MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO BERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad Universidad de Antioquia Instituto de Física 2011

Índice general

5. Movimiento oscilatorio

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5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Cinemática del Movimiento Armónico Simple (MAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Posición en el MAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Velocidad en el MAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Relación entre la velocidad, la amplitud y la posición en un MAS . . . . . . . 5.2.4. Aceleración en el MAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Dinámica del Movimiento Armónico Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Péndulo compuesto ó físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Energía en el movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Energía cinética en el movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Energía potencial en el movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Energía total en el movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Gráficas de energía en el movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Superposición de dos movimientos armónicos simples . . . . . . . . . . . . .

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2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 9 9 9 10

Cap´ıtulo

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Movimiento oscilatorio Competencias. En esta unidad se busca que el estudiante: Aplique los conceptos analizados en las unidades anteriores, en el caso de movimientos que se repiten en el tiempo. Distinga entre movimiento oscilatorio, movimiento periódico y movimiento armónico simple (MAS). Obtenga las ecuaciones cinemáticas de posición, velocidad y aceleración, para una partícula con MAS. Identifique y defina los conceptos de amplitud, frecuencia angular, fase, fase inicial y elongación.

Obtenga las expresiones para la energía cinética, la energía potencial y la energía total en un MAS. Analice gráficas de energía potencial en el caso de un MAS. Analice la superposición de movimientos armónicos simples. Identifique las condiciones bajo las cuales la superposición de dos MAS perpendiculares, genera un movimiento elíptico o un movimiento circular. Analice diferentes situaciones en las cuales se presenta MAS.

Obtenga la relación entre la velocidad y la amplitud en un MAS. CONCEPTOS BASICOS En esta unidad, se Obtenga la relación entre la aceleración y analizan movimientos que se repiten cada que la posición de una partícula animada de transcurre determinado intervalo de tiempo, esto es, movimientos periódicos. Particularmente MAS. se considera el movimiento armónico simple, el Obtenga y analice la forma diferencial de cual es un movimiento que se presenta en difela segunda ley de Newton, válida en todo rentes casos y de manera aproximada en la natMAS. uraleza. Se analizan situaciones en las cuales los Obtenga la frecuencia angular para el os- cuerpos pueden ser tratados bien bajo el mocilador armónico, el péndulo simple, el delo de partícula o bien bajo el modelo cuerpéndulo compuesto y el péndulo de tor- po rígido, dependiendo del tipo de movimiento adquirido por el cuerpo. Algo muy importante sión. tiene que ver con el hecho que en esta unidad Identifique las propiedades internas y ex- se aplican los conceptos vistos en las unidades ternas que generan la frecuencia angular en anteriores, es decir, debe entenderse la unidad cada uno de los casos anteriores, cuando se de oscilaciones como una aplicación de los contiene MAS. ceptos mecánicos en las unidades anteriores.

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO OSCILATORIO

5.1. Introducción

que se cumpla lo anterior, la función debe ser senoidal o cosenoidal, cuya única diferencia es Hasta ahora se han analizado y definido los una fase de π /2. De este modo, conceptos necesarios que permiten estudiar el x (t) = A sen(ω t + φ) movimiento de cuerpos tratados bajo el mode(5.1) x (t) = A cos(ω t + φ), lo de partícula y bajo el modelo de cuerpo rígido. En esta unidad se analiza el movimiento pe- donde la posición x de la partícula respecto al riódico de cuerpos, es decir, movimientos que origen de coordenadas, se conoce como la elonse repiten cada que transcurre un intervalo de  gación; el máximo valor de la elongación como tiempo determinado. Como caso especial se es- la amplitud A; el término ω t + φ como la fase, tudia el movimiento armónico simple (MAS). la cantidad ω como la frecuencia angular del movimiento y la fase inicial como φ, esto es, en instante t = 0. En la figura 5.1 se muestra la 5.2. Cinemática del Movimiento el máxima elongación de un cuerpo que se mueve Armónico Simple (MAS) sobre una recta con MAS, respecto al origen de coordenadas, esto es, xmáx = ± A. En la naturaleza se presentan movimientos que Movimiento se repiten, conocidos como movimientos oscilatorios o vibratorios. El movimiento de un pénx dulo simple, el movimiento de un cuerpo sujeto O +A -A a un resorte y el movimiento de los átomos en un cristal son algunos ejemplos de este tipo de Figura 5.1: MAS alrededor del origen O. movimiento. Las ecuaciones (5.1), por la forma que se exSi el movimiento se repite cada que transcurre determinado intervalo de tiempo, se dice presan, son periódicas en el tiempo como se que el movimiento es periódico y a este tiem- ilustra en las figura 5.2, para el caso de un MAS, po se le define como el período del movimiento, donde se ha tomado la función seno con fase inique corresponde al inverso de la cantidad física cial nula ( φ = 0), esto es, cuando el cuerpo parte del origen de coordenadas. conocida como la frecuencia del movimiento. Un movimiento oscilatorio de interés en la x física y que es periódico, se conoce como +A movimiento armónico simple y se acostumbra denominarlo como un MAS. t De acuerdo con lo anterior, el MAS que O adquiere una partícula es un movimiento periódico, esto es, un movimiento que se repite cada -A que transcurre determinado intervalo de tiempo, que como fue definido antes, se llama período del movimiento. Como se analizará posteri- Figura 5.2: Variación temporal de la posición en un ormente, todo MAS es periódico, pero no todo  MAS. movimiento periódico es MAS. Si P es el período de una partícula animada de MAS, la frecuencia angular del movimiento está definida por 5.2.1. Posición en el MAS 2π  Como el MAS es un movimiento periódico, la (5.2) = 2πν , ω= P ecuación cinemática de posición, x(t), debe responder por dicha periodicidad, es decir, debe donde se ha utilizado la definición de frecuencia ser una función periódica en el tiempo. Para como el inverso del período.

