Orígenes y desarrollo del Álgebra
AUTORES:
Andrea Vélez Salas BC-2 Nº 16 Carolina Fernández Fernández González BC-2 Nº 3
Introducción El objetivo del siguiente trabajo es desarrollar, de una forma clara, sencilla y amena en la medida de lo posible, los puntos que han marcado el álgebra tal y como lo conocemos hoy desde su origen. Desde los primeros indicios de un uso cotidiano y rudimentario del álgebra en Mesopotamia y Egipto, ha sufrido un largo proceso de desarrollo. Las antigua civilizaciones china, hindú y griega ya hicieron grandes avances en la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, pero no fue hasta el siglo IX con Al-Khowarizmi cuando el álgebra se consolidó como tal. A partir de este momento, el uso del álgebra y las matemáticas se fue extendiendo hacia Europa, y tuvieron un gran apogeo durante el Renacimiento en Italia, época en la cual se pasa de un álgebra literal o retórica a un álgebra simbólica. Ya en el siglo XVII Descartes realiza grandes avances sobre las raíces de las ecuaciones, aunque fracasó en su intento de armonizar álgebra y geometría. Durante todo el siglo XIX se trató de buscar una resolución por radicales de ecuaciones de grado mayor que 5 sin demasiado éxito, hasta que un joven matemático llamado Galois dio con la solución, aportando además su teoría de grupos, permitiendo el paso del álgebra elemental, centrada en la resolución de ecuaciones, a un álgebra moderna o abstracta más centrada en las estructuras matemáticas. Incluye también un eje en el que se sitúan cronológicamente los hechos señalados a lo largo del trabajo, con el fin de situar en el tiempo y el espacio los acontecimientos de forma adecuada y sencilla.
Orígenes y desarrollo del álgebra En la actualidad, existen distintas formas de entender el álgebra, bien como elemental, que se ocupa de las formulas y expresiones de números reales y complejos, o bien como abstracta o moderna, que se ocupa de estructuras matemáticas (grupos, anillos, cuerpos…etc.). Sin embargo, este saber ha sufrido una larga evolución a lo largo de la historia desde su origen en el siglo IX. El término “álgebra” surge a partir de la obra de Mohammed ibn-Musa AlKhowarizmi denominada “ Hisab al-jabr wa-al-muqabala” (libro sobre las operaciones abr ,
restablecimiento, y qabala, reducción). Esta obra se inspira en los avances
algebraicos llevados a cabo por las culturas griega e hindú, y antes que ellas, la china: *En la antigua civilización China, gracias a su fuerte desarrollo socioeconómico, se llevan a cabo grandes avances en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, ya utilizadas por los Egipcios y Mesopotámicos. Descubrieron un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, muy similar al de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial transformándolos en ceros de manera escalonada. *La civilización hindú también hizo grandes aportaciones a las matemáticas; se les atribuye la creación del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo. Además, en álgebra profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas con fines económicos, en las cuales las raíces negativas eran consideradas deudas. *En la cultura helenística de la antigua Grecia, el álgebra comienza con la publicación de la Aritmética de Diofanto de Alejandría, en la cual trataba con una simbología muy rudimentaria las ecuaciones ec uaciones de primer y segundo grado, siendo uno de los precursores del álgebra moderna. Destaca también la
contribución de la escuela de Pitágoras , la cuál realizó una reformulación de la geometría como consecuencia del descubrimiento de los números irracionales, y establecieron el álgebra geométrica., que incluía conceptos como anexión de áreas, división áurea o la expresión de la arista de un poliedro regular a partir del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, eran inaccesibles los problemas que condujeran a ecuaciones de grado mayor de dos, debido a que no se podían representar con regla y compás.
