Methode Des élements finis

CHAPITRE 4 – FORMULATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS – ANALYSE LINÉAIRE DES SOLIDES ET MÉCANIQUE DES STRUCTURES

4.1 INTRODUCTION Un champ d’application très important pour l’analyse par la méthode des éléments finis est l’analyse linéaire des solides et structures. C’est dans ce champ d’application où les premières procédures d’éléments finis ont été appliquées et où la méthode d’éléments finis a obtenu son premier élan de développement. De nos jours, plusieurs types d' analyses linéaires des structures peuvent être accomplis d’une manière routinière. Les schémas de discrétisation par élément finis sont bien établis et sont utilisés dans des programmes informatiques standards. Cependant, il y a deux domaines dans lesquelles les éléments finis ont été développés récemment, notamment, l’analyse de structures de plaques et coques et la solution de milieu incompressible (ou presque). La formulation standard pour la solution par éléments finis des solides est la méthode de déplacement, qui est très utilisée et efficace à l’exception des deux champs mentionnés ci-haut. Pour l’analyse des structures de plaques et coques et la solution des fluides incompressibles, des formulations mixtes sont préférables. Dans ce chapitre, on introduit l’analyse en détail de la méthode basée sur le déplacement. Le principe du travail virtuel est la relation de base utilisée pour la formulation par élément finis. On établie premièrement les équations d’élément finis gouvernantes et après on discute des propriétés de convergence de la méthode. Puisque la solution basée sur le déplacement n’est pas effective dans certaines applications, on introduit l’utilisation des formulations mixtes dans lesquelles, pas uniquement, les déplacements qui sont utilisés comme variables inconnues. L’utilisation de la méthode mixte, cependant, requiert une sélection minutieuse d’interpolations appropriées, et nous adressons cet aspect dans la dernière partie du chapitre. Plusieurs formulations de déplacements et mixtes ont été présentées dans la littérature, comme mentionné avant, notre objectif n’est pas de survoler ces formulations. Cependant, on va concentrer dans ce chapitre sur des principes utiles et importants pour la formulation par éléments finis. Quelques applications efficaces des principes discutés dans ce chapitre sont après présentées dans le chapitre 5. 4.2 Formulation de la méthode des éléments finis basée sur le déplacement La méthode des éléments finis basée sur le déplacement peut être considérée comme une extension de la méthode de déplacement pour l’analyse des structures de poutres et de treillis. Et il est par conséquent important de réviser ce processus d’analyse. Les étapes de base dans une analyse d’une structure de poutre ou de treillis en utilisant la méthode de déplacement sont : 1. Idéaliser la structure totale comme un assemblage d’éléments de poutres ou de treillis qui sont inter connectés aux joints structuraux. 2. Identifier les déplacements inconnus des joints qui définissent complètement la réponse de la structure idéalisée. 3. Formuler les équations des forces correspondant aux déplacements inconnus des joints et résoudre ces équations. 4. Avec les déplacements connus aux extrémités des éléments de poutres et de treillis, calculer les distributions de contraintes internes de ces éléments 5. Interpréter, se basant sur les hypothèses utilisées, les déplacements et les contraintes prédites par la solution de la structure idéalisée.

4.1


Pour une analyse et une conception pratiques, les étapes les plus importantes de l’analyse complète sont la propre idéalisation du problème actuel, comme compléter dans l’étape 1, et l’interprétation correcte des résultats, comme dans l’étape 5. Dépendant de la complexité du système actuel à être analyser, des connaissances considérables des caractéristiques du système et de son comportement mécanique peuvent être exigées dans le but d’établir une idéalisation appropriée, comme il a été discuté brièvement dans le chapitre 1. Ces étapes d’analyse ont été d’ores et déjà démontrées, jusqu’à un certain degré, au chapitre 3, mais il est instructif de considérer un autre exemple plus complexe. Exemple 4.1 Le système de tuyaux montré à la Figure E4.1(a) doit être capable de supporter une grande charge transversale P appliquée accidentellement à l’âme connectant les tuyaux de grand et petit diamètres. Analyser ce problème. L’étude de ce problème peut nécessiter un certains nombre d’analyses dans lesquelles le comportement cinétique local de l’intersection des tuyaux est proprement modélisé, le matériau non-linéaire et les comportements géométriques sont prises en comptes, les caractéristiques des charges appliquées sont modélisées avec précision et ainsi de suite. Dans une telle étude, il est souvent plus expéditif de commencer avec une simple analyse dans laquelle des hypothèses générales sont faits et après travailler à raffiner le modèle de plus en plus selon les besoins (voir section 6.8.1). Supposant que dans une première analyse on veut d’abord calculer le déplacement transversal de l’âme lorsque la charge transversale est appliquée lentement. Dans ce cas, il est raisonnable de modéliser la structure comme un assemblage d’éléments de poutres, de treillis, et de ressorts et appliquer une analyse statique. Le modèle choisi est montré sur la Figure E4.1 (b). L’idéalisation de la structure consiste en deux poutres, un treillis et un élément de ressort. Pour l’analyse de cette idéalisation (schématisation) on évalue en premier lieu les matrices de rigidité des éléments correspondant aux degrés de liberté de la structure globale montrée sur la Figure E4.1(c). Pour les éléments de poutre, ressort, et le treillis, respectivement, on a dans ce cas :

12 L2 K 1e =

EI L

−6 L 4

symétrique

− 12 L2 6 L 12 L2

−6 L 2 6 L 4

;

U 1 ,U 2 , U 3 , U 4

4.2


4.2.1 Dérivation générale des équations d’équilibre de la méthode des éléments finis Dans cette section, on établie d’abord le problème général d’élasticité à être solutionné. Après on discute le principe des déplacements virtuels, qui est utilisé comme base pour notre solution par élément finis, et nous dérivons les équations d’éléments finis. Ensuite nous élaborons sur quelques considérations importantes concernant la satisfaction de l’équilibre des contraintes et finalement on discute quelques détails sur le processus d’assemblage des matrices des éléments. Nature du problème (voir Figure 4.1) Considérons l’équilibre d’un corps général en trois dimensions tel que celui montré sur la Figure 4.1. Le corps est localisé dans le système fixe de coordonnées (X,Y,Z). Considérons la surface de l’aire du corps, le corps est supporté sur une surface Su, avec des déplacements prescrits USu et est soumis aux tractions de surface fSf (forces par unité d’aire de surface) sur l’aire de surface Sf. En plus, le corps est soumis à des forces de volume externes fB (Forces par unité de volume) et i

aussi à des charges concentrées RC . En général, les forces externes ont trois composantes correspondantes aux axes X,Y et Z :

f XB

S

f B = fYB ; f f ZB

Sf

fX f Sf

= fY

Sf

i RCX

i

i

; RC = RCY

(4.1)

i RCZ

fZ

où on note que les composantes de fB et fSf varient en fonction de X,Y, et Z ( et pour fSf, les coordonnées spécifiques de Sf sont considérées). Les déplacements du corps dans sa configuration non chargée sont mesurés dans le système de coordonnées X,Y, et Z et sont dénotés par U, où :

U

U( X ,Y , Z ) = V

(4.2)

W S et U = U u sur l’aire de la surface Su. Les déformations correspondantes à U sont :

ε T = [ε XX Où

ε XX =

ε XY =

ε YY

ε ZZ

γ XY

γ YZ

γ ZX ]

∂U ∂V ∂W ; ε YY = ; ε ZZ = ; ∂X ∂Y ∂Z

∂ U ∂V ∂ V ∂W ∂ U ∂W ; ε YZ = ; ε ZX = + + + ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂Z ∂ X

(4.3)

(4.4)

4.3


Les contraintes correspondantes à

τ T = [τ XX où

τ YY

ε sont: τ YZ τ ZX ]

τ ZZ τ XY

(4.5)

τ = Cε + τ ′

(4.6)

Dans (4.6), C est la matrice contrainte-déformation du matériau et le vecteur contraintes initiales données. Analyse du problème Étant donné la géométrie du corps, les charges appliquées f

Sf

τ ′ dénote les

, f B , RCi , i = 1,2,…, les

conditions de supports sur S u , la loi du matériau contrainte-déformation, et les contraintes initiales dans le corps, calculer les déplacements U du corps et les contraintes τ et déformations ε correspondantes. Dans la solution du problème considérée ici, on suppose des conditions d’analyse linéaires, qui nécessitent que:1) les déplacements soient infinitésimales pour que 4.4 soit valide et que l’équilibre du corps peut être établi par rapport à sa configuration non chargée. 2) La matrice contrainte-déformation du matériau peut varier en fonction de X,Y, Z mais constante autrement (c’est à dire que C n’est pas dépendante de l’état de contrainte). On considère des conditions d’analyse non linéaires dans lesquelles une ou plusieurs de ces hypothèses ne sont pas satisfaites aux chapitres 6 et 7. Pour calculer la réponse du corps, on peut établir les équations différentielles d’équilibre gouvernantes, qui après doivent être résolues en tenant compte des conditions aux limites (voir section 3.3). Cependant, des solutions analytiques sont possibles uniquement dans les cas où de très simples géométries sont considérées. Le principe des déplacements virtuels La base de la solution par éléments finis basée sur le déplacement est le principe des déplacements virtuels. Ce principe établi que l’équilibre du corps sur la Figure 4.1 nécessite que quelque soient les déplacements virtuels (petits) imposés sur le corps dans son état d’équilibre, le travail virtuel interne est égal au travail virtuel externe : Travail

virtuel

int erne

Travail

ε T τdV = V

U T f B dV + V

où les U sont les déplacements virtuels et les au dessus dénote des quantités virtuelles).

U Sf

virtuel

Sf T

f

Sf

externe dS f +

i

U iT RCi

(4.7)

ε sont les déformations correspondantes (la barre

Nous insistons que dans la relation (4.7), on a : 4.4


-

Les contraintes τ sont supposées être des quantités connues et sont des contraintes uniques qui balancent exactement les charges appliquées. Les déformations virtuelles ε sont calculées par les relations de différentiation données dans (4.4) à partir des déplacements virtuels U . Les déplacements virtuels U doivent représenter un champ de déplacement virtuel continu (pour pouvoir calculer les ε ), avec U égal à zéro sur S u . Aussi, les composantes dans

U

Sf

sont simplement les déplacements virtuels évalués sur S f .

-

Toutes les intégrations sont effectuées sur le volume original et l’aire de la surface du corps, non affectées par les déplacements virtuels imposés. Pour donner un exemple de l’utilisation du principe des déplacements virtuels, supposons qu’on croit (mais on n’est pas certain) avoir la solution exacte du champ de déplacement du corps. Ce champ de déplacement donné est continu et satisfait les conditions aux limites de déplacements sur S u . Après on peut calculer ε et τ (correspondant aux champs de déplacements). Le vecteur τ liste les contraintes correctes si et seulement si l’équation (4.7) est valide quelque soit les déplacements (arbitraires) U qui sont nulles sur S u et continus ailleurs sur le domaine. En d’autres mots, si on peut trouver un seul champ de déplacement avec lequel la relation dans (4.7) n’est pas satisfaite, alors ce champ est la preuve que les contraintes τ ne sont pas correctes (et donc le champ de déplacement donné n’est pas la solution exacte du champ de déplacement). On dérive et on démontre le principe des déplacements virtuels dans les exemples suivants. Exemple 4.2 Dériver le principe des déplacements virtuels pour le corps à trois dimensions montré sur la Figure 4.1. Pour simplifier la représentation on va utiliser la notation indicielle avec la convention de sommation (voir section 2.4) avec x i qui dénote le ième axe de coordonnée ( x1 ≡ X , x 2 ≡ Y , x 3 ≡ Z ), ui qui dénote la ième composante de déplacement ( u1 ≡ U , u2 ≡ V , u3 ≡ W ), et une virgule dénote une différentiation. Les conditions aux S

limites de déplacements données sont ui u sur S u , et supposons maintenant qu’on n’a pas de charges de surface concentrées, c’est à dire que toutes les charges de surface sont inclues dans la Sf

. La solution du problème doit satisfaire les équations différentielles suivantes composante f i (voir par exemple S. Timoshenko and J.N. Goodier (A)).

τ ij , j + f iB = 0 à travers le corps

(a)

avec les conditions aux limites naturelles (forces) :

τ ij n j = f i

Sf

sur S f

(b)

et les conditions aux limites essentielles (déplacements) : 4.5


Su

ui = ui avec S = S u

sur S u

S f , Su

la surface S du corps.

(c)

S f = 0 , et les n j sont les composantes du vecteur unité normal à

Considérons maintenant n’importe quel déplacement continu et arbitraire ui satisfaisant :

ui = 0 sur S u alors et donc :

V

(d)

(τ ij, j + f iB )ui = 0

(τ ij, j + f iB )ui dV = 0

(e)

On appelle les ui déplacements virtuels. Notez que puisque les ui sont arbitraires, (e) peut être satisfait si et seulement si la quantité entre les parenthèses est nulle. Donc (e) est équivalent à (a). En utilisant l’identité mathématique,

(τ ij ui ), j = τ ij, j ui + τ ij ui , j , on obtient de (e)

(τ ij ui ), j − τ ij ui , j + f iB ui dV = 0 V De plus, en utilisant l’identité (τ ij ui ) dV = (τ ij ui )n j dS (Théorème de divergence), on a: ,j V

V

S

(− τ ij ui , j + f iB ui )dV + (τ ij ui )n j dS = 0

(f)

S

À partir de (b) et (c), on obtient :

V

(− τ ij ui , j + f iB ui )dV +

Sf

fi

Sf

Sf

ui

Aussi, à cause de la symétrie du tenseur des contraintes

τ ij ui , j = τ ij

(

1 ui , j + u j , i 2

)

dS = 0

(g)

(τ ij = τ ji ), on a :

= τ ij ε ij

(Note : ui , j = u j , i )

et donc on obtient de (g) le résultat demandé par (4.7) :

4.6


V

τ ij ε ij dV = f iB ui dV + V

Sf

fi

Sf

Sf

ui

dS

(h)

Notez que dans (h) on utilise la notation tensorielle pour les déformations, donc, les déformations de cisaillement utilisées dans (4.7) sont obtenues en additionnant les composantes du tenseur approprié des déformations de cisaillement, e.g., γ XY = ε 12 + ε 21 . Notez aussi qu’en utilisant (b) et (d) dans (h), on introduit explicitement les conditions aux limites naturelles dans le principe des déplacements virtuels (h).