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5.2. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

5.2.2. Velocidad en el MAS

Utilizando la definición de velocidad dada por la ecuación (1.11) y las ecuaciones (5.1), se encuentra que la velocidad de una partícula con MAS, está dada por una de las expresiones v(t) = ω Acos(ω t + φ) v(t) = −ω Asen(ω t + φ).

Solución

(5.3)

De acuerdo con las ecuaciones (5.3), se tiene que la rapidez es máxima cuando la función trigonométrica, respectiva, adquiere su máximo valor, de este modo, el máximo está dado por (5.4)

vmáx = ±ω A

La figura 5.3 muestra la forma como varía la velocidad con el tiempo, tomando la primera de las ecuaciones (5.3), para una partícula que posee un MAS.

(a) Como se conoce la rapidez máxima alcanzada por la aguja y la amplitud de su movimiento, mediante la ecuación 5.4, se encuentra que la frecuencia angular de la aguja tiene el valor ω = 600rad˙s−1 .

Con este valor de la frecuencia angular, es posible encontrar para la frecuencia y para el período, los valores respectivos dados por = 95.49Hz, P = 10.47 × 10−3 s. ν

(b) Utilizando la información anterior, las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad para la aguja, adquieren la forma

v +wA

O

de mínima elongación con una rapidez de 3 ms−1 . La máxima elongación tiene un valor de 5 mm. (a) Encuentre la frecuencia y el período del movimiento de la aguja. (b) Escriba la ecuación cinemática de posición y de velocidad para el movimiento de la aguja.

t

-w A

Figura 5.3: Variación temporal de la velocidad en un  MAS.

x( t) = v( t ) =

5 × 10−3 sen(600 t), 3cos(600t),

donde se ha asumido que el extremo inferior de la aguja parte del origen, es decir, que su fase inicial es cero. Ejercicio 5.2.

Resuelva la situación anterior, utilizando

Al comparar las figuras 5.2 y 5.3, se ve clarapara la posición, la función trigonométrica mente que en el instante que la elongación coseno. Compare los resultados. adquiere su máximo valor, la velocidad es nula, y cuando la elongación adquiere su valor cero 5.2.3. Relación entre la velocidad, la amla velocidad adquiere su máximo valor. plitud y la posición en un MAS

Ejercicio 5.1.

Obtenga las gráficas de la segunda de las ecuaciones (5.1) y (5.3). Compárelas con la figura 5.1 y la figura 5.3, respectivamente. ¿Qué puede concluir? Ejemplo 5.1.

Suponga que el movimiento de la agu ja de una máquina de coser es un MAS. El extremo inferior de la aguja de una máquina de coser, pasa por la posición

Partiendo de cualquiera de las ecuaciones (5.1) y empleando la identidad trigonométrica sen2 θ + cos2 θ = 1, es posible obtener la expresión v2 = ( A2 − x2 )ω2 .

