Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios Ejercicio 1 Considera el siguiente problema. Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 ≥ 20 2X1 + 4X2 + X3 = 50 X1, X2, X3 ≥ 0 1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale. 2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema. 3.-Utiliza 3.-Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale 4.- Aplica la fase 1 paso a paso. 5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2. 6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. 7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? 8.-Utiliza 8.-Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.
Ejercicio 2 Considera el siguiente problema. Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 Sujeto a: a: 2X1 + X2 + 3X3 = 60 3X1 + 3X2 + 5X3 ≥ 120 X1, X2, X3 ≥ 0 1.- Utiliza el método de la gran M para aplicar el método simplex paso a paso a fin de resolver el problema. 2.- Emplea el método de las dos fases para aplicar el método simplex paso a paso y resolver el problema. 3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? 4.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.
Respuesta Ejercicio 1. Método de la gran M Problema original Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 ≥ 20 2X1 + 4X2 + X3 = 50 X1, X2, X3 ≥ 0
Debido a la forma de las restricciones el problema de programación lineal sufre modificaciones Primer cambio Segundo Cambio Tercer cambio En la desigualdad X1 - 2X 2 + X 3 ≥ 20 Este nuevo problema se convierte a un Antes de iniciar el método simplex con este nuevo se resta una variable de exceso X4≥0 problema artificial para este fin se problema, se deben quitar las variables artificiales A1, y A2 de tal manera que la desigualdad se agregan, variables artificiales A1 y A2 a de la función objetivo. Para este fin, despejamos A1 de la convierte en igualdad cada desigualdad y una penalización a primera restricción y A2 de la segunda restricción. X1 - 2X2 + X3 - X4= 20. la función objetivo, es decir: Posteriormente se sustituye ambos despejes en la función Con este cambio, el problema Maximizar objetivo. Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 – MA1 - MA2 original se convierte en el siguiente: Despeje Sustitución Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 – Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 – MA1 X1 - 2X2 + X3 – X4 + A1 = 20 Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 X4 + A1 = 20 MA2 2X1 + 4X2 + X3 + A2 = 50 Sujeto a: A1 = 20 - X1 + Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 – M(20 - X1 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0 X1 - 2X2 + X3 – X4 = 20 2X2 - X3 + X4 + 2X2 - X3 + X4 ) - M(50 - 2X1 2X1 + 4X2 + X3 = 50 2X1 + 4X2 + X3 + A2 4X2 - X3) X1, X2, X3, X4 ≥ 0 = 50 Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 – 20M + M A2 = 50 - 2X1 X1 - 2MX2 +M X3 - MX4 - 50M + 4X2 - X3 2MX1 + 4MX2 +MX3 Z = (2+M+2M )X1 +(5- 2M +4M)X2 + (3 +M+ M )X3 - MX4 – 70M Z = (2+3M )X1 +(5 +2M)X2 + (3 +2M )X3 - MX4 – 70M
De esta manera, el problema a resolver por el método simplex es. Maximizar Z = (2+3M )X1 +(5 +2M)X2 + (3 +2M )X 3 - MX4 – 70M Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 – X4 + A1 = 20
2X1 + 4X2 + X3 + A2 = 50 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0
a. Construcción de la tabla simplex Variable básica
Ec.
Z
x1|
x2
x3
x4
A1
Lado
A2
0
Z
-2M-5
-2M-3
M
0
0
-70M
1
A1
0
1
-2
1
-1
1
0
20
2
A2
0
2
4
1
0
0
1
50
1 -3M-2
Entrada (E)
Solución BF inicial
Derecho
Salida (S)
(X1, X2, X3, X4, A1,A2) 0
0
0
0
20
50 E=X1 S=A1
b. Método simplex paso a paso Nota. En la tabla algunos no se obtuvieron y se representaron con *. Pero este hecho no afecta el procedimiento del método simplex Paso 1. Sistema de acuerdo a iteración
Variable Iteración 0
1
2
3
4
Ec.
básica
Z
x1|
x2
x3
x4
Paso 2.
