Pensamiento Variacional y Tecnologias Computacionales

Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales

Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia

Ministerio de Educación Nacional Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia

LUIS MORENO ARMELLA Asesor Internacional CINVESTAV CINVESTAV – IPN, México

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA Coordinadora General del Proyecto

EDITOR

Ministerio de Educación Nacional Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

Elaborado por:

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA. Ministerio de Educación Nacional. HENRY URQUINA LLANOS. Ministerio de Educación Nacional. ERNESTO ACOSTA GEMPELER. Escuela Colombiana de Ingeniería. Con la colaboración de:

FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA. Instituto Pedagógico Nacional.

Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados: ENLACE EDITORES LTDA. Primera edición: 1.500 ejemplares ISBN: 958 - 97413 - 3 - 9 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita del Ministerio de Educación Nacional - MEN Derechos reservados DISTRIBUCIÓN DISTRIB UCIÓN GRA G RATUITA TUITA - PROHIBIDA SU VENT VE NTA A Impreso en Colombia Bogotá, D.C., Colombia Abril 2004

INSTITUCIONES PARTICIPANTES

La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia” , y la construcción del presente documento ha sido posible gracias a la participación de las siguientes instituciones educativas y docentes que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso. UNIVERSIDADES Universidad de Antioquia Facultad de Educación. Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.

Universidad del Norte Departamento de Matemáticas. Margarita Viñas Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Universidad Distrital “Francisco José de Caldas” Facultad de Ciencias y Educación. Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C. Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica Nacional Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas. Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia Facultad de Ciencias. José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá.

Universidad de la Amazonía Facultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física. Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá.

Universidad Popular del Cesar Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas. Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad de Caldas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas.

XI

Universidad del Cauca Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas. Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca. Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.

Universidad de la Guajira Facultad de Ciencias Básicas. Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.

Universidad de los Llanos Facultad de Educación. Ivonne Amparo Londoño Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta.

Universidad del Magdalena Departamento de Matemáticas. Pablo Gonzáles. Coordinador Departamento del Magdalena. Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.

Universidad de Nariño Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas. Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño. Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño.

Universidad “Francisco de Paula Santander” Facultad de Ciencias Básicas. Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de S antander. Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander.

Universidad del Quindío Departamento de Matemáticas. Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío. Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío.

Universidad Tecnológica de Pereira Departamento de Matemáticas. Carlos Arturo Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.

Universidad de Sucre Facultad de Educación. Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre. Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad Industrial de Santander Facultad de Educación & Escuela de Matemáticas. Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.

XII

Universidad Surcolombiana. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila. Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.

Universidad del Tolima Facultad de Educación. Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima. Ivonne López. Coordinadora Departamento Departamento del Tolima. Tolima.

Universidad del Valle Instituto De Educación y Pedagogía. Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle. Valle. Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle.

Universidad Nacional de Colombia. Departamento de Matemáticas y Estadística. Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.

Universidad de Córdoba Facultad de Educación. Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba.

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Dirección de Ciencias Básicas. Ernesto Acosta Gempeler

SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN Secretaría de Educación Departamento del Atlántico Yolima Fernández Felízzola. Felí zzola. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Secretaría de Educación Departamento del Putumayo Edgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.

Secretaría de Educación Departamento del Huila Rafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila.

INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA Departamento de Antioquia Colegio Santa Teresa. Medellín. Normal Superior. Envigado. Liceo Comercial Pedro Luis Álvarez. Caldas. Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana.

XIII

Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos. Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla. Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín. Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral.

Departamento Departamento del Atlántico Escuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande. Instituto Pestalozzi. Barranquilla. Normal Superior Santa Ana. Baranoa. Normal Superior la Hacienda. Barranquilla. Escuela normal Superior de Manatí. Manatí. Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás. Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.

Departamento de Amazonas Internado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia. INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia.

Bogotá D.C Centro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T). Colegio Distrital Heladia Mejía. Instituto Pedagógico Nacional. Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander. Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M). Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M). Colegio República de Costa Rica.

Departamento de Boyacá Instituto Técnico Rafael Reyes. Duitama. Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja. Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso. Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja. Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá. Colegio Julius Sierber. Tunja.

Departamento Departamento de Caldas Normal Superior de Caldas. Manizales. Colegio la Asunción. Manizales. Normal Superior María Escolástica. Salamina. Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.

Departamento Departamento del Cesar Normal Superior María Inmaculada. Manaure. Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar. Valledupar. Colegio Nacional Loperena. Valledupar. Valledupar. Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. Valledupar Valledupar Instituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar. Valledupar.

XIV

Departamento del Caquetá Colegio Juan Bautista la Salle. Florencia. Colegio Nacional La Salle. Florencia. Escuela Normal Superior. Florencia. Colegio Cervantes. Morelia.

Departamento del Cauca Liceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán. Instituto Técnico Industrial. Popayán. INEM Francisco José de Caldas. Popayán. Instituto Nacional Mixto. Piendamó.

Departamento de Córdoba Normal Superior. Montería. Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún. Colegio Marceliano Polo. Cereté.

Departamento de Cundinamarca Instituto Técnico Industrial. Tocancipá. Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene. Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá. Colegio Departamental San Juan de Rioseco. Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca.

Departamento de la Guajira Colegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha. Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha. Colegio La Divina Pastora Riohacha. Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao. Normal Superior San Juan del Cesar.

Departamento Departamento del Huila INEM Julián Motta Salas. Neiva. Liceo Santa Librada. Neiva. Normal Superior. Neiva. Normal Superior. Gigante.

Departamento del Meta Normal Superior María Auxiliadora. Granada. Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López. INEM Luis López de Mesa. Villavicencio. Villavicencio. Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.

Departamento del Magdalena Normal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta. Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda. Liceo Antonio Nariño. Santa Marta. Normal de Señoritas. Santa Marta.

XV

Departamento Departamento de Nariño INEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto. Colegio Ciudad de Pasto. Pasto. Liceo Central Femenino. Pasto. Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida. Colegio Nacional Sucre. Ipiales. Normal Superior. Pasto. Colegio María Goretti. Pasto.

Departamento de Norte de Santander Colegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta. Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios. Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta. Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta. Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta.

Departamento Departamento del Putumayo Colegio Alvernia. Puerto Asís. Colegio Nacional Pío XII. Mocoa. Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Valencia. Villagarzón. Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy.

Departamento Departamento del Quindío Instituto Técnico Industrial. Armenia. Normal Superior. Armenia. Colegio los Fundadores. Montenegro. Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia. Instituto Tebaida. La Tebaida. Colegio Teresita Montes. Armenia.

Departamento de Risaralda Instituto Técnico Superior. Pereira. Normal Superior de Risaralda. Pereira. Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa. Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.

Departamento de Sucre Liceo Carmelo Percy Vergara. Corozal. Colegio Antonio Lenis. Sincelejo. Normal Superior de Corozal. Corozal.

Departamento de Santander INEM Custodio García Rovira. Bucaramanga. Centro educativo Las Américas. Bucaramanga. Escuela Normal Superior. Bucaramanga. Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga. Colegio Vicente Azuero. Floridablanca. Colegio Nacional Universitario. Socorro.

XVI

Departamento del Tolima Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Ayala. Líbano. Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo. Colegio Nacional San Simón. Ibagué. Normal Superior. Ibagué. INEM Manuel Murillo. Ibagué. Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo. Venadillo. Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué.

Departamento del Valle Colegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali. Normal Superior de Señoritas. Cali. Colegio Manuel María Mallarino. Cali. Colegio Mayor. Yumbo. Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira. Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.

XVII

AGRADECIMIENTOS

procesos de desarrollo, innovación e investigación en el uso de Nuevas Tecnologías en la Educación Matemática.

La Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Preescolar, Básica y Media del Ministerio de Educación Nacional agradece de manera especial:  

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A los niños y niñas colombianas de las diversas regiones que sustentados en su inteligencia, talento y capacidad capacidad creativa vienen aprovechando las posibilidades que brindan las nuevas tecnologías para aprender unas matemáticas con sentido para sus vidas y que nos han permitido construir e implementar situaciones y propuestas para el estudio de la variación y el cambio en el contexto escolar. A los Coordinadores del proyecto que han dinamizado el trabajo a nivel regional permitiendo la construcción de situaciones para el trabajo de aula sobre la variación y el cambio con tecnología. A los maestros y maestras del país que han asumido el compromiso y reto de avanzar en el diseño, implementación y evaluación de las situaciones de aula sobre la variación y el cambio con tecnología.

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A las Universidades que han asumido el liderazgo regional y el acompañamiento a los

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A las Secretarías de Educación Departamentales, Distritales y Municipales que han asumido el liderazgo y gestión de los procesos de incorporación de nuevas tecnologías informáticas en sus territorios. A los Consejos Directivos y rectores de las Instituciones educativas de básica y media que han hecho posible la generación de condiciones para la implementación y sostenibilidad del proyecto en sus instituciones. instituciones. A los padres de familia que consientes de la necesidad de aproximar a las nuevas generaciones en conocimientos y experiencias en punta, han apoyado y contribuido a la incor poración de nuevas tecnologías en la educación matemática. A los investigadores e innovadores que vienen aportando en la generación de conocimiento y experiencias significativas sobre el uso de nuevas tecnologías en la educación matemática.

CONTENIDO

INSTITUCIONES PARTICIPANTES. ................................ ................................................ ................................ ................................ ................................ ..................... ..... XI AGRADECIMIENTOS . .............................. .............................................. ................................ ................................ ................................ ................................ ..................... ..... XIX CONTENIDO. .............................. .............................................. ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................ XXI PRESENTACIÓN. ................................ ................................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................... ....... XXIII INTRODUCCIÓN. ............................... ............................................... ................................ ................................ ................................ ................................ ......................... .........XXV XXV CAPÍTULO 1 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. ..............................1 ..............................1

1.1 Los inicios: un mundo cambiante............... cambiante. .............................. ................................ ................................ ................................ ...................1 ...1 1.2 La representación retórica y los rudimentos del estudio de las nociones de variable, dependencia dependencia o función . ........................... ........................................... ................................ ................................ ........................1 ........1 1.3 De la retórica a la comprensión y representación sincopada sincopada (abreviada) y la ampliación de algunas relaciones funcionales de fenómenos de variación y cambio........3 1.4 La transición hacia sistemas de representación representación simbólica(algabraica actual) y el surgimiento surgimiento de la Variable Variable y la Función. ................................ ................................................ ................................ .....................5 .....5 1.5 La Consolidación del Sistema de Representación Simbólico (algebraico actual) y de la Función como Representación Representaci ón de Procesos de Variación Variación y Cambio. .................. ......... ............7 ...7 1.6 La interacción entre sistemas de representación representación ejecutables en el estudio y comprensión sistemática de la variación y el cambio ..................... ..................................... ................................ ................99 CAPÍTULO 2 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA . ........................11 ........................11

2.1 El Movimiento Internacional de transformación y reforma de la Educación Matemática. .............................. .............................................. ................................ ................................ ................................ ................................ .........................11 .........11 2.2 La Renovación Curricular Curricular de Matemáticas en Colombia: impulso impulso al estudio de la variación y el cambio............................... .............................................. ................................ ................................ ................................ .................11 .11 2.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Básicos en el Currículo de Matemática de Colombia............................... .............................................. ................................ ......................13 ......13 CAPÍTULO 3 EL PENSAMIENTO VARIACIONAL. ............................... ............................................... ................................ ................................ ................................ ....................17 ....17

3.1 Situaciones de Variación y Cambio. ............................................................................17 3.1.1 Descripción e interpretación de situaciones de variación y cambio desde un punto de vista cualitativo................................ ............................................... ................................. ........................18 ........18 3.1.2 Formas de representación cualitativa de estas situaciones. ...........................19 ...........................19 3.1.3 Formas de representación cuantitativa de situaciones de variación y cambio..................................................................................................................... 19

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OMPUTACIONALES P ENSAMIENTO V ARIACIONAL Y T ECNOLOGÍAS C OMPUTACIONALES

3.1.4 Interpretación de representaciones de situaciones de variación y cambio. ...21 3.2 La variable y el concepto de función. .................................. .................................................. ................................ .......................21 .......21 3.3 La modelación variacional: un ejemplo. ........................... ............................................ ................................. .........................23 .........23 CAPÍTULO 4 USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES. ............................... ............................................... ................................ ................................ .....................27 .....27

4.1 Los programas de geometría dinámica................. dinámica. ................................ ................................ ................................ .......................27 .......27 4.2 Las calculadoras calculadoras graficadoras. graficadoras. ............................... ............................................... ................................ ................................ .....................28 .....28 CAPÍTULO 5 SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL ............................................... ................................ ................................ ................................ .....................31 .....31 CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA . ...............................

