Mediciones y Errores

MEDICIONES Y ERRORES Palabras clave: Medición, error, incertidumbre, calibración. Resumen: En el resente in!orme se tiene como ob"etivo e#oner los resultados de una e#erimentación desarrollada desarrollada en el laboratorio de !$sica de la universidad del %tl&ntico, %tl&ntico, donde se reali'aron medidas directas de masa, altura, lar(o, anc)o, di&metro entre otros, de un aralele$edo, un cilindro )ueco * un cas+uete es!rico, con el !in de calcular sus medidas indirectas como son el volumen, densidad, radio entre otros, artiendo de las medidas directas, reali'ando los c&lculos ertinentes ara )allar la incertidumbre de cada uno de ellos * as$ oder establecer la medida de cada dimensión de los ob"etos mencionados. - IN/ROD0CCI1N % di!erencia de lo +ue ocurre en matem&tica, las cantidades +ue se emlean ara describir !enómenos naturales no son e#actas. Estas cantidades son obtenidas or rocesos de interacción entre un observador, observador, sus elementos de recisión, los elementos del !enómeno observado * las condiciones del laboratorio. Cada interacción, cuando est& clara * recisamente rotocoli'ada, de!ine un tio de ma(nitud. %s$, %s$, or e"emlo, la lon(itud de un cuero est& de!inida or una serie bien determinada de asos +ue )a* +ue se(uir mediante el uso de una re(la (raduada, calibre,  ie de re* u otro instrumento, instrumento, ara (enerar (enerar los n2meros +ue +ue indican la lon(itud lon(itud de ese cuero. Estosn2meros sur(en sur(en de la comaración, +ue mediante el instrumento, se )ace con un atrón adotado or convención * +ue tiene las mismas caracter$sticas de la ma(nitud !$sica +ue se desea medir. El con"unto de asos es el rotocolo +ue de!ine a la lon(itud. %s$ la medida obtenida debe constar de elementos +ue: 3 Cuanti!i+uen la ma(nitud. 3 In!ormen de la indeterminación con +ue midió. 3 Indi+uen la unidad utili'ada o atrón con +ue se calibró el instrumento. 0na medición no uede conducir a un n2mero e#actamente, e#actamente, consecuencia de la discontinuidad de la materia, uesto +ue: 3 4a ma(nitud a medir no est& n$tidamente de!inida. 3 El rotocolo +ue de!ine la ma(nitud trae aare"adas indeterminaciones intr$nsecas 3 El instrumento no est& libre de incerte'as. 3 El instrumento in!lu*e sobre el ob"eto de estudio. En el caso m&s (eneral se obtiene como resultado dos n2meros, la cota m&#ima * m$nima de un intervalo +ue llamamos incerte'a o incertidumbre. 5 O67E/I8OS 3 Determinar medidas indirectas a artir de medidas directas. 3 Calcular la incertidumbre de las medidas tanto indirectas como directas, alicando los concetos arendidos * discutidos en clase. 9 6%SE /EORIC%

