PENSAMIENTO ALGEBRAICO

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,

Tenach E. Cedilla Avalas Universidad Pedagógica Nacional Unidad Ajusco

Valentín Cruz Oliva Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal Coordinación Sectorial de Educación Secundaria

PEARSON

/

CEDILLO, TENOCH

Datos de catalogación bibliográfica

y CRUZ, VALENTÍN

Desarrollodel pensamientoalgebraico PEARSON EDUCACIÓN, México, 2013 ISBN: 978-607-32-1548-0 Área: Matemáticas Formato: 21 x 27 cm

Páginas: 288

Todos los derechos reservados Edición en español Director General: Dirección Educación Superior: Editora Sponsor: Editor de desarrollo: supervisor de producción: Diseño de interiores y portada: Gerencia Editorial

Philip de la Vega Mario Contreras Gabriela López Ballesteros e-mail: [email protected] Bernardino Gutiérrez Hernández Juan José Garcfa Guzmán By Color Soluciones Gráficas

Educación Superior Latinoamérica: Marisa de Anta PRIMERA EDICIÓN, 2013

D.R

O 2013 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-50. piso Col. Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Reservaclos todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquimico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del Editor. 8 préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-1548-0 ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-1549-7 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-1550-3 Impreso en México. 1234 56789

Printed in Mexico.

o . 15 14 13 12

PEARSON

www.pearsonenespañol .com

Prólogo Presentación Introducción Referente teórico Modelo didáctico Investigación Guía didactica Manual básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)

r Bloque 1

\

xiii XV

xvii 1

7 21 35 51

_

Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

69

Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

l. Patrones numéricos: valores de entrada y salida 2. Valores proporcionales (1) 3. Valores proporcionales (2) 4. Reglas de dos pasos (1) 5. Reglas de dos pasos (2) 6. Patrones con valores negativos (1) 7. Patrones con valores negativos (2) 8. Constante de proporcionalidad fraccionaria (1) 9. Constante de proporcionalidad fraccionaria (2) 10. Constante de proporcionalidad fraccionaria (3) 11. Lectura de expresiones algebraicas (1) 12. Lectura de expresiones algebraicas (2) 13. Reglas de dos pasos (3) 14. Constante de proporcionalidad fraccionaria (4) 15. Constante de proporcionalidad fraccionaria (5) 16. Constante de proporcionalidad fraccionaria (6)

Actividades sugeridas para el futuro docente

86 V

Desarrollo del pensamiento algebraico

r Bloque 2

_

\

Jerarquíade las operaciones aritméticas y transformación algebraica Hoja de trabajo 17. Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (1) Hoja de trabajo 18. Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (2) Hoja de trabajo 19. Uso de paréntesis (1) Hoja de trabajo 20. Transformación algebraica (1) Hoja de trabajo 21. Uso de paréntesis (2) Hoja de trabajo 22. Paréntesis y jerarquía de las operaciones Actividades sugeridas para el futuro docente

r Bloque 3

\

87

88 89 90 91 92 93

_

de trabajo 23. de trabajo 24. de trabajo 25. de trabajo 26. de trabajo 27. de trabajo 28.

Expresiones algebraicas equivalentes Expresiones algebraicas equivalentes Expresiones algebraicas equivalentes Expresiones algebraicas equivalentes Expresiones algebraicas equivalentes Expresiones algebraicas equivalentes de dos pasos Hoja de trabajo 29. Programas equivalentes (1) Hoja de trabajo 30. Programas equivalentes (2) Hoja de trabajo 31. Lectura de expresiones algebraicas equivalentes

(1) (2) (3) (4) (S)


Í Bloque 4

vi

94

95

Expresiones algebraicas equivalentes Hoja Hoja Hoja Hoja Hoja Hoja

•

\

96 97

98 99 100 101

102 103

104

_

105

Representación algebraica de relaciones parte-todo

107

Hoja Hoja Hoja Hoja Hoja

108 109 110

de trabajo 32. de trabajo 33. de trabajo 34. de trabajo 35. de trabajo 36.

¿Cómo expreso la parte restante? El todo con respecto a sus partes (1) Aplicaciones de la relación parte-todo (1) Aplicaciones de la relación parte-todo (2) Aplicaciones de la relación parte-todo (3)

111 112

Contenido

Hoja de trabajo 37. El todo con respecto a sus partes (2) Hoja de trabajo 38. ¡Ésta no es una relación parte-todo! Hoja de trabajo 39. ¡Ésta tampoco es una relación parte-todo! Hoja de trabajo 40. Patrones decrecientes (1) Hoja de trabajo 41. Patrones decrecientes (2) Actividades sugeridas para el futuro docente

113 114 115 116 117 118

\

r Bloque 5

Inversión de funciones lineales

119

Hoja de trabajo 42. Programas Hoja de trabajo 43. Programas Hoja de trabajo 44. Programas Hoja de trabajo 45. Programas Hoja de trabajo 46. Programas

120 121 122 123

que invierten la tabla de valores (1) que invierten la tabla de valores (2) inversos de dos pasos (1) inversos de dos pasos (2)

inversos en relaciones cuadráticas y relaciones de dos pasos


r Bloque 6

124 125

\

El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas

y formulación de conjeturas

127

Hoja de trabajo 47. Patrones geométricos (1) Hoja de trabajo 48. Patrones geométricos (2) Hoja de trabajo 49. Patrones geométricos (3) Hoja de trabajo 50. Ventanas Hoja de trabajo 51. Algo más sobre ventanas Hoja de trabajo 52. Maquetas Hoja de trabajo 53. Rebajas Hoja de trabajo 54. ¡Descuento general! Hoja de trabajo 55. Bienes raíces Hoja de trabajo 56. ¿Si modifico el perímetro cambia el área? Hoja de trabajo 57. Números palíndromos Hoja de trabajo 58. Números consecutivos Hoja de trabajo 59. Números pares e impares Hoja de trabajo 60. Conjeturas Hoja de trabajo 61. Un juego matemático

128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143


vii


r Bloque 7

\

_

Noción de función inversa

145

Hoja de trabajo62. Tablas,expresiones algebraicas y gráficas Hoja de trabajo63. Gráficasde una función lineal y su inversa (1) Hoja de trabajo64. Gráficasde una función lineal y su inversa (2) Hoja de trabajo65. Gráficasde una función lineal y su inversa (3) Hoja de trabajo66. Gráficas de una función cuadrática y su inversa (1) Hoja de trabajo67. Gráficasde una función cuadrática y su inversa (2) Hoja de trabajo68. Inversade funciones lineales y cuadráticas Actividades sugeridas para el futuro docente

146 147 148 149 150 151 152 153

Í Bloque 8

viii

•

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_

Funciones lineales: sus representacionesalgebraicay gráfica

155

Hoja de trabajo69. Un punto importante en una recta Hoja de trabajo70. Cambio de escala Hoja de trabajo71. Más sobre escalas y gráficas Hoja de trabajo72. El rango del editor de gráficas Hoja de trabajo73. Rectas que "crecen" Hoja de trabajo74. ¿Qué gráficas "crecen" más rápido? Hoja de trabajo75. ¿Qué ecuaciones producen esas rectas? Hoja de trabajo76. Gráficasque "decrecen" Hoja de trabajo77. Más sobre gráficas que "decrecen" Hoja de trabajo78. Rectasy ecuaciones Hoja de trabajo79. Cuadriláteros Hoja de trabajo80. ¿Gráficas que no "crecen" ni "decrecen"? Hoja de trabajo81. Rectas horizontales Hoja de trabajo82. Puntos, rectas y ecuaciones Hoja de trabajo83. Nubes de puntos y rectas Hoja de trabajo84. Nubes de puntos y predicciones Actividades sugeridas para el futuro docente

156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172

. r Bloque 9

Contenido

\~---

Funciones cuadráticas: su representacióngráfica y algunas aplicaciones

173

Hoja de trabajo85. Un punto muy importante de la parábola Hoja de trabajo86. Más sobre parábolas Hoja de trabajo87. El vértice de una parábola Hoja de trabajo88. ¿Qué ecuaciones producen esas parábolas? Hoja de trabajo89. Simetría Hoja de trabajo90. ¿Cuál parábola "crece· más rápido? Hoja de trabajo91. Anchas y angostas Hoja de trabajo92. ¿Qué parábolas pasan por esos puntos? Hoja de trabajo93. ¿A qué altura está la pelota? Hoja de trabajo94. ¿Qué tan rápido va ese automóvil? Hoja de trabajo95. ¿Qué prefieres:grados Fahrenheit o centígrados? Hoja de trabajo96. Si modifico el perímetro, ¿también cambia el área? Hoja de trabajo97. Chofer,¿no podría ir más rápido? Hoja de trabajo98. ¿Mi peso es distinto en la Luna? Hoja de trabajo99. ¿Cuánto pesas si estás en Júpiter? Hoja de trabajo100. ¿Tan rápido viaja la luz? Hoja de trabajo101. ¿Una ecuación para desalojar la escuela? Hoja de trabajo102. ¿Quién lanza más alto la pelota? Hoja de trabajo103. ¿Puedes calcular el tiempo y la distancia en caída libre? Hoja de trabajo104. ¿Es correcto lo que me cobran? Hoja de trabajo105. ¡Viajar en taxi cuesta! Actividades sugeridas para el futuro docente

r Bloque 10

\

Factorización de expresionescuadráticas: un acercamientovisual Hoja de trabajo106. El trinomio cuadrado perfecto Hoja de trabajo107. Algo más sobre el trinomio cuadrado perfecto Hoja de trabajo108. Diferenciade cuadrados (1) Hoja de trabajo109. Diferenciade cuadrados (2) Hoja de trabajo110. Trinomio de segundo grado (1)

174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195

_ 197 198 199 200

201 202 ix


Hoja de trabajo 111. Trinomio de segundo grado (2) Hoja de trabajo 112. Expresionescuadráticas con un factor común Hoja de trabajo 113. Factorización y equivalencia algebraica (1) Hoja de trabajo 114. Factorizacióny equivalencia algebraica (2) Actividades sugeridas para el futuro docente

r Bloque 11

\~---

Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas

209

Hoja de trabajo 115. Resolucióngráfica de ecuaciones de primer grado Hoja de trabajo 116. Puntos donde se cortan dos gráficas Hoja de trabajo 117. ¿Cuál es la solución? Hoja de trabajo 118. ¿En cuántos puntos se intersecan estas gráficas? Hoja de trabajo 119. ¿Cuál es la solución? Hoja de trabajo 120. ¿Sólo una solución? Hoja de trabajo 121. Puntos donde se intersecan dos gráficas Actividadessugeridas para el futuro docente

210 211 212 213 214 215 216 217

r

\

Bloque 12

_

Función raíz cuadrada: dominio y contradominio

219

Hoja de trabajo 122. Función raíz cuadrada Hoja de trabajo 123. Dominioy contradominio Hoja de trabajo 124. Traslacionesverticales Hoja de trabajo 125. Simetría Hoja de trabajo 126. Algo más sobre simetría Hoja de trabajo 127. Traslacioneshorizontales Hoja de trabajo 128. Más traslaciones Actividades sugeridas para el futuro docente

220 221 222 223 224 225 226 227

\

r Bloque 13

X

203 204 205 206 207

_

Semicírculo: valores extremos

229

Hoja de Hoja de Hoja de Hoja de

230 231 232 233

trabajo trabajo trabajo trabajo

129. 130. 13L 132.

Semicírculo Rectas tangentes Semicírculos Semielipses

Contenido

Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo

133. Elipses y círculos 134. ¡Arriba, abajo! 135. Traslaciones horizontales 136. ¡Parece que se hunden y flotan! 137. Carita feliz


r Bloque 14

234 235 236 237 238 239

\

Función racional: discontinuidad y asíntotas

241

Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo

242 243 244 245 246 247 248 249

138. Hipérbolas 139. Asíntotas horizontales 140. Simetría 141. Coeficientes 142. Traslaciones horizontales 143. Traslaciones verticales 144. ¿Y estas gráficas?


r Bloque 15

\

Valor absoluto: funciones lineales y cuadráticas

251

Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo Hoja de trabajo

252 253 254 255 256 257 258 259

145. Valor absoluto (1) 146. Traslación y simetría 147. Coeficientes distintos de 1 148. Valor absoluto (2) 149. Traslación vertical 150. Galería 151. Valor absoluto y parábolas


r Bloque 16

\

Funciones trigonométricas: seno y coseno

261

Hoja de trabajo 152. Función seno Hoja de trabajo 153. Amplitud Hoja de trabajo 154. Frecuencia

262 263 264 xi

Hoja de trabajo 155. Simetría Hoja de trabajo 156. Función coseno Hoja de trabajo 157. Función coseno: amplitud, frecuencia y simetría Actividades sugeridas para el futuro docente

xii

265 266 267 268

E

s un hecho que nuestra sociedad vive una expansión del uso de herramientas tecnológicas en su vida cotidiana, y una pregunta que se hacen los investigadoresy profesores de matemáticas es por qué ese uso no se manifiesta en el aula de matemáticas. Los resultados de algunas investigaciones muestran que los procesos para integrar la tecnología en el aula de matemáticas no es tarea fácil; en particular, porque implica el estudio y experimentación de actividades de enseñanza especialmente diseñadas para apoyar la tarea del profesor, pero una vez que se tienen estasactividades,los profesoresno cuentan con libros de texto que les proporcionen materiales para desarrollar un curso completo con apoyo de la tecnología. Tenoch Cedillo es uno de los investigadores que, consciente de esta problemática, se ha dado a la tarea de escribir un libro sobre gráficas de funciones en donde el principal objetivo es generar procesos de visualización. Su punto de partida es una teoría sobre la construcción de conceptos matemáticos con el uso de representaciones como elemento imprescindible para promover procesos cognitivos que permitan articular las diferentes representaciones de una función. Con ello hace énfasis en que no basta, por ejemplo, con proporcionar actividades de conversión de la representación algebraica a la representación gráfica; también es necesario el proceso inverso, que implica el paso de una representación gráfica a la algebraica. tos profesores de matemáticas se pueden preguntar por qué es importante generar en susestudiantes estos procesos de articulación entre representaciones. Una respuesta sería partir del hecho de que toda representación de los objetos matemáticos es parcial con respecto a lo que representa, lo que hace absolutamente necesario contar con diferentes representaciones para su construcción. Por eso es tan importante proponer tareas de conversión entre representaciones durante la construcción del conocimiento matemático. El uso de la calculadora en el aula de matemáticas permite la movilidad y el intercambio de ideas entre los estudiantes; además, las representaciones en pantalla, cada vez más finas, permiten el análisis no sólo del comportamiento de una función, sino el de toda una familia de funciones, que es el caso de este texto, donde se analiza con profundidad la noción de parámetro, lo que permite comprender en forma dinámica el rol de los parámetros en las expresiones algebraicas de las funciones. Sin duda,este libro será de gran ayuda parael profesor de matemáticas en su labor docente ya que le proporciona actividades que podrá implementar directamente en su clase.

Fernando Hltt Profesor de Matemáticas Departamento de Matemáticas Universidad de Québec, Montréal Québec, Canadá

xiii

La calculadoraen el aula

E

sta serie tiene como propósito poner a disposición de investigadores y profesores de matemáticas materiales de enseñanza para el uso de la calculadora en el aula, los cuales se han derivado de la investigación realizada por el autor en los recientes quince años. Actualmente el uso de la calculadora es ampliamente fomentado por los académicos en sus clases de matemáticas,y en los últimos años se ha observado que cada vez más profesores e investigadoresmexicanos están desarrollando propuestas para su uso. Esta situación se hace palpable en los distintos eventos que sobre la enseñanza de las matemáticas se llevan a cabo en México. Esas iniciativas son indicadores claros de un creciente interéspor conocer y explotar de mejor manera los nuevos recursos tecnológicos como un medio para apoyar el aprendizaje y la enseñanza. Existen revistasde enseñanzay de investigación que incluyen actividades para el uso de la calculadora en la clase de matemáticas en el nivel básico. Una limitante a este respecto es que a pesar de que estas iniciativas presentan actividades e ideas interesantes,sólo proporcionan una muestra de el las para el aprendizajey la enseñanza,lo cual no es suficiente para delinear una propuesta didáctica en la que el profesor se pueda apoyar para abordar el curriculum oficial. Recientemente se han editado valiosos materiales sobre el uso de la calculadora; sin embargo, la mayoría están dirigidos a profesores de los niveles medio superior y superior,en particular para profesoresy estudiantes que cursan las carreras de ingeniería Los materiales para la Educación Normal y la Educación Básica aún son escasos.La propuesta de la primera etapa de esta serie editorial es, con el tiempo, llenar ese vacío. La calculadora en el aula representa un esfuerzo para propiciar la construcción de una cultura didácticaen el uso de nuevos recursos tecnológicos. Esta tarea requiere de la participación de muchos educadores que coadyuven en la búsqueda de alternativas acordes al estilo y tradiciones de enseñanza en las escuelas formadoras de docentes, y a las exigencias educativas que deben atender los profesores de educación básica en servicio. En consecuencia, una condición que se ha impuesto a los materiales de esta serie es que sean el producto de cuidadosas revisiones a partir de resultados de investigación obtenidos en el aula. Reiteramos nuestra convicción de que serán los profesoresen servicio quienes tendrán la última palabra en cuanto a la pertinencia y utilidad de esta serie, por lo que sus comentarios o críticas siempre serán bienvenidos. Tenoch E. Cedlllo A. \Atlentín Cruz Oliva Autores

XV

E

1 propósito de este libro es poner a disposición de profesores e investigadores un material que presenta un modelo didáctico para el uso de la calculadora en la clase de matemáticas. Se incluyen los principios teóricos en que se sustenta este material y los resultados de investigación obtenidos al aplicar este modelo. Este volumen ofrece un trabajo que se ha ido conformando a lo largo de un estudio de seis años con cerca de 20000 estudiantes y 800 profesores ubicados en distintas partes del país. En esta edición hemos incorporado las observaciones que con más frecuencia han hecho los profesores que utilizan estos materiales, entre las que destaca la inclusión de una guía didáctica para la aplicación de las actividades en el aula, la cual introducen la producción y lectura de las gráficas de funciones lineales y cuadráticas en el plano cartesiano, que complementan el desarrollo de las habilidades relacionadas con la producción de expresiones algebraicas en situaciones de generalización, y su uso en la formulación de justificaciones para esas generalizaciones. Este libro está conformado por las siguientes secciones: • • • • • •

Referente teórico. Modelo didáctico. Resultados de investigación. Guía didáctica Actividades para la enseñanza Manual básico para el uso de la calculadora.

El Referente teórico está dirigido a profesores e investigadores interesados en los principios que han orientado la investigación en que se sustenta el modelo didáctico aquí propuesto. El Modelo didáctico parte del reconocimiento explícito de las diferencias entre el lenguaje natural y el código algebraico. El uso adecuado de la calculadora simula un microcosmos cuyo lenguaje es matemático, es decir, el de los códigos de la aritmética, el álgebra y la geometría. La sección Resultados de la investigación incluye episodios selectos de la investigación que los autores han real izado sobre el potencial del uso de sistemas algebraicos computarizados instalados en calculadoras gráficas. Esta sección está dirigida a profesores e investigadores interesados en conocer los efectos del uso de esos programas en calculadoras y sus efectos en el aprendizaje de los estudiantes que se encuentran en el proceso de transición de la aritmética al álgebra La Guía didáctica contiene recomendaciones específicas para la aplicación de cada una de las actividades que conforman el material destinado a la enseñanza Se espera que esta sección sea de utilidad para que el profesor anticipe de manera más ágil cuáles son los temas y conceptos matemáticos que implícitamente contiene cada una de las actividades propuestas, el tiempo que se sugiere para el tratamiento de cada actividad y las situaciones que pueden surgir durante su aplicación. En particular, en esta sección se presentan sugerencias para incluir actividades diseñadas con base en el uso de la calculadora en el tratamiento del currículum actual. La sección ktividades para la enseñanza consta de 157 hojas de trabajo, divididas en 16

xvii


bloques, y está dirigida a investigadores y profesores. Los investigadores encontrarán en esta sección material muy útil para la toma de datos en sus indagaciones o las de sus estudiantes. Los profesores encontrarán en esta sección actividades articuladas que les permitirán poner en práctica un enfoque alternativo antecedentes

para introducir el estudio del álgebra escolar a partir de los

aritméticos que poseen sus estudiantes al término de su educación

Las observaciones

realizadas en una amplia población

rontrarán en este material muchas actividades que estimularán que, a partir de su propio razonamiento, matemáticas,

primaria

nos indican que los estudiantes ensu curiosidad intelectual

serán capaces de confrontar

y

complejas situaciones

sin la exigencia de tener que recordar a cada paso aquellos procedimientos

o

definiciones que alguna vez se les hubieren enseñado. Los bloques 1 a 6 forman la base de conocimientos sar algebraicamente

y habilidades para identificar y expre-

las reglas que gobiernan el comportamiento

de patrones numéricos, y

sirven de plataforma para el estudio de algunas familias de funciones a través de sus representaciones algebraica, tabular y gráfica, que se abordan en los bloques 7 a 16. Los recursos que ofrecen las calculadoras gráficas permiten diseñar un modelo didáctico para el estudio de las funciones a través del análisis visual del comportamiento

de las gráficas.

Antes de disponer de calculadoras graficadoras, el estudio de las funciones se postergaba hasta que los estudiantes hubieran seguido al menos un curso de cálculo diferencial; actualmente, se puede iniciar el estudio de las funciones y sus aplicaciones cuando los estudiantes están tomando sus primeros cursos de álgebra elemental. Las estrategias en que se basa este acercamiento

didáctico son esencialmente

la observación visual y la experimentación,

nera similar a las formas de trabajo de las ciencias experimentales.

Este es el contexto

de maen que

se ubica el estudio de las funciones en el presente libro. En las hojas de trabajo de los bloques 7 a 16 se proponen

tareas cuyo propósito es que el

estudiante establezca relaciones entre la regla de correspondencia de una función y su gráfica, y así favorecer el desarrollo de conceptos

relevantes en el tema de funciones e introducir estrate-

gias para la traducción entre las tres representaciones de una función: simbólica, tabular y gráfica. Esta propuesta parte del supuesto de que la experimentación ten comprender hechos matemáticos; para abordar la demostración

este nivel de comprensión

y la observación nos permies un valioso antecedente

rigurosa de esos hechos. En este acercamiento,

se emplea como una herramienta

potenciar habilidades cognitivas como la visualización, la elaboración probación

empírica,

la calculadora

que permite hacer más fructífera la experimentación,

al

de conjeturas y la com-

lo cual favorece la generación y validación de conjeturas matemáticas a

dinámicas que la constituyen. La calculadora ofrece ventajas que facilitan el aprendizaje a través de la visualización gráfica de las funciones, respaldada por una traducción automática entre sus distintas representaciones y una retroalimentación inmediata para el usuario. La visualización es central; no se trata sólo de la visualización gráfica sino también de la simbólica; es la ilustración de un objeto, hecho o proceso, con resultados que pueden ser gráficos, numéricos o algebraicos. A partir de la visualización de una gráfica y su ecuación, es posible identificar aspectos romo su forma, orientación y cruces con los ejes coordenados. La visualización de una gráfica puede enfocarsea conceptos relevantes involucrados en las gráficas de las funciones, como dominio, contradom inio, valores de indefinición, asíntotas, transformaciones rígidas en el plano, ordenada al origen, ceros de una función, crecimientos máximo o mínimo, y puntos de inflexión. El paso por lashojas de trabajo de las distintas familiasde funciones ofrece un panorama amplio de contenidos matemáticosrelevantes de las funcionesy susrepresentaciones.La propuesta es acorde con los propósitosde la educación básica,como lo es en el desarrollo de competencias matemáticasy en el uso de los nuevos recursostecnológicos para la enseñanzay el aprendizaje. En esta sección,ktividades de aprendizaje, se presentan actividades específicamente di señadas para el estudio de los siguientes temas algebraicos. través de las representaciones

xviii

.

Introducción

Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos Jerarqufa de las operaciones aritméticas y transformación algebraica Expresiones algebraicas equivalentes Representación algebraica de relaciones parte-todo Inversión de funciones lineales El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas

y formulación de conjeturas Bloque 7

Noción de función inversa Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones Factorización de expresiones cuadráticas: un acercamiento visual

Bloque 11

Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas Función raíz cuadrada: dominio y contradominio Semicírculo: valores extremos Función racional: discontinuidad y asíntotas Valor absoluto: funciones lineales

y cuadráticas

Funciones trigonométricas: seno y coseno

La sección Manual básico presenta una guía mínima para iniciarse en el uso de la calculadora. En particular, se abordan las funciones de la calculadora que requieren emplearse con mayor frecuencia para realizar las actividades que se incluyen en este volumen.

xix

(\.


•

Créditos Sobre los documentos de las actividades: Todos los documentos con la extensión .tns que acompañan a las actividades de este libro y que se encuentran en la página Web www.pearsonenespañol.com/cedil/o, han sido desarrollados por Texaslnstruments, lnc. y son propiedad de esta empresa.Texaslnstruments, lnc. ha otorgado a Pearson México permiso para utilizarlos y publicarlos en la página mencionada Texaslnstruments otorga a los maestros que usen este libro como texto en un curso, permiso para utilizarlosy editarlos para sus clases, siempre y cuando se reconozca el derecho de autor original a esta empresa Sobre el software: Los documentos con la extensión .tns que se encuentran en la página Web www.pearson enespañol.com/cedillo de este libro utilizan la tecnología Tl-Nspire™ desarrollada por Texas lnstruments, lnc. El software Tl-Nspire™ para Profesores permite a los maestros demostrar conexiones que estimulan la comprensión de las matemáticas y de las ciencias en los estudiantes. El SoftwareTl-Nspire™ para Profesoreses igual al software existente en las calculadoras Tl-Nspire'" y permite trabajar con el Sistema Algebraico Computacional (CAS)o con cálculos numéricos estándar. También permite realizar demostraciones interactivas y la exploración matemáticade imágenes de la vida real. Esta tecnología y su software son compatibles con tablones interactivos y con proyectores digitales. Texaslnstruments permitirála descarga opcional de una versión de prueba por tres meses del software Tl-Nspire™ para Profesoresa los usuarios de este libro. Para descargar la versión de prueba del software Tl-Nspire™ para Profesores,favor de dirigirse a: education.ti.com/lar/pearson. Nota: usted podrá correr todas las actividades en elTl-Nspire™ Document Player sin necesidad de poseer o instalar el software Tl-Nspire™ para Profesores. El Tl-Nspire™Document PI ayer se encuentra en la siguiente dirección: http://education.ti.com/

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XX

(

La investigación sobre calculadoras se ha enfocado principalmente en el estudio de las facilidades que ofrece para producir gráficas (Cuoco, 1995; diSessa, 1995; Hector, 1992; Ruthven, 1990, 1992, 1995, 1996). El material que se presenta en este libro se aboca a otros aspectos del rol que puede desempeñar la calculadora en el aula para favorecer el desarrollo de habilidades agebraicas; en particular, las que se refieren a la asignación de significados para las literales y sus aplicaciones en el uso de las expresiones algebraicas que juegan un papel determinante en el desarrollo del pensamiento algebraico. Al trabajar en la página de inicio de una calculadora algebraica, el estudiante puede asignar un valor numérico a una literal, y en términos de esa variable definir una expresión algebraica y ordenar a la calculadora que calcule el valor numérico de dicha expresión (figura 1 ).

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Flgira 1 Este recurso permite que el usuario trabaje con las expresiones algebraicas como objetos activos, en el sentido de que no sólo es capaz de expresar algebraicamente el enunciado de un problema, sino también de hacer algo con esas expresiones y obtener retroalimentación inmediata de la máquina. Este recurso hace surgir consideraciones didácticas como las que se presentan a continuación (Cedillo, 2001 ). 1


Si leemos la pantalla de izquierda a derecha, encontramos la regla de correspondencia de la función a2 + 1, después su dominio y contradominio. Si leemos de derecha a izquierda observamos un patrón numérico y la regla algebraica que lo gobierna. En términos didácticos hay una notable diferencia dependiendo de la dirección en que se lea la pantalla; si es de izquierda a derecha, se empieza con definiciones y reglas sintácticas que conducen a una función algebraica que puede usarse para producir un conjunto de valores numéricos. Si se lee de derecha a izquierda, se empieza con un patrón numérico mediante el cual, por simple inspección visual, se puede encontrar la regla algebraica que lo produce. Más aún, de izquierda a derecha se empieza por leer el contradominio de la función y enseguida su dominio. Esas ideas se ubican en el núcleo del acercamiento didáctico que se presenta en este libro; este enfoque sugiere una aproximación al código algebraico como lenguaje en uso y conforma en gran medida el referente teórico en que se sustenta la secuencia didáctica que proponemos para introducir el estudio del álgebra escolar.

Antecedentes 8 sustento teórico del modelo didáctico que se presenta en este volumen se conformó a través de una constante interacción entre teoría y práctica. Este proceso se originó en un estudio exploratorio sobre el potencial de la calculadora programable como herramienta cognitiva; el estudio se llevó a cabo con estudiantes de entre 1 1 y 12 años de edad que no habían recibido instrucción en álgebra (Cedillo, 1994), y el trabajo de campo tuvo una duración de diez sesiones de SO minutos. Las actividades con que se experimentó en el aula se basaron en pedir a los estudiantes que identificaran las reglas que gobiernan ciertos patrones numéricos. Una vez que lo lograban se les indicaba que construyeran en la calculadora un programa que reprodujera esos patrones. En términos matemáticos, estas actividades requieren que los estudiantes expresen mediante una función lineal la forma en que describen verbalmente las reglas que generan un patrón numérico. Por ejemplo, la regla que genera la siguiente tabla puede expresarse mediante la función y= 2x 1.

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Como se esperaba, la primera reacción de los estudiantes para enfrentar esas actividades fue expresar verbalmente la regla que genera una tabla como la anterior; por ejemplo, "multiplicar por 2 y restar 1 ";o bien, "sumar el número consigo mismo y restar uno" Una vez que introducían en la calculadora una función lineal que consideraban que representaba esa regla, asignaban valores numéricos a la variable para así verificar la validez de sus respuestas (vea, por ejemplo, las actividades del bloque 1 ). Debe mencionarse que en este estudio no se incluyó instrucción alguna acerca de nomenclatura o conceptos algebraicos; para los estudiantes, esas expresiones alge-

Referente teórico

braicas sólo eran programas que permitían que la calculadora•entendiera"lo que ellos querían hacer. La posibilidad que brinda la calculadora para editar expresiones algebraicas va más allá de sólo poder escribirlas, como suele hacerse en el ambiente del lápiz y el papel o en un pizarrón electrónico. El recurso relevante que ofrecen las calculadoras es que hacen posible usar las expresiones algebraicas; por ejemplo, obtener su valor numérico para un valor específico de la variable, o construir tablas y gráficas para exploraciones subsecuentes. Esto, además, proporciona una retroalimentación inmediata al usuario. Los resultados de ese estudio sugirieron que los recursos que ofrece la calculadora programable permiten que los estudiantes aborden las actividades creando estrategias no convencionales que ellos generan al seguir su propio razonamiento (Cedillo, 1994). Las respuestas de los estudiantes mostraron que el uso de la calculadora favoreció que formularan conjeturas y que las evaluaran por sí mismos, lo cual fue un estímulo para que se aventuraran a seguir estrategias propias, sin tener que acudir constantemente al profesor para pedir su aprobación o para recordar procedimientos convencionales aprendidos con anterioridad. En lugar de hacer ese tipo de preguntas, las participaciones de los estudiantes se centraron en proponer soluciones, cuyas formas de validación se analizaban con el profesor. Esto, en principio, daba al profesor la posibilidad de conducir a sus estudiantes hacia un nivel más alto de aprendizaje. Por ejemplo, el simple hecho de que en general cada estudiante eligiera una literal distinta para editar sus programas, como p 4 y b 4; o cuando alguno construía el programa a +a -1, y otro el programa 2 x b -1, daba lugar a interesantes debates en el grupo sobre cuestiones relacionadas con la equivalencia algebraica. 8 ambiente de trabajo que se generó durante ese estudio podría describirse como un escenario en el que, en esencia, a través de la exploración numérica orientada a la consecución de un fin claramente establecido, los estudiantes iban asignando significados al código algebraico a partir de las formas en que lo usaban, sin requerir el previo conocimiento de definiciones y reglas de transformación algebraica. Esta forma de trabajo sugirió que los estudiantes estaban aprendiendo a emplear el código algebraico a partir de su uso, lo cual condujo a la búsqueda de elementos teóricos que permitieran explicar y analizar lo que ahí se había observado. Un ejemplo relevante del aprendizaje a través del uso lo proporciona la forma en que adquirimos los elementos básicos del lenguaje natural. La lengua materna se aprende fundamentalmente a través de su uso, sin necesidad de conocer previamente aspectos gramaticales o reglas sintácticas. Las similitudes que se presentaron en ese estudio exploratorio entre el aprendizaje del álgebra y el del lenguaje natural, condujeron a la idea de proponer la enseñanza del álgebra como un código cuya función es comunicar ideas matemáticas. Desde perspectivas distintas, esta postura ya ha sido abordada por Papert (1980)y Mason (1984). En la siguiente sección se analiza la forma en que avanzamos en el desarrollo de estas ideas.

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Principios teóricos 8 estudio que se describió sucintamente en la sección anterior dio lugar a cuestionar un principio teórico que subyace en un enfoque de enseñanza de amplio uso en matemáticas:


Los significados determinan los distintos usos del lenguaje Muchos libros de texto ejemplifican este principio. La lección se inicia con definiciones, ejemplos y reglas sintácticas (significados); después de esto, el capítulo se cierra con una serie de problemas en los que se requiere la aplicación de las definiciones, reglas y ejemplos que se dieran antes (usos). Este enfoque teórico funciona; así han aprendido matemáticas muchas generaciones. Pero también es cierto que para una gran mayoría de los estudiantes las matemáticas han resultado algo muy difícil de comprender y en muchos casosun obstáculo insuperable (Küchemann, 1981; Booth, 1984; Lee y Wheeler, 1988). Los poco satisfactorios resultados obtenidos aplicando ese método hacen plausible la búsqueda de alternativas como la que se propone a continuación. La contraparte de ese principio teórico se ajusta en buena medida a lo observado en el estudio exploratorio expuesto anteriormente, el cual puede resumirse como sigue: Los usos del lenguaje determinan sus significados La postura teórica que conlleva ese principio concuerda con el trabajo desarrollado por Bruner (1980, 1982, 1983, 1985), quien realizó una extensa investigación sobre la adquisición del lenguaje materno. Su estudio se centró en indagar cómo los niños aprenden, aparentemente sin esfuerzo,algo tan complejo como el lenguaje natural. Una parte importante de su trabajo se condujo a estudiar qué hace posible que el lenguaje natural sea aprendido por cualquier persona con una inteligencia normal, en tanto que, en general, otros campos del conocimiento presentan una situación bastante distinta al respecto. ¿Por qué no todos aprendemos matemáticas, filosofía, geografía o historia, y sí aprendemos el lenguaje natural con un aceptable nivel de dominio? La investigación de Bruner cuestiona sensiblemente posiciones teóricas planteadas con anterioridad. Entre éstas deben destacarse las propuestas por Piaget y Chomsky. Piaget (1985, 1988), dicho brevemente, propone que el desarrollo del lenguaje es un subproducto del desarrollo de operaciones cognitivas no lingüísticas.Desde esta perspectiva, el lenguaje es simplemente un síntoma de la semiotización automática de las operaciones cognitivas del desarrollo. Un problema con esta posición teórica es que no especifica a través de qué medios concretos dichas operaciones cognitivas no lingüísticas propician la capacidad para reconocer y emplear la gramática de predicados, o el sistema de marcadores lingüísticos definido-indefinido de la anáfora, o la capacidad para generar únicamente frases bien formadas, confiando así, con una fe ciega, en la inevitabilidad del progreso. Un ejemplo claro de la inconsistencia de esta posición es que no ofrece una respuesta plausible a cómo es que un niño, situado claramente en una fase egocéntrica, puede dominar el uso de pronombres de cambio de persona como "yo"y tú: cuando se supone que el desarrollo intelectual que ha alcanzado no le permite adoptar la perspectiva de alguien más (Bruner,1982). Otra importante perspectiva teórica sobre la adquisición del lenguaje es la desarrollada porChomsky (1957), quien propone que nacemos equipados con un poderoso sistema neurológico que nos permite decodificar la gramática del lenguaje natural. Eso sugiere que la adquisición de la estructura sintáctica formal del lenguaje es del

Referente teórico

todo independiente del conocimiento del mundo, o de una interacción social privilegiada con los hablantes del lenguaje. Según esta postura, la cuestión de los detalles de la adquisición del lenguaje es, sobre todo, un problema de desempeño más que de competencia, que es innata. De acuerdo con Chomsky, el desarrollo del desempeño depende totalmente del desarrollo de otros procesos, como la amplitud de atención y la capacidad de procesamiento de información. la investigación de Bruner ofrece una alternativa que va más allá de las planteadas por Piaget y Chomsky. Los resultados de su investigación sugieren que el lenguaje natural no es sólo una consecuencia del desarrollo intelectual, o sólo un resultado del asombroso sistema neurológico humano. Entre sus principales resultados, retomamos para este estudio el de que el lenguaje natural se enseña; que el adulto arregla artificialmente el ambiente, de manera que sintonice con las posibilidades de comprensión del niño (Bruner, 1983).

Constructos teóricos En esta sección se abordan los principales conceptos de la teoría desarrollada por Bruner (1980, 1982, 1983, 1985, 1990), los cuales fueron considerados para construir el modelo didáctico para el uso de calculadora que aquí se propone. La sección concluye con la presentación de ese modelo. El concepto de formato Bruner (1980) destaca tres facetas en el estudio del lenguaje: sintaxis, semántica y prag mática;esta última es la que adopta para estudiar el proceso de adquisición del lenguaje materno. A continuación se exponen sucintamente los argumentos de Bruner para tomar esta decisión; en particular, porque nos ayudarán a lograr una comprensión más amplia de su posible trascendencia hacia la enseñanza. la pragmática implica procesos diferentes a los empleados para dominar un conjunto de códigos semánticos y sintácticos. La semántica y la sintaxis están formuladas para tratar casi exclusivamente con la comunicación de la información mediante la provisión de un código para 'representar" algún conocimiento del mundo •real~ En cambio, la pragmática se aboca a estudiar el proceso mediante el cual se llega a emplear el habla para lograr fines sociales, como prometer, humillar, calmar, advertir, declarar o pedir; los elementos de la pragmática no representan nada, son algo. Con base en esa concepción, la pragmática se relaciona necesariamente con el discurso y, al mismo, tiempo, depende de un contexto compartido. El discurso a su vez presupone un compromiso recíproco entre hablantes que incluye al menos tres elementos: • Un conjunto de convenciones compartidas para establecer la intención del hablante y la disposición del que escucha. • Una base compartida para explotar las posibilidades deícticas del contexto temporal, espacial e interpersonal. • Medios convencionales para establecer y recuperar lo que otros presuponen. A partir de esto puede apreciarse que el discurso no puede fundamentarse en las categorías gramaticales porque el poder de las reglas que rigen los actos del habla


(delcticas y de presuposición del discurso), dependen de su aparición en las expresiones del discurso, y no sólo de la estructura de oraciones individuales. Muchos actos del discurso son medios para sintonizar estas formas de compromiso recíproco, lo cual se observa en particular en la interacción entre el niño y el adulto que lo cuida. Al respecto, Bruner (1983) creó el concepto de formato para analizar cómo arregla el adulto el ambiente para lograr interactuar con un niño que todavía no es capaz de comunicarse a través del habla. Un formato es un esquema de interacción que consiste en una rutina de comunicación entre el niño yel adulto; es una forma de interacción que permite al adulto anticipar las intenciones del niño y a su vez el niño las del adulto. Esto implica que para que el niño reciba las claves del lenguaje, primero debe participar en un tipo de relaciones sociales que actúen en consonancia con los usos del lenguaje en el discurso, es decir, con respecto a una intención compartida, a una especificación deíctica, y al establecimiento de una presuposición. En otras palabras, se asume que para poder entender lo que un niño dice o quiere decir, es necesario que se sepa qué es Jo que él está hadendo. En esta perspectiva, un formato es un esquema de interacción regulada, en el cual el niño y el adulto hacen cosas el uno para el otro y entre sr. Los formatos, al regular la interacción comunicativa antes de que comience el habla léxico-gramatical entre el niño y la persona a cargo de su cuidado, se constituyen en vehículos para la transición de la comunicación al lenguaje. A nivel formal, un formato supone una interacción contingente entre al menos dos partes actuantes; contingente en el sentido de que puede mostrarse que las respuestas de cada miembro dependen de una respuesta anterior del otro. Cada miembro de este par marca una meta yun conjunto de medios para lograrla, de modo que se cumplan dos condiciones: • que las sucesivas respuestas de un participante sean instrumentales respecto a esa meta, y, • que exista en la secuencia una señal clara que índque que se ha alcanzado el objetivo. Aun cuando la estructura de un formato sea un esquema altamente regulado,con el tiempo, y en sintonía con el progreso de las capacidades lingüísticas del niño, el adulto introduce sistemáticamente nuevos y más sofisticados elementos que lo convierten en una forma de comunicación cada vez más compleja. Los resultados obtenidos por Bruner indican que las primeras acciones de comunicación entre el niño y el adulto, aun antes de que el niño sea capaz de producir su primera expresión lexicológica, se dan básicamente en el marco de esta forma de interacción. Una característica especial de los formatos en que participan el niño y el adulto es que son asimétricos respecto de la "concíencía" de los miembros. La conciencia se entiende en términos de que hay uno que sabe lo que está pasando, en tanto que el otro sabe menos, o quizá nada en absoluto.

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El papel de la calculadora La construcción de este modelo didáctico parte del reconocimiento explfcito de las diferencias que existen entre el lenguaje natural y el código algebraico. Entre las más relevantes destaca la demanda social que está presente en el uso del lenguaje. Esta demanda ubica el lenguaje no sólo como un importante campo de conocimiento, sino que lo coloca al nivel de un medio para la supervivencia, característica que evidentemente no puede atribuirse a los códigos matemáticos. Por naturaleza, el hombre es un ser social y establece sus relaciones en la sociedad a través del lenguaje. El uso continuo e intenso del lenguaje natural es una de las características que lo distinguen de otras áreas de conocimiento y lo convierte en un conocimiento indispensable para la vida en sociedad. La calculadora, adecuadamente empleada, puede simular un microcosmos en el que el lenguaje que "se habla" es el de las matemáticas; de manera más concreta, los códigos de la aritmética, el álgebra y la geometría. Una vez que se oprime la tecla que activa la calculadora, cualquier operación que se quiera hacer después con la máquina lo será a través del código matemático. Esto conduce a pensar en crear un ambiente de enseñanza basado en el uso de la calculadora, donde la máquina desempeña el papel de una comunidad que exige el uso del lenguaje de las matemáticas. El diseño de ese ambiente de enseñanza es el propósito del modelo didáctico que aquí se analizará; un ambiente en el que los estudiantes participen activamente, que capte su interés y estimule su creatividad intelectual, y que al mismo tiempo favorezca el desarrollo de habilidades matemáticas básicas orientadas a un uso apropiado del código matemático; en particular las habilidades relacionadas con la resolución de problemas mediante el uso del álgebra. Este planteamiento concuerda con lo propuesto por Papert (1980) respecto al ambiente de trabajo que él recreó empleando el lenguaje de programación Logo. Papert concebía las matemáticas como un lenguaje yal Logo como un ambiente que

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exige el uso del lenguaje matemático; para ilustrar su idea empleaba la metáfora: "Si realmente quieres aprender francés, hazlo en Franda" Han pasado ya casi cuarenta años desde que se empezó a introducir el uso de la calculadora en las clases de matemáticas. En un principio la calculadora apareció en el mercado como una simple herramienta para facilitar los cálculos aritméticos, y de la calculadora de cuatro operaciones se pasó rápidamente a la 'calculadora dentffica', que incluye funciones matemáticas más sofisticadas y la posibilidad de editar y correr programas de cómputo. A mediados de la década de 1900 se pusieron a disposición del público las primeras calculadoras con capacidad gráfica que, además de las funciones que ofrecen las calculadoras científicas, cuentan con una pantalla de ocho líneas que permite editar tablas y gráficas de funciones. A principios de la década de 1990 tuvo lugar el advenimiento de las calculadoras con capacidad de manipulación algebraica, que incluyen nuevos recursos que facilitan la edición y captura de datos. Una notable diferencia entre las modernas calculadoras y los modelos que las precedieron es que el código que emplean se rige estrictamente por las formas convencionales de la notación y sintaxis algebraica. Estos hechos han ocasionado que los usos de la calculadora hayan evolucionado sensiblemente, de modo que esta máquina pasó de ser un mero auxiliar para el cálculo aritmético y algebraico, a ser una herramienta que actualmente se emplea como un recurso para mediar el conocimiento (Ruthven, 1 996). Otra notable diferencia entre la adquisición del lenguaje y el aprendizaje del álgebra es la privilegiada relación uno a uno en que se fundamenta la enseñanza del lenguaje natural. No obstante, es factible explotar los recursos que ofrecen las modernas calculadoras para diseñar una estrategia didáctica orientada a proponer el aprendizaje del álgebra a través de su uso, sin necesidad de partir de una enseñanza basada en reglas, ejemplos y definiciones. Esta hipótesis se fortalece con los resultados de investigación que se analizan más adelante. la calculadora permite el acceso individual a poderosos procesadores matemáticos, lo cual favorece que los estudiantes trabajen de manera más privada. El tamaño de la pantalla, aun en el caso de aquellas que son más grandes, hace que sólo sea posible ver lo que está haciendo la máquina si quien la maneja lo permite. La privacidad que brinda la calculadora alienta a los estudiantes a explorar distintos acercamientos a la solución de un problema, a afinar sus planteamientos y hacer público su trabajo sólo cuando así lo deciden. Contrario a lo que podría esperarse, la forma individual de trabajo que induce el uso de la calculadora no inhibe el trabajo colaborativo; la retroalimentación inmediata de la calculadora y la posibilidad de explorar soluciones siguiendo su propio razonamiento, da lugar a la producción de distintas y originales soluciones a un mismo problema, lo cual es un estímulo a compartir y discutir sus hallazgos con sus compañeros y con el profesor (Cedillo, 1996). Desde luego, esta manera de aproximarse al estudio de las matemáticas no depende sólo del uso de la calculadora, ya que el diseño de las actividades de enseñanza y la participación del profesor desempeñan roles determinantes. Las actividades deben plantearse de manera que no haya una única forma de obtener o de expresar una solución, y el profesor debe mantener una actitud favorable para entender formas de solución que él antes no había concebido y estar siempre alerta para aprovechar las oportunidades de aprendizaje que brindan las contribuciones originales de los estudiantes.