A1
A2
Lado
Paso 3
Obtención del vértice
Derecho
¿Z es óptima en vértice?
(X1, X2, X3, X4, A1,A2)
Paso 4
Cociente Mínimo
Variables
Entrada (E) Salida (S) E=X1
0
Z
1
A1
2
A2
0
2
4
1
0
Z
1
0
-8M-9
M-1
1
X1
0
1
-2
1
-1
2
A2
0
0
8
-1
2
-2
1
10
0
Z
1
0
0
-17/8
0.25
M-1/4
M+9/8
205/4
1
X1
0
1
0
0.75
-0.5
0.5
0.25
22.5
No aumenta si
2
X2
0
0
1
-0.125
0.25
-0.25
0.125
1.25
x3 aumenta y x4=A1=A2=0
0
Z
1
17/6
0
0
-7/6
M+7/6
M+11/6
115
Z= *
E=X4
1
X3
0
4/3
0
1
-2/3
2/3
1/3
30
No aumenta si
S=X2
2
X2
0
1/6
1
0
1/6
-1/6
1/6
5
x4 aumenta y x1=A1=A2=0 5/(1/6)=30
1 -3M-2 0
1
-2M-5
-2M-3
M
0
0
-70M
-2
1
-1
1
0
20
0
0
1
50
-2M-2
3M+2
0
-10M+40
1
0
20
0
Z
1
4
7
0
0
M
M+3
150
1
X3
0
2
4
1
0
0
1
50
2
X4
0
1
6
0
1
-1
1
30
Solución del problema: (a) artificial Z= 150 en el punto (X1, X2, X3, X4, A1,A2) = (0, 0 , 50, 30, 0 ,0) (b) original Z= 150 en el punto (X1, X2, X3) = (0, 0 , 50)
0
0
0
0
20
50
Z= -70M No aumenta si
20/1=20
S=A1
x1 aumenta y x2=x3=x4=0 *
0
0
0
*
*
Z= *
E=X2
No aumenta si
S=A2
x2 aumenta y x3=x4=A1=0 10/8=1.25 *
*
0
0
0
0
0
0
50
0
0
30
*
*
0
*
*
0
E=X3
Z= * 22.5/0.75=30
S=X1
Z= 150 SI. Ya no aumenta
Fin del proceso Fin
Ejercicio 1. Método de las dos fases Este método implementa el problema artificial de la gran M en dos etapas, llamadas fase 1 y fase 2. Se describe las fases a continuación. Problema artificial Problema de la fase 1 Problema de la fase 2 Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 – MA1 - MA2 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 – X4 + A1 = 20
2X1 + 4X2 + X3 + A2 = 50 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0
Minimizar Z = A1 + A2 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 – X4 + A1 = 20
Minimizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 – X4 = 20
2X1 + 4X2 + X3 + A2 = 50 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0
2X1 + 4X2 + X3 = 50 X1, X2, X3, X4,≥ 0
Objetivo es encontrar una solución Objetivo es encontrar una solución óptima para el problema real factible para el problema real. c. Tabla simplex de la primera fase Para proporcionar la tabla simplex del problema enunciado en esta fase, primero se debe despejar las variables artificiales de las restricciones y sustituirlas en la función objetivo Despeje Sustitución Problema a resolver en simplex X1 - 2X2 + X3 – X4 + A1 = 20 => A1 = 20 -X1 + 2X2 Z=A1+A2 Z= -3X1 - 2X2 - 2X3 + X4 +70 - X3 + X4 Z=20 -X1 + 2X2 - X3 + X4 +50- 2X1 – 4X2 – X3 Sujeto a: 2X1 + 4X2 + X3 + A2 = 50 => A2 = 50- 2X1 – 4X2 Z= -3X1 - 2X2 - 2X3 + X4 +50 X1 - 2X2 + X3 – X4 + A1 = 20 2X1 + 4X2 + X3 + A2 = 50 – X3 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0
Variable
Lado
-Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
Z
-1
-3
-2
-2
1
0
0
-70
1
A1
0
1
-2
1
-1
1
0
20
2
A2
0
2
4
1
0
0
1
50
Ec.
