Optica Hecht

´ Optica Eugene Hecht Alfred Zajac Cap´ıtulos seleccionados del libro original por

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido 26 de abril de 2002 Formateado con LATEX 2ε en Debian GNU/Linux 3.0

Versi´ on Preliminar

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

Índice general 1. Movimiento Ondulatorio 1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . 1.2. Ondas Arm´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Representaci´ on Compleja de las Ondas 1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaci´ on Diferencial de Onda Tridimensional 1.6. Ondas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Teor´ıa Electromagn´ etica, Fotones y Luz 2.1. Leyes B´ asicas de la Teor´ıa Electromagnética . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ley de Inducci´ on de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ley de Gauss Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ley de Gauss Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ondas Electromagnéticas en Medios No Conductores . . . . . . 2.3.1. Dispersi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Propagaci´ on de la Luz a través de un Medio Dieléctrico 2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

5 6 8 10 12 14 17 19 22 23 25 26 26 27 28 28 29 31 35 36 41 43 43

3. Tratamiento Electromgan´ etico de la Propagaci´ on 3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Deducci´ on de las Ecuaciones de Fresnel . . 3.1.2. Interpretaci´ on de las Ecuaciones de Fresnel

de . . . . . .

la Luz 47 . . . . . . 48 . . . . . . 50 . . . . . . 53

4. Superposici´ on de Ondas 4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia 4.1.1. El Método Algebraico . . . . . . 4.1.2. El Método Complejo . . . . . . . 4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . 4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . 4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia

. . . . . .

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3

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59 61 61 65 66 67 68

ÍNDICE GENERAL

4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Interferencias 5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . 5.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . 5.3. Interfer´ ometros de División de Frente de Onda . 5.4. Pel´ıculas Dieléctricas. Interferencia de dos Haces 5.4.1. Franjas de Igual Inclinación . . . . . . . . 5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . .

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69 70 73 74 78 79 83 84 86

6. Difracci´ on 89 6.1. Difracci´ on de Fraunhofer por una Rendija . . . . . . . . . . . . . 90

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CAPÍTULO 1

Movimiento Ondulatorio Índice General 1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ondas Arm´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Representaci´ on Compleja de las Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaci´ on Diferencial de Onda Tridimensional . . . 1.6. Ondas Esf´ ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . .

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6 8 10 12 14 17 19 22 23

CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO ´ 1.1 SECCION

Ondas Unidimensionales Sea una perturbación ψ que viaja en la dirección positiva de x con una velocidad constante v. La naturaleza espec´ıfica de la perturbación no es por el momento importante. Podr´ıa ser el desplazamiento vertical de una cuerda, o de la magnitud de un campo eléctrico o magnético asociado con una onda electromagnética, o aun la amplitud de la probabilidad cuántica de una onda de materia. Como la perturbaci´ on está en movimiento, debe ser una función tanto de la posici´ on como del tiempo y se puede, por consiguiente, escribir como: ψ = f (x, t)

(1.1)

La forma de la perturbación en cualquier instante se puede encontrar manteniendo el tiempo constante en un determinado valor, por ejemplo t = 0. En este caso: ψ(x, t)t=0 = f (x, 0) = f (x)

(1.2)

la funci´ on ψ(x, t) representa la forma o perfil de la onda en un momento dado. El proceso es an´ alogo a tomar una “fotograf´ıa” del pulso que va viajando. Por el momento el estudio se limitará a una onda que no cambia su forma mientras avanza a través del espacio. Tras un tiempo t desde la producción del pulso de la onda, éste recorre una distancia vt a lo largo del eje x de un sistema de coordenadas S, pero en todos los aspectos permanece inalterado. Si ahora se introduce un sistema de coordenadas S 0 que viaja junto con el pulso a la velocidad v, en este sistema ψ ya no es una función del tiempo, y puesto que se mueve junto con S 0 se ve un perfil constante estacionario con la misma forma funcional de la ecuaci´ on (1.2). Aqu´ı, el eje coordenado es x0 en lugar de x, de tal forma que: ψ = f (x0 )

(1.3)

La perturbaci´ on se ve igual para cualquier valor de t en S 0 como lo era en S para t = 0 cuando S y S 0 ten´ıan un origen com´ un. Se deduce que: x0 = x − vt

(1.4)

de tal forma que ψ se puede escribir en términos de las variables asociadas con el sistema S como: ψ(x) = f (x − vt)

(1.5)

Entonces esto representa la forma más general de la funci´ on de onda unidimensional. De un modo espec´ıfico, s´ olamente se tiene que escoger la forma (1.2) y entonces sustituir x − vt por x en f (x). La expresi´ on resultante describe una onda m´ ovil que tiene el perfil deseado. Si se verifica la forma de la ecuación 6


1.1. ONDAS UNIDIMENSIONALES

(1.5) examinando ψ despues de un incremento ∆t de tiempo y un aumento correspondiente en x de v∆t, se encuentra: f [(x + v∆t) − v(t + ∆t)] = f (x − vt) y el perfil está inalterado. Similarmente, si la onda estuviese viajando en la dirección negativa de x, es decir, hacia la izquierda, la ecuaci´ on (1.5) quedar´ıa: ψ = f (x + vt), con v > 0

(1.6)

Por consiguiente, se puede concluir que, independientemente de la forma de la perturbaci´ on, las variables x y t deben aparecer en la funci´ on como una unidad; es decir, como una variable simple de la forma x ∓ vt. La ecuación (1.5) se expresa a menudo equivalentemente como una función de t − x/v ya que: f (x − vt) = F

x − vt − v

= F (t − x/v)

(1.7)

Se desea usar la informaci´ on deducida hasta aqu´ı para desarrollar la forma general de la ecuaci´ on diferencial de onda unidimensional. Con ese propósito, se toma la derivada parcial de ψ(x, t) con respecto a x manteniendo t constante. Usando x0 = x ∓ vt se tiene: ∂ψ ∂f ∂x0 ∂f ∂x0 = = ya que =1 ∂x ∂x0 ∂x ∂x0 ∂x

(1.8)

Si se mantiene x constante, la derivada parcial con respecto al tiempo es: ∂f ∂x0 ∂f ∂ψ = = ∓v 0 0 ∂t ∂x ∂t ∂x

(1.9)

Combinando las ecuaciones (1.8) y (1.9) se obtiene: ∂ψ ∂ψ = ∓v ∂t ∂x

(1.10)

Esto dice que la rapidez de cambio de ψ con t y con x es igual, excepto por una constante multiplicativa. Conociendo de antemano que se necesitarán dos constantes para especificar una onda, se puede anticipar una ecuación de onda de segundo orden. Tomando las segundas derivadas parciales de las ecuaciones (1.8) y (1.9), se obtiene: ∂2ψ ∂ ∂f ∂ ∂f ∂x0 ∂2f = = = 2 0 0 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x0 2 y ∂2ψ ∂ = ∂t2 ∂t

∂f ∓v 0 ∂x

∂ = ∂x0

∂f ∓v 0 ∂x

∂x0 ∂2f = ∓v 2 0 2 ∂t ∂x

Combinando estas ecuaciones se obtiene: ∂2ψ 1 ∂2ψ = 2 2 2 ∂x v ∂t Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(1.11) 7

CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

que es la ecuaci´ on diferencial de onda en una dimensión. Es claro de la forma de la ecuación (1.11) que si dos funciones de ondas diferentes ψ1 y ψ2 son cada una soluciones diferentes, entonces (ψ1 + ψ2 ) es también una solución. 1 De acuerdo con esto, la ecuaci´ on de onda se satisface de manera más general por una función de onda que tiene la forma: ψ = C1 f (x − vt) + C2 g(x + vt)

(1.12)

donde C1 y C2 son constantes y las funciones son diferenciables dos veces. Esto es claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lo largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perfil. El principio de superposición es inherente en esta ecuación. ´ 1.2 SECCION

Ondas Arm´ onicas Hasta ahora no se ha dado una dependencia funcional expl´ıcita a la función de onda ψ(x, t), es decir, no se ha especificado su forma. La forma de onda m´ as simple tiene como perfil una curva seno o coseno. Estas se conocen variadamente como ondas senoidales, ondas armónicas simples, o más sucintamente como ondas armónicas. Cualquier forma de onda se puede sintetizar por una superposici´ on de ondas armónicas y por consiguiente ellas toman un significado especial. Se escoge para el perfil la función simple: ψ(x, t)t=0 = f (x, 0) = f (x) = A sin kx = ψ(x)

(1.13)

donde k es una constante positiva conocida como el n´ umero de propagaci´ on y kx est´ a expresado en radianes. El seno var´ıa de +1 a −1 de manera que el m´ aximo valor de ψ(x) es A. Este máximo de la perturbación se conoce como la amplitud de la onda. A fin de transformar la ecuación (1.13) en una onda progresiva que viaja con velocidad v en la dirección positiva de x, se necesita simplemente reemplazar x por x − vt, en cuyo caso: ψ(x, t) = f (x − vt) = A sin k(x − vt)

(1.14)

Esto es claramente una solución de la ecuación diferencial de onda (1.11). Manteniendo fijas bien sea x o t resulta una perturbación senoidal de tal forma que la onda es peri´ odica tanto en el espacio como en el tiempo. El per´ıodo espacial se conoce como la longitud de la onda y se denota por λ. Un aumento o disminuci´ on en x en la cantidad λ debe dejar ψ inalterado, es decir: ψ(x, t) = ψ(x ± λ, t) 1 Ya

que ψ1 y ψ2 son soluciones: ∂ 2 ψ1 1 ∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ2 1 ∂ 2 ψ2 = 2 y = 2 2 2 2 ∂x v ∂t ∂x v ∂t2

Sumando ´ estas, se obtiene: ∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ2 1 + = 2 2 ∂x ∂x2 v

∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ2 + 2 ∂t ∂t2

⇒

∂ 1 ∂2 (ψ1 + ψ2 ) = 2 2 (ψ1 + ψ2 ), 2 ∂x v ∂t

de manera que (ψ1 + ψ2 ) es tambi´ en una soluci´ on de la ecuaci´ on (1.11)

8


(1.15)

´ 1.2. ONDAS ARMONICAS

En el caso de una onda arm´ onica, esto es equivalente a alterar el argumento de la funci´ on seno en ±2π. Por consiguiente: sin k(x − vt) = sin k[(x ± λ) − vt] = sin[k(x − vt) ± 2π] y as´ı |kλ| = 2π o, ya que k y λ son n´ umeros positivos k = 2π/λ

(1.16)

En forma completamente an´ aloga, se puede examinar el per´ıodo temporal, τ . Esta es la cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador estacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en el tiempo el que es de interés, de manera que: ψ(x, t) = ψ(x, t ± τ )

(1.17)

y sin k(x − vt) = sin k[x − v(t ± τ )] = sin[k(x − vt) ± 2π] Por consiguiente: |kvτ | = 2π Pero todas estas son cantidades positivas y as´ı kvτ = 2π o

(1.18)

2π vτ = 2π λ

de lo cual se sigue que λ (1.19) v El per´ıodo es el n´ umero de unidades de tiempo por onda, el inverso del cual es la frecuencia ν o el n´ umero de ondas por unidad de tiempo. Entonces: τ=

ν≡

1 (ciclos/s o Hertz) τ

y la ecuaci´ on (1.19) queda: v = νλ (m/s)

(1.20)

Hay otras dos cantidades que se usan a menudo en la literatura del movimiento ondulatorio que son la frecuencia angular : ω≡

2π (radianes/s) τ

(1.21)

1 (m−1 ) λ

(1.22)

y el n´ umero de onda: κ≡


9


La longitud de onda, per´ıodo, frecuencia, frecuencia angular, n´ umero de onda y n´ umero de propagaci´ on describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una onda en el espacio y en el tiempo. Estos conceptos se aplican igualmente bien a ondas que no son arm´ onicas siempre que cada perfil de onda esté formado por un patr´ on regularmente repetitivo. Hasta ahora se han definido un n´ umero de cantidades que caracterizan varios aspectos del movimiento ondulatorio, seg´ un lo cual existe un n´ umero equivalente de formulaciones de una onda armónica progresiva. Algunas de las más comunes de éstas son: ψ = A sin k(x ∓ vt) x t ψ = A sin 2π ∓ λ τ ψ = A sin 2π(κx ∓ vt) ψ = A sin(kx ∓ ωt) x ψ = A sin 2πν ∓t v

(1.23) (1.24) (1.25) (1.26)

Debe notarse que todas estas ondas son de extensión infinita, es decir para cualquier valor fijo de t, x var´ıa de −∞ a +∞. Cada onda tiene sólo una frecuencia constante y por consiguiente se dice que es monocrom´ atica. ´ 1.3 SECCION

Fase y Velocidad de Fase Sea la funci´ on de onda armónica de la forma: ψ(x, t) = A sin(kx − ωt) El argumento completo de la función seno se conoce como la fase ϕ de la onda, de manera que: ϕ = (kx − ωt) (1.27) Para x = 0 y t = 0 se verifica: ψ(x, t)x=0 = ψ(0, 0) = 0 t=0

el cual es ciertamente un caso especial. Más generalmente se puede escribir. ψ(x, t) = A sin(kx − ωt + ε)

(1.28)

donde ε es la fase inicial o edad del ´ angulo. Un sentido f´ısico del significado de ε se puede obtener imaginando que se desea producir una onda armónica progresiva en una cuerda tensa. A fin de generar ondas armónicas, la mano que sostiene la cuerda tendr´ıa que moverse de tal forma que su desplazamiento vertical y fuese proporcional al negativo de su aceleración, es decir, el movimiento es arm´ onico simple. Pero en x = 0 y t = 0 la mano ciertamente no necesita estar en el eje x cuando est´ a a punto de moverse hacia abajo. Podr´ıa, por supuesto, comenzar su movimiento en un balanceo hacia arriba, en cuyo caso ε = π. En este u ´ltimo caso: ψ(x, t) = y(x, t) = A sin(kx − ωt + π) 10


1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE

el cual es equivalente a: ψ(x, t) = A sin(ωt − kx) o

π ψ(x, t) = A cos ωt − kx − 2 La edad del ´ angulo es entonces justamente la contribución constante a la fase que se origina en el generador y es independiente de qué tan distante en el espacio y qué tan lejos en el tiempo ha viajado la onda. La fase de una perturbaci´ on como ψ(x, t) dada por la ecuación (1.28) es: ϕ(x, t) = kx − ωt + ε

(1.29)

y es obviamente una funci´ on de x y t. En efecto, la derivada parcial de ϕ con respecto a t, manteniendo x constante, es la rapidez de cambio de la fase con el tiempo: ∂ϕ =ω ∂t x

(1.30)

Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia, manteniendo t constante, es: ∂ϕ ∂x = k t

(1.31)

Estas dos expresiones deben traer a la mente una ecuación de la teor´ıa de derivadas parciales, una usada muy frecuentemente en termodinámica, o sea:

∂x ∂t

= ϕ

−(∂ϕ/∂t)x (∂ϕ/∂x)t

(1.32)

El término de la izquierda representa la velocidad de propagación de un punto de fase constante. Escogiendo cualquier punto del perfil de la onda, al moverse la onda en el espacio, el desplazamiento y del punto permanece constante. Ya que la u ńica variable en la funci´ on de la onda armónica es la fase, ella también debe ser constante. Esto es, la fase está fija en un valor tal que y permanece constante correspondiendo al punto seleccionado. El punto se mueve junto con el perfil con la velocidad v y as´ı también lo hace la condición de fase constante. Tomando la derivada parcial de ϕ apropiada como se da por el ejemplo en la ecuaci´ on (1.29) y sustituyéndola en la ecuaci´ on (1.32) se obtiene:

∂x ∂t

=± ϕ

ω = ±v k

(1.33)

Esta es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce com´ unmente como la velocidad de fase. La velocidad de fase lleva un signo positivo cuando la onda se mueve en la direcci´ on en que aumenta x y negativo en la dirección en que Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

11


disminuye x. Esto concuerda con el desarrollo de v como la magnitud de la velocidad de la onda. Considérese la idea de la propagación de fase constante y cómo se relaciona con cualquiera de las ecuaciones de onda armónica, d´ıgase: ψ = A sin k(x ∓ vt) con ϕ = k(x − vt) = constante; cuando t aumenta, x debe aumentar. A´ un si x < 0 tal que ϕ < 0, x debe aumentar, es decir, se hace menos negativa. Aqu´ı, entonces, la condición de fase constante se mueve en la dirección en que aumenta x. Para: ϕ = k(x − vt) = constante cuando t aumenta, x puede ser positiva y decreciente o negativa y haciéndose m´ as negativa. En cualquier caso, la condición de fase constante se mueve en la direcci´ on en que disminuye x. ......................................................................... 1.3.1 Al desarrollar el an´ alisis de los fenómenos ondulatorios se hará claro que las Representaci´ onfunciones seno y coseno que describen las ondas arm´ onicas son poco adecuadas Compleja para la mayor´ıa de los prop´ ositos. Al hacerse más complicadas las expresiones de las que se est´ an formulando, las manipulaciones trigonométricas que se requieren Ondas para enfrentarse con ellas se hacen a´ un menos atractivas. La representación de Unidimenondas con n´ umeros complejos ofrece una descripción alternativa que es matesionales

máticamente m´ as simple de trabajar. En efecto, la forma exponencial compleja de la ecuaci´ on de onda se usa ampliamente en mecánica clásica y cuántica, y también en ´ optica. El n´ umero complejo z tiene la forma: z = x + iy

(1.34)

√

donde i = −1. Las partes real e imaginaria de z son respectivamente x e y donde ambas, x e y, son n´ umeros reales. En términos de las coordenadas polares (r, θ), se tiene: ( x = r cos θ y = r sin θ La f´ ormula de Euler :

2

eiθ = cos θ + i sin θ permite escribir: z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, donde r es la magnitud de z, y θ es el ´ angulo de fase de z, en radianes. La magnitud a menudo se denota por |z| y se conoce como el m´ odulo o valor absoluto del n´ umero complejo. El complejo conjugado, indicado por un aster´ısco, se encuentra reemplazando i donde quiera que aparezca, por −i, tal que:  ∗ ∗  z = (x + iy) = x − iy ∗ z = r(cos θ − i sin θ)   ∗ z = re−iθ 2 Si se tiene cualquier duda acerca de esta identidad, se toma la diferencial de z = cos θ + i sin θ donde r = 1. Esto da dz = izdθ, y una integraci´ on da z = eiθ .

12


1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE

Las operaciones de adici´ on y sustracción son inmediatas: z1 ± z2 = (x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) y por consiguiente: z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 ) Obsérvese que este proceso es muy similar a la adición de vectores por componentes. La multiplicaci´ on y la divisi´ on se expresan de manera más simple en forma polar: z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) y

z1 r1 = ei(θ1 θ2 ) z2 r2

Vale la pena en este punto mencionar un n´ umero de hechos u ´tiles, que serán de valor en los c´ alculos futuros. Se deduce fácilmente de las fórmulas de adición trigonométricas ordinarias que: ez1 +z2 = ez1 ez2 donde, por lo tanto, si z1 = x y z2 = iy, ez = ex+iy = ex eiy . El módulo de una cantidad compleja está dado por: √ |z| ≡ zz ∗ tal que: |ez | = ex . En vista de que cos 2π = 1 y sin 2π = 0, ei2π = 1; similarmente:

π

eiπ = e−iπ = −1 y ei 2 = i La funci´ on ez es peri´ odica, es decir, se repite a s´ı misma cada i2π: ez+i2π = ez ei2π = ez . Cualquier n´ umero complejo se puede representar como la suma de una parte real Re(z) y una parte imaginaria Im(z): z = Re(z) + iIm(z) tal que: Re(z) =

1 1 (z + z ∗ ) y Im(z) = (z − z ∗ ). 2 2i

De la forma polar donde: Re(z) = r cos θ y Im(z) = r sin θ, Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

13


es claro que cualquier parte se puede escoger para describir una onda armónica. Se acostumbra, sin embargo, escoger la parte real en cuyo caso una onda arm´ onica se escribe como: h i ψ(x, t) = Re Aei(ωt−kx+ε) , (1.35) la cual es, por supuesto, equivalente a: ψ(x, t) = A cos(ωt − kx + ε). De aqu´ı en adelante, siempre que sea conveniente se escribirá la función de onda como: ψ(x, t) = Aei(ωt−kx+ε) = Aeiϕ , (1.36) y se utilizar´ a esta forma compleja en los cálculos requeridos. Esto se hace a fin de sacarle partido a la facilidad de manejo de las exponenciales complejas. Sólo después de llegar a un resultado final, y solamente si se desea representar la onda verdadera, se necesita tomar la parte real. De acuerdo con esto se ha hecho muy com´ un escribir ψ(x, t), como la ecuación (1.36), donde se entiende que la onda real es la parte real. ´ 1.4 SECCION

Ondas Planas La onda plana es quizá el ejemplo más simple de una onda tridimensional. Existe en un instante dado, cuando todas las superficies sobre las cuales una perturbaci´ on tiene fase constante forman un conjunto de planos, cada uno generalmente perpendicular a la dirección de propagación. Hay razones prácticas para estudiar este tipo de perturbaciones, una de las cuales es que usando sistemas ´ opticos se pueden producir fácilmente luz semejante a ondas planas. La expresi´ on matemática para un plano perpendicular a un vector dado ~k y que pasa a través de alg´ un punto (x0 , y0 , z0 ) es bastante fácil de deducir. El vector de posición, en términos de sus componentes en coordenadas cartesianas, es: ~r ≡ (x, y, z). Comienza en alg´ un origen arbitrario O y termina en el punto (x, y, z) el cual puede, por el momento, estar en cualquier lugar en el espacio. Poniendo: (~r − r~0 ) · ~k = 0

(1.37)

se fuerza al vector (~r − r~0 ) a barrer un plano perpendicular a ~k, cuando su punto extremo (x, y, z) toma todos los valores permitidos. Con: ~k ≡ (kx , ky , kz ).

(1.38)

la ecuaci´ on (1.37) se puede expresar en la forma: kx (x − x0 ) + ky (y − y0 ) + kz (z − z0 ) = 0 14


(1.39)

1.4. ONDAS PLANAS

o como: kx x + ky y + kz z = a

(1.40)

a = kx x0 + ky y0 + kz z0 = constante.

(1.41)

donde:

La forma m´ as concisa de la ecuaci´ on de un plano perpendicular a ~k es entonces: ~k · ~r = a = constante

(1.42)

El plano es el lugar geométrico de todos los puntos cuya proyección en la dirección ~k es una constante. Se puede ahora construir un conjunto de planos sobre los cuales ψ(~r) var´ıa senoidalmente, es decir: ψ (~r) = A sin ~k · ~r ψ (~r) = A cos ~k · ~r

(1.43) (1.44)

o ~

ψ (~r) = Aeik·~r

(1.45)

Para cada una de estas expresiones ψ (~r) es constante sobre cada plano definido por ~k · ~r = constante. Como se manejan funciones armónicas, se deben repetir a s´ı mismas en el espacio de un desplazamiento de λ en la dirección de ~k. Si no se ponen l´ımites a ~r, los planos son de extensión infinita y la perturbación ocupa claramente todo el espacio. La naturaleza espacialmente repetitiva de estas funciones se puede expresar por: λ~k ψ (~r) = ψ ~r + k

! (1.46)

donde k es la mangitud de ~k y ~k/k es un vector unitario paralelo a él. En la forma exponencial, equivale a: ~

~

~

~

~

Aeik·~r = Aeik·(~r+λk/k) = Aeik·~r eiλk . Para que sea cierto, se debe tener: ~

eiλk = 1 = ei2π ; por consiguiente: λk = 2π Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

15


y k=

2π . λ

El vector ~k, cuya magnitud es el n´ umero de propagaci´ on k (ya introducido), se llama el vector propagaci´ on. En cualquier punto fijo en el espacio donde ~k · ~r es constante, la fase es constante y también lo es ψ (~r); en resumen, los planos están inmóviles. Para hacer que las cosas se muevan, ψ (~r) debe hacerse variar en el tiempo, algo que se puede lograr introduciendo la dependencia en el tiempo en una forma análoga a la de una onda unidimensional. Aqu´ı entonces: ~

ψ (~r, t) = Aei(k·~r+ωt)

(1.47)

con A, ω y k constantes. A medida que esta perturbación viaja a lo largo de la direcci´ on ~k se le puede asignar una fase correspondiente en cada punto en el espacio y en el tiempo. En cualquier instante, las superficies que unen todos los puntos de igual fase se conocen como frentes de onda o superficies de onda. Obsérvese que la funci´ on de onda tendrá un valor constante sobre el frente de onda solamente si la amplitud A tiene un valor fijo en el frente. En general, A es una funci´ on de ~r y puede no ser constante sobre todo el espacio o ni siquiera sobre un frente de onda. En el u ´ltimo caso, se dice que la onda es inhomogénea; pero a efectos pr´ acticos no interesa este tipo de perturbación, a menos que se consideren haces de luz láser y reflexión total interna. La velocidad de fase de una onda plana, dada por la ecuación (1.47) es equivalente a la velocidad de propagación del frente de onda. La componente escalar de ~r en la direcci´ on de ~k es rk . La perturbación en un frente de onda es constante, de manera que después de un tiempo dt, si el frente se mueve a lo largo de ~k una distancia drk , se debe tener: ψ (~r, t) = ψ (rk + drk , t + dt) = ψ (rk , t) .

(1.48)

En forma exponencial, o sea: ~

Aei(k·~r∓ωt) = Aei(krk +kdrk ∓ωt∓ωdt) = Aei(krk ∓ωt) ; por consiguiente: kdrk = ±ωdt y la magnitud de la velocidad de la onda drk /dt es: ω drk = ± = ±v dt k

(1.49)

Se podr´ıa haber anticipado este resultado girando el sistema coordenado de tal forma que ~k fuese paralelo al eje x. Para esa orientación: ψ (~r, t) = Aei(kx∓ωt) ya que ~k · ~r = krk = kx . La onda hab´ıa sido as´ı reducida efectivamente a una perturbaci´ on unidimensional ya discutida anteriormente. 16


´ DIFERENCIAL DE ONDA TRIDIMENSIONAL 1.5. ECUACION

La onda arm´ onica plana a menudo se escribe en coordenadas Cartesianas como: ψ(x, y, z, t) = Aei(kx x+ky y+kz z∓ωt)

(1.50)

o ~

ψ(x, y, z, t) = Aei[k(αx+βy+γz∓ωt)]

(1.51)

donde α, β y γ son los cosenos directores de ~k. En términos de sus componentes, la magnitud del vector de propagación está dado por: q ~ kx2 + ky2 + kz2 k = k =

(1.52)

α2 + β 2 + γ 2 = 1.

