UNIVERSIDAD DE ORIENTE. NÚCLEO MONAGAS ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEO. MATURÍN / MONAGAS / VENEZUELA.
Curso Gasotecnia (063-3423) Unidad III Dr. Fernando Pino Morales Escuela de Ingeniería de Petróleo UDO_ MONAGAS Dirección Habitacional: Conjunto Residencias Plaza Guiaca Torre I Apto 3-4 Tipuro Teléfono Casa 0291-5111347 Teléfono Casa 0291 -3146534 Celular 0416-3967928 Correo electrónico:
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Programa de la Unidad UNIDAD III: Concepto de Presión de Fondo Estática y Fluyente de Pozos de Gas, factores y procesos que influyen sobre su determinación. Determinación de la Presión Estática de Fondo, por el Método de la Densidad Promedio, Método de Sukkar y Cornell, Método de la Variación de la Densidad con La Profundidad, Méto Método do que que consi conside dera ra la varia variaci ción ón de la dens densid idad ad,, temp tempera eratu tura ra y fact factor or de compre compresi sibil bilid idad ad con con la prof profun undi didad dad.. Méto Método do de Cull Cullend ender er y Smit Smith. h. Méto Métodos dos Analíticos utilizados u tilizados para la determinación de la Presión Estática de Fondo de un Pozo de Gas. Determinación de la Presión de Fondo Fluyente de un Pozo de Gas, por el Método de Sukkar y Cornell, Método de Smith, y Método de Cullender y Smith. Métodos Analíticos utilizados para la determinación de la Presión de Fondo Fluyente de un Pozo de Gas.
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INDICE
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Portada Programa Unidad Índice Unidad III Presión de Fondo en Pozos de Gas Consideraciones Prácticas de las Ecuaciones de Estado Cálculo de las Reservas a un Yacimiento de Gas Seco La Relación Gas- Petróleo Cálculo de las Reservas de un Yacimiento Cálculo del Gradiente de Presión El Cálculo de la Presión de Fondo de un Pozo de Gas Presión de Fondo de un Pozo de Gas La presión Estática de Fondo Métodos Utilizados para Determinar la Presión Estática de Fondo de un Pozo de Gas a.- Método de Sukkar y Cornell b.- Método que considera la variación de la Densidad, la Temperatura y el Factor de Compresibilidad del Gas con la Profundidad Procedimiento para calcular la presión de fondo estática por que considera la Densidad, la temperatura y el Factor de Compresibilidad que varía con la profundidad c.- Método de la Densidad Promedio d.- Método de la variación de la Densidad del Gas con la Profundidad e.- Método de Cullender y Smith a.- Métodos de Registros de Presión Directos b.- Indirectos: Métodos analíticos Presiones de Fondo Fluyente (PFW) en Pozos de Gas Expresión Matemáticamente de la Presión de Fondo Fluyente Métodos de Cálculo de la Presión de Fondo Fluyente a.- Método de Sukkar y Cornell b.-Método de Smith c.- Método de Cullender y Smith INDICE de Figuras
01 02 03
Página
Figura 1 Variación de la Densidad con la Profundidad Figura 2 Verticalidad y Horizontalidad de Pozos
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Unidad III Presión de Fondo Fondo en Pozos de Gas
Ent Entre las las consi conside dera racio ciones nes práct práctic icas, as, de las ecuac ecuacio iones nes de estado estado,, sin sin cont contar ar la gran gran cantidad de parámetros termodinámicos, relacionados con los hidrocarburos que se pueden determinar, están también el: Cons Consid ider erac acio ione nes s
Prác Prácti tica cas s
de
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Ecua Ecuaci cion ones es
de
Esta Estado do
a.- Cálculo de las Reservas a un Yacimiento de Gas Seco : Se entiende por gas
seco seco,, cuan cuando do la mezc mezcla la de hidr hidroc ocar arbu buro ross perm perman anec ece e en fase fase gase gaseos osa a a condici condiciones ones de yacimi yacimient entos os y de superfi superficie cie,, y la formac formación ión de hidroc hidrocarbu arburos ros líquidos es menor a diez barriles normales de hidrocarburos líquidos por cada millón de pies cúbicos normales de gas (<10 BN / MM PCN de gas). Por lo cual se deduce que la Razón Gas- Petróleo (RGP), debe de tener un valor mayor que cien mil pies cúbicos normales por barriles de normales (RGP>100.000 PCN/BN). Además en la mezcla se debe de cumplir que predomine el componente Metano ( CH 4 ) se encuentre en una proporción mayor que el noventa por ciento en la relación volumen sobre volumen (C 1>90%V/V). A estos yacimientos se les conoce también como yacimientos no asociados. La Relación Gas- Petróleo se define como los pies cúbicos de gas producidos
por cada barril de petróleo producido, medidos ambos volúmenes a condiciones estándares Las condiciones de separación como presión, temperatura y número de etapas afectan el valor de la relación Gas- Petróleo Cálculo de las Reservas de un Yacimiento : Para el cálculo de reservas de
yacimiento de gas seco se supone conocido el gas original en el yacimiento, como se conoce también las condiciones iniciales de presión y temperatura. Luego se puede calcular el gas producido cuando la presión disminuye hasta un valor determinado. Por ejemplo: se determina que un yacimiento contiene 200 millones de pies cúbicos normales de gas seco (200MM PCN) , el cual se encuentra a una pres presió ión n de 3500 3500 libr libras as por por pulg pulgad adas as al cuad cuadra rado do abso absolu luta tass lpca lpca y a una una temperatura de 250 F¿ Cuántos pies cúbicos normales (PCN) de metano(C 1) se han producido cuando la presión disminuye a 2000 lpca en forma isotérmica? Solu Soluci ción ón:: Gran Gran mayo mayorí ría a de los los dato datoss de los los parám parámet etros ros neces necesari arios os para para la resolución de este problema están tabulados, o se pueden obtener en forma gráfica. Luego la temperatura y presión crítica para el metano (C 1) PC = 667,75 lpca y TC =343,20 R, luego con estos parámetros se calculan la presión y temp temper erat atur ura a seud seudor orre redu duci cido do y con con ello elloss el fact factor or de comp compre resi sibi bililida dad, d, en condiciones iniciales y finales: PR= 3500/ 667,75=5,24 y T R = 710 / 343,20 =2,07, en donde Z 1=0,95 y PR= 2000/667,75=3,00
Z2=0,93
Número de moles de metano, en las condiciones iniciales y finales:
4
3500 (lpca ) x 2 x10 8 ( PCN PCN )(lbmol )( R ) = n1 = Z 1 xT 1 xR 0,95 x10 ,73(lpca )( PCN PCN ) x 710 710 ( R ) P 1 xV 1
= 96720017
(lbmol )
El número de moles de metano en condiciones finales: n2
=
P 2 xV 2 Z 2 xT 1 xRx xRx
=
2000 (lpca ) x 2 x10 8 ( PCN PCN ) x (lbmol )( R ) 0,93 x10,73(lpca )( PCN PCN ) x 710 710 ( R )
= 56457153
(lbmol )
El número de moles de metano producidos producidos (np) equivalen a la diferencia diferencia entre los moles iniciales y finales: nP = n1 - n2 =96720017-56457153 =40262864 (lbmol) b.- Cálcu Cálculo lo del Gradie Gradiente nte de Presió Presión n : La definición de gradiente de presión