básica
0
Solución BF inicial
Derecho
Entrada= E
(X1, X2, X3, X4, A1,A2) 0
0
0
0
20
Salida=S 500
E=X1 S=A1
d. Método simplex paso a paso: fase 1 Paso 1. Sistema de acuerdo a
Variable Iteración Ec. 0
1
2
básica
iteración
Paso 2.
-Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
Paso 3
Lado
Obtención del vértice
Derecho
(X1, X2, X3, X4, A1,A2)
¿Z es óptima en vértice?
0
Z
-1
-3
-2
-2
1
0
0
-70
1
A1
0
1
-2
1
-1
1
0
20
No, aumenta si
2
A2
0
2
4
1
0
0
1
50
x1 aumenta x2=x3=x4=0
0
Z
-1
0
-8
1
-2
3
0
-10
1
X1
0
1
-2
1
-1
1
0
20
2
A2
0
0
8
-1
2
-2
1
10
x2 aumenta x3=x4=A1=0
0
Z
-1
0
0
0
0
1
1
0
Z=0
1
X1
0
1
0
0.75
-0.5
0.5
0.25
22.5
2
X2
0
0
1
-0.125
0.25
-0.25
0.125
1.25
0
0
0
0
20
No necesario
No necesario
500
Sustitución función objetivo Forma gaussiana apropiada Forma gaussiana apropiada
Ec. 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
Variable básica Z X1 X2 Z X1 X2 Z X1 X2 Z X1 X2 Z X1 X2
Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
-1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 1 0 -2 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 -5 0 1 -5 0 1 0 0 1
0 0.75 -0.125 0 0.75 -0.125 -3 0.75 -0.125 -1.5 0.75 -0.125 -2.125 0.75 -0.125
0 -0.5 0.25 0 -0.5 0.25 0 -0.5 0.25 -1 -0.5 0.25 0.25 -0.5 0.25
1 0.5 -0.25
1 0.25 0.125
Variable
Cociente
Entrada(E)
Mínimo
Salida(S)
Z=-70
E=X1 20/1=20
S=A1
Z=-10
E=X2
No, aumenta si
S=A2
Si, ya no aumenta
e. Tabla simplex de la f ase 2
Iteración Tabla simplex fase 1 Elimino artificiales
Paso 4
Lado Derecho 0 22.5 1.25 0 22.5 1.25 0 22.5 1.25 45 22.5 1.25 51.25 22.5 1.25
Paso 1
Paso 2
10/8=1.25 Fin fase uno
Fin
f. Método simplex paso a paso Paso 1. Sistema de acuerdo a iteración
Iteración
Ec.
0
0 1 2
1
2
Variable -Z básica
2
x1|
x2
x3
x4
0 1
Z X1 X2 Z X3 X2 Z X3
-1 0 0 -1 0 0 -1 0
0 1 0 2.83333333 1.33333333 0.16666667 4 2
0 0 1 0 0 1 7 4
-2.125 0.75 -0.125 0 1 0 0 1
0.25 -0.5 0.25 -1.167 -0.667 0.1667 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2
X4
0
1
6
0
1
0
0
0 1 2
Paso 3
Paso 4
¿Z es óptima en vértice?