(1.53)

y por supuesto:

Se ha examinado ondas planas dando énfasis particular a las ondas armónicas. El significado especial de estas ondas es doble: primero, f´ısicamente, las ondas senoidales se pueden generar en forma relativamente simple usando alguna forma de oscilador arm´ onico; segundo, cualquier onda tridimensional se puede expresar como una combinación de ondas planas, cada una con distinta amplitud y direcci´ on de propagaci´ on. Se puede ciertamente imaginar una serie de ondas planas como aquellas donde la perturbaci´ on var´ıa en alguna forma que no es armónica. Las ondas armónicas planas son, en efecto, un caso especial de una solución más general de ondas planas. ´ 1.5 SECCION

Ecuaci´ on Diferencial de Onda Tridimensional De todas las ondas tridimensionales, solamente la onda plana (armónica o no) se mueve a través del espacio con un perfil que no cambia. Entonces es claro que la idea seg´ un la cual una onda es la de propagación de una perturbación cuyo perfil no se altera, es algo defectuosa. Esta dificultad se puede vencer definiendo una onda como cualquier solución de la ecuación diferencial de onda. Obviamente, lo que se necesita ahora es una ecuación de onda tridimensional. Esta deber´ıa ser bastante f´ acil de obtener, ya que se puede adivinar su forma generalizando la expresi´ on unidimensional (1.11). En coordenadas Cartesianas, las variables de posici´ on x, y y z deben ciertamente aparecer simétricamente 3 en la ecuaci´ on tridimensional, un hecho que se debe recordar. La función de onda ψ(x, y, z, t) dada por la ecuaci´ on (1.51) es una solución particular de la ecuación 3 No hay distinci´ on caracter´ıstica para ninguno de los ejes en coordenadas Cartesianas. Se debe por lo tanto se capaz de cambiar lo nombres de, digamos, x a z, y a x y z a y (manteniendo el sistema derecho sin alterar la ecuaci´ on diferencial de onda.


17


diferencial que se est´ a buscando. En analog´ıa con la deducción de la ecuación (1.11) se calculan las siguientes derivadas parciales de la ecuación (1.51): ∂2ψ = −α2 k 2 ψ ∂x2 ∂2ψ = −β 2 k 2 ψ ∂y 2 ∂2ψ = −γ 2 k 2 ψ ∂z 2

(1.54) (1.55) (1.56)

y ∂2ψ = −ω 2 ψ ∂t2

(1.57)

Sumando las tres derivadas espaciales y utilizando el hecho de que α2 +β 2 +γ 2 = 1 se obtiene: ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = −k 2 ψ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(1.58)

Combinando esto con la derivada respecto del tiempo (1.57) y recordando que v = ω/k, se llega a: 1 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t

(1.59)

la ecuaci´ on diferencial de onda tridimensional. Obsérvese que x, y, y z aparecen simétricamente y la forma es precisamente la que se esperar´ıa de la generalizaci´ on de la ecuaci´ on (1.11). La ecuaci´ on (1.59) se describe generalmente en una forma más concisa introduciendo el operador Laplaciano: ∇2 ≡

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(1.60)

de donde queda simplemente: ∇2 ψ =

1 ∂2ψ v 2 ∂t2

(1.61)

Ahora que se tiene esta ecuación, que es la más importante, obsérvese de nuevo la onda plana y se vea cómo se adec´ ua al esquema de cosas. Una función de la forma: ψ(x, y, z, t) = Aeik(αx+βy+γz∓vt)

(1.62)

es equivalente a la ecuación (1.51) y como tal, es una solución de la ecuación (1.61). Se puede demostrar también que: ψ(x, y, z, t) = f (αx + βy + γz − vt) 18


(1.63)

´ 1.6. ONDAS ESFERICAS

y ψ(x, y, z, t) = g(αx + βy + γz + vt)

(1.64)

son soluciones de ondas planas de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f y g, que son dos veces diferenciables, son arbitrarias y ciertamente no necesitan ser armónicas. Una combinaci´ on lineal de estas es también una solución y se puede escribir esto de una manera ligeramente diferente como: ψ (~r, t) = C1 f ~r · ~k/k − vt + C2 g ~r · ~k/k + vt

(1.65)

donde C1 y C2 son constantes. Las coordenadas Cartesianas son particularmente adecuadas para describir ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones f´ısicas, se puede frecuentemente hacer mejor uso de las simetr´ıas existentes por medio de otras representaciones coordenadas. ´ 1.6 SECCION

Ondas Esf´ ericas Imag´ınese una peque˜ na esfera pulsátil rodeada por un fluido. Al contraerse y expandirse la fuente, genera variaciones en la presión que se propagan hacia afuera como ondas esféricas. Considérese ahora una fuente puntual ideal de luz. La radiación que emana de ella fluye radialmente hacia afuera, uniformemente en todas direcciones. Se dice que la fuente es isotr´ opica y los frentes de onda resultantes son de nuevo esferas concéntricas con di´ ametro creciente cuando se expanden en el espacio que las rodea. La simetr´ıa obvia de los frentes de onda sugiere que podr´ıa ser más conveniente describirlos matem´ aticamente, en términos de coordenadas polares esféricas. En esta representaci´ on el operador Laplaciano es: 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∇2 ≡ 2 r2 + 2 sin θ + 2 2 (1.66) r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ donde r, θ y φ se definen por: x = r sin θ cos φ,

y = r sin θ sin φ,

z = r cos θ.

Recordando que se est´ a buscando una descripción de las ondas esféricas, de ondas que son esféricamente simétricas, es decir, aquellas caracterizadas por el hecho de que no dependen de θ ni de φ de modo que: ψ (~r) = ψ(r, θ, φ) = ψ(r).

(1.67)

Entonces el Laplaciano de ψ(r) es simplemente: ∇2 ψ(r) =

1 ∂ r2 ∂r

r2


∂ψ ∂r

(1.68)

19


Este resultado se puede obtener sin estar familiarizados con la ecuación (1.66). Comenzando con la forma cartesiana del Laplaciano (1.60), se opera sobre la funci´ on de onda ψ(r) simétricamente esférica y se convierte cada término a coordenadas polares. Examinando solamente la dependencia de x, se tiene: ∂ψ ∂r ∂ψ = ∂x ∂r ∂x y ∂2ψ ∂2ψ = ∂x2 ∂r2

∂r ∂x

2 +

∂ψ ∂r2 ∂r ∂x2

ya que: ψ (~r) = ψ(r). Usando: x2 + y 2 + z 2 = r2 se tiene: ∂r x = , ∂x r

∂2r 1 ∂ ∂ = (x) + x 2 ∂x r ∂x ∂x

1 1 x2 = 1− 2 r r r

y ∂2ψ x2 ∂ 2 ψ 1 = 2 + 2 ∂x r ∂r2 r

1−

x2 r2

∂ψ ∂r

Ahora, teniendo ∂ 2 ψ/∂x2 , se forma ∂ 2 ψ/∂y 2 y ∂ 2 ψ/∂z 2 , y sumando se obtiene: ∇2 ψ(r) =

∂ 2 ψ 2 ∂ψ + , ∂r2 r ∂r

la cual es equivalente a la ecuación (1.68). Este resultado se puede expresar en forma ligeramente diferente: ∇2 ψ =

1 ∂2 (rψ) r ∂r2

(1.69)

La ecuaci´ on diferencial de onda (1.61) se puede escribir entonces como: 1 ∂2 1 ∂2ψ (rψ) = r ∂r2 v 2 ∂t2

(1.70)

Multiplicando ambos lados por r, se obtiene: ∂2 1 ∂2 (rψ) = (rψ) ∂r2 v 2 ∂t2

(1.71)

Obsérvese que esta expresión es precisamente la ecuación diferencial de onda unidimensional (1.11), donde la variable espacial es r y la función de onda es el producto (rψ). La solución de la ecuación (1.71) es entonces simplemente: rψ(r, t) = f (r − vt) o ψ(r, t) = 20

f (r − vt) r


(1.72)

´ 1.6. ONDAS ESFERICAS

Esto representa una onda esférica que progresa radialmente hacia afuera desde el origen, con una velocidad constante v, y que tiene una forma funcional arbitraria f . Otra soluci´ on est´ a dada por: ψ(r, t) =

g(r + vt) r

y en este caso la onda est´ a convergiendo hacia el origen. 4 El hecho de que esta expresi´ on falla en r = 0 es de poca importancia práctica. Un caso especial de la soluci´ on general: ψ(r, t) = C1

f (r − vt) g(r + vt) + C2 . r r

(1.73)

es la onda esférica arm´ onica ψ(r, t) =

A cos k(r ∓ vt) r

(1.74)

o A ik(r∓vt) ψ(r, t) = e r

(1.75)

donde la constante A se llama la intensidad de la fuente. Para cualquier valor fijo del tiempo, esto representa una agrupación de esferas concéntricas que llenan todo el espacio. Cada frente de onda, o superficie de fase constante está dado por: kr = constante Obsérvese que la amplitud de cualquier onda esférica es una función de r, donde el término r−1 sirve como un factor de atenuación. Al contrario que una onda plana, una onda esférica disminuye en amplitud, con lo cual cambia su perfil, cuando se expande y se aleja del origen. 5 Un pulso de onda esférica tiene la misma extensi´ on en el espacio en cualquier punto a lo largo de cualquier radio r, es decir, el ancho del pulso a lo largo del eje r es una constante. Se podr´ıa haber considerado una onda arm´ onica, en lugar de un pulso. En este caso, la perturbaci´ on senoidal estar´ıa acotada por las curvas: ψ=

A r

y

ψ=−

A r

La onda esférica que viaja hacia afuera emanada de una fuente puntual, y la onda que viaja hacia adentro convergiendo a un punto, son ciertamente idealizaciones. En realidad la luz solamente se aproxima a ondas esféricas como también s´ olo se aproxima a ondas planas. Cuando un frente de onda esférica se propaga hacia afuera, su radio aumenta. Suficientemente lejos de la fuente, una peque˜ na área del frente de onda se acercar´ a mucho a una porci´ on de una onda plana. 4 Otras 5 El

soluciones m´ as complicadas existen cuando la onda no es esf´ ericamente sim´ etrica. factor de la atenuaci´ on es una consecuencia directa de la conservaci´ on de energ´ıa.


21

CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO ´ 1.7 SECCION

Ondas Cil´ındricas Ahora se examinar´ a brevemente otro frente de onda idealizado, el cilindro circular infinito. Desafortunadamente un tratamiento matemático preciso es demasido complicado para hacerlo aqu´ı. Sin embargo se bosquejará el el procedimiento, de tal forma que la función de onda resultante no evoque misticismo. El Laplaciano de ψ en coordenadas cil´ındricas es: ∇2 ψ =

1 ∂ r ∂r

r

∂ψ ∂r

+

1 ∂2ψ ∂2ψ + r2 ∂θ2 ∂z 2

(1.76)

donde: x = r cos θ,

y = r sin θ,

y

z = z.

El caso sencillo de simetr´ıa cil´ındrica requiere que: ψ (~r) = ψ(r, θ, z) = ψ(r) La independencia de θ significa que un plano perpendicular al eje z intersectará el frente de onda en un c´ırculo, el cual puede variar en r, para diferentes valores de z. Adem´ as, la independencia de z restringe el frente de onda a un cilindro circular centrado en el eje z y que tiene longitud infinita. La ecuación diferencial de onda es entonces: 1 ∂ ∂ψ 1 ∂2ψ r = 2 2 (1.77) r ∂r ∂r v ∂t Se est´ a buscando una expresión para ψ(r), una soluci´ on de esta ecuación. Después de un poco de manipulación en la cual la dependencia del tiempo se separa, la ecuaci´ on (1.77) se convierte en algo que se llama la ecuación de Bessel. Las soluciones de la ecuaci´ on de Bessel para grandes valores de r se aproximan asint´ oticamente a formas trigonométricas simples. Finalmente, entonces cuando r es suficientemente grande, se puede escribir: A ψ(r) ≈ √ eik(r∓vt) r A ψ(r) ≈ √ cos k(r ∓ vt). r

(1.78)

Esto representa un conjunto de cilindros circulares coaxiales que llenan todo el espacio y que viajan hacia una fuente lineal infinita o se alejan de ella. No se pueden ahora encontrar soluciones en términos de funciones arbitrarias como las hab´ıa tanto para las ondas esféricas (1.73) como para las planas (1.65). Una onda plana que choca en la parte posterior de una pantalla opaca plana y que contiene una rendija delgada y larga, producirá una emisión, por esa rendija, de una perturbación parecida a una onda cil´ındrica. Se ha hecho un uso extensivo de esta técnica para generar ondas luminosas. Recuérdese que la onda real, como quiera que sea generada, solamente se aproxima a la representación matem´ atica idealizada. 22


1.8. ONDAS ESCALARES Y VECTORIALES ´ 1.8 SECCION

Ondas Escalares y Vectoriales Hay dos clasificaciones generales de ondas, longitudinales y transversales. La distinci´ on entre las dos proviene de una diferencia entre la dirección a lo largo de la cual ocurre la perturbaci´ on y la dirección ~k/k, en la cual se propaga la perturbaci´ on. Esto es m´ as f´ acil de visualizar cuando se trata de un medio material deformable el´ astico. Una onda longitudinal ocurre cuando las part´ıculas del medio se desplazan de sus posiciones de equilibrio, en una dirección paralela a ~k/k. Se origina una onda transversal cuando la perturbación, en este caso el desplazamiento del medio, es perpendicular a la dirección de propagación. En el caso de las ondas transversales, el movimiento ondulatorio está confinado a un plano fijo en el espacio llamado plano de vibraci´ on y por lo tanto se dice que la onda es linealmente polarizada o polarizada plana. A fin de determinar por completo la onda, se debe ahora especificar la orientación del plano de vibración, y también la direcci´ on de propagación. Esto es equivalente a resolver la perturbaci´ on en componentes a lo largo de dos ejes mutuamente perpendiculares ambos normales a la direcci´ on de propagación. El ángulo en el cual está inclinado el plano de vibraci´ on es constante, de modo que en cualquier tiempo las componentes difieren de ψ por una constante multiplicativa y ambas son por lo tanto soluciones de la ecuaci´ on diferencial de onda. Se presenta un hecho muy significativo: la funci´ on de onda, de una onda transversal, se comporta en forma parecida a una cantidad vectorial. Con la onda moviéndose a lo largo del eje z se puede escribir: ~ t) = ψx (z, t)~i + ψy (z, t)~j, ψ(z, (1.79) donde, por supuesto, ~i, ~j y ~k son vectores base unitarios en coordenadas cartesianas. Una onda, plana arm´ onica escalar está dada por la expresión: ~ (~r, t) = Aei(~k·~r∓ωt) . ψ Una onda plana arm´ onica polarizada linealmente está dada por el vector de onda: ~ (~r, t) = Aei(~k·~r∓ωt) . ψ (1.80) o en coordenadas cartesianas por: ~ y, z, t) = Ax~i + Ay~j + Az~k ei(kx x+ky y+kz z∓ωt) ψ(x,

(1.81)

Para este caso donde el plano de vibración está fijo en el espacio, también lo es ~ yA ~ Recuérdese que ψ ~ difieren solamente por un escalar y, la orientaci´ on de A. como tal, son paralelos el uno al otro y perpendiculares a ~k/k. La luz es una onda transversal y es una apreciación de su naturaleza vectorial de gran importancia. Los fen´ omenos de polarizaci´ on óptica se pueden tratar fácilmente en términos de este tipo de visualización ondulatoria vectorial. Para luz no polarizada, donde el vector de onda cambia de direcci´ on al azar y rápidamente, las aproximaciones escalares se hacen u ´tiles, como en las teor´ıas de la interferencia y la difracci´ on.


23


24


CAPÍTULO 2

Teor´ıa Electromagn´ etica, Fotones y Luz Índice General 2.1. Leyes B´ asicas de la Teor´ıa Electromagn´ etica . . . . 2.1.1. Ley de Inducci´ on de Faraday . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ley de Gauss Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ley de Gauss Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ondas Electromagn´ eticas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ondas Electromagn´ eticas en Medios No Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Dispersi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Propagaci´ on de la Luz a través de un Medio Dieléctrico 2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagn´ eticas . . . . . . . 2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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26 26 27 28 28 29 31 35 36 41 43 43

´ CAPÍTULO 2. TEORÍA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ ´ 2.1 SECCION

Leyes B´ asicas de la Teor´ıa Electromagn´ etica El objetivo de esta sección es el de revisar y desarrollar, aunque sea brevemente, algunas de las ideas necesarias para apreciar el concepto de ondas electromagnéticas. Se sabe por experimentos que las cargas, aunque estén separadas en el espacio, experimenta una interacción mutua. Como una posible explicación se podr´ıa especular que cada carga emite (y absorbe) un flujo de part´ıculas indetectables (fotones virtuales). El flujo de estas part´ıculas entre las cargas se puede considerar como una forma de interacción. Alternativamente, se puede tomar el punto de vista cl´ asico e imaginar que cada carga está rodeada de algo llamado un campo eléctrico. Entonces se necesita suponer solamente que cada carga interacciona directamente con el campo eléctrico en el que está sumergido. Entonces, si una ~ en la posición de la carga q experimenta una fuerza F~E , el campo eléctrico E ~ ~ carga est´ a definido por FE = q E. Además se observa que una carga móvil puede experimentar otra fuerza F~M la cual es proporcional a su velocidad ~v . Entonces ~ tal que se tiene que definir a´ un otro campo, a saber la inducci´ on magnética B, ~ ~ ~ ~ FM = q~v × B. Si ambas fuerzas FE y FM ocurren simultáneamente se dice que la carga se mueve a través de una región ocupada tanto por campos eléctricos ~ + q~v × B. ~ como magnéticos donde F~ = q E Hay otras varias observaciones que se pueden interpretar en términos de estos campos y al hacerlo as´ı se puede obtener una mejor idea de las propiedades ~ y a B. ~ Como se verá, los campos eléctricos f´ısicas que se deben atribuir a E son generados tanto por cargas eléctricas como por campos magnéticos variables con el tiempo. Similarmente, los campos magnéticos son generados por corrientes eléctricas y por campos eléctricos variables en el tiempo. Esta interdependencia ~ y de B ~ es el punto clave en la descripción de la luz y su elaboración es la de E motivaci´ on para mucho de lo que sigue. ......................................................................... 2.1.1 Ley de Inducci´ on de Faraday

Michael Faraday hizo numerosas e importantes contribuciones a la teor´ıa electromagnética. Una de las más significativas fue su descubrimiento de que un flujo magnético variable en el tiempo, pasando a través de un circuito conductor cerrado, da como resultado la generación de una corriente alrededor de ese ~ circuito. El flujo de la inducción magnética (o densidad de flujo magnético B) a través de un ´ area abierta A, limitada por el circuito conductor está dado por: ΦB =

x

~ ~ · dS. B

(2.1)

A

La fuerza electromotriz inducida o f.e.m. producida alrededor del circuito es entonces:

f.e.m. = − 26

dΦB . dt


(2.2)

´ ´ 2.1. LEYES BASICAS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNETICA

Sin embargo, no debe comprometerse demasiado con la imagen de alambres, corriente y f.e.m. El interés presente son los campos eléctricos y magnéticos mismos. En efecto, la f.e.m. existe solamente como un resultado de la presencia de un campo eléctrico dado por: I

~ ~ · dL, E

f.e.m. =

(2.3)

C

tomada alrededor de la curva cerrada C, que corresponde al circuito. Igualando las ecuaciones (2.2) y (2.3) y haciendo uso de la ecuación (2.1) se obtiene: x ~ ~ =−d ~ · dI ~ · dS. B E dt C

I

(2.4)

A

Se comenz´ o esta discusi´ on examinando un circuito conductor y se ha llegado a la ecuaci´ on (2.4); esta expresi´ on, excepto por la trayectoria C, no tiene referencia al circuito f´ısico. En efecto, la trayectoria se puede escoger muy arbitrariamente y no necesita estar dentro, o cerca de ning´ un conductor. El campo eléctrico en la ecuaci´ on (2.4) no aparece directamente por la presencia de cargas eléctricas sino del campo magnético variable con el tiempo. Sin cargas que act´ uen como fuentes o sumideros, las l´ıneas de campo se cierran, formando circuitos. Para el caso en el cual la trayectoria est´ a fija en el espacio y sin cambiar de forma, la ley de inducci´ on (2.4) se puede reescribir como: I

~ =− ~ · dI E

C

x ∂B ~ · dS. ∂t

(2.5)

A

Esta, es en s´ı misma una expresi´ on bastante fascinante ya que indica que el campo magnético variable en el tiempo tendrá un campo eléctrico asociado con él. ......................................................................... 2.1.2 Ley de Gauss El´ ectrica

Otra de las leyes fundamentales del electromagnetismo recibe su nombre del matem´ atico alem´ an Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Ella relaciona el flujo de la intensidad de campo eléctrico a través de una superficie cerrada A: ΦE =

{

~ ~ · dS E

(2.6)

A

con la carga total encerrada. La integral doble lleva un c´ırculo como recordatorio ~ está en la dirección de una normal de que la superficie est´ a cerrada. El vector dS hacia afuera. Si el volumen encerrado por A es V , y si dentro de ella hay una distribuci´ on continua de carga ρ, la ley de Gauss es entonces: { A

y ~ =1 ~ · dS E ρdV

(2.7)

V


27

´ CAPÍTULO 2. TEORÍA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

La integral a la izquierda es la diferencia entre la cantidad de flujo hacia adentro y hacia afuera de cualquier superficie cerrada A. Si hay una diferencia, será debida a la presencia de fuentes o sumideros del campo eléctrico dentro de A. Claramente entonces, la integral debe ser proporcional a la carga total encerrada. La constante se conoce como la permitividad eléctrica del medio. Para el caso especial del vac´ıo, la permitividad del espacio libre está dada por 0 = 8,8542 × 10−12 C2 N−1 m−2 . La permitividad de un material se puede expresar en términos de 0 como: ~ e 0 , ~ = K

(2.8)

~ e , la constante dieléctrica (o permitividad relativa), es una cantidad sin donde K dimensiones, y es la misma para todos los sistemas de unidades. El interés en ~ e anticipa el hecho de que la permitividad está relacionada con la velocidad K de la luz en materiales dieléctricos, como vidrio, cuarzo, etc. ......................................................................... 2.1.3 Ley de Gauss Magn´ etica

No se conoce una contraparte magnética de la carga eléctrica, es decir, nunca se han encontrado de manera aislada polos magnéticos, aunque se hayan observado ampliamente incluso en muestras del suelo lunar. A diferencia del ~ no diverge o converge hacia algucampo eléctrico, la inducción magnética B na clase de carga magnética (una fuerza monopolar o una ca´ıda). Los campos de inducci´ on magnética se pueden describir en función de distribución de corrientes. Realmente, se puede considerar un magneto elemental como si fuera ~ son continuas y cerradas. una peque˜ na corriente circular donde las l´ıneas de B Cualquier superficie cerrada en una región de campo magnético podr´ıa tener ~ entrando y saliendo de ésta. Esta sientonces un n´ umero igual de l´ıneas de B tuaci´ on se produce por la ausencia de monopolos en el volumen cerrado. el flujo de inducci´ on magnética ΦB a través de dicha superficie es cero; se tiene entonces el equivalente magnético de la ley de Gauss: { ~ =0 ~ · dS ΦB = B (2.9) A

......................................................................... 2.1.4 Ley Circuital de Ampere

Otra ecuaci´ on que será de gran interés se debe a André Marie Ampère (1775~ tan1836). Se conoce como la ley circuital y relaciona una l´ınea integral de B gente a una curva cerrada C, con la corriente total i que pasa dentro de los confines de C: I x ~ =µ ~ = µi ~ · dI B J~ · dS (2.10) C

A

La superficie abierta A está limitada por C, y J es la corriente por unidad de ´ area. La cantidad µ se llama la permeabilidad del medio particular. Para el vac´ıo µ = µ0 (la permeabilidad del espacio libre), que se define como 4π × 10−7 N s2 C−2 .