indica, que se entiende por gradiente de presión al vector perpendicular a la isobara o la superficie isobárica y dirigido hacia valores bajos de presión, también se dice que el gradiente de presión es la diferencia de presión entre dos puntos Para el cálculo del gradiente en un pozo de gas seco se requiere determinar la densidad del gas a la presión y temperatura operación, y a la profundidad a la cual se desea el gradiente En términos generales, se sabe que la densidad incrementa su valor, con la profundidad, esto se debe al aumento de la columna de gas. Lo cual, se compensa en forma parcial por la disminución de la densidad a medida que aumenta la temperatura con la profundidad. En un margen de aproximaciones de medidas, se puede asumir una densidad constante, para extrapolaciones de hasta más más o menos menos 500 pies pies (P) .Luego se puede puede señalar señalar que un un gradiente gradiente de presión es la variación de la presión en función de la profundidad del pozo. Para el volumen del yacimiento se puede determinar como una relación del área que ocupa el yacimiento en pies cuadrados (P 2) y la profundidad del yacimiento en pie (P). Y como el gradiente de presión esta relacionado con la densidad del gas, la cual se determina por las fórmulas: ρ
g
ρ
g
=
=
MxP
(1)
Zx ZxRxT
28 ,97 xγ xP xP
(2)
ZxRxT
Donde: (ρ G) es la densidad del gas en (lb/PC); (M) es el peso molecular aparente del del gas gas en (lb/ (lb/lb lbmo mol) l);; (P ) es la pres presió ión n de oper operac ació ión n en (lpc (lpca) a);; (T) (T) es la temperatura de operación en grados (R); (R ) es la constante universal de los gases, que en este caso tiene un valor de (10,73 lpca x PC/ lbmol R), (Z) es el factor de compresibilidad a T y P de operación y ( γ ) es la gravedad específica del gas gas al aire. aire. Con el obje objetitivo vo de busc buscar ar un valor valor prome promedi dio o para para la densi densidad dad promedio (ρ P) entre las condiciones del cabezal y las condiciones de fondo. Lo que indica que se tendría:
5
P S Z S xT S x ρ S
=
P P Z P xT P x ρ P
(3)
En este caso la letra (S) representa las condiciones del cabezal o condiciones iniciales iniciales y la letra (P) representa las condiciones promedio. promedio. Si se parte de la base que las condiciones iniciales son las mismas que las condiciones estándar. Bajo este premisa se tiene entonces, que Z S=1,00; TS =520 R y P S =14,73 lpca. Además se sabe que en condiciones normales: ρ
= γ Gxρ
S
= γ Gx0,0764(lb/PC)
(4)
(aire)
Luego queda para la densidad promedio: ρ
2,70 xP xP P xγ
= Z xT P xT P
P
(5)
El gradiente (Grd) del fluido del yacimiento se obtiene a través de la ecuación: Grd=
ρ
144 144
=
( 0,01875 ) xP P xγ Z P xT P
(6)
En este caso las unidades del gradiente son (lpcm/pie). Además se debe de tener presente que (ZP) es el valor determinado a la temperatura y presión promedio. En ningún caso se toma en cuenta el valor de (Z) en condiciones estándares. c.- El Cálculo de la Presión de Fondo de un Pozo de Gas. Para los efectos de
este cálculo se considera que el pozo esta cerrado. El comportamiento y manejo de un yacimiento y pozos de gas influyen en la eficiencia de la producción y el aprovechamiento óptimo de las posibilidades de la mayor extracción de líquidos del del gas gas natu natura ral.l. El gas gas se encu encuen entr tra a en el yaci yacimi mien ento to a cier cierta ta pres presió ión n y temp tempera eratu tura. ra. La magn magnititud ud de la presi presión ón es impor importa tant nte e porqu porque e es el agen agente te propulsor del flujo de gas del yacimiento al pozo y del fondo de este hasta la superficie y las instalaciones conexas de tratamiento y manejo. La declinación de la presión con relación al volumen acumulado de gas producido servirá para determinar la presión que no se puede auspiciar cierto volumen de flujo durante la vida productiva del yacimiento. El comportamiento de la presión sirve para determinar su declinación y acercamiento a la presión de rocío, o sea la presión a la cual se empieza a manifestar la condensación de los líquidos en el yacimiento. Los valores de presión y la temperatura son parámetros de mucha importancia, para el gas en el yacimiento, tal, como los líquidos que se condensen en el yacimiento humedecerán la roca y ese volumen será muy difícil de extraerse, y con ello ocasiona pérdidas económicas. En general, dificultará el flujo de gas del
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yacimiento al fondo del pozo y de allí hasta el cabezal y luego a través de las inst instal alac acio ione ness en la supe superf rfic icie ie.. El comp compor orta tami mien ento to del del fluj flujo o de gas gas y sus sus componentes se rigen, en general por las relaciones PVT. Esto significa que lo importante es mantener estas relaciones adecuadamente en el yacimiento y en el pozo, de manera que en eso dos sitios no haya condensación de líquidos para que en la superficie se obtenga la mayor extracción posible de líquidos del gas. Si el gas contiene agua, esta tiene que ser removida para lograr gas seco que va a los mercados. El gas tiene que ser también depurado de arenas y lodos que se form forman an en el proc proces eso o de extr extrac acci ción ón.. Cuan Cuando do el gas gas cont contie iene ne sust sustan anci cias as acidulantes es necesario someterlo a tratamientos de extracción para depurarlo de estos compuesto compuestos, s, muchas veces ocasionan ocasionan problemas problemas en la la rentabilidad rentabilidad del producto. Final operaciones de perforación, perforación, Presión de Fondo de un Pozo de Gas (P F ). En las operaciones producc producción; ión; transp transport orte e y procesos procesos de refinac refinación ión y petroqu petroquími ímico co es necesar necesario io calcular el peso de los fluidos y de gas, y también el gradiente de presión. El cálculo del gradiente de presión de la columna de gas en el pozo, introducen una serie de factores (composición del gas, peso molecular, gravedad específica, fact factor or de comp compre resi sibi bililida dad, d, pres presio ione ness está estátitica cass de fond fondo o y de supe superf rfic icie ie,, temperatura, profundidad del pozo y verticalidad del pozo), que influyen en los procesos de cálculos, y como consecuencia en muchos casos es necesario realizar asunciones que faciliten el cálculo del proceso. presiión de un yaci yacim mient iento o a La pres presió ión n Está Estáti tica ca de Fond Fondo o (PEF): Es la pres condiciones estática. Esto significa que, no existe movimiento de fluidos dentro del mismo y todas las fases se encuentran en equilibrio. Esta presión se mide en el fondo del pozo a nivel de la zona de disparos, cuando este ha permanecido cerrado durante el tiempo suficiente hasta estabilizarse. La presión estática de fondo se puede medir también a una cierta profundidad dentro del pozo, de forma de permitir realizar una evaluación técnica de los yacimientos. Para el caso de pozos de gas La presión de fondo de un pozo de gas cerrado será mayor que la presión en la superficie (en la cabeza del pozo), debido al peso de la columna de gas en el pozo. La presión estática estática de fondo (P EF) de un pozo se puede estimar a través de la siguiente ecuación: PE PEF
∫
PS PS
Zd ZdP P
L
= ∫ 0
xd xdL ( 0,01875 )γ T
(7)