Modelo didáctico

Enseñanza del álgebra:principios parael diseño de un formato Las premisas que se mencionan a continuación se extrajeron de los planteamientos de Bruner (1983). Luego de cada premisa se enuncia la manera en que se han interpretado en el contexto de un enfoque para la enseñanza del álgebra a partir de su uso, apoyada en los recursos que ofrece la calculadora gráfica. (1) El lenguaje se aprende a través del uso y ese aprendizaje es apoyado por un notable sistema de enseñanza. Para esto es necesario crear un ambiente de enseñanza en el que el álgebra no se aborde como objeto de estudio, sino como una herramienta de comunicadón en uso. Es factible diseñar actividades de enseñanza de manera que el primer acercamiento al código algebraico se dé a través de su uso como instrumento de comunicación entre el sujeto y la calculadora, sin que al uso de ese código le preceda el conocimiento de reglas y definiciones. Como ya se ha planteado antes, el aprendizaje a través del uso depende del cumplimiento de una serie de condiciones, las cuales se abordan con distintos énfasis en los siguientes párrafos. (2) La reladón entre el que enseña y el que aprende es asimétrica. Hay un sujeto que es experto en el uso del lenguaje y desea enseñar lo que sabe, y hay un sujeto que no sabe y quiere aprender. 8 profesor es un experto en el uso del código algebraico y su función es encontrar las mejores formas para enseñar lo que sabe. Dado que el álgebra no es un requisito para la supervivencia, como lo es el lenguaje natural, es necesario arreglar artificialmente el ambiente de enseñanza para lograr que el estudiante se interese genuinamente en el estudio del álgebra. Para lograrlo es importante contar con actividades de enseñanza que estimulen el interés y la curiosidad intelectual del estudiante, en particular actividades que favorezcan el desarrollo de su creatividad, para asf propiciar la generación de una alta autoestima de sus capacidades. (3) La enseñanza del lenguaje se da en una relación uno a uno. 8 ambiente de enseñanza puede arreglarse de manera que el profesor atienda individualmente a sus alumnos. La organización de las actividades de enseñanza como hojas de trabajo es un recurso muy útil al respecto. Una hoja de trabajo es, en extensión, una página. Su contenido debe incluir situaciones en las que el fin que se persigue esté claramente establecido para propiciar que el estudiante inicie de inmediato su trabajo haciendo algo que se concrete en una producción propia. Para esto, es conveniente que la hoja de trabajo proponga un reto intelectual al estudiante; la efectividad didáctica de tal reto depende en gran medida de que debe hacer posible que el estudiante perciba rápidamente que puede abordarla actividad, y que lo único que todavía no sabe es cómo organizar sus conocimientos previos para empezar a hacer lo que se le está planteando.


Entre otras cosas, el uso de las hojas de trabajo favorece lo siguiente: • Que el profesor no tenga que estar al frente del grupo exponiendo una lección, lo cual le deja tiempo libre para atender individualmente las preguntas e intervenciones de los estudiantes. • Que los estudiantes inicien la actividad sin requerir una presentación preliminar por parte del profesor. • Que los estudiantes desarrollen su creatividad matemática siguiendo su propio razonamiento. Esta forma de trabajo propicia que los estudiantes logren producciones originales, de manera que cuando consultan algo con el profesor, éste se ve obligado a seguir la lfnea de razonamiento del estudiante. • Que los estudiantes produzcan respuestas cuya originalidad exige al profesor que dialogue con ellos para entenderlas y que tome ese diálogo como punto de partida para continuar el análisis con el estudiante. Esto propicia una rica interacción entre pares, donde uno de ellos es experto, y el otro, aún en su calidad de aprendiz, está sometiendo al criterio del experto conjeturas que puede defender con argumentos basados en una validación previa que logró empleando los recursos matemáticos que tiene a su alcance. (4) La enseñanza del lenguaje se mcxlula de manera que sintonice con el avance lingüístico del niño. En este proceso es fundamental respetar el ritmo de avance del que aprende. La sintonfa entre la propuesta de enseñanza y el avance del estudiante es crucial y su logro implica un esfuerzo notable por parte del profesor. Una adecuada organización de la actividad en el aula puede facilitar que el profesor esté siempre al tanto del avance de cada uno sus alumnos, lo cual es un importante elemento en el logro de dicha sin ton fa. Las hojas de trabajo desempeñan un papel fundamental para conseguir estos objetivos. La sintonfa entre la propuesta de enseñanza y el avance del estudiante es un punto fundamental en un esquema didáctico porque cada individuo tiene un ritmo distinto para aprender. Puede respetarse el paso de cada estudiante si no se le proporciona sólo una hoja de trabajo para que la complete en una sesión de clase, sino un paquete con cuatro o cinco hojas de trabajo. La instrucción del profesor puede ser: "Estas actividades son las que deben completar en esta clase; algunos de ustedes las podrán hacer todas y quizá otros no completen algunas, pero lo que realmente importa es que el trabajo que entreguen sea el resultado de su máximo esfuerzo" El uso de paquetes de hojas de trabajo permite que los estudiantes que avanzan a un ritmo más rápido no detengan su progreso, y que los estudiantes que avanzan con más lentitud puedan acudir a la ayuda del profesor para aclarar sus dudas,o mantener su ritmo si trabajan sin tropiezos. La única restricción, que se recomienda como una regla a seguir, es que ningún estudiante entregue su trabajo en blanco al término de una sesión de clase. En caso de que agoten sus esfuerzos y no puedan avanzar, los estudiantes tienen la obligación de consultar al profesor o a alguno de sus compañeros. La obligación de consultar al maestro, adecuadamente manejada, conduce a los estudiantes a plantear preguntas más atinadas que un simple "no entiendo nada: porque las respuestas a esas preguntas deben ser instrumentales para el logro de la actividad con la que han tenido problemas. Una aparente desventaja de respetar el avance individual de los estudiantes es que al término de algunas sesiones de clase el profesor tiene ante sf un grupo con

Modelo didáctico

logros individuales muy heterogéneos. Esto es aparente por al menos dos razones: la primera, porque independientemente de la estrategia de enseñanza, el avance individual de los estudiantes es distinto; y segunda, porque esa heterogeneiclad se puede aprovechar para generar fructfferas sesiones de enseñanza en las que el profesor puede organizar un debate con el grupo sobre los aspectos más relevantes de un bloque de actividades. En esa sesión el profesor puede centrar la atención de los estudiantes en las respuestas correctas que se han producido, comentar por qué son correctas y analizar rigurosamente las formas de validación que generan los estudiantes para sus respuestas. Además, y quizá lo más importante, es que el profesor puede desglosar los errores que se hayan presentado, y, ante todo, discutir los criterios que permiten diluciclar el que esas respuestas sean incorrectas.

Enseñanza del álgebra: establecimientode la comunicación A continuación se expone cómo se adoptaron los principios señalados por Bruner respecto a los requerimientos para el establecimiento de la comunicación (discurso).

• Debe existir un conjunto de convenciones compartidas que permitan establecer la intención del hablante

y la dispasidón del que escucha.

Oe acuerdo con Bruner (1983), la adquisición del lenguaje se inicia con una etapa de comunicación entre el adulto y el niño, lo que tiene lugar antes de que el niño pueda emitir su primera expresión léxico-gramatical. Esa comunicación previa al lenguaje se da, además del uso del lenguaje por parte del adulto, con la incorporación de elementos no lingüísticos, como el lenguaje corporal y las acciones. Ese tipo de recursos permiten la creación de un puente que apoya la transición de la comunicación prelingüística al lenguaje. Para emular esa transición en el caso del álgebra, se empleó como "puente" el referente numérico para dar sentido a las expresiones algebraicas. Se acudió al uso de las tablas de valores generadas por una cierta relación numérica para situar al estudiante en un contexto que le es familiar, dado que ha tenido una experiencia de seis años en la escuela la primaria trabajando con números. Como se verá con mayor detalle en la sección Resultados de investigación, las respuestas de los estudiantes confirman este supuesto. Cuando empleaban una literal para editar un programa no estaban pensando en una variable contenida en una expresión algebraica, sino que utilizaban esa literal teniendo en mente un número,aquel número que les dio la clave para identificar la regla que gobierna al patrón numérico con el que estaban trabajando. La rutina con que inicia una actividad ("Un estudiante construyó en su calculadora un programa que produce la siguiente tabla. ¿Puedes encontrar ese proqramair; se emplea como un medio para establecer'la intención del hablante y la disposición del que escucha'. La aparente espontaneidad de los estudiantes para abordar esas actividades sugiere que el juego de "odlvina qué programa utilicé" permite lograr con éxito ese propósito.

• Debe establecerse una base compartida para explotar las posibilidades deícticas del contexto temporal, espada/ e interpersonal. 8 logro de este requerimiento descansa en gran medida en la intervención del profesor. La calculadora algebraica es un medio que exige con rigor un uso apropiado del


código del álgebra, lo cual representa ventajas en un sentido y desventajas en otro. Por ejemplo, la máquina no acepta expresiones sintácticamente mal estructuradas, cuestión que el adulto puede manejar bastante bien durante la etapa de los primeros balbuceos del niño. Una etapa similar ocurre en los primeros encuentros del estudiante con el código algebraico, en la que construye expresiones no ortodoxas que la máquina "no puede entender"a pesar deque para el estudiante tienen un claro sentido y debieran funcionar correctamente de acuerdo con su línea de razonamiento. Por ejemplo, cuando quieren construir un programa que "primero sume 2 y luego multiplique por 3: su primera aproximación en general es editar una expresión como A + 2 x 3. Los resultados que cfrece la máquina ponen en conflicto al estudiante, que no entiende por qué no está funcionando como él quiere. En momentos como ése es crucial la intervención del profesor, pues él es quien puede entender las expresiones no ortodoxas de sus estudiantes para auxiliarlos en el paso de los "balbuceos· al lenguaje. Es importante señalar que a pesar de que la calculadora es un excelente medio para producir resultados y trabajar con expresiones algebraicas, no tiene la capacidad de"entregar"al estudiante nuevas formas de expresión (Ruthven, 1993). Esta situación se contempla en las hojas de trabajo (vea, por ejemplo, los formatos 2 y 3 en la sección Actividades para la enseñanza). Aquí el profesor vuelve a desempeñar un papel fundamental, ya que él es quien puede decidir de mejor manera cuándo y cómo introducir nuevas formas de expresión algebraica.

• Debe disponerse de medios convencionales para establecer y recuperar presupues tos. El cumplimiento de este requerimiento se basa esencialmente en las posibilidades que brinda una calculadora gráfica para registrar y recuperar las cadenas de operaciones aritméticas o las expresiones algebraicas que producen los estudiantes en el proceso de solución de un problema. Los modelos simples de calculadoras gráficas cuentan con una pantalla de ocho líneas que permite recuperar las expresiones que se han editado, y modelos más avanzados (por ejemplo, la TI-92 o la TI-89) permiten mantener y recuperar el historial del trabajo de un estudiante en una pantalla que cuenta hasta con 100 líneas de edición. El fundamento formal para este planteamiento descansa en la estructura que brinda la aritmética para el manejo numérico. Ciertamente la aritmética es el recurso en que se sustenta la disposición de medios convencionales para establecer y recuperar presupuestos. El referente numérico es el principal medio de validación en un ambiente de enseñanza como el que aquí se propone. ¿Cómo puede un estudiante que no ha recibido instrucción algebraica estar seguro que la función ("programa") 2 x A+ 1 es la regla que gobierna al patrón numérico 3, 5, 7, 9, 11, ... ?La forma de validación disponible para el estudiante es empírica, al correr el programa para A= 1, 2, 3, 4, 5, ...,obtiene justamente esa sucesión, y no lo logra con ningún otro programa que no sea equivalente a 2 x A 1. La forma de validación que tiene al alcance es inductiva y descansa en un acercamiento empírico al álgebra.

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Formatos parala enseñanzadel álgebra En la estrategia de aprendizaje mediante el uso que aquí se propone, la construcción de formatos (en el sentido de Bruner) es un elemento fundamental para regular la

Modelo didáctico

interacción niño-adulto. En pocas palabras,un formato es un esquema de interacción regulada, en que el niño y el adulto hacen cosasel uno para el otro y entre sf. Los formatos, al regular la interacción comunicativa antes de que comience el habla léxicogramatical entre el niño y la persona que se encarga de cuidarlo, se constituyen en vehículos para la transición de la comunicación al lenguaje. En ese orden de ideas, un formato debe ser un tipo de actividad altamente regulada que propicie que el estudiante pueda anticipar la intención del profesor y viceversa; además, esa actividad debe hacer factible la incorporación de elementos matemáticos de orden cada vez más complejo que permitan que el estudiante, con el tiempo, avance notoriamente en el conocimiento de la materia que está estudiando. Por otra parte, un formato debe incorporar un conjunto de convenciones compartidas que permitan establecer la intención del hablante y la disposición del que escucha. Para lograrlo se diseñó una actividad constituida por una estructura profunda y una estructura superficial. La primera tiene como función mantener una actividad rutinaria y altamente regulada, que permite al estudiante identificar claramente el fin que se persigue (anticipación de intenciones). La estructura superficial tiene como función posibilitar la inclusión de nuevos elementos matemáticos respetando la estructura profunda de la actividad. La estructura profunda consiste en una actividad que se inicia con la presentación de un patrón numérico mediante una tabla de valores. Esto conlleva el propósito de que el estudiante conciba esa actividad como un juego que consiste en identificar la regla que genera el patrón numérico que se le da. El juego concluye cuando logra expresar esa regla mediante un programa en la calculadora, de manera que pueda reproducir el patrón numérico dado utilizando la máquina. La estructura superficial consiste en una parte de la actividad en que se incorporan distintos tipos de números, nuevas estructuras algebraicas,y nuevos conceptos algebraicos. Esto hace factible abordar diferentes conceptos partiendo siempre de la actividad basada en el reconocimiento de patrones numéricos incluida en la estructura profunda. Los tópicos que se abordan en las actividades se mencionan a continuación. • Bloque 1: Uso del código algebraico para expresarlas reglas que gobiernan los patrones numéricos • Bloque 2: Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica • Bloque 3: Expresionesalgebraicas equivalentes • Bloque 4: Representaciónalgebraica de relaciones parte-todo • Bloque 5: Inversión defunciones lineales • Bloque 6: El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas • Bloque 7: Noción de función inversa • Bloque 8: Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica • Bloque 9: Funcionescuadráticas:su representacióngráficay algunas aplicaciones • Bloque 1 O: Factorización de expresiones cuadráticas:un acercamiento visual • Bloque 11: Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas


• Bloque 12: Función raíz cuadrada: dominio y contradominio • Bloque 13: Semicírculo: valores extremos • Bloque 14: Función racional: discontinuidad y asíntotas • Bloque 15: Valor absoluto: funciones lineales y cuadráticas • Bloque 16: Funciones trigonométricas: seno y coseno

Contenido de un formatoalgebraico A continuación se presenta una versión resumida de una actividad de cada uno de los bloques antes mencionados. Estos ejemplos tienen la intención de mostrar la estructura de las actividades y el contenido matemático que se aborda en cada formato. Un formato consta de varias hojas de trabajo (entre 5 y 15); las actividades no están diseñadas como "ejercicios• en el sentido de propiciar el desarrollo de destrezas mediante la ejecución repetida de un mismo tipo de actividad. Más bien están diseñadas con la intención de ofrecer al estudiante distintas experiencias en el manejo del código algebraico. En cada hoja de trabajo se incluyen nuevos elementos que hacen de cada actividad un problema que plantea un nuevo reto al estudiante en un contexto que le es familiar. Mediante el conjunto de actividades que conforman un formato se recrea un concepto a través de su uso, en particular los conceptos de variable, expresión algebraica, equivalencia algebraica, inversión de funciones, y los relacionados con las representaciones algebraica, tabular y gráfica de una función como instrumentos para confrontar la solución de problemas. Un modelo de enseñanza a través del uso requiere que éste sea constante, intenso y en distintos contextos. Por esta razón, los conceptos algebraicos que se abordan no se tratan solamente en un formato; su tratamiento se mantiene y recrea en diferentes situaciones a lo largo de todos los formatos, especialmente en el caso del uso de variables, expresiones algebraicas e inversión de funciones, los cuales se abordan en todas las hojas de trabajo con distintos énfasis. A continuación el lector puede encontrar un ejemplo de las actividades antes mencionadas. • Formato 1: Iniciación al uso de/lenguaje algebraico Un estudiante construyó la siguiente tabla usando un programa.

1.1

2.6

3

4.3

5

3.2

6

7

9.6

11

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 50? ¿Si es 81? ¿Y si es 274? _

_

2. Describe qué operaciones hiciste para obtener esos resultados.

_

3. Programa tu calculadora para que haga lo mismo. Escribe enseguida tu programa.-------4. Completa con tu programa los valores que faltan en la siguiente tabla.

Modelo didáctico

'"'F.1~~~

==

\.'E1r.,-ir:J •

11 .....

F.1

17

35.02 89.73 107.06 299.1 307.09

--

511

~ITtF.1

613.03

Explica qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a S 11 y 613.03.

• Formato 2: Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis 1. Un estudiante construyó en su calculadora el programa m 2x3. Una compañera de él dice que si le da a m el valor de 4 el resultado es 18. ¿Estás de

+

acuerdo?

Justifica tu respuesta con un ejemplo.

2. Otro estudiante dice que si m = S, el programa 21. ¿Estás de acuerdo?

_

m + 2x3 le dará por resultado

¿Por qué?----------

3. Completa la siguiente tabla empleando la relación c + Sx2,sin utilizarla calculadora.

4. Escribe ese programa en la calculadora y completa de nuevo la tabla anterior. ¿Obtuviste los mismos resultados? Si los resultados de tu programa no coinciden con los que obtuviste, corrlgelos y explica por qué ocurre eso. • Formato 3: Introducción a la equivalencia algebraica Un estudiante construyó en su calculadora un programa que hace lo siguiente:

2

4

8

10

14

3

6

12

15

21

1. Si el valor de entrada es S, ¿cuál será el resultado? _____

¿YsieslS?

_

Describe qué operaciones hiciste para obtener esos resultados.

¿ Si es 6?


2. Programa tu calculadora para que haga lo mismo. Una vez que lo hayas hecho veriffcalo, y si funciona escrfbelo en el cuadro de abajo. 3. Una alumna dice que el programa b+ b-;.-2da los mismos resultados. ¿Estás de acuerdo? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

4. ¿Puedes escribir otro programa como el que ella hizo y que además produzca los mismos resultados que se muestran en la tabla? Pruébalo en tu calculadora, y si funciona escrfbelo en el cuadro de abajo. • Formato 4: Represen tadón algebraica de relaciones partetodo 1. En una tlapalerfa hay rollos de alambre que se vende por kilo. Todos los rollos pesan lo mismo. Para registrar cuánto alambre le queda en cada rollo el administrador construyó un programa que hace lo siguiente: si escribe la cantidad que se vende el resultado indica cuánto alambre queda.

•. ,lltlt

• 101tl

~"'

- -

••,r.1111•1•:.a•1t

.

-

flH-:.tiF.1

1.7

2.4

3.1

4.06

5.2

8.3

7.6

6.9

5.94

4.8

2. De acuerdo con la información del programa, ¿cuántos kilos de alambre hay en cada rollo? Construye un programa que haga lo mismo. Pruébalo en tu calculadora y escrfbelo enseguida.

3. Completa la siguiente tabla usando ese programa.

.... ~.,. ...-~ -lT['.lttfrTfr.1

.... _,~1111•1"•111

•Uu:..-u11:. fF.1

2.83

3.03

3.5

4.8 5.01

6.2

7.04

7.32

4. ¿Cómo puedes comprobar que los valores que encontraste para 5.01, 6.2, 7.04 y 7.32 son correctos? Explfcalo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

• Formato 5: Inversión de fundones lineales Un estudiante construyó un programa que realiza los siguientes resultados.

Modelo didáctico

0.13

0.17

0.65

3.8

9.28

026

0.34

1.3

7.6

18.56

1. Encuentra ese programa y escr[belo a continuación.---------

2. Programa tu calculadora de modo que haga lo inverso que el de la actividad anterior. Pruébalo en tu calculadora y escr[belo enseguida.

3. Un alumno dice que el programa Mx 3 - 1 hace lo inverso que el programa M73

+ 1. ¿Estás de acuerdo?

Presenta un ejemplo que justifi-

que tu respuesta.--------------------4. Programa tu calculadora para que "deshaga· lo que produce el programa

Nl .5 + 2.

• Formato 6: Problemas que involucran funciones lineales Observa la siguiente sucesión de figuras y dibuja las dos que siguen.

1. Siguiendo esta secuencia, ¿cuántos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadrado gris que va en el lugar número 27? 2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadrado gris que va en el lugar número 40? 3. Explicatu razonamiento para responder cada pregunta.

4. Programatu calculadora para completar la siguiente tabla.

48

75

704

772

840


S. Escribe el programa que construiste.----------• Formato 7: Introducción al plano cartesiano Un estudiante escribió en su calculadora un programa que genera la siguiente tabla.

1

1.

2

3

4.5

6

-4

-6

-9

-12

1. Encuentra ese programa y constrúyelo en tu calculadora.

2. Haz la gráfica en tu calculadora y luego anota a la ecuación que usaste para construirla.

3. Usa la tecla TRACE para recorrer la gráfica que construiste y verifica si los valores de la tabla que completaste coinciden con las coordenadas de los puntos de la gráfica. ¿Qué signos tienen las coordenadas de los puntos de la gráfica que están en el segundo cuadrante? ¿Qué signos tienen las coordenadas de los puntos de la gráfica que están en el cuarto cuadrante? • Formato 8: Lectura y construcción de gráficas de funciones 1. Completa la siguiente tabla con la información de la gráfica de la izquierda; encuentra la ecuación que genera la tabla y anótala en el recuadro. Por último, construye la gráfica en la calculadora para verificar tu respuesta . .. . .. . . .. v ..

.. 1.

• Formato 9: Gráficas e inversión de funciones lineales 1. Completa la siguiente tabla.

Núm. de salida

Modelo didáctico

2. Escribe en tu calculadora un programa que permita encontrar el valor de cuando lo que conoces es el valor de x, y anótalo en el siguiente recuadro.

y,

3. Construye en tu calculadora una gráfica usando ese programa. 4. Recorre la gráfica en tu calculadora y completa la siguiente tabla.

-2.5

-L5

1.5

2.5

1 S. Escribe en tu calculadora un programa que permita encontrar el valor de cuando lo que conoces es el valor de y, y anótalo en la siguiente línea.

x,

6. Usa el programa para construir una gráfica en tu calculadora. 7. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica anterior.

-4

2

4

8

8. ¿Cómo puedes completar la tabla de la actividad 4 usando la gráfica de la actividad 3?

(

Introducción El modelo didáctico que se presenta en esta misma sección se ha sujetado a tres fases de investigación. La primera se llevó a cabo en el periodo 1992-1993,y tuvo corno propósito obtener evidencia empírica acerca de la factibilidad del modelo. Los principales indicadores empíricos que se estudiaron fueron las estrategias y nociones algebraicas desarrolladas por los estudiantes cuando ese modelo didáctico se aplica en las circunstancias normales del ambiente escolar. En este estudio el investigador desempeñó el papel de profesor durante el año escolar y el trabajo de campo se diseñó de manera que formara parte del tratamiento del programa oficial (Cedillo, 1994,1995, 1995a, 1996c). La segunda fase se llevó a cabo en el periodo 1994-1995, y su principal propósito fue investigar los efectos de distintas estrategias de formación de profesores de secundaria para la introducción de la calculadora en el aula. Para este efecto se equipó a tres escuelassecundarias, dos en el Distrito Federaly una en Xalapa,Ver.1 En cada escuela se incorporó un profesor de manera voluntaria. La fase de preparación para los profesores tuvo una duración de cuatro meses y después de esto se realizó el trabajo de campo en el aula durante seis meses.El investigador se limitó a conducir la etapa de formación de los profesores y a observar, registrar y analizar los eventos que ocurrían en el trabajo en el aula (Cedillo, 1996b). La tercera fase de esta investigación se inició en 1998 y concluyó en el año 2001 .2 En esta investigación se estudió el potencial de distintas piezas de software y la calculadora era uno de los componentes incluidos. En el caso de las calculadoras, el estudio se realiza con dos propósitos, uno es investigar las condiciones que favorecen y limitan la expansión a mayor ' Proyecto aprobado por el Programa de Apoyo a Proyectos de Investigación Educativa, Convenio SB>-Conacyt. 2 Proyecto aprobado por el Programa de Apoyoa Proyectosde Investigación,Conacyt.

21


escala del modelo didáctico, y el segundo propósito de este estudio es investigar el potencial de la calculadora como factor de cambio en las concepciones de profesores en servicio sobre la enseñanza de las matemáticas y su aprendizaje. En este estudio participan cerca de 100 profesores y 15 000 estudiantes distribuidos en 16 escuelas ubicadas en distintas regiones del país, Los reportes de este estudio están en proceso. Por restricciones de espacio, en este reporte sólo se incluyen los resultados de la primera fase. El lector interesado en estos trabajos puede encontrar información sobre las otras fases de esta investigación en la página del autor en Internet: http//emat-efit. ilce.edu.mx/calculadoras

Objetivos Investigar en un ambiente de enseñanza apoyado por el uso de la calculadora programable: • Qué nociones y estrategias desarrollan los estudiantes, cuando el estudio del álgebra se da a través de su uso, sin que la enseñanza incluya reglas y definiciones, como ocurre con el aprendizaje de la lengua materna. • En qué medida las nociones y estrategias no convencionales que desarrollan los estudiantes les permiten abordar tareas que implican manipulación simbólica. • Investigar en qué medida las estrategias y nociones no convencionales que desarrollan los estudiantes les permiten abordar la solución de problemas algebraicos.

Método Se adoptó el método de análisis cualitativo (Miles y Huberman, 1 984); en particular, se aplicó la técnica de estudio de casos. La investigación se organizó en un estudio piloto y un estudio principal. El estudio piloto se realizó durante 1 O sesiones de SO minutos con estudiantes de un grupo escolar que no participarla en el estudio principal, el cual consistió en el trabajo de campo, las etapas de registro y el análisis de datos. El trabajo de campo se efectuó en el ambiente natural del salón de clases, durante 23 sesiones de SO minutos distribuidas a lo largo de once semanas. El investigador fungió como profesor de matemáticas del grupo experimental durante todo el año escolar a fin de lograr un conocimiento de los estudiantes que diera un mejor soporte al análisis cualitativo de los datos. La investigación se realizó en una escuela donde el principal criterio de admisión no fue el desempeño escolar previo de los estudiantes, sino su disposición para colaborar en un ambiente escolar donde la disciplina se deriva de la calidad del trabajo.

• Sujetos Participó un grupo escolar que cursaba el primer grado de secundaria. El grupo constaba de 25 estudiantes de 11 a 12 años de edad que no hablan recibido instrucción en álgebra. De ellos se eligieron ocho sujetos cuyo trabajo se observó empleando la técnica de estudio de casos. La elección se hizo de la siguiente manera: los primeros tres meses de trabajo con el grupo escolar aportaron información para seleccionar a

[nvestigación

un niño y una niña con alto aprovechamiento en matemáticas; dos niños y dos niñas con aprovechamiento promedio; y un niño y una niña con aprovechamiento por debajo del promedio. También se registró el trabajo del resto de los estudiantes con la finalidad de usarlo para afinar detalles durante la fase de análisis de los datos. • Fuentes de datos

Se emplearon tres instrumentos para colectar datos: (1) el trabajo escrito de los estudiantes (60 hojas de trabajo por estudiante); (2) tres entrevistas individuales que fueron videograbadas, una al iniciar el estudio, la segunda después de cinco semanas, y la tercera al término del trabajo de campo, y (3) las notas que tornó el investigador al término de cada sesión. Las entrevistas se estructuraron a partir de una tarea específica basada en situaciones que los estudiantes no habfan abordado en el salón de clases, en esencia aquellas que implican manipulación simbólica y resolución de problemas. Esto permitió indagar en qué medida la experiencia adquirida por los estudiantes en la etapa de enseñanza podrfa extenderse a situaciones que requerfan una elaboración más refinada de las nociones y estrategias desarrolladas. • Actividades

Se basaron en el reconocimiento de patrones numéricos para introducir el uso de expresiones algebraicas corno medios para representar las reglas que generan esos patrones. Se diseñaron SO hojas de trabajo que se organizaron en cinco paquetes. Las primeras 1 S funcionaron para introducir el código algebraico; las siguientes cinco correspondieron al uso de paréntesis y la jerarqufa de operaciones; el tercer paquete contenfa 1 O actividades sobre equivalencia algebraica; el cuarto paquete incluyó 1 O actividades sobre representación algebraica de relaciones parte-todo; y el quinto paquete constaba de 1 O actividades sobre inversión de funciones lineales (vea formatos 1-5 en la sección Actividades para la enseñanza). Las literales y expresiones algebraicas se introdujeron en las hojas de trabajo corno medios para editar programas en una calculadora. Según esto, para los estudiantes una letra no era una incógnita o una variable, sino una etiqueta que indica el nombre de una memoria que la calculadora usa para almacenar la información que introduce el estudiante, y una expresión algebraica era una cadena de operaciones construida por el estudiante en las cuales era necesario incluir el nombre de una memoria (letra); esas cadenas de operaciones le perrnitfan construir un programa en la calculadora para que se realizara la operación deseada (reproducir un patrón numérico dado). De acuerdo con lo observado en el estudio piloto, la notación concatenada de coeficientes y variables en la multiplicación algebraica creaba confusión en los estudiantes (3a). Con base en esta experiencia, y considerando el acercamiento informal al álgebra en que se basa este estudio, se decidió emplear la notación aritmética de la multiplicación en la edición de expresiones algebraicas; por ejemplo, en vez de 3a, se usó 3 x A • Organización del trabajo en el aula El aula contaba con mesas hexagonales que podfan ser ocupadas por cuatro o seis estudiantes a la vez, quienes elegfan libremente su lugar. Para cada estudiante habfa una calculadora gráfica que podfa utilizar durante la clase y un sobre etiquetado con


su nombre que contenfa un paquete de actividades. Al inicio de la sesión, los estudiantes tomaban de la mesa del profesor una calculadora y el sobre con las actividades correspondientes. La instrucción para iniciar las actividades era que completaran tantas hojas de trabajo como les fuera posible, y que nadie debfa entregar su trabajo en blanco, pero si agotaban sus esfuerzos y no podfan continuar solos, tenfan la obligación de acudir al profesor o a cualquiera de sus compañeros para aclarar sus dudas. Los estudiantes iniciaban su trabajo y el profesor estaba siempre alerta para atender sus intervenciones y discutirlas de manera individual. Al término de la clase los estudiantes colocaban los sobres con sus actividades en la mesa del profesor.que a la siguiente sesión se las regresaba revisadas. La revisión del profesor consistió en hacer breves comentarios escritos acerca de las respuestas de los estudiantes siguiendo los lineamientos que se mencionan a continuación: (1) en el caso de errores nunca se daba una respuesta directa para corregirlos, sino se señalaba qué estaba mal y se le hada una nueva pregunta al estudiante, con el fin de que, al contestarla, pudiera encontrar alguna pista que le hiciera evidente el error que había cometido; (2) en el caso de las respuestas correctas, el profesor agregaba una nueva pregunta con la intención de motivar al estudiante para que encontrara otra forma de resolver el problema planteado, o que le llevara más allá de lo que había logrado.

Resultados Nociones sobre las literales en expresiones algebraicas El trabajo escrito y las respuestas en entrevistas individuales de los estudiantes de los tres estratos (alto, medio y bajo), indican que el uso de la calculadora para describir el comportamiento general de patrones numéricos fue un apoyo determinante en el desarrollo de la noción de literal como un sfmbolo que'representa cualquier número; y la noción de "artefactos de cálculo" para las expresiones algebraicas que usaban para construir programas en la calculadora. La respuesta de Diego (alumno de nivel promedio) a la pregunta "¿Qué significa para ti la letra que usas cuando construyes un programa en la calculadora?, caracteriza la noción que desarrollaron los estudiantes en torno a las literales algebraicas:

'la letra que uso en un programa es el nombre de una memoria de la calculadora, peroen realidad una letra personifica a un número, cualquier número ... mira, es cribes el programa y le puedes dar distintos valoresa la letra (escribe el programa A 3 x A 2 y lo corre para distintos valores); el programa entiende que debe calcular un nuevo resultado para cada número que introduzcas ... no necesitas cambiar la letra (stc)"

+

Las nociones que desarrollaron los estudiantes en torno al concepto de expresión algebraica pueden resumirse en la respuesta de Erandi (alumna promedio) a la pregunta "¿Qué significa para ti un programa como los que has hecho en tu calculadora?": "Un programa (en términos matemáticos "representación algebraica de una función lineal") sirve para hacer algo ... para completar una tabla o para resolver un problema ... sirve para decirle a la calculadora cómo hacer lo que tengo en la cabeza para resolver un problema (slc)" Las respuestas de los estudiantes sugieren que un aspecto clave para el desarrollo de esas nociones fue que la calculadora les permite usar el código de programación no sólo como un medio de edición sino, además, como una herramienta para calcular.

[nvestigación

Otro factor que influyó fue que las actividades se basaron en la descripción de patrones numéricos; este tipo de tarea les ayudó a establecer una conexión entre el nuevo código formal que estaban usando y la experiencia aritmética que habfan adquirido en cursos anteriores. La fuerte relación entre las tareas experimentales y la herramienta de cálculo les permitió usar el referente numérico como forma de validación para sus respuestas, por ejemplo, el programa 3 x B 1 genera el patrón numérico 2, 8, 17, 23, para B 1, 3, 6, 8. Si ése era el patrón que querfan generar sabfan que el programa que habfan construido era correcto; si no, podían analizar de nuevo el patrón e intentarlo otra vez. 8 hecho de que el código de la calculadora esté ubicado en el ambiente de cálculo de la maquina indujo en los estudiantes la noción de las expresiones de programación como "expresiones para calcular~ La estrategia numérica de "tanteo y refinamiento" que emplearon para validar y/o refutar las expresiones algebraicas que producfan, proporciona evidencia en favor de esto. Las actividades sobre reconocimiento y expresión algebraica de patrones numéricos en el ambiente de la calculadora son más que simplemente codificar lo que se está representando, como ocurre en el ambiente del lápiz y el papel. En el contexto de la calculadora, el proceso de simbolización algebraica es más bien el resultado de una interacción entre lo conocido (aritmética), y la consecución de una meta (lograr que la calculadora reproduzca una tabla de valores dada). Los datos de esta investigación sugieren que este tipo de actividad favoreció que los estudiantes transitaran de lo particular a lo general (analizar el comportamiento de un par ordenado especffico a ---+ b, a verificar la validez de la regla que encontraron para aplicarla a cualquier par x+ y que pudiera estar en la tabla). Las formas de trabajo de los estudiantes indican que esta experiencia fue la clave para que desarrollaran la noción instrumental de literal como "sirven para personificar cualquier número; y para u na expresión algebarica como "cosas que sirven para hacer algo ... completar una tabla o resolver un problema: Los estudiantes se percataron de que el valor numérico de una expresión algebraica no depende de la literal que usen. En la segunda entrevista se les planteó la siguiente situación:"Una alumna de otra escuela dice que los programas (A+7H-2 y (Z+ 7H-2 producen resultados distintos. ¿Qué piensas de eso?"Cabe destacar que todos los estudiantes rechazaron esa afirmación, lo cual contrasta con los resultados obtenidos por Küchemann (1981) en el ambiente del lápiz y el papel. La respuesta de Jenifer (nivel alto) caracteriza las reacciones que se obtuvieron con el resto de los estudiantes:

=

•Ay Z pueden ser cualquier número ... N:> necesito correr esos programas para sa ber que Jos resultados serán los mismos ... Yo digo que esos programas producen Jos mismos resultados parque cuando panes un número en la calculadora no im porta si es A, Z o cualquier otra letra, no imparta qué letra uses ... (stc)" Junto con esta noción los estudiantes desarrollaron otra más amplia, la de que literales diferentes en una expresión pueden representar diferentes valores, pero que también pueden tener el mismo valor. Esto surgió en una pregunta planteada sobre equivalencia algebraica en la tercera entrevista. Se les preguntó si (A [!¡2 = A2 B1. La pregunta era totalmente nueva para ellos; sus respuestas enfatizan las posibilidades que brinda el trabajo con la calculadora. Los estudiantes de todos los estratos,con distintos niveles de profundidad, pudieron dar respuestas correctas a esa pregunta. Los estudiantes del nivel alto fueron más allá y encontraron que "eso puede ser correcto si A = O, B = O, o ambos son cero" (lván y Jenifer).

+

+


Las nociones desarrolladas por los estudiantes en torno a las literales en expresiones algebraicas se relacionan con el concepto de variable. El trabajo que mostraron durante el estudio muestra que no sólo asociaron una literal con un conjunto de variables, sino que, además, fueron capaces de trabajar de manera consistente con dos conjuntos de valores asociados: el correspondiente a la literal (dominio de la función) y el de los valores que toma una expresión algebraica para cada valor de la literal (contradominio de la función). En esta asociación se sustentó la estrategia que emplearon para explorar y verificar sus conjeturas. Este hallazgo contrasta sensiblemente con los resultados de Küchemann (1981) en el ambiente del lápiz y el papel, quien sugiere una categorización jerárquica para la interpretación que los estudiantes dan a las literales en álgebra: como objetos, como números generalizados, y finalmente como variables. Küchemann, siguiendo principios piagetianos, asoció esos roles de las literales a diferentes estadios del desarrollo intelectual de los estudiantes, y propone que la noción de variable sólo puede ser comprendida cuando los estudiantes alcanzan el estadio de las operaciones formales. De acuerdo con esto, las nociones para las letras como objetos y como números generalizados deben preceder la noción de variable. Los resultados del estudio que aquf se presenta muestran que los estudiantes pueden desarrollar la noción de letras como variables sin tener como antecedente las otras nociones. Aún más, los resultados de este estudio muestran que los estudiantes podfan moverse de la noción de letras como variables a la noción de letras como incógnitas, por ejemplo, cuando utilizaban un programa para encontrar valores especfficos de la literal a partir de un valor dado para la función. Estos resultados indicarfan que la noción de variable no parece depender exclusivamente del desarrollo intelectual, sino más bien de formas de enseñanza. Nociones relacionadas con equivalencia algebraica Los estudiantes desarrollaron nociones sobre equivalencia algebraica con base en Ja explo ración del valor numérico de las expresiones algebraicas. Esta estrategia marca una clara relación entre esas nociones de equivalencia y el uso del código de Ja calculadora para describir patrones numéricos. Los datos obtenidos sugieren que,junto con nociones asociadas al concepto de variable, los estudiantes fueron desarrollando nociones sobre equivalencia algebraica, las cuales, en el tiempo, mostraron ser el recurso más poderoso para enfrentar un rango más amplio de tareas, como transformación algebraica e inversión de funciones. La noción que desarrollaron los estudiantes sobre equivalencia algebraica puede caracterizarse por la respuesta de Jimena (estrato promedio): "Dos programas son equivalentes si producen los mismos valores". El trabajo realizado por los estudiantes durante la fase de campo les hizo posible enfrentar situaciones que nunca antes habfan encontrado. Por ejemplo, pudieron enfrentar actividades que involucran dos variables contenidas en expresiones cuadráticas, como el caso de emitir un juicio sobre la validez de la igualdad (A+ 8)2 =A2 + 82• Como se verá más adelante, esas nociones de equivalencia fueron las herramientas que emplearon los estudiantes para abordar situaciones sobre transformación algebraica. El análisis de los datos obtenidos muestra que esas nociones aún

[nvestigación

deben afinarse; en particular, se ve la necesidad de investigar en qué medida esas nociones basadas en la exploración numérica ayudan u obstruyen un acercamiento formal a la equivalencia algebraica.

Uso de paréntesis

y prioridad de operaciones

Los datos recabados indican que los conceptos relacionados con Ja prioridad de las ope raciones aritméticas y el uso de paréntesis son mejor aprehendidos por Jos estudiantes en situaciones en que esas convenciones sintácticas se utilizan de manera instrumental. Para esto es crucial que los estudiantes usen el código de la calculadora para expresar su propio razonamiento, lo cual les permite darse cuenta que, en ciertos casos, la calculadora opera de manera diferente a como ellos lo hacen. Durante el estudio se observó que los estudiantes no tienen presentes la prioridad de operaciones y el uso de paréntesis mientras trabajan en el ambiente del lápiz y el papel. En contraste, sf tenfan presentes esas convenciones sintácticas cuando trabajaban con la calculadora. Los estudiantes quisieron saber acerca de esas convenciones cuando entraron en conflicto con su forma de razonar.Por ejemplo, Rocfo (nivel bajo), querfa construir un programa que "primero sume 1 y luego divida entre 2"y produjo el programa A+ 1 T 2, que obviamente no funcionaba como ella querfa. Su primera reacción fue pensar que la calculadora se había descompuesto e intentó con la de un compañero; cuando no pudo seguir adelante consultó al profesor, quien le hizo ver por qué su programa no funcionaba. Después de esto no volvió a tener problemas con el uso de paréntesis (en Cedillo, 1995, se puede encontrar una presentación detallada). Simplificación

de términos semejantes

Los datos recabados sugieren que el uso del código de Ja calculadora ayudó a los estudian tes a confrontar tareas que involucran simplificación de términos semejantes. Un aspecto relevante es que este tipo de tarea fue el único en el que los estudiantes tendieron a generar concepciones incorrectas. Las preguntas que se plantearon en entrevistas individuales al respecto fueron como la siguiente: "¿Puedes escribir de manera más breve e/ programa A x 7 +A x 3?" La estrategia que inicialmente emplearon los estudiantes fue dar valores especffices a la variable. Por ejemplo, después de algunos intentos con distintos valores de la variable, llegaban finalmente a concluir que "todo lo que hace ese programa es mul tiplicar por 10: y proponfan el programa A x 1 O como una forma equivalente y más breve para A x 7 +A x 3. Después de esto se les plantearon situaciones similaresque probablemente condujeron a los estudiantes a generar sus propias reglas para salvar el paso de la exploración numérica. Los datos de esta investigación muestran que una vez que los estudiantes empezaron a generar sus propias reglas sintácticas confiaban totalmente en ellas. La respuesta de Erandi ilustra de buena manera el tipo de errores que los estudiantes tienden a cometer. Ella obtuvo que A x 13 es equivalente a A x 2 + A x 3 + A x S, porque "los números 2, 3 y 5 suman 10,perodebes agregar 3 porque tienes tres A's ah!... eso


da 13 veces A~ Erandi estaba segura de que su respuesta era correcta porque estaba aplicando correctamente dicha regla, lo cual es cierto; pero mientras esa regla fuera su única forma de validación, difícilmente podría darse cuenta de su error. Aun cuando se le mostró mediante evaluación numérica que esas expresiones no son equivalentes, se resistía a admitirlo. Como el resto de los estudiantes, Erandi abordó inicialmente la actividad dando valores numéricos a la variable; una vez que se familiarizó con la actividad generó sus propias reglas: "se suman los números por los que se está multiplicando la letra: y dio respuestas correctas empleando esa regla. Sin embargo, en la siguiente entrevista y ante el mismo tipo de pregunta que comprendía expresiones un poco más complicadas, como A x 2 +A x 3 +A x 5, se presentaron los errores que se están analizando. El tipo de error que cometió Erandi lo cometieron la mayoría de los estudiantes. Los datos recabados sugieren que esos errores se dieron porque al reconocer la tarea que se les proponía, trataban de recordar procedimientos que aplicaban mecánicamente. Debe hacerse énfasis en que no fue fácil convencer a los estudiantes de que estaban cometiendo un error y en qué consistía, sobre todo porque estaban confiando en una regla generada por ellos mismos. Sin embargo, parece aún más factible que esos errores se cometan cuando las reglas las presenta el profesor, una cuestión que parece explicar las grandes dificultades que muchos estudiantes encuentran para dominar la operatividad algebraica. Inversión de funciones A pesar de que la mayoría de los estudiantes no pudo encontrar formas sistemáticas para invertir una función lineal, resulta relevante que todos mostraron haber compren dido para qué sirve obtener la inversa de una función. Inicialmente, la mayoría de los estudiantes aplicó una estrategia que consiste en invertir las operaciones en el orden en que éstas aparecen en una expresión algebraica; luego evaluaban la función que obtenían, y hadan ajustes si no obtenían los resultados esperados. Por ejemplo, para invertir la función A x 2 - 1 construían el programa A ;.. 2 + 1, y al correrlo se daban cuenta de que no funcionaba porque Ax 2 - 1 = 5 si A= 3; pero A;.. 2 + 1 = 3.5, si A= 5. Esto les daba la pista: "Para ajustar el programa que deshace A x 2 /";"se posa por 0.5, entonces debo restar 0.5~ y obtenían como inversa de la función A x 2 - 1 el programa A ;.. 2 + 0.5, que es justo lo que obtenemos al simplificar (A - 1)-;.. 2. Solamente los estudiantes del nivel alto fueron capaces de considerar de manera consistente la jerarquía de las operaciones y usar correctamente los paréntesis para invertir funciones lineales. No obstante, todos los estudiantes entendieron para qué sirve invertir una función. En el siguiente caso, Rocío, estudiante por debajo del promedio, proporciona evidencia para esta afirmación. En la tercera entrevista se le preguntó si el número 877 aparecería en la sucesión 5, 9, 13, 1 7, ... Después de algunos intentos escribió el programa B x 4 + 1, el cual produce ese patrón numérico, pero inmediatamente aclaró que no era ese programa el que usaría para responder la pregunta que se planteó, sino el programa inverso. Rocío no pudo obtener por sí misma el programa inverso, pero sabía que ese programa es el que le permitiría enfrentar el problema propuesto.