Lado Obtención del vértice Derecho (X1, X2, X3, X4) 51.25 22.5 1.25 0 0 22.5 1.25 115 0 * 0 * 30 5 150 0 0 50 30 50
Z=51.25 NO, aumenta si x3 aumenta x4=0 Z=115 NO, aumenta si x4 aumenta x1=0; Z=150 Si, ya no aumenta
Variable
Cociente Mínimo
Entrada(E) Salida(S) E=X3 S=X1
22.5/0.75=30
E=X4 S=X2 5/0.125=40 Fin del proceso
Fin
30
Solución del problema original Z= 150 en el vértice (X1,X2,X3) = (0,0,50) g. Comparación de soluciones obtenidos con el método de la gran M y de las dos fases Solución con el método de la gran M
4
0
Z
1
4
7
0
0
M
M+3
150
1
X3
0
2
4
1
0
0
1
50
2
X4
0
1
6
0
1
-1
1
30
0
0
50
30
0
0
Z= 150 SI. Ya no aumenta
Fin del proceso Fin
Solución con el método de las dos fases
2
0 1 2
Z X3 X4
-1 0 0
4 2 1
7 4 6
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
150 50 30
0
0
50
30
Z=150 Si, ya no aumenta
Fin del proceso
Fin
¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? Podemos notar que con ambos métodos se obtienen las mismas soluciones. Solución del problema artificial Z= 150 en (0,0, 50, 30, 0, 0). Mientras que la solución en el problema original es Z=150 en el vértice (0, 0, 50)
h. Resultado utilizando el software PhPSimplex
Problema original Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 = 60 3X1 + 3X2 + 5X3 ≥ 120 X1, X2, X3 ≥ 0
Ejercicio 2. Método de la gran M Debido a la forma de las restricciones el problema de programación lineal sufre modificaciones Primer cambio Segundo Cambio Tercer cambio En la desigualdad 3X1 + 3X 2 + 5X 3 ≥ Este nuevo problema se convierte a un Antes de iniciar el método simplex con este nuevo 120 se resta una variable de exceso problema artificial para este fin se problema, se deben quitar las variables artificiales A1, y A2 X4≥0 de tal manera que la agregan, variables artificiales A1 y A2 a de la función objetivo. Para este fin, despejamos A1 de la desigualdad se convierte en cada desigualdad y una penalización a primera restricción y A2 de la segunda restricción. igualdad la función objetivo, es decir: Posteriormente se sustituirá ambos despejes realizados en Minimizar 3X1 + 3X2 + 5X3 - X4 = 120. la función objetivo. Con este cambio, el problema Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 + MA1 + MA2 Despeje Sustitución 2X1 + X2 + 3X3 + A1 = 60 Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 + MA1 + MA2 original se convierte en el siguiente: Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 + A1 = 60
Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 = 60 3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 = 120 X1, X2, X3, X4 ≥ 0
A1 = 60 - 2X1 - X2 - 3X3
3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 + A2 = 120 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0
3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 + A2 = 120 A2 = 120 - 3X1 - 3X2 - 5X3 +X4
Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 +M(60 - 2X1 - X2 - 3X3) + M(120 - 3X1 - 3X2 - 5X3 +X4) Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 + 60M - 2MX1 - MX2 3MX3 +120M - 3MX1 - 3MX2 - 5MX3 + MX4 Z =(3 -2M-3M)X1 + (2-M-3M)X2 + (4-3M 5M)X3 -MX4 -180M Z =(3 -5M)X1 + (2 -4M)X2 + (4- 8M)X3 + MX4 +180M
Problema al cual se le aplicará el método simplex es. Maximizar -Z =-(3 - 5M)X 1 - (2- 4M)X 2 - (4 -8M)X 3 - MX4 - 180M Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 + A1 = 60 3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 + A2 = 120 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0
a. Tabla simplex Variable Ec. 0 1 2
básica -Z A1 A2
-Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
-1 0 0
-5M+3 2 3
-4M+2 1 3
-8M+4 3 5
M 0 -1
0 1 0
0 0 1
Lado
Solución BF inicial
Derecho -180M 60 120
Entrada(E)
(X1, X2, X3, X4, A1,A2) 0
0
0
0
60
Salida(S) 120
E=X3 S=A1
b. Método simplex paso a paso Paso 1. Sistema de acuerdo a iteración
Variable Iteración 0
1
2
Paso 2.