En donde: (Z) es el factor de compresibilidad, (P) es la presión de operación; (T) es la temperatura de operación (L) es la profundidad del pozo y (γ ) es la gravedad específica del gas al aire. En vista que la presión y temperatura aumentan con la profundidad. profundidad. Esto provoca que el factor factor Z cambie con la profundidad. profundidad. Luego en la ecuación (7) los valores de Z y T, son reemplazados por sus valores promedios (TP) y (ZP).Luego la resolución de la ecuación (7) y queda:
7
P EF
0,01875 xγ G xdL = P S exp Z xT P P
(8)
Donde: (PEF)= presión estática de fondo en (lpca); (P S )=presión )=presión estática estática del cabezal en (lpca);(γ )=gravedad específica del gas al aire;(dL)= la diferencial de la profundidad del pozo en (pie) ;(Z P)= factor de compresibilidad promedio y (T P )= temperatura promedio en (R). La resolución de la ecuación (8), para la presión estática estática de fondo (P EF). Tiene su validez a profundidades no muy alejadas del cabezal estático, y seguramente el error error de cálcu cálculo lo es alta altame ment nte e signi signififica catitivo. vo. Adem Además ás en la ecua ecuació ción n (8) (8) esta esta involucrada el parámetro (Z P), el cual a su vez es una función de la temperatura temperatura y presión promedio. Esto indica que de alguna forma, se necesita determinar la temperatura y presión promedio. Es posible que sea un error asumir que la presión promedio es una relación entre la presión del cabezal y la presión estática de fond fondo. o. La presi presión ón del del cabez cabezal al estát estátic ico, o, por ejem ejempl plo o es una funci función ón de la temperatura del cabezal y de la temperatura de fondo, todo ello provoca que un Error significativo. Lo mismo puede ocurrir con la temperatura promedio, lo que lógicamente provocara un incremento del error, en la determinación del factor de compresibilidad promedio (Zp), y por ende un error, en la determinación de la presión estática de fondo Tal, como se ha indicado para poder determinar (Z P), se necesita conocer tanto la (TP), como la (P P). Esto conlleva a que muchas ecuaciones de cálculo de la presión estática de fondo y presión de fondo fluyente, haya que utilizar los métodos de ensayo y error, lo que puede incurrir en un error alto. Ejemplo. Determinar la presión estática de fondo de un pozo de gas a una profundidad profundidad de 5800 (pies), si la presión y temperatura temperatura del cabezal son 2350 lpca y 70 F, respectivamente. La temperatura a la profundidad indicada es 155 F, mientras que la gravedad específica del gas al aire es 0,70. Solución:
T P
=
(155 155 + 75 ) 2
+ 560 560 = 575 575 R
Al conocer el valor de la gravedad específica del gas es fácil de determinar la presión y temperatura seudocrítica, parámetros que se pueden obtener en forma gráfica a través de ecuaciones de correlación. Con el valor de ( γ G =0,70), se obtiene en forma gráfica que: P SC =665 =665 lpca lpca y TSC =390 R. Si se asume que se esta trabajando con un gas seco, entonces se tiene que: PSC =677+15γ G –37,5γ
G
TSC =168 +325γ G –12,5γ TSR =575/390=1,47
2
=677+15x0,70-37,5 (0,7)2=669,13 lpca
2 G
=168+325xx0,70-12,5x(0,70)2=389,37
PSR =2350/667=3,52 8
Zp =0,74
P EF
0,01875 xγ G xdL xdL 0,01875 x0,70 x5800 2350 e x p x = P S exp = 0,74 x575 ) Z xT P P
= 2810 ,39 lpca
La diferencia entre la presión estática de fondo, y del cabezal estático:(P EF-PS ) representa el peso de la columna de gas (PCG), y se puede obtener a través de la siguiente ecuación: PC PCG
0,01875 xγ xd xdL = P EF − 1 EXP EF − p s = p s EX xT P Z p xT
(9)
Métodos Utilizados para Determinar la Presión Estática de Fondo de un Pozo práctica existen varios métodos para él cálculo cálculo de las presiones de de Gas En la práctica
fondo de un pozo de gas cerrado, por lo general se determina la presión ejercida por la columna vertical de gas, y los métodos válidos son: a.- Método de Sukkar y Cornell . Este es uno de los métodos más fáciles,
utilizados para la determinación de la presión estática de fondo. El método, tiene su mayor rasgo de validez, para valores de la temperatura reducida entre (1,5 hasta 1,7), 1,7), mientras mientras que la presión reducida reducida debe tener un rasgo rasgo de valores de entre (1 y 12). En un inicio este método solo se utilizaba, bajo las condiciones de flujo estabilizado, y para que el método fuera válido se debía asumir Que el flujo no tenía variación, que era monofásico, que los cambios en la energía cinética eran pequeños y se podían despreciar, que la temperatura era constante, o que sus camb cambio ioss no tení tenían an ningu ninguna na sign signififica icanc ncia ia,, que que la fracc fracció ión n de fluid fluido o era era constante dentro de la tubería conductora: La importancia de este método se sust susten enta ta en que que la temp temper erat atur ura a prom promed edio io no tien tiene e ning ningun una a vari variac ació ión n de importancia .La ecuación utilizada para este método es: P 2
( Z / P SR ) dP SR
∫ 1 + ( Z / P ) xB 2
P 1
=
0,01875 xγ xL
SR
T P
(10) Donde. (P1=PSR)= presión seudorreducida del cabezal estático; (P 2=PSR)= presión seudorreducida de fondo estático;(Z)= factor de compresibilidad del gas, (P SR)= Presión seudorreducida en (lpca); (L) = profundidad del pozo, y (B) es una constante que se puede determinar a través de la siguiente ecuación. B =
667 667 xfx ϑ 2 xT P 2
(11)
2 D 5 xP SC
En donde:( donde:(ϑ )= caudal del gas en (MMPCN); (D)= Diámetro interno de la tubería en pulgadas; ( ƒ) = factor de fricción de la tubería adimensional; (T P) = temperatura promedio en (R) y (PSC)= presión seudocrítica en lpca. El resultado de la integral de la ecuación (10) se encuentran tabulados en los Cuadros (8.1 y 8.2) del libro 9
“Natural Gas Production Engineering, autor Chi U. Ikoku, año 1992. Los valores tabulados de (B), tienen su validez en valores de presión seudorreducida de 1,0 hast hasta a 5,0. 5,0. Mien Mientr tras as que los los valor valores es de la temp temper erat atura ura reduc reducid ida a están están entr entre e (TSR=1,5 y 1,7) El método de Sukkar y Cornell, tiene una gran aplicación en yacimientos condensados de gas, y se recomienda utilizar hasta con valores de presión de 10000 lpca, y se debe seguir lo siguiente: 1.- Resolver (0,01875 γ G xL/TP), para ello se necesita el valor de temperatura promedio, el cual se toma como un promedio entre la temperatura del cabezal y la temperatura de fondo. 2.-Determinar la temperatura promedio reducida y la presión seudorreducida, las propiedades seudocríticas de presión y temperatura se pueden determinar en forma gráfica con la gravedad específica del gas o por alguna ecuación de correlación de la gravedad específica. 3.- Determinar el valor de (B), bajo condiciones estáticas, para ello se necesita determinar el factor de fricción, el cual se puede cuantificar, por cualquiera de las siguientes ecuaciones: f =
Re< 2000
16
(12)
Re
Re> 4000
f =
0,042 042 Re0 ,194
para tuberías con un d>20 cm
(13)
Re>4000
f =
0,042 042 Re0 ,172
para tuberías con d ≤ 20 cm
(14)
Aunque (ƒ) se puede determinar también por medio de funciones obtenidas a través de métodos de ajuste no lineal, y se tiene: 12