MEDICIONES Y ERRORES 9.- E4 PROCESO DE MEDICION Es determinar la dimensión de la ma(nitud de una variable en relación con una unidad de medida reestablecida * convencional. Seconocen al(unos sistemas convencionales ara establecer las unidades de medida: El Sistema Internacional * el Sistema In(ls. /ambin odemos decir +ue es comarar la cantidad desconocida +ue +ueremos determinar * una cantidad conocida de la misma ma(nitud, +ue ele(imos como unidad. /eniendo como unto de re!erencia dos cosas: un ob"eto lo +ue se +uiere medir; * una unidad de medida *a establecida *a sea en Sistema In(ls, Sistema Internacional, o una unidad arbitraria. %l resultado de medir lo llamamos Medida. Cuando medimos al(o se debe )acer con (ran cuidado, ara evitar alterar el sistema +ue observamos. Por otro lado, no )emos de erder de vista +ue las medidas se reali'an con al(2n tio de error, debido a imer!ecciones del instrumental o a limitaciones del medidor, errores e#erimentales, or eso, se )a de reali'ar la medida de !orma +ue la alteración roducida sea muc)o menor +ue el error e#erimental +ue se ueda cometer. 9.- 0NID%DES DE MEDID% %l atrón de medir le llamamos tambin 0nidad de medida. Debe cumlir estas condiciones: 3 Ser inalterable, esto es, no )a de cambiar con el tiemo ni en !unción de +uin realice la medida. 3 Ser universal, es decir utili'ada or todos los a$ses. 3 ?@ en la AI Con!erencia Beneral de Pesos * Medidas, celebrada en Par$s buscando en l un sistema universal, uni!icado * co)erente +ue toma como Ma(nitudes !undamentales: 4on(itud, Masa, /iemo, Intensidad de corriente elctrica, /emeratura termodin&mica, Cantidad de sustancia, Intensidad luminosa. /oma adem&s como ma(nitudes comlementarias: &n(ulo lano * &n(ulo sólido. 9.5 /IPOS DE MEDICION 4as mediciones ueden obtenerse de dos !ormas: mediciones directas * mediciones indirectas. 9.5.- MEDICI1N DIREC/% 4a medida o medición diremos +ue es directa, cuando disonemos de un instrumento de medida +ue la obtiene comarando la variable a medir con una de la misma naturale'a !$sica. %s$, si deseamos medir la lon(itud de un ob"eto, se uede usar un calibrador. Obsrvese +ue se comara la lon(itud del ob"eto con la lon(itud del atrón marcado en el calibrador, )acindose la comaración distanciadistancia. /ambin, se da el caso con la medición de la !recuencia de un ventilador con un estroboscoio, la medición es !recuencia del ventilador n de vueltas or tiemo; !rente a la !recuencia del estroboscoio n de destellos or tiemo;. 9.5.5 MEDICI1N INDIREC/%  No siemre es osible reali'ar una medida directa, or+ue e#isten variables +ue no se  ueden medir or comaración directa, es decir, con atrones de la mismanaturale'a, o  or+ue el valor a medir es mu* (rande o mu* e+ue=o * deende de obst&culos de otra naturale'a, etc.

Medición indirecta es a+uella +ue reali'ando la medición de una variable, odemos calcular otra distinta, or la +ue estamos interesados. E"emlo -: Se +uiere medir la temeratura de un litro de a(ua, ero no e#iste un medidor de comaración directa ara ello. %s$ +ue se usa una termoar, la cual, al in(resar los alambres de metal al a(ua, se dilatan * dic)a dilatación se convierte en una di!erencia de volta"e (racias a un transductor, +ue es !unción de la di!erencia de temeratura. En s$ntesis, un instrumento de medición indirecta mide los e!ectos de la variable a medir en otra instancia !$sica, cu*o cambio es an&lo(o de al(una manera. E"emlo 5: ueremos medir la altura de un edi!icio mu* alto, dadas las di!icultades de reali'ar la medición directamente, emlearemos un mtodo indirecto. Colocaremos en las  ro#imidades del edi!icio un ob"eto vertical, +ue s$ odamos medir, as$ como su sombra. Mediremos tambin la lon(itud de la sombra del edi!icio. Dada la distancia del Sol a la tierra los ra*os solares los odemos considerar aralelos, lue(o la relación de la sombra del ob"eto * su altura, es la misma +ue la relación entre la sombra del edi!icio * la su*a. 4lamaremos: 3 So: a la sombra del ob"eto 3 %o: a la altura del ob"eto 3 Se: a la sombra del edi!icio 3%e: a la altura del edi!icio 4ue(o Esto nos ermite calcular la altura del edi!icio a artir de las medidas directas tomadas. 9.9 ERRORES EAPERIMEN/%4ES En (eneral, todo rocedimiento de medición tiene imer!ecciones +ue dan lu(ar a un error en el resultado de la medición, lo +ue )ace +ue sea solo una aro#imación del valor real de la ma(nitud medida. El ori(en de los errores de medición es mu* diverso,  ero odemos distin(uir los si(uientes tios: 9.9.- Errores sistem&ticos Son los +ue se roducen siemre, suelen conservar la ma(nitud * el sentido, se deben a desa"ustes del instrumento, des(astes etc. Dan lu(ar a ses(o en las medidas. 9.9.5 Errores aleatorios Son los +ue se roducen de un modo no re(ular, variando en ma(nitud * sentido de !orma aleatoria, son di!$ciles de rever, * dan lu(ar a la !alta de calidad de la medición. 9. C%4C04O DE ERRORES 9..- Error absoluto El error absoluto de una medida es la di!erencia entre el valor de la medida * el valor real de una ma(nitud valor tomado como e#acto;. 9..5 Error relativo Es la relación +ue e#iste entre el error absoluto * la ma(nitud medida, es adimensional, * suele e#resarse en orcenta"e. 9. CF4C04O DE4 ERROR POR ES/%DGS/IC% DESCRIP/I8% 0na !orma de calcular el error en una medida directa, es reetir numerosas veces la medida: Si obtenemos siemre el mismo valor, es or+ue la areciación delinstrumento no es su!iciente ara mani!estar los errores, si al reetir la medición obtenemos di!erentes valores la recisión del Instrumento ermite una areciación ma*or +ue los errores +ue

