al diferenciar r con respecto a t
donde t
= é. dt
I
La oc't'I('r,K1ón
ti
se ol>li('II(' al difen'nciar otra \ ez con respel.1:o a t: ti
b
,
I
= 121 - 3t:Z
= dt = 12 - 6t di
La ('oordt'nad,1 de la posición, la \elocidad )' la a(''eleraci6n se han ~ralk-ado (.'onlra t en la figura 11.6. L:c ('urvas obtenidas se cono('t'n l'Omo ('un a, l/t· I/lOtlm;('/Ilu, R('eu~rde e. n embargo, que la partít-ula no (' mu('\{' a lo lar~o de ninguna de e tas ('urvas; la par_ tf( ula e mu('\(' ('fl una Irllt'a n'da. Pue to que la derivada de una fun('16n Ilude la 1)('lIdi('"le de la eun a l'Orr(' pondiente. la pendiente dt la (.'una r-I ('11 ('ualquit'r li('mpo dado e igual al valor de v en tll'mpo) la pt'ndi('nt(' dl' la ('un a r-I e igual al valor de a. Puesto qU(' a O en I = 2 s. la pt'ndil'nll' de la eun'a ('-1 debe er cero en t 2; la \e1ocidad alcanza UII máximo en e te instante. Además. que t - O ('n t O \' I la tangl'lIte a la cun'a debe r honwntal para ambo de ,alore de t.
= =..
de las tn' ('unal de lIIo\;miento de la figura 11.6 1 tnO\;mi nto de la partíeula de de I = O hasta , = ce en cuatro etapas:
n
muestra
puedta
...... u ..
l.
r-'
La partfcula inicia el origen, r = O, in velocidad pero con una aceleración positiva. Bajo esta aceleración, gana positiva . mueve en la dirección positiva. De t = O t - 2 ,r, v. Q son todas positivas.
'-2 valor
la
cero; la
.áhno,
, -
la
Iocidad ha
De, = 2 a , = 4
v positiva. aún m en dirección la partícula está
Iocidad cero; la coordenada de la posicIt1e valor múimo. partir de ahí. tanto., la partícula con
RESUELTO 11.2 Una pelota se laMa con una velocidad de 10 mis dirigida verticalmente arriba desde IIDa ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe la 2 leración de la pelota es constante e i~al a 9.1H m/s hacia abajo, a) la velocidad v y la elevación '1 de la pelota sobre el suelo en po t, b) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor de t, e) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la pondiente. Dibuje las curvas v-I Y'1-1.
SOLUCiÓN a) Velocidad ~
L--- I "
JO
111/
I------.l ti
I
I
111
El eje '1 <¡U e mide la coordenada de la posición (o elevación) se elige con su origcn O sobf(' el suelo y su sentido positivo hacia arriba. El valor de la aceleracilÍn y los valores iniciales de v y !I son romo se indica. Al sustituir a en a = dt'/ di Y observar que en t = O, Vo = + 10 mis, se tiene
de, aci{m.
dv
Yo=
.::.:::. = a = -9.81
+20m
di
'J "
m/s-
_J' 9.81 dt
dv =
o
' " = 10
[vl~1I = -[9.1Htl~)
v-lO t
=
-9.811
mI)
10
.,
r = IO - ~J'ill
( "" a \1 In..dad
lit
"'po
:3.28
" '<"
---------
,t ,
y observar que en t
Al sustituir ven v = d'1/dt
1ft = v = 10 -
t()
r
,
d'1 =
Yo= 20
f
•
= O, Yo = 20 m, se tiene
9.8lt
(10 - 9.8lt) dt
11
[y l~o = [lOt - 4.905t21~ Y - 20 = IOt - 4.905t2 Y = :20 + 101 - -UJ05t 2
~m)
(1)
(2) ..
b) Múbna ele ación. Cuando la pelota alc-anza su máxima elevaci6n, le tiene v = O. Al sustituir en (1), se obtiene 10 - 9.8lt = O sustituir t
1= 1.019
== 1.019 s en (2), se tiene y = 20 + 10(1.019) - 4.905(1.019)2
'1 = 25.1 m
H ~. golpea el suelo. Cuando la pelota golpea _ _ , - O. Al sustituir en (2), se obtiene
í~-
=0
t = -1.243 s
el
1-+3.28
y
a un tiempo después de que este valor de t en (1), se
... -22.2 mis
v
PROBLEMA RESUELTO 11.3 I 1 11.
l1~a
n ducir el retnKI'\I) ell ciprtos tiplls dI' , ilion, . C'scnc i;t!1I11 nll' en 1111 ~Illholo Ullido a un (~lI-J(íll '1'11' ~.' mll{ \, {JI \111 ulllldro filO lleno d.> .K'(.'it" (_l1ando Pll'uii';1I rdnK,,'d .. COIl IIl1a .1111 11
\ 1.,( u 1.111
o d.· frC'Jlo '1 11 ('
1I1It"Í.11 1
l.
p.ml
"II~lIlh()l() s<, mUCH')
j·1 a('Pite es ¡'orLado a
la po.tfcfón. la velocidod o la .......,. En cada problema, es impor(por lo romÚD t o x) y qué es lo que : : ; o como una función de x). Se recola informaci6n dada romo un enun-
de lo que
I
11111' I
•
Como se explicó en la secci6n a t son respectivamente igua[ec.uaciones (11.1) y (11.2)]. Si la la partícula puede llegar al reposo [problema 11.1]. Así, cuando se partfcuIa. se debe deteJ lIIinar primero si de Al ronstruir 11.1 que la posici6n y la velo(o = Om.... V = O. etc.), se contará ron
41(,) dada. La solución de problemas de ele la 11.3. alas rondicioInferlcnes de las integrales en t y v, c: D'I'IO eido (por ejemplo, t = t 1> V = Vi). chcoMdda (por ejemplo, la coosal sustituir un ronjunto a G(t).
II t
I
II
nlo de- un partk,da drRnido por la dundt' t t"n metnlS nnlll Q I moml"nlu n I (fllt' la cero b) la I 1(' L.J (It> I partK:UIa n lnonlt'nto. 11 ..... '101
I I III,J\ IIlIIt nlu d t
_
I
I IJ
I I
t
dr la par-
pilrU :uJ¡¡
,..,
donde
l~
.1
11
t
J¡¡ po5J :i6n
lit
"do t
nI
I
I
:iólI
t I 1110\
11 n
11 7 E I
t
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IIUt nto
donde
k.t"
la
la 1
".
1<2
la
n lt1O\
mie'nto
O
una particuIa
9t Q
I la
1, 8
t 111
I
n
la \ kx.,dad la
1110\1
, _ movimiento
b la
definido por la relación
de una partícula
_ I nnlllt J¡¡
ro,
Jo t ~
11
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11 11
t1umlt
11 J\ IIUf 1110
t I
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I d ROldo por la relación
prt sall "met rtJ5 segundos, nlllllt a e J 111011 nlu " I 'fllt> J¡¡ 1,. lad dt La parti ,tll t n t 111011 1110
t
ít
partlt: lila
11 10 I~•. Kt·l .. m(·ióll d, 1 plllltO ,\ s .. d!'lilll' 1I1 .. n a '" 5.4 s¡·n kt donde f/ ) t St' t'~pn'~all ell ft/s z \ Sl'glllldos. rvspt't·tivallll:ntl" \ J" '3 rmL's. "1 r = 0\ I - I ~ n/s ClIalldo 1 ~ D, dl"t¡'f1111111' la \l"lo{'luau V (l.;, s. l•• pOSlt161l del¡lIlJ1to , \ t1HlIIdo 1
614
- .. (
\
11 .11 1M' a,d,·.~lt'i{," d,·1 pllllto , \ st' d!'fllll' IIl('díant," la n,lat'ic',,, (/ ~ l21 sen kl 1.32 l'!'S kt, dOlldl' (/ vi st' l',¡m'san 1'11 Itls~ y Sl'glll"¡O" respldhafllf'lIk y k 3 m,lIs. COII x '- O ., I~ ft \ !' = LO') ftls CII~lIldo 1 '" !l. dd(nnÍlII'
Lt \"Io!'idad \ la po"u{", d,,1 plinto , \ clIando
11 .12
,11 li"IIIPO
1 -
O..') S.
1... a('t·I"I'lI{'itíll di' IIl1a partí('lIla I'S directallwllte proporciollal
l)
Figura Pl1.l0 y Pll.ll
O 1,1 \( lo('idad d"
la partícllla
de -lOO IIIl11/s. Si 1 170 IIll1lf, \.~ .-¡OO 111111 ('lIalldo 1 - I s. ddl'nnin(' la \ ('Ioeidad, la poSil 11'11.) la thst,lIl! 1,1 total I'!'{'ornda (,lI,mdo 1 = -; S.
~
l. Cllalldo 1 -
I'S
I.a a('tI"'~I{'i(íll dI' IIl1a partÍt'lIla está dpfinida por la rt,lacicín a"" 0.1;' IIJ,~ "i T 10.11 ('lIalldo 1 0\( - -O 15 IIIls cllando t =:2 s, r\etPfI.Jin{' la \,'Inudad , la p",it'í(m \ la di,tant'Ía total recorrida cllando t = 5 s. 11 .13
11. 14
I.a
lll·t,I,'.~.ci('III dI' 1111;. partítll\;¡ ",t:1 d,'lInida por la r(,laeión 11 ~
~Il. IMI partíelda illícia ,'n t
fJ
= O con I = () >' x = 5 111.
Determine 11) el tll'lIIpO "11 '1''' Lt \I'IOClllad es dI' 1I11"\'() c,'ro. /¡) la posición ~ la \'elocidad ('II,l1Id" l i s , c'l la distallua total recorrida por la partí('lIla d('sde t = O \¡,lst,1 t i ,
11. 15 La
-
t
·1
.lt~'Il'raci(íll dI' 1l11a partícllla t'stí ddlI1lda
por la rplaciónll = lO mIs cllando t = :2 s. deter-
10 1Il1~ ('lIalld() t =- {J \ ( = • IIlIU{' 1.1 coustallt" k. /¡) Escriha las I'Cllat'Íoues de mo\;mit'uto. con x = () (·u.mll" t ~ ::! s .
kl l .
al ,,¡ l' -
•
11 .16
Figura P1U6 y Pll.17
El pllUto , \ oscila COUllll,1 a('('I(Oración 11 = -lO - l50x. dontlea ~ x SI' "'pl'l'sau l'U llI(s~) IlIdros , l"l'sp('di\~\I1It:'lltt'. La magnitud de la \'plo¡¡d"d 1" dI' O.;, lIl ís ('uando x - OA m, \)!'t('rmiuc' 11 ) la \'e locidad m
11 .17
)
11
, Figura Pll.18 Y Pll.19
11.18 La aCl'll'rat'ÍlÍn ,\(01 punto A SI' ddlnt' mecliantt' la rt'iación ti = hO(),{ I + h~·. doudl' (/ \. X se l"pn'sall l'n ftls~ ~ pies. respecti\'an)('ntl', y k I'S (,(lIlst,lIltl'. Si la \t'locidad dI' , \ I'S de 7.,5 ftls cuando x = O V de 15 lb l'lIaudo.r = OA.') n. dd('f1llillt, ('1 \'alor dt' k. '
11.19 La aceleración del punto , \ se deflnp mediante la rl'laci¡\nll '" SOO, + :3 ~tJ()X', donlll' (/ y x SI' (',[m'san (·n ftls~ y pies. res[l!'cti\allll'llte. Si la \('Iocidad dI' A I'S dl' I () ftl.s ) r = O ('liando t = O. determilll' la \t.locidad \. la posici<'>n dI' . \ clIando t = 0.0,,) s.
11.20 La aCl'll'r'lt'itín dI' IIna l'aliícllla se dl'lIne por lIIedio d(' la relad,'m ti =O. 12x -. ::!S. dondl' 11 \'.r SI' 1"prl's:lI1 l'n III¡S~ y nlt'tros. rl'sl't'dÍ\'aml'ut". s. r = S IIl/s ("lIaudo.r == O. dl'tl'I'IUllH' ul 1,1 \,lIor lIláxilllO dI' x. bl la \docidad ('lIamlo la paliÍl'lIla ha n't'llrlido 1I1la distallt'ia total dI' 3 111.
,
•• "tuh dt 1111 p IrtÍl:UIa ,. ddúlt .II,·dialll' la n L",,,'>II dOlltl, k l {fJll I;Uli< '11 l•• \. 10< Id.ld d, 1..1 I'"rlielll" PS I " 111 lo 111 la p..rtícula tl'l('da ell r('j)('S" ~'Il el urj", 11 d,., 1 11'1 lit 1.. " 1.1 \. I(lltd.ld d, la p.lrtkub cllalld" x -'"' 111.
1 I
Problem,
615
-2
1 2 I
1 Irtlf ,I! \ ti SJlI \{·I,/(.'"Lld 1I1It·lal. h .lcel .. raeiúll (j¡ 1111 allt" ti, IlImla JI"" l., rt 1.1< 1611 (( (¡.~ 11 ()fK d,,"d(, (/ \'.t ". (."
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(1I\.III1l'IIIl' 1Jt.1l'f1l1illl· la Jl"slciúlI del allto
lid,
1 23 '.1111. 1I m0611 d. IIIIcI 1"IIIÍ<'ul.l ". dl,IIIII' IIH'dialll,' la n.lacitÍlI (J l' dOlld, ti" "xIII,·s., ,'11 11,1101,·) I '1' IIII1V,. Si ella"do I = (J la oud Id t dt j') 111111/' d,'l. '1Int'll ti) L. dist,III'·I.1 'IUI' rc"ellrr"f,i 1.1 partícula u I d Ifllt d Ir ,'11 ro p"so. h ,1 IIr'IIIJlO /I"ll[cndll para '1"" la \"I'K:,dad dI" 111 Irtllull SI ft elIIZI., 1111110 poc d"lIto d" Sil \,tI"r illil;lal. 112
l. 1.ld '" dt·UII.IIJ,lIilllll., ,'sl.í d,.flllid.1 p"r la n·laciríll (/ = , /... .Ioml. l/ \t l' pn S,I , '1 IIJs ~ , 111 lIIf~, IAI parlÍt"ILt illi"lit ('1\ X - (J HUI 1111.1 \1 11>lld.a,f dt !J In/s \ (lIanelo t 1.1 1fI" "!.,,n ,1 '11It' J.¡ \ C'locidad I d. i IIV' J )d"m 111(' 1.1 dl~I.III{,I.1 '111(' n'('(l/r'>lfI I.t p,trlí"IILt (/) au!!'s d(' '11It '1 \ IC/(·Id.ld ti ~IIIIJll\.111 J 111/' ¡,) ,11111" d,· '1III'd .. r 1'11 n'poso.