(5.5)

La ecuación (5.5), de nuevo permite afirmar i) La rapidez es máxima donde la elongación es mínima, esto es, en x = 0.

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO OSCILATORIO

ii) La rapidez es mínima donde la elongación ecuaciones (5.1) y (5.6) se tiene que la aceleraes máxima, o sea en x = ± A. ción de una partícula con MAS, está relacionada con su elongación, por medio de la expresión Ejercicio 5.3.

Partiendo de cada una de las ecuaciones (5.1), obtenga la ecuación (5.5). 5.2.4. Aceleración en el MAS

a = −ω 2 x.

(5.8)

La ecuación (5.8) es característica de cualquier MAS, es decir, en un MAS la aceleración es proporcional y opuesta a la posición de la partícula.

Mediante la definición de aceleración dada por la ecuación (2.2) y las ecuaciones (5.3), se en- 5.3. cuentra que la aceleración de una partícula con MAS, está dada por una de las expresiones

Dinámica del Movimiento Armónico Simple

En el caso particular de la segunda ley de Newton para masa constante, F = ma, la fuerza so2 −ω  Acos( ω t + φ ). (5.6)  bre una partícula de masa m animada de MAS, Las ecuaciones (5.6) muestran que se tiene adquiere la forma aceleración máxima cuando la función (5.9) F = −ω2 mx , trigonométrica, respectiva, adquiere su máximo valor, de este modo, el máximo está dado por donde se ha utilizado la relación entre la aceleración y la elongación, dada por la ecuación (5.7) (5.8). Se encuentra igualmente que la fuerza soamáx = ±ω2 A.  bre una partícula con MAS, es proporcional y La figura 5.4 muestra la forma como varía la opuesta a la posición de la partícula. aceleración con el tiempo, tomando la primera Ahora, empleando la definición de acelerade las ecuaciones (5.6), para una partícula que ción obtenida en el caso de una partícula que posee MAS. se mueve a lo largo del eje x, esto es, a (t ) = a (t ) =

−ω

2 Asen( ω t + φ)

a 2

+w  A

O

t

2

-w A

Figura 5.4: Variación temporal de la aceleración en un MAS.

Al comparar las figuras 5.2 y 5.4, se ve claramente que en el instante que la elongación adquiere su máximo valor, la aceleración en magnitud también es máxima, y cuando la elongación adquiere su valor mínimo la aceleración adquiere su mínimo valor. La situación anterior, lleva a encontrar una relación entre la aceleración y la posición, para una partícula animada de MAS. Mediante las

d2 x a= 2, dt y la ecuación (5.8), la segunda ley de Newton adquiere la forma d2 x (5.10) + ω 2 x = 0, 2 dt que corresponde a la ecuación diferencial característica de todo movimiento armónico simple; donde ω es la frecuencia angular del movimiento que depende de las propiedades físicas del sistema, como se encontrará en diversas situaciones que serán discutidas a continuación. En la ecuación (5.10), x representa bien sea la coordenada x propiamente dicha o bien la coordenada θ . Toda partícula, cuyo movimiento esté regido por la ecuación diferencial de la forma dada por la ecuación (5.10), está animada de un MAS,

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5.3. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

donde el término que multiplica a la elongación que es idéntica a la ecuación (5.10), lo cual x corresponde al cuadrado de la frecuencia an- muestra que la partícula adquiere un MAS con gular del MAS. una frecuencia angular dada por Ejercicio 5.4.

Demuestre que las ecuaciones (5.1) son soluciones de la ecuación diferencial (5.10) para un MAS. 5.3.1. Oscilador armónico

Como se analizó a la luz de la ley de Hooke, un ejemplo de oscilador armónico está constituido por un cuerpo de masa m sujeto a un resorte y que desliza sobre una superficie horizontal lisa, como se ilustra en la figura 5.5

ω=

√ 

k . m

En la ecuación (5.12) se observa que la frecuencia angular depende de las propiedades físicas del sistema, como son la constante elástica del resorte y la masa de la partícula. Mediante la relación que existe entre la frecuencia angular y el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa, el período de oscilación es dado por

