Modul Matematika Persamaan Kuadrat

Modul Matematika Persamaan Kuadrat

Banyak permasalahan dalam kehidupan yang pemecahannya terkait dengan

konsep

dan

aturan-aturan

dalam

matematika.

Secara

khusus

keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip persaman kuadrat, sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep persamaan kuadrat dapat ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu cermati objek-objek budaya dan objek lingkungan budaya yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kita sadari dan ternyata sebagai kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga kamu tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturanaturan matematika yang telah dipelajari sebelumnya, baik di tingkat SD, bahkan pada materi yang baru saja dipelajari. Dalam menyelesaikan masalah matematika, bisa melalui kesepakatan antar teman dan dengan guru, saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, bersifat abstrak, sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi atau tidak boleh didalamnya mengendung unsur-unsur, simbol-simbol, konsep-konsep, dan rumus-rumus yang saling bertentangan. Alat ukur kebenarannya, jika konsep yang ditemukan, ukuran kebenarannya apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya. Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat)

yang

ditemukan,

ukuran

kebenarannya

dapat

dibuktikan

kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.

1


Peta Konsep

Membentuk Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum

Persamaan Kuadrat

Diskriminan

Cara Menyelesaikan

Faktorisasi

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Rumus Kuadratik

Aplikasi Persamaan Kuadrat

2


Narasi Tokoh Persamaan Kuadrat

Abu ‘Abdallah Muhammad ibnu Musa al-Khwarizmi, kerap dijuluki sebagai Bapak Aljabar, karena sumbangan ilmu pengetahuan Aljabar dan Aritmatika. Beliau merupakan seorang ahli matematika dari Persia yang dilahirkan pada tahun 194 H/780 M, tepatnya di Khwarizm, Uzbeikistan. Selain terkenal sebagai seorang ahli matematika, beliau juga adalah astronomer dan geografer yang hebat. Berkat kehebatannya, Khawarizmi bergabung dalam BaitulHikmah atau House of Wisdom yaitu sebuah lembaga ilmu pengetahuan sebagai sarana bagi para ilmuwan untuk mengembangkan kemajuan ilmu mereka yang didirikan khalifah Abbasiyah di Metropolis Intelektual World, Baghdad. Beliau dalam lembaga ini terpilih sebagai ilmuwan terpenting. Khawarizmi telah menerjemahkan literatur dalam berbagai Bahasa, diantaranya Yunani, Arab, dan Cina. Sebagai seorang ilmuwan, Khawarizmi senang bergaul dengan banyak orang, termasuk para ilmuwan yang lebih populer darinya. Kepandaiannya yang luar biasa, menjadikan beliau mampu menghasilkan penemuan-penemuan baru yang belum ditemukan sebelumnya. Hasil penemuanya dalam bidang matematika, astronomi maupun geografi semuanya dituangkan dalam buku. Dalam bidang matematika, beliau menuliskan penemuannya ke dalam beberapa buku yang salah satunya berjudul “Hisab al-Jabar wal Muqabalah” yang membahas tentang persmaan linier dan persamaan kuadrat. Buku-buku yang berisi hasil penemuannya bahkan sempat menjadi acuan di Universitas-universitas di Eropa hingga abad ke-16. Dengan berbagai penemuannya itulah, ia diberi gelar sebagai Bapak Ilmu Matematika.

3

Modul Matematika Persamaan Kuadrat Kegiatan Belajar 1

Menentukan akar persamaan kuadrat

Kompetensi dasar 2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah 3.3 Menentukan nilai persamaan kuadrat dengan satu variabel yang tidak diketahui Tujuan Setelah mempelajari materi pada kegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat: 3.3.1 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar 3.3.1 Menentukan nilai persamaan kuadrat satu variabel dengan menggunakan faktorisasi 3.3.2 Menentukan nilai persamaan kuadrat satu variabel dengan melengkapkan kuadrat sempurna 3.3.3 Menentukan nilai persamaan kuadrat satu variabel dengan menggunakan rumus Kuadratik Indikator 3.3.1.1 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar 3.3.1.1 Menentukan nilai persamaan kuadrat satu variabel dengan menggunakan faktorisasi 3.3.2.1 Menentukan nilai persamaan kuadrat satu variabel dengan melengkapkan kuadrat sempurna 3.3.3.1 Menentukan nilai persamaan kuadrat satu variabel dengan menggunakan rumus Kuadratik

Glosarium  Konstanta

 Suku

 Bilangan real

 Variabel

 faktor

 Koefisien

4


Cek Kemampuan Kerjakan soal dibawah ini terlebih dulu! 1. Dari persamaan dibawah ini mana yang termasuk persamaan kuadrat! a. 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0 b. 𝑥 2 − 2𝑦 = 0 c. 𝑥 2 + 16 = 0 2. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan berikut! a. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 b. 2𝑥 2 + 7𝑥 + 3 = 0 c. 𝑥 2 − 25 = 0

Uraian Materi Ilustrasi Bentuk Persamaan Kuadrat Banyak sekali kasus dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan persamaan kuadrat sebagai penyelesaiannya, seperti pada kasus berikut ini Pak Nana memiliki tanah pekarangan yang

berbentuk

persegi

panjang

dengan ukuran 80 m × 60 m. Pak Nana merencanakan tanah tersebut akan dibuat taman. Pada sekeliling taman dibuat jalan setapak dengan ukuran lebar

yang

sama.

Setelah

taman

tersebut selesai dibuat, ternyata luas tamannya menjadi seperenam luas tanah pekarangan semula. Berapakah lebar jalan setapak yang mengelilingi taman tersebut?