1,
1...
In
11.25 I Al, "·"·I.IU 111 de lIl1,l pa,1it'ula '" ddllll IJlI·diallll' la n·lat'ÍólI h, dO'ul. k, comlillllt'.:-i T () ) 1 :2:; fl/s <'11 I = (J. ~ t :... 12
(1I,\IId" l h n. dt 1('1"11111" al I.J ",IDud, .. 1 el,· 1.1 partielll .. ¡, • I 111 IIlpO 1I«llIt'ndo pal" qUé' 1.1 p.1I lit lila
11.26
\ pJlllr d,
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~III \, lodd .. d ¡lIi.
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x
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I.d, IIlIa partí(,lIla fl'l'ibl'lIl1a l'xl)!t",lII ,'Il n/s 2 \' n/s, fes•
I II r: .. IOIIII OS\ t ' \9 dOlldt'{f \ 1 ,,' • 1" 11\.IIIIl'IIII· I )l'It'nnilll al 1.1 poslei(,1I d,' l., parlil'ul.1 ('u,llldo [ - 24 ftls, 1, 1,1 \l1 ..,,
A
11.27
IAI dt,.·I('IIIl'I(;1I dI 1.1 ('01'1".1,,1',' I '" .11'11111' por llIl'dill d,' la 1\" II Ion (J !!.J.. \ 1..' 1 '. d'JlItI, t1 \ 1 '" "'1",",111 ,'11 !'ti,l!)' f'tls. fl"p,'di\a'11. lI\t. \ k , 1'Ü', \'111\' El ,,'1,',"., "",'1;0 ,'" ,'f 1"'1111)11 I - () ("011 r \.."í n \ ' O ~I 1 I ;:! n "11.111110 I n2, d,'I, IIl1ill" ,,1 \.tlm .1" k.
~I.-------x------~,I Figura P" .27 Y P11.28
11 28
1.,1.1\"( 1""11'1('11 d,' 1.1 l'oOT,'d,'m , \" d,'l1m' Illl'dianll' la relat'itÍl1 (/ 2\ I • 11"11111' a ) 1 st', 'PIt',.1I1 1'11 rllS') n s n'sp,'di\~III1"lltt' El 1 IpIIl.! 111111.11'11 el 11(,'Jlp" I tl 1'011 \ l.;; n \ I - !l . ])l'Il'rlllllll' la po· 1( 1111 de I ('11:.111(\" a, IUi n s J,\ la l''''ll'iou .1,' , 1 ('lIalldo I = (J.:) s. Figura P11.29
11 29 \ p.1I111 dI' T tl "11 \(·1 .... 111.1.1 illinal,Ia:!!:·"I"filt·ltÍl1 de Ul1 aulo tll r 10l r ,'tI dI 11m l., pOI' la ,,'Lolioll ( 1.>1 \ 1 ,,1"""'" doude [ ) !I( prt ,111 l'" '11 \ 1111'1111' n·'I'l','ll\dllll·IIlt'. [)I'l,'nllllll' la I'tlsll'ilÍn \ la t r i 1111 d, I ,mio dI (,In" LS "II,lIl1ltlll) r ~(l 111·\,1» ( -" ,10 mI,. obs, n,U'inlll" Lo \ \,I""ld,,,1 dI' 1111 ,Illela ['m'd.. I 11 ItI IIIt ti 1111\ 1.1 r. I.I( 1'"\ I 7.0 I (l () h )" l. d"ml.· (' ~ .\ st' 1" I I ' 1 1", 11 \ k'l IIldlll rt"Il({'lI\,IIIItIlIt' SI \ () "lIalldo I . O. d,'n , • "di I III 11 .1'11 hl n·( .... ntl .. 1,1 .lllda 1'11.11"1../ 1 h. f¡) Lo al~'• ,111 111 I I II " 11l.lIIdo I o. ( ,-1111'1111'" "',!",'nd" 1',\,.,1 <]111' ,,1 I In ( kili 11
O
«(lH \.\,
111
( Figura P11 .30
616
,
1
I I I I
r
,I
11,37 La .I....J' 'r.lción, "ehid:, ¡I la gr:t\f ,dad .1" Urla p; lltíellla ,¡ Uf;' C:aiga h.l<1II.1 IlI'rra l'S u g/1'¡'J., do,,,l, ,., s la di,tanda d,' d,' ,,1 ~'(,lI/m d!;' la lierm Itasta la partfu,b, /1, ,·1 r.tlho t,'lT' tn' \ !!'~ la ,lc,.I,'ra('IOJl tle.1a gra\Pd.ld PII l., sllp"rfi'1e to-rrpsln Si H - .l H()() IIU, dt:t('rJO~"l' la 1 clv'1dad de '\(Upc. ('sto es. la Vl'lo(,d,ul mílllllla ,~JI' la (,11,,1 IIl1a partlcllla d .. he proye<:_ t.lf\f' hau.! arnha d, dI' la '"Ilf'rtit'Í" lerr,'stn' para 110 r,'grpsar a la Tierra. (Sil;':' nl/df/: l - O para r' 00 I 11,32 1.1 ,1('"I"Llt'Í,íu d"hida.l la gran'dad a lIua illtura IJ sohrt' la ~ll1,,·¡fi'· 11' d, ' 1.1 ' JI"I...a p,lt'd, (-\pn-sar,,' COIIIO
I
Figura PI',3' l'
!J
"xprpS;11l 1'11 I'tI,l)' pi,'.,. n·sp,·ctl\amentc: C'tílic:e esta ('\preSII'.II p.lra '~Ik-IIJ.¡r 1,1 ;tltma '1"" alt-au/.a '"1 pro}l'ctil lanzado \'e rtic:almente h'I"la ,lrIi h ,1 d".,d, la '"Ilt'rlkil' tern"tn,.,i '" \ elocid,ld inicial!;'s (/) l = 2.jOO rlls !J 1 - I O(H) n i'.,. e' ,.. ' 10 (lOO I'tls, dOlld, · (/ \
'L'
• I I I
I I I
I
1. 1 \ ,'lo"ldad di' lUla ('o l..... d('ra SI' d"f¡JI(' ,nediantp la relaci.ín t: l' ,,'11 /<),,1 + lb ) Si la \,'lu.. id,ld) 1.1 posicir'ln de la correclera ,'11 1 = O Sl' d'·III.I,1 l't'" lo) Xu, n,.,p"cti\,lIlll'lIt,',) "ahit'mlo 'lile el desphv~lInit'lItu 1lI:l\I 1110 .1" la "1l/Tl'd"I~les 2.\'0, IIlm,.,tn' '1"t' fI ) ti = ( t:,~ + xgw~)/2.r,,w,,, b¡ el "do!' 1I1;Í\illlt. di ' la ",Iot'idad ')("lIrn' ('ualldo X = .1',,[:3 - (ro/xow.. fl/ ~.
11 33
"
I
11.34
La \(,I,)(.·idad d,' IUI,1 pa'iícula l'~ l
= loO
- sen l7rt/ T: Si la p,u1iud,1 p,lIil' dl'sdl' 1,1 orie;I'1l COIl lUla \(,locid,ld II1lcial ro, uetennín(' a su !'<)s¡eilíll ~ "1 .1l'l'll'ral'Í,íll"1I1 _. 3'1', f¡ ) 'u \plo(:Í,lad promedio durante el iu1,'1,\ ,110 dI' 1 -- () .1 1 T,
Figura PI',32
--------------------11,4, MOVIMIENTO RECTILíNEO UNIFORME EllllmiuJil'lIlo !'l't'lilílll'O unil(lfIlll' l'~ un tipo de mO\imiento en línea n'da lillt' a UH'llUdo se l'IK'U"lItra ,'n las aplicaciones pnícticas. En este 111m iUlil'UtO, la an,ll'ral'i<Í1I 11 d,' ulla [l
dI' di
=o
l' = constante
La l'oonll'natla tll' posiei<Ín y se O!Jtil'llt' cuando se integra esta ecual'ioíll. Al d"lIotar IIll'diantl' Yo ,,1 \alor inicial de r, se escribe
.to
+
Esta l'I'U(l,'ilíll lluedl' utilizars,'"¡/,, si
1//
.t
('(I",ta,,','.
=
r:t
(11.5)
1
I I
ce ¡lcir 11/ dI' 111 /'flftíClI
lt/
"l.luon.l .IX, t 1.1 l'Ul:Illlíl' ( 11'> .... Ia(¡olla" / .\ r {'lIa "plí('a('¡ (11 1 1111 port lit .. del JI IU\ 111 ",'11 t" 1111 iIon JI" 11 11'11 ti' I[("pl, .rado ('5 ..t 1110\ ji 11 i, ·nlt. d( 1111 ('/1( '7 i () 'l/ca/ti" I¡JI/ 'C I.a al'l·I, ' ra("j,íll dI' 1111 ("''''11 10 ,'11 ('aída li. 2 1m 11" 1.1111I('lIté' e1",,,,!:,,la 1I11 ',ballt, ..: ) ''s j~lI.d a U'> \ IItls o 32.2 l"us l F, IIIlportallt,· ... ·corelar '111" las tl.,.S "lllill"iol\l's illlt'·rjo ... ·~ p"<'d,u IItib"af"'¡1 sól" ("//(/1111" ~, ' ",Iu ' ,///1' 1" ",.,1"rlI('/,íl/ rI,' /" /)(/rtín¡/" ''s ('(ll/~_ 1(/II1t" ~I 1.1 :[(""I"r,1< IIt,. Sil IIImilllil'llt" s<' d, !J,. d, lt'rllllll:t/ a partir el" la, "('lIacioll"s IlIlIdallH'lItall's ( \\ \, ¡, \ 1\ I ~,·~,íll 1", "I..todos s'llalad"" ('11 la SI 'Cl'i,ill 11.3.
