PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
Solusi: Dalam mengembangkan model dari kasus diatas, terlebih dahulu kita harus mengetahui karakteristik dari masalah pemrograman linear sebagaimana yang telah dituliskan pada bagian 1, yaitu: Variabel Keputusan: Seluruh bagian dari proses pemecahan masalah dengan menggunakan pemrograman linear, pertama adalah mendefinisikan variable keputusan . Dalam model pemrograman linear, variable keputusan secara lengkap harus menjelaskan keputusan yang akan dibuat. Jelasnya, kasus di atas harus diputuskan berapa banyak Tentara Mainan dan Kereta main yang harus diproduksi tiap minggu. Dalam kasus ini, x 1 : Jumlah Tentara Mainan yang harus produksi tiap minggu x 2 : Jumlah Kereta Mainan yang harus diproduksi tiap minggu Didefinisikan sebagai variable keputusan Fungsi Tujuan: Dalam banyak permasalahan LP, pembuat keputusan ingin memaksimumkan (pendapatan atau keuntungan) atau meminimumkan (biaya) beberapa fungsi dari variable keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi tujuan. Dari kasus ini, diketahui biaya tetap (seperti: biaya sewa dan jaminan) tidak bergantung pada nilai x 1 dan x 2 . Selanjutnya kita dapat berkonsentrasi pada proses memaksimumkan (pendapatan mingguan) – (Biaya pembelian material) – (biaya variable lain). Pendapatan mingguan dan biaya dapat diekspresikan dalam terminology variable keputusan x 1 dan x 2 . Merupakan tindakan yang kurang bijaksana, jika sebuah perusahaan memproduksi sesuati dimana dia tidak mampu menjualnya, dengan demikian kita asumsikan bahwa seluruh mainan yang diproduksi dari kasus ini akan terjual. Maka pendapatan perminggu = Pendapatan permgg dari prajurit mainan + Pendapatan permgg dari kereta mainan
dollar prajurit dollar Kereta = + prajurit minggu kereta minggu = 27 x1 + 21 x 2 Juga, Biaya Material Perminggu = 10 x 1 + 9 x 2 Abu Abdirrahman
7
PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
Biaya lain-lain lain-lain perminggu perminggu = 14 x 1 + 10 x 2 Selanjut, perusahaan Giapetto yang memaksimumkan
( 27 x1 + 21 x2 ) − ( 10 x1 + 9 x2 ) − ( 14 x1 + 10 x2 ) = 3 x1 + 2 x2 Fungsi tujuan dari kasus ini adalah: Maksimumkan z= 3 x1 + 2 x2
(0.1)
Kendala ketika x 1 dan x 2 meningkat, fungsi tujuan pun naik. Artinya, Giapetto bebas memilih nilai untuk variable x 1 dan x 2 untuk meningkatkan keuntungan. Namun, perlu diperhatikan bahwa, nilai x 1 dan x 2 dibatasi oleh tiga keadaan beirkut (selanjut disebut batasan atau konstrain): Batasan 1 Tiap minggu, tidak lebih dari 100 jam waktu yang digunakan untuk pekerjaan finishing Batasan 2 Tiap minggu, tidak lebih dari 80 jam waktu yang digunakan untuk pekerjaan Tukang Kayu Batasan 3 Karena permintaan terbatas, maka prajurit mainan yang harus diproduksi hanya pada kisaran 40 Prajurit mainan tiap minggu. Jumlah material yang dapat diperoleh diasumsikan tidak terbatas, dengan demikian tidak ada pembatasan pada masalah ini. Langkah selanjutnya dalam merumuskan model matematika dari contoh ini adalah menyatakan batasan 1 – 3 dalam terminology variable keputusan x 1 dan x 2 . Batasan 1 dalam termonologi x 1 dan x 2 : Tot Total Jam Jam F Fin inis ish hing ing Minggu
Jam Jam F Fin inis ishi hin ng Pem embu bua atan Praj. aj. M Ma aina inan Minggu Praj. mainan
=
Jam Fini Finish shin ing g Pemb Pembua uata tan n Kere Kereta ta Jam Kereta Minggu = 2( x1 ) + 1 ( x 2 ) +
2 x1 + x 2 Secara Lengkap, Rumusan batasan 1 adalah: 2 x1 + x 1 ≤ 100 =
(0.2)
Batasan 2 dalam terminology x 1 dan x 2 :