5


Penyelesaian Untuk menentukan lebar jalan satapak yang mengeliingi taman di pekarangan Pak Nana dengan menentukan model matematika dari permasalahan tersebut. Agar lebih mudah dalam memodelkan maka dapa dimisalkan terlebih dahulu. Misalkan lebar jalan setapak adalah x meter, gambar tanah di pekarangan Pak Nana adalah sebagai berikut

telah diketahui bahwa ukuran tanah Pak Nana panjangnya 80 mdan lebarnya 60 m, maka Luas pekarangan pak nana = 80 × 60 = 4800 m2 Luas taman =

1 6

1

× luas pekarangan = 6 × 4800 =

800 m2

Panjang tanah pekarangan adalah 80 m karena pada kedua sisinya dibuat jalan setapak x meter maka panjang taman adalah (80-2x) m dan lebar tanah pekarangan adalah 60 m karena pada kedua sisinya dibuat jalan setapak x meter maka lebar taman adalah (60-2x) m. Maka diperoleh luas taman = (80-2x) (60-2x) = 800 m2 Bentuk (80-2x) (60-2x) = 800 m2 merupakan model matematika dari permasalahan Pak Nana. Dari model yang telah diperoleh maka (80-2x) (60-2x)

= 800 m2

480 − 120𝑥 − 160𝑥 + 4𝑥 2 = 800 4𝑥 2 − 280𝑥 + 480 − 800 = 800 − 800 4𝑥 2 − 280𝑥 + 320 = 0 𝑥 2 − 70𝑥 − 80 = 0

(agar tidak merubah nilai) (dibagi dengan 4)

bentuk ini merupakan bentuk persaman kuadat

Ambil x=71.12 maka diperoleh (71.12)2-70(71.12)-80=-0.35=0

(-0.35 sangat dekat dengan 0)

Sehingga lebar jalan setapak yang mengelilingi taman di pekarangan Pak Nana adalah 71.12 m.

6


Nilai 𝑥 dicari dengan menggunakan langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat yang akan dibahas dalam materi selanjutnya.

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat satu variabel didefinisikan sebagai persamaan yang memuat satu variabel yang dikuadratkan atau berderajat dua. Dari definisi, dibawah ini adalah contoh dari bentuk persamaan kuadrat dan bentuk bukan persamaan kuadrat

Contoh bentuk persamaan kuadrat a. 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 b. 2𝑥 2 + 9𝑥 = −5 c. 𝑥 2 − 25 = 0 d. 4𝑥 2 = 0

Bukan bentuk persamaan kuadrat a. 𝑥 − 2 = 0 b. 2𝑥 + 3𝑦 = 0 c. 3𝑥 − 5𝑦 = 12 d. 2𝑥 − 4𝑦 = 0

Dari beberapa contoh diatas maka bentuk umum persamaan kuadrat satu variabel adalah

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan syarat a,b,c adalah konstanta dan anggota himpunan bilangan real dan 𝑎 ≠ 0, konstanta yang terdapat pada 𝑎𝑥 2 dan 𝑏𝑥 disebut

koefisien

Ciri-ciri persamaan kuadrat: 

Sebuah persamaan



Pangkat tertinggi peubahnya adalah 2 dan pangkat terendahnya adalah 0



Koefisien variabelnya adalah bilangan real



Koefisien variabel berpangkat 2, tidak sama dengan nol



Koefisien variabel berpangkat 1 atau 0 dapat bernilai 0

7


Untuk diingat

Bentuk persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah ke bentuk yang lain yaitu 

Dapat diubah menjadi bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0, dimana 𝑚 dan 𝑛 adalah 𝑐

faktor dari 𝑎 

𝑏

Dapat diubah menjadi bentuk (𝑥 + 𝑝)2 = 𝑞, dengan 𝑝 ≠ 0 dimana 𝑝 = 2𝑎 dan q=

𝑏 2 −4𝑎𝑐 4𝑎2

atau bentuk ini biasanya disebut dengan bentuk persamaan

kuadrat sempurna

B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat artinya menentukan semua bilangan pengganti variabel pada persamaan kuadrat tersebut sehingga menjadi pernyataan yang benar. Maksudnya adalah nilai variabel 𝑥 jika disubstitusikan pada persamaan kuadrat yang bentuk umumnya dinyatakan dengan 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0, akan bernilai benar. Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan akar atau

penyelesaian persamaan kuadrat. Contoh Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 = 0! Penyelesaian Menentukan nilai x jika disubstitusikan ke persamaan 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 akan bernilai benar. Coba jika x=4, x=2, x=1, atau x=-1 

Substitusikan untuk x=4 ke persamaan 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 (4)2-3(4)-4=0 → 16-12-4=0 (memenuhi persamaan)



Substitusikan untuk x=2 ke persamaan 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 (2)2-3(2)-4=0 → 4-6-4≠0 (tidak memenuhi persamaan)



Substitusikan untuk x=1 ke persamaan 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 (1)2-3(1)-4=0 → 1-3-4≠0 (tidak memenuhi persamaan)



Substitusikan untuk x=-1 ke persamaan 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 (-1)2-3(-1)-4=0 → 1+3-4=0 (memenuhi persamaan)

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan adalah 𝑥 = 4 atau 𝑥 = −1

8


Dari contoh diatas untuk menentukan nilai x adalah dengan cara coba-coba (try and

error) agar memenuhi persamaan yang dimaksud, dan persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian. Hal ini karena persamaan kuadrat sesuai dengan definisi bahwa pangkat tertingginya adalah dua sehingga memiliki dua penyelesaian atau akar. Akan tetapi jika untuk menentukan penyelesaian dengan cara coba-coba maka akan memerlukan waktu yang lebih lama dan pemikiran yang panjang, oleh karena itu untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian suatu persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu 1. Faktorisasi 2. Melengkapkan kuadrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadratik 1. Faktorisasi Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat atau akar persamaan dengan cara faktorisasi atau memfaktorkan adalah menggunakan sifat perkalian bilangan real. Hal ini karena persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0 (lihat halaman 7).

Don’t Forget Sifat perkalian bilangan real, jika 𝑎𝑏 = 0, maka 𝑎 = 0 atau 𝑏 = 0, karena bilangan berapapun jika dikalikan dengan 0 maka akan menghasilkan 0.