18
11.6. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTíCULAS
( III11do '.tII.IS partí('IIlas ,1' 11111<'\"11 dI' IlIalll'ra ind"ll<'ndi('lIt" .1 lo I.lrgo d, ' la nllSllla lill< a . "s p",,!>I, "S( nbir ('clI¡lciones dI' IIlmimil'lIto 1I1<1"P"lIdil'lIt"s par.1 (';Ida partícllla '>ll'lnpn' '111(' s('a I~ldi!>k . (,1 tklllp" d, ·I... ,'gislr.II·" a partir d, ·1 nnSlllO instante inici.,1 para to,h~ LLs partí('III.IS. \ ,'~ IH'c",ario IIll'dir los dl'spla/alllil'ntCls desdl' el mismo ong"n \ ,'11 Llllnslll.1 dll'l '('( 1<'111 EII otra, palabras . dehen IIsarse 1111 solo n lo,) 1111.1 \1 ,la cillta IIH"trie;! /1
,1
Figura 11.7
-
1
MOVimiento relativo de dos partículas, COlIsld('n' dos paltí('Id." I ~ H 'I'H' SI' III1H'\('1I a 1" I.lr~o dI' la IlIisllla líllea n'da ('¡gllra \1 i SI las (""I1'lI,,"adas d,' p",¡clt"ln .\ ', Y"/J SI' Inidell desde ellnislllo miglll la dilí'l'l'lIcí., X/I - .l, d('1I11l' la r""rr!cl/lldl/ dI ¡lo\lc/(;/1 /,('/lIlirll dI' H ('01/ ""'/IC'I'I/I {/ • I \ st· d!'lIota por 1I1(,dio d(' Xli , <;(' ('scrihe
.1'/1 , - X¡¡ -
.r ,
o
\)(' 111;IIH'nl ílldqWlldllllt,· d,' las [lOSI('lOIl('S d(' \ ~ B con respecto.JI Ol1g"II , 1111 Si\!;lIll positi\(, para X/l ,si\!;nilll'a C¡lIe B está a la de)'('cha dI' .1. \ 1111 S1\!;lIll 1Il'\!;,ili\o illdica C¡"" H sv VIICII('lItm a la izqll)('rda de.1 I..a mllill d,' ('
l... ilH· ('
1/1 ,
,
o
rH = r., + ['/J, ,
t ' 11 "~lIll "",iti,,) dI' lti ,si\!;lIillca 'lile 1/ //(Irlir dc.-I se O/¡S,TW I¡Ul' B Sl ' 111111' \ ' ,'11 din'ccilÍlI positi\'a; IIn si\!;lIo lIt'gati\'() indica. segúu se "h"'I'\,I. C¡II" {sta s,' 111111'\" ,'11 din'cciólI 1I('g,tti\a. I..a I~I/lill d,' camhio dv (/i ,S(' l'OIlOl'(' C0l110 la I/celerol'ÍcÍ/I rc/,,'ItU d. H 0)/1 n"/ll'C'/o (f . I \ st' d"llota llIediant,· aH / l. Al difereillür (\1 1()). ". ohtivlll'
(lH
•
\
=
tll., -
(/ \
o
(fu
=
1/,
+
I/H /. '
Movimientos dependientes. AI\!;lIl1aS \ ('Ces. la posicilÍlI dI' UII;I partíclIla dqll'lIdl'nl d" la pOSll'i,íll d,' "tl~l o dv \ arias partículas. EIll',e I \lhit'rt.llllH' C'I prodlldo th: lo., 'l1hindil-,', \ \ H/~ \ «PIl' '<' 1I'.. lt'l1l'!llIit'lllbro i/.'pll,'rd,' ,ll Ll\ ( ttadom's 11 ~H. "ti 10 1 \ \ 1I II ) t· ... 1~11.11 al 'lIhi .. du:t· H lItdlL.uln en t:!lI1ll'Tuhf\"'
di ll.1do
1/.'!UIt
rdn
PROBLEMA RESUELTO 11.4 1 nd pdola L·!,11I7.<1 \"r1il'..II","!t. h'lCl,l "rrih" d,',d,' 1111" "lt\lm <1(, I:! 11\('lro~ {'Il ,1 pozo dO' 1111 c!.'\ac\or l'OIl \lila ,,'!o("it!at! illieia! tI(, 1'> I1I/S, EII l'llIlISlIlO IllsUllt, \l1l1·1.,\,,,!or d .. pbtafi>rlll" ,.I,il'rta pasa por "llIi\(,1 <1(, '5,fIl. III00i~n. dO\l hau;! ,ti nb.. ("" IIl1a \..!'K,¡<1"d eOIl,t,mtl' de :! m/s, D('(('nTUIH' 1/) (:lIan· d" , (\t.II,k golp,'a ,,1 .. 1t·"ldor, 1,) la \(,I'K'idad n,lati"a ti,· la pelota COII n's· 1)('d".tI, 1.,\.,,111, (',LuId" ,',1.1 lo ~(Jlpt'",
SOLUCiÓN ,
I
, o
lo ¡mil nto dI 1 p,lot,\, I'lIl'sto '1"1' la \)('Iota tiene IIna aceleración (,()I1St.mlc'. Sil "'0\ illlit'lIt" ,', 1/11;«1/'111111/1'1/11' acelerado, \l colocar el origt'n de () d,,1 , )" !1 .1 111\('1 .11,1 slul,,: I'S dl'(:lr Sil (lirección positi\'a hacia arriba, ('IIC'ClTIll.III1OS '1"' la po"ei,'lII illicial I'S UO - + 12 In, la ,'e!ocidad inicial (:(). 2 Ir,' pond( ", I t... • )~ 111/'. ~ la ,'Cl,!t-ral'i{¡n ('11"1\"le a (/ = -9,'>lm/s , SIIS· lit 11\ t:'lIdu ,'si", "tI"r," '11 l." 1'('lIad""I" para Jlu),'i mit:'lüo lIni [O rIllt:'m en te .'l'de r.,d.), ... 'sni 1" , /J
•
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'". 1'i - l:lC,11 2 !/" .... 12 + 1'>1 - 4,9051
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tmimíl"nto cid dl',ldor PIII,lo 'Pll' el ele\'"dor tiene IllIa \eloci· d.,d (1)(I,t,II11<". Sil nlO\ IIl1i,'lIlo (., 11111«".,1/1' Al IIhicar l,l origl-n O en el ni"el d('1 Iwlll) ,·Il'gn 1.1 díl'1'l'l'ic'l1l p",íti,~, haCia ilrliba. se ohsernl que Uo = +.5 111 \ 'l' ."en hl
(1
[/
, ,
o
+2
(3)
111 S
Ut
!lJ'-UlI+cf l
=
,5
+ :JI
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PROBLEMA RESUELTO 11.5 I
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1<'.111;'''1.1 r .. ,:2 '>lIp'lI)i"lldo la Il1lsma Iks
1,)
1.1
disLIll<'''1
,Idll'ioll,tll"l'l>rrida por
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1,1
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11 57 El hltl'llll' dl'sli/"lIIt" B '" 11111"\,' !tilL'lil liI izquil'rda ''L)]\ Illla \('",{]!1.1I1 .1" lO IIII1l s. Cllillldo I '= O, ,,1 hlo!IUl' dl'.,!izilntt' A st' mu,"'" h'l 1.1 la d"!l'..!I,1 "'11 ,ln'I"I~ldtÍlI t~)Il,tilllt" ) '1'loL'idatl ti" 100 mm, Si l'U t -= ~ s ,,1 1>1'\'111<' d",II/.IUI<' e '" ha IlIo,ido .jO 111m !taciil la dl'n'cha. dl't"rIl¡j¡lt al 1.1 \ ,'''''''ld,ld d"l 1>10'111<' d,'sIi7
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9 ESOLUCION DE PROBLEMAS - EN IF ORMA INDEPENDIENTE 1
1'. 11 1 '~t.1 II 'cdlíll (SI'('dOIIl'S 11,7) II.S) SI' n',-isarcJII , desarrollaron varias técnicas gnU/m\" ¡mili 111 stl/l/c'ÍcÍII ¡J(. ¡!ro/J/ell/os r/e 11I00;ill/il'IIU'¡ rcctilílll'O Es posible utilizar l'st.l S 1t~1 ' 1I1( 'a~ pam rt'sol,,'¡, prohll'III¡[S dí¡,C'clalllt'IJt(' () para complC'llIentar métodos de So11l1'U'1I1 allalílicos al propOn'IOJI¡)r 1I11a dC'scripciólI ,-isllal y, en consecuencia, una fII t'.I llJ l'Olllprt'lIsi())I dl ,l 111m illlit'lllo (l<. 1111 cllerpo determinado, Se sugiere dibujar IlIla o III:ís ('111\ ;lS dc' IlImillJÍelllo para , -arios de los probleIlJas de esta lección, inI"llIso SI I~ sl()s JIO SOIl parlt' dt' la larea asigllada. l.
I)il)//jo de (/In ti
1'- 1. l ' I
Y (/ I Y aplicacioll de melodos graficos. Las siguien-
It ,~ plopit'dadl" St ' illdÍC'aron 1' 11 la s('l'cic'ln 11,7:- d(,lll'lI recordarse cuando se utilicen JIII~ lod()s dl' ~tJlll(' i(íll gníIJt.IlS ,
I (/ ~ pCllclic IIles de I(/s CI/rt' a x I !JI 1 ('11 ellielllpo ti igllall's Il 1,1/ c/o('ir/lld)' la (/('dl'l'(/cilÍlI 1'11 (,1 ti('nlpo ti al
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SOIl
respectivamente
entre los til'llIPOS I I :-. 1'2 son respectiva11II' lIlt ' igllalt' s alc:lIl1llio ~l ' ('1\ la \'('locidad: al call1bio ~x en la coordenada de posi(,it'lIl dllnlllll ' 1'\1' illll'lyal() dI' lil'IIIPO, liS 11 -
e ) i 'íe COIIO('(' 1111(/ l](ljo (,IIII'U'I (h modm;clllo. las propiedades fundamenl,tI!'s '(lit SI' hall rt'~IIIJ1ido 1'11 los párraf()s (/ :- h permitirán cOllstruir las otras dos cur,as, ~ill ('lIlhargo, alllsar las propil'dad('s del párrafo /J, l'S lIl'ct'smio conocer la ,'e]o(,idad) b ('oordl'lIada dI' POSil'iI)1I 1'11 l'1 lil'Il1PO 1I para (\t'tl'rminar In ,'elocidad y la ('oordl'lIad.l dI' pnsil'i<ÍJI ('11 ('1 lll'llIJlO 1" Por lo tanto, l'n el problema resuelto 11.6, S,tll\'1 t[llt' l,l "alm IlIiclal d(' la ,('Ioeidad l'ra ('ero penllitl' encontrar la ,elocidad en 1 () s: 1'" = 1' 0 ' ~l : () + ~·I fl/s = 2-t n,'s, SI' hall ('sllldiado pn"ÜIII('lIll' los lliagram,ls dl' fUl'rl.a cortante: momento flexio1I,IIIlI' () nl'clo" para 1I11a ,iga, ,\ Sl' ddH' rt't'OIlOCl'r la analogía <¡ue existe entre las tres ('Illyas dI' IIIll\illlil'lIlo l'lI los lrl's Ihagra\1las CjUl:' represl'ntan respectinllnente la carga dislrihllida, la I'II(,I"/.a l'orlanll' ,, 1,1 JII01l1l'IltO fledor en una \iga_ De tal modo, todas I,IS ll"('1I11';IS n'lati"i\S a la l'OllSlrlll'l'ilíll dl' I'StOS diagramas pueden aplicarse cuando se dilllljl'lI bs 1'lInas dI' IIIOlilni('lIlo. '
2. I "'pie o de lile loe/os a/JI" \ 1111, " 1,. _Cuando las CUlyas (/-t y [:-t no se represent~m por Illt'dio dt' lillll'ioJll's 'lJ1alítil'as () cuando se basan en datos ('xveJimentales, en OC<1si"l \1'\ I~ 11l'( '('sano IIS;\)' Illl;tlldos ,lproxi mados para calc:ular hL\ úreas b,~o E'stas CUlyaS, EII I''''~ ('¡\~tlS, 1,1 ;ín'a dada ('S ,Iproximada por una selie de rectángulos dE' ,mcho ~t, (;1\,11111" )l1:b \11'11111'1-10 Sl'a vi '~llll), dl' ~l, l,lIllO menor sl'lía d error introducido por la apio 111111'11"11. La 'l'\o<:idad, l,ll'IlOnll'l1at!a de posiciólI se Obtil'I1l'1I alcscJibir I
-
l' t)
+".-J(/pl'OllI....l.'1
dOJ\{I" al""'" )' 1 1,,0111 sOIl las altllras de 1111 n'dáll~lll(l dt' aceleración)' un rectúngulo dl' \l'lueicl,ul, n"pt'di';Ullt'Il\(' (cOlltilIlía)
1 JI;} pa rtíeula S( ' Ill'W"- <'11 1í'H':I wda ('ollll('"ll'radrín ('onstanh' dI 2 JI dllr.\IIk 1 s. (.~ 1Jl
(J
1111 -
r
- r----:I (,
I
O t - - - - - y -_ _....._ _ _..JL-._ __ )O
14
l Is)
~ ¡-------'
I Figura P11,63 y P11.64
l ' n.1p.lrtÍl'UW (' mll'~\l en linea n'('ta eOIl acelerad<Ín constante d, 2 11 d lll .ml(' 6 con . ('I~lemeicíJl ('ero dllranl!' los siguientes 4 s. \' con .ICll, I 1('IÜn {'(Jl\sl .mll' d., + 2 m/s.! 1'1\ los 4 s posterioft's, Sí la partícul~ IIIÍ('I. l'lI el ori~('n ('On t() - S mIs, (j (~lIIstm~~1 l.ts CI\IV.lS de y para IJ .,. f 14 s. h) d['t"flllílll' la I'anlídad de tiempo dl\rante el cual la partrenla ,'sI•• •• 1I1i¡ d,' S III d(,1 orig('11. 11.64
1'-' x-'
1165 1' 11.1 p.lrtÍt'ula (' IIIIII'V(' ('n Ihwa re('hl con la velocidad que indl(".1 IJ h Tur.I , Sí r - 4S ft ('n f = (l. tmc(' las l'urvas a-t y x-' para O < t < 10 , \ dl'll'nnílll' (j (,1 \alor máximo de la coordenada de posición de la partku l.l h lo \ulort's d{, f para lo cual('s la partícula se encuentra a 108 ft del fl n~l' n
[di /)
ll! fi O IS
t() -- -----------
FIgura P11 ••
"66 PIU1l la particuIa el movimiento del problema U.55. graflque determine G) la total reco1 llll'V Gol 01 O , mda por la particu durante de , - O . , - 30 • b) los dos vaIfln. el( f para los cua1es la por el origen.
rra
11 • 67
636
1"'1
rosol util-lItra,
l '
. . rl"'nhn' COI1 ¡lintma en ae'.
COIIIP(HII'lIlt· ( l' ll1la III,lCllIlIhl S(
\p
IIIOlltil sohn' Hila tarllJla quP
St'
dt'spla.J'.a a 12
ft
ell 20 s.
1.... t.,ri"',1 ti"'II' ,"Pl"cidad inidal d,' '3 i"j, \' pnl'd,' aCI'I,'rars,' a nna r'I7.6n m.lXII":' d" ;2 i"j,J. ~i ,,1 ¡¡roc"s" d,' pintll;a rl't¡lIien' d.,' 15 s para t!'flni. ""rsl' , se IIt·v" " caho cllando la ta,in", \l' 1l1l1"V!' " s'elocldad cOllstanlt', ,It,. tl'l "lint' ,,1 "alor más 1ll't¡lIl'no [1osihl(' d,' la sl'loddad máxima dI' la tan lila, l'lI P¡II~,c,udi,t., C'1I' IihrcnH'l1te a razón de J '>0 ftls cllando ahr" Sil l).tramillas a IIlIa altllra dt' 1900 ft, Después de una ráp,da ) cOllstante dl'sal'l''''",d,ín, d,'scjt'nelt' a razón comtante d(' 4-1 ftls desde 1 '>00 It hasta 100 n dOlld" maniohra ,,1 paracaídas cntre ('1 viento para frenar atÍn má.s Sil d,'su'mo , Si 1'1 paracaidista at('niza con v(·loeidad descendente insignificante, ddt'nnill" 11 ) ('1 ti(,lIIpO rl'll' f('f]nl"rt' para aternzar después de abrir su pa· ral'a¡d.l\, ,) ) la dt'san,l('raeitín initial.
11.68
\
l n trt'n 'I"t' siaja a fH km/h se encllentra a 4.8 km de una es· t.,ci'·"1 El tn'lI d,',ac"l('ra d,' modo '111(' Sil s'elocidad es de 32 km/h cuando '" t'lll'lIl'lltn, a '>00 111 d" la ,'stat'ÍÓII , '>i el tren llega a la estaeión 1,5 min dl"I"It~s '1"1' "lIIpi,'za " d,'sacell'rar \ suponiendo desaceleraciones cons· t.,"lt'S . dt'lerlllilH'lI ) 1'1 til'lllpO lI('tt'sario para qlle recorra los primeros 4 km, /J , 1.1 \t'locubd dl·1 tn'lI cllalld" lIl'ga a la l'\taeión . e la desaceleración Ona! "OllSt.lllt, dt,l trl'lI.