f =
8 Re
37530 + R e
16
10
7 0,9 0,27 xε + − 2,457 x ln + D Re
1, 5
1 / 12
(15)
En donde (RE) es el número de Reynolds; (ε ) es la rugosidad efectiva; (D) es el diámetro diámetro de la tubería. tubería. En forma alternativa alternativa se puede utiliza utiliza la siguiente siguiente ecuación, la cual es solo valida para flujo de régimen laminar: f =
64
(16)
Re
Para un flujo de régimen turbulento se utiliza la ecuación de Colebrook y White
10
ε = −2 x log + 2,51 log xD Re f f 3,7 xD
1
(17)
Para flujo turbulento se puede utilizar también la fórmula de Moody, la cual es: 1/ 3 ε 1 x10 6 f = 0,0055 1 20000 x + D R e
(18)
4.- Obtener el valor de la integral, para ello se utiliza el valor de B y la presión y temperatura seudorreducida. 5.- Se obtiene el resultado de la ecuación (10) 6.- Con el resultado obtenido en el punto (5) se obtiene la presión estática de fondo seudorreducida 7.- Se obtiene la presión estática de fondo para ello se multiplica la presión estática de fondo seudorreducida por la presión seudocrítica Si B =0 la ecuación (10) se convierte en: P 2
∫ ( Z / P
SR
) dP SR =
0,01875 xγ xL
(19)
T P
P 1
Ejemplo determinar la presión estática de fondo a una profundidad de 6750 pies, si la gravedad del gas al aire es 0,65. La presión del cabezal es 2300 lpca, mientras que la temperatura del cabezal son 85 F, y la temperatura de fondo es 175 F. El caudal tiene un valor de 5,05 MM PCND y el diámetro de la tubería es de 4,75 pulgadas, mientras que el número de Reynold tiene un valor de 4500 Solución: TP=(85+175)/2+460=590 R
γ
TSR=1,57≈ 1,60
Z=0,82
PSR=3,41
0,01875γ G xL/TP=0,1418
G
TSC=375 R
PSC=675 lpca
f=0,042/Re0,172=0,0099
B= 667x0,0099x4,752x5802/4,755x6752=0,045≈ 0, luego Psr Psr 2
∫
Psr Psr 1
Zx ZxdPsr / Ps Psr
=1,2018-0,1394=1,0624 PEF= 4x675=2700 lpca
b.- Método que considera la variación de la Densidad, la Temperatura y el Factor Factor de Compre Compresib sibili ilidad dad del Gas con la Profund Profundida idad d En este caso es
11
equivalente a aplicar la Ley general general de energía. El método aplica la variación de la densi densidad dad con la prof profund undid idad, ad, lo que equiv equival ale e a usar usar la Temp Temper erat atur ura a Medi Media a Logarítmica ( T L ) Además de la variación del Factor de Compresibilidad (Z) con la presión El método Considera la Variación de la densidad (ρ ), de la temperatura y del factor de compresibilidad Z del gas con la Profundidad del Pozo. El principal sust susten ento to del del méto método do,, es que que la temp temper erat atur ura a varí varía a en form forma a line lineal al con con la profundidad, luego queda. T= b +aX
(20)
En donde (T) es la temperatura temperatura del pozo, (b) es el intercepto intercepto y (a) es la pendiente de la línea, línea, y (X) es la profundidad profundidad del del pozo, en donde se realiza realizara ra la medición. medición. En términos términos matemáticos matemáticos la variación variación de la temperatura con la profundida profundidad d se puede expresar en términos. dT = a dX
(21)
En la ecua ecuaci ción ón (21) (21) (a) (a) repr repres esen enta ta el grad gradie ient nte e térm térmic ico, o, el cual cual se pued puede e determinar a través de la siguiente ecuación: a = Gradiente térmico (GT)=
(T F
− T S )
H
(22)
Donde :(TF) = temperatura de fondo; (T S) = temperatura del cabezal o de la superficie y (H) = profundidad lineal del pozo. Para gases reales, se tiene que la densidad densidad de una mezcla, se obtiene a través de la siguiente siguiente ecuación, ecuación, bajo estas condiciones la densidad de la mezcla gaseosa será: ρ M
=
PxM a Z M xRxT xRxT
(23)
Donde :(ρ M)= densidad de la mezcla ;(P)= presión de operación ;(M A) = peso molecular aparente ;(ZM)= factor de compresibilidad de la mezcla ;(R)= constante universal de los gases y (T)= temperatura a condiciones de operación. Si se considera la figura 1, en cualquier punto en el pozo, se tendrá una densidad ( ρ X ) expresado en (lb/PC) En el punto donde se determine esta densidad), el gradiente será G
T=
dp dX
Luego se tendrá que: dP =
=
ρ X
(24)
144 144
ρ X dX
144
(25) Figura 1 Variación de la Densidad con la Profundidad
12
Pero para gases reales: ρ G =
PxM ZxTxR ZxTxR
dP =
Al final se obtiene que:
=
Pxγ G x 28,97 ZxT . R
Px PxMxdX
(26) (27)
144 xR xRxT
realizando los cambios necesarios queda: dP P
=
28 ,97 xγ xd xdT 144 xZ xZxRxaxT
(28) Integrando la ecuación (28) a partir de (T 1 hasta T2) y (P1 hasta P2) queda: 1
T 2
a∫
T 1
dT T
=
144 xR xR
P 2
28 ,97 xγ ∫
ZxdP
P 1
P
(29) P T 2 1 Z = Luego queda: ln ∫ a T 1 0,01875 xγ P P
1
2
1
(30) Según la ecuación (20) se tiene que: Cuando T =T 1, luego X=0, por lo tanto b=T 1 Cuando T=T2;luego X=L, y por lo tanto : a
=
13
(T 2
− b)
L
(31)
Se sabe que: P=P R xPC , luego se tiene: dp=dP R xdPC Reemplazando estos valores en la ecuación (30), queda: L T L
=
P 2
1
ZxdP ZxdP R
∫
(32)
(33)
0,01875 xγ P R1 P R
(TL) es la temperatura media logarítmica (T L), la cual es: T L
=
T 1 − T 2
T 1 T 2
(34
ln
El lado derecho de la ecuación (33) se puede escribir como: P R 2
ZxdP ZxdP R P R P R 1
∫
P R 2
ZdP ZdP R = P R 0, 2
∫
P R 1
ZdP R P R 0, 2
− ∫
(35)
Luego la ecuación (33) se debe de escribir de la siguiente manera P R 2
ZdP ZdP R P R 0,2
∫
0,01875 xγ xL = T L
P R1
ZdP ZdP R P R 0, 2
+ ∫
(36) Los valores de la integral de la ecuación (36) están tabulados en función de la temperatura y presión seudorreducida en la tabla 1-16, en el Libro Ingeniería de Gas Natural, Características y Comportamiento de los Hidrocarburos de Ramiro Pérez Palacios y Marcías J- Martínez Procedimiento para calcular la presión de de fondo estática por que considera la Densidad, la temperatura y el Factor de Compresibilidad que varía con la profundidad
1.- Calcular el término (0,01875 H γ G /TL ) 2.- Determinar el valor de la integral 3.- Sumar los valores encontrados en (1 y 2) 4.- Con el valor de (3) ubicarse en la tabla, para encontrar (P SR )f =PF /PSC ) Ejemplo determinar la presión estática de fondo a una profundidad de 6750 pies, si la gravedad del gas al aire es 0,65. La presión del cabezal es 2300 lpca, mientras que la temperatura del cabezal son 85 F, y la temperatura de fondo es 175 F. 14
Solución: TL = (635-545)/ln(635/544)=589 R γ TSRL=1,57 PSR=3,41 Z=0,82
TSC=375 R
G
0,01 0,0187 875x 5x0, 0,65 65x6 x675 750/ 0/58 589= 9=0, 0,13 1397 97+2 +2,4 ,487 875= 5=2, 2,62 6272 72
PSC=675 lpca
(Pr2)=3,7
PEF=3,7x675=2498 lpca c.- Método de la Densidad Promedio Este método consiste en calcular una
densi densidad dad prome promedio dio en la colum columna na de gas gas y de ahí cuant cuantifific icar ar un gradi gradient ente e promedio; cuyo resultado, se multiplica por la longitud de la columna de gas, y se obtiene la presión de fondo estática para el pozo de gas (P EF). Los pasos a seguir en el método son: 1.- Escoger un valor de (PEF) sin corregir, para ello se utiliza la ecuación: PEF)sc= PS +25xHxPS x10-6
(37)