Dibawah ini adalah hasil kali istimewa bilangan real, yaitu: i)

a(b+c)=ab+ac atau ab+ac=a(b+c)

ii) (a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc atau a2+(b+c)a+bc=(a+b)(a+c) iii) (a+b)(a-b)= a2- b2 atau a2- b2 =(a+b)(a-b) iv) (a+b)2= a2+2ab+b2 atau a2+2ab+b2=(a+b)2 v) (a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd

9


Memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 dengan 𝒂 = 𝟏 Persamaan kuadrat dengan bentuk umum 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah ke bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0 (lihat kembali halaman 6). Jika bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0 dikalikan maka diperoleh (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 𝑛𝑥 + 𝑚𝑛 = 𝑥 2 + (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚𝑛 Karena bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0 adalah bentuk lain dari 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, maka 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ekuivalen dengan (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0, sehingga 𝑒𝑘𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇔

𝑒𝑘𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇔

(𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0 𝑥 2 + (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚𝑛 = 0

(karena 𝑎 = 1)

Perhatikan ilustrasi gambar dibawah ini! Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0? Buatlah persegi dan persegi panjang

x x

X2

1 x

1 1

a

b

c

Persegi a menyatakan banyaknya 𝑥 2 , persegi panjang b mneyatakan banyaknya 𝑥, dan persegi c menyatakan banyaknya konstanta. Sehingga untuk menyatakan persamaan 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 dibutuhkan 1 persegi a, 5 persegi panjang b dan 6 persegi c seperti berikut

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran luas yang sama 10


𝑥 +3

𝑥 +2

Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (𝑥 + 2) dan (𝑥 + 3), sehingga ukuran luasnya (𝑥 + 2)(𝑥 + 3). Jadi persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 sama dengan persamaan (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0.

PAHAMI Dengan demikian hasil 𝑚 + 𝑛 = 𝑏 dan 𝑚𝑛 = 𝑐, dimana 𝑚 dan 𝑛 adalah akar atau himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 = 1 sedangkan (𝑥 + 𝑚) dan (𝑥 + 𝑛) adalah faktor dari 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Untuk menentukan penyelesaian atau akar bentuk persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 dengan a=1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c, dan apabia kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya sama dengan b.

Contoh 1.1 Tentukan akar dari persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 !

Penyelesaian  Bentuk persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi bentuk

(𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0,

sehingga 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + ⋯ )(𝑥 + ⋯ )

dengan 𝑎 = 1, 𝑏 = 5, 𝑐 = 6  Untuk mengisi titik-titik tersebut, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya sama dengan 5 11


 Faktor dari 6 adalah 1 dan 6 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat jika kedua bilangan dijumlahkan adalah 2 dan 3, karena 2+3=5  Jadi diperoleh 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3), dimana (𝑥 + 2) dan (𝑥 + 3) merupakan faktor dari 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0  𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2 atau 𝑥 + 3 = 0 → 𝑥 = −3 (lihat sifat perkalian bilangan real halaman 9)  Sehingga akar dari persamaan 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 adalah -2 atau -3

Contoh 1.2 Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 !

Penyelesaian  Bentuk persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0, sehingga 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = (𝑥 + ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) dengan 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = −3  Untuk mengisi titik-titik tersebut, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari -3 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya sama dengan 2  Faktor dari -3 adalah 1 dan 3, oleh karena c=-3, salah satu dari dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian dua bilangan yang memenuhi syarat jika kedua bilangan dijumlahkan adalah 1 dan 3, karena (-1)×3=-3 dan (-1)+3=-1+3=2  Jadi 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = (𝑥 + (−1))(𝑥 + 3) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3), dimana (𝑥 − 1) dan (𝑥 + 3) merupakan faktor dari𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0  𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1 atau 𝑥 + 3 = 0 → 𝑥 = −3 (lihat sifat perkalian bilangan real halaman 9)  Sehingga penyelesaian dari persamaan 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 adalah 1 atau 3

12


Contoh 1.3 Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0 !

Penyelesaian  Bentuk persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0, sehingga 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 = (𝑥 + ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) dengan 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, 𝑐 = 9  Untuk mengisi titik-titik tersebut, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 9 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya sama dengan -6  Faktor dari 9 adalah 1 dan 9 atau 3, oleh karena b=-6 dan c=9, dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif, karena dua bilangan negatif yang dikalikan akan menghasilkan bilangan positif. Dengan demikian dua bilangan yang memenuhi syarat jika kedua bilangan dijumlahkan adalah -3 dan -3, karena (-3)×(-3)=9 dan (-3)+(-3)=-3-3=-6  Jadi diperoleh 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 + (−3))(𝑥 + (−3)) = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)2 , dimana (𝑥 − 3) merupakan faktor dari (𝑥 − 3) − 6𝑥 + 9 = 0  𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 (lihat sifat perkalian bilangan real halaman 9)  Sehingga penyelesaian dari persamaan (𝑥 − 3) − 6𝑥 + 9 = 0 adalah dua bilangan yang sama yaitu 𝑥 = 3

Memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 dengan 𝒂 ≠ 𝟎 dan 𝒂 ≠𝟏 Selanjutnya adalah cara memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat 𝑎(𝑥 − 3) + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 untuk 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎 ≠ 1 ada du acara, yaitu

a. Menggunakan sifat distributif Sebelumnya pelajari perkalian antara suku dua dengan suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut 6×(-15)=-90 -10+9=-1

(2𝑥 + 3)(3𝑥 − 5) = 6𝑥 2 − 10𝑥 + 9𝑥 − 15 = 6𝑥 2 − 𝑥 − 15 Perhatikan bahwa -10+9=-1 dan (-10)×9=6×(-15)=-90 13


Sekarang cara pengerjaannya dibalik yaitu dari persamaan kuadrat kemudian difaktorkan, perhatikan uraian di bawah ini (uraikan –1 menjadi penjumlahan dua 6𝑥 2 − 𝑥 − 15 = 6𝑥 2 − 10𝑥 + 9𝑥 − 15 suku dan jika dua suku tersebut dikalikan sama dengan 6×(-10)) 2

= (6𝑥 − 10𝑥) + (9𝑥 − 15) = 2𝑥(3𝑥 − 5) + 3(3𝑥 − 5)

(faktorkan

menggunakan

sifat

distributif)

= (2𝑥 + 3)(3𝑥 − 5)

Perhatikan aturan berikut ini ac 2

ax +bx+c= ax2+mx+nx+c m + n m+n=b dan m×n=ac

Berdasarkan uraian diatas cara menfaktorkan bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 untuk 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎 ≠ 1 sebagai berikut 

Uraikan 𝑏 menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan 𝑎𝑐



Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif

14


Contoh 1.4 Faktorkan bentuk persamaan kuadrat 3x2+2x=8 dan tentukan pula akarakarnya!