Exemple 4.3 Exemple 4.4 Montrer comment pour un milieu élastique et linéaire, le principe des déplacements virtuels est relié au principe du stationnaire du potentiel total. Supposant un milieu élastique et linéaire avec des contraintes initiales nulles, le potentiel total du corps de la figure 4.1 est :

Π=

S T S 1 T ε CεdV − U T f B dV − U f f f dS − 2V V S f

T

i

U i RCi

(a)

où la notation a été définie précédemment et on a :

τ = Cε

avec C est la matrice contrainte-déformation du matériau. En appliquant le stationnaire sur Π , e.g., en évaluant δΠ = 0 par rapport aux déplacements (qui maintenant sont représentés par des déformations) et en utilisant le fait que C est symétrique, on obtient :

δε T CεdV = δUT f B dV + V

V

δU

Sf T Sf

f

dS

Sf

T

i

δU i RCi

(b)

Cependant, pour évaluer Π dans (a) les déplacements doivent satisfaire les conditions aux limites de déplacements. Donc dans (b) on considère n’importe quelles variations sur les déplacements mais avec des valeurs nulles sur les frontières correspondantes aux conditions aux limites de déplacements, et les variations correspondantes pour les déformations. Il s’en suit qu’en appliquant le stationnaire sur Π est équivalent à l’utilisation du principe des déplacements virtuels et bien sûr on peut écrire :

δε ≡ ε , δU ≡ U , δU

Sf

≡U

Sf

, δU i ≡ U i 4.7


Alors, (b) est réduite à (4.7). Il est important de réaliser que lorsque le principe des déplacements virtuels (4.7) est satisfait pour tous les déplacements virtuels admissibles avec des contraintes τ (proprement obtenues) à partir d’un champ de déplacement continu qui satisfait les conditions aux limites de déplacements sur S u , toutes les trois exigences de la mécanique des solides sont remplies : 1. L’équilibre a lieu parce que le principe des déplacements virtuels est une expression de l’équilibre comme montré dans l’exemple 4.2 2. La compatibilité a lieu parce que le champ de déplacement U est continu et satisfait les conditions aux limites de déplacements 3. La loi contrainte-déformation a lieu parce que les contraintes τ ont été calculées en utilisant les relations constituves à partir des déformations ε qui ont été évaluées à partir des déformations U . Jusqu’à présent nous avons assumé que le corps considéré est proprement supporté, i.e. qu’il y a suffisamment de conditions de support pour une solution unique de déplacements. Cependant, le principe des déplacements virtuels est valide aussi lorsque les supports de déplacements sont retirés et les réactions correctes (alors supposées connues) sont appliquées à la place. Dans ce cas, l’aire de surface S f sur laquelle les tractions connues sont appliquées est égale à l’aire de surface complète S du corps. (et S u est nulle). On utilise cette observation de base dans le développement des équations gouvernantes d’élément finis. En effet, il est conceptuellement opportun d’abord de ne pas considérer aucune condition au limite de déplacement, développer les équations gouvernantes d’élément finis, et après, avant de résoudre ces équations, imposer les conditions aux limites de déplacements.

Les équations d’élément finis Dérivons maintenant les équations gouvernantes d’élément finis. On considère premièrement la réponse du corps général en 3D montré sur la Figure 4.1 et plus tard spécialiser cette formulation générale aux problèmes spécifiques (voir section 4.2.3). Dans une analyse par élément finis, on approche le corps de la Figure 4.1 par un assemblage d’éléments finis discrets inter connectés aux points nodales sur les frontières des éléments. Les déplacements mesurés dans un système de coordonnées locales x,y,z (à être choisi convenablement) pour chaque élément sont supposés être fonctions des déplacements aux N points nodales d’éléments finis. Par conséquent, pour l’élément m on a :

ˆ u (m ) ( x , y , z ) = H (m ) ( x , y , z )U

(4.8)

(m )

ˆ avec H est la matrice d’interpolation des déplacements, l’indice m dénote l’élément m, et U est un vecteur de trois composantes globales de déplacements U i ,Vi et W i à tous les points de

ˆ est un vecteur de nœuds, incluant ceux des supports des éléments d’assemblage, i.e., U dimension 3N.

4.8


ˆ T = [U V W U V W U 1 1 1 2 2 2

... U N V N W N ]

(4.9)

On peut noter qu’une ce vecteur est en général représenté sous la forme suivante

ˆ T = [U U U 1 2

... U n ]

(4.10)

où les U i peut correspondre à un déplacement dans n’importe quelle direction X,Y, ou Z, ou même dans une direction non alignée avec ces axes de coordonnées (mais alignés avec les axes d’un autre système de coordonnées), et aussi peuvent signifier des rotations lorsqu’on considère

ˆ inclut les déplacements (et les rotations ) aux les poutres, les plaques, ou les coques. Puisque U

ˆ supports des éléments d’assemblage, on a besoin d’imposer, plus tard, les valeurs connues de U avant de solutionner pour les déplacements inconnus des points de nœuds. La figure 4.1 montre un élément type d’assemblage. Cet élément a huit nœuds, un pour chacun de ces coins, et peut être imaginé comme un élément de brique. Nous devons imaginer que le corps complet est représenté comme un assemblage de tels éléments de briques agencés ensemble de façon à ne pas permettre aucun vide entre les domaines des éléments. On montre cet élément comme un exemple; en pratique des éléments de différentes géométries et points de nœuds sur les faces et à l’intérieur des éléments peuvent être utilisés.

(m )

Le choix d’un élément et la construction des entrées correspondantes dans H (qui dépend de la géométrie des éléments, du nombre d’éléments et du degré de liberté associé aux nœuds, et aux exigences de convergence) constituent les étapes de base d’une solution par éléments finis et sont discutées plus tard.

ˆ , on doit réaliser que pour Quoique tous les déplacements des points de nœuds sont listés dans U un élément donné, seulement les déplacements aux nœuds de cet élément qui affectent les distributions des déplacements et déformations à l’intérieur de cet élément. Avec l’hypothèse sur les déplacements dans (4.8) on peut maintenant évaluer les déformations correspondantes de l’élément : ˆ ε (m ) ( x , y , z ) = B (m ) ( x , y , z )U

(4.11)

(m ) est la matrice de déplacement-déformation; les lignes de B (m ) sont obtenues par une (m ) . différentiation appropriée et en combinant les lignes de la matrice H

avec B

L’objectif de définir les déplacements et les déformations d’un élément en termes des déplacements des nœuds de la matrice complète des éléments d’assemblage peut ne pas sembler clair à ce stade ci. Cependant, on va voir qu’en procédant de cette manière, l’utilisation de (4.8) et (4.11) dans le principe des déplacements virtuels va mener automatiquement à un processus d’assemblage effectif de toutes les matrices des éléments dans les matrices gouvernantes de la structure entière. Ce processus d’assemblage et référé comme étant la méthode directe de rigidité. Les contraintes dans un élément fini sont reliées aux déformations de cet élément et aux contraintes initiales de l’élément en utilisant :

4.9


τ (m ) = C (m )ε (m ) + τ I (m )

(4.12)

( ) où C m est la matrice d’élasticité de l’élément m et ( )

τ I (m ) sont les contraintes initiales

données. La loi du matériau spécifié dans C m pour chaque élément peut être celle d’un matériau isotrope ou anisotrope et peut varier d’un élément à un autre. En utilisant l’hypothèse sur les déplacements dans chaque élément fini, comme exprimé dans (4.8), on peut maintenant dériver les équations d’équilibre qui correspondent aux déplacements des nœuds de l’assemblage des éléments finis. Premièrement, on écrit (4.7) comme la somme des intégrations du volume et surfaces de tous les éléments finis :

ε (m )T τ (m )dV (m ) =

u (m )T f B (m )dV (m )

m V (m )

+

u

m V (m )

S (m )T S (m )

m S (m ) ,... S (m ) 1 q

f

dS (m ) +

i

u

iT

(4.13)

RCi

(m )

(m )

où m =1,2,…k, où k = nombre des éléments finis, et S1 ,..., Sq dénote les surfaces des éléments qui font partie de la surface S. Pour les éléments totalement entourés par d’autres éléments, de telle surface n’existe pas, alors que pour les éléments sur la surface du corps, un ou plusieurs de telle surface d’élément sont incluses dans l’intégrale des forces de surface. Notez qu’on suppose dans (4.13) que les noeuds ont été placés au point où les charges concentrées sont appliquées, quoiqu’une charge concentrée puisse, bien entendu, être incluse dans les intégrales de forces de surface. Il est important de noter que puisque les intégrations dans (4.13) sont effectuées sur des éléments de volume et de surface, pour l’efficacité on peut utiliser tout autre système de coordonnées différent et convenable pour chaque élément dans les calculs. Après tout, pour un champ de déplacement virtuel, le travail virtuel interne est un nombre, tout comme le travail virtuel externe, et ce nombre peut être évalué par intégrations dans n’importe quel système de coordonnées. Bien sûr, il est supposé que pour chaque intégrale dans (4.13) un seul système de coordonnées pour

( ) toutes les variables est utilisé; c’est à dire u m est défini dans le même système de coordonnées B (m )

que f . L’utilisation de différents systèmes de coordonnées est essentiellement la raison pourquoi chacune des intégrales peut être évaluée de façon efficace dans des assemblages généraux d’éléments. Les relations dans (4.8) et (4.11) ont été données pour les déplacements et déformations (réels) inconnus. Dans notre utilisation du principe des déplacements virtuels, on utilise les mêmes hypothèses pour les déplacements et déformations :

ˆ u (m ) ( x , y , z ) = H (m ) ( x , y , z )U

(4.14)

ˆ ε (m ) ( x , y , z ) = B (m ) ( x , y , z )U

(4.15) 4.10


De cette façon, les matrices de rigidité (et de masse) des éléments seront des matrices symétriques. Si maintenant on substitue dans (4.13), on obtient:

ˆT U

ˆ =U ˆT B (m )T C (m )B (m )dV (m ) U

m V (m )

H (m )T f B (m )dV (m )

m V (m )

(4.16)

+

−

H S (m )T f S (m )dS (m )

m S (m ) ,... S (m ) q 1

B (m )T τ I (m )dV (m ) + RC

m V (m )

où les matrices d’interpolations des déplacements de surface H

S (m )

sont obtenues à partir des

(m ) dans (4.8) en substituant les coordonnées matrices d’interpolation des déplacements H appropriées des éléments de surface (voir Exemples 4.7 et 5.12) et R C est le vecteur des charges

concentrées appliquées aux nœuds des éléments d’assemblage. On doit noter que la ième composante dans R C est la force nodale concentrée qui corresponds à

ˆ ˆ . Dans (4.16) les vecteurs de déplacements U ˆ et U la ième composante de déplacement dans U de l’élément d’assemblage sont indépendants de l’élément m et par conséquent ils ont été mis à l’extérieur des signes de sommation. Pour obtenir à partir de (4.16) les équations pour les déplacements inconnus des nœuds, on applique le principe des déplacements virtuels n fois en imposant des déplacements unitaires

ˆ . Dans la première application U ˆ =e , virtuels tour à tour pour toutes les composantes de U 1

ˆ = e , et ainsi de suite jusqu’à la nème application U ˆ = e , de dans la deuxième application U 2 n façon que le résultat est : KU = R

(4.17)

où on n’a pas montré les matrices d’identité due aux déplacements virtuels sur chaque coté de l’équation

R = R B + R S − R I + RC

(4.18)

4.11


ˆ . La et à partir de maintenant, on note les déplacements des nœuds par U , c’est à dire U ≡ U matrice K est la matrice de rigidité des éléments d’assemblage :

K=

B (m )T C

m V (m )

(m ) (m ) (m ) B dV

(4.19)

= K (m )

Le vecteur de charge inclut l’effet des forces des éléments du corps :

RB =

H (m )T f B

(m )

m V (m )

dV (m )

(4.20)

= R B (m ) L’effet des forces de surface des éléments :

RS =

H S (m )T f S

m S (m ) ,..., S (m ) q 1

(m )

dS (m )

(4.21)

= R S (m )

L’effet des contraintes initiales :

RI =

B (m )T τ I

m V (m )

(m )

dV (m )

(4.22)

= R I (m )

et les charges concentrées nodales R C . On note que la sommation des intégrales d’éléments de volume dans (4.19) exprime l’addition

(m )

directe des matrices de rigidité des éléments K pour obtenir la matrice de rigidité totale de l’assemblage des éléments. Dans le même sens, l’assemblage du vecteur de force RB est calculé

(m )

en additionnant directement les vecteurs de forces des éléments R B ; et R S et RI sont obtenus de façon similaires. Le processus d’assemblage des matrices des éléments par une addition directe est appelé la méthode directe de rigidité. Cette écriture élégante du processus d’assemblage repose sur deux principaux facteurs : Premièrement, la dimension de toutes les matrices à additionner est la même et, deuxièmement

4.12


les degrés de liberté des éléments sont égaux aux degrés de liberté globaux. En pratique bien sûr

(m )

sont calculés et après seulement les lignes et colonnes non nulles d’un élément K l’assemblage est effectué en utilisant pour chaque élément une matrice de connectivité LM (voir exemple 4.11 et chapitre 12). Aussi, en pratique, les matrices de rigidité des éléments peuvent être calculées selon les degrés de liberté des éléments qui ne sont pas alignés avec les degrés de liberté globaux de l’assemblage; dans de tel cas une transformation est nécessaire juste avant l’assemblage (voir 4.41). L’équation (4.17) est une expression de l’équilibre statique de l’assemblage des éléments. Dans ces considérations d’équilibre, les forces appliquées peuvent varier avec du temps, dans de tels cas, les déplacements aussi varient avec le temps et (4.17) devient une expression d’équilibre à un instant donné. (En pratique, l’application des charges dépendantes du temps peut alors être utilisée pour modéliser des cas multiples de chargement, voir exemple 4.5). Cependant, si les charges sont appliquées rapidement, les fréquences naturelles du système sont mesurées, alors les forces d’inertie doivent être considérées, i.e., le problème doit être considéré comme étant dynamique. En utilisant le principe d’Alembert, on peut simplement inclure les forces d’inertie des éléments comme faisant partie des forces de volume du corps. Supposant que les accélérations des éléments sont approchées de la même façon comme les déplacements dans (4.8), la contribution à partir du vecteur des forces totales du corps R est ( avec le système d’axes de coordonnées X,Y, Z, stationnaire).