11.69
rl.- ---- 4 ~ kll1 ~----j
Figura P11.68
~~ Figura P11.69
En IIna carrl'ra, dos plintos de s'erifk-ación A y B se ubican so· hrl' la lIIisllla autupista l'on una sl'paraclón de S mi. Los límites de velocidad dI' las prilllt'r.lo;.'5 mi s' de I.Lo; IÍltilllas 3 mi son, respecthamente, de 60 1IIi1" l' dI' 35 lIIi/h. Los l'Onductort's dl'ben detenerse en t'ada punto de le· n!ical'ión, ~'l'1 til'mpo l'slweilkado entrc' los puntos A y B es de 10 min con 20 s Si un conductor acell'ra I dt'sacelera a la misma tasa constante, de terIIlim' la IIlagnitud de su acell'ración al desplazarse el mayor tiempo posible 1'11 ,,1 lilllitl' tIt' \t,IOl:idad, • i
\ 1- -
U
--~~~~~- 5 lI1i --~~-~-~~.tl~.~-- 3 mi - - - - j.IB
Figura P11.70
e
11.71 En una prueba realizada en un tanque de agua para la botaelura d,' un pt'
11.72
, Figur. P1 1.72
-1--
" llU -~~
En una carrera de 1/4 mi, la corredora A alcanza su st:
11.73
t
11
.tlIln l )J í ~ '" , 1.1~· llt ' l1lra ('~I:1('lol1ado al lado d(' liBa autopista
mio (l.l '!JuntlJ" ~ 11111 (':111111111 fl \ (' lo('I(1.ld ('Ollstall(!' d(' 70 kIlI/lID' , os mI' 1I na 1 de plH~, ('1 ,llItoll1í, "1I11 1i 1'1'1I iI IIlm{'rS{' \' a(·{'I!'ra \¡'''st'l c'll'''\n' .... , Z<.lf léX1 (hd d' ¡no kullh, I.1 (,lIallll<1lllicl1<' posll'norllll'nl(' Si 12 minutos des'Iut el call1ltll l I'",t. al lado dc,l :lll!ol>lb ':S!{' s!' ('11<:lI('l1tra a 1,2 km c!<> h t lIlell dll ('ami!;1 1 d pII'nJlll11 ' (/ ) (,lI ,ll1do ~ dÓlld" pasó el alltob(IS al lado ,1 "unión. ¡, 1.1 IIU 1,'ml'I';11 lI11il()J'JII! d,,1 all(olllís , "
el..;
(
11 74 Los 111I! 0 11 \(;\ ill's A ~ H I'sláll sc'parados por \lna distancia d = hO m) " Inlsladall, ]"(" pC'(·li \'alll(,l1t( ·, a \'( 'Iocidat!('s COllstantes ele (0,\ )0 = 32 kULII, , ¡¡'O 2, ~ k, fII h so.bre' Illll'al1lil1o l'ldJl(' rlo de' hielo, Si 45 s desp\lés I ()l/dlldo, 1\ .¡pli, a los ''''l1os para l'\'itar chocar con pI allto B p<>ro alllIXI uutOI1"')\ d, ·, d J(}(,:l11 d1'll'rrlli,H' (/ ) la d('sal'('lpnlcilÍ11 uniforme del alllo , /¡ 1,1 '('!cl<'idad f'l'lati\a e1,,1 alltol1lóyi! B cl1alldo slIl'pd(' la colisión .
•
H
------ d
-------1
Figura P11.74 Y P11.75
11.75
1..0\ ,11110111(')\ dl'\ 1\ )' B \'iajan , rl's[wcti\amente, con \'elocidades ((1nstan! ,'\ d" (1 Jo - :2:2 mil I! , (1 /j)11 = [:3 mVh sohre un camino cubierto ele hillo l'a r,l 1·\'i !.11' c\¡()('ar con l,l ,lIItOln<Í\'iI B, el condllctor del alltomó\;l A aJllil~ 1 SIlS h",- uo, d" 1Il,III1' ra qlll' Sil carro dl' sace!era a lI11a tasa constante de !l.1 1 rtí,Z, 1)1'1('1"111111\' la distancia el entre los automlÍviles a la cllal el condudo!' ,h· ,\ d, 'lll' aplicar los frenos para {'\'ilar apenas el choque con el auIllIn,í\i l H.
11.76
UII "Il'\ ador inicia d"sde (,1 reposo) se' mlleve hacia ,miba, acel<'r,lIldo a ra¡(¡1I d, ' ~ rus 2 . I!¡lsta qlle aleanza IIlla \,t' locidad ele 24 rtls, la cual nl,1I 1Ii"lll' Dos sl't.:lll1dos d('spués 'lile' vi "I,,\"ador empieza a mo\'erse. un Il1l1n hn' '1111' \1' ('llclIl'nlra a 40 n por l'1ll'ima d(' la posición inicial del ele\'ador lallza IIn;\ Iwlnta hacia arriha COIl \'l'locidad inicial ele 6-1 ftls. Determillt, ,,1 nH11I11'llto "11 <¡1I1' la pelota golp('ará al ('l('\ador.
.jO
Figura P11.76
n
Problema:
637
38
11 .77 111 IU!UJIl6\i1 \ 1111 {".lInic~1I \1.1J'1I1 a IIl1a \'l,lcK'idacllollstalltl' d(· >4 kll 11. {l ólll!OIllÓ\11l's!:' u Jo 111 p"r c1driÍs d,'1 (·.lIllic',n. FI cOllclllc!"r d l .. 1110 qlllPf( n ha~ár .. 1 c.llni{,lI. "~1" ..5 c1"SC';l c'(Iloear Sil auto ell H lO In pur lId.III!I' dd (.lIl1i{,II, \ dl'spllts n'w,'s,lr ,1 1.. \ "I,,<.:idad cI,' 3·1 kilI/h. Ll
\
,
,
.. .....
... '¡m
¡Om- -
- - Hi m - - - ¡ j - - 10111--1
Figura P11.77
11 ,78
l{eslI('h.1 1'1 proI.lpllla 11 77. slI!>ollil'lIdo <¡lit' ell'onullctor dd ,lutuIJI6\i1 110 Im'sta lIillglllla ,lkm'i,"1I .t1lílllill' dI' \'(·I'K:idad Inil'lItr;LS reb;lsa \ l' ('OIIl't'lIlm ell ,t1L~III¿ar la 1'0'II'ít'1I1 H ~ \'Oh, r .1 tOlllar la \e!ot:ldad di' ,)4 kmlll ('11 PI 111['))(11 Ii, IIlpO p",ibll'. (,CII,III's la lIü\ílna \e1ocidad alcanzada') 'Iru(/, 1,lclln.1 di' l-/
11 .79
I )1If':1Il1t 1111 p('(>eI'S" de IlIalllllilc!lIra, IIlIa hallda transportadora 1'lIIpi, .1.\ a 1110\"1 l' d,'sd, ,,1 l't'p"SO \ n'corn' 1111 total dI' O 3fi 111 anll's dl' ljllt'd.lr 1t·lIIpor.lllllt'nt" ('11 fl'l'''s, I "'I"¡ tir(lII rl'!ll'lItinu, u tasa de cambiO en 1,\ 'INI('mci6n, se Iilllila a "'"1 .í 1" por W~lIl1d(), determine (1) el tiempo m, s (~Jl10 re'l"t'ndo para ,¡tlt' la banda .Sl' 111111'\,11'11 0.:36 m, b) los \~\Iores lII,l\lmO y pnllllP(ho dI' \t,I'K'ulad d,' la handa dllrante ese tiempo,
11 ,80 El) 1111 ,I,'rtlp"1'11tl, 1111 tll'lI di' t'lIla('(' \ÜFI entre dos terminales que l' ('II('U(,lItl~1I1 ,1;; kili dl' di,tallda. Para mantl'ner el confort de los pa~,IJt'r"s la .Ilt'lt'I:I('I'->l1 dl'1 treIl St' 1i1llita a -:': 1 :2.) m/s;\ y el tirón repentino. o tu! ,1 (1" 1"llIIlli" ,'11 la al'l'll'I~Il'Í!ÍII, 'ol' lillllta a ::!::O.2,5 m/s~ por .segundo. Si el tn n de l'1I1.1l't' ti,'m' IIn;l \ l'lo\.'ld,ld 1II:t\ima de 32 km/h. uetermine a el t¡PlllpO (\lb ('(lrto parcl '1m' SI' d"'placl' l'ntn' las dos terminales, b) su \elocid.ld I'fOlIll'l!tO l'OITt"I'0mlil'nt"
11
r Figura P1f.SI
T
I
11.81 l 'lI "II'\,ldor inil'Ía dl'sdl' 1,1 reposo \ 'lsciende -lO m a su ,elo<:id.ld 111, "¡lila l'lI T S l'on l,1 rt'g¡,tro dl' aceleración que muestra la Hgur
,
a(1Il ... -\
-..')f", 4
,:l
--------I
•
I
I I
11
Figura P11.82
1I.::!
1I -1
"
I
11.14
40
EII la f¡~lIra S{ 1Il\l{'stra IIl1a part!' d.. h cllrva l -;r dd{·rtl1iltatla "\1I"lIIoellt,.IIII<'IIII' par.• 1111 ('armal{'. c.t1cIII., d .. tll
" .86
l ' litiS )
-
t
.
J
21102,0 ,'
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•
1.5 I
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o
O..')
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-4-
, O
0,2';
O
0 ,:50
(J,7')
-
.t-
I 1.25
) (XI
x (m )
Figura P11.86
l.tilic(' el Ill(~tod() dt, la sección l J.S \ deduzca la fórmula x = :ro + I {JI + ~alZ para la c(xlnl"llada dt' posiulÍn lÍe una partícula eo 1110\;Illieuto rt'dilíUl'O IIlIifimlll'JIIl'ut" ¡¡('(,Ierado,
11 .87
11 .88 ('i.;1I di'
l..
Utilice l·l Illt~tod() de la Sl'et'ÍlÍn 11.5 para determinar la posipartíellla dl'l prohl, ma 1 un cllant!o t = 12 s.
11.89 Eu IIU
o
T ~--------.---
1I
______, ,__ I I I
t (s \
I
I I ~ 2~
- - - - - :::--" -.l..-________..iI
Figura P" ,89
11.90 Para la partícula del prohl,'ula 11.6.'5. tmee la clllya (J-I \ dc> It'rtnill.· nlt'diautl' ,,1 método dI' la SI'cdlln II '>tI' la posici6n de la partícllla l'lIalld" 1 - 20 s. b) l'l '~tlor JII
veCTOR
2 ,
IJ
J"
l'
(1
x
t
•
y 1Al I1Ipid(·z t pllt'd(' ollt('ll('rW ('lItOIlC('S dil<"reIldando con respecto a t 1.1 IOllgltud s dl ·1 arco '1\1(' dl'scrill(' la paliÍl'ula, LIJllsidt' n > la, elol'Íd,ld , dI la paliícllla en el tiempo t ;. su 'elocid,ul " t'lI 1111 11l1l1pO poskrior t ' .1t figura 11.15a Se dibujar:ín amllos 't'('tort'S ' \ , \ partir dl'lmisl1lo origen O' ( figura 1115bl. El ' e dor .1\' r¡lll 1111( ,1 Q , ' .1 Q' rt' pn'st'lIta 1,1 cambio t'll la n'loddad de 11 partíl'III.1 duranll' t'I ¡lIt('n alo dc tielllpo .1t :- a que el , 't'ctor y ' puede ol.tt'llt'r'l'.tI sllmar los 'l'dons , ,.1, [la, Cjut' achertir que .1y repre'(lita 1111 camhio 1'11 la din 'cciríll dI la ,t'locidad , así como Ull cambio eH 1.1 ro/'id,: 1.1 (/(,c!r'rtleitÍlI/ml/l/n!io de la pa,tícula sobre el inten'alo de tlt ' lIIpO .11 SI' dl'fill(' C0ll10 1'll'o<.'Íl'nte ('ntrt' .1,' y .1t. Puesto que .1, es 1111 \( 'dO!" .11 1111 escalar. el COC'Íl'lItl' .1, .1f es un "cctor de la misma dire('l'Ír;1I qlll' .1, 1_1 (/(,c!f'I'l/(';'ill in,'m/flÍllc(/ de la paliícllla en el tiempo f se obtiene al tOIll;l!' ' 11101"l's cada H'Z lII:ís y Ill<Ís pequC'tlos ele .1t ;. .1, La aceleradríll illst.lllt:íIlt'a SI' !'epn'wllta ('11 cOllsecuencia por meluo del ,'cclor
(J
(1
r'
/
.1, a = lílll - :'1 -(1 .1f
y
.\1 al" 1'1111' qUl' la \('Iocidad ,
ulla runción "ectOlial \'\f del tiempo f, t'S posihll' re['I'lirsl' al lílllite dell'ociellte .1\'/ .1f como la deri' ada de , l'on res[wdo a f. Se escrihe
I
I'S
el\' a == tlt
) t
,1
gur. " 15
(11.1-;'
(111'1)
St' llhst'l'\'a r¡Ul' la aCl'll'ral'\(ín a I'S langl'lltt' a la cun a dl'sclit" por ~I p\ll~t.1 dd 'l'c~)r , cuando l'stl' último SI' dibuja desde uu ()ri~cn hlO () \h!!;\lI~1 ll.l,:)(' , <¡Ul'. 1'11 gl'nl'raI. la acl'leracióll no es tan!!;t'lItl' n la tm\l'dori'l dI' la partít'lIl~l (figura 1:.15c1l, La cuna descIit;I[;tlr 1<1 ['lIl1ta ti" " t' IIl1[¡cada I'JI la fIgura Il.l0c) SI' t'1l110Cl' como la h()(M!!.mf(/ tI,>1 1110\ illlit'nto,
Y
644
o.tI r"lonlar
, 1 1os I'I('~ dl' la, propwdad(" «' 11111
, prodllctos,
SIIIIl
!I'fPl ,- !Ir f t!P ~P + rI" - el" d"
( 1121
' Iru'fo rl'clo/"ial de, dos dl'rhadas dcl/!ro!l"cfO ('SI'(I I(Ir ~ l' l/11"( , rlIn'1 es P "y Q ["1 pUl,(1('l 1 l)llll'lH'rSe C1()n('~ '('l tona · de manera slIIlllar. S , (: IHIS
tit'JH'
tI (P , Q )
ti"
dQ !lP , Q + P' dll dll
-
tlPx Q
dP dll
rI"
X
Q +P
X
(1122
dQ
01.23)\
c/ll
I ~I\ propit'daelps ant(',s ('stabll'cielils pueden emplearse para df'ter. IlIin,lr 1", ('UIII/JO/lI'lItn n'('t(lIl!!."larn di' la tll'ricada de /lila función I {'('torin! PI/ I)('Sl'OlllpOni('ndo P ('11 cOll1poncntes a lo largo de los ('J(" n'('lall~\IIi1rt's fijos x. 'l.;:; S(' ('scrihe
01.24) dondl' 1'. /',/ P son las cOl1lpon('nt('s ('scalares rectangulares del "el'. lor p. " i. j k los wdores IInitarios correspondientes. respecth'amen. tl' .1 lo, ".lIS \ Ij";:; (sección ~,I ~ De aCllerdo con 11.20>. la derh'ada d(· P ('S igual a la Sll1lla dp las d"rÍ\ at!,ls de los términos en el miemIno dl·llado d('f('c]¡o, PIWStO <¡lit' cada 11110 de estos ténninos es el produdo d(' IIl1a ('scalar,, \lila fllnci<Ín n'doria\. se debe usar OLH}, Pero los ",don's IlIlit,n;os i j , k tll'Il('1l ulla magnitud constante (igual a 1): 1'11 din't"('IOIH'S fijas , Por lo tanto SIlS dl'rin1das son cero, ,,'se escriben ,
dP
tlP, .