[nvestigación

Estrategias generadas por los estudiantes • Transformadón algebraica los estudiantes fueron capaces de enfrentar actividades que diferían notablemente de las que se emplearon en la fase de enseñanza. Esas nuevas actividades se incluyeron en las entre vistas individua/es, en las que se pidió a los estudiantes que transformaran algebraicamente una expresión lineal de manera que fuera equivalente a otra expresión dada. Las formas en que los estudian tes confrontaron estas tareas indican que la exploración del valor numérico de una expresión algebraica desempeñó un papel determinante en este incipiente acerca miento a la manipulación simbólica. Una vertiente importante de esta investigación fue indagar si la experiencia que habían adquirido los estudiantes al describir patrones numéricos mediante el código de la calculadora, les permitiría abordar actividades que implican manipulación simbólica. Para esto se aplicaron preguntas como la siguiente: 'Quería escribir el programa B x 8 pero cometí un error; en lugar de eso escribí B x 7. ¿Se puede corregir eso sin borrar nada de lo que escribí?". Debe destacarseque este tipo de actividad no tenía ningún antecedente en las actividades de enseñanza que enfrentaron los estudiantes durante el trabajo de campo, de manera que cualquier intento que hicieran, ya fuera para dar sentido a la actividad o para abordarla, son acercamientos originales que ellos produjeron a partir de una extensión intuitiva de la experiencia que adquirieron al emplear el código de la calculadora. El término intuición se emplea aquí en el sentido de acciones que se sustentan en la experiencia,y que por lo mismo no tienen un fundamento formal. Las estrategias generadas por los estudiantes sugieren que emplearon el código de la calculadora como un medio para dar sentido a nuevas situaciones y negociar posibles soluciones, más que usarlo para representar una idea totalmente estructurada. Este resultado contrasta con el uso del código algebraico en el ambiente del lápiz yel papel, donde dicho código algebraico se emplea como el paso final en un proceso de razonamiento. Esencialmente, los estudiantes generaron las siguientes estrategias cuando enfrentaron tareas de manipulación simbólica: (1) Ensayoy refinamiento mediante exploración numérica, y (2), operación directa con los términos que contenían variables. En cuanto a la primera estrategia, Jenny, Erandi y Diego asignaron valores espedficos a la variable; por ejemplo, si B = 1, B x 7 + 1 = B x 8; como esto no funciona para B 2; entonces intentaron con B = 2, que hace que B x 7 + 2 = B x 8, pero sólo funciona en ese caso. De esa manera, estructurando y reestructurando sucesivamente sus razonamientos, concluyeron que lo que debían agregar era justo el valor que le estaban asignando a la variable, lo que finalmente los condujo a producir el programa B x 7 B = B x 8. Posteriormente pudieron emplear esta estrategia para abordar casosmás complejos. Jimena (nivel promedio), Raúl (nivel bajo) e lván (nivel alto) operaron directamente con la variable; por ejemplo, B x 1 O - 3 x B para hacer que B x 1 O fuera equivalente a B x 7. Sin embargo, todos acudieron finalmente a dar valoresa la variable para enfrentar tareas más complejas, por ejemplo cuando se les pidió hacer ese tipo de transformación con expresiones con tres o más términos. Esto sugiere que la sustitución numérica fue la estrategia más sólida que generaron.

=

+


La estrategia de ensayo y refinamiento empleada por los estudiantes resalta el papel del código de la calculadora corno una herramienta que media el aprendizaje del álgebra escolar. Las formas en que los estudiantes confrontaron las actividades indican que, en general, no usaron el lenguaje de la máquina para describir una idea acabada;más bien, usaron ese código corno un medio para dar sentido al problema que enfrentaban y refinar progresivamente sus razonamientos. Solución de problemas algebraicos Con diferentes niveles, Jos estudiantes fueron capaces de usar el código de Ja calculadora para enfrentar problemas cuyas soluciones pueden obtenerse algebraicamente. La forma en que los estudiantes abordaron la solución de problemas sugiere que la experiencia que adquirieron trabajando con patrones numéricos les proporcionó un dominio sobre el código formal de la calculadora, lo cual les permitió plantear y obtener soluciones. Este resultado difiere de los obtenidos en otros estudios en que se han investigado los efectos de introducir el álgebra escolar a partir del trabajo con patrones numéricos (Stacey, 1989; Herscovics, 1989; Arzarello, 1991; MacGregor y Stacey, 1993; Stacey y MacGregor, 1996). Esos estudios reportan dificultades de los estudiantes al generar reglas algebraicas a partir de patrones numéricos. MacGregor y Stacey (1996) concluyen: ·un enfoque basado en el estudio de patrones y tablas no conduce automáticamente a un mejor aprendizaje; la forma en que se enseña a los estudiantes y la práctica de ejercicios promueve el aprendizaje de una rutina que no conduce a una mayor comprensión" (pág. 3). Reportan que los estudiantes fueron capaces de reconocer y describir las relaciones cuantitativas involucradas, pero que sus descripciones son más bien retóricas (en el sentido de Harper, 1987), lo cual les impide describir el problema de manera algebraica. Hay varios factores que pueden explicar el fuerte contraste entre los hallazgos de este estudio y los obtenidos por MacGregory Stacey.Lo que parece la explicación más inmediata es que los estudiantes de MacGregory Staceytrabajaron en el ambiente del lápiz y el papel, donde el lenguaje natural es la herramienta disponible para que los estudiantes estructuren sus razonamientos. MacGregor y Stacey (1996) encontraron que la mayoría de los estudiantes guiaron sus procedimientos por descripciones hechasmediante el lenguaje natural y que ese procedimiento difícilmente apoya que los estudiantes logren una descripción algebraica para las relaciones entre dos variables. En cambio, la naturaleza operativa del lenguaje de la calculadora ubica al estudiante en un ambiente donde la formulación algebraica se convierte en una parte inherente a la solución del problema que se está enfrentando. El uso del lenguaje de la calculadora conduce al estudiante a describir operativamente las relaciones involucradas en un problema. Cuando los estudiantes trabajan con la calculadora no están buscando, digamos, la relación entre las variables "X' y y para encontrar el patrón subyacente (que fue la pregunta que usaron MacGregor y Stacey); el ambiente de la calculadora nos permite hacer la misma pregunta de manera que se conduce a los estudiantes a pensar qué operaciones deben hacer con el "número de entrada" para que, corno resultado, obtengan el "número de sallda" Los datos de la presente investigación proporcionan evidencia en favor de esta afirmación: cuando se pidió a los estudiantes que describieran 'con sus propias palabras· qué operaciones habían hecho para encontrar el patrón numérico se obtuvieron respuestas

[nvestigación

muy vagas, como "sumé" (Ji mena, entrevista 1 ); sin embargo, Ji mena había construido el programa A+ A + 1; y, ciertamente, sólo sumó; sin embargo, hay una enorme diferencia entre su descripción verbal y la riqueza de la expresión A + A + 1, que nos muestra con claridad cuál fue su razonamiento para describir el patrón que se muestra en la siguiente tabla:

....l ll

- . . . -~~

.....

~:-

.

1

3

3

7

5

11

7

15

8

17

--

• llTfF,""I

Cuando se les propusieron patrones más sofisticados, los estudiantes respondieron al requerimiento de "explicar en sus propias palabras lo que hicieron para reconocer el patrón nurnénco; empleando una expresión algebraica, por ejemplo, 3 x A + 2, "porquees más fácil explicarlo con el lenquae de la calcuadora: El uso del código de la calculadora favoreció que los estudiantes se concentraran en la estructura operativa de las expresiones que producían en la máquina, ya sea para describir patrones numéricos o relaciones entre los datos involucrados en la solución de un problema. Este acercamiento operativo no necesariamente ocurre cuando se trabaja en el ambiente del lápiz y el papel, donde el lenguaje natural es la herramienta inmediata de comunicación. Tal situación parece conducir a los estudiantes a ver el uso del código algebraico como una imposición del profesor. B enfoque de enseñanza que se empleó en este estudio proporciona otra posible explicación de los logros de los estudiantes. La principal característica de las actividades que se emplearon en el primer paquete fue ubicar a los estudiantes en la posición de usuarios del código de la calculadora para lograr"que la calculadora hiciera lo que ellos estaban pensando" Ese tipo de actividad guió a los estudiantes mediante la experiencia, a que "palparan" la generalidad inherente en las expresiones algebraicas que estaban usando. Las tareas del segundo paquete los introdujeron al uso de paréntesis como un recurso para modificarla jerarqu fa de las operaciones y como u na herramienta útil en la construcción de funciones inversas de funciones lineales. En el tercer paquete de actividades se introdujo la noción de equivalencia algebraica. El trabajo de los estudiantes mostró que su acercamiento espontáneo no fue operar con los términos que contienen variables, sino con los términos independientes (por ejemplo, 3 x B + 4 = 3 x B + 8 + 2). Sin embargo, en las entrevistas mostraron ser capaces de operar con expresiones algebraicas mucho más complejas que el investigador introdujo. Posteriormente, en el último paquete de actividades mostraron ser capaces de producir expresiones tan sofisticadas como [(A x 3) x 2 + (A x 2)] x 53, que emplearon para calcular"el costo del marco de madera de cualquier ventana, en las que el largo mide el triple del ancho, y el costo por metro del material es $53.00" (hoja de trabajo 50). Esto resalta la intervención del profesor, ya que los estudiantes no podían generar por sf mismos expresiones más complejas que las de la


forma ax+ b;sin embargo, sus respuestas en las entrevistas indican que parecían estar preparados para interactuar con un compañero más competente. Estas reacciones de los estudiantes sugieren que la experiencia que obtuvieron al transformar expresiones algebraicas fue un punto clave para que se percataran de la existencia de expresiones algebraicas que van más allá de las de la forma ax+ b que utilizaron al describir patrones numéricos. Las actividades en el cuarto paquete presentan situaciones en que los estudiantes deben describir algebraicamente relaciones parte-todo, como la longitud de las dos partes en que queda dividido un alambre que mide 16 cm y que se corta arbitrariamente (x, y 16 - x, respectivamente). La complejidad de ese tipo de situaciones se fue aumentando. Por ejemplo, se les propusieron problemas como el siguiente: ·una persona quiere construir una cerca para un terreno rectangular en el que uno de sus lados está limitado por un arroyo. Sólo cuenta con 100 m de tela de alambre para construir la cerca y quisiera hacerlo de manera que el área del terreno sea lo más grande que se pueda. ¿Puedes programar la calculadora para encontrar las medidas óptimas que debe tener su terrenoj" Los estudiantes fueron capaces de construir expresiones como (100 - A) -;- 2 x A. y explorar con diversos valores de la variable para dar respuesta al problema, lo cual proporciona evidencia de que es factible extender la experiencia con patrones numéricos, al caso de emplear el código algebraico para representar relaciones cuantitativas involucradas en situaciones más complejas. Por último, en el quinto paquete de actividades se abordó de manera específica la inversión de funciones lineales. Esas tareas se orientaron a conducir a los estudiantes en la búsqueda de formas sistemáticas para invertir ese tipo de funciones y a afinar sus nociones sobre el uso de paréntesis. Éste fue un tema dificil y aparentemente no lograron dominarlo. Sin embargo, poco tiempo después mostraron avances importantes. En la última entrevista se les planteó la siguiente situación, que parecía ser muy compleja:"Observa la siguiente lista de números: 5, 9, 13, 17, ... ¿Encontrarás el número 877 si continúas escribiendo números en esa lista?~ Las respuestas de los estudiantes fueron sorprendentes, como la que se comentó anteriormente (Rocío, nivel bajo), y muestran el potencial de la experiencia que obtuvieron usando funciones inversas para encontrar valores especfficos de la variable cuando se daba el valor de la función.

Limitaciones La calidad del aprendizaje que lograron los estudiantes durante este estudio proporciona evidencia empfrica en favor de un acercamiento pragmático para una enseñanza del álgebra que ofrece una veta promisoria para explotar los recursos simbólicos que ofrece la calculadora. Sin embargo, consideramos necesario continuar esta investigación para saber más sobre los alcances y limitaciones de las nociones y estrategias que aplicaron los estudiantes para confrontar la solución de problemas. En particular, se observa la necesidad de afinar esos logros de los estudiantes si queremos que lleguen a ser usuarios competentes del código algebraico como herramienta para expresar y justificar generalizaciones. Una de las limitaciones de este estudio se deriva de su naturaleza cualitativa, lo cual no proporciona elementos para aventurar la generalización de sus resultados. En consecuencia, los resultados de este estudio se deben considerar como una evidencia empírica que documenta un enfoque promisorio para el uso de la calculadora

[nvestigación

en la enseñanza del álgebra. Aunque implícitamente se deriva de este reporte que la intervención del profesor fue un factor importante, debe hacerse explícito que los logros de los estudiantes dependieron en gran medida de la acertada y oportuna intervención del profesor para que extendieran sus posibilidades más allá de lo que las actividades de enseñanza proponen. Para atender las limitaciones que se observaron en el presente estudio, en indagaciones posteriores debieran abordarse las siguientes preguntas de investigación: ¿En qué sentido puede favorecer/obstruir un enfoque pragmático a la enseñanza del álgebra: a) el aprendizaje de reglas algebraicas de manipulación simbólica? b) el aprendizaje de métodos formales para el establecimiento de la equivalencia de funciones? c) un acercamiento formal al concepto de función? d)el uso de gráficas como otra forma de representación de relaciones numéricas? e) que una conjetura sobre relaciones numéricas no puede ser validada con base en lo observado en casos específicos?

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(

la3

Uso de literales para expresar generalizaciones

.

.


Obtener la función inversa de funciones lineales de las formas

.

y=a+x,yy=ax

.

4y5

Temas implícitos

(vea tabla al fin al de la actividad). Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. Reconocimiento de patrones numéricos.

• Obtener la inversa de

. . .

funciones lineales de la forma y= ax + b. Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. Reconocimiento de patrones numéricos. Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis.

35

•

Dedicar una sesión de 50 minutos. En la primera, después de encontrar cuál es el patrón numérico que corresponde a la tabla, se recomienda aprender a introducir la expresión algebraica en la lfnea de edición de la calculadora y cómo editarla con el fin de obtener su valor numérico para diversos valores de la literal. Es importante dedicar un tiempo a un análisis con el grupo a partir de las respuestas dadas por los estudiantes. En ese análisis deben destacarse las distintas respuestas que se hayan presentado, la posibilidad de usar cualquier letra del abecedario para representar una variable a 1 editar expresiones algebraicas en la calculadora, y cómo encontraron las funciones inversas que se requieren para completar las tablas dadas.

• Dedicar una sesión de 50 minutos. Se recomienda poner énfasis en la obtención de las funciones inversas que se requieren para completar las tablas dadas. También se recomienda que el profesor no dé reglas para invertir esas funciones, sino que retome las estrategias de los estudiantes para conducirlos a conclusiones correctas. Se trata de reglas que tienen dos operaciones, por lo que al escribir las reglas que la invierten debe tenerse en cuenta el orden de las operaciones y uso de los paréntesis.


Hojas de trabajo 6y7

Tema explícito

Temas implícitos


• Obtener la inversa de

•

•

. 8a 16

Recomendaciones

1

Uso de expresiones algebraicas para expresar generalizaciones

funciones lineales de la forma y x + b. Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. Reconocimiento de patrones numéricos. Operaciones con números negativos.

• Dedicar una sesión de SO minutos.

En los últimos 10 minutos el profesor puede conducir un análisis con el grupo a partir de las distintas respuestas que se hayan presentado.

=

• Obtener la inversa de funciones lineales de la forma y= ax+ b, con la proporcionalidad fraccionaria. • Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. Reconocimiento de patrones numéricos. Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis.

• Dedicar dos sesiones de SO minutos. Dar tiempo para que los estudiantes aborden las actividades por sí mismos y posteriormente el profesor puede conducir un análisis con el grupo a partir de las respuestas que se hayan dado. Se recomienda prestar especial atención al caso de expresiones algebraicas equivalentes que los estudiantes hayan producido y a las estrategias para invertir funciones.

.

.

17


• Transformación

.

de expresiones algebraicas para obtener expresiones equivalentes a una expresión dada. Uso de paréntesis y jerarquía de las operaciones aritméticas.

.

Dedicar una sesión de SO minutos. En los últimos lS minutos el profesor puede conducir un análisis con el grupo a partir de las respuestas que se hayan dado. Se recomienda prestar especial atención al inicio de la actividad; se sugiere que el profesor ayude a los alumnos que tengan problemas para enfrentar la actividad induciéndolos a explorar las expresiones que quiere comparar usando la retroalimentación que ofrece la calculadora para hacerles ver que hay un patrón numérico que sugiere el tipo de transformación que se pide en la actividad.

Recomendaciones para el trabajo en el aula

Hojas de [ Tema explícito trabajo

18

Equivalencia algebraica

Temas implícitos

• Transformación

. •

19


. •

. 20a22


. •

•

Recomendaciones

• Dedicar una sesión de 50 minutos.

de expresiones algebraicas para obtener expresiones equivalentes a una expresión dada. Uso de paréntesis y jerarquía de las operaciones aritméticas. Introducción a la simplificación de expresiones algebraicas.

Transformación de expresiones algebraicas para obtener expresiones equivalentes a una expresión dada. Uso de paréntesis y jerarquía de las operaciones aritméticas. Introducción a la simplificación de expresiones algebraicas. Transformación de expresiones algebraicas para obtener expresiones equivalentes a una expresión dada. Uso de paréntesis y jerarquía de las operaciones aritméticas. Introducción a la simplificación de expresiones algebraicas.

En los últimos 15 minutos el profesor puede dirigir un análisis con el grupo a partir de las respuestas que se hayan dado. Se recomienda que el profesor induzca a los alumnos a que prueben en la calculadora los programas correspondientes a las expresiones algebraicas que produjeron para verificar sus respuestas, y que les exija que no den respuestas incorrectas porque pueden comprobarlas con ayuda de la calculadora. Aún así se espera que haya estudiantes que cometan errores; eso ocurre en general con quienes aún no saben introducir una expresión algebraica en la calculadora o que aún no han entendido en qué les ayuda hacerlo. Se recomienda enfáticamente que el profesor dé atención especial a esos casos.

•

.

Dedicar una sesión de 50 minutos. En los últimos 15 minutos el profesor puede dirigir un análisis con el grupo a partir de las respuestas que se hayan dado. Se recomienda que el profesor induzca a los estudiantes a que prueben en la calculadora los programas correspondientes a las expresiones algebraicas que produjeron para verificar sus conjeturas, y que les exija que no den respuestas incorrectas porque siempre es posible comprobar sus respuestas con ayuda de la calculadora. Dedicar una sesión de 50 minutos. En los últimos 15 minutos el profesor puede dirigir un análisis con el grupo a partir de las respuestas que se hayan dado. Se recomienda que el profesor induzca a los estudiantes a que prueben, en la calculadora, los programas correspondientes a las expresiones algebraicas que produjeron para verificar sus conjeturas, y que les exija que no den respuestas incorrectas porque siempre es posible comprobar sus respuestas con ayuda de la calculadora.


Hojas.de frabaj9

23 a 31

Temas implícitos

Tema explícito


'

• Producción de

. . . 32 a41

Representación algebraica de relaciones parte-todo.

Recomendaclónes 1

1

.

expresiones algebraicas equivalentes a una expresión dada. Primeras reglas algebraicas para la simplificación y desarrollo de expresiones algebraicas. Reconocimiento de patrones numéricos. Operaciones con números negativos.

Reconocimiento de patrones numéricos generados por funciones lineales decrecientes. Producción de expresiones algebraicas para expresar generalizaciones. • Producción de expresiones algebraicas de la forma AxX para representar relaciones parte-todo. • Operaciones con números negativos. Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. Inversión de funciones de la forma Y= A BX. Uso de funciones lineales decrecientes para plantear y resolver problemas.

.

.

.

.

• Tres sesiones de 50 minutos. En

los 25 minutos de la tercera sesión se sugiere que el profesor dirija un análisis con el grupo sobre las distintas respuestas que se hayan presentado. los estudiantes tienden a producir expresiones equivalentes haciendo transformaciones con los términos numéricos, lo cual está bien. Sin embargo, se recomienda que el profesor los impulse para que también hagan transformaciones descomponiendo los términos que contienen literales, por ejemplo: transformar 4xA como A+A+2xA, 6xA-(A+A).

• Cinco sesiones de 50 minutos. Se

recomienda que en la primera, tercera y quinta sesiones el profesor dirija un análisis con el grupo en los últimos 15 minutos de cada una. Se debe hacer énfasis en las distintas soluciones que obtuvieron los estudiantes, en las dificultades que algunos encontraron y en cómo superarlas a partir de las estrategias de sus propios compañeros (o del profesor si nadie en el grupo pudo superar alguna dificultad), y en la relación entre una función lineal decreciente y su inversa. • Este bloque de actividades presenta uno de los grados de dificultad más altos para los estudiantes. Se recomienda que el profesor ponga especial atención en auxiliar a los estudiantes que tengan problemas, de manera que salgan adelante a partir de su propio razonamiento .



42a 46

Inversión de funciones lineales.

Temas implícitos

• •

. • • 47 a 49


Reconocimiento de patrones numéricos. Producción de expresiones algebraicas para expresar generalizaciones. Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. Inversión de funciones lineales. Jerarquía de las operaciones aritméticas y uso de paréntesis.

• Reconocimiento de

.

•

•

.

patrones numéricos. Representación algebraica del enésimo término de una sucesión. Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones linea les con una incógnita. Encontrar la función inversa de funciones lineales. Jerarquía de las operaciones aritméticas y uso de paréntesis.

Recomendaciones

• Tres sesiones de 50 minutos. Al final de la primera y la tercera sesiones se recomienda que el profesor analice con el grupo las distintas soluciones que presentaron. Se sugiere que el profesor preste especial atención a la revisión de las respuestas de los estudiantes en las hojas de trabajo 44 y 45, y que aproveche al máximo los errores que se hayan cometido. Se recomienda que en todos los casos se exija a los estudiantes que prueben en la calculadora los programas que produjeron, para que verifiquen sus respuestas.

• Dos sesiones. En los últimos 20

.

minutos de la segunda sesión el profesor debe dirigir un análisis con el grupo donde se revisen las distintas soluciones generadas por los estudiantes. Debe hacerse énfasis en la equivalencia de las expresiones algebraicas que los estudiantes produjeron y que argumenten por qué se da tal equivalencia. Es conveniente identificar aquellas estrategias que están apoyadas en las representaciones geométricas, tanto para encontrar la generalización y su expresión como para producir y justificar la construcción de expresiones equivalentes.


Hojas de trabajo SO a 52

Tema explícito

Temas implícitos

Recomendaciones

1

Producción de funciones para plantear y resolver problemas.

• Traducción del lenguaje

natura! al algebraico de relaciones dadas en el contexto de un problema geométrico. • Producción de expresiones algebraicas que generalizan el cálculo del perímetro y el área de rectángulos en el contexto de problemas de medición. Uso de métodos no convencionales para la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. • Obtención de inversas de funciones lineales. Jerarquía de las operaciones aritméticas y uso de paréntesis.

• Tres sesiones de 50 minutos. Se

recomienda que en los últimos 20 minutos de la primera y la tercera sesión, el profesor dirija un análisis con el grupo sobre las distintas soluciones presentadas, las dificultades que hayan encontrado, y las distintas estrategias que los estudiantes hayan empleado para verificar sus respuestas.

. .

53 y54

Producción de funciones para plantear y resolver problemas.

• Reconocimiento de patrones numéricos. • Producción de expresiones algebraicas para representar relaciones numéricas dadas verbalmente en el contexto de un problema. Producción de expresiones algebraicas para representar relaciones que involucran el cálculo de porcentajes en el contexto de un problema. Obtención de inversas de funciones lineales. Jerarquía de las operaciones aritméticas y uso de paréntesis.

.

. .

• Dos sesiones. Se recomienda que en los últimos 15 minutos de ambas sesiones el profesor dirija un análisis con el grupo sobre las distintas soluciones que produjeron, las dificultades que se encontraron, y cómo pudieron superarlas algunos estudiantes.



55y56

Producción de expresiones algebraicas para pla otear y resolver problemas.

Temas implícitos

•

.

•

57 a 61

62 a 69

Producción de expresiones algebraicas para pla otear y resolver problemas.

Función inversa.

. .

. . . •

.

•

Traducción al lenguaje algebraico de relaciones numéricas dadas en el contexto de un problema. Producción de expresiones algebraicas que generalizan el cálculo del perímetro y el área de rectángulos en el contexto de problemas de medición. Uso de métodos no convencionales para la resol u ci6n de ecuaciones lineales con una incógnita. Representación algebraica de propiedades numéricas (números palíndromos, paridad, números consecutivos). Producción de expresiones algebraicas para expresar y justificar conjeturas sobre relaciones numéricas dadas. Encontrar la función inversa de una función dada. Trazo de gráficas con lápiz y papel. Localización de puntos en el plano. Jerarquizaci6n de operaciones. Uso de paréntesis Traducciones entre las representaciones de una función.

Recomendaciones

• Dos sesiones. Se recomienda que en los últimos 15 minutos de ambas sesiones el profesor dirija un análisis con el grupo sobre las distintas soluciones que produjeron, las dificultades que se encontraron, y cómo pudieron superarlas algunos estudiantes.

.

.

Tres sesiones. Se recomienda que en los últimos 15 minutos de cada sesión el profesor dirija un análisis con el grupo sobre las distintas respuestas que obtuvieron; los errores que algunos cometieron; las estrategias que emplearon los alumnos que resolvieron con éxito los problemas, y las estrategias que emplearon para verificar sus respuestas.

En dos sesiones de 50 minutos .

• Es conveniente destinar un tiempo

.

para obtener conclusiones acerca de las distintas representaciones de una función y su inversa; por ejemplo, la simetría entre sus gráficas, la relación entre su dominio y contradominio, los procesos algebraicos para obtener u na ecuación a partir de la otra, etcétera . En la hoja de trabajo 63 se presenta el trabajo con el ambiente gráfico de la calculadora; es recomendable destinar unos minutos para acostumbrarse a su uso.


Hojas.de frabaj9

70

71 a73

74 a82

Tema explícito 1

Ordenada al origen en la recta.

Rango y escala en los ejes cartesianos.

Pendiente de una recta.

Temas implícitos

1

• Una sesión de 30 minutos.

.

•

. .

.

. . .

.. Ajuste de rectas a nubes de puntos en diversos contextos.

.

• Trazo de gráficas con

.

83 a 8S

Recomendaclónes 11

. .

lápiz y papel. Lectura de puntos en el plano. Construcción de rectas a partir de las coordenadas de la ordenada al origen.

Lectura de gráficas con diferentes escalas en los ejes cartesianos. Cortes de rectas en los ejes cartesianos.

Visualización de rectas con distinta inclinación. Nociones de crecimiento y decrecimiento de una gráfica. Noción de pendiente de una recta. Pendiente positiva, negativa y con valor cero. Lectura de gráficas . Construcción de rectas a partir de distinta información (dos puntos dados, la pendiente).

Lectura de puntos en el plano. Construcción de gráficas a partir de una serie de datos, Lectura e interpretación de gráficas en el plano. • Gráficas de funciones definidas a trozos. • Noción de regresión lineal. • Análisis y modelación de situaciones mediante funciones lineales.

.

Se recomienda destinar unos minutos para analizar en grupo las distintas soluciones que produjeron los estudiantes, las dificultades que se encontraron y cómo pudieron superarlas algunos. Una sesión de SO minutos.

• Dedicar un tiempo al uso de las

.

herramientas de la calculadora que permiten modificar el rango y escala de los ejes cartesianos. Comentar en grupo acerca de los efectos en las gráficas desplegadas y su importancia al modificar el rango y la escala de los ejes cartesianos.

• Una sesión de SO minutos.

• Destinar tiempo para revisar las

diferentes respuestas del grupo y formalizar conceptos como el de pendiente de una recta y sus posibles valores.

•

Dos sesiones de SO minutos.

• Destinar un tiempo para la revisión

.

de las distintas respuestas de los estudiantes y comentar acerca de las dificultades enfrentadas. Comentar acerca de los contenidos matemáticos involucrados en la actividad y su relación con una regresión lineal.



86 a 89

Vértice de la parábola.

l

Temas implícitos

• Lectura y ubicación •

. •

90a 92

Coeficiente del término cuadrático de una función cuadrática.

• Reflexión de la

•

• • 93a106

Ajuste de parábolas y rectas a conjuntos de puntos en diversos contextos.

de puntos en el plano. Crecimiento y decrecimiento de gráficas. Lectura e interpretación de representaciones de una función cuadrática. Construcción de parábolas a partir de su vértice. parábola con respecto al eje de las X. Efectos del coeficiente del término cuadrático de una función cuadrática en el crecimiento o decrecimiento de la parábola, cuando es uno, positivo, negativo, mayor y menor que l. Visualización de gráficas en el plano. Relaciones entre las representaciones de una función.

• Lectura y ubicación

. . .

• •

de puntos en el plano. Construcción de gráficas a partir de una serie de datos, Lectura e interpretación de gráficas en el plano. Gráficas de funciones definidas a pasos. Noción de regresión cuadrática. Análisis y modelación de situaciones mediante funciones cuadráticas.

Recomendaciones

.•

Dos sesiones de 50 minutos . Es conveniente destinar un tiempo para revisar las respuestas de los estudiantes, las dificultades enfrentadas y cómo las resolvieron. • Comentar acerca de los contenidos matemáticos involucrados en las actividades y su relación con la función cuadrática.


• Se recomienda destinar unos minutos para analizar en grupo las distintas soluciones que produjeron los estudiantes, las dificultades que se encontraron, y cómo pudieron superarlas algunos.

.•

Cinco sesiones de 50 minutos . Se recomienda destinar unos minutos al final de la primera, tercera y quinta sesión para analizar en grupo las distintas soluciones que produjeron los estudiantes, las dificultades que se encontraron y cómo pudieron superarlas algunos .


L~~~~j~eJ 107y108

109y 110

'remaexplícito Cuadrado de un binomio y factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Binomios conjugados y factorización de diferencia de cuadrados.

·'Temasimplícit os

1

• Multiplicación

.

algebraica. Términos semejantes. • Expresiones equivalentes. • Construcción de gráficas. Visualización y lectura de gráficas. Cruces de gráficas con el eje de las X. • Relación entre las representaciones de una función.

. .

Dedicar tiempo para revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron.

Multiplicación algebraica. Términos semejantes. Expresiones equivalentes. Construcción de gráficas. Visualización y lectura de gráficas. Cruces de gráficas con el eje de las X. Relación entre las representaciones de una función.

.•

Una sesión de 50 minutos. Dedicar tiempo para revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron.

Multiplicación algebraica. Términos semejantes. Expresiones equivalentes. Construcción de gráficas. Visualización y lectura de gráficas. • Cruces de gráficas con el eje de las X. Relación entre las representaciones de una función.

•

.

Una sesión de 50 minutos. Dedicar tiempo para revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron

•

.

• •

Binomios con un término en común y factorización de trinomios de la forma x2 + (m+n) x+mn

.

• En una sesión de 50 minutos.

. .

•

llly 112

1 1~~

. . • . .

.



113 a llS

Factorización factor común.

l

Temas implícitos

• Multiplicación

.• . . . •

116a118

Resolución gráfica de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• •

. . •

. 119a122

Resolución gráfica de ecuaciones de segundo grado.

. . . . •

•

algebraica. Términos semejantes. Expresiones equivalentes. Construcción de gráficas. Visualización y lectura de gráficas. Cruces de gráficas con el eje de las X Relación entre las representaciones de una función. Construcción de gráficas. Visualización y lectura de gráficas. Cruce de gráficas con el eje X. Lectura y ubicación de puntos en el plano. Procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones de primer grado. Relación entra las representaciones de una función. Construcción de gráficas. Visualización y lectura de gráficas. Cruce de gráficas con el eje X. Lectura y ubicación de puntos en el plano. Procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones de segundo grado. Relación entra las representaciones de una función.

Recomendaciones

.•

Dos sesiones de SO minutos . Dedicar tiempo para revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron • En la última sesión el profesor puede utilizar 2S minutos para realizar una recapitulación de las actividades de todo el bloque.

.

• En dos sesiones de SO minutos .

..

Se recomienda que en la segunda sesión el profesor realice un breve análisis acerca de las diferentes respuestas, dificultades y formas de resolverlas.

En dos sesiones de SO minutos . Se recomienda un intercambio de ideas en unos 2S minutos para conocer las diferentes respuestas, dificultades y estrategias para superarlas.


L~~~~j~eJ 123y 124

'remaexplícito Dominio y contradomin io de la función raíz cuadrada.


1

• Visualización

.

1 1~~ .


de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. • Construcción de gráficas. Intervalos para expresar el dominio y contradominio de una función. • Raíz cuadrada . Números reales y complejos.

Dedicar tiempo para revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron. • Es conveniente reflexionar acerca de los contenidos matemáticos involucrados en las actividades.

Traslaciones vertical y horizontal. Reflexión. • Relaciones entre las representaciones de una función. Visualización de gráficas. Dominio y contradominio de una función.

.•

.

. 125a129

130y131

Transformaciones en el plano de gráficas de la función raíz cuadrada.

Va lores críticos en el semicírculo.

. .

de los estudiantes, así como sus diferentes estrategias.

. . .

•

. . . .

.

Visualización de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Construcción de gráficas. Crecimiento y decrecimiento de gráficas. Valores máximo y mínimo de una función. Dominio y contradominio en el semicírculo. Raíz cuadrada .

Dos sesiones de 50 minutos.

Es recomendable dedicar tiempo para revisar las respuestas y dificultades

.

Una sesión de 50 minutos.

• Es conveniente dedicar tiempo para

.

revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron. Se recomienda reflexionar acerca de los contenidos matemáticos involucrados en las actividades.


Hojas de trabajo

132a138

[

Tema explícito

Transformaciones en el plano de gráficas del semicírculo.

l

Temas implícitos

• Efectos de los

. .. . •

139, 140 y145

Discontinuidad y asíntotas en funciones racionales.

• •

. . •

141a144

Transformaciones en el plano de gráficas de funciones racionales.

. . . . .• .

. .

coeficientes, la semielipse. Traslaciones vertical y horizontal. Reflexión. Relaciones entre las representaciones de una función. Visualización de gráficas. Dominio y contradominio de una función. Visualización de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Construcción de gráficas. Identificación de discontinuidades en gráficas. Reconocimiento de asíntotas vertical y horizontal. Dominio y contradominio en funciones racionales. División por cero . Efectos de los coeficientes. Traslaciones vertical y horizontal. Reflexión. Relaciones entre las representaciones de una función. Visualización de gráficas. Dominio y contradominio de una función. Transformaciones de expresiones algebraicas fraccionarias.

Recomendaciones

.•

Dos sesiones de 50 minutos . Es recomendable dedicar tiempo para revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, así como sus diferentes estrategias.

.


Es conveniente dedicar tiempo para revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron . • Se recomienda reflexionar acerca de los contenidos matemáticos involucrados en las actividades.

.

Dos sesiones de 50 minutos .

• Es recomendable dedicar tiempo para revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, así como sus diferentes estrategias.


L~~~~j~eJ 14S-146

147 a lSl

lSl

'remaexplícito


1

Valor absoluto en funciones lineales y cuadráticas.

• Visualización

Transformaciones en el plano de gráficas de funciones lineales a las que se les aplicó valor absoluto.

• Efectos de los

Valor absoluto en funciones cuadráticas.

. . ..

. .

coeficientes. Traslaciones vertical y horizontal. Reflexión con respecto al eje cartesiano horizontal. • Relaciones entre las representaciones de una función.

.

•

.

.• . 1S2-1S3

Funciones periódicas: función seno. Amplitud en la función seno.

de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Construcción de gráficas. Valor absoluto . Dominio y contradominio en funciones a las que se les aplicó valor absoluto.

.

Visualización de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Construcción de gráficas. Valor absoluto. Dominio y contradominio en funciones a las que se les aplicó valor absoluto. Transformaciones de expresiones algebraicas de segundo grado.

Visualización de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Cruces con el eje de las X. Construcción de gráficas. • Periodo de la función seno. • Dominio y contradominio.

. .

.

1 1~~ .

• Una sesión de SO minutos. Es conveniente dedicar tiempo para revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron . • Se recomienda reflexionar acerca de los contenidos matemáticos involucrados en las actividades.

.•

Dos sesiones de SO minutos .

Es recomendable dedicar tiempo para

revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, asl como sus diferentes estrategias.

•

Una sesión de SO minutos.

.

revisar las diferentes respuestas de los estudiantes, sus dificultades y cómo las superaron. Se recomienda reflexionar acerca de los contenidos matemáticos involucrados en las actividades.

• Es conveniente dedicar tiempo para

..

Una sesión de 2S minutos. Es recomendable dedicar tiempo para revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, asl como sus diferentes estrategias.


Hojas de trabajo

154

[

Temas implícitos

Tema explícito

Frecuencia en la función seno.

• • •

. •

155

Simetría en la función seno.

. • • •

156

157

Reflexión de la gráfica de la función coseno.

Función coseno.

. . . . . . . .

Visualización de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Construcción de gráficas. Amplitud de la gráfica de la función seno. Dominio y contradominio. Visualización de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Cruces con el eje de las X. Construcción de gráficas. Frecuencia de la función. Dominio y contradominio. Efecto del coeficiente negativo en la función seno. Visualización de gráficas. Lectura e interpretación de gráficas. Cruces con el eje de las X Construcción de gráficas. Dominio y contradom inio.

• Propiedades de la

.

función periódica coseno: amplitud, frecuencia y simetría. Reflexión.

Recomendaciones

.


..

•

Es recomendable dedicar tiempo para revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, así como sus diferentes estrategias .

Una sesión de 25 minutos. Es recomendable dedicar tiempo para revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, así como sus diferentes estrategias.

Una sesión de 25 minutos.

• Es recomendable dedicar tiempo para revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, así como sus diferentes estrategias.

..

Una sesión de 30 minutos. Revisar las respuestas y dificultades de los estudiantes, analizando las similitudes y diferencias entre las funciones seno y coseno .

(

Aaualmente ya no está en discusión la pertinencia del uso de calculadoras y computadoras para apoyar la enseñanza y el aprendizaje en las clases de matemáticas; antes bien, lo que procede hoy en dla es el desarrollo de proyectos que coadyuven a potencializar el uso de la tecnologfa. En un principio las calculadoras aritméticas se incorporaron a las clases de matemáticas; les siguieron las calculadoras cientfficas, después las calculadoras con capacidad gráfica, y por último las que tienen instalado un sistema algebraico computarizado (SAC). En un SAC se dispone de un ambiente para producir y manipular gráficas de funciones, y ofrece poderosos recursos para realizartodo tipo de operaciones numéricas y algebraicas.Estos tres aspectos son de suma importancia por su utilidad en el trabajo con los números, las ecuaciones y las funciones. Los SAC brindan también la posibilidad de almacenar y procesar una gran cantidad de datos a través de tablas, gráficasy ecuaciones, haciendo aún más asequibles los conceptos y procedimientos involucrados en el tratamiento de las funciones. Una caracterfstica relevante de los SAC es que la sintaxis y semántica que rigen su escritura son las que se emplean de manera convencional en matemáticas, lo cual permite al usuario introducirse de manera natural en el uso formal de los códigos aritmético y algebraico. Si el usuario no respeta la sintaxis matemática formal, el sistema emitirá el mensaje "error de síntaxts; En la actualidad es frecuente encontrar instalado un SAC en dispositivos portátiles como calculadoras,tabletas y los Smatt phone, asf como en todo tipo de computadoras. Esto permite que el usuario lo emplee como un instrumento para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Es preciso destacar que no sólo es importante la posibilidad de disponer de una calculadora con estas caracterfsticas,sino que su disponibilidad es relevante por las ventajas que brindan estos recursos tecnológtos como mediadores en la adquisición del conocimiento matemático. A guisa de ejemplo, vea la sección Investigación que se incluye en este volumen. En este manual básico se abordan sólo aquellos aspectos del funcionamiento de un SAC que están directamente relacionados con las actividades de aprendizaje que se presentan en este texto. Si bien hay variantes entre las diferentes versiones de un SAC, su lógica es similar, lo cual hace plausible tomar como base las descripáones que se muestran a continuación.

51


Pantalla inicial (HOME) En un SAC la pantalla inicial (Home) está constituida por tres secciones: (1) La sección superior muestra una "barra de aplicaciones"; (2) en la sección intermedia se imprimen las operaciones que el usuario va realizando (Historial), y (3) la sección inferior es la línea de edición, en la cual se muestran las operaciones o instrucciones que introduce el usuario; Al oprimir la tecla ENTER esas operaciones o instrucciones se imprimen en la pantalla 'Histortal'; lo cual se muestra abajo; es posible navegar entre las operaciones impresas en el historial, recuperarlas y reeditarlas de ser necesario.

•S·a+9=7·a-2 • (5 ·a+ 9 7 ·a - 2) - 9 - 7 ·a • -2·a= -11

=

MJl!H

S·a + 9 = 7·a-2 ·2·a= -11

íUN( Íl}O

GklJAUf'D

Figura 1 En la línea de edición se escriben las expresiones matemáticas de entrada; una vez que se oprime la tecla ENTER esas expresiones pasan a formar parte del historial con su respectivo resultado (salida). En la figura anterior es posible distinguir entre las expresiones de entrada y de salida; las de la izquierda son las expresiones de entrada y las de la derecha son las de salida.

MODE Es posible modificar la configuración inicial de la calculadora en MODE, el cual dispone de tres páginas (asociadas a las teclas Fl, F2 y F3) que incluyen los diferentes rasgos posibles de reconfigurar. HODD

MOD-0

[pd~ t !PÓ~ 2fPd~ 3]

Gról' ..••••.••.•.•. Carpeta Actual •••• Mostrar Dígitos ••• k!gulo ••••••••••••

ForMato Exponenc •.

T

ForM•to CoMpleJo •• ForMato Vector ..•• Escritura MateMót.

(Enter=GDAR)

CESC=CAHCEL)

Figura 2

Figura 3 HOOD

(Ente.-=GOAR) use • 'I + Plllti lltllk

ª"(IOM(S

Figura 4

Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)

A continuación se muestran las opciones de algunos rasgos posibles de configurar que es útil considerar para las actividades del texto. Resultados numéricos en forma automática, exacta y aproximada.

Punto flotante

y punto fijo.

MODO

OtFIJ 12 E:FLOTANTE F: FLOT 1 G•FLOT 2 H:FLOT 3 I:FLOT 4 :FLOT:;

Figura 5

Figura 6

Tipo de gráfica.

Unidad de medida de ángulos. HDOD ft

Pó

r: rl 1 Póg 2Pó9 3

Gróf' ••••••••••••••

FUNClóN+

-1'~~

For"Mal.o

RECTANGULAR+ OH+

Car"peta Actual •••• r1aín+ Mostrar Ot9itos •.• FLOT 6+ Ángulo •••••••••••• ForMaLo Exponenc. .. !!!!!!!!! For"l'lal.o COMplejo •• l!'!olfl"lll """' Uector ••••

• Eaerítura HateMót. (Enter=90AR) PIJlSC

Figura 7

(ESC=CANCEL)

a US-C ++u • C(Nl[U::OK y ([S():(llN([l

Figura 8

Ambiente numérico Este ambiente de trabajo es muy útil para el desarrollo de las actividades de los primeros seis bloques del texto. La familiaridad con los números, sus operaciones y propiedades es esencial para introducirse al estudio del álgebra, y en este ambiente del SAC es posible recrear estos aspectos. En las hojas de trabajo de estos bloques es necesario construir generalizaciones de las relaciones entre los valores de entrada y salida de tablas, y a partir del trabajo numérico con los datos de estas tablas es posible identificar regularidades que están expresadas a través del código simbólico. Valor exacto y aproximado Un SAC puede producir los resultados de cálculos numéricos en forma exacta o aproximada. Cuando está configurado para producir resultados exactos, el valor numérico que despliega el SAC al efectuar una operación numérica corresponde al tipo de número que resulta sin acudir a la expresión decimal. Por ejemplo, las operaciones 34 7 2 y raíz cuadrada de 361, producen un valor entero; el cociente 8/6 produce 4/3 que es su forma simplificada; y el resultado de la raíz cuadrada de 24 es un número irracional que simplificado es 2{6.

•


• 341'2

17 19 41'3

• .f36I • 81'6

·m

2·J6 GRr.llU1'1t

ruNc

"'}º

Figura 9 Cuando el SAC está configurado para producir valores aproximados, los resultados de los cálculos numéricos se expresan en forma decimal; incluso las cantidades enteras se despliegan con un punto decimal.

• 341'2

17• 19. 1.33333 4.89898

• .f36I • 81'6

•.124

.....

OtG.,,klllC

íUNC "1/lO.

Figura 10

Operaciones concatenadas En un SAC es posible escribir cadenas de operaciones en una sola línea. La ejecución de las operaciones concatenadas se apega a la jerarquía de las operaciones aritméticas.

56 KIUN

Gtl) lllUfD

íUNC 1/l-0

Figura 11 8 uso de los paréntesis como signos de agrupación se emplea para modificar el orden en que se ejecutan las operaciones, lo cual es posible constatar al obtener el resultado correspondiente.

•5·4+181'2-.J34+4·32 • 5·(4;

18)

E4+(4·3)2

~iRQl:ftt.ORllfiHP,f»A Figura 12

56 199


La resta y el signo negativo En el SAC los signos están diferenciados para indicar la operación de resta y para denotar a un número como negativo.