estamos cometiendo. En este caso asi(namos como valor de la medición la media aritmtica de estas medidas * como error la desviación t$ica de estos valores. 9.H ERRORES EN 4%S MEDID%S INDIREC/%S Cuando el c&lculo de una medición se )ace indirectamente a artir de otras +ue *a conocemos, +ue tienen su roio mar(en de error, tendremos +ue calcular "unto con el valor indirecto, +ue suele llamarse tambin valor derivado, el error de ste, normalmente emleando el di!erencial total. % la transmisión de errores de las ma(nitudes conocidas a las calculadas indirectamente se le suele llamar roa(ación de errores. 9.? CF4C04O DE4 ERROR EN 4%S MEDID%S INDIREC/%S Partiendo de unas medidas directas * de los errores de esas medidas, * conociendo una ecuación or la +ue a artir de las medidas conocidas odemos calcular el valor de una medida indirecta, un mtodo de c&lculo del error de esta medida indirecta es el c&lculo di!erencial, e+uiarando los di!erenciales a los errores de cada variable. En el e"emlo de la altura del edi!icio, tenemos tres variables indeendientes la sombra del edi!icio, la sombra del ob"eto * la altura del ob"eto, * una variable deendiente la altura del edi!icio +ue calculamos mediantelas otras tres * la ecuación +ue las relaciona, como *a se )a visto. %)ora calculemos el error cometido en la altura del edi!icio se(2n todo lo anterior, la ecuación +ue tenemos es: la derivada arcial resecto de la ecuación resecto a la sombra del edi!icio se calcula considerando las otras variable como constantes * tenemos: del mismo modo derivamos resecto a la sombra del ob"eto: * or 2ltimo resecto a la altura del ob"eto: 4a de!inición de di!erencial es: ue en nuestro caso ser&: Sustitu*endo sus valores: /ener en cuenta +ue todas las derivadas arciales se )an tomado con si(no ositivo, dado +ue desconocemos el sentido del error +ue se ueda cometer durante la medición. Dónde: : es el error +ue )emos cometido al calcular la altura del edi!icio. : es el error de medida de la sombra del edi!icio. : es el error de medida en la altura del ob"eto. : es el error de medida en la sombra del ob"eto.  PROCEDIMIEN/O EAPERIMEN/%4 3 Se rocedió a medir la masa de un aralele$edo, un cilindro )ueco * un cas+uete es!rico. 3 De i(ual !orma se rocedió a medir la altura del aralele$edo * las del cilindro tanto la altura interna como la e#terna;. 3 Se midió el lar(o * el anc)o del aralele$edo.