Donde: (PEF)sc)= presión presión estática estática de fondo fondo asumida o sin sin corregir: (P (PS)= presión del cabezal estático o de superficie y (H) =profundidad vertical del pozo 2.- Obtener la (P P), para lo cual se utiliza (PEF) sc) obtenido por la ecuación (37) y la presión del cabezal (P S), y se utiliza la siguiente ecuación: P P
=
( P EF
+ P S )
(38)
2
La temperatura promedio en Rankine es:
T P
=
(T F
+ T C ) 2
(39)
3.- Se multiplica el gradiente promedio por la profundidad, y se obtiene: ( ∆P )= (cambio de presión entre la superficie y la profundidad considerada). Este valor se le suma a la presión del cabezal, que corresponde a (P EF)c). El valor obtenido indi indica ca que que esta esta será será la pres presió ión n está estátitica ca de fond fondo o corre corregid gida a ((PEF)corr. )corr. Para Para comprobar si el método utilizado para determinar la presión estática de fondo, esta correcto correcto se debe de determinar determinar el error porcentual, porcentual, entre entre la presión presión estática estática de fondo obtenida por la ecuación (37) y el obtenido en el punto anterior, si el error porcentual es igual o menor que 0,1%. Se considera, que el valor obtenido para (PEF), por por este este méto método do esta esta dent dentro ro de los márge márgene ness estab estable leci cido dos. s. En caso caso contrario hay que seguir y ahora la presión (P EF)sc, será el valor obtenido en el caso anterior. Ejemplo. Determinar la (P EF). Si la presión presión y temperat temperatura ura del cabezal cabezal son 3100 lpca y 80F, Respectivamente. Y a la longitud de 800 0 pies la temperatura es 190F. Mientras que la gravedad promedio del gas es 0,70. PEF)sc=3100 +25x8000x3100 /1000000=3720 lpca
15
TP =460 +(190 +80 )/2=595 R PP =(3720 +3100)/2=3410 lpca Según γ G=0,70
PSC=665 lpca y TCS=390 R, luego
PSR=3410/665=5,13; T SR=595/390=1,53
ZP=0,81
2,70x3410x0,70 ρ P=---------------------------=13,37 (lb/PC) 0,81x595 Grd=13,37/144=0,0928 ∆
p= 0,0928x8000=742,78
3100+742,78=3842,78 lpca % Error = (3720-3842,78)/3720 x100=3,30% Segunda aproximación: PEF)sc=3842,78 lpca PP = (3842,78 +3100)/2=3471,39 lpca PSR=3471,39/665=5,22; T SR=1,53
ZS=0,82
2,70x3471,39x0,70 ρ P=---------------------------------=13,45 (lb/PC) 0,82x595 Grd= 13,45/144=0,0934 ∆
p= 0,0934x8000=747,22
3100+747,22=3847,22 lpca
% Error = (3842,78-3847,2)/3842,78 x100=0,12% Luego (PEF) = 3847,22 lpca d.- Método de la variación de la Densidad del Gas con la Profundidad . Este
método consiste en evaluar la densidad en cualquier parte del pozo. La figura 1 indica que en cualquier parte del pozo se tendrá una densidad ( ρ X) en (lb/PC). Pero, para gases reales la ecuación (24) se convierte en:
16
dP P
=
Mx MxdX
(40)
144 xZ xZxRxT
En donde :(P) es la presión del sistema; (M) es el peso molecular aparente; (X) es la profundidad, donde se realiza la medición; (Z) es el factor de compresibilidad y (T) Es la temperatura absoluta. Si la ecuación (40) se integra a partir de los parámetros iniciales, es decir desde la presión del cabezal hasta la presión de fondo (PS hasta PF) y desde (0 hasta H), queda: P F
28,97 xγ
H
∫ ( dp / P ) = (144 ) (10,73) Z xT ∫ dX P
P S
P 0
(41) Es lógico pensar que los parámetros parámetros (T y Z) varían con la profundidad, profundidad, pero si se utilizan sus valores promedios, se pueden considerar aceptables. Resolviendo la ecuación (39) queda:
P F 0,01875 xγ xH = Z P xT P P S
ln
(42)
Procedimiento para determinar (P F ) por este método
1.- Se asume un valor aproximado para (P EF )sc 2.- Se calculan los valores promedios para (T P, PP) y se obtiene Z 3.- Con los valores promedio se calcula (PEF )c 4.- Comparar los valores de (PEF )sc y (PEF )c e.- Método de Cullender y Smith: Este método tiene en cuenta la variación del
factor de compresibilidad (Z) del gas con la presión y temperatura y la variación de la temperatura con la profundidad. El se fundamenta en la siguiente ecuación: P ef
dP ( P / ZT ) ( 2,6665 ( f / 4)ϑ 2 / D 5 ) + (0,001 001 ( P / ZT ) 2 ) P S
∫
= 18,75 xγ xL
(43) Donde: (Ps)= presión del cabezal en (lpca); (P EF)= presión estática de fondo en (lpca) (f)= Factor de fricción de Moody; ( ϑ )=caudal del gas en MM PCND; (L)= profundidad inclinada del pozo en pie; (T)= temperatura en R;(Z)= Factor de compre compresi sibil bilid idad; ad;(D) (D)= = diám diámet etro ro inte intern rno o de la tuber tubería ía en (pulga (pulgada das), s), (γ G) = gravedad específica del gas al aire .Cullender y Smith definen lo siguiente:
17
Ι=
( P / ZT ) 001 x ( P / ZT ) 2 ) ( 2,6665 ( f / 4) x (ϑ 2 / D 5 ) + 0,001
(44)
Si se trata de un caso en condiciones estáticas la ecuación (42) se reduce a: TZ Ι = 1000 P
(45)
La ecuación (44) se puede resolver utilizando métodos numéricos, pero por lo general resulta tediosos y complicado. Aunque se puede simplificar un poco la resolución asumiendo profundidad de 0, L/2 y L, luego para condiciones estáticas la ecuación (45) se convierte en: P WF
1000 x TxZ dP = ( P M − P S ) ( Ι M + Ι S ) + ( P WF − P M ) ( ΙWF + Ι M ) ∫ P 2 2 P S
(46) Donde (PS) es la presión del cabezal, cuando L =0; (P M) es la presión promedio, cuando (L/2) y (PEF) es la presión estática de fondo. La ecuación (43) se puede escribir también en términos de: (PM-PS)(Ι (47)
+Ι S)+(PEF -PM)(Ι
M
+Ι
EF
)=37,5xγ
M
G
L
La ecuación (47) se puede separar en dos expresiones diferentes, por lo que se reduce su complejidad y queda: L +Ι S)= 37 ,5 xγ G 2 L Para la parte media inferior:(P EF -PM)(Ι EF+Ι M) )= 37 ,5 xγ G 2 (49)
Para la parte media superior: [(PM-PS)(Ι
M
(48)
La presión estática de fondo a la profundidad L, queda: P EF
112,49 xγ G xL = P S + ( ) 4 Ι + Ι + Ι S M EF
(50)
En donde: ( Ι S) se evalúa a un (H=0), (H) es la profundidad no inclinada, mientras que (L) es la profundidad inclinada;( Ι M) se evalúa a una profundidad de (H=L/2) y (Ι EF) se evalúa a (H =L) Ι
S
T S P S
=1000 x Z S x
18
(51)
Ι
M
T M P M
=1000xZMx
(52) Ι
T F P F
EF =1000xZFx
(53) Procedimiento de Cálculo de la presión estática de fondo 1.- Determinar (Ι S y Ι M ) 2.- Suponer una presión media sin corregir (P M )sc, según las siguientes fórmulas:
37,5 xγ G ( L / 2) ∆ P = ( Ι S + Ι M )
(54)
(PM)sc=PS+∆ P
(55)
3.- Calcular la presión media corregida (P M )c 4.- Comparar (PM )c con el (PM )sc Cuando el error es inferior al 0,1% el (P M )sc es el indicado. Si no se cumple el porcentaje de error se debe continuar el cálculo 5.- Suponer una presión estática de fondo sin corregir (P EF )sc, según fórmula:
37,5 xγ g x ( L / 2) ∆ p = ( Ι M + Ι EF ) PEF= PM+∆ P 6.- Determinar y Ι
(56) (57)
F
7.- Calcular y PF)c 8.- Comp Comparar arar los los valor valores es de y PF)sc y PF)c. Si el error es > al 0,1% se debe continuar el procedimiento hasta que se cumple c umple el objetivo. Ejem Ejempl plo o Dete Determ rmin inar ar la presi presión ón está estátitica ca de fondo fondo de un pozo pozo de gas, gas, cuya cuya temperatura y presión del cabezal son 3000 lpca y 85 F, respectivamente. Y a una profundidad de 9500 pies la temperatura es 185 F. La Gravedad específica del gas al aire es 0,70
19
Solución: Si γ G=0,70
PSC =670 lpca y TSC =390 R , luego:
PSRS =3000/670=4,48
TSRS =545/390=1,40Z S =0,75
1000 x 545 x 0,75 Ι S = = 136 ,25 3000