Como en la ecuaci´ on (2.8): µ = Km µ0 28


(2.11)

´ ´ 2.1. LEYES BASICAS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNETICA

donde Km es la permeabilidad relativa sin dimensiones. La ecuaci´ on (2.10), aunque a menudo es adecuada, no es la verdad completa. Las cargas m´ oviles no son la u ńica fuente del campo magnético. Esto se evidencia por el hecho de que mientras se está cargando o descargando un con~ en la región entre sus placas. Este campo densador, se puede medir un campo B es indistinguible del que rodea los alambres aun cuando ninguna corriente en realidad atraviesa el condensador. Obsérvese, sin embargo, que si A es el área de cada placa y Q la carga en ella: E=

Q A

Cuando la carga var´ıa, el campo eléctrico cambia y:

∂E i = ∂t A

es efectivamente una densidad de corriente. James C. Maxwell supuso la existencia de tal mecanismo, al que llamó densidad de corriente de desplazamiento, definida por: ~ ∂E J~D = . ∂t

(2.12)

La reformulaci´ on de la ley de Ampere, como: I

~ =µ ~ · dI B

C

x A

~ ∂E J~ + ∂t

! ~ · dS

(2.13)

fue una de las contribuciones m´ as grandes de Maxwell. Aclara que aun cuando ~ variable en el tiempo estará acompa˜ ~ J~ = 0, un campo E nado por un campo B. ......................................................................... 2.1.5 Ecuaciones de Maxwell

El conjunto de expresiones integrales dadas por las ecuaciones (2.5), (2.7), (2.9) y (2.13) han llegado a conocerse como las ecuaciones de Maxwell. Recuérdese que estas son generalizaciones de resultados experimentales. Esta formulación muy simple de las ecuaciones de Maxwell gobierna el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos en el espacio libre donde = 0 , µ = µ0 y ambas ρ y J~ son cero. En este caso: I

~ =− ~ · dI E

C

I

(2.14)

A

~ = µ0 0 ~ · dI B

C

{

x ∂B ~ ~ · dS, ∂t x ∂E ~ ~ · dS, ∂t

(2.15)

A

~ = 0, ~ · dS B

(2.16)

~ = 0. ~ · dS E

(2.17)

A

{ A

Obsérvese que excepto por un escalar multiplicativo, los campos eléctricos y magnéticos aparecen en las ecuaciones con una simetr´ıa notable. Sin embargo Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

29


~ afecta a B, ~ B ~ a su vez afectará a E. ~ La simetr´ıa matemática supone una si E gran simetr´ıa f´ısica. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma diferencial la que será bastante m´ as u ´til para deducir los aspectos ondulatorios del campo electromagnético. Esta transici´ on se puede lograr fácilmente haciendo uso de dos teoremas del c´ alculo vectorial, a saber, el teorema de la divergencia de Gauss: { y F~ · dS = ∇ · F~ dV A

V

y el teorema de Stokes: I C

~ = F~ · dI

x

~ ∇ × F~ · dS

A

Aqu´ı la cantidad F~ no es un vector fijo, sino una función que depende de las variables de posici´ on. Es una regla que asocia a un vector u ńico, por ejemplo en coordenadas cartesianas, F~ (x, y, z) con cada punto (x, y, z) en el espacio. Las ~ yB ~ se conocen como funciones vectoriales valuadas de este tipo, tales como E campos vectoriales. Aplicando el teorema de Stokes a la intensidad de campo eléctrico se tiene: I x ~ = ~ ~ · dI ~ · dS E ∇×E Al comparar esto con la ecuación (2.5) se deduce que: x

~ =− ~ · dS ∇×E

x ∂E ~ ~ · dS ∂t

Este resultado debe ser cierto para todas las superficies limitadas por la trayectoria C. Esto puede ser el caso solamente si los integrandos son iguales, es decir, si: ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ Una aplicaci´ on similar a B del teorema de Stokes, usando la ecuación (2.13) da como resultado: ! ~ ∂E ~ ~ ∇×E =µ J + . ∂t El teorema de la divergencia de Gauss aplicado a la intensidad del campo eléctrico da: { y ~ = ~ · dS ~ E ∇ · EdV. Si se hace uso de la ecuación (2.7) esto queda: y 1y ~ ∇ · EdV = ρdV, V

V

y como esto es cierto para cualquier volumen (es decir, para un dominio cerrado arbitrario) los dos integrandos deben ser iguales. Por consiguiente, en cualquier punto (x, y, z, t) en el espacio-tiempo. ~ = ρ/ ∇·E 30


´ 2.2. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

En la misma forma, el teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campo B y combinado con la ecuaci´ on (2.9) da: ~ =0 ∇·B Las ecuaciones correspondientes para el espacio libre, en coordenadas cartesianas, son como sigue: ∂Ey ∂Bx ∂Ez − =− , ∂y ∂z ∂t ∂Ez ∂By ∂Ex − =− , ∂z ∂x ∂t ∂Ex ∂Bz ∂Ey − =− , ∂x ∂y ∂t

(2.18)

∂Ez ∂Ey ∂Bx − = µ0 0 , ∂y ∂z ∂t ∂Ex ∂Ez ∂By − = µ0 0 , ∂z ∂x ∂t ∂Ex ∂Bz ∂Ey − = µ0 0 , ∂x ∂y ∂t

(2.19)

~x ~y ~z ∂B ∂B ∂B + + = 0, ∂x ∂y ∂z ~y ~z ~x ∂E ∂E ∂E + + = 0. ∂x ∂y ∂z

(2.20) (2.21)

La transici´ on se ha hecho entonces de la formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de integrales sobre regiones finitas, a una reformulación en términos de las derivadas en puntos en el espacio. Ahora se tiene todo lo que se necesita para comprender el proceso magn´ıfico por el cual los campos eléctricos y magnéticos acoplados de modo no separado, y sosteniéndose mutuamente, se propagan hacia el espacio como una entidad simple, libre de cargas y corrientes, sin materia, sin éter. ´ 2.2 SECCION

Ondas Electromagn´ eticas Tres observaciones, a partir de las cuales se puede construir un modelo cualitativo, son f´ acilmente aprovechables y estas son la perpendicularidad general de los campos, la simetr´ıa de las ecuaciones de Maxwell, y de la interdependencia ~ yB ~ en esas ecuaciones. de E Al estudiar la electricidad y el magnetismo uno pronto se entera del hecho de que hay un n´ umero de relaciones que se describen por productos vectoriales, o si lo desea, por reglas de la mano derecha. En otras palabras, un suceso de un tipo produce una respuesta af´ın perpendicularmente dirigida. De interés inmediato ~ variable en el tiempo, genera un campo B ~ es el hecho de que un campo E, ~ que es en todas partes perpendicular a la dirección en la que E cambia. En la Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

31


~ variable con el tiempo genera un campo E ~ que es misma forma, un campo B ~ cambia. Se podr´ıa, por perpendicular en todas partes a la dirección en la que B ~ yB ~ en una lo tanto, anticipar la naturaleza transversal general de los campos E perturbaci´ on electromagnética. Ahora, se considerará una carga que de alguna manera se acelera desde el reposo. Cuando la carga está sin movimiento, tiene asociada a ella un campo eléctrico uniforme radial que se extiende hasta el infinito. En el instante en que ~ se acelera en la vecindad de la carga la carga comienza a moverse, el campo E y esta alteraci´ on se propaga hacia el espacio con velocidad finita. El campo eléctrico variable con el tiempo induce un campo magnético por medio de la ~ ecuaci´ on (2.15) o (2.19). Pero la carga está acelerándose, ∂ E/∂t en s´ı misma no ~ variable con el tiempo genera un campo E, ~ (2.14) es constante y as´ı el campo B ~ ~ o (2.18), y el proceso contin´ ua con E y B acoplados uno a otro en la forma de un pulso. A medida que un campo cambia, genera un nuevo campo que se extiende un poco m´ as allá, y as´ı el punto se mueve de un punto al siguiente a través del espacio. Se puede trazar una analog´ıa muy mecanicista, pero muy descriptiva, si se imaginan las l´ıneas del campo eléctrico como una densa distribución radial de cuerdas. cuando de alguna manera se sacude, cada cuerda individual se distorsiona para formar un pliegue que viaja alejándose de la fuente. Todos se combinan en cualquier instante para producir un pulso tridimensional, expandiéndose. ~ y B ~ pueden, más apropiadamente, considerarse como dos Los campos E aspectos de un s´ olo fenómeno f´ısico, el campo electromagnético, cuya fuente es una carga en movimiento. La perturbación, una vez que ha sido generada en el campo electromagnético, es una onda sin atadura que se mueve más allá de su fuente e independientemente de ella. Ligados uno a otro como una sola unidad, los campos magnéticos y eléctricos variables en el tiempo se regeneran uno a otro en un ciclo sin fin. Las ondas electromagnéticas que llegan a la tierra del relativamente cercano centro de la galaxia han estado volando durante treinta mil a˜ nos. No se ha considerado a´ un la dirección de propagación de la onda con respecto a los campos que la constituyen. Obsérvese, sin embargo, que el alto grado de simetr´ıa en las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre sugiere que la ~ como perturbaci´ on se propagará en una dirección que es simétrica tanto a E ~ Eso implicar´ıa que una onda electromagnética no podr´ıa ser puramente a B. ~ yB ~ no son paralelos). longitudinal (ya que E Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre se pueden transformar en dos expresiones vectoriales extremadamente concisas: ~ = 0 µ0 ∇2 E

~ ∂2E ∂t2

y ~ ∂2B 2 ∂t ~ yB ~ de manera que las El Laplaciano ∇2 , opera sobre cada componente de E dos ecuaciones vectoriales en realidad representa un total de seis ecuaciones escalares. Dos de estas expresiones, en coordenadas cartesianas son: ~ = 0 µ0 ∇2 B

∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex + + = 0 µ0 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂t2 32


(2.22)

´ 2.2. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

y ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey ∂ 2 Ex + + = µ 0 0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t2

(2.23)

precisamente con la misma forma para Ez , Bx , By y Bz . Ecuaciones de este tipo, que relacionan las variaciones de espacio y tiempo de alguna cantidad f´ısica, se estudiaron hace ya mucho por Maxwell y sirvieron para describir el fenómeno de onda. Cada componente del campo electromagnético (Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz ) obedece, por lo tanto, a la ecuaci´ on diferencial escalar de onda: 1 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t a condici´ on que: v=√

1 . 0 µ0

(2.24)

A fin de evaluar v Maxwell hizo uso de los resultados de los experimentos eléctricos efectuados en 1856 en Leipzig por Wilhelm Weber (1804-1891) y Rudolph Kohlrausch (1809-1858). De modo eqivalente, ya que a µ0 se le asigno un valor de 4π × 10−17 m kg/C2 (en MKS) uno puede determinar 0 directamente de medidas simples de capacidad. En cualquier caso: 0 µ0 ≈ (8,85 × 10−12 s2 C2 /m3 kg)(4π × 10−17 m kg/C2 ) o 0 µ0 ≈ 11,12 × 10−18 s2 /m2 . Y ahora, el momento de la verdad: en el espacio libre, la velocidad predicha de todas las ondas eléctromagnéticas ser´ıa: v=√

1 ≈ 3 × 108 m/s. 0 µ0

Este valor te´ orico estaba en notable acuerdo con la velocidad previamente medida de la luz (315300 km/s) determinada por Fizeau. Los resultados de los experimentos de Fizeau, desarrollados en 1849 usando una rueda dentada rotatoria, estaban en manos de Maxwell y le hicieron comentar que: Esta velocidad [es decir, su predicci´ on te´ orica] est´ a tan cerca de la luz que parece que tenemos una fuerte raz´ on para concluir que la luz en s´ı misma (incluyendo calor radiante, y otras radiaciones si las hay) es una perturbaci´ on electromagn´ etica en la forma de ondas propagadas a trav´ es del campo electromagn´ etico de acuerdo con las leyes electromagn´ eticas.

Este brillante an´ alisis fue uno de los grandes triunfos intelectuales de todos los tiempos. Se ha hecho costumbre designar la velocidad de la luz en el vac´ıo por el s´ımobolo c, cuyo valor por ahora aceptado es: c = 2,997924562 × 108 m/s ± 1,1m/s El car´ acter transversal de la luz, verificado experimentalmente, se debe ahora explicar dentro del contexto de la teor´ıa electromagnética. Con ese fin, se considerará el caso bastante simple de una onda plana propagándose en la dirección Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

33


positiva de x. La intensidad de campo eléctrico es una solución de la ecuación diferencial 2~ ~ = 0 µ0 ∂ E ∇2 E ∂t2 ~ es constante sobre cada uno de un conjunto infinito de planos perpendonde E diculares al eje x. Es, por consiguiente, una función solamente de x y t, es decir ~ = E(x, ~ E t). Volviéndo a las ecuaciones de Maxwell y en particular a la ecuación ~ es igual a cero). (2.21) (la cual generalmente se lee como la divergencia de E ~ Ya que E no es una función ni de y ni de z, la ecuación se reduce a: ∂Ex =0 ∂x

(2.25)

La componente del campo eléctrico en la dirección de x, es decir, en la direcci´ on de propagaci´ on, es constante. Esto no es de importancia, ya que interesa solamente la onda electromagnética, y no ning´ un campo no variable que puede ~ asociado con la onda plana residir en la misma región del espacio. El campo E, es entonces exlusivamente transversal. Sin pérdida de generalidad, se trabajará con ondas linealmente polarizadas u ondas planas, donde la dirección de vibra~ es fija. Se puede entonces orientar los ejes coordenados de tal ci´ on del vector E forma que el campo eléctrico sea paralelo al eje y, donde: ~ = Ey (x, t)~j E

(2.26)

Volviéndo a la ecuaci´ on (2.18), se deduce que: ∂Bz ∂Ey = ∂x ∂t

(2.27)

y que Bx y By son constantes, y por consiguiente sin interés por el momento. El ~ dependiente del tiempo solamente puede tener una componente en la campo B direcci´ on de z. Es claro entonces que en el espacio libre, la onda electromagnética plana es, en efecto, transversal. No se ha especificado la forma de la perturbación y solamente se ha dicho que era una onda plana. Las conclusiones son por consiguiente muy generales, aplic´ andose igualmente bien a pulso como a ondas continuas. Ya se ha dicho que las funciones arm´ onicas son de particular interés porque cualquier forma de onda se puede expresar en términos de ondas senoidales usando las técnicas de Fourier. Por consiguiente, se limitará la discusión a ondas armónicas y se escribir´ a Ey (x, t) como: Ey (x, t) = E0y cos[ω(t − x/c) + ε],

(2.28)

siendo c la rapidez de propagación. La densidad de flujo magnético asociado se puede encontrar por integración directa de la ecuación (2.27), o sea: Z ∂Ey dt. Bz = − ∂x 34


´ 2.3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES

Usando la ecuaci´ on (2.28) se obtiene: Z E0y ω Bz = − sin[ω(t − x/c) + ε]dt c o Bz =

1 E0y cos[ω(t − x/c) + ε] c

(2.29)

Se ha omitido la constante de integración, que representa un campo independiente del tiempo. Comparando este resultado con la ecuación (2.28), es evidente que: Ey = cBz .

(2.30)

Ya que Ey y Bz difieren solamente por un escalar, tienen as´ı la misma dependen~ yB ~ est´ cia del tiempo, E an en fase en todos los puntos en el espacio. Además, ~ ~ ~ E = Ey (x, t)j y BBz (x, t)~k son mutuamente perpendiculares y su producto ~ × B, ~ apunta en la dirección de propagación ~i. vectorial E Las ondas planas, aunque tienen mucha importancia, no son las u ńicas soluciones de las ecuaciones de Maxwell. La ecuación diferencial de onda permite muchas soluciones, entre las cuales están las ondas esféricas y cil´ındricas. ´ 2.3 SECCION

Ondas Electromagn´ eticas en Medios No Conductores La respuesta de los materiales dieléctricos o no conductores a los campos electromagnéticos es de especial interés en la óptica. Se manejarán dieléctricos transparentes en la forma de lentes, prismas, láminas, pel´ıculas, etc. Sin mencionar el océano de aire que las rodea. El efecto neto de introducir un dieléctrico isotrópico homogéneo en una región del espacio libre es cambiar 0 a y µ0 a µ en las ecuaciones de Maxwell. La velocidad de fase en el medio se hace ahora: 1 v=√ . µ

(2.31)

La raz´ on entre las velocidades de una onda electromagnética en el vac´ıo y en la materia se conoce como ´ındice de refracci´ on absoluto n y está dado por: c n= = v

r

µ . 0 µ0

(2.32)

En términos de la permitividad relativa y la permeabilidad relativa del medio, n queda: n=

p

Ke K m .


(2.33) 35


La gran mayor´ıa de las substancias, con la excepción de los materiales ferromagnéticos, son s´ olo muy débilmente magnéticas; ninguna es realmente no magnética. A´ un as´ı, Km generalmente no se desv´ıa de uno en más de unas pocas partes en 104 (por ejemplo para el diamante Km = 1−2,2×10−5 ). Poniendo Km = 1 en la f´ ormula para n resulta una expresión conocida como la relaci´ on de Maxwell, o sea: p n = Ke , (2.34) aqu´ı se supone que Ke es la constante dieléctrica est´ atica. Como se indica Gases a 0o C y 1√atm Substancia Ke n Aire 1.000294 1.000293 Helio 1.000034 1.000036 Hidr´ ogeno 1.000131 1.000132 Di´ oxido de carbono 1.00049 1.00045 L´ıquidos a 20o√C Substancia Ke n Benceno 1.51 1.501 Agua 8.96 1.333 Alcohol et´ılico (etanol 5.08 1.361 Tetracloruro de carbono 4.63 1.461 Bisulfuro de carbono 5.04 1.628 S´ olidos a temperatura√ambiente Substancia Ke n Diamante 4.06 2.419 Ambar 1.6 1.55 S´ılice fundida 1.94 1.458 Cloruro de sodio 2.37 1.50

Cuadro 2.1: Relación de Maxwell. Los valores de Ke corresponden a las frecuencias m´ as bajas posibles, en algunos casos tan bajas como 60 Hz, mientras que n est´ a medida a alrededor de 0,5 × 1015 Hz. Se us´ o luz D del sodio (λ = 589,29 nm).

en la tabla 2.1, esta relación parece ser efectiva solamente para algunos gases simples. La dificultad aparece porque Ke , y por consiguiente n, son en realidad dependientes de la frecuencia. La dependencia de n con la longitud de onda (o color) de la luz es un efecto muy conocido llamado dispersi´ on. En efecto, Sir Isaac Newton us´ o prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constitutivos hace m´ as de 300 a˜ nos y el fenómeno era bien conocido aunque no se entendiera entonces. Hay dos preguntas interrelacionadas que vienen a la mente en este punto: (1) ¿Cu´ al es la base f´ısica para la dependencia de n con la frecuencia? y (2) ¿Cu´ al es el mecanismo por el cual la velocidad de fase en un medio se hace efectivamente diferente de c? Las respuestas para ambas preguntas se pueden encontrar examinando la interacción de una onda electromagnética incidente con el arreglo de ´ atomos que constituyen un material dieléctrico. ......................................................................... 2.3.1 Dispersi´ on

Cuando un dieléctrico se somete a un campo eléctrico aplicado, la distribuci´ on interna de carga se distorsiona bajo su influencia. Esto corrresponde a la generaci´ on de momentos eléctricos dipolares, los cuales, a su vez, contribuyen al campo interno total. De una manera más clara, el campo eléctrico separa las 36



cargas positivas y negativas en el medio (cada par de los cuales es un dipolo) y éstas entonces contribuyen una componente de campo adicional. El momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina la polarizaci´ on eléctrica ~ son proporcionales y se pueden P~ . Para la mayor parte de los materiales P~ y E relacionar satisfactoriamente por: ~ = P~ . ( − 0 )E

(2.35)

La redistribuci´ on de carga y la consecuente polarización pueden ocurrir por medio de los siguientes mecanismos. Hay moléculas que tienen un momento dipolar permanente como resultado de compartir en forma desigual sus electrones de valencia. Estas se conocen como moléculas polares, de las cuales la molécula no lineal de agua es un ejemplo bastante t´ıpico. Cada enlace hidrógeno-ox´ıgeno es covalente polar, con el extremo H positivo con respecto al extremo O. La agitaci´ on térmica mantiene los dipolos moleculares orientados al azar. Con la introducci´ on de un campo eléctrico, los dipolos se alinean a s´ı mismos y el dieléctrico toma una polarizaci´ on orientacional. En el caso de moléculas y ´ atomos no polares, el campo aplicado distorsiona la nube de electrones, desplazándola relativamente al n´ ucleo y produciendo por consiguiente un momento dipolar. Adem´ as de esta polarizaci´ on electr´ onica, hay otro proceso que es espec´ıficamente aplicable a moléculas, como por ejemplo el cristal iónico NaCL. En la presencia de un campo eléctrico, los iones positivos y negativos sufren un desplazamiento uno respecto al otro. Por consiguiente se inducen momentos dipolares, resultando en lo que se llama polarizaci´ on i´ onica o at´ omica. Si el dieléctrico se somete a una onda electromagnética armónica incidente, la estructura de las cargas eléctricas internas experimentará fuerzas y/o torques variables con el tiempo. Estas serán proporcionales a la componente del campo eléctrico de la onda. 1 Para dieléctricos polares las moléculas en rea~ lidad sufren rotaciones r´ apidas, alineándose ellas mismas con el campo E(t). Pero estas moléculas son relativamente grandes y tienen momentos de inercia apreciables. A altas frecuencias impulsoras ω, las moléculas polares serán incapaces de seguir las alteraciones del campo. Sus contribuciones a P~ disminuirán y Ke caer´ a marcadamente. la permitividad relativa del agua es muy constante desde aproximadamente 80, hasta cerca de 1010 Hz, después de lo cual cae muy rápidamente. En contraste, los electrones tienen poca inercia y pueden continuar siguiendo el campo que contribuye a Ke (ω) a´ un a frecuencias ópticas (de alrededor de 5 × 1014 Hz). Entonces la dependencia de n en ω está gobernada por el juego interno de los varios mecanismos de polarización que contribuyen a la frecuencia particular. Es posible deducir una expresi´ on anal´ıtica para n(ω) en función de lo que pasa dentro del medio a nivel at´ omico. Aun cuando esto es en realidad el dominio de la mec´ anica cu´ antica, el tratamiento clásico lleva a resultados muy similares y al hacerlo as´ı se provee de un modelo conceptual sumamente u ´til. En efecto ese modelo ser´ a usado una y otra vez mientras se examine la reflexión, refracción, difracci´ on y muchos otros fen´ omenos. Imag´ınese que los electrones exteriores o de valencia est´ an ligados a sus ´ atomos o moléculas respectivas por una fuerza 1 Las fuerzas que surgen de la componente magn´ ~M = etica del campo tienen la forma F ~ en comparaci´ ~E = q E ~ para la componente el´ q~v × B on con F ectrica; pero v c y as´ı se deduce ~M es generalmente despreciable. de la ecuaci´ on (2.30) que F


37


el´ astica restauradora (−me ω02 x) que es proporcional al desplazamiento x de los electrones del punto de equilibrio. El átomo entonces se parece a un oscilador ~ forzado clásico que est´ a siendo impulsado por el campo alterno E(t) el cual se supone que se aplica a lo largo de la dirección x. La fuerza (FE ) ejercida sobre un electr´ on de carga qe por el campo E(t) de una onda armónica de frecuencia ω es de la forma: FE = qe E(t) = qe E0 cos ωt. Consecuentemente, la segunda ley de Newton da la ecuación del movimiento, es decir, la suma de las fuerzas es igual a la masa multiplicada por la aceleración: qe E0 cos ωt − me ω02 x = me

d2 x dt2

La constante ω0 es la frecuencia natural del oscilador y es igual a la ra´ız cuadrada de la raz´ on entre la constante elástica y la masa. Es la frecuencia oscilatoria del sistema no impulsado. Para satisfacer esta expresión x tendrá que ser una funci´ on cuya segunda derivada no sea muy diferente de x misma. Además se puede anticipar que el electrón oscilará con la misma frecuencia que E(t) y as´ı se pude “conjeturar” la solución: x(t) = x0 cos ωt y sustituirla en la ecuación para evaluar la amplitud de x0 . En esta forma se encuentra que: qe /me x(t) = 2 E0 cos ωt (ω0 − ω 2 ) o qe /me E(t). x(t) = 2 (ω0 − ω 2 ) Sin una fuerza impulsora (sin onda incidente) el electrón oscilante vibrará con su frecuencia de resonancia o natural ω0 , E(t) y x(t) tienen el mismo signo, lo que significa que la carga puede seguir la fuerza aplicada, es decir, que está en fase con ella. Sin embargo, cuando ω > ω0 , el desplazamiento x(t) está en la direcci´ on opuesta a la de la fuerza instant´ anea qe E(t) y por consiguiente 180o fuera de fase con ella. Hay que recordar que se está hablando acerca de dipolos oscilantes donde para ω0 > ω el movimiento relativo de la carga positiva es una vibraci´ on en la dirección del campo. Por encima de la resonancia la carga positiva est´ a a 180o fuera de fase con el campo y se dice que el dipolo está retrasado π rad. El momento dipolar es igual a la carga qe multiplicada por su desplazamiento y si hay N electrones contribuyendo por unidad de volumen, la polarización eléctrica, o densidad de momentos dipolares, es: P = qe xN Por consiguiente: P =

qe2 N E/me (ω02 − ω 2 )

y de la ecuaci´ on (2.35) = 0 + 38

P (t) q 2 N E/me = 0 + e 2 . E(t) (ω0 − ω 2 ) Juan Manuel Enrique Mu˜ nido


Usando el hecho de que n2 = Ke = /0 se puede llegar a una expresión para n como funci´ on de ω que se conoce como ecuaci´ on de dispersi´ on: N qe2 n (ω) = 1 + 0 me 2

1 ω02 − ω 2

.

Hasta ahora se ha supuesto la existencia de sólo una frecuencia natural ω0 . Para explicar la observaci´ on de un comportamiento más complicado, se generalizarán las cosas suponiendo que hay N moléculas por unidad de volumen cada una con fj osciladores que tienen frecuencias naturales ω0j donde j = 1, 2, 3... En este caso: ! fj N qe2 X 2 (2.36) n (ω) = 1 + 2 − ω2 0 me j ω0j Este es esencialmente el mismo resultado que aparece en el tratamiento cuántico, con la excepci´ on de que algunos de los términos deber ser reinterpretados. En efecto, las cantidades ω0j ser´ıan entonces las frecuencias caracter´ısticas a las cuales un ´ atomo puede abosorberPo emitir energ´ıa radiante. Los términos fj que satisfacen el requisito de que j fj = 1, son los factores de peso conocidos como la intensidad de los osciladores. Ellos reflejan el énfasis que se debe dar a cada uno de los modos. Siendo una medida de la probabilidad de ocurrencia de una transici´ on at´ omica dada, las fj se conocen también como probabilidades de transici´ on. Una reinterpretaci´ on similar de los términos fj se requiere a´ un clásicamente ya que de acuerdo con los datos experimentales se exige que sean menores que la unidad. Esto es obviamente contrario a la definición de fj que llevó a la ecuación (2.36). Se supone entonces que una molécula tiene muchos modos de oscilación pero que cada uno de ellos tiene una frecuencia e intensidad bien definidas. Obsérvese que cuando ω es igual a cualquiera de las frecuencias caracter´ısticas, n es discontinua, contrariamente a la observación real. Esto es simplemente el resultado de haber despreciado el término de amortiguamiento que deber´ıa de haber aparecido en el denominador de la suma. Incidentalmente, el amortiguamiento, en parte, es atribuible a la pérdida de energ´ıa cuando los osciladores forzados (los cuales son, por supuesto, cargas aceleradas) reirradian energ´ıa electromagnética. En s´ olidos, l´ıquidos y gases a alta presión (≈ 103 atm), las distancias interat´ omicas son aproximadamente 10 veces menores que las de un ´ gas a TPN. 2 Atomos y moléculas en esta proximidad relativamente cercana experimentan fuertes interacciones mutuas y resulta una fuerza “friccional”. El efecto es un amortiguamiento de los osciladores y una disipación de su energ´ıa dentro de la substancia en la forma de calor (movimiento molecular). Este u ´ltimo proceso se llama absorci´ on. Si se hubiese incluido un fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad (de la forma γdx/dt) en la ecuación de movimiento, la ecuación de dispersión (2.36) hubiese quedado: n2 (ω) = 1 +

2 TPN:

N qe2 X fj 2 − ω 2 + iγ ω . 0 me j ω0j j

(2.37)

Temperatura y presi´ on normal = STP Standard Temperature and Pressure.