5.1 Propósitos y lineamientos generales ................................ ................................................ ................................ ..........................31 ..........31 5.2 Momentos del trabajo de aula con tecnología en situaciones situaciones de variación y cambio. .............................. .............................................. ................................ ................................ ................................ ................................ .............................32 .............32 5.3 Propuesta del tratamiento didáctico de las actividades ............................... ..............................................3 ...............333 5.3.1 Observación y descripción de la situación. ................................. ................................................. ..................33 ..33 5.3.2 Predicción de la gráfica. ................................... ................................................... ................................ .............................33 .............33 5.3.3 Registro de los datos en una tabla y descripción de la variación. .................33 .................33 5.3.4 Visualización de la gráfica formada por un conjunto de valores registrados.34 5.3.5 Relacionar la información obtenida en la gráfica con la información obtenida en la tabla. ................................. ................................................. ................................ ................................ ...............................3 ...............344 5.3.6 Hacer aproximaciones de la expresión algebraica que mejor relaciona las variables. .............................. .............................................. ................................ ................................ ................................ .............................35 .............35 5.3.7 Hacer el cálculo de regresión............................... ............................................... ................................ ..........................35 ..........35 5.4 Situaciones didácticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacional variacional y potencian el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales computacionales ....................35 ....................35 5.4.1 Modelación del Movimiento Pendular. .......................................... .........................................................3 ...............355 5.4.2 Simulación del Movimiento de Aviones................................. ................................................ .......................37 .......37 5.4.3 La función seno y su gráfica................................ ............................................... ................................ ..........................45 ..........45 5.4.4 Estudio de la simulación del lanzamiento de un cuerpo................................4 ...............................488 5.4.5 Simulaciones en Cabri para diseñar otras actividades............................... ..................................51 ....51 5.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia .......................................................51 5.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo ..........51 5.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área de un rectángulo con p erímetro fijo ................................ ................................................ ................................ ................................ ................................ ..........................52 ..........52 5.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo .....................................................52 5.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del rectángulo inscrito en una circunferencia circunferencia y su área ...................................... ...................................................... ................................ ................................ ....................52 ....52 5.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio inscrito en una semicircunferencia y la altura del trapecio .......................................... .......................................................... ................................ ................................ ..................52 ..52 5.4.6 La derivada como razón de cambio ................................ ................................................ ...............................5 ...............533 BIBLIOGRAFÍA . ............................... ............................................... ................................ ................................ ................................. ................................. ............................... ...............63 63

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PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación Nacional, comprometido con el mejoramiento de la calidad de la educación y respondiendo de manera efectiva a las necesidades, tendencias tendencias y retos actuales de la educación matemática, viene adelantando desde el año 2000, la implementación del proyecto Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia, con el cual se viene instaurando una nueva cultura informática en el país aprovechando el potencial formativo que brindan las tecnologías computacionales, específicamente los sistemas computacionales gráficos y alge braicos.

comprensión de lo que hacen, viene impulsando en el país una verdadera revolución educativa, una oportunidad para acceder a la información y al conocimiento universal universal y la transformación de las escuelas desde las particularidades de las diferentes regiones que integran el país.

Maestros más creativos y comprometidos con su ejercicio profesional; estudiantes activos haciendo matemática y colocando en juego todo su talento en horarios de clase y extra clase; comunidades educativas que en ejercicio de su autonomía se han cohesionado en torno a la incorporación de tecnologías; articulación entre los niveles educativos básico, medio y La columna vertebral del proyecto ha sido la superior; en síntesis, una gama de opciones formación permanente de los docentes, centrada alternativas que nos permite creer firmemente en la reflexión sobre su propia práctica en el salón que la educación matemática será cada día de de clase y en las posibilidades pedagógicas y mejor calidad. didácticas del recurso tecnológico. La dinámica lograda viene impulsando la consolidación de Las reflexiones y propuestas sobre el estudio grupos de estudio regionales con profesores de la variación y el cambio con mediación de de matemáticas de la educación secundaria y nuevas tecnologías computacionales gráficas media, de las universidades universidades y con profesionales y algebraicas constituyen un aporte a la comude las Secretarías de Educación, de manera nidad educativa para fortalecer los procesos que se ha enriquecido la reflexión teórica y la de formación de docentes, especialmente en la experiencia práctica práct ica y se han creado condiciones construcción de ambientes de aprendizaje con de sostenibilidad sostenibilidad a largo plazo. tecnología, y en una herramienta de trabajo para promover la discusión y construcción nacional Las posibilidades que brindan las tecnologías sobre la diseminación de la cultura informática computacionales computacionales (computadores (computadores y calculadoras en la educación matemática colombiana. gráficas y algebraicas), como instrumentos mediadores en el aprendizaje de los alumnos, en la construcción de conocimientos y en la Los autores

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INTRODUCCIÓN

El estudio de procesos de variación y cambio constituye uno de los aspectos de gran riqueza en el contexto escolar. El énfasis actual en la educación matemática orientado hacia el desarrollo del pensamiento matemático a partir de situaciones problemáticas significativas para los estudiantes, hacen del estudio de la variación y el cambio con mediación de herramientas tecnologías computacionales gráficas y algebraicas un campo de acción y formación potente en la educación matemática del del país. Atendiendo a esto, en el presente documento se presentan ideas ideas y propuestas sobre el desarrollo desarrollo del pensamiento variacional y el uso de nuevas tecnologías.

En el capítulo tres: “El “E l pensamiento Variacional Variacional”, ”, se hace una aproximación conceptual a lo que se asume en el contexto del documento por variación, cambio, variable, función, los diversos sistemas de representación y los momentos para el estudio sistemático y la comprensión de procesos o fenómenos de variación y cambio en contextos escolares.

Se parte en el capítulo uno de una ubicación de la “La variación y el cambio a la luz de la histórica de las matemáticas”; en un esfuerzo de síntesis, se ubican algunos de los momentos relevantes de su estudio desde una perspectiva histórica. El énfasis marcado en lo geométrico y algebraico en las épocas de la antigüedad clásica, la edad media y el renacimiento, han hecho muy exigente el rastreo de la manera como se ha estudiado la variación y el cambio y, naturalmente los sistemas de representación para ello construidos.

En el capítulo 5: “Situaciones Didácticas para el Desarrollo del Pensamiento Variacional con Mediación Tecnológica” se presentan diversas situaciones didácticas que potencian el uso de tecnologías computacionales dinámicas, gráficas y algebraicas en el estudio de procesos o fenómenos de variación y cambio.

En el Capítulo dos: “La variación y el cambio en el Currículo de Matemáticas de Colombia”, se ubica a los lectores en la manera manera como se ha incorporado en la educación matemática colombiana de los niveles de básica y media el estudio de situaciones, fenómenos o procesos cambiantes o variables.

En el capítulo cuatro: “Uso de Tecnologías Computacionales”, se reconoce el potencial mediador de los sistemas computacionales dinámicos, gráficos y algebraicos en el estudio sistemático de procesos o fenómenos variables o cambiantes.

El particular enfoque en el tratamiento del tema, en el sentido de reconocer y avanzar en la comprensión de la variación y el cambio y los sistemas de representación a ellos conexos y, no al contrario, el partir de lo algebraico, tabular o gráfico (en el mayor de los casos de manera aislada o fragmentada), como sistemas de representación privilegiados para modelar fenómenos o procesos cambiantes o varia bles, han colocado un alto grado de exigencia al proceso de producción de este documento. Atendiendo a ello, se estima que las ideas, argu-

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mentos y propuestas que se hacen, constituyen un de procesos de variación y cambio aprovechando referente para potenciar el desarrollo del pensa- el potencial mediador de las nuevas tecnologías miento matemático desde el estudio sistemático computacionales en el contexto escolar.

XXVI

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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Un mundo dinámico en permanente transformación ha constituido el escenario propicio para que el hombre se sensibilice e interese por la comprensión de la variación y el cambio en el transcurso de la historia.

sensible y observó fenómenos cambiantes, que impulsaron el desarrollo de tecnologías materiales y simbólicas elementales (herramientas, lenguaje gestual, lenguaje verbo icónico), que sentaron las bases para el surgimiento surgimiento posterior de sistemas de representación escritos mucho La comprensión científica de la variación tomó más complejos. auge en el periodo comprendido entre los siglos XIV y XVII en el que se centra centra el interés por el estudio de las cualidades en situaciones como 1.2 La representación representación retórica el movimiento, la intensidad luminosa o la y los rudimentos del estudio intensidad intensida d de calor, inspirados en los trabajos de las nociones de variable, científicos de Aristóteles y de los filósofos escodependencia o función lásticos sobre tópicos como el infinito, el infinitesimal y la continuidad (Moreno y Zubieta, La consolidación de la escritura (Hacia el 3000 1996, Pág. 457). a.C), impulsó el surgimiento de diversos tipos e instrumentos de registro a través de los cuales ha sido posible conocer el saber social y cultural 1.1 Los inicios: un mundo cambiante construido a partir de la antigüedad.

Desde la época prehistórica, prehistóri ca, cuando surgieron las primeras nociones e ideas matemáticas (Collette, J.P., 2000. Pág. 4-5), la observación del cambio en la posición de las ramas de los árboles por la influencia del viento; el desplazamiento de un lugar a otro para las labores de recolección; el desarrollo de técnicas y herramientas para la caza y la pesca; la sucesión del día a la noche y su relación con el cambio en la posición del sol, la luna y las estrellas; el vínculo entre la posición de los astros y los procesos de producción agrícola; los aspectos cambiantes de la vegetación y el tamaño de los rebaños de animales domesticados; domesticados; el desarrollo de rituales colectivos con largas procesiones de partici pantes; permite inferir, que el hombre se hizo

A partir de tablillas de arcilla encontradas en excavaciones excavaciones arqueológicas, se ha podido verificar que en la época antigua (desde la aparición de la escritura hasta la caída del imperio romano en el 476 d. C), la civilización Babilónica (ubicada en Mesopotamia – hoy Irak – 5000 a. C), avanzó en lo que se denomina “álgebra retórica”, en la que los problemas se enunciaban enunciaban y solucionaban sin utilizar de manera sistemática notaciones algebraicas como las actuales. De igual manera, resolvían en lenguaje verbal (oral – escrito) lo que actualmente se conoce como ecuaciones cuadráticas (por compleción del cuadrado o por sustitución), algunas ecuaciones cúbicas y bicuadráticas y sistemas de ecuaciones de varios tipos con dos incógnitas, 1


que incluían generalmente una ecuación lineal y una ecuación de segundo grado.

empírica de la duración de un año. A partir de la observación de los cambios y constantes en la visibilidad de una estrella (Sirio), en relación con la salida y ocultamiento del sol durante determinadas épocas, estimaron y adoptaron un calendario civil con un año de 365 días, dividido en 12 meses de 30 días, más cinco días extras al final; la única diferencia con el calendario actual, actual, es que los Egipcios, no intercalaron el día adicional cada cuatro años, por lo que el calendario se iba retrazando poco a poco con respecto a las estaciones, y al cabo de 1460 años volvía a la situación inicial (Kline, M. 1994. Pág. 44 – 45).

Por ejemplo, uno de los problemas consistía consistía en “conocer la longitud del lado de un cuadrado cuya área menos el lado es igual a 870°”, que equivale a resolver en la actualidad la ecuación ; otro de los problemas contenidos en los textos babilónicos eran del tipo , cuya solución solución se basaba en la utilización de una tabla que se ha encontrado, en la que se daban las combinaciones de la forma para 1 < n < 30. En las transformaciones algebraicas algebraic as (nombre con el cual se le conocen actualmente), asumiendo de manera tácita las propiedades conmutativa y distributiva, consiguieron obtener algunas relaciones algebraicas (Collette, J.P; 2000. Pág. 26 –29).