RB = où f

B (m )

de U ), et cas :

m V (m )

H (m )T f B

(m )

− ρ (m )H (m )U dV (m )

(4.23)

n’inclut plus les forces d’inertie, U liste les accélération des nœuds (dérivée seconde

ρ (m ) est la densité de masse de l’élément m. Les équations d’équilibre sont, dans ce MU + KU = R

(4.24)

avec R et U sont fonctions du temps. La matrice M est la matrice de masse de la structure :

M=

ρ (m )H (m )T H (m )dV (m )

m V (m )

(4.25)

= M (m )

Dans les réponses dynamiques des structures mesurées sur des structures, il est observé que l’énergie est dissipée durant la vibration, qui dans des analyses de vibration est habituellement tenu compte en introduisant des forces d’amortissement dépendantes des vitesses. En introduisant les forces d’amortissement aux forces de volume, on obtient par rapport à (4.23) :

4.13


RB = où f

B (m )

m V (m )

H (m )T f

(m )

− ρ (m )H (m )U - κ (m )H (m )U dV (m )

(4.26)

n’inclut plus les forces d’inertie et les forces d’amortissement, U est le vecteur des

(m ) est le paramètre d’amortissement de

vitesses des nœuds (première dérivée de U ) et κ l’élément m. Les équations d’équilibre dans ce cas sont :

MU + CU + KU = R

(4.27)

où C est la matrice d’amortissement de la structure, i.e. :

C=

κ (m )H (m )T H (m )dV (m )

m V (m )

(4.28)

= C (m )

En pratique, il est difficile, si non impossible, de déterminer des assemblages généraux par élément finis des paramètres d’amortissement des éléments, en particulier parce que les propriétés d’amortissement sont dépendantes des fréquences. Pour cette raison, la matrice C est en général non assemblée à partir des matrices d’amortissement des éléments mais elle est construite en utilisant la matrice des masses et celle des rigidités de l’assemblage complet des éléments ensemble avec les résultats expérimentaux sur la quantité d’amortissement. Quelques formulations utilisées pour construire physiquement les matrices d’amortissement sont décrites à la section 9.3.3. Une analyse complète consiste donc à calculer la matrice K ( et les matrices M et C dans une analyse dynamique) et le vecteur de charge R, solutionner pour la réponse U à partir (4.17) (ou U, U, U à partir de (4.24) et (4.27)) et donc évaluer les contraintes en utilisant (4.12). On doit insister que les contraintes sont simplement obtenues en utilisant (4.12)-donc seulement à partir des contraintes initiales et les déplacements des éléments –et ces valeurs ne sont pas corrigées pour tenir compte des pressions externes appliquées sur les éléments et les forces de corps, comme il est de pratique courante dans l’analyse des structures de charpentes avec des éléments de poutres (voir exemple 4.5 et par exemple S.H. Crandall, N.C. Dahl, et T.J. Lardner (A)). Dans l’analyse des structures de poutres, chaque élément représente une situation de contrainte à une dimension, et la correction des contraintes due aux charges distribuées est effectuée simplement par des considérations d’équilibre. Dans une analyse statique , des éléments de poutres relativement longs peuvent alors être utilisés, résultant en l’utilisation de peu d’éléments (et des degrés de liberté) pour représenter une structure de charpente. Cependant, un schéma similaire doit nécessiter, en général une analyse par élément finis en 2D ou 3D, la solution des problèmes aux valeurs de frontières pour les domaines (larges) des éléments utilisés, et l’utilisation d’un maillage raffiné pour une prédiction précise des déplacements et des déformations est plus efficace. Avec de tel maillage raffiné, les bénéfices de corriger approximativement les prédictions de contraintes pour tenir compte des effets des charges distribuées des éléments sont

4.14


en général faibles, quoique pour certaines situations, l’utilisation de schéma rationnel peut résulter en des améliorations notables.

Exemple 4.5 Établir les équations d’équilibre par éléments finis pour la structure montrée sur la Figure E4.5. Le modèle mathématique à être utilisé est discuté dans les exemples 3.17 et 3.22. Utiliser des éléments de barres à deux nœuds et considérer les deux cas suivants : 1. Supposer que les charges sont appliquées très lentement lorsque mesurées sur des temps constants de la structure (périodes naturelles). 2. Supposer que les charges sont appliquées rapidement. La structure est initialement au repos. Dans la formulation des équations d’équilibre par élément finis, on utilise les équations générales (4.8) à (4.24) mais on utilise seulement les contraintes non nulles qui sont longitudinales dans la barre. De plus, en considérant la barre complète comme un assemblage de deux éléments-barres à deux nœuds correspond à supposer un déplacement linéaire entre les nœuds de chaque élément.

(m )

(m )

La première étape est de construire les matrices H et B pour m = 1, 2. On rappelle que quoique le déplacement à l’extrémité gauche de la structure est nul, on considère premièrement le déplacement sur la surface dans la construction des équations d’équilibre par éléments finis. Par correspondance au vecteur des déplacements U

H (1) =

1−

x 100

T

= [U 1 U 2 U 3 ] , on a :

x 0 100

(1) −1 1 ( 1) ∂ H B = 0 = ∂x 100 100 H (2 ) = 0

1−

x 80

x 80

(2 ) −1 ( 2 ) ∂H B = = 0 ∂x 80

1 80

les matrices des propriétés du matériau sont :

C (1) = E

C (2 ) = E

4.15


section = 1 cm

section =

2

1+

2

η

cm2

40

100 f1

fB

C

η

B

E = module d’Young ρ= densité de masse 80 cm

100 cm

(a) La structure physique

Z

U1

X

Y

U3

U2

100 f1(t) N.

80 cm

100 cm

(b) Assemblage des éléments dans le système global

y

y z

z

x

(c) Élément 1, fxB = f2(t) N/cm3.

x

(d) Élément 2, fxB = 0.1f2(t) N/cm3.

f1(t) f2(t) 1 f1

1

2

f2

3

4

Temps

(e) charges en fonction du temps

Figure E4.5 Assemblage de deux éléments de barres. Pour l’intégration du volume on a besoin des sections des éléments. On a :

A(1) = 1 ⋅ cm 2

x A (2 ) = 1 + 40

2

⋅ cm 2

4.16


Lorsque les charges sont appliquées très lentement, une analyse statique est nécessaire dans laquelle la matrice de rigidité K et le vecteur des charges R doivent être calculés. Les forces de volume (corps) et les charges sont données sur la Figure E4.5. On a alors d’après (4.19):

K = (1)E

100 0

−1 100 1 −1 100 100 0

80 1 x 0 dx + E 1 + 100 40 0

ou

2

0 −1 0 80 1 80

−1 80

1 dx 80

1 −1 0 0 0 0 2.4 − 2.4 0 E 13 E E K= 0 1 −1 = − 2.4 15.4 − 13 −1 1 0 + 100 240 240 0 0 0 0 −1 1 0 − 13 13

(a)

et aussi d’après (4.20), on a :

x 100 80 x (1)dx + 1 + x 100 40 0 0

1− 100

R B = (1)

0

2

0

x 80 x 80

1−

1 dx f 2 (t ) 10 (b)

150 1 = 186 f 2 (t ) 3 68

RC

=

0 0

f1 (t )

(c)

100 Pour obtenir la solution à un instant donné t * , les vecteurs RB et RC doivent être évalués à cet instant, et l’équation:

4.17


KU

t = t*

= RB

t =t*

+ RC

(d)

t =t* *

mène à la solution des déplacements à l’instant t . Nous devons noter que dans cette analyse statique les déplacements à l’instants t * dépendent seulement des intensités des charges à cet instant et sont indépendants de l’histoire de chargement.

Considérant maintenant l’analyse dynamique, nous avons aussi besoin de calculer la matrice des masses. En utilisant les interpolations de déplacements et (4.25), on a :

x 100 x 100 0

1− M = (1)ρ

+ρ

80

100 0

1+

0

Donc

M=

ρ 6

x 40

2

1−

0

x 0 80 x 80

1−

200 100

0

100 584

336

0

x 100

1−

x 100

x 80

0 dx

x dx 80

336 1024

L’amortissement n’a pas été spécifié, donc les équations d’équilibre à être solutionner sont :

MU (t ) + KU(t ) = R B (t ) + R C (t )

(e)

où la matrice de rigidité K et les vecteurs de charges RB et RC ont été déjà donnés dans (a) à (c). En utilisant les conditions initiales :

U t =0 = 0 ;

U t =0 = 0

(f)

ces équations d’équilibre dynamiques doivent être intégrées de t = 0 à t = t * dans le but d’obtenir la solution à l’instant t * (voir chapitre 9).

4.18


Pour résoudre la réponse de la structure de la Figure E4.5a, on a besoin d’imposer U 1 = 0 pour tous temps t. Donc, les équations (d) et (e) doivent être amendées par cette condition (voir section 4.2.2). La solution de (d) et (e) donnent alors U 2 (t ) et U 3 (t ) et les contraintes sont obtenues en utilisant :

(m ) = C (m )B (m )U (t ) ; τ xx

m = 1,2

(g)

Ces contraintes vont être discontinues entre les éléments parce que des déformations constantes des éléments sont supposées. Bien sûr, dans cet exemple, puisque la solution exacte du modèle mathématique peut être calculée, des contraintes plus précises que celles données par (g) peuvent être obtenues dans chaque élément. Dans une analyse statique, l’augmentation de la précision peut simplement être atteinte, comme dans la théorie des poutres, en ajoutant une contrainte de correction pour le chargement distribué de l’élément aux valeurs données par (g). Cependant, de telle contrainte de correction n’est pas explicite dans une analyse dynamique générale (et dans n’importe quelle analyse pratique en 2D ou 3D), et si un grand nombre d’éléments est utilisé pour représenter la structure, les contraintes données par (g) sont suffisamment précises (voir section 4.3.6).

Exemple 4.6 Considérer l’analyse de la plaque en porte-à-faux montrée à la Figure E4.6. Pour illustrer la technique d’analyse, utiliser une idéalisation par éléments finis grossière montrée sur cette figure ( dans une analyse pratique plus d’éléments finis doivent être utilisés (voir section 4.3)). Établir

(2 )

(2 )

( )

les matrices H , B , et C 2 . La plaque en porte-à-faux est dans des conditions de contraintes planes. Pour un matériau isotrope, élastique et linéaire, la matrice contrainte-déformation est définie, en utilisant E comme module d’Young et ν comme coefficient de Poisson (voir tableau 4.3).

C (2 ) =

E

1 −ν 2

1 ν ν 1

0 0 1 −ν 0 0 2

La matrice de transformation des déplacements H internes aux déplacements des nœuds :

u( x , y ) v( x, y )

(2 )

(2 ) de l’élément 2 relie les déplacements

= H (2 )U

(a)

où U est le vecteur des déplacements de tous les nœuds de la structure.

4.19


U T = [U 1 U 2 U 3

. . . U 17 U 18 ]

(b)

(Comme il a été mentionné avant, dans cette phase d’analyse nous considérons le modèle structural sans les conditions aux limites de déplacements. En considérant l’élément 2, on reconnaît que seulement les déplacements aux nœuds 6,3,2 et 5 affectent les déplacements de l’élément. Pour les besoins de calcul il est adéquat d’utiliser une convention pour numéroter les nœuds des éléments et les degrés de liberté associés comme montré sur la Figure E4.6c. Sur la même Figure, les degrés de liberté de la structure globale du vecteur U dans (b) sont aussi donnés.

(2 )

dans (a), on reconnaît qu’il y a quatre nœuds de déplacements Pour dériver la matrice H chacun pour exprimer u( x , y ) et v ( x , y ) . Donc, on peut supposer que les déplacements locales d’un élément u et v sont données dans la forme polynomiale suivante dans le système de coordonnées local x et y :

u( x , y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy v ( x , y ) = β 1 + β 2 x + β 3 y + β 4 xy les coefficients inconnus

(c)

α 1,.., β 4 qui sont aussi appelés les coordonnées générales, vont être

exprimées en termes des déplacements inconnus des nœuds des éléments u1,..,u4 et v1,..,v 4 . En définissant

uˆ T = [u1

u2

u3

u4

v1

v2

v3

v4 ]

(d)

On peut écrire (c) dans une forme matricielle :

u( x , y ) v( x, y )

= Φα

(e)

où :

Φ= et

φ 0 ; φ = [1 x 0 φ

α T = [α 1 α 2 α 3 α 4

β1

y

xy ]

β2

β3

β4 ]

4.20


P

P

Épaisseur t = 0.1 cm

6

3

9 2

2 cm

4

5

2

4 cm 2 cm

Y, V

8

1

Y, V

V7

3

1

4

X, U

X, U

7

2 cm

4 cm

U7

2 cm

(b) Discrétisation par éléments finis (condition de contraintes planes)

(a) Plaque en porte-à-faux

v1 = U12

v2 = U6

u1 = U11

u2 = U5 2

y, v

1

x, u

2 cm

3

2

4

u3 = U3

u4 = U9 2 cm

v3 = U4

v4 = U10

(c) Élément type à 4 nœuds en 2D défini dans le système d’axes de coordonnées locales

Figure E4.6 Analyse par éléments finis d’un problème de contrainte plane

4.21


L’équation (e) doit être valide pour tous les nœuds d’un élément, en utilisant (d), on a :

uˆ = Aα avec

A=

(f)

A1

0

0

A1

1

1

et

1

1

1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1

A1 =

Solutionnant à partir de (f) pour α et substituant dans (e), on obtient :

H = ΦA −1

(g)

Il n’y a pas en effet d’indice utilisé pour H dans (g), ceci indique que la matrice d’interpolation des déplacements est définie par rapport aux déplacements des nœuds d’un élément tel que donné dans (d).

H=

1 (1 + x )(1 + y ) 4 0

(1 − x )(1 + y ) (1 − x )(1 − y ) (1 + x )(1 − y )

0

0

0

0

0

0

0

(h)

(1 + x )(1 + y ) (1 − x )(1 + y ) (1 − x )(1 − y ) (1 + x )(1 − y ) Les fonctions de déplacements dans H peuvent aussi être établies par inspection. Soit H ij l’élément (i,j) de la matrice H; alors H 11 corresponds à une fonction qui varies linéairement en x et y (comme exigé dans (c)); cette fonction est égale à 1 à x = 1, y = 1, et elle est zéro aux trois autre nœuds de l’élément. On discute la construction des fonctions de déplacements H basée sur ces idées dans la section 5.2. Avec H donnée dans (h), on a : U1 H (2 ) =

U2

u3

v3

u2

v2

U3

U4

U5

U6

U7

0 0

0

0

H

13

H

17

H 12

H 16

0

0

H

23

H

27

H

H

22

26

U8

0 0

u4

v4

U9

U 10

H

14

H 18

H

24

H

28

D e g r é s d e lib e rté d e l ’ é lé m e n t u1 U 11

H 11 H 21

v1 U 12

H H

15 25

U 13

0 0

0 0

U 14

U 18

... zéros ... 0 ... zéros ... 0

D e g ré s d e li b e r té d e l ’a s s e m b l a g e

4.22


La matrice des déplacements-déformations peut maintenant être obtenue à partir de (g). Dans des conditions de contraintes planes les déformations de l’élément sont :

[

ε T = ε xy ε yy ε xy où ε xx =

]

∂v ∂u ∂v ∂u , ε yy = ; γ xy = + ∂x ∂y ∂y ∂x

En utilisant (g) et sachant que les éléments dans A

−1

sont constants, on obtient :

B = EA − 1 avec :

0 1 0 y

0 0 0 0

E= 0 0 0 0 0 0 1

x

x 0 1 0

y

0 0 1

Donc, la matrice déplacement –déformations correspondante aux degrés de liberté de l’élément local est :

1 B= 4

(1 + y ) 0

− (1 + y ) − (1 − y ) 0 0

(1 + x ) (1 − x ) 0

(1 − y ) 0

− (1 − x ) − (1 + x )

0

(1 + x ) (1 − x ) (1 + y ) − (1 + y )

0

(j)

0

− (1 − x ) − (1 + x ) − (1 − y ) (1 − y )

La matrice B peut être aussi calculée en opérant directement sur les lignes de la matrice H dans (h). Soit Bij le (i, j)ème élément de B, alors on a :

B

(2 )

=

0 0

0 0

B 13 B 23

B 17 B 27

B 12 B 22

B 16 B 26

0 0

0 0

B 14 B 24

B 18 B 28

B 11 B 21

B 15 B 25

0 0

0 0

0

0

B 33

B 37

B 32

B 36

0

0

B 34

B 38

B 31

B 35

0

0

... zéroz ...