•8·a-13·a+5·a-a

•8·.a-

-13·a+5·•-

-.a 27·.a

-a

1:pw•ngsuww Figura 13

Esta diferenciación se hace evidente en casos donde se desea usar el signo negativo para efectuar una resta; en situaciones como ésa, el SAC lo interpreta como un producto; pero si se usa el signo de la resta para indicar que un número es negativo, el SAC lo identifica como un error de sintaxis.

Sintaxis ( ESC=CAHCEL) • 13· -5

ilC&1 M.íllN

(9)(:6) íUNC 1/ÍO

GAO. 8UJD

MIUN

Figura 14

GAO. 8UJD

ruNC &tío

Figura 15

Potencias 8 cálculo de potencias respeta las leyes de los exponentes y acepta diferentes tipos de números tanto en la base como en el exponente. Para escribir el exponente se utiliza un sfmbolo especial que tiene forma de un acento circunflejo o de una "v"invertida .

• 57 • 51.5.5.5

78125 25.

•(51.5)2

125.

53/4 • 51/4 Ml\JN

G.ltD 81.110

fUNC .. 1)0

Figura 16 Operaciones con fracciones Los cálculos con fracciones comunes son posibles cuando el SAC está configurado para ofrecer resultados exactos. La lfnea de fracción se despliega en el Historial aun cuando el cociente se indique con una diagonal/ en la lfnea de edición.

•


l/96 •J9/45 MAJN

GRIH1U1'1t

ruNc "ll-O

Figura 17 Función anst) La tecla ans() permite recuperar el último resultado que obtuvo el SAC y operar con él, sin importar que se trate de un valor numérico o de una expresión algebraica; para aplicar la función ·ans()" basta escribir al inicio de la linea de edición la operación a realizar,y enseguida el operando o más operaciones y operandos; también es posible escribir directamente ans(l ).

•3

3 5 9 17 33 65 129

•3·2-1 •5·2-1 •9·2-1 •17·2-1 •33·2-1 •65·2-1

!l1lllH:tlll M:llJN O(GlllUlll

ruMc 11io

• .,3

,.3

• ª3 + ª3 •2·a3+a3 •3·a3+a3

2·a3 3·a3 4·a3

•4·a3+a3

5·a3

!l1lll~"WCI MAJN

DCG AUfD

Figura 18

ruMC Stl-0

Figura 19

En el caso que se desee recuperar un resultado que no sea el último que obtuvo el SAC, basta cambiar el valor del paréntesis de ans(), el cual corresponde al número de linea del historial, numerando las líneas de abajo hacia arriba.

• ª3 • ª3

ª3

• ª3 + ª3

2·a3

• ª3 + a3 •2·a3+a3

•2·a3+a3

3·a3 4.,.3

•3·a3+a3 • 3.,.3

•3·a3+a3

ans(2) MJUN

ocG AUlD

Figura 20

ruNc ..1io

!l1lltl2 M.IUH

ª3 2·a3 3.,.3 4.,.3 3·a3 OCG AUfD

ruN( SIÍO

Figura 21

Ambiente simbólico La propuesta didáctica para el estudio del álgebra del presente texto está centrada en el uso del ambiente simbólico del SAC. La escritura de "programas· (expresiones


algebraicas) para expresar generalizaciones y el cálculo de su valor numérico para comprobarlas, son las constantes en las actividades de los primeros seis bloques. Por otro lado, en la medida que se van reconociendo las reglas algebraicas, la capacidad de manipulación simbólica del SAC resulta de gran utilidad.

Valor numérico de expresionesalgebraicas El cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas puede hacerse escribiendo la expresión en la línea de edición, enseguida una barra vertical (1), se lee "tal que·, la cual se encuentra como segunda función en el teclado del SAC y a continuación la variable seguida del signo igual (=) y los valores asignados a dicha variable separados por comas y encerrados entre "llaves: como se muestra en las siguientes figuras. Una vez ejecutada la acción, el SAC despliega en el Historial los valores de salida que se obtienen para cada valor de entrada que se haya escrito entre 'llaves" En el caso de que la fórmula tenga más de una variable pueden agregarse dichas variables utilizando la conjunción "ard:

•3·x2Jx=

<7

5

·4

-un

(147

•a• 75

8f!RAtQiAMMl 1Qf:UNC 1/ÍO MíUN G.ltl.t AUfD

48

390)

b Ja=

(1

a+bla={i,2,3}

H:íUN

Figura 22

2 OCG AUfD

3) and b = C6 5 4) (7 7 7)

and b={6,5,4} f:UNC 1/lO

Figura 23

Las actividades de los seis primeros bloques del texto están elaboradas para que se realicen en el ambiente simbólico del SAC, y en las cuales es necesario completar tablas y escribir los "programas· que corresponden a dichas tablas. Un programa es una expresión algebraica cuyos valores asignados a las literales de dichas expresiones y sus resultados correspondientes equivalen a los valores de entrada y salida de las tablas. La siguiente tabla aparece en la hoja de trabajo 1 del bloque 1; a la derecha se ilustra su programa (a+ 4) escrito en el SAC con los respectivos valores de entrada y de salida.

--,1 .....-

• l

O' fr.

-

rt

1-; •

,1.-f~~Tf~

1

5

2

6

3

7

4

8

5

9

•


•a+ 4Ia~<1 MAJN

2

3

5> (5 6

4

GlO AUfll

7

B

9)

ruM( 1-IÍO

Figura 24

Manipulación simbólica Recurso esencial de un SAC es su capacidad de manipulación simbólica. En una gran cantidad de expresiones de entrada hay una salida que es el resultado de una operación o transformación, la cual se efectúa de acuerdo con las reglas algebraicas convencionales. Desde la perspectiva educativa, este recurso brinda oportunidades didácticas para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

rJ•

r"'I•

ts

,,.

ale Ot.ros ESPr9M Borr •(3·x + 9)2 •(4·x + 19)·(6·x + 16)

9·(x + 3)2 4·(2·x + 5)·(3 ·X+ 8)

• 12·x2 + 9·y2 -7·x2 144·M4.n6

•

P'l·n8

5·x2+9·y2 144 ·M3

ilGtttiWittiW#f ,iQ,W:ll

M:l\JN

GJ:O flUlll

íUNC ../}O

n2

• ( 4. b3)5 o

M5.,..2.5.,..6.5

a2-14·a+49 a-4 • a·(a + b +c.); a·a + a·b + a·c.

.. - !El

0

true

f#fQ.UWUUQ,iiif4 M.(IJN

OCG AUJD

fUNC .. /}O

Figura 26

Figura 25 Comandos algebraicos

Los comandos algebraicos permiten realizar transformaciones algebraicas y resolver ecuaciones entre otras acciones. El comando solveO resuelve ecuaciones con respecto a la incógnita que se indique; factorO efectúa la factorización de expresiones algebraicas, y expandt) las desarrolla.

ÍScWU1.¡4,1 11a;a.14wc • faet.or(x4 - 4·x3 - x2 + 16·x-

MJIJN

Figura 27

O(G Auro

Figura 28

12) (x - 14.jx + 2)

fUMC 11}0


• expana{(a + b + c)2) a2 + 2·a·b + 2·a·c.

[4!4E$i.I,[DQ1Qlf»Jl MJUN

O!G AUlD

+b2 +2·b·c ru..ic

+ c2

1"}0

Figura 29

Producción de gráficas de funciones y nubes de puntos En el bloque 7 del texto se inicia con el trabajo de las gráficas de funciones; los bloques 7 a 16 tienen como herramienta principal el ambiente gráfico de un SAC, el cual dispone de recursos para introducir una ecuación, desplegar y explorar gráficas ytablas,asr como la posibilidad de introducir conjuntos de datos que se pueden manipular (por ejemplo operar entre ellos, realizar diversos tipos de regresiones, etcétera) y utilizar para desplegar"nubes de puntos" A continuación se ilustran estas opciones del SAC. Editor de funciones En este editor es posible introducir funciones para que con esa información el SAC construya las gráficas correspondientes. Se pueden ingresar decenas de funciones y recorrerlas una a una si se desea modificarlas o borrarlas. Para editarlas es necesario utilizar la letra x como variable independiente. En caso de usar otra literal debe definirse mediante la asignación de uno o más valores numéricos, pudiendo emplearse la barra vertical (1), cuyo uso se describe en el apartado 'Valor numérico de expresiones algebraicas; de la sección anterior.

Figura 30

Figura 31

En la parte superior de la pantalla del editor de gráficas hay herramientas para diversas acciones. Por ejemplo, la asociada a la tecla F4 (una "palomita") permite activar o desactivar una función para que su gráfica se despliegue o no; la asociada a la tecla F6 (Estilo) define el trazo de la gráfica (gruesa, a puntos, fina, etcétera). Gráficas En la pantalla para gráficas se despliega el plano cartesiano, y el origen está centrado automáticamente. Las gráficas se despliegan en el orden en que se editaron las funciones que las originan. Es posible navegar de una gráfica a otra utilizando la tecla del cursor.

•


Figura 32 En la parte superior de la pantalla hay herramientas para hacer diversas acciones con las gráficas. Por ejemplo, la que está asociada a la tecla F4 (Redib) permite reiniciar la pantalla y observar la reconstrucción de cada una de las gráficas; en el caso de la tecla FS (Mat), hay opciones para determinar los cruces entre dos gráficas, rectas tangentes en un punto dado, etcétera. Trace (Traza) Esta herramienta asociada con la tecla F3 (Traza) permite recorrer las gráficas y desplegar las coordenadas de los puntos por los que pasa. En el caso de más de una gráfica, es posible cambiar de una gráfica a otra con la tecla de cursor y recorrer la que se haya seleccionado.

Figura 33 Al recorrer la gráfica no siempre es posible ubicarse en un punto deseado; para ello es recesario escribir el valor elegido para xy opimir ENTER, con lo cual el cursor se posiciona en el punto requerido. Por ejemplo, al recorrer la gráfica de la función raíz cuadrada e introducir el número 9 y accionar ENTER, el cursor se posiciona en el punto (9, 3).

Figura 34

Figura 35


Zoom El zoom realiza acercamientos yalejamientosen el plano cartesiano, y está asociado a la tecla F2. Hay zoom predeterminados y otros que pueden ajustarse de acuerdo con las necesidades específicas, lo cual permite hacer exploraciones locales y globales de las gráficas. Por ejemplo, en la siguiente imagen aparecen las gráficas del rubro anterior, con un acercamiento hecho con la herramienta Zoom.

.......

New Cenlier'? xc.:0.

Figura 36

Figura 37

Figura 38 Las siguientes imágenes muestran el uso del zoom predeterminado,6: ZoomEstd, y el rango y escala de los ejes cartesianos que le corresponden.

Figura 39

Figura 40 XMln

Xfl'laX¡¡¡

•

xscl;;;1. \IMin= -1(').

Yl'lax=10. 11scl=I. xrer.=2.

M:AtN

O[GlllUlll

ruMc

Figura 41

•


A continuación se ilustra 4: ZoomDec y sus correspondientes ejes cartesianos.

Figura 42

rango y escala en los

Figura 43

><.P'ln XMax;

•

"

l=t , Yl'lin=-5.1 yJ
1,1scl=t. xr-es=2.

OCGAura

íUNC

Figura 44 En el bloque 16 (funciones, seno y coseno) se recomienda usar "ZoomTrig~ Por ejemplo, al construir la gráfica de y= sin(x)con el plano cartesiano ajustado con 6: ZoomEstd, la vista de la gráfica es como se ilustra a continuación. 1 :""IO FZ•

•~

O{GAUfD

MJllN

Figura 45

r)

r-.

rS•

Zoor1 Trace Regraph Ma\.h

fUNC

Figura 46

Por otro lado, al utilizar 7: ZoomTrig, el rango y la escala de los ejes cartesianos se ajustan según los requerimientos propios de estas funciones.

MIUN

Figura 47

ot Aura

Figura 48

'""


Para ubicar el punto de intersección es necesario indicar primero el extremo inferior (antesdel cruce de las gráficas)y enseguida el extremo superior (después del cruce).

2

. .....

......

lE:d Inf?. xcr -2. 7 ..

lE~~Sup?. XC• .9 . ,

M:l\JN

M.IUH

Figura 55

Figura 56

ruNC tU} O

Con la información definida, el SAC está en posibilidad de ubicar y desplegar el punto de intersección entre las dos gráficas.

. . .

.

..

lnt.ersec.c.ión. xcr -2. . MIUN

Figura 57

Window 8 bloque 8, dedicado al estudio de la función lineal, incluye hojas de trabajo que acuden a la herramienta "Window" del SAC para abordar el estudio del rango y escala de los ejes cartesianosy su impacto en la visualización de las gráficas. En "Window· es posible personalizar el rango y la escala de los ejes cartesianos. Por ejemplo, en la imagen de la izquierda, dentro de "Window: aparecen los valores para el rango del eje X (xmin=-1 O; xmax= 10) y del eje Y (ymin=-1 O; ymax= 1 O), así como también la escala de cada eje (xscl=l y yscl=l), los cuales se pueden editar directamente. El parámetro xres=2 corresponde a la resolución con la que se construirá la gráfica. En la imagen de la derecha aparece el plano cartesiano correspondiente a estos valores de Window.

XMlO x.Piax• ·• xsc l=t , o,jMin= -!() •

.,..,ax=l011scl=L xres=2.

O(G AUfD:

Figura 58

ru..ic

Figura 59


El cambio de valores en el rango y la escala produce otra vista de las gráficas anteriores.

~·~rz¡;MJ xrun• ~ . xMax•5. xscl=.5 Yl'lin= -4. Yl'lax=4. ysei=.L._ xres.:fd!!I

ruNC

MIUH

Gkft8"kO:lC

M:i\JN

íUNC

Figura 61

Figura 60

Tablas de funciones El SAC ofrece la posibilidad de mostrar las tablas que al igual que las gráficas corresponden a las funciones introducidas. En ellas es posible recorrer los renglones y explorar los diferentes valores para xy y. La herramienta asociada a la tecla F2 (Config), en la parte superior de la pantalla, permite modificar el valor de inicio de la tabla, el incremento de un renglón a otro, e incluso introducir en forma directa un valor parax.

1:·~1 1Conf19 rz,. ,v· ·l ~r····-(· , ' éiJ·.;.r,·¡ ''·'' ,J l • ~o" ·.ke:.:•. , 1:c· lu! '" s. e. e. 1r.

1'.1

1

j· ~ 1

ü

~1s:luPI::;:'1 t T¡¡,.~'.~,., Lt

1~1

!U-,

i ,

!.

2. e,

2. o,

4,

4,

s.

6.

7.

.....

s.

6.

7.

x-0.

!.

4.

..,

re.

25. 36. Q~

i, l. 4142 !. r

., .

2.2361

2.449:

2.~a~w•

GtD AUfO:

1 t.b 1 St.al"t. ••••••• ·•1 .. t.bl ••••••••••• 1 Gl"aph <-> Table OFF+ Independent. •••• AUTO~ (Enl:!l"ªSAUE) (s~=~AHC~L) ". OL

t'lt( •

íUNC

l

TfttlC [TUI'

x-0.

Figura 62

l ,,, r~-:;;.·· Ir.·t ¡.-., •.•I

•

.

CCNTUÓ:OK IUtD CCS-{J.:CtN([l

Figura 63

Editor de datos y su gráfica El texto incluye actividades, principalmente en los bloques 8 y 9, que requieren el conocimiento de esta herramienta del SAC, ya que solicitan la construcción de puntos en el plano. El SAC permite la introducción de datos en el Editor de datos, el cual es una versión de hoja de cálculo. Para ingresar a este editor es necesario activar las aplicaciones y seleccionar la que corresponda al caso. rG• +APPS Cl ean Up

MlllN

Figura 64

C((1

Flttf(I

ílJNC 0:/30

•


Una vez seleccionada la aplicación Editor de datos, aparecen las opciones de crear una nueva hoja de datos, abrir una existente, o utilizar la última que se haya editado. Al elegir 3: New ... debe introducirse un nombre para identificarla.

1: F lasl'lflpps ... +APPS 2:v= Editor" 3:1.1indow Editor 4: Graph 5:TablP

íUNC

O!GilJJlt

ttl-0

MJUM

Figura 65

OtG IUfD

íUNC

Rgura 66

Después de crear la hoja de datos debe introducirse la información que corresponda a cada celda. Por ejemplo, en las siguientes imágenes se muestra el editor vado y a su derecha con diez datos introducidos, cinco en la columna uno (c1) y otros tantos para la columna dos (c2).

l~•1'~.. !f1Plot "Setup,J" " .r,Cale rs 1.r·1 Cel l.!1Header ti 11"51.at..] º"'" IGl lr-4 Ir." "~

ffl~I "I f> .1 " l rs T.!•• I F1 l I• ~1Plot. Set.up1Cel llHeader1CalcRJt.i llSt.at.1

2 3 4 5 6 7

2 3 4

1

1

1

"-"

1

~7

~l¡--~+7,.._~-1-~~+-~-+~~~

~2¡--~+4r--~-+-~~t-~-+~~~ ~~;--~+b;o.-~-+-~~t-~-+~~~

~4!--~+K!':-~-1-~~t-~-j.~~~

cs==:::::J•1ª .. 11:==:::::::i====r::==::::i

r1c1-

1•6c2-

Figura 67

Rgura 68

M'k '"""

En la parte superior de la hoja de datos hay una serie de herramientas como las asociadas a la tecla F6 que permiten manipular las celdas, columnas y renglones de la tabla.

1

2 3 4 5 6 7 n,c 011 US[ •tu.

l[.N1'[kl:IU( ANl'J ((S(lt(Aftil([l

Figura 69 En el caso de la herramienta Plot Setup,asociada con la tecla F2, se permite configurar el SAC para desplegar gráficamente los datos introducidos. Primero debe seleccionarse un Plot (hay nueve), y enseguida la opción Define (Fl ).


F.'

l

fJ

1 2 3 4 5 6 7

• t.l

P'Htin\4ct•s1

" ,{¡Copy ,. .11C 1 ear.J"" º" [o,etine

~rnt ~; Plot. 4:

2'

Plot. Plot. : Plot. 7: Plot. Plot. 9:

a:

ru..ic

O!G AUlD

Figura 70 En la ventana Define, debe seleccionarse el tipo de gráfica, en este caso 1: Scatter (nube de puntos); la marca para representar los puntos (se eligió 4: Square), e indicar a qué columna de la hoja de datos corresponden los valores de x(c1) y a cuál los de y(c2). Plot Type ••••••••• Mark ............•.

Plot Type ••••••••• Mark..............

y •••. ••••••• •••••• i-:it i.. C•t!·;•1·i. i.,¡j{l1,h 1.,.:.1.:.JUlllóL...2~..U.lo!lo.J-1

;.:ft

x.................

x ••.••••••.•••••.•

~~r~~i!.~,~~iL~~r~J~:ies?

(En\er-SAVE) Y,.[ 011 US-C

••tt •

HO+

~~r~~;!.~,~~iL~~r~r~r .~[,:.¡m:. e ±~====::::1

y •••.••••••••••••• l••

C•t¡..;•&·i.

i.,¡j:J1,h

1

1

CEn\er=SAVE)

CESC-CAHCEL)

((Mt(ftJ:llK l\NO CCSU!"(lllN"Cft.

Sc.atter+ l=Box 2:cross 1 w3~:~P~lus~-~=~I ~:uot. 1

Figura 71

CESC-CAHCEL) ruMc

OtG AIUJD

M:lllN

Figura 72

O{G AUlll

M:lltN

Figura 73 Una vez aceptada la configuración, los ajustes pueden observarse en Plot 1. fll\Oiti\dotosl

I· •• Jne?inelc:,'pufd~arl 1

2 3 4 5 6 7

':

t.l

1

Pl~t ~; Plot. 4: Plot s: Plot. 6: Plo\ 7: Plot. ~: Plo\ :

r6c2-

MlllM

OCGAUJll

íUMC

Figura 74 Para desplegar los puntos es necesario activar el ambiente gráfico y, si se requiere, utilizar la opción 9: ZoomData de la herramienta Zoom, la cual ajusta el rango y la escala de los ejes para que sean visibles todos los puntos en la pantalla completa.

•


O!G 81.lllt

íUNC

Figura 75

Figura 76

¡n....i¡r>·~" ~ ¡:~ZooMJTrac.tjRegraPh)!1athJDrawJ:f' ... .. .. .. .. ... ... . . ... .. .. . .. .. .. . . .: . . . . . . ! : ... : ... .. ..

..

..

Rgura

n

O!G lllU1'D

íUMC

En un SAC se dispone de un amplio repertorio de herramientas. Las que se presentaron en esta sección representan las mínimas necesarias para abordar las hojas de trabajo del texto, de modo que es necesario que el lector continúe explorando el SAC que esté utilizando para fortalecer sus destrezas en el uso de este recurso.

BLOQUE1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

E

ste bloque de actividades tiene dos propósitos: (1) presentarte una propuesta alternativa para el estudio del álgebra, con el fin de refrescar los conocimientos matemáticos adquiridos durante el bachillerato, y (2) someter a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican las ventajas de un procesador algebraico que facilite el aprendizaje del álgebra como un lenguaje para expresar y justificar generalizaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos. Las actividades de este bloque y todos los que conforman el libro, están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el psicólogo Jerome Bruner, el cual consiste en el establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña y el que va a aprender. Este formato, aparentemente rigido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación (en nuestro caso, del código algebraico). la presentación de las actividades parece repetitiva, pero no lo es, ya que siempre hay algún nuevo elemento matemático en cada hoja de trabajo, ya sea del tipo de valores numéricos que se emplean, o de algún nuevo elemento en la estructura algebraica. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma f(x) x + a, f(x) ax y f(x') ax+ b, a las inversas de esas funciones, o bien, del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita; inclusive, del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones. Te invitamos a que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo de aprendizaje matemático que pueden desarrollar los alumnos de educación básica. Nuestra mayor expectativa es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de actividades, con lo que desarrollarás competencias que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de educación básica.

=

69

=

=


Í Hoja de trabajo 1

\~---------------

Patrones numéricos: Valores de entrada y salida Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente tabla. Valor de salida 1

5

2

6

3

7

4

8

5

9

Si el valor de entrada es 1, el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resultado 6, y así sucesivamente L ¿Qué resultado dará la calculadora si escribes 6 como valor de entrada?-----------¿Si escribes 10?

¿Y si el valor de entrada fuera O?

_

Explica qué operación hiciste para obtener esos resultados. ---------------2. Construye en tu calculadora una expresión algebraica que produzca los mismos resultados. Escribe tu expresión en el siguiente recuadro.

3. Usa tu programa para encontrar los números que faltan en la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

17

35.02

89.73

107.06

299.1

307.09 511

4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511y613.03.

S. Comprueba que el valor que obtuviste para 511 es el correcto y explica tu procedimiento.

613.03

Bloque

1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

r Hoja de trabajo 2

\~--------------

Valores proporcionales(1) Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente tabla .

-- ~-·1·

• 1t

~ ~ r,

.

-

W.I!]Jttr·

r1 P': •

7

14

8

16

9

18

15

30

18

32

• 1

rr. F.I

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5? ¿Y si fuera 17?

¿Si es 25?

_

_

Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados.

2. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

3. Utiliza tu programa para encontrar los valores que faltan en la siguiente tabla.

25

37.03

59.83

117.18

136.1

200.79 551

653.38

4. Indica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada 551y653.38.

S. Comprueba que el valor de entrada para 653.38 es correcto y explica cómo lo obtuviste.

Bloque


r Hoja de trabajo 4

\~--------------

Reglas de dos pa.sos (1) Un estudiante creó un programa que produjo la siguiente tabla.

-

~11_;:.

- -

-

n1;T .... ::.

'111•ro111-;.•

1.1

3.2

2.6

6.2

3

7

4.3

9.6

5

--

;l'Hthl

11

1. ¿Qué valor de salida dará la calculadora si el valor de entrada es 50?

¿Si es 81?

_

¿Y si fuera 274? ----2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos resultados.--------

3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla, luego escribe tu programa en el si-

guiente recuadro.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. ]2

16

19.05

48.02

51.45

62.7 882

95.4

S. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo?

_

Explica tu razonamiento.---------------------------6. Explicacon la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que

obtuviste para 95.4 es el correcto.



\~---------------

Reglas de dos pasos (2) Un estudiante construyó un programa que presenta los valores de la siguiente tabla.

-

ª''''

•1 ..

u;.m:..i111r .

fF.1

..

'

, 1••'·•-a.:11riF.1

1

1

2

3

3

5

4

7

5

9

L ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? --------------¿Sies7? ¿Siesl5?

~

2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores.

3. Programa tu calculadora para que produzca la misma tabla que el estudiante. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Escribe detalladamente muestran en la tabla.

cómo compruebas que tu programa produce los mismos valores de salida que se

S. Usa tu programa para completar la siguiente tabla .

1-1 "-" 1 ,1 ,-1 27

•

f-1--10

6. Comprueba que el valor de entrada para 137 es correcto y explica cómo lo obtuviste.

25914

1

-!--ti 137

Bloque


r Hoja de trabajo 6

\~-------

Patrones con valores negativos (1) 1. Completa la siguiente tabla.

-10

-9.7

-7.8

-6.2

-9.5

-9.2

-7.3

-5.7

-5.3

-4.6

-0.7

o

1.3

12.4

2. Programa tu calculadora para que complete la tabla, luego escribe el programa en el siguiente recuadro.

3. Completa la siguiente tabla usando tu programa.

4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para -10.3 y O son correctos. ¿Obtuviste los mismos resultados? Si no, modifica tu programa e intenta de nuevo.



\~---------------

Patrones con valores negativos (2) l. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla .

- -

"l.'í-.l

U•

- -

t1:.m:..i111r.

fF.1

... ,~::.,~

-15

-16.5

-14.5

-16

-12.4

-13.9

-10.2

-11.7

-5.8 -4.6 -0.9

o 2. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla. Ofrece un ejemplo usando uno de los valores de entrada. --------------------

3. Programa tu calculadora para reproducir los valores de la tabla.

4. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. Asegúrate de que permita encontrar los mismos valores que se muestran en la tabla.

S. Completa la siguiente tabla usando tu programa.

•

~o 1-m 1-n.• 1 _,,, 1-'°'' I ~.,, 1-.os 1

10

1

6. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuviste para -9.72 es correcto.

Bloque


r Hoja de trabajo 8

\~---------

Constantede proporcionalidadfraccionaria (1) Un grupo de estudiantes construyó la siguiente tabla usando un programa.

·-

ll'-;.H•l•t

·

- -

'111•ro11r::•

10.5

- .... ::. --

~

;~Hthl

5.25

14.42

7.21

15.3

7.65

16.7

8.35

~.1

10.05

1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? ¿Si es 56? ¿Y si fuera 177? _

¿Si es 19.3?

_

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla recuadro.

y escribe tu programa en el siguiente

4. Comprueba que tu programa obtiene los mismos valores de la tabla y explica cómo lo hiciste.


Í Hoja de trabajo9

\~---------------

Constantede proporcionalidadfraccionaria (2) Un estudiante produjo la siguiente tabla usando un programa en su calculadora.

-

"'l'r.l

•1 ..

u;.m:..i111r .

fF.1

...

Hit

1•tf••4;l1(iF.1

6

9

8

12

14

21

15

22.5

18

27

L ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 10? ¿Si es 13.4? ¿Y si fuera 15.6?

_ _

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

3. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos valores de la tabla y escribe en el siguiente recuadro el programa correspondiente.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. 20

•

35

1

33

1

72

1

57

1

«

1

75

1

1123

S. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto.

1

Bloque


r Hoja de trabajo 10

\~---------

Constante de proporcionalidadfraccionaria (3) 1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en los espacios correspondientes.

-·- - - -

.. '>-;.~

.......

• 111.

4

r.1 • , ...

-

••

11 ...

11:.

;IH1J-;.l

4.04

6

6.06

9

9.09

10

10.1

12

12.12

15.5 17.8 19.2 20.4

50.2 2. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

3. Programa tu calculadora para obtener los valores de la tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

Comprueba que tu programa produce los mismos números de la tabla. De lo contrario, modifícalo e intenta de nuevo.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

5. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.



\~---------------

Lecturade expresionesalgebraicas(1) l. Sin usar la calculadora, encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en la columna correspondiente .

-

"'l'r.l

•1 ..

u;.m:..i111r .

fF.1

...

Hit

1•tf••4;l1(iF.1

3

9 11.5 12 15 18 Un estudiante dice que va a usar el programa 2

+ 2 X b para completar

la tabla anterior.

2. Introduce el programa 2 + 2 X ben tu calculadora y comprueba quecoincidan tus respuestas. Delo contrario, rorrígelas y explica a qué se debió el error. ---------------------3. Con el programa 3

+5

X

a completa, sin usar la calculadora, la siguiente tabla.

4. Introduce el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Coincidieron con los resultados de la calculadora? Si no fue así, ¿a qué crees que se deba?

S. Escribe en tu calculadora el programa (3

+

_ _

5) X a y completa la siguiente tabla.

6. Compara tus resultados con los de la tabla anterior. ¿A qué crees que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo.----------------------------

_

Bloque 1 •

Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos


\~--------------

Lecturade expresionesalgebraicas (2) La siguiente tabla se produjo con un programa de la calculadora.

-

- -

~11_;:.

'111•ro111-;.•

-

n1;T .... ::.

9

23 29

10 12

32 38

16

50

7

--

;l'Hthl

1. Un estudiante dice que el programa 2 + 3 X ble permite producir los valores de la tabla anterior. ¿Estás de acuerdo? _ Escribeun ejemplo que justifique tu respuesta.---------------------

2. Otra estudiante dice que el programa 2 + b + b ¿Estásde acuerdo? _

x 2 también produce los valores de la tabla.

Escribeun ejemplo quejustifiquetu respuesta.---------------------

3. Una tercera estudiante dice que el programa 5 ¿Estásde acuerdo? _

xa+ 2-

2

x a también produce los valores de la tabla.

Escribedos ejemplos que justifiquen tu respuesta.-------------------

4. Escribeotros programas que permitan obtener los valores de la tabla. Anota todos los que encuentres.



\~---------

Reglas de dos pasos (3) Una estudiante hizo un programa que produce la siguiente tabla.

- - - -

- - - --

7.5

21.5

a2

23.6

9

26

9.6

27.8

"l.'o-;1

U•

u·

'111•ro1fr-;.•

7

;.1 U•

1r-·~+;lHtf':ol

20

L Si el valor de entrada es 10, ¿cuál será el de salida?------------------Si el valor de entrada es 12, ¿cuál será el de salida? 2. la calculadora dio 17.5 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada?

_ _

Explica detalladamente qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5. -----------

3. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla anterior. Escribe el programa en el siguiente recuadro.


Bloque



\~--------------

Constantede proporcionalidadfraccionaria (4) Una estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores.

-·- -

...

; 1 •

J •••

- -

:.11ur.

f F.1

"l.'l-:.1 .111111r·•~11rtF.1

10

2.5

15

3.75

20

5

25

6.25

30

7.5

1. Si el valor de entrada es 56, ¿cuál será el de salida?------------------2. Si la calculadora da 87 como valor de salida, ¿cuál será el de entrada?-----------3. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87. -------------

4. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribeel programa en el siguiente recuadro.

S.

Usa tu programa para completar la siguiente tabla.



\~---------

Constantede proporcionalidadfraccionaria (S) Un estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores. aH-;:'1

-

Jl•t

•

2 3

-

·1111r;1tr.•

-

.. u-:1 ..... , ·

~iH•l-z:l

5 7.5

4

10

5

12.5

L Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida?

_

2. ¿Y si el valor de entrada fuera 7, cuál valor nos daría?------¿Y si fuera 55? ------3. la calculadora dio 35 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada?----------4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35.

S. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribeel programa en el siguiente recuadro.


Bloque



\~---------

Constantede proporcionalidadfraccionaria (6) Esta tabla resultó de utilizar un programa que se hizo en una calculadora.

-

~.u:':·

- -

'111•ro1•r::•

0.15

- - - -;.1

U•

1r-·~+;lHthl

0.015

0.27

0.027

0.3

0.03

L5

0.15

2.03

0.203

1. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor dará de salida?

_

2. Si la calculadora da 37 como valor de salida, ¿cuál debe ser el valor de entrada?

_

3. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37.

4. Comprueba que el valor asociado a 37 es el correcto y explícalo detalladamente.

S. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.



Adividades sugeridas para el futurodocente 1. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro tipo de recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 2. Del mismo modo, explica el rol de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 4. También se afirma que "se transita de las funciones de la forma f(X) = x + a, f(X) = ax y f(X) = ax + b, a las inversas de esas funciones". Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 5. Hay otra aseveración, según la cual "se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones". Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esta afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 6. En la presentación de este bloque se mencionan las funciones de la forma f(x) = x +a, f(x) = axy f(X) = ax + b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet las definiciones de los siguientes conceptos: 2) 3) 4) 5)

Dominio de una función. Contradominio de una función. Imagen de una función. Regla de correspondencia de una función.

Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que hayas realizado en este bloque.

BLOQUE2 Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

Losson:propósitos centrales de las actividades de este bloque (1) Abordar el concepto de jerarquía de las operaciones aritméticas como un recurso para construir y leer nuevas expresiones algebraicas que den lugar a otros patrones numéricos. (2) Utilizar los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas. (3) Iniciarel estudio de la transformación y equivalencia de expresiones algebraicas. (4) Dotar de significado a las letras que se usan en las expresiones algebraicas al relacionarlas con los valores numéricos que los alumnos estudian en su paso por la educación básica. las actividades de este bloque se sustentan en los conceptos que se abordaron en el bloque 1, de manera especial en los que se refieren a la construcción de un programa en la calculadora, la producción y lectura de expresiones algebraicas, y las nociones empíricas del concepto de valor numérico de un polinomio, los cuales se desarrollan al relacionar los valores de entrada con los valores de salida de una tabla. En este bloque se aprovecha la experiencia adquirida en la construcción y lectura de programas en la calculadora, para entrar de manera empírica al estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas, el uso de los paréntesis en operaciones aritméticas y en expresiones algebraicas,y la transformación de expresiones algebraicas. la jerarquía de las operaciones aritméticas es un antecedente relevante para abordar el estudio del álgebra. Su conocimiento y correcta aplicación permiten entender la estructura de una expresión algebraica, los términos que la constituyen, y con cuáles de ellos podemos realizar transformaciones algebraicas. las actividades de este bloque te introducirán a ese tipo de tareas,y a lo largo de los bloques irás afinando tus conocimientos.

87



\~---------------

Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (1) L Un estudiante dice que el programa b x 4 + 1 produce los mismos valores de salida que el programa b X 5. ¿Estás de acuerdo? _ Justificatu respuesta con un ejemplo. _

2. Una estudiante construyó el programa m + 2 X 3 y dice que si el valor de entrada es 4, el valor de salida será 18. ¿Estásde acuerdo? _ Justificatu respuesta con un ejemplo.----------------

3. Otro estudiante dice que si m = 5, el programa m + 2 X 3 le dará 21 como valor de salida. ¿Estás de acuerdo? _ Justificatu respuesta con un ejemplo.----------------

4.

Completa la siguiente tabla sin utilizar un programa en la calculadora. El programa es el siguiente: e+ 5 x 2

5. Ahora introduce ese programa en tu calculadora y úsalo para completar la tabla anterior.

¿Obtuviste los mismos resultados?

_

Si no coinciden, explica detalladamente a qué se debió.

Bloque


2 • Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

\~---------

Expresiones algebraicas y jerarqu ía de las operaciones (2) 1. Escribe en tu calculadora el programa n + 2 X 3, y úsalo para completar la siguiente tabla.

2. Una vez completada la tabla observa los resultados y explica qué hace aritméticamente ese programa con cada valor de entrada.-----------------------------

3. Escribe ese programa en una forma más breve.---------------------

4. Un estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: "primero suma 2 y luego multiplica el resultado por 3". ¿Estás de acuerdo?

_

¿Por qué?

Si tu respuesta es negativa, ejecuta nuevamente el programa y analiza tus resultados. S. Introduce en tu calculadora el programa (r 1) X 3 y completa la siguiente tabla. 2

4

5

7

8

10

6. Observa los resultados que obtuviste y explica qué hace ese programa.

7. Una estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: "primero resta 1 y luego multiplica el resultado por 3". ¿Estás de acuerdo? _ Explica tu respuesta.



\~---------------

Uso de paréntesis(1) Un estudiante escribió en su computadora L ¿Producen los mismos valores de salida?

los programas a

+1

X 5 y (a + 1)

x 5

_

Justifica tu respuesta.

2. Un estudiante quería escribir el programa ax 7, pero sin darse cuenta introdujo a x 11. Sin borrar a x 11, ¿qué escribirías antes o después de a x 11, para que diera los mismos valores de salida que a x 7? Justifica tu respuesta.

3. Otra estudiante queda introducir el programa a x 5, pero sin darse cuenta escribió a x 11. Sin borrar a x 5, ¿qué teclearlas antes o después de la expresión a x 11 para que dé los mismos valores de salida que

a X 5?

_


4. Un estudiante quería introducir el programa k X 10, pero sin darse cuenta escribió k x 9. Sin borrar k x 9, ¿qué escribirías, antes o después de k X 9, de manera que se obtengan los mismos valores de salida que kx 10?

Bloque 2


• Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

\~---------

Transfonnación algebraica (1) 1. Escribe en tu calculadora el programa b X 5 siguiente tabla.

1

3

+ b x 6 y úsalo para completar la

4

37.4

6 50.6

2. Describe qué operaciones aritméticas hace ese programa con cada número de entrada.

3. Expresa más brevemente este programa, pero de modo que siga produciendo los mismos valores de salida.

4. ¿C6mo puedes comprobar que tu programa y el programa b X 5 + b X 6 son equivalentes? Explícalo de manera que no se te pueda objetar.

5. Observa el programad x 8

+d

x 5. ¿Puedes expresarlo de manera más breve de modo que siga dando

los mismos resultados?-------------¿Obtuviste alguna expresi6n más breve? _ Escríbela a continuaci6n.

6. Un estudiante dice que el programa 4 X n - 2 X n + 5 X n da los mismos valores de salida que el programa 7 X n. ¿Estás de acuerdo? _ Justifica tu respuesta.

7. Un estudiante dice que los programas 9 X ¿Estás de acuerdo? _ Justifica tu respuesta.

n - 4 X n - 2 x n y 3 X n dan los mismos valores de salida.


Í Hoja de trabajo21

\~----------

Uso de paréntesis(2) Un estudiante creó un programa que hace lo siguiente: Primeroresta 2 y luegomultiplka por 3. Con ese programa produjo la siguiente tabla. Valor de entrada.

2

4

7

9.2

11

15.5

18.4

19.1

Valor

o

6

10

21.6

27

40.5

49.2

51.3

de salida

L Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados. Comprueba que funciona correctamente y escríbelo en el siguiente cuadro.

2. Un estudiante dice que el programa ¿Estás de acuerdo?

p + 5 x 4 primero suma 5 y luego multiplica por 4. _


3. ¿los programas (r + 2)

x 3 y 3 X r + 6 dan los mismos valores de salida?

_

Justifica tu respuesta con argumentos inobjetables.

4. la siguiente tabla se construyó con un programa en el que se usaron paréntesis. Valor de entrada Valor

de salída

1

3

4

6

7

9

10

11

4

8

10

14

16

20

22

24

Encuentra ese programa, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el cuadro que sigue.

Bloque 2


• Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

\~---------

Paréntesis y jerarquíade las operaciones 1. Un estudiante dice que los programas (a X 2) + 2 y a X 2 + 2 producen valores de salida distintos para los mismos valores de entrada. ¿Estás de acuerdo? _ Justifica tu respuesta.

2. los programas (b + 2) X 2 y b + 2 X 2 producen los mismos valores de salida. ¿Estás de acuerdo?------Justifica tu respuesta.

3. Explica para qué sirven los paréntesis en un programa. Hazlo de manera que tus compañeros entiendan fácilmente tu explicación e ilústrala con algunos ejemplos. 4. Subraya las expresiones en las que si quitas los paréntesis sigues obteniendo los mismos valores de salida. Utiliza tu calculadora para verificar que no haya ningún error. a) (3 X b) e)

+5

(k- 2) + 3

+ d)

b) 3 X

(a+ 5)

e) (d

f)z-

(2 + 3)

g) (2 + p)-1

X

3

d) (e+ 4) +e h) (y+ 4)

+5

5. Escribe los paréntesis que hagan falta de manera que los resultados sean correctos. Usa tu calculadora para verificar que no haya ningún error. a)

5 + 3 X 4 = 32

b)

6 X 7 + 2 - 1 = 48

e)

3 X 6 + 4 = 18 + 12

f) 5X3+4=15

+ 20

e) 6 X 7 + 2 - 1 = 53 g)

7 -4 - 2 = 5

d) 4 + 8 + 4 h) 6

+8-

=3

7 - 5 = 10


Adividades sugeridas para el futurodocente 1. En la presentación de este bloque se menciona el estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho tema. 2. De igual modo se hace referencia al uso de los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas. Construye cinco ejemplos para mostrar cómo empleas los paréntesis para modificar la jerarquía de las operaciones. 3. Propón cinco ejemplos donde muestres que se pueden ignorar los paréntesis sin afectar el resultado de las operaciones. 4. Presenta cinco ejemplos donde muestres que si se ignoran los paréntesis se afecta el resultado de las operaciones. S. Con tus propias palabras, explica la función de los paréntesis en la producción de expresiones aritméticas y algebraicas. 6. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet en qué consiste la simplificaciónde términos semejantes de una expresión algebraica. Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho concepto. 7. También se habla de transformación de expresiones algebraicas. ¿Hay alguna relación entre dicha transformación y la simplificaciónde términos semejantes en una expresión algebraica? Analizatu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 8. En la presentación de este bloque se habla de la equivalencia de expresiones algebraicas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda tal concepto. 9. ¿Qué significado has asignado a las letras que empleas en la construcción de un programa para la calculadora? Explicao ejemplificatu respuesta lo más ampliamente posible. 10. Con base en tu experiencia con las actividades de este bloque, analiza con tus compañeros y tu profesor los aprendizajes que pueden construir los alumnos de educación básica al realizar estas actividades, y redacta un resumen de lo que consideres más relevante. 11. Asimismo, analiza con tus compañeros y tu profesor las dificultades que pueden tener los alumnos de educación básica con las actividades, y las estrategias que pueden ayudarles a prevenirlas o superarlas. Elabora un documento en el que expreses lo que a tu parecer sea más importante.

BLOQUE3

E

1 principal propósito de este bloque es retomar los conocimientos adquiridos durante el bachillerato sobre la equivalencia de expresiones algebraicas, y agregar a tu formación como docente la oportunidad de analizar una propuesta didáctica en la que se introduce la equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de la equivalencia de funciones lineales. Al abordar el concepto de la equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de las funciones con el apoyo de un procesador algebraico como el de la calculadora, el estudio de ese concepto algebraico se traslada al ámbito de los números. Esto representa una ventaja didáctica porque favorece que los alumnos de educación básica realicen un "tránsito suave" de la aritmética al álgebra al manejar ésta en un ámbito más familiar. La propuesta de este bloque se apoya en las habilidades desarrolladas en los bloques anteriores para reconocer patrones numéricos y enunciar mediante una expresión algebraica la regla que los genera. En este bloque se presenta la vertiente sintáctica del código algebraico; en particular, se aborda lo referente a las reglas para transformar expresiones algebraicas. En las actividades las reglas de transformación se reducen a una sola, la cual consiste en considerar que dos expresiones algebraicas son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para el mismo valor de la variable involucrada. La vertiente sintáctica es un complemento indispensable (reglas de transformación) para los aspectos semánticos del álgebra (significados para las expresiones algebraicas). La vertiente semántica nos permite expresar relaciones y generalizaciones mediante el código algebraico, y la vertiente sintáctica nos permite operar con los elementos de ese código (expresiones algebraicas). La investigación reporta que es indispensable que los alumnos dominen ambas vertientes a fin de que sean competentes en el uso del álgebra como herramienta de planteamiento y resolución de problemas, la cual se encuentra en el último bloque de este libro. Te invitamos a realizar las actividades de este bloque teniendo presente el tipo de aprendizaje que los alumnos de educación básica pueden construir, las dificultades que pudieran encontrar y las estrategias que podrías crear para prevenirlas y, en su caso, ayudarles a que las superen.

95



\~---------

Expresiones algebraicas equivalentes(1) Un estudiante construyó un programa que produce la siguiente tabla. Valor de salida

1

4

1.5

6

3

12

5

20

l. Si el valor de entrada es 8, ¿cuál será el de salida ? ¿Si es 10?

_

¿Y si es 70? ------

2. Escribe las operaciones que hiciste para dar tus respuestas.

3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el recuadro.

4. Construye otro programa que produzca la misma tabla y escríbelo en el siguiente recuadro.

S. Construye otros tres programas que den el mismo resultado y escríbelos en los siguientes recuadros .

.________,l .___I_

___,l l.________,

Bloque


3 • Expresiones algebraicas equivalentes

\~--------------

Expresiones algebraicas equivalentes(2) Un estudiante construyó un programa que produce siguiente tabla.

·- ~-··

• I •'

~

•

-

f ....

11.lF.1 tJ,.ff•

2

3

4

6

8

12

10

15

r-; l

ITf

F.I

1. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5? ¿Si es 6? ------¿Y si es 15?

_ _

2. Explica qué operaciones hiciste para obtener tus respuestas.

3. Construye un programa de modo que produzca la misma tabla. Pruébalo en tu calculadora el siguiente recuadro.

4. Una estudiante dice que el programa b + b ¿Estás de acuerdo?

+ 2 también

y escríbelo en

produce la tabla del inicio.

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.-------

S. Escribe otro programa como el anterior, que además produzca los valores que se muestran en la tabla.

Pruébalo en tu calculadora

y escríbelo en el siguiente recuadro.

6. Construye otros tres programas que produzcan los mismos valores de la tabla. Pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros .

.______l l._ __

l ._I --------'



\~------

Expresiones algebraicas equivalentes(3) Observa la tabla que se muestra enseguida. Valor de salida

1

0.25

2

0.5

3

0.75

4

1

6

1.5

l. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados de la tabla. Después de probar tu programa, escríbelo en el recuadro.