---:-- I
ti"
dll
t-
(11,25)
"i Sl :1<" i('rl<' (1'1(' los t'O,'fll'Íl'ntcs de los H'ctores unitaJios son. por d(,f¡nit'Í<Ín, las t'ollljlonl'ntl'S esmlares del "("ctor d Pjdu. se concluH.' CJI1I'!0\ ¡'(I/lI//III1('l/fcs ('sclllal'( s rectlll/gll/ares de la dcrit'ada rlP!dll de la jilllCiáll ree/orial P(" se obtienen ,11 di ferenciar las componentes esealan's corn'spol1(lil'nles dl' P
Razón de car Cuando el ,'eetor P es una flllld6n dd tiempo /, Sil deri"ada t!P jdt representa la ra::,ól/ de ca/1lhio ell' P con n'specto al sist('ma de re fert'ncia Oxy::., Descomponiendo P. l'lI t'OI11[>OIlI'lltl'S rectangulares, se tiene, por (11.:25).
dP dt
dP,.
~-".
dt
i + dPy . +
dt J
n, al utilizar puntos para indicar difer('ll('¡"lr'I'O' 1 ' "
1
t t con respec o a . ( 11.25'\
IPut',hl 'Itlc' el producto \'l'(:hmal 110 t" l"OIlIlHltlti\11 e I l()\ IUCt01'l" un. I tl (e t'll Ia l'(:lIaci()11 \ 11 ~:3 l
\t"n.'ión '1.-4 •
dt·!lt'
rn.lIIlent'~e f
I
11 I uhll7.a1'
I
11.1 de Wl acal\til"do de l.SO m _ JDguIo de 30" con la borizoOtU. ca) la distancia hori7Dntal el
:::! ..
,
l·.
el uelo. b) la elevación
~
SOLUCIÓN Los movimientos
1m miento rtical. uniforlllelllente acelerado. I positiw del eje y hacia arriba Y ituando el origen O
( ,>o -
(1SO mi ) sen 30° = +00 mi ca = -9. l mi 2
en las ec:uacion
del movimiento Ilnifonnemente
0, -
Oy>O
v, = 00 -
v: ..
o,~ + 2ay
v:
+ al 'J - o,lot + ~
9. 11 y=~-4.~ = 100 - 19.62y
horizontal. \1m imiento unifonne. la derecha. tiene del je r mi
Al elegir el
ros 30" = + 155.9 mi
en las ecuaciones del movimiento Ilnifonne. se obtiene
:r - (0.>01
r
= 155.9t
uando el p~ choca con el
'J" -150 m la eeu.ci6n (2)
el movimiento
ti - 1 .37t - 30.6 ... O (4) para el movb.AaltIo
:r - 153.9(19.91)
.c.ndoel
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11 92
..... P11... 11
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U movi"ll"n)o tridiIJ1"n~lollal d,' IIlIa partkllla , .. d"fill" m(" dillllll' .. 1 \(Octor d .. pO'id"'" l' ( HI ('os '0,.1 i + d j t (HI ,,'11 (o"/¡ k 1)"ler_ 1111'1<' la Ih,lgnitud,,'s dI' '1'Iocidad ~ la a('('I, raC'Íón d .. la IMrtÍ<'lIl.l, ' I K'I t'lllV"oI esp,u,ml (1"(, d"<<:rih(O la partícllla "s IIl1a h(,li('(' cr'>IIiea. 1 11!'17
654 1/
-/1-
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)
·11 98 El 11 11 "'11 lIU'nto tneli'""lIsiollal d"lIl1a partícrrla SI' d"fin{' Ilw,IJanle el ,,-,('tm d,· J!0\('I(,II r = {, \I ( 'OS I , i + tJ \ ,,0" + J j -r BI \('n I ¡k dOl\(k· r y t SI' .. ~lln·s'lIl '" pi," \ S('~llIldos n-slwc!i\'arrwllI( Delllll('sln' '1 nl' la C"IV" d"s .. nl.l po, la partícnla 'l ' I'lIclI,'nlra sohr<' (·1 hiperboloide (1)/,\ )2 {x/,\ )l J Z I /l) 2 , l. Para J \ = :3 ~' /~ = l. (!t'l<-nllilll' {/ ) hs magnitudl's de wlocidad y "<,, 1, 'r,l('i';1I ClI,llIdo 1 - O h ) (·1 "alm el,· c('ro más pequeño de t para ('1 <:lIal los \I'eton's d" pmi¡-¡(¡II ) ",1'K'idad son ¡lI'r¡wlldiclllares entr<' sí. 11 .99 l' " '.lIt.lllm d,· ""Jllí i"icia Sil salto con lIna n·locitlad de desp( g¡II ' .1" 23 III/ s )' atl'rriza soh .... 1111;1 p"lIdiellll' reda de :30' de ínclinaci,ín, J)de rI11IJIf' (/ , ,,1 tWIII¡>O tnlllS('lIrnc1o ,' nln' ('1 d('sp( \!;lll' ~' pi alerrizaj(,,!J 1la longitlld el d,,1 saIto. ( ) 1.1 11 "1\1 lila c1istancia n ' rtil",11 (1'1(' hay entre el esqllía, dor )' 1.1 l)('ndlPlltp ,,,hn' la 'JlI! all 'n'Íla ,
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Flgurll P11.98
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Figura Pl1 .99
11 .100
l ' IlJII\,(adoJ' d,' \,(011" dllígt' Sil tiro par,¡ que P,lS€' por encima de 1111 • ¡hol ,1 1111;\ di-t,ll\('ia h ,'11 ,·1 plllltO I1Iii\.iI110 de la trayectoria \ e\;tar que 1.1 PI lota t-,Ii!.!;a "11 ,,1 ('stan'llll' d,,1 lado Opllt·stO. Si la Illagnihld de \'" es clt' "\It mI" dl'l"rtllil1" ,,1 mllgo d" \11Ion" dl' 1, ljl\(
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Figura Pl1 .100
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11 .101 l '11 'jllgado¡ d,' _Idol1l1l.1I10 ltnz'l . . . . " 1111'.\ Pl' Io ta l 1l"\( 1(, A con \t ¡ll<,.d.\(1 honmntal ' o' SI d ~.1,),11 . dt'\l'nlllllt' a ) ' ,1 \.1 1ur 11(' l'o ¡,.Iro t'1 .1 1. ClI,U'" 1a 1'''1'1111;1 ( ,J, ) l'1 1',111"0 d ' 1, I Il<'1ot,1 ~o IIJI'·m1'·11 I 1 • " ~ (\.101"" l' \' IMm 1" CU.I' 11 p' 1ot,1 )!O I¡l< .ml la n'gtiln ""llIil1ad,1 HeJ), Il
1 102
A
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Inicial "
el . . entra en la
..... pu._
1 na jugadora d,. 1"IIIS SIf\" '" 1'"101,, a 1IIIa Hltllra 11,(;011 velo.
11 106
(Idad IIl1cial d•. 10 m/s \ állglll o .1" I n"pedo iI la bon/ollta!. SI la pelota piL~.11':;21J11J1 por arriba d,.la wd ti" (UJII 111 dI' ..110, dd"rllIlIlI'l/lla altllra " /¡) la dist.tI",i., ti, dI' dI' la r('d , "11 la ,["" atl'fri/dI la 1)1'101,1. ~
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Figura P11.106
l ' I'" ¡';tlHI., Irilllsport.,dol~' '[lit' fOfllla IIIl ángulo de ·JO' tOIl la Ilon;wllloll t' lisa I'am (';,r~al IIIl a,'iúll . :,i (,1 trahaiador lall/,a (,1 paquett' (;01] ",I,,<"id.,d 1I11<'1.d "1) a 1111 ,íll~lIlo .1" \'5 d .. III;lIll'ra que S1I \t·lo<:Ídad es para11'1.1 .1 I,¡ 1>,111<1.1 (lIalldo "lltn'lI "11 cOlltado a ,3 ft sohre el plinto (\{, lalll~l llIi"1Ito, ddl' 111 11111' 1/ ) la IIla~lIitlld d,· r.h f¡ ) la (h .. tallcia horizontal d.
11 .107
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jll~'ldor dI' golf goll)(':! IIlla p"lola con ,elucidad illicial dl" llIagllltlld 1" ,1 1111 ;¡Ilglllo Ir ('011 la Ilori/()Jltal SI la pelota dc'be p¡LSar por l"1J<:1111;1.1,· 1m dos úrh,,¡", )" alnnzar lo 111:1', ('(Te,t posible de lIna handera, deIl'n1l1t1(' 1" la dislallci.1 ti tll;lIIdo t'ljngat!or IItiliza a l 1111 palo IItintero seis COIlIt :\[ /J ) IIlI palo IlIílll('ro cilll~) COII a ~ 27°
11 .108
Figura P 11. 107
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Figura Pll.1 08
11 109
lit homhr<' ullliza ulta harn'dora de niE'\'c para limpiar el ac('('Sil 11 'u lx)('IIt·I~\. Si la nit,\(, '" t1('sl"arga a Ult úllfTulo promedio dE' .!(t con ::1.\ lroriZOllt,d, ddl'nnin(' la I~tpitll'z Inicial r" dE' la nie'E'. 1 - - - - - - 5 1 I l - - - - - - -.jI
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11 .110 e na " jugadora dt' haloltl"t'sto .. ' hl1Z'l • '. un t',ro ('u'ut(IO se encuen' ll t'm. SI la (",Iota tit'lIt' ,t'l,,,.' 1, \. , ' l · tm a 5 ID • It' 1 ta) ~ 1, .tt IIlIl'n " ·t UII. ángu1o de .lO (~1I1 1a horizolltal. dl'lt'nnint' l'l ,'L1o/' ti • \' o· m • ')')" "() IHIIl. • l 1'" l"lIalllO eles i lal a al :.;;.u lIun, 1J4) . .~~
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agua a alta I ~I agua : d la qurelagua b e160gulo
situ8daeo
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I M I~ nll(II/II/ " I/hl/'llidas ('\pn 'S<1I1 !Pll' la (,O Il1J10/ 1CII /(' /alli!.cllrial d/ 1.1 ¡(('!' I, ' rad!;1I (·s ie;lIal a 1.1 m ;;:,;" tll' CIII/dúo di' la t'elol'idad de la
/llIrllCl/ltI 111 lanl" 'lIt(' la ('/I/II/JO III 11/ 1' /1011/1fI1 e s igtlal al cl/odrado dc 1" 1,1,)( ;t/I/I/ dI! ir/idll /'/IIr1 ' d mdi" dI' "IIITa/l/m di' lo /mljl'c/orill f'll
Fotogralla 11 4 Al VI lar sobro la par te curva de pi la. cnda dellsla está sUlelo a una componI normal d ae leraClón dirigIda haCIa el conlro d curvatura de su Irllyoctorta
/' ", ,lIl1ll1'lIla la \(I"cidad d I' la partíc tlla , (/, (' S poslti\" y la COIII[>O1It1l1! ' \"donal n. i1Jlllllta 1 11 1,1 din 'ccil; n (\(' 1II001Illi(' nto. Si disminll\'(' 1./ \/'Ioudad d( la partíc llla . 11, (' s 1I ('~atl\ a y a:, aptlnta contra la dirpc(' 1011 d(·1 IIHI\·lIl1i/'lItO . La COlllplllt(>ntC' \ '('ctonal a n por otro lado, 8;1'111/1I'l SI ' tlin '.!.' , !'III'lO ,·1 ('( ' /llro ti,· 1'11/1'I1tllrtl de la trayecturia (figm
e
c"'-
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x
Figura 11 .23
1)" 1/ I anterior SI' ('onelll)l' qut' la cOlllponente tangencial de la aet'InU\·jt'lIl rdhja tln (';tlllhio l'n la \l'Io!'i
I I l'
•
I
OP
alele ratlMl.
11.13 para
de. dldo
PROBLEMA RESUELTO 11.10
•
n automovilista viaja sobre una 5(.occión eu!" a dI' una autopista de 2 de radio a una de 60 milh. El apUca los frenos, que el autumóvil SI' . a una ta~ I que de 8 la ~doddad St' ha reducIdo a 45 milh, !le la ac Ieradón autummil inn\{'Jialarnt'utt' dI' pués de que se han ~ l..Jo los frenos
SOLUCiÓN ( umpont lit hm~t'ndal clt' 1.1 ,1(:11,1 u:iulI. In fV .