0 0 0

4.23


Où les degrés de liberté de l’élément et ceux de l’assemblage sont ordonnées comme dans (d) et (b).

Exemple 4.7 Une distribution de pression de surface variant linéairement comme montré sur la Figure E4.7 est

(m ) pour cet élément.

appliquée à l’élément (m) d’un assemblage d’élément. Évaluer le vecteur R S

(m )

(m )

La première étape dans les calculs de R S est l’évaluation de la matrice H S . Cette matrice peut être établie en utilisant la même approche comme dans l’exemple 4.6. Pour les déplacements de surface on suppose :

u S = α1 + α 2 x + α 3 x 2 v S = β1 + β 2 x + β 3 x2

(a)

où ( comme dans l’exemple 4.6) les coefficients inconnus déplacements des nœuds. On a donc :

u S (x)

= H S uˆ

v S (x)

[

ˆ T = u1 avec u

α 1 ,..., β 3 sont évalués en utilisant les

u2

u3

v1

v2

v3

]

et 1

H

S

=

2

x (1 + x )

−

1 2

x (1 − x )

0

0

(1 − x ) 2

0 1

0

2

x (1 + x )

0 −

1 2

x (1 − x )

0

(1 − x ) 2

Le vecteur des charges de surface est (avec p1 et p2 positifs)

f

S

=

f xs f ys

1

=

2 −

(1 + x ) p1u + 1 (1 − x ) p2u 1 2

2 1

(1 + x ) p1v − (1 − x ) p2v 2

(m )

Pour obtenir R S , on évalue premièrement :

4.24


1 1

u

p1

Élément m

v

v

p2 2

1 cm

1

s

u

s

1 cm

3

p2

Épaisseur = 0.5 cm

p

u p1

+1

x

0

u

p2

-1 (a) Détails de l’élément v1=U23 v3 =U15 v2=U11

u1 =U22

u3=U14 u2=U10

Y X

(b) Degrés de liberté locaux et globaux Figure E4.7 Charge de pression sur un élément

4.25


+1

T

R s = 0.5 H S f S dx = −1

p1u p2u

(

1 2 p1u + p2u 3 − p1v − p2v

)

(

− 2 p1v + p1v

)

Donc, par rapport aux degrés de liberté globaux données dans la Figure E4.7, on a : U 10

R S(m )T =

1 [0 3

...

0

p 2u

U 11

− p 2v

U 12

0

U 13

0

(

U 14

2 p 1u + p 2u

D e g r é s d e li b e r té d e l ’a s s e m b la g e

U 22

U 23

...

p 1u

− p 1v

0

0

)

(

U 15

− 2 p 1v + p 2v

...

)

0

0]

L’hypothèse concernant l’équilibre des contraintes On a noté avant que les analyses des assemblages de treillis et de poutres sont originalement non considérées comme étant des analyses par éléments finis parce que les matrices de rigidité des éléments exactes peuvent être utilisées dans les analyses. Ces matrices de rigidités sont obtenues dans l’application du principe des déplacements virtuels si les interpolations de déplacements supposées sont en effet les déplacements exactes que l’élément subit lorsque soumis à un déplacement nodale unitaire. Ici le mot exacte réfère au fait qu’en imposant ces déplacements sur l’élément, toutes les équations différentielles pertinentes de l’équilibre et de la compatibilité et les exigences constituves (et aussi les conditions aux limites) sont complètement satisfaits dans une analyse statique. En considérant l’analyse de l’assemblage d’un treillis dans l’exemple 4.5, on a obtenu la matrice de rigidité exacte de l’élément 1. Cependant, pour l’élément 2, une matrice de rigidité approximative est calculée comme montrée dans le prochain exemple.

Exemple 4.8 Calculer pour l’élément 2 dans l’Exemple 4.5, les déplacements internes et exactes de l’élément correspondant à un déplacement unitaire de l’extrémité u2 , et évaluer la matrice de rigidité correspondante. Aussi, montrer qu’en utilisant l’hypothèse des déplacements des éléments dans l’exemple 4.5, l’équilibre interne des éléments n’est pas satisfait. Considérez l’élément 2 avec un déplacement unitaire imposé à son extrémité droite comme montré sur la Figure E4.8. Les déplacements de l’élément sont calculés en solutionnant l’équation différentielle (voir exemple 3.22),

4.26


E

d du A =0 dx dx

(a)

Les conditions limites sont: u x = 0 = 0 et u x = 80 = 1.0 . En substituant pour l’aire A et en intégrant la relation dans (a), on obtient:

u=

3 1 1− 2 1 + x / 40

(b)

u2 = 1.0 cm

1

2 x 80 cm

Figure E4.8 Élément 2 de la barre analysée dans l’exemple 4.5 Se sont les déplacements internes exactes de l’élément. Les forces à l’extrémité de l’élément nécessaire pour soumettre la barre à ces déplacements sont :

du x=0 dx du k 22 = EA x= L dx

k 12 = − EA

(c)

En substituant de (b) dans (c), on a :

k 22 =

3E 3E ; k12 = − 80 80

Donc on a , en utilisant la symétrie de la matrice de l’élément et l’équilibre pour établir k 21 et k11 ,

4.27


K=

3E 1 − 1 80 − 1 1

(d)

Le même résultat est bien sûr obtenu en utilisant le principe des déplacements virtuels avec les déplacements en (b). On note que le coefficient de rigidité dans (d) est plus faible que la valeur correspondante obtenue dans l’exemple 4.5 (3E/80 au lieu de 13E/240). La solution par éléments finis dans l’exemple 4.5 surestime la rigidité de l’élément de la structure parce que les déplacements artificielles restreignent le mouvement des particules du matériau (voir section 4.3.4). Pour vérifier que l’équilibre interne n’est pas satisfait, on substitue la solution par éléments finis (étant donné l’hypothèse de déplacement dans l’exemple 4.5) dans (a) et obtenir :

d E dx

x 1+ 40

2

1 ≠0 80

La solution des structures de treillis et de poutres, en utilisant les déplacements exactes correspondants aux déplacements et rotations unitaires des nœuds pour évaluer les matrices de rigidité, donne les résultats d’analyse que pour un modèle mathématique sélectionné satisfaisant toutes les trois exigences de la mécanique de façon exacte : L’équilibre différentiel pour chaque point de la structure (incluant l’équilibre nodal), la compatibilité, et les relations contraintedéformation. Donc, la solution exacte (unique) pour le modèle mathématique sélectionné est obtenue. On peut noter que de telle solution exacte est habituellement poursuivie dans une analyse statique, dans laquelle les relations de rigidité exactes sont obtenues comme décrits dans l’exemple 4.8, mais une solution exacte est beaucoup plus complexe à atteindre dans une analyse dynamique parce que dans ce cas les masses distribuées et les effets d’amortissement doivent être inclus (voir par exemple R.W. Clough and J. Penzien (A)). Cependant, quoique dans une analyse générale (statique ou dynamique), l’équilibre différentielle n’est pas exactement satisfait à tous les points du milieu considéré, deux propriétés importantes sont toujours satisfaites par la solution des éléments finis en utilisant un maillage grossier ou fin. Ces propriétés sont : Voir (Figure 4.2) 1. L’équilibre des nœuds 2. L’équilibre des éléments

4.28


q-1

m-1

q-1

m-1

q

Élément m

q

La somme des force F(m) équilibre les charges externes appliquées

m Les force F(m) sont en équilibre

Figure 4.2 Point nodal et équilibre d’un élément dans une analyse par éléments finis

4.29


Considérant qu’une analyse par éléments finis a été effectuée et qu’on calcule pour chaque élément fini m les vecteurs de forces nodaux.

F (m ) =

(m )

B (m )T τ (m )dV (m )

(4.29)

V (m )

(m ) (m )

où τ . Alors on observe par rapport à la propriété 1, =C ε À chaque nœud, la somme des forces nodaux de l’élément est en équilibre avec les charges nodaux appliquées (externes) (qui inclue tous les effets dus aux forces de volume, les tractions de surface, contraintes initiales, les charges concentrées, les forces d’inertie et d’amortissement et les réactions). Et par rapport à la propriété 2, Chaque élément est en équilibre sous ces forces F(m) . La propriété 1 résulte simplement parce que (4.27) exprime l’équilibre des points nodaux et on a:

m

F (m ) = KU

(4.30)

L’équilibre de l’élément établi dans la propriété 2 est satisfait lorsque les interpolations des déplacements d’élément finis H(m) satisfont les exigences de convergence de base, qui incluent la condition qu’un élément doit être capable de représenter les mouvements d’un corps rigide (voir section 4.3). En effet, considérant un élément m soumis à des forces nodales F(m) et imposant des déplacements virtuels nodaux correspondant aux mouvements du corps rigide. Alors pour chaque ˆ , on mouvement virtuel de l’élément du corps rigide avec des déplacements des points nodaux u a:

uˆ T F (m ) =

(B (m )uˆ T )τ (m )dV (m ) =

V (m )

ε (m )T τ (m )dV (m ) = 0

V (m )

( )

Parce qu’ici ε m = 0 . En utilisant tous les mouvements applicables d’un corps rigide on a alors trouvé que les forces F(m) sont en équilibre. Donc, une analyse par éléments finis peut être interprétée comme un processus dans lequel: 1. La structure ou le milieu continu est idéalisé par un assemblage d’éléments discrets connectés aux nœuds qui appartiennent aux éléments. 2. Les forces externes appliquées (forces de volume, tractions de surface, contraintes initiales, les charges concentrées, les forces d’inertie et d’amortissement et les réactions) sont assemblées à ces nœuds en utilisant le principe du travail virtuel pour obtenir des forces externes équivalentes appliquées aux nœuds. 3. Les forces externes équivalentes appliquées aux nœuds (calculées en 2) sont équilibrées par les forces nodales de l’élément qui sont équivalents (dans le sens du travail virtuel) aux contraintes internes de l’élément, i.e., on a : 4.30


m

F (m ) = R

4. La compatibilité et les relations contrainte-déformation du matériau sont satisfaites exactement, mais au lieu d’avoir l’équilibre au niveau différentiel, seulement l’équilibre global de la structure complète, aux nœuds, et de chaque éléments m sous ces forces nodales, est satisfait. Considérez l’exemple suivant.

Exemple 4.9 DEGRÉS DE LIBERTÉ LOCAUX D’UN ÉLÉMENT ET DEGRÉS DE LIBERTÉ GLOBAUX DE LA STRUCTURE Les dérivations des matrices des éléments dans les exemples 4.6 et 4.7 montrent qu’il est opportun d’établir premièrement les matrices correspondantes aux degrés de liberté locaux des éléments. La construction des matrices d’éléments finis, qui correspondent aux degrés de liberté de l’assemblage global (utilisés dans (4.19) et (4.25) peut alors être directement complétée en identifiant les degrés de liberté globaux qui correspondent aux degrés de liberté des éléments

locaux. Cependant, en considérant le matrices H (m ) , B (m ) , K (m ) et ainsi de suite, correspondants aux degrés de liberté de l’assemblage global, seulement ces lignes et colonnes correspondants aux degrés de liberté des éléments qui n’ont pas des zéros, et l’objectif principal en définissant ces matrices spécifiques est d’être en mesure d’exprimer le processus d’assemblage des matrices des éléments d’une manière théorique élégante. Dans l’implantation pratique de la méthode des éléments finis, toutes les matrices des éléments sont calculées en correspondance seulement aux degrés de liberté des éléments et sont après directement assemblées en utilisant la correspondance entre les degrés de liberté locaux des éléments et ceux de l’assemblage global. Donc, avec seulement les degrés de liberté des nœuds locaux des ˆ , on écrit (comme dans l’exemple 4.6) éléments listés dans u

u = Huˆ

(4.31)

ˆ sont les déplacements de l’élément mesurés dans n’importe quel Où les entrées dans le vecteur u système de coordonnées local adéquat. On a alors : = Buˆ

(4.32)

En considérant les relations dans (4.31) et (4.32), le fait qu’il n’y a pas d’indice utilisé dans les matrices d’interpolation indique que les matrices sont définies par rapport aux degrés de liberté locaux des éléments. En utilisant les relations pour la matrice de rigidité des éléments, les calculs des matrices de masses, et du vecteur des charges comme avant, on obtient :

4.31


K = B T CBdV

(4.33)

V

M = ρHT HdV

(4.34)

V

R B = HT f B dV

(4.35)

R s = H sT f s dS

(4.36)

R I = B T τ I dV

(4.37)

V

s

V

Où toutes les variables sont définies comme dans (4.19) à (4.25). Exemple 4.10 Établir la matrice H pour l’élément de treillis montré sur la figure E4.10. Les directions des degrés de liberté locaux et globaux sont montrées sur la Figure. v2

v~2

~ u 2

2

v(x) Y

u2 u(x)

v~1

v1

x

~ u 1 u1 1

X

Figure E4.10 Élément de treillis 4.32


Les déplacements dans le système de coordonnées locales sont :

u( x ) v( x) Et

~ u 1 L L −x 0 +x 0 ~ v1 1 2 2 = ~ L L u L 2 −x 0 +x 0 ~ 2 2 v2 ~ u 1 ~ v

1 = ~ u2 v~ 2

cos α

sinα

0

− sinα 0

cos α 0

0 cos α

0

0

− sinα

(a)

0

u1

v1 0 ⋅ u2 sinα v2 cosα

(b)

Donc on a:

cos α L L −x 0 +x 0 − sinα 1 2 2 H= L L L 0 0 −x 0 +x 2 2 0

sinα

0

0

cos α 0

0 cosα

0 sin α

0

− sinα

cosα

On note que pour la construction de la matrice des déplacements-déformations B (dans une analyse linéaire), seulement la première ligne de H est nécessaire parce que seulement la

∂u est considérée dans la dérivation de la matrice de rigidité. En ∂x ~ pratique, il est efficace d’utiliser seulement la première ligne de la matrice H dans (a) et après ~ transformer la matrice K tel que donné dans (4.41).

déformation normale

ε xx =

Exemple 4.11 Supposer que les matrices de rigidité des éléments correspondants aux déplacements des éléments montrés sur la Figure E4.11 ont été calculés et identifiés par A , B

, C ,

et D

tel que montré sur la Figure. Assembler ces matrices des éléments directement dans la matrice de rigidité globale de la structure en tenant compte des conditions aux frontières de déplacements montrées sur la Figure e4.11 (a). Aussi, établir la matrice de connectivité LM des éléments. Dans cette analyse, toutes les matrices de rigidité des éléments ont été déjà établies par rapport aux degrés de liberté alignés selon les directions globales. Par conséquent, aucune transformation comme dans (4.41) n’est nécessaire, et nous pouvons assembler directement la matrice de rigidité 4.33


complète. Puisque les déplacements aux supports sont nuls, on a besoin seulement d’assembler la matrice de rigidité correspondante aux composantes des déplacements inconnus dans U. La matrice de connectivité (LM array) pour chaque élément liste les degrés de liberté locaux des éléments, avec un zéro signifiant que la colonne et la ligne correspondantes à la matrice de rigidité de l’élément ne sont pas assemblées (la colonne et la ligne correspondent à un degré de liberté nul de la structure).