La civilización Griega ( 2800 a. C – 600 d. C aprox., ubicada en el Asia Menor en el territorio continental europeo que constituye la actual Grecia, y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas, Delos y el norte de África), que a partir del siglo VI a. C, se preocupó no sólo por investigar el La civilización Egipcia (3100 – 322 a. C aprox.), “como”, sino sobre todo de establecer el “por según se ha podido encontrar en papiros como qué” de las cosas, impulsó la transformación los del Rhin y de Moscú, logró algunos avances de las matemáticas en una ciencia deductiva (al en el campo algebraico. A partir del abordaje menos a partir de Pitágoras en el siglo VI a. C) de problemas de la vida cotidiana, como: el (Collette, J.P., 2000. Pág. 66). reparto de panes, grano o animales, la fermentación del pan, la cantidad de granos necesarios Como se ha podido encontrar a partir de los para producir cantidades dadas de cerveza, o códices bizantinos manuscritos en griego, la cantidad de granos de una calidad necesaria escritos entre 500 y 1500 años después de que para obtener el mismo resultado con granos de fueran escritas las obras originales griegas otra calidad, cuya “fuerza” relativa al primero (Kline, M. Pág. 49), fundamentados fundamentados en una escrifuera conocida, la estimación de la comida de tura basada en un alfabeto fácil de aprender y en los animales y el almacenamiento de productos sistemas de numeración en base 10 (“Ático” o alimenticios, etc., avanzaron en la solución “Herodiano” y “Jónico” o “Alfabético”), invenverbal de ecuaciones lineales aplicando el taron procesos geométricos ingeniosos para método de la falsa posición y en el trabajo llegar a solucionar problemas algebraicos. con progresiones aritméticas y geométricas, empleando unos pocos símbolos (Collette, J.P., Según algunos historiadores, especialmente 2000. Pág. 40 – 58; Kline, M. 1994. Pág. 44). en el libro II de los elementos de Euclides, la más importante y singular obra de las mateDebido a lo esencial del Río Nilo y la incidencia máticas griegas, dan a entender cierta geomede sus inundaciones periódicas en la producti- tría algebraica, en la que las construcciones vidad de su población, lograron la estimación geométricas tienen la misma función que las 2

ARIACIÓN Y EL EL C AMBIO A AMBIO A LA LA LUZ DE DE LA LA H ISTORIA DE LAS LAS M ATEMÁTICAS L A V ARIACIÓN Y

operaciones algebraicas. Euclides resuelve los primeros teoremas con conceptos geométricos. El concepto de “magnitud” se usó para determinar cualquier objeto geométrico, el segmento de una línea o bien una figura, y los teoremas tratan las construcciones y las relaciones entre dichas magnitudes (ManKiewicz, R, 2000).

las primeras relaciones funcionales ligadas a problemas principalmente astronómicos, en forma tabulada a partir de interpolaciones generalmente lineales, que alcanzan su mayor precisión en el Almagesto de Ptolomeo que llega a introducir con su tabla de cuerdas la función seno. No obstante, ni estas funciones tabuladas ni los trabajo sobre curvas ligados al estudio de las cónicas, realizados por los Griegos, princi palmente por Apolonio, llevaron al parecer a ningún tipo de consideración general sobre la idea de variable o de función.

En la línea de la denominada geometría alge braica, se destacan la demostración de identidades algebraicas y la solución de ecuaciones cuadráticas, a partir de dos métodos: el método de las proporciones y el método de la aplicación de las áreas. Algunos obstáculos conceptuales que hicieron que en la época antigua el estudio de fenóPor ejemplo, el método de la aplicación de las menos de cambio sea aún muy reducido y que áreas, consistía en llevar sobre una recta (como las aproximaciones cuantitativas y cualitativas base), con un ángulo dado, un paralelogramo que de dichos fenómenos se hallen todavía totaldebía ser igual (en superficie) a cualquier figura mente disociadas y por tanto no sea posible rectilínea dada. En los problemas más difíciles, hablar de la formulación explícita de nociones el paralelogramo utilizado puede sobresalir de la como variable, dependencia o función, estu base, o ser inferior a la línea dada para un parale- vieron relacionadas con: el uso de proporciones logramo semejante (Collette, J.P., Pág. 79 – 81). o la disociación entre número y magnitud, así como el carácter eminentemente geométrico de Como señalan Azcárete y Deulofeu (1996), la matemática griega y a ellos cabría añadir los a pesar de que las ideas de cambio o cantidad problemas debidos al simbolismo, totalmente variable no eran ajenas a los Griegos, que habían habí an inexistente en lo que se refiere al estableciconsiderado problemas sobre movimiento, miento de expresiones algebraicas, a excepción continuidad o infinito desde los tiempos de de los interesantes intentos de Diofanto, aunque Heráclito y Zenón, y a los cuales dedica Aristó- en forma retórica, conceptualmente relacioteles buena parte de su física, se puede asegurar nado con la dependencia funcional (Azcárate J., que ni los aspectos de cambio ni los referidos al Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996). movimiento fueron estudiados desde un punto de vista cuantitativo por la ciencia griega, más que en algunos momentos muy concretos que no 1.3 De la retórica a la comprensión pueden hacer cambiar la idea general de que el y representación sincopada estudio de la matemática pura prevaleció sobre la (abreviada) y la ampliación de cinemática. Esta puede ser una razón importante algunas relaciones funcionales para explicar por qué el concepto de función de fenómenos de variación y permaneció prácticamente en su prehistoria al cambio. final de lo que hemos llamado la edad antigua. Desde Diofanto (250 d. C) hasta finales del del En términos generales, sustentan Azcárete Siglo XIV d. C, se introdujeron algunas abrey Deulofeu, en el mundo antiguo aparecen viaturas para las incógnitas y las relaciones de 3


uso frecuente, pero los cálculos se desarrollan blecidos; la intensidad se considera en relación en lenguaje natural, que dio origen a la deno- a su “extensión” con el tiempo o la cantidad minada álgebra sincopada, caracterizada por el de materia. En el transcurso de estos estudios, empleo de síncopas o abreviaciones. y al margen del valor concreto de cada uno de ellos, empiezan a aparecer conceptos fundaEste periodo que comprende la época histórica mentales como cantidad variable, entendida de la Edad Media, se caracteriza en el campo de como un grado de cualidad, velocidad instanlas matemáticas por el trabajo de las árabes, que tánea o puntual, aceleración, todos ellos íntiretomaron el relevo de los griegos y permitieron mamente ligados a la idea de función (Azcárate que el legado de estos llegara a occidente. En J., Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996) relación con la idea de función, a pesar del notable incremento en el número de funciones De la escuela francesa se destaca Nicolás consideradas, que abarca, entre otras, la mayoría Oresme, que continuando el estudio sobre los de funciones trigonométricas, así como la fenómenos que cambian, abre una nueva vía al mejora de los métodos de estudio de las mismas, proponer una aproximación geométrica, frente ampliando y perfeccionando los sistemas de a los estudios cinemático – aritméticos desainterpolación esenciales para la tabulación de rrollados hasta el momento, en su teoría sobre funciones, no es posible hablar de un cambio las latitudes de las formas (Tratado De confisustancial en el tratamiento de las mismas, ni gurationibus qualitatum et motuum), motuum), que se se tienen indicios que permitan pensar que los fundamenta en el uso de segmentos rectilíneos árabes avanzaron hacia el concepto general. para representar todo lo que varía, ya que todo lo medible puede imaginarse como un cantidad No obstante, es importante destacar, que una continua, pasando después a la representación de las preocupaciones de la Edad media, fue de diversos tipos de cambio. De esta forma, por el estudio de las cosas sujetas al cambio, y en ejemplo, para representar la velocidad de un particular del movimiento. Las escuelas de móvil a lo largo del tiempo, Oresme traza un filosofía natural de Oxford y París, dos de los segmento horizontal cuyos puntos representan principales núcleos científicos de este periodo, los sucesivos instantes de tiempo (longitud) y que tuvieron su mayor florecimiento durante el para cada instante traza un segmento perpendisiglo XIV y que consideraban las matemáticas cular (latitud) cuya longitud representa la velogriegas como un instrumento instrument o esencial para cidad en aquel instante. el estudio de los fenómenos de la naturaleza, hicieron grandes aportes en los que se destacan al inicio de un estudio cuantitativo del movimiento local no uniforme, partiendo inicialmente de las doctrinas aristotélicas. A partir del siglo XIII el estudio cuantitativo de fenómenos adquiere gran relevancia. Se analizan cualidades y formas, según la terminoFig. 1. Oresme y la representación del Cambio Cambio logía propuesta por Aristóteles, de fenómenos muy diversos como calor, luz, densidad, velocidad, que pueden poseer varios “grados” de La teoría de las latitudes de las formas de “intensidad” que cambian entre dos límites esta- Oresme, destaca por el carácter general de los 4


primeros problemas abordados, pero pronto restringe su campo con la distinción de tres tipos de configuraciones, las uniformemente uniformes (de latitud constante y por consiguiente la línea superior o de intensidades es una recta paralela a la de las longitudes), las uniformemente diformes (la variación de las latitudes da una línea superior o de intensidad igual a una recta) y las diformemente diformes (la línea superior no es una recta), descritas negativamente como las que no pertenecen a ninguna de las configuraciones anteriores. Con este tipo de representaciones, que recuerdan mucho la llamada representación gráfica de una función sobre unos ejes cartesianos, Oresme pretende que se entienda más fácil y más rápidamente la naturaleza de de los cambios, cambios, ya sean cuantitativos o cualitativos, de forma que sea posible dar una representación de todos ellos. No obstante no se puede considerar estas representaciones como la expresión de una dependencia en sentido actual.

1.4 La transición hacia sistemas de representación simbólica(algabraica actual) y el surgimiento de la Variable Variable y la Función El apogeo en el estudio sistemático de procesos de variación y cambio relacionados con el movimiento, la intensidad luminosa y la intensidad de calor, se da en el periodo que va desde el Siglo XV hasta el Siglo XVII, con los trabajos t rabajos de Tartaglia, Cardan, Vieta, Galileo, Descartes, Wallis, Newton y Leibniz, que construyeron a partir de Vieta con influencia de Napier, Descartes y Wallis, el álgebra simbólica (Sigma, 1985, Pág. 43). En el álgebra simbólica se usan letras para todas las cantidades y signos para representar las operaciones, operaciones, se utiliza el lenguaje simbólico no sólo para resolver ecuaciones sino también para demostrar reglas generales (Malisani, E. 1999,

Pág. 4). Desde distintos puntos de vista, desde esta época, se da paso al nacimiento primero de la geometría analítica y luego del cálculo infinitesimal, con el consiguiente progreso para el estudio de las funciones que permitirá la aparición de las primeras primeras definiciones definiciones así como el término de función. Los avances de Galileo sobre el estudio experimental del movimiento usando ingeniosos instrumentos para tomar medidas que le permitieron establecer leyes entre magnitudes que son auténticas relaciones funcionales, a pesar pesar de basarse y expresarse en la clásica teoría griega de las proporciones, resulta decisiva para el establecimiento del concepto matemático de función. Hasta el siglo XVII, un a función podía introducirse utilizando una expresión verbal, una tabla, una gráfica, e incluso en ciertos casos una comparación de carácter cinemático. Hacia 1637, Descartes Publicó su trabajo “La géométrie”, géométrie” , libro que marca el nacimiento y expansión de la geometría analítica, que permitirá, a partir de este momento, interpretar curvas y superficies por medio de ecuaciones, y que un siglo más tarde llevó a la algebrización de la geometría. Esta idea fundamental, afectó de forma decisiva a las funciones, ya que en este mismo trabajo aparece por vez primera el hecho de que una ecuación en x e y es una forma para expresar una dependencia entre dos cantidades variables, de manera que a partir de ella, es posible calcular los valores de una variable que corresponden a determinados valores de otra. Siguiendo a Azcárate y Deulofeu, para llegar a las ideas fundamentales, que permitieron con el tiempo, considerar por un lado las funciones como relaciones entre conjuntos de números, más que como entre “cantidades”, y por otro representar las función por medio de fórmulas, 5


se habían producido en el campo de las matemáticas dos avances muy importantes en la segunda mitad del siglo XVI: los progresos realizados en la extensión del concepto de número , con la configuración de los números reales y la la primera aparición de los números imaginarios, y la aparición del álgebra simbólica , en la que cabe destacar la introducción de signos para numerosas operaciones y especialmente la utilización de letras para representar cantidades desconocidas y coeficientes arbitrarios distinguiendo claramente una cosa de otra.

tiempos. El desarrollo en series de potencias de una función tuvo una gran importancia, a partir de la mitad del siglo XVII, hasta el punto que durante mucho tiempo se convirtió en el método fundamental para el estudio de las funciones. A manera de síntesis se puede señalar que Newton hizo grandes contribuciones al desarrollo del estudio de las funciones, entre las que se destacan:

