1
MEKANIKA GELOMBANG oleh Prof. ir. HangTuah Salim M.OcE. Ph.D
1. Pendahuluan Gelombang yang terjadi dilaut dapat dibagi-bagi atas gelombang menurut panjangnya atau periodanya. Gelombang yang mempunyai perioda yang besar juga mempunyai mempunyai panjang gelombang yang panjang. Pembagian jenis gelombang gelombang dapat dilihat pada Gambar 1.1. Gelombang yang perioda perioda yang besar dapat dimasukkan dalam gelombang panjang (long waves) atau gelombang dangkal. Kecepatan dan percepatan arah vertikal untuk gelombang panjang dapat diabaikan sehingga masalah tiga dimensi dapat disederhanakan menjadi masalah dua dimensi. Pasang surut termasuk dalam jenis gelombang panjang, Tsunami (gelombang yang disebabkan oleh gempa) juga dimasukan dalam jenis gelombang panjang. Gelombang pendek termasuk disini gelombang yang dibangkitkan oleh angin. Gelombang angin mendominasi mendominasi kejadian gelombang gelombang dilaut. Pembentukan gelombang gelombang oleh angin angin bisa terjadi ditengah dilaut yang kemudian merambat kepantai, sehingga biarpun dipantai dalam keadaan cuaca yang tenang terdapat terdapat gelombang yang besar. besar. Gelombang ini disebut s well . Karakteristik gelombang gelombang ini adalah adalah mempunyai mempunyai perioda yang besar
(10 detik sampai sampai
dengan 20 detik) dan kejadiannya bisa dalam waktu yang lama. Bila dibentuk dipantai (angin kencang bertiup dipantai) maka gelombang yang terjadi tidak beraturan dan periodanya relatif kecil (panjang gelombangnya pendek) dan kejadiannya tidak berlangsung lama hanya selama durasi angin bertiup. bertiup. Gelombang jenis jenis ini disebut
s eas . Dalam perjalannya kepantai gelombang ini akan mengalami transformasi (perubahan). Gelombang yang panjang akan merambat lebih cepat dari gelombang yang pendek. Gelombang pendek biasanya akan pecah dan mengalihkan energinya kegelombang panjang, sehingga sehingga gelombang yang sampai kepantai kepantai akan lebih beraturan. beraturan. Gelombang ini juga akan mengalami perubahan bentuk akibat semakin dangkalnya perairan dipantai, panjang gelombang memendek dan tinggi gelombang juga akan berubah. Bila gelombang datang tidak tegak lurus dengan kontur kedalaman akan terjadi pembelokan gelombang , peristiwa ini disebut refraksi . Bila menghadapi rintangan maka gelombang akan ter difraksi dimana pola gelombangya akan berubah akibat rintangan tersebut tersebut (misalnya bila bertemu dengan dengan breakwater). Didalam diktat ini kita akan membahas membahas hanya gelombang gelombang yang disebabkan oleh oleh angin. Kita akan mempelajari teori perilaku gelombang dilaut terutama dipantai.
2 Gambar 1.1. Hubungan Perioda Perioda (Frekuensi) (Frekuensi) dengan jenis gelombang gelombang
3 2. Teori Gelombang Teori gelombang akibat angin dapat dibagi atas; 1. Teori gelombang linier (teori gelombang gelombang Airy) 2. Teori gelombang nonlinier yaitu
Gelombang Stokes order 2, order 3, order 4, order 5, dst.
Gelombang Cnoidal
Gelombang Dean Stream Function
Gelombang Solitary
Definisi yang digunakan dalam gelombang dijelaskan pada Gambar 2.1. dan 2.2.
2 Gambar 1.1. Hubungan Perioda Perioda (Frekuensi) (Frekuensi) dengan jenis gelombang gelombang
3 2. Teori Gelombang Teori gelombang akibat angin dapat dibagi atas; 1. Teori gelombang linier (teori gelombang gelombang Airy) 2. Teori gelombang nonlinier yaitu
Gelombang Stokes order 2, order 3, order 4, order 5, dst.
Gelombang Cnoidal
Gelombang Dean Stream Function
Gelombang Solitary
Definisi yang digunakan dalam gelombang dijelaskan pada Gambar 2.1. dan 2.2.
3 2. Teori Gelombang Teori gelombang akibat angin dapat dibagi atas; 1. Teori gelombang linier (teori gelombang gelombang Airy) 2. Teori gelombang nonlinier yaitu
Gelombang Stokes order 2, order 3, order 4, order 5, dst.
Gelombang Cnoidal
Gelombang Dean Stream Function
Gelombang Solitary
Definisi yang digunakan dalam gelombang dijelaskan pada Gambar 2.1. dan 2.2.
Gambar 2.1. Sketsa 2.1. Sketsa definisi gelombang adalah elevasi muka air , H adalah tinggi gelombang dan ac = amplitudo gelombang crest adalah (puncak) dan a t = amplitudo gelombang trough (lembah). Sistem kordinat yang digunakan adalah sistem kartesian dimana x adalah sumbu horizontal dan z sumbu vertikal. vertika l. L= panjang gelombang dan C adalah kecepatan rambat gelombang. Panjang gelombang gelombang L adalah jarak antara dua dua puncak (crest) atau dua dua lembah (trough) yang berdekatan berdekatan dilihat diruang. diruang.
Sedangkan perioda perioda gelombang gelombang adalah adalah lamanya waktu
yang diperlukan untuk gelombang kembali pada kondisinya semula yaitu misalnya waktu yang ditempuh dari saat gelombang dipuncak dan kembali kepuncak lagi atau dilembah kembali kelembah lagi pada posisi yang sama .
4
L
Gambar 2.2. Definisi panjang gelombang dan perioda gelombang Berlakunya teori gelombang dapat dilihat dari diagram yang terdapat pada Gambar 2.3 dibawah ini.
Gambar 2.3. Diagram untuk menentukan berlakunya teori gelombang
5
Contoh 2.1. Bila tinggi gelombang H = 5.0 meter terjadi pada kedalaman d = 300 meter. Panjang gelombang laut dalam L 0 adalah 200 meter. Dari Gambar 2.3. Tentukan teori gelombang mana yang berlaku
H L0
5.0 200
0.025
d L0
300 200
1.50
Dari gambar untuk harga diatas diperoleh bahwa teori yang harus dipakai adalah teori Stokes 2nd order
3. Teori Gelombang Linier
h
z = -h
Gambar 3.1. Profil gelombang linear Profil gelombang dituliskan sebagai persamaan dibawah
=
H 2
cos kx
t =
H 2
cos
dimana; k=2/L=bilangan gelombang
=2/T=frekuensi sudut gelombang t = waktu
kx-t)
6 Hubungan antara panjang gelombang L dengan perioda T dinyatakan dalam persamaan dispersi berikut
2
k=
=
gk tanh kh
2 L 2 T
(bilangan gelombang/ wave number )
(kecepatan sudut)
Akar persamaan di atas (k atau L ) dapat dilihat pada ilustrasi gambar berikut:
2
h/kh
tanh kh
solusi kh
Gambar 3.2. akar persamaan dispersi
Cepat rambat gelombang : C=
L
atau
T
Panjang gelombang L =
gT 2 2
tanh kh
C =
gT 2
tanh kh
7 Fungsi hiperbolik : Definisi fungsi hiperbolik:
sinh x
tanh x
ex
e x
;
2 ex
e x
cosh x
e x
ex
dan
2
e x e x kh 2
Pendekatan untuk laut dalam dan laut dangkal :
h L
Tabel 3.1 Pendekatan fungsi hiperbolik
Fungsi
Laut Dalam
Laut Dangkal
kh besar
kh kecil
cosh kh
ekh/2
1
sinh kh
ekh/2
kh
tanh kh
1
kh
4
3.5
3 s u k i l o b r e p i h i s g n u F
2.5
cosh(x) 2
sinh(x)
1.5
1
tanhh(x) 0.5
0 0
0.5
1
1.5
x
Gambar 3.3. Fungsi hiperbolik
2
8 Berdasarkan harga kh, kedalaman perairan dibagi menjadi tiga bagian: : bila kh > atau h/L > 1/2
Laut dalam (deep water )
Laut transisi(transisional water ) : /10 < kh < atau 1/20 < h/L < 1/2
Laut dangkal (shallow water )
:
kh / 10 atau h/L < 1/20
Metoda Newton Raphson Metoda Newton Raphson diturunkan dari fungsi ekspansi Taylor yaitu 2
Persamaan dispersi
gk tanh kh
persamaan dikali dengan h menjadi
2 h gkh tanh kh misalkan x = kh diperoleh persamaan
2h g
2
x tanh x dan misalkan R
atau F( x )
2 h g
diperoleh persamaan R
x tanh x
x tanh x R 0
Langkah- penyelesaian persamaan dispersi
1. Tentukan harga awal x = x 0 = R 2. Kalau F( x0 ) 0
x0 bukan jawaban
3. Tentukan harga x berikutnya x 1 = x 0 + D x dimana
dF dx
tanh( x )
cosh2 x x1 bukan jawaban
5. Tentukan harga x berikutnya x 2 = x 1 + D x dimana
k
xi h
F( x0 ) dF ( x0 ) dx
x
4. Kalau F( x1 ) 0
6. Dilakukan
x
seterusnya
sampai
dan panjang gelombang L
F( xi ) 0
x
F( x1 ) dF ( x1 ) dx
xi adalah jawaban selanjutnya
2 k
Contoh perhitungan penentuan panjang gelombang dengan menggunakan metoda Newton Raphson dapat dilihat pada contoh berikut ini
9
Contoh: Bila diketahui perioda gelombang T=10 detik , tentukan panjang gelombang laut dalam, panjang gelombang pada kedalaman 20 meter
2 2 h T
2
2 h 10
2
20
0.895
1
Tentukan x0
2
Cek F ( x0 ) 0.805tanh(0.805) 0.805 0.268
3
Tentukan harga x berikutnya
x
g
g
9.81
F ( x0 ) 0.805 tanh(0.805) 1.114 cosh2(0.805) x
0.268
4
0.241 x1 0.805 0.241 1.046 1.114 Cek F ( x1 ) 1.046* tanh(1.046) 0.805 0.011
5
Tentukan harga x berikutnya
x 6
0.011 1.189
0.0093
x1
1.046 F ( x1 ) tanh(1.046) 1.189 cosh 2(1.046) x
1.046 0.0093 1.037
Perubahan cukup kecil jawaban
kh 1.037
2 20 1.037 L
L
40 1.037
121.18 m
Rumus CEM
c2
1 y 1 0.6522 y 0.4622 y2 0.0864 y4 0.0675 y5 gh
1
dimana c y L0
L T 2 h
L0 g 2
T 2
Contoh perhitungan dengan menggunakan rumus CEM diatas dapat dilihat di contoh berikut
10 Contoh: Bila diketahui perioda gelombang T=10 detik , tentukan panjang gelombang laut dalam, panjang gelombang pada kedalaman 20 meter 1. Tentukan L0
9.81 2
(10) 2
156.131
y
2 .20 156.131
0.805
2. Hitung 1
c2
1 y 1 0.6522 y 0.4622 y2 0.0864 y4 0.0675 y5 0,749 gh
c 0,749gh 0.749.9,81.20 L cT
12,122m / det
12,122.10 121,22m
Panjang gelombang juga dapat dihitung ditentukan dengan menggunakan tabel dibawah ini Panjang gelombang laut dalam L 0=g/2 T2 =1,56 T2 Panjang gelombang laut dangkal L = T(gh) 1/2
Di Tabel kedalaman h dinyatakan dengan d
11
Contoh: Bila diketahui perioda gelombang T=10 detik , tentukan panjang gelombang laut dalam, panjang gelombang pada kedalaman 20 meter dan pada kedalaman 2.0 meter. Panjang gelombang laut dalam adalah
Panjang gelombang pada kedalaman 20 meter : gunakan table
lihat tabel untuk harga tsb terletak antara d/L0 = 0,1200 dan 0.1300 dan d/L = dan 0.1666
0.1581
interpolasi
Panjang gelombang laut pada kedalaman h=-2 meter gunnakan tabel
lihat tabel untuk harga tsb terletak antara d/L0 = 0,0100 dan 0.0200 dan d/L = dan 0.0.0576
0.0403
Kalau diperhatikan bahwa d/L=0.04518 < 1/20 berarti termasuk kriteria laut dangkal dan dengan menggunakan kecepatan rambat laut C dangkal dapat dihitung panjang gelombang
12
d/L0
d/L
kd
tanh(kd)
cosh(kd)
sinh(kd)
n
0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800 0.0900 0.1000
0.0403 0.0576 0.0713 0.0833 0.0942 0.1043 0.1139 0.1232 0.1322 0.1410
0.2533 0.3621 0.4483 0.5233 0.5916 0.6553 0.7159 0.7741 0.8306 0.8858
0.2480 0.3471 0.4205 0.4803 0.5310 0.5753 0.6144 0.6493 0.6808 0.7093
1.0323 1.0663 1.1022 1.1401 1.1802 1.2225 1.2674 1.3149 1.3653 1.4187
0.2560 0.3701 0.4634 0.5475 0.6267 0.7033 0.7786 0.8538 0.9295 1.0063
0.9792 0.9588 0.9388 0.9192 0.8999 0.8811 0.8627 0.8448 0.8273 0.8102
0.1100 0.1200 0.1300 0.1400 0.1500 0.1600 0.1700 0.1800 0.1900 0.2000
0.1496 0.1581 0.1666 0.1750 0.1833 0.1916 0.2000 0.2083 0.2167 0.2251
0.9400 0.9938 0.0466 0.0992 0.1517 0.2041 0.2565 0.3090 0.3616 0.4144
0.7352 0.7589 0.7805 0.8002 0.8183 0.8349 0.8501 0.8640 0.8768 0.8884
1.4753 1.5355 1.5995 1.6675 1.7399 1.8169 1.8989 1.9862 2.0793 2.1786
1.0847 1.1653 1.2484 1.3344 1.4238 1.5169 1.6142 1.7161 1.8231 1.9356
0.7937 0.7776 0.7621 0.7470 0.7325 0.7185 0.7050 0.6920 0.6796 0.6677
0.2100 0.2200 0.2300 0.2400 0.2500 0.2600 0.2700 0.2800 0.2900 0.3000
0.2336 0.2421 0.2506 0.2592 0.2679 0.2766 0.2854 0.2942 0.3031 0.3121
0.4675 0.5209 0.5746 0.6287 0.6831 1.7379 1.7931 1.8487 1.9047 1.9611
0.8991 0.9089 0.9178 0.9259 0.9333 0.9400 0.9461 0.9516 0.9566 0.9612
2.2845 2.3975 2.5180 2.6467 2.7841 2.9307 3.0873 3.2546 3.4332 3.6239
2.0540 2.1790 2.3109 2.4505 2.5983 2.7548 2.9209 3.0971 3.2843 3.4832
0.6564 0.6456 0.6353 0.6256 0.6163 0.6076 0.5994 0.5917 0.5845 0.5777
0.3100 0.3200 0.3300 0.3400 0.3500 0.3600 0.3700 0.3800 0.3900 0.4000
0.3212 0.3303 0.3394 0.3486 0.3579 0.3672 0.3766 0.3860 0.3955 0.4050
2.0179 2.0750 2.1325 2.1904 2.2487 2.3072 2.3661 2.4253 2.4847 2.5445
0.9653 0.9690 0.9723 0.9753 0.9780 0.9804 0.9825 0.9845 0.9862 0.9877
3.8276 4.0451 4.2774 4.5255 4.7903 5.0730 5.3748 5.6969 6.0406 6.4074
3.6947 3.9196 4.1589 4.4136 4.6847 4.9734 5.2809 5.6084 5.9572 6.3289
0.5713 0.5654 0.5599 0.5548 0.5501 0.5457 0.5417 0.5380 0.5345 0.5314
13
d/L0
d/L
kd
tanh(kd)
cosh(kd)
sinh(kd)
n
0.4100 0.4200 0.4300 0.4400 0.4500 0.4600 0.4700 0.4300 0.4900 0.5000
0.4145 0.4241 0.4337 0.4434 0.4530 0.4628 0.4725 0.4822 0.4920 0.5018
2.6044 2.6646 2.7251 2.7857 2.8465 2.9076 2.9687 3.0300 3.0915 3.1531
0.9891 0.9904 0.9914 0.9924 0.9933 0.9941 0.9947 0.9953 0.9959 0.9964
6.7987 7.2163 7.6616 8.1366 8.6431 9.1833 9.7592 10.3732 11.0277 11.7254
6.7248 7.1466 7.5961 8.0749 8.5851 9.1287 9.7078 10.3249 10.9823 11.6827
0.5285 0.5258 0.5234 0.5212 0.5192 0.5173 0.5157 0.5141 0.5128 0.5115
0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500 0.5600 0.5700 0.5800 0.5900 0.6000
0.5116 0.5215 0.5313 0.5412 0.5511 0.5610 0.5709 0.5808 0.5907 0.6006
3.2148 3.2766 3.3385 3.4005 3.4626 3.5247 3.5869 3.6492 3.7115 3.7739
0.3968 0.9972 0.9975 0.9978 0.9980 0.9983 0.9985 0.9986 0.9988 0.9989
12.4690 13.2615 14.1060 15.0059 15.9648 16.9865 18.0750 19.2346 20.4700 21.7860
12.4288 13.2237 14.0705 14.9726 15.9334 16.9570 18.0473 19.2086 20.4456 21.7631
0.5104 0.5093 0.5084 0.5076 0.5068 0.5061 0.5055 0.5049 0.5044 0.5040
0.6100 0.6200 0.6300 0.6400 0.6500 0.6600 0.6700 0.6800 0.6900 0.7000
0.6106 0.6205 0.6305 0.6404 0.6504 0.6603 0.6703 0.6803 0.6902 0.7002
3.8363 3.8988 3.9613 4.0238 4.0864 4.1490 4.2116 4.2742 4.3369 4.3996
0.9991 0.9992 0.9993 0.9994 0.9994 0.9995 0.9996 0.9996 0.9997 0.9997
23.1879 24.6811 26.2717 27.9659 29.7703 31.6922 33.7391 35.9191 38.2409 40.7135
23.1663 24.6609 26.2527 27.9480 29.7535 31.6764 33.7243 35.9052 38.2278 40.7013
0.5036 0.5032 0.5029 0.5026 0.5023 0.5021 0.5019 0.5017 0.5015 0.5013
0.7100 0.7200 0.7300 0.7400 0.7500 0.7600 0.7700 0.7800 0.7900 0.8000 0.8100 0.8200 0.8300
0.7102 0.7202 0.7302 0.7401 0.7501 0.7801 0.7701 0.7801 0.7901 0.8001 0.8101 0.8201 0.8300
4.4622 4.5250 4.5877 4.6504 4.7131 4.7759 4.8387 4.9014 4.9642 5.0270 5.0898 5.1526 5.2154
0.9997 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.3333 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
43.3469 46.1513 49.1330 52.3186 55.7057 59.3127 63.1539 67.2445 71.6005 76.2393 81.1791 86.4394 92.0410
43.3354 46.1405 49.1278 52.3090 55.6967 59.3043 63.1460 67.2370 71.5935 76.2327 81.1729 86.4336 92.0356
0.5012 0.5011 0.5010 0.5003 0.5008 0.5007 0.5006 0.5005 0.5005 0.5004 0.5004 0.5003 0.5003
14 3.1.