39


Mientras que esta expresión está bien para medios enrarecidos tales como gases, hay a´ un otra complicación con la que se debe encontrar si se ha de aplicar a substancias densas. Cada átomo interacciona con el campo eléctrico local en el que est´ a sumergido. A diferencia de los átomos aislados considerados antes, los que est´ an en un material denso experimentan también el campo inducido por sus compa˜ neros. Consecuentemente un átomo “ve” además del campo aplicado E(t) otro campo, a saber P (t)/30 . Sin entrar en detalles aqu´ı se puede demostar que: n2 − 1 N qe2 X fj = 2 − ω 2 + iγ ω . 2 n +2 30 me j ω0j j

(2.38)

Hasta ahora se ha estado considerando osciladores electrónicos exclusivamente, pero los mismos resultados hubiesen sido aplicables para iones ligados a sitios at´ omicos fijos. En ese caso me ser´ıa reemplazado por las masas iónicas considerablemente mayores. Entonces, mientras la polarización electrónica es importante sobre el espectro ´ optico completo, las contribuciones de la polarización iónica afectan n significativamente sólo en regiones de resonancia (ω0j = ω). Por el momento se limita la discusión, en su mayor parte, a situaciones donde 2 la absorci´ on es despreciable (es decir, ω0j − ω 2 γj ω) y n es real, tal que: n2 − 1 N qe2 X fj = 2 − ω2 . n2 + 2 30 me j ω0j

(2.39)

Los gases transparentes, l´ıquidos y sólidos sin color tienen sus frecuencias caracter´ısticas fuera de la región visible del espectro (lo cual es la razón por la que ellos, en efecto, sean incoloros y transparentes). En particular, los vidrios tiene frecuencias naturales efectivas mayores a las del visible, en el ultravioleta, 2 donde se hacen opacos. En los casos en los cuales ω0j ω 2 por comparación ω 2 puede ser despreciada en la ecuación (2.39) dando un ´ındice de refracción esencialmente constante sobre esa región. Por ejemplo, las frecuencias caracter´ısticas importantes para los vidrios ocurren en longitudes de onda de alrededor de 100 nm. El centro del rango visible es aproximadamente cinco veces aquello y, de 2 2 ah´ı, ω0j ω 2 . Obsérvese que cuando ω aumenta hacia ω0j , (ω0j −ω 2 ) disminuye y n aumenta gradualmente con la frecuencia. Esto se llama dispersi´ on normal. En la regi´ on ultravioleta, cuando ω se aproxima a una frecuencia natural, los osciladores comenzar´ an a resonar. Sus amplitudes aumentarán marcadamente y esto ser´ a acompa˜ nado por amortiguamiento y una fuerte absorción de energ´ıa de la onda incidente. Cuando ω0j = ω en la ecuación (2.38) el término de amortiguamiento obviamente se hace dominante. Las regiones cercanas a ω0j son llamadas bandas de absorci´ on. Ah´ı dn/dω es negativa y se dice que el proceso es dispersi´ on an´ omala (es decir, anormal). Si pasa luz blanca a través de un prisma de vidrio, el az´ ul que la constituye dendr´ıa un ´ındice mayor que el rojo y por consiguiente ser´ a desviado en un ángulo mayor. En contraste, si se usa un prisma celda que contiene una solución colorante con una banda de absorción en el visible, el espectro será marcadamente alterado. Todas las substancias poseen bandas de absorci´ on en alguna región del espectro electromagnético de frecuencia de manera que el término dispersi´ on an´ omala, habiendo sido acarreado desde finales del siglo XIX, es ciertamente un nombre mal puesto. 40



Como se ha visto, los ´ atomos dentro de una molécula también pueden vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio. Pero los n´ ucleos son masivos y as´ı las frecuencias oscilatorias naturales serán bajas, en el infrarrojo. Moléculas como H2 O y CO2 tendr´ an resonancia tanto en el infrarrojo como en el ultravioleta. Si el agua fuese atrapada dentro de una pieza de vidrio durante su fabricación, estos osciladores moleculares estar´ıan a disposición y existir´ıa una banda de absorción infrarroja. La presencia de ´ oxidos también resultará en una absorcion infrarroja. A las frecuencias a´ un más bajas de las ondas de radio, el vidrio será de nuevo transparente. En comparación, una pieza de vidrio coloreado evidentemente tiene una resonancia en el visible donde absorbe un rango particular de frecuencia transmitiendo el color complementario. Como punto final, obsérvese que se la frecuencia impulsora es mayor que cualquiera de los términos ω0j , entonces n2 < 1 y n < 1. Tal situación puede ocurrir por ejemplo si se dirigen rayos X a una placa de vidrio. Este es un resultado intrigante ya que lleva a v > c en aparente contradicción con la relatividad especial. Haciendo un resumen parcial entonces, en la región visible del espectro, la polarizaci´ on electr´ onica es el mecanismo operativo que determina n(ω). Clásicamente se imagina a los osciladores electrónicos vibrando a la frecuencia de la onda incidente. Cuando la frecuencia de la onda es apreciablemente diferente de una frecuencia caracter´ıstica o natural, las oscilaciones son peque˜ nas y hay poca absorci´ on. En resonancia, sin embargo, las amplitudes del oscilador aumentan y el campo hace una cantidad mayor de trabajo sobre la carga. La energ´ıa electromagnética removida de la onda y convertida en energ´ıa mecánica se disipa entonces térmicamente dentro de la substancia y se habla de un pico o banda de absorci´ on. El material, aunque es esencialmente transparente a otras frecuencias, es muy opaco a la radiaci´ on incidente en sus frecuencias caracter´ısticas. ......................................................................... 2.3.2 Propagaci´ on de la Luz a trav´ es de un Medio Diel´ ectrico

El proceso mediante el cual la luz se propaga a través de un medio con una velocidad diferente de c es bastante complicado y esta sección está dedicada a hacerlo al menos f´ısicamente razonable, dentro del contexto del modelo de osciladores simples. Considérese una onda electromagnética incidente o primaria (en el vac´ıo) incidiendo sobre un dielectrico. Como se ha visto, ella polarizará el medio y llevará a los osciladores electr´ onicos a vibración forzada. Ellas a su vez, reirradiarán o esparcir´ an energ´ıa en la forma de peque˜ nas ondas electromagnéticas de la misma frecuencia de la onda incidente. En una substancia cuyos átomos o moléculas están dispuestos con alg´ un grado de regularidad, estas ondas tenderán a interferirse mutuamente. Esto es, se superpondrán en ciertas regiones donde ellas se reforzar´ an o reducir´ an unas a otras en grados variables. Como ejemplo exam´ınese la configuraci´ on muy simplificada de una onda refractada en un arreglo ordenado de ´ atomos. Ah´ı una onda plana incidente en dicho arreglo se esparce en un patr´ on complicado de peque˜ nas ondas. Estas a su vez se superponen para formar frentes de ondas planas a los que se denomina onda secundaria. Por razones emp´ıricas, solamente, se puede anticipar que la onda primaria residual y la onda secundaria se combinar´ an para dar la u ńica perturbación observada dentro del medio, es decir la onda refractada. Tanto la onda electromagnética primaria como la secundaria se propagan a través de los espacios interat´ omicos con la velocidad c. Y a´ un as´ı el medio ciertamente puede poseer un ´ındice de refracción diferente de uno. Puede suceder Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

41


que la onda refractada tenga una velocidad de fase menor, igual, o a´ un mayor que c. La clave de esta aparente contradicción reside en la relación de fase entre las ondas secundaria y primaria. El modelo cl´ asico predice que los osciladores electrónicos serán capaces de vibrar casi completamente en fase con la fuerza impulsora, es decir la perturbación primaria, solamente a frecuencias relativamente bajas. Cuando la frecuencia del campo electromagnético aumenta, los osciladores se retrasarán, su fase estará retrasada por una cantidad proporcionalmente grande. Un análisis detallado lleva al hecho de que en resonancia el retraso de la fase llegará a 90o , aumentando después a casi 180o , o media longitud de onda, a frecuencias muy superiores al valor caracter´ıstico particular. Adem´ as de estos retrasos hay otro efecto que debe ser considerado. Cuando las ondas esparcidas se recombinan, la onda secundaria resultante está retrasada ella misma con respecto a los osciladores en 90o . El efecto combinado de ambos de estos mecanismos es que a frecuencias inferiores a la de la resonancia, la onda secundaria está retrasada con respecto a la primaria en una cantidad entre 90o y 180o aproximadamente, mientras que a frecuencias superiores a la de la resonancia el retraso está entre 180o y 270o . Pero un retraso de fase de δ >180o es equivalente a un retraso de 360o −δ [ejemplo, cos(θ − 270o ) = cos(θ + 90o )]. Para recapitular, debajo de la resonancia la onda secundaria va atrás de la primaria; arriba de la resonancia va delante de la primaria. La onda resultante o refractada acordemente estará adelante o detrás de la onda incidente (espacio libre) en una cierta cantidad ε. El proceso es progresivo y a medida que la luz atraviesa el medio la fase es continuamente retardada o avanzada. Ahora se desea mostrar que esto es precisamente equivalente a un cambio en la velocidad de fase. En el espacio libre la perturbaci´ on en alg´ un punto P se puede escribir como: Ep (t) = E0 cos ωt Si P est´ a rodeada por un dieléctrico, habrá un desplazamiento acumulativo de la fase εP el cual fue formado mientras la onda se mov´ıa a través del medio hacia P . El n´ umero de crestas de onda que llegan al dieléctrico por segundo debe ser el mismo que el n´ umero por segundo que se propaga en él. Esto es, la frecuencia debe ser la misma en el vac´ıo que en el dieléctrico, aun cuando la longitud de onda y la rapidez pueden ser diferentes. Una vez más, pero esta vez en el medio, la perturbaci´ on en P es: EP (t) = E0 cos(ωt − εP ) Un observador en P tendr´ıa que esperar un tiempo mayor para que una cresta dada llegue cuando él está en el medio que lo hubiera tenido que esperar en el vac´ıo. En otras palabras, si se imaginan dos ondas paralelas de la misma frecuencia, una en el vac´ıo y una en un medio material, la onda en el vac´ıo pasar´ a P un tiempo εP /ω antes que la otra onda. Entonces es claro que un retraso de fase de εP corresponde a una reducción en la rapidez, v < c y n > 1. Similarmente, un adelanto de fase produce un aumento en la rapidez, v > c y n < 1. El proceso de esparcimiento es continuo y as´ı los desplazamientos acumulativos de fase se van sumando conforme la luz penetra en el medio. Es decir, ε es una funci´ on de la longitud del dieléctrico atravesado; como debe ser si v es constante. 42


´ 2.4. ENERGÍA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Una soluci´ on rigurosa del problema de la propagación se conoce como el teorema de extinci´ on de Ewald-Ossen. Aunque el formulismo matemático, que involucra ecuaciones integrodiferenciales, es demasiado complicado para tratarlo aqu´ı, los resultados son ciertamente de interés. Se encuentra que los osciladores electrónicos generan una onda electromagnética que tiene esencialmente dos términos. Uno de estos anula exactamente la onda primaria dentro del medio. El otro, que es la u ńica perturbaci´ on que permanece, se propaga a través del dieléctrico con una velocidad v = c/n como la onda refractada. ´ 2.4 SECCION

Energ´ıa de las Ondas Electromagn´ eticas ......................................................................... 2.4.1 Irradiancia

Una de las propiedades m´ as significativas de la onda electromagnética es que transporta energ´ıa. La luz de la estrella más cercana viaja a 25 millones de millones de millas para llegar a la Tierra y a´ un as´ı lleva suficiente energ´ıa para hacer trabajo en los electrones dentro del ojo. Cualquier campo electromagnético existe dentro de alguna regi´ on del espacio y es por consiguiente muy natural considerar la energ´ıa radiante por unidad de volumen, es decir la densidad de energ´ıa u. Para un campo eléctrico solo, se puede calcular la densidad de energ´ıa (por ejemplo entre las placas de un condensador) y obtener: uE =

0 2 E . 2

(2.40)

Similarmente, la densidad de energ´ıa del campo B solo (como se podr´ıa calcular dentro de un toroide) es: uB =

1 2 B . 2µ0

(2.41)

Recuérdese que se dedujo la relación E = cB espec´ıficamente para una onda plana (2.30), no obstante ser´ a muy general en su simplicidad. Se deduce entonces que: uE = uB

(2.42)

El flujo de energ´ıa a través del espacio en la forma de una onda electromagnética es compartido por los campos constitutivos, eléctricos y magnéticos. Ya que: u = uE + uB , claramente: u = 0 E 2

(2.43)

o equivalentemente: u=

1 2 B . µ0


(2.44)

43


Para representar el flujo de energ´ıa electromagnética, se simbolizará con S el transporte de energ´ıa por unidad de tiempo (la potencia) a través de un área unitaria. En el sistema MKS tendr´ıa entonces las unidades de W/m2 . Sea una onda electromagnética que viaja con una velocidad c a través de un área A. Durante un intervalo de tiempo ∆t muy peque˜ no, solamente la energ´ıa contenida en el volumen cil´ındrico, u(c∆tA), cruzará A. Entonces: S=

uc∆tA = uc ∆tA

(2.45)

1 EB. µ0

(2.46)

o, usando la ecuaci´ on (2.43): S=

Ahora se hace la suposición razonable (para medios isotrópicos) de que la energ´ıa ~ correspondiente fluye en la direcci´ on de la propagación de la onda. El vector S es entonces: ~= 1E ~ ×B ~ S µ0

(2.47)

~ = c2 0 E ~ × B. ~ S

(2.48)

o

~ es la potencia por unidad de área que cruza una superficie La magnitud de S ~ Se le conoce como el vector de Poynting, en honor cuya normal es paralela a S. de John Henry Poynting (1852-1914). Aplicando ahora estas consideraciones al caso de una onda plana armónica, polarizada linealmente, viajando a través del espacio libre en la dirección de ~k: ~ =E ~ 0 cos ~k · ~r − ωt E (2.49) ~ =B ~ 0 cos ~k · ~r − ωt . B (2.50) Usando la ecuaci´ on (2.4) ~ = c2 0 E ~0 × B ~ 0 cos2 ~k · ~r − ωt . S ~ ×B ~ oscila entre máximos y m´ınimos. A frecuenDebe ser evidente aqu´ı que E ~ cias ´ opticas, S es una función variable del tiempo extremadamente rápida y as´ı su valor instant´ aneo es una cantidad impráctica de medir. Esto más bien sugiere que se empleen promedios. Es decir, que se absorba la energ´ıa radiante durante un intervalo finito de tiempo usando, por ejemplo, una fotocelda, una pel´ıcula fotogr´ afica o la retina del ojo humano. El valor promediado en el tiempo del vector de Poynting, simbolizado por hSi, es una medida de la cantidad muy significativa conocida como la irradiancia, I. En este caso ya que D E cos2 ~k · ~r − ωt = 12 , hSi = 44

c2 0 ~ ~ E0 × B 2


(2.51)

´ 2.4. ENERGÍA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

o I ≡ hSi =

c0 2 E . 2 0

(2.52)

La irradiancia es por consiguiente proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico. Dor formas alternativas adicionales de decir la misma cosa son simplemente: c 2 B µ0

(2.53)

I = 0 c E 2 .

(2.54)

I= y

Dentro de un dieléctrico isotr´ opico, homogéneo y lineal, la expresión para la irradiancia queda:

I = v E 2 . (2.55) ~ es considerablemente más afectiva al ejercer fuerYa que, como se ha visto, E ~ ~ zas sobre las cargas B, E ser´ a referido como el campo ´ optico y se usará casi exclusivamente la ecuaci´ on (2.54). La rapidez de flujo de la energ´ıa radiante es la potencia o flujo radiante, generalmente expresado en vatios. Si se divide el flujo radiante que incide o sale de una superficie, por el ´ area de la superficie, se tiene la densidad de flujo radiante (W/m2 ). En el primer caso, se habla de la irradiancia, y en el u ´ltimo de la existencia; y en cualquier caso de la densidad de flujo. Hay detectores, como el fotomultiplicador, que sirven como contadores de fotones. Cada cuanto del campo electromagnético, que tiene una frecuencia ν, representa una energ´ıa hν (constante de Planck, h = 6,625 × 10−34 J s). Si se tiene un haz monocromático de frecuencia ν, la cantidad I/hν es el n´ umero promedio de fotones que cruzan un área unitaria (normal al haz) por unidad de tiempo, es decir la densidad de flujo de fot´ on. Si tal haz incidiera sobre un contador con ´ area A, entonces AI/hν ser´ıa el flujo de fotones incidentes, es decir, el n´ umero promedio de fotones que llegan por unidad de tiempo. Se vio antes que la soluci´ on de onda esférica de la ecuación diferencial de onda tiene una amplitud que var´ıa inversamente con r. Se examinará ahora lo mismo dentro del contexto de la conversación de energ´ıa. Considerando una fuente puntual isotr´ opica en el espacio libre, emitiendo energ´ıa igualmente en todas direcciones, es decir emitiendo ondas esféricas. Se rodea la fuente con dos superficies esféricas imaginarias de radios r1 y r2 . Sean E0 (r1 ) y E0 (r2 ) las amplitudes de las ondas sobre la primera y segunda superficies, respectivamente. Si se ha de conservar la energ´ıa, la cantidad total de energ´ıa que pasa a través de cada superficie por segundo debe ser la misma ya que no hay otras fuentes o sumideros presentes. Multiplicando I por el área de la superficie y tomando la ra´ız cuadrada, se obtiene: r1 E0 (r1 ) = r2 E0 (r2 ). Puesto que r1 y r2 son arbitrarias, se deduce que: rE0 (r) = constante Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

45


y la amplitud debe caer inversamente con r. La irradiancia de una fuente puntual es proporcional a 1/r2 . Esta es la bien conocida ley del inverso del cuadrado, la cual se verifica f´ acilmente usando una fuente puntual y un expos´ımetro fotogr´ afico. Obsérvese que si se visualiza un haz de fotones viajando radialmente alej´ andose de la fuente, se obtiene claramente el mismo resultado.

46


CAPÍTULO 3

Tratamiento Electromgan´ etico de la Propagaci´ on de la Luz Índice General 3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1. Deducci´ on de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . 50 3.1.2. Interpretaci´ on de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . 53

47

´ ´ DE CAPÍTULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION LA LUZ

Hasta ahora se ha podido deducir las leyes de reflexión y refracción usando tres puntos de vista diferentes: el principio de Huygens, el teorema de Malus y Dupin y el principio de Fermat. Cada uno de ellos a su vez da un punto de vista valioso y distinto en s´ı mismo. Otro punto de vista a´ un más poderoso se obtiene de la teor´ıa electromagnética de la luz. Al contrario de las técnicas anteriores que no dicen nada sobre las densidades de flujo radiante, incidente, reflejado y transmitido (es decir Ii , Ir , It respectivamente), la teor´ıa electromagnética trata éstas dentro del marco de una descripción bastante más completa. El cuerpo de información que forma el tema de la óptica se ha acumulado a lo largo de muchos siglos y al mismo tiempo que el conocimiento del universo f´ısico se hace m´ as extenso, las descripciones teóricas concominantes deben ser a´ un m´ as completas. Ello en general, trae consigo una complejidad aumentada. Y as´ı, en lugar de usar la formidable maquinaria matemática de la teor´ıa cuántica de la luz, muy frecuentemente se aprovechará los puntos de vista más simples de tiempos m´ as simples (por ejemplo, los principios de Huygens, Fermat, etc.). Entonces, aunque se vaya a desarrollar otra descripción más extensa de la reflexi´ on y la refracción, ciertamente no se pondrá de lado esos métodos anteriores. En efecto, a través de este estudio se usará la técnica más simple que se pueda dar resultados suficientemente precisos para los propósitos particulares. ´ 3.1 SECCION

Ondas en una Interfase Sup´ ongase que la onda de luz monocromática incidente es plana y que por tanto tiene la forma: ~i = E ~ 0i ei(~ki ·~r−ωi t) E

(3.1)

~i = E ~ 0i cos ~ki · ~r − ωi t E

(3.2)

o m´ as simplemente:

~ 0i es constante en el tiempo, es decir que la onda es linealmente Suponiendo que E polarizada o polarizada en un plano. Se verá que cualquier forma de luz se puede representar por dos ondas ortogonales polarizadas linealmente de tal forma que esto realmente no representa una restricción. Es preciso notar que as´ı como el origen del tiempo, t = 0, es arbitrario, as´ı también lo es el origen O en el espacio, donde ~r = 0. Entonces, sin hacer suposiciones acerca de sus direcciones, frecuencias, longitudes de onda, fases o amplitudes, se puede escribir las ondas reflejadas y transmitida como: ~r = E ~ 0r cos ~kr · ωr tεr E

(3.3)

~t = E ~ 0t cos ~kt · ωt tεt E

(3.4)

y

48


3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE

~ i , que se introducen debido a Aqu´ı εr y εt son constantes de fase relativas a E que la posici´ on del origen no es u ńica. Las leyes de la teor´ıa electromagnética llevan a ciertos requisitos que deben satisfacer los campos y se referir´ a a ellos como las condiciones de frontera. Espec´ıficamente, uno de estos requisitos es que la componente de la intensidad del ~ que es tangente a la interfase, debe ser cont´ınua a través de campo eléctrico E, ~ En otras palabras, la componente tangencial ella (lo mismo es cierto para H). ~ en un lado de la superficie debe ser igual a la del otro lado. Entonces total de E ya que ~un es el vector unitario normal a la interfase: ~ i + ~un × E ~ r = ~un × E ~t ~un × E

(3.5)

~ 0i cos ~ki · ~r − ωi t + ~un × E ~ 0r cos ~kr · ~r − ωr t + εr ~un × E ~ 0t cos ~kt · ~r − ωt t + εt = ~un × E

(3.6)

o

Esta relaci´ on se debe mantener en cualquier instante de tiempo y en todo punto ~ i, E ~r y E ~ t deben tener precisamente de la interfase (y = b). Consecuentemente, E la misma dependencia funcional de las variables t y r, lo cual quiere decir que: ~ki · ~r − ωi t = ~kr · ~r − ωr t + εr y=b y=b (3.7) = ~kt · ~r − ωt t + εt . y=b

Con esto, los cosenos en la ecuaci´ on (3.6) se anular´ıan dejando una expresión independiente de t y r, como en efecto debe ser. Como esto debe ser cierto para todos los valores del tiempo, los coeficientes de t deben ser iguales, obteniéndose: ωi = ωr = ωt .

(3.8)

Hay que recordar que los electrones dentro del medio están sujetos a vibraciones forzadas (lineales) a la frecuencia de la onda incidente. Claramente, cualquier luz que sea esparcida tiene la misma frecuencia. Además. ~ki · ~r = ~kr · ~r + εr y=b y=b (3.9) = ~kt · ~r + εt , y=b

donde ~r termina en la interfase. Los valores de εr t εt corresponden a una posición dada de O y entonces ellos permiten que la relación sea válida independientemente de esa ubicaci´ on. Por ejemplo, el origen se podr´ıa escoger de modo que ~r fuese perpendicular a ~ki pero no a ~kr o ~kt . De los primeros dos términos se obtiene: h i ~ki − ~kr · ~r = εr . (3.10) y=b


49


Recordando la ecuaci´ on (1.42), esta expresión simplemente dice que el punto extremo de ~ r barre un plano (que es por supuesto la interfase) perpendicular ~ ~ al vector ki − kr . Diciéndolo de manera ligeramente diferente, ~ki − ~kr es paralelo a ~un . Obsérvese, sin embargo, que ya que las ondas reflejada e inci~ ~ dente est´ an en el mismo medio ki = kr . Del hecho de que ki − kr no tiene componente en el plano de la interfase, es decir ~un × ~ki − ~kr = 0, se concluye que: ki sin θi = kr sin θr y por consiguiente se tiene la ley de la reflexión, es decir: θi = θr Adem´ as, ya que ~ki − ~kr es paralelo a ~un , los tres vectores ~ki , ~kr y ~un están en el mismo plano, que es el plano de incidencia. De nuevo, de la ecuación (3.9) se obtiene: h i ~ki − ~kt · ~r = εt (3.11) y=b

y por consiguiente ~ki − ~kt es también normal a la interfase. Entonces, ~ki , ~kr , ~kt y ~un son todos coplanares. Como antes, las componentes tangenciales de ~ki y ~kt deben ser iguales y consecuentemente: ki sin θi = kt sin θt .

(3.12)

pero como ωi = ωt , se puede multiplicar ambos lados por c/ωi para obener: ni sin θi = nt sin θt lo que, por supuesto, es la ley de Snell. Finalmente, se observa que si se hubiese escogido el origen O en la interfase es evidente por las ecuaciones (3.10) y (3.11) que εr y εt hubieran sido ambas nulas. Tal disposición, aunque no tan instructiva, es ciertamente m´ as simple y consecuentemente se usará de aqu´ı en adelante. ......................................................................... 3.1.1 Deducci´ on de las Ecuaciones de Fresnel

~ i (r, t), E ~ r (r, t) Se acaba de encontrar la relación que existe entre las fases de E ~ t (r, t) en la frontera. Hay a´ y E un una interdependencia compartida por las ~ ~ ~ amplitudes E0i , E0r y E0t que ahora se pueden evaluar. Con ese fin se supone que una onda monocrom´ atica plana incide en una superficie plana que separa dos medios isotr´ opicos. Cualquiera que sea la polarización de la onda, se resolverán ~ y B ~ en componentes paralelas y perpendiculares al plano de sus campos E incidencia y se tratar´ an estas componentes separadamente. ~ perpendicular al plano de incidencia. Supóngase ahora que E ~ es Caso 1. E ~ perpendicular al plano de incidencia y que B es paralelo a él. Como E = vB se tiene que: ~k × E ~ = vB ~

(3.13)

~k · E ~ = 0.