El cálculo de: ( Ι M), se debe hacer a la profundidad de 9500/2=4750 pies .Pero si se asume que el gradiente de temperatura esta representada por una línea recta, se puede concluir que: Ι
=Ι S=136,25, luego queda:
M
37,5 xγ G ( L / 2) 37 ,5 x 0,7 x 4750 ∆ P = = 2 x136 ,25 ( ) Ι + Ι S M
= 457 ,57 (lpca)
PM)sc=PS+∆ P= 3000+457,57=3457,57 lpca 185 ) (85 +185 + 460 =595 R, luego TM =TP= 2
PSRM =3457,57/670=5,16
TSRM=595/390=1,53 ZM=0,81
1000 x595 x 0,81 Ι M = =139,35 3457 ,57 ( 37,5 x0,7 x 4750 ) ∆ P = =452,42 lpca (136 ,25 +139 ,35 )
PM)c=3000+452,42=3452,42 lpca Error = (3457,57-3452,42)/3457,57)x100=0,15% se puede asumir como bueno, ya que se considera como válido hasta un error de 0,50%, luego queda que: la presión media es igual a 3452,42 lpca. Luego, ya como se había sumido antes si el gradiente de temperatura es lineal, luego: Ι
=Ι
EF
=139,35
M
37,5 xγ g x ( L / 2) 37 ,50 x 0,70 x 4750 ∆ p = = (2 x139 ,35 ) =447,39 ( ) Ι + Ι M EF PEF)c=3452,57+447,39=3899,96 lpca
20
PSRF =389 =3899, 9,83 83/6 /670 70= =5,82 5,82 TSRS =645/390=1,65Z F =0,89 1000 x 645 x 0,89 Ι EF =147,19 EF = 3899 ,96 P EF EF
112 ,49 x 0,7 x 9500 = 3000 + =3889,66 lpca (136 ,25 + 4 x139 ,35 +147 ,19 )
Error = (3899,96-3889,66)/3899,96)x100=0,26% Luego la presión estática de fondo (PEF=3889,66 lpca) Aunque la mayoría de los libros indican que el error debe ser igual o menor que 0,1% la práctica indica que se puede aceptar hasta un 0,50%% de error, luego estos resultados estarían dentro del margen de error aceptado La presión estática del cabezal se puede determinar por la siguiente ecuación: Hx γ G AxT AxT M xZ M
P = ln A P B
(58)
(H)= cabezal (pie); ( γ G)=gravedad específica del gas ;(A)= constante (53,34) (TM)= temperatura media del gas; (Z M)= factor de compresibilidad promedio; (P A)= presión de fondo estática de la columna (lpca) ;(P B) = presión del cabezal estático de la columna (lpca). Si: Cullender Cullender y Smith, Smith, junto a Poettmann Poettmann desarrollaron desarrollaron una ecuación ecuación que permite permite determinar la presión estática de fondo de un pozo: P 2
∫
P 1
Zd ZdP / P = γ xH xH / Ax AxTm
Pr 2
Pr 2
= ∫Pr 1 Zd Zd Pr/ Pr = ∫ 0, 2
Zd Zd Pr/ Pr −
Pr 1
∫
0, 2
Zd Zd Pr/ Pr
(59) En la integral (Z/P R)dPR contra PR esta tabulado en función de la presión y temperatura reducida Para hacer una evaluación del potencial de producción de pozos de gas, es necesario conocer los valores de las presiones de fondo, estáticas y fondo fluyente de los pozos., y estas se pueden calcular a través de los métodos antes descritos, como también es posible evaluarnos a través de: otros métodos, tales como: a.- Métodos de Registros de Presión Directos b.- Indirectos: Métodos analíticos a partir de datos de presiones de Cabezal. El
método no tiene mucha utilidad, debido al costo y tiempo de duración de las mediciones La presión en este caso se calcula a partir de datos de superficie cálculos de presión en el yacimiento. Una manera directa de obtener presiones a 21
lo largo de la profundidad del pozo es por medio del medidor de presión de fondo. Este registro permite graficar la relación presión profundidad, la cual dará una idea A través del estudio, de observaciones prácticas y de la variedad de ecuaciones, tablas, y datos sobre las características y composición del gas permiten hacer los cálculos de presión en el yacimiento. Una manera directa de obtener presiones a lo largo de la profundidad del pozo es por medio del medidor de presión de fondo. Este registro permite graficar la relación presión profundidad, la cual dará una idea más precisa del gradiente de presi presión ón bajo bajo condic condicio iones nes estát estátic icas as y tamb tambié ién n de fluj flujo. o. Con un medid medidor or de temperatura temperatura de fondo se puede obtener un registro registro de temperatura temperatura - profundidad. profundidad. Todo, esto facilita el cálculo de gradiente de presión y de flujo, dando origen a las siguientes ecuaciones: Pf Pf
Ah = 0 ∫ VdP + Ah
Ps
Pf
ZRTdP P / MP MP = H ∫ ZRTd
(60)
Ps
Presiones de Fondo Fluyente (P FW) en Pozos de Gas La presión de fondo
fluyente (PWF): es la presión que se mide en el fondo de un pozo a nivel de la zona de disp dispar aros os,, a cond condic icio ione ness de fluj flujo o gobe gobern rnad ado o por por un estr estran angu gula lado dor. r. Los Los estranguladores son dispositivos mecánicos que se utilizan en los pozos para provocar una restricción al flujo, con objeto de controlar el aporte de agua y arena proveniente proveniente de los yacimientos. yacimientos. Generalmente los estranguladore estranguladoress se colocan colocan en la superficie superficie en el árbol de válvula o en el cabezal cabezal recolector a la llegada de cada pozo, pero también se pueden colocar dentro del pozo en la boca del aparejo de producción. Matemáticamente la presión de fondo fluyente se escribe:
PWF=PSep +∆ PFL +∆ PCH +∆ PTB +∆ PRes
(61)
Donde: (PWF)= presión de fondo fluyente; (P Sep)=presión del separador; (∆ PFL) = presión capilar capilar en la línea línea de flujo; flujo;(( ∆ PCH) = presión presión capilar capilar en válvula superficial (∆ PTB) = presi resión ón cap capilar ilar en la turbi urbina na y (∆ PRes)= pres presión ión capi capila larr en otro otross restricciones. La presión (PFW) un pozo de gas es la suma de la presión fluyente en el cabezal, la presión debido al peso de la columna de gas, la presión debido al cambio de ener energí gía a ciné cinétitica ca y las las pérd pérdid idas as de pres presió ión n por por fric fricci ción ón .Una .Una de las las tant tantas as ecuaciones que permiten determinar la presión de fondo fluyente es: 2 53,34 TxZ TxZ f TZ dP + dL + 0,00268 5 xdH = 0 xϑ 2 xdH γ P D P G
22
(62)
La ecuación (62) permite determinar la presión de fondo fluyente en el fondo del pozo, fundamentada en datos tomados de la presión del cabezal fluyente, y se asume que solo existe un fluido conformado solo por la fase de gas, y que los cambios en la energía cinética son despreciables. Para el cálculo se considera que: 1.- El gas tiene un flujo continúo 2.- El gas tiene un (Z y T) promedio conocido por intervalo 3.- El gas tiene en cuenta la variación de le energía cinética 4.- El gas requiere un proceso de tanteo, para realizar el cálculo 5.- El gas por tener en cuenta la variación de energía cinética puede usarse en pozos con alta producción, y presión 6.6.- La fórm fórmul ula a adem además ás de determ determin inar ar la presi presión ón de fond fondo o fluye fluyent nte e perm permitite e determinar la tasa de flujo del gas Para determinar la presión de fondo fluyente de un pozo de gas hay que tener presente que (H) representa la profundidad en forma vertical. Mientras que (L) repre represe sent nta a la prof profund undid idad ad no vert vertic ical, al, mient mientras ras que que el ángu ángulo lo entre entre estos estos parámetros se representa por (θ ) Sustentado en la figura 2 se Tiene que (H) representa la profundidad vertical del pozo, mientras que (L) representa la profundidad inclinada del pozo, luego queda: Figura 2 Verticalidad y Horizontalidad de Pozos