Kecepatan dan Percepatan Partikel Fluida
Kecepatan partikel fluida dalam arah horizontal dan vertikal dinyatakan dalam persamaan berikut
u
w
H gT cosh k z h 2 L
cosh kh
H gT sinh k z h 2 L
cosh kh
cos (kx t )
sin (kx t )
dari persamaan diatas bisa dibuktikan bahwa
u2 A2
w2 B2
1
Ini merupakan persamaan ellipse dimana A
H gT cosh k z h 2 L
cosh kh
untuk gelombang laut dalam A B
dan H T
B
H gT sinh k z h 2 L
cosh kh
e kz sehingga persamaan diatas menjadi
persamaan lingkaran, dan untuk gelombang laut dangkal
A
H
g
2
h
dan B
H T
z 1 h
Percepatan partikel fluida merupakan laju dari kecepatan
a x
a z
u g H cosh k z h sin(kx t ) L cosh kh x
arah horizontal
g H sinh k z h w cos(kx t ) arah vertical L cosh kh z
Partikel fluida bergerak dengan lintasan orbit seperti yang terlihat di Gambar berikut ini
15
z
Arah rambat gelombang dengan kecepatan C
2
0
3/2
2
Kecepatan u = +; w = 0
u = 0; w = +
ax = 0; az = ‐
ax = +; az = 0
u = ‐; w =0
u = 0; w = ‐
u = +; w = 0
ax = ‐; az = 0
ax = 0; az = ‐
Percepatan
= kx ‐
t
2
0
ax = 0; az =+
3/2
2
Gambar 3.4 Kecepatan dan Percepatan Partikel Fluida
16 Contoh: Bila diketahui tinggi gelombang H= 5.0 meter ; perioda gelombang T=10 detik; kedalaman perairan h = 20 meter. Tentukan besar kecepatan dan percepatan pada jarak 100 meter dari titik observasi dan waktu t=15 detik. Pada permukaan air z=0; didasar z= -h; dan ditengah z= -h/2 dan berapa besaran maksimum pada masing masing kedalaman
Panjang gelombang telah dihitung pada contoh soal sebelumnya yaitu L=121,18 meter
k
2 L
2 121,18
0, 052
kh 0, 052.20 1, 04
2 10
0, 628
2) Dipermukaan z=0 Kecepatan
u
5 9,81.10 cosh 0,052 0 20 2 121,18
cosh 1,04
2,024co ( 4,22)
cos(0, 052.100 0,628.15)
0,957 / d t
16 Contoh: Bila diketahui tinggi gelombang H= 5.0 meter ; perioda gelombang T=10 detik; kedalaman perairan h = 20 meter. Tentukan besar kecepatan dan percepatan pada jarak 100 meter dari titik observasi dan waktu t=15 detik. Pada permukaan air z=0; didasar z= -h; dan ditengah z= -h/2 dan berapa besaran maksimum pada masing masing kedalaman
Panjang gelombang telah dihitung pada contoh soal sebelumnya yaitu L=121,18 meter
k
2
L
2 121,18
0, 052
kh 0, 052.20 1, 04
2 10
0, 628
2) Dipermukaan z=0 Kecepatan
u
5 9,81.10 cosh 0,052 0 20 2 121,18
cos(0, 052.100 0,628.15)
cosh 1,04
2,024cos( 4,22) 0,957 m / det w
5 9,81.10 sinh 0,052 0 20 2 121,18
sin (0,052.100 0,628.15)
cosh 1,04
1,574sin(4,22)
1,387 m / det
Harga maksimum untuk kecepatan horizontal dicapai bila cos(kx t ) 1 dan kecepatan vertical bila sin(kx t ) 1 Harga maksimum
u 2, 024 m / det
w 1, 574m / det
Percepatan
a x
9,81. .5 cosh 0,052 0 20 121,18
cosh 1, 04
sin(0,052.100 0,624.15)
1,017sin( 4,22) 0,896 m / det 2
a z
9,81. .5 sinh 0,052 0 20 121,18
cosh 1,04
cos(0,052.100 0,624.15)
0,791cos( 4,22) 0,374 m / det 2 Harga maksimum a x dicapai bila sin(kx t ) 1 dan harga maksimum a z dicapai bila
cos(kx t ) 1 Harga maksimum
a x
1, 017
dan a z 0, 791
17
3) Didasar z=-h Kecepatan
5 9,81.10 cosh 0,052 20 20
u
2 121,18
cosh 1, 04
cos(0, 052.100 0,628.15)
1,272cos( 4,22) 0,601m / det 5 9,81.10 sinh 0,052 20 20
w
2 121,18
0 sin(4, 22)
cosh 1, 04 0 m / d et
sin (0,052.100 0,628.15)
seperti yang disyarat di syarat batas
Harga maksimum untuk kecepatan horizontal dicapai bila cos(kx t ) 1 dan kecepatan vertical bila sin(kx t ) 1 Harga maksimum
u 1, 272 m / det
w 0 m / det
Percepatan
a x
9,81. .5 cosh 0,052 20 20 121,18
cosh 1, 04
sin(0,052.100 0,624.15)
0,639sin( 4,22) 0,563 m / det 2
a z
9,81. .5 sinh 0,052 20 20 121,18
cosh 1, 04
cos(0,052.100 0,624.15)
0cos(4,22) 0 m / det 2 Harga maksimum a x dicapai bila sin(kx t ) 1 dan harga maksimum a z dicapai bila
cos(kx t ) 1 Harga maksimum
a x
0, 639m / det 2
dan az 0m / det 2
4) Di z=-h/2 Kecepatan
u
5 9,81.10 cosh 0,052 10 20 2 121,18
cosh 1, 04
1,448cos( 4,22) 0,684 m / det
cos(0, 052.100 0,628.15)
18
w
5 9,81.10 sinh 0,052 10 20 2 121,18
cosh 1, 04
0,692sin( 4,22)
sin (0,052.100 0,628.15)
0,609 m / det
Harga maksimum untuk kecepatan horizontal dicapai bila cos(kx t ) 1 dan kecepatan vertical bila sin(kx t ) 1 Harga maksimum
u 1, 448 m / det
w 0, 692 m / det
Percepatan
a x
9,81. .5 cosh 0,052 10 20 121,18
cosh 1, 04
sin(0,052.100 0,624.15)
0,728sin( 4,22) 0,641m / det 2
a z
9,81. .5 sinh 0,052 10 20 cosh 1, 04
121,18
cos(0, 052.100 0,624.15)
0,348cos( 4,22) 0,164 m / det 2 Harga maksimum a x dicapai bila sin(kx t ) 1 dan harga maksimum a z dicapai bila
cos(kx t ) 1 Harga maksimum
3.2.
a x
0, 728m / det 2
dan az 0, 348m / det 2
Tekanan, Energi, dan Daya Gelombang
Tekanan (pressure) fluida dengan adanya gelombang dinyatakan dalam persamaan berikut
p gz g
cosh k z h H cosh kh
2
cos(kx t ) gz gK ( z ) ( x, t) N / m2 ( Pa)
dimana suku pertama adalah tekanan hidrostatik dan suku kedua tekanan dinamik akibat gelombang
19 kerapatan massa= kg/m3 K ( z )
cosh k z h cosh kh
( x, t ) elevasi muka air akibat fluktuasi gelombang Tekanan dinamik maksimum diperoleh pada saat harga ( x, t ) maksimum sehingga tekanan dinamikmenjadi gK ( z )
0.2
10
20
30
40
z
44.9
1 0.6
2
3
4
K( z)
4.3
Gambar K(z) menurut kedalaman
Tekanan dinamik berkurang menurut kedalaman, mempunyai harga maksimum dipermukaan. Untuk laut dalam tekanan dinamik K ( z ) ekz mendekati nol untuk z=h/2. Untuk laut dangkal K ( z ) 1 Contoh: Hitung besar gaya dinamik P yang bekerja pada dinding vertikal dengan kedalaman h=20m; tinggi gelombang H=5.0m; perioda gelombang t=10detik.
P
pd dz gK ( z ) ( x, t )
0
P
p dz gK ( z) ( x, t )dz d
h
P
0
h 0
h
g ( x, t ) K ( z) dz h
20
0
0
sinh k ( z h)
h
k cosh(kh)
1
K ( z)dz cosh(kh) cosh k ( z h
h
sinh( kh) k cosh( kh)
tanh( kh) k
Gaya P menjadi P C 2
H 2
2
gk
2
C
2
0
h
g
cos(kx t )
harga maksimum adalah P C 2
H 2
2
Bila 1024kg / m
3
121,18 5 375900 N / m 375,9 kN / m maka P 1024 10 2
Gaya yang diakibatkan oleh tekanan hidrostatik adalah F
0, 5 gh2 0, 5.1024.9.81(20) 2 2, 01 x10 6 N / m 2010 kN / m
Bila dibandingkan dengan gaya dinamik gaya hidrostatik jauh lebih besar tetapi gaya dinamik adalah gaya yang siklus sehingga dampaknya terhadap kekuatan struktur akan lebih berbahaya. Titik tangkap gaya dinamik diukur dari permukaan air dapat dihitung dari
0
z P
zp( z)dz
h
P
g z P
k 2
g
H 2
C cosh(kh)
cos( kx t )
C
1 cosh(kh) 2
0
zK ( z) dz
h 2 H
2
0
g
z cosh( k( z h) dz
h
C 2 cosh( kh)
cos(kx t )
1 cosh(kh) 2 cosh(kh)
Untuk contoh soal diatas z P
9,81 1 cosh(1, 04) (0,628) 2 cosh(1, 04)
9,243m
Energi gelombang merupakan gabungan antara energi potensial akibat perubahan periodic elevasi muka air dan energi potensial akibat pergerakan partikel fluida. Besarnya ene rgi ini adalah;
E
1
gH 2 J oule/m2 8
persatuan luas permukaan
21 Daya yang dikandung oleh gelombang d engan tinggi gelombang H dan perioda gelombang T ad alah
P EC g watt / m dimana Cg=kecepatan rambat kelompok yang dijelaskan pada gelombang berkelompok = nC
n 0,5 1
sinh(2kh) 2kh
untuk gelomba ng laut da lam n 0,5 dan laut dangkal n 1
Contoh: Tentukan daya gelombang laut dalam H 0=5.0m; perioda T=10 detik.
Untuk laut dalam n=0,5 dan C
P 1,0
3.3.
T jadi P
2
g 2 32
H 2T
kwatt 1,0 3 H 2T m .det
5m 2 (10det)=250kwatt/m m .det kwatt 3
Perpindahan Partikel
Perpindahan (orbit) partikel fluida
Arah horizontal
Arah vertikal
H cosh k z h 2
sinh kh
H sinh k z h 2
sinh kh
sin(kx t )
cos (kx t )
Orbit partikel fluida sesuai d engan
2 2 =
2 2
1
dimana
H cosh k z h 2
sinh kh
dan
H sinh k z h 2
sinh kh
sesuai dengan pe rsamaa n tersebut diatas, orbit partikel fluida merupakan lingkaran untuk laut dalam dan ellips untuk yang bukan laut dalam (lihat gambar…)
22
2
SWL
2
SWL
Orbit eliptik
=
Orbit lingkaran
=
u
u
Gelombang laut antara dan dangkal h/L < 1/2
Gelombang laut dalam
Gambar… Orbit Partikel Fluida
Contoh; Hitung besar simpangan horizontal dan vertikal maksimum di permukaan (z=0) dari partikel fluida yang mengalami fluktuasi muka air dengan H=5.0 meter; perioda T=10 detik; dan kedalaman perairan h=20 meter.
Simpangan horizontal maksimum
=
H cosh k z h
=
H sinh k z h
2
2
sinh kh sinh kh
5 cosh 0.052(0 20 2
sinh(1, 04)
5 sinh 0.052(0 20 2
sinh(1, 04)
3, 214m
2,50m
23
3.4.
Gelombang Pantul dan Gelombang Tegak Istanding Waves)
Gelombang datang bila membentur dinding tegak yang kedap air akan dipantulkan sempurna menyebabkan terjadinya gelombang tegak yang dikenal sebagai standing waves, tinggi gelombang menjadi lebih besar. Sumbu z i
r
Sumbu x h
Gambar ….
Gelombang datang i
H i 2
Gelombang dipantulkan sempurna
cos(kx t ) yang bergerak kearah kanan akan ketemu
H r
bergerak cos(kx t ) dimana H r Kr H i yang 2 kearah kiri. Untuk gelombang yang dipantulkan sempurna K r 1 dengan gelombang pantul r
Gelombang mengalami superposisi
i r
( , t)
H i 2
cos(kx t ) cos( kx t )
H i cos( kx) cos( t )
Gelombang yang dipantulkan (reflected waves) r bergabung dengan gelombang datang (incident waves) i . Gabungan ini membentuk gelombang tegak dengan amplitudo menjadi dua kali amplitudo gelombang datang. Gelombang tegak ini tidak merambat dan hanya bergerak naik turun dimana terdapat titik simpul nol (node), muka air diam tidak bergerak dan antinode dimana muka air bergerak naik t urun maksimum (lihat Gambar). Kecepatan horizontal dan vertikal partikel fluida adalah
u
w
Hgk cosh{k ( h z )}
cosh( kh)
sin(kx) sin( t )
Hgk sinh{k ( h z )}
cosh( kh)
cos(kx)sin( t )
24
Anti node
Anti node
node
Anti node
Anti node
node
node
2H
SWL
-1,75L
-1,5L
-1,25L
-L
-0,75L
-0,5L
-0,25L
0
Gambar …. Gelombang Tegak (Standing Waves))
1/ 4 L,3/ 4 L, 5/ 4 L,......