√ 

P = 2π 

k m

x

O

k

N

F

e

m x

O

x

mg

Figura 5.5: D. C. L. en un oscilador armónico. El oscilador armónico es un ejemplo clásico del MAS de una partícula. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 5.5, se observa que sobre la partícula actúan el peso mg ejercido por la tierra, la normal N ejercida por la superficie y la fuerza elástica Fe ejercida por el resorte. Igualmente se observa que la única fuerza que afecta el movimiento de la partícula es la fuerza elástica, que de acuerdo con la ley de Hooke, tiene la forma Fe = −kx ,

donde el signo menos aparece debido a que la fuerza apunta en sentido opuesto a la deformación del resorte, respecto a la posición de equilibrio de la partícula que en este caso coincide con el origen de coordenadas O. De este modo, en este caso, la ecuación (5.10) adquiere la forma d2 x k + x = 0, d t2 m

(5.12)

m , k

(5.13)

y la frecuencia, dada por el inverso del período, es 1 k ν= . (5.14) 2π  m Una característica interesante que se observa en las ecuaciones (5.12), (5.13) y (5.14) es la dependencia de la frecuencia angular, del período y de la frecuencia con la masa de la partícula en un oscilador armónico. La ecuación (5.13) muestra que el oscilador armónico permite obtener experimentalmente el valor de la constante elástica del resorte midiendo la masa y el período de oscilación de la partícula.

√ 

Ejercicio 5.5.

La partícula de un oscilador armónico tiene una masa de 15g y posee un MAS cuyo período es de 4s. Halle (a) la constante elástica del resorte, (b) la frecuencia del movimiento y (c) la frecuencia angular correspondiente. 5.3.2. Péndulo simple

El péndulo simple proporciona un ejemplo de MAS de una partícula, siempre y cuando la amplitud del movimiento sea pequeña. En esta caso la coordenada correspondiente es el ángulo θ (5.11) que la cuerda forma con la vertical. De acuerdo

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO OSCILATORIO

con el diagrama de cuerpo libre mostrado en la la amplitud de las oscilaciones es pequeña la figura 5.6, se observa que sobre la partícula ac- partícula adquiere un MAS con una frecuencia túan el peso mg ejercido por la tierra y la tensión angular dada por T ejercida por la cuerda. ω=

√ 

 g . L

(5.18)

En la ecuación (5.18) se observa que la frecuencia angular depende de la aceleración de la T L gravedad y de una propiedad del péndulo simple como es la longitud L de la cuerda a la que está sujeta la partícula. mg q Mediante la relación que existe entre la frecuencia angular y el tiempo que tarda la Figura 5.6: D. C. L. en un péndulo simple. partícula en realizar una oscilación completa, el Igualmente se observa que el peso de la período de oscilación es dado por partícula tiene componente en la dirección tanL gencial, por lo que la ecuación de movimiento , (5.19) P = 2π  en esta dirección adquiere la forma  g q

 

−mg

sen θ = mα L,

donde el signo menos aparece debido a que esta componente apunta tangencialmente en sentido opuesto al desplazamiento angular de la partícula respecto a la posición de equilibrio, que en este caso coincide con la vertical. De este modo, empleando la definición de aceleración angular, la segunda ley de Newton en la dirección tangencial adquiere la forma d2 θ g + sen θ = 0, (5.15) dt 2 L donde aparecen las variables θ y sen θ , por lo que en general el movimiento de esta partícula no es un MAS ya que no satisface la ecuación diferencial de movimiento (5.10). A pesar de esto,cuando la amplitud de las oscilaciones es pequeña, el ángulo que forma la cuerda con la vertical es pequeño y es válida la aproximación sen θ

≈

θ.

(5.16)

Así, mediante la ecuación (5.16), la ecuación (5.15) adquiere la forma d2 θ g (5.17) + θ = 0, dt 2 L que es idéntica a la ecuación (5.10) cuando se cambia θ por x, lo cual muestra que cuando

y la frecuencia, dada por el inverso del período, es 1  g ν= . (5.20) 2π  L La característica interesante que se observa en las ecuaciones (5.18), (5.19) y (5.20) es la independencia con la masa de la partícula en el caso de un péndulo simple. Mediante la ecuación (5.19) es posible encontrar experimentalmente y de una forma sencilla, el valor de la aceleración de la gravedad midiendo la longitud de la cuerda y el período de oscilación de la partícula.