Penyelesaian Ubah terlebih dulu bentuk persamaan menjadi bentuk standar ax2+bx+c=0, maka 3x2+2x

=8

2

(tambahkan kedua ruas dengan (-8), agar tidak merubah

3x +2x-8 =8-8

nilai) 2

3x +2x-8 =0 Kemudian operasikan seperti berikut ini 3x2+2x-8

=3x2+6x-4x-8

(uraikan 2 menjadi penjumlahan dua suku dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 3×(-8)=-24)

2

=(3x +6x)-(4x-8) =3x(x+2)-4(x+2)

(faktorkan

menggunakan

sifat

distributif) (ini adalah bentuk standarnya)

=(3x-4)(x+2) Maka, 3x2+2x-8 = (3x-4)(x+2)

Untuk menentukan akar-akarnya lihat kembali ke halaman 6 pada bagian bentuk lain dari ax2+bx+c=0, bahwa 3x2+2x-8=0 dapat diubah menjadi bentuk

(3x-4)(x+2)=0.

Sehingga

diperoleh

akar-akarnya

dengan

menggunakan sifat perkalian bilangan real pada halaman 9 adalah sebagai berikut 3x-

atau

4=0

x+2=0 x=-2

3x=4 4

x=3 Jadi, faktor dari 3x2+2x-8=0 adalah (3x-4) dan (x+2) dan akar-akarnya 4

adalah 3 atau -2.

15


Contoh 1.5 Faktorkan bentuk persamaan kuadrat 6x2+x-30=5 dan tentukan pula akar-akarnya!

Penyelesaian Ubah terlebih dulu bentuk persamaan menjadi bentuk standar ax2+bx+c=0, maka 6x2+x-30=5 6x2+x-30-5=5-5

(tambahkan kedua ruas dengan (-5), agar tidak merubah nilai)

2

(ini adalah bentuk standarnya)

6x +x-35=0

Kemudian operasikan seperti berikut ini 6x2+x-35

=6x2-14x+15x-35

(uraikan 1 menjadi penjumlahan dua suku dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 6×(-35)=-210)

2

=(6x -14x)+(15x-35) (faktorkan menggunakan sifat distributif)

=2x(3x-7)+5(3x-7) =(2x+5)(3x-7) Maka, 6x2+x-35 = (2x+5)(3x-7)

Untuk menentukan akar-akarnya lihat kembali ke halaman 7 pada bagian bentuk lain dari ax2+bx+c=0, bahwa 6x2+x-35=0 dapat diubah menjadi bentuk (2x+5)(3x-7)=0. Sehingga diperoleh akar-akarnya dengan menggunakan sifat perkalian bilangan real pada halaman 9 adalah sebagai berikut 2x+5=0

atau

2x=-5

3x-7=0 x=7 7

5

x=3

x=− 2

Jadi, faktor dari 6x2+x-30=5 adalah (2x+5) dan (3x-7) dan akar-akarnya 5

7

adalah − 2 atau 3.

16


b. Menggunakan rumus Selain dengan menggunakan sifat distributif, bentuk persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 dengan a≠0 dan a≠1 dapat difaktorkan dengan menggunakan rumus. Perhatikan uraian berikut ini 1

Misalkan ax2+bx+c=𝑎(ax+m)(ax+n) (𝑎𝑥+𝑚)(𝑎𝑥+𝑛)

ax2+bx+c

=

a(ax2+bx+c)

= (ax+m)(ax+n)

2 2

𝑎

(dengan menggunakan perkalian silang)

a x +abx+ac

=a2x2+amx+anx+mn

a2x2+abx+ac

= a2x2+a(m+n)x+mn

dengan demikian m+n=b dan m×n=a×c

1

ax2+bx+c=𝑎(ax+m)(ax+n) dengan m+n=b dan m×n=a×c

Contoh 1.6 Faktorkan bentuk persamaan kuadrat 6x2+x-30=5 dan tentukan pula akar-akarnya!

Penyelesaian Ubah terlebih dulu bentuk persamaan menjadi bentuk standar ax2+bx+c=0, maka 6x2+x-30=5 6x2+x-30-5=5-5

(tambahkan kedua ruas dengan (-5), agar tidak merubah nilai)

2

6x +x-35=0

(ini adalah bentuk standarnya)

Bentuk persamaan 6x2+x-35=0 dengan a=6, b=1, c=-35 Hasil kali a×c=6×(-35)=-210. Menentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari ac=-210 yang jika dijumlahkan hasilnya b=1. Dua bilangan yang dimaksud adalah 15×(-14)=-210 dan 15+(-14)=1, sebagaiman pada contoh 1.5 17


Dengan menggunakan rumus diperoleh 1

6x2+x-35

=6 (6𝑥 + 15)(6𝑥 − 14) 1

1

=3 × 2 (6𝑥 + 15)(6𝑥 − 14) 1

1

= 3 × (6𝑥 + 15) × 2 (6𝑥 − 14) =(2𝑥 + 5)(3𝑥 − 7) Untuk menentukan akar-akarnya menggunakan aturan perkalian bilangan real (halaman 9) 2x+5=0

atau

2x=-5

3x-7=0 x=7 7

5

x=3

x=− 2

Jadi, faktor dari 6x2+x-30=5 adalah (2x+5) dan (3x-7) dan akar-akarnya 5

7

adalah − 2 atau 3.