Node (muka air diam ) terjadi di terjadi di
0, 1/ 2 L, L, 3/ 2 L, ..........
n 2
2n 1 4
L dan antinode
L
Kecepatan horizontal maksimum terjadi di node dimana kecepatan vertikal maksimum terjadi di antinode. Tekanan dinamik standing waves
3.5.
d
gH
cosh k ( z h) cosh( kh)
cos( kx) cos( t )
Gelombang Berkelompok
Bila terdapat dua gelombang harmonik 1 dan 2 yang mempunyai tinggi gelombang yang sama dan perioda yang hampir sama besar, gelombang tersebut membentuk gelombang yang disebut gelombang berkelompok dan adalah;
( x, t )
1 ( x,
Bila k2 = k ; 2 = ;
t)
dan dan
2 ( x,
t)
H 2
cos( k 1 x
k1 = k + k 1 = +
1t)
H 2
cos(k 2 x
2t)
25
k dan adalah bilangan yang sangat kecil. Dari penjumlahan diatas
dimana diperoleh ( x, t )
k
H cos(
2
x
2
t ) cos(kx
t)
Profil elevasi muka air ini dapat dilihat di gambar 2.7. Tinggi gelombang menjadi dua kali dan gelombang ini merambat dengan kecepatan rambat kelompok ( wave group celerity) sebesar; d
Cg
k
2 d
dk
dari persamaan dispersi diperoleh
g tanh(kh)dk
d
Cg
dk 1
Cg
2
C 1
1 2
gkh
g tanh(kh)
2kh sinh( 2kh)
2
cosh (kh)
dk
gkh 2
cosh (kh)
nC
dimana n
1 2
1
2kh sinh( 2kh)
untuk laut dalam n = ½ dan laut dangkal n = 1.0.
Fluktuasi muka air dari gelombang berkelompok merupakan gelombang yang k dibungkus oleh envelop H cos( x t ) envelop ini bergerak dengan kecepatan 2 2 C g
26
28
TABEL RINGKASAN KARAKTERISTIK GELOMBANG – TEORI GELOMBANG LINIER KARAKTERISITIK GELOMBANG
LAUT DANGKAL h L
1
20
20
sama dengan Profil Gelombang
Kecepatan Rambat Gelombang
Panjang Gelombang
Kecepatan Grup
C =
L T
=
h
L = T gh =CT
Cg = C = gh
Kecepatan Partikel Air
u =
H g
LAUT TRANSISI
1
cos
= C =
L =
H 2 L T
L
coskx t =
=
gT 2 2
gT 2
LAUT DALAM h 1 L 2
1 2 H 2
tanh kh
C = Co =
L = Lo =
1 2kh C 1 2 sinh 2kh
H gT cosh k z h
sama dengan
cos
tanh kh
Cg = nC =
u =
h
cos
L gT = T 2
gT 2 2
Cg = ½ C =
u =
H
= CoT
gT 4
e kz cos
28
TABEL RINGKASAN KARAKTERISTIK GELOMBANG – TEORI GELOMBANG LINIER KARAKTERISITIK GELOMBANG
LAUT DANGKAL h L
1
20
20
sama dengan Profil Gelombang
Kecepatan Rambat Gelombang
Panjang Gelombang
Kecepatan Grup
L
C =
T
Vertikal
= C =
h
L = T gh =CT
Cg = C = gh
Kecepatan Partikel Air
Horisontal
=
LAUT TRANSISI
1
L =
H 2 L T
H g cos 2 h
u =
w =
H z 1 sin T h
w =
L
coskx t =
=
gT 2
gT 2
LAUT DALAM h 1 L 2
1 2 H 2
2
tanh kh
C = Co =
L = Lo =
1 2kh C 1 2 sinh 2kh
H gT cosh k z h
cosh kh
2 L
H gT sinh k z h
cosh kh
2 L
sama dengan
cos
tanh kh
Cg = nC =
u =
h
cos
sin
L gT = T 2
gT 2 2
Cg = ½ C =
u =
w =
H T H T
= CoT
gT 4
e kz cos
e kz sin
29
Percepatan Partikel Air
Horisontal
Vertikal
Perpindahan Partikel Horisontal
Vertikal
Tekanan Bawah Permukaan
ax =
H
g
T
h
sin
g H cosh k z h
ax =
p
g H sinh k z h
= - H
H z 1 cos 2 h
= H
= g (-z)
cosh kh
L
HT g sin 4 h
= =
az = -
cosh k z h sinh kh
2
2
p
=
sin
cos
az = -2H e kz cos T
cosh kh
L
2
z az = - 1 cos T h
2
ax =2H e kz sin T
sinh k z h sinh kh
g
2
sin
cos
cosh k z h cosh kh
-gz
=-
H 2
e kz sin
=
H
p
= g e kz cos -gz
2
e kz cos
29
Percepatan Partikel Air
Horisontal
ax =
H
g
T
h
sin
g H cosh k z h
ax =
z az = - 1 cos T h
Perpindahan Partikel Horisontal
Tekanan Bawah Permukaan
p
g H sinh k z h
= - H
H z 1 cos 2 h
= H
= g (-z)
cosh kh
L
HT g sin 4 h
= =
Vertikal
az = -
cosh k z h sinh kh
2
2
p
=
sin
cos
az = -2H e kz cos T
cosh kh
L
2
Vertikal
2
ax =2H e kz sin T
sinh k z h sinh kh
g
2
sin
cos
cosh k z h cosh kh
-gz
=-
H 2
e kz sin
=
H
p
= g e kz cos -gz
2
e kz cos
4 Hindcasting Gelombang Prediksi gelombang akibat angin adalah berdasarkan pada model semi empiris yang dikembangkan oleh Sverdrup, Munk dan Bretscheneider yang berdasarkan teori pembangkit gelombang. Input yang digunakan adalah kecepatan dan arah angin, panjang fecth dan durasi angin bertiup. 4.1. Umum Pembentukan gelombang akibat angin diakibatkan oleh perbedaan tinggi tekan permukaan air laut, sehingga akibat perbedaan tersebut akan dihasilkan gelombang. Terjadi transfer energi angin keair dan energi itu berupa gelombang. Besar kecilnya gelombang yang dibangkitkan oleh angin sangat dipengaruhi oleh karaketristik perairan setempat seperti luas daerah perairan, kecepatan angin, lamanya angin bertiup, dan juga gesekan yang terjadi didalam air dan dasar perairan. Daerah dimana terbentuknya gelombang disebut Daerah Pembangkit Gelombang (Wave Generated Area) atau disini kita singkat
4 Hindcasting Gelombang Prediksi gelombang akibat angin adalah berdasarkan pada model semi empiris yang dikembangkan oleh Sverdrup, Munk dan Bretscheneider yang berdasarkan teori pembangkit gelombang. Input yang digunakan adalah kecepatan dan arah angin, panjang fecth dan durasi angin bertiup. 4.1. Umum Pembentukan gelombang akibat angin diakibatkan oleh perbedaan tinggi tekan permukaan air laut, sehingga akibat perbedaan tersebut akan dihasilkan gelombang. Terjadi transfer energi angin keair dan energi itu berupa gelombang. Besar kecilnya gelombang yang dibangkitkan oleh angin sangat dipengaruhi oleh karaketristik perairan setempat seperti luas daerah perairan, kecepatan angin, lamanya angin bertiup, dan juga gesekan yang terjadi didalam air dan dasar perairan. Daerah dimana terbentuknya gelombang disebut Daerah Pembangkit Gelombang (Wave Generated Area) atau disini kita singkat sebagai DPG. Daerah ini adalah daerah yang berada didalam kotak dan panjangnya Fetch.
Fetch
Seas Swell Kec. Angin U
Gambar
Pembentukan gelombang
Gelombang yang terjadi didalam daerah pembangkit gelombang adalah sangat acak dan ini disebut Seas setelah keluar dari daerah pembangkit gelombang gelombang yang lebih panjang akan merambat lebih cepat dan yang lebih pendek akan tertinggal dan kemudian pecah dan mengalihkan energinya ke gelombang yang lebih panjang. Gelombang akan berkelompok sesuai dengan periodanya (perioda yang berdekatan), gelombang ini sudah beraturan dan disebut Swell . Karakteristik swell adalah berupa gelombang panjang. Proses ini dapat diilustrasikan digambar berikut
IV - 1
Gambar Proses terjadimya gelombang akibat angin Kondisi gelombang dapat dikategorikan dalam skala yang digunakan oleh WMO ( World Meteorological Organization)
Tabel Klasifikasi kondfisi gelmbang (WMO) IV - 2
Usaha sudah dilakukan untuk mencari hubungan antara kecepatan angin dengan tinggi gelombang di suatu perairan atau peramalan gelombang dengan menggunakan data angin. Sampai saat ini yang sering digunakan adalah peramalan gelombang dengan persamaan empiris. Sampai sejauh mana taraf kesempurnaan peramalan tersebut sangat dipengaruhi oleh beberapa aspek seperti lokasi pengamatan angin dan panjang daerah bangkitan gelombang (fetch). Sehingga sebaiknya lokasi pengamatan tersebut berada di daerah lokasi yang sedang dikaji sehingga data yang diperoleh cukup akurat. Biasanya pengamatan angin dilakukan di stasiun-stasiun pengamatan angin yang sudah ada. Tidak semua tempat memiliki stasiun angin, oleh karena itu perlu dilakukan konversi tertentu terhadap suatu data angin jika digunakan di tempat lain. 4.2
Peramalan dan Hindcasting Gelombang
Peramalan gelombang adalah prakiraan tinggi dan perioda gelombang untuk waktu yang akan datang sedangkan hindcasting gelombang adalah memperkirakan tinggi gelombang dari data angin yang lalu telah terjadi. Hindcasting gelombang untuk mendapatkan historical data gelombang. Peramalan dan hindcasting gelombang pembentukan gelombang oleh angin.
dilakukan
berdasarkan
teori
Tinggi gelombang yang diperkirakan dari data angin (hindcasting) dapat dibedakan sebagai tinggi gelombang spectrum (spectral wave height) H m 0 dan tinggi gelombang signifikan (significant wave height) H s . H m 0 diperoleh dari analisis spectrum gelombang dan H s diperoleh dari analisis statistik. Dalam melakukan prediksi gelombang ini perlu ada beberapa hal yang perlu diperhatikan yaitu mengenai batasan parameter yang digunakan yaitu berupa panjang fetch F, dan durasi t. Bila lamanya angin bertiup cukup lama sehingga tidak tejadi lagi pertumbuhan tinggi gelombang ( telah jenuh ) maka disebut fully developed seas dan bila durasinya pendek maka disebut time limited dan bila fetch pendek dimana gelombang belum sempat tumbuh sempurna telah keluar dari daerah pembangkit gelombang maka disebut fetch limited. SPM (Shore Protection Manual) berdasarkan kepada teori SMB (Sverdrup, Munk dan Bretchneider) dan Hasselmann (JONSWAP) memberikan formula berikut
Untuk Perairan Dalam ( h/L > 0,5 ) Persamaan untuk menghitung tinggi dan perioda gelombang di perairan dalam yang dibangkitkan oleh angin adalah (juga nomogram yang dapat dilihat di Gambar ):
IV - 3
Fully developed seas(dimensionless) gH m 0 U a2 gT m U a gt U a
0.2433 8.132 71500
Dimana
U a kece kecepa pata tan n angi angin n yang ang tela telah h diko dikore reks ksii (m/d (m/det et)) T m perioda (det) t lama lamany nyaa angi angin n bert bertiu iup p det det Lamanya angin bertiup t dalam hal ini harus cukup lama memenuhi persamaan ketiga dari persamaan diatas. Fetchnya dianggap tidak terbatas. Bila lamanya angin bertiup lebih kecil maka kita tidak dapat menggunakan formula ini. Dianjurkan untuk memakai formula fetch limited. Contoh Diketahui kecepatan angin yang telah dikoreksi U a = 60 km/jam. Lamanya angin bertiup adalah t = 4 jam. Hitung tinggi gelombang laut dalam. Sebelum perhitungan dilakukan satuan dari masing-masing variabel harus disamakan dahulu. Ua = 60000 m/(3600 detik) = 16.67 m/det. Lamanya angin bertiup t = 4x3600 detik = 14400 detik. Dari persamaan ketiga diperoleh t 71500 x U a / g 71500 x 16.67 / 9.81 121498 detik = 33 jam harga ini lebih besar dari 14400 detik. Untuk kondisi ini kita memakai formula untuk fetch limited. Bila lamanya angin bertiup lebih besar dari 33 jam maka tinggi gelombang yang terjadi adalah U a2 H m 0 0.2433 x 9.81 6.88 meter 0.243 x (16.67) 2 / 9. g Perioda gelombang adalah U T m 8.132 x a 8.132 x 16.67 / 9.81 13.8 det ik g Fully developed seas biasanya menghasilkan swell kelihatan dari perioda gelombang yang mencapai 13.8 detik.