√ 

5.3.3. Péndulo compuesto ó físico

A diferencia del péndulo simple, el péndulo físico corresponde a un cuerpo rígido que oscila con MAS, siempre y cuando la amplitud de la oscilación sea pequeña. Un péndulo compuesto es un cuerpo rígido que oscila alrededor de un eje horizontal fijo, debido a su interacción con la tierra. En la figura 5.7 se muestra el diagrama de cuerpo libre de un péndulo compuesto, que puede girar libremente alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O. La fuerza que ejerce el eje sobre el cuerpo rígido, garantiza que el péndulo físico tenga un movimiento de rotación

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5.3. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

donde se ha utilizado la relación entre el momento de inercia I  y el radio de giro al cuadrado K 2 . La ecuación (5.23) es idéntica a la ecuación (5.10) al intercambiar θ por x, lo cual muestra que para pequeñas amplitudes de oscilación, el péndulo físico adquiere un MAS con una frecuencia angular dada por

Feje O q

d

C mg

Figura 5.7: D. C. L. en un péndulo físico.

ω=

 

gd . KO 2

(5.24)

De acuerdo con la ecuación (5.24), la frecuencia angular depende de la aceleración de la gravedad, de la longitud d y del radio de giro del cuerpo rígido, es decir, de la forma del cuerpo. Mediante la relación que existe entre la frecuencia angular y el tiempo que tarda la  MO = −mgd sen θ , partícula en realizar una oscilación completa, el donde el signo menos se debe a que la fuerza período de oscilación es dado por genera un momento en sentido opuesto al desKO 2 plazamiento angular del cuerpo respecto a su P = 2π  , (5.25) posición de equilibrio, la cual es coincidente con  gd la vertical, y d sen θ es el brazo del peso, respecy la frecuencia, dada por el inverso del período, to al punto O. Por consiguiente, utilizando la definición de esto es 1  gd aceleración angular, y la ecuación de movimien. (5.26) ν= to para la rotación de un cuerpo rígido, se ob2π  KO2 tiene la ecuación diferencial En el caso del péndulo compuesto la caracted2 θ mgd sen θ = 0, (5.21) rística interesante que muestran las ecuaciones + 2 dt I O (5.24), (5.25) y (5.26) es la independencia con la masa del cuerpo rígido, en la frecuencia angudonde de nuevo aparecen las variables θ ysen θ , lar, el período y la frecuencia del MAS. lo cual indica que en general el movimiento de Empleando la ecuación (5.25), experimentaleste cuerpo rígido no es un MAS ya que no mente se puede encontrar el valor de la acelesatisface la ecuación diferencial de movimiento ración de la gravedad, conociendo la forma del (5.10). Pero si se consideran amplitudes de os- cuerpo y midiendo el período de oscilación del cilación pequeñas, el ángulo que forma el seg- cuerpo rígido. mento OC de la figura 5.7 con la vertical es pequeño y es válida la aproximación pura alrededor de un eje que pasa por O, es decir, la fuerza neta es nula. En este caso, como el peso del cuerpo es quien genera el movimiento de rotación, el momento del peso respecto al punto O es

 

 

5.3.4. Péndulo de torsión

sen θ

≈

θ.

(5.22)

El péndulo de torsión permite considerar otro Así, mediante la ecuación (5.22), la ecuación caso de MAS en un cuerpo rígido. Un péndulo de torsión no es mas que un cuerpo rígido sus(5.21) adquiere la forma pendido verticalmente de un alambre sujeto al 2 centro de masa C del cuerpo y fijo en O, como gd dθ + = θ 0, (5.23) se indica en la figura 5.8. dt2 KO 2

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO OSCILATORIO

O

En la ecuación (5.30) la frecuencia angular depende del coeficiente de torsión del alambre y del radio de giro del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por su centro de masa, es decir, de la forma geométrica del cuerpo y de sus propiedades físicas. Mediante la relación que existe entre la frecuencia angular y el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa, el período de oscilación es dado por

C

q A

M

Figura 5.8: Péndulo de torsión rotado.

 