U2 U3

U1 U 4 U 5

u1 v1 u2 v 2 u3 v 3 u4 v 4 a11 a12 . . . a16 a17 a18 a 21 a 22 . . . a 26 a 27 a 28 . . . KA = a 61

a 71 a 81

a 62

. .

a 72 a 82

. .

. .

← ← u1 v1 u2 v2

a66

a67

a 68

u3 v3

a76 a86

a77 a87

a 78 a 88

u4 v4

Déplacements

globaux

Déplacements locaux U2 U3

U1 U4 U5

Élément quadrilatéral (contrainte plane)

U3

U2

Éléments de treillis

Élément de poutre

U1

U5

U7

U6

U4 U8

(a) Assemblage structural et degrés de liberté

4.34


v1 v2

v1

u2

u1

u1 2

2

C

1

v3

v4

u3

4

A

3

2

1

1

B

v2

u1

u1

u2

u4

D

v1

v1

v2

2

v1

u2

θ2

1

u1

θ1

(b) Les éléments individuels Figure E4.11 Un assemblage simple d’élément

U6 U7

U4 U5

U6 U7 U 2 U3

u1 v1 u2 v 2 b11 b12 b13 b14 KB =

b21 b31 b41

b22 b32 b42

b23 b33 b43

u1 U 6

b24 b34 b44

U6 U7

v1 U 7 u2 U 4 v2 U 5

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. . .

. . .

. . .

d 44 d 54 d 64

d 45 d 55 d 65

d 46 d 56 d 66

et l’équation K =

mK

(m )

KC =

c 21 c 31 c41

c 22 c 32 c42

c 23 c 33 c43

c 24 c 34 c44

u1

U6

v1 U 7 u2 U 2 v2 U 3

U8

u1 v1 θ 1 u2 v 2 θ 2 .... .... ... .... .... .... KD =

u1 v1 u2 v 2 c11 c12 c13 c14

,

u1 v1

θ1 u2 U 6 v2 U 7 θ 2 U8

donne

4.35


U1

U2

U3

U4

U5

U6

a66 a61 a62 a67 a68 a61 a11 + c33 a12 + c34 a17 a18 a26 a21 + c43 a22 + c44 a27 a28 a76 a71 a72 a77 + b33 a78 + b34 a81 a82 a87 + b43 a88 + b44 K = a86 0

c13

c14

b13

b14

0

c23

c24

b23

b24

0

0

0

0

0

U7

0 c31 c41 b31 b41 b11 + c11

0 c32 c42 b32 b42 b12 + c12

+ d 54 d 64

+ d 55 d 65

U8

+ d 45 + d 44 b21 + c21 b22 + c222

0 0 0 0 0 d 46 d 56 d 66

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8

La matrice LM pour les éléments sont :

[

3 0 0 0 1 4 5]

[

7 4 5]

[

7 2 3]

[

0 0 6 7 8]

Pour l’élément A: LM = 2 Pour l’élément B: LM = 6 Pour l’élément C: LM = 6 Pour l’élément D: LM = 0

On note que si les matrices de rigidité des éléments et les vecteurs LM sont connus, la matrice de rigidité de la structure totale peut être obtenue directement d’une manière automatique (voir aussi le chapitre 12).

4.2.2 Imposition des conditions aux limites de déplacements Tel que discuté dans la section 3.3.2, dans une analyse d’un milieu, on a des conditions aux limites de déplacements (appelées aussi essentielles) et de force (appelées naturelles). En utilisant la méthode des éléments basés sur les déplacements, les conditions aux limites de force sont considérées dans l’évaluation du vecteur de force nodal pour les charges externes. Le vecteur Rc assemble les charges concentrées incluant les réactions, et le vecteur Rs contient l’effet des charges de surface distribuées et les réactions distribuées. Supposant que les équations d’équilibre d’un système d’éléments finis, sans l’imposition des conditions aux limites de déplacements tel que dérivé dans la section 4.2.1, en négligeant l’amortissement sont :

4.36


M aa M ba

M ab U a K aa + M bb U b K ba

K ab U a K bb U b

=

Ra Rb

(4.42)

où les Ua sont les déplacements inconnus et les Ub sont les déplacements connus ou prescrits. En solutionnant pour Ua on obtient :

M aaU a + K aaU a = Ra − K abU b − M abU b

(4.43)

Donc, dans cette solution pour Ua, seulement les matrices de rigidité et de masse de l’assemblage total correspondants aux degrés de liberté inconnus Ua ont besoin d’être assemblées (voir exemple 4.11), mais le vecteur de charge Ra doit être modifié pour inclure l’effet des déplacements non-nuls imposés. Puisque les déplacements ont été évalués à partir de (4.43), les réactions peuvent être calculées en écrivant premièrement (en utilisant 4.18):

Rb = RBb + R Sb − RIb + RCb + Rr b

b

b

(4.44)

b

où RB , R S , R I et RC sont les charges nodales externes appliquées (charges connues), excluant les réactions et Rr représente les réactions inconnues. L’indice b indique que seules les

composantes correspondantes aux degrés de liberté de U b sont utilisées dans les vecteurs force

RBb , R Sb , R Ib et RCb dans 4.17. Notez que le vecteur Rr peut être considéré comme une

correction inconnue aux charges concentrées. En utilisant (4.44) et le deuxième ensemble des équations (4.42), on obtient donc:

Rr = (M baU a + M bbU b + K baU a + K bbU b ) − RBb − RSb + R Ib − RCb

(4.45)

Les 4 derniers termes de (4.45) sont une correction due aux chargements internes et de surface des éléments et de n’importe quel chargement concentré, appliqué directement aux supports. On démontre ces relations à l’aide de l’exemple suivant.

Exemple 4.12 Considérez la structure montrée dans la Figure E4.12. Trouver les déplacements et calculer les réactions.

4.37


EI = 107 L = 100

p (force / longueur)

p = 0.01 P = 1.0

P

EI

2EI

L

L a) Poutre en porte-à faux U1

U3 U2

U5 U6

U4 Elément 1

Elément 2 b) Discrétisation

Figure E3.12 Analyse d’une poutre en porte-à-faux On considère que la poutre en porte-à-faux est un assemblage de deux éléments de poutres. Les équations gouvernantes l’équilibre (4.42) sont (en utilisant les matrices dans l’exemple 4.1).

K aa K ba

K ab U a R = a K bb U b Rb T

[

Avec U a = U 1

(4.42)

U 2 U 3 U 4 ] et U bT = [U 5 U 6 ] = [0 0]

À partir de l’exemple 4.1, on a :

4.38


12

K aa

L2 6 EI L = L − 12 L2 6 L 0

K ab

RaT

0 EI − 24 = L L2 − 12 L = −P 0

6 L 4 −

6 L

2

− 12 L2 6 − L 36 L2 6 L

6 L 2

EI

, K bb = 6 L

L

L2 − 12 L

− 12 L 8

12

0

− 24

0 0 0 EI 12 , K ba = L L 0 0 4 − pL 2

24

− pL2 , RbT = 12

L2 12 L

−

− 12 L 4

pL + Rr U 5 2

+

pL2 + Rr U 6 12

Avec (4.43), on a : −1 U a = K aa [Ra − K abU b ] = K aa−1 Ra

Et en utilisant (4.45), on a :

Rr = K ba U a − RSb − RC

4.39


12 L2 6 L 12 − EI L2 6 L L

6 L 4 −

6 L

2

−

12

L2 6 − L 36

L2 6 L 24 − L2 12 L

6 L

U1

−P

2

U2

0

6 L

−

L2 12 − L 24

12 −

12 L

L2 12 − L

4

[

T

24

− pL 2 L2 = − pL2 U4 4 12 12 − pL − + Rr U 5 L U5 2 + pL2 8 + Rr U 6 U6 12 12

U3

]

Dans cet exemple on a U b = U 5 U 6 et U b = 0 . En utilisant (4.43), on obtient pour les propriétés données sur la Figure E4.12 :

U aT = [− 165 1.33 − 47.9 0.83] × 10 − 3 Et en utilisant (4.45), on a :

Rr =

2 − 250

Dans l’utilisation de (4.42), on suppose que les composantes des déplacements utilisés dans la section 4.2.1 contiennent tous les déplacements prescrits (noté par Ub dans 4.42). Si ceci n’est pas le cas, on a besoin d’identifier tous les déplacements prescrits qui ne correspondent pas aux degrés de liberté de l’assemblage défini et transformer les équations d’équilibre par éléments finis pour correspondre aux déplacements prescrits. Donc, on écrit :

U = TU

(4.46)

Où U est le vecteur des degrés de liberté dans les directions voulues. La matrice de transformation T est une matrice d’identité qui a été changé par les cosinus directeurs des composantes de U mesurées dans les directions des déplacements originaux (voir 2.58). En utilisant (4.46) dans (4.42), on obtient :

M ⋅ U + KU = R

T

(4.47)

T

T

Avec M = T MT , K = T KT , R = T R

(4.48) 4.40


Exemple 4.13 - Pour l’élément 1 on a :

K1 =

U1 EA1 1 − 1 , correspondant aux déplacements L1 − 1 1 U2

- Pour l’élément 2 on a :

K2 = Donc :

U2 EA2 1 − 1 , correspondant aux déplacements, , Sachant que U 3 = 2U 1 U3 L2 − 1 1

U2 0 1 U1 0 1 , donc T = = U3 2 0 U2 2 0 0 2 EA2 1 − 1 0 1 EA2 4 − 2 correspondant aux = L2 − 2 1 1 0 L2 − 1 1 2 0

T

Et K 2 = T KT = déplacements

U1 U2

,

- Pour l’élément 3 on a :

K3 = Donc :

U3 U4

U3 EA3 1 − 1 , correspondant aux déplacements, , Sachant que U 3 = 2U 1 L3 − 1 1 U4

=

2 0 U1 2 0 , donc T = 0 1 U4 0 1 T

Et K 3 = T K 3T = déplacements, Donc :

U1 U4

2 0 EA3 1 1 2 0 EA3 4 − 2 = L3 − 2 1 0 1 L3 − 1 1 0 1

correspondant aux

,

4.41


K total

1 − 1 0 U1 4 − 2 0 U1 4 0 − 2 U1 EA1 EA2 EA3 0 0 0 U2 = − 1 1 0 U2 + − 2 1 0 U2 + L1 L2 L3 0 0 0 U4 0 0 0 U4 − 2 0 1 U4 0 0 0 U1

+ 0 0 0 U2 0 0 k U4 A1 4 A2 4 A3 + + L1 L2 L3 − A1 − 2 A2 + L1 L2 − 2 A3 L3

=E

Avec k

− A1 − 2 A2 + L1 L2 A1 A2 + L1 L2 0

− 2 A3 L3 0 A3 +k L3

EA3 , pour tenir compte du déplacement imposé U 4 = δ . L3

Autre méthode: Nous avons:

K assemblée =

EA1 L1 − EA1 L1 0 0

− EA1 L1 A A E 1+ 2 L1 L2 − EA2 L2 0

0 − EA2 L2 A A E 2+ 3 L2 L3 − EA3 L3

0

U1

0

U2

− EA3 U3 L3 EA3 L3 U 4

Sachant que :

4.42


U1

1 0 0

1 0 0

U1

U2 0 1 0 0 1 0 . U 2 , Donc T = = U3 2 0 0 2 0 0 U4 U4 0 0 1 0 0 1 On peut maintenant calculer :

K Total

EA1 L1 − EA1 1 0 2 0 L1 = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 A1 4 A2 4 A3 + + L1 L2 L3 − A1 − 2 A2 E + L1 L2 − 2 A3 E L3

E 0 0 0 + 0 0 0 = 0 0 k

− EA1 L1 A A E 1+ 2 L1 L2 − EA2 L2

0

0

− EA2 L2 A A E 2+ 3 L2 L3 − EA3 L3 E

− EA3 L3 EA3 L3

− A1 − 2 A2 + L1 L2 A A E 1+ 2 L1 L2 0

1 0 0 0 1 0

0

2 0 0 0 0 1

E

− 2 A3 L3 0

E

A3 +k L3

4.43


4.2.3. Modèles de coordonnées généralisées pour des problèmes spécifiques (page 193, Tableaux 4.2 et 4.3) Les classes des problèmes rencontrés peuvent êtres résumées comme: (1) Treillis, (2) Poutre, (3) contrainte plane, (4) Déformation plane, (5) Flexion des plaques, (6) Tôles minces, (7) Tôles épaisses, (8) Poutres curvilignes et (9) Formulation générale en 3D. Pour chacun de ces problèmes, la formulation générale est applicable. Cependant, uniquement les déplacements appropriés, les variables de contraintes et déformations doivent être utilisées. Ces variables sont résumées dans le Tableau 4.2 et 4.3 ensemble avec les matrices de contrainte / déformations à être utilisées lorsqu’on considère un matériau isotrope. En se référant à l’exemple 4.6, dans lequel, on a considéré une condition de contraintes planes, on a utilisé pour les déplacements u et v des hypothèses polynômiales linéaires simples, où on a identifié les coefficients inconnus dans les polynômes comme coordonnées généralisées. Le nombre des coefficients inconnus dans les polynômes a été égal au nombre des nœuds dans un élément. En exprimant les coordonnées généralisées en termes des déplacements des nœuds de l’élément, on a trouvé qu’en général, chaque coefficient de polynôme n’est pas un déplacement physique réel mais est égal à une combinaison linéaire des déplacements des nœuds de l’élément. Tableau 4.2 Variables statiques et cinétiques pour des problèmes divers Vecteur contrainte Type du Composant Vecteur déformation problème es du T ε τT déplacemen t Barre/treilli u ε xx τ xx s Poutre w M xx κ xx

Contrainte plane Déformatio n plane Axisymétri que Trois dimensions Flexion des plaques

Symbole:

κ xy = 2

[ε xx [ε xx

u, v u, v u, v

[ε xx

u, v, w

[ε xx

∂u , ∂x

ε yy γ xy ] ε yy γ xy ]

ε zz ]

ε yy γ xy

ε yy ε zz γ xy γ yz γ zx

ε yy

∂v = , ∂y

[τ xx [τ xx

κ xx κ yy κ xy

w

ε xx =

γ xy

]

[τ xx [τ xx

τ yy τ xy ]

τ yy τ xy ]

τ yy τ xy

τ zz ]

τ yy τ zz τ xy τ yz τ zx

M xx M yy

∂u ∂v ∂ 2w ,..., κ = , = + xx 2 ∂y ∂ x ∂x

M xy

]

κ yy =

∂ 2w , 2 ∂y

∂2w ∂x∂y

4.44


Tableau 4.3 Matrices contrainte-déformation généralisées pour des matériaux isotropes et les problèmes montrés dans le tableau 4.2 Type du Matrice C (τ = Cε ) problème Barre/treillis E Poutre EI Contrainte plane

E 1 −ν 2

1 ν 1 0 0

ν

1

0

1

ν

Axisymétrique

1

0

1 − 2ν 2(1 − ν )

ν

ν

0

1 −ν

ν

1

0

0

1 − 2ν 2(1 − ν )

ν

ν

1 −ν

1 −ν

ν

ν

1 −ν

1 −ν

1 −ν 0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1 − 2ν 2(1 − ν )