(3.14)

ypor supuesto

50



~ B ~ y el vector de propagación ~k forman un sistema derecho. Haciendo es decir E, uso de nuevo de la continuidad de las componentes tangenciales del campo ~ se tiene que en la frontera en cualquier tiempo y en cualquier punto: eléctrico E, ~ 0i + E ~ 0r = E ~ 0t E

(3.15)

donde los cosenos se anulan. Se debe mencionar entre paréntesis que los vectores de campo mostrados realmente deber´ıan ser visualizados en y = 0 (es decir, en la superficie) de donde han sido desplazados a fin de hacer las cosas más claras. ~r y E ~ t deben ser normales al plano de incidencia Obsérvese que mientras que E por simetr´ıa, se est´ a adivinando que ellos deben apuntar fuera de la interfase ~ i lo hace. Las direcci´ ~ se derivan entonces de la cuando E ones de los campos B ecuación (3.13). Se necesita invocar otra de las condiciones en la frontera a fin de obtener una ecuaci´ on m´ as. La presencia de substancias materiales que son polarizadas eléctricamente por la onda tiene un efecto definido en la configuración del cam~ es continua, al pasar po. Entonces, mientras que la componente tangencial de E la frontera, su componente normal no lo es. En su lugar la componente normal ~ es la misma en cualquier lado de la interfase. Similarmente, la del producto εE ~ es continua como lo es la componente tangencial de componente normal de B ~ Aparece aqu´ı el efecto de los dos medios a través de sus permeabilidades µ−1 B. µi y µt . Esta u ´ltima condici´ on en la frontera será la más fácil de usar, particularmente aplicada a la reflexi´ on en la superficie de un conductor. Entonces la ~ continuidad de la componente tangencial de B µ requiere que: −

~i ~r ~t B B B cos θt , cos θi + cos θr = − µi µr µt

(3.16) ~

donde los lados izquierdo y derecho son las magnitudes totales de B µ paralelas a la interfase en los medios incidente y transmitido, respectivamente. La dirección ~i positiva es aquella en la que aumenta x de tal forma que las componentes de B ~ y Bt aparecen con signos menos. De la ecuación (3.13) se tiene: Ei vi Er Br = vr Et Bt = vt Bi =

(3.17) (3.18) (3.19)

Entonces, ya que vi = vr y θi = θr , la ecuación (3.16) se puede escribir como: 1 1 (Ei − Er ) cos θi = Et cos θt . µi vi µi vi

(3.20)

Haciendo uso de las ecuaciones (3.2), (3.3) y (3.4) y recordando que los cosenos que aparecen ah´ı son iguales a uno en y = 0, se obtiene: ni nt (E0i − E0r ) cos θi = Et cos θt . µi µt Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(3.21)

51


Combinado esto con la ecuación (3.15) se obtiene:

E0r E0i

E0t E0i

=− ⊥

ni µi ni µi

cos θi − cos θi +

nt µt nt µt

cos θt

(3.22)

cos θt

y

= − ni ⊥

µi

2 nµii cos θi cos θi +

nt µt

(3.23)

cos θt

El sub´ındice ⊥ sirve como un recordatorio de que se está tratando el caso en el ~ es perpendicular al plano de incidencia. Estas dos expresiones, que son que E afirmaciones completamente generales que se aplican a cualquier medio homogéneo, isotr´ opico y lineal, son dos de las llamadas ecuaciones de Fresnel. Muy a menudo se trata con dieléctricos para los cuales µi ≈ µt ≈ µ0 ; en consecuencia la forma m´ as com´ un de estas ecuaciones es simplemente: r⊥ ≡

E0r E0i

E0t E0i

≡

ni cos θi − nt cos θt ni cos θi + nt cos θt

(3.24)

≡

2ni cos θi ni cos θi + nt cos θt

(3.25)

⊥

y t⊥ ≡

⊥

Aqu´ı r⊥ denota la amplitud del coeficiente de reflexi´ on mientras que t⊥ es la amplitud del coeficiente de transmisi´ on. ~ paralelo al plano de incidencia. Se puede deducir un par similar Caso 2. E ~ está en el plano de incidencia. La de ecuaciones cuando el campo incidente E, ~ en ambos lados de la frontera continuidad de las componentes tangenciales de E lleva a: E0i cos θi − E0r cos θr = E0t cos θt .

(3.26)

En forma muy parecida a la anterior, la continuidad de las componentes tan~ genciales B µ da: 1 1 1 E0i + E0r = E0t µi vi µr vr µt vt

(3.27)

Usando el hecho de que µi = µr = y θi = θr estas fórmulas su pueden combinar para dar dos m´ as de las ecuaciones de Fresnel : tk ≡

E0r E0i

E0t E0i

= k

nt µt ni µi

cos θi − cos θt +

ni µi nt µt

cos θt cos θi

(3.28)

y tk ≡

52

= k

2 nµii cos θi ni µi

cos θt +


nt µt

cos θi

.

(3.29)


Cuando los dos medios que forman la interfase son dieléctricos, los coeficientes de amplitud vienen a ser: rk =

nt cos θi − ni cos θt ni cos θt + nt cos θi

(3.30)

tk =

2ni cos θi ni cos θt + nt cos θi

(3.31)

y

Usando la ley de Snell se puede hacer una simplificación adicional de la notación, por medio de la cual las ecuaciones de Fresnel para medios dieléctricos devienen en: sin(θi − θt ) sin(θi + θt ) tan(θi − θt ) rk = tan(θi + θt ) 2 sin θt cos θi t⊥ = sin(θi + θt ) 2 sin θt cos θi tk = sin(θi + θt ) cos(θi − θt ) r⊥ = −

(3.32) (3.33) (3.34) (3.35)

Se debe introducir una nota de advertencia antes de que se proceda a examinar el considerable significado de los cálculos anteriores. Téngase en mente que las direcciones (o más precisamente las fases) de los campos fueron seleccionadas muy arbitrariamente. Por ejemplo, ciertamente se podr´ıa haber supuesto ~ r apuntaba hacia adentro, por lo que B ~ r hubiese tenido que ser invertique E do también. Si se hubiese hecho eso, el signo de r⊥ habr´ıa resultado positivo, mientras que los otros coeficientes de amplitud no habr´ıan cambiado. Los signos que aparecen en las ecuaciones (3.32) hasta (3.35), en este caso +, excepto el primero, corresponden al conjunto particular de direcciones de campo seleccionadas. El signo menos, como se verá, solamente significa que no se adivina correctamente la direcci´ on de Er . No obstante hay que tener presente que la literatura no es uniforme y que se puede encontrar cualquier posible signo bajo el t´ıtulo de ecuaciones de Fresnel. Para evitar confusión, tales ecuaciones deben estar relacionadas con las direcciones espec´ıficas de los campos de las que fueron deducidas.

.........................................................................

3.1.2 Esta secci´ on est´ a dedicada a un examen de las implicaciones f´ısicas de las Interpretaci´ on ecuaciones de Fresnel. En particular se est´ a interesado en determinar las amde las plitudes fraccionarias y densidades de flujo que se reflejan y refractan. Adem´ as Ecuaciones interesa cualquier posible corrimiento de fase que pueda aparecer en el proceso. de Fresnel

1. Coeficientes de amplitud. Se examinará ahora brevemente la forma de los coeficientes de amplitud sobre el rango completo de valores de θi . A incidencia casi normal (θi ≈ 0) las tangentes en la ecuación (3.33) son esencialmente iguales a los senos, en cuyo caso: sin(θi − θt ) rk θ =0 = [−r⊥ ]θi =0 = i sin(θi + θt ) θi =0 Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

53


Se volver´ a después al significado del signo menos. Después de desarrollar los senos y usar la ley de Snell esta expresión queda: nt cos θi − ni cos θt rk θ =0 = [−r⊥ ]θi =0 = (3.36) i nt cos θi + ni cos θt θi =0 la cual se deriva también de las ecuaciones (3.24) y (3.30). En el l´ımite, cuando θi va a 0, cos θi y cos θt se acercan ambos a la unidad y, consecuentemente, nt − ni rk θ =0 = [−r⊥ ]θi =0 = (3.37) i nt + ni θi =0 Entonces, por ejemplo, en una interfase aire (ni = 1) vidrio (nt = 1,5) cerca de una incidencia normal, los coeficientes de reflexión son iguales a ±0,2. Cuando nt > ni se deduce de la ley de Snell que θi > θt y as´ı r⊥ es negativo para todos los valores de θi . Por el contrario, rk comienza siendo positivo en θi = 0 y decrece gradualmente hasta que se anula cuando θi + θt = 90o ya que tan π/2 es infinita. El valor particular del ángulo de incidencia para el cual esto ocurre se denota por θp y se conoce como el angulo de polarizaci´ ´ on. 1 Cuando θi aumenta más allá de θp , rk se hace a´ un m´ as negativa hasta llegar a -1.0 a los 90o . A incidencia normal las ecuaciones (3.25) y (3.31) llevan directamente, a: tk θ

i =0

= [t⊥ ]θi =0 =

2ni . ni + nt

(3.38)

Asumiendo que: t⊥ + (−r⊥ ) = 1

(3.39)

es v´ alida para todo valor de θi mientras que: tk + rk = 1

(3.40)

es v´ alida solamente a incidencia normal. La discusi´ on anterior, en su mayor parte, estaba restringida al caso de reflexi´ on externa es decir nt > ni . La situación opuesta de reflexi´ on interna en la cual el medio incidente es más denso (ni > nt ), es ciertamente también de interés. En ese caso θt > θi y r⊥ , como se describe en la ecuaci´ on (3.11), será simplemente positiva. r⊥ aumenta desde su valor inicial (3.37) en θi = 0 llegando a más de uno en lo que se llama ´ angulo cr´ıtico, θc . Espec´ıficamente θc es el valor especial del ángulo de incidencia para el cual θt = π/2. En la misma forma, rk comienza negativamente (3.37) en θi = 0 y después aumenta hasta llegar a más de uno en θi = θc , como es evidente seg´ un la ecuación de Fresnel (3.30). Como antes rk pasa por cero en el ´ angulo de polarizaci´ on θp0 . Los ángulos de polarización θp0 y θp para la reflexión interna y externa en la interfase entre los mismos dos medios son simplemente complemento el uno del otro. Posteriormente se regresar´ a a la reflexión interna, donde se demostrará que r⊥ y rk son cantidades complejas para θi > θc . 1 Este

54

angulo se conoce tambi´ ´ en como ´ angulo de Brewster



2. Corrimientos de fase. Debe ser evidente seg´ un la ecuación (3.32) que r⊥ es negativo independientemente de θi cuando h i nt > ni . Además se vio anteriormente que si ~r en la dirección opuesta, la primera ecuación de se hubiese escogido E ⊥

Fresnel (3.32), hubiese cambiado de signo haciendo que r⊥ se tornara positivo. relativas h Entonces i h eli signo de r⊥ está asociado con las direcciones h i ~ ~ ~ de E0i y E0r . Recuérdese que una inversión de E0r es equiva⊥ ⊥ ⊥ h i ~r . lente a introducir un corrimiento de fase, ∆ϕ⊥ , de π radianes en E ⊥ h i h i ~i ~r Por consiguiente en la frontera E y E serán antiparalelos y por ⊥ ⊥ lo tanto fuera de fase en π uno respecto del otro, como lo indica el valor negativo de r⊥ . Cuando se consideran las componentes normales al plano de incidencia no hay confusión sobre si los dos campos están en fase o π radianes fuera de fase; si son paralelos están en fase; si son antiparalelos est´ an π fuera de fase. Resumiendo entonces, la componente del campo eléctrico normal al plano de incidencia sufre un corrimiento de fase de π radianes bajo reflexi´ on cuando el medio incidentte tiene un ´ındice m´ as bajo que el medio transmisor. Similarmente t⊥ y tk son siempre positivas y ∆ϕ = 0. Adem´ as, cuando ni > nt no resulta corrimiento de fase en la componente normal al reflejarse, es decir ∆ϕ⊥ = 0 siempre que θi < θc . h i h i h i ~i , E ~r y E ~t . Las cosas son menos obvias cuando se consideran E k

k

k

Es necesario ahora definir m´ as expl´ıcitamente lo que se quiere decir por en fase ya que los vectores de fase son coplanares pero generalmente no colineales. Las direcciones del campo se escogieron de tal forma que mirando cualquiera de los vectores de propagación en la dirección en que viene la ~ B ~ y ~k se ven con la misma orientación relativa sea cual sea el rayo luz E, incidente, reflejado o transmitido. Se puede usar esto como la condición ~ estén en fase. Equivalentemente requerida a fin de que los dos campos E pero m´ as simplemente, dos campos en el plano incidente est´ an en fase si sus componentes son paralelas y fuera de fase si son antiparalelas. Hay ~ están fuera de fase, también lo que notar que cuando un par de campos E ~ estan sus campos asociados B y viceversa. Con esta definición se necesita ~ solamente ver los vectores normales al plano de incidencia, sean ellos E ~ o B, para determinar la fase relativa de los campos acompa˜ nantes en el ~i y E ~ t están en fase como lo están B ~i y B ~t plano incidente. Entonces, E ~ ~ ~ ~ mientras que Ei y Er est´ an fuera de fase junto con Bi y Br . Similarmente ~ i, E ~r y E ~ t est´ ~ i, B ~r y B ~ t. E an en fase como lo están B Ahora, el coeficiente de amplitud de reflexión para la componente paralela est´ a dado por: nt cos θi − ni cos θt rk = nt cos θi + ni cos θt el cual es positivo (∆ϕk = 0) siempre que: nt cos θi − ni cos θt > 0 es decir, si: sin θi cos θi − cos θt sin θt > 0. Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

55


o equivalentemente: sin(θi − θt ) cos(θi + θt ) > 0.

(3.41)

Este ser´ a el caso para el que ni < nt si (θi + θt ) <

π 2

(3.42)

(θi + θt ) >

π 2

(3.43)

y para ni > nt cuando

h i h i ~ 0r y E ~ 0i estarán en fase (∆ϕk = 0) hasta Y as´ı, cuando ni < nt , E k

k

que θi = θp y fuera de fase en π radianes h dei ah´ı en adelante. La transición ~ 0r va a cero en θp . Por el conno es en realidad discontinua ya que E k

trario, para reflexión interna rk es negativa hasta θp0 lo cual quiere decir que ∆ϕk = π. Desde θp0 a θc , rk es positiva y ∆ϕk = 0. Más allá de θc , rk se hace compleja. y ∆ϕk aumenta gradualmente hasta π para θi = 90o . La forma funcional real de ∆ϕk y ∆ϕ⊥ para reflexión interna en la región donde θi > θc se puede encontrar en la literatura. 3. Reflectancia y transmitancia. Hay que recordar que la potencia por unidad de área que cruza una super~ el vector de Poynting, está ficie en el vac´ıo cuya normal es paralela a S, dado por: ~ = c2 0 E ~ × B. ~ S Adem´ as, la densidad de flujo radiante (W/m2 ) o irradiancia es entonces: I = hSi =

c0 2 E . 2 0

Esta es la energ´ıa promedio por unidad de tiempo que cruza un área ~ (en medios isotrópicos S ~ es paralela a ~k). En el caso unitaria normal a S que se considera sean Ii , Ir y It las densidades de flujo incidente, reflejado y transmitido respectivamente. Luego, la porción de energ´ıa incidiendo normalmente en un ´ area unitaria de la frontera por segundo es Ii cos θi . Similarmente, Ir cos θr y It cos θt son las energ´ıas por segundo que salen de un ´ area unitaria de la frontera normalmente en cada lado. La reflectancia R es la raz´ on del flujo (o potencia) reflejado al incidente, es decir: R≡

Ir cos θr Ir = , Ii cos θi Ii

(3.44)

mientras que la transmitancia T es la razón del flujo transmitido al incidente y est´ a dada por: T ≡ 56

It cos θt . Ii cos θi


(3.45)

3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE 2 El cociente Ir /Ii es igual a (vr r E0r /2)(vi i E0i /2) y ya que las ondas reflejadas e incidente est´ an en el mismo medio vr = vi , r = i , y

R=

E0r E0i

2

= r2 .

(3.46)

En la misma forma (suponiendo µi = µt = µ0 ): nt cos θt ni cos θi

T =

E0t E0i

2

=

nt cos θt ni cos θi

t2 ,

(3.47)

donde se us´ o el hecho de que µ0 t = 1/vt2 y µ0 vt t = nt /c. La energ´ıa total que llega al ´ area A por unidad de tiempo debe igualar a la energ´ıa que fluye fuera de ella por unidad de tiempo; Ii A cos θi = Ir A cos θr + It A cos θt ,

(3.48)

Es evidente aqu´ı que el ´ area transversal del haz transmitido, A cos θt es m´ as grande que la de los haces incidente o reflejado (que son iguales). Multiplicando ambos lados por c esta expresión queda: 2 2 2 ni E0i cos θi = ni E0r cos θi + nt E0t cos θt

o 1=

E0r E0i

2

+


E0t E0i

2 .

(3.49)

Pero esto es simplemente R+T =1

(3.50)

donde no hay absorci´ on. Es conveniente usar las formas componentes, es decir: 2 R⊥ = r⊥

Rk =

(3.51)

rk2

T⊥ =

(3.52)



t2k

(3.53)

t2k

(3.54)

y Tk = Se puede demostrar que: Rk + Tk = 1

(3.55)

R⊥ + T⊥ = 1

(3.56)

y


57


Una caracter´ıstica interesante de estas curvas se verfica fácilmente, al menos cualitativamente, y ella es que ambas Rk y R⊥ se acercan a uno cuando θi → 90o . Esto significa que casi cualquier interfase dieléctrica muy lisa se comportar´ a como un espejo para la incidencia rasante. Inténtese observar una fuente luminosa usando esta página como una superficie de frontera donde θi ≈ 90o . Se podrá ver una imagen bastante clara de la fuente reflejada en el papel. Cuando θi = 0 el plano incidente queda indefinido y cualquier distinción entre las componentes paralela y perpendicualr de R y T desaparece. En este caso las ecuaciones (3.51) hasta (3.54) junto con (3.37) y (3.38) llevan a: 2 nt − ni (3.57) R = Rk = R⊥ = nt + ni y T = Tk = T⊥ =

4nt ni . (nt + ni )2

(3.58)

Entonces el 4 % de la luz incidente normalmente en una interfase airevidrio ser´ a reflejada tanto internamente, ni > nt , como externamente, ni < nt . Esto obviamente será de gran interés para cualquiera que esté trabajando con un sistema complicado de lentes con diez o veinte de tales fronteras aire-vidrio. En efecto, si se mira perpendicularmente una pila de alrededor de 50 portaobjetos de microscopio (los cubreobjetos son mucho m´ as delgados y más fáciles de manejar en grandes cantidades) la mayor parte de la luz se reflejará. La pila se comportará como si fuese un espejo.

58


CAPÍTULO 4

Superposici´ on de Ondas Índice General 4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . 4.1.1. El Método Algebraico . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. El Método Complejo . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . 4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . .

59

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. 61 . 61 . 65 . 66 . 67 . 68 . 69 . 70

´ DE ONDAS CAPÍTULO 4. SUPERPOSICION

En los cap´ıtulos siguientes se estudiarán los fenómenos de polarización, interferencia y difracci´ on. Todos ellos comparten una base conceptual com´ un ya que en su mayor parte tienen relación con varios aspectos del mismo proceso. Afirmando esto en los términos más simples, se dirá que interesa saber qué sucede cuando dos o m´ as ondas de luz se superponen en la misma región del espacio. Las circunstancias precisas que gobiernan esta superposición, por supuesto, determinan la perturbaci´ on óptica final. Entre otras cosas, se está interesado en comprender c´ omo las propiedades espec´ıficas de cada onda constitutiva (es decir, amplitud, fase, frecuencia, etc.) influencian la forma u ´ltima de la perturbación compuesta. Es preciso recordar que cada componente del campo de una onda electromagnética (Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz ) satisface la ecuación de onda diferencial tridimensional escalar. 1 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t2 Una caracter´ıstica muy significativa de esta expresión es que es lineal, es decir, ψ (~r, t) y sus derivadas aparecen solamente con la primera potencia. Por lo tanto, si ψ1 (~r, t) , ψ2 (~r, t) , . . . , ψn (~r, t), son soluciones individuales de la ecuaci´ on (1.59), cualquier combinaci´ on lineal de éstas a su vez, será una socución. Entonces ψ (~r, t) =

n X

Ci ψi (~r, t)

(4.1)

i=1

satisface la ecuaci´ on de onda, donde los coeficientes Ci son simplemente constantes arbitrarias. Esta propiedad, conocida como principio de superposici´ on, sugiere que la perturbación resultante en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas constitutivas separadas. Ahora sólo se está interesado en sistemas lineales donde el principio de superposición es en realidad aplicable. Téngase en mente, sin embargo, que ondas de amplitud grande, bien sean ondas de sonido u ondas de una cuerda, pueden generar una respuesta no lineal. El haz de un l´ aser de alta intensidad enfocado (donde el campo eléctrico podr´ıa ser tan alto como 1010 V/cm) puede evocar efectos no lineales. Por comparaci´ on, el campo eléctrico asociado con la luz del sol aqu´ı en la Tierra tiene una amplitud de alrededor de 10 V/cm. Hay muchos casos en los que no se necesita preocuparse con la naturaleza vectorial de la luz y por el momento el estudio se restringirá a tales casos. Por ejemplo, si todas las ondas de luz se propagan a lo largo de la misma l´ınea y comparten un plano com´ un constante de vibración, cada una de ellas podr´ıa ser descrita en términos de una componente del campo eléctrico. Todas éstas podr´ıan ser paralelas o antiparalelas en cualquier instante y podr´ıan entonces ser tratadas como escalares. Mucho más se dirá acerca de este punto conforme se progrese; por ahora se representará la perturbación óptica por una función escalar E (~r, t) que es una solución de la ecuación (1.59). Este procedimiento lleva a una teor´ıa escalar simple que es altamente u ´til siempre que se sea cuidadoso al aplicarla. 60


4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA ´ 4.1 SECCION

Suma de Ondas de la Misma Frecuencia ......................................................................... 4.1.1 El M´ etodo Algebraico

Recuérdese que se puede escribir una solución de la ecuación diferencial de onda en la forma: E(x, t) = E0 sin[ωt − (kx + ε)]

(4.2)

en la cual E0 es la amplitud de la perturbación armónica que se propaga a lo largo de la direcci´ on positiva del eje x. Alternativamente, hágase: α(x, ε) = −(kx + ε)

(4.3)

E(x, t) = E0 sin[ωt + α(x, ε)].

(4.4)

tal que

Supóngase entonces que se tienen dos de tales ondas E1 = E01 sin(ωt + α1 )

(4.5)

E2 = E02 sin(ωt + α2 )

(4.6)

y

las dos con la misma frecuencia y velocidad, superponiéndose en el espacio. La perturbaci´ on resultante es la superposición lineal de estas ondas. Entonces E = E1 + E 2 o, al desarrollar las ecuaciones (4.5) y (4.6) E =E01 (sin ωt cos α1 + cos ωt sin α1 ) + E02 (sin ωt cos α2 + cos ωt sin α2 ). Por lo tanto E =(E01 cos α1 + E02 cos α2 ) sin ωt + (E01 sin α1 + E02 sin α2 ) cos ωt. Ya que los términos entre paréntesis son constantes en el tiempo, se hace E0 cos α = E01 cos α1 + E02 cos α2

(4.7)

E0 sin α = E01 sin α1 + E02 sin α2 .

(4.8)

y

Esta no es una sustituci´ on obvia pero será leg´ıtima siempre que se pueda despejar E0 y α. Con ese fin, se eleva al cuadrado y se suman las ecuaciones (4.7) y (4.8) para obtener 2 2 E02 = E01 + E02 + 2E01 E02 cos(α2 − α1 )


(4.9) 61


y dividiendo la ecuaci´ on (4.8) por la (4.7) se obtiene tan α =

E01 sin α1 + E02 sin α2 E01 cos α1 + E02 cos α2

(4.10)

la perturbaci´ on total queda entonces: E = E0 cos α sin ωt + E0 sin α cos ωt o E = E0 sin(ωt + α).

(4.11)

La onda compuesta (4.11) es arm´ onica y de la misma frecuencia que las constitutivas aunque su amplitud y fase son diferentes. La densidad de flujo de una onda de luz es proporcional a su amplitud al caudrado en virtud de la ecuación (2.52). Entonces de deduce de la ecuación (4.9) que la densidad de flujo resultante no es simplemente la suma de las densidades de flujo componentes —hay una contribuci´ on adicional 2E01 E02 cos(α1 − α2 ) conocida como el término de interferencia. El factor crucial es la diferencia en fase entre las dos ondas que interfieren E1 y E2 δ ≡ (α1 − α2 ). Cuando δ = 0, ±2π, ±4π, . . . la amplitud resultante es un m´ aximo mientras que δ = ±π, ±3π, . . . da un m´ınimo. En el primer caso, se dice que las ondas están en fase, cresta sobre cresta. En el u ´ltimo caso las ondas est´ an 180o fuera de fase y los valles están sobre las crestas. Obsérvese que la diferencia de fase puede aparecer por una diferncia en la longitud del camino atravesado por las dos ondas o también por una diferencia en la fase incial, es decir, δ = (kx1 + ε1 ) − (kx2 + ε2 )

(4.12)

2π (x1 − x2 ) + (ε1 − ε2 ) λ

(4.13)

o δ=

Aqu´ı x1 y x2 son las distancias desde las fuentes de las dos ondas hasta el punto de observaci´ on y λ es la longitud de onda en el medio en que viajan. Si las ondas est´ an inicialmente en fase en sus emisores respectivos, entonces ε1 = ε2 , y δ=

2π (x1 − x2 ) λ

(4.14)

Esto también se aplicar´ıa al caso donde dos perturbaciones de la misma fuente viajen diferentes rutas antes de llegar al punto de observación. Ya que n = c/v = λ0 /λ δ= 62

2π n(x1 − x2 ). λ0


(4.15)

4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA

La cantidad n(x1 − x2 ) se conoce como la diferencia de camino ´ optico y se expresará por la abreviatura D.C.O. o por el s´ımbolo Λ. Hay que recordar que es posible, en situaciones m´ as complicadas, que cada onda viaje a través de un n´ umero de medios diferentes con espesores diferentes. Obsérvese también que Λ/λ0 = (x1 − x2 )/λ es el n´ umero de ondas en el medio que corresponde a la diferencia de camino. Ya que cada longitud de onda está asociada con un cambio de fase de 2π radianes, δ = 2π(x1 − x2 )/λ, o más brevemente δ = k0 Λ,

(4.16)

donde k0 es el n´ umero de propagación en el vac´ıo, es decir, 2π/λ0 . Las ondas para las que ε1 − ε2 es constante, independientemente de su valor, son coherentes; una situaci´ on que se supondrá que se consigue en casi toda esta discusi´ on. Hay un caso especial que es de alg´ un interés y es la superposición de las ondas E1 = E01 sin[ωt − k(x + ∆x)] y E2 = E02 sin(ωt − kx), donde en particular E01 = E02 y α1 − α2 = k∆x. Se deja demostrar que en este caso las ecuaciones (4.9), (4.10) y (4.11) llevan una onda resultante de k∆x ∆x sin ωt − k x + . (4.17) E = 2E01 cos 2 2 Esto pone de manifiesto claramente el papel dominante que juega la diferencia de caminos, ∆x, especialmente cuando las ondas emitidas están en fase (ε1 − ε2 ). Hay muchos casos pr´ acticos donde uno arregla justamente estas condiciones como se ver´ a m´ as tarde. Si ∆x λ la resultante tiene una amplitud muy cercana al valor 2E02 ; mientras que es cero si ∆x = λ/2. En la primera situación se dice que hay interferencia constructiva mientras que en la u ´ltima hay interferencia destructiva. Para aplicaciones repetidas del procedimiento usado para llegar a la ecuación (4.11) se puede demostrar que la superposici´ on de cualquier n´ umero de ondas arm´ onicas coherentes que tienen una frecuencia dada y viajan en la misma direcci´ on lleva a una onda arm´ onica de la misma frecuencia. Por simple casualidad se ha escogido representar las dos ondas en términos de funciones seno pero el mismo resultado hubiese aparecido si se hubiese usado funciones coseno. Entonces en general la suma de N de tales ondas, E=

N X

E0i cos(αi ± ωt)

i=1

está dada por E = E0 cos(α ± ωt)

(4.18)

donde E02 =

N X i=1

2 E0i +2

N X N X

E0i E0j cos(αi − αj )

(4.19)

j>i i=1


63


y N X

tan α =

i=1 N X

E0i sin αi (4.20) E0i cos αi

i=1

H´ agase una pausa por un momento y conténtese con que estas relaciones son en efecto verdaderas. Imag´ınese que se tiene un n´ umero muy grande de fuentes independientes (N ) donde los ángulos de fase, αi , están ahora completamente al azar. En otras palabras, la fase inicial para cada fuente puede tener cualquier valor entre 0 y 2π en una forma que no tiene ninguna relación con alguna otra fuente, o los emisores pueden estar localizados al azar, o ambas cosas. Aunque es aplicable a fuentes de luz, este arreglo se puede también visualizar con generadores de microondas o aun con violines. Los resultados que se obtienen se aplican bien sea que las amplitudes sean todas iguales o no, pero el primer caso es m´ as simple de apreciar. Por lo tanto, hágase que cada amplitud en la ecuaci´ on (4.19) sea E01 . Si N es suficientemente grande, cos(αi − αj ) tomará valores tanto positivos como negativos con la misma probabilidad y el segundo término en la ecuaci´ on (4.19) se aproximará a cero. Por lo tanto: 2 E02 = N E01

(4.21)

La densidad de flujo resultante debida a N fuentes que tienen fases al azar est´ a dada por N veces la densidad de flujo de cualquier fuente. En otras palabras, est´ a determinada por la suma de las densidades de flujo individuales. Por ejemplo, la luz que emana de una fuente térmica (en contraposición con lo que sucede en un l´ aser) est´ a compuesta de radiación de un gran n´ umero de emisores atómicos. Las ondas generadas por estas fuentes microscópicas tienen fases al azar y entonces sus densidades de flujo individuales se combinan en la manera que se ha considerado para formar la densidad de flujo total. Adem´ as, los emisores atómicos var´ıan en fase rápidamente y al azar y por consiguiente también lo hace as´ı la onda total que resulta de la fuente. Dos o más fuentes térmicas separadas (lámparas de descarga, iluminadores fotográficos, focos, etc.) ser´ an incoherentes en virtud de estas rápidas variaciones en δ. Ya que la densidad de flujo es proporcional al promedio en el tiempo de E02 , tomada generalmente sobre un intervalo de tiempo grande, y ya que las α son funciones del tiempo a través de fases iniciales, cos [αi (t) − αj (t)] promediará de nuevo a cero. En el otro extremo, si las fuentes son coherentes y están en fase en el punto de observaci´ on, es decir, αi = αj , la ecuación (4.19) quedará E02 =

N X

2 E0i +2

N X N X

i=1

E0i E0j

j>i i=1

o equivalentemente E02

=

N X

!2 E0i

i=1

64


.