IV - 4
Fetch limited (dimensionless) gH m 0 U a2
1/ 2
gF = 1,6 x10 2 U a 3
1/ 3
gF = 2,8 2,857 57 x10 2 U a
gT m
1
Ua
gF = 6, 6,8 8 x1 0 2 U a
gt
2/3
1
Ua F
1 gt
571 U a
3/ 2
U a2 g
Pertama kita perlu mencek panjang fetchnya dari persamaan terakhir dan fetch sebenarnya harus lebih kecil dari fetch yang diperoleh. Kalau tidak maka berarti lamanya angin bertiup tidak cukup panjang ( time limited ). ). Fetch yang dipakai adalah yang terkecil. Contoh Bila untuk contoh soal diatas panjang fetch adalah 100 km. Berapa tinggi dan perioda gelombang. Lama angin bertiup yang efektif untuk panjang fetch F=100 km=100.000m adalah
gF t 68,8 2 Ua
2/3
U a g
9, 81 x100.000 = 68, 8 16, 67 2
2/3
67 16, 67 9, 81 27110 det 7, 529 am
lebih besar dari 4 jam=14400detik, untuk ini yang menjadi pembatas adalah lamanya angin bertiup. Untuk ini perlu dihitung panjang fetch efektif yaitu; F
1 9, 81 x14400
571
16, 67
3/ 2
16, 67 2 38700 m =38,7km 9 , 8 1
Tinggi gelombang dan perioda gelombang adalah 1/ 2
H m 0
1/ 2
gF U a2 16, 67 2 3 9, 81 x38700 1, 1, 6 x10 2 1, 6 x10 = H m 0 1, 9, 81 =1,675m 2 U g 1 6 , 6 7 a 3
1/ 3
1/ 3
gF U a 67 9, 81 x38700 16, 67 2,85 57 x10 2 = Tm 2,8 2,85 57 x10 -1 Tm 2,8 9, 81 =5,39det 2 1 6 , 6 7 U g a -1
Kalau seandainya lamanya angin bertiup lebih besar dari 7.531 jam maka tnggi dan perioda gelombang adalah; IV - 5
1/ 2
9, 81 x100000 16, 67 2 H m 0 1, 1, 6 x10 9, 81 =2,693m 2 1 6 , 6 7 3
1/ 3
67 9, 81 x100000 16, 67 Tm 2,8 2,85 57 x10 9, 81 =7,392det 2 1 6 , 6 7 -1
Dengan menggunakan nomogram
Tarik garis dari axis Fetch untuk 100km dan dari axis kecepatan angin (Wind Stress) untuk 16,67 m/det. kedua garis ini ketemu ketemu diantara (garis putus putus yang menyatakan durasi angin bertiup) 7hrs dan 8hrs kira kira 7,5 jam (hrs) hampir sama dengan hasil hitungan. Harga ini lebih besar dari 4 jam. Untuk durasi 4 jam, mulai dari perpotongan antara garis yang ditarik dari axis Wind Stress dengan durasi 4hrs tarik garis tegak lurus axis Fetch ketemu di 38 km yang hampir sama dengan hasil hitungan
IV - 6
IV - 7
Untuk Perairan Dangkal ( d/L < 0,04 ) Persamaan untuk menghitung tinggi dan perioda gelombang di perairan dangkal yang dibangkitkan oleh angin adalah: 1/ 2 gF 0,00565 2 3/ 4 gh gH U a 0, 283 tanh 0, 530 tanh 2 3/ 4 U a2 U a gh tanh 0, 530 2 U a
1/ 3 gF 0,0379 2 3/ 8 gh gT U a 7, 540 tanh 0,833 2 tanh 3/ 8 Ua U a gh tanh 0,833 2 U a
atau 1/ 2 gF 0,00565 3/ 4 2 2 U gh U a H 0, 283 a tanh 0, 530 2 tanh 3/ 4 g U a gh tanh 0, 530 2 U a 1/ 3 gF 0,0379 2 3/ 8 gh U U a T 7, 540 a tanh 0,833 2 tanh 3/ 8 g U a gh tanh 0,833 2 U a
t
537U a gT g
7/3
U a
dimana: H = tinggi gelombang (m) T = perioda gelombang (detik) h = kedalaman perairan (m) 2 g = percepatan gravitasi, (=9,81 m/det ) Ua= kecepatan angin setelah dikeoreksi (m/det) F = panjang fetch (m ) t = lamanya angin bertiup (detit )
Untuk laut dalam H m0 H s untuk laut dangkal bisa mencapai H s 1,3H m 0
IV - 8
4.3 Data Angin Data angin yang digunakan untuk perhitungan tinggi gelombang adalah data yang dicatat oleh BMKG (Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika). Pada umumnya data ini diperoleh dari Pelabuhan Udara. Data angin yang diperlukan adalah kecepatan dan arahnya. Data tersebut selanjutnya diolah secara statistik dan kemudian digunakan sebagai data masukan perhitungan tinggi dan perioda gelombang. Pada umumnya data angin yang diperoleh Pelabuhan Udara berupa kecepatan angin berikut arah untuk tiap-tiap jam. Data angin yang digunakan untuk peramalan tinggi gelombang adalah sebagai berikut : 1) Data angin yang dipersiapkan harus terdiri dari : Arah datang angin Kecepatan hembusan angin Durasi/lama hembusan angin. 2) Data angin tersebut harus berasal dari hasil catatan stasiun pencatat angin yang dapat mewakili kondisi angin di lokasi studi dengan kriteria : Stasiun berada tepat pada kawasan studi. Jika tidak ada, pilih lokasi stasiun yang terdekat dengan kawasan studi dengan syarat kedua lokasi tersebut memiliki kesamaan gradien tekanan udara dan perbedaan kekasaran yang tidak terlalu besar. Kondisi angin dapat dinyatakan secara diskriptif dengan menggunakan skala Beaufort sebagai tertera dalam tabel berikut
Tabel
Skala Beaufort IV - 9
4.3 Perhitungan Tinggi dan Perioda Gelombang Untuk menghitung peramalan tinggi dan perioda gelombang dengan masukan data berupa kecepatan dan arah angin, dilakukan dengan tahapan sebagai berikut : a. Menentukan Panjang Fetch Efektif Sebelum perhitungan tinggi gelombang dilakukan, diperlukan informasi lainnya yaitu berupa data peta bathimetri dari perairan kajian. Dari peta bathimetri ini selanjutnya dapat dihitung panjang Fetch Efektif dari perairan kajian berikut kedalaman rata-rata perairan dalam setiap arah yang dapat menyebabkan timbulnya gelombang. Panjang fetch dihitung dengan mengukur panjang lintasan garis lurus antara lokasi studi dan garis pantai di seberang lautan. Panjang fetch untuk suatu arah angin tertentu merupakan kumulatif dari panjang fetch efektif yang merentang/melingkup sektor sebesar -22.5 o sampai +22.5o terhadap arah angin utama. Rumus yang digunakan untuk menghitung panjang fetch efektif ini adalah: Feff
F cos cos i
i
(4.3.1)
i
dimana: F eff = panjang fetch efektif dari perairan kajian F i = panjang garis fetch untuk indeks ke i. i = simpangan garis fetch ke i terhadap arah utama i = menyatakan indeks dari garis fetch yang dibuat Kedalaman yang digunakan adalah kedalaman perairan rata-rata dan durasi angin adalah lamanya angin bertiup. Contoh perhitungan panjang Fetch dapat dilihat di Gambar berikut. Di grafik adalah contoh untuk perairan tertutup. Biasanya arah gelombang diambil permata angin yaitu
IV - 10
Barat
BD S
TG
Gambar Contoh penentuan Fetch ( Jeneponto)
IV - 11
Dari contoh tersebut diatas Panjang fetch untuk masing masing arah adalah
Dari contoh tersebut diatas Panjang fetch untuk masing masing arah adalah
b. Koreksi dan Konversi Kecepatan Angin Perlu diperhatikan bahwa data kecepatan angin yang diperoleh di Pelabuhan Udara terdekat ke lokasi perairan kajian pada umumnya dalam satuan knot (mil/jam) sedangkan yang digunakan dalam perhitungan adalah suatu nilai rata-rata dalam satuan meter/detik, sehingga untuk ini perlu dilakukan konversi satuan dari knot ke meter/detik dimana 1 mil laut setara dengan 1853,15 meter. Koreksi dan konversi yang dilakukan terhadap data angin adalah sebagai berikut :
1) Koreksi Elevasi Jika posisi stasiun tidak terletak pada elevasi 10 m, maka dilakukan koreksi terhadap data yang akan digunakan yaitu : 1/ 7
U (10)
10 = U (z) z
(4.2)
di mana : U(z) = Kecepatan angin menurut pencatatan stasiun pada elevasi z U(10) = Kecepatan angin pada elevasi 10 m di atas permukaan laut 2) Koreksi Stabilitas Jika udara (tempat angin berhembus) dan laut (tempat pembentukan gelombang) memiliki perbedaan temperatur, maka harus ada koreksi IV - 12
terhadap stabilitas kecepatan angin akibat kondisi ini, yang didefinisikan sebagai : U = R T U (10 )
(4.3)
di mana : RT = besar koreksi (dibaca dari grafik pada SPM 1984) U = kecepatan angin setelah dikoreksi dalam m/s
3) Koreksi tempat Data angin yang diperoleh di stasiun pengamat angin (biasanya di bandara) merupakan data angin yang dicatat di daratan, sedang terbentuknya gelombang adalah akibat dari angin yang terbentuk dan berhembus di laut, sehingga perlu dilakukan koreksi terhadap data hasil pencatatan dengan suatu reduksi yang diberi notasi R L. Jadi selain diperlukan faktor konversi satuan dari knot ke meter/detik, juga diperlukan pemberian faktor reduksi R L untuk mengubah angin darat menjadi angin laut. Rumusan untukmenghitung faktor reduksi R L diperoleh dari acuan Shore Protection Manual (SPM 1984), yaitu persamaan (4.4) sebagai berikut : R L
UW UL
(4.4)
dimana: IV - 13
RL = rasio antara kecepatan angin dilautan dengan kecepatan angin di daratan. Uw = kecepatan angin di lautan. UL = kecepatan angin di daratan. Harga RL ini didapat dari grafik hubungan antara R L vs UL yang terdapat pada figure 3-15 SPM 1984 berdasarkan data kecepatan angin di daratan UL dalam satuan knot. Dari persamaan (4.2) di atas, dengan diketahuinya harga RL dan UL maka besar kecepatan angin di laut dapat dihitung sebagai berikut: U W R L .U L
(4.5)
dimana harga R L diperoleh dari Gambar 4.1. Jadi, kecepatan angin lautan setelah dikoreksi dan dikonversikan adalah: U w
1853,15 R L
U L
3600
(4.6)
dimana: Uw = kecepatan angin setelah dikoreksi dan dikonversi, (meter/detik) RL = faktor reduksi dari kecepatan di daratan menjadi di lautan, non dimensi UL = kecepatan angin maksimum harian dari stasiun pengamat (knot)
Gambar 4.1 Perhitungan harga rasio R L sebagai fungsi dari U L IV - 14
4) Koefisien geser Tiap angin akan mengalami gesekan ( drag ) pada permukaan laut, sehingga kecep angin Uw, ini harus dikoreksi lagi terhadap faktor tegangan-angin (wind-stress factor ) dengan menggunakan persamaan (4.7a), (4.7b) atau (4.7c) yang dikutip dari buku Shore Protection Manual 1984, yaitu: 1, 23 (bila Uw dalam m/det.) U A 0,71 U W U A
1, 23 (bila Uw dalam m/jam) 0,589 U W
U A
1, 23 (bila Uw dalam knot) 0,689 U W
(4.7)a,b,c
Contoh Diketahui: Kecepatan angin didarat pada ketinggian z= 15m diatas permukaan laut U 40 knots tentukan kecepatan angin permukaan Tentukan kecepatan angin permukaan laut (Wind stress 1) Koreksi elevasi Sesuaikan dimensi (diubah ke m/det)
U
1853,15 x40 3600
20, 6 m / det kecepatan
angin 10 m diatas permukaan laut 1/ 7
10 U10 U z
1/ 7
10 20, 6 15
19, 44 m / det
2) Koreksi stabilitas tidak ada karena perbedaan suhu udara dengan air laut sangat kecil 3) Koreksi tempat gunakan grafik untuk U10 19, 44 m / det
R L 1, 2
U L 1, 2 xU10 1, 2 x19, 44 23, 33 m / det
4) Koreksi friksi U a 0, 71U L1,23 0, 71x23, 331,23 34,18 m / det
4.4 Distribusi Tinggi Gelombang (Prosentase Kejadian) Selanjutnya tinggi gelombang maksimum hasil dari perhitungan di atas akan didistribusikan (dikelompokkan) sesuai dengan interval tinggi gelombang yang telah ditentukan. Pengelompokan ini dilakukan untuk masing-masing arah berhembusnya angin yang membangkitkan gelombang tersebut, sehingga untuk setiap arah dan interval tinggi gelombang tertentu terdapat satu harga prosentase kejadian gelombang akibat angin. Pengelompokan data tinggi gelombang ini dilakukan untuk setiap bulan selama tahun pengamatan IV - 15
(minimum 10 tahun). Distribusi ini dimaksudkan untuk mengetahui prosentase kejadian gelombang akibat angin dan prosentase kejadian tidak adanya gelombang angin.
Tabel Contoh distribusi tinggi gelombang rata rata pertahun (1996-2005)
4.5 Menentukan Arah dan Tinggi Gelombang Dominan Tinggi dan arah gelombang yang dominan dapat dijelaskan dengan cara membuat diagram bunga (wave rose) untuk tiap-tiap bulan selama periode tahun-tahun pengamatan data angin dengan menggunakan data hasil dari distribusi tinggi gelombang maksimum (prosentase kejadian gelombang). Dari diagram wave rose ini, dapat ditentukan arah dan tinggi gelombang yang paling dominan pada setiap bulannya. Penggambaran wave rose dilakukan dengan memakai pasilitas program yang terdapat pada software aplikasi Autocad. Masukan data untuk Autocad ini berupa program (perintah-perintah) untuk penggambaran wave rose. Dengan cara yang sama dapat pula digambarkan wind rose yaitu diagram bunga yang menunjukkan arah berhembusnya angin yang paling dominan pada setiap bulan pengamatan.
IV - 16
Hourly Distribution of Wave Height and Direction in 1996-2005 at Labuan Based on W ind Data of Hasanudin
N
NW
NE 56 % 42 % 28 % 14 % 0%
W
E
SW
SE
S Calm = 59.12%
Unrecorded = 5.33%
Number of stripes in a ba r indicates wave height in meters. Length of a bar represents percentage of occurrence.
Gambar
Wave rose (di ambil dari distribusi tinggi gelombang)
IV - 17
4.6 Menentukan Tinggi dan Perioda Gelombang Maksimum Hasil perhitungan tinggi dan perioa gelombang kemudian disortir menurut tinggi gelombang yang paling maksimum. Penyortiran dilakukan untuk waktu 12 bulan (1 tahun) selama periode pengamatan, sehingga untuk setiap tahun pengamatan terdapat 1 (satu) harga tinggi dan perioda gelombang maksimum untuk setiap arah tertentu. 4.7 Menentukan Tinggi Gelombang Rencana untuk Beberapa Perioda Ulang Penentuan tinggi gelombang rencana untblk perioda ulang tertentu dapat dilakukan dengan cara analisa frekuensi peramalan kejadian ekstrim maksimum atau yang lebih dikenal dengan analisa distribusi kemungkinan kejadiaan. Distribusi yang sering digunakan dalam peramalan tinggi gelombang maksimum rencana adalah:
IV - 18
5. Statistik Gelombang Gelombang yang terjadi rill dilapangan adalah tidak beraturan (irregular), tidak memperlihatkan bentuk sinusoidal seperti yang telah dibahas didepan. Gelombang riil tersebut dapat diberlakukan dengan dua cara yaitu a) secara statistic gelombang per gelombang (time series) dan b) dengan cara pendekatan spectrum untuk dapat digunakan dalam aplikasi kerekayasaan. Statistik gelombang per gelombang (time series)
Data gelombang yang diperoleh dari pengukuran seperti yang terlihat pada Gambar berikut dianalisa dan kemudian dibagi menjadi segmen-segmen dimana masing-masing segmen mewakili gelombang dengan tinggi dan perioda tertentu.
Muka air rata-rata
(t)
Tr
Waktu t, detik Gambar Gelombang tidak beraturan Tr adalah panjang record yang dalam hal ini 360 detik. Muka air rata-rata, garis nol
H2
H1
H4 Waktu ,detik
T1
T2
T3
T4
T5
T6
Gambar Pembagian menjadi segmen dengan zero up crossing
Pembagian dapat dilakukan dengan metoda zero up crossing . Garis nol (zero) adalah garis permukaan air rata-rata. Saat garis elevasi muka air melintasi garis ini dari elevasi negative ke positif maka titik lintas disebut titik zero up crossing . Eevasi muka air yang berada didua titik lintasan yang berdekatan merupakan satu segmen. Dari segmen tersebut tinggi gelombang adalah selisih antara muka air tertinggi dengan muka air terendah dan perioda adalah waktu antara dua titik lintasan yang menjadi pembatas segmen tersebut. Dari Gambar diatas terdapat 6 segmen dengan 6 tinggi gelombang H1….s/d H6 dan 6 perioda gelombang T1……s/d T6. Record elevasi muka air yang riil diperoleh dari pengukuran dilapangan dan biasanya panjang record bias mencapai 4 jam. Untuk record sepanjang ini jumlah segmen N akan sangat besar misalnya bila perioda gelombang rata-rata adalah 8 detit akan terdapat N=1800. Tinggi gelombang tersebut diurut dari yang kecil keterbesar, tinggi gelombang rata-rata dari sepertiga gelombang terbesar disebut tinggi gelombang signifikan Hs atau H1/3. Probabilitas kejadian tinggi gelombang yang lebih besar dari Hd adalah P(H>Hd) = m/N dan yang lebih kecil dari Hd P(H
1
N
H N
i
dan perioda gelombang rata rata
i 1
T
T r N
Ts 1.1 1.3 T Tinggi gelombang yang diperoleh dari zero up crossing ini terdistribusi menurut distribusi Rayleigh yaitu.
perioda gelombang signifikan
H 2 p( H ) 2 exp 2 dan H rms H rms H 2 P ( H ) exp 2 H rms p( H ) probability density function P ( H ) cumulative distribution fucntion yaitu kemungkinan tinggi gelombang 2 H
lebih besar dari H
Tinggi gelombang signifikan dapat diperoleh dari harga rata-rata sepertiga gelombang terbesar, yaitu tinggi gelombang H 3 dimana kemungkinan tinggi gelombang yang terjadi lebih besar dari H 3 adalah sepertiga ( P(H 3 ) = 1/3).