PERHATIKAN Penyelesaian pada contoh 1.5 menggunakan cara sifat distributif sedangakan pada contoh 1.6 menggunakan cara rumus dan hasilnya adalah sama. Jadi penyelesaian persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 dengan a≠0 dan a≠1 dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif maupun dengan rumus. Gunakan cara yang dianggap mudah.

18


Memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat ax2+bx=0 Ingat hasil kali istimewa bagian (i) pada halaman 9. Perhatikan uraian berikut ini ax2+bx =0 x(ax+b)=0

ini adalah hasil pemfaktorannya

sehingga diperoleh penyelesaiannya dengan menggunakan sifat perkalian bilangan real (pada halaman 9) yaitu x=0 atau

ax+b=0

PAHAMI dengan demikian bentuk persamaan kuadrat ax2+bx =0 salah satu penyelesaiannya adalah 0

Contoh 1.7 Tentukan penyelesaian dari bentuk persamaan kuadrat 2x2=3x!

Penyelesaian Ubah terlebih dulu ke bentuk standar, dimana salah satu sisinya harus sama dengan 0 2x2

=3x

2x2-3x=3x-3x 2x2-3x=0

(ubah menjadi bentuk standar) (tambahkan kedua ruas dengan -3x agar tidak merubah nilai) (bentuk standarnya)

Sebelum menentukan penyelesaiannya, difaktorkan terlebih dulu 2x2-3x =0 x(2x-3)=0 Bentuk persamaan seperti ini salah satu penyelesaiannya adalah 0, dan 3

penyelesaian yang lainnya 2x-3=0 → x=2 3

Jadi penyelesaian dari 2x2=3x adalah x=0 atau x=2

19


Memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat x2-b2=0 Ingat kembali hasil kali istimewa bagian (iii) pada halaman 9. Perhatikan uraian berikut ini (x-b)(x+b)

= x2+bx-bx-b2 = x2-b2

Sehingga bentuk persamaan kuadrat 𝑥 2 − 𝑏 2 = (𝑥 − 𝑏)(𝑥 + 𝑏)

Bentuk

persamaan

kuadrat

𝑥 2 − 𝑏 2 = (𝑥 −

𝑏)(𝑥 + 𝑏) dan bentuk ini disebut juga dengan

bentuk selisih kuadrat.

Contoh 1.8 Faktorkan dan tentukan akar dari persamaan kuadrat 𝑥 2 − 25 = 0!

Penyelesaian 𝑥 2 − 25 =0 2 2 𝑥 −5 =0 (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) = 0 Untuk menentukan penyelesaiannya adalah dengan menggunakan aturan perkalian bilangan real (halaman 9) x+5=0 x=-5

atau

x-5=0 x=5

Jadi, faktor dari 𝑥 2 − 25 = 0 adalah (x+5) dan (x-5) dan akar-akarnya adalah −5 atau 5.

20


PERHATIAN

1. Salah satu sisi dari persamaan kuadrat harus disamadengankan nol sebelum difaktorkan, karena jika tidak disamadengankan nol maka nilai pengganti variabel bukan merupakan penyelesaian. 2. Jangan membagi dua sisi persamaan dengan suatu variabel yang sama. Perhatikan uraian di bawah ini Persamaan 2x2=3x dan 2x=3 tidak ekuivalen, karena pada persamaan pertama memiliki 2 penyelesaian sedangkan pada persamaan kedua memiliki 1 penyelesain, padahal persamaan kuadrat haruslah memiliki 2 penyelesaian.

21


2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna Sebelum melengkapkan kuadrat sempurna perhatikan dulu bentuk persamaan kuadrat dimana untuk b=0, sehingga bentuk persamaannya menjadi ax2+c=0, dengan a≠0 Langkah yang digunakan dalam menyelesaikan bentuk persamaan seperti ini adalah dengan menggunakan akar kuadrat. Perhatikan sifat akar kuadrat berikut ini

Sifat akar kuadrat A2=C, maka A=±√𝐶

Contoh 1.9 Selesaikan bentuk persamaan 3x2-27=0 dengan menggunakan sifat akar kuadrat!

Penyelesaian Dalam menyelesaikan persamaan diatas maka harus ada bilangan pengganti x yang menyatakan peryataan 3x2-27=0 bernilai benar, dengan menggunakan sifat akar kuadrat diperoleh 3x2-27=0 3x2-27+27=27

(selesaikan untuk x2) (agar tidak merubah nilai kedua ruas ditambah dengan 27)

2

3x =27 3𝑥 2 27 = 3 3 2 x =9

(agar tidak merubah nilai kedua ruas dibagi dengan 3)

x=±√9

(dengan menggunakan sifat akar kuadrat)

x=±3

(penyelesaiannya adalah 3 atau -3)

Sehingga diperoleh penyelesaian dari 3x2-27=0 adalah x=3 atau x=-3

22


Contoh 1.10 1

5

Selesaikan bentuk persamaan kudrat (𝑥 + 2)2 = 4 dengan menggunakan sifat akar kuadrat!

Penyelesaian Sama seperti dengan contoh 1.9, diperoleh 1 5 (𝑥 + )2 = 2 4 1 5 (𝑥 + ) = ±√ 2 4


1 √5 (𝑥 + ) = ± 2 √4 1 √5 (𝑥 + ) = ± 2 2 1 √5 𝑥=− ± 2 2 −1 ± √5 𝑥= 2

(bentuk sederhana) (agar tidak merubah nilai kedua ruas ditambah dengan 1

(− )) 2

(bentuk sederhana) 1

5

Jadi diperoleh penyelesaian dari (𝑥 + 2)2 = 4 adalah 𝑥 =

−1−√5 2

atau 𝑥 =

−1+√5 2

Setelah mempelajari sifat akar kuadrat, sekarang coba ingat kembali hasil kali istimewa bagian (iv) pada halaman 9 yang menyatakan bahwa (a+b)2=a2+2ab+b2, sekarang terapkan pada permasalahan berikut (𝑥 + 1)2 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 (𝑥 − 2)2 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 Sebaliknya, jika diminta untuk menentukan bentuk kuadrat dari suatu persamaan kuadrat, perhatikan contoh berikut ini 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2 𝑏 Diperoleh, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 2)2 2 2 𝑥 − 10𝑥 + 25 = (𝑥 − 5)