(4.22)

4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA

De nuevo suponiendo que cada amplitud es E01 , se obtiene 2 E02 = (N E01 )2 = N 2 E01 .

(4.23)

En este caso de fuentes coherentes en fase se tiene una situaci´ on en que las amplitudes se suman primero y entonces se elevan al cuadrado para determinar la densidad de flujo resultante. La superposición de ondas coherentes generalmente tiene el efecto de alterar la distribución espacial de la energ´ıa pero no la cantidad total presente. Si hay regiones donde la densidad de flujo es mayor que la suma de las densidades de flujo individuales, habrá regiones donde será menor que esa suma. ......................................................................... 4.1.2 El M´ etodo Complejo

A menudo es matem´ aticamente conveniente hacer uso de la representación compleja de las funciones trigonométricas cuando se está manejando la superposici´ on de perturbaciones arm´ onicas. La onda E1 = E01 cos(kx ± ωt + ε1 ) o E1 = E01 cos(α1 ∓ ωt) se puede entonces escribir como: E1 = E01 ei(α1 ∓ωt) ,

(4.24)

si se recuerda que se est´ a solamente interesado en la parte real. Supóngase que hay N de tales ondas que se superponen con la misma frecuencia y viajando en la direcci´ on positiva de x. La onda resultante est´ a dada por: E = E0 ei(α+ωt) la cual es equivalente a la ecuaci´ on (4.18) o después de sumar las ondas componentes   N X E= E0j eiαj  eiωt . (4.25) j=1

La cantidad E0 eiα =

N X

E0j eiαj

(4.26)

j=1

se conoce como la amplitud compleja de la onda compuesta y es simplemente la suma de las amplitudes complejas de las constitutivas. Ya que E02 = (E0 eiα )(E0 eiα )∗ ,

(4.27)

siempre se puede calcular la irradiancia resultante de las ecuaciones (4.26) y (4.27). Por ejemplo, si N = 2, E02 = (E01 eiα1 + E02 eiα2 )(E01 e−iα1 + E02 e−iα2 ), de donde

h i 2 2 E02 = E01 + E02 + E01 E02 ei(α1 −α2 ) + e−i(α1 −α2 )

o 2 2 E02 = E01 + E02 + 2E01 E02 cos(α1 − α2 ),

la cual es idéntica a la ecuaci´ on (4.9). Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

65

´ DE ONDAS CAPÍTULO 4. SUPERPOSICION ......................................................................... 4.1.3 Suma de Fasores

La suma descrita en la ecuación (4.26) se puede representar gráficamente como la suma de vectores en el plano complejo. En la jerga de la ingenier´ıa electr´ onica la amplitud compleja se conoce como fasor y se especifica por su magnitud y fase; a menudo se escribe simplemente en la forma E0 ∠α. El método de la suma de fasores que se va a desarrollar ahora se puede emplear sin apreciar su relaci´ on con el formalismo de los n´ umeros complejos. En bien de la simplicidad, en su mayor parte se evitará el uso de esa interpretación en lo que sigue. Imag´ınese entonces que se tiene una perturbación descrita por: E1 = E01 sin(ωt + α1 ). Se representa la onda por un vector de longitud E01 girando en sentido contrario a los puntos de un reloj con una rapidez ω tal que su proyección en el eje vertical es E01 sin(ωt + α1 ). Si se hubiese trabajado con las ondas coseno, se habr´ıa tomado la proyección sobre el eje horizontal. Incidentalemente, el vector rotatorio es por supuesto el fasor E01 ∠α1 y las notaciones R e I denotan los ejes real e imaginario. Similarmente, una segunda onda es E2 = E02 sin(ωt + α2 ) La suma algebraica, E = E1 +E2 , es la proyección en el eje I del fasor resultante determinado por la suma de vectores de los fasores componentes. La ley de los cosenos aplicada al tri´ angulo de lados E01 , E02 y E0 da 2 2 E02 = E01 + E02 + 2E01 E02 cos(α2 − α1 ),

donde se hizo uso del hecho de que cos[π − (α2 − α1 )] = − cos(α2 − α1 ). Esta es idéntica a la ecuaci´ on (4.9), como debe ser. Usando el mismo diagrama, obsérvese que tan α est´ a dada también por la ecuación (4.10). Generalmente interesa encontrar E0 en lugar de E(t) y ya que E0 no está afectada por el constante girar de todos los fasores, a menudo ser´ a conveniente poner t = 0 y as´ı eliminar esa rotación. Algunos esquemas muy elegantes como la curva de vibraci´ on y la espiral de Cornu ser´ an explicados con la técnica de la suma de fasores. Además, es un punto de vista gr´ afico que a menudo permite entender mejor el problema. Como ejemplo final se examinará brevemente la onda resultante de la suma de: E1 E2 E3 E4

= 5 sin ωt = 10 sin(ωt + 45o ) = sin(ωt − 15o ) = 10 sin(ωt + 120o )

y E5 = 8 sin(ωt + 180o ). donde ω est´ a en grados por segundo. En los fasores 5∠0o , 10∠45o , 1∠120o y o 8∠180 cada ´ angulo de fase, bien sea positivo o negativo, tiene como referencia la horizontal. S´ olo se necesita leer E0 ∠α con una escala y un transportador para obtener E = E0 sin(ωt + α). Es evidente que esta técnica ofrece una ventaja tremenda en velocidad y simplicidad si no en precisión. 66


4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA ......................................................................... 4.1.4 Ondas Estacionarias

Se vio que la soluci´ on general de la ecuación diferencial de onda consist´ıa en una suma de ondas viajantes, ψ(x, t) = C1 f (x − vt) + C2 g(x + vt). En particular se va a examinar dos ondas arm´ onicas de la misma frecuencia propag´ andose en direcciones opuestas. Una situación de interés práctico aparece cuando la onda incidente se refleja hacia atrás por alg´ un tipo de espejo; una pared r´ıgida funcionar´ıa para ondas de sonido o una lámina conductora para ondas electromagnéticas. Imag´ınese entonces que una onda incidente que viaja a la izquierda, EI = E0I sin(kx + ωt + εI )

(4.28)

llega a un espejo en x = 0 y se refleja hacia la derecha en la forma: ER = E0R sin(kx − ωt + εR ).

(4.29)

La onda compuesta en la regi´ on a la derecha del espejo es E = EI + ER . Se podr´ıa efectuar la suma indicada y llegar a una solución general en forma muy parecida a la de la secci´ on 4.1. Hay, sin embargo, algunos conocimientos f´ısicos que se pueden obtener tomando un camino ligeramente más restringido. La fase inicial εI se puede poner en cero simplemente poniendo en marcha el reloj cuando EI = E0I sin kx. Hay algunas cualidades determinadas por el arreglo f´ısico que deben ser satisfechas por la solución matemática y se conocen formalmente como condiciones de contorno. Por ejemplo, si se estuviese hablando de una cuerda con un extremo atado a una pared en x = 0, ese punto debe tener siempre desplazamiento cero. Las dos ondas que se superponen, una incidente y la otra reflejada, deben sumarse de tal manera que den una onda resultante cero en x = 0. Similarmente, en la frontera de una lámina perfectamente conductora la onda electromagnética resultante debe tener una componente del campo eléctrico nula paralela a la superficie. Suponiendo que E0I = E0 , las condiciones de contorno requieren que en x = 0, E = 0 y ya que εI = 0 se deduce de las ecuaciones (4.28) y (4.29) que εR = 0. La perturbación compuesta es entonces: E = E0I [sin(kx + ωt) + sin(kx − ωt)]. Aplicando ahora la identidad 1 1 sin α + sin β = 2 sin (α + β) cos (α − β) 2 2 se obtiene E(x, t) = 2E0I sin kx cos ωt.

(4.30)

Esta es la ecuaci´ on de una onda estacionaria, en contraste con una onda viajera. Su perfil no se mueve en el espacio; claramente no es de la forma f (x ± vt). En cualquier punto x = x0 la amplitud es una constante igual a 2E0I sin kx0 y E(x0 , t) var´ıa arm´ onicamente con cos ωt. En ciertos puntos, que son x = 0, λ/2, λ, 3λ/2, . . ., la perturbaci´ on será cero en todo instante. Estos seconocen como nodos o puntos nodales. A medio camino entrecada par adyacente de nodos, es decir, en x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, . . ., la amplitud tiene un valor de Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

67


±2E0I y esos puntos se conocen como antinodos. La perturbación E(x, t) será cero para todos los valores de x donde quiera que cos ωt = 0, es decir, cuando t = (2m + 1)τ /4 donde m = 0, 2, 3, . . . y τ es el per´ıodo de las ondas componentes. Si la reflexi´ on en el espejo no es perfecta, como es a menudo el caso, la onda compuesta tendr´ a una componente viajera junto con la onda estacionaria. Bajo tales condiciones habr´ a una transferencia neta de energ´ıa en contraste con la onda estacionaria pura donde no hay ninguna. Fue mediante la medición de las distancias entre los nodos de ondas estacionarias como Hertz pudo determinar la longitud de onda de la radiación en sus hist´ oricos experimentos. Unos pocos a˜ nos más tarde, en 1890, Otto Wiener demostr´ o por primera vez la existencia de ondas estacionarias en las ondas luminosas. El arreglo que utilizó consiste en un haz paralelo de luz cuasimonocrom´ atica normalmente incidente reflejándose en un espejo plateado en la cara frontal al haz. Una pel´ıcula fotográfica, transparente y delgada de menos de λ/20 de espesor se ha depositado en una placa de vidrio, inclinada con respecto al espejo con un ´ angulo de 10−3 radianes. En esa forma la placa de pel´ıcula intersecta el patr´ on de ondas planas estacionarias. Después de revelar la emulsi´ on se encontraron una serie de bandas ennegrecidas paralelas, equidistantes. Estas correspond´ıan a las regiones donde la pel´ıcula fotográfica hab´ıa intersectado los planos antinodales. Muy significativamente, no hubo ennegrecimiento de la emulsi´ on en la superficie del espejo. Se puede demostrar que los nodos y antinodos de la componente del campo magnético de una onda electromagnética estacionaria se alternan con los del campo eléctrico. Esto se podr´ıa haber sospechado del hecho de que t = (2m + 1)τ /4, E = 0 para todos los valores de x y as´ı para conservar energ´ıa se deduce que B 6= 0. De acuerdo con la teor´ıa, Hertz (1888) previamente hab´ıa determinado la existencia de un punto nodal del campo eléctrico en la superficie de su reflector. Por consiguiente, Wiener pudo concluir que las regiones ennegrecidas estaban asociadas con los antinodos del ~ Entonces es el campo eléctrico el que dispara el proceso fotoqu´ımico. campo E. ~ es el En una forma muy parecida Drude y Nernst demostraron que el campo E responsable de la fluorescencia. Estas observaciones son tdas muy entendibles ~ del campo de ya que la fuerza ejercida en un electrón por la componente B una onda electromagnética es generalmente despreciable en comparación con la ~ Es por estas razones que se refiere al campo eléctrico como la del campo E. perturbaci´ on ´ optica o campo de luz. ´ 4.2 SECCION

Suma de Ondas de Diferente Frecuencia Hasta ahora el an´ alisis se ha restringido a la superposici´ on de ondas con la misma frecuencia. Sin embargo, en realidad nunca se tiene perturbaciones de ning´ un tipo que sean estrictamente monocromáticas. Será bastante más realista, como se ver´ a, hablar de luz cuasimonocromática que está compuesta de un estrecho rango de frecuencias. El estudio de tal luz llevará a los importantes conceptos de ancho de banda y tiempo de coherencia. La habilidad para modular efectivamente la luz hace posible acoplar sistemas electr´ onicos y ´ opticos en una forma que ciertamente tendrán efectos de 68


4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA

gran alcance sobre toda la tecnolog´ıa en las décadas por venir. Además, con el advenimiento de las técnicas electro-ópticas, la luz está comenzando a jugar un nuevo y significativo papel como transportador de información. Esta sección está dedicada a desarrollar algunas de las ideas matemáticas que se necesitan para apreciar este nuevo énfasis. ......................................................................... 4.2.1 Pulsos

Considérese ahora la perturbaci´ on compuesta que aparece de la combinación de las ondas: E1 = E01 cos(k1 x − ω1 t) E2 = E01 cos(k2 x − ω2 t) las cuales tienen amplitudes iguales y fase inicial cero. La onda neta: E = E01 [cos(k1 x − ω1 t) + cos(k2 x − ω2 t)] puede formularse de nuevo como 1 E = 2E01 cos [(k1 + k2 )x − (ω1 + ω2 )t] 2 1 × cos [(k1 − k2 )x − (ω1 − ω2 )t] 2 usando la identidad 1 1 cos α + cos β = 2 cos (α + β) cos (α − β). 2 2 Ahora se definen las cantidades ω y k, que son la frecuencia angular promedio y el n´ umero de propagaci´ on promedio, respectivamente. Similarmente las cantidades ωm y km se designan como la frecuencia de modulaci´ on y el n´ umero de propagaci´ on de modulaci´ on. Por lo tanto, se hace ω≡

1 (ω1 + ω2 ) 2

ωm ≡

1 (ω1 − ω2 ) 2

(4.31)

k≡

1 (k1 + k2 ) 2

km ≡

1 (k1 − k2 ); 2

(4.32)

y

entonces E = 2E01 cos(km x − ωm t) cos(kx − ωt).

(4.33)

La perturbaci´ on total se puede considerar como una onda viajera de frecuencia ω que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempo E0 (x, t) tal que E(x, t) = E0 (x, t) cos(kx − ωt),

(4.34)

E0 (x, t) = 2E01 (x, t) cos(km x − ωm t).

(4.35)

donde

En las aplicaciones de interés aqu´ı ω1 y ω2 siempre serán muy grandes. Además, si ellas son comparables entre s´ı, ω1 ≈ ω2 , entonces ω ωm y E0 (x, t) cambiar´ıa Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

69


lentamente mientras que E(x, t) variar´ıa muy rápidamente. La irradiancia es proporcional a: 2 cos2 (km x − ωm t) E02 (x, t) = 4E01 o 2 E02 (x, t) = 2E01 [1 + cos 2(km x − ωm t)]. 2 Obsérvese que E02 (x, t) oscila alrededor de un valor de 2E01 con una frecuencia 2ωm o simplemente (ω1 − ω2 ) que se conoce como la frecuencia de palpitaci´ on. En otras palabras, la frecuencia de modulación, que corresponde a la envolvente de la curva, es la mitad de la frecuencia de palpitación. Podr´ıa parecer que, como la forma de la onda entre dos nodos consecutivos se repite a s´ı misma, esa distancia debe ser la longitud de onda de la envolvente, pero este no es generalmente el caso. Las palpitaciones fueron observadas por primera vez usando luz en 1955 por Forrester, Gudmundsen y Johnson. A fin de obtener dos ondas de frecuencia ligeramente diferente usaron el efecto Zeeman. Cuando los átomos de una lámpara de descarga, en este caso mercurio, se sujetan a un campo magnético, sus niveles de energ´ıa se dividen. Como resultado de ello la luz emitida contiene dos frecuencias componentes ν1 y ν2 que difieren en proporción a la magnitud del campo aplicado. Cuando estas componentes se recombinan en la superficie de un tubo mezclador fotoeléctrico la frecuencia de palpitación, ν1 − ν2 se genera. Espec´ıficamente, el campo estaba ajustado de tal manera que ν1 − ν2 = 1010 Hz que corresponde convenientemente a una se˜ nal de microondas de 3 cm. La corriente fotoeléctrica registrada ten´ıa la misma forma que la curva E02 (x). El advenimiento del láser ha hecho desde entonces considerablemente más f´ acil la observaci´ on de las palpitaciones usando luz. Aun una palpitación de unos pocos Hz en 1014 Hz se puede observar como una variación en la corriente del fototubo. La observaci´ on de las palpitaciones representa ahora un medio particularmente simple y sensible de detectar peque˜ nas diferencias en la fecuencia. El efecto Doppler, que explica el desplazamiento de frecuencia cuando la luz se refleja en una superficie móvil, provee otra serie de aplicaciones de las palpitaciones. Esparciendo luz con un objeto, bien sea sólido, l´ıquido o incluso gaseoso, y mezclando entonces las ondas original y reflejada, se obtiene una medida precisa de la velocidad del cuerpo. En forma muy parecida en escala atómica, la luz de l´ aser cambiar´ a su fase al interaccionar con ondas de sonido que se mueven en un material (este fenómeno se llama esparcimiento Brillouin). Entonces 2ωm queda como una medida de la velocidad del sonido en el medio.

.........................................................................

La perturbaci´ on examinada en la sección anterior,

4.2.2 Velocidad de Grupo

E(x, t) = E0 (x, t) cos(kx − ωt), consiste en una onda portadora de alta frecuencia (ω), modulada en amplitud por una funci´ on coseno. Suponiendo, por un momento, que la onda no estuviera modulada, es decir, E0 = constante. Cada peque˜ na cresta en la portadoras viajar´ıa a la derecha con la velocidad de fase usual. En otras palabras: v = −

70

∂ϕ ∂t

∂ϕ ∂x

x=cte . t=cte


4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA

De la ecuaci´ on (4.34) la fase est´ a dada por ϕ = (k − ωt) y por lo tanto ω . (4.36) k Claramente, ésta es la velocidad de fase bien sea que la portadora esté modulada o no. en el caso anterior las crestas simplemente cambian periódicamente de amplitud conforme van viajando. Evidentemente, hay otro movimiento en el que se está interesado y es la propagaci´ on de la envolvente moduladora. Supóngase que las ondas constitutivas, E1 (x, t) y E2 (x, t), avanzan con la misma velocidad, v1 = v2 . Imag´ınese, si se quiere, las dos ondas arm´ onicas con diferentes longitudes de onda y frecuencias dibujadas en hojas separadas de plástico transparente. Cuando éstas se superponen de cierta manera la resultante es un patrón estacionario de palpitaciones. Si ambas hojas se mueven hacia la derecha con la misma velocidad para simular ondas viajeras, las palpitaciones obviamente se moverán con la misma velocidad. La rapidez con la cual la envolvente de modulación avanza se conoce como velocidad de grupo o simb´ olicamente como vg . en este caso la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase de la portadora (la velocidad promedio, ω/k). En otras palabras, vg = v = v1 = v2 . Esto se aplica espec´ıficamente a medios no dispersores en los cuales la velocidad de fase es independiente de la longitud de onda de tal forma que las dos ondas tengan la misma velocidad. Para una soluci´ on de aplicaci´ on m´ as general se examinará la expresión para la envolvente de modulaci´ on: E0 (x, t) = 2E01 (x, t) cos(km x − ωm t). v=

La velocidad con la que se mueve la onda está de nuevo dada por la ecuación (1.32) donde ahora se donde ahora se puede olvidar de la onda portadora. La modulaci´ on por consiguiente avanza con una rapidez dependiente de las fases de la envolvente (km x − ωm t) y as´ı: ωm vg = km o ω1 − ω2 ∆ω vg = = . k1 − k2 ∆k Obsérvese, sin embargo, que ω puede ser dependiente de λ o, equivalentemente, de k. La funci´ on particular ω = ω(k) se llama relaci´ on de dispersi´ on. Cuando el rango de frecuencia ∆ω, centrado alrededor de ω, es peque˜ no ∆ω/∆k es aproximadamente igual a la derivada de la relación de dispersión, es decir vg =

dω . dk

(4.37)

La modulaci´ on o se˜ nal se propaga con una velocidad vg que puede ser mayor, igual o menor que la velocidad de fase v, de la portadora. La ecuación (4.37) es muy general y ser´ a cierta, también, para cualquier grupo de ondas que se superponen siempre que su rango de frecuencia sea angosto. Ya que ω = kv, la ecuaci´ on (4.37) da vg = v + k

dv . dk


(4.38) 71


como una consecuencia, en medios no dispersores donde v es independiente de λ, dv/dk = 0 y vg = v. Espec´ıficamente en el vac´ıo ω = kc, v = c y vg = c. En medios dispersores v1 6= v2 , donde n(k) no se conoce, ω = kc/n y es u ´til reformular vg como: c kc dn vg = − 2 n n dk o k dn vg = v 1 − (4.39) n dk Para medios ´ opticos en regiones de dispersión normal, el ´ındice de refracción aumenta con la frecuencia (dn/dk > 0) y como resultado vg < v. Claramente, se deber´ıa definir un ´ındice de refracci´ on de grupo ng ≡

c vg

(4.40)

que se debe distinguir cuidadosamente de n. A. A. Michelson en 1885 midió ng en bisulfuro de carbono usando pulsos de luz blanca y obtuvo 1.758 en comparación con 1.635. La teor´ıa de la relatividad especial hace muy claro que bajo ninguna circunstancia una se˜ nal se puede propagar con una velocidad mayor que c. Sin embargo, ya se ha visto que bajo ciertas circunstancias la velocidad de fase puede exceder a c. La contradicción es solamente aparente y es debida al hecho de que mientras que una onda monocromática puede en efecto tener una rapidez mayor que c, ella no puede llevar información. En contraste, una se˜ nal en la forma de cualquier onda modulada se propagará con la velocidad de grupo que es siempre menor que c en medios normalmente dispersores. 1

1 En regiones de dispersi´ on an´ omala donde dn/dk < 0, vg puede ser mayor que c. Aqu´ı, sin embargo, la se˜ nal se propaga con otra velocidad m´ as, muy diferente, concida como la velocidad de se˜ nal vs . Entonces vs = vg excepto en una banda de absorci´ on de resonancia. En todos los casos vg corresponde a la velocidad de transferencia de energ´ıa y nunca excede a c.

72


CAPÍTULO 5

Interferencias Índice General 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . Interfer´ ometros de Divisi´ on de Frente de Onda . Pel´ıculas Diel´ ectricas. Interferencia de dos Haces 5.4.1. Franjas de Igual Inclinaci´ on . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . .

73

. . . . . .