- Su interpretación interpretación geométrico – cinemática cinemática Junto a Descartes, se destaca el trabajo de de los conceptos fundamentales del análisis Fermat, el cual en una publicación póstuma de matemático, siguiendo las ideas de Barrow, 1679, escrita antes de 1637, expone los princien las que tomando el tiempo como argu pios fundamentales del método de las coordemento analiza las variables dependientes nadas. Al igual que Descartes, tomó un eje de como cantidades continuas que poseen una referencia y en él un punto fijo, el origen de determinada velocidad de cambio. segmentos variables, a partir de cuyos extremos toma otros segmentos variables, generalmente - Sus ideas sobre sobre el cálculo infinitesimal, infinitesimal, perpendiculares a aquellos, de manera que el expuestas en uno de sus trabajos principales, extremo de este segundo segmento dibujará el método de fluxiones y series infinitas, una curva que dependerá de la relación algeescrito en 1671 y publicado en 1736, en los braica establecida entre los dos segmentos que a partir de la exposición de sus ideas variables. En esa memoria aparece, de manera básicas a través de la mecánica, presentó presentó los más explicita que en Descartes, la ecuación dos principales problemas del cálculo infide la recta, siguiendo la notación de Viète, así nitesimal, la diferenciación y la integración, como las ecuaciones de la circunferencia y de en términos de movimiento, es decir dada la las demás cónicas. ley para la distancia determinar la velocidad, para el primer caso, y dada la velocidad Como se observa, Descartes consideró soladeterminar la distancia, para el segundo. En mente las funciones algebraicas, excluyendo efecto al determinar un movimiento x = f(t) incluso las curvas mecánicas que no podían sobre le eje x, x, en el tiempo t , lo que caracser tratadas según su método de análisis, teriza dicho movimiento es su velocidad, alejando así la vinculación de las matemáes decir el valor del límite del cociente de ticas con la física, como fruto de su partidiferencias ∆x / ∆t . Esta velocidad, con la cular visión de aquella ciencia. No obstante, cual varía la variable x en el tiempo, es la pocos años después, el descubrimiento del que Newton llama “fluxión de x” que repredesarrollo de funciones en series infinitas de senta asimismo por x, x, y dependientes de una potencias, debido entre otros a Newton, redujo variable primitiva t , el tiempo de manera que notablemente las restricciones de Descartes, la derivada de y de y respecto a x a x es el cociente de haciendo posible la representación analítica de dos fluxiones dos fluxiones y´ / x´ , lo que en la actualidad la mayoría de funciones estudiadas en aquellos se escribe como dy /dt: dx / dt. 6


Gottfried W. W. Leibnitz, contemporáneo y rival 1.5 La Consolidación del Sistema de Newton, otro matemático de la segunda de Representación Simbólico mitad del siglo XVII, contribuyó decidida(algebraico actual) y de la mente el concepto de función. Al igual que Función como Representación de Newton, sus primeras obras fueron dediProcesos de Variación y Cambio cadas al estudio de las series infinitas. Hacia 1673, se dio cuenta que la determinación de En los siglos XVIII y XIX con los trabajos la tangente a una curva depende de la razón de Jean Bernoulli, Leonard Euler, Lagrange, entre las diferencias de las ordenadas y de Fourier y de Dirichlet se consolida el sistema las abscisas cuando éstas tienden a cero, así de representación representación simbólico del álgebra actual actual como el cálculo de las áreas depende de la y la noción de función como representación de suma de las ordenadas o de los rectángulos procesos de variación y cambio. cuya abscisa tiende a cero y que ambos son problemas inversos, llegando a la misma Durante el siglo XVIII el análisis matemático conclusión de Newton que se encontraba ante va cobrando cada vez mayor importancia e un método de gran importancia por su gene- independencia como disciplina, perdiendo su ralidad. Introdujo las notaciones que todavía carácter geométrico y mecánico a favor del uso perviven para representar las diferenciales casi exclusivo del álgebra. (dx, dy) y para la integral ∫, una s estilizada que es la inicial de la palabra suma. La ampliación ampliació n del concepto de función como una de las representaciones de procesos de El término función aparece por primera vez variación y cambio se desarrolló con toda su en un escrito de Leibnitz de 1673. Inicial- extensión en el siglo XIX, gracias a los trabajos mente tiene un significado muy particular, de Fourier, Cauchy y Dirichlet, entre otros. pues se refiere a un problema de cálculo de ordenadas a partir de cierta propiedad de las La primera definición de función como una tangentes; hacia 1694, utiliza la palabra en expresión analítica, publicada en 1718, se debe un sentido más general, aunque todavía poco a Jean Bernoulli, cuya notación no perduró, preciso, y referido como siempre a cuestiones correspondiendo a Euler (1740) la notación f(x) de geometría diferencial. Conjuntamente con utilizada hasta nuestros días. El término función Jean Bernoulli, muestra cómo el deseo para se tuilizó por primera vez hacia 1698. expresar mediante una palabra cantidades que dependen de una cierta variable se encuentra Euler, uno de los grandes matemáticos del siglo todavía restringida a las expresiones analíticas. XVIII, al inicio de su obra Introductio obra Introductio in analysis En este sentido, una función arbitraria de x es infinitorum (1748) hace un detallado estudio del una cantidad formada de manera cualquiera concepto de función y de otros relacionados con a partir de x y de constantes, esta “manera este. Al definir las nociones iniciales iniciales se refiere cualquiera” se entiende como una expresión a los términos constante, cantidad definida que algebraica o trascendente. No obstante, cabe toma siempre un mismo valor determinado, y destacarse que parece observarse una supera- variable, cantidad indeterminada, o universal, ción de la concepción cinemática del término que comprende en si misma todos los valores variable puesto que ésta se considera ya como determinados (refiriéndose a los valores del un elemento genérico de un conjunto numérico conjunto de los números complejos o a alguno cualquiera. de sus subconjuntos). Al definir la función 7


sigue a Bernoulli: una función de una cantidad cada uno perteneciente al conjunto en el que variable es una expresión analítica formada toman valores las correspondientes variables. de cualquier manera a partir de esta cantidad En el prefacio de su obra Institutiones calculi variable y números o cantidades constantes. differentialis publicado en 1755, aparece la nueva definición, que no mantiene relación con Posteriormente aborda el complejo problema de la anterior al desaparecer la idea de expresión Si x es una cantidad variable, entonces establecer qué se entiende por expresión analí- analítica: Si x tica, enumerando en primer lugar las operaciones toda cantidad que dependa de x de cualquier algebraicas, luego las trascendentes, como la manera o que esté determinada por aquél se exponencial y la logarítmica, para ampliar el llama función de dicha variable. campo a una infinidad de otras funciones obtenidas del cálculo integral, incluyendo la integra- En la transición al siglo XIX, Lagrange restringió ción de ecuaciones diferenciales, pero sin llegar de nuevo el concepto de función al limitarlo a a determinar claramente cuál es la amplitud del las llamadas funciones analíticas definidas por término. series de potencias, todas ellas continuas o con un número reducido de discontinuidades, ya que La restricción todavía imperante en esta es necesario recordar que el análisis, o estudio primera definición dada por Euler desapareció de los procesos infinitos, se entendía, desde su unos años más tarde. Ya durante la primera creación por Newton y Leibnitz, como referido mitad del siglo XVIII habían aparecido dife- a las llamadas l lamadas magnitudes continuas. continuas. rencias de opinión sobre las maneras de representar funciones, cuando D’Alembert y Euler Fourier a través del estudio de las las series trigonodieron sus soluciones al problema de la cuerda métricas, conocidas como series de Fourier, ya vibrante, en la llamada “forma cerrada”, utili- abordado por Daniel Bernoulli, para desarrollar zando un par de definiciones, arbitrarias, mien- funciones arbitrarias, supuso una gran revolutras que Daniel Bernoulli había encontrado una ción en su tiempo al lograr representar por medio solución en términos de una serie infinita de de funciones analíticas, funciones arbitrarias funciones trigonométricas. Y cómo esta última formadas por leyes analíticas distintas en difesolución parecía implicar implicar el carácter periódico rentes intervalos de la variable independiente. de la función, mientras que las funciones arbi- Como señala Boyer (1996), para Fourier, “… trarias de D’Alembert y de Euler no eran perió- cualquier función y función y = f(x) se puede representar dicas necesariamente, parecía que la solución por una serie de la forma: x+a co2 x+...+a cosnx+...+b sen x+b sen2 x+...+b sen x+... de Bernoulli era menos General. Esta situación Y=1/2a +a cos x+a fue demostrada por J. B. J. Fourier en 1824 (BOYER, C., 1996). serie que conocemos conocemos hoy con el nombre de d e serie de Fourier. Las representaciones por medio de Euler al considerar que para la solución del tales series permiten un grado de generalidad problema de la cuerda vibrante deben acep- mucho mayor, en cuanto al tipo de funciones a tarse funciones o curvas de forma arbitraria, es las que se puede aplicar para estudiarlas, que decir, que no satisfacen ninguna ley analítica, el que permite la l a serie de Taylor. Taylor. Incluso si hay planta el germen de una definición, que le llevó muchos puntos en los que no exista la derivada deriv ada a explicitar por vez primera la noción general de la función o en los que la función no sea de correspondencia entre pares de elementos, continua…”. 0

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Lejeune Dirichlet, discípulo de Fourier, que casi siempre se refería a funciones continuas o poco discontinuas, hablaba de los desarrollos en serie de funciones completamente arbitrarias, en el mismo sentido de Fourier, mostrando que poseía ya el concepto general de función. Según Boyer (1996), Dirichlet propuso en 1837 una definición sumamente amplia y general expresada de la siguiente manera: si una variable y está relacionada con otra variable x variable x de tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x a x hay una regla según la cual queda determinado un único valor de y de y,, entonces se dice que y es una función de la variable independiente x. x. Esta definición se acerca mucho ya a la idea moderna de una correspondencia general entre dos conjuntos de números reales, aunque en su época los conceptos de “conjunto” y de “número real” estaban lejos de tener un significado preciso. Para ejemplificar la arbitrariedad de la regla propuso lo que se llama función de Dirichlet: sean a y b dos números reales distintos; entonces si x es racional y = a, a, mientras que si x si x es irracional y= irracional y= b. b. Esta función es discontinua para todos los valores de x de x,, y por tanto no es diferenciable para ninguno de ellos. A pesar de que ya no existe duda sobre la generalidad de su definición, posteriormente, formuló un conjunto de condiciones, conocidas como las condiciones de Dirichlet, que debían satisfacer las funciones por él consideradas.

punto del continuo de todos los valores reales o complejos, o cuanto menos, en cada punto e un intervalo dado. Pero, al considerar una definición en términos conjuntistas, todas las definiciones anteriores corresponden a casos particulares de esta nueva generalización. Así, se llega a plantear, que dados dos conjuntos arbitrarios A arbitrarios A y B una función (o aplicación) de A de A en B en B es una ley que a cada elemento x elemento x de A de A hace corresponder un solo elemento y de B de B;; o si se prefiere, una función de A en B en B es un subconjunto subcon junto F del F del producto cartesiano A cartesiano A x B tal que si (x, y) y (x,z) pertenecen a F entonces F entonces y = z. Como ratifican Azcárate y Deulofeu (1996), en esta última generalización del concepto se pierden muchos los atributos que tenían las definiciones clásicas, como son la idea de variación, de continuidad, de la variable como parámetro temporal, de dependencia, característicos de la mayoría de problemas que generaron la necesidad del concepto de función.

1.6 La interacción entre sistemas de representación ejecutables en el estudio y comprensión sistemática de la variación y el cambio.

La transformación en las concepciones sobre las matemáticas a finales del siglo XIX y durante el siglo XX, continuaron impulsando el el refinamiento en sus diferentes campos y en la manera Paralelamente, hacia 1830, se desarrolló la de concebir los sistemas de representación de teoría de funciones de variable compleja, debida procesos o fenómenos de variación y cambio. ante todo a Cauchy, Cau chy, Riemann y Weierstra Weierstrass; ss; con este paso al campo complejo vienen a coincidir Los estudios sobre la variación y el cambio en cierto modo los conceptos de función de agrupados en el análisis adquirieron mayor Lagrange y de Fourier – Dirichlet. rigor y surgieron nuevas definiciones generales y precisas de conceptos como función, límite, Posteriormente, con la introducción de la teoría integral y, finalmente, del concepto básico de de conjuntos el concepto de función alcanza magnitud variable (se dio una definición riguun nuevo grado de generalización. Hasta ese rosa de número real) (ALEKSANDROV, A. D momento, una función estaba siempre en cada & otros; 2003). 9


Este mayor rigor se logró al mismo tiempo que se hacían nuevos hallazgos en álgebra y geometría, y culminó en su forma actual en los años 80 del siglo XIX gracias a los matemáticos alemanes Weierstrass, Dedekind y Cantor, quien puso los cimientos de la teoría de los conjuntos transfinitos, que desempeñan un gran papel en el desarrollo de las novísimas ideas de la matemática.

La esencia esencia del análisis funcional funcional se resume, resume, en que en el análisis clásico la variable es una magnitud o “número”, en análisis funcional se considera como variable la función misma. Las propiedades de una función particular se determinan, no como tales propiedades, sino en relación con otras funciones. Lo que se estudia no es una función aislada sino toda una colección de funciones caracterizadas por una u otra propiedad; por ejemplo la colección de todas las funciones continuas. Tal colección de funciones constituye lo que se denomina un espacio funcional. Este procedimiento corresponde, por ejemplo, al hecho de considerar la colección de todas las curvas sobre una superficie o de todos los posibles movimientos de un sistema mecánico dado, definiéndose así las propiedades de las curvas o movimientos particulares en su relación con otras curvas o movimientos. movimientos.