0

0

0

0

0

0

1 − 2ν 2(1 − ν )

0

0

0

0

0

0

1

1 −ν

ν

E (1 − ν ) 1 −ν (1 + ν )(1 − 2ν ) 0

Flexion des plaques

0

0

ν

Trois dimensions

1

1 −ν

E (1 − ν ) 1 −ν (1 + ν )(1 − 2ν ) 0

0

1 −ν

E (1 − ν ) ν (1 + ν )(1 − 2ν ) 1 − ν

Déformation plane

0 0 1 −ν 2

ν

ν 1 −ν

Eh 3

(

12 1 − ν 2

ν

1 −ν

1 ν ν 1

)0

0

1 − 2ν 2(1 − ν )

0 0 1 −ν 2

Remarque concernant le tableau 4.3 Selon la théorie de l’élasticité (Young et Poisson)

4.45


{σ z On a en 2D

contrainte plane

= 0}

τ xz = τ yz = 0 εz =

x=

σx E

εy =+ γ xy =

ε=

−ν

σy E

τ xy G

σy E −ν =

=

(

)

σx E

τ xy E 2(1 + ν )

εx 1 1 −v σx = C −1σ = εy E −v 1 σ y

σ = Cε Et si on introduit τ xy

−v σ x +σ y E

E γ xy 2(1 + v )

avec C =

E 1 −ν 2

1 v v 1

on obtient

σx 1 v 0 εx E σy = v 1 0 εy 2 1− v 1− v τ xy γ ny 0 0 2

Déformation plane:

εz = 0

σ z = v (σ x + σ y )

4.46


εx =

σx E

ε y = −ν

−v

σα

ε z = −ν

E

σx E

σy E

+

−v

σy E

−v

σz E

−v

σy E

+

C=

Et pour ε z = 0

E (1 − v ) v (1 + v )(1 − 2v ) 1 − v v 1−v Déformation plane

E

σz E

σx σy σz

1 −v −v 1 [ε ] = − v 1 − v E −v −v 1

1

σz

v 1−v

1 v 1−v

=C −1σ

v 1−v v 1−v

1

C2x2 2 X 2

Les matrices d’éléments finis, qui sont formulées en supposant que les déplacements varient selon une forme de fonction où ces coefficients inconnus sont traités comme des coordonnées généralisées, sont dites : Modèles d’éléments finis par des coordonnées généralisées. Dans la dérivation qui suit, les déplacements des éléments finis sont toujours décrits dans le système de coordonnées générales montré sur la Figure 4.5. Aussi, puisque nous considérons un élément spécifique, nous n’utiliserons pas l’indice (m) considéré dans la section 4.2.1 (voir 4.31). Pour des éléments de barre à une dimension on a :

u( x ) = α 1 + α 2 x + α 3 x 2 + ...

(4.51)

4.47


Avec x varie sur la longueur de l’élément, u est le déplacement local de l’élément et

α1 , α 2 ,

α 3 sont les coordonnées généralisées. L’expansion dans (4.51) peut être aussi utilisée pour les

déplacements longitudinaux et transversaux d’une poutre.

Pour des éléments en 2D (i.e., contrainte plane, déformation plane, et des éléments axisymétriques) on a les déplacements u et v comme des fonctions de x et de y de l’élément :

u( x , y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 ... v ( x , y ) = β 1 + β 2 x + β 3 y + β 4 xy + β 5 x 2 ...

(4.52)

Avec α 1 , α 2 , α 3 , …, β 1 , β 2 , β 3 sont les coordonnées généralisées. Dans le cas d’un élément plaque fléchi, la déflexion transversale w est supposée fonction des coordonnées de l’élément x et y; i.e. :

w ( x , y ) = γ 1 + γ 2 x + γ 3 y + γ 4 xy + γ 5 x 2 ...

(4.53)

Avec γ 1 , γ 2,γ 3 , …, sont les coordonnées généralisées. Finalement, pour les éléments dans lesquels les déplacements u,v, et w sont mesurés comme des fonctions des coordonnées x, y et z de l’élément, on a en général:

u( x , y , z ) = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 z + α 5 xy + ... v ( x , y , z ) = β 1 + β 2 x + β 3 y + β 4 z + β 5 xy + ...

(4.54)

w ( x , y , z ) = γ 1 + γ 2 x + γ 3 y + γ 4 z + γ 5 xy + ... Avec

α 1 , α 2 , α 3 , …, β 1 , β 2 , β 3 , … et γ 1 , γ 2,γ 3 , …, sont les coordonnées généralisées.

Les relations (4.51) à (4.54) peuvent être écrites sous la forme matricielle suivante :

u = Φα

Avec: u: déplacements utilisés dans (4.51) à (4.54) Φ : Matrice dont les termes sont ceux des polynômes (voir exemple 4.6) α : Vecteur des coordonnées généralisée qui doit être arrangé dans un ordre bien défini.

(4.55)

Pour évaluer les coordonnées généralisées en termes des déplacements nodaux des éléments, on a besoin d’avoir un nombre de nœuds de déplacements égal au nombre des coordonnées généralisées considérés. 4.48


Alors, en évaluant (4.55) spécifiquement pour les déplacements nodaux notés uˆ , on a :

uˆ = Aα

(4.56) −1

En supposant que A − existe, on a:

α = A −1 uˆ

(4.57)

Les déformations ε d’un élément à être considéré dépendent du problème spécifique à solutionner. Soit ε un vecteur des déplacements dont ces composantes sont données pour un problème spécifique, on a :

ε = Eα avec E une matrice établie en utilisant les déplacements dans (4.55). contraintes généralisées:

τ = Cε

(4.58)

τ est le vecteur des (4.59)

avec C est la matrice d’élasticité générale. Les quantités τ et C sont définies pour des problèmes types dans les tableaux 4.2 et 4.3 (pages 193 et 194, Bathe). On peut noter qu’à l’exception des problèmes de flexion, les matrices généralisées τ , ε et C sont celles utilisées dans la théorie de l’élasticité. Le mot généralisé est utilisé simplement pour inclure les courbures et les moments versus les déformations et les contraintes, respectivement. L’avantage d’utiliser les courbures et les moments dans une analyse de flexion est que dans l’évaluation de la rigidité, une intégration sur l’épaisseur de l’élément correspondant n’est pas requise parce cette variation de contrainte et de déformations a été déjà prise en compte (voir exemple 4.15). En se référant au tableau 4.3, il est important de noter que toutes les matrices contraintedéformation peuvent être dérivées à partir de la relation générale à 3D. Les matrices contraintesdéformation des problèmes de déformation plane et axisymétrique sont obtenues simplement en éliminant dans la matrice σ − ε en 3D les lignes et les colonnes qui correspondent aux composantes des déformations nulles. La matrice σ − ε pour une analyse de contrainte plane est alors obtenue à partir de la matrice σ − ε axisymétrique en utilisant la condition τ zz = 0 (voir programme QUADS dans la section 5.6). Pour calculer la matrice σ − ε généralisée pour une analyse de flexion des plaques, la matrice σ − ε correspondante à des conditions de contrainte plane est utilisée comme montré dans l’exemple 4.15. Exemple 4.15 En considérant (4.55) à (4.59), on reconnaît que toutes les relations pour l’évaluation des matrices d’éléments finis correspondant aux déplacements nodaux des éléments finis locaux ont été définis, et en utilisant la notation de la section 4.2.1, on a:

4.49


H = Φ A−1

(4.60)

B = EA−1

(4.61)

Considérons maintenant de façon brève divers types d’éléments finis rencontrées, qui sont sujets à certains hypothèses statiques ou cinétiques. - Éléments de poutre et de treillis : Les éléments de treillis et de poutre sont largement utilisés dans l’ingénierie des structures pour modéliser, par exemple, les cadres de bâtiment et de ponts (voir Fig.4.5a pour l’assemblage des éléments de treillis). Tel que discuté dans la section 4.2.1, les matrices de rigidité de ces éléments peuvent, dans plusieurs cas, être calculées en solutionnant les équations différentielles de l’équilibre (voir exemple 4.8) et beaucoup de littératures ont été publiées sur de telles dérivations. Les résultats de ces formulations ont été utilisés dans l’analyse par la méthode de déplacement et dans les techniques de solution correspondante approximative, tels que la méthode de distribution des moments. Cependant, il peut être utile d’évaluer la rigidité des matrices en utilisant la formulation par éléments finis, c’est à dire le principe du travail virtuel, particulièrement lorsqu’on considère des poutres de géométries complexes et une analyse géométrique nonlinéaire. (voir section 5.4.1). -

Éléments de contrainte plane ou de déformation plane: Les éléments de contrainte plane sont employés pour modéliser les membranes, l’action plane des poutres et des plaques comme montré sur la Figure 4.5b et ainsi de suite. Dans chacun de ces cas, une situation de contraintes à deux dimensions (bi axiales) existe dans le plan xy avec les contraintes τ zz ,τ yz et τ zx égales à zéro. Les éléments de déformation planes sont utilisés pour

représenter une section (d’une épaisseur constante) d’une structure dans laquelle les composantes ε zz , γ yz et γ zx sont nulles. Cette situation est rencontrée dans l’analyse d’un long barrage comme illustré sur la Figure 4.5c. -

Éléments axisymétriques: Les éléments axisymétriques sont utilisés pour modéliser les composantes structurales de formes cylindriques. Des exemples d’application sont les réservoirs sous pression (pressure vessels) et les anneaux solides. Si ces structures sont aussi soumises à des charges axisymétriques, une analyse à deux dimensions utilisant une unité radian de la structure donne les distributions des contraintes et déformations comme montré à la Figure 4.5(d). Par ailleurs, si la structure axisymétrique est chargée d’un manière non axisymétrique, deux solutions sont possibles: 1) Une analyse complète à 3 dimensions, dans laquelle une sous structuration (voir section 8.2.4) ou une symétrie cyclique (voir exemple 4.14) est utilisée. 2) Une décomposition en série de Fourier des charges pour une superposition harmonique des solutions (voir exemple 4.20).

-

Éléments de plaques et de coques en flexion : La proposition de base dans l’analyse en flexion des plaques et coques est que la structure est mince dans une direction, et par conséquent les hypothèses suivants peuvent être déduits (voir Fig. 4.5e) : 1. La contrainte à travers l’épaisseur (c’est à dire perpendiculaire à la surface moyenne ) de la plaque/coque est nulle.

4.50


2. Les particules du matériau qui sont originalement sur une ligne droite perpendiculaire à la surface moyenne de la plaque/coque demeurent sur une ligne droite durant et après déformations. Dans la théorie de Kirchhoff, les déformations de cisaillement sont négligées et la ligne droite demeure perpendiculaire à la surface moyenne durant les déformations. Dans la théorie de Reissner/Mindlin, les déformations de cisaillement sont incluses, et par conséquent la ligne originale normale à la surface moyenne ne demeure pas en général perpendiculaire à la surface moyenne durant les déformations (voir section 5.4.2). Les premiers éléments finis développés pour modéliser les plaques minces et les coques en flexion ont été basés sur la théorie de Kirchhoff (voir R.H. Gallagher (A)). Les difficultés dans ces approches sont que les éléments doivent satisfaire les exigences de convergence et d’être relativement efficaces. Beaucoup d’efforts de recherche ont été employés pour le développement de tels éléments; cependant, il a été établi que des éléments encore plus efficaces peuvent être fréquemment formulés en utilisant la théorie des plaques de Reissner/Mindlin (voir section 5.4.2). Pour obtenir un élément de coque, une approche simple est de superposer la rigidité flexionnelle d’une plaque et la rigidité d’une membrane en contraintes planes. De cette façon, des éléments de coque plats sont obtenus et qui peuvent être utilisés pour modéliser les composantes plates des coques (c’est à dire des plaques pliées). On démontre le développement d’un élément de plaque en flexion basé sur la théorie de Kirchhoff et la construction d’un élément de coque plat associé dans les exemples 4.18 et 4.19. Exemple 4.16 Discuter la dérivation des matrices des déplacements et des déformations de la poutre montrée sur la Figure E4.16. La matrice de rigidité exacte (selon la théorie des poutres) de cette poutre peut être évaluée en résolvant les équations différentielles d' équilibre de la poutre, qui sont pour un comportement en flexion: d2 dξ 2

EI

d 2w dξ 2

= 0 ; EI = E

bh 3 12

(a)

et pour le comportement axial: d du EA = 0 ; A = bh dξ dξ

(b)

4.51


η

A

w1 h1

θ1

w2 u1

θ2

ξ A L

h2 u2 b h Section A-A

Figure E4.16. Élément de poutre avec section variable Avec E est le module d' Young. La procédure est d' imposer un déplacement unitaire à une extrémité, avec tous les autres déplacements aux bouts nuls, et de résoudre l' équation différentielle appropriée de l' équilibre de la poutre sujette aux conditions aux limites. Une fois les déplacements internes de l' élément pour ces conditions aux limites sont calculés, les dérivées appropriées donnent les forces aux extrémités de l' élément, qui ensemble constitue la colonne de la matrice de rigidité correspondante du déplacement imposé à l' extrémité. Il est important de noter que la matrice de rigidité est uniquement exacte pour une analyse statique, parce que dans une analyse dynamique, les coefficients de rigidité dépendent de la fréquence. Par ailleurs, la formulation donnée dans (4.8) à (4.17) peut être utilisée. La même matrice de rigidité telle qu' elle est évaluée par la procédure ci-dessus est obtenue, si les déplacements internes et exacts de l' élément (ceux qui satisfassent aux conditions (a) et (b)) sont utilisés pour construire la matrice déplacement-déformation. Cependant, en pratique il est fréquemment opportun d' utiliser les interpolations des déplacements qui correspondent à une section de poutre uniforme, et ceci mène à une matrice de rigidité approximative. L' approximation est généralement adéquate lorsque h2 n' est pas beaucoup plus grand que h1. (donc lorsqu' un grand nombre d' éléments de poutre est utilisé pour modéliser la structure au complet). Les erreurs encourues dans l' analyse sont celles discutées à la section 4.3, parce que cette formulation correspond à une analyse par éléments finis basée sur les déplacements. En utilisant les variables définies sur la Figure E4.16 et les déplacements "exactes" (Les fonctions de Hermitian) correspondants à une poutre prismatique, on a: u = 1−

+

ξ L

ξ L

u1 +

u2 −

6η ξ ξ 2 ξ ξ2 w1 − η 1 − 4 + 3 θ1 − L L L2 L L2

6η ξ ξ 2 ξ ξ2 w2 + η 2 − 3 θ2 − L L L2 L L2

et donc on obtient la matrice H:

4.52


H=

1−

ξ L

6η ξ ξ 2 − L L L2

−η 1 − 4

ξ L

+3

ξ2

ξ

L2

L

−

6η ξ ξ 2 − L L L2

η 2

ξ L

−3

ξ2 L2

(c)

et ceci implique que le vecteur des déplacements nodaux a été ordonné de la façon suivante: uˆ T = [u1

w1 θ 1

u2

w2 θ 2 ]