0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20
luas 1/3
0,15 0,10 0,05 0,00
1.05
H/Hrms
Gambar Probability density function (pdf) dan cara menentukan H1/3
H 32 P ( H 3 ) exp 2 1 / 3 diperoleh H 3 1.05 H rms H rms kemudian dicari rata-rata
1/ 3 Hs
Hf (H )dH H 3
1/ 3 H s
H H 3
2 H H 2 rms
H 2 exp 2 dH H rms 2
H Misalkan x dan subsitusikan diperoleh H rms
1/ 3 H s
H 3 H rms
1
H rms x 2 exp x dx 2
12 H rms x exp x dx 1.103 H rms (0.472) Hs 1.416 H rms
H 3 H rms
1.05
Untuk yang umum
H n2 P ( H n ) exp 2 1/ n diperoleh Hn ln( n) H rms H rms kemudian dicari rata-rata
1/ n H1/ n
Hf (H )dH Hn
H 2 1/ n H1/ n H 2 exp 2 dH H rms H rms Hn 2 H Misalkan x dan subsitusikan diperoleh H rms 2 H
1/ n H1/ n
H n H rms
1
H rms x 2 exp x dx 2
H n H rms
ln( n)
12 H rms x exp x dx ln( n )
Untuk tinggi gelombang lainnya
0.886H rms H1/10 1.27 Hs 1.8 H rms H1/100 1.67 Hs 2.36 H rms 0.2886 0.247 Hs untuk N 1000 Hmax 1.86 H s Hmax log N 3/2 log N log N H
Tinggi gelombang signifikan Hs merupakan representasi dari gelombang tidak beraturan dan ini sama dengan tinggi gelombang yang dilihat secara visual. Contoh
Dengan menggunakan metoda zero up crossing dari dari data elevasi muka air pada gambar berikut diperoleh
Tabel. Dari Zero up crossing
Tabel. Setelah diurut
No
H
T
No
H
T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
4,75 1,94 2,63 3,88 4,00 0,94 1,75 1,75 1,19 3,13 2,63 1,30 2,00 2,44 1,50 1,00 1,30 2,44 3,88 2,19 3,06
6,67 7,22 5,00 5,00 5,56 3,89 5,00 5,00 3,89 6,67 6,67 4,44 5,00 6,11 6,11 5,00 5,56 8,89 5,00 4,44 4,44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0,94 1,00 1,19 1,30 1,30 1,50 1,75 1,75 1,94 2,00 2,19 2,44 2,44 2,63 2,63 3,06 3,13 3,88 3,88 4,00 4,75
3,89 5,00 3,89 4,44 5,56 6,11 5,00 5,00 7,22 5,00 4,44 6,11 8,89 5,00 6,67 4,44 6,67 5,00 5,00 5,56 6,67
Rata rata perioda Trata = 5.50 detik H1/3 = H s = 3.62 meter. Diperoleh dari rata rata 1/3 tertinggi (yang ditandai dengan titik titik)
4,0
3,0
2,0
1,0 ) m ( r i a 0,0 a k 0 u M
20
40
60
80
100
-1,0
-2,0
-3,0
-4,0
waktu(detik)
Gambar. Data elevasi muka air dan zero up crossing
Contoh
Dengan menggunakan distribusi Rayleigh tentukan probabilitas terjadinya gelombang H1/3, H1/10, H1/100
Hs 1.416H rms H1/10 1.27 Hs 1.8 H rms H1/100 1.67 Hs 2.3H rms H1/ 3
Probabilitas (kemungkinan) terjadinya gelombang lebih besar dari tinggi gelombang tertentu adalah
H 2 P ( H ) exp 2 H rms
2
120
Contoh
Dengan menggunakan distribusi Rayleigh tentukan probabilitas terjadinya gelombang H1/3, H1/10, H1/100
Hs 1.416H rms H1/10 1.27 Hs 1.8 H rms H1/100 1.67 Hs 2.3H rms H1/ 3
Probabilitas (kemungkinan) terjadinya gelombang lebih besar dari tinggi gelombang tertentu adalah
H 2 P ( H ) exp 2 H rms Untuk H1/3
Untuk H1/10
Untuk H1/100
1.416 H 2 H1/ 32 rms exp 2 exp 0.135 atau 13.5% H H rms rms 1.8 H 2 H1/10 2 rms exp exp 0.0392 atau 3.92% 2 H H rms rms 2.3H rms 2 H1/100 2 exp exp 0.005 atau 0.5% 2 H H rms rms
Tentukan tinggi gelombang yang kemungkinan terjadi gelombang yang lebih besar adalah 5%
H 2 0.05 exp 2 H rms 2 H H 2.996 rms
2
H ln 1/ 20 H rms H
1.731H rms
H
2
H ln 20 H rms
1.222H s
Hal yang sama untuk 4%
H 2 0.04 exp 2 H rms 2 H H 3.219 rms
2
H ln 1/ 25 H rms H
1.794H rms
H
2
H H ln 25 rms
1.267H s
Probabilitas (probablity density function) gabungan antara tinggi gelombang dan perioda gelombang diusulkan oleh Longuet Higgins 2 2 1 2 1 p( a, T ) exp 2 1 1 2 2
f ( )
a
a
H
m0
;
T T
;
f ( ) 1
2 4
2
Bandwidth m0 m2 m12 2 m12
m0 , m1, dan m2 adalah momen spektrum penjelasannya di Bab berikut Dimana
Tz rata rata perioda gelombang yang diperoleh dari zero up cros sing
rata rata perioda gelombang Tc rata rata perioda crest gelombang
T
The most probable maximum period untuk tinggi gelombang tertentu dapat diperoleh dari
T*
2 1 2 1 1
16 2 H *
;
H*
H H
;
T *
T T
2
Hubungan antara tinggi gelombang signifikan dan perioda gelombang signifikan bisa disederhanakan dalam bentuk Ts Hs dim ana 4.43 dan 0.5 untuk Lautan Atlantik di Kanada. Hubungan seperti ini juga bisa diperoleh dengan analisa data yang cukup panjang.
Contoh
Diketahui m0=28; m1=20; m2=18; H
3.0 m ; T 8.0 det
Tentukan perioda gelombang untuk tinggi gelombang H=4.5 meter
T*
2
(28)(18) 20 2 20
2
0.26
2 1 0.26 1 1
16(0.26)
0.993 ;
H *
4.5 3
1.5
T 0.993 * 8.0 7.97 det
(1.5)2
Gelombang Maksimum
0.886H rms Hrms 1.128 H Hs 1.60H 0.2886 0.247 Hs untuk N 1000 Hmax 1.86 H s Hmax log N 3/2 log N log N H
N = jumlah data Distribusi kemungkinan H/H rms adalah distribusi Rayleigh yang bisa dituliskan sbb
H 2 P ( H ) exp 2 ; atau P x exp x2 H rms x
H
H rms
P ( z) cumulative distribution fucntion yaitu kemungkinan tinggi gelombang lebih besar dari
Hmax adalah random variabel yang distribusinya tergantung pada jumlah data N seperti yang terlihat di Gambar berikut
Jika terdapat N gelombang didalam suatu badai maka distribusi gelombang maksimum adalah
P x maks
N
( x ) exp x 2
Dan fungsi kerapatan distribusi (pdf) adalah
p( x ) Nx exp x 2 1 exp x 2
N 1
Statistik Jangka Panjang
Untuk mendapatkan tinggi gelombang ekstrim dalam periode yang panjang mencakup beberapa tahun sangat dibutuhkan dalam perencanaan bangunan laut. Untuk itu diperlukan statistik jangka panjang yang melibatkan gelombang ekstrim. Data harus random dan independen. Bisa diambil data maksimum tahunan atau data maksimum yang satu sama lainnya tidak saling mempengaruhi. Data yang diperoleh dalam waktu yang sangat berdekatan biasanya saling terkait dan tidak independen. Misalnya gelombang yang terjadi saat ini akan tidak jauh bedanya dengan yang diperoleh besok atau lusa dst. Untuk ini diperkenalkan istilah perioda ulang ( return period atau recurrence interval). Yang dimaksud dengan perioda ulang (misalnya 100 tahun) adalah kemungkinan terjadinya gelombang ekstrim , rata rata dalam perioda yang lama adalah 100 tahun. Ini bukan berarti terjadinya setiap 100 tahun sekali. Misalnya kejadian tinggi gelombang ekstrim dengan perioda ulang 100 tahun bisa saja terjadi dalam kurun waktu 10 tahun tetapi kemungkinannya lebih kecil dari pada gelombang dengan perioda ulang 10 tahun. Dengan menggunakan teori statistik bilangan ekstrim, data dalam jangka waktu yang lebih singkat dapat digunakan untuk meramalkan bilangan ekstrim dalam jangka waktu yang lebih panjang.
Distribusi ekstrim yang dikenal berupa fungsi distribusi F (H s ) P H s
1. Fisher dan Tippet I (FT-I) atau Gumbell
Heks
Hs B A
F (H s ) 1 exp(
2. Fisher dan Tippet II atau Frechet k
H F (Hs ) exp( s k 2.5; 3.3; 5.0; 10.0 A Hs B k 3. Weibull F (Hs ) 1 exp k 0.75; 1.0 1.4; 2.0 A ln Hs B 2 1 exp 4. Log Normal F (H s ) A AH s 5. Log Pearson Tipe III k 1
ln Hs B ln Hs B F (H s ) exp A A AHs (k ) k skew ln Hs koreksi bias 1
6. Pearson Tipe III k 1
1 Hs B F (H s ) A(k ) A
Hs B A
exp
k
2 k G koefisien skew G Dimana
tinggi gelombang signifikan B parameter lokasi A parameter skala k parameter bentuk (.) fungsi gamma Hs
Yang sering dipakai untuk menentukan tinggi gelombang ekstrim adalah distribusi Fisher dan Tippet I (F_T I) atau Gumbell dan Weibull. Data yang digunakan sebagai input hanya dari harga ekstrim selama kejadian. Data pengukuran penuh (misalnya setiap jam selama 20 tahun) tidak direkomendasikan sebagai input. Data yang diambil adalah maksimum tiap tahun (misalnya terdapat 20 data untuk selama 20 tahun) atau data yang melampaui batas harga tertentu ( data bisa lebih banyak dari jumlah tahunnya, seperti yang terlihat di Gambar berikut).
Bila dimisalkan y
Hs
B
A
Persamaan F_T I atau Gumbell dapat dituliskan dalam bentuk
F (Hs ) exp exp y Dan persamaan Weibull dalam bentuk
F (Hs ) 1 exp y k
Gambar. Treshhold adalah batas yang dianggap ekstrim Kemungkinan (probabilitas) yang disesuaikan dengan rangking dapat dihitung dari formula berikut
ˆ 1. Gumbell F m
1
ˆ F m
1
2. F_T I
m N T 1
m 0.44 N T 0.12
m 0.20 3. Weibull
Dimana Fˆ P H m
s
ˆ F m
0.27 k 0.23
1 N T 0.20
k
H sm
Hsm tinggi gelombang dari data yang sesuai denganrangking m m uru tan rangking dari yang besar ke kecil 1,2,3,.......N
jumlah data input NT jumlah kejadian ( kejadian bisa terjadi lebih sekali dalam setahun ) ˆ ˆ Parameter A dan B dihitung dari hubungan Hsm Ay m B N
1.
ym
ln ln Fˆm untuk F _ T I atau Gumbell 1
2.
ym
ln ln 1 Fˆm
k
Weibull
Aˆ dan Bˆ diperoleh dengan regresi linear (leat square method) Persamaan linear H
ˆ Bˆ Ay
menentukan A dan B dari persamaan tersebut dengan ˆ menimize kesalahan kuadrat dari Ay Bˆ H m
N
N
Total kesalahan kuadrat
2
m 1
m 1
N
Minimize kesalahan
m 1
Aˆ
NBˆ
ˆ Ay m
Bˆ H sm
2
N
2
2
m 1
0 dan
N 2 ˆ N ˆ y A y m m B m 1 m 1 N y m Aˆ m 1
sm
Bˆ
0
diperoleh
N
H
sm
ym
m 1
N
H
sm
m 1
Persamaan diatas merupakan persamaan linear dengan yang tidak diketahui A dan B dan bila
N 2 c1 y m ; m 1
N d1 y m ; F1 m 1
N ym ; m 1
c2
d2 N ;
F2
N
H
sm
ym
m 1
N
H
sm
m 1
Diperoleh
d F d 1F2 Aˆ 2 1 ; Det Det
c F c 2F1 Bˆ 1 2 Det
c1d 2 c 2d1
Tinggi gelombang untuk perioda ulang tertentu dapat dihitung dari
Hsr
ˆ Bˆ Ay r
Dimana
tinggi gelombang signifikan untuk perioda ulang T r 1 y r ln ln 1 ; untuk F _ T I atau Gumbell T r
Hsr
yr
ln T r
1 k
jumlah kejadian(event ) rata rata
K
jumlah tahun data (tahun ) L
1 P 1 1 T r
L kurun waktu
N T K
Contoh
Diketahui tinggi gelombang maksimum per tahun selama 10 tahun Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
Hs 3,5 2,15 1,7 3,1 2,03 1,6 2,7 1,98 1,5 1,2
Rangking 3,5 3,1 2,7 2,15 2,03 1,98 1,7 1,6 1,5 1,2
Data dirangking besar ke kecil Disini N T = N = 10 dan jumlah tahun K =10 Untuk distribusi Gumbell 10 1 10 Hsm
1
3,5
0,945
2,866
10,031
8,214
2
3,1
0,846
1,787
5,541
3,194
3
2,7
0,747
1,232
3,327
1,518
4
2,15
0,648
0,836
1,797
0,699
5
2,03
0,549
0,513
1,041
0,263
6
1,98
0,451
0,227
0,449
0,051
7
1,7
0,352
-0,044
-0,074
0,002
8
1,6
0,253
-0,318
-0,509
0,101
9
1,5
0,154
-0,626
-0,939
0,392
10
1,2
0,055
-1,063
-1,275
1,129
5,410
19,388
15,564
Jumlah Diperoleh
21,460
Fm
ym
Hsmym
2
No
y
c1= c2= d1= d2= F1= F2=
15,564 5,410 5,410 10 19,388 21,460
Det=
126,368
A=0.615
dan B = 1.813
Tentukan tinggi gelombang untuk perioda ulang
y r
Hsr
T r =
100 tahun
1 ln ln 1 4.60 1 T 100 r ˆ Bˆ 0.615(4.60) 1.65 4.64 meter Ay r
Pendekatan dengan Spektrum
Gelombang tidak beraturan adalah merupakan superposisi dari gelombang-gelombang individual dengan perioda, tinggi, dan fasa yang berbeda; (t )
N
a
n
cos(n t n )
n 1
an amplitudo gelombang ke n
frekuensi sudut gelombang ke n n fasa gelombang ke n n
Pemisahan gelombang-gelombang individual ini dapat dilakukan dengan cara Fourier dan perangkat lunak yang efisien FFT (Fast Fourier Transform) tersedia sebagai subroutine dari berbagai program komersial yang ada.
6. Transformasi Gelombang Di Bab ini dijelaskan mengenai prinsip dan mekanisme perubahan gelombang atau transformasi gelombang dalam perjalanannya dari laut dalam ke laut dangkal dan akhirnya kepantai. Secara teoritis masalahnya sangat kompleks dan untuk mendapatkan hasil yang akurat dibutuhkan perhitungan numerik yang melelahkan dan hampir tidak mungkin diselesaikan tanpa bantuan computer. Di Bab hanya dibahas simplifikasi dari mekanisme tersebut. Untuk dapat memahami secara jelas mengenai proses transformasi ini, kita akan memisahkan proses ini sebagai berikut 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Shoaling Refraksi Difraksi Gelombang pecah Disipasi Interaksi gelombang dengan arus Interaksi gelombang dengan gelombang
Sebelum melamjutkan dengan pembahasan transformasi gelombang ini perlu dibahas mengenai energi dan daya gelombang
Energi Gelombang Energi gelombang terdiri dari energi gelombang potensial plus energi kinetic. Energi potensial persatuan lebar dan sepanjang L (panjang gelombang) adalah:
E p
1 16
gH 2 LT
(6.1)
Energi kinetic persatuan lebar sepanjang L dan satu perioda adalah;
Ek
1 16
g H 2
(6.2)
Energi gelombang persatuan luas dan perioda adalah
E E p E k
1 8
g H 2
(6.3)
Daya gelombang persatuan panjang dan perioda adalah
P P x EC g
(6.4)
Satuan dari Energi E adalah satuan energi persatuan luas yaitu Joule/m2 dan satuan daya adalah J/m2 .m/det = Joule/m/detik atau watt per meter lebar 6.1 Shoaling Bila gelombang mencapai perairan dangkal panjang gelombang menjadi lebih pendek dan paras gelombang akan bertambah curam dan tinggi gelombang juga akan berubah
h2 h1
Gambar 6.1.1 Profil gelombang Konservasi energi menyaratkan bahwa fluks energi di lokasi 1 sama dengan dilokasi 2 atau
EC g
1
EC g
2
1
1 gH 12 C g 1 gH 22 C g 2 8 8
(6.5)
C g 1 H K H s 1 C g 2 1
H 2
K s adalah koefisien shoaling, Cg adalah kecepatan rambat kelompok Cg = nC
6.2 Refraksi Refraksi adalah perubahan pada arah dan tinggi gelombang akibat perubahan dari batimetri terutama akibat pembelokan
k y
k x
θ
y
k
x Gambar 6.2.1 Arah gelombang yang dinyatakan dinyatak an dengan vector k
Untuk gelombang yang merambat dengan arah sembarang arahnya dinyatakan dengan
k k x i k y j
k k k x2 k y2 Bila arah gelombang membentuk sudut dengan dengan sumbu x maka
k x k cos k y k sin dan bila gelombang ( x, y, t )
( x, y, t ) k x x k y y t k . x t ;
H 2
cos(( x, y , t )) maka
k
Garis yang tegak lurus pada garis puncak gelombang(crest) disebut ray sudut
k y frekuensi gelombang hubungan dibawah ini berlaku k t x k () 0 0 atau t t t
arctan
pantai
Gambar 6.2.2. Crest dan 2 ray dengan kecepatan rambat yang berbeda Bila panjang gelombang tidak berubah menurut waktu maka frekuensi gelombang juga tidak berubah menurut lokasi dan perioda gelombang akan selalu tetap biarpun kedalaman perairan berubah.