La mayor precisión que adquirieron los conceptos de variable y función en conexión con la teoría de conjuntos, fue esencial para el posterior desarrollo del análisis. Se paso del estudio de funciones más generales, y en esta misma línea se generalizó también el aparato del análisis, es decir, el cálculo diferencial e integral. Fue así como a comienzos del siglo XX, surgió la nueva rama del análisis: la teoría de funciones de una variable; ligada princi palmente a los matemáticos franceses Borel, Lebesgue y N, N Luzón y su escuela. La transición de la investigación de funciones individuales a la investigación de una función Surgieron igualmente otras teorías, como la variable es similar al paso de los números descoteoría de aproximación de funciones, que estudia nocidos x, nocidos x, y a las variables x, variables x, y. y. los problemas relativos al mejor modo de representar aproximadamente funciones arbitrarias Con el advenimiento desde la primera mitad mediante funciones “simples”, y en particular del siglo XX de las tecnologías tecnologías informáticas informáticas y mediante polinomios, que proporciona métodos su evolución hacia el uso de sistemas gráficos y generales para el cálculo práctico de funciones algebraicos ejecutables, se a abierto un campo y para la sustitución aproximada de funciones infinito de experimentación y desarrollo en el complicadas complicadas por otras más sencillas. campo de las matemáticas, con importantes repercusiones en el campo de la educación. Sobre la base proporcionada por el desarrollo del análisis y la física matemática, y junto con Como se puede observar en capítulos posteriores, posterior es, las nuevas ideas de la geometría y el álgebra, la mediación de herramientas computacionales computacionales ha madurado una nueva y extensa sección de la provistas de un sistema de álgebra simbólica matemática, el llamado análisis funcional, que ejecutable, constituye un poderoso recurso en el tiene un papel excepcionalmente importante en contexto escolar, para observar, explorar, conjela matemática moderna, construido a través de turar, representar modelar y simular situaciones los trabajos de Hilbert, del matemático Húngaro de variación y cambio, a partir de la interacción Riesz y el matemático polaco Banach. entre sistemas de representación. representación.

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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA

2.1 El Movimiento internacional de transformación y reforma de la Educación Matemática

Uno de los movimientos surgidos como respuesta inmediata a las deficiencias que el movimiento de las matemáticas modernas deja en los estudiantes, es el conocido, como el regreso a lo básico. Dicho movimiento, le daba mucha importancia al manejo de las operaciones fundamentales y procedimientos algorítmicos. Sin embargo, el regreso a lo básico tampoco mejoró el aprovechamiento de los estudiantes, ya que cuando algunos estudiantes, eran capaces de resolver operaciones, muchas veces no entendían el significado o sentido de las respuestas. Había casos en que el estudiante encontraba “la respuesta” a problemas cuyos datos no tenían sentido o eran insuficientes.

La década de los años 60 se caracterizó por un gran movimiento internacional en el campo de la educación matemática preocupado por actualizar y reorientar lo enseñado tradicionalmente en las escuelas e incorporar incorporar ciertos ciertos temas de la denominada matemática moderna o nueva; estos temas estaban relacionados con la teoría de conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, vectores, espacios vectoriales, matrices, álgebra de Boole y otros, que al no ser presentados de manera unificada o coherente, hicieron que los programas de matemáticas elaborados atendiendo estos énfasis, aparecieran demasiado recargados, difíciles y abstractos. Como consecuencia de 2.2 La Renovación Curricular de Matemáticas en Colombia: esto “en los países donde se adoptaron estas impulso al estudio de la medidas de manera precipitada, el número de variación y el cambio. estudiantes de matemáticas de los dos últimos años de la escuela secundaria descendió seriaEn el caso colombiano, a mediados de la década mente”. mente”. (F. Fehr, Howard y otros; 1971) de los años 70’s, 70’s, como manera de avanzar en Durante la década de los años 70, en reacción la construcción de un currículo que respondiera necesidades del país, en el marco del al movimiento de la matemática moderna y a las necesidades su énfasis en el carácter abstracto y formal de “Programa Nacional de Mejoramiento Cualitala matemática escolar, surgen movimientos tivo de la Educación” (MEN, 2002), que tuvo de vanguardia que reivindican una enseñanza como objetivo general “mejorar cualitativa y cuantitativamente la educación educación sistematizando más real, con problemas de contenido real y el cuantitativamente papel de los problemas frente a lo rutinario de el empleo y generación de tecnología educalos ejercicios. Renuncian a los modelos tradi- tiva para ampliar las condiciones de acceso cionales, entre los que incluyen las matemá- a la educación en forma equitativa, a toda la ticas modernas, y se aproximan cada vez más población colombiana fundamentalmente de rurales” , se cimentó la renovación a postulados pedagógicos y psicológicos que las zonas rurales”, curricular de matemáticas. validen su modelo de enseñanza. 11


En el contexto de la estrategia de renovación curricular, teniendo como sustento los fundamentos Generales del Currículo que integraron aspectos legales, filosóficos, epistemológicos, sociológicos, sociológico s, psicológicos psicológico s y pedagógicos que permitieron proponer proponer en la educación: la idea de hombre que se pretendía hacer real; se concibió el conocimiento como proceso y conjunto de experiencias durante toda la vida, transferibles a otras situaciones y presentes en diferentes contextos; los conocimientos y verdades se consideraron como proyectos que deben revisarse y corregirse permanentemente; el alumno como el centro del proceso proceso y el maestro su orientador y animador (MEN, 1977); se construyó el marco general de la propuesta de programa curricular de matemáticas (MEN, 1990).

Los sistemas analíticos, analíticos , se incorporan de manera explícita dentro de los contenidos básicos para la educación básica secundaria (6° a 9°), sustentados en el reconocimiento de la importancia, necesidad y pertinencia del estudio de situaciones de cambio. A este respecto fundamentalmente proponen: •

•

•

En el Marco General del Programa de Matemáticas para la educación Básica, se: • •

•

•

•

Parte del reconocimiento e importancia del estudio de los diferentes aspectos de las matemáticas como forma de contribuir decididamente a la educación integral del individuo

•

Acoge el enfoque de sistemas, que contrasta con el enfoque enfoque por conjuntos conjuntos de la llamada “Nueva matemática” o “Matemática Moderna” (New Math”), con el enfoque por habilidades algorítmicas básicas de la corriente de “Volver a lo básico” (“Back to Basics”), y con el enfoque de resolución de problemas (“Problem Solving Approach”). Approach”).

•

La utilización de las funciones, las gráficas y las tablas para modelar situaciones de cambio. Que puede ser más importante en un primer momento el análisis análisis cualitativo de las gráficas que el trazado muy preciso de gráficas a partir de fórmulas o tablas. El trabajo con situaciones de la vida real y sus modelos de puntos y líneas, modelos escalonados, modelos lineales, polinómicos de 2° y 3 grado, exponenciales, radicales y logarítmicos. La importancia de ejercitar las traducciones de una a otra de las distintas representaciones de una función. La incorporación de algunos temas de los que se habían venido trabajando en los programas tradicionales bajo el nombre de de “Álgebra”, y que en realidad son sólo el manejo de ciertas expresiones para las funciones reales o sus valores. A través de la función lineal se cubren todos los temas como proporcionalidad y todas sus aplicaciones. Paralelamente a las funciones se van estudiante las ecuaciones e inecuaciones.

Como contenidos por grado para el estudio de los sistemas analíticos, se proponen: proponen:

Asume un sistema como un conjunto de objetos con sus relaciones y operaciones

Para grado 6°: 6° : Plantean como sistemas (interrelacionados), (interrelacionados), • Representación en la recta numérica de que articulan los contenidos para la educanaturales y racionales positivos (“No recta ción básica: Los numéricos, Geométricos, real”). Métricos, de datos, Lógicos, de Conjuntos, • Relaciones mayor, menor, mayor igual, operaciones operaciones y relaciones y analíticos. menor igual. 12

ARIACIÓN Y EL EL C AMBIO EN AMBIO EN EL EL C URRÍCULO DE URRÍCULO DE M ATEMÁTICAS L A V ARIACIÓN Y

Para Grado 7°: • Funciones crecientes y decrecientes. Correlaciones. • Razones. • Proporciones. • Representación Representación gráfica de funciones lineales y de gráfica lineal. • Ejes, cortes, intercepto. • Ecuaciones lineales. • Solución de ecuaciones lineales.

Durante la década de los 80 y mediados de los 90, se continuó impulsando y desarrollando en el país la propuesta programática para el área de matemáticas de la renovación curricular.

2.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Básicos en el Currículo de Matemática de Colombia

Para Grado 8°: • Funciones lineales. • Funciones de gráfica lineal. • La recta pendiente. • Ecuaciones lineales. • Funciones cuadráticas. • Representación Representación de funciones cuadráticas. • Ecuaciones cuadráticas.

Hacia el año 1996, en el proceso de construcción de lineamientos curriculares reconociendo reconociendo los aportes, avances y logros de la renovación curricular, curricula r, se incorporan nuevos elementos provenientes de las investigaciones en el campo de la educación o didáctica de la matemática, nuevos enfoques y tendencias para la orientación de la matemática en contextos escolares Para Grado 9°: y las nuevas perspectivas sobre la matemática • Funciones de gráfica lineal y ecuaciones escolar y sus propósitos formativos. Esto llevó lineales. a la construcción participativa de los Linea• Funciones cuadráticas y ecuaciones cuadrámientos curriculares de matemáticas (MEN, ticas. 1997), en los cuales se enriquece la perspectiva • Solución de ecuaciones ecuaciones cuadráticas. respecto a la naturaleza e importancia de contri• Factor Común. buir al desarrollo del pensamiento variacional. variacional. • Cuadrado perfecto. • Diferencia de cuadrados. Fundamentalmente Fundamentalmente en los lineamientos curricu• Función cúbica y ecuaciones cúbicas. lares, se plantea como propósito central de la • Función exponencial. exponencial. educación matemática matemática de los niveles de básica y media contribuir al desarrollo del pensamiento • Polinomios de una variable. matemático a partir del trabajo con situaciones • Operaciones +, -, x, / problemáticas provenientes provenientes del contexto socio• Sucesiones y series; límites. • Progresiones. Decimales infinitos. cultural, de otras ciencias o de las mismas mate• Interés simple; compuesto. máticas. Dentro de los pensamientos se hace alusión directa al “Pensamiento variacional”. variacional”. Como se puede observar, desde la renovación curricular, en lo relativo a los sistemas analí- Se propone el inicio y desarrollo del pensamiento ticos, hay un reconocimiento explícito del variacional como uno de los logros para alcanzar estudio de situaciones de cambio (enfatizando en la educación básica, lo cual presupone en las provenientes de la realidad), empleando superar la enseñanza de contenidos matemáticos matemáticos diversos sistemas de representación: analítico, fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo conceptual, gráfico, tabular, verbal y escrito. 13


que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas.

Abordado así el desarrollo del pensamiento variacional, se asume por principio que las estructuras conceptuales se desarrollan en el tiempo, que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más sofisticado, y que nuevas situaciones problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido para aproximarse a las conceptualizaciones propias En esta forma se plantea que se amplía la visión de las matemáticas. de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio En los lineamientos se señala que entre los difede las cantidades y las magnitudes. En los linea- rentes sistemas de representación asociados a la mientos se reconoce la necesidad de estudiar con variación se encuentran los enunciados verbales, detalle los conceptos, procedimientos y métodos las representaciones tabulares, las gráficas de que involucra la variación para poner al descu- tipo cartesiano o sagital, las representaciones bierto las interpelaciones entre ellos. Un primer pictóricas e icónicas, la instruccional (prograacercamiento en la búsqueda de las interrela- mación), la mecánica (molinos), las fórmulas y ciones permite identificar algunos de los núcleos las expresiones analíticas. conceptuales matemáticos en los que está involucrada la variación: Orienta frente al hecho, que el estudio de la variación se inicie pronto en el currículo de • las magnitudes; matemáticas, considerando que el significado • Continuo numérico, reales, en su interior los y sentido acerca de la variación puede estable procesos infinitos, su tendencia, aproximacerse a partir de las situaciones problemáticas ciones sucesivas, divisibilidad; cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos f enómenos • la función como dependencia y modelos de de cambio y variación de la vida práctica. Se función; orienta respecto a que la organización de la • el álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica, particular- variación en tablas, puede usarse para iniciar mente la noción y significado de la variable en los estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional por cuanto la solución de tareas que es determinante en este campo; involucren procesos aritméticos, inicia también • modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para medir la comprensión de la variable y de las fórmulas. el cambio absoluto y para medir el cambio En estos problemas los números usados deben ser relativo. La proporcionalidad proporcionalidad cobra especial controlados y los procesos aritméticos también se deben ajustar a la aritmética que se estudia. significado. Igualmente, la aproximación numérica y la estiSe plantea que en la vida práctica y el mundo mación deben ser argumentos usados en la solucientífico, científi co, la variación se encuentra en contextos ción de los problemas. La calculadora numérica de dependencia entre variables o en contextos se convierte en una herramienta necesaria en la donde una misma cantidad varía (conocida como iniciación del estudio de la variación. medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promueven en el estudiante Adicionalmente se señala, que la tabla se consactitudes de observación, registro y utilización tituye en un elemento para iniciar el estudio de la función, pues es un ejemplo concreto de del lenguaje matemático. 14