Lado
Paso 3
Obtención del vértice
Paso 4
-Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
-Z
-1
-5M+3
-4M+2
-8M+4
M
0
0
-180M
1
A1
0
2
1
3
0
1
0
60
2
A2
0
3
3
5
-1
0
1
120
0
-Z
-1
M/3+1/3
-4M/3+2/3
0
M
8M/3-4/3
0
-20M-80
1
X3
0
2/3
1/3
1
0
1/3
0
20
No. Aumenta si
2
A2
0
-1/3
4/3
0
-1
-5/3
1
20
X2 aumenta x1=x4=A1=0
0
-Z
-1
1/2
0
0
1/2
M-1/2
M-1/2
-90
Ec. 0
básica
1 2
X3
0
3/4
0
1
X2
0
-1/4
1
0
1/4 3/4
Derecho
3/4
-1/4
15
-5/4
3/4
15
¿Z es óptima en vértice?
(X1, X2, X3, X4, A1,A2) 0
0
0
0
60
120
Entrada(E)
Mínimo
Salida(S)
-Z=-180M No. Aumenta si
Variable
Cociente
E=X3 60/3=20
S=A1
x3 aumenta x1=x2=x4=0 0
0
0
15
*
15
0
0
*
0
*
0
-Z=*
E=X2 S=A2 20/(4/3)=15
-Z=-90 SI
Fin Fin del proceso
Proceso
Por lo tanto, la solución del problema artificial es -Z=-90 en el vértice (X1, X2, X3, X4, A1, A2)= (0, 15, 15, 0, 0, 0). De esta manera, la solución del problema original es: Z=90 en el vértice (X1, X2, X3)= (0, 15, 15)
Problema artificial Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 + MA1 + MA2 Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 + A1 = 60
3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 + A2 = 120 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0
Ejercicio 2. Método de las dos fases Problema de la fase 1 Minimizar Z = A1 + A2 Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 + A1 = 60
Problema de la fase 2 Maximizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 = 60
3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 + = 120 3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 + A2 = 120 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0 Objetivo es encontrar una solución factible para el Objetivo es encontrar una solución óptima para el problema real. problema real
c. Tabla simplex de la primera fase Para proporcionar la tabla simplex, se debe despejar las variables artificiales de las restricciones y sustituirlas en la función objetivo Despeje Sustitución Problema a resolver en simplex 2X1 + X2 + 3X3 + A1 = 60 => A1 = 60 - 2X 1 - X2 - 3X3 Z=A1+A2 Maximizar -Z= -(-5X1 - 4X2 - 8X3 + X4 +180) 3X1 + 3X2 + 5X 3 –X4 + A2 = 120 => A2 = 120 - 3X 1 Z= 60 - 2X1 - X2 - 3X3 Sujeto a: 3X2 - 5X3 + X4 Z= 120 - 3X1 - 3X2 - 5X3 + X4 2X1 + X2 + 3X3 + A1 = 60 3X1 + 3X2 + 5X3 –X4 + A2 = 120
X1, X2, X3, X4, A1, A2 ≥ 0 Variable Ec. 0 1 2
básica Z A1 A2
-Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
-1 0 0
-5 2 3
-4 1 3
-8 3 5
1 0 -1
0 1 0
0 0 1
Lado
Solución BF inicial
Derecho -180 60 120
0
(X1, X2, X3, X4, A1,A2) 0 0 0 60 120
Entrada(E) Salida(S) E=X3 S=A1
d. Método simplex paso a paso: fase 1 Paso 1. Sistema de acuerdo a iteración
Variable Iteración Ec. 0 1 0 2
1
0 1 2 0
2
1 2
Paso 2.