maka Karena bilangan gelombang k merupakan gradient dari maka rotasi dari bilangan
gelombang sama dengan nol
xk x 0 atau
k x k y (k sin ) (k cos ) 0 atau 0 x y x y
bila kontur kedalaman dianggap
lurus dan sejajar maka tidak ada variasi dalam arah y
(k sin ) 0 berarti k sin kons tan x Snellius yaitu
yaitu
sin C
kons tan
sin C
sin 0 C 0
dan bila dibagi dengan diperoleh persamaan
dapat dihubungkan denagan laut dalam
(6.6)
Pada kenyataannya kontur batimetri tidak beraturan sehingga
k x k y (k sin ) (k cos ) 0 atau 0 berlaku atau x y x y
k cos
k k k sin cos sin x y y x
(6.7)
Persamaan diferensial order satu dan nonlinear ini harus diselesaikan dimana yang tidak diketahui adalah . Sedangkan bilangan gelombang dapat diperoleh dari persamaan dispersi. Metoda yang digunakan sering juga disebut ray tracing method yaitu dengan menyelesaikan persamaan
1 C 1 k dim ana C n s k n (6.8) dan cos sin sin cos s x y n x y
kordinat s dan n adalah sumbu yang berimpit masing-masing dengan arah gelombang dan garis puncak gelombang.
n y
x
k, s
Gambar 6.2.3 Sistem koordinat s,n Contoh refraksi dengan menggunakan ray tracing method dapat dilihat di Gambar berikut
Gambar 6.2.4 Refraksi gelombang menggunakan ray tracing method
Metoda Snellius dapat digunakan untuk batimetri yang sederhana dan diidealisasi seperti pada gambar berikut Perubahan tinggi gelombang dapat dihitung dengan menggunakan konservasi energi yang melalui dua wave ray yaitu
EnC 1 b1 EnC 2 b2
bila E
1 8
gH 2
Bila diketahui tingi gelombang dilokasi 0 maka tinggi gelombang dilokasi 1 adalah
H 1 H 0 atau dimana
C g 1
b1
C g 2
b2
H 1 K s K r H 0 K s dan K r masing koefisien shoaling dan refraksi
Gambar 6.2.5 Refraksi dikontur yang sederhana
(4.9)
Dalam menggunakan persamaan Snellius diasumsikan bahwa kontur sejajar dan perubahan kedalaman tidak gradual tetapi dalam bentuk step
Untuk kontur yang sederhana seperti Gambar diatas koefisien refraksi dapat dihitung dari
b K r 0 b1
0.5
cos 0 cos 1
0.5
1
1 sin 0 4 2 1 sin 1 2
(6.10)
Contoh S hoaling dan R efraks i Gelombang dengan tinggi H = 5.0 meter, perioda T = 10 detik, dataing dari arah terhadap garis tegak lurus pantai dan bergerak dari laut dalam kelaut dangkal . Bila kontur kedalaman sejajar pantai. Tentukan arah dan tinggi gelombang pada kedalaman d = 10 meter.
Panjang gelombang laut dalam adalah L0 1.56 T 1.56(10) 156 meter 2
2
Kedalaman yang masih merupakan laut dalam diperoleh dari criteria laut dalam yaitu
d L
1 2
d
L0 2
156 2
78meter
Gunakan peralihan kontur tiap 5.0 meter, kita dapat memulai refraksi dari kedalaman d = 80 meter dan propagasi sampai kedalaman d = 10 meter.
Arah gelombang diperoleh dengan menggunakan formula Snellius, kita dapat menghitung arah gelombang untuk kontur kedalaman 75m; 70m; 65m; 60m; 55m; 50m; 45m; 40m; 35m; 30m; 25m; 20m; 15m; 10m.
sin C
sin 0 C 0
konstan
C 0 = L0 /T=15.6 m/detik
Karena konturnya sejajar maka arah gelombang langsung dapat dihitung dengan menggunakan
sin 10 C10
sin 0 C 0
sin 300
15.6
0.5 15.6
0.032
Dengan menggunakan table atau metoda Newton – Raphson panjang gelombang di kedalaman d=10 meter adalah L10 92.2
C 10
L10 T
92.2 10
9.22 m/det
sin 10 0.032 x9.22 0.295 Arah gelombang pada kedalaman d=10 m eter adalah
10 arcsin(0.295) 17.20 Tinggi gelombang di kedalaman d = 10 meter adalah H10 K s K r H 0
K s
C g 0 C g 10
Cg 0 n0C 0 0.5 x 15.6 7.8 C g 10 n10 C10 n10 x9.22
2 2 0.068 k 10 sinh 2 k d L 92.2 10 10 n10 0.873 C g 10 0.873x9.22 8.05 n10 0.5 1
K s
7.8 8.05 0.5
2k10 d
0.984 0.5
b cos 0 K r 0 b10 cos 10 K r 0.952
1
1
1 sin 0 1 sin 30 4 2 2 1 sin 10 1 sin 17.2 2
H10 0.984 x 0.962x 5.0 4.684 meter
4
2
Difraction 6.3 Difraksi Difraksi perpindahan energi gelombang arah lateral karena adanya gradient tinggi gelombang sepanjang puncak gelombang (crest). Hal ini disebabkan oleh adanya rintangan. Dalam praktek ditemukan misalnya difraksi akibat adanya bangunan laut seperti breakwater atau adanya pulau dll. Gambar 6.3.1. dan 6.3.2. merupakan contoh proses difraksi.
Figure 6.3.1 Caustic ditemukan dibelakang pulau tenggelam.
Gambar 6.3.2. Difraksi gelombang melalui bukaan
Gambar berikut (Gambar 6.3.3) memperlihat proses difraksi gelombang pada saat gelombang datang berbenturan dengan breakwater maka akan terjadi pantulan gelombang akibat benturan langsung dengan tubuh breakwater dan penetrasi gelombang melalui mulut breakwater. Diujung breakwater terjadi propagasi arah lateral dari energi gelombang yang mengakibatkan reduksi tinggi gelombang.
Gambar 6.3.3 Difraksi gelombang diujung breakwater Teori difraksi yang diberikan disini difokuskan pada difraksi pada mulut kolam pelabuhan yang dilindungi oleh breakwater. Kedalaman dianggap konstan dan gelombang adalah gelombang monochromatic. Diagram berikut ini dapat digunakan untuk membantu menentukan tinggi gelombang setelah melintasi breakwater dan mengalami difraksi. Koefisien yang terdapat didalam diagram pada Gambar 4.3.4a sd 6.3.4k adalah adalah koefisien diraksi K D dimana tinggi gelomang setelah terdifraksi adalah H K D H i
H i tinggigelombangdatang .
Gambar 6.3.4a Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 150
Gambar 6.3.4b Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 300
Gambar 6.3.4c Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 450
Gambar 6.3.4d Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 750
Gambar 6.3.4e Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 900
40,6
40,6
Gambar 6.3.4f Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 1050
Gambar 6.3.4g Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 1350
Gambar 6.3.4h Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 1500
Gambar 6.3.4i Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 1650
Gambar 4.3.6j Difraksi gelombang untuk sudut datang gelombang 1800
Contoh Soal: Diketahui gelombang datang dengan tinggi H=5,0 meter, Perioda T=10 detik, dan arah
150 seperti yang terlihat pada Gambar. Tentukan tinggi gelombang pada posisi P yang tercantum di Gambar bila kedalaman perairan adalah h= 10 meter.
350m
P
300m
150
Contoh Soal: Diketahui gelombang datang dengan tinggi H=5,0 meter, Perioda T=10 detik, dan arah
150 seperti yang terlihat pada Gambar. Tentukan tinggi gelombang pada posisi P yang tercantum di Gambar bila kedalaman perairan adalah h= 10 meter.
350m
P
300m
150
Sesuai dengan arah datang gelombang kita dapat menggunakan diagram difraksi Gambar 4.3.4f untuk sudut datang 105 0 . Untuk ini perlu dihitung panjang gelombang dapat menggunakan Tabel atau Newton Raphson atau formula lainnya. Disini kita akan menggunakan tabel. a) Hitung L0 1,56T 1, 56(10) 156m 2
b) Tentukan
h L0
d L0
2
10 156
0,06410 lihat tabel untuk harga ini
c) Dari tabel berada antara nilai 0,0600 dan 0,0700
d L
0,1043
L
10 0,1082
0,06410 0,0600 0, 0700 0, 0600
0,1139 0,1043 0,1082
=92,42 meter; R
3002 3502 =461meter,
R L
4,988 5
300 300 arcsin arcsin 0, 6508 =40,60 dengan R 5 dan 40, 60 R 461 diperoleh K D 0,107 (lihat Gambar 4.3.4f). Tinggi gelombang di P H 0,107(5,0) 0,535 meter arcsin
Untuk gelombang datang monochromatic yang melalui bukaan degan lebar bukaan B L panjang gelombang dan datang dari berbagai arah dapat diperoleh dari diagram pada Gambar 4.3.5a sd 4.3.5.. Bila bukaan lebih besar lima kali dari panjang gelombang efek bukaan akan hilang dan bisa dianggap sebagai gabungan dari dua semi infinit breakwater.
Gambar 6.3.5a Difraksi gelombang melalui bukaan sudut datang gelombang 00
Gambar 6.3.5b,c Difraksi gelombang melalui bukaan =150 dan 300
Gambar 6.3.5d Difraksi gelombang melalui bukaan =450
Gambar 6.3.5e Difraksi gelombang melalui bukaan =600
Gambar 6.3.5f,g Difraksi gelombang melalui bukaan =750 dan 900
Contoh Soal: Diketahui gelombang datang dengan tinggi H=5,0 meter, Perioda T=10 detik, dan arah 150 seperti yang terlihat pada Gambar. Tentukan tinggi gelombang pada posisi P yang tercantum di Gambar bila kedalaman perairan adalah h= 10 meter.
350m
P
300m
L
150
Sesuai dengan arah datang gelombang kita dapat menggunakan diagram difraksi Gambar 4.3.5f untuk sudut datang 75 0 . Panjang gelombang telah dihitung pada soal sebelumnya L=92,42 meter. Dicontoh ini X= 350 meter dan Y=300 meter.
X L
350 92, 42
3, 788
Y L
300 92, 42
3, 246 dari diagram diperoleh K D lebih kecil sedikit
dari 0,10. Terdapat reduksi tinggi gelombang dibandingkan dengan hanya sebelah saja yang dilindungi.
6.4 Gelombang Pecah Gelombang yang merambat dari lepas pantai akan pecah saat sampai di pantai. Lokasi gelombang pecah ini disebut Breaker Zone . Kondisi pecah merupakan salah satu kriteria disain untuk bangunan pantai. Arus yang diakibat oleh gelombang (wave induced current) terjadi di daerah selancar (surf zone). Arus ini menyebabkan terjadinya transpor sedimen litoral. Dalam perjalanannya dari lepas pantai ke pantai panjang gelombang berkurang dan gelombang semakin curam ( H/L semakin besar). H/L disebut kelandaian (steepness) dari gelombang dan ini akan terus bertambah sampai gelombang pecah. Gelombang pecah bila kelandaian ini mencapai limit tertentu yang di daerah selancar merupakan fungsi dari d/L dan kelandaian dasar pantai m.
Offshore
breaker zone
surf zone Run up
Kelandaian dasar m
1
h b
Breaking point Gambar 6.4.1 Gelombang pecah
Untuk mengetahui perubahan gelombang di daerah selancar perlu diketahui terlebih dahulu diketahui kapan saat dimulainya gelombang pecah tersebut di breaking point. Tipe gelombang pecah Gelombang pecah dapat diklasifikasi atas empat klasifikasi yaitu tipe spilling, plunging, colllapsing , dan surging. Tipe gelombang pecah ini dikaitkan dengan parameter wave similarity.
tan H 0
m
H 0
L0
L0
dimana
H 0 , L0 adalah tinggi dan panjang gelombang laut dalam, adalah sudut kelandaian dasar Surging/Collapsing Plunging Spilling
3.3 0.5 3.3 3.3
bila
Gelombang pecah tipe plunging mempunyai turbulensi yang paling besar dan menyebabkan terjadinya penggerusan sediment dasar yang kemudian bercampur dengan fluida. Tipe spilling mempunyai efek turbulensi yang paling kecil dibawah permukaan air terutama didasar.
SPILLING
PLUNGING
COLLAPSING
SURGING
Gambar 6.4.3 Tipe gelombang pecah
Kriteria Gelombang Pecah Telah banyak penelitian yang dilakukan untuk mempelajari awal dari terjadinya gelombang pecah Hb, breaker index digunakan untuk menggambarksn tinggi gelombsng pecah dalam bentuk tidak berdimensi yaitu
H b
Breaker depth index
b
Breaker height index
b
hb H b H 0
dan
Dimana H b , hb masing-masing tinggi gelombang pecah dan kedalaman terjadinya gelombang pecah. Disebabkan oleh karena mekanisme gelombang pecah yang sangat rumit, formula mengenai gelombang pecah ini berdasarkan dari hasil penelitian empiris dari percobaan laboratorium. Terdapat banyak sekali formula tersebut yang dapat di list sebagai berikut; 1) McCowan (1894) berdasarkan teori gelombang solitary pada kedalaman konstan
b 0.78 Dalam kenyataannya breaking index bervariasi antara 0.4 sampai dengan 1.2 tergantung dari kelandaian pantai dan tipe gelombang pecah
2) Miche (1944) merupakan formula yang semi teoritis untuk gelombang periodik dan untuk kedalaman laut transisi
2 hb H b 0.142 Lb tanh L b Lb = panjang gelombang pecah 3) Weggel (1972) mengusulkan formula berikut
b
H b hb
ba
H b gT 2
a 43.751 e 19 m b
1.56 1 e 19.5m
4) Battjes (1974)
H b hb
1.062 0.137 ln
5) Komar and Gaughan (1972), berdasarkan teori gelombang linear, tidak ada pengaruh m):
b
H b H o
0.563
H o L o
1
0 .2
6) Kaminsky and Kraus (1993):
b
H b H o
0.46
H o L o
0.28
, atau H b 0.39 g 5 TH o
2
2
5
7) Goda (2000); Goda mengusulkan diagram disain untuk batasan gelombang pecah untuk gelombang beraturan yaitu berdasarkan dari hasil percobaan di laboratorium. Diagram disain ini juga dapat dinyatakan dalam persamaan berikut 3 1.5 h 4 0.17 1 exp 1 1. 5 tan L0 L 0
H b
adalah sudut kelandaian pantai
6.5 Disipasi dan decay Setelah gelombang pecah tinggi gelombang berkurang karena mengalami disipasi akibat pecah (disipasi dengan adanya turbulensi) , energi gelombang diubah menjadi panas. Untuk memprediksi tinggi gelombang didaerah selancar (surf zone) dapat digunakan persamaan keseimbangan energi langgeng (steady state energy balance) yaitu;
d EC g dx
dimana
1 E energi gelombang H 2 8 C g kecepatan rambat kelompok gelombang = laju disipasienergi dihitung per unit luas permukaan Dally, Dean,dan Darymple memperkenalkan model laju disipasi
h
EC
g
EC g ,s
dimana
koefisien decay 0,15 dan
EC g , s fluks energi gelombang stabil H stabil h; koefisien empiris 0, 4 Untuk gelombang linear diperoleh
d H 2 h0,5 dx
0
H h
2
h0,5 2 h2,5
untuk H H stabil untuk H H stabil
Gambar 6.3.5 Perubahan tinggi gelombang didaerah surf zone
6.