ARIACIÓN Y EL EL C AMBIO EN AMBIO EN EL EL C URRÍCULO DE URRÍCULO DE M ATEMÁTICAS L A V ARIACIÓN Y

función presentada numéricamente. Y aunque en algunas ocasiones enfatiza la variación numérica discreta, es necesario ir construyendo construyendo la variación numérica continua. Así mismo, las situaciones problemáticas deben seleccionarse para enfrentar a los estudiantes con la construcción de expresiones algebraicas o con la construcción de las fórmulas. Acogiendo los planteamientos planteamientos de Demana (1990), se considera que la exposición repetida de construcciones de fórmulas, como expresiones que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender comprender la sintaxis de las expresiones expresiones alge braicas que aparecerán después del estudio del álgebra. La tabla también se constituye en una herramienta necesaria para la comprensión de la variable, pues el uso de filas con variables ayuda a que el estudiante comprenda que una variable puede tener un número infinito de valores de reemplazo. Además, el uso de variables en la tabla también ayuda a la escritura de las expresiones algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el cambio.

restringida al primer cuadrante. La identificación de la variable independiente independiente y dependiente dependiente es más significativa cuando se inicia desde la representación de situaciones concretas. Más adelante se formaliza el sistema cartesiano con el aprendizaje de su sintaxis. Por su parte, las gráficas cartesianas también pueden ser introducidas tempranamente en el currículo. Ellas hacen posible el estudio dinámico de la variación. La relación explícita entre las variables que determinan una gráfica puede ser iniciada con situaciones de variación cualitativa y con la identificación de nombres para los ejes coordenados. Los contextos de la variación proporcional integran el estudio y comprensión de variables intensivas con dimensión, así como también ayudan al estudiante a comprender el razonamiento multiplicativo.

Particularmente la gráfica tiene como fin abordar los aspectos de la dependencia entre Otra herramienta necesaria para iniciar el variables, gestando la noción de función como estudio de la variación desde la primaria la cons- dependencia. tituye el estudio de los patrones. Éstos incluyen escenarios en la vida práctica como fotografías Los contextos donde aparece la noción de y representaciones pictóricas e icónicas. En función establecen relaciones funcionales entre las matemáticas los escenarios geométricos o los mundos que cambian, de esta manera mane ra emerge numéricos también deben ser utilizados para la función como herramienta de conocimiento reconocer y describir regularidades o patrones necesaria para “enlazar” patrones de variación presentes en las transformaciones. transformaciones. Estas explo- entre variables y para predecir y controlar el raciones permiten, en una primera instancia, cambio. Los modelos más simples de función hacer una descripción verbal de la relación que (lineal, afín, cuadrática, exponencial...) encapexiste entre las cantidades (el argumento y el sulan modelos de variación como la proporcio producto terminado que se lee primero) que nalidad. intervienen en la transformación. transformación. Los contextos de variación deben incluir patrones aditivos y Se considera en los lineamientos, que la intromultiplicativos. ducción de la función en los contextos descritos preparan al estudiante para comprender la natuLas tablas se pueden usar posteriormente para raleza arbitraria de los conjuntos en que se le llevar a los estudiantes a la graficación de situa- define, así como a la relación establecida entre ciones problema de tipo concreto, concret o, aunque quede ellos. Es necesario enfrentar a los estudiantes 15


a situaciones donde la función no exhiba una regularidad, con el fin de alejar la idea de que su existencia o definición está determinada por la existencia de la expresión algebraica. A la conceptualización de la función y los objetos asociados (dominio, rango...) le prosigue el estudio de los modelos elementales, lineal, afín, cuadrático, exponencial, priorizando en éstos el estudio de los patrones que los caracterizan (crecientes, decrecientes). La calculadora gráfica y algebraica se constituye en una herramienta didáctica necesaria para lograr este propósito. En lo referente a la construcción del continuo numérico, se indica en los lineamientos que

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los escenarios deben ser los numéricos y los geométricos. Particularmente el trabajo con las representaciones decimales, cobra especial relevancia. Los procesos infinitos deben ser introducidos en contextos geométricos. En términos generales en los lineamientos curriculares de matemáticas se hace una alusión explícita a la promoción y desarrollo del pensamiento variacional a partir de situaciones de la realidad, de las matemáticas u otras ciencias relacionadas con fenómenos o procesos de variación y cambio. Propone el uso de diversos sistemas de representación en su exploración, comprensión comprensión y estudio sistemático.

3

EL PENSAMIENTO VARIACIONAL

Como se indicó en las secciones anteriores la idea de pensamiento variacional variacional aparece explícitamente en los Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Este término, pensamiento variacional, se introdujo con la intención de profundizar un poco más en lo que se refiere al aprendizaje y manejo de funciones como modelo de situaciones de cambio. Se trata de abandonar el enfoque rígido de los sistemas y superar la enseñanza de los contenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados que ha gobernado por un tiempo la actividad matemática escolar. escolar. El énfasis que se quiere hacer con la introducción de esta manera de ver el currículo es, como lo dicen los Lineamientos, la ubicación en el dominio de un campo conceptual que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas (MEN, 1997).

Teniendo presente este planteamiento y reconociendo que el significado y el sentido acerca de la variación se establecen a partir de situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación, las actividades que se propongan como ejemplos serán planteadas como situaciones problema que pueden ser desarrolladas en los diferentes niveles de escolaridad y que no necesariamente siguen una secuencia lineal de contenidos. El énfasis del tratamiento de la situación se hará de acuerdo con el nivel apropiación del lenguaje y los conceptos por parte de los estudiantes, teniendo en cuenta las recomendación de los Lineamientos en cuanto a que el estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. En lo que sigue explicaremos con más detalle lo que significaría desarrollar el pensamiento variacional en los estudiantes. Para esto desglosaremos y describiremos los diferentes momentos (no necesariamente consecutivos) que aparecen en el estudio de situaciones de variación y cambio.

Es decir, lo que se quiere es desarrollar una forma de pensamiento que identifique de manera natural fenómenos de cambio y que sea capaz de modelarlos y transformarlos. Podríamos introducir aquí la siguiente conceptualización que trata de recoger las características descritas arriba: el pensamiento variacional es la capacidad para darle sentido a las funciones numéricas y mane jarlas en forma flexible y creativa, para entender, entender, explicar y modelar situaciones de cambio, con el propósito de analizarlas y transformarlas.

3.1 Situaciones Situaci ones de Variación y Cambio La mayoría de las situaciones de variación y cambio de la vida diaria involucran de manera explícita la consideración del tiempo. El cambio y la variación se presentan cuando una circunstancia dada se transforma con el transcurso del tiempo. El poder identificar el fenómeno de 17


cambio, describirlo, interpretarlo, predecir sus consecuencias, cuantificarlo y modelarlo, son las características del pensamiento variacional que se pretenden desarrollar.

cambiar o no cambiar en la evolución de las circunstancias iniciales. Es importante identificar estas magnitudes y la relación que existe entre ellas dentro de la situación particular. La identificación de las magnitudes y la descripción verbal y escrita de la manera cómo estas magnitudes se comportan en la situación, es el acercamiento cualitativo al fenómeno que permitirá sacar algunas conclusiones y hacer las primeras predicciones de lo que sucederá con los elementos involucrados con el transcurso del tiempo. Se espera que en las descripciones de la situación de cambio se usen expresiones como: tal magnitud aumenta, tal magnitud disminuye, tal magnitud aumenta más rápido que tal otra, tal magnitud disminuye más lentamente que tal otra, tal magnitud ni aumenta ni disminuye, etc.

No estamos excluyendo de ninguna manera otras situaciones de variación que no involucran de manera explícita el tiempo o que no tienen que ver con el tiempo. Consideraremos dos formas de modelación de situaciones en las que interviene el tiempo. La primera cuando se considera el tiempo (el tiempo es un concepto físico al que le corresponde la magnitud duración según Federici. Ver Sobre el análisis dimensional), como una magnitud continua. Es decir, cuando se considera el tiempo fluyendo de manera ininterrumpida. En estas circunstancias circunstancias hablaremos de variación continua. El modelo general para el estudio de estas situaciones es el de funciones de variable real. Por ejemplo, supongamos que estamos en el proceso de llenar un balde con agua. En esta La otra forma de modelar una situación en situación de variación están involucradas la que interviene el tiempo será cuando se magnitudes como: tiempo, el volumen del balde observa la situación en instantes espaciados de (capacidad total), volumen de agua dentro del tiempo (Algo así como cada una de las fotografotog ra- balde, altura del nivel del agua en el balde, fías consecutivas de una película que registra capacidad del balde y rapidez de llenado del la situación en estudio). En este caso habla- balde entre otras (¿hay más?). remos de variación discreta. Lo que distingue esta forma de modelar de la anterior es que Podemos decir que las magnitudes que podremos enumerar cada uno de los instantes aumentan en la situación son el tiempo, el observados y por consiguiente parametrizar volumen de agua en el balde, la altura del nivel la situación con los números naturales. El del agua dentro del balde; la que disminuye es modelo general para el estudio de estas situa- la capacidad del balde y las que permanecen ciones es el de las sucesiones (funciones de constantes son el volumen del balde y la rapidez de llenado del balde. A medida que el tiempo variable entera). transcurre (aumenta), la altura del nivel del agua y la cantidad de agua en el balde aumentan 3.1.1 Descripción e interpretación interpretación de situa- a la vez que la capacidad del balde disminuye. ciones de variación y cambio desde Como el volumen del balde no cambia y su un punto de vista cualitativo. capacidad disminuye con el tiempo, llegará un momento en el que el balde estará completaEn una situación de cambio, como la que mente lleno. Preguntas que surgen de manera estamos considerando en esta sección, se natural son: ¿Cómo podemos medir el volumen presentan ciertas magnitudes que pueden del balde? ¿Cómo podemos medir la rapidez 18

E L P ENSAMIENTO V ARIACIONAL

con que se está llenando el balde? Una vez contestadas estas preguntas, ¿cuánto tiempo tarda en llenarse el balde? Si dispongo de un tiempo determinado para llenar el balde, ¿con qué rapidez debo llenarlo? ¿Las dimensiones del balde intervienen en las respuestas a las preguntas hechas? Si tengo dos baldes de volúmenes diferentes, ¿con qué rapidez debemos llenarlos para que se llenen completamente al mismo tiempo? 3.1.2

Formas de representación representación cualitativa de estas situaciones

Fig. 2.

Escrita. Para poder comunicar las observaciones que se hacen de las situaciones de variación se debe disponer de sistemas de representación que sean familiares para el grupo de estudiantes. Uno de estos sistemas es el lenguaje escrito. El estudiante debe ser capaz de escribir con sus propias palabras lo que está sucediendo en la situación de cambio al igual que las conclusiones que se deduzcan de sus observaciones. Es decir que se debería producir un texto pareFig. 3 cido al párrafo anterior para describir el llenado del balde. Modelos físicos que simulen la situación. Algunas situaciones de cambio, sobre todo las Pictórica. Los dibujos y gráficos son medios de presentadas por medio de un texto, son susceprepresentación en las situaciones de variación tibles de ser recreadas mediante maquetas con ya que muestran de otra forma lo que el estu- movimiento lo que permite tener un entendidiante entiende acerca de la situación. Estos miento más concreto de la situación de cambio. dibujos y gráficos en un comienzo pueden ser Hablar sobre los modelos y hacer preguntas i dentificación de muy concretos y mostrar lo que sucede en dife- sobre los mismos ayudan en la identificación rentes momentos de la situación de cambio. Por magnitudes presentes. ejemplo, dibujos del balde mostrando diferentes alturas del nivel de agua. De todas formas estos dibujos y gráficos deberían ir acompañados de 3.1.3 Formas de representación cuantitativa de situaciones de variación y cambio explicaciones explicaciones verbales. Estos dibujos y gráficos ayudarán a darle sentido a las gráficas carteRepresentación geométrica. Aparece cuando sianas de las funciones que describen las situa- Representación ciones de cambio. (Ver la secuencia de dibujos las magnitudes involucradas en la situación de cambio se asocian con longitudes de segmentos y gráficos) 19