2. Un estudiante dice que el programa (b + b) ¿Estás de acuerdo?------

+ 8 también produce los valores de la tabla anterior.

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

3. Construye otro programa que produzca los mismos valores de la tabla. Pruébalo en tu calculadora y esaíbelo en el siguiente recuadro.

4. Construye otros tres programas que produzcan los valores de la tabla. Pruébalos en tu calculadora y esaíbelos en los siguientes recuadros.

Bloque



\~--------------

Expresiones algebraicas equivalentes(4) Observa con atención los valores de entrada y de salida que se muestran en la siguiente tabla.

·- I••-•

lll~llt

• l • I •

•

t

1': •

..

,.~-. -"~ -~ í ITt

-1

-0.5

3

1.5

7.4

3.7

17

8.5

21

10.5

F.""1

1. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5?

_

¿Y si es 6? -----¿Cuál será el valor de entrada si el de salida es 20? -----2. Programa tu calculadora de modo que produzca los mismos valores de la tabla anterior. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el recuadro.

3. Escribe otro programa que produzca los mismos valores. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Una estudiante dice que el programa (r + r) + 4 también produce los valores de la tabla. ¿Estás de acuerdo?

_

S. Construye otros tres programas que produzcan los mismos valores. Pruébalos en tu calculadora y escríbe-

los en los siguientes recuadros.

~-1~1 __

l~I __



\~---------------

Expresiones algebraicasequivalentes(5)

·- -

.. "-::P•1••

·

• 111 • ...

-

, •

r..

-·- - --

au-:1

u ... •·

.IHtPo;:l

L Construye en tu calculadora un programa, que produzca los valores que faltan en la tabla de la derecha.

4

6

6

9

2. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 12?

10

15

12 ¿Si es 20? -----¿Y cuál será el valor de entrada si el de salida es 60?

3. Un estudiante dice que el programa

p X 3 + 2 pro-

16

24

18 22

duce los valores que se muestran en la tabla anterior.

33 45

¿Estás de acuerdo?-----Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

q + q + 2 también produce los valores de la tabla.

4. Una alumna dice que el programa ¿Estás de acuerdo?

_

Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

S. Construye otro programa que produzca los valores de la tabla. Verifícalo en tu calculadora el siguiente recuadro.

y escríbelo en

6. Construye otros tres programas que produzcan los valores de la tabla; pruébalos en tu calculadora críbelos en los siguientes recuadros.

~~l~I -~l~I -~

y es-

Bloque



\~--------

Expresiones algebraicas equivalentesde dos pasos Una estudiante construyó un programa que produce los valores que aparecen en la suguiente tabla.

,~.,

....

.

-

• 1~

-

'I•~' • ·~·

-- -

--

e 1.-;~HtF.1

1

6

3

10

5

14

9

22

10 28 34 1. Construye en tu calculadora un programa que complete la tabla y anota los valores en los lugares correspondientes. 2. Ahora escríbelo en el siguiente recuadro.

3. Construye en tu calculadora otro programa que dé el mismo resultado. Verifícalo y escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Construye en tu calculadora tres programas que produzcan los mismos valores de salida que el programa 3 x a+ 2. Verifícalos y luego escríbelos en los siguientes recuadros.

~-1~1__

l~I __



\~---------------

Programas equivalentes Llamamos programas equivalentes a aquellos que producen los mismos valores de salida para los valores de entrada. L Construye dos programas equivalentes al programa a X 1.

2. Un estudiante dice que el programa a x 1 es equivalente al programa a. ¿Estás de acuerdo?

_

Introduce en tu calculadora los programas a y a x 1y compara los valores que arrojan ambos programas. Escribe tus conclusiones en las siguientes líneas.

3. Construye en tu calculadora tres programas equivalentes al programa 3 x b. Verifícalos y escríbelos en los siguientes recuadros.

~-1~1-~11~-

4. En la siguiente lista de programas, identifica los que sean equivalentes al programa b. Utiliza tu calculadora para comprobar tus respuestas. No debes tener ningúnerror.

a+2+a+2

4xb-4xb

5xc-4xc

b+ b

lxdxl

5. Identifica los programas que sean equivalentes al programa 1.5 X a. Utiliza tu calculadora para comprobar tus respuestas. No debes tener ningúnerror.

3xa+2

bx3+2

6xc+4

2xb-b+2

d+0.5 X d

Bloque



\~--------------

Programas equivalentes (2) 1. Construye dos programas que produzcan los mismos valores de la siguiente tabla.

- -

.. ,..:;i..-,_,,...-,.

• I •.'

•

-

"'"·-

t f':;.

. -. -.

1

1.25

3

3.75

4

5

8

10

10

12.5

16

20

• llTfF.I

2. Escribe los programas en los recuadros .

.______l J.______

3. Construye seis programas que produzcan los resultados de la siguiente tabla.

·- 1••-. - -

ll'.o;11f

• 111

• r.1

t

r;. •

-·- - --

..U-;:11

. llrthl

IJRfl'

1.2

1

4

1

5

1

12.33

1

28.9

1

4. Anota esos programas en los siguientes recuadros.

::=::=======:I :=I =====:I : =: =I=====: .______l I l .____I--



\~---------------

Lecturade expresionesalgebraicasequivalentes Analiza el programa 2

+ 3.5 x n.

L ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5? ¿Si es 10?

¿Y si es 44?

_ _

2. Construye otro programa que produzca los mismos valores que 2 + 3.5 x n. Verifica tu programa y luego anótalo en el recuadro.

3. Construye en tu calculadora tres programas que den los mismos resultados que 2 + 3.5 x n. Verifica que tus programas funcionen perfectamente

y anótalos en los siguientes recuadros.

4. Construye en tu calculadora tres programas de manera que produzcan los mismos valores que el programa 1.02 X Z. Verifícalos y anótalos en los siguientes recuadros.

~-1~1-~11~-

Bloque


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. ¿Por qué se hace tanto énfasis en que los alumnos de la escuela primaria estudien las operaciones aritméticas en el contexto de la resolución de problemas en situaciones que les sean familiares? Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 2. Debate con tus compañeros el rol del valor numérico de una expresión algebraica en la comprensión del concepto de equivalencia entre expresiones algebraicas. ¿Qué relación hay entre esto y el rol del entorno cotidiano en los problemas aritméticos que se le proponen a un alumno de primaria? 3. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, ¿qué significa para ti la letra que se usa en una expresión algebraica? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos.

4. ¿Qué significado le encuentras a una expresión algebraica? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos. S. De acuerdo con tu experiencia, ¿para qué crees que sirvan las expresiones algebraicas? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos. 6. Analiza si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: "Para que dos expresiones algebraicas sean equiva lentes es necesario que contengan la misma litera!". Ilustra tu respuesta con varios ejemplos. 7. Consulta en distintas fuentes el significado de los siguientes términos: i) Polinomio en una variable. ii) Valor numérico de un polinomio. 8. Redacta un párrafo en el que expliques qué relación hay entre las actividades que realizaste en este bloque y los términos que se mencionan en el punto 7. 9. Indaga en las fuentes que consideres necesarias qué se entiende por "Simplificaci6n de términos seme jantes en una expresión alqebraico". Redacta en un párrafo qué relación hay entre esa simplificación y las actividades que realizaste en este bloque.

BLOQUE4

E

ste bloque de actividades se orienta al logro de dos grandes propósitos: (1) introducir la producción de expresiones algebraicas para describir relaciones parte-todo, y (2) utilizar las expresiones algebraicas como herramienta para plantear y resolver problemas. La habilidad para representar algebraicamente relaciones parte-todo es de especial importancia en el planteamiento y resolución de problemas matemáticos en muchos contextos; por ejemplo, problemas que implican porcentajes y problemas geométricos. En este bloque abordarás algunos problemas clásicos de carácter geométrico. De igual manera que en los bloques de actividades anteriores, es de relevancia el apoyo que brinda un procesador algebraico como el de la calculadora. En estas actividades se aprovecha la estructura algebraica de las relaciones parte-todo para introducir el uso de números negativos y ampliar los conocimientos adquiridos en el bloque anterior. Te invitamos a abordar estas actividades teniendo en mente el tipo de competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas. Esta reflexión enriquecerá tu formación como docente, y nuestra mayor expectativa es que dicha experiencia fortalezca tus competencias matemáticas, lo cual será de gran utilidad en tu desempeño profesional.

107



\~---------------

¿Cómo expreso la parte restante? En una ferretería hay carretes de un tipo de cable que se vende por kilo (kilogramo), y todos los carretes pesan lo mismo. Para saber cuánto cable queda en cada uno, el administrador de la ferretería construyó un programa que realiza lo siguiente: al introducir la cantidad de cable vendido, el valor de salida indica cuántocable le queda a cada carrete.

-

l~ti.

• 1orfl

fr."

1.7

lr'.i;"ll:i •

.- ..- -

. ~ t;'t

8.3

2.4

7.6

3.1

6.9

4.06

5.94

5.2

4.8

L De acuerdo con la información de este programa,¿ cuántos kilos de cable hay en cada carrete?

_


2. Construye en tu calculadora otro programa que produzca los mismos valores de salida. Veriflcalo y escríbelo en el recuadro.

3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa .

•

i-.-,., 1 '-·" I '·'·· 1-l , 1-., 1 -1 01

7·04

1

732

4. Comprueba que los valores que encontraste para 5.01, 6.2, 7.04 y 7.32 sean correctos. Explícalo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.-----------------------

Bloque 4 •



\~--------------

El todo con respecto a sus partes (1) Una estudiante construyó un programa que produce la siguiente tabla. "'lfF.1 •

.-

.

-

·- ,1.:-~

. fJ:'.'1

L3

18.7

2.5

17.5

3.8

16.2

4.4

15.6

5.9

14.1

1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida? ¿Y si es 9?

¿Si es 7? ------

Explica qué operaciones hiciste para obtener los valores de salida.

2. Programa tu calculadora de modo que obtengas el mismo resultado; verifica las respuestas y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.

3.03 1

m

1

1

-3.5

1

-••

1

5·01

1

6·2

4. ¿Qué ocurre cuando el valor de entrada es un número negativo?

S. ¿A qué crees que se deba?

1

2704

1

37·32

1



\~---------------

Aplicaciones de la relación parte-todo (1) Hay varios trozos de cable, todos de 16 cm, que se requieren cortar en dos partes. En la siguiente figura se muestran algunas posibilidades. 4cm

3cm

6cm

1

12 cm

11 cm

13 cm

9cm

lOcm

14cm

1

5 cm

7cm

2cm

1. Construye un programa de manera que si introduces la medida de una de las partes dé como resultado la medida de la otra. Escríbeloen el siguiente recuadro.

2. Describe el razonamiento que seguiste para construir el programa. Hazlo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.-----------------------------


4. Comprueba que los valores que encontraste para los números 12.8, 14.9, 15.6y17.4 son los correctos.

Bloque 4 • Representación algebraica de relaciones parte-todo


ID

\~-------

Aplicaciones de la relación parte-todo (2) De una pieza cuadrada de cartón se hará una caja, recortando cuadrados en cada esquina y doblándolos luego hacia arriba para darle volumen. 8 tamaño de los cuadrados que se recorten determinará cuánto medirá la base y la altura de la caja, así como el volumen. Las figuras 1 y 2 muestran dos maneras posibles de armar la caja. Rgura 1

Figura 2 Scrn

s ern 1

lú cm

g cm

1. ¿Cuánto mide por lado la pieza de cartón?

¿Cuál es su área?

Explica las operaciones que hiciste para calcular el área y el volu~

¿Cuál es su volumen?-----men de la caja.

2. Completa la siguiente tabla usando los datos obtenidos. ~

_

flll.

·-

11.

Área de la base

-

1 .. 1•1•

·-

........

Altura de la caja Volumen de la caja 3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero únicamente puedes hacer un intento porque sólo se tiene esta pieza de cartón. Programa tu calculadora para obtener el volumen de cualquier caja que se pueda formar con esta pieza, dependiendo del corte de los cuadros en las esquinas. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Usa tu programa para encontrar cuánto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtener el máximo volumen. Anota en el siguiente recuadro las medidas que encontraste.

11

11



\~--------

Aplicaciones de la relación parte-todo (3) De una pieza de cartón de forma rectangular, cuyo largo es de 38 cm y su ancho de 20 cm, se hará una caja, recortando cuadrados en cada esquina y doblándolos luego hacia arriba para darle volumen. El tamaño de los cuadrados que se recorten determinará cuánto medirán el largo y ancho de la base de la caja y también cuál será su altura. Las figuras 1 y 2 muestran dos maneras posibles de armar la caja Rgura 1

Figura 2

1. Explica qué operaciones requieres para calcular el área de la pieza. -------------2. Explica qué operaciones tendrías que hacer para calcular el volumen de la caja una vez armada. Completa la siguiente tabla.

-

~ Área de la base

-

• r•• •

:{t~hT

-

-

... ITf-.:;;;;;;::m ....

•

r •

• ••

... - .

_

,r,•

Altura de la caja Volumen de la caja 3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero únicamente se tiene esta pieza de cartón, y sólo puedes hacer un intento para obtener la caja con el máximo volumen. Construye un programa para obtener el volumen de cualquier caja que se pueda formar cortando cuadrados en las esquinas. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Usa tu programa para encontrar cuánto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtener el máximo volumen. Anota en el siguiente cuadro las medidas que encontraste. 11 1

Bloque 4 •



\~--------------

El todo con respecto a sus partes (2) Dos estudiantes construyeron un programa que produce los siguientes valores. .. ll'.I"'.

..

11:...~111r.

; F.1

..., ••

,.

1 ••

..-.-...,11r.:F.1

~

1

o

2

-1

3

-2

4

-3

-4

-2

1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida?

¿Y si es 7?

¿Qué wlor de entrada produce 17 como valor de salida?

_ _

2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? Explícalo mediante un ejemplo.

3. Programa tu calculadora de modo que haga lo mismo que el programa de los otros estudiantes escríbelo en el siguiente recuadro.

y luego

4. Construye otro programa que produzca los mismos resultados. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.



\~----------

¡Ésta no es una relación parte-todo! Un estudiante creó un programa que produce esta tabla de valores.

·- . -.

-

. fJ:'.'1

~-,1.:-~

1

4

2

9

3

14

4

19

5

24

L Si el valor de entrada es 7, ¿cuál será el de salida? ¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 19?

¿Y si es 10?

_

_

2. Explica qué operaciones hiciste para obtener esos resultados. ----------------

3. Construye en tu calculadora un programa que produzca los mismos valores de la tabla. Verifica tu respuesta y escribe tu programa en el recuadro.

4. Construye un programa equivalente al que hiciste para contestar la actividad anterior. Verifica tu programa y escríbelo en el recuadro.

Bloque 4 •



\~--------

¡Éstatampoco es una relación parte-todo! 1. Un estudiante construyó un programa que produce esta tabla de valores.

·- -· ~-·

• I •'

~

•

-

f ....

11.lF.1

tJ,.ff•

r-; l

1

-1.5

2

-25

3

-25

4

-3.5

5

-5.5

ITf

F.I

2. Si el valor de entrada es 7, ¿cuál será el de salida?-----¿Y si es 8? _ ¿Qué valor de entrada produce -7como valor de salida?

_

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?-----------------

4. Crea un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Verifica tu programa y escríbelo en el siguiente recuadro.

S. Construye dos programas equivalentes a tu programa. Verificaque funcionen correctamente y escríbelos en los siguientes recuadros.

._____l J._____

6. Un estudiante dice que el programa -1 - (X+ X) + 2 produce los mismos resultados de la tabla. ¿Estás de acuerdo?-----Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.-------------------



\~------

Patrones decrecientes (1) Un estudiante construyó un programa que produce los valores de la siguiente tabla. Valor de salida 1

4

2

2

3

o

4

-2

5

-4

L Una estudiante dice que el programa 6 - 2 X a produce también esos resultados.

¿Estásde acuerdo?-----Presenta dos ejemplos quejustifiquen tu respuesta. -------------------

2. Construye dos programas equivalentes al programa 6 - 2 X a. Verificaque tus respuestas sean correctas

y anota tus programas en los siguientes recuadros.

.______I .___I__

3. Un estudiante dice que el programa 6 - a+ a es equivalente al programa 6 - 2

¿Estásde acuerdo?

x a.

_

Justificatu respuesta.------------------------------

4. Si no estás de acuerdo, explica lo más claramente posible por qué 6 - a + a no es equivalente al programa 6- 2 X a.

Bloque 4 •



\~--------------

Patrones decrecientes (2) Un estudiante construyó un programa que produce los siguientes valores. ll'-;.H•l••

.

-

'111 .. ro1•r•• ·.··

·........--

.. U-:;11 11 ..

-

11•

1

-1

2

-2

3 4

-3 -4

5

-5

1. Si el valor de entrada es 7.5, ¿cuál será el de salida?

;l'Hthl

_

¿Y si es 10.1? -----¿Cuál es el valor de entrada si el de salida es 5.75? -----2. Explicaclaramente lo que hiciste para obtener esos valores. ----------------

3. Crea en tu computadora un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Escríbeloen

el siguiente recuadro.

4. Una estudiante dice que el programa a - 2 X a produce también los resultados de la tabla. ¿Estás de

acuerdo?

_

Justificatu respuesta con dos ejemplos.-----------------------

5. Construye dos programas que sean equivalentes al programa a - 2 x a. Escríbelos a continuación.

~-1~1-~


Actividades sugeridasparael futurodocente l. Analiza con tus compañeros y tu profesor las actividades de este bloque donde se aborda la relación

parte-todo y concluyan en grupo en qué consiste esta relación. 2. Organiza equipos para redactar tres problemas que impliquen la relación parte-todo y que requieran un planteamiento mediante una expresión matemática. Intercambien los problemas propuestos y resuélvanlos. 3. Utiliza Excel u otro programa en tu calculadora que te permita construir las gráficas de las funciones (expresiones algebraicas) que generaste para resolver los problemas de las hojas de trabajo 35 y 36. Verifica qué tan cerca de Jos valores máximos de las gráficas están los valores que encontraste para el volumen máximo usando tu programa en la calculadora. 4. Con base en tu experiencia al completar las hojas de trabajo 32-36, analiza con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas de este tipo de actividades en cuanto a favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica. S. Del mismo modo respecto de las hojas de trabajo 32-36, comenta con tus compañeros y tu profesor cuáles podrían ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos. 6. Respecto a las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas de estas actividades en cuanto a favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica. 7. Finalmente, en cuanto a las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compañeros y tu profesor cuáles podrían ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos.

BLOQUES

1 propósito central este bloque de actividadeses introducir la noción de función inversa aprovechando la familiaridad E que has desarrollado en los bloques anteriores con el manejo de de

la noción de función lineal. la noción de función inversa se ha sugerido de manera sistemática en los bloques anteriores en actividades donde se pide encontrar el valor de entrada a partir de que se conoce el valor de salida. Para dar respuesta a esas preguntas se aplican las operaciones asociadas a la estructura de la expresión algebraica que corresponde a la función inversa del programa con el que se trabajó en dichas actividades. la construcción de la función inversa a una función dada es una relación entre funciones de mucha importancia para el estudio del álgebra que se aborda en el bachillerato. En este bloque, esa relación sólo se toca de manera informal a fin de favorecer el desarrollo de habilidades para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Completa las actividades de este bloque teniendo en mente el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que desarrollan los alumnos de educación básica a medida que responden las preguntas. Asimismo,considera las dificultades con que pueden encontrarse,y las estrategias didácticas que emplearías para ayudarlos a superarlas.

119



\~---------------

Programas que inviertenla tabla de valores (1) Un estudiante hizo un programa que produce los siguientes valores

·- -

.. ,~,r.'l:.w,

-

.... ,,J:l

- -

lTP.11t

1

10.4

4.9

16

10.5

19

13.5

23.5

--

r4...-.&:irr.~

18

37

31.5

L Construye en tu calculadora un programa que produzca los mismos valores de la tabla. Verifícalo y luego escríbelo en el siguiente recuadro.

2. Crea un programa que invierta lo que hace el programa de la actividad 1; es decir, que produzca los valores que se muestran en la siguiente tabla. Observa que los valores de entrada y salida están invertidos con respecto a los de la tabla inicial.

4.9

10.5

13.5

18

31.5

10.4

16

19

23.5

37

Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

3. Explica tu razonamiento para construir un programa que invierte el programa planteado al inicio.

Bloque


5 • Inversión de funciones lineales

\~--------------

Programas que inviertenla tabla de valores (2) Una estudiante construyó un programa que produce los valores de salida para los valores de entrada que se muestran en la siguiente tabla.

-·-

- - -

.. ,~ .. •1-•1·

• 111•r;1f1';.•

-

.. H-;.l

IJ ..

li'

11.4

17.5

19

25.1

23.1

29.2

38

44.l

50

56.1

;l'H1hl

l. Crea en tu calculadora un programa que produzca los valores de la tabla. Veriffcalo y escríbelo en el siguiente recuadro.

2. Construye un programa que haga lo inverso que el anterior; es decir, que produzca los valores que se muestran en la siguiente tabla.

17.5

25.1

29.2

44.1

56.l

11.4

19

23.1

38

50

3. Explica, de manera que todos tus compañeros lo entiendan, tu razonamiento para construir el programa que "deshace· lo que creó el programa original.--------------------

4. Verifica que tu programa funcione de acuerdo con lo que se pide, y escríbelo en el siguiente recuadro.



\~---------------

Programas inversos de dos pasos (1) l. Encuentra el programa que produce los valores que se muestran en la siguiente tabla. ~

Valor de.salida

Q13

0.26

Q17

0.34

0.65

1.3

3.8

7.6

9.28

18.56

Escríbelo en el siguiente recuadro.

~------------------~

2. Construye en tu calculadora un programa que haga lo inverso que el de la actividad anterior. Verifícalo y escríbelo en el siguiente recuadro.

3. Una estudiante dice que el programa acuerdo?-------

m X 3 - 1hace lo inverso que el programa m + 3 + l. ¿Estás de

Presenta un ejemplo que justifique tu respuesta.----------

4. Si no estás de acuerdo, escribe en el siguiente recuadro un programa que haga lo inverso que el programa m+ 3 +1.

S. Programa tu calculadora de modo que "deshaqa" lo que hace el programa. n X 1.5 Escribe tu programa en el recuadro.

+2

Bloque



\~--------------

Programas inversos de dos pasos (2) Algunos estudiantes hicieron un programa que produce los siguientes valores.

-·-

a•r.U•ltll•

-

::.ll1'-r• •r••

r,

- -

--

''F.lr11•1r_ .._,¡riF.1

3

5

7

13

10 11

19 21

15

29

l. Encuentra ese programa, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

2. Crea un programa que "deshaga" lo que hace el programa de la actividad 1; es decir, que produzca los valores que se muestran en la siguiente tabla. 5

13

19

21

29

3

7

10

11

15

Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.

3. Construye en tu calculadora un programa que "deshaga" lo que hace el programa b x 3 +l.

4. Verifica tu programa y escríbelo en el recuadro.

S. Explica con la mayor claridad posible c6mo comprobaste que tu programa es correcto.

_



\~---------------

Programas inversos en relacionescuadráticas

y relacionesde dos pasos

1. Encuentra un programa que produzca los valores de la siguiente tabla. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo a continuación.

-

IU~.-r.Titf"::-~ .11\ fr.l:-~

''F.111

-3

_

~--rr.-~ 9 4

-2 -1 1

1 1

3

9

5

25

7 9 11

49

2. Escribe tu programa en el recuadro.

81 121

3. Construye un programa que "deshaqa" lo que produjo el programa cuyos valores aparecen en la siguiente tabla.

. · J

1

4

25

49

64

100

2

5

7

8

10

Escribe tu programa en este recuadro.

4. Construye en tu calculadora otros programas que "deshagan· lo que produce cada uno de los siguientes programas. Pruébalos, verifícalos, y escríbelos frente a los programas correspondientes. a) 1.5

x a+ 1

b) 0.5 X k-1 e)

d) 3 x ( b - 4 ) e) 8

+

(e - 5)

+2

+3

2 + 0.25 X y

5. Explica detalladamente

tu estrategia para invertir estos programas. -------------

Bloque


Actividades sugeridas parael futuro docente 1. Consulta en diversas fuentes el tema función inversa en el caso de las funciones lineales,y observa algunos

de los ejemplos que encuentres. A partir de esta consulta contesta lo siguiente: o) ¿Qué relación encuentras entre lo que ahí observaste y las actividadesque has realizado en este bloque? b) ¿Qué ventajas didácticas pueden asociarse al tratamiento informal que se hace del concepto de función inversa que se presenta en este bloque como antecedente al estudio formal de este tema? Analiza tus respuestas con tus compañeros y tu profesor. 2. Como una actividad de repaso de este bloque, encuentra el valor que falta en las siguientes igualdades.

Utiliza tu calculadora para evitar cualquier error en tus respuestas. .................................................................................................................................................... ' ' ' o) b + 1.03 = 24.7 b) m 1.67 = 30.25 c) p 12.22 = 4.05 b= m= p= -------------------------------·------------------------------------·------------------------------------· ' ' '

d)4.8-r=3.5 r=

ñ2=4

'e)5

.

.

·

f)5xb-1=29

n=

b=

g) k 1.5 = 6.2

h) 2 x e= 11

i) 3 x

. .

...............................................................................................................................................................................................

''

.

a + 1 = 121

.

k= e= a= .................................................................................................................................................................................. ' 3. ¿Qué relación encuentras entre la actividad anterior y las que realizaste en este bloque? Comenta tus respuestas con tus compañeros y tu profesor. 4. Haz un breve ensayo en el que describas en qué aspectos se relaciona tu experiencia con las actividades de este bloque respecto a tu formación como docente.

BLOQUE El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulaciónde conjeturas 1 propósito primordial de este bloque es ampliar el uso del E código algebraico al planteamiento y resolución de problemas que implican los conceptos de área, perímetro y porcentaje, así como a la formulación de conjeturas sobre situaciones más

abstractas relativasa las propiedades del sistema de numeración decimal y a la paridad de los números enteros. En la primera sección de las actividades se acude al apoyo visual de los patrones geométricos, el cual propicia el desarrollo de habilidades para identificar patrones numéricos más sofisticados. De la misma manera, se abordan situaciones que comprenden los conceptos de área y perímetro para introducir relaciones precio-costo que requieren la producción de expresiones algebraicas donde es necesario usar los paréntesis como signos de agrupación. En la tercera sección se abordan problemas que involucran el concepto de porcentaje; en estos casos se retoma el uso de los paréntesis como signos de agrupación. El planteamiento y la resolución de los problemas propuestos en esta sección y en la anterior ya no descansa en el reconocimiento de un patrón numérico, sino en el establecimiento de relaciones entre los datos que se proporcionan y su representación mediante expresiones algebraicas. El elemento que se mantiene presente es la noción de función (programa) que se ha venido cultivando en los bloques 1-5. En la cuarta sección se plantean problemas en un contexto estrictamente matemático, los cuales implican la representación algebraica de las relaciones entre los dígitos de tipos específicos de números en el contexto del sistema de numeración decimal. la sección se cierra con problemas que invitan a formular conjeturas sobre la paridad de los números enteros. Como en los bloques anteriores, te invitamos a realizar estas actividades reflexionando de manera sistemática en el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas. Asimismo, considera los momentos en que pudieran tener dificultades, y las estrategias didácticas que puedes implementar para ayudarles a superarlas.

127

6

Desarrollo del pensamiento


algebraico

\~---------------

Patrones geométricos (1)

.. ... ... • •••••••

Observa las siguientes figuras .

l. En el siguiente espacio, dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.

a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 17?

b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 100?

Observa que la figura 1 tiene un cuadrado; la figura 2 tiene tres cuadrados; la figura 3 tiene cinco cuadrados, y así sucesivamente. Con esos datos puedes hacer una tabla que te ayude a responder las preguntas. 2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas

a y b.

3. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.

48 75

123

351 411 507 4. Escribe tu programa en la línea.

Bloque 6 •

El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

r Hoja de trabajo48

\~--------------

Patrones geométricos (2) Observa la siguiente sucesión de figuras.

1. En el siguiente espacio dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.

.......................................... ............................................................................. ..................................... . ........ a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 9?

b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 17?

2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas a y b.


Lugal'. ~ue ocupa la figura en la sucesión

Número de cuadrados que se necesitan

48 75 123 427 469

601 4. Escribe tu programa en la línea.

'



\~---------------

Patrones geométricos (3) Observa la sucesión de figuras.

L En el siguiente espacio dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.

o) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadrado gris en la figura que va el marco del cuadrado gris en la figura que va en el lugar número 27? en el lugar número 40?

2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas

a y b.


48 75

704 772

840 4. Escribe tu programa en la línea.

Bloque

6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas


\~--------------

Ventanas En la sala de escultura del Museo de Arte Moderno las ventanas tienen estas características.

aD

Presentan distintas medidas pero, en todas, la altura es el triple de lo que miden de ancho.

1. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla. 0.75 m

0.86m

1.28m 3.51

4.23

2. los marcos de estas ventanas están hechos con una madera cuyo precio por metro es de $53.00. Con esta información, contesta las preguntas siguientes. o) ¿Cuánto cuesta el marco de una ventana de 1.5 metros de ancho? b) Explica qué operaciones hiciste para calcular ese costo.

3. Construye un programa que te permita calcular el costo del marco de cualquiera de las ventanas de esa sala. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Explica con claridad qué representa la literal que usaste en tu programa en términos de los datos del problema.



\~---------------

Algo más sobre ventanas En la sala de pintura del Museo de Arte Moderno, las ventanas tienen las siguientes características.

Presentan distintas medidas pero en todas su altura es 50 cm menos que el triple de lo que miden de ancho.

L Completa la siguiente tabla. 0.30m

0.45m

1.30 m

1

4.45 m

6.55 m

2. los marcos de estas ventanas están hechos de una madera cuyo precio por metro es de $62.00.

a) ¿Cuánto cuesta el marco de una ventana de 1.3 metros de ancho?------------b) Explicaqué operaciones hiciste para calcular ese costo. -----------------

3. Construye en tu calculadora un programa para obtener el costo del marco de cualquiera de las ventanas de esa sala. Escribetu programa en el siguiente recuadro.

4. Utilizatu programa para completar la siguiente tabla.

~-~-º-·3_5_m~-..-~º-·6_5_m~-.~~º·_ª_4_m~--+~~1._2o~m~-+~~$

S. Explica el razonamiento que seguiste para construir tu programa.

Bloque



\~--------------

Maquetas En la sala de arquitectura del Museo de Arte Moderno se está presentando una exposición de maquetas con diferentes diseños para la construcción de un nuevo aeropuerto. Las maquetas están colocadas en mesas cuyas características son las siguientes. El largo de cada mesa es de un metro más que el doble del ancho. En la figura de la derecha se muestran las cubiertas de algunas mesas.

D ...._

_.I ancho largo

l. Construye en tu calculadora un programa para 2. La madera con que está construida la cubierta de las mesas cuesta $155.00 por metro cuadrado. Programa tu calculadora para obtener el costo de la cubierta de esas mesas. Escribe tu programa en la linea de abajo.

completar la siguiente tabla.

L40 m 255 m 3.45 m

2.75m 6.5 m 4.4 m 3. Construye un programa que te permita calcular el costo del marco para cualquiera de las ventanas de esa sala. Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.

4. Para construir tu programa utilizaste una literal. Explica detalladamente qué representa esa literal en términos de los datos del problema.-------------------------



\~---------------

Rebajas

15% DE DESCUEN'IOEN lODA u MERCAllCÍA ~

En una tienda de libros y discos se hace la siguiente oferta.

El descuento se aplica sobre el precio marcado en la etiqueta. '~'

L Construye un programa para completar la siguiente tabla.

-

l'!...i.t_

:.••'•L!.L;:¡_fil

••.:.11~

1• ~

·- -

11i C(1 F.T1••11'·•..r

-

· •1 r• l-t:lllH::.Jal

F.1

••-

~- .. ::.,_ ..~

$34.00 $18.75 $126.80 $28.50 $150.00 $72.35 $29.40

2. Construye en tu calculadora un programa para que haga lo siguiente.

~!------------------~

Al introducir el precio de etiquetadebe dar por resultado el precio de oferta. Escribetu programa en el recuadro de la derecha.


-1:...~

-

, •

.J

"'-

-

1•lo!.•:";•r1

$84.00

[1_[_;"1..fJ

-

- -

1!11'.:.:IJlh••

--

[ :.••\ "~ I• iF.1

$28.75 $226.80 $29.60 $140.00 $142.80 $144.50

4. En tu programa usas una literal. Explica detalladamente qué significa esa literal en términos de los datos del problema.--------------------------------

Bloque



\~--------------

¡Descuento general! En una papelerfa se hace la siguiente oferta.

1. Construye en tu calculadora un programa y, de acuerdo con la información dada, completa la siguiente tabla.

-

1:..:.: ... :1•:.h

-

••

:.lU•IH!JF.1

1~11111"1

-

... h••llL.

-

:.•• r:.t...--!H:.11;

$14.40

~

·-~· -

••

--

,, . ..-,\{ .:.l•l-.1

$17.10 $23.40 $45.00 $26.10 $30.60 $46.80 2. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente. Si el valor de entrada es la cantidad que se descuenta,el valor de salida debe ser el preciode oferta. Escribe tu programa:--------3. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente. Si introduces la cantidadquese descuenta,debe dar como resultado el preciomarcado en la etiqueta. Escribe tu programa:-----------

4. Completa las siguientes tablas utilizando tus programas. $15.40

$18.75

$8.90

$10.00

$14.35

$11.70

$6.75

$ 8.90

$8.40

$9.60

S. Para contestar la actividad 2 construiste un programa, ¿qué significa la letra que usaste, en términos de los

datosdelproblema?

_



\~---------------

Bienes raíces Una empresa de bienes raíces vende terrenos con las siguientes medidas. B fondo del terreno mide 30 metros más que el doble del frente.

Fondo ~ Frente

l. Con esos datos construye en tu calculadora un programa y contesta lo siguiente. a) El señor Pérez utilizó 132 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide su terreno de frente y cuánto de fondo? b) la señora Gómez necesitó 168 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide su terreno de frente y cuánto de fondo? c) la señora Rodríguez empleó 156 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide su terreno de frente y cuánto de fondo? d).EI señor González compró un terreno que mide 76 metros de frente. ¿Cuántos metros de tela de alambre debe usar para cercar su terreno?

2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas anteriores.

3. A continuación, escribe aquí tu programa.

Bloque 6 •

El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas


\~--------------

¿Si modifico el perímetrocambia el área? Arroyo Una persona tiene un terreno junto a un arroyo. Compró 100 metros de tela de alambre para cercar la parte del terreno que no colinda con el arroyo.

Terreno

Su deseo es aprovechar que el arroyo limita un lado de su terreno y usar sus 100 metros de tela de alambre de manera que le quede un terreno rectangular con la mayorárea posible.

1. Con lo anterior en mente, construye un programa que complete la tabla de la derecha.

- -r.w1 F.T1

50

-

F.T7 iTll

~ .1;;.•

~ •

• I • • ~I •

• •

30 60 10 70 8 65 58 55.5 54.8 53.4 50.2 50.15 2. Programa tu calculadora para completar más rápidamente esa tabla. Escribe a continuación tu programa.

3. Anota las medidas del lado largo y las del lado corto del terreno para obtener la mayor área posible.

Lado largo =

m

=

m

Lado corto

Área=

m2

4. Explica con claridad qué significa la literal que usaste en tu programa en términos de los datos del problema.



\~----------

Números palíndromos Observa los siguientes números. 131

1441

1537351

47874

327898723

L Indica qué caracterfstica especial observas en ellos. A este tipo de números se les llama números palindromos. Un número palíndromo puede tener tres dígitos, o cuatro, o los que uno quiera. 2. Construye en tu calculadora un programa y completa la siguiente tabla con números palíndromos que contengan los dígitos que se indican en cada caso. 1

•'111111-:!.J

•

..

-

·-

i....¡1.~.llli,., •••

11> l IL. ..

Tres dígitos Cuatro dígitos Cinco dígitos Seis dígitos 3. Programa tu calculadora de manera que si introduces dos dígitos te dé por resultado un palíndromo de tres dígitos. Observa que en tu programa debes utilizar dos literales. Escribetu programa en el siguiente recuadro.

4. Programa tu calculadora de manera que si

introduces dos dígitos dé por resultado un palíndromo de cuatro dígitos. Escribetu programa en el recuadro de la derecha. S. Programa tu calculadora de manera que si introduces tres dígitos dé por resultado un palíndromo de seis dígitos. Escribetu programa en el recuadro de la derecha.

Bloque



\~---------

Números consecutivos Observa los siguientes números.

123

678

789

234

1. Indica qué característica especial observas en ellos. ------------------

2. Anota en los recuadros de abajo otros dos números que tengan la misma característica.

3. Programa tu calculadora de manera que si introduces sólo un dígito te dé por resultado un número de tres dígitos, como en los ejemplos anteriores. Escribe tu programa en el espacio de la derecha.

1

~--------------------~ 4. Programa tu calculadora de modo que produzca números como los que se muestran abajo, usando como valor de entrada un número de un dígito.

1234

5678

4567

2345

3456

Escribeaquí tu programa. S.

Explicalo más claramente posible el razonamiento para construir tu programa.

6. Construye un programa que produzca los siguientes números. 135

246

357

Escribeaquí tu programa:----------------------------

579

468



\~----------

Números pares e impares Se llaman números consecutivos aquellos enteros que van uno enseguida del otro, como 3 y 4, 11 y 12, 125 y 126. 1. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números consecutivos el resultado es un número impar. ¿Estás de acuerdo con él?--------------Justifica tu respuesta.----------------

2.

Construye un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida y su consecutivo . Anota tu programa en el espacio de abajo.

sea la suma de ese número

3. Una estudiante dice que cada vez que suma tres números consecutivos el resultado siempre es un múlti-

plo de tres. ¿Estásdeacuerdo? Justificatu respuesta.

_ ~

4. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es un número entero, te dé por resultado la suma de ese número y los dos que le siguen en la sucesión numérica. A continuación, escribe tu programa en el recuadro de abajo.

Bloque



\~---------

Conjeturas 1. Una estudiante dice que cada vez que multiplica dos números consecutivos el resultado es un número impar. ¿Estásdeacuerdo? _ Justificatu respuesta.-----------------------

2. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida sea el producto de ese número y su consecutivo. Escribeluego tu programa en el siguiente recuadro.

3. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números impares el resultado es un número par. ¿Estásdeacuerdo?

_

Justificatu respuesta·------------------------------~

4. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es cualquier número entero, el valor de salida siempre sea un número impar.A continuación escríbelo en el siguiente recuadro.



\~---------------

Un juego matemático 1. Piensa en un número entero que esté entre el 1 y el 10; a ese número súmale 10 y anota el resultado. Ahora réstale a 10 el número que pensaste y anota el resultado. Suma los dos resultados que anotaste, ¿qué resultado obtuviste?------------------2. Un estudiante dice que siempre que haga esto obtendrá 20.

¿Estás de acuerdo?

_

Justificatu respuesta. -------------------

3. Construye un programa que represente ese juego con números. A continuación, escríbelo en el siguiente recuadro.

4. En tu programa usaste una literal, ¿qué representa en términos de los elementos de ese juego? Explícalo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

S. Una estudiante dice que siempre dará lo mismo, no importa que empiece con un número mayor que 10.

¿Estásde acuerdo?

_

Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

6. Otroalumnodicequepuede empezar con cualquier número,ya sea negativo,positivo,einclusocon números decimales,y que siempre dará lo mismo. ¿Estásde acuerdo? ----------------Proporciona tres ejemplos que justifiquen tu respuesta. -------------------

7. Un estudiante dice que el programa a2 + a2 produce los mismos valores que (a acuerdo? Presenta tres ejemplos que justifiquen tu respuesta.-----------

+

b)2. ¿Estás de

Bloque


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. Elabora una matriz que permita ver en cuáles de los bloques 1 a 6 se aborda el desarrollo de las siguientes habilidades y nociones matemáticas e indica en cada celda de la matriz el nivel en que se abordan: i) introductorio, ii) de fortalecimiento o, iii) de aplicación. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Reconocimiento de patrones numéricos. Expresión algebraica de la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico. Noción de función lineal. Equivalencia de expresiones algebraicas. Noción de función inversa de una función lineal. Reconocimiento de la jerarquía de las operaciones. Lectura de expresiones algebraicas que contienen paréntesis. Producción de expresiones algebraicas que contienen paréntesis. Simplificación de términos semejantes. Noción de ecuación. Uso de funciones lineales para plantear y resolver problemas. Uso de números con signo en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas. Uso de números fraccionarios en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas.

2. Indaga en diversas fuentes a qué se le llama "paridad de los números enteros· y qué aplicaciones tiene esta noción en la resolución de problemas. Comenta con tus compañeros y tu profesor lo que hayas encontrado. 3. En un breve ensayo presenta el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al realizar este tipo de actividades.

4. Presenta en un documento breve tus reflexiones sobre el tipo de competencias docentes que desarrollaste al realizar las actividades de este bloque.

BLOQUE

E

n este bloque se aborda el estudio de la función inversa de una función con base en el apoyo visual que brinda el ambiente gráfico de la calculadora. Éste es el primer acercamiento a la lectura y construcción de gráficas que se hace en este libro. Se acude a los conocimientos y habilidades previamente desarrollados para realizar conexiones entre las representaciones algebraica, tabular y gráfica de una función. A lo largo de las hojas de trabajo se identifican propiedades importantes de las funciones inversas; por ejemplo, la simetría entre sus gráficas respecto de la función y= xy la relación entre su dominio y contradominio. En las actividades se aprovechan los recursos que ofrece la calculadora algebraica para estudiar las distintas representaciones de una función. Mediante este acercamiento didáctico se pretende propiciar el desarrollo de habilidades cognitivas como la exploración, la experimentación y la formulación de conjeturas a través de la visualización, lo cual permite establecer una mediación entre el cuerpo de conocimientos y el estudiante. Las hojas de trabajo abordan aspectos directamente relacionados con la educación básica, entre los que destaca el uso de tablas, ecuaciones y gráficas en el plano cartesiano. El paso de una a otra de estas formas de representación provee recursos valiosos para la comunicación de ideas matemáticas y la resolución de problemas. Lo anterior se orienta al fortalecimiento de las competencias para el uso de tecnología con fines educativos por parte de los futuros profesores.

145

7



\~---------

Tablas, expresiones algebraicas y gráficas 1. Escribe en la siguiente línea el programa que construiste en la hoja de trabajo 42 del bloque 5 para obtener los valores de salida que se muestran en la tabla de la derecha.

Uailorde entrada

1

Valor de salida

10.4

4.9

16

10.5

19

13.5

23.5

18

37

31.5

Ahora iniciarás el estudio de la construcción de gráficas en el plano cartesiano, con las cuales representarás la relación entre los valores de entrada y salida con que has trabajado hasta aquí. 2. Localiza en tu calculadora el editor para introducir la expresión algebraica con que construirás la gráfica. De ahora en adelante llamaremos funciones a esas expresiones algebraicas; también toma en cuenta que siempre que introduzcas esas expresiones en la calculadora debes utilizar la literal x.

=

3. la expresión y x 5 representa la relación entre los valores de entrada y los de salida; estos últimos dependen del valor dex.

4. Despliega en tu calculadora la gráfica de la función

y= x 5; asegúrate de que sea como la siguiente.

~-

~~,\~

...y4=

...~= y6= y7~

y8= y9= y10=

ii'J.:{x>=x 5tltt AUf&

fGAC

La escala en los ejes cartesianos es l. S. En la hoja de trabajo 42 del bloque 5 también encontraste la expresión algebraica para Invertir lo que hace la expresión de la actividad 1 de esta hoja. Anótela a continuación. Su tabla de valores es la siguiente. 4.9 10.4

10.5

13.5

18

31.5

16

19

23.5

37

6. Construye en tu calculadora, sin borrar la gráfica que hiciste en la actividad 3, la gráfica de la función de la actividad 4 y dibújala en el plano cartesiano de la actividad 3. Observa las dos gráficas en la misma pantalla y responde las siguientes preguntas. o) ¿Qué semejanzas encontraste entre la función

y= x 5 y la que la invierte?

b) ¿Qué diferencias encontraste entre las gráficas de la función

y= x 5 y la que la invierte?

Bloque


7 • Noción de función inversa

\~--------

Gráficas de una función lineal y su inversa (1) 1. Construye en tu calculadora la siguiente gráfica y anota la función que usaste.

y= .)(

2. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica y la función de la actividad anterior. Utiliza la tecla TRACE (Traza) para recorrer la gráfica y desplegar las coordenadas de los puntos por los que pasa el cursor.

-8

-5

-2

-4

-1

o

1

3

3. Reproduce la siguiente gráfica en la calculadora y escribe la función que usaste.

y=

4. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica y la función de la actividad anterior.

-4

-1

o

2

3

4

5

7

S. Explica claramente qué relaciones encuentras entre las gráficas, la expresión algebraica y las tablas de las dos

funciones·---------------------------------6. Construye la gráfica de la función y= x y dibújala en el siguiente plano cartesiano, cuida de no borrar de tu calculadora las dos gráficas anteriores. Explica qué relación observas entre la gráfica de _

y= x y las dos anteriores.

.x

/.a función y = x - 4 es la función inversa de y = x + 4. La gr6fica de y = x es el eje de reflexión de las gr6fic:as de unafuncióny su funciónInversa.



\~----------

Gráficas de una función lineal y su inversa (2) l. Completa la siguiente tabla a partir de la gráfica. la escala en los ejes X y Y es l.

•

E

-2

-1

o

·X

0.5

2

1

2.5

2. Reproduce en tu calculadora la gráfica anterior y anota el programa en el recuadro.

y= 3. Sin borrar lo que construiste en tu calculadora, construye la gráfica de la función inversa de la función de la actividad anterior y reprodúcela en el plano de la actividad l. Explica claramente qué relaciones observas entre las gráficas.