Setelah mempelajari sifat akar kuadrat dan penerapannya dalam menyelesaikan suatu bentuk persamaan kuadrat, sekarang menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna dalam menyelesaikan suatu persamanan kuadrat. Dalam menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna ini tentunya menggunakan sifat akar kuadrat dan hasil kali istimewa seperti yang telah dijelaskan diatas. Pada 23

Modul Matematika Persamaan Kuadrat dasarnya dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, dengan menggunakan faktorisasi ataupun dengan melengkapkan kuadrat sempurna keduanya samasama mudah. Coba perhatikan bentuk persamaan kuadrat ini 𝑥 2 + 6𝑥 − 2 = 0, apakah persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan cara faktorisasi? Tentu bentuk seperti ini tidak bisa, karena dua bilangan yang merupakan faktor dari -2 dan jika dijumlahkan hasilnya 6 itu tidak ada. Jadi, sebenarnya cara melengkapkan kuadrat sempurna ini adalah suatu cara yang lebih umum dari faktorisasi

untuk

digunakan

dalam

menyelesaikan

persamaan

kuadrat

(menentukan akar persamaan). Masih ingat dengan bentuk persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (𝑥 + 𝑝)2 = 𝑞 (halaman 7)? Dasar dalam melengkapkan kuadrat sempurna adalah merubah bentuk persamaan kuadrat standar menjadi bentuk (𝑥 + 𝑝)2 = 𝑞, kemudian bisa diselesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat. Perhatikan bentuk kuadrat dibawah ini: (𝑥 + 𝑝)2 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑝2 bentuk ini identik dengan 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 1

Jadi 2𝑝 = 𝑏 maka 𝑏 = 𝑝 2

Dari bentuk kuadrat tersebut, suku terakhir diperoleh dengan mengkuadratkan

setengah dari koefisien x. Kemudian perhatikan uraian berikut ini

Melengkapkan kuadrat sempurna Untuk melengkapkan kuadrat dari bentuk persamaan 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, buat 𝑎=1 dengan membagi persamaan dengan 𝑎, sehingga 𝑏 𝑐 𝑥2 + 𝑥 + = 0 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑐 (tambahkan kedua ruas dengan bilangan 𝑥2 + 𝑥 + − = 0 − yang sama) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥2 + 𝑥 = − 𝑎 𝑎 2 (tambahkan kedua ruas dengan kuadrat 𝑏 𝑏 𝑐 𝑏 2 2 𝑥 + 𝑥+( ) =− +( ) dari setengah koefisien x) 𝑎 2𝑎 𝑎 2𝑎 2 (selesaikan dengan menggunakan sifat 𝑏 𝑐 𝑏2 (𝑥 + ) = − + 2 akar kuadrat) 2𝑎 𝑎 4𝑎 Jadi untuk melengkapkan kuadrat sempurna tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x pada kedua ruasnya.

24


Contoh 1.11 Selesaikan persamaan kuadrat 𝑥 2 + 6𝑥 − 2 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!

Penyelesaian 𝑥 2 + 6𝑥 − 2 = 0 𝑥 2 + 6𝑥 − 2 + 2 = 0 + 2

(tambahkan kedua ruas dengan 2 agar tidak merubah niai)

2

𝑥 + 6𝑥 = 2 𝑥 + 6𝑥 + 9 = 2 + 9 2

(lengkapi

agar

menjadi

kuadrat

sempurna

𝑏 2

6 2

2

2

dengan menambahkan kedua ruas ( ) = ( ) = 32 = 9)

(𝑥 + 3)2 = 11 𝑥 + 3 = ±√11

(faktorkan ruas kiri) (selesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat)

𝑥 + 3 − 3 = ±√11 − 3 𝑥 = ±√11 − 3 Jadi penyelesain dari 𝑥 2 + 6𝑥 − 2 = 0 adalah 𝑥 = √11 − 3 atau 𝑥 = −√11 − 3 = −(√11 + 3)

Contoh 1.12 Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat 2𝑥 2 + 10𝑥 + 11 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!

Penyelesian Persamaan kuadrat 2𝑥 2 + 10𝑥 + 11 = 0 nilai 𝑎 ≠ 1, untuk itu bagi persamaan dengan 2 agar nilai 𝑎 = 1, sehingga diperoleh 11 𝑥 2 + 5𝑥 + =0 2 11 11 11 11 (tambahkan kedua ruas dengan − 2 𝑥 2 + 5𝑥 + − = 0− 2 2 2 agar tidak merubah niai) 11 𝑥 2 + 5𝑥 = − 2 2 (lengkapi agar menjadi kuadrat 5 11 5 2 𝑥 2 + 5𝑥 + ( ) = − + ( ) sempurna dengan menambahkan 2 2 2 𝑏 2

5 2

2

2

kedua ruas ( ) = ( ) )

25

Modul Matematika Persamaan Kuadrat 5 2 11 25 (𝑥 + ) = − + 2 2 4 2 5 3 (𝑥 + ) = 2 4

(faktorkan ruas kiri) (operasikan

kanan

dengan

menyamakan penyebutnya) (selesaikan

5 3 𝑥 + = ±√ 2 4

ruas dengan

menggunakan

sifat akar kuadrat) 5

3 5 𝑥 = ±√ − 4 2 𝑥=±

√3

−

(tambahkan kedua ruas dengan − ) 2

5 2

√4 √3 5 𝑥=± − 2 2 ±√3 − 5 𝑥= 2 Jadi penyelesaian dari 2𝑥 2 + 10𝑥 + 11 = 0 adalah 𝑥 =

√3−5 2

atau 𝑥 =

−√3−5 2

PAHAMI Melengkapkan kuadrat sempurna adalah

membuat

persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 = 1, sehingga 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥 2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 dengan menambahkan kuadrat dari setengah koefisien x 𝑏 2

pada kedua ruasnya yaitu (2) dan kemudian difaktorkan sehingga menjadi bentuk (𝑥 + 𝑝)2 = 𝑞.