60 milh -
(..oIlKI'
(~)(52S() I
I1
I allturnmil d,'sal'dl'ra 11
a,
prume
de que los frenos
tilia
~
III
Primero se
ft)( I h ) = AA fVs i 3600 s
4,'5 mi/h = fi6 ftls ta~ a l'Q\lSt,IIIIt', St' til'II1'
_ 66 fV -. s,'i fVs = -:2.7,5 fv 2
001 lila 1 dt, 111 lIu'I,'ral'ioll. Inmediatamente han aplicado, la \elociclad se mantiene en ftI
tiene (J
"
JClÚtud de la resultante
=
(;2
p
= ..:...:,=-.;.=.:-
dil'l"Crión dt In 1I('('lt'nal'iulI. La magnitud y direcd6a de las rompont'ntt' y a, son tan a
=
(J .. (J,
= 3.10 ftJ 2 2.75 ftI
-
a
2
3.10 ftI
2
RESUELTO 11.11 ...tI., ",fuimo de curvatura de la travectoria descrita por
el problema lesuelto 11.7. '
la ac leral.'ión de las par-
111a
a
11 la
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1 166
I I
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b el valor de •
I..ración
1 l. • IUC."I,1ad 11 167
+
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l n I 1f1 111 1 Jllt • I lo 11f~f) d, 1.1 t' pir.11 quc' 1),1 rl 111 111 '11111111 d, 1 1 • IUd,!.,,1 d .. la p•• rtíllJla O
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679
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lla
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111 • Figura P11. 192
Figura P11.191
11. 192 s,· d, ,mrga (',lrI,(íll d,·,d .. 1111 ('¡lIlIiólI de \ (Jlteo ,1 \ ('lo{'ulad ini, l'.li \ ( 1(' 1 S 'lI 's ;y" .lO par.1 '111' (,U~'I \I,lm la handa trallsportadora Ji, 1) 'I('nlllll' 1.1 \. 1"("Id.ul n'qll!'nda \ • 11 la I>anda si la \!'loeidad relativa ton II ('lIal .·I\~lrh(1I1 hau' Ul\Il.Il'l1l (1111 la I>allda dl'h(· ser al \ertieal, hIlo 1Il'", P' CJUt (1,1 posll>l, ..
11 .193
El p,ls.ldor.\ IIl\1d" al (·,lahón/\B l'St.¡ restlingido a 1\10\ ('r" ('11 ti r,lIIura (¡n'lIlar ej). ~I "11 / - o • I pas,ul"r l'llIpl,/~1 ,1 mOH'rs\' d,' lila, lIt'r.1 in _'sl ddt'rlllint' la m.lgnitm! (), '11 an·I"I1I,'i,íll tot,IIl'II,lIId" (/1/ -, n, h / = 2. s,
f)
• , ') In
\ 30-
Figura P11.194
Figura P11.193
11 ,19
Sl' tI"sl'arga earh6n tll'sd(' la pll('rta trasera de IIn camitÍll dc \0111',' a \t'J.l('itl,ld inid,tI tll' , \ 2. mIs '7.')0 I)('tl'rnlilll' el radill dl'('ur' \.ltlll1l d., b Il~I,\,·,'tOlÜ tI!'Sl'J"iI.l por I'Il'arhtÍn a ('n el punto,\, hl,'nl'll'lIl1t(! d., 1.1 Il.l\l'dona "tuado ,1 I ni por d,'hajo tll'l plinto , \ ,
.'1. 195 EII~I",illlil'nto l'n dos tlilnl'n'"llll" tll' Ilna partíl'llla se d"fine 1Ilt',It.\IlI., la rt'lal"lon r ~ fil I - 2" tI Y 11 - :2¡:2t t- -4" .!t), tlondl' r ,,' "'l'rt-,a ,'11 1"(" I ,'Il "'gnlld", ~ ti ,'n ra,h,lIll", J)l'h'nninl' la \ <,lnl'ldad \ la '1,~·kr.I' Ut'>1I (h- la 1',lrl;""\;¡ al "l"llld" t - O. ¡'\ "1\111,1., / t-Il'Hl 1l.' .l In '1'JIH 't o. (".'- \ (ju" • "tllldll""1I 1'''''.1., 1I,'gar,,' n"llt'do.l la tl'•l\l,,'t"I"I'1• ¡'IIl:t1 C. Il~ 1a p~l rt"llll? Il •.
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CAP TUlO I
•
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... ........ -"....,.,. u ........ gravedad, ............ ...
12.2, tkuIa no tuddela de la
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En la
1
una partfcuIa como ~ pj(IClucto de la partfcula. xpresarse n una fOm a1t mam de la cantidad de m0\1mk'nto Iimoal actúan sobrt> la partfcul La 'ón 12.. uhra la la lución dt pmhl 111 tilO Internacional de t: mdac:1t , ('n E tado l mdl En la! 12 - \ 'pil{" la !unda 1, tIt t \ un nil"ria utill7AUltlo ('01Il1l<1II' nt< ("al, ,\ nonnal( d. I.e IUf rl t n"('ordar '1'''' I 11 UII {"UI f1 1 n .,1 111 luulf autn\ll6\il. UII ('ol\lll o UII e (,"pililo I tkul.1 ('UII 11 hll dI .1Il.¡JII~tr 11 11 "111111 lit 1 1111' lit el (fl :In dC' UII.I mt.\('1Ón d. I "'1)11 I le J, .Ie u, 1.1 se: j.,'lIllILI partl tll 11 I ftulo ti. 11, L, ell l{onmllQ d. le l1)1IlJl
"1
m¡uwr.l partl{"ular .11IIU\11111( 1110.1.
l. I rt tuL.
111
la '('(1(m 12 7 l•• mili /lIad ti, l/k t'III', '" l•••lln,d("(\,Jr d,1 punto () ti. 111' ," IJ 111Jl(JJIJ( 1111 .&1 1.ll.lIltld.ld d"IIIO lJ1J1' IItn 11111 .1,1, 111 .rtl ,,11 ti. r IC I d(·dUl,{' de l.. '1md.1 l. dI \1011 '1''' I r,villl'l. 1.. , lid••d d., 1I10\11111(nIO .1I1"uJ.¡r 11, ,l. 111 Irtí uL, 1 wl J.. EII
.lln-d lor d, () d. 1, f", r l l '1''' "11111 " MIl La se:U1ÓIl 12.9 Ir 1I Itl rJ\e"lIlll. IIlo.k '1JI11"t IL.I l' ullafllC/-=a u71/ml ( lo ( 11)< I 1 •• 11111 ru. 1'/1 JO J.. d 1111 punID bJO o. I'IJ( lo 'III( 1111. fllt r.r..\ ,1; • t 111 111 1 nln.J..Jor d, () l: 'lldU\l (¡II' 11lIJ f\ 1 LI U I L.I Ir ;\11 '1.11.lr de 1.1 partí 11.1 IIn L: lor.1; () 1- a P"'1 L.I ra ('on ¡de rabIe tI UJ.íh I ,k 1111<1\11111( IIln llr, 11"" ,....... 1.<1 ('t. nt ral 1 11 11 'UcJll 12 10 aplK la ,¡ K I (';\11 el IIIrnllnJl lito orblt 11 tIi (111 TI 11 Ir IMt [('( '1 JI" d. 1 l. 11 11 l. 1 "fI('''I'"';&Io~
mOIllCIIIO
dI 1 u b f '"
692
.1"'1 h, d. 1 rr 1, JII ro II( lO di I "" " • 1
IÓIl II¡
rI
~
LEY DE MOVIMIEN I o DE NEWTON
122
puede nun(.1ar de la manera siguiente: que actúII obre una parl{cula 110 e~ cero, la pn1pOP'donal a la magnitud de la resulde Ma foer=a resultante. movlml nto de ewton se <.'Omprende mejor al mento una partícula somete a una fuerza magnitud F J • Bajo la aa.ión de esa la partícula n línea recta y en la diree12 lo la posición de la partícuncuentra que aceleración tiene una repite con fuerzas F 2, o direcc.lón Agura 12.tb y e). se desmu en la dirección de la fuermagnitudes (J 1 as a3• ...• de las ace-
nda ay
•
a
b
a las magnitudes F J• Fi. Fa. ...• de las e
... = constante
figura 12.1
para el
deJas de la fuerza • la t
la
l.2.1
693
de
en Iizarse en c4Iculos de
F
figura 12.6
llb
consistente con las En cuando lCtda Iobre eIJa do se somete a su ¡noplo ~ la de l. gravedad, g - 32.2 ffl.- ( que requiere la ecuación (12.1) pie, la libra y el segundo la ft/sz cuando se le aplica una llamada en un después de sustituir 1 lb escribe F=ma
figura 12.7
IConocido tamb~n como _""'"
11b
1
698
Componentes rectangulares. Al desc'olllpOII('r cada fl\(: . a ('11 COIllPOIH'III('s r('dall~1I l ar(' , 'i(, ('scnll(' ' ·'I.a F y I:t a('(' I('raClóll 'Y,(P,i ..... F,j
dI' lo c¡ 11('
Sl'
+ F.k)
/Il{{/.i
+ fI,/j
..... fI.k)
(lt-d 1IC('
'::2F, 11U1 , ~P'I - /Ilfl,/ "'2.F_ = 111([ _ (p t - Jl) Al recordar d(' la s('ccicín 11.11 que las <:OI11poll(,lltes de la acelf'r' " . 1 ~Ion SOIl 1.!.!;1Iall's a la SC'gllllcla el('Ji\ada ele las coorc ('nadas de la partíc:l\l. O"::
. 111'11('
a, .se.
~F,
=
LF IJ =
1/1.\:
I/!V"
C()llsid(~r<'s(' COlllO Iln <'jt'lllplo, el l11.ovimicnto ele un proyectil.
S
Ignora la f('sistC'llcia del aire. la línic(\ fuerza (iue actúa sobre el p 1 )'(,ctil desplJ(~s de qlle é-ste se ha h~nzado es S1I peso W = - Wj. En c~~: S('clI('n<:ia, las ('<:II
1//\:
~
I//U =
O
'"
1//;: = O
Y las COI1lPOIl('llt('S d(' la aceleración elel proyectil corresponden a .\' = O
..
!I = -
". =-g
..-
111
~
-
O
dond(' g ('S H.S I 111/,,2 o .'32.2 rtls". Las ecuaciones que se obtienen se illl<'grall de lIIallera independiente. <:01110 se muestra en la sección I 1.11 , para O!Jt('IlN la velocidad y el desplazamiento del proyectil en cualquier illstallte. Cualldo Ull prohlema implica dos o más cuerpos, las ecuaciones de mO\imil'lllo debe]) escIibirse para caela lino de ellos (\'éanse los pro· blemas resueltos 12.:3 ~ 12.4 ), Se recuerda de la sección 12.2 que todas bs aceleraciones deben medirse con re'ipecto a un sistema de referen· cia ne\\toniano E n la mayolÍa de las aplicaciones de ingeniena es posihle ele'terminar las aceleraciones COIl respecto a ejes unidos a la Tierra. a1lllqlle las ace!eracIOlH's relati\ as medielas con respecto él ejes mó\;les. como los ('jl'S u nidos al cuerpo acelerado, no pueden sustituirse en lugar dt ' a t']) las ecuaciones de movimiellto. Componentes tangencial y normal. Al descomponer las fuerzas)' la ac('leracióll d(' la partícula el1 componentes a lo largo ele la taJ,l' (tc'])tl' a la (en la dirección de J1lO\'Íllliento) .\" la nonnal (hac¡a . .. .tran'ctOlia . 1/
lF
IIli.ln
-..... Ic, Figura 12.9
"
el inl<'rior de la tray('ctoria) (figura 12.9) \' sustituir a la ecuacloIl Sl' ohtielll'1I las dos ('clIaCÍones escalares'
,dt,
"'2:. F, = 11/
Las t'clHldol\('s
1 (/
v2
(12,9')
"'2:. FI! = 11/-
P
•
({l1('
~.~
(12,9)
'ZF, = ma, LF" = II/{/" Al sustituir (/, y (/", de h; e<:uaciolles (11.-40), se tiene Fotografía 12.1 Cuando viaja sobre la parte. curva de la pista. el trineo de carreras está SUjeto a una componente normal de la aceleración dirigida hacia el centro de curvatura de su trayectOria.
(p ;JI,
't¡¡S,
se obtienen pueden resolverse para dos JIlcógru
.
,-
12.6. QUILlBRIO DINAMICO \1 01 II 11.1e 'Hl lIin 1)" \ tJ'l 1 ....- . Spolll'r (, rniPJ nb ' I 11 I ({ n)'.l I 1 l gUlld.1 1(,\ dt' {'\\'t l i J O ((' ,H () , {)IJ (n a orilla ,t1II. rna tI\¡ 1 71/ a
(
1
()
(' r('(' IIO,
( 12. 10)
r
(11 1.1 IflJ(' l' (' pr(' d (11IC' ,,¡ S ' SlI l1l a (·1\ (·('tor , , 1, ' , I ., 1 " " I . //1<1 el ,tS lIPI-zas (jll( ' ' 1('tu,lIl O)Jt d p.u tlU I a, '1' u l'/ /(' 11(> /(1/ ... is/ ' / .,,, " f'! I :) ~ , ( ///(/ (( I ( ( lor('s ('(I'I/I'(/ltl//(' ellll Jlj.,'ll r.l :....101. 1'.1 \ ('('ll) r II/·t dI' I r 't ! 1 (/ . ', lI,Il..,11I 11( II/f! \ ' e (, di rt ' ( 'citÍlI I la .t e l( 'f'¡Il'I (lIl S( ' d( '1I01l1ill'l 1" ' / • 1 : (l/JIU la .1 1a «' , '. . ' • (( 01 (1 ' I/U'/"( ' /(I , De' hl modo, ('., fae! l b lt' C'oJlsal! m I (jll(, II !)'lrtí('III '1 's t.' '1 '1 . 1 . ( , ,. ,_ • " '" ( , 1 ( ' 11 ('r¡1JI I )110 )alO la ,1 '( IÓIJ d l I.l iIU' I('I" l S " 1'" I ' .. • , , ( , 1 11111 , 1 1111(' ' 1 Inr-
t¡71 ilihrio rlíl/ríl/l Ít '() ..\ (,II)J'ol>l(' III ('1 /111( ' S( ' • "
lÍ{'ulil (sl:1 (,11
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dJa"lt·los IIl('tO
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(OI1SJ( (' ra plll '( e :L1Ill's ( ' 11 ('státi('a ,
F1
1-.11 el ca () ch, fW'I'Z:l<'¡ {'oplalliln ':i, todo.., los \('doJ'('s 11"(' se ' 1l11lC'Sl!'tUl ('11 la flgll Lra 12. 10, Iw'llIl/t 'I/r!(/ 01 I'( 'I ' I(//" tI( , illl ' l'I ' i(/ , 1)[J('d('11 t r ,1/.tll ' " ,• , (' 111 11
I
( l
P U( 'S
d( ' 1 o tJ'lI pal d I()J'Illar 1111 p()lí~OIlO \ ('dorial ('('rrado,
l:lIl1b i(~1I (' 'i j>o'iil¡l (' igll ,dal' a ('(' ro la \llllIa dI' los ('olllpoll('lll( 's d(, todo,; los \ ('don '. ('11 la fi gura 12. 10. ill('llI\('lIdo di: 11111'\0 al \('dor de' 111('1'el,1.