4. Escribe en el recuadro la función que encontraste para responder a la actividad 3.

y= S. Completa la siguiente tabla utilizando la función de la actividad anterior.

i1611i.___-_4 _ _.___-_3 _ _.___-_2 _ _.___º_---L__ 1_ __,___ 2_

__,___

4_ __.___ 5_ __,

6. Explica qué relación observas entre los valores de las tablas de las actividades 1 y 5.

7. Sin borrar en tu calculadora las gráficas anteriores, construye la gráfica de la función y= x, y dibújala en el plano de la actividad l. ¿Consideras que la gráfica de y x es el eje de reflexión de las otras dos?

=

8. ¿Cuál es la función inversa de y = 4x? Construye en tu calculadora las gráficas de ambas funciones. 9. ¿la gráfica de y= x es el eje de reflexión de las gráficas de la actividad anterior? Justifica tu respuesta.------------------------------

_

Bloque



\~--------

Gráficas de una función lineal y su inversa (3) 1. Completa la siguiente tabla usando la función y= 2x 6

1 5.2 1 4.5 1 3.1 1 2.6 1

+ 3. 1

o

1-1.51-2.21-3.41-5.81

-6

2. Construye en tu calculadora la gráfica de la función anterior y reprodúcela en el siguiente plano.

,X GRO AUTO

FUNC

3. Construye a continuación la tabla de la función inversa de y= 2x actividad l.

+ 3; utiliza los valores de la tabla

de la

4. Construyela función inversa de y= 2x + 3 y anótala en el siguiente recuadro.Verifica tu respuesta compro-

bando en tu calculadorasi la función que encontraste produce los valores de la tabla de la actividad anterior. y=

5. Construye en tu calculadora la gráfica de la función inversa y reprodúcela en el plano de la actividad 2. Observa las relaciones entre las gráficas. ¿La gráfica de la función y= x es eje de reflexiónde las dos graficas? Justificatu respuesta. ------------------6. Un estudiante dice que la función inversade y= 2x + 3 esy =x + 2-3. ¿Estásde acuerdo?

_

Justificatu respuesta.-----------------------------7. Uno de sus compañeros dice que la función inversa de y= 2x + 3 es y= x -3 + 2. ¿Estásde acuerdo? _ Justificaturespuesta·-----------------------------8. ¿Cuál es la función inversa de y= x-1? ----------

1 Explica cómo la obtuviste.----------------------------

Construye en tu calculadora las gráficas correspondientes y comprueba que encontraste la función inversa. Explica con claridad lo que tuviste que observar en cada gráfica.



\~----------

Gráficas de una función cuadrática y su inversa (1) l. Encuentra la función que produce los valores de salida de la tabla de la izquierda. Completa luego la tabla de la derecha con los valores que corresponden a la función inversa.

"'

'3 3.5

12.25

3

9

25

6.25

2

4

1

1

o

o

2. Escribe a continuación cada una de las funciones que encontraste en la actividad anterior. Función inicial

Función inversa

Y=

Y=

3. Construye en tu calculadora la gráfica de cada una de esas dos funciones

MftlN

fCO AUTO

y reprodúcelas en el siguiente plano.

FUNC

4. Anota las diferencias que observes entre la gráfica de la función inicial y la de su función inversa. 5. ¿A qué crees que se deban esas diferencias?----------------------Justifica tu respuesta.------------------------------6. Construye en tu calculadora la gráfica de y= xy reprodúcela en el plano anterior. ¿La función simetríadetusgráficas?

y= xes el eje de _

Justifica tu respuesta. Observa que en la función

_

y= x2 el valor de y es el mismo para ciertos valores de x. Por ejemplo, para x = 1

y x = -1; para x = 2 y x = -2, etc. Por esto diremos que este tipo de funciones no es "uno a uno"; cuando

una función no es "uno a uno· su función inversa sólo está definida para determinados valores de 7. Observa la gráfica de la función inversa de y= de x está definida.

x.

x2 que construiste en el punto 3 e indica para qué valores

8. ¿Cuál es la función inversa de y= 2x2? -----------------------Comprueba tu respuesta construyendo en tu calculadora las gráficas necesarias.

Bloque



\~---------

Gráficas de una función cuadráticay su inversa (2) 1. la siguiente gráfica corresponde a una función cuadrática. Construye en tu calculadora la gráfica de su función inversa y reprodúcela en el mismo plano. La escala en ambos ejes cartesianos es l.

2. Comprueba que la gráfica que construiste corresponde a la de la función inversa.

3. Anota las funciones que usaste. Función inicial

Función inversa

Y=

Y=

4. Explica detalladamente cómo obtuviste la expresión algebraica de la función inversa.

5. ¿A qué crees que se deba que la calculadora sólo reproduce una de las ramas de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y = x2 + 1? Analiza tu respuesta con tus compañeros y con tu profesor. 6. Construye la gráfica de la función inversa de la función cuya gráfica es la siguiente, y reprodúcela en el mismo plano. La escala en los ejes cartesianos es l. • Y.

~-----+---------------><.: MftlN

GRO #llUTli

íUNC

7. Anota las ecuaciones que usaste. Función inicial

Función inversa

Y= Y= 8. Explica con toda claridad cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa.



\~---------

Inversa de funciones lineales y cuadráticas L Encuentra la función inversa de las funciones que corresponden a las siguientes gráficas; construye en el mismo plano sus gráficas y anota su ecuación. La escala en los ejes cartesianos es l. Finalmente, comprueba gráficamente que la función que encontraste es la inversa. a)

Función inicial

Y= Función inversa

Y=

b) Función inicial

Y= Función inversa

Y= MAIM

GRO fllUTD

f"UNC

e) Función inicial

Y= Función inversa

Y= Hft1N

FUNC

2. Encuentra la función inversa de las siguientes funciones y describe el procedimiento que empleaste en cada caso.

a)y=3Xl4

b) y= Jzx+1 + 3

Bloque 7

• Noción de función inversa

Actividades sugeridasparael futuro docente 1. Indaga en fuentes matemáticas acerca de la inversa de una función, y responde las siguientes preguntas: o) ¿Para qué tipo de funciones existe su función inversa? b) ¿Qué tan útil es saber encontrar la función inversa de una función dada? c) ¿Cómo se determina la función inversa de una función lineal? d) ¿Cómo se determina la función inversa de una función cuadrática? 2. Compara en equipo los resultados de tu indagación con tu experiencia de completar las hojas de trabajo de este bloque; escribe un breve documento y preséntalo a tu grupo. 3. Redacta en equipo un ensayo sobre la pertinencia del uso de la calculadora en este bloque de actividades. Presenta dicho ensayo al grupo y coméntenlo con sus otros compañeros y su profesor.

4. Haz una lista de los contenidos matemáticos que se abordan en las hojas de trabajo de este bloque y relaciónalos con los que se proponen en los programas de educación básica. S. A continuación: o) Selecciona algunas hojas de trabajo de este bloque para utilizarlas en una clase con alumnos de educación básica; haz las adecuaciones que consideres necesarias. b) Presenta a tus compañeros las hojas de trabajo que seleccionaste y toma nota de las observaciones que hagan sobre tu trabajo. e) Realiza una práctica con un grupo de educación básica y elabora un registro de lo sucedido, de manera especial en lo referente al tipo de aprendizaje logrado que hayas observado. d) Comparte con el grupo tu experiencia en la práctica realizada. 6. Indaga en fuentes bibliográficas la función "raíz cuadrada". Selecciona actividades que incluyan el uso de diferentes representaciones (tablas, expresiones algebraicas y gráficas) y organiza entre tus compañeros una sesión de trabajo con los materiales seleccionados. 7. Realiza en equipo una indagación en las fuentes que consideres pertinentes para dar respuesta a la siguiente pregunta:¿ Por qué la calculadora muestra solamente una rama de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y= x2? Comenten sus conclusiones con su grupo y su profesor.

BLOQUES Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica

Propósitos centrales de las actividades de este bloque. (1) Estudiar el comportamiento gráfico de funciones de la forma y= mx + b. (2) Estudiar los efectos sobre las gráficas del ajuste de la es cala y el rango en el plano cartesiano. (3) Reconocer la pendiente de la recta como la razón del desplazamiento vertical en el eje y y el desplazamiento horizontal en el eje x. (4) Estudiar la ecuación de la recta a partir de dos de sus puntos y de un punto y su pendiente. (5) Identificarlos conceptos de crecimiento y decrecimiento, explorando el comportamiento de pendiente de una recta. (6) Introducir el concepto de regresión lineal al encontrar "la mejor recta" para estudiar el comportamiento de una nube de puntos. la propuesta didáctica de este bloque aborda el estudio de la ecuación de la recta y su representación gráfica; las actividades evolucionan paso a paso para centrar la atención en conceptos básicos como la ordenada al origen y la pendiente. El tratamiento algebraico y gráfico se basa en el uso de la representación algebraica y la representación gráfica de una recta, aprovechando las facilidades que ofrece el software para determinar una gráfica a partir de su ecuación, y viceversa. Este bloque amplía el estudio del plano cartesiano, abordando los conceptos de escala y rango. Por su carácter dinámico, estos aspectos cobran gran relevancia en el ambiente gráfico de la calculadora, pues bastan unos pequeños ajustes para producir distintas vistas de una gráfica. la calculadora es un elemento central en esta propuesta didáctica. La inmediata retroalimentación que la máquina ofrece permite que los estudiantes confirmen o refuten sus conjeturas, e induce a establecer una comunicación con la calculadora al utilizar el código algebraico y su correspondiente a la representación gráfica. 155



\~---------,.._.%_. Re-dib

Un punto importanteen una recta

F''t

""'

r-s..- ,..,... :> M.at.. 01 b ...

l. Introduce en el editor de ecuaciones de tu calculadoraJa ecuación y= 2x + 5. Para contestar lo que se pide a continuación, construye Ja gráfica de esa ecuación empleando el editor de gráficas.

X

2. Reproduce Ja gráfica en el plano cartesiano. ¿Cuálesson las coordenadas del punto donde Ja gráfica corta

al eje Y? 3. Determina Ja relación entre las coordenadas de ese punto y Jos valores numéricos que aparecen en Ja

ecuación y= 2x + 5. -----------------------------4. Construye Ja gráfica de Ja ecuación y= 3x -4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde esa gráfica

corta al eje Y?

_

Justificatu respuesta.------------------------------5. Explica Ja relación entre las coordenadas de ese punto y Jos valores numéricos que aparecen en Ja ecua-

ción y= 3x 4. -------------------------------6. Una estudiante dice que la gráfica de Ja ecuación y = 4x

+ 3 corta

al eje Y en el punto de coordenadas

x =O, y= 3. ¿Es correcto Jo que dice?------------------------Justificatu respuesta.------------------------------7. Anota las coordenadas del punto donde Ja gráfica de Ja ecuación y = 3x corta al eje Y.

¿Cómo modificarías esa ecuación para que su gráfica corte al eje Y en el punto de coordenadas x = O, y=2.5?~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8. ModificaJa ecuación y= 3x para que su gráfica corte al eje Y en el punto x =O, y= -4.5. ¿Qué ecuación construiste? _ Justificatu respuesta.------------------------------9. Construye en tu calculadora cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el punto

x = O, y= 5.7.

Escribe en las siguientes líneas las ecuaciones que usaste.

10. Un estudiante dice que la gráfica de Ja ecuación y = 5x - 4 corta al eje Y en el punto x = O, y = 5. ¿Es correcto Jo que dice? _ Justificaturespuesta·------------------------------11.Jnventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el punto x =O, y= -4. Indica cuáles son esas ecuaciones y comprueba tus respuestas construyendo las gráficas en tu calculadora. _

Bloque 8 •


Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica

\~---------

Cambio de escala

+ 3. o) Describe las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y.

1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y= 2x

X= y= b) Describe las coordenadas del punto donde corta al eje X? X=

y=

2. Configura tu calculadora de modo que la pantalla pueda configurarse de distintas maneras para reproducir gráficas. Las siguientes figuras muestran la gráfica de la ecuación y= 2x + 3 con distintas escalas en el eje Y. En la parte superior de cada pantalla se indica qué escala se empleó para producir cada gráfica. Por ejemplo, si se ajusta la escala en el eje Y como "ysd = 2·, significa que cada marca en el eje Y vale 2 unidades, etcétera. Rgura 2; yscl = 2

Figura 1; yscl = 1

4

3

X

Figura 3; yscl = 3

X

Rgura 4; yscl = 0.5 }'

a) Describequédiferenciasobservasenlasgráficas.

_

b) ¿Las coordenadas del punto donde cortan aleje Y son las mismas en todas las gráficas?

_

¿Por qué parecen ser distintos los puntos donde cada gráfica corta al eje Verifica tus respuestas utilizando la tecla TRACE de la calculadora.

Y?



\~----------

Más sobre escalas y gráficas Las siguientes gráficas se trazaron usando una escala en la que cada marca en el eje Y equivale a cinco unidades y cada marca en el eje X equivale a dos unidades. Figura 1

l. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 1 corta al eje Y. 2. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 1 corta al eje X

Figura 2

3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 2 corta al eje Y? _ 4. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 2 corta al eje X?

Flgura3 S. Escribe las coordenadas del punto don-

.I'

de la gráfica de la figura 3 corta al eje Y. 6. Escribe las coordenadas del punto don-

de la gráfica de la figura 3 corta al eje X

·6

2

6

7. Reproduce exactamente esas gráficas en tu calculadora. Verifica tus respuestas usando la herramienta TRACE. ¿Todastus respuestas fueron correctas?-------------------Justificatu respuesta·------------------------------

Bloque 8 •

r Hoja de trabajo 7!1


\~--------

El rango del editor de gráficas Se le llama rango del editor de gráficas a los valores máximo y mínimo que podemos asignar tanto en el eje X como en el eje Y.

l. Activa tu calculadora de modo que te muestre en la pantalla los valoresmínimo y máximo en que esté configurado el editor de gráficas.Completa la siguiente tabla con los valores de tu calculadoraen este momento.

= JtlnOX =

XIJIOX indica

ymin=

ymin indica el valor mínimo en el eje Y

ymax=

ymaxindica el valor máximo en el eje Y

X1J1in

xmln indica el valor mínimo en el eje X

el valor máximo en el eje X

2. Construye la gráfica de la ecuación y= 2x + 3 y anota las coordenadas de los puntos en que cortan al eje

Xyalaje~------------------------------~ 3. Ahora configura el rango con la tecla RANGO de tu calculadora con los siguientes valores y observa de

nuevo la gráfica de la ecuación y

= 2x + 3. xmin= -20 ymin= -30

xmax= 20 ymax=30

Describe lo que ocurre cuando cambias el rango del editor de gráficas. -------------

+ 30 y y = 40 - 3x. Esas gráficas se cortan en un punto, perono podrás verlo en la pantalla. a) Ajusta el rango y la escala de la pantalla del editor de gráficas para que puedas ver en qué punto se cortan esas gráficas. b) Usala tecla TRACE para encontrarlas coordenadas del punto donde se cortan esas gráficas.¿Cuálesson las

4. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones y = 2x

coordenadas del punto de intersección?----------------------5. Construye una ecuación de modo que su gráfica no se vea en la pantalla debido a cómo está definida la escala en el editor de gráficas y a los valores máximos y mínimos asignados para los ejes X y Y. ¿Qué

ecuación construiste? Justifica tu respuesta.----------------------6. Describe cómo ajustarías el rango de tu calculadora para que la gráfica sea visible.

_

7. Configura el rango de la calculadora para que puedas ver la gráfica de la ecuación y= 10 x sólo en el

primer cuadrante del plano cartesiano. Anota los valores que tuviste que usar.

xmin= ymin=

xmax= ymax=



\~----------

Rectas que "crecen"

=

Figura 1

L Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y x. que se muestra en la figura l. la escala en ambos ejes carte-

sianos es uno. En la figura se han destacado algunos puntos. No tienes que reproducirlos,sólo son una ayuda para leer la gráfica. 2. Describe las coordenadas de los puntos resaltados en la gráfica _

X

3. ¿A qué crees que se deba la relación que observas entre los valores de la primera y la segunda coordenadas de esos puntos? Descríbela a continuación.---------------------Figura 2

4. En la figura 2 se muestra la gráfica de la ecuación y = 2x. la

escala en ambos ejes cartesianos es uno. Constrúyela en tu calculadora. Se han resaltado algunos puntos de la gráfica, ¿cuáles son las coordenadas de esos puntos?-----5. Una estudiante dice que en esa gráfica los valores de

y son X

el doble de los valores de x. ¿Es cierto? Describe la relaciónentre lo que dice y el que la gráfica se haya construido usando la ecuación y= 2x. 6. Completa la siguiente tabla usando la ecuación y= 5x. Describe la relación entre los valores de xy y.

-2.5

1.5

-2

2

3

4.5

-7.5 7. Cuando se localizan las coordenadas de un punto, se cuenta cuántas unidades se avanza sobre el eje X y luego cuántas se sube o baja sobre el eje Y, con respecto al origen del plano cartesiano. Traza la gráfica de la ecuación y = 4x. ¿Cuántas unidades "sube"la gráfica en el eje Y por cada unidad que "avanza"sobre el eje X a partir del origen del plano? Encuentra una relación entre lo que "sube" y lo que "avanza" la gráfica con la ecuación y= 4x, y descríbela Construye una gráfica en la que por cada unidad que "avance· sobre el eje X, "suba"1.5 unidades sobre el eje Y. Describela ecuación que usaste para construir esa gráfica.----------------------------------Anota las coordenadas de tres puntos de tu gráfica.-------------------

Bloque 8 •



\~--------Figura 1

¿Qué gráficas "crecen" más rápido? En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en los ejes Xy Y es l. 1. Describe cuál de las gráficas de la figura 1 "crece·

más rápido.-------------2. ¿Cuál gráfica "sube" más lento?

_

3. la figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y= 3x 2. ¿Cuántas unidades "sube"

Rgura 2

la gráfica sobre el eje Y, mientras avanza desdex =O hasta X= l? _ 4. ¿Cuántas unidades "sube" la gráfica

mientras avanza desde x = 1 hasta x = 2? 5. Describe la relación entre los términos de

esa ecuación y el número de unidades que sube la gráfica en el eje Y con respecto a cada unidad que avanza sobre el eje

x

_

6. Construye en tu calculadora lo que se indica en cada caso.

o) Dos gráficas que "crezcan· más rápido que la gráfica de y= x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?------------· Compruébalo con tu calculadora. b) Dos gráficas que "crezcan" menos rápido que y = x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas? ------· Compara tus gráficas de calculadora con las de tus compañeros. e) Una gráfica que corte al eje Yen el puntox=O,y= 3,yquesuba 5.5 unidades porcada unidad que avanza sobre el eje X. ¿Qué ecuación usaste para construirla?------· Compara tu respuesta con la de tus compañeros y escribe tus conclusiones. ---------------------

d) Dos gráficasdistintas que "crezcan" igual de rápido que y= 4x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas? 7. Describe cómo son entre sí las gráficas que construiste.------------------



\~--------

¿Qué ecuacionesproducenesas rectas? .:

En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en los ejes X y Y es l. L Construye en tu calculadora una gráfica idéntica

.

/

Rgura 1

a la de la figura l. Describe qué ecuación usaste para construirla. _ ¿Qué información obtuviste de la gráfica para encontrar esa ecuación? _

2. Construye en tu calculadora tres gráficas idénticas a las de la figura 2. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?

Rgura 2

3. Construye en tu calculadora cuatro gráficas idénticas a las de la figura 3. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?

Rgura 3

4. ¿Encontraste un "método" para obtener la ecuación que corresponde a cada gráfica?-------

Descríbelode manera que todos tus compañeros lo entiendan.----------------

Bloque


8 • Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica

\~--Rgura 1

Gráficas que "decrecen" En las figurasde esta hoja de trabajo, la escalaen X y Y es l. la figura 1 muestra la gráficade la ecuacióny= x + 2. l. Escribelas coordenadas del punto donde la gráficacorta al

aje~------------------~

2. ¿la gráfica "sube" si avanzas desde x = 1 hasta x = 2?

Justificatu respuesta.

_

3. Una estudiante dice que esta gráfica"baja"cuando avanzasde izquierdaa derecha sobre el eje de las X. ¿Estásdeacuerdo? ¿Porqué? ~ Justificatu respuesta.------------------------------

= 2x + l. ¿Cuálesson las coordenadas de los puntos A, By C?

4. la figura 2 muestra la gráfica de la ecuacióny

Figura 2

S. ¿Cuántasunidadesavanzassobre el eje de las X si te mueves

desde el punto A hasta el punto B? ---------

. x.

6. Describe cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje

Yverticalmentecuando te muevesde Ca B.----------------------

7. Describe la relación entre lo que "baja" la gráfica por cada unidad al avanzar horizontalmentey su

ecuación.----------------------------------



\~---------Figura 1 La escala en Xy Yes 1

Más sobre gráficas que "decrecen" La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y= x + 2. L Escribecuáles son las coordenadas del punto donde

la gráfica corta al eje Y. 2. ¿La gráfica "sube" si avanzas desde x = O hasta x = 2? 3. Una estudiante dice que esta gráfica "baja" cuando avanzas desde x = O hasta x = 2. ¿Estás de acuerdo? Presenta un ejemplo que justifique tu respuesta----------------------4. La figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y = 3x + l.

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, By C?

Figura 2

La escala en X y Yes 1

S. Describe cuántas unidades avanzas sobre el eje de las X si te

mueves desde el punto A hasta el punto B.

.

_

6. Describe cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje Y cuando te mueves desde C hasta B.

7. Describe si encuentras alguna relación entre lo que "baja" la gráfica con su ecuación y cuál es. 8. Construye en la calculadora una gráfica que "baje" como las

anteriores y dibújala en el plano de la derecha. ¿Qué ecuación usaste para construir esa gráfica? _ ¿Cuántas unidades "baja" la gráfica sobre el eje Y cuando avanzas una unidad sobre el eje X? Justifica tu respuesta

1

9. Describe la relación entre lo que "baja" la gráfica y la ecuación que usaste.-----------

)(.

Bloque



\~---------

Rectas y ecuaciones 1. Reproduce en tu calculadora cada una de las gráficas que se muestran en las siguientes figuras. Anota en los espacios correspondientes las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes X y Y es l.

Ecuaciones:

; Ecuaciones:

; Ecuaciones:

_

···-·----------------------------------·--------------------------------------·--------------------------------------· '

Ecuaciones: --------:

Ecuaciones: --------: Ecuaciones: --------

2. En las siguientes figuras sólo se marcaron algunos puntos. Construye en tu calculadora las gráficas que pasen exactamente por esos puntos. las ecuaciones que utilizaste. . Anota en los espacios correspondientes . '

:

~

'

....

'

~:: : . ..: . : ..: ..... 1 . .. .. .

'

.

. '

..

....

...........

........... Ecuación:

• , , •

, ••

. '

..

• •X

_

. ' ...

...... •.

; Ecuación:

'

.....

X

_

•• X

: Ecuación:

:y , ..

~.

_

~ ......

. '

.x:

•• X

Ecuación:--------

.

y

Ecuación:--------

'

; Ecuación:--------

.X



\~---------

Cuadriláteros l. Reproduce en tu calculadora la figura 1 que un estudiante construyó,y anota en los siguientes espacios las ecuaciones que usaste.

Rgura 2

~I

.. . . . . . . . . . .. .. . .

Figura 1

2. Construye en tu calculadora las gráficas de la figura 2. Anota a continuación las ecuaciones que usaste.

. .. .. .. . .. .. . . . . .

3. Construye las gráficas de la figura 3 y anota las ecuaciones que usaste.

Figura 3

4. Describe,de manera que todos tus compañeros lo entiendan, cuál es la información más importante que te proporciona la gráfica para encontrar en la calculadora la ecuación que la produce. ------Realizaen tu calculadora un diseño con rectas paralelas. Anota las expresiones que usaste y bosquéjalo en el siguiente plano cartesiano. Expresiones. _ y

X MlllN

GRO AUTO

fUNC

Bloque



\~---------

¿Gráficas que no "crecen" ni "decrecen"? la figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y = l. Constrúyela en tu calculadora y compárala con ésta.

Figura 1 . .

•

.

.

.

........

.y M·

+·

1. Explica cuántas unidades "sube" la gráfica si te mueves desde x = 1 hasta x

= 2. ----------

2. Explica cuántas unidades "baja" la gráfica si te mueves desde x = 3 hasta x = 5. ---------3. Describe si encuentras alguna relación entre la ecuación que produce esa gráfica y el hecho de que no "suba"ni "baje"y determina cuál es.------------------------4. Un estudiante dice que esa gráfica no "crece· ni "decrece" porque "no hay x en la ecuación".Agrega que

los valores de y no dependen de los valores de x. ¿Estásde acuerdo?---------Refuerzatus conclusiones con algunos ejemplos.-------------------5. Otro estudiante dice que la ecuación y= 1 es equivalente a la ecuación y= O x

¿Estásde acuerdo?

x + l.

Justifica tu respuesta.-----------------

Describecómo consideras que afecta el cero en la ecuación respecto a lo que ves en su gráfica.

6. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y= 2x y describe qué efecto produce en la gráfica

el 2 que aparece en la ecuación.-------------------------7. Observa la ecuación y= 3x. Sin construir la gráfica, ¿puedes decir cuánto subirá esa gráfica sobre el eje Y por cada unidad que avanza sobre el eje X?---------------------8. Observa la ecuación Y =

t

x, y describe qué efecto produce en la gráfica el número ~ .

_

Verifica tu respuesta construyendo la gráfica correspondiente. 9. Dibuja una gráfica que es una línea recta con las siguientes características. la gráfica sube 3.5 unidades en

el eje Ypor cada unidad que avanza sobre el eje X. Además, la gráfica corta al eje Y en el punto (O, -2.5). ¿Qué ecuación corresponde a esa gráfica?----------------------



\~---------

Rectas horizontales En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en Xy Y es l. L Construye en la calculadora la gráfica de las siguientes ecuacio-

nes y dibújalas en el plano de la derecha.

y=Ox+2

y=Oxx+2 y=2

2. Un estudiante de otra escuela dice que con las tres ecuaciones anteriores obtiene gráficas iguales. ¿Estás de acuerdo?---------Justificatu respuesta.------------------------------

3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las expresiones que utilizaste.

y= 4. En la figura 1 aparecen las gráficas de las ecuaciones y= 1 y y= -1.5.Construye gráficas de manera que el espacio entre las gráficas quede prácticamente negro. Anota a continuación algunas de las ecuaciones que hayas usado.---------------

y= Figura 1

. x.

Bloque



\~---------

Puntos, rectasy ecuaciones 1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos que se muestran a continuación. la escala en X y Y es l. Figura 1 y

2. Describe cuánto sube la gráfica sobre el eje Y cuando avanzas desde x = 1 hasta x = 3. _

5

3

5

X

la figura 2 muestra los dos puntos que nos interesan y la gráfica de la ecuación y= 2x.

3. Indica cómo debes modificar dicha ecuación para construir una recta que pase por esos dos puntos. Comprueba tu respuesta construyendo la nueva gráfica en tu calculadora. Escribe la ecuación que usaste para lograr que la recta pase por los dos puntosdados. _

Figura 2 y

5 5

)(

4. Una alumna dice que esa gráfica sube 4 unidades en el eje Y cuando avanza 2 unidades sobre el eje X. Por lo tanto la gráfica sube 2 unidades en Ypor cada unidad que avanza sobre X. Con base en esos datos, asegura que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos debe empezar con y = 2x, pero falta sumarle algo para que "se suba" y no corte al eje Y en el punto (O, O). ¿Tiene razón? _ ¿Cuánto hay que sumar?---------S.

No todos los puntos de la figura 3 están alineados. o) Primero observa qué coordenadas tienen los puntos dados y constrúyelas luego en tu calculadora. b) Construye en tu calculadora una recta que pase por el mayor número posible de esos puntos e indica por cuántos de esos puntos pasa la recta.

Figura 3

La escala en X es 1 y en Y es 2 )'

8

•

2 2

¿Qué ecuación usaste?---------6. Explica qué hiciste para encontrar la ecuación de la recta que construiste. ------------

5


Í Hoja de trabajo 83 \~--Figura 1

Nubes de puntosy rectas

Escalaen X es l. Escalaen Y es 2

L Construye una recta que pase por el

mayor número posible de puntos de la figura l. ¿Qué ecuación usaste?

1 11

Compara tu recta con la de tus compañeros. ¿La que construiste pasa por más puntos que las que construyeron tus compañeros? _

••

••

1 1

1 1

X

1

1 •••

Describe cómo puedes mejorar tu ecuación. _

1

•

Si encontraste una nueva ecuación escríbela aquí. ---------2. Describe el método que usaste para construir la recta que pasa por esos puntos.

3. Los siguientes datos muestran cómo ha crecido el número de habitantes en San Miguel. l!tit:\ 1: F.1 :1"fIP':: ••

~ ':L.11

1980 12000

1982 15 000

1988 20000

1992 24000

1996 29000

2000 31000

2004 34000

Construye una gráfica de puntos que represente esos datos. Considera 1980 como el año 1; 1982 como el año 2, y así sucesivamente. Puede serte útil expresar el número de habitantes millares; por ejemplo, 12 en lugar de 12 000. Ajusta adecuadamente los valores máximos y mínimos de tu pantalla, observando que no haya valores negativos en la tabla. Tu gráfica debe verse como la de la figura 2. Figura 2

1988 MAIN

1988

1996

GRO RUTD

2884 íUNC

4. Si la población de San Miguel sigue creciendo a ese ritmo, ¿cuántos habitantes tendrá en el año

2008? ¿Cuántos en el 2016? ¿Cuántos habitantes tenia, aproximadamente, en 1972?

_ _

Bloque



\~--------Rgura 1

Nubes de puntos y predicciones Las gráficas de la figura 1 muestran el número de habitantes de San José y de San Felipe de 1960 a 1990, en intervalos de cinco años. En San José ha venido creciendo la población, pero en San Felipe está disminuyendo drásticamente.

• a

La escala en el eje Y es 5, y en el X es l. Las unidades sobre el eje Y están expresadas en unidades de millar.

[I

o

IJ

CJ

g

a

1. ¿En qué año se esperaría que San José y San Felipe tengan el mismo número de habitantes?

_


_

2. ¿En qué año se esperaría que la población de San José sea mayor que la de San Felipe?

_

¿Porqué?---------------------------------3. ¿Aproximadamente cuántos habitantes tenía San José en 1960? _ De acuerdo con la forma en que ha venido aumentando esa población, ¿cuántos habitantes tenía en 1955? ~ 4. ¿Aproximadamente cuántos habitantes más tenía San Felipeque San José en 1970? ------5. Construye en tu calculadora dos rectas, una que pase por los más puntos posibles sobre la gráfica de los

datos de San José, y la otra sobre los datos de San Felipe. ¿Qué ecuaciones utilizaste para construir esas

6. La figura 2 muestra los datos del movimiento de un automóvil entre las 8:00 y las 14:30 horas a intervalos de media hora (eje X). La escala en el eje X es 0.5, y el origen corresponde a las 8:00. Los datos en el eje Y corresponden a la posición del automóvil en kilómetros recorridos, con una escala de 100 en el eje Y.

Figura 2

'

7. ¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil de las 8:00 a las 10:00 horas?------¿Cuántos entre las 11:00ylas14:00 horas? _ ¿En qué momento retrocedió? ¿Cuántos kilómetros retrocedió? _ ¿A cuántos kilómetros por hora, en promedio, viajó el automóvil entre las 13:00 y las 14:30 horas? ------¿Cuál fue la velocidad máxima que alcanzó durante todo el recorrido?-----¿En qué intervalo llegó a esa velocidad? ¿En qué intervalo viajó más despacio y a qué velocidad viajó durante ese tiempo? _


Adividades sugeridas para el futurodocente L Describe la secuencia didáctica para el tema que se aborda en este bloque y comenta tu descripción con tus compañeros. 2. En equipo, haz un mapa conceptual del tema que se trata en este bloque y preséntalo a tu grupo. 3. Identifica las actividades que promueven el estudio de la ordenada al origen y elabora una presentación al respecto. 4. ¿En qué hojas de trabajo se aborda el estudio de la pendiente de una recta? Identifica tres ejemplos y elabora una presentación para analizarla con tu grupo. S. ¿Cuál es la ecuación de cada una de las rectas que se describen a continuación? Registra el procedimiento que emplees en cada caso y discute tu trabajo con tus compañeros y tu profesor. a) Pasa por (0,-2) con pendiente 3. b) Pasa por (0,0) con pendiente-%· e) Pasa por(-l,3)y(3,-4). d) Pasa por (0,4) y (2,0). e) Pasa por (1, 2) con pendiente 5. f) Pasa por (-4,-3) y (2,- 3). 6. Realiza en equipo una indagación en fuentes bibliográficas acerca de la ecuación de la recta y presenta tu trabajo al grupo. 7. Realiza las siguientes actividades. a) Mide la extensión de los brazos (medida a través de la espalda con los brazos extendidos para formar una "T") y la estatura de diez personas. Con esos datos completa la siguiente tabla.

b) Construye una gráfica de puntos con los datos de la tabla. e) ¿Qué tipo de relación observas que hay entre las dos medidas? Detalla tu respuesta.

_

d) Construye una recta que pase por la mayor cantidad de puntos.¿ Qué ecuación usaste? Compárala con la de tus compañeros.

_

e) ¿Cuál es la estatura estimada de una persona cuya extensión de brazos es de 140 cm? ¿y para 165 cm?

_

_

f) Anota tus conclusiones acerca de la relación entre la extensión de brazos y la estatura de una persona. ¿A quiénes y para qué puede ser útil conocer la relación entre estas dos variables? 8. Investiga acerca del coeficiente de correlación y la regresión lineal. 9. ¿De qué manera contribuyen las actividades de este bloque al desarrollo de estos temas? Detalla tu respuesta y prepara una presentación. 10. Investiga otras situaciones cuyo modelo matemático sea una función lineal y preséntalas a tu grupo.

BLOQUES Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones Los propósitos centrales de este bloque son los siguientes. (1) Estudiar las representaciones algebraica, gráfica y tabular de funciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c. (2) Identificar la parábola como la representación gráfica de funciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c. (3) Explorar el comportamiento gráfico de funciones cuadráticas de las formas y = ax2, y =ax2 + e, y= a(x + b)2 + c, y = ax2 + bx. (4) Desarrollar nociones de los conceptos de crecimiento, decrecimiento y máximo y mínimo de una función, mediante el estudio de su comportamiento gráfico. (5) Introducir el concepto de regresión al encontrar "la parábola que mejor se aproxima· y "la recta que mejor se aproxima", para estudiar el comportamiento de una nube de puntos. En este bloque se aborda el estudio de funciones de la forma ax2 + bx + c; a las gráficas de esas funciones se les llama parábolas; el vértice de estas curvas determina sus valores mínimo o máximo, lo cual depende de que la parábola decrezca y después crezca,y viceversa.las actividades que aquí se incluyen inducen el establecimiento de relaciones entre los parámetros de esas funciones y el comportamiento de sus gráficas. Esto conduce a la identificación de formas para producir diversas transformaciones en la parábola, como su traslación vertical y horizontal, la abertura de sus "ramas" o que "abra hacia arriba" o "hacia abajo". las hojas de trabajo presentan situaciones que pueden modelarse mediante una función cuadrática que refuerza el trabajo de las actividades del bloque anterior. El uso de los ambientes gráfico, algebraico y tabular de la calculadora facilita el paso de la representación algebraica o tabular de una función a su representación gráfica, lo cual favorece el desarrollo de habilidades para establecer relaciones entre estas formas de representación y las estrategias de traducción entre ellas. Dado que la calculadora permite producir una gran cantidad de representaciones en poco tiempo,el estudiante se motiva a acudir a estrategias de ensayoy error,y con el tiempo puede llegar a perfeccionar esos acercamientos intuitivos e inclusivecrear métodos propios muy cercanos a los convencionales.

173



\~---------------

Un punto muy importantede la parábola

Rgura 1

L la gráficaque se muestra en la figura1 es una parábola. Al punto destacado de la gráfica se le llama wrtice de esa parábola. Escribelas coordenadas del vértice de esa

parábola.-------------2. Construye esa gráfica en tu calculadora usando la

ecuación y= x2.

3. Construye también el punto que corresponde al vértice de esa parábola. 4. Construye cuatro parábolas de manera que cada una tenga como vértice uno de los siguientes puntos: (x =O, y= 3.5), (x =O, y= 4.2), (x =O, y= -2.45). ¿Qué ecuaciones usaste? _ S. Describe los cambios que observaste en tus gráficas. -------------------

6. ¿A qué crees que se deban los cambios que observas en las gráficas que construiste? Explícalode manera

que todos tus compañeros lo entiendan.-----------------------

7. Supongamos que el punto (x =O, y= k) es el vértice de una parábola. De acuerdo con esta información, indica cuál ecuación produce esa parábola.----------------------

y = x2 "decrece· cuando los valores de x son negativos, y "crece·cuando losvalores de x son positivos. La figura 2 muestra la gráfica de y= -x2. Rgura 2 a) ¿Para qué valores de x "crece"la gráfica de y= -x2?

8. Observa que la gráfica de la ecuación

b) ¿Para qué valores de x "decrece· la gráfica de y= x2? _ c) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de esta parábola? _ 9. Construye en tu calculadora una parábola cuyo vértice esté en el punto (O, 3.5), de manera que primero 'crezca" y después "decrezca", Escribe la ecuación que usaste y dibújala en el siguiente plano cartesiano. y=

X

Bloque


9 • Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

\~-------

Más sobre parábolas 1. Reproduce en tu calculadora la gráfica de la figura l.

Figura 1

2. Construye tres parábolas cuyo vértice esté arriba del vér-

tice de la gráfica que acabas de construir, y tres cuyo vértice esté debajo. Anota las ecuaciones que usaste.

3. Escribelas ecuaciones de la gráfica de la figura 2. ---------------------

Escribelas ecuaciones de la gráfica de la figura 3. --------------------Figura 3

Figura 2

·Slli•

.

T .

. .

4. Construye en tu calculadora tantas gráficas como sean necesarias, de manera que prácticamente se vea

oscurecido el espacio entre las gráficas de la figura 3. Escribea continuación las ecuaciones de seis de las gráficas que construiste. ----------S. Un estudiante construyó en su calculadora la gráfica de la expresión y=

tice. ¿Estás de acuerdo?

x2 15 y dice que no tiene vér-

_

Justificatu respuesta·------------------------------~ 6. Una estudiante dice que la gráfica de la expresión y=

x2 + 13 no existe, ya que al construirla en su calcu-

ladora no apareció ninguna gráfica en la pantalla. ¿Estás de acuerdo?

_

Justificaclaramente tu respuesta.--------------------------7. Si no coincides con la estudiante dibuja a continuación la gráfica y haz las anotaciones necesarias.



\~-----------

El vértice de una parábola l. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones

y= x2 y y= (x -2)2, y escribe en-

seguida las coordenadas del vértice de cada parábola. -----------2. En el plano de la derecha traza a mano una parábola cuyo vértice sea el punto (x 4, y= O). Escribe la ecuación que usarías para construir en la calcu-

=

ladora una parábola como ésa.

l

_

3. Construye una parábola cuyo vértice sea el punto (x = -4, y = O). Escribe la ecuación que usadas para construir esa parábola.--------------

4. la parábola de la figura de la derecha se construyó usando la ecuación y= (x + 4)2 -3. Escribe las coordenadas de su vértice.

_

5. Construye una parábola cuyo vértice sea el punto (x = -2, y = 4), y escribe la ecuación que usarías para construir esa parábola.-------Justifica tu respuesta. ---------6. Escribe las coordenadas del vértice de la parábola que se muestra a la derecha. -------7. Encuentra una ecuación que te permita construir la gráfica de la actividad 6. Escríbela enseguida. Verifica tu respuesta construyendo en la calculadora.

esa parábola

V

Bloque



\~--------------

¿Qué ecuaciones producenesas parábolas? 1. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y escribe en las líneas correspondientes la ecuación que utilizaste en cada caso. y

y

V Ecuación:---------

Ecuación:

\V

Ecuación:---------

\ yv w

~

Ecuación:

: Ecuación:---------

~I Ecuación:

2. Las siguientes actividades plantean retos. Usa tu calculadorapara verificar tus respuestas y no tener errores.

a) Construye una parábola que crezca para valores negativos de x y que decrezcapara valores positivos de x. Esa parábola debe tener vértice en el punto (X = -3, y = 4). Indica qué ecuación usarías. b) Construye una parábola que decrezca para valores negativos de x y que crezca para valores positivos de x. El vértice de esa parábola debe ser el punto (x = 4, y= 2). Indica qué ecuación produce una parábola como esa.----------------e) Explicaqué ecuación produce una parábola cuyo vértice es el punto (x =O, y= -6.5) y es creciente para valores negativos de x, y decreciente para valores positivos de x. d) Construye dos parábolas que tengan como vértice el punto (x = 5, y= O), de manera que donde una de ellas crezca la otra decrezca. Indica qué ecuaciones usaste para construirlas. _



\~----------

Simetría La escala en las siguientes gráficas es 1 para los dos ejes cartesianos. 1. Encuentra las ecuaciones que te permitan reproducir las siguientes gráficas en tu calculadora. Explica cómo lo lograste.--------------

Y=

Y=

2. Encuentra las ecuaciones que producen las siguientes gráficas y anótalas en las líneas. Ecuaciones:

Ecuaciones:

3. Agrega a la ecuación y = (x + 2)2 lo necesario para que produzcas una gráfica como la de la derecha. Anota la ecuación que usaste. Y= 4. Reproduce en tu calculadora gráficas como las que se muestran en la figura de la derecha. Anota las ecuaciones que usaste.-----------------

1

u¡

Bloque



\~--------------

¿Cuál parábola "crece" má.s rápido? la figura de la derecha muestra dos gráficas. la parábola de línea gruesa corresponde a la ecuación y = X', y la otra a la ecuación y= 2x2• 1. ¿Cuál es el valor de y cuando x = 2 en la gráfica de

y= X'-?-----2. ¿Cuál es el valor de y cuando

x = 2 en la gráfica de

y= 2x2? -----3. ¿Cuálgráfica "crece" más rápido?

_

4. Construye una gráfica que crezca más rápido que la de y= 2x2 y anótela, ------¿Qué ecuación produce una gráfica que crece más rápido?----------------5. En figura de la derecha, la gráfica de línea gruesa co-

rresponde a y= x2; la otra se construyó con la ecuación y=O.Si'-.¿Cuál "crece" más rápido? _ Justifica tu respuesta.------------

6. Construye una gráfica que crezca más lentamente que

las dos anteriores. ¿Qué ecuación usarías?

7. la figura de la derecha muestra la gráfica de y= 0.8x2• Constrúyela en tu calculadora y haz lo que se indica a continuación. o) Construye dos parábolas que crezcan más rápido que y = 0.8x2• Indica qué ecuaciones usaste.

b) Construye dos gráficas que crezcan más lentamente que y= 0.8x2• Escribe las ecuaciones que usaste.



\~--------

Ancha.s y angostas L Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y= 0.3(x + 2)2 + 1, y dibújala en el plano de la derecha.

2. Indica qué le sucede a la gráfica si en la ecuación anterior utilizas 6 en lugar de 0.3.

3. Si construyeras las gráficas de las siguientes ecuaciones: y= 2.8 (x + 2)2 + 1 y y 3 (x + 2)2 + 1, ¿qué ecuaciones usarías para construir cinco gráficas que estuvieran entre éstas y cuyos vértices se ubicaran en el mismo punto?

=

Dibújalas en el plano de la derecha. 4. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas.

S. Explica cómo encontraste las ecuaciones para reproducir estos planos en tu calculadora.

_

Bloque



\~--------------

¿Qué parábolas pa.san por esos puntos?

Rgura 1 JI

1. Construye en tu calculadora los dos puntos que se muestran en la figura l. Después construye una parábola de modo que su vértice sea el punto A y que además pase por el punto B. Sugerencia: Construye primero una parábola que tenga como vértice el punto A y después haz ajustes a la ecuación hasta que la gráfica pase por el punto B.

B

•

o

R

2

2. Una estudiante dice que la gráfica de la ecuación y= -l&-2 + 24x tiene su vértice en el punto (x = , 3 y= 8) y que pasa por el punto (x =O, y= O). ¿Estásde acuerdo?-------------Justificatu respuesta construyendo esa parábola en tu calculadora. -------------

3. Otro alumno dice que las gráficas de ese tipo de ecuaciones siempre pasan por el punto (x

¿Estásde acuerdo?

= O, y = O).

_

Justificatu respuesta.-----------------------------Construye varios ejemplos en tu calculadora y escribe tus conclusiones en el siguiente espacio.

4. Para cada uno de los siguientes casos, construye en tu calculadora una gráfica que tenga como vértice el punto A y que además pase por los puntos By C (o se aproxime a ellos lo más posible).Verifica tu aproximación usando una tabla de valores para xy y. y

A

JI

CJ

oA oB

Ecuación:-----------

: Ecuación:----------11

o

B

Ecuación:-----------

y

B C

X

A

.: Ecuación:-----------

·-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------·



\~---------------

¿A qué alturaestá la pelota? Los puntos que se muestran en la figura de la derecha se construyeron con datos que se tomaron cuando un jugador de béisbol lanzó una pelota hacia arriba, registrándose la altura que alcanzó en diferentes momentos.

Altura

a

a

o o

a

En el eje X se registró el tiempo en segundos que duró la pelota en el aire. En el eje Y se muestra a qué altura estaba la pelota cada medio segundo. Escala en X: 1; escala en Y: 3. Las coordenadas de los puntos de la gráfica son las siguientes.

1

"M'iti ~

~!

:9

-

Tiempo

1.5 24

2

2.5

3

20

14

o

L Construye una gráfica en tu calculadora de manera que se aproxime lo más posible a los puntos dados. Construye una tabla con los valores que arroja tu ecuación para verificar qué tan precisa es tu aproximación, y compárala con las coordenadas de los puntos dados. ¿Qué ecuaciones usaste?------Anota en la siguiente tabla las coordenadas obtenidas con tu ecuación.

E

o

0.5

1

1.5

2

2.5

3

2. Compara la tabla que completaste con los valores dados, ¿en qué punto encuentras la mayor diferencia? ¿Es importante esa diferencia en términos del problema que estás resolviendo?