Lado
-Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
Z A1
-1 0
-5 2
-4 1
-8 3
1 0
0 1
0 0
Derecho -180 60
A2 Z X3
0 -1 0
3 0.33333333 0.66666667
3 5 -1.3333333 0 0.3333333 1
-1 1 0
0 2.666667 0.333333
1 0 0
120 -20 20
A2 Z
0 -1
-0.3333333 0
1.3333333 0
0 0
-1 0
-1.666667 1
20 0
X3
0
0.75
0
1
0.75
1 1 0.25
15
X2
0
-0.25
1
-1.25
0.75
15
básica
0.25 0 0.75
Paso 3
Obtención del vértice 0
(X1, X2, X3, X4, A1,A2) 0 0 0 60 120
* *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Paso 4
¿Z es óptima en vértice? Z=-180 No, aumenta si x3 aumenta x1=x2=x4=0 Z=-20 No, aumenta si x2 aumenta x1=x4=A1=0 Z=0 Si, ya no aumenta.
e. Obtención tabla simplex: fase 2 Variable Tabla simplex
Ec.
básica
0 1
Z X3
Lado
Z
x1|
x2
x3
x4
A1
A2
-1 0
0 0.75
0 0
0 1
0 0.25
1 0.75
1 -0.25
0 15
-1.25
0.75
15
Derecho
fase 1
2
X2
0
-0.25
1
0
-0.75
Elimino artificiales
0 1
Z X3
-1 0
-3 0.75
-2 0
4 1
0 0.25
0 15
2
X2
0
-0.25
1
0
-0.75
15
sustitución función
0 1
Z
-1
3
2
4
0
0
X3
0
0.75
0
1
0.25
15
Variable
Cociente
Entrada(E)
Mínimo
Salida(S) E=X3 S=A1
60/3=20
E=X2 S=A2 20/1.333=15
Fin fase 1
Fin
objetivo
2
X2
0
-0.25
1
0
-0.75
15
Forma gaussiana
0 1
Z X3
-1 0
0.5 0.75
0 0
0 1
0.5 0.25
-90 15
apropiada
2
X2
0
-0.25
1
0
-0.75
15
f. Método simplex: fase dos Paso 1. Sistema de acuerdo a iteración
Variable Iteración Ec. básica 0 Z 0
1
X3 X2
2
Paso 2.
Z
x1|
x2
x3
x4
-1
0.5
0
-0
0.5
Lado Derecho -90
0 0
0.75 -0.25
0 1
1 0
0.25 -0.75
15 15
Paso 3
Solución BF (X1, X2, X3, X4) 0 15 15
Paso 4
0
Si, ya no aumenta
Variable
Cociente Mínimo
¿Z es óptima en vértice? Z=-90
Entrada(E) Salida(S)
Fin de proceso
Fin
g. Comparación de soluciones del método de la gran M y el método de las dos fases Solución con el método de la gran M 0 2
1 2
-Z
-1
1/2
0
0
X3
0
3/4
0
1
X2
0
-1/4
1
0
1/2 1/4 3/4
M-1/2
M1/2
-90
3/4
-1/4
15
-5/4
3/4
15
0
15
15
0
0
0
-Z=-90
Fin Fin del proceso
SI
Proceso
Solución con el método de las dos fases 0 0
1
Z
-1
0.5
0
-0
0.5
-90
X3
0
0.75
0
1
0.25
15
0
15
15
0
-Z=-90 Si, ya no aumenta
Fin de proceso
Fin
¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? Podemos notar que con ambos métodos se obtienen las mismas soluciones. Solución del problema artificial Z= 90 en (0,15, 15, 0, 0, 0). Mientras que la solución en el problema original es Z=90 en el vértice (0, 0, 50)
Solución con el software PSPSimplex
Referencia Hillier y Lieberman. Introducción a la Investigación de Operaciones (9ª. Ed). Mc. Graw Hill