1'.11 con
lTlIl' lI l'ia,
11
an la s CO Ill J ulI (' lIl( ' ~ tall~l'II( ' laJ
\{ ni ' IIt( ' n ' p n
P(
,1\ l
(' J}tM
li la , ~
IIp nll'
;lIclllyCl1do el ('('ctor de inercia
""
Cu,mdo se
1I(, llk tang l ' Jl
r¡u{'
n pr(' p illa
Jo: ,'ror
Jl(' ' ('
(.'('r )
II
Figura 12,10
12,11 )
y 1I0rJlI,d , !'('sldta IIlÚS
, t()1' dl' illl'rt ia pOI' lIl<'dio
d('
COII-
dos COlllpO-
SIIS
ma " \' 11 (· 1 llIi:'IIIO dihlljo (ll~lIl'a 12,11 }, La ('0111-
'jal
d\ '1 \ (' ('(01'
d( '
illl'rda ol'r('c(' Illla 11t('(lida (JlI('
rl 'ii l(' IlCÜ de la p a rlíeula pn ' \l'llla a t,mlo
1
IIti li7.
_ y- n
()
o
1/1
tUl
call1bio C'JI la \C,locidac!. ('11
C'O JIlpOI](,llt( · Il() rlll al (t alllhic~lI lIaJllada.///(>/,":(/
la lt'lJ(It'J}
'ia
la
el!' 1.1 partíl'llla H ahalldonar sil
cenlrifllga )
trayl'dOlia <:111'\',1.
anu ad\(,rtir quP ellalqllil l':l d( ' ('stas dos COJllpOIH'llt('S pued(' ('11 cOlldicillll\ 's ' lw<.'iclle : I ) i la part íl'lIla pali(' d('1 n'poso. su
\ ploC'iebd imdal cero l' ll l
lar{r( de su
('S
cero y la 'CllllP()IH'lItC' lIoJ'Jllal d('1 \ '('dor de im'l'c.ü cs
(J; :.. ) si
la
tra)\:'C1orta,
partícltlil ('
11111('\('
COll ,,('Iocidad COJlstaJltc a lo
la CIIIIlI)()IIl'llt(' taJl~('lIdal
d('1 \ ('dor
r
,.
<1(' inercia es
('( 'ro \' sólo , 11! ce ari() c'ollsidl'rar SIl C()llIPOIH 'lItl' 1I0rIIlal. ()elmlo a C¡IIt' lllid(' la r(':ii~tl JIt'ia qUf' la partíclIla o/'rc(.'(: cllando se trata dp pOllPrla (:'11 IIHI\ ¡IJli('llt(), o ('lIalldo S(' illlvllla camhlal' las COl~ di 'iolle dI' C'Sll' Illi'il I() , I()s \ ('don'\ dt' illercia a 1lH'lllldo SI' denOll11n.m {lu '-:'0 de il/l.,-cia Sin ('IIIJ¡ar~o. las 1'1It'1?,aS di: illnda 110 SOIl siJl1ilarC' a la,; <¡1H' '{' ('lll'lH'lltraJl ('ll \'stütiC:L, 11',ll' S,OIl fllerzas d~' COJl,t~lctO, o (Iwrllls gr:l\itcll'iolJall's { I)('\()~)' Por C'OIlSI~lIWlltl', Illllcll.IS pe ISOII,IS "f'lIl'I'Zi!.. ('lIall( 1o S(-.'I('l'I('r('n ,ti \'(,dor -lila. o 1ljf'tan \,1 uso d(, 1a pa 1a)11I " 1 '1'1' l' ' " Otros 'llmllan que o in ,luso (" itan ('1 ('(llIceptll 1 ('CJlII I )no (lItallllUl. , ',' ,'," r: 1" 1 ,. ~," .. 1 " . )1110 hs ¡q"l\'ltaclonal( s, ,1r( c." ,:-.', " ',1,' Ia 1\1('1'/." «(' 11\('ITla v as 1ll'IZ,lS I( ,l( s, 1I , ' 1 '" f' , " 's I)OSJ hl(' cbstlllgll ll ,1S lall nI\(' 11'0 "'('Jltlc!OS ('11 a IIIlSlll.! 01 1ll,1) no t" " " . ) I 1, , ,", "1 'n 1" I t' levador <¡lit' se accpor IIlpdi 'iOIJf' Ir Jeas, l 11 10111 III qll( \ I.I} t , 1 1, , ,_ . . -. . Sl., lt'l IllCl't'llIcnta< () « Jl1,1Il( Itrillt.\daaniha})\J('d('s\'1I11rqll('SlIptSO , 1 ' l ' 1 "1 ,t ,1, lelltro dt'1 (' ('\ a( OJ PO( n. ,1 r,l J('lwntllla, \ Jlillgulla 111('( 1Il a (' l'( 1I,ll ·1 C " , 1, . cJ'('JlH'lItado de ( llhlc'(' '1' 1 (.sl(' ('11 \l'rdad (' ,tá ilt'('I('rac l o o SI SI' l,tllll'l" " , l' l · t" 'ci(¡1l ej('rcida por a Icn.1. IIl.lIll r,l repentilla a IlJ('17a ( (' ,1 Iell 1 1 ' ,11, I'IS J'cslIcllOS dc ('sil' l·' 's l (' os plO ) ( 11 , . ' . (' ha 11(' 1i1do a l ,IS so 11( HIJI(, 1 1 1, 1,\' dI' ;\'l''''ÍOll, COJllO · ' , liJ'f'd'l (1' a S('gllll(.1 ( '1' lc lo lIH'dianl( 1a ap l ll'at'IOII ( • ' I " ! ' (:1 Jlll;!odo dc l'<¡1lI 11'') ~ ·1') q \' 110 1I11'( 1.111 ( ' l il" Ir t eJl la f Iguras -, ) -"', lino din.ill1ico,
«'
11
F
FJ
o
lila, lila"
Figura 12.11
1 ........
PROBLEMA RESUELTO 12.1 l n hlwl'l( (h· 200 Ih de '<111<;<1 <¡olm' 1111 plano horizontal. Ddennine la mag_ Il1tt~d dI 1,1 fu< r.t.l P (111t' '>c rl'qIlÍC'rv para dar al bloC¡lIe una aceleración de 10 ft - k\('ia 1.1 reclll. El COl' fki l' 11 k dp fricción dlH~tiea entre el hloque y el
pl.mo ("
IJ.l
o.~:).
SOLUCiÓN
111=--
,... (1
\
200lh 2 = 6.21 lb . s2/ft 32.2 ftls
2 (' tit'llt' fJlIC' F = IJ.J..S :;:: O.2.'5S y que a = 10 ftls . Al expresar que las zas <¡1If' acllÍall obn:' el bloque son ('(luivalentes al vector ma, se escribe
{.¡
I I
r _~
•
'"
h 2\ lh·
I)'&.1
ft
-_I' l =
1/10:
_F" = O:
P ('os 3()0 - O.25N = (6.21 lb . s2/ft)(lO ftls2 ) P cos 30° - 0.25N = 62.1 lb X - P sen 30° - 200 lb = O
\1 re oher (2) para X) u tituir el re ultado en (1), e obtiene ¿ T
= P en 30°
+ 200 lb
P cos :30 - O.25(P en 30° + 200 lb) = 62.1 lb
PROBLEMA RESUELTO 12.2
p -151
PROBLEMA RESUELTO 12.3
[)
Los do blo(!'\(>., (lile "e IT\lIPstran (>mpít'z
,
SOLUCION Cinem{lti('a. ~l' tí('11P (!I\(> si l·1 bloc!1w A SP 111IlP\('\a dístanc:iax,\ hac:ia la d"n'l'ha, I'l hlot¡lIl> H
Al dift'relll'Íar do . \ ('ces
('Ol\
n's!wdo a 1, se tiene (/ R
(in~tiea. T
1\
11/
~
(1)
SI' aplica SIICI'sh'aITlt'nte la segunda ley de
= 100 kg
(2) Al observar que el peso del bloque B es
W8 =
= 300 k,
t1I8g
= (300 kg)(9,81 miz) = 2940
} al denotar mediante T z la tensión en la cuerda BC,
+ ¡l:Fy 2940
msaB
e\\ton al bloque
1\, el hloql1P B ) la polea C. Bloque \. Al deBotar Ill(·diante TI la tensión en la cuerda ACD, se escribe
Bloque B. /1111
=
1 i(l,\
0,
escribe
2940 - T z = 300aB
= mBllB:
al u tituir a8 de (1),
300(ia )
2940 - Ta = Ta = 2940 - l50a
T
Puesto que me
+lU, ... fI'IcCJc
1:1
supone igual a cero se tiene T. - 2T1 = O
O: (1
(3)
en (4)
294.0 - l50a - 2(100rJ ) = l~ - 35OrI. = O
'-~
(3)
PROBLEMA
ESUELTO 12.4
El bloque B de 12 lh empieza a moverse el reposo y desliza obre la cuña A de 30 Ih la cual está sobre una superfici horizontal. i se ignora la fricción, determine a) la aceleración de la cuña, b) la aceleración del bloque relativa a la cuña.
SOLUCiÓN Cinemática. e examina primero la aceleración de la cuña Yla ración del bloque. Cuña A. Pue to que la cuña está resbingida a moverse sobre la fici horizontal, aceleración a horizontal. supondrá c;¡ue ésta ta hacia la
La
Bloque B. ma de la
aB
de
del bloque B
ydela
-donde
stá dirigida a lo
aplica hori70ntal
-
la
de la
+
un
ción
de la
y
En lo prohlPlllas de esta secd6n '(' aplicará la segunda ley de movimiento de eroflm, _F lila para relacionar las fu('r/..m¡ (lue al'tímn obre una partícula con el mo\ímic'lIto de ('sta misma. l.
f crilllm ele las ecuaciones de modmiento.
Al aplicar la egunda ley de
('\\ion a lo tipo U(' 1ll00;lIliento que (' e. tudian en e ta lecci6n, e encontrará más (.'011\ t'llit'nh.' (' pn' ar los wl'tores F ) a en términos de componente rectangulan' () el«' u. ('ollllx)J)('ntes tangencial)' normal. (uando e utilicen componentes rectangulares y recordando de la d6n 11.11 las exprt· iOlle que e obtuvi ron para a r , ay y aZ, debe escribir a)
b)
la
Cuando 11.13
•
xpre Ion
qu
dv
2F, = m dt
12.1
r lula, o. Cuando el como en I r su Ito 12.4, a Bcomo mm: .mi
=
litO
+ a , unido
o
,la
B
se queB
y n traslación. i lo largo de or obo lado, si circnlar, la debe nolmaJ a
12.1
1I d l!t'ra HlII {\tlm\.1 .1 1.1 h.1 de 1 '11 I:lv 1I 111 I .1 dt IIn.1 I
\',11 \tlrll .
si olll'i,lllIll'nlt'
l'
' ' _0 kg , (1t'll'nllllll
{'
\l ' 1
(Itllll(
IOll
1I1 1 1 tll ,11\
I
·1 111
t
\.1\1
('11
El \ .1101 dt' 1.1 .I! I l('r.1! 1011 It 1.\ 'l. • I l. 11 11 111 .-. t J d.\do 1 or J!. 70 ¡ l O OO~ ( n 1 ti 11 l. h t'tlellla (1 fl 'lo lit· 1.\ rold 1 11 d( 11 "ll! n.1 )111110 111 I III 1I 1 1 11 ) l' l' tt'll( .1 , 1 Ofi('I.IIII\I'1I1t 1 It 1 ti 1 '11. do 11 111 I It \\11 1 r 12.2
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B
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12.4 Figura P12.3
\
un h
dt'tcllllllh
U Igl,1
l
11.1
b.1
(UI.I
d r
I
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l ' ll ,It(ohtt 1 ,1 ol tI 1 Itlll, el I 11 illgl ' J ( t 11 \I(·lItr.1 t 11 Irllt
d(' la ' 1Il'n ,1 \ l"OlIll h t.l 1111 I (Ir! 1I I l'.lIltid,ul dI' \110\ lllllí'nto 1m ,11 dd lIt 11\ ti 1.1 '11 'rT.I (' dt l lO 11\1 d t< 1 milI! el 1.1 ,¡I ~lill' .mk (11' t'r IIII/ulo dI el 1.1 lu rr I
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con: con:
C'llliC'irc1\lar dis('iJada para girar alrededor de la vertical AH a una tasa tallte de 7.5 nuVs. J)t'termine los tres valores de (J para los cuales el collar{ 110 S(' dpsli;t.ará por la varilla, suponiendo que no existe fricción entre el nu \" la varilla. • •
I I I I
1 ~.57 Para el collarín y la varilla del problema .12.~6, sUFnga que los coeficientes de fricción son ¡L, = 0.25 Y J.Lk = 0.20, e mdique SI el collarr deslizará por la varilla al soltarlo en la ~sición co~es~ndiente a a) fJ ::::: ~5~ h) 8 = 40°. También detennine la magrutud y la direCCIón de la fricción ej , cida sobre el collarín inmediatamente después de haberlo soltado. er-
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FIgura P12.56
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Un pequeño bloque B encaja en el interior de un corte de nura hecho en el brazo DA, el cual gira en un plano vertical a velocidadco: tanteo El bloque permanece en contacto con el extremo de la ranura IIl4s cercano a A, y su velocidad es de 4.2 ftls para O S 8 S 1SO°. Si el bloque (,()~li~nza a deslizar cuando () = 150°, determine el coeficiente de ~ t'statlCa entre el bloque y la ranura.