Superficie θ
L H Fondo del Pozo
H L= sin θ sin
(63)
dH dL= sin θ sin
(64)
23
H sin θ = L dL
(65)
L = dH H
(66)
Métodos de Cálculo de la Presión de Fondo Fluyente
tiene su validez en función función que la a.- Método de Sukkar y Cornell Este método, tiene temperatura promedio no tiene cambios significativos, y que además el factor de compresibilidad, solo será una función de la temperatura promedio.. El rango de validez para la temperatura reducida es entre (3 y 30). La ecuación para el Método de Sukkar y Cornell es: γ G xLx cos θ
53,34 xT P
P ( WF ) R
=
( Z / P SR )
∫ 1 + ( Z / P
2 SR ) B
P ( CF ) R
dP SR
(67)
Donde: (γ G)= gravedad específica del gas al aire ;(L)= profundidad no vertical del pozo en pie pie (θ )=án )=ángul gulo o de incl inclin inac ació ión n del del pozo pozo;; (Tp)= tempera temperatur tura a media media logar logarít ítmi mica ca ; (PWFR)= presi presión ón de fond fondo o fluy fluyent ente e reduc reducid ida; a; (PCFR)=presió )=presión n del cabezal fluyente reducido ;(Z)= factor de compresibilidad; (B)= constante Los valores de la integral se encuentran encuentran tabulados en las tablas señaladas como A. 38 (a) hasta A.38(m) A.38(m) del del Libro Natural Natural Gas Gas Production Production Engineeri Engineering ng del autor autor Chi U. Ikoku. La constante B se puede determinar a través de la siguiente ecuación:
667 xfxϑ 2 xT P 2 B = 5 2 cos θ D xP x SC (68) Donde :(θ )= ángulo de inclinación del pozo;( ƒ)=factor de fricción; ( ϑ )=tasa de caudal volumétrico en MM PCND :(T P)= es la temperatura promedio logarítmica que se determina determina por la ecuación ecuación (67) ;(D)=l ;(D)=l diámetro de la tubería tubería en pulgadas pulgadas y (PSC)= temperatura seudocrítica T P
=
− T 1 T ln 2 T 1 T 2
(69)
La integral de la ecuación (65), tanto el lado derecho como izquierdo pueden ser evaluados en forma arbitraria, a través de las siguientes ecuaciones:
24
Pfw 2
∫
Pffw 1
Pfw 2
Ι(Pr) d Pr = ∫
0, 2
PEfr
Ι(Pr) d Pr −∫
0, 2
Ι(Pr) d Pr
(70) Pwfr
∫
0, 2
Pefr
Ι( pr pr ) d Pr = ∫
0, 2
Ι(Pr) d Pr +γ GxH/53,34Tprom
(71) El método de Sukkar y Cornell se sustenta en la teoría de Standing y Katz, para la determinación del factor de compresibilidad, el cual fue desarrollado para que el el Cont Conten enga ga pequ pequeñ eñas as cant cantid idad ad de (C0 (C02) y ( H2S).C S).Cua uand ndo o la pres presen enci cia a de cont contam amin inan ante tess este este más más arrib arriba a de la norm norma, a, se debe debe corre corregi girr la presi presión ón y temperatura crítica, tal como lo recomiendan Wichert y Asís. Ejemplo determinar la presión de fondo fluyente de un pozo de gas, para el cual la gravedad específica es 0,80. Mientras que la temperatura y presión del cabezal fluyente son 85 F y 3500 lpca. Mientras que a una profundidad de 15000 pies la temperatura tiene un valor de 275 F. El diámetro de la tubería es de 2,50 pulgadas, y la tasa de caudal transportado es 8 MM PCND. Mientras que θ tiene un valor de 35 grados. El análisis realizado a la mezcla de gas natural indica que contiene 8,75 % de C0 2y 12.000 ppm, V de H 2S. El (ƒ=0,0160) Solución Primero de buscaran las condiciones críticas a partir de gráficos: γ
=0,80
G
PSC=660
TSC=420 R
Corrección por Impurezas FSK=120(0,09950,9-0,09951,6)+15(0,08750,5-0,08754)=16,49 TSC=420-16,49=403,51 R PSC=[660x403,51/(420+0,0875(1-0,0875)x16,49)]=632,10 lpca TL=(73 (735-54 -545)/ln(735/ 735/5 545)= 45)=6 635,25 R
TSRL=1,51
PSR=3500/632,10=5,54
B= 667x0,016x82x635,252/2,505x632,12x0,8192 =8,62≈ 10 γ
xH/53,34xTL= 0,80x15000/53,5x635,25=0,3531
G
5, 54
∫ Ι(Pr)
d Pr =0,6818+0,3531=1,0349
(PWFR) =8,50
0, 2
PWF=8,50x632,10=5372,85 lpca b.-Método de Smith : Este método se denomina también Método de temperatura y
factor de compresibilidad promedios y fue desarrollado primeramente por Raaza y
25
Katz (1945) y se utilizó para considerar la variación de la energía cinética .El método se fundamenta en la inclinación del pozo. Para que este método tenga validez se tiene que cumplir lo siguiente: Que el flujo del fluido tiene que ser estable, que lo hayan bruscos cambios de fase, aunque el método puede ser utilizado en fluidos condensados, siempre que se puedan realizar los ajustes necesarios, en cuanto a la gravedad y factor de compresibilidad. Los cambios en la energía cinética tienen que ser despreciables, la temperatura tiene que ser constante, y si hay cambios deben poder ser no tomados en cuenta. El factor de compresibilidad (Z) debe de ser constante, y el factor de fricción debe de ser constante en la tubería conductora. El Método se sustenta en lo siguiente: 2 53,34 TxZ f TxZ TxZ 2 L dP + 1 + 0,00268 5 ϑ dH = 0 D P H γ G P utilizando valores promedios e integrando la ecuación (72) queda:
53,34 P T P xZ P ∫ γ G P
WF
S
− H
dP
[ P + 0,00268( f / D P
5
(72)
2
)( T P xZ P xϑ ) ( L / H ) (1 / P )
]
−
∫ dH 0
(73) A partir de los resultados se obtiene: dP 1 PdP = = ∫ C 2 + P 2 ( P + (C 2 / P )) 2 ln(C 2 + P 2 )
(74)
Reagrupando y reemplazando los valores en la ecuación (73) queda: 2 C 2 + P WF 2 xγ G xH = ln 2 2 + C P 53,34 xT P xZ P S
(75)
Finalmente se obtiene: 2 C 2 + P WF 2 xγ G xH 2 2 = exp C P xT xZ + 53 , 34 S P P
(76)
Sustituyendo (C) en la ecuación (76), queda: 2 WF
P
= P xe 2 S
S
25 xγ G xT P xZ P xf Px L (e S − 1) xϑ 2 + SxD 5
(77) Donde :(PWF)=Presión de fondo fluyente en lpca; (P S)= presión del cabezal fluyente en lpca; pca; (γ G)= grav graved edad ad espe especí cífifica ca del del gas gas ;(ƒP) =promed =promedio io aritmét aritmético ico del
26
coef coefic icie ient nte e de fric fricci ción ón de Moody Moody a la temp tempera eratu tura ra y presi presión ón prome promedi dio o (TP) = promedio aritmético de la temperatura en R; (Z P) = promedio promedio aritmético aritmético del factor factor de compresibilidad a la temperatura y presión promedio, (L)= lado inclinado del pozo en pie (H)= distancia vertical del pozo desde la superficie en pie;( ϑ )=Tasa de flujo del gas en MM PCND y (D)= diámetro del flujo en pulgadas:
2 xγ G xH 53 , 34 xT xZ P P
S =
(78) La relación entre en coeficiente de Moody y Fanning es: ƒM = 4ƒF
(79)
Luego si en la ecuación (77) se utiliza el coeficiente de Fanning, queda:
= P xe
2 WF
2 S
P
(80)
S
100 xγ G xT P xZ P xf FP xϑ 2 ( e S − 1) + SxD %
El coeficiente de Moody (f M) se puede determinar, según la siguiente ecuación f M
( 3,09208 x10 −3 ) xϑ G−0,o 65 xD −0,058 xγ G−0,065 = µ G−0,065
(81) Donde:(µ G)= viscosi viscosidad dad del gas gas en (lb/pi (lb/piexs) exs);( ;(ƒM)= coeficiente de fricción de Moody de la tubería adimensional;( ϑ G)= tasa volumétrica en (MM PCND); (D) = diámetro de la tubería en pie y ( γ G)= gravedad específica del gas al aire .El coeficiente de Fanning (F F) se puede determinar también en función de número de Reinolds, según lo siguiente:
1 f F
D / γ D = 4,0 − log + − + log 2 , 28 4 , 0 log lo g 1 4 , 67 γ R e
(82)
El número de Reinolds se calcula por la siguiente ecuación: R e
=
20022 xγ g xϑ G
(83)
µ G xD
Donde: (Re)=Número de Reynolds ;( µ G)=viscosidad (CPS); (D)= diámetro de la tubería en (pulgadas) y ( ϑ G)= Caudal en MM PCND