(ver figura 3). Esta identificación no es una mera forma de representación gráfica sino un reconocimiento del comportamiento de la magnitud en cuestión como el de la longitud de un segmento. Es decir, se reconocen propiedades comunes de comportamiento algebraico y continuidad (El comportamiento algebrico y las propiedades de continuidad comunes a las magnitudes continuas son las que dan origen a la definición formal de número real y a su representación geométrica como punto de un eje numérico). Este acercamiento al estudio de las situaciones de variación y cambio permite modelar mediante el uso de programas de geometría dinámica como lo veremos más adelante. Representación tabular. Aparece cuando se está en capacidad de producir diferentes diferente s medidas de las magnitudes involucradas en la situación de cambio. Por ejemplo, en el caso del llenado del balde, podríamos por medio de una graduación actual del balde y un reloj, producir diferentes valores del volumen de agua en el balde en diferentes momentos de tiempo. Se puede hacer un estudio de esos datos numéricos para encontrar patrones de regularidad. Las tablas de datos numéricos se pueden producir también con sensores conectados a calculadoras o a partir de expresiones algebraicas. Los patrones de regularidad o los métodos de regresión permiten encontrar expresiones algebráicas que condensan el comportamiento de las variables involucradas y que se ajustan a los datos que sobre los mismos se tienen. Duración t1 t2 t3 t4 t5

Representación Representación algebraica. De acuerdo a los patrones de regularidad encontrados en la tabla se pueden establecer expresiones algebraicas que condensen toda la información acerca de la situación de cambio. Las propiedades alge braicas de las expresiones permiten encontrar aspectos del comportamiento de las variables relacionadas en el problema de estudio. Por ejemplo, los valores de las variables para los cuales una expresión o fórmula se anula dan información acerca de los intervalos donde la expresión es positiva o negativa. Conocer las propiedades de las expresiones algebraicas y poder manipularlas. El estudio de expresiones algebraicas en el contexto de la variación contri buye de manera significativa en el desarrollo del pensamiento pensamien to algebraico algebrai co (Ver, (Ver, Approaches to algebra y Early Algebra.), para extraer información sobre el comportamiento de las variables involucradas en la expresión, contribuirá con la comprensión del fenómeno en estudio y será una herramienta para la solución de problemas. La tabla sirve como herramienta para mostrar los datos gráficamente, lo que permite descubrir patrones y hacer predicciones. predicciones. Representación Representación gráfica. Se hace mediante la representación en un plano con un sistema de coordenadas coordenadas cartesianas de los datos de la tabla que consigna las mediciones de las magnitudes involucradas. Se puede así mismo producir la gráfica a partir de las expresiones algebraicas que se obtuvieron de la tabla. Tradicionalmente, la introducción de las funciones numéricas en el aula de clase se ha hecho desde un principio de acuerdo a la complejidad de su expresión algebraica. Es decir, se estudiaban primero las variaciones lineales, luego las cuadráticas, las cúbicas, y así sucesivamente. Quedaba la impresión en muchos estudiantes que las únicas funciones que existían eran las lineales y las cuadráticas, lo que se pretende cambiar con el enfoque que presenta las situaciones de variación y cambio desde un punto de vista cualita-

Volumen 0 cm3 2.000 cm3 4.000 cm3 6.000 cm3 8.000 cm3

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tivo primero. Esto no quiere decir que a partir de un cierto momento no se haga un acercamiento sistemático al estudio de los fenómenos mediante una clasificación de los modelos de acuerdo a la complejidad de su representación algebraica. Para la clasificación y estudio de los fenómenos de variación y cambio desde este punto de vista se requiere profundizar un poco en los aspectos algebraicos de las expresiones que representan dichos fenómenos. Es la oportunidad de hacer un estudio contextualizado del álgebra con el propósito de que el estudiante de sentido a los objetos de estudio. Los análisis y descripciones que pueda hacer un estudiante de las diferentes representaciones serán de vital importancia en el entendimiento del fenómeno de variación. Por ejemplo, la lectura de una gráfica, una tabla, una fórmula, etc., en términos cualitativos, describiendo la forma en que una variable se comporta con respecto a otra y explicando la relación que existe entre las difedi ferentes formas de representación.

lación a partir de las representaciones. Estas simulaciones pueden incluir representaciones teatrales. El pensamiento variacional está relacionado con los pensamientos numérico (tablas, patrones numéricos), geométrico (mecanismos geométricos y gráficas cartesianas), algebraico (expresiones y ecuaciones), métrico (medición de magnitudes en situaciones de variación y cambio) y estadístico (tratamiento de datos y regresiones), a través de las formas de representación cuantitativas de las situaciones de variación y cambio. Esto quiere decir que no es posible dejar de lado los otros pensamientos cuando se estudian situaciones de variación y cambio.

3.2 La variable y el concepto de función Muy a menudo se asocia la variable con la letra x letra x que aparece con mucha frecuencia en el álgebra junto con todas las letras del alfabeto. Esta letra, o letras, deben interpretarse dentro del contexto conveniente.

3.1.4

Interpretación Interpretaci ón de representaciones representacion es de situaciones de variación y cambio Su aparición en una expresión algebraica hace de ella una indeterminada. Es decir, como la La calidad de la comprensión de la situación abstracción de un objeto que es susceptible de de variación dependerá de las relaciones que el ser operado con el mismo o con otros mediante estudiante pueda establecer entre las diferentes las operaciones explícitas en la expresión. Es representaciones. Para lograr esto se pueden un representante general de una estructura alge proponer diferentes representaciones de una braica, que no necesariamente es el cuerpo de situación de cambio para que sean contextua- los números reales. Podrían ser cualquier otra lizados e interpretados por los estudiantes. Se estructura que contemple las operaciones en la debe también plantear problemas para que el expresión como por ejemplo un espacio vectoestudiante pueda producir una representación a rial o un anillo. partir de otra. Cuando dos expresiones algebraicas se conectan Lo anterior también es posible mediante la con un signo de igualdad (o de desigualdad) presentación de simulaciones a los estudiantes nos encontramos con lo que se conoce como o mediante la petición de producir una simu- una ecuación (o inecuación), si el interés parti21


cular se centra en encontrar objetos particu- aquí a indeterminadas. El término correcto lares que la hacen válida. En este contexto las en este contexto debería ser objeto general de indeterminadas en las expresiones algebraicas una estructura determinada. Las variables se se convierten en incógnitas (El concepto de representan mediante objetos generales en la incognita se puede ubicar en el contexto más estructura algebraica (R, +, *) en el caso de las general de la lógica cuando se hace una afir- funciones numéricas). mación acerca de los individuos de una colección y se quiere saber cuales son los individuos La mayoría de las veces, cuando se habla de que hacen verdadera la afirmación.), hasta que funciones, sobre todo en el contexto de la mateencontremos el, o los objetos particulares que mática escolar, se piensa en las funciones numéhacen de la ecuación un enunciado verdadero. ricas. Por lo tanto, su enseñanza se centra, a veces en exceso, en el estudio de las ecuaciones, Cuando una ecuación se trata como un meca- objetos algebraicos que las definen. La ecuación nismo para relacionar dos indeterminadas x, x, y y = f(x) que define a la función f función f , o que está defi(dos valores de las indeterminadas están rela- nida por la función f función f es es una representación algecionados si al remplazarlas simultáneamente simultáneamente en braica de la relación funcional f : x → y. Este la ecuación se obtiene una proposición verda- aspecto de las funciones, sin embargo, es de dera). En este caso tenemos una relación de gran importancia para lograr la representación dependencia que eventualmente podría terminar geométrica de las mismas a través del método siendo una relación funcional. En la mayoría de de las coordenadas, corazón de la geometría los contextos estas indeterminadas reciben el analítica. Las soluciones (x, y) de la ecuación nombre de variables, pero más que todo cuando y = f(x) se pueden representar como puntos en un la ecuación se lee en el contexto de los números plano mediante la introducción de un sistema de reales. Las funciones son en este contexto coordenadas cartesianas. El lugar geométrico de funciones reales de variable real, o funciones estos puntos es la gráfica de la función (gráfica numéricas. de la ecuación y ecuación y = f(x)). f(x)). Es en el contexto de las funciones numéricas, tema de estudio de la matemática escolar y del cálculo diferencial e integral, en el que mejor ‘encaja’ el término variable (Aparece en el contexto de las funciones numéricas - variable dependiente, variable independiente - . La terminología se extiende por abuso al contexto de las funciones generales ). Por eso es que se relaciona el estudio de funciones con el pensamiento variacional. variaci onal. Es de aquí que se ha tomado el nombre para referirse a la indeterminada en el dominio de una función como variable independiente y a la indeterminada en el recorrido de una función como variable dependiente, siendo en principio términos que se usaron en análisis para el tipo especial de funciones que mencionamos (En realidad no deberíamos referirnos

En el contexto de la recolección de datos y la búsqueda de modelos para fenómenos de la vida real, aparecen de manera natural las tablas de valores. En estas tablas se buscan dependencias funcionales a través de su representación gráfica y de regularidades en el estudio de su comportamiento comportamiento y técnicas sofisticadas como la regresión, con el objetivo de obtener un modelo algebraico (ecuación) que represente la dependencia funcional. Así, las funciones numéricas, corazón del pensamiento variacional, están íntimamente relacionadas con el álgebra a través de la ecuación y = f(x), f(x), con la geometría por la gráfica de la ecuación y = f(x), f(x), con los números por la correspondencia entre los mismos y con la

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variación a través de la noción de ‘cambio con respecto al tiempo’. La variable x (tiempo) se representa sobre un eje numérico. El trazo (o re-trazo) del eje ‘representa’ el transcurso del tiempo. La variable independiente independiente es una abstracción de la variable tiempo. El cambio que se produce en la variable independiente independiente es un reflejo de la idea de cambio en el tiempo. La variable dependiente es una abstracción del suceso (hecho o fenómeno observable) que cambia con el transcurrir del tiempo. La variación o cambio en el suceso que se observa con el transcurso del tiempo está relacionado con la idea de cambio de la variable dependiente con respecto al cambio de la variable independie i ndependiente nte (tiempo).

como el tiempo y de la cual dependen otras magnitudes en la situación. Diremos que dichos problemas o situaciones se pueden modelar variacionalmente. Los problemas de optimización son un ejemplo de problemas problema s que se pueden “modelar variacionalmente”. Para ilustrar esto consideremos consideremos el siguiente problema: Encontrar entre todos los rectángulos de igual perímetro el que (los que) tienen área máxima. Vamos a describir en la forma más explícita posible, el proceso al que hay que seguir para modelar variacionalmente este problema. Se puede ver que en su planteamiento este problema no es un problema de variación por excelencia ya que el tiempo no interviene explícitamente como variable. Sin embargo, el problema es susceptible de ser “modelado variacionalmente”. Es decir, se puede introducir de manera explícita la variable duración (magnitud para tiempo) para activar el “movimiento”

El movimiento es uno de los ejemplos más representativos y contundentes de variación, siendo este el cambio de posición con respecto al transcurso del tiempo. Este contexto se convierte así en una fuente inagotable de actividades y problemas que permitiría el desarrollo Los rectángulos de igual perímetro son demadel pensamiento variacional. siados considerados como objetos geométricos de un plano. Esto nos obliga a confinarnos a las clases de congruencia en la familia de rectánLa falta de claridad sobre los aspectos mencio- gulos de igual perímetro ya que dos rectánnados antes y sus diferencias, introduce en las gulos congruentes tendrán la misma área. Pero, actividades de aprendizaje del pensamiento trabajar con las clases de congruencia no es variacional, manejo del modelo general de práctico. Es mejor trabajar con un representante función en el contexto de los números reales, de cada clase. La forma en que se escojan los confusiones entre maestros y estudiantes. Es representantes facilitará la modelación variamuy importante mantener un balance entre los cional (o no). diferentes aspectos de las funciones numéricas. Tomemos en el plano dos semirrectas perpendiculares que por comodidad una será horizontal y la otra vertical. Escogemos en la familia de 3.3 La modelación variacional: un rectángulos de perímetro p perímetro p los que tienen lados ejemplo sobre las semirrectas escogidas. Es decir, los No todos los problemas o situaciones de varia- representantes buscados comparten un vértice ción involucran la variable tiempo. Sin embargo, embargo, y tienen lados que se traslapan. Tomemos uno muchos problemas involucran una variable (de de estos rectángulos que tiene lado a sobre la manera implícita o explícita) que se comporta semirrecta horizontal. Imaginamos ahora que, 23


por alguna acción mágica el lado a comienza a variar su tamaño a medida que transcurre el tiempo. Algo así como si pudiésemos estirar el lado a. Si queremos permanecer dentro de la familia de rectángulos de perímetro p, el lado b correspondiente al lado a (a + b = 1/2p) que se encuentra sobre la semirrecta vertical debe variar también con el tiempo. A medida que estiramos a, b se encoge.

usamos la expresión A = a · b, b, que se puede escribir también en la forma A = a · (1/2p a), a), debido a la última expresión escrita arriba. Geométricamente tenemos que si u = 1/4p, 1/4p, el rectángulo de lados a = u + k y 1/2p - a = u - k tendrá área a(1/2p - a) = u 2 - k 2 < u 2 u - k k