Teori Gelombang Nonlinier
Derajat nonlinear dari gelombang sering ditentukan dari bilangan Ursell N Ursell yang merupakan perbandingan antara kelandaian gelombang (wave steepness) dan kedalaman relative 3
NUrsell kelandaian gelombang /( kedalaman relatif )3 H / L / h / L HL2 / h3 Tiga jenis gelombang linear yang umum dikenal adalah gelombang Stokes, gelombang Cnoidal,dan gelombang Solitary. Gelombang Cnoidal dan Stokes berlaku untuk 10 N Ursell 26 , untuk N Ursell 10 hanya gelombang Stokes yang berlaku, untuk
N Ursell 26 hanya gelombang Cnoidal yang berlaku. Untuk lebih jelasnya keberlakuan jenis gelombang dapat dilihat di Gam bar… Disamping ketga gelombang linear diatas dikenal juga gelombang Dean’s Stream ( dperkenalkan oleh Dean) yang berlaku hampir disemua bilangan Ursell kecuali untuk laut dangkal. Teori fungsi Dean’s Stream menggunakan stream function.
Tentukan bilangan Ursell untuk laut dangkal dan laut dalam. Untuk laut dangkal L CT T gh N Ursell
HL2
gHT 2
h3 h2 Untuk laut dalam L
g 2
6.1.
T
2
2 H gT N Ursell h 2 h
2
Gelombang Stokes
Dalam teori gelombang Stokes, gelombang dinyatakan dalam penjumlahan gelombang harmonic yang masing masing komponen penjumlahan merupakan wakil dari order gelombang. Order gelombang dinyatakan dalam pangkat dari kelandaian gelombang
ak
dimana a amplitudo gelombang
H 2
Perkenalkan variabel tidak berdimensi
X xk ; Z zk t;
/ a;
ag
;
Q
C
gk ; D 2 ag
Untuk gelombang Stokes berlaku )
(1)
(2) 2 (3) .................. j 1 ( j ) ....
(1)
(2) 2 (3) .................. j 1 ( j ) .......
Order 1
cosh kh Z
(1)
cosh kh
sin X ;
(1) cos X ; Q (1) 0
Order 2
(2)
cosh 2kh 2Z
3
3
kh cosh kh coth kh
8 sinh
dimana
sin 2 X 2 ;
(2)
3 4
2
1 cos 2 X 2 ;
Order 3
(3)
1 64
(3)
2 1 2 3 9 2 13
3
8
4
cosh 3kh 3Z
3 2 3 cos X
cosh kh 3
8 64
6
sin 3 X 3 2
2 1 cos 3X 3
Setelah dikonversi ke koordinat berdimensi menjadi Order 1
(1)
Hg cosh k ( z h 2
cosh kh
sin kx t ;
(1)
H 2
cos kx t
Order 2
(2)
( 2)
3 H 2 gk
32
1 16
2
2
1 cosh 2k z h sin 2kx 2 t
3 2 1 H 2 k cos 2kx 2 t
Order 3
(3)
(3)
gk 2 H 3 512 3 H 3 k 2 64
2
1 2 3 9 2 13
cosh 3k z h cosh 3kh
sin 3kx 3t
2 3H 3 k 2 6 3 3 cos kx t 512 8 2 1 cos 3kx 3t 4
2
Persamaan dispersi untuk gelombang Stokes order 3
H 2 k 2 gk tanh kh 1 4 2
2 9 2 2 1 8
Sampai dengan gelombang order 2 (dua) persamaan dispersi untuk gelombang linear masih berlaku yaitu gk tanh(kh) Gelombang nonlinear sampai order 2 2
Hg cosh k ( z h 2
cosh kh
sin kx t
3H 2 gk
32
2
2
1 cosh 2k z h sin 2kx 2 t
Persamaan ini sama dengan (coba buktikan)
Hg cosh k ( z h 2
H 2
cosh kh
cos kx t
sin kx t
H 2 k 16
3H 2 cosh 2k z h 32
sinh 4 kh
sin 2 kx 2 t
ini sama dengan 3 2 1 cos 2kx 2 t persamaan
(coba buktikan) dengan
H 2
cos kx t
H 2 k cosh kh 16sinh 3 kh
2 cosh 2kh cos 2kx 2 t
Kecepatan dan percepatan bisa diperoleh dari
; x u a x ; t
u
z w az t
w
Untuk menghitung tekanan dinamik digunakan persamaan Bernoulli untuk aliran unsteady yang diperoleh dari persamaan Euler
p 1 2 gz C 2 t 1 2 gz C p t 2
tekanan dinamik
p D
1 2 C t 2
Untuk sampai order 2 2 (1) ( 2 ) 1 (1) C (1) C ( 2 ) p D t t 2
Elevasi muka air untuk gelombang Stokes oreder 2 terdapat secondary crest pada lembah gelombang. Hal ini tidak terjadi bila
L2 H h3
8 2 3
Untuk disain struktur lepas pantai umumnya dipakai gelombang Stokes order 5
5
a cos i i
i 1
1
cos 2 B22 4 B24 cos 2 3 B33 5 B35 cos 3 4 B44 cos 4 5 B55 cos 5 k
dimana
kH 2
B22
2ch
B24
272ch
B35
1 ch 8
504ch6 192ch4 322ch2 21 ch 384ch9
3 8ch6 1 64 sh6 88128ch14 208224ch12 70848ch10 54000ch8 21816ch6 6264ch4 54ch2 81 12288 sh12 6ch2 1
768ch
10
B55
2
4 sh3
B33
B44
kx t
;
448ch8 48ch6 48ch4 106ch2 21 ch 384 sh9 6ch 2 1
192000ch16 262720ch14 83680ch12 20160ch10 7280ch8 7160ch6 1800ch4 1050ch2 225 12288 sh10 6ch2 1 8ch4 11ch2 3
Dimana sh sinh kh ch cosh kh Persamaan nonlinear tinggi gelombang dan persamaan dispersi adalah merupakan fungsi dari k dan yaitu
H
2
5 B33 3 B35 B55 55 k
2 gk tanh kh 1 C1 2 C 2 4 C 1 C 2
8ch4 8ch2 9 8 sh 4 3840ch12 4096ch10 2592ch8 1008ch6 5944ch4 1830ch2 147 512 sh10 6ch2 1
Seperti untuk menyelesaikan persamaan dispersi gelombang linear metoda Newton Raphson dapat digunakan untuk mendapatkan harga k dan bila diketahui tinggi gelombang H , kedalaman dan perioda gelombang h dan T Kecepatan partikel fuida untuk gelomang Stokes order 5 adalah
A11 3 A13 5 A15 cosh k h z cos 2 4 2 A22 A24 cosh 2k h z cos 2 u k 3 3 A 5 A cosh 3k h z cos 3 33 35 4 5 4 A44 cosh 4k h z cos 4 5 A55 cosh 5k h z cos 5 A11 3 A13 5 A15 sinh k h z sin 2 4 2 A22 A24 sinh 2k h z sin 2 w k 3 3 A 5 A sinh 3k h z sin 3 33 35 4 5 4 A44 sinh 4k h z sin 4 5 A55 sinh 5k h z sin 5 A11
1 sh
A13 A15
ch2 5ch2 1 8 sh5 1184ch10 1440ch8 1992ch6 2641ch4 249ch2 18 1536 sh11
A22 A24 A33
A35 A44 A55
3 8 sh 4 192ch8 424ch6 312ch4 480ch2 17 768 sh10 13 4ch2 64 sh7 512ch12 4224ch10 6800ch8 12808ch6 16704ch4 3154ch2 107 4096 sh13 6ch2 1 80ch6 816ch4 1338ch2 197 1536 sh10 6ch2 1 2880ch10 72480ch8 324000ch6 432000ch4 163470ch2 16425 61440ch11 6ch ch2 1 8ch4 11ch2 3
Program computer dalam FORTRAN untuk gelombang Stokes order 5 c c c
Stokes 5th order wave theory program program stokes5 real lam,k,ks,kk dimension a(5),cs(5),sn(5),ch(5),sh(5) character code*1 common /one/ h,t,d,g,pi,lam : /two/ b33,b35,b55,c1,c2 : /thr/ a11,a13,a15,a22,a24,a33,a35, a11,a13,a15,a22,a24,a33,a35,a44,a55,b22,b24, a44,a55,b22,b24, : b44,c3,c4,cstar
c c Input data etc c pi= 4*atan(1.0) 4*atan(1.0) g= 9.81 print*,'wave print*,'wave height height (m) = ' read*,h print*,'period print*,'period (s) = ' read*,t print*,'water print*,'water depth depth (m) = ' read*,d om= 2*pi/t c c Solve for linear k c k= om*om/g 10 fk= g*k*tanh(k*d)-om*om fd= g*tanh(k*d)+g*k*d/cosh(k*d)**2 dk= -fk/fd k= k+dk if (abs(dk).gt.k*1.0e-5) goto 10 c
c Solve for 5th order k c el1= 2*pi/k write(*,2) el1 2 format(' First order L(m) = ',f8.3) call bisec(k,0.83333*k,0.99999*k,k/10000,*13) el5= 2*pi/k write(*,3) el5 3 format(' Fifth = ',f8.3) c c Print column headings c write(*,'(/a)') ' Conditions at the free surface:' write(*,5) 5 format(/' x/L eta(m) u(m/s) v(m/s) ', : 'ut(m/ss) vt(m/ss) du(m/ss) dv(m/ss)', : ' pr(m)'/) c c Compute remaining coefficients etc c call abc2(k*d) cel= om/k kk= (lam**2*c3+lam**4*c4)/k r= cel*cel/(2*g)-kk a(1)= cel*(lam*a11+lam**3*a13+lam**5*a15) a(2)= 2*cel*(lam**2*a22+lam**4*a24) a(3)= 3*cel*(lam**3*a33+lam**5*a35) a(4)= 4*cel*(lam**4*a44) a(5)= 5*cel*(lam**5*a55) c c Kinematics are computed and printed out at npt phase angles: c get the corresponding x values (x=0 is a crest, and t=0 throughout) c npt= 30 do 12 i=1,npt th= (i-1)*2*pi/float(npt-1) x= el5*(i-1)/float(npt-1) c c Compute the corresponding water surface elevations (eta) c do 16 j=1,5 cs(j)= cos(j*th) 16 sn(j)= sin(j*th) eta= (lam*cs(1)+ : (lam**2*b22+lam**4*b24)*cs(2)+ : (lam**3*b33+lam**5*b35)*cs(3)+ : lam**4*b44*cs(4)+ : lam**5*b55*cs(5))/k c c Compute ks=k*(d+y) at the points at which kinematics are required (in this c case on the free surface), and various cosh and sinh c ks= k*(d+eta) do 17 j=1,5 ch(j)= cosh(j*ks)
17 sh(j)= sinh(j*ks) c c Compute the particle velocity components, local accelerations, c total accelerations and pressure, and print c u= 0 v= 0 p= 0 q= 0 do 15 j=1,5 u= u+a(j)*ch(j)*cs(j) v= v+a(j)*sh(j)*sn(j) p= p+a(j)*ch(j)*sn(j) 15 q= q+a(j)*sh(j)*cs(j) ut= om*p vt= -om*q dux= -k*p duy= k*q dvx= duy dvy= -dux du= ut+u*dux+v*duy dv= vt+u*dvx+v*dvy pr= r-((u-cel)**2+v**2)/(2*g)-eta 12 write(*,4) x/el5,eta,u,v,ut,vt,du,dv,pr 4 format(1x,f5.3,8f9.3) c print* print*,'Press Enter to close this window' read(*,'(a)') code stop c c c 13 print*,' Crashed!' print* print*,'Press Enter to close this window' read(*,'(a)') code stop end c c c subroutine bisec(x,a,b,eps,*) call func(a,*131,*132,q) call func(b,*131,*132,r) if (q*r.gt.0.0) return 1 q= (b-a)*sign(1.0,q)*0.5 x= (a+b)*0.5 e= eps*0.5 10 q= q*0.5 call func(x,*131,*132,r) x= q*sign(1.0,r)+x if (abs(q).gt.e) goto 10 return 131 return 1 132 return 1 end
c c c subroutine func(k,*,*,x) real lam,k common /one/ h,t,d,g,pi,lam : /two/ b33,b35,b55,c1,c2 call abc1(k*d) a= c2 b= c1 c= 1-2*pi/((g*t*t*0.5/pi)*k*tanh(k*d)) dis= b*b-4*a*c if (dis.lt.0.0) return 1 q= (-b+sqrt(dis))/(2*a) if (q.lt.0.0) return 2 lam= sqrt(q) x= 2*(lam+lam**3*b33+lam**5*(b35+b55))/k-h return end c c c subroutine abc1(kd) real kd,lam common /one/ h,t,d,g,pi,lam : /two/ b33,b35,b55,c1,c2 c s= sinh(kd) b33=3./8.+(9.*s**(-2))/8.+(9.*s**(-4))/8.+(27.*s** : (-6))/64. b35=(459.*s**2)/(384.*s**2+320.)+4257./(768.*s**2+ : 640.)+(3501.*s**(-2))/(384.*s**2+320.)+(7695.*s**(: 4))/(1536.*s**2+1280.)+(-7389.*s**(-6))/(3072.*s** : 2+2560.)+(-6237.*s**(-8))/(1536.*s**2+1280.)+(: 19197.*s**(-10))/(12288.*s**2+10240.)+(-3645.*s**(: 12))/(24576.*s**2+20480.) b55=(125.*s**4)/(384.*s**4+560.*s**2+200.)+(19895.*s : **2)/(9216.*s**4+13440.*s**2+4800.)+37715./(6144.*s : **4+8960.*s**2+3200.)+(29985.*s**(-2))/(3072.*s**4 : +4480.*s**2+1600.)+(349595.*s**(-4))/(36864.*s**4+ : 53760.*s**2+19200.)+(142085.*s**(-6))/(24576.*s**4+ : 35840.*s**2+12800.)+(13455.*s**(-8))/(6144.*s**4+ : 8960.*s**2+3200.)+(47925.*s**(-10))/(98304.*s**4+ : 143360.*s**2+51200.)+(10125.*s**(-12))/(196608.*s** : 4+286720.*s**2+102400.) c1=1.+s**(-2)+(9.*s**(-4))/8. c2=(15.*s**2)/(12.*s**2+10.)+37./(6.*s**2+5.)+(1079. : *s**(-2))/(96.*s**2+80.)+(1529.*s**(-4))/(192.*s : **2+160.)+(501.*s**(-6))/(384.*s**2+320.)+(-387.*s : **(-8))/(1536.*s**2+1280.)+(405.*s**(-10))/(3072. : *s**2+2560.) return end c c c subroutine abc2(kd)
real kd,lam common /one/ h,t,d,g,pi,lam : /thr/ a11,a13,a15,a22,a24,a33,a35,a44,a55,b22,b24, : b44,c3,c4,cstar s= sinh(kd) c= cosh(kd) a11=s**(-1) a13=-((5.*s**(-1))/8.+(11.*s**(-3))/8.+(3.*s**(-5 : ))/4.) a15=-((37.*s**(-1))/48.+(35.*s**(-3))/12.+(511.*s : **(-5))/192.+(-45.*s**(-7))/512.+(-261.*s**(-9)) : /512.+(27.*s**(-11))/256.) a22=(3.*s**(-4))/8. a24=s**(-2)/4.+(43.*s**(-4))/96.+(-9.*s**(-6))/ : 16.+(-27.*s**(-8))/32.+(-27.*s**(-10))/256. a33=-(s**(-5)/16.+(-9.*s**(-7))/64.) a35=s**(-1)/(48.*s**2+40.)+(57.*s**(-3))/(192.*s** : 2+160.)+(1375.*s**(-5))/(1536.*s**2+1280.)+(1559.* : s**(-7))/(3072.*s**2+2560.)+(-1575.*s**(-9))/( : 3072.*s**2+2560.)+(-5589.*s**(-11))/(12288.*s**2+ : 10240.)+(-1215.*s**(-13))/(24576.*s**2+20480.) a44=(5.*s**(-4))/(576.*s**2+480.)+(-3.*s**(-6))/( : 48.*s**2+40.)+(-9.*s**(-8))/(1536.*s**2+1280.)+( : 135.*s**(-10))/(3072.*s**2+2560.) a55=-((3.*s**(-3))/(3072.*s**4+4480.*s**2+1600.)+(: 121.*s**(-5))/(6144.*s**4+8960.*s**2+3200.)+(131.*s : **(-7))/(6144.*s**4+8960.*s**2+3200.)+(279.*s**(: 9.))/(6144.*s**4+8960.*s**2+3200.)+(-135.*s**(-11)) : /(98304.*s**4+143360.*s**2+51200.)+(-2025.*s**(-13. : ))/(196608.*s**4+286720.*s**2+102400.)) b22=(s**(-1)*c)/2.+(3.*s**(-3)*c)/4. b24=(17.*s**(-1)*c)/24.+(73.*s**(-3)*c)/48.+(-3.*s : **(-5)*c)/16.+(-81.*s**(-7)*c)/64.+(-27.*s**(-9) : *c)/128. b44=(2.*s*c)/(6.*s**2+5.)+(53.*s**(-1)*c)/(36.*s**2 : +30.)+(365.*s**(-3)*c)/(144.*s**2+120.)+(51.*s**(: 5.)*c)/(24.*s**2+20.)+(351.*s**(-7)*c)/(384.*s**2+ : 320.)+(135.*s**(-9)*c)/(768.*s**2+640.) c3=-s**(-1)/(4.*c) c4=s**(-1)/(16.*c)+(7.*s**(-3))/(16.*c)+(3.*s**(: 5.))/(32.*c)+(-9.*s**(-7))/(64.*c) cstar= sqrt(g*s/c) return end
6.2.