Abu Abdirrahman
8
PEMROGRAMAN LINEAR
Tot Total Jam Jam Carp Carpen enttry Minggu
=
February 16, 2006
Jam Jam Car Carpent pentrry Pem embu bua atan tan Pr Praj. aj. M Ma aina inan Minggu Praj. mainan Jam C Car arpe pent ntry ry Pemb Pembua uata tan n Ker Keret eta a Jam + Kereta Minggu
= 1( x1 ) + 1
( x 2 )
= x1 +
x 2 Secara lengkap, Batasan 2 adalah: x1 + x 2
≤ 80
(0.3)
Terakhir, sebagaimana sebagaimana telah disebutkan pada kasus tersebut bahwa jumlah yang dapat diproduksi pada setiap minggunya terbatas, untuk Prajurit mainan terbatas pada 40, hal dapat dinyatakan sebagai satu keterbatan (salah satu fungsi batasan), yaitu: x 1
≤
40
(0.4)
Kemudian, dari persamaan (0.2)-(0.4) dalam terminology variable keputusan, dinyatakan sebagai batasan untuk masalah pemrograman linear. Setiap nilai yangberkaitan dengan variable keputusan disebut koefisien, contoh koefisien untuk x 2 dalam persamaan (0.3) adalah 1, hal ini mengindikasikan bahwa prajurit mainan membutuhkan 1 jam pengerjaan oleh tukang kayu. Bilangan yang terdapat pada bagian sebelah kanan dari masingmasing batasan disebut sisi kanan (right-hand side or rhs). rhs) . Biasanya rhs batasan merepresentasikan jumlah sumber yang dibutuhkan atau yang tersedia. Tanda Keterbatasan, Untuk melengkapi rumusan dari masalah pemrograman linear, pertanyaan yang harus dijawab yang berkaitan dengan variable keputusan: Dapatkan variable keputusan dapat diasumsikan sebagai nilai • non-negatif? • Apakah variable keputusan memungkinkan untuk diasumsikan bahwa nilai positif dan negative? Jika variable keputusan x i hanya dapat diasumsikan bernilai nonnegative, nonnegative , maka kita tambahkan tanda batasan x i ≥ 0 . Setelah seluruh bagian diselesaikan, mulai dari penentuan Fungsi Tujuan, Variabel Keputusan, Batasan, Tanda batasan, seluruh bagian tersebut dituliskan dalam bentuk system persamaan linear sebagai berikut: Abu Abdirrahman
9
PEMROGRAMAN LINEAR
max z= 3 x1 + 2 x2
February 16, 2006
(Fungsi Tujuan)
Fungsi Kendala: 2 x1 + x 2 x2 + x 2 x 1 Batasan Non-negatif x1 , x 2
≤ 100 ≤ 80
(Batasan Finishing) (Batasan Tukang Kayu)
≤
40
(Batasan Permintaan ut. Praj. Mainan)
≤
0
(Tanda Batasan)
Fungsi Kendala memiliki makna bahwa nilai dari variable keputusan x 1 dan x 2 harus memenuhi seluruh batasan dan tanda ketaksamaannya (batasannya). Sebelum diberikan definisi tentang masalah pemrograman linear, terlabih dahulu akan didefinisikan konsep dari fungsi dan ketaksamaan linear. Defenisi 1 : Suatu fungsi f ( x1 , x2 ,, xn ) dari x 1 , x 2 , , x n merupakan fungsi linear jika dan hanya jika untuk semua himpunan konstanta c1 , c2 , cn ,
f ( x1 , x2 , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn Definisi 2
: Untuk sembarang fungsi f ( x1 , x2 ,, xn ) dan sembarang bilangan b , ketaksamaan
Definisi 3
f ( x1 , x2 ,, xn )
≤
b
dan
f ( x1 , x2 ,, xn )
≥
b
merupakan ketaksamaan linear. : Masalah Pemrograman Linear merupakan merupakan suatu masalah proses optimasi yang memenuhi: 1. Kita berusaha untuk memaksimumkan (atau meminimumkan) variable keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan diminimumkan disebut fungsi tujuan. tujuan . 2. Nilai dari variable keputusan harus memenuhi himpunan batasan. Masing-masing batasan harus merupakan persamaan linear atau ketaksamaan ketaksamaan linear. 3. Tanda keterbatasan berkaitan dengan masing-masing variable keputusan. Untuk sembarang variable x i , tanda keterbatasan yang menjelaskan x i harus nonnegative ( x i ≥ 0).