2

mKC Cuando el cuerpo rígido se rota un ángulo θ , (5.31) P = 2π  κ pequeño, respecto a la orientación de equilibrio CA sobre un plano horizontal y en determinado sentido, el alambre se tuerce generando un y la frecuencia, dada por el inverso del período, par a su alrededor con un momento en sentido esto es 1 mKC 2 opuesto dado por ν= . (5.32) 2π  κ  M = −κθ , (5.27) En el caso del péndulo de torsión la caractedonde κ es una constante que depende de las rística interesante que muestran las ecuaciones propiedades físicas y geométricas del alambre (5.30), (5.31) y (5.32) es la dependencia con la y se conoce como el coeficiente de torsión del masa del cuerpo rígido, en la frecuencia angualambre. lar, el período y la frecuencia del MAS, a diferAhora, si se emplea la definición de acelera- encia de los dos casos anteriores. ción angular,y la ecuación de movimiento para La ecuación (5.31) muestra que entre mayor la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un sea la masa del cuerpo rígido ó menor sea el eje que pasa por su centro de masa, se llega a la coeficiente de torsión del alambre, mayor es el ecuación diferencial período de oscilación. Igualmente se ve que el período de oscilación depende de la geometría d2 θ κ (5.28) del cuerpo rígido, al depender del radio de giro. + θ = 0, dt2 I C Utilizando la expresión (5.31) es posible dedonde aparece la variable θ en los dos térmi- terminar, de manera experimental, el coeficiente nos de la ecuación, es decir, el cuerpo rígido de torsión del alambre conociendo la forma del adquiere un MAS, donde la ecuación diferencial cuerpo rígido, su masa y midiendo su período correspondiente es de oscilación.

 

κ d2 θ + θ = 0, 2 dt mKC 2

(5.29)

donde se ha utilizado la relación entre el momento de inercia I  y el radio de giro al cuadrado K2 . Al comparar la ecuación (5.10) con la ecuación (5.29), se tiene que el cuerpo rígido adquiere un MAS con una frecuencia angular dada por κ ω= (5.30) 2.

√ 

mKC

5.4.

Energía en el movimiento armónico simple

Un cuerpo animado de un MAS, tiene una energía total no nula como consecuencia de su energía cinética y su energía potencial. La energía cinética es de tipo traslacional si el cuerpo sólo tiene movimiento de traslación, ó es de tipo rotacional si el cuerpo posee movimiento únicamente de rotación. Adicionalmente, la energía

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5.4. ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

potencial se le asocia a las fuerzas conservativas, como lo es el peso en el caso de los péndulos simple y compuesto, la fuerza elástica en el caso de un oscilador armónico sobre una superficie horizontal y la fuerza de torsión en el caso de un péndulo de torsión.

donde se ha tomado el nivel cero de energía potencial en la posición de equilibrio, esto es, en x = 0. La ecuación (5.36) muestra que la energía potencial en un MAS, varía mientras el cuerpo se mueve, adquiriendo su máximo valor cuando se tiene la máxima elongación y su valor mínimo en la posición de equilibrio. Mediante la primera de las ecuaciones (5.1), 5.4.1. Energía cinética en el movimiento es posible que la ecuación (5.36) adquiera la forarmónico simple ma 1 Debido a su movimiento, la energía cinética de (5.37) Ep (v) = m(v2max − v2 ), 2 un cuerpo con MAS, viene dada por donde se observa que la energía potencial es 1 Ek = m(ω A)2 cos2 (ω t + φ), (5.33) mínima cuando la rapidez es máxima y máxi2 ma cuando la rapidez es mínima. donde se ha utilizado la definición de energía cinética y la primera de las ecuaciones (5.3). 5.4.3. Energía total en el movimiento arPartiendo de la ecuación (5.33), es posible demónico simple mostrar que la energía cinética del cuerpo se En el caso de un cuerpo animado de un MAS, se puede expresar en la forma tiene un sistema conservativo, es decir, aunque 1 tanto la energía cinética como la energía poten(5.34) cial varíen mientras ocurre el movimiento, la Ek = mω2 ( A2 − x2 ). 2 energía total debe permanecer constante. En la ecuación (5.34), se observa que a medida De nuevo, la energía total del cuerpo es la que el cuerpo se mueve su energía cinética varía suma de su energía cinética y su energía poadquiriendo su valor mínimo en los extremos tencial. De este modo, mediante las ecuaciones de la trayectoria, x = ± A, y su valor máximo (5.33) y (5.36), se llega a cuando pasa por la posición de equilibrio x = 0. 1 (5.38) E = m(ω A)2 , 2 5.4.2. Energía potencial en el movimiento armónico simple

De acuerdo con el concepto de derivada direccional, se tiene que la fuerza conservativa F( x) que actúa sobre una partícula, está relacionada con la energía potencial asociada Ep ( x), mediante la expresión F( x) = −

dEp ( x) . dx

(5.35)

que de acuerdo con la ecuación (5.34), corresponde a la máxima energía cinética que adquiere la partícula. Por otro lado, la ecuación (5.38) confirma que realmente la energía total del cuerpo es una constante, ya que la frecuencia angular ω y la amplitud A son constantes del movimiento.