Gelombang Cnoidal
Gelombang Stokes berlaku di laut dalam dan banyak digunakan dalam menghitung gaya gelombang pada struktur lepas pantai, untuk perairan yang dangkal lebih akurat bila digunakan gelombang Cnoidal;
Gelombang Cnoidal order Satu
Elevasi muka air untuk order satu
h A0 A1cn2 dimana
x t L T A0 2 K
A1 cn Jacobian ellipticfuction berasosiasi dengan cosinus =
H
h 1 k 2
k 2 E ( k ) k 2 K ( k )
E ( k ) dan K ( k ) completeellipticintegral of first kindand second kind k diperoleh dari persamaan dispersi 16k 2 K 2 (k ) 3
gHT 2 h2
penyelesaian persamaan ini dengan menggunakan bisection ataupun Newton-Raphson. Panjang gelombang diperoleh dari persamaan berikut L T gh 1 C 1 dimana C 1
1 2 3 2
Energi rata-rata
E gH 2 E 0 E 0
Fluks energi
2 4 2 3 2 3
F gH 2 gd F O F0 E 0
p pb
Tekanan
C g z h 2 2
Pb gh P0 P 1 P 0 3 / 2 P 1
1 2 3 2
Kecepatan arah horizontal u
gh B00 B10 cn2
B00 B10
Kecepatan arah vertikal w
gh
4 K (k )h csd z h L h
Percepatan arah horizontal 4 K (k ) u csd ghB10 t T Percepatan arah vertikal
4 K ( k )h z h w sn dn cn dn k 2 sn cn gh L t h sn , cn , dn adalah fungsi elliptik Jacobian csd cn .sn .dn
Gelombang Cnoidal order Dua
Elevasi muka air gelombang Cnoidal order dua
h A0 A1cn2 A2 cn 4 2 2 2 2 A0 4 2
3 A1 2 4 3 A2 2 4
Persamaan dispersi 16k 2 K (k )2 gHT 2 1 2 1 3 d 2 4 Kecepatan rambat C g 1 C1 2 C2 C 1 C 2
1 2 3 2 6 16 5 16 2 10 15 2 40
Panjang gelombang L
CT
Energi rata rata E gH 2 E0 E 1 E 0 E 1
2 4 2 3 2 3 2 17 3 2 17 2 2 3 15 3 30
Fluks energi F gH 2 gh Fo F 1 F0 E 0
F 1
1
4 8 53 12 30
2
60 2 53 2 120 2 8 3 75 3
Tekanan p pb
2 c w g z h 2
pb gh p0 p1 2 p2 p0 3 / 2 p1 p2
1 2 3 2 1 16 15 16 2 30 40
Kecepatan arah horizontal u
gh B00 B10 cn B20 cn 2
4
1 z h
2
2 4 B01 B11 cn B21 cn 2 h
2 2 2 2 B00 4 1 6 2 B10 2 4 B20 2 2
B01
3 2
2
B11 3 2 1 9 B21 2 2
Kecepatan arah vertikal w
3 4 K (k )h csd z h 1 z h 2 2 gh B 2 B cn B 2 B cn 6 h 11 21 20 10 L h
Percepatan arah horizontal 2 2 4 K (k ) 8K (k ) 2 1 zh 1 zh u B csd B B cn csd gh B10 20 11 21 t 2 h T 2 h T
Percepatan arah vertikal 3 w 4 K (k ) h 1 z h 8K 2 zh csd B B gh 20 6 h 21 L t h T 3 z h 1 zh 2 2 2 B 2 B cn B 2 B cn . sn dn cn dn k sn cn 20 21 10 11 6 h h Program computer untuk gelombang Cnoidal dalam bahasa MATLAB
CNOIDAL WAVES. MATLAB N=100; %diberikan H=1; d=4; T=10; %mencari harga k dalam teori cnoidal for i=1:999 kp=0.95+0.00005*i; [K,E]=ellipke(kp); L=sqrt((16*d^3)/(3*H))*kp*K; Yt=(((16*d^2)/(3*L^2))*K*(K-E)+1)*d-H; Tgd=T*sqrt(9.81/d); save1=(d/Yt)*sqrt((16*Yt)/(3*H)); save2=(kp*K)/(1+(H/(Yt*kp^2))*(0.5-E/K)); save=save1*save2; beda=(Tgd-save); if beda<0.0; sem=beda; break end end i2=i kp; x=linspace(0,4,N); x1=2*K*x; [sn,cn,dn]=ellipj(x1,kp); for i=1:N
ysem(i)=cn(i)*cn(i); x1(i)=d; i=N; end Ys=Yt+H*ysem; ysem=d+0.5*H*cos(2*pi*x); xlin=x*T; plot(xlin,Ys,xlin,ysem,xlin,x1) Llin=T*sqrt(9.81*d); xlin=(x*L)/Llin; ysem=d+0.5*H*cos(2*pi*xlin); xlin=xlin*Llin; plot(xlin,Ys,xlin,ysem,xlin,x1)
Gambar Perbandingan antara gelombang linear dengan Cnoidal
Gaya Akibat Gelombang
8.
1
Gaya Akibat Gelombang
Gaya yang bekerja pada struktur akibat gelombang dapt dihitung dari tekanan yang diakibatkan oleh gelombang (lihat persamaan Bernoulli ) terhadap permukaan struktur. Gelombang yang dipakai adalah merupakan gelombang dari medan aliran disekitar struktur. Dengan keberadaan struktur medan aliran ini bisa berubah bila dimensi struktur cukup besar dibandingkan dengan panjang gelombang. Bila dimensi struktur kecil sehingga tidak mempengaruhi mrdan aliran maka gaya gelombang dapat dihitung dengan menggunakan medan aliran yang tidak terganggu (far field). Untuk medan aliran tidak terganggu berlaku teori Froude-Krylov sedangkan bila terjadi perubahan pada medan aliran maka berlaku teori difraksi. Pemilihan gelombang disain tergantung pada jenis struktur apakah kaku (rigid ), setengah kaku (semi rigid ), dan fleksibel (flexible). Untuk struktur kaku tinggi gelombang disain yang digunakan adalah H1/100=1,67 Hs dan untuk yang semi rigid adalah antara H1/10=1,27 dan H1/100, untuk turap baja digunakan H1/10. Untuk struktur yang fleksibel seperti rubble mound digunakan tinggi gelombang antara H1/20=1,37 Hs dan Hs.
Gambar 8.1. Sketsa Definisi Gaya Gelombang pada Struktur Vertikal
8.1.
Gaya Gelombang Gelombang Pada Struktur Dimensi Kecil
Disini berlaku teori Froude-Krylov yaitu bahwa gaya gelombang pada struktur berdimensi kecil dalam hal ini adalah diameter D sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombang. Menurut Froude-Krylov gaya gelombang pada struktur adalah
F
F
S
pdyn ndS
pdyn Vol x dVol
Gaya Akibat Gelombang
pdyn g
2
cosh k z h H cosh kh
2
cos( kx t )
cosh k z h H pdyn sin( kx t ) gk x cosh kh 2 Gaya gelombang di integral volume silinder
F
gk
cosh k z h H cosh kh
Vol
2
sin( kx t) dVol
Karena silinder mempunyai diameter yang kecil D/L<<1, integral diatas bisa dievaluasi di x=0 sehingga persamaan menjadi
0
F gk
cosh k z h H
h
F gk
H 2
cosh kh
2
D 2 sin( t )
0
sin( t )
D2 4
dz
cosh k z hdz
4 cosh kh h
0
H D 2 sin( t ) sinh k h z gk 2 4 cosh kh k h
g
H 2
D2 4
tanh kh sin( t )
Gaya yang bekerja pada elemen setinggi dz di kedalaman z adalah
H D 2 cosh k z h dF z gk sin( t ) dz 2 4 cosh kh
Gaya yang mewakili teori Froude Krylov merupakan gaya inersia. Oleh Morison gaya yang bekerja untuk silinder dimensi kecil ini juga bisa diakibatkan oleh gaya seret (drag force) yang diakibatkan oleh kecepatan partikel. Persamaan Morison ditulis dalam bentuk
dF x dFD dFI
C D
D 2
u u dz CI
D 2 u 4
t
dz
dimana C D dan C I masing masing adalah koefisien seret (drag coefficient) dan koefisien inersia (inertia coefficient)
Gaya Akibat Gelombang
3
Gambar 8.1.1. Gaya Morison u
H gk cosh k z h
a x
cosh kh
2
cos ( kx t )
u Hgk cosh k z h sin( kx t ) x 2 cosh kh
Bila disubsitusikan kepersamaan Morison diperoleh
dF D CD
D
2
cos kx t cos kx t dz D 2 u D 2 Hgk cosh k z h dF I CI dz CI sin( kx t) 4 t 4 2 cosh kh 2
u u dz CD
D H gk cosh k z h
2 2
cosh kh
Bandingkan gaya inersia dari persamaan Morison dengan persamaan Froude Krylov dievaluasi pada x=0, hasilnnya adalah sama bila C I=1.0. Koefisien seret dan inersia bergantung pada besarnya bilangan Reynold
Re
uD
; viskositas kinematik fluida dan kekasaran dari permukaan silinder .
Sebagai pedoman dapat digunakan
Gaya Akibat Gelombang
4
Gaya total yang bekerja pada tiang silinder tegak adalah, bila pusat tiand diambil sebagai koordinat x=0 maka
Gaya gesek ( drag force) 2
D H gk cosh k z h F D CD cos t cos t dz 2 2 cosh kh h 0
2 D H 2 ( gk ) cos t cos t
C D
2
2
4
cosh
2
kh
0
cosh
2
k z h dz
h
1 F D CD gDH 2 K D 2 1
K D
n
n cos t cos t ;
4
1
2kh 1 2 sinh 2kh
Gaya inersia 0
F I
C I
h
C I
1 2
4
cosh kh
2
D 2 Hgk sin( t )
F I CM g K I
D 2 Hgk cosh k z h
2 cosh kh
4 D 4
sin( kx t ) dz
0
cosh k z h dz
h
2
HK I
tanh kh sin t
omen dari dasar laut akibat gaya gesek 0
M D
h z) dF
D
FD .h. S D
h
S D
1 cosh 2kh 2 2n 2 2kh sinh 2kh
1
1 1
omen dari dasar laut akibat gaya inersia 0
M I
h z dF
I
FI .h.S I
h
S I 1
1 cosh kh kh sinh kh
Gaya Akibat Gelombang
5
Contoh:
4, 0meter perioda gelombang T=10 detik , tiang silinder vertikal dengan ukuran diameter D 100cm dan telah cukup lama terendam sehingga telah Bila diketahui tinggi gelombang H
ditumbuhi barnacle , tentukan total gaya gelombang yang bekerja pada tiang dan titik tangkap dari dasar laut pada kedalaman 20 meter Dari perhitungan sebelumnya telah diperoleh besaran berikut
kh 1.037
2 L
20 1.037
L
40 1.037
121.18m
Koefisien gesek dan inersia dipakai yang diusulkan oleh API untuk dinding kasar yaitu C D 1, 05 dan CI 1, 2 .
Total gaya gesek adalah F D
K D
1 4
2 1,037 1 1 CD gDH 2 K D n 1 0, 765 2 2 sinh 2.1, 037
(0, 765) cos t cos t 0,191cos t cos t
1 F D 1, 05 (1, 024)(9, 81)(1, 0)42 (0,191) cos t cos t 2
F D 16,135 cos t cos t kN
Total gaya inersia F I
CM g
F I 1, 2 1, 024 9,81
1 4
D 2 4
HK I
K I
1 2
tanh 1, 037 sin t 0,388sin t
2
4, 0 0,388sin t
F I 14,707sin t kN Total Momen Akibat Gaya Gesek
1 1 cosh 2.1, 037 0,582 2 2(0, 765) 2 2(1, 037) sinh 2.1, 037 16,135.20.0, 582 cost cos t 187,824 cost cost kN m
M D FD .h.S D D
S D
1
1
Titik tangkap gaya seret zdc
M D F D
h.SD 20.0,582 11, 641m dari dasar
Gaya Akibat Gelombang
6
Total Momen Akibat Gaya Inersia
M I FI .h. SI I
S I 1
1 cosh 1, 037 1, 037.sinh 1, 037
0,54
14, 707 sin t .20.0, 54 158, 971sin t kN m
Titik Tangkap zic
h. Si 20, 0.0, 54 10,809m dari dasar
Total Gaya
Ftot 16,135 cos t cos t 14, 707 sin t Total Momen
tot
187,824 cos t cos t 158, 971sin t
Sebagai latihan coba diplot besatr gaya total dan momen total sebagai fungsi waktu. Kemudian tentukan harga maksimum untuk gaya dan momen dan kapan terjadinya harga maksimum tsb.
20 15 10 5 g a r d F
0 -5 -10 -15 -20 0
2
4
6
8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
waktu (detik)
Gambar Gaya seret
Gaya Akibat Gelombang
7
20 15 10 5 n i F
0 -5 -10 -15 -20 0 2 4 6 8 1 2 4 6 8 2 2 4 6 8 3 2 4 6 . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 2 4 6 8 3 5 7 9 4 6 8 0 5 7 9 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3
waktu(detik)
Gambar Gaya Inersia
25 20 15 10 5 t o t F
0 -5 -10 -15 -20 -25 0
2
4
6
8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
waktu(detik) Gambar Gaya Total
Gaya Akibat Gelombang
8.2.
8
Struktur Dimensi Besar dan Dinding Tegak
Untuk struktur berbadan besar, akibat keberadaan struktur tersebut akan terjadi perubahan aliran yang didominasi oleh gaya inersia. Vortex tidak sempat terjadi dibelakang aliran (lihat Gambar). Karena arus yang bolak balik , sebelum vortex terbentuk alirannya sudah berbalik arah. Ini terjadi bila rasio dimensi struktur dalam hal ini diameter dan panjang gelombang masih dalam order satu.
Gambar Aliran bolak balik Untuk struktur silinder tegak gaya gelombang yang bekerja pada struktur diberikan oleh Mc Camy dan Fuch yaitu sebagai berikut'
Gambar Sketsa silinder berdiameter besar r = a
Gaya Akibat Gelombang
9
Didalam formula berikut radius a diganti dengan r
dF 2 gHr
A( kr ) cosh k h z cosh kh
kr
cos t dz
r D/2 A kr
1 J1'2 ( kr ) Y1'2 ( kr )
arctan Y1' (kr ) / J1' ( kr ) J1 (kr ) fungsi Bessel jenis pertama ( first kind ) order 1 Y1 ( kr ) fungsi Bessel jenis kedua (sec ond kind ) order 1 F 2 gHrh
A( kr ) tanh( kh) kr
kh
cos( t )
Momen dari dasar
M 2 gHrh2
A( kr ) kh sinh( kh) 1 cosh( kh)
kr
( kh) 2 cosh( kh)
cos(t )
Gaya gelombang pada dinding tegak mempunyai kharakteristik sebagai yang diperlihatkan di Gambar berikut untuk kondisi gelombang tidak pecah dan pecah
Gambar. Gelombang tidak pecah
Gambar. Gelombang pecah tipe plunging (depannya hampir vertikal)
Gaya Akibat Gelombang
Gambar. Gelombang pecah tipe plunging (didepannya terdapat udara yang terperangkap)
Formula Sainflou (gelombang terpantul sempurna)
10