3 Se midió de i(ual !orma el di&metro del cas+uete es!rico * las del cilindro tanto el di&metro interno como le e#terno;. 3 3 Se)icieron los c&lculos corresondientes ara determinar las otras medidas artiendo de las *a obtenidas. H RES04/%DOS 4as mediciones directas +ue se tomaron en el laboratorio se resentan en la tabla -, las mediciones indirectas calculadas a artir de las directas se resentan en la tabla 5. /%64% -: MEDICIONES DIREC/%S MED.NO.  O67E/O Y C%N/ID%D % MEDIR  INS/R0MEN/O  RES04/%DOS DE 4% MEDICION    Nombre  Sensibilidad  8alor medido  Incertidumbre  Incertidumbre relativa   CI4INDRO <0ECO       -  Masa  6alan'a  @,H (  5?,9? (  JmK L @,5 (  -.@?    Cilindro Interno       5  Di&metro  Pie de re*Calibrador;  @,@H mm  -, mm  JDK L @,- mm  @,H   9  %ltura    5-, mm  J)K L @,- mm  @,?    Cilindro E#terno         Di&metro  Pie de re*Calibrador;  @,@H mm  9H,@@ mm  JDK L @,@H mm  @,-   H  %ltura    H@,@ mm  J)K L @,@H mm  @,-    P%R%4E4EPGPEDO       ?  Masa  6alan'a  @,H (  5?,? (  JmK L @,5 (  @,     4ar(o  Pie de re*Calibrador;  @,@H mm  @,H mm  J)K L @,@H mm  @,@    %ltura    5@,>> mm  J)K L @,- mm  @,   >  %nc)o    5>,9 mm  J%nK L @,5 mm  @,?    C%S0E/E ESERICO       -@  Masa  6alan'a  @,H (  -5@,5@ (  JmK L @,5 (  @,59   --  Di&metro  Pie de re*  @,@H mm >@,5 mm  JDK L@,@5 mm  @,@5   /%64% 5: MEDICIONES INDIREC/%S M%BNI/0D  MEDICION C%4C04%D%   Radio del cilindro interno  rK >,5 mm L@,@H mm  8olumen de cilindro interno  8internoK H, cm9 L @,@> cm9  Radio del cilindro e#terno  rK -,H@ mm L@,@5 mm  8olumen del cilindro e#terno  8E#ternoK , cm9L @,-? cm9  8olumen del cilindro  8total del cilindroK 9,@@ cm9 L @,5H cm9  Densidad del cilindro  QK @,?- (cm9 L @,@-(cm9   8olumen del aralele$edo  8K 9,H cm9 L @, H cm9  Densidad del aralele$edo  QK@,?5 (cm9 L @, @- (cm9   Radio del cas+uete  rK ,H- cm L@,@@- cm  8olumen del cas+uete es!rico  8K ->5,? cm9 L @,- cm9  Densidad del cas+uete es!rico  Q K @,?5 (cm9 L@,@- (cm9  ? %NF4ISIS DE 4OS RES04/%DOS P%R%4E4EPGPEDO

Masa Medidas de la masa: 5?,?H ( 5?,>H ( 5?,>9 ( 5?,>9 ( Calculo de la masa: mK 5?,>95?,>95?,?H5?,>H ( mK 5?,? ( L Jm Calculo del Jm: JmK 5?,>H5?,?H5 JmK L @,-H ( MK 5?,? L @,-H ( %nc)o Medidas del anc)o: 5>,5 mm 5>, mm 5>,H mm 5>,5 mm Calculo del anc)o: %nK 5>,55>,5>,H5>,5 mm %nK 5>,95H L J%n mm Calculo del J%n: J%nK 5>,H5>,55 J%nK L @,-H mm %nK 5>,95H L @,-H mm %ltura Medidas de la altura: 5-,- mm 5@,>H mm 5@,> mm

5-,@ mm Calculo de la altura: )K 5-,-5@,>H5@,>5-,@ mm )K5@,> L J) mm Calculo del J): J)K 5-,-5@,>5 J)K L @,- mm )K 5>,95H L @,- mm 4ar(o Medidas del lar(o: @,H mm @, mm @,@ mm @,H mm Calculo del lar(o: 4K @,H@,@,@@,H mm 4K @,H L J) mm Calculo del J4: J4K @,@,5 J4K L @,@H mm 4K @,H L @,@H mm 8olumen 8K4.%n.) Calculo del volumen: 8K 9H9, ?H mm9 8K 9,H LJ8 cm9 Calculo del J8: 8K4.%n.) J8Kdvd4J4dvd%nJ%ndvd)J)