Asumsi Proporsional dan Aditif Fakta bahwa fungsi tujuan untuk suatu masalah pemrograman linear harus merupakan sebuah fungsi linear dari variable keputusan, keadaan terputusan berimplikasi berimplikasi pada: 1. Kontribusi fungsi tujuan dari masing-masing masing-masing variable keputusan adalah proporsional proporsional terhadap nilai dari variable keputusan. Contoh: kontribusi fungsi Abu Abdirrahman
10
PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
tujuan dari pembuatan empat Prajurit mainan (4 x 3 = $12) adalah secara tepat empat kali kontribusi terhadap fungsi tujuan dari pembuatan satu prajurit ($3). 2. Kontribusi fungsi tujuan untuk sembarang variable independen dari nilai variable keputusan yang lain. Sebagai contoh, berapapun nilai dari x 2 , pembuatan x 1 akan selalu memberikan kontribusi terhadap fungsi tujuan sebesar $3. Secara analogi, bahwa tiap batasan dari pemrograman linear harus merupakan ketaksamaan atau persamaan linear berimplikasi: 1. Kontribusi masing-masing variable terhadap sisi kiri dari masing-masing batasan adalah proporsional terhadap nilai dari variable. Contoh, dibutuhk tiga kali waktu penyelesaian (2 x 3 = 6 jam finishing) untuk membuat tiga prajurit mainan. 2. Kontribusi variable terhadap sisi kanan dari masing-masing batasan adalah bergantung dari nilai variable. Implikasi pertama yang diberikan disebut asumsi proporsional. Implikasi kedua dari yang pertama merupakan nilai fungsi tujuan adalah jumlah kontribusi setiap variable secara sendiri-sendiri, dan akibat yang kedua dari daftar kontribusi kedua bahwa sisi kanan dari masing-masing batasan merupakan jumlah kontribusi dari masing-masing variable. Untuk alas an tersebut, implikasi yang kedua disebut asumsi aditif . aditif . Daerah Penyelesaian dan Solusi Optimum Dua dari beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan masalah pemrograman linear adalah daerah penyelesaian penyelesaian dan solusi solusi optimal. Kita gunakan terminology terminology titik untuk memahami spesifikasi nilai untuk masing-msing variable keputusan. Definisi 4 : Daerah Penyelesaian (feasible Region) untuk suatu pemrograman linear adalah himpunan semua titik-titik yang memenuhi semua batasan dan tanda batasan dari pemgrograman linear. Definisi 5 : Untuk masalah maksimasi, suatu solusi optimum pada suatu pemrograman linear merupakan sautu titik dalam daerah penyelesaian dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Dengan cara yang sama, untuk suatu masalah minimasi, suatu solute optimum merupakan titik dalam daerah penyelesaian dengan nilai fungsi tujuan terkecil. 2.2 Bentuk Umum Pemrograman Linear (PL) Sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian 2.1, bahwa masalah pemrograman linear memuat tiga hal, yaitu: 1) Fungsi tujuan 2) Fungsi kendala (keterbatasan sumber daya) Abu Abdirrahman
11
PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