Durante el primer siglo no se da ningún avance científico en el imperio musulmán debido a que carecían del impulso intelectual necesario. En el siglo IX con la creación de escuelas por todo el imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de la sabiduría, cuando se comienzan a traducir textos griegos al árabe. Al-Khowarizmi pertenecía a esta escuela, y en su obra podemos distinguir dos partes: una primera en la que establece las operaciones a efectuar para el traslado de términos de un miembro a otro de una ecuación , y una segunda parte dedicada a la reducción de términos semejantes en una ecuación. Además, dicho libro contiene las resoluciones sistemáticas de las ecuaciones de primer y segundo grado conforme a seis tipos de
ecuaciones: Ax = B
Ax2=B
Ax2=Bx
x2 + Bx=A
x2 + A=Bx
Bx + A= x2
También estableció determinadas ecuaciones en forma geométrica Las aportaciones de Al-Khowarizmi tuvieron una gran influencia en los textos árabes y medievales posteriores por su notación y la aparición de los términos álgebra y algoritmo, utilizados en las matemáticas hasta el día de hoy. El estudio de su obra inspiró a matemáticos como Leonardo de Pisa (1170-1240) más conocido como
Fibonacci, que introdujo un álgebra mejorada en Italia, así como el sistema decimal
hindú. Entre otros matemáticos árabes decisivos en la evolución del álgebra destaca en el siglo X, el gran algebrista musulmán Abu-Kamil continuó con los trabajo de AlKhowarizmi, cuyos avances serían aprovechados en el siglo XIII también por Fibonacci. Omar al-Khayyam y Sharaf ad-Din at-Tusi extendieron durante el siglo XI, la tipología de las ecuaciones cuadráticas a las de tercer grado buscando soluciones geométricas y no raíces. Sin embargo el álgebra en esta época carecía de simbología, lo que dificultaba su avance. En occidente no hubo tanto interés por las matemáticas como en oriente ;
solo algunos monjes se dedicaban a su estudio. Con la creación de centros de enseñanza en el siglo X, comienza el aprendizaje de los caracteres numéricos arábigos. Sin embargo hubo que esperar hasta el siglo XII para que los musulmanes rompieran la barrera lingüística y se produjeran oleadas de traducciones de obras árabes, iniciándose así el apogeo de las matemáticas en Europa Durante el Renacimiento italiano (Siglos XV-XVI) se produjo un importante desarrollo de las matemáticas debido principalmente a la invención de la imprenta, que favoreció la difusión de los conocimientos matemáticos ya que anteriormente eran manuscritos que requerían mucho trabajo y esfuerzo, por lo que había pocos ejemplares y solo eran accesibles para una minoría. Algunos autores destacados son: -Scipione del Ferro: (1465-1526) podía resolver cualquier ecuación de la forma 3
x +bx=c, dando las soluciones con la precisión requerida.
-Jerónimo Cardano: (1501-1576) introdujo un método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado. Expresa teoremas que relacionan raíces y
coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por un factor “x-x1” donde “x1” es la raíz del polinomio. Igualmente establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. -François Viète: (1540-1603) constituyó un sistema único de símbolos algebraicos organizados, gracias al cuál resultó por primera vez posible la expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Estableció una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, considerándose el creador del álgebra lineal y uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría. -Tartaglia: (1499-1557) se hizo famoso tras vencer a
TARTAGLIA
Fiore, alumno de del Ferro, en un torneo matemático, en el cuál Tartaglia fue capaz de resolver los dos tipos de ecuaciones de tercer grado: x3 + mx = n y x 3 = mx + n, con m > 0 y n > O. Sin embargo su descubrimiento no fue valorado en su época debido a que Cardano publico sus métodos antes que él También durante los siglos XV y XVI se produce una evolución del lenguaje formal-simbólico. Se elaboraron sistemas de símbolos para operar en el lenguaje
algebraico y el lenguaje matemático en general, de los cuales muchos se mantienen en la actualidad. Podemos establecer tres etapas en la evolución de este lenguaje, que van desde el álgebra retórica hasta el álgebra simbólica En el álgebra retórica, las relaciones entre variables se expresan con palabras, no con símbolos ni números, y es propia de los inicios del álgebra. Por ejemplo, para decir 40 + 50 - 3 =87 se escribía "40 más 50 menos 3 igual a 87 ". ". El álgebra sincopada es un tránsito entre la retórica y la simbólica, y se diferencia de la primera en
que aparecen abreviaturas no universales de ciertas palabras, por ejemplo co para cosa (nuestra x) ae para igualdad (nuestro =) etc. El álgebra simbólica fue introducida por
Viète, que asignó letras vocales a la cosa (incógnitas) y consonantes a valores conocidos (parámetros). También utilizó el símbolo (p) y (m) para la suma y la resta. El siguiente paso en la evolución del álgebra tuvo lugar en el siglo XVII con la publicación del “ Discurso del Método” (1640) de Descartes. En
dicha obra, el matemático francés trató de elaborar una serie de teorías que relacionaban la geometría con el álgebra. La posterior aparición de la geometría analítica demostró que las teorías de
DESCARTES
Descartes no podían realizarse, por lo que el álgebra y la geometría siguieron caminos diferentes aunque relacionados. Asimismo cabe señalar la relación entre la
geometría analítica y el cálculo, realizada por Newton y Leibniz de forma independiente y de manera intuitiva, uno a través de la física y otro de la geometría. Establecieron el concepto de límite, y el cálculo de la tangente a una curva, la derivada, así como las relaciones inversas de ésta con la integral. El siglo XIX se suele considerar como la época de oro de las matemáticas. Durante este periodo se da un problema fundamental; la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual a 5 por radicales (es decir, mediante fórmulas que conlleven operaciones como suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y raíces con exponentes positivos enteros, de forma similar a las de segundo, tercer y cuarto grado) lo que se conoce como la búsqueda de la “ solución general ”. Algunos matemáticos como Euler, Lagrange o D´Alembert trataron el tema, pero no fueron capaces de solucionarlo ya que no consiguieron determinar la naturaleza de las raíces que obtenían, y por tanto sus teorías eran incompletas. Gauss tampoco halló el modo de obtener las raíces, pero sí demostró su existencia, dando un importante paso hacia la solución. Más
tarde, Niels Henrik Abel determinó que la ecuación general de 5º grado no se podía resolver por radicales, pero había muchas otras formas especiales que si. La cuestión era determinar qué ecuaciones sí pueden resolverse por radicales y qué condiciones deben cumplir. Fue Evariste Galois quien planteó la solución al problema, determinando cuándo son resolubles mediante radicales las ecuaciones polinómicas, estableciendo que lo son aquellas cuyo grupo de Galois puede resolverse. La teoría de grupos de Galois abrió el camino a otros matemáticos, y supone el paso de un álgebra elemental centrada en el estudio de las ecuaciones al algebra abstracta o moderna, dirigida a las estructuras GALOIS
matemáticas. Este cambio es debido entre otras cosas a
la necesidad de una mayor precisión en las soluciones. El álgebra abstracta permite la representación mediante símbolos no solo de números, sino también de proposiciones lógicas, funciones o conjuntos y sus elementos. La importancia de este cambio reside en que el álgebra moderna permite observar con claridad el significado de las proposiciones lógicas en las que se basan las matemáticas y las ciencias naturales,
utilizándose hoy en día en casi todas las ramas de las matemáticas.