74 78 79 83 84 86

CAPÍTULO 5. INTERFERENCIAS ´ 5.1 SECCION

Consideraciones Generales La luz es, por supuesto, un fenómeno vectorial; los campos eléctricos y magnéticos son campos vectoriales. Una apreciación de este hecho es fundamental para cualquier tipo de entendimiento intuitivo de la óptica. No es necesario decir que hay muchas situaciones en las que el sistema óptico en particular está de tal manera configurado que la naturaleza vectorial de la luz es de poco significado pr´ actico. Se deducir´ a por lo tanto las ecuaciones de interferencia básicas dentro del contexto del modelo vectorial, delineando después las condiciones bajo las cuales el tratamiento escalar es aplicable. De acuerdo con el principio de superposición, la intensidad del campo eléc~ en un punto en el espacio que proviene de los campos separados E ~ 1 , E, ~ trico E, . . ., de varias fuentes que contribuyen, está dada por: ~ =E ~1 + E ~2 + . . . . E ~ Una vez m´ as se hace notar que la perturbación óptica, o campo luminoso E, var´ıa en un tiempo sumamente rápido, aproximadamente: 4,3 × 1014 Hz a 7,5 × 1014 Hz, haciendo que el campo real sea una cantidad prácticamente indetectable. Por otro lado, la irradiancia I puede ser medida directamente usando una gran variedad de sensores (por ejemplo, fotoceldas, bolómetros, emulsiones fotográficas u ojos). Realmente, si se va a estudiar la interferencia, entonces es mejor que se ataque el problema por medio de la irradiancia. Gran parte del an´ alisis que sigue se puede efectuar sin especificar la forma particular de los frentes de onda y los resultados son por consiguiente muy generales en su aplicabilidad. Sin embargo, con el propósito de simplificar, se considerar´ an dos fuentes puntuales S1 y S2 emitiendo ondas monocromáticas de la misma frecuencia en un medio homogéneo. Además, perm´ıtase que su separaci´ on a sea mucho más grande que λ. Colóquese el punto de observación P lo suficientemente lejos de las fuentes de tal forma que los frentes de onda en P sean planos. Por el momento se considerarán solamente ondas linealmente polarizadas de la forma: ~ 1 (~r, t) = E ~ 01 cos ~k1 · ~r − ωt + ε1 E y ~ 2 (~r, t) = E ~ 02 cos ~k2 · ~r − ωt + ε2 E Anteriormente se vi´ o que la irradiancia en P está dada por: D E ~2 I = v E Puesto que solamente son concernientes las irradiancias relativas dentro del mismo medio, se despreciarán, al menos por el momento, las constantes y se pondr´ a: D E ~2 . I= E 74


5.1. CONSIDERACIONES GENERALES

D E ~ 2 es, por supuesto, el promedio en el tiempo de Lo que se quiere decir por E E D ~ ·E ~ . Por la magnitud de la intensidad del campo eléctrico al cuadrado o E consiguiente, ~2 = E ~ · E, ~ E donde ahora

~2 = E ~1 + E ~2 · E ~1 + E ~2 E

y por lo tanto: ~2 = E ~ 12 + E ~ 22 + 2E ~1 · E ~2 E Tomando el promedio en el tiempo de ambos lados, la irradiancia queda: I = I1 + I2 + I12

(5.1)

siempre que: D E ~ 12 , I1 = E D E ~2 I2 = E 2 y D E ~1 · E ~2 . I12 = 2 E La u ´ltima expresi´ on se conoce como término de interferencia. Para evaluarlo en este caso espec´ıfico, se forma: ~1 · E ~2 = E ~ 01 · E ~ 02 cos ~k1 · ~r − ωt + ε1 E × cos ~k2 · ~r − ωt + ε2 o equivalentemente: ~1 · E ~2 = E ~ 01 · E ~ 02 [cos(~k1~r + ε1 ) × cos ωt E + sin(~k1 · ~r + ε1 ) sin ωt] × [cos(~k2 · ~r + ε2 ) cos ωt

(5.2)

+ sin(~k2 · ~r + ε2 ) sin ωt]. Recordando que el promedio en el tiempo de alguna función f (t), tomado sobre un intervalo T , es: hf (t)i =

1 T

Z

t+T

f (t0 )dt0 .

(5.3)

t

El per´ıodo τ de las funciones arm´ onicas es 2π/ω y para la mayor´ıa de los propósitos presentes T τ . En ese caso el coeficiente 1/T frente a la integral tiene un efecto dominante. Después de multiplicar y sacar el promedio, la ecuación (5.2) queda: D

E ~1 · E ~2 = 1 E ~ 01 · E ~ 02 cos ~k1 · ~r + ε1 − ~k2 · ~r − ε2 , E 2 Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

75

CAPÍTULO 5. INTERFERENCIAS

donde se utiliz´ o el hecho de que cos2 ωt = 12 , sin2 ωt = 0. El término de interferencia es:

1 2

y hcos ωt sin ωti =

~ 01 · E ~ 02 cos δ I12 = E (5.4) y δ, igual a ~k1 · ~r − ~k2 · ~r + ε1 − ε2 , es la diferencia de fase que proviene de combinar una diferencia de longitud de trayectoria y una diferencia de fase incial. ~ 01 y E ~ 02 (y por consiguiente E ~1 y E ~ 2 ) son perpendiculares, Obsérvese que si E I12 = 0 y I = I1 + I2 . Dos estados ortogonales P tales se combinan para dar un estado R, L, P o E, pero la distribución de densidad de flujo quedará inalterada. La situaci´ on que casi siempre ocurre en el trabajo que sigue corresponde a ~ 01 paralelo a E ~ 02 . en ese caso, la irradiancia se reduce al valor encontrado en E el tratamiento escalar. Bajo esas condiciones: I12 = E01 E02 cos δ. Esto se puede escribir en una forma más conveniente notando que:

E2 I1 = E12 = 01 2 y

E2 I2 = E22 = 02 2 El término de interferencia queda: p I12 = 2 I1 I2 cos δ, en donde la irradiancia total es: p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ.

(5.5)

En varios puntos en el espacio, la irradiancia resultante puede ser mayor, menor o igual a I1 + I2 dependiendo del valor I12 , es decir, dependiendo de δ. Un m´ aximo en la irradiancia se obtiene cuando cos δ = 1, tal que: p Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 . cuando δ = 0, ±2π, ±4π, . . . . En este caso la diferencia de fase entre las dos ondas es un m´ ultiplo entero de 2π, y las perturbaciones están en fase. Se habla de esto como interferencia constructiva total. Cuando 0 < cos δ < 1 las ondas están fuera de fase, I1 + I2 < I < Imax y el resultado se conoce como interferencia constructiva. En δ = π/2, cos δ = 0, las perturbaciones ópticas están 90o fuera de fase y I = I1 + I2 . Para 0 > cos δ > −1 se tiene la condición de interferencia destructiva, I1 + I2 > I > Imin . El m´ınimo en la irradiancia resulta cuando las ondas están 180o fuera de fase, valles sobre crestas, cos δ = −1, y p Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2 . 76


5.1. CONSIDERACIONES GENERALES

Esto, por supuesto, ocurre cuando δ = ±π, ±3π ± 5π, . . ., y recibe el nombre de interferencia destructiva total. Otro caso algo especial, aunque no muy importante aparece cuando las am~ 01 = E ~ 02 . Ya plitudes de ambas ondas que llegan a P son iguales, es decir, E que las contribuciones a la irradiancia de ambas fuentes son entonces iguales, haciendo I1 = I2 = I0 . La ecuaci´ on (5.5) se puede ahora escribir como: I = 2I0 (1 + cos δ) = 4I0 cos2

δ 2

(5.6)

de lo cual se deduce que Imin = 0 y Imax = 4I0 . La ecuaci´ on (5.5) es igualmente válida para las ondas esféricas emitidas por S1 y S2 . Tales ondas se pueden expresar como: ~ 1 (r1 , t) = E ~ 01 (r1 )ei(kr1 −ωt+ε1 ) E y ~ 2 (r2 , t) = E ~ 02 (r2 )ei(kr2 −ωt+ε2 ) E Los términos r1 y r2 son los radios de los frentes de onda esféricos que se superponen en P , es decir, ellos especifican las distancias de las fuentes J. En este caso: δ = k(r1 − r2 ) + (ε1 − ε2 ). La densidad de flujo en la regi´ on que rodea a S1 y S2 ciertamente variará de punto a punto al variar (r1 − r2 ). No obstante, del principio de conservación de la energ´ıa, se espera que el promedio espacial de I permanezca constante e igual al promedio de I1 + I2 . El promedio espacial de I12 debe ser por lo tanto cero, una propiedad verificada por la ecuación (5.4) ya que el promedio del término del coseno es, en efecto, cero. La ecuaci´ on (5.6) ser´ a aplicable cuando la separación entre S1 y S2 sea peque˜ na en comparaci´ on con r1 y r2 y cuando, además, la región de interferencia ~ 01 y E ~ 02 también sea peque˜ na en el mismo sentido. Bajo estas circunstancias E pueden considerarse independientes de la posición, es decir, constantes en la ~ 01 = peque˜ na regi´ on examinada. Si las fuentes emisoras son de igual intensidad E ~ E02 , I1 = I2 = I0 y se tiene: I = 4I0 cos2

1 [k(r1 − r2 ) + (ε1 − ε2 )] 2

Los máximos de irradiancia ocurren cuando: δ = 2πm siempre que m = 0, ±1, ±2, . . .. Similarmente, los términos para los cuales I = 0, aparecen cuando: δ = π(2m + 1). Estas expresiones se pueden reescribir de tal forma que la máxima irradiancia ocurre cuando: 2πm + (ε2 − ε2 ) (r1 − r2 ) = (5.7) k y la m´ınima cuando (r1 − r2 ) =

π(2m + 1) + (ε2 − ε2 ) k


77


Cualquiera de estas ecuaciones define una familia de superficies, cada una de las cuales es un hiperboloide de revolución. Los vértices de los hiperboloides están separados por distancias iguales a los lados derechos de las ecuaciones (5.7). Los focos est´ an localizados en S1 y S2 . Si las ondas están en fase al salir del emisor ε1 − ε2 = 0, y las ecuaciones (5.7) se simplifican a: 2πm = mλ k 1 π(2m + 1) (r1 − r2 ) = = m+ λ k 2 (r1 − r2 ) =

para irradiancia m´ axima y m´ınima, respectivamente. Las zonas claras y oscuras que se ver´ıan en una pantalla colocada en la región de interferencia se conocen como franjas de interferencia. ´ 5.2 SECCION

Condiciones para la Interferencia Si el patr´ on de interferencia que corresponde a las ecuaciones (5.7) es observable, la diferencia de fase (ε1 − ε2 ) entre las dos fuentes debe permanecer bastante constante en el tiempo. Tales fuentes son coherentes. Dos haces que se superponen y que vienen de emisores separados interferirán, pero el patrón resultante no se sostendrá el tiempo suficiente para ser fácilmente observable. Una fuente t´ıpica contiene un gran n´ umero de átomos excitados, cada uno capaz de radiar un tren de onda aproximadamente por 10−8 s. Dos fuentes distintas por consiguiente podr´ıan mantener sus fases relativas, en el mejor de los casos, 10−8 s. El patr´ on de interferencia resultante ser´ıa constante en espacio solamente durante ese lapso, antes de que var´ıe al cambiar la fase, y de ah´ı en adelante permanecer´ıa estable por otro momento, solamente para cambiar de nuevo y as´ı sucesivamente. Por consiguiente, ser´ıa in´ util intentar ver o fotografiar el patrón de interferencia resultante de dos lámparas. Se han usado dos láseres separados para generar patrones de interferencia. La forma más com´ un de resolver el problema, como se ver´ a, es hacer que una fuente se utilice para producir dos fuentes secundarias coherentes. Si dos haces deben interferir para producir un patrón estable, deben tener casi la misma frecuencia. Una diferencia de frecuencia significante resultar´ıa en una diferencia de fase dependiente del tiempo, variando rápidamente el cual a su vez har´ıa que I12 se promediase a cero durante el intervalo de detección. Los patrones m´ as claros existirán cuando las ondas que interfirieron tengan amplitudes iguales o casi iguales. Las regiones centrales de las franjas oscuras y claras corresponden entonces a interferencia completamente destructiva o constructiva, respectivamente, dando máximo contraste. En la secci´ on previa se supuso que dos vectores de perturbaciones ópticas superpuestos estaban linealmente polarizados y paralelos. No obstante, las fórmulas de la secci´ on anterior se aplican también a situaciones más complicadas; realmente el tratamiento es aplicable sin importar el estado de polarización de las ondas. Para apreciar esto, es preciso recordar que cualquier estado de polarizaci´ on se puede sintetizar en estados P ortogonales. Para luz natural (no 78


´ ´ DE FRENTE DE ONDA 5.3. INTERFEROMETROS DE DIVISION

polarizada) estos estados P son mutuamente incoherentes, pero ello no representa ninguna dificultad particular. Sup´ ongase que cada onda tiene su vector de propagación en el mismo plano de tal forma se pueden marcar los estados P ortogonales constitutivos con res~k y E ~ ⊥ , los cuales son paralelos y perpendiculares al pecto a ese plano, es decir, E plano respectivamente. Entonces, cualquier onda plana polarizada o no, se pue~k +E ~ ⊥ ). Imag´ınese entonces que la sondas (E ~ k1 + E ~ ⊥1 ) de escribir en la forma (E ~ k2 + E ~ ⊥2 ) emitidas desde dos fuentes coherentes idénticas se superponen y (E en la misma regi´ on del espacio. La distribución de densidad de flujo resultante consistir´ıaD de dos patrones precisamente superE deDinterferencia independientes, E 2 2 ~ ~ ~ ~ puestas, (Ek1 + E⊥1 ) y (Ek2 + E⊥2 ) . Por consiguiente, puesto que se dedujeron las ecuaciones en la sección anterior, espec´ıficamente para luz lineal, ellas son aplicables también, para cualquier estado de polarización incluyendo luz natural. ~ ⊥1 y E ~ ⊥2 son siempre paralelas una a otra E ~ k1 Obsérvese que aunque E ~ k2 , las cuales est´ y E an en el plano de referencia, no necesariamente lo son. Serán paralelas solamente cuando los dos haces son paralelos entre s´ı (es decir, ~k1 = ~k2 ). La naturaleza vectorial inherente del proceso de interferencia, como se manifiesta en la representaci´ on del producto escalar (5.4) de I12 , no puede por consiguiente ignorarse. Como se verá, hay muchas situaciones prácticas en las que los dos haces son casi paralelos y para éstos la teor´ıa escalar funciona perfectamente. Fresnel y Arago hicieron un estudio extensivo de las condiciones bajo las cuales la interferencia de luz polarizada ocurre y sus conclusiones resumen algunas de las consideraciones anteriores. Las leyes de Fresnel-Arago son las siguientes: 1. Dos estados P coherentes ortogonales no pueden interfereir en el sentido de que I12 = 0 y no resulten franjas. 2. Dos estados P coherentes y paralelos interfieren en la misma forma que la luz natural. 3. dos estados P ortogonales constitutivos de la luz natural no pueden interferir para formar un patr´ on fácilmente observable aunque se giran para alinearlos. Este u ´ltimo punto es comprensible ya que estos estados P son incoherentes. ´ 5.3 SECCION

Interfer´ ometros de Divisi´ on de Frente de Onda La ecuaci´ on (r1 − r2 ) = mλ determinaba las superficies de irradiancia máxima. Ya que la longitud de onda λ para la luz es muy peque˜ na, un gran n´ umero de superficies que corresponden a los valores m´ as bajos de m existirán cerca y ambos lados del plano m = 0. Un n´ umero de franjas paralelas y bastante rectas por consiguiente aparecerán en una pantalla colocada perpendicularmente al plano (m = 0) y en la vecindad de él, y para este caso la aproximación r1 ≈ r2 será válida. Si S1 y S2 son Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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entonces desplazados normalmente a la l´ınea S1 S2 , las franjas solamente serán desplazadas paralelamente a s´ı mismas. Prácticamente, dos rendijas angostas por consiguiente aumentarán la irradiancia dejando esencialmente inalterada, por otro lado, la regi´ on central del patrón de las dos fuentes puntuales. Considérese una onda plana monocromática hipotética iluminando una rendija larga y angosta. De esa rendija primaria emergerá una onda cil´ındrica; y sup´ ongase que esta onda, a su vez, cae en dos rendijas S1 y S2 muy juntas, angostas y paralelas. Cuando existe simetr´ıa, los segmentos del frente de onda primario que llegan a las dos rendijas estarán exactamente en fase, y las rendijas constituir´ an dos fuentes secundarias coherentes. Se espera que donde quiera que las dos ondas que vienen de S1 y S2 se superpongan, ocurrirá interferencia (siempre que la diferencia de camino óptico sea menor que la longitud de coherencia, c∆t). En una situaci´ on f´ısica realista la distancia entre cada una de las pantallas ser´ıa larga en comparación con la distancia a entre las dos rendijas, y todas las franjas estar´ıan bastante cerca del centro O de la pantalla. La diferencia de camino entre los rayos a lo largo de S1 P y S2 P se puede obtener, con buena aproximaci´ on, bajando una perpendicular desde S2 hasta S1 P . Esta diferencia de camino est´ a dada por: S1 B = S1 P − S2 P

(5.8)

o S1 B = r1 − r2 . Continuando con esta aproximación la diferencia de camino se puede expresar como: r1 − r2 = aθ

(5.9)

ya que θ ≈ sin θ.

Obsérvese que θ=

y s

(5.10)

y as´ı r 1 − r2 =

a y. s

De acuerdo con la sección (5.11), la interferencia constructiva ocurrirá cuando: r1 − r2 = mλ.

(5.11)

Entonces, de las u ´ltimas dos relaciones se obtiene: ym = 80

s mλ. a


(5.12)

´ ´ DE FRENTE DE ONDA 5.3. INTERFEROMETROS DE DIVISION

Esto da la posici´ on de la m-ésima franja brillante sobre la pantalla si se cuenta el máximo 0 como la franja cero. La posicón angular de la franja se obtiene sustituyendo la u ´ltima expresi´ on en la ecuación (5.10) θm =

mλ a

(5.13)

Esta relaci´ on se puede obtener directamente mediante métodos geométricos. Para el orden m-ésimo de interferencia, m longitudes de onda enteras deben caber dentro de la distancia r1 − r2 . Por consiguiente, del triángulo S1 S2 B se obtiene: mλ . θm = a El espacio entre franjas en la pantalla se puede obtener fácilmente de la ecuaci´ on (5.12). La diferencia en las posiciones de dos máximos consecutivos es: ym+1 − ym =

s s (m + 1)λ − mλ a a

o

s λ. (5.14) a Ya que este patr´ on es equivalente al obtenido para dos ondas esféricas superpuestas (al menos en la región r1 ≈ r2 ), se puede aplicar la ecuación (5.6). Usando la diferencia de fase ∆y =

δ = k(r1 − r2 ). La ecuaci´ on (5.6) se puede reescribir como: I = 4I0 cos2

k(r1 − r2 ) 2

siempre que, por supuesto, los dos haces sean coherentes y tengan irradiancias iguales a I0 . Con a r1 − r2 = y s la irradiancia resultante queda: I = 4I0 cos2

yaπ . sλ

Los m´ aximos consecutivos est´ an separados por la ∆y dada en la ecuación (5.14). Una observaci´ on visual directa del patrón de las franjas se puede hacer perforando dos peque˜ nos agujeros en una tarjeta delgada. Los agujeros deben ser aproximadamente del tama˜ no del tipo de imprenta usado para el punto en esta página y con sus centros separados alrededor de 3 radios. Una lámpara en la calle, las luces de un autom´ ovil o un semáforo en la noche, localizados a pocos metros de distancia servir´ a como fuente de ondas planas. Esta tarjeta debe ser colocada directamente frente y muy cerca del ojo. El patrón es mucho más fácil de observar usando rendijas, pero vale la pena ensayar los agujeritos. Las microondas, debido a su gran longitud de onda, tmabién ofrecen una forma f´ acil de observar la interferencia de doble rendija. Dos rendijas (por ejemplo, λ/2 de ancho por λ de largo, separados por 2λ) cortadas en un pedazo de lámina u hoja met´ alica servir´ an muy bien como fuente de onda secundaria. Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

81


La configuraci´ on interferométrica discutida antes, con fuentes puntuales o de rendija, se conoce como experimento de Young. El principio f´ısico y las consideraciones matem´ aticas se aplican directamente a otros interferómetros de división de frente de onda. Entre los más comunes de ellos están el espejo doble de Fresnel, el prisma doble de Fresnel y el espejo de Lloyd. El espejo doble de Fresnel consiste en dos espejos planos metalizados al frente e inclinados uno respecto al otro con un ángulo muy peque˜ no. Una porción del frente de onda cil´ındrico proveniente de la rendija S se refleja en el primer espejo, mientras que otra porción del frente de onda se refleja en el segundo espejo. Un campo de interferencia existe en el espacio en la región deonde las dos ondas reflejadas se superponen una sobre la otra. Las imágenes (S1 y S2 ) de la rendija S en los dos se pueden considerar como fuentes coherentes separadas, colocadas con una separaci´ on a. De la ley de la reflexión se deduce que SA = S1 A, SB = S2 B, de tal forma que SA+AP = r1 y SB +BP = r2 . La diferencia de camino óptico entre los dos rayos es simplemente r1 −r2 . Los máximos ocurren en r1 −r2 = mλ como era el caso para el interferómetro de Young. De nuevo, la separación de las franjas est´ a dada por: s ∆y = λ a donde s es la distancia entre el plano de las dos fuentes virtuales (S1 , S2 ) y la pantalla. N´ otese que el ángulo θ entre los espejos debe ser muy peque˜ no si los vectores de campo eléctrico para cada uno de los dos haces son paralelos o casi ~1 y E ~ 2 las ondas de luz emitidas por las fuentes paralelos. Represéntese por E coherentes virtuales S1 y S2 . En cualquier instante de tiempo en el punto P en el espacio, cada uno de estos vectores se puede resolver en componentes, paralelas y perpendiculares al plano de la página. Con ~k1 y ~k2 paralelas a AP y BP ~1 y E ~ 2 en el plano de respectivamente, debe ser evidente que las componentes E la pagina se acercan al paralelismo solamente para θ peque˜ na. El prisma doble de Fresnel o biprisma consiste en dos prismas unidos en las bases. Un frente de onda cil´ındrico simple llega a ambos prismas. La porción superior del frente de onda se refracta hacia abajo, mientras que el segmento inferior se refracta hacia arriba. En la región de superposición ocurre la interferencia. Aqu´ı de nuevo, existen dos fuentes virtuales, S1 y S2 , separadas por una distancia A la cual puede ser expresada en términos del ángulo α del prisma donde s a. La expresión para la separación de las franjas es la misma que antes. El u ´ltimo interfer´ ometro de división de frente de onda que se considerará es el espejo de Lloyd. Consiste en una pieza plana de dieléctrico o metal que sirve como espejo, del cual se refleja una porción del frente de onda cil´ındrico que sale de la rendija S. Otra porción del frente de onda procede directamente de la rendija a la pantalla. Para la separación a, entre las dos ondas coherentes, se toma la distancia entre la rendija real y su imagen S1 en el espejo. El espacio entre las franjas est´ a de nuevo dado por as λ. La caracter´ıstica que distingue a este dispositivo es que a incidencia rasante (θi ≈ π/2) el haz reflejado sufre un cambio de fase de 180o (hay que recordar que el coeficiente de reflexión para las amplitudes es entonces igual a -1). Con un cambio de fase adicional de ±π. δ = k(r1 − r2 ) ± π 82


´ 5.4. PELÍCULAS DIELECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES

y la irradiancia queda: I = 4I0 sin2

πay sλ

.

El patr´ on de franjas para el espejo de Lloyd es complementario del de interferómetro de Young; el m´ aximo de de un patrón existe para valores de y que corresponden a los m´ınimos en el otro patrón. La orilla superior del espejo es equivalente a y = 0 y ser´ a el centro de una franja oscura en lugar del de una franja brillante como en el sistema de Young. La mitad inferior del patrón será obsturida por la presencia del espejo mismo. Considérese, entonces, qué pasar´ıa si una hoja delgada de material transparente se colocara en la trayectoria de los rayos que viajan directamente a la pantalla. La hoja transparente tendr´ıa el efecto de aumentar el n´ umero de longitudes de onda en cada rayo directo. El patrón entero se mover´ıa hacia arriba hasta donde los rayos reflejados viajar´ıan un poco m´ as antes de interferir. Debido a la simplicidad obvia inherente de este sistema se ha encontrado u ´til en una región muy ancha del espectro electromagnético. Las superficies reflectoras reales han variado de cristal por rayos X, de vidrio com´ un para luz, de pantallas de alambre para microondas, a un lago o incluso la ionosfera de la tierra para ondas de radio. Todos los interfer´ ometros anteriores se pueden demostrar muy fácilmente. La fuente de luz debe ser fuerte; si no se dispone de un láser, una lámpara de descarga o un arco de carb´ on seguida por una celda de agua, para enfriar las cosas un poco, trabajar´ıa satisfactoriamente. La luz no es monocromática, pero las franjas, que ser´ an coloreadas, a´ un se pueden observar. Una aproximación satisfactoria a la luz monocromática se puede obtener con un filtro colocado frente al arco. Un l´ aser He-Ne de baja potencia es quizá la fuente más fácil para trabajar y con ella no se necesitar´ a una celda de agua o filtro. ´ 5.4 SECCION

Pel´ıculas Diel´ ectricas. Interferencia de dos Haces Los efectos de la interferencia se observan en materiales transparentes, el espesor de los cuales var´ıa en un amplio rango. El rango de valores va desde pel´ıculas con espesores menores que la longitud de onda de la luz (por ejemplo, para luz verde λ0 es aproximadamente igual a 1/150 el espesor de esta hoja de papel) hasta placas con varios centr´ımetros de espesor. Se dice que una capa de alg´ un material es una pel´ıcula delgada para cierta longitud de onda de radiación electromagnética cuando su espesor es del orden de la longitud de onda. A cominezos de la década de los cuarenta, el fenómeno asociado con pel´ıculas delgadas dieléctricas, aunque era bien conocido, hab´ıa tenido aplicaciones limitadas. El despliegue espectacular de colores que aparece en las capas de aceite y en las pompas de jab´ on, aunque estética y teóricamente son agradables, fueron prácticamente s´ olo bellas curiosidades. El advenimiento de técnicas adecuadas de deposición al vac´ıo en la década de 1930 trajo consigo la capacidad de producir recubrimientos precisamente controlados a escala comercial y con eso, a su vez un renacimiento del interés. Durante la Segunda Gerra Mundial, ambos lados encontraban al enemigo con una variedad de dispositivos ´ opticos recubiertos y alrededor de 1960 se usaban profusamente recubrimientos de multicapas. Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

83

CAPÍTULO 5. INTERFERENCIAS ......................................................................... 5.4.1 Franjas de Igual Inclinaci´ on

Inicialmente, se considerará el caso sencillo de una placa transparente y paralela de material dieléctrico con un espesor d. Supóngase que la pel´ıcula es no absorbente y que los coeficientes de reflexión de amplitud en las caras son tan bajos, que u ńicamente se necesitan considerarse los dos primeros haces reflejados E1r y E2r (ambos han sufrido sólo una reflexión). En la práctica los haces reflejados varias veces (E3r , etc.) por lo general decrecen muy rápidamente, como puede ser demostrado para las interfases entre aire-agua y aire-vidrio. Por el momento, se considerará a S como una fuente puntual monocromática. La pel´ıcula sirve como un dispositivo de división de amplitud, tal que E1r y E2r pueden ser considerados como provenientes de dos fuentes coherentes virtuales colocadas atr´ as de la pel´ıcula. Los rayos reflejados son paralelos cuando dejan la pel´ıcula y se pueden unir en un punto P sobre el plano focal de un objetivo de telescopio o sobre la retina del ojo cuando está enfocado al infinito. La diferencia de camino ´ optico para los dos primeros rayos reflejados está dada por: Λ = nf AB + BC − n1 AD y puesto que AB = BC = d/ cos θt , 2nf d − n1 AD . cos θt Ahora, para encontrar una expresión para AD , se escribe: AD = AC sin θi ; Λ=

si se hace uso de la ley de Snell, esto se transforma en: nf AD = AC sin θi , n1 donde AC = 2d tan θt .