27
Procedimiento Válido para este Método:
1.- Suponer un valor para (Pwf )sc )sc =PCF +(25xPCF xHx10-6) 2 Determinar los valores de:(TP , ZP , PP ; Fm y µ ) 3.- Calcular la presión de fondo fluyente corregida (P wf )c )c 4.- Comparar con el supuesto y si el error es < 0,1% es el valor buscado, sino hay que seguir iterando Ejemplo: Determinar la presión de fondo fluyente de un pozo de gas. Si la presión y temperatura del cabezal fluyente son 2200 lpca y 85F, respectivamente. La gravedad específica del gas es 0,75, la tasa del fluido es 5,16 MM PCN, el diámetro interno de la tubería es 4,25 pulgadas. El ángulo de inclinación del pozo es de 38 grados. La temperatura de fondo a una profundidad de 9500 pies es 270 F y la rugosidad efectiva de la tubería es 0,0006 pulgadas (Pwf )sc )sc =2200 +(25x2200 x9500x10-6)=2722,50 lpca 2722 ,50 + 2200
85 + 270 + 460 =2461,25 lpca; T P = 460 ) =637,50 R 2
P P
=
2
γ
=0,75
TSC=405 R
G
PSC=665 lpca
TSR=637,5/405=1,57 ;P SR=2461,25/665=3,70
=
ρ G
0,75 x 28 ,97 ( lb ) x 2461 ,25 ( lpca ) x ( lbmol )( R ) ( lbmol ) x 0,78 x 637 ,5( R ) x10 ,73 ( lpca )( PC PC )
ZP=0,78
=10,02(lb/PC)=0,16 (g/cc)
X=3,448+986,4/637,5+0,01009x21,73=5,21 Y=2,4447-0,2224x5,21=1,29 (9,379+0,01607x21,73)x637,51,5 K=------------------------------------------------=124,32 (209,2+19x21,73+637,5) X=3,448+986,4/637,5+0,01009x21,73=5,21 Y=2,4447-0,2224x5,21=1,29 µ
=10-4x124,32) EXP(5,21x0,161,29)=0,0203 (CPS)=1,36x10-5 (lb/piexs)
G
30,9208x 10-3x5,16-0,065 x0,35-0,058x0,75-0,065 FM = --------------------------------------------------------------=0,0145 28
(1,36x10-5)-0,065 S=2x0,75x9500/53,34x637,5 x0,78=0,4190 L = 9500/0,6157=15430 pies 2 WF
P
= 2200
2
[25 x0,75 x0,0145 x637 ,5 x0,78 x15430 x5,16 x1,52 + 0,4190 x 4,25
2
x0,52 ]
5
=7406511,
179 PFW=2721,49 lpca %error =[(2721,49 – 2724,53/(2721,49)]x100=0,11% PWF= 2721,49 lpca c.- Método de Cullender y Smith Este método, tiene la ventaja que los cálculo
son de gran precisión, debido a la consideración de la variación del Factor de Compresibilidad ( Z) y la temperatura (T) con la profundidad. En virtud de ello hace que la ecuación tenga una alta precisión, la cual puede ser cotejada con datos obtenidos a través de similadores. Suposiciones Para la Validez del Método:
a.- El gas es de flujo continuo b.- Tomar en consideración la variación de Z y T con la profundidad c.- No considerar el cambio de la energía cinética Este método se fundamenta en la siguiente ecuación: 1000 xγ G xH 53,34
P WF
=
( P / TZ ) dP
∫ [2,6665( f / 4)ϑ ](1/ D ) + [(1/1000) ( H / L) ( P / TZ ) ] 2
2
5
(84)
P S
En donde: el diámetro de la tubería esta dado en pulgadas, si por ejemplo
= 2,6665 x ( f 5 / 4 ) xϑ
2
F 2
D
(85)
La ecuación (85) puede simplificarse utilizando el factor de fricción de Nikuradse (Fr ϑ ), quien desarrollo una ecuación para el flujo turbulento, basándose en una rugosidad absoluta igual a 0,00060 pulgadas (ε ) pulgas, y se obtiene:
29
= F =
0,10796 xϑ D 2 , 612
si, D< 4,277 pulgadas
(86)
F r ϑ = F =
0,10337 xϑ D 2 ,582
si D>4,277 pulgadas
(87)
F r ϑ
Los valores de ( F r ) están tabulados. La ecuación (84) simplificada queda: 1000 xγ g xH 53,34
P WF
=
∫
P S
( P / TZ ) dP [ F 2 + (1 / 1000 ) ( H / L) ( P / TZ ) 2 ]
(88)
Para resolver la ecuación (85 o 87) se debe asumir que la temperatura promedio es la temperatura media logarítmica, determinada por la ecuación (69), además de evaluar la integración a través de los métodos numéricos se obtiene lo siguiente: 1000 xγ g xH
P WF
( P M − P S ) ( Ι M + Ι S )
∫ ΙdP = 53,34 luego queda: 3 7,5 xγ x H = ( P _ P ) ( Ι =
2
P S
G
En donde:
M
Ι S =
S
M
+
( P WF − P M ) ( ΙWF + Ι M ) 2
+ Ι S ) + ( P W F − P M ) ( Ι W F + Ι M )
( P S / T S xZ S ) [ F 2 + (1/1000) ( H / L) ( P S / T S xZ S ) 2 ]
Ι M =
(89) (90)
(91)
( P M / T M xZ x Z M ) 2 [ F 2 + (1/1000) ( H / L) ( P M / T M xZ x Z M ) ]
(92) Ι WF =
( P WF / T F xZ F ) [ F 2 + (1/1000) ( H / L) ( P WF / T F xZ F ) 2 ]
(93) En términos generales y utilizando la ecuación (65), se obtiene:
( P / TZ ) Ι= 2 2 F + 0,001 x sin θ ( P / TZ )
(94)
La ecuación (90) se puede dividir en dos partes. Una que representa la mitad superior de flujo y la otra la mitad inferior del flujo: La mitad de flujo superior:
37 ,5 xγ G x ( H / 2 )
30
= ( P M − P S ) ( Ι M + Ι S )
(95)
37 ,5 xγ G x ( H / 2 )
La mitad de flujo inferior:
= ( P WF − P M ) ( ΙWF + Ι M )
(96)
Utilizando la Regla de Simpson se obtiene una ecuación que permite determinar la presión de fondo fluyente, la cual es: ∆
P=PWF-PS
P WF
(97)
112,5 xγ G xH = P S + Ι S + 4 xΙ M + ΙWF
(98)
Donde: (PWF)= presión de fondo fluyente en lpca ; (P S)= presión del cabezal fluyente en lpca; (H)= profundidad no inclinada del pozo en pie. Para determinar la presión de fondo fluyente por este método se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.- Determinar el lado izquierda de la ecuación (95) 2.- Calcular (F2) 3.- Determinar (Ι S) 4.- Asumir que ( Ι S=Ι
)
M
5.- Determinar (PM) por la ecuación (93) 6.- A través del valor de (PM) determinado por la ecuación (93), y el valor de la temperatura media logarítmica calcular el valor de ( Ι M) 7.- Comprobar si el valor determinado para (PM) tiene un error < 0,5% 8.- Asumir que ( Ι
=Ι
M
)
WF
9.- determinar (PWF) a través de la ecuación (96) 10.- Con los valores de (P WF) determinados por la ecuación (94) y la temperatura de fondo determinar ( Ι WF) 11.- Calcular (PWF) por la ecuación (96) y comprobar si el error entre la presión de fondo fluyente determinado por la ecuación (96 y (94) tiene un error menor al 0,5% Ejemplo: Determinar la presión de fondo fluyente para un pozo de gas. Si la temperatura y presión del cabezal fluyente son 2800 lpca y 90 F, respectivamente. La gravedad del gas es 0,75. Y a una profundidad de 9500 pies la temperatura es 265 F. El diámetro de la tubería es 2,15 2,15 pulgadas. Mientras que la tasa tasa del caudal
31
es 4,75 MM PCND. Si el ángulo ( θ ) tiene un valor de 38 grados La resolución resolución de este problema tiene su importancia en hecho que los datos obtenidos podrían servir para cotejar datos obtenidos a través de simuladores. 37 ,5 xγ G x ( H / 2 ) = 37,5x0,75x4750=133593,75
F r ϑ = F =
0,10796 xϑ D 2 , 612
=
0,10796 x 4,75 612 ( 2,15 ) 2 , 612
F2=0,0048
=0,0694
Si γ G=0,75 TSC=405 R
PSC=665 lpca
TSSR=550/405=1,36
PSSR=2800/665=4,21
ZS=0,71
( 2800 / 550 550 x 0,71) Ι S = 2 =196,69 001 x 0,6157 x ( 2800 / 550 550 x 0,71) 0,0048 + 0,001 P M =2800+
133593 ,75 2 x196 ,69
PMSR=313 3139,60/ 60/665 665=4,72
=3139,60 lpca TMSR=633,37/405=1,56
ZM=0,80
( 3139 ,60 / 633 633 ,37 x 0,80 ) Ι M = 2 =217,88 001 x 0,6157 x ( 3139 ,60 / 633 633 ,37 x 0,80 ) 0,0048 + 0,001 P M
= 2800 +
133593 ,75 (196 ,69 + 217 ,88 )
=3122,25 lpca
Error (3122,25-3139,60)/3122,25x100=0,55% PM=3122,25 lpca 133593 ,75 P WF = 3122 ,25 + 2 x 217 ,88
=3428,83 lpca
PWFSR=3428,83/665=5,16 TFSR=725/405=1,79 ZF=0,91 ( 3428 ,83 / 725 725 x 0,91) ΙWF = 2 =242,52 001 x 0,6157 x ( 3428 ,83 / 725 725 x 0,91) 0,0048 + 0,001 P WF
112 ,5 x0,75 x9500 = 2800 + =3411,54 lpca (196 ,69 + 4 x 217 ,88 + 242 ,52 )
Error =(3411,54-3428,83)/3411,43 x100=0,50% PWF=3411,54 lpca
32