J8K%n.)dvd4J4).4dvd%nJ%n%n.4dvd)J) J8K%n.).J4).4.J%n%n.4.J) J8K 5>,95H# 5@, >H#@, @H;  5@, >H#@, H#@, -H;  5>,95H#@, H#@, -; J8K L ?@,>?> mm9 J8K L @, ? cm9 8K 9,H L @, ? cm9 Densidad .QK m8 Calculo de la densidad: .QK m8K5?,?(9,Hcm9K @,?5 L JQ (cm9 Calculo del JQ: .QK m8 lo(QKlo(m8 lo(QKlo(mlo(8 dQQKdmmdv8 JQKQ JmmJv8 ; JQK@, ?5 @,-H5?,?@,?9,H ; (cm9 JQK L @, @@>9 (cm9 QK@,?5 L @, @@>9 (cm9 C%S0E/E ESTRICO Masa Medidas de la masa -5@,5@ ( -5@,> ( -5@,5@ ( -->,>5 ( MK -5@,5@ ( L @,5 ( Di&metro Medidas del di&metro >@,5H mm

>@,9@ mm >@,9@ mm D K >@, 5 mm JDK >@,9@>@,5H5KL@,@5H mm D K >@, 5 mm L@,@5H mm Radio rK D5 K H,-mmK ,H- cm Calculo del Jr: rK D5 4o(rK lo(D5 4o(rK lo(D lo(5 JrrK JDD JrK JDDrK@,@5H H,-mm>@,5 JrK L@,@-5H mm K L@,@@-5H cmRK ,H- cm L@,@@-5H cm 8olumen 8K Ur9? 8oK U,H- cm;9? 8oK ->5,? cm9 Calculo del J8: 8K Ur9? J8K d8drK U?9ro5;.drK 5Uro5 . dr  J8K 5Uro5 Jr  J8K5U,H- cm;5 @,@@-5H cm; J8K L@,-? cm9 8K 8o L J8 8K ->5,? cm9 L @,-? cm9 Densidad QK movo QK -5@,5@ (->5,? cm9 Q K @,?5 (cm9; Calculo del JQ: QK movo

4o(Q K4o(  movo 4o(QK 4o(m  4o(v JQQK Jmm  J88 JQK Q Jmm  J88; JQK @,?5 (cm9;  @,5 (-5@,5@ (  @,-? cm9 ->5,? cm9 ; JQK @,?5 (cm9; @,@@59  @,@@@9; JQK @,?5 (cm9; @,@@9-9; JQK L@,@@-> (cm9 Q K @,?5 (cm9L@,@@-> (cm9 CI4INDRO Masa Medidas de la masa 5?,?H ( 5?,9? ( 5?,@ ( 5?,9? ( MK 5?,9? ( L @,5H ( Cilindro e#terno: Di&metro 9H.@ mm 9H,@H mm 9,>H mm DK 9H mm L @,@H %ltura H@,H mm  H@, mm  H@,?H mm
4o(rK lo(D5 4o(rK lo(D lo(5 JrrK JDD JrK JDDrK@,@H -,Hmm9H JrK L@,@5H mm rK -,H mm L@,@5H mm 8olumen Calculo del volumen 8K Ur5) 8K U-,H mm5H@, mm; 8K >,-- mm9 8e#ternoK ,> cm9 Calculo del J8: 8K Ur5) 4o(8 K4o( U  54o( r4o( ) J88K 5Jrr  J)) J8 K 8  5Jrr  J)); J8 K >,-- mm9  5@,@5H mm;-,H mm  @,@H mmH@, mm; J8 K >,-- mm9 @.@@5@,@@@>?; J8 K -,? mm9 J8 K @,- cm9 8e#ternoK ,> cm9 L @,- cm9 Cilindro interno: %ltura 5-, mm 5-,? mm 5-, mm ,5 mm