MESOPOTAMIA S XVII a.C.
Los Pitagóricos reformulan la geometría y surge el álgebra geométrica
EGIPTO S. VI a.C.
Métodos rudimentarios de resolución de ecuaciones de prime grado con aplicaciones a la vida cotidiana y sin símbolos
CHINA S. I d.C.
Nuevos métodos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado
GRECIA
HINDUES S. VII
Otros matemáticos árabes continúan con el trabajo de Al-Khowarizmi, y profundizan con las ecuaciones cúbicas Resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, álgebra simbólica
Newton y Leibniz establecen la relación entre la geometría analítica y el cálculo a través de la física y la geometría respectivamente. A partir de este momento el álgebra pasa de centrarse en la resolución de ecuaciones a ocuparse de las estructuras matemáticas, lo que se conoce como álgebra abstracta
Primeros indicios de álgebra: resolución de ecuaciones y sistemas sencillos
ARABES s. IX-XII
RENACIMIENTO S. XV-XVI
S. III: Diofanto publica su “Aritmética”. Con una simbología rudimentaria hizo un estudio riguroso sobre ecuaciones de rime rimerr se undo undo rado rado Resolución de raíces cuadráticas y lineales con fines económicos. Además descubren las raíces negativas Al-Khowarizmi, recopila información de las civilizaciones anteriores y establece la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. Se le considera el padre del álgebra Desarrollo de las matemáticas en Europa en manos de personajes como Tartaglia, Viète, Cardano y Ferro
SIGLOS XVII-XVIII
Discurso del Método de Descartes. Aparece la geometría analítica, siguiendo un camino separado al del álgebra.
SIGLO XIX
El problema de la búsqueda de la “solución general” sobre las ecuaciones de grado mayor que 4 lleva al fracaso a Euler y Lagrange. Abel establece que aunque no se pueda resolver por radicales la ecuación general, algunos casos especiales si. Galois determina en qué casos si, y su teoría de grupos marca el inicio del álgebra moderna EJE CRONOLÓGICO DE LOS ACONTECIMIENTOS QUE MARCAN EL DESARROLLO DEL ÁLGEBRA TRATADOS EN EL TRABAJO
Conclusiones El álgebra, al igual que las matemáticas en general, es una ciencia con una gran importancia y utilidad en nuestra vida cotidiana, ya que es vital para la resolución de problemas en áreas tan dispares como la biología, la economía o la física. En la realización de este trabajo hemos podido observar que el álgebra ha estado presente en el ser humano desde sus mismos orígenes, aunque sólo tengamos constancia de ello desde los mesopotámicos y egipcios, y cómo ha ido evolucionando a la par que otras ciencias, sirviéndose de ellas o haciéndolas posibles. Es por ello necesario desde nuestro punto de vista que las matemáticas cobren más relevancia en nuestro nivel académico, ya que su importancia no es menor a la de otras asignaturas que sí son comunes, y además deberían centrarse en la demostración de teoremas y sus aplicaciones y no en cálculos que nos inducen a errores pudiendo ser realizados por máquinas.
Recursos utilizados -Páginas Web: o
“De la geometría analítica al cálculo”
o
“Disputas matemáticas del siglo XVI”
o
“El nacimiento del álgebra”
o
“Historia del Álgebra y la Aritmética”
o
“Las matemáticas en el Renacimiento”
“Origen del álgebra”
o
o
“Un poquito de historia del álgebra”
“Wikipedia, criterios de búsqueda: Álgebra, Álgebra abstracta, Álgebra
o
elemental, Galois, Lagrange” < http://es.wikipedia.org/wiki/Portada>
-Libros o
MORRIS KLINE: “El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días I y II” Alianza Editorial