26

Modul Matematika Persamaan Kuadrat 3. Menggunakan Rumus Kuadratik Ingat kembali bentuk umum persamaan kuadrat bahwa 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dimana 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah konstanta yang merupakan himpunan bilangan real. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratik atau yang sering disebut dengan rumus 𝒂𝒃𝒄 adalah dengan manipulasi aljabar seperti pada langkah melengkapkan kuadrat sempurna (lihat pada halaman 21) kemudian menyederhanakannya sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan. Rumus kuadratik merupakan cara yang lebih umum digunakan dalam menentukan penyelesaian persamaan kuadrat. Perhatikan cara menemukan rumus kuadratik dibawah ini: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎≠0 𝑏 𝑐 𝑥2 + 𝑥 + = 0 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑐 𝑥2 + 𝑥 + − = 0 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥2 + 𝑥 = − 𝑎 𝑎 2 𝑏 𝑏 𝑏 2 𝑐 2 𝑥 + 𝑥+( ) =( ) − 𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑎 2 2 𝑏 𝑏 𝑐 (𝑥 + ) = 2 − 2𝑎 4𝑎 𝑎 2 2 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 (𝑥 + ) = 2 − 2 2𝑎 4𝑎 4𝑎

(buat 𝑎 = 1 dengan membagi persamaan dengan 𝑎) (tambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama)

(tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x) (faktorkan ruas kiri) (ruas kanan samakan penyebutnya agar mudah dioperasikan)

𝑏 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥+ = ±√ 2𝑎 4𝑎2 𝑏2

𝑏 𝑥=− ±√ 2𝑎

− 4𝑎𝑐 4𝑎2


(tambahkan kedua ruas dengan −

𝑏 2𝑎

)

𝑏 √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥=− ± 2𝑎 √4𝑎2 𝑏 √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ± 2𝑎 2𝑎 2 −𝑏 ± √𝑏 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 𝑥=−

(gabungkan bentuk pada ruas kanan)

bentuk rumus kuadratik

27


Rumus Kuadratik Jika 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0, maka −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Sehingga akar-akarnya atau penyelesaiannya adalah 𝑥=

𝑥1 =

−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐

atau 𝑥2 =

2𝑎

−𝑏−√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Untuk lebih memahami penggunaan rumus kuadratik dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, perhatikan beberapa contoh berikut

Contoh 1.13 Dengan menggunakan rumus kuadratik, tentukan akar-akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat 3𝑥 2 − 6𝑥 + 2 = 0!

Penyelesaian Pada persamaan kuadrat 3𝑥 2 − 6𝑥 + 2 = 0 telah diketahui bahwa 𝑎 = 3, 𝑏 = −6 dan 𝑐 = 2, sehingga −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 −(−6) ± √(−6)2 − 4 × 3 × 2 𝑥= 2×3 6 ± √36 − 24 𝑥= 6 6 ± √12 𝑥= 6 𝑥=

Diperoleh 𝑥1 =

6+√12 6

atau 𝑥2 =

6−√12 6

Jadi akar-akar persamaan 3𝑥 2 − 6𝑥 + 2 = 0 adalah 6+√12

6−√12

6

6

faktornya adalah (𝑥 − (

)) (𝑥 − (

6+√12 6

dan

6−√12 6

dan

))

28


Contoh 1.14 Dengan menggunakan rumus kuadratik, tentukan akar-akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat 4𝑥 2 + 16 = 0!

Penyelesaian Pada persamaan kuadrat 4𝑥 2 + 16 = 0 telah diketahui bahwa 𝑎 = 4, 𝑏 = 0 dan 𝑐 = 16, sehingga −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 0 ± √0 − 4 × 4 × 16 𝑥= 2×4 ±√−256 𝑥= 8 𝑥=

Karena √−256 tidak memiliki nilai maka persamaan 4𝑥 2 + 16 = 0 tidak memiliki akar atau penyelesaian.

a. Apa dugaan kalian tentang akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0? b. Coba perkirakan berapa banyak bilangan yang dapat mengganti nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan 2𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 0!

Berpikir Kritis

Akar-akar persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan: a. Pemfaktoran b. Melengkapi kuadrat sempurna c. Rumus kuadratik Gunakan cara yang paling mudah menurut kalian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

29


Latihan 1 1. Ubahlah persamaan berikut menjadi bentuk persamaan kuadrat! a. (2𝑥 + 7)(5𝑥 − 6) = 0 b. 4𝑥(𝑥 + 2) = 3(𝑥 + 2) c. 2(3𝑥 − 5)2 = 0 2. Faktorkan bentuk-bentuk persamaan kuadrat berikut! a. 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0 b. 𝑥 2 − 64 = 0 c. 3𝑥 2 + 10𝑥 + 3 = 0 3. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan melengkapi kuadrat sempurna! a. 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0 b. 3𝑥 2 − 9𝑥 − 6 = 0 4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus kuadratik! a. 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0 b. 𝑥 2 − 𝑥 + 4 = 0 c. 5𝑥 2 + 9𝑥 − 2 = 0 5. Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut! a. 3𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = 6 b. −2𝑥 2 − 3𝑥 = −7 c. 4𝑥 2 − 8𝑥 + 7 = 4