_

Justifica tu respuesta·------------------------------3. Usa la ecuación que construiste para contestar lo siguiente. o) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota?----------------b) ¿Cuántos segundos transcurrieron para que la pelota alcanzara la altura máxima?

_

e) ¿Qué altura alcanzó a los 1.7 segundos?-------------d) ¿A los cuántos segundos tocó el suelo la pelota?------------

4. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Hay diferencias?

_

¿A qué crees que se deba? S. ¿Son importantes esas diferencias en términos del problema que estás resolviendo? -------¿Por qué?

_ _

Bloque



\~-------

~\

¿Qué tan rápidova ese automóvil? Durante 8 segundos se registró la distancia que recorrió un automóvil desde el arranque. La tabla y la gráfica describen los datos. En el eje X se representa el tiempo transcurrido en segundos. En el eje Y se muestra cuántos metros por segundo avanzó el automóvil.

X

J X

X

Escalaen X: 1 Escalaen Y: 50

X X

Coordenadas de los puntos en la gráfica.

o o

1 10

2 46

3

112

4 185

X

5 290

X

6 425

7 580

8 765

1. Construye en tu calculadora una gráfica que se aproxime lo más posible a los puntos que se muestran en la figura del inicio.¿Qué ecuación usaste para construirla? _ Explicacon detalle qué información obtuviste de la gráfica para construir esa ecuación. _ 2. Completa la siguiente tabla con la ecuación que construiste y compárala con la tabla de coordenadas de los puntos dados en la gráfica.

o

1

2

3

4

5

6

7

8

3. ¿Observas diferencias grandes entre tu tabla y la tabla dada? _ ¿Puedes hacer ajustes en tu ecuación para obtener mejores aproximaciones?------Construye una ecuación que te permita una mejor aproximación y escríbela a continuación. 4. ¿Qué distancia recorrería ese automóvil si se mantuviera acelerando a la misma velocidad durante 12 segundos? _ Explicaqué hiciste para obtener esta respuesta.--------------------¿Qué distancia habrá recorrido al término de 16 segundos?----------------5. ¿Cuál es la velocidad promedio (en metros por segundo) durante los primeros 8 segundos? Explicacómo obtuviste esta respuesta. -------------------------

_



\~---------------

¿Qué prefieres:gradosFahrenheit o centígrados? En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura, mientras que en otros países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas. 32

o

13~~~7

I

l. Utilizalos datos de la tabla anterior para hacer una gráfica de puntos. En el eje X representa los valores en grados Fahrenheit y en el eje Y los valores en grados centígrados. Construye la gráfica en el siguiente espacio. 2. Construye una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos.

¿Qué tipo de gráfica construirías?-----------------Explica qué ecuación usaste para construir tu gráfica. ----------3. Completa la siguiente tabla utilizando la ecuación que construiste y compárala con la tabla de valores

dados.

1~-B11 X (Fahrenheit)

41

s

32

Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, ajusta tu ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación. 4. ¿Obtuviste una nueva ecuación?-----------

Escríbelaenseguida.---------------5. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso. a)

¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit? -----------

b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen -12 grados Fahrenheit? ---------e) ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados?----------d) Si el agua hierve a lOOºC, ¿a qué temperatura hierve en grados Fahrenheit? 6. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Hay diferencias notables?

¿Aquécreesquesedeban?

_ _ _

7. Con los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta hoja de trabajo encuentra una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados centígrados y escríbela enseguida. ºF=-------------------------------------¿Cómo lo hiciste?

_

Bloque



\~--------------

Si modifico el perímetro,¿también cambia el área? María quiere construir un jardín como el de la figura de la derecha, pero sólo tiene material para cercar 20 metros. Además, quiere que su jardín tenga la mayor área posible. La figura muestra una manera de hacerlo, pero hay muchas otras. 1. Obtén el área del jardín en metros cuadrados. ----------2. Busca otras alternativas para construir una cerca que limite los tres lados del terreno. Haz dibujos y completa la siguiente tabla con los datos que obtengas. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

12 48

18 18

3. Construye una gráfica que te permita encontrar las medidas del largo y el ancho que María debe elegir para que su jardín tenga la mayor área posible. ¿Qué puedes hacer para construir esa gráfica? Escribe la ecuación que usaste.-------------------------¿Cuáles son las medidas para el ancho y el largo del terreno de tal manera que tenga la mayor área posible?----------

4. En el plano de la derecha dibuja "a mano" la gráfi-

.11

ca que construiste. Considera que la escala en los ejes es 1 en X y 5 en Y.

S. Juan va a utilizar 24 metros de cerca para rodear los cuatro lados de su terreno, que es rectangular, y quiere hacer su jardín lo más grande posible. ¿Qué harías para resolver este problema?

_

6. Escribe una ecuación para obtener las medidas que deben tener el largo y el ancho del terreno de Juan. ¿Cuáles son las medidas del largo

y el ancho que hacen que su terreno tenga el área máxima?



\~---------------

Chofer, ¿no podría ir más rápido? Un automóvilviajaa una velocidadconstante.En el eje Y se muestrala distanciaque recorre(en metros); en el ejeX se registrael tiempodel recorridoen intervalosde 2 segundos. Escala en el ejeX: 1 Escala en el eje Y: 2

y

e a e CI

.

Contestalo que se pide usandola informaciónde la gráfica. L ¿Durantecuántotiempose registróel movimientodel automóvil?----------2. ¿Cuántosmetroshabíarecorridodespuésde 2 segundos?-------------3. ¿Quédistanciarecorrióel automóvilal términode 6 segundos?-----------¿Y a los7 segundos?----------4. ¿Cuántotiempole tomó recorrer100metros?----------¿En cuántotiemporecorrió110metros?------------5. Construyeuna gráficaque pase por esospuntos.¿Quéecuaciónutilizaste?----------Describecómoencontrasteesa ecuación.------------------------

6. Usa tu ecuaciónpara contestarlassiguientespreguntas. a) Si el automóvilse mantienea la mismavelocidad,¿qué distanciarecorrerádurante2 minutos? ________________ ¿Yen una hora? ¿En una horay 20 minutos?----------b) ¿Cuántotiempole tomarárecorrerdos kilómetros?

_

e) ¿A qué velocidadse está moviendo?----------------Explica qué hicistepara responderesta pregunta.-----------7. Un alumnoafirmaque la ecuacióny= 20xle permiterepresentarel movimientode este automóvil. ¿Estás de acuerdo? _ Justificatu respuesta.-------------------------------

_

Bloque



\~--------------

¿Mi peso es distinto en la Luna? la siguiente figura muestra una gráfica que corresponde a la relación entre el peso de un objeto en la Tierra y el que le correspondería si estuviera en la Luna. las diferencias se deben a que la fuerza de gravedad de la Tierra y la Luna son distintas. En el eje Y se muestra el peso en la Luna (en kilogramos); en el eje Xse registra el peso en la Tierra (en kilogramos). 1. Completa la tabla de acuerdo con los datos de la gráfica.

2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase por la mayor cantidad posible de puntos. Anota tu ecuación en el siguiente recuadro y explica cómo la encontraste.

3

1

15 18 4.5 3. Recorre tu gráfica con la tecla TRACE y comprueba que pase por los mismos puntos que registraste en la tabla de la actividad l. Usa tu gráfica para responder lo siguiente. o) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 6.25 kg? b) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 25 kg?

_ _

e) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 5 kg?

_

d) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 0.75 kg?

_

e) Explica cómo contestaste las preguntas de los incisos

e y d.

4. Construye una gráfica que muestre en el eje Y el peso de una persona en la Tierra (en kilogramos), y en el eje X su peso en la luna (en kilogramos). Explica las diferencias entre esta gráfica y la anterior. X



\~---------------

¿Cuánto pesas si está.s en Júpiter? La siguiente gráfica corresponde a la relación entre el peso de un objeto en la Tierra y el que le correspondería si estuviera en Júpiter. En el eje Y se muestra el peso en el planeta Júpiter (en kilogramos); en el eje X se registra el peso en la Tierra (en kilogramos). ·y

. 2

•

.

•

.

• .

~+--1~~~~~~~~~~-~~~~~~x-

l. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los datos de la gráfica.

2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase por esos puntos. Anota en el siguiente espacio la ecuación que utilizaste y explica cómo la obtuviste.

2 4 U.5 6 20

3. Usa tu gráfica para responder lo que se pide a continuación. a) ¿Cuánto pesa en Júpiter una persona que en la Tierra pesa 40 kg? ------------b) ¿Cuánto pesa en Júpiter una sandía que en la Tierra pesa 3 kg? c) ¿Cuánto pesa en la Tierra una bolsa de papas que en Júpiter pesa 1.5 kg? d) ¿Cuánto pesa en la Tierra una bolsa de azúcar que en Júpiter pesa 6.25 kg?

_ _ _

4. Construye una gráfica que en el eje Y muestre el peso en la Tierra (en kilogramos) y en el eje X el peso en Júpiter (en kilogramos). Explica las diferencias entre esta gráfica y la anterior.

X

Bloque


r Hoja de trabajo 100 \~-------------¿Tan rápido viaja la luz? La siguiente gráfica muestra la distancia que recorre la luz (en kilómetros) en un cierto tiempo (segundos). El eje Y muestra la distancia recorrida por la luz (miles de kilómetros); el eje X el tiempo (en segundos).

300 MAJN

FUM

GRO f\UlD

1. Completa la siguiente tabla de acuerdo con la gráfica.

2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase por esos puntos. Anota en el siguiente recuadro la ecuación que utilizaste y explica cómo la encontraste.

0.5 1

3.5 1500 2700

3. Recorre con la tecla TRACE tu gráfica y contesta lo siguiente. o) ¿Qué distancia recorre la luz en 4 segundos?-------b) ¿En cuánto tiempo recorre 1650000 km?

_

4. Un estudiante dice que la luz recorre 3500000 kilómetros en 12 segundos.

¿Estásde acuerdo?

_

Justificaclaramente tu respuesta.--------------------------S. ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto?--------------------¿En una hora? ¿En un día? ¿En un año?

_

6. Explica con detalle qué hiciste para responder las preguntas de la actividad anterior.

A la distancia que recorre la luz en un año se le llama año luz; es una unidad de longitud utilizada en astronomía para medir grandes distancias.


Í Hoja de trabajo 101 \~--------------¿Una ecuación para desalojar la escuela? L la siguiente gráficade puntos muestracuántosestudiantes quedandentro de una escueladurante un simulacro en diferentes tiempos.El eje Y muestraa losestudiantes dentro de la escuela; el ejeX el tiempo (ensegundos).

~

..

50 MAIH

RD A TD

fUHC:

2. Escribe unaecuación que produzca unagráficaque pasepor todoslospuntos que muestra la gráficay escríbelaa continuación.

Explica cómoencontrastela ecuación. -------------------------

3. Responde lassiguientes preguntasy explicaclaramente tus respuestas. a) ¿Cuántos estudiantes habíaen la escuelaantesdelsimulacro?--------------Explicación:---------------------------------b) ¿Cuántos estudiantes habíaaúndentrode la escuelaa los30 segundos del simulacro?----Explicación:---------------------------------e) ¿Cuántos estudiantes estabandentrode la escuelaa los55segundos delsimulacro? Explicación:---------------------------------d)

¿Cuántos segundoshabíantranscurrido cuandoquedaban325estudiantes?---------Explicación:----------------------------------

e) ¿En cuántotiempoquedótotalmente desalojada la escuela?--------------Explicación:----------------------------------

_

Bloque


r Hoja de trabajo 102 \~-------------¿Quién lanza más alto la pelota? La siguiente ecuación corresponde al recorrido de una pelota que se lanza hacia arriba. El punto donde la gráfica interseca con el eje vertical corresponde a la altura desde la que se lanzó la pelota.

y= -0.5x2 + 3x + 1.5 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación anterior escala que se sugiere para los ejes cartesianos.

Altura que alcanza la pelota (metros)

y reprodúcela en el siguiente eje. Usa la

3 2

.

'liempo'(SE-nundos) 2. Usa la información de esta gráfica para contestar lo que se pide a continuación. a) ¿Qué forma tiene la gráfica de la pelota lanzada hacia arriba? ¿A qué crees que se deba?

_ _

b) ¿Desde qué altura se lanzó la pelota?-----------------e) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota?-------------d) ¿En cuánto tiempo alcanzó la pelota su altura máxima?-----------e) ¿Cuánto tiempo se mantuvo la pelota en el aire?

_

f) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 2 segundos?

_

g) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 10 segundos?

_

3. Modifica la ecuación y= -0.5.x2 + 3x + 1.5 para que la pelota alcance una altura máxima de 7 metros y anótala en el siguiente recuadro.

4. ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota?

_

S. ¿Cómo queda la ecuación si la pelota alcanza 5 metros de altura máxima?

_

Comprueba en tu calculadora a qué altura fue lanzada la pelota. 6. ¿Y para una altura máxima de 4.5 metros, cómo queda la ecuación?

_

7. ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota?---------------------9. ¿Cuál es la altura máxima en el caso de que la ecuación sea y= 0.5x2 + 3x + 4?

_

Verifica tu respuesta en la calculadora. 9. ¿Cómo son entre sí las gráficas construidas en la calculadora?---------------

10. ¿Aquécreesquesedeba?

_


Í Hoja de trabajo 103 \~--------------¿Puedes calcular el tiempo y la distanciaen caída libre? Se deja caer un objeto desde cierta altura. La siguiente gráfica de puntos nos da información sobre la distancia y el tiempo durante su recorrido. El punto donde se cortan la gráfica y el eje y corresponden a la altura desde la que se dejó caer el objeto. El eje Y muestra la altura a que se encuentra el objeto con respecto al piso (en metros) y el eje X el tiempo (en segundos).

•..

Caida libre

h

; g = 9.8 mis'

t

distancia = altura (h)

aceleración= g1avedad (li)

... ••

.•.. .•

0.5 MfllH

•

X GRO ftUTD

íUHC

L Completa la siguiente ecuación y construye la gráfica en tu calculadora. 1

y=-4.9x2+----

2. Recorretu gráfica con la tecla TRACE y responde lo siguiente. a) ¿Desde qué altura se dejó caer al objeto?---------------------b) ¿Cuánto tiempo había transcurrido cuando el objeto estaba a 3 metros de altura? c) ¿A qué distancia del piso se encontraba el objeto después de 0.5 segundos? d) ¿A qué distancia del piso estaba el objeto a los 3 segundos? e) ¿Cuánto tiempo tardó el objeto en estrellarse contra el piso? -------------3. ¿Desde qué altura debe dejarse caer el objeto para que tarde 1 segundo en llegar al piso? ¿Cuál ecuación corresponde a esta situación?--------------------Verifica en la calculadora tus respuestas para no cometer errores. Explicatu razonamiento para las dos preguntas anteriores. ------------------------------

Bloque 9 •

Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

r Hoja de trabajo 104 \~-------------¿Es correcto lo que me cobran? Un estacionamientocobra $4.00 por la primera hora, y de ahí en adelante $1.00 más por cada cuarto de hora o fracciónsiguiente. 1. Contesta las siguientespreguntas usando esa información.Justificatus respuestas. o) ¿Cuánto debe pagar una persona que deja su auto a las4:00 p.m. y lo recoge a las 5:25 p.m.?

b) ¿Cuántodebe pagar alguien que deja su auto a las 8:55 a.m.y lo recoge a las 12:17 p.m.?

c) ¿Cuántodebe pagarse por los siguientes intervalos? De las 2:00p.m. a las 3:14p.m.-------------De las 2:00p.m. a las 3:18 p.m.-------------De las 2:00p.m. a las 3:25p.m.-------------De las 2:00p.m. a las 3:30p.m.-------------De las 2:00p.m. a las 3:33p.m.-------------2. Un compañero dice que hay muchos intervalospor los que se cobran $9.00.¿Estásde acuerdo?

_

Justificatu respuesta con algunos ejemplos.

3. Escribe5 ejemplosde intervalospor los que se cobran $7.00.----------------

4. Construyeen tu calculadorauna gráficaque represente el cobro del estacionamiento;explicaclaramente cómo la construistey reprodúcelaen el siguienteplano cartesiano. Explicación.---------------------------------

20· C®fO

por el ~taéiona-

miento ($)

te-

.,. 3' 4 •

6


Í Hoja de trabajo 105 \~--------------¡Viajar en taxi cuesta! La siguiente gráfica muestra diferentes tarifas en un taxi, la cuales dependen de la distancia que se recorre. El eje Y muestra el cobro por viaje($) y el eje X la distancia recorrida (kilómetros).

3

MAIN

GRO AUTD

F"UHC

Responde lo que se pide en cada caso de acuerdo con la información de la gráfica. L ¿Cuánto debe pagar una persona que hace un recorrido de 7 km?--------------Explica por qué:

2. Anota 5 distancias diferentes por las que la tarifa sea $13.50. ----------------

Escribetu razonamiento.

3. Un compañero dice que por un recorrido de 43 km el cobro esde $14.00. ¿Estásde acuerdo? Justificaclaramente tu respuesta.

_

4. De acuerdo con la gráfica, ¿cómo se determina la tarifa a pagar por un viaje en taxi?-------S. Construye en tu calculadora y reproduce "a mano· la gráfica para un taxi cuya tarifa se determina con un cobro de $7.00 por abordarlo, más $1.00 por cada 250 metros.

X MAIH

GRO AUTO

F'UHC

Bloque


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. Describe la secuencia didáctica propuesta en este bloque para desarrollar el tema de la función cuadrática; haz una presentación y plantéala a tu grupo. 2. Elabora en equipo un mapa conceptual que muestre la conexión entre los contenidos matemáticos que aborda este bloque. Coméntalo con tus compañeros. 3. Construye en la calculadora una parábola que pase por los puntos que siguientes incisos.

se indican en cada uno de los

a) Por el punto (-2, -3). b) Por los puntos (-4, O) y (4, O). c) Por los puntos (1, O), (3, 4) y (6, 2). Compara con tus compañeros las ecuaciones que se usaron. ¿Son todas iguales?, ¿es única la que usaron?, ¿en qué caso es única la ecuación que se puede construir? 4. Investiga fundamentos matemáticos que expliquen por qué uno de los casos tiene ecuación única. S. Realiza una investigación en diversas fuentes acerca de la función cuadrática y la parábola, prepara una presentación y analízala con tus compañeros. 6. Realiza las siguientes actividades. a) Construye un tablero como el que se ilustra a continuación. En vez de estacas puedes usar canicas u otro material, y juega de acuerdo con las siguientes instrucciones. (Busca el juego en versión virtual en la dirección http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html).

b) El propósito es que las estacas blancas ocupen el lugar de las grises y viceversa. c) Las reglas son: • las estacas de cada color se mueven en el sentido en que se encuentra el orificio vacío, ocupando el espacio vacío y saltando sólo estacas de color diferente, con un movimiento a la vez. • No se debe retroceder ni saltar más de una estaca u orificio a la vez, y tampoco intercambiar estacas contiguas en un solo paso. d) Realiza el juego hasta que logres dominarlo; luego juégalo para tres estacas de cada color, dos, y una, e incluso hasta de cinco. e) Cuenta todos los movimientos que se necesitan para completar el juego en cada caso.


f)

Completa las siguientes tablas:

-

r. :.•••••••

2

1

4

2

6

3

8

4

10

5

-

·~11111

-

:.1••-•r:'.111111

11111~1•••>-,

lr.i ..

g) Determina la ecuación y gráfica de las tablas. h) Responde y justifica cuestionamientos como: • ¿Cuántos movimientos se requieren para completar el juego con un total de 14 canicas? • ¿Cuántos movimientos se requieren para completar el juego con un total de 10 canicas de un color? • ¿Hay algún caso que requiera 255 movimientos para completar el juego? • ¿Qué tipo de relación hay entre la cantidad de canicas y los movimientos para completar el juego? 7. Realizauna investigación del tema regresión cuadrática. ¿Qué relación encuentras entre este tema y las

actividades del bloque? Prepara una presentación al respecto. 8. Investiga situaciones que contengan variables cuya relación sea una función cuadrática y elabora secuen-

cias didácticas.

BLOQUE Factorización de expresiones cuadráticas: un acercamiento visual

E

1 propósito de este bloque es introducir a los estudiantes en el tema de la factorizaciónde expresiones cuadráticas en una variable; se aprovechan los recursos de la visualizaciónde gráficas en el plano cartesiano y las habilidades que los estudiantes han desarrollado para identificar la relación que hay entre los coeficientes de una función cuadrática y el comportamiento de su gráfica. los casos de factorización que se abordan en este bloque corresponden al trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio de segundo grado y el trinomio de segundo grado cuando el término independiente es cero. En particular, estos casos corresponden respectivamente a las expresiones conónicas x2 + bx + e, x2 a2, x2 + 2ax + a2 y x2 + ax, donde a, by e son números reales. En casi todas las actividades de este bloque el coeficiente del término cuadrático es l. la factorización de expresiones cuadráticas en una variable introduce de manera natural al estudio de la equivalencia entre expresiones algebraicas. En estas actividades el criterio para determinar si dos expresiones son equivalentes es que sus gráficas cartesianas sean iguales, lo cual extiende el criterio de equivalencia que se aplicó en el bloque 2, donde el criterio fue que dos expresiones algebraicas son equivalentes si producen los mismos valores de salida para los mismos valores de entrada. Te invitamos a completar las actividades de este bloque con una reflexión constante sobre los aprendizajes que construyas a partir del análisis del comportamiento de este tipo de funciones, y las competencias docentes que estarás cultivando al enriquecer tus conocimientos con los contenidos del tema de fa eterización algebraica. Asimismo,es importante que compares este acercamiento didáctico al tema de factorización con el acercamiento algebraico que estudiaste en la secundaria y el bachillerato, que también compares sus ventajas y limitaciones así como las formas en que ambos acercamientos se complementan.

197

10


Í Hoja de trabajo 106 \~-------El trinomio cuadrado perfecto L Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = (x + 3)2 y dibújala en el plano cartesiano de la derecha. 2· . :1.0. ·~ . •f> . ·~ .

2 . 4 .q . ~.

·2 .

-2.

1.0.

X

1.0.

X

-4.

2. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = x2 + 6x + 9 y

bosquéjala en el plano cartesiano de la derecha.

2 .

3. Un estudiante afirma que las gráficas de las actividades 1 y 2 son iguales, ¿estás de acuerdo?----------

.-1.0. -~ . -~ . -~ .

2 .

.2 .

-2.

4 .

q . ~ .

-4 .

Explica a qué crees que se deba.

4. Construye la gráfica de la ecuación y= (x + 3)(x + 3) y compárala con las gráficas de las actividades 1 y 2. Presenta tus conclusiones de las expresiones (x + 3)2, x2 + 6x + 9 y (x + 3)(x + 3).

5. Encuentra otras dos expresiones que produzcan la misma gráfica que (x + 1)2. Anota esas expresiones y explica cómo las obtuviste.----------------------------

6. Encuentra las ecuaciones con las que se produjeron las siguientes gráficas. Después construye dos ecuaciones equivalentes a cada una.

• ,>e; •4 .

Y= Y=

Y=

-4

Y= Y=

.........

Y=

Bloque

10 • Factorización de expresiones cuadráticas: un acercamiento visual

r Hoja de trabajo 107 \~-------------Algo más sobre el trinomio cuadrado perfecto 1. Una estudiante dice que la ecuación y= x2 + 1.52 produce la misma gráfica que y= (x + 1.5)2. ¿Estás de acuerdo? ------Justifica tu respuesta.

2. Comprueba tu respuesta y traza las gráficas de las ecuaciones de la actividad anterior.

..........

\1

..

: : : : : : : : : : : 5: : .•

· • · ,-5 · • • ·

: : : : : : : :

· • • • 5 • • • • •

3. Otro estudiante dice que y= (x 2)2 produce la misma gráfica que la de la ecuación y = x2 2x 2x ¿Estás de acuerdo? _

X·

+ 4.

Explica tu respuesta.

4. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones de la actividad anterior para comprobar tu respuesta y dibújalas en el plano cartesiano de la derecha.

..........

..

.,,

s: : : : : : : : : : : . . · • • • .-5 • · · .

• · • · 5· · • • •

X.

S. Encuentra en cada uno de los siguientes incisos dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica de la ecuación que se da. Verifica con tu calculadora que tus respuestas sean correctas. o)

y= (x + 6)(x + 6) y

y. b) y= x2

+ 8x + 16

y y

_

e) y= 16x2

y

_ _ _

+ 40x + 25 y

_

_

d) y= (x 2.5)(x - 2.5) y

y

_


Í Hoja de trabajo 108 \~--------Diferencia de cuadrados(1) L Construye en tu calculadora la gráfica de y= (x + 2.5)(x-2.5) de la siguiente ecuación y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

2· ..

:1.e.-~. ~. -~. -2.

. :? . '\.~.\l.

-2 ..

~ª-x

-4 •.

2. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = x2 6.25 y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

2· •.

.-1.a.-~. 3. ¿Cómo son las gráficas de las dos expresiones que acabas de construir en tu calculadora?------------

·{>.

-~.

-2

. ~ . '\ , ~ , \l , 1,t'J, X

-2 ..

-4 ..

4. Explica a qué se debe que sean iguales.-----------------------

S. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que y= (x + 3)(x - 3). Anota tu ecuación en el siguiente recuadro y luego explica tu razonamiento.

Razonamiento.

6. Encuentra dos ecuaciones que produzcan las siguientes gráficas.

Y=

Y=

Y=

Y=

Bloque


r Hoja de trabajo 109 \~-------------Diferencia de cuadrados (2) 1. Encuentra otra ecuación que produzca la misma gráfica de la ecuación que se indica en cada inciso. Anota en el recuadro la ecuación y verifica tu respuesta construyendo las gráficas en tu calculadora. Traza en cada caso la gráfica (especifica la escala en tu calculadora). a)

,Y

1

y=

(x 3.5)(x

+ 3.5) 1

1

,X

Escala

...

b)

,Y

1

y= x1 36 1

.X

1

Escala .Y

e) 1

y=

(3x 1)(3x

+ 1) 1

,X

1

Escala

.

.

.

.

2. Un estudiante no pudo encontrar la ecuación que produce una gráfica igual a la de y= 100x2 - 9. Búscala y explica cómo la encontraste. Construye las gráficas en tu calculadora para comprobar que tu respuesta es correcta.

Y=-------Explicación.

3. Otro estudiante dice que la expresión

y= (x 5)(x + 5) produce la misma gráfica que y= x + 25. ¿Estás

de acuerdo?------Explica tu respuesta.

4. Construye las gráficas en tu calculadora y comprueba que tu respuesta es correcta.


Í Hoja de trabajo 110 \~--------------Trinomio de segundo grado (1) l. Una estudiante construyó la gráfica de la derecha en su calculadora. Para ello utilizó una ecuación como la siguiente. Encuentra los números que faltan y completa la ecuación.

Y= (x +

)(x

.-8.

. 8.

.X.

+

Explica tu razonamiento para completar la ecuación.

2. Ahora construye la gráfica de la expresión ¿Cómo son ambas gráficas?

y= x2 + fu< + 5, y compárala con la de la actividad anterior. _

¿A qué se debe?

3. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que

y= (x + 8)(x + 3).

Explica cómo la encontraste.

4. Como en las actividades anteriores, encuentra dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas y anótelas en los recuadros .

. ·9

..

...._______.l .____I__

l .____I__

l .____I__

Bloque


r Hoja de trabajo 111 \~-------Trinomio de segundo grado (2) 1. Completa los espacios en blanco para construir parejas de ecuaciones que produzcan las mismas gráficas. Verifica tus respuestas construyendo las gráficas correspondientes en tu calculadora. o)

. • .Y

._IY_=_(_x _-_>(_x_+ __ ___,11 y = x2

[

)

x [

)

..

.

b)

r_=_(_x_-_>(_x___ _,, , y= x2

._I

[

1 X+

[

.••.....••.

.

~11 y=

2. Una estudiante dice que y= x2

x2 + [ 1 X

+ 40 produce

[

.. : .. : . : :.,

1

e)

._Ir_=_(x_+ __ )(x_-

:

X

....

.

.

. ..

x

·" . .

1

.

..

. .

.

. . . )(

la misma gráfica que y = (x S)(x - 8).

¿Estás de acuerdo?-----Justifica tu respuesta.

= x2

3. Otro estudiante dice que las ecuaciones y gráfica. ¿Estás de acuerdo? _

5x

+ 3x

15 y y

= (x

S)(x + 3) producen la misma


4. Encuentra una ecuación para construir la gráfica de la derecha y anótala.

y

_ . M

.


Í Hoja de trabajo 112 \~-------Expresiones cuadráticascon un factor común L Encuentra una ecuación que te permita reproducir en tu calculadora la gráfica de la derecha. Anótala en el recuadro y explica cómo la encontraste.

Explicación.

2. Busca otra ecuación que te permita reproducir la gráfica de la actividad 1; anótala en el recuadro y explica cómo la encontraste.

Explicación.

=

3. Algunos estudiantes crearon las ecuaciones y= x2 4x,y (x + O}(x - 4) y y= (x)(x 4) para reproducir la gráfica de la actividad l. Compara esas ecuaciones y explica por qué producen la misma gráfica. Explicación.

4. Otro estudiante dice que la ecuación (x)(x + 4) también produce la gráfica que se muestra en la actividad l. ¿Estás de acuerdo? _ Justifica tu respuesta.

Bloque


r Hoja de trabajo 113 \~-------------Factorización y equivalencia algebraica (1) 1. Al igual que en la hoja de trabajo anterior, encuentra tres ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas. Si es necesario, ajusta el rango de tu calculadora para que puedas ver las gráficas como se presentan aquí.

2. Una estudiante us6 la ecuación y= 3x2 - 6x para construir la gráfica que se muestra a la derecha. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica.

V:


Í Hoja de trabajo 114 \~-------Factorización y equivalencia algebraica (2) l. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas. .

'

\:

·5

1

¡: .

.v

y= Sx2- 20x

1

y

= (X+

0)(2x

+ 3)

2. Encuentra dos ecuaciones equivalentes a y = 2.Sx2 - lSx. Anótalas en los recuadros y explica el razonamiento para tu respuesta.

Explicación.

3. Escribe en cada inciso otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica de la ecuación que se da. Bosqueja a la derecha la gráfica correspondiente. a)

y=

8x2+ 16x

.______.l

. .

... .....~ • • • • • • , , • • ,X

,___J

-

b)

. . • • . • . .•.

y=4x2+5x

..______.l ..___I_

JI

..........

,)(

Bloque


Actividades sugeridas para los futuros docentes 1. En la presentación de este bloque se hace referencia al "trinomio de segundo grado". Indaga en fuentes bibliográficas la definición de un trinomio de segundo grado y las estrategias que se sugieren para factorizarlo. Compara estas estrategias con las que experimentaste en las actividades de este bloque y escribe un ensayo al respecto. 2. Asimismo, se hace referencia a "la diferencia de cuadrados". Indaga en fuentes bibliográficas la definición de "diferencia de cuadrados". Compara estas estrategias con las que experimentaste en este bloque y escribe un breve documento al respecto. 3. También se hace referencia al "trinomio cuadrado perfecto". Indaga en fuentes bibliográficas la definición de "trinomio cuadrado perfecto". Identifica en qué hojas de trabajo de este bloque se involucran trinomios cuadrados perfectos y en qué se diferencian estos casos del caso general que se presenta en la bibliografía que consultaste.

4. Bige tres hojas de trabajo de este bloque y aplícalas en una sesión con alumnos de educación básica. Haz un reporte de los resultados en términos del aprendizaje logrado por esos alumnos y de las dificultades que les ayudaste a resolver.

BLOQUE

E

1 propósito de este bloque es estudiar algunos métodos gráficos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado. las actividades se basan en la exploración visual de las gráficas de funciones como punto de partida para identificar estrategias para resolver ecuaciones. Estas actividades vinculan el estudio de la resolución de ecuaciones con la representación gráfica de funciones, y fortalecen los conocimientos algebraicos de los estudiantes en aspectos importantes como la lectura de los componentes de una ecuación y el concepto de solución de una ecuación. la articulación de las representaciones algebraica y gráfica de las funciones lineales y cuadráticas centra la atención del estudiante en la información que proporcionan ciertos puntos de las gráficas, como el significado de las coordenadas en los puntos donde se cruzan dos gráficas y su relación con la solución de una ecuación, o los puntos en que la gráfica de una función cuadrática interseca al eje de las abscisas. El ambiente gráfico de la calculadora desempeña un rol fundamental en la propuesta de este bloque. la producción casi instantánea de gráficas y la herramienta TRACE favorecen la lectura e interpretación de gráficas, coordenadas de puntos específicos, y su relación con la resolución de ecuaciones. las hojas de trabajo promueven el desarrollo de competencias acordes con las sugeridas para la Educación Básica.

209

11


Í Hoja de trabajo 115 \~-----Resolución gráfica de ecuaciones de primergrado l. Resuelvela siguiente ecuación y escribe en el recuadro el procedimiento que seguiste. 2x+3=4 Solución:--------2. Construye en tu calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones. y=4

y=2x+3

3. Recorrecon la tecla Trace una de las gráficasy detén el cursor en el punto en que se cruzan ambas gráficas,

como se muestra en la siguiente figura. Observa que al utilizar Trace se despliegan las coordenadas de los puntos por donde el cursor recorre la gráfica.

...

.... ..... ·¡

··¡· ...

. Xc:.s

. . .

·

.

.

· ·

..

.

.,,.c:4.

4. Anota las coordenadas del punto en que se cruzan las gráficas. 5. ¿Observas alguna relación entre las coordenadas del punto de intersección y la solución de la ecuación

2x + 3 = 4?

_

Justificatu respuesta.------------------------------

6. ¿Qué significado tiene el valor de y en la ecuación 2x + 3

= 4?

7. Explica si hay otro punto en el que se crucen las gráficas. ----------------¿A qué crees que se deba?

_ _

8. Encuentra la solución de la ecuación 4x 3 = 7 utilizando el método gráfico de las actividades anteriores.

Anota qué ecuaciones usaste y el punto de intersección de sus gráficas. Y=

Solución:

Y=

_

Bloque

11 • Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas

r Hoja de trabajo 116 \~-------------Puntos donde se cortandos gráficas 1. Resuelve la ecuación 3x + 2 = x 2 y construye en tu calculadora las gráficas correspondientes. Anota las ecuaciones que utilizaste.

Y=

Y=

2. Traza las gráficas en el siguiente plano cartesiano.

· .. -.. .-. -.. . .. . .. 1 . . . - - - . . . .

1

.. .. -. .-. .-. .. .. . - - - .

3. Anota las coordenadas del punto en que se intersecan las gráficas.

1

4. Observa las coordenadas del punto de intersección y explica qué significado tiene el valor de x en la ecuación 3x + 2 = x 2. -----------------------------S. Explica qué significado tiene el valor de y.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones, construye las gráficas en tu calculadora, y trázalas en los planos cartesianos correspondientes. o) O.Sx

+ 1= - x +4

.1 : . : :···¡::

Solución:---------

b)~=i-2x

2

4

1

Solución:---------

l

1 · ·.

. . ¡ ••: ~ ¡ : : . : .

.1

. : : : : . : : ··1 : . :

c)4x-7=0 Solución:

_ 1

1

1


Í Hoja de trabajo 117 \~---------¿Cuál es la solución? l. Resuelve la siguiente ecuación construyendo las gráficas en tu calculadora, luego dibújalas en el siguiente plano.

x+l1..=x+1 4

2

Solución:---------2. Observa las gráficas, y explica a qué se debe su comportamiento.---------------

3. Explica la solución de la ecuación de la actividad 1 sinrecurrir alas gráficas.----------

4. Construyedos ecuaciones cuyas gráficasse comporten como las de la actividadl. Comprueba las respuestas

en tu calculadora.

S.

En cada uno de los siguientes casos encuentra una ecuación asociada a las siguientes gráficas y comprueba las respuestas en tu calculadora. : 2EI

a)

b)

Xe: -·1: 6. Describecomo construiste las ecuaciones que corresponden a las gráficas de la actividadS.

Justificatu respuesta con algunos ejemplos.-----------------------

_

Bloque


r Hoja de trabajo 118 \~-------------¿Encuántos puntos se intersecanestas gráficas? 1. Resuelvela siguiente ecuación y construye en tu calculadora las gráficas correspondientes; dibújalas luego

en el siguiente plano. x2 =4 Solución:---------

2. ¿En cuántos puntos se intersecan las gráficas que construiste?--------------3. Anota las coordenadas de los puntos de intersección entre las gráficas. Intersección 1

Intersección 2

( ' )

( ' )

4. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 1, para la ecuación x2 = 4? ¿Yeldey? _

_

5. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 2, para la ecuación x2 = 4? -------6. Construye en tu calculadora las gráficas que se necesiten para resolver las siguientes ecuaciones y trázalas

luego en el plano cartesiano correspondiente. o)

2x2-

7=- 2

Solución:---------

1

= >1 + 2

.

_

1

. . . . ...... . . . .

. . . . . . . .. . . .

l l

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .' ...... . . . . . . . . . . .. '

b) 3x2

Solución:

. . . .

. . . . .

. . . . . .

.

. . .

.

. .

. .

. .

7. Construyeuna ecuación cuyas soluciones sean x = 3 y x = -3. Comprueba el resultado aplicando el método gráfico.

Y=~-------Explica cómo construiste la ecuación------------------------


Í Hoja de trabajo 119 \~-------¿Cuál es la solución? L Resuelvela siguiente ecuación construyendo en tu calcu-

ladora las gráficas que se requieran; luego dibújalas en el plano cartesiano de la derecha. (x 4)2 = - 2

Solución:---------------2. ¿Cuántos puntos de intersección tienen tus gráficas?--------3. Explica, sin observar tus gráficas, la solución de la ecuación (x 4)2

= - 2. -----------

4. Encuentra la solución para la ecuación -1 = x2.

Solución:------------S. Explica lo que observaste al intentar responder la actividad 4. ---------------

6. Escribe otras dos ecuaciones cuya solución sea como las de las actividades 1 y 4; anótalas, verifícalasen tu

calculadora y luego dibuja sus gráficas en los siguientes planos.

0----------

b)

_

Bloque 11 •

Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas

r Hoja de trabajo 110 \~-------------¿Sólo una solución? 1. Construye una ecuación que se resuelva usando las gráficas que se muestran en la figura de la derecha. Verifica en tu calculadora que no haya errores. La escala en ambos ejes

...... \. l . . . . . . . . .

. . .

'

. . .

. . . .

.

esl.

2. Indica en cuántos puntos se intersecan las gráficas de la actividad

l.--------

3. Escribe la solución de la ecuación.--------------------4. Explica,

sin recurrir a las gráficas, la solución que obtuviste para tu ecuación. ---------

5. Escribe una ecuación que se resuelva con las siguientes gráficas. Anota su solución y comprueba las respuestas en tu calculadora. La escala en los ejes cartesianos es l. o) Ecuación:

_

Solución:-------

b) Ecuación:

_

Solución:-------

e) Ecuación: ------Solución:

_


Í Hoja de trabajo 111 \~------Puntos donde se intersecandos gráficas l. Resuelvecon el método gráfico las siguientes ecuaciones y dibuja las grá-

ficas en el plano correspondiente.

a)3x2=x+2 Solución:

_

Solución:---------

e) x (x

+ 3.7) = O

Solución:

_

2. Construye una ecuación que se resuelva con las siguientes gráficas. Anota la solución y comprueba las respuestas en tu calculadora. Ecuación:--------Solución:

_

Ecuación:--------Solución:

_

Bloque


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. Indaga en fuentes bibliográficas qué métodos se emplean para resolver ecuaciones de primero y segundo grado con una incógnita. En equipo, haz un resumen y preséntalo a tu grupo para su análisis. 2. Compara las estrategias para resolver ecuaciones de primero y segundo grado de este bloque, con los métodos algebraicos convencionales (como los que encontraste al resolver la actividad 1). Comenta sus ventajas y desventajas en términos del aprendizaje de los estudiantes. 3. ¿Cuáles son las relaciones entre las representaciones gráfica y algebraica de una función? ¿Cómo contribuye familiarizarse con estas relaciones para el trabajo propuesto en este bloque? Elabora un ensayo en equipo, y preséntalo a tu grupo para su discusión. 4. Discute con tus compañeros la pertinencia del uso de la calculadora en actividades como las de este bloque. Escribe tus conclusiones. S. Construye una ecuación de primer grado que tenga: o) Una solución positiva. b) Una solución negativa. c) Ninguna solución. Usa la calculadora para comprobar gráficamente tus respuestas. 6. ¿Qué características tiene la gráfica de cualquier ecuación de primer grado que no tiene solución? Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 7. Indaga en fuentes bibliográficas qué significa que una ecuación de segundo grado tenga soluciones reales. 8. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga: a) Dos soluciones positivas. b) Dos soluciones negativas. c) Una solución positiva y una negativa. d) Sólo una solución positiva. e) Sólo una solución negativa. f) Ninguna solución real. Comprueba gráficamente las respuestas con tu calculadora. 9. Compara con tus compañeros el trabajo realizado en los dos puntos anteriores, así como las estrategias usadas por cada uno. Redacta tus conclusiones al respecto. 10. Indaga en fuentes bibliográficas qué son los números complejos. Haz un resumen en equipo y preséntalo a tu grupo para su discusión.

BLOQUE

Los propósitos centrales del presente bloque son: (1) Identificar el dominio y contradominio de la función raíz cuadrada. (2) Expresar como intervalo los conjuntos de valores que conforman el dominio y contradominio de la función raíz cuadrada de x. (3) Trasladar y reflejar gráficas de la función raíz cuadrada respecto a los ejes cartesianos. Las actividades del bloque acuden a la visualización de gráficas y ecuaciones de la función raíz cuadrada para identificar su dominio y contradominio. La pantalla de la calculadora permite visualizar una gráfica y responder preguntas sobre los valores utilizados en su construcción: qué valores se pueden observar; si se puede continuar con la construcción de la gráfica más allá de la pantalla, y cómo se explican sus respuestas a partir de la regla de correspondencia de la función. En este bloque se introduce la notación de intervalo para expresar el dominio y contradominio de una función, lo cual implica el desarrollo de las nociones de intervalo e intervalo semiabierto. En las hojas de trabajo se proponen variaciones en los parámetros de las reglas de correspondencia de las funciones involucradas a fin de reconocer las modificaciones de las gráficas. A partir del reconocimiento de la forma de la gráfica y de los efectos de la variación de los parámetros en la gráfica, se plantean actividades que piden la construcción de las ecuaciones a partir de sus gráficas. Si bien la calculadora construye las gráficas, el estudiante podrá anticipar gradualmente lo que la calculadora desplegará, convirtiéndose en una herramienta de validación de lo que se tiene en mente respecto de una gráfica específica. Representación algebraica__,, ~--+ Representación gráfica

Nuestra propuesta es utilizar la calculadora para facilitar los procesos de exploración, formulación y validación de conjeturas matemáticas.

219

12


Í Hoja de trabajo 111 \~-------Función raíz cuadrada Construye en la calculadora la gráfica de la función 4 y dibújala en el plano de la derecha.

y=

Jx

Observa la gráfica y responde. L ¿Qué valor le corresponde a ysi x= 4? 2. ¿Qué valor le corresponde a y si x

_

= 8? -------

3. Además de contestar las preguntas 1 y 2 con la información de la gráfica, ¿qué cálculos puedes realizar para responderlas? Explica detalladamente.

x = 2? S. ¿Qué valor le corresponde a y si x = -3? -------

4. ¿Qué valor le corresponde a y si

_

6. Además de observar la gráfica, ¿qué cálculos puedes realizar para responder las preguntas 4 detalladamente.

7. En la gráfica se observa que para lladamente.

y 5? Explica

x < 4 no hay un valor para Jx 4. ¿A qué se debe esto? Explica deta-

8. Usa la función raíz cuadrada para construir en tu calculadora una gráfica en la que no existan valores para x < -3. Anota en el siguiente espacio la ecuación que usaste.

Dibuja la gráfica en el plano de la derecha.

La función raíz cuadrada está definida para los números reales no negativos. Para determinar la raíz cuadrada de números negativos es necesario definir el conjunto de los números complejos, en el cual se introduce el número i, de modo que i2 = - 1, y por lo tanto F]. = i .

Bloque

U • Función rafz cuadrada: dominio y contradominio

r Hoja de trabajo 123 \~-------------Dominio y contradominio 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función

y=JX Dibújala en el plano de la derecha. 2. Observa la gráfica que construiste en tu calculadora y responde lo siguiente. ¿Cuál es el valor mínimo de x en la función

y =JX?

¿Cómo pudiste determinarlo a partir de la gráfica?

¿Cuál es el valor máximo de

x en la función

y =JX?

_

¿Cómo pudiste determinarlo a partir de la gráfica?

¿Por qué crees que la calculadora no asigna valores negativos ax cuando construye la gráfica de la función y Explícalo detallada mente.

= JX?

Al conjunto de todos los valores que pueden asignarse ax en una función se le llama dominio de la función. En la gráfica de la derecha se ha resaltado el dominio de la función ese conjunto de valores incluye el cero y se prolonga hacia la derecha tanto como quieras.

y= JX:

El dominio de

y =JX expresado

como intervalo es [O, oo). El corchete de la izquierda indica que el cero

está contenido en el intervalo y que cero es el menor valor del intervalo. El paréntesis indica que el intervalo es "abierto por la derecha", es decir, que no tiene un valor extremo por la derecha. En la gráfica de la derecha está resaltado el contradomlnio o rango de la función es decir, el conjunto de todos los valores posibles de y.

y= JX

3. ¿Cuál es el valor máximo de

y en la función y =JX?

4. ¿Cuál es el valor mínimo de y?

y?-----------------------6. ¿Cuáles son los posibles valores de ft-----------------------S. ¿Cuáles valores no son posibles para

1. Expresa el contradominio como intervalo.-----------------------

_


Í Hoja de trabajo 114 \~--------------Tra.slaciones verticales l. localiza en tu calculadora la tecla para calcular la raíz cuadrada y úsala para escribir la siguiente ecuación.

y=JX+l 2. Construye la gráfica correspondiente plano de la derecha.

y dibújala en el OEG llllUTQ

FUMC

3. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las ecuaciones que utilizaste. Señala en cada gráfica el dominio y contradominio de las funciones y exprésalos como intervalos. o)

b)

Y=

Y=

c)

d)

.....