(5.15)

La expresi´ on para Λ ahora es: Λ=

2nf d (1 − sin2 θt ) cos θt

o finalmente Λ = 2nf d cos θt .

(5.16)

La diferencia de fase correspondiente y asociada con la diferencia de camino optico es entonces justamente el producto del n´ ´ umero de propagación del vac´ıo y Λ, es decir, k0 Λ. Si la pel´ıcula está sumergida en un solo medio, el ´ındice de refracci´ on se puede escribir simplemente como n1 = n2 = n. Hay que darse cuenta, por supuesto, que n puede ser menor que nf , como en el caso de la pompa de jab´ on en aire; o mayor que nf , como con una capa de aire entre dos placas delgadas de vidrio. En cualquier caso habrá un corrimiento adicional en la fase como resultado de las reflexiones mismas. Hay que recordar que, independientemente de la polarización de la luz incidente, los dos haces, uno reflejado interna y el otro externamente, sufrirán un cambio relativo de fase de π radianes. De acuerdo a ello: δ = k0 Λ ± π 84



y más explicitamente 4πnf d cos θt ± π λ0

(5.17)

4πnf q 2 nf − n2 sin θi ± π λ0

(5.18)

δ= o δ=

El signo de corrimiento de fase no es relevante, de tal modo que se escogerá el signo negativo para hacer las ecuaciones un poco más simples. En luz reflejada un máximo de interferencia, un punto brillante, aparecerá en P cuando δ = 2mπ, o sea, un m´ ultiplo par de π. En ese caso la ecuación (5.17) puede ser arreglada para obtener d cos θt = (2m + 1)

λf 4

m = 0, 1, 2, . . . , máximos

(5.19)

donde se ha usado el hecho de que λf = λ0 /nf . Esto también corresponde a m´ınimos en la luz transmitida. Los m´ınimos de interferencia en luz reflejada (máximos en transmitida) resultan cuando δ = (2m ± 1)π, es decir, m´ ultiplos impares de π. Para tales casos la ecuación (5.17) da: d cos θt = 2m

λf . 4

(5.20)

El hecho de que aparezcan m´ ultiplos pares e impares de λf /4 en las ecuaciones (5.19) y (5.20) es bastante significativo, como se verá posteriormente. Se puede, por supuesto, tener una situaci´ on donde n1 > nf > n2 o donde n1 < nf < n2 como en el caso de una pel´ıcula de fluorita depositada sobre un elemento óptico sumergido en aire. El corrimiento de fase en π no se presentar´ıa y las ecuaciones anteriores tendr´ıan que ser modificadas apropiadamente. Si la lente empleada para enfocar los rayos tiene una abertura peque˜ na, las franjas de interferencia aparecer´ an sobre una porción peque˜ na de la pel´ıcula. Solamente los rayos que salen de la fuente puntual, los cuales son reflejados directamente hacia la lente, podr´ an ser observados. Para una fuente extensa, la luz llegar´ a a la lente desde varias direcciónes y el patrón de franjas se extenderá para cubrir una ´ area mayor de la pel´ıcula. El ´ angulo θi o equivalentemente θt , determinado por la posición de P , a su vez controlar´ a δ. Las franjas que aparezcan en los puntos P1 y P2 son, correspondientemente, conocidas como franjas de igual inclinaci´ on. Hay que recordar que cada fuente puntual sobre la fuente extendida es incoherente con respecto a las otras. Obsérvese que conforme la pel´ıcula se hace más gruesa, la separación AC entre E1r y E2r también aumenta ya que: AC = 2d tan θt . Cuando s´ olo uno de los rayos puede entrar a la pupila del ojo, el patrón de interferencia desaparecer´ a. La lente más grande de un telescopio puede ser usada entonces para atrapar ambos rayos, haciendo una vez más posible la observación Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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del patr´ on. La separaci´ on también puede disminuirse reduciendo θt y por lo tanto θi , o sea, observando la pel´ıcula casi a incidencia normal. Las franjas de igual inclinaci´ on observadas en esta forma para placas gruesas se conocen como franjas de Haidinger. Con una fuente extendida ellas consisten de una serie de bandas circulares concéntricas centradas sobre la perpendicular del ojo a la pel´ıcula. Conforme el observador se mueve, el patrón también lo hace. ......................................................................... 5.4.2 Franjas de Igual Espesor

Existe toda una clase de franjas de interferencia para las cuales el espesor ´ptico, nf d, es el par´ o ametro dominante más que θi . Estas se llaman franjas de igual espesor. Bajo iluminación con luz blanca la iridiscencia de pompas de jab´ on, capas de aceite (con unas cuantas longitudes de onda gruesa), e incluso superficies de metal oxidado, todas ellas son resultados de variaciones en el espesor de la pel´ıcula. Las bandas de interferencia de este tipo son análogas al contorno de l´ıneas de altura constante de un mapa topográfico. Cada franja es el lugar geométrico de todos los puntos en la pel´ıcula para el cual el espesor optico es constante. En general, nf no var´ıa, de tal modo que las franjas en ´ realidad corresponden a regiones de igual espesor en la pel´ıcula. Como tal, ellas pueden ser bastante u ´tiles para determinar aspectos diferentes de la superficie de elementos ´ opticos: lentes, prismas, etc. Por ejemplo, una superficie que va a ser examinada se puede poner en contacto con un plano ´ optico. 1 El aire entre el espacio de las dos superficies genera un patrón de interferencia de pel´ıculas delgadas. Si la superficie bajo prueba es plana, una serie de bandas rectas e igualmente espaciadas indicará una pel´ıcula de aire en forma de cu˜ na, resultando proveniente, generalmente, del polvo entre los planos. Dos piezas de placas de vidrio separadas en un extremo por una tira de papel formarán una cu˜ na satisfactoria con la cual se observarán estas bandas. Cuando se ve casi a incidencia normal, los contornos provenientes de una pel´ıcula no uniforme se llaman franjas de Fizeau. Para una cu˜ na delgada de angulo peque˜ ´ no α, la diferencia de camino óptico entre los dos rayos reflejados puede ser aproximada por la ecuación (5.16), donde d es el espesor para un punto particular, es decir: d = xα Para ´ angulos peque˜ nos de θi la condición para interferencia máxima es: 1 λ0 = 2nf dm m+ 2 o

1 m+ 2

λ0 = 2αxm nf .

Puesto que nf = λ0 /λf , xm puede escribirse como: xm =

m + 12 2α

λf .

1 Una superficie se dice que est´ a ´ opticamente plana cuando se desv´ıa no m´ as de λ/4 respecto a un plano perfecto. En el pasado, los mejores planos fueron hechos de cuarzo fundido transparente. Ahora hay disponibles materiales de vidrio-cer´ amica (por ejemplo, CER-VIT) que tiene coeficientes de expansi´ on t´ ermica muy peque˜ nos (alrededor de un sexto de los de cuarzo). Se pueden hacer planos individuales de λ/200 o un poco mejores.

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Los m´ aximos ocurren a distancias del vértice dadas por λf /4α, 3λf /4α, etc., y las franjas consecutivas est´ an separadas por una distancia ∆x, dada por: ∆x =

λf 2α

Obsérvese que la diferencia de espesor de la pel´ıcula entre máximos adyacentes es simplemente λf /2. Puesto que el haz reflejado en la superficie inferior cruza la pel´ıcula dos veces (θi ≈ θt ≈ 0), los máximos adyacentes difieren en longitud de camino ´ optico por λf . También se observa que el espesor de la pel´ıcula para varios m´ aximos est´ a dado por: 1 λf dm = (m + ) 2 2 el cual es un m´ ultiplo impar de un cuarto de longitud de onda. Cruzando la pel´ıcula dos veces se obtiene un cambio de fase de π el cual, cuando se suma al corrimiento de π resultante de la reflexión, pone a los dos rayos en fase. Cuando una pel´ıcula de jab´ on se ilumina con luz blanca las bandas son de varios colores. La regi´ on negra en la parte superior es una porción donde el espesor de la pel´ıcula es menor que λf /4. Dos veces esto, más corrimiento adicional de λf /2 debido a la reflexi´ on, es menor que una longitud de onda completa. Los rayos reflejados, por lo tanto, est´ an fuera de fase. Como el espesor decrece a´ un más, la diferencia de fase total se aproxima a π. La irradiancia para el observador alcanza un m´ınimo (5.5) y la pel´ıcula aparece negra en luz reflejada. 2 Si se presionan juntos dos portaobjetos de microscopio bien limpios. La pel´ıcula de aire encerrada entre ambos generalmente no será uniforme. con la iluminación ordinaria de una habitaci´ on, una serie de bandas irregulares y coloreadas (franjas de igual espesor) ser´ an claramente visibles sobre la superficie. Los portaobjetos (l´ aminas delgadas de vidrio) se distorsionarán si se someten a presión y por lo tanto las franjas se mover´ an y cambiarán. Es más, si las dos piezas de vidrio son presionadas juntas en un punto, por ejemplo, empleando la punta de un lápiz, se formar´ a alrededor de ese punto una serie de franjas concéntricas, casi circulares. Conocido como anillos de Newton. 3 Colocando una lente sobre un plano ´ optico e iluminando a incidencia normal con luz cuasimonocromática, la cantidad de uniformidad en el patrón de c´ırculos concéntricos es una medida del grado de perfecci´ on en la forma de la lente. Siendo R el radio de curvatura de una lente convexa, la relaci´ on entre la distancia x y el espesor d de la pel´ıcula está dada por: x2 = R2 − (R − d)2 , o más simplemente por: x2 = 2Rd − d2 2 El corrimiento relativo π de fase entre las reflexiones interna y externa es indispensable si la densidad de flujo reflejada tiende a cero suavemente, conforme la pel´ıcula se hace m´ as delgada y finalmente desaparece. 3 Robert Hooke (1635-1703) e Isaac Newton, ambos en forma independiente, estudiaron una gama de fen´ omenos en pel´ıculas delgadas como pompas de jab´ on hasta pel´ıculas de aire entre lentes. Citando el libro Opticks de Newton: Tom´ e dos objetos de vidrio, el uno una lente plano-convexa para un telescopio de catorce pies, y el otro una lente doble-convexa para uno de quince pies; despu´ es de esto, la otra con su lado plano hacia abajo, las presion´ e lentamente hasta hacer aparecer colores en forma sucesiva que sal´ıan de en medio de los c´ırculos.


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Puesto que R d esto se convierte en: x2 = 2Rd. Nuevamente se aproximará suponiendo que se necesita u ńicamente examinar los primeros dos haces reflejados E1r y E2r . El m-ésimo orden de interferencia para un m´ aximo ocurrir´ a en la pel´ıcula delgada cuando su grueso esté de acuerdo con la relaci´ on: 1 2nf dm = m + λ0 . 2 El radio del m−ésimo anillo brillante se encuentra por lo tanto combinando las dos u ´ltimas expresiones para obtener: s 1 m+ λf R. (5.21) xm = 2 Igualmente, el radio del m-ésimo anillo negro es: xm =

p

mλf R.

(5.22)

Si las dos piezas de vidrio están en buen contacto (sin polvo), la franja central en ese punto (x0 = 0) claramente será el m´ınimo de orden cero, un resultado comprensible puesto que d se hace cero en ese punto. En luz transmitida, el patr´ on observador ser´ a el complementario del de luz reflejada discutido antes, de tal modo que el centro aparecerá ahora brillante. Los anillos de Newton, que son franjas de Fizeau, pueden distinguirse del patr´ on circular de franjas de Haidinger por la manera como los diámetros de los anillos var´ıan con el orden m. La región central en el patrón de Haidinger corresponde al valor m´ aximo de m mientras que justamente lo opuesto se aplicará a los anillos de Newton. Un taller de ´ optica en el negocio de producción de lentes tendrá un conjunto de precisas placas esféricas de referencia o medidores. Un dise˜ nador puede entonces especificar la precisión de la superficie de una lente nueva en términos del n´ umero y regularidad de los anillos de Newton, los cuales serán observados con un instrumento de prueba particular. Se debe mencionar que el uso de placas de prueba en la manufactura de lentes de alta calidad da lugar a técnicas mucho m´ as complicadas incluyendo interferómetros de láser.

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CAPÍTULO 6

Difracci´ on Índice General 6.1. Difracci´ on de Fraunhofer por una Rendija . . . . . 90

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´ CAPÍTULO 6. DIFRACCION ´ 6.1 SECCION

Difracci´ on de Fraunhofer por una Rendija Considérese que se ilumina una pantalla con un foco puntual y coherente S, de longitud de onda λ y se interpone entre dicho foco y la pantalla un diafragma formado por una rendija de anchura a, de manera que la distancia L entre el diafragma con la rendija y la pantalla sea mucho mayor que la anchura de la rendija a. Hechas estas consideraciones y teniendo en cuenta que la luz presenta dos comportamientos muy distintos la pregunta es ¿se observará en la pantalla lo mismo si es uno u otro el modo de interacción de la luz? Pues bien, dependiendo de la naturaleza que supongamos para la luz dos son los posibles resultados de este experimento, que se describirán a continuación. Atendiendo exclusivamente a la naturaleza corpuscular de la luz esto es lo que se deber´ıa ocurrir: Los fotones se propagan en todas direcciones desde el foco puntual S, extendiéndose por todo el espacio; algunos de ellos viajarán en direcci´ on a la pantalla, pero al estar interpuesto el diafragma entre el foco y la pantalla parte de estos u ´ltimos se pegarán contra la placa del diafragma y ah´ı finalizar´ a su viaje, de manera que sobre la pantalla se proyectará la sombra del diafragma; sin embargo, otros (los que salen del foco S formando un peque˜ no angulo) conseguir´ ´ an pasar a través de la rendija y llegarán a la pantalla ilumin´ andola. Seg´ un esta descripción el resultado final que cabe esperar es que se observe una zona iluminada semejante a la abertura, con contornos n´ıtidos y bien delimitados entre la luz y la sombra. Sin embargo si se atiende a la naturaleza ondulatoria de la luz, el estudio del fen´ omeno es m´ as complicado, pues deber´ıa ocurrir lo siguiente: Un frente de ondas esférico se propaga desde el foco puntual a través del espacio, si además el foco puntual est´ a alejado del diafragma y la rendija de éste es relativamente peque˜ na, se puede considerar que el frente de ondas incidente sobre la rendija es plano. De acuerdo con el principio de Huygens, cada punto sobre el frente de ondas realiza el mismo papel que un foco puntual, emitiendo a su vez, frentes de onda esféricos. Estos nuevos frentes de ondas producidos en la rendija est´ an destinados a interaccionar unos con otros. Se producirán fenómenos de interferencia en los cuales unos frentes de ondas al interferir con otros se reforzar´ an (interferencia constructiva) mientras que en otros casos se debilitarán (interferencia destructiva). La interferencia constructiva máxima entre dos frentes se producirá cuando ambos frentes estén en fase, o lo que es lo mismo, cuando en las ondas de cada frente coinciden espacialmente crestas y nodos; en este caso las amplitudes de las ondas se sumar´ an y la amplitud resultante será máxima. La condición de interferencia constructiva entre dos frentes de ondas es que el ángulo de desfase entre ambos sea 0 o 2πm, siendo m un n´ umero entero. Toda interferencia que se produzca entre dos frentes de ondas diferente de la descrita dará lugar a ondas con amplitud menor que la máxima, pudiendo incluso darse extinciones en el caso particular de que los frentes que interfieran estén desfasados en media longitud de onda, (cuando las crestas de las ondas de un frente coinciden espacialmente con los valles de las ondas de otro frente) en este caso la suma de las ondas de dichos frentes dan lugar a amplitudes de radiación m´ınimas, que se conoce como interferencia destructiva. La condición de interferencia destructiva 90


´ DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA 6.1. DIFRACCION

entre dos frentes de ondas es que el ángulo de desfase entre ambos sea π o πm, siendo m un n´ umero entero. Para analizar la distribuci´ on de la intensidad luminosa en la pantalla tras las interferencias de los frentes de onda procedentes de la rendija, considérese un punto genérico de la pantalla P situado en ella, de manera que el tren de ondas procedente de uno de los focos se propaga hasta P formando un ángulo θ con respecto a la normal a la rendija. Puesto que la rendija es peque˜ na y la pantalla se encuentra muy alejada del diafragma, se puede considerar que los rayos (o mejor dicho, las l´ıneas directrices a lo largo de las cuales se propagan las ondas luminosas) que llegan al punto P de la pantalla salen paralelos entre s´ı de los focos puntuales situados en la rendija. Considérese también que la rendija de anchura a se divide en N subintervalos iguales tales que en el medio de cada subintervalo haya un foco puntual emisor de ondas luminosas. Si se denota por d a la distancia entre dos focos puntuales adyacentes y puesto que la anchura de la rendija es a, resulta que la distancia de separación d entre dos focos adyacentes es d = a/N . Esta distancia de separación entre los focos hace que exista una diferencia de trayectos entre las ondas que de ellos salen hacia el punto P , siendo, a su vez, esta diferencia de trayectos la causa de que entre estas ondas haya una diferencia de fase dada por: δ=

2π d sin θ λ

(6.1)

Se puede calcular la amplitud de la radiación en el punto P , para el cual las ondas procedentes de dos fuentes adyacentes difieran en una fase igual a δ. La siguiente figura muestra el diagrama de fasores para la suma de N ondas procedentes de los N focos puntuales que difieren de fase de la primera onda en δ, 2δ, . . . , (N − 1)δ. Cuando N es muy grande y δ muy peque˜ na, el diagrama de fasores es aproximadamente un arco de circunferencia, pero en cualquier caso se puede escribir φ = (N − 1)δ, siendo φ la diferencia de fase existente entre la onda del primer foco y la onda del u ´ltimo foco. La amplitud de la radiación resultante en el punto genérico P es Eθ , que resulta ser la longitud de la cuerda de este arco, y se calcula en funci´ on de la diferencia de fases entre la onda del primer foco y la onda del u ´ltimo foco. Del anterior diagrama de fasores se tiene: 1 Eθ = 2r sin φ 2

(6.2)

Donde r es el radio del arco, que puede calcularse en función de la longitud del arco y el ´ angulo de desfase φ entre la primera y u ´ltima ondas. r=

N E0 φ

(6.3)

Donde E0 es la amplitud de la radiación de cada foco independiente de los demás. Sustituyendo esta expresi´ on en la precedente se obtiene: Eθ = 2

N E0 1 N E0 1 sin φ ⇒ Eθ = 1 sin φ φ 2 2 φ 2 Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(6.4)

91

´ CAPÍTULO 6. DIFRACCION

La amplitud m´ axima de la radiación (y por tanto su intensidad) se dará en aquel punto en el que todas las ondas interfieran constructivamente, de manera que se satisfaga que el desfase de todas las ondas es 0, situación que se da cuando θ = 0 y en este caso la amplitud máxima es N E0 , y puesto que la intensidad de la radiaci´ on en cualquier punto de la pantalla es proporcional al cuadrado de la amplitud de la radiación incidente en dicho punto, se obtiene la siguiente expresi´ on para la intensidad de la radiación en el punto genérico P : ( Imax ∝ (N E0 )2 Eθ2 Eθ2 Iθ ⇒ = ⇒ Iθ = Imax ⇒ 2 2 Imax (N E0 ) (N E0 )2 Iθ ∝ Eθ 2 1 1 N E0 ⇒ Iθ = Imax sin φ 1 2 (N E0 )2 2φ es decir: Iθ = Imax

sin 12 φ 1 2φ

2 (6.5)

El segundo factor del segundo miembro no hace más que modular la intensidad m´ axima Imax , ya que toma valores entre 0 y 1 dependiendo del desfase φ entre la primera y u ´ltima onda. El desfase φ depende del desfase existente entre dos ondas de dos focos adyacentes, que a su vez, depende del ángulo θ formado por la l´ınea de propagación de las ondas hasta un punto P en la pantalla y la normal a la rendija. Esta dependencia de la intensidad con el ángulo θ da lugar a m´ aximos y m´ınimos de difracción sobre la pantalla. A continuación se hará una discusi´ on acerca de las distintas situaciones que se pueden dar seg´ un la anterior expresi´ on: 1. Intensidad m´ınima. El valor m´ınimo posible de la intensidad en un punto P de la pantalla es Iθ = 0. La situación de intensidad m´ınima se produce cuando el segundo factor de la expresión general de la intensidad vale 0, que se produce cuando φ = 2πm, como bien puede comprobarse tras sustituir dicho valor. Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el desfase entre las ondas del primer y u ´ltimo foco está relacionadas por φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusión de que φ = 2πm se cumple cuando δ = 2πm/(N − 1) ≈ 2πm/N (cuando N es grande). Esto significa que todos los fasores se hallan formando un pol´ıgono regular cerrado. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes está relacionado con el angulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situación δ = 2πm/N se da ´ cuando a sin θ = mλ: δ=

2π 2πm 2π d sin θ ⇒ = d sin θ ⇒ mλ = N d sin θ λ N λ

Puesto que d = a/N se obtiene finalmente: a sin θ = mλ

m = 1, 2, 3, . . .

(6.6)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un ángulo θ con respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresión anterior se halla en oscuridad, es decir: Iθ = 0 (6.7) 92


´ DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA 6.1. DIFRACCION

2. M´ aximos relativos de intensidad. En los puntos P de la pantalla en los que no se cumpla la anterior condición es evidente que no habrá oscuridad. En dichos puntos incidir´ a siempre algo de radiación, aunque sea muy poca, y el valor de su intensidad oscilará entre 0 < Iθ ≤ Imax . Esta situación se produce cuando el segundo factor de la expresión general de la intensidad vale entre 0 y 1, que se produce cuando φ 6= 2πm. De todos los valores posibles que puede tomar φ, existen algunos para los que la intensidad en la pantalla presenta m´ aximos relativos. Estos máximos relativos aparecen cuando φ = 2π(m + 12 ). Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el desfase entre las ondas del primer y u ´ltimo foco está relacionadas por φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusión de que φ = 2π(m + 21 ) se cumple cuando δ = 2π(m+ 12 )/(N −1) ≈ 2π(m+ 12 )/N (cuando N es grande). Esto significa que todos los fasores se hallan completando m circunferencias y media, aproximadamente. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes est´ a relacionado con el ángulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situaci´ on δ = 2π(m + 12 )/N se da cuando a sin θ = (m + 12 )λ: 2π m + 21 2π 2π 1 δ= d sin θ ⇒ = d sin θ ⇒ m + λ = N d sin θ λ N λ 2 Puesto que d = a/N se obtiene finalmente: 1 λ m = 1, 2, 3, . . . a sin θ = m + 2

(6.8)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un ángulo θ con respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresión anterior se halla iluminado con la siguiente intensidad: " #2 1 Iθ = Imax m = 1, 2, 3, . . . (6.9) m + 12 π Estos m´ aximos relativos reciben el nombre de máximos secundarios de difracci´ on, lo hace suponer que debe existir un máximo principal. Pues bien, es a este m´ aximo principal al que corresponde la situación de iluminación con intensidad m´ axima en la pantalla. 3. Intensidad m´ axima. El valor máximo posible de la intensidad en un punto P de la pantalla es Iθ = Imax . La situación de intensidad máxima se produce cuando el segundo factor de la expresión general de la intensidad vale 1, que se produce cuando φ = 0, como bien puede comprobarse tras sustituir dicho valor y eliminar previamente la indeterminación tipo 00 mediante la regla de L‘Hˆ opital. Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el desfase entre las ondas del primer y u ´ltimo foco está relacionadas por φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusión de que φ = 0 se cumple cuando δ = 0. Esto significa que todos los fasores están en l´ınea, o lo que es lo mismo, que las ondas procedentes de todos los focos están en fase. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes está relacionado con el angulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situación δ = 0 se da cuando: ´ δ=

2π 2π d sin θ ⇒ 0 = d sin θ λ λ Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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´ CAPÍTULO 6. DIFRACCION

Que ocurre cuando: θ = 0o

(6.10)

Y como se dec´ıa, la intensidad en este caso es: Iθ = Imax

(6.11)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un ángulo θ igual a 0 con respecto a la normal a la rendija, se halla iluminado por radiaci´ on de intensidad máxima igual a Imax (y amplitud máxima N E0 ). La distancia existente ∆y entre el máximo principal y el primer m´ınimo de difracci´ on est´ a relacionada con el ángulo θ y la distancia L que separa la rendija de la pantalla por: ∆y tan θ = L Puesto que la pantalla está bastante alejada del diafragma, el ángulo θ es muy peque˜ no y puede hacerse la aproximación tan θ ≈ sin θ, de manera que la anterior expresi´ on se convierte en: ∆y sin θ = L Sustituyendo el valor de sin θ de la anterior ecuación en la expresión que caracteriza los m´ınimos de difracción, se obtiene finalmente: ∆y =

Lλ a

(6.12)

Finalmente, la descripción del fenómeno que se observar´ıa es la siguiente: la mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un máximo central de difracci´ on ancho, aunque, existen bandas de máximos secundarios más peque˜ nos a cada lado del m´ aximo central. Para una longitud de onda determinada λ, la anchura del m´ aximo central var´ıa en razón inversa con la anchura de la rendija. Es decir, si se aumenta la anchura de la rendija a, disminuye el ángulo θ en que la intensidad es por primera vez nula, originándose un máximo de difracción central m´ as estrecho. Inversamente, si disminuye la anchura de la rendija, aumenta el ´ angulo correspondiente al primer m´ınimo, dando as´ı un máximo central de difracci´ on m´ as ancho. Cuando la rendija es muy peque˜ na, no existen puntos de intensidad nula en el diagrama, pues en este caso la rendija act´ ua como una fuente lineal, radiando energ´ıa luminosa esencialmente por igual en todas direcciones. Si, por el contrario, la rendija es muy ancha (mucho mayor que la longitud de onda de la radiación), simplemente no se observarán los fenómenos de interferencia y difracción. Como puede verse, el tama˜ no de los objetos que interaccionan con la luz influye en el comportamiento de ésta, mostrándose fundamentalmente como corp´ usculos (fotones) con objetos macroscópicos, y como ondas con objetos que tienen un tama˜ no similar a la longitud de onda de la luz.

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Optica Hecht

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