12.58
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12.59 Un bloqu de lico que gira a ciente de fricci6n
velocidad 12.80 a
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IIn ('S('('II,IOO ~l 011 Inl\l' 11111 pl.lt,¡f()nlla girulona i\ (1 11 (' t' 1I1dlL 1"1 CII ttlla pr~)dllCl'lOlI t('alral /)I~nllltl' 1111 "IIScl)O ~P ohs('rv/CL,I a d, ,I!~arsl' s;Jlm' b plal,donl1a gintlorid 12 .. t!PSPIIt'" dI' 'lile' Id llllp/l La a g/r,lr '>1 (,11':1111"1' Stlllll'II' a IlIliI al'l,lpraCHíll l"Jllst,lIll,' d(, () 1,) fl., di lt'l lilinl' (,11'0 ~fj('i"llll' dI· flÍn 'i,'1J 1 l'sl.íl1l':I pn's('1I11' Pllln' ( 11';11'" \ la pJ..I.dOJ 111 1 gir;ltol"Í.l. .
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Figura P12.61
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12.63 Si los co('fkil'lltl'S lIl' f'rin.'i<)1I <'lItrt' l'l cOlllpollellte 1 ~. el eleIlll'lIto He lIl,l IlIl'callislllo .
12.64
EII el IlIho d(' rayos ('atúdicos <{lit' se Illuestra en la figura, los , e dedroll('s ('mitidos por (,1 ('átodo y atraídos por el ánodo p'l'ian a través de 111' peC{ut'jjo agujero IIhieado ( n ('1 ánodo, y lllego \iajan en línea recta con \ ~I(ldclad t'o hasta <11It' ¡lIddl'n sohre la pantalla situada en A. Sin embargo. ,ti ('stahll'cer una difl'renl.'Ía dl' potencial de V entre hL<; dos placas paralelas, los d('ctronE s t'stán sujetos a una fill'n:a F perpendicular a las placas mient~ \ iajan entr<' pstas. (' inl.'Ídl'1l ('n la pantalla en el punto B que está a una di l.mc1.1 [) de A. La magnitud de la fileml F es F = eVld. donde - e es la (',Irg.l dl' un (·leC'trón )' d ('S la distancia entre las placas. Ignore los efectos dt, la gnt\pd.ld )' deduzca una expresión para la des\iación 8 en términos de \ . tu 1,1 earga - (' y la ma a 111 de Ull electrón. así como las dimensiones d, I \ l •.
,
Anodo Cátodo
v
Pantalla
y
•
12.65 En ('1 prohlellm 12.64, detemline el valor mínimo pennitido del l: '\l'llte dll en t rminos de ('. m. Vu y " si en x = 1 la distancia mínima perIl\Ihda Plltr<' la tra\t'ctoria de los electrones y la placa positiva es igual a () Oi5d.
/---L---I Figura P12.64 y P12.65
118
•
12.7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTíCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR , l a P (1e I 11'lS'l 111 (lile se I1I1W"<' Con res ' . l'('I'('S(' IIlIa ¡)artJ('1I ( ,OIlSI( " ' , • . P('{:t( , . ' O ' (( mo s(:' est tI ' ) a 1111 sistellla dc' rdc'n'ncia l1ewtOJ1lano Xlj~, ,) . . 11 10 en la se,
ci(¡n 12,:3, la cantidad d(' mOvimiento lineal de la partí~ula en Un in~~ tan te ddc'rmillado se define como el vector mv obtemdo al Ill ul tipli. ('ar la veloddad v de la partícula por su masa m, El mom~nto alrededo de () del vedor IIIV se denomina I1wmento de la calltulad de l1lot,r miel/to , o la ml/tic!oc! de movimiento angular de la partícula en to rnol· , a O ('11 ('se instante y se denota por medio de Ha, Al recordar la deR. nidcín dpl momelüo de un vector (sección 3,6) y denotar mediante r ('1 vedor de posición de P, se escribe !I
Bo=rX
(12.12)
1// \
sp tiene que Ho es un vector perpendicular al plano que contiene r IIIV y de magnitud y r
(12.13)
figura 12.12
donde q, es el ángulo entre r y m (figura 12.12). El sentido de puede determinarse a partir del sentido de m aplicando la regla ~ano derecha. La unidad de cantidad de movimiento angular se ti~ne al .multiplicar las unidades de longitud y de cantidad de moilmIento lineal (sección 12.4). Con unidades del 1 se tiene
(m)(kg • mis) =
kg . m 2/s
Con unidades de uso comlín en Estados Unidos
(ft)(lb· ) = ft • lb • Al d scomponer los (6. mula (3.10).
•
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12.C2 U11 pt''lllt'iio hloque de 0.,50 kg está en reposo en la parte su!w!ior dt> ulla superficie cilíndrica. Al bloc111e se le imprime una velocidad inidal "o hacia la den'eha con magnitud de :3 mIs. la cual provoca que se deslice sobn> la sUlwmcie cilíndrica. Utilizando un programa de cómputo, calcule )' gmfic¡uf' los \"alorf's de (1 a los cuales el bloque pierde contacto con la superfleie para valores de J.Lk. que es el coefIciente de fricción cinética entre el bloque y la superficie. desde O hasta 0.4. en incrementos de 0.05.
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12.C; U 11 a\'icíll pesa (-)0000 lh Y Sl1S motores gcneran un empuje eons_ t:lllt(' del2 500 Ih durante el c1l'~pegtl(" El arrastre D ejercido sohre el avión tl('l1(' IlIla magnilud J) = O,()(-)(}e-, dOllde J) se (',>;presa en lb y e cs la \eloei_ ;tremo (k" l~lyista y despega a IlIla \'('locidael de 2,50 ft/ s, Determi1lc : grahq\lc la poslclon y \'elocidad del ,l\;<Ín COIIIO rlll1cjolll's del tiempo, y la \'('lociclad como función de la posic:ión ('ollfi>n1l(' ('1 a\ i(íll Sl' nlll('\,C por la pista de despegue. 12.C.5 Dos alalllhres ,xC y BC estún \lnidos en el punto e él una pec!ll('iia ('sfera qll(' gira a \c]ociclad constante l.~ en el círculo horizontal indicado, Ca1cllll' :- graflc¡ut' la tt'llsi(¡n presente l'11 cada alambre como función dl' l. Ikt('rlllilll' el inh'rva!o de \'alores de r, para el cual ambos alambres 1)(' rI nalll'l'l'1l t( '11 sos.
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En el punto A, una bolsa de 10 lb se la parte superior de un muro y oscila en UD cuerda de longitud 1 = 5 ft. Calcule y grafique la magnitud de la tensión en la cuerda como fundQ_ hasta 90°. 12.C6
12 C7 1-1 1110\ IIIlÜ'lIto hidilllPllsional dt' la partíl',d.l H s(' S(' 1I1IW\'(' n un plano horizontal (',.I,('ul(') grafi< l' \~' Iw; l'OIll (101)('\ ~ tt's radial ) . t nU.lsrsaI I m gnitlld de la hll'r/.a qlll' ,lctua sohre la partll'ula l'OIllO IUIIl'IOde t de ti () ha! t,l 1.5 s.
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1 dift n'n"ar 15.2; ('00 respecto a t y considerar Ojos Jos ullatanos i j k obtieoe la ramn de cambio de Q con It'mO di nft>rmCÚJ rotatorio Ory::
Qu. = Q..i + QJ + Par.. obtl'llt'r la razón de cambio de Q con
nj,.,..,1rio fijo 0.0'z. mtl \ariabIt cuando
deben considerar los la dif'elenciacm (15.27).
('5Cf1bt>
. . ~ Q,j + Q"k + Q.. dt observa que la suma de los nos en elmiembro del lado de (15.29) , cambio Q G,. oota, por otro la r". de reducirla a los últimos térmirnoJ fiJO dentro del sistema di; referencia O:ryz. ya ro Pero en
caSO
(Q )o.xrz
la en la punta de Q unido al de referencia O:ryz. en 15.29) la el de ca,..: tu OXl'Z en el i .... te concjclerado, se
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I ",étodo del trabaJO. la eneagfa el del .... <-aJltklad lm.ento para anahzar el pi.., rí¡;dc de de cuerpos rígidos. n ..·:ro ~ ídt ra el método del trabaJO. la energía. En las 1- 2 a 17 'j ddllK'"TI el trabajo de una fue IZAl ~ de un par; ·.kt.drá IJ '-xpn: 'Jf1 par.l la ene~ cinética de un I ... n K lo plano El pnnnpio del trabajo ~ la energía se n: l'T pmbk en los que participan Iíer Y c!.M:K"i, En la rión 17 6 aplica al principio de la conseniaciÓII de la la >1 Km dt una dr.ersí<1ad de problemas de ingeniería ~I m la part d I c:apílulo el principio del impulso y la canel, I 11tH nto 'apli a en la solución de problemas que impIiI 1 l.uIt bt IIIp" 10n 17. Y 17.9 Y se pJ'l"5entará y esI( lo el lt ro OiK1ón de la cantidad de mO\imiento r .111710 hl J¡ ltIn part d 1 c: pí ulo seccion 17.11 y 17.12 se conside r • prnl>k 11 ~jlJ .ud •• \t'n d 'lIlpado ncéntrico de cuerpos rígidi ( on ,IILO IJ el capítulo 13 donde analiza el impacto de I rt Il IJ r.i lll'f)t .l1 ntl de r titulÍón entre cuerpos que cboIII 111 1 al pnll 'p'o dt,l impulso ~ la cantidad de mO\imiento en la IhK 'n C!, prull n lit- impacto. También se demuestra que el mélIdo utllll.ado aplr a no '10 <1rando los cuerpos que chocan se muen ( n Irl rtad clt-spu( dd impacto. ino tanlbién cuando los C\Jeft: tán u t a tnCCJon parcial en u mO\imiento, F.
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17.2. PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA • PARA UN CUERPO RIGIDO
F 1 pnl1l'pKI del tr.iliajo ~ la enefl!:Ía utilizará ahora para analizar el lltO\11111('I1tO plano de cuerpos rígidos. Como se señaló en el capítulo 1 t!t- III todo en particular adapta bien a la solución de probIeJIl~ n los qlK' IIlteol nen "t'locidades \' desplazamientos. u ventaja pm~pal mdica t'11 el he<,'ho de qut' el b-abajo de fuerzas y la eneIgÍ8 'IJétK".l le partk'ulas l-antidades escalares. Par.. aplrcar t>I prindpio del trabajo y la energía en el anál¡s¡s del n)O\1111. nto de un (:uerpo rígido. upondrá otra \'eZ que el rígido compuesto por un gran número n de partÍalW de masa .1m, I recuenta la ecuación 14.30 de la sección 14. se
T. + U.
l.
z:
T.
17.1
donde T. T = \-aJores inicial y 6naI de la energía cinética loIaI de partículas que forman al cuerpo rígido (._2 = trabajo de todas las fuena s que sebe las & \ 'Prsas del cuerpo La
cinética total
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donde T I TI los ¡nidal y de la nkica dd cuerpo U I ..... el trabajo de las ntemtJS qlH' actúan sobre el cuerpo rígido.
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un tema muy amplio al cual se han completos. En consecuencia, este se limitarA a de vibraciones. a las vibraciones de un "Jer. de ctJe'l'05 con un gtado de libertad. produce por lo general cuando un lisde una de equilibrio estable. El sistema tienbajo la acción de fue, l3$ (ya COIIIO en el caso de una masa unida a un des como en el caso de un péndulo). Pero el siso .lcanza su posición original con cierta ve1ncidad lo lIew ... allá de esa posición. Puesto que el proceso de indeAnida. el sisteina se mantiene movién· otro de su posición de equilibrio. El intervalo de ) para que el realice un ciclo de movimiento el nombre de periodo de la vibración. El número de de tiempo deAne la y el desplazamiento partir de su posición de equilibrio se conoce ca-
de vibraciones
= UD"" mo
de la vibración. mantiene úIDcamente por medio de fuer· que la fricción una vibmción llbrB aplica una fuerza periódica al sistema, el lIJOcomo una vibmción jOf"ZOlla : los de la fricción se que in embargo. todas las cierto grado. i una vibnciM 1ibre ligera, su amplitud deaec:e de tiempo. el movimiento se
largo para evitar el sistema recupera Da vibración forzada
la fuena periódica que se ve por 19.9).
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(19.47)
La §(}lulÍón general de 19.47 se obtiene al umar una solución par11('lIlar clt., 19.471 a la función complementaria o solución general de la (O( ual'ióll hOlnog{onea 19.38). La función complementaria está dada por 19.42. 19.43 o 19.44). según el tipo de amortiguamiento conside_ mdo E In re'presenta un mO\imiento transitorio que finalmente se alllIJrtlgtl
El IIIlt'rl~ t'lI
de.UICIn'I6vtl por un resane y un
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5('(.'Ción se (-entra en la \ibración de estado estaulla solución particular de (19.47) de la fonna X, "
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(19.48)
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= p". sen rp
(19.49)
= p ... ros rp
(19.50)
1 t-\('\ar al clIadmdo ambo miembro de (19.49) y (19.50) Y umar. n' lIlta
(19.51)
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x",
= --r=====P=m~======
V (1e -
ffl(J~'fl + (cw¡)1
tan cp -
cw¡
-le-mMJ
De acuerdo con la (19.4) de que lelm = la frecuencia c:in:uIar de la vIbract6n libre DO 19.40. de que - Ce> dondec" el crftico del
(19.52)
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Problemas de repaso
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