·~-.--

.. ~ ~

Y=

... Y=

4. Construye una gráfica que pase por arriba de las gráficas de la derecha, otra que pase por debajo, y una más que pase entre las dos. Anota las ecuaciones que utilizaste.

Y= Y= Y=

. . ___.: . - .

,,,,,: . .

Bloque


r Hoja de trabajo 125 \~-------------Simetría 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la siguiente función.

y=JX+1 ¿Qué modificación sufrió la gráfica con respecto a las gráficas de la hoja de trabajo anterior?

2. ¿Cuáles son el dominio y contradominio de Y=

JX + 1?

_


3. Construye en tu calculadora las gráficas que se muestran a continuación y anota las ecuaciones que utilizaste. b)

a)

E±I . .

. . . . .

1

. . . . . . . . . .

'

.

. . .

. .

y=

e)

d)

El 00 ~I

~

1

Y=

.

Y=

1

y=

Y=

. . .

. .

.

'

.

. . .

. ....

. . .

.

.

.

..

..

ES:I ....... .

...... . . . . . . . . . . . .

.

..

Y=

. . . . . . . ····~

1

== ......

Y=

y=

Y=

y=

Y=

y=

.


Í Hoja de trabajo 116 \~-------Algo más sobre simetría l. la gráfica siguiente corresponde a la función

y=

J x + 1 . Hazla en tu calculadora.

13 . ....... .

.

. . .

2. ¿Cuáles son el dominio y el contradominio de la función

1

y=

J x + 1? -----------


3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las ecuaciones que usaste. Señala en cada gráfica el dominio y contradominio de la función que representan y exprésalos como intervalos. a)

b)

e)

k?:~:~~~~~~~=

t::hJ: : ...... CJJ

Y=

Y=

:e~::.::::~JJ:: ~:~·

1

1

.

1

81

.. .. .. ..

..

.. .

Y=

4. Escribe la ecuación que corresponde a la gráfica de la derecha.

b}fj ....... ....

.. . . .. ........ . . . . . . .

Y=

'

S. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las ecuaciones.

I~ 1 ~= . ·== b)

a)

. .. . .. . . . . .. . .. . .. '. . .

Y=

.. . . . . .. . .. . . . . . . . . '

Y=

e)

IE4

. . . . .

. . . . . .. ..

Y=

' ' ' '

Bloque


D

r Hoja de trabajo 117 \~-------------Traslaciones horizontales 1. Observa las ecuaciones de la derecha e identifica a qué gráfica corresponde cada una. Verifica las respuestas en tu calculadora.

y= J(x+ 2)

Y=

+

y=~

Y=

1

Q[

Y=

y= J(x 3)

y= J(x

Y=

ISEJbdl

Y=

y=J(x+l)

y= J(x+ 2)

Y=

2. ¿Cuáles son el dominio y el contradominio de la función

3)

y = J(x + 3)?

_

_


3. Observa las figuras que forman las gráficas que se muestran a la derecha. Crea otra figura como ésas con la condición de que quede entre las dos figuras originales. Anota las ecuaciones que usaste para completar esta ta rea.

. .

~

.

.

== .

.

. ..


Í Hoja de trabajo 118 \~--------------Más traslaciones l. Agrega lo que sea necesario a las siguientes dos funciones de manera que produzcan la figura de la derecha. y=~

~~~~~~~~~~-

y= ~(x

2)

~~~~~~~~~~

2. Modifica la siguiente función las veces que sea necesario para obtener la figura de la derecha.

3. Reproduce en tu calculadora las siguientes figuras y anota las funciones que utilizaste.

[ =51

1

4. Construye en tu calculadora las gráficas de funciones del tipo "raíz cuadrada" cuyo dominio y centradominio sean los que se indican en cada caso. Anota las ecuaciones que usaste y dibuja la gráfica. Dominio:

[4, oo]

Contradominio:

Dominio: [1, ee)

(-oo, -3)

Contradominio:

(-oo, -2)

Bloque


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. En la presentación de este bloque se hace referencia a la "regla de correspondencia de una función"; indaga su significado en fuentes bibliográficas. Compara los resultados de tu indagación con los de tus compañeros y analízalos con tu profesor. 2. Haz una revisión de las hojas de trabajo de este bloque y elabora una descripción de la regla de correspondencia de la función raíz cuadrada y sus características (forma de su gráfica, dominio, contradominio, crecimiento, comportamientos locales, globales, etcétera), y preséntala a tus compañeros. Analízala y efectúa los ajustes necesarios. 3. Realiza una investigación en diferentes fuentes matemáticas acerca de la función raíz cuadrada. Prepara una presentación y exponla en tu grupo. 4. Investiga los siguientes términos matemáticos: o) Intervalo. b) Intervalo abierto. e) Intervalo cerrado. d) Intervalo semiabierto. e) La noción de infinito y la notación que se emplea para expresarlo. S. Revisa en equipo lo que investigaste acerca de los términos matemáticos del punto anterior.

6. Debate en equipo la pertinencia del uso de la calculadora para el estudio de la función raíz cuadrada y sus representaciones gráfica y algebraica. 7. Elabora un ensayo de la contribución de este bloque a tu formación como futuro docente, así como las cualidades y limitaciones de estas hojas de trabajo como recurso didáctico. Compártelo con tus compañeros.

BLOQUE

Los

propósitos centrales de este bloque son:

(1) Identificar el dominio y contradominio de funciones de la forma x2• (2) Analizar gráficas de funciones de la forma 2 x2 en intervalos donde crecen o decrecen. (3) Identificar la relación entre la recta tangente en un punto de una gráfica y su comportamiento de crecimiento y decrecimiento. (4) Identificar valores máximos y mínimos en una gráfica. (5) Realizar traslaciones verticales y horizontales, reflexiones con respecto al eje cartesiano horizontal, y estudiar su relación con los coeficientes de la regla de correspondencia de la función.

y= Jcr

y= Ja

Las actividades sugieren la identificación del dominio y contradominio de las funciones de la forma x2 a partir de la visualización de sus gráficas y su regla de correspondencia. Se retoma la notación para intervalos y las nociones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Las hojas de trabajo incluyen tareas para identificar los valores extremos en semicírculos a partir de la visualización de las gráficas desplegadas en la calculadora, para lo cual se emplean recursos como la construcción de rectas tangentes en un punto de las gráficas; esto da lugar a la introducción de los conceptos de crecimiento, valores máximo y mínimo y recta tangente en un punto. Se incluye también una actividad para utilizar la prueba de la recta horizontal e identificar si la función corresponde a una relación uno a uno. Las transformaciones del semicírculo en el plano indican la variación de los parámetros de expresiones de la forma b2 (x2 c)2 + d y la observación de sus efectos en las gráficas correspondientes. Utilizar la calculadora permite al usuario centrarse en tareas de exploración, formulación y validación de conjeturas, as! como desarrollar gradualmente procesos más directos para la traducción entre la gráfica y la regla de correspondencia de la función.

y= Ja2 -

aJ

Representación algebraica

Representación gráfica

229

13


Í Hoja de trabajo 119 \~--------------Semicírculo l. Construye en tu calculadora la gráfica de la función y = J6.25 -

x2

y reprodúcela en el plano de la derecha. 2. Observa la gráfica y responde: lo siguiente. a) ¿la gráfica crece o decrece indefinidamente?------Explica tu respuesta.

b) Identifica los puntos que consideres importantes en la gráfica. --------------¿Por qué consideras que son importantes?

c) ¿Cuál es el dominio de la función y= J6.25- x2? Exprésalocomo intervalo.

_

d) ¿Cuáles el contradominio de la función y= J6.25 - x2? Exprésalocomo intervalo.

_

3. ¿A qué crees que se debe el comportamiento de la gráfica? Explicadetalladamente.

En el siguiente plano aparecen las gráficas de y = 1.5 y de y= J6.25 - x2. Construye en tu calculadora la gráfica de y= 2.5. 4. lndica~tos puntos cruza la recta y = 2.5 a la gráfica de y= ,J6.25 - x2 y cuáles son las coordenadas de esos puntos.

S. ¿Una recta y= 1.5 es la única que corta en dos puntos la gráfica de y= J6.25 - x2? Justificatu respuesta.

6. Una recta horizontal permite comprobar si una función es "uno a uno", Esto significaque a cada valor del contradominio le corresponde sólo un valor del dominio. Una gráfica que sólo crece o decrece es una función "uno a uno", ¿la gráfica inicial corresponde a una función "uno a uno"? _ Justificatu respuesta.

Bloque

13 • Semiclrculo: valores extremos

r Hoja de trabajo 130 \~-------Rectas tangentes 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función:y= ~ 12.25 - x2 . 2. Indica en qué intervalo la función es creciente. ------3. Indica en cuál es decreciente.-------------4. ¿Tiene un valor máximo o mínimo?

¿En qué punto?

_


S. Construye en tu calculadora rectas tangentes al semicírculo en los puntos que se indican.

6. ¿Cuál es Ja ecuación de la recta tangente en el punto (-2.1, -28)? -------------

7. ¿La recta es creciente o decreciente?--------8. ¿Cuál es el signo de Ja pendiente de Ja recta?

_

En el plano de la derecha se muestra Ja recta tangente al semicírculo en el punto (3.1, -162481). 9. ¿Es creciente o decreciente?-----------10. Cuál es el signo de su pendiente?----------11. ¿Qué relación observas entre el comportamiento de la gráficay Ja pendiente dela recta tangente? _ Justifica tu respuesta.

Construye Ja recta tangente al semicírculoen el punto (O, 3.5). 12. ¿Crece o decrece la tangente? l Cuál es su pendiente?--------Justifica tu respuesta.

13. ¿Cuál crees que será el valor de la pendiente de Ja recta tangente en un máximo o mínimo de Ja gráfica

de una función? Justifica tu respuesta.


Í Hoja de trabajo 131 \~--------Semicírculos l. Construye en tu calculadora la gráfica de la función y= -~4 -

x2 y

dibújala en el plano cartesiano de la derecha. 2. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función anterior? Justificatu respuesta.

3. Encuentra una función con la que puedas construir en tu calculadora la gráfica que complete un círculo al unirla con la gráfica de la actividad l. Anota la función que utilizaste y dibuja su gráfica en el plano cartesiano de dicha actividad.

Jr= 4. ¿Cuáles son el dominio y contradominio de la función de la actividad anterior?--------Justificatu respuesta.

5. Anota las coordenadas de los puntos en que el círculo cruza los ejes coordenados.

6. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculoque se formó con las gráficas de las funciones de las actividades 1y2? --------7. Construye los siguientes círculosy anota las funciones que usaste. La escala en los ejes cartesianos es l.

$ Y=

Y=

Y=

Y=

f

1

GJ

1

Y=

Y=

8. ¿Cuántas unidades mide el radio de cada uno de los círculosque construiste?--------Justificatu respuesta.

9. Encuentra la relación entre la expresión que usaste para construir un círculo con la medida de su radio, y explícalaa continuación.

Bloque


r Hoja de trabajo 132 \~-------------Semielipses 1. Construye en tu calculadora una semielipse usando la ecuación y= -o.s.)(9 -x2). Dibuja la gráfica en el plano de la derecha. 2. Encuentra la función cuya gráfica permita completar la elipse que se bosquejó en la actividad l. Anota la función que encontraste y dibuja la gráfica en el plano de dicha actividad.

3. Anota las coordenadas de los puntos en los que la elipse cruza los ejes X y Y.

4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de las funciones de las actividades 1 y 2? En la figura de la derecha se han resaltado los semiejes vertical y horizontal de la elipse cuyas ecuaciones son las de las actividades 1 y 2. S.

¿Cuántas unidades mide el semieje horizontal?

_

Justifica tu respuesta.-----------------6. ¿Cuántas unidades mide el semieje vertical?----------------------

Ju~ifica tu respuesta·-----------------------------7. Encuentra la relación entre los términos constantes de las ecuaciones que se usaron para construir esa elipse y la longitud de los semiejes.Explícalodetalladamente. --------------8. Construye en tu calculadora las elipses con las características que se indican; anota las expresiones que

utilizastey dibújalas en los planos correspondientes. Semieje horizontal: 1 unidad Semiejevertical: 3 unidades

Semieje horizontal: 4 unidades Semieje vertical: 2 unidades

Y=-----Y= Y= Y=-----9. Encuentra la relación entre las expresiones y la medida de los semiejes y explícala a continuación.


Í Hoja de trabajo 133 \~--------------Bipses y círculos l. Completa la siguiente tabla sin construir las gráficas de las funciones. Después verifica tus respuestas y construye las gráficas en tu calculadora.

-·~,·

..

-

~ ""

y=

1.s,J2.s6 -

y=

,J7.84 x2

-- ·-· ~·

...... _ :.1111

. ..-;-•11 .

:•••

•Hr~1r:.1 111

~11!_1..1_:,J]

...

_...

.

l•'•r~11hf':.1L11 -A

'"

• 11111:..i1.

x2

2. Construye en tu calculadora las elipses que pasen por los puntos que se resaltan en los siguientes planos cartesianos y anota las ecuaciones que utilizaste. La escala en los ejes cartesianos es l.

Y=

Y=

Y=

Y=

3. Reproduce en tu calculadora las siguientes figuras y anota en los recuadros las ecuaciones que utilizaste en cada caso.

Bloque


r Hoja de trabajo 134 \~-------------¡Arriba, abajo! 1. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota en los recuadros las ecuaciones que utilizaste. la escala en los ejes cartesianos es l.

b)

2. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculo del inciso a)?----------------3. Escribelas coordenadas del punto en el que se encuentra el centro del círculo.----------4. ¿Cuántas unidades miden los semiejes de la elipse?------------------5. Escribelas coordenadas del punto en el que coinciden los semiejes de la elipse.

_

6. Utiliza, sin construir la elipse, las siguientes ecuaciones para determinar las coordenadas del punto don-

de coinciden los semiejes de la elipse. Comprueba tus respuestas en la calculadora. y = 2J6.25 - x2 + 1.5

y= -2J6.25 - x2 + 1.5

Coordenadas (

'

)

7. Construye en tu calculadora un círculo que tenga su centro en (O, -1); anota en el recuadro las expresiones que usaste y dibújalo en el plano cartesiano.

8. ¿Cuántos círculos puedes trazar que tengan como centro el punto (O, -1)?

Justifica tu respuesta y proporciona ejemplos.


Í Hoja de trabajo 135 \~--------------Tra.slaciones horizontales L Con las siguientes ecuaciones construye en tu calculadora las gráficas correspondientes siguiente plano cartesiano.

y= ,J 4 -

y dibújalas en el

(x 3)2

y= -,J4-(x-3)2 2. Construye en tu calculadora un círculo que pase por los puntos que están marcados y anota en el recuadro las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes es l.

1

i • ¡ ¡ i • ¡:. ¡ ¡ ¡ l l • ¡ ¡ • ¡ • ¡ j ..

1

3. Ahora construye una elipse que pase por los puntos marcados y anota en el recuadro las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes es l .

. .. 4. Escribe las coordenadas del punto en que se encuentra el centro del círculo que construiste. S. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro de la elipse.

_ _

6. Sin construir el círculo, utiliza las siguientes expresiones para determinar las coordenadas del punto donde se encuentra su centro. Verifica los resultados en tu calculadora.

lr=J4-(x-2.5}2

1

y=-,J4-(x-2.s)2

7. Explica la relación entre las coordenadas actividad anterior.

y las ecuaciones de la

Coordenadas

(

)

Bloque


r Hoja de trabajo 136 \~-------------¡Parece que se hundeny flotan! la escala en todos los planos cartesianos de esta hoja de trabajo es l. 1. Construye en tu calculadora la siguiente gráfica y anota en el recuadro las ecuaciones que utilizaste.

:: $

1 · ...•..•..

· 1 · .......•.

.. .. . .. . ... . . ... .

.

·

.. .. .. .. . .. ....... .. ... ' . . .

.

.

1

.

2. Agrega lo que sea necesario a las ecuaciones de la actividad anterior para que la gráfica "flote", como se muestra a continuación.

:<

. . . . . . . . . . .

.,

1

.. .'

.'

.' .

.

. . . . . .

~CD 1 :

.

. .

¡

1

3. Ahora encuentra las ecuaciones que se "hundan· en el cuarto cuadrante a la gráfica de la actividad l. An6talas en el recuadro, construye la gráfica en tu calculadora y dibuja en el siguiente plano la gráfica "hundida".

1 4. Escribe las coordenadas del centro del círculo que "flota". ----------------5. Escribe las coordenadas del centro del círculo que "hundiste". --------------6. ¿C6mo puedes determinar las coordenadas del centro de los círculos de las actividades 2 y 3 a partir de sus expresiones? ~ Justifica tu respuesta.

7. Haz en tu calculadora el siguiente dibujo lograste.

y explica c6mo lo


Í Hoja de trabajo 137 \~--------------Carita feliz l. Reproduce en tu calculadora el siguiente dibujo. Anota en el recuadro las ecuaciones que utilizaste.

2. Modifica la carita feliz agregándole cejas, orejas, cuerpo, bigote, anteojos; dándole expresiones de tristeza y preocupación; alarga la carita, etcétera. 3. Anota las ecuaciones que utilizaste para modificarla y escribe qué modificación se produce cuando cambias algo en la ecuación. L~'!ltll::.J..""'I IJI

1:r1llllll l

• .•

IJI•

Bloque


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. Revisa las hojas de trabajo de este bloque y elabora una descripción de la regla de correspondencia de la función cuya gráfica sea un semicírculo, sus características (forma, simetrías, dominio, contradominio, crecimiento, comportamientos locales, globales, parámetros, etcétera). Preséntala a tus compañeros y realiza los ajustes necesarios a tu descripción. 2. Investiga acerca de los siguientes contenidos matemáticos: a) Funciones cuya relación entre sus valores es uno a uno (prueba de la recta horizontal, por qué tienen función inversa, etcétera). b) Valores extremos de una función, locales y globales. e) Rectas tangentes en un punto de la gráfica de una función. 3. Presenta a tu grupo los resultados de tu investigación acerca de los términos matemáticos del punto anterior.

4. ¿Encuentras alguna similitud entre la ecuación y=~ a2 x2 y el Teorema de Pitágoras? Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. S. Discute en equipo la pertinencia del uso de la calculadora para el estudio de las gráficas de las actividades de este bloque. 6. Elabora un ensayo acerca de la contribución del estudio de este bloque en tu formación como docente. Compártelo con tus compañeros.

BLOQUE

Los

propósitos centrales de este bloque son:

(1) Determinar el dominio y el contradominio de funciones raciona les. (2) Usar el concepto de intervalo para describir el dominio y el contradominio de funciones racionales. (3) Identificar en qué puntos no está definida una función racional. (4) Identificar asíntotas horizontales y verticales. (5) Realizar variaciones en los coeficientes de las reglas de correspondencia de las funciones para efectuar traslaciones y reflexiones. Las actividades del bloque acuden a la visualización de las gráficas y ecuaciones de funciones racionales para identificar su dominio y contradominio. El uso del concepto de intervalo en este contexto conlleva a la recreación de los conceptos intervalo, intervalo abierto y unión de intervalos. Las funciones racionales que se incluyen en las hojas de trabajo son de la forma

f (x) = ~~~ con Q(x) :f: O; la restricción

Q(~ :f: O se percibe visualmente como "rompimientos· de la gráfica, lo cual da lugar a la revisión de conceptos como la división entre cero, continuidad de una función, asíntota, asíntota horizontal, asíntota vertical y aproximación a una discontinuidad por la derecha y por la izquierda. Las hojas de trabajo incluyen actividades que indican la variación de los coeficientes en la regla de correspondencia de una función para identificar los efectos en su gráfica. La calculadora ofrece retroalimentación inmediata a las conjeturas fonnuladas por el estudiante, lo cual le proporciona oportunidades para realizar un amplio trabajo de exploración que le facilita reconocer hechos matemáticos relacionados con las funciones racionales. Es importante que el futuro docente dedique tiempo a formalizar los hallazgos derivados de dichas exploraciones. 241

14


Í Hoja de trabajo 138 \~--------------Hipérbolas l. la ecuación y= ~produce una gráfica distinta a las que hasta ahora has construido. Constrúyela en tu calculadora y dibújala en el plano de la derecha. Esta ecuaci6n se puede editar en la calculadora en estas dos formas: y = l/X o bien como y = 1 + x. la gráfica que construirás con esa ecuación se llama hipér-

bola. 2. la hipérbola consta de dos partes. Describe cómo se des-

pliega cada una en la pantalla de tu calculadora.

3. ¿En qué valor de x se "rompe" la gráfica?----------4. Explica a qué crees que se deba este rompimiento.

Observa que el cociente 1 +O no está definido porque no hay ningún número que multiplicado por cero dé por resultado l. Esto significa que la funci6n y = ~no es continua en x = O. S. Observa la parte de la gráfica que está a la Izquierda de x = O.

a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse ax= O por la izquierda? 6. Observa la parte de la gráfica que está a la derecha de x

_

= O.

a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse ax= O por la derecha?-------------b) ¿Cómo son los valores de y al alejarse de x =O por la derecha y por la izquierda? 7. Expresacomo intervalo el dominio de la función y=~· 8. Expresacomo intervalo el contradominio de la función y=

i----------------

_

Bloque 14 •


r Hoja de trabajo 139 \~-------Asíntotas horizontales 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y= ~ + 2. Luego dibújala en el plano de la derecha. La línea horizontal punteada no aparece al construir la grá fica en la calculadora; aquí la mostramos para que te sirva romo "gufaN al dibujarla. 2. ¿En qué valor de x"se rompe" la gráfica de y=~+

2? ------------------

3. Observa la parte de la gráfica a la izquierda de x= O. ¿Cómo son los valores de la función y=~+ 2 cuando recorres la gráfica hacia la izquierda, alejándote de x =O?---------------

4. Observa la parte de la gráfica a la derecha de x=O. ¿Cómo son los valores de la función y=~+ 2 cuando recorres su gráfica hacia la derecha, alejándote de x

= O? -----------------

5. ¿Qué relación encuentras entre las respuestas de las actividades 3 y 4 y la ecuación de la recta horizontal que te sirvió de guía para trazar la gráfica en la actividad 1? ---------------Explica detalladamente.

Si una función se acerca tanto como se quiera a un número real l cuando el valor de x tiende a infinito o a menos infinito, entonces la gráfica de la función se aproxima a la recta y = l. Esta recta se llama asfntota horizontal de la gráfica. La recta y = 2 es una asfntota horizontal de la gráfica de y = ~ + 2. 6. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las ecuaciones que utilizaste. c)

1 .••••••• y=

y=

y=

7. ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de cada función de la actividad 6?

'fít'"J •. •

1


Í Hoja de trabajo 140 \~--------------Simetría L Agrega lo necesario a la ecuación y= ~+ 1 para construir en tu calculadora la hipérbola que se muestra en la figura de la derecha.

. - . ./ 1----~--~--'""--'""--~----------

..... . . .

{:

2. ¿Qué modificación debiste realizar a la ecuación para obtener

.

.

esa gráfica?-----------------3. Observa la gráfica y describe detalladamente el comportamiento de la hipérbola a la izquierda y a la derecha de x = O.

4. Expresacomo intervalos el dominio y el contradominio de la función de la actividad l.

_

t-=~

S. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las expresiones que utilizaste.

1··•···¡#-¿F±f ., _ ;· 11·>·-:s• • • • • r • . 11 . -.-•.

.

.

.

-

.

.

.

..

y=

y=

. . . .. .. .

1

. . . ..

. .

. . .

..

j

y=

6. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el segundo miembro de cada ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica. Después dibuja las gráficas en el plano de la derecha.

a)

x+l x

y=

b) y=

3x-1

x

Bloque 14 •


r Hoja de trabajo 141 \~-------------Coeficientes

i

1. Construye en tu calculadora las gráficas de las funciones que se muestran a continuación y dibújalas en el plano. Los valores~·~ 6 y son los coeficientes de~ en esas funciones. 1~

y=

{?a)(:J

2. Describe cómo cambia cada gráfica de acuerdo con los valores del coeficiente de~·

_

;1(~).

3. Construye en tu ~lculadora tres hipérbolas que se ubiquen entre las gráficas de y = -(~)(~)y y = {3 Anota las expresiones que usaste. .

lJ .

y=

y=

y=

4. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el segundo miembro de cada ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica y dibuja las gráficas en los siguientes planos.

a)

y=

b) y=

2x+ 3

x x-5 x


Í Hoja de trabajo 142 \~--------------Traslaciones horizontales L Construye en tu calculadora la gráfica de la función y

=1x 3

y dibújala en el plano de la derecha, utiliza la línea vertical como

guía. Considera que y= 1 debe escribirse en Ja calculadora como x-3 y = 1/(x 3) o como y = 1 + (x 3). Cuando Ja gráfica de una función tiende a infinito a a menos infinito conforme los valores de x se aproxi man a un valor e por la derecha o la izquierda, entonces la gráfica de Ja función se aproxima a Ja recta vertical que pasa por el punto (c, O), Ja cual se llama asíntota vertical. la recta vertical que pasa por (3, O) y usaste de guía, es Ja asíntota vertical de la función

y

= _!._3. x-

2. Describe qué cambios observas en esta gráfica con respecto a las que has construido en las hojas de trabajo anteriores.-------------------------------3. Describe cuál es el dominio y cuál el contradominio de la función y= 1-.---------x 3 Justificatu respuesta.

4. Construye en tu calculadora, para cada inciso, una hipérbola cuya asíntota sea la línea vertical que se muestra. Anota las ecuaciones que utilizaste.

I•l:

i : i : : • : : 1 : : • !I! • • :

Y=-------

i:

.1

Y=-------

S. Escribela ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (-6.3, O). 6. Escribela ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (5.8, O).

Bloque 14 •


r Hoja de trabajo 143 \~-------------Traslaciones verticales 1. Construye en tu calculadora una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (3, O); anota la ecuación que usaste y dibuja la gráfica en el plano de la derecha.

2. Modifica la expresión que utilizaste en la actividad anterior de tal modo que la hipérbola tenga, además de una asíntota vertical, una asíntota horizontal determinada por la recta y= 2.5. Constrúyela en tu calculadora y dibújala en el plano de la derecha.

. ..................................... . ' ..... . ..

3. ¿Cuáles son el dominio y el contradominio de la función de la actividad 2? ----------Justifica tu respuesta.

4. Ahora construye una hipérbola que tenga como asíntota vertical la que se muestra en el plano de la derecha. Anota la ecuación y dibuja su gráfica.

5. Agrega lo que sea necesario a la ecuación anterior para que la gráfica tenga la asíntota horizontal que se muestra en el plano de la derecha. Anota tu ecuación y dibuja su gráfica.

1

. . . . . . ... ... ... ... .'. ... .. ...

l

. ..

. . .. .. .. .. . .. . . .. ___ ~ . ... . .... . .

..

t: '

'

. . ..

. .. .

' ..

. ..

---

.

. .

;j

6. Escribe la ecuación de una hipérbola que tenga como asíntota vertical una recta que pase por el punto (4.4, O) y como asíntota horizontal la gráfica de la ecuación y= 2.9. Construye en tu calculadora la gráfica correspondiente y verifica que tu expresión sea correcta.


Í Hoja de trabajo 144 \~--------------¿Y estas gráficas? L Construye en tu calculadora la gráfica de la función y = dibújala en el plano de la derecha. 2. ¿Cuáles son el dominio

-1r y x

y contradominio de la función y = lr? X


3. Construye la gráfica de la siguiente función

y=

y reprodúcela en el plano de la derecha.

1

x2-9

4. ¿Cuáles son el dominio y contradominio de la función y= ~? -----x 9 Justifica tu respuesta.

1 S. Construye la gráfica de y= x ·" Sx + 4 . ¿Cuáles son sus asíntotas? -------------6. Escribe una ecuación para la siguiente gráfica. La asíntota vertical de la derecha es el eje y.

,........,,,..;-v....,.--,,......,,..-..,,....OV"i"......,,....-~.,-v---.,

Verifica en la calculadora tu respuesta e indica lo que hiciste para encontrar la ecuación.

7. Anticipa cómo es la gráfica de la función y=

1

(x+

2) 2

y descrlbela.

8. Comprueba tu descripción construyendo la gráfica en tu calculadora.

Bloque 14 •


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. Elabora una descripción de las funciones racionales (la apariencia de sus gráficas, su dominio, contradominio, puntos de discontinuidad, asíntotas, periodicidad, crecimiento, comportamientos Analízala en equipo y haz los ajustes necesarios.

locales, etcétera).

2. Indaga en diferentes fuentes matemáticas acerca de las funciones racionales. Prepara una presentación y exponla a tu grupo. 3. Indaga en fuentes bibliográficas acerca de "los ceros de una función" y elabora un resumen. Analízalo con tus compañeros y tu profesor.

4. Determina los ceros y las asíntotas verticales de la siguiente función racional:

f (X¡ =

(x + 4)(x 7)2(x + 10) (x + l)(x - 7)(x + 10) 2

S. Indaga en fuentes bibliográficas lo siguiente: o) División entre cero. b) Discontinuidad de una función racional. c) Asíntota. 6. Discute en equipo las ventajas de utilizar la calculadora en el estudio de las funciones racionales.

7. Desde la perspectiva de tu formación profesional como docente, elabora un ensayo acerca de la pertinencia y limitaciones de las actividades de este bloque como recurso didáctico. Discútelo con tus compañeros

y con tu profesor.

BLOQUE

Este bloque tiene como propósitos centrales: (1) Determinar el dominio y el contradominio de funciones lineales y cuadráticas a las que se aplica la función valor absoluto. (2) Expresar como intervalos el dominio y el contra dominio de funciones a las que se aplica la función valor absoluto. (3) Realizar traslaciones verticales y horizontales; reflexiones, y analizar los efectos de la variación de los coeficientes en las gráficas de funciones a las que se aplicó la función valor absoluto. La principal actividad de las hojas de trabajo es estudiar el comportamiento de la función valor absoluto cuando está se aplica a funciones lineales y cuadráticas. De hecho, esta aplicación corresponde a la composición de una función lineal o cuadrática con la función valor absoluto. La calculadora graficadora es un apoyo imprescindible debido a que permite apreciar a simple vista los cambios en las gráficas cuando modificamos las reglas de correspondencia de las funciones, y también facilita identificar visualmente su dominio y contradominio. El uso de intervalos para expresar el dominio y contradominio de una función propicia la recreación de los conceptos de intervalo abierto, intervalo cerrado e intervalo semiabierto. La capacidad de la calculadora para producir gráficas hace más accesible el estudio de las transformaciones rigidas en el plano cartesiano, y nos permite centrar la atención de los estudiantes en la relación entre la regla de correspondencia de una función y su gráfica, lo cual contribuye al desarrollo de habilidades de traducción entre las representaciones algebraicas y gráfica de una función.

251

15


Í Hoja de trabajo 145 \~--------------Valor absoluto (1) 1. Construye en tu calculadora la gráfica de y reprodúcela en el plano de la derecha.

=xy

2. Observa la gráfica que construiste y responde lo siguiente. a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son negativos?

b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores dex son positivos?

3. Busca en tu calculadora la tecla que te permita

editar la siguiente ecuación y construye su gráfica sin borrar la anterior. y= abs(x) También puede ser y lxl Esta expresión se lee •y igual al valor absoluto de x'.

4. Dibuja la gráfica en el siguiente plano cartesiano.

=

y responde lo siguiente: ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son negativos?

S. Observa la gráfica que construiste a)

b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son positivos? 6. Construye en tu calculadora la gráfica de y = y dibújala en el plano de la derecha.

x

7. Dibuja cómo consideras que aparecerá la gráfica de y= abs(-x) en tu calculadora.

8. Comprueba que la gráfica que dibujaste coincide con la de tu calculadora. 9. Escribe tus conclusiones acerca de los cambios que produce el valor absoluto en los valores de y así como enlagráficacorrespondiente.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

B valor absoluto de un número real a se define como [a]

a,sia2!.0} = { -a,SJa .
Nota que el valor absoluto de un número real distinto de cero siempre será positivo.

Bloque

15 • valor absoluto: funciones lineales y cuadráticas

r Hoja de trabajo 146 \~-------Traslación y simetría 1. Reprodúcela en tu calculadora

Observa la siguiente gráfica.

y anota la ecuación que usaste.

Y=

1S:fZ1

2. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las reglas de correspondencia que usaste.

...

Y=

.. . .. ..

.. . . .

'

. Y=

Y=

Observa la gráfica de la derecha. 3. ¿Qué signo tienen todos los valores de y?

_

4. Anota la función que te permite reproducir esa gráfica en tu calculadora. Y= 5. Explica tu razonamiento para encontrar la regla de correspondencia de esa función. Observa la siguiente gráfica.

6. Encuentra la función para construir en tu calculadora la gráfica de la izquierda y anota la ecuación que utilizaste. Y=

7. Construye gráficas como la de la actividad anterior, cuyos vértices se encuentren en los puntos resaltados en los siguientes planos cartesianos. Anota sus reglas de correspondencia .

.....'.

Y=

'

.

Y=

Y=


Í Hoja de trabajo 147 \~--------------Coeficientes distintos de 1 1. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes funciones y dibújalas en el plano de la derecha.

y= 4 abs(x) y= 0.3 abs(x) y= 2 abs(x) Observa que el coeficiente en las reglas de correspondencia es diferente de l. 2. Describe los cambios que observas en tus gráficas con respecto a la gráfica de y= abs(x).

3. A la derecha se muestra la gráfica de y = abs(x) + 1.5. Construye dos gráficas que coincidan con el vértice de la gráfica de y = abs(x) + 1.5. la condición es que una de ellas esté más abierta y otra más cerrada. Anota sus reglas de correspondencia.

Y=

Y=

4. Construye dos gráficas que pasen entre las gráficas de la derecha, de tal modo que todas coincidan en el vértice. Anota las funciones que usaste.

Y= Y= S. la siguiente gráfica corresponde a la ecuación y= -abs(x) -1.

1~· 1 =:

. . . . . .. .. .. . . . . . .. . . . .. ... . .

.

'

. .. .. .. .. .. . .. . . . . . .

.

. .

. .. ..

.

6. Construye dos gráficas que coincidan con su vértice. la condición es que una de ellas esté más abierta y la otra más cerrada. Anota sus reglas de correspondencia.

Y= Y= 7. Reproduce en tu calculadora las gráficas que se muestran en la siguiente figura.

'""'

GllO fiUTD

Bloque


r Hoja de trabajo 148 \~-------------Valorabsoluto (2) 1. Construye en tu calculadora la gráfica de y= x + 2 y dibújala en el siguiente plano.

2. Observa la gráfica y responde lo siguiente. a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (-oo, -2)? b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (-2, oo)?

4. Observa la gráfica y responde.

3. Ahora construye en tu calculadora la gráfica de y = abs(x + 2) y dibújala en el siguiente plano.

a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (-oo, -2)? b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (-2, +oo)?

S. Explica detalladamente a qué se debe la diferencia entre las gráficas de las actividades 1

y 3.

6. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las funciones que usaste.

1=ffi=f=l SEG ==· ;+se· I

.

1

Y=

Y=

.

1

.

-

. . . .

.

. . . . . . ... ...

. . .

. . . . . .

.

.

.

. . . . .

.

.

....

- - - . . . . . .. ..

1

Y= 1. Construye en tu calculadora una gráfica empleando la función y= abs(x) cuyo vértice sea el punto (4.5, O) y que pase por los otros dos puntos marcados en el plano de la derecha. Anota la función que usaste.

Y=

1

. . . ... . .-

. .

. .

. . .

. . . .

l

. . . . .. .. . .

. ..

. . . .

1


Í Hoja de trabajo 149 \~--------------Tra.slación vertical 1. Construye en tu calculadora la siguiente gráfica y anota la función que usaste.

1

2. Agrega lo que sea necesario a la expresión anterior para trasladar la gráfica como se muestra a continuación.

lffiEJRE 1

>--""--t-f tT----t

1

t-

Y=

Y=

=

1 ·

3. Encuentra ecuaciones de y abs(x) con las cuales sea posible construir gráficas cuyos vértices coincidan con el punto resaltado en los siguientes planos cartesianos.

. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . . . . . . . .

1

1

I ·

...

.

1

Y=

Y= . . . . .

. . . .

. .

.

. . .. .. . . .. . . .. . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . 1 1

.1

.

Y=

Y= 4. Construye en tu calculadora una gráfica de y = abs(x), de tal modo que el vértice de la gráfica esté en el punto A y cruce al eje X en los puntos By C. Dibújala en el plano cartesiano de la derecha y anota la función que usaste.

1

. . . . . . . .. '. .. .

l:

. . . . . . . . .

..

.. íl. .. .. .. .. ... '.. ...

. . . . .

Y=

. . e . .

:

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.... . .

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.

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.

1

Bloque


r Hoja de trabajo 150 \~-----Galería 1. Reproduce las siguientes figuras construyendo gráficas en tu calculadora. Anota en los recuadros las funciones que usaste.


Í Hoja de trabajo 151 \~--------------Valor absoluto y parábolas 1. la gráfica de la derecha corresponde a la función

y=x24 Constrúyela en tu calculadora.

2. Observa la gráfica anterior y anota el signo que tienen los valores de y en la gráfica cuando los valores de x están en los intervalos que se indican.

a) (-oo, -2)

_

b) (-2, 2)

_

e) (2, +oo)

_

3. Dibuja en el plano de la derecha cómo consideras que sea la gráfica de y= abs(x2- 4).

4. Construye en tu calculadora la gráfica de y= abs(x2-4) S. Observa la gráfica y anota el signo que tienen los valores de la gráfica cuando los valores de x están en Jos intervalos que se indican. 6. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas

y compárala con la que dibujaste.

a) (-oo, -2) b) (-2, 2)

_

e) (2, +oo)

_

y anota las funciones que usaste.

Y= 7. Construye en tu calculadora la gráfica de la siguiente función y dibújala en el plano cartesiano. y= (x 2)(x l)(x)(x+ l)(x + 2)

_

Y= 8. Dibuja cómo consideras que sea la gráfica de: y= abs((x - 2)(x l)(x)(x + l)(x + 2))

. ... 9. Construye la gráfica en tu calculadora tu respuesta.

y verifica

Bloque


Actividades sugeridasparael futuro docente 1. Indaga en diversas fuentes matemáticas el concepto del valor absoluto y los contenidos matemáticos relacionados con él. Prepara una presentación y revísala con tu grupo escolar. 2. Averigua en fuentes bibliográficas en qué consiste la composición de funciones y ejemplifica tus hallazgos explicando por qué la función y= abs(.x2 - 4) es la composición de las funciones y= 1x1 y y= .x2 - 4. 3. Selecciona una o más hojas de trabajo para ponerlas en práctica con un grupo de alumnos de educación básica. Haz las modificaciones que consideres convenientes antes de ponerlas en práctica. Registra las observaciones que surjan al usarlas en una práctica en el aula y presenta un reporte a tu grupo.

4. 8abora un ensayo en el que analices las ventajas y desventajas de la propuesta didáctica de este bloque para abordar el estudio del concepto del valor absoluto con apoyo de una calculadora con capacidad gráfica. 5. Elabora actividades que incluyan al menos dos funciones distintas a la lineal y cuadrática a las que apliques la función valor absoluto para estudiarlas a partir de sus gráficas y ecuaciones. 6. 8 siguiente reactivo corresponde a la aplicación de la función valor absoluto a una función. Resuélvelo y elabora otros cinco reactivos relacionados con el tema. o) A f(x) la representa la siguiente gráfica.¿ Cuál de las siguientes gráficas representa a 1 f(x) I? y

b)

o)

e)

e)

y

y

BLOQUE

Los

propósitos centrales de este bloque son: (1) Identificar el domino y contradominio de las funciones seno y coseno. (2) Expresar como intervalos el dominio y contradominio de las funciones seno y coseno. (3) Aplicartransformaciones en el plano a las gráficas de las funciones seno y coseno. (4) Comprender los conceptos periodo, amplitud y frecuencia en el contexto de las funciones seno y coseno.

Como en los bloques anteriores, las actividades se apoyan en la visualización de gráficas desplegadas en la calculadora para abordar la identificación del dominio y contradominio de las funciones seno y coseno; se pide a los estudiantes que describan esos conjuntos como intervalos con base en su conocimiento previo de los conceptos de intervalo, intervalo abierto e intervalo cerrado. En particular, se hace énfasis en que las funciones seno y coseno son periódicas y que esta característica las distingue de las funciones que se exploraron en los bloques anteriores. Las hojas de trabajo incluyen tareas para efectuar transformaciones en el plano de las gráficas de y = a sen (bx + c) + d y y= a cos (bx + c) + d haciendo variar los valores de las constantes a, b, c y d. Lo anterior da lugar al uso y comprensión de los conceptos de periodo, amplitud y frecuencia. La capacidad gráfica de la calculadora permite la exploración y reconocimiento de hechos matemáticos relacionados con las funciones trigonométricas,los cuales requieren la aplicación de procedimientos algebraicos.

261

16


Í Hoja de trabajo 152 \~--------------Función seno l. Programa tu calculadora para trabajar con la escala en grados. Ubica la tecla "sin" (seno) y utilízala para editar la función y = sen(x). 2. Construye su gráfica y dibújala en el plano de la derecha. Escalaen el eje x: 90, en el eje y: 1 En este bloque de activi-

dades los ejes de todos los planos tendrán esta escala. 3. Observa la gráfica y responde lo que se propone a continuación.

a) ¿Cuál es el máximo valor de y= sen(x)?

_

b) ¿Cuál es el mínimo valor de y= sen(x)?---------------------c) ¿Cuál es el contradominio de la función y= sen(x)? Exprésalocomo intervalo.

_

d) ¿Cuál es el dominio de la función y= sen(x)?-------------------e) ¿En qué intervalos de x se repiten los valores de y= sen(x)?--------------Justificatus respuestas.

las funciones trigonométricas son peri6dicas. El periodo de una funci6n es T, si para todo número entero n se verifica que f M = f (x + nT). Observa en la gráfica que la funci6n y = sen(x) es peri6dica; su periodo es 360. Esto significa que Jos valores de la funci6n seno se repiten cada 360 grados. En términos de la gráfica, eJ periodo es Ja longitud del segmento del eje x en el que se repite una "onda" completa de Ja curva. 4. Reproduce la siguiente gráfica en tu calculadora y anota su

regla de correspondencia.

S. ¿Cuál es el dominio de la función que representa la gráfica?----------------6. ¿Cuáles el contradominio de la función que representa la gráfica? Exprésalocomo intervalo.

7. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y anota sus reglas de correspondencia.

Y=

Y=

_

Bloque

16 • Funciones trigonométricas: seno y coseno

r Hoja de trabajo 153 \~-------------Amplitud 1. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes funciones y dibújalas en los planos correspondientes; utiliza las líneas horizontales como guía.

y= 3sen(x)

y= 2 sen(x)

y= 0.5 sen(x)

2. ¿Qué modificación sufrió la gráfica al cambiar los coeficientes de sen(x)? Describe detalladamente tu observación.

3. Analiza las siguientes gráficas y reprodúcelas en tu calculadora. Anota las reglas de correspondencia utilizaste y determina el dominio y contradominio de cada función.

M IM

Dominio: ----------

y= Dominio:----------

Contradominio: -------

Contradominio: -------

Y=-----------

Y=----------Dominio: ---------Contradominio: -------

4. Construye en tu calculadora la gráfica de la derecha; escribe su regla de correspondencia, y explica cómo la encontraste.

que


Í Hoja de trabajo 154 \~-----Frecuencia l. Construye las gráficas de las siguientes funciones en tu calculadora y dibújalas considerando las intersecciones con el eje xy su amplitud.

y= sen(x)

y= sen(2x)

y= sen(O.Sx)

2. Explica qué sucedió con las gráficas de la función sen(kx) al utilizar las ecuaciones anteriores con k >O.

El factor k determina el periodo de la función sin modificar la amplitud de la onda. Cuanto más grande sea menor es el periodo. El valor absoluto de k indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo de

fkf,

longitud 360, y se llama frecuencia. En la función y en y= sen(O.Sx) hay media onda.

y= sen(.iq hay una onda; en y= sen (2x)hay dos ondas,

Por lo tanto, el periodo de cada función puede calcularse como: periodo= ~~. 3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota sus reglas de correspondencia.

MAi

Y=

M IN

Y=

Gii

IUI O

,.

Y= 4. Reproduce en tu calculadora las gráficas que aparecen en el plano cartesiano de la derecha y anota en el recuadro sus reglas de correspondencia.

""

Bloque

16 • Funciones trigonométricas: seno y coseno

r Hoja de trabajo 155 \~-------------Simetría 1. Construye en tu calculadora la gráfica de y y dibújala en el plano de la derecha.

=

-sen(x)

2. Describequé modificación sufrió la gráfica de y= sen(x) al multiplicar sen(x)por -1. 3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota sus reglas de correspondencia.

Y=

Y=

Y=

.

. . .. .

.

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.

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Y=

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Í Hoja de trabajo 156 \~--------------Funcióncoseno l. Construye en tu calculadora la gráfica de la función y= sen(x), la cual aparece a la derecha.

2. Construye, sin borrar la gráfica de y= sen(x), las gráficas de las siguientes funciones. y= sen(x + 45) y= sen(x 90) y sen(x + 135) y= sen(x + 180)

= y = sen(x -180)

y= sen(x + 90)

3. Describe qué modificación sufrió la gráfica de y= sen(x') al escribirla como

y= sen(x + c).

4. Ubica en tu calculadora la tecla "ces": úsala para construir la gráfica de y= cos(x), y dibújala en el plano de la derecha. S. ¿Qué similitudes observas entre las gráficas de las funciones seno y coseno?

6. Escribe qué diferencias observas.

7. ¿Qué tendrías que hacer para obtener la gráfica de la función coseno a partir de la función seno?

Verifica las respuestas en tu calculadora. 8. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas usando la función coseno y anota las expresiones que utilizaste.

~I~~ ===~===== . .. '

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PENSAMIENTO ALGEBRAICO

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