En considérant uniquement les déformations et contraintes normales dans la poutre, c' est à dire en négligeant les déformations de cisaillement, on obtient: ε ξξ =

du dξ

; τ ξξ = Eε ξξ

et donc: B=

−1 L

6η 1 2ξ − L L L2

−η −

4 ξ +6 L L2

1 L

−

6η 1 2ξ − L L L2

η

2 ξ −6 L L2

(d)

les relations dans (c) et (d) peuvent être utilisées pour évaluer les matrices élémentaires définies dans (4.33): K = Eb

L h/ 2

B T Bdηdξ

0 −h / 2

ξ

avec h = h1 + (h2 − h1 ) ξ

L

Exemple 4.17 u(x,y) = 1 + 2x + v(x,y) = 1 + 2x+

3y

3y

α1 α2 u( x , y ) 1 x y 0 0 0 α3 u= = v( x, y) 0 0 0 1 x y β1 β2 β3

=

4.53


y, v

3 (x3, y3)

v1

u1 1 Noeud 1 (x1, y1)

2 (x2, y2) x, u

z, w

(a) Les points nodaux

y, v 3

L

f ys 1 Noeud 1 (x1, y1)

fx s

2

x, u

z, w

(b) Charge de surface sur un côté Figure E4.17 Élément axisymétrique à 3 nœuds

u1 = α 1 + α 2 x1 u2 = α 1 + α 2 x 2 u = α1 + α 2 x3 û= 3 v 1 = β 1 + β 2 x1 v2 = β 1 + β 2 x3 v3 = β 1 + β 3 x3

+ α 3 y1 1 1 + α 3 y2 1 + α 3 y3 = 0 + β 3 y1 0 + β 3 y2 0 + β 3 y3

x1 x2 x3 0 0 0

y1 y2 y3 0 0 0

0 0 0 1 1 1

0 0 0 x1 x2 x3

0 α1 0 α2 0 α3 y1 β 1 y2 β 2 y3 β 3 4.54


u1 u2 u3 u( x , y ) u= =H v1 v( x , y ) v2 v3 Où

1 x 0 0

H =

A −1 =

A1−1

0

0 A1−1

y 0 0 0 1 x

0 −1 A y

1 x1 ; A1 = 1 x 2 1 x3

y1 y2 y3

Donc :

A1

−1

1 = det A1

x 2 y3 − x3 y2 y2 − y3 x3 − x2

x 3 y1 − x1 y 3 y 3 − y1 x1 − x3

x1 y 2 − x 2 y 1 y1 − y 2 x 2 − x1

Avec det A1 = x 1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y 1 ) + x 3 ( y 1 − y 2 ) Notons que detA1 est nul si les trois nœuds sont alignés. Sachant que:

ε xx =

∂u ∂v ∂u ∂v ∂w u , ε yy = , γ xy = ,. ε zz = = + x ∂z ∂x ∂y ∂y ∂ x

En tenant compte des fonctions de déplacement u( x , y ) et v ( x , y ) , on obtient :

4.55


ε xx ε yy =B γ xy ε zz

u1

0 0 B= 0 1 x

u2 u3 v1

;

v2 v3

1 0 0 1

0 0 1 y x

0 0 0 0 0 1 −1 −1 0 1 0 A = EA 0 0 0

0 0 0 1 0 0

E (1 − ν ) 0 Aire (1 + ν )(1 − 2ν ) 0 0 K = A−T 0 0 0 0 1 x

1 0 0 1

0 0 1 y x

0 1 0 0 0 1 1 0

1 x 1 y x 0 0 0

1

ν

ν 1 −ν

0

1

0

0

0

ν

ν

1 − 2ν 2 (1 − ν )

1 −ν

1 −ν

1 −ν

0

ν 1 −ν

ν

1 −ν 0 1

A− 1

(a)

0 0 0 0 0 1 0 1 0 xdxdy 0 0 0

Où 1 radian est considéré dans l’intégration du volume de l’élément axisymétrique. Notez que l’intégrale est définie sur l’Aire du triangle formé par les trois nœuds. De Façon similaire, nous avons :

RB = A

−T Aire

1

0

x

0

y

0

0

1

0

x

0

y

f xB f yB

xdxdy

4.56


0 0 0 1 0 0 RI = A−T

0 0 1 Aire

0 0 0 0 0 1 0 1 0

1 x I 1 τ xx y τ Iyy x τ I xdxdy xy 0 I 0 τ zz 0

(b)

1 0 x 0 y 0 1 x y 0 0 0 M = ρA − T xdxdy A − 1 0 1 0 0 0 1 x y Aire 0 x 0 y

Avec ρ est la densité de masse considérée comme une constante. Pour le calcul du vecteur des charges de surface Rs, il est important d’introduire un système de coordonnées auxiliaires sur le ou les cotés chargés de l’élément triangulaire. Supposant que le coté 2-3 de l’élément est chargé tel que montré sur la Figure E4.17. Le vecteur de charges Rs est alors calculé en fonction de la variable s, 0

Rs =

s

s 1− L s L 0

0 0 0 0

0

1−

0

s L

s L

f xS f yS

x2 1 −

s s ds + x3 L L

En considérant ces évaluations des matrices d’éléments finis présentées ci-dessus, les conclusions suivantes sont tirées : 1) Pour évaluer les intégrales, il est possible d’obtenir des solutions de type «closed-form»; et donc l’intégration numérique (discutée à la section 5.5) peut être utilisée. 2) Deuxièmement, un a trouvé que les matrices de rigidité, de masse et les vecteurs de charge correspondant aux formulations par éléments finis des problèmes de contrainte plane et de déformation plane, peuvent simplement être obtenues en éliminant la dernière ligne de la matrice E qui relie les déformations aux déplacements nodaux, utilisée dans les équations (a) et (b). 3) En utilisant la matrice appropriée C qui relie les contraintes aux déformations et aussi comme élément de volume différentiel hdxdy au lieu de xdxdy, où h est l’épaisseur d’un élément 4.57


quadrilatéral. Par conséquent, les problèmes axisymétriques, de contrainte plane et de déformation plane peuvent être implémentés d’une manière efficace dans un même programme informatique. Aussi, la matrice E montre que les conditions de déformation constante, ε xx , ε yy ,

γ xy , sont respectées dans les trois types d’analyse (axisymétrique, contrainte plane et déformation plane), considérant bien sûr le même nombre de nœuds dans un élément fini. Le concept d’effectuer des analyses de problèmes axisymétrique, de contrainte plane et de déformation plane dans un même programme informatique est présenté à la section 5.6, où on discute de l’implémentation efficace d’une analyse iso paramétrique par éléments finis. Exemple 4.18

Dans la théorie de flexion des plaques, on néglige les déplacements u, v, mais on mesure la déflexion w et les rotations θ x et θ y . Voir Figure E 4.18 z y

θ x1

w x

θ 1y

2

Nœud 1 h 3

4

Figure E4.18 Élément rectangulaire de flexion des plaques Pour un élément à 4 nœuds, avec 3 degrés de liberté par nœud, il nous faut une fonction de déplacement de la forme suivante :

ω ( x , y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7α 3 + α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α 10 y 3 + α 11 x 3 y + α 12 xy 3 Donc:

[

Φ ( x, y ) = 1 x

y

x2

xy

y2

x3

x2 y

xy 2

y3

x3 y

xy 3

] 4.58


∂w = α 2 + 2α 4 x + α 5 y + 3α 7 x 2 + 2α 8 xy + α 9 y + 3α 11 x 2 y + α 12 y 3 ∂x ∂w = α 3 + α 5 x + 2α 6 y + α 8 x 2 + 2α 9 xy + 3α 10 y 2 + α 11 x 3 + 3α 12 xy 2 ∂y En utilisant les conditions:

w i = (w ( x i , y i ) )

∂w ∂y ( xi , yi ) ∂w θ yi = − ∂x ( xi , yi )

θ xi =

On peut construire la matrice A :

α1 α2

w1 . . . w4

. . .

θ x1 . . .

=A

θ x4 θ 1y . . .

θ 4y

α 12

Avec:

4.59


1 x1 . . . . 1 x4 0 0 . . A= . . 0 0 0 −1 . . . . 0 −1

y1 . . y4 1 . . 1 0 . . 0

x12

x1 y 1

y 12

x 13

x 12 y 1

x 1 y 12

y 13

x 13 y 1

x 1 y 13

x 42 0

x4 y4 x1

y 42 2 y1

x 43 0

x 42 y 4 x 12

x 4 y 42 2 x 1 y1

y 43 3 y 12

x 43 y 4 x 13

x 4 y 43 3 x 1 y 12

0 − 2 x1

x4 − y1

2 y4 0

0 − 3 x 12

x 42 − 2 x1 y1

2 x4 y4 − y 12

3 y 42 0

x 43 − 3 x 12 y 1

3 x 4 y 42 − y 13

− 2 x4

− y4

0

− 3 x 42

− 2 x4 y4

− y 42

0

− 3 x 42 y 4

− y 43

Noter que dans la théorie de flexion des plaques on considère les courbures et les moments comme des déformations et des contraintes généralisées (voir tableau 4.2 et 4.3).

1 v 0 M xx 3 Eh 0 M yy = v 1 2 12 1 − v 1−v M xy 0 0 2

(

↑ Vecteurs des Moments

)

↑C matrice de rigidité

k xx k yy k xy ↑ Vecteur des courbures

Donc : ∂ 2w ∂x 2

∂ 2w ∂y 2

= 2α 4 + 6α 7 x + 2α 8 y + 6α 11 xy

= 2α 6 + 2α 9 x + 6α 10 y + 6α 12 xy

∂2w 2 = 2α 5 + 4α 8 x + 4α 9 y + 6α 11 x 2 + 6α 12 y 2 ∂ x∂ y

4.60


On a donc : 0 0 0

2 0

0 6x

E= 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0

2y

0

0

0

4x

0

0

6 xy

0

0

6 xy

2x 6 y 4y

0

6x

2

6 y2

En ayant E, on peut calculer B = EA-1 En ayant B, on peut calculer K = V B T CBdV KW = R

Une considération importante dans l’évaluation de la matrice de rigidité d’un élément est de vérifier si l’élément est complet et est compatible. L’élément considéré dans cet exemple est complet. Comme montré dans (e) page 207 (i.e. l’élément peut représenter des états de courbures constantes) mais l’élément n’est pas compatible. Les exigences de compatibilité sont violées dans un certain nombre d’éléments de flexion des plaques, c' est-à-dire que la convergence dans l’analyse est en général non montrée (voir section 4.3). Exemple 4.20

La figure E 4.20 montre une structure axisymétrique soumise à un chargement non symétrique dans la direction radiale. Discuter de l’analyse de cette structure en utilisant l’élément à 3 nœuds axisymétrique de l’exemple 4.17 lorsque le chargement est représenté comme une superposition des composantes de Fourier. La distribution des contraintes dans la structure est en 3D et peut être calculée en utilisant une idéalisation par éléments finis en 3D. Cependant, il est possible de prendre avantage de la géométrie axisymétrique de la structure et dépendant du chargement exact appliqué, réduire l’effort de calcul de façon significative. Le point clé dans cette analyse est que les charges externes appliquées Rr (θ , y ) sont représentées en séries de Fourier: Rr=

pc p =1

R cp cos( pθ ) +

ps p =1

R sp sin( pθ )

(a)

Où pc et ps sont les nombres totaux des contributions de charges symétriques et anti symétriques respectivement par rapport à θ = 0 Vecteur des déformations ε en coordonnées cylindriques.

4.61


ε T = [ε rr

ε yy

ε θθ

γ ry

γ θr ]

γ yθ

Voir figure E 4.20

Élément triangulaire à 3 nœuds

Rr (y, θ)

y

y,v

x,u

z,w

θ r

u = déplacement radial v = déplacement axial w = déplacement circonférentiel

z

(a) la structure de l’étude

θ

1e terme symétrique de la charge

θ

1e terme antisymétrique de la charge

(b) Représentation d’un chargement non-axisymétrique Figure E4.20 Structure axisymétrique soumise à un chargement non axisymétrique L’analyse complète peut être maintenant complétée en superposant les réponses dues aux contributions des charges symétrique et antisymétrique définies en (a). Par exemple, considérant que la réponse symétrique, on utilise pour un élément :

4.62


pc

u( x , y ,θ ) =

p=1 pc

v ( x , y ,θ ) =

p=1

w ( x , y ,θ ) =

pc p=1

cos ( pθ )Huˆ p

cos ( pθ )Hvˆ p

(b)

ˆ p sin( pθ )Hw

Avec pour les éléments triangulaires, en se référant à l’exemple E4.17:

H = [1 x

y ]A1−1

(c)

ˆ p sont les éléments inconnus des déplacements des points nodaux correspondant et uˆ p , vˆ p et w au mode p. On doit noter qu’on superpose dans (b) la réponse mesurée dans des distributions de déplacement individuel harmonique. En utilisant (b), on peut maintenant établir la matrice déplacementdéformation de l’élément. Puisqu’on est en présence d’une distribution de contraintes en 3D, on utilise l’expression des distributions de déformation en 3D dans les coordonnées cylindriques :

∂u ∂r ∂v ∂y u 1 ∂w + r r ∂θ ε= ∂u ∂v + ∂y ∂r ∂w 1 ∂v + ∂y r ∂θ ∂w 1 ∂u w + − ∂r r ∂θ r

[

(d)

]

Avec ε T = ε rr ε yy ε θθ γ ry γ yθ γ θr En substituant de (b) dans (d) , on obtient une matrice déplacement-déformation Bp pour chaque valeur de p, et les déformations totales peuvent être exprimées comme la superposition contenue dans les distributions de déformation dans chaque harmonie. Les déplacements inconnus des points nodaux peuvent être évalués en utilisant les procédures usuelles. L’équilibre des équations correspondantes aux déplacements généralisés des points 4.63


p

p

p

nodaux U i ,Vi ,W i , i = 1, 2….., N, (N est le nombre total des nœuds) et p = 1, 2, …pc sont évalués tel que donné dans (4.17) à (4.22), où on a:

[

U T = U 1T

U 2T

U pT = U 1p V1p W1p

U pc T

... U 2p

]

(f)

... W Np

(g)

Dans les calculs de K et de Rs, on note qu’à cause des propriétés d’orthogonalité, les matrices de rigidité correspondantes aux différentes harmonies sont découplées l’une de l’autre. 2π

sin nθ sin m θ dθ = 0

n≠m

0

(h)

2π

cos nθ cos mθ dθ = 0

n≠m

0

Donc, on obtient les équations d’équilibre suivantes pour la structure : K pU p = R SP ,

p = 1,…., pc

(i)

p

Avec K p et R S sont la matrice de rigidité et le vecteur de charge correspondant à la pème harmonie. La solution des équations (i) donne les déplacements généralisés des points nodaux de chaque élément et (b) donne tous les déplacements internes de l’élément. Dans la solution de déplacement ci-dessus, on a considéré seulement les contributions d’un chargement symétrique. Une analyse analogue peut être conduite pour les harmonies d’un chargement antisymétrique (a) en remplaçant simplement dans (b) à (i) tous les termes sinus et cosinus par les termes cosinus et sinus, respectivement. La réponse complète de la structure est alors obtenue en superposant les déplacements correspondants à toutes les harmonies. 4.2.4. Propriétés du bloc de la structure et des charges.