3) Batasan Nonnegatif Ketiga hal tersebut dapat dirumus secara matematis sebagai berikut: Fungsi Tujuan, max/min z = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + + cn xn Fung Fungsi si Kend Kendal ala, a,
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn
≤ (= ) ≥
b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2 n xn
≤ (=) ≥
b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + + a3n xn
≤ (=) ≥
b3
(0.5)
am1 x1 + am2 x2 + am 3 x3 + + amn xn
≤ (=) ≥
bm
x 0, ∀ = i 1, 2, 3,, n
Syarat nonnegatif
i ≥
aij , ∀i = 1, 2, 3, m; j = 1, 2, 3, , n
2.3 Solusi Masalah Pemrograman Linear dengan Metode Grafik Beberapa kasus dari masalah pemrograman linear hanya dapat diselesaikan secara grafik terbatas pada system persamaan linear dengan dua variable. Variable pada masalah pemrograman linear selalu disimbolkan dengan x 1 dan x 2 (untuk masalah dua variable). Sebelum dijelaskan bagaimana menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan metode ini, terlebih dahulu dijelaskan beberapa hal yang berkaitan dengan hal tersebut, yaitu: a. Arah tanda ketaksamaan/persamaan pada system persamaan linear b. Menentukan daerah penyelesaian c. Menentukan penyelesaian optimum Berikut penjelasan berkaitan dengan ketiga hal diatas:
Arah Tanda ketaksamaan/persamaan Andaikan kita ingin menggambarkan grafik dari himpunan titik yang memenuhi persamaan berikut: 2 x1 + 3 x 2 ≤ 6 (0.6) Himpunan titik yang memenuhi, 3 x2 x2
≤ 6 − 2 x 1
≤2−
2 x 1 3
(0.7)
Abu Abdirrahman
12
PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
Karena pergerakannya ke bawah grafik x 2 (lihat gambar 1), maka himpunan titik yang memenuhi persamaan (0.6) dan (0.7) berada dibawah x2
=
2 − 23 x 1 . Himpunan
titik-titik tersebut diindikasikan dengan bagian gambar yang berwarna merah (dibawah garis). Jika persamaannya berbentuk 2 x1 − 3 x 2 = 6 , maka himpunan titik yang memenuhinya adalah tepat pada garis dari persamaan tersebut. Dan jika bentuk tanda ketaksamaannya adalah ≥ (besar dari), 2 x1 + 3 x 2 ≥ 6 , maka himpunan titik yang memenuhi persamaan ini diindikasikan dengan daerah yang berwarna biru (diatas garis persamaan). Gambar 1. Grafik ketaksamaan ketaksamaan Linear Secara sederhana: -
Jika tanda ketaksamaannya adalah
≤,
maka himpunan titik yang memenuhi persamaan yang dimaksud berada di bawah garis -
Jika tanda ketaksamaannya adalah maka
himpunan
titik
yang
≥,
memnuhi
persamaaan yang dimaksud berada di atas -
Jika tandanya =, maka himpunan himpunan titik yang memenuhi tepat sepanjang garis dari persamaan yang dimaksud
Menentukan Daerah Penyelesaian Dengan menggunakan kasus giapeto, menentukan daerah penyelesaian suatu system persamaan linear secara grafik dijelaskan sebagai berikut: Diketahui: 2 x1 + x 2 ≤ 100 (Batasan) x1 + x 2
≤ 80
x 1
≥
x 2
40
(Tanda Keterbatasan) Keterbatasan)
(0.8)
≥0