5.4.4. Gráficas de energía en movimiento armónico simple Ahora, teniendo en cuenta la ecuación (5.9), se

el

encuentra que la función de energía potencial Toda la información analizada anteriormente, para una partícula con MAS, está dada por respecto a la energía en el MAS, se resume en la figura 5.9, donde se tienen las gráficas de la 1 2 2 Ep ( x) = ω mx , energía cinética, la energía potencial y la energía 2 total de un cuerpo animado con MAS en fun1 2 2 m(ω A) sen (ω t + φ), (5.36) ción de la coordenada x. = 2

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO OSCILATORIO Energía

tiene como ecuación de la trayectoria, la expresión x 2 + y2 = A 2 . (5.40)

E (Energía total)

-xA

O

+xA

x

Figura 5.9: Curvas de energía cinética, potencial y

La forma de la ecuación (5.40) indica que la trayectoria que describe la partícula es circular, de radio A y centrada en el origen. Igualmente, obteniendo las componentes en x y en y de la velocidad de la partícula, se encuentra que la magnitud es v = ω A.

total de un cuerpo con MAS.

En la figura (5.9) se observa que en los extremos de la trayectoria la energía potencial adquiere el máximo valor y la energía cinética es nula, mientras que en la posición de equilibrio la energía cinética adquiere el máximo valor y la energía potencial es nula. Lo anterior está de acuerdo con el hecho que a medida que aumenta la energía potencial, disminuye la energía cinética, con el fin de garantizar la constancia en la energía total. 5.4.5. Superposición de dos movimientos armónicos simples

Una situación interesante se presenta cuando se superponen simultáneamente dos movimientos armónicos simples. Como se verá, la trayectoria del movimiento resultante depende de las condiciones de cada uno de los movimientos resultantes. Superposición de dos movimientos armónicos simples perpendiculares con igual frecuencia e igual amplitud

(5.41)

De este modo, por la ecuación (5.41) se tiene que una partícula sometida a estas condiciones, adquiere un movimiento circular uniforme ya que su rapidez es constante. Cuando la amplitud de estos dos movimientos perpendiculares es diferente, es posible demostrar que la partícula describe una trayectoria elíptica. El caso inverso también es válido, o sea, cuando una partícula describe una trayectoria circular de radio A con rapidez constante, la proyección o sombra de la partícula sobre cada uno de los ejes posee un movimiento armónico simple. Por lo tanto, mientras la partícula describe una trayectoria circular con velocidad angular de magnitud ω, la sombra tiene un MAS de frecuencia angular ω.  y

B

A

x

Se considera un sistema de coordenadas rectangulares xy , tal que sobre cada eje se tiene un MAS. Se supone que sobre el eje x y el eje y la respectiva ecuación cinemática de posición está Figura 5.10: MCU de una partícula y MAS de su dada por sombra sobre cada eje. x = A cos(ω t + φ), Como se ilustra en la figura 5.10, mien y = A sen(ω t + φ). (5.39) tras la partícula describe la trayectoria circular Al sumar los cuadrados de cada una de las com- moviéndose de A a B en sentido antihorario, la ponentes dadas por la ecuación (5.39) y simpli- sombra con MAS se mueve sobre el eje x desde ficar, se encuentra que el movimiento resultante A hasta B, y a medida que la partícula se mueve

5.4. ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

sobre la trayectoria circular desde B hasta A, la sombra lo hace sobre el eje x de B hasta A. De forma similar, como se ilustra en la figura 5.11, la sombra o proyección del movimiento circular uniforme de la partícula sobre el eje y, también adquiere un MAS.  y D

x

C

Figura 5.11: MCU de una partícula y MAS de su sombra sobre cada eje.

A medida que la partícula se mueve sobre la trayectoria circular entre C y D, la sombra con MAS se mueve sobre ele eje y de C a D y mientras la partícula se mueve sobre la circunferencia de D a C, la sombra lo hace de D a C sobre el eje y. En síntesis, una partícula adquiere un movimiento circular uniforme, cuando simultáneamente se somete a dos movimientos armónicos simples perpendiculares entre sí, de igual amplitud, de igual frecuencia angular e igual fase inicial. Ejercicio 5.6.

Demuestre, que cuando una partícula se somete simultáneamente a dos MAS perpendiculares, de igual frecuencia angular, igual fase inicial, pero diferente amplitud, la partícula describe una trayectoria elíptica.

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