4o(rK lo(D5 4o(rK lo(D lo(5 JrrK JDD JrK JDDr K@,- >,5mm-, JrK L@,@> mm rK >,5 mm L@,@> mm 8olumen: 8K Ur5) 8K U>,5 mm55-,9mm; .8internoK H,-@ mm9KH,- cm9 Calculo del J8: 8K Ur5) 4o(8 K4o( U  4o( r5 4o( ) J88K 5Jrr  J)) J8 K 8  5Jrr  J)); J8 K H,-@ mm9  5@,@H mm;>,5 mm  @,- mm5-,9 mm; J8 K H,-@ mm9 @,@-@,@@?; J8 K ,9? mm9 J8 K @,@ cm9 8internoK H,- cm9 L @,@ cm9 8olumen real del cilindro 8RealK 8e#terno  8interno 8RealK ,> cm9 H,- cm9 8Real K 9,@@ cm9 Calculo del J8real: 8ReallK 8e#terno  8interno 4o(8Real K4o( 8e#terno  4o( 8interno J8Real8RealK J8e#terno8e#terno  J8interno8interno J8RealK 8Real J8e#terno8e#terno  J8interno8interno ; J8RealK 9,@@ cm9 @,- cm9,> cm9  @,@cm9 H,- cm9 ; J8RealK 9,@@ cm9@,@@9@,@-;

J8Real K @,? cm9 8total del cilindroK 9,@@ cm9 L @,? cm9 DensidadDensidad K Masa8olumen DensidadK 5?,9? (9,@@ cm9 K @,?-9@ (cm9 Calculo del JQ: Q K movo 4o(Q K4o( movo 4o(Q K4o( mo  4o( vo JQQK Jmomo  Jvovo JQ K Q  Jmomo  Jvovo; JQ K @,?-9@ (cm9  @,5H (5?,9? (  @,? cm9 9,@@ cm9; JQ K @,?-9@ (cm9; @,@-@  @,@-; JQ K @,@-(cm9 QK @,?-9 (cm9 L @,@-(cm9  CONSIDER%CIONES: Se debe tener en cuenta +ue en el cilindro * el aralele$edo utili'ado se udieron observar imortantes irre(ularidades en cuanto a la !orma constructiva. Este ten$a severas de!ormaciones mec&nicas. Estas cuestiones (eneran +ue, a esar de la Ve#actitudW de las mediciones e#ista un error inevitable. Debido a los mencionados motivos )a* +ue considerar, or un lado, +ue no tiene sentido utili'ar mtodos mu* e!icientes ara la medición debido a +ue las irre(ularidades mec&nicas +ue resenta el ob"eto introducen un error su!icientemente (rande ara +ue el error roducido or la medida resulte desreciable, sin embar(o se traba"ó como si los ob"etos estuvieran en er!ecto estado, ara as$ calcular errores arro"ados solo or las medidas ara cumlir con el ob"etivo de la r&ctica.  CONC40SIONES Con los datos obtenidos * resentados mediante las tablas - * 5, se determinó +ue el material del cual estaba comuesto el cilindro, el cas+uete es!rico * el aralele$edo eran menos densos +ue el a(ua, al(o +ue se con!irmaal saber +ue ambos ob"etos eran de madera * or ello los c&lculos reali'ados deb$an arro"ar una densidad menor a la de este l$+uido *a +ue or concetos sabemos +ue la madera !lota en el a(ua, una caracter$stica de este elemento. inalmente, odemos enunciar un conceto desrendido de la e#eriencia: V%l reali'ar mediciones, XEs necesario (astar en un aarato reciso, comlicado * consecuentemente m&s caro cuando la tolerancia del resultado no lo recisa XO )a* +ue usar instrumentos m&s sencillos * baratos ero con alto errorW Nin(una es correcta. 0n in(eniero debe saber medir con el sistema adecuado se(2n las necesidades de recisión. En nuestro caso el instrumento m&s adecuado !ue el ie de re* o calibrador +ue nos ermitió tomar las medidas con ma*or e#actitud. REERENCI%S 6I64IOBRFIC%S