Catatan: Untuk titik-titik ( x1 , x 2 ) yang berada dalam daerah penyelesaian, ( x1 , x 2 ) harus memenuhi seluruh ketaksamaan (0.8). Penyelesaian: • Gambarkan 2 x1 + x 2 ≤ 100 pada bidang kartesius
Untuk x 1 =0, ⇒ x 2 =100 (tempatkan kedua titik yang diperoleh pada bidang kartesius Abu Abdirrahman
13
PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
Untuk x 2 =0, ⇒ x 1 =50 (tempat kedua titik yang diperoleh pada
bidang kartesius) Tarik garis penghubung dari titik x 2 =100 ke titik x 1 =50 •
Gambarkan x1 + x 2
≤ 80
pada bidang kartesius
Untuk x 1 =0, ⇒ x 2 =80 (tempatkan kedua titik yang diperoleh pada
bidang kartesius Untuk x 2 =0, ⇒ x 1 =80 (tempat kedua titik yang diperoleh pada bidang kartesius) Tarik garis penghubung dari titik x 2 =80 ke titik x 1 =80 •
Gambarkan x 1
•
Lihat Gambar 2 Gambar 2. Grafik Masalah Giapetto
≥
40 pada bidang kartesius
Abu Abdirrahman
14
PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
Menentukan Solusi Optimal Setelah menggambarkan daerah penyelesaian dari masalah giapetto, langkah selanjutnya adalah menentukan titik-titik penyelesaian optimal dari kasus tersebut, yaitu titik yang terdapat dalam daerah penyelesaian yang memberikan nilai terbesar terhadap fungsi tujuan, z= 3 x1 + 2 x2 . Untuk menentukan solusi optimum, yang harus kita lakukan adalah mengambarkan sebuah garis yang disebut dengan isoprofit, , jika merupakan permasalah maksimasi, dan garis isocost, isocost, jika merupakan permasalahan minimasi. Untuk kasus giapetto, Diketahui z= 3 x1 + 2 x2 Ambil titik (20,0), maka z = 3(20) + 2(0) = 60. Kemudian, 3 x1 + 2 x 2 = 60 3 30 − x 1 2 Sebagaimana yang telah dipelajari dalam Kalkulus, turunan pertama dari 3 3 adalah x 2' = − merupakan koefisien kemiringan dari garis x2 = 30 − x 1 2 2 3 x1 + 2 x 2 = 60 . Dengan demikian, karena persamaan 3 x1 + 2 x 2 = 60 memiliki x2
=
3 , maka sekali kita menggambarkan satu garis iso 2 profit, kita dapat mendapatkan seluruh garis isoprofit dengan menggeser garis isoprofit yang pertama secara parallel. Solusi optimumnya dapat ditentukan berdasarkan titik terluar yang bersinggungan dengan garis isoprofit yang telah digambarkan. Dari gambar 2, titik terluar adalah titik G, G(20,60), sehingga solusi optimum dari kasus ini adalah: = z 3 x1 + 22
kemiringan yang sama, x 2'
=−
3(20) + 2(60) = 180 180. 2.4 Kasus yang diselesaikan Dalam menentukan penyelesaian dari suatu system persamaan linear, ada tiga jenis dari masalah LP yang sering kita jumpai: 1. Masalah LP dengan jumlah solusi optimal yang tak terbatas 2. Masalah LP dengan tanpa penyelesaian 3. Masalah LP dengan penyelesaian tak terbatas Abu Abdirrahman
15
PEMROGRAMAN LINEAR
February 16, 2006