30


Rangkuman 1. Persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan yang memuat satu variabel yang dikuadratkan atau berderajat dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 anggota himpunan bilangan real dengan 𝑎 ≠ 0. 2. Menyelesaikan persamaan kuadrat artinya menentukan semua bilangan pengganti variabel pada persamaan kuadrat tersebut sehingga menjadi pernyataan yang benar. Cara penyelesaiannya dengan menggunakan a. Faktorisasi b. Melengkapkan kuadrat sempurna c. Rumus kuadratik 3. Menyelesaikan

persamaan

kuadrat

dengan

faktorisasi adalah

menggunakan sifat perkalian bilangan real, jika ab=0, maka a=0 atau b=0, karena bilangan berapapun jika dikalikan dengan 0 maka akan menghasilkan 0. Rumus pemfaktoran a. Sifat distributif 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦) b. Selisih dua kuadrat 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) c. Pemfaktoran 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 + (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚𝑛 4. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah menggunakan hasil perkalian istimewa (𝑥 + 𝑝)2 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑝2 bentuk ini identik dengan 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Jadi 2𝑝 = 𝑏 𝑏 2

1

maka 𝑏 = 2 𝑝, sehingga 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 2)

5. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratik dimana 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0 maka 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

31


Tes Formatif 1 Pilihlah salah satu jawaban yang tepat! 1. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar berbeda 𝑝 dan 𝑞, maka persamaan itu adalah…. a. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 b. 𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑝 = 0

c. 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 d. (𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞) = 0

2. Hasil kali dari (𝑥 + 3)(𝑥 − 8) adalah…. a. 𝑥 2 + 5𝑥 − 24 b. 𝑥 2 − 8𝑥 + 3

c. 𝑥 2 − 5𝑥 − 24 d. 𝑥 2 + 8𝑥 − 3

3. Bentuk persamaan kuadrat dari 𝑥(3 − 2𝑥) + 6𝑥 − 8 = 0 adalah…. a. 2𝑥 2 + 9𝑥 − 8 = 0 b. −12𝑥 2 + 12𝑥 − 8 = 0

c. −2𝑥 2 + 9𝑥 − 8 = 0 d. 2𝑥 2 − 9𝑥 − 8 = 0

4. Faktor dari 𝑡 2 − 𝑡 − 12 = 0 adalah…. a. (𝑡 + 4)(𝑡 − 3) = 0 b. (𝑡 − 4)(𝑡 + 3) = 0

c. (𝑡 + 4)(𝑡 + 3) = 0 d. (𝑡 − 4)(𝑡 − 3) = 0

5. Hasil pemfaktoran dari 3𝑥 2 − 13𝑥 − 10 adalah…. a. (𝑥 − 5)(3𝑥 + 2) c. (𝑥 + 5)(3𝑥 − 2) b. (𝑥 + 5)(3𝑥 + 4) d. (𝑥 + 5)(3𝑥 − 4) 6. Hasil pemfaktoran dari 6𝑎2 + 8𝑎𝑏 − 8𝑏 2 adalah…. a. (2𝑎 − 2𝑏)(3𝑎 − 4𝑏) b. (3𝑎 − 2𝑏)(2𝑎 + 4𝑏)

c. (3𝑎 + 2𝑏)(3𝑎 − 4𝑏) d. (3𝑎 + 4𝑏)(2𝑎 − 2𝑏)

7. Pemfaktoran dari 4𝑎2 − 12𝑎 + 9 adalah…. a. (2𝑎 + 3)2 c. (2𝑎 − 3)(2𝑎 + 3) 2 b. (2𝑎 − 3) d. (2𝑎 − 9)(2𝑎 − 1) 8. Salah satu faktor dari 6𝑥 2 − 7𝑥 − 20 adalah…. a. (3𝑥 − 4) c. (2𝑥 + 5) b. (𝑥 + 10) d. (2𝑥 − 5)

32


9. Hasil pemfaktoran dari 25𝑥 2 − 9𝑦 2 adalah…. a. (𝑥 2 − 𝑦 2 )(25𝑥 2 + 9𝑦 2 ) c. (5𝑥 2 − 3𝑦 2 )(5𝑥 2 + 3𝑦 2 ) b. (25𝑥 2 − 9𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 ) d. (5𝑥 2 + 3𝑦 2 )(5𝑥 2 + 3𝑦 2 )

10. Salah satu faktor dari hasil pemfaktoran (2𝑝 − 1)2 − (𝑝 − 3)2 adalah…. a. 𝑝 + 4 b. 𝑝 + 2 11. Bentuk sederhana dari a. b.

𝑥−3 3𝑥−2 𝑥−3 3𝑥+2

c. 𝑝 − 2 d. 𝑝 − 4 3𝑥 2 +7𝑥−6 9𝑥 2 −4

c. d.

adalah…. 𝑥+3 3𝑥−2 𝑥+3 3𝑥+2

12. Penyelesaian dari 𝑥 2 − 19𝑥 − 20 adalah…. a. 4 dan -5

c. -1 dan 20

b. 2 dan 10

d. -2 dan 10

13. Akar-akar dari 2𝑥 2 + 11𝑥 + 12 adalah…. a.

3 2

dan -4 3

b. − 2 dan -4

a. 3 dan 4 b. -2 dan -6

14. Himpunan penyelesaian dari 3𝑥 2 − 29𝑥 + 40 adalah…. 5

a. {− 3 , 8} 5

b. { , 8} 3

5

c. {−8, − 3} 1

d. {− , 8} 3

15. Himpunan penyelesaian dari 𝑥 2 + 12𝑥 + 36 adalah…. a. {−2,2} c. {2} b. {−6,6} d. {6}

33


Umpan Balik Setelah mengerjakan soal-soal pada Tes Formatif 1, cocokkan jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang ada di akhir bagian modul ini. Kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat pemahaman anda dalam materi Kegiatan Belajar 1 Rumus: 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑢𝑎𝑠𝑎𝑎𝑛 =

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 × 100% 15

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai yaitu: 90% - 100% = baik sekali 80% - 89% = baik 70% - 79% = cukup < 70%

= kurang

Kalau Anda mencapai tingkat pengusaan 80% ke atas, Anda dapat meneruskan dengan materi berikutnya. Tetapi jika nilai Anda di bawah 80%, Anda harus mengulang Kegiatan Belajar 1 terutama pada bagian yang belum Anda kuasai.

34

Modul Matematika Persamaan Kuadrat

Recommend Documents