Une interprétation physique de la procédure d’analyse par éléments finis telle que présenté dans les sections précédentes est que les propriétés de la structure - rigidité et masse – et les charges internes et externes sont répartis (réunis ou regroupés) aux nœuds discrets des éléments de l’assemblage en utilisant le principe du travail virtuel. Parce que les mêmes fonctions d’interpolation sont utilisées dans le calcul des vecteurs de charge et de la matrice de masse, tout comme dans l’évaluation de la matrice de rigidité, on dit que « les vecteurs de charges consistants et les matrices de masse consistantes sont évaluées. Dans ce cas, 4.64


a défaut que certaines conditions sont satisfaites (voir section 4.3.3.), la solution par élément fini lot une analyse de Ritz. Voir exemple 4.21 et figure 4.7 page 24, exercices pages 214 – 225 4.3. Convergence des résultats d’analyse

Puisque la méthode des éléments finis est une procédure numérique pour résoudre des problèmes complexes d’ingénierie, des considérations importantes sont liées à la précision des résultats d’analyse et aux convergences de la solution numérique. 4.3.1. Le modèle du problème et définition de la convergence. Dans cette section, nous allons discuter des erreurs dues à la discrétion par éléments finis, qui sont dues aux interpolations des variables de la solution. L’équation de base du principe du travail virtuel qui gouverne la solution exacte du modèle mathématique. sT

−T ε τdV = u f f V

sf

dS +

sf

V

T

U f B dV

(4.62) Rappelons que pour la solution τ soit exacte, la relation (4.62) doit être satisfaite pour des déplacements virtuels arbitraires ( ∀ ) et des déformations virtuelles correspondantes ε ), avec u = 0 aux déplacements prescrits. Voir Figure 4.8 pour le processus d’une solution par éléments finis Voir Tableau 4.4 pour les types d’erreur dans une solution par éléments finis. (4.62)

peut être sous une forme compacte

a(u,v) = (f,v) par tous v admissibles

a(γ 1 u1 + γ 2 u2 , v ) = γ 1a( u1v ) + γ 2 a ( u2 , v ) a( u, γ 1v 1 + γ 2 v 2 ) = γ 1 a( u1 , v1 ) + γ 2 a ( u2 , v 2 )

a(.,.) : Forme bilinéaire

(f, .) : forme linéaire

( f , γ 1 v 1 + γ 2 v 2 ) = γ 1 ( f 1 v1 ) + γ ( f 1 v 2 )

u : étant la solution exacte v; n’importe quel déplacement admissible (continue et nulle aux déplacements présents). f : fonctions de forces f.Sy, fB 4.65


a(u,v) = a(v,u); a est symétrique. L’énergie de déformation correspondant à la solution exacte u est a(u,u) On suppose que cette énergie est finie). Supposant que la solution par éléments finis est uh h : dénote la taille du maillage utilisé, alors on définit la convergence par : a(u-uh; u-uh) h 0

0

(4.64)

ou a(uh; uh) h 0

a(u,u)

Exemple 4.22

4.3.2. Critère pour une convergence monotone Pour une convergence monotone, les éléments doivent être complets et les éléments et le maillage doivent être compatibles. Si ces conditions sont remplies, la précision de la solution augmentera avec le raffinement du maillage. L’exigence d’être complet pour un élément veut dire que les fonctions des déplacements des éléments doivent être capables de représenter les déplacements du corps rigide et aussi les états de déformations constantes. Nombre des modes de mouvement d’un élément d’un corps rigide = nombre de degrés de liberté – nombre de modes de déformation. 1 D Exemple :

1

2

u1

NMM = 2- 1 =1

u2

straining mode = constant strain mode 2 D : NMM = 3 3 D : NMM = 5 K

=λ

K

=

(4.65)

∧

(4.66)

: matrice – contenant les vecteurs propres Φ 1, …, Φ n 4.66


est une matrice diagonale contenant les valeurs propres correspondantes utilisant la propriété d’orthonormalité des vecteurs propres, on a alors : T

K

= ∧

= diag (λi). En (4.67)

On peut voir ∧ comme étant une matrice de rigidité de l’élément correspondant aux modes de déplacement des vecteurs propres. Les coefficients de rigidité d1, …, dn montrent directement combien l’élément est rigide dans le mode de déplacement correspondant. Voir Figure 4.10 Les états de déformations constantes sont décrits par les problèmes à valeurs propres et peuvent être interprétés physiquement si on imagine que plus la taille des éléments utilisés dans l’assemblage est faible plus la déformation de l’élément tend vers une constante. Les modes d’un corps rigide et les états de déformation constante qu’un élément peut représenter peut être directement identifié en étudiant la matrice Déplacement – Déformation de l’élément (voir exemple 4.23) L’exigence de compatibilité veut dire que les déplacements à l’intérieur des éléments et à travers les limites de l’élément doivent être continus. Physiquement, la compatibilité assure qu’il n’y a pas de vides (gaps) entre les éléments lorsque l’assemblage est chargé. La compatibilité entre les éléments de treillis et de poutre est automatiquement assurée parce qu’ils se rencontrent uniquement aux points nodaux. Aussi, la compatibilité est relativement facile à maintenir en 2D ( ε plane et σ plane) et aussi dans des analyses axisymétriques et en 3D. Cependant les exigences de compatibilité sont difficiles à satisfaire dans la flexion des plaques, et particulièrement dans l’analyse de tôles minces. Si les rotations sont dérivées à partir des déplacements transversaux ω .

Exemple 4.23 4.3.3. La convergence monotone de la solution par éléments finis ; solution de RITZ Dans une analyse par éléments finis, les fonctions de RITZ sont contenues dans les matrices d’interpolation de déplacement H (m), m = 1,2,… et les paramètres de RITZ sont les déplacements inconnus des points nodaux stockés dans U. Voir exemples 3.22 et 4.55 pour la correspondance entre MEF et la méthode de Ritz. Considérons la méthode d’analyse de Ritz avec les interpolations par éléments finis, on a

π =

UTKU - UTR

(4.68)

Avec π est le potentiel total du système. En appliquant la condition stationnaire π par rapport aux paramètres de Ritz Ui stockés dans U et reconnaissant que la matrice K est symétrique. On obtient

4.67


KU = R

(4.69)

La solution de (4.69) mène aux paramètres de Ritz, et alors à la solution de déplacement dans le domaine considéré U(m) = H(m) U

m = 1,2,…..

(4.70)

Par exemple dans une analyse de problème en 3D, seulement les déplacements entre les éléments doivent être contraints alors dans une analyse de problèmes de plaques formulées à l’aide de la théorie des plaques de Kichhoff, on a besoin aussi que les dérivées premières des fonctions de déplacements soient continues entre les éléments.

4.3.4. Propriétés de la solution par éléments finis Trouver U ε V tel que A(u,v) = (f,v)

∀v ε V

(4.71)

Ou l’espace V est défini comme V = {V \ V e L2 (vol);

∂vi ∈ L2 (Vol), ∂xj

i,j = 1,2,3

vi \su

= v, i= 1,2,3}

Ici L2 (Vol) est l’espace des fonctions carrées intégrables dans le volume du corps rigide considéré 2

L (vol) =

w est défini dans Vol et

3

vol

(wi )2 dvol =

i −1

w

2 L2 (vol )

+∞

(4.73)

Voir tableau 4.5. pour la notation v

2 3

= a (v , v )

(4.74)

Norme de l’énergie Cette énergie est le double de l’énergie de déformation stockée dans le corps rigide lorsque celuici est soumis à un champ de déplacement v. On suppose que la structure considérée dans (4.71) est proprement supportée, c’est-à-dire vi 0, donc v 2E est supérieure à zéro pour v 0

su =

Normes de Sobolev

4.68


m= 0

( v 0 . 0 )2 = v .

2

3

+

vol

(4.75)

(vi ) 2

i =1

d vol

m=1

v1

(4.76)

2

= v0

2

+

3

vol

i =1, j =1

γvi γxj

2

dvol

Pour nos problèmes d’élasticité, la norme d’ordre 1 est utilisée. Deux propriétés importantes pour la forme bilinéaire a : Continuité : (4.77)

∃M 0 tel que ∀ v1, v2 ε V1 a(v1 , v 2 ≤ M v1 v 2 2

∋ α 0 tel que ∀εV , a(v1,v) ≥ α v 1

(4,78)

Ou les et m dépendent du problème d’élasticité considéré incluant les constantes des matériaux, mais sont indépendants de v0. Les relations (4.77) et (4.78) sont satisfaites parce que des normes raisonnables sont utilisées et que la structure est stable, respectivement. Inégalité de Poincaré – Friedrichs 3

vol

2

(v1 )

i =1

dvol ≤ c

3

vol

i . j =1

α vi αxj

2

dVol

Se basant sur ces propriétés, on a : C1 v ≤ (a (v, v )) 1

≤ C2 v 1

C1, C2 : constantes indépendantes de v La convergence peut être alors définie, au lieu de (4.64) comme : 4.69


u − uh 1 → 0

lorsque h → 0

Exemple : 4.24 a(u1,v) = (F1,v)

∀ vε V

(4.80)

a(u2,v) = (F1,v)

∀ vε V

(4.81)

(4.80) – (4.81)

a(u1-u21) = 0

∀θεV

Uh : solution par éléments finis

(4.82)

ε Vh

(4.71) peut être écrit comme : Trouver uh vh tel que ∀ vh ε Vh

a(uh,vh)= f(F1,vh)

(4.83)

L’espace Vh est défini par : Vh = {v h v hε L2 (vol );

γ (v h )i 2 εL (vol ), i, j = 1,2,3 ( (v h )i γxj

Su

= 0,1 = 1, 2,3

}

(4.84)

Vh C V Voir Figure 4.11 Propriété 1 Soit e = u - uh , l’erreur entre la solution exacte et la solution MEF E = u - uh

(4.85)

Alors la propriété 1 est : ∀ vh ε Vh

a(eh;vh)= 0 Propriété 2 : a(un,un)

a(u,u)

(4.86) (4.89)

Propriété 3 : (4.91)

a(eh,eh)

a(u-vn, u-vh) ∀ vh ε Vh

4.70


Voir figures 4.12 et 4.13 4.3.5. Taux de convergence

u − uh

1

≤ ch k

(4.102)

c : constante indépendante de h mais dépend des propriétés du matériau h : la taille de l’élément fini k : est le degré pour qu’un polynôme d’interpolation soit complet (voir Figure 4.13 k = avec le terme x y dans les fonctions d’interpellation.

+

Par exemple les fonctions de l’exemple 4.6 u(x,y) = v(x,y)=

1 1

+

+

2x 2

+

x+

3y 3

+

y+

4xy 4

xy

Dans ce cas k = 1 + 1 = 2 Log ( u − u k u − uh

0

1

) = log c + k log h

≤ Ch k +1 u

(4.103) (4.104)

k +1

Exemple 4.25 Formulations par éléments finis d’un élément de poutre y

w1 1•

θ1

w2 2•

x

θ2

L

u t = [w1θ 1 w2θ 2 ]T On a 4 inconnus, donc, un polynôme de degré 3 w( x) = x1 + x2 x + x3 x 2 + x4 x 3

4.71


pour x=0, on a w(0) = w1 x1 = w1 dw = ϑ1 x2 = ϑ1 2. pour x=0, on a dx x= 0 3. pour x=L, on a W(L)= w2 w1 + ϑ1L + x3 L2 + x4 L3 = w2 dw = ϑ2 ϑ1 + 2 x3 L + 3x4 L2 = ϑ2 4. pour x=L, on a dx x = L À partir des équations (a) et (b), on résout pour x3 et x4 et on obtient :

1.

(a) (b)

w( x) = h1w1 + h2ϑ + h3 w2 + h4ϑ2 3x 2 2 x3 + 3 L2 L 3 2x x3 h2 ( x ) = x − + 2 L L 3x 2 2 x 3 h3 ( x) = 2 − 3 L L x 2 x3 h4 ( x ) = − + 2 L L Polynômes de Hamite h1 ( x) = 1 −

avec

(c)

L’énergie de déformation, en négligeant l’effet du cisaillement est : E EE 2 ∏= dV = dV 2 2 V V d 2w ou E = − y 2 dx 2 E d 2w ∏F = − y 2 dV 2V dx E = 2

L

d 2w dx 2

ϑ2

[

dx y 2 dA A

A L

2

d 2w dx dx 2

] ϑw

1 2

ϑ2

d 2w = BU avec h11 = 2 dx 2 d 2w et = U T B T BU 2 dx

Donc ∏ F =

y 2 dA = I

w1

11 = h111 h11 h11 2 3 h4

2

ou

EI Donc ∏ F = 2

w1 d 2w d 2 ϑ1 = [h1 h2 h3 h4 ] w dx 2 dx 2 2

∏ = ∏F − ∂∏ = ∂U R

EI L T T U B BU dx 2 RU pour k = 1, 2, 3, 4

4.72


L T

EI

U=R

B B dx L T

Donc K = EI h1′ = −

6x L2

+

B B dx

6x2

h1′′ = −

;

L3

− 4x 3x2 h2′ = 1 + ; 2 L L h3′ =

6x L2

−

6x2 L3

2x 3x2 + h4′ = − L L2 h1′′ K = EI

L h2′′

h3′′

L2

+

12 x L3

h2′′ =

− 4 6x + L L2

;

h3′′ =

h4′′ = −

;

6

6 L2

−

12 x L3

2 6x + L L2

[h′′ h′′ h′′ h′′ ]dx 1

2

3

4

h4′′ θ1

w1 12 K=

w2 −12

θ2

−6 L

−6 L 12

2 L2 θ 1 −6 L w 2

2 L2

−6 L

6L 4 L2

EI 6 L L3 − 12 6L

y

6L

w1

4 L2 θ 2

p L

x R1

M1

R2 M2

4.73


V = étant l’effort tranchant

EI

d 3w = − px + c , = V ( x ) dx 3 En appliquant la condition aux limites V ( 0 ) = R1

d4w dx 4

= − p=

dV ( x ) dx

EI

c 1 = R1 EI En intégrant EI sachant que EI

d 2w p = − x 2 + R1 x + C2 = Μ ( x) 2 dx 2 d 2w dx 2 x =

= Μ ( 0 ) = −Μ 1

Intégrant de nouveau EI = dw =0 dx x = sachant que

d 3w dx 3

= − px + R1

C 2 = −Μ 1

R p dw = − x 3 + 1 x 2 − M 1 x + c3 dx 6 6 c3 = 0

px 4 R1 x 3 M 1 x 2 EIW ( x ) = + − + c4 24 6 2 En appliquant la condition aux limites w( 0 ) = 0

c4 = 0

dw = 0 et w ( L ) = 0 dx x = L 3 avec les conditions aux limites − p L + R1 L2 − M 1 L = 0 6 2

−p

R1 =

PL 2

PL2 L4 R1 3 M 1 L2 L − = 0 M1 = + 12 24 6 2

et à partir des équations d’équilibre on en déduit que R2 =

PL PL2 et M 2 = − 2 12

4.74


−

PL 2

PL2 12 Donc R = PL − 2 −

+

PL2 12

4.75

Methode Des élements finis

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