Berikut akan diberikan contoh yang berkaitan dengan hal tersebut, untuk penentuan solusi optimum diberikan kepada mahasiswa sebagai tugas. Kasus 1: (memiliki himpunan penyelesaian optimum yang banyak) Suatu perusahaan otomotof memproduksi dua jenis kendaraan, mobil sedan dan truck. Tiap komponen harus diproses dalam bengkel pengecatan dan bengkel pemasangan body. Jika bengkel pengecatan hanya mengecat truck, maka dalam sehari dapat menyelesaikan menyelesaika n 40 truck. Jika bengket pengecatan hanya mengecat mobil, maka dalam sehari dapat menyelesaikan 60 mobil sedan . Jika bengkel pengerjaan body hanya membuat mobil sedan, maka dalam sehari dapat menghasilkan 50 body mobil sedan. Jika bengkel pengerjaan body hanya membuat truck, maka dalam sehari dapat menghasilkan 50 body truck. Tiap truck yang dihasilkan memberikan keuntungan sebesar $300, dan tiap mobil sedan yang dihasilkan memberikan keuntungan sebesar $200. Gunakan Pemrograman linear untuk menentukan rencana produksi perhari yang akan memaksimumkan keuntungan perusahaan. Kasus 2: (Kasus tanpa penyelesaian) Andaikan bahwa dealer dari pabrik ini membutuhkan jumlah produksi paling sedikit 30 untuk truk dan 20 untuk mobil sedan. Tentukan solusi optimum untuk pemrograman linear yang baru. Kasus 3: (Penyelesaian tak terbatas)
Abu Abdirrahman
16
PEMROGRAMAN LINEAR
Contoh Kelompok A Untuk soal nomor 1 – 4, tentukan yang mana yang termasuk, solusi optimum tunggal, banyak, tak terbatas, tanpa solusi optimum. Maks z = x1 + x2 1.
Kendala
x1 + x 2
≤
4
x1 − x 2
≥
5
x1 , x 2 Maks 2.
Kendala
z = 4 x1 + x2
3.
Kendala
≤ 16
5 x1 − 2 x 2
≤ 12
z= − x1 + 3 x2 ≤
x1 + 2 x 2 x1 , x 2 Maks
4.
≥0
x1 − x 2
Kendala
4 ≥
4
≥0
z = 3 x1 + x2 2 x1 + x 2
≤6
x1 + 3 x 2
≥9
x1 , x 2
Kendala
≥0
5. Benar atau salah: Untuk suatu LP yang penyelesaiannya akan tak terbatas, daerah penyelesaian dari LP tersebut harus tak terbatas. 6. Benar atau salah: Setiap LP dengan daerah penyelesaian tak terbatas mempunyai solusi optimum tak terbatas. 7. Tentukan semua solusi optimum masalah LP beriktu dengan menggunakan metode grafik:
z = x1 − x2 x1 + x 2
≤6
x1 − x 2
≥0
x2 − x 1
≥
x1 , x 2
3
≥0
8. Tentukan dua solusi optimum masalah LP beriktu dengan menggunakan menggunakan metode grafik min z= 3 x1 + 5 x2 Kendala
8 x1 + 2 x 2 x1 , x 2
Maks
≥0
Min
February 16, 2006
3 x1 + 2 x 2
≤
36
3 x1 + 5 x 2
≥
45
x1 , x 2
≥0
Kelompok B 9. Manager keuangan Boris Milkem telah menyetujui mata uang prancis (frenc) dan mata uang amerika (dollar). Pada jam 12 tengah malam, dia dapat membeli francs dengan 0.25 dollar per franc dan dollar dengan 3 francs per dollar. Misalkan x 1 merupakan jumlah dollar yang dibeli dan x 2 merupakan jumlah francs yang dibeli. Andaikan bahwa kedua jenis transaksi membutuhkan tempat secara bersamaan, dan hanya terbatas pada jam 12.01. Boris harus mempunyai bilangan nonnegative dari francs dan dollars. a. Rumuskan masalah LP dari Boris untuk memaksimumkan jumlah dollars yang harus dimiliki setelah seluruh transaksi selesai b. Tentukan solusi optimum dari LP secara grafik dengan berikan ulasan terhadap jawaban tersebut.
Abu Abdirrahman
17