En términos tal vez muy matemáticos lo que hemos hecho es parametrizar con el tiempo la familia de rectángulos de perímetro p perímetro p que tienen dos de sus lados sobre las semirrectas perpendiculares al hacer depender del tiempo uno de los lados. Obtenemos así la siguiente interpretación variacional del problema original:

b = u - k

u - k

u

Dada la familia de rectángulos “parametrizada” como se dijo arriba, encontrar el momento en el que el área de los rectángulos es máxima.

k

a = u + k Fig. 4

Esto muestra que el área máxima se obtiene con Identificar el momento en el que el área es un rectángulo de lados a = b = 1/4p. 1/4p . Si pensamos máxima, equivale a encontrar el lado a del en términos de medición, la expresión anterior rectángulo de área máxima y por ende el lado b se puede interpretar como una expresión que del rectángulo de área máxima. Una vez modelado el problema variacionalmente, podemos relaciona las medidas de los segmentos involuintroducir la modelación algebraica que aparece crados. Esto quiere decir que el problema planal tener en cuenta el álgebra de las magnitudes teado originalmente se formularía así: ¿Para qué valor de a se obtiene el valor más grande de A? involucradas. Esta forma de abordar el problema da cabida a la construcción de rectángulos con medidas dadas y el cálculo de su área, con el objeto de producir una tabla de valores que compararían las diferentes longitudes de a con las respectivas áreas A. A. La lectura de esta tabla permitiría conjeturar acerca de las posibles dimensiones del rectángulo de perímetro p para los que el área es máxima. En este contexto de trabajo, interviene de manera explícita la medida de las longitudes Otras expresiones algebraicas equivalentes son de los lados por lo que se requiere trabajar con las siguientes: 2(a+b) = p, 2a+2b = p, b = 1/2p casos concretos. Es decir, construyendo rectán- a, etc. Para expresar el área del rectángulo gulos de perímetro 12 cm, por ejemplo.

Obsérvese que hasta el momento no hemos introducido en los argumentos la medición de las magnitudes ni los números reales producto de estas mediciones. El perímetro de un rectángulo de lados a y b es p es p,, si al “poner uno de los lados a continuación del otro” (alineados), se produce un segmento congruente con la mitad de un segmento p dado. Este hecho lo escri bimos así: a + b = 1/2p

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Longitud del lado a 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm

Longitud del lado b 5 cm 4 cm 3 cm 2 cm 1 cm 0 cm

Longitud del lado a.b 5 cm 8 cm 9 cm 8 cm 5 cm 0 cm

Rectángulos de perímetro 12 cm

Longitud del lado a 2.6 cm 2.8 cm 3.0 cm 3.2 cm 3.4 cm 3.6 cm

Longitud del lado b 3.4 cm 3.2 cm 3.0 cm 2.8 cm 2.6 cm 2.4 cm

Longitud del lado a.b 8.84 cm 8.96 cm 9.00 cm 8.96 cm 8.84 cm 8.64 cm

Rectángulos de perímetro 12 cm

La manipulación algebraica de la (o las) expresión para el área permitirá de alguna forma validar las conclusiones encontradas en la exploración tabular: el área máxima se encuentra cuando a = 1/4p = b. b. En efecto, sea a0 otro lado “horizontal” de un rectángulo de perímetro p perímetro p.. Si a0 es más grande que a, es decir, si hay un k > 0 tal que a0 = a + k , se tiene entonces que el área del rectángulo de lado a0 es.

Si a0 es más pequeño que a, es decir, si hay un k > 0 tal que a0 = a - k, se tiene entonces que el área del rectángulo de lado a0 es a0(1/2p - a0) = (1/4p - k)(1/2p - (1/4p - k)) = (1/4p - k)(1/4p + k) = (1/4p)2- k 2 < (1/4p)2 = área del cuadrado de lado 1/4p

a0(1/2p - a0) = (1/4p + k)(1/2p - (1/4p + k)) = (1/4p + k)(1/4p - k) = (1/4p)2- k 2 < (1/4p)2 = área del cuadrado de lado 1/4p

En ambos casos el área del rectángulo de lados a = b = 1/4p es mayor. Es decir no podremos encontrar otro de área mayor.

25

4

USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES

Con la aparición de las tecnologías computaciocomputacionales, como calculadoras graficadoras, sistemas de álgebra computacional (CAS), geometría dinámica, programación, etc. se ampliaron las posibilidades de representación de los fenómenos de variación y de poder pasar de manera versátil de un sistema de representación a otro.

diante) sino que puede tejerse alrededor de ellas y con ellas, una red entre ideas y conceptos que dé como resultado una mayor familiaridad con este complejo conceptual (MORENO, L.)

4.1 Los programas de geometría dinámica

En la actualidad, los instrumentos computacionales (calculadoras algebraicas como la TI92, las computadoras) encarnan sistemas de representación que presentan características novedosas: son sistemas ejecutables de representación, que virtualmente ejecutan funciones cognitivas que anteriormente eran privativas de los seres humanos. Por ejemplo, graficar una función. Es un proceso que el estudiante ve desplegándose desplegándose en la pantalla de su calculadora, sin su intervención directa.

Comenzamos con los programas de geometría dinámica (como Cabri y Regla y Compás) ya que este es un medio al cual se puede tener acceso con relativa facilidad, no solamente por las posibilidades físicas en una calculadora o en un computador, sino también porque se puede interactuar con éstos sin mayores conocimientos conocimientos de matemáticas. Unos pocos conocimientos de geometría y una breve instrucción sobre los comandos de dichos programas ponen a disposición del aprendiz una herramienta poderosísima poderosísima Los nuevos sistemas de representación hacen para la investigación en geometría y la modela posible también tambi én un campo de experiencia que no ción de situaciones de variación y cambio. estaba antes a disposición del estudiante, como por ejemplo el acceso a los sensores (CBL, Con estos programas estamos en la posibilidad CBR) que pueden articularse a las calculadoras. calculadoras. de representar magnitudes mediante segmentos El estudiante puede representar gráficamente y a su vez establecer relaciones de dependencia fenómenos naturales como las variaciones de que se mantienen al hacer variaciones en los temperatura, de intensidad sonora, intensidad objetos iniciales. Para mostrar su potencial en luminosa, Ph, etc. Es decir, todo un mundo la modelación de la variación presentamos la de variación y cambio queda a su disposición solución del problema planteado en la sección como parte de su campo de experiencias. Estas anterior en este ambiente. nociones de variación y cambio no tienen que ser estudiadas de modo abstracto (en el sentido Podemos simular la parametrización temporal en que son extrañas a las experiencias del estu- del lado a y observar la forma en que el lado b 27


depende del lado a. Para hacer esto, represen- v tamos en la pantalla una semirrecta recta horizontal h de izquierda a derecha y de origen O. Sobre h representamos representamo s un punto P punto P yy el segmento C OP que OP que hará las veces de medio perímetro del B rectángulo. Sobre este segmento representamos un punto A y el segmento OA que hará las veces del lado a del rectángulo. Ahora, trazamos una semirrecta v perpendicular a h de origen O y con la ayuda del compás construimos un punto B sobre v de tal forma que OB sea congruente con AP (Recordemos que a + b = 1/2p). Completamos el rectángulo. Al desplazar el punto A sobre el segmento OP desde OP desde O hasta P hasta P estamos estamos simulando la dependencia del segmento a con respecto al tiempo. Es decir, tenemos nuestra primera experiencia variacional en el ambiente dinámico. Pero además, podemos observar la forma en que b depende de a. A medida que a crece, b disminuye.

O

A

U

h

P

Fig. 6

Además, se puede hacer más explícita la dependencia que el área tiene del lado a, trazando una perpendicular a h por A A y una perpendicular a v por C por C . El punto G de intersección entre estas rectas “amarra” el lado a y el área del rectángulo. El lugar geométrico de G cuando A se mueve sobre OP representa todas las posibilidades existentes de lados y áreas en las condiciones impuestas. Más aún, podemos observar como se produce este lugar geométrico haciendo mover A sobre OP y OP y siguiendo el recorrido de G. En este lugar geométrico se puede observar que el área máxima se obtiene cuando a = 1/4p = u. u.

v B G

C

b

B O

A

a

P

h

Fig. 5

Usando como referencia el punto medio U entre O y P , construimos un punto C sobre V de tal forma que a/c = u/b, siendo u es el segmento OU y c es el segmento OV . Es decir, el segmento AC debe ser paralelo a UB. El segmento OC representa el área del rectángulo de lados a y b y al mover A sobre OP podremos ver la forma en que el área del rectángulo depende de a. 28

O

U

A

P

Fig. 7

4.2 Las calculadoras graficadoras Por último hagamos la gráfica del área de los rectángulos de perímetro p con respecto a sus lados en la ventana de graficación de la calcu-

SO DE T ECNOLOGÍAS C OMPUTACIONALES OMPUTACIONALES U SO DE

ladora. Para esto tendremos que escribir en el editor de funciones la expresión del área corres pondiente y1(x) = x _ (6 – x) Se obtiene la gráfica de una parábola que abre hacia abajo. Se pueden comparar descripciones de la gráfica con la tabla de valores dada por la misma y comportamientos de los valores numéricos de las tablas con las características de la gráfica.

significado de la gráfica cuándo la variable x está por fuera del intervalo [0, 1/4p]. 1/4p]. En general, la posibilidad de definir la ventana y de hacer ampliaciones y disminuciones disminuciones (zoom) de las graficas de la función, no solo permitirá sacar conclusiones del problema en estudio sino también aportar a la conceptualización de función, modelo general para los problemas variacionales.

La ventana de graficación permitirá discutir acerca del dominio de la función de área y el La meta sería que un estudiante sea capaz de hacer uso de los sistemas de representación descritos en el análisis de problemas variacionales. La calculadora graficadora juega aquí un papel muy importante al ser un medio de representación ejecutable que propicia los aspectos que se mencionan en el marco teórico del Proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia.

29

5

SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA

En este capítulo se plantean orientaciones para aprovechar el potencial mediador de las nuevas tecnologías computacionales computacionales en el estudio sistemático y la comprensión de procesos de variación y cambio y se presentan algunas situaciones didácticas a través de de las cuales se promueve el desarrollo del pensamiento variacional.

escolaridad y que no necesariamente siguen una secuencia lineal de contenidos. El énfasis del tratamiento de la situación se hará de acuerdo con el nivel de desarrollo cognitivo en el que se encuentren los estudiantes, tendiendo en cuenta las recomendaciones de los lineamientos curriculares de matemáticas en cuanto a que el estudio de la variación puede ser iniciado Se comienzaindicandolos propósitos,momentos pronto en el currículo de matemáticas. del trabajo de aula y los lineamientos generales para la organización y gestión del trabajo con Para efectos de elevar el impacto del trabajo los estudiantes ante una situación determinada. que se realice, se considera pertinente tener Posteriormente, se expone de manera deta- en cuenta los siguientes indicadores de logro llada el planteamiento y desarrollo de situa- referentes al desarrollo del pensamiento variaciones didácticas relacionadas con el estudio cional, planteados en en la resolución 2343, 2343, por el de la variación y el cambio con nuevas tecno- Consejo Nacional de Profesores de los Estados logías diseñadas con el propósito de ilustrar los Unidos (NCTM) y en el Currículo inglés, entre momentos de gestión y desarrollo propuestos otros: en este documento y se incorporan situaciones didácticas diseñadas e implementadas por los • Detectar, reproducir y extender patrones docentes del país, que constituyen un excelente o esquemas que se repiten en varias situareferente sobre la implementación en el aula de ciones y analizar situaciones de cambio en clase del trabajo con nuevas tecnologías en el varios contextos. estudio de procesos de variación y cambio. • Modelar diversas situaciones de cambio a través de funciones y expresar dichas funciones inicialmente en palabras y luego 5.1 Propósitos y lineamientos generales simbólicamente, representándolas en forma gráfica, tabular y mediante expresiones algeReconociendo que el significado y el sentido braicas. acerca de la variación se establece a partir de situaciones cuyos contextos sean los referidos • Representar y analizar funciones utilizando a fenómenos de cambio y variación, las activi para ello tablas, expresiones orales, expredades que se proponen como ejemplo son plansiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y teadas como situaciones problema que pueden hacer traducciones entre estas representaser desarrolladas en los diferentes niveles de ciones. 31


•

•

•

•

puede ser presentado a partir de una situación experimental, situaciones del contexto, datos registrados sobre el comportamiento de una situación de cambio y variación o una simulación. A través de esto se pretende que los estuInterpretar gráficos que describen diversas diantes hagan una descripción de la variación, formulen conjeturas, hagan predicciones y las situaciones. verifiquen. Analizar tablas y gráficas para descubrir patrones, hacer predicciones e identificar Como uno de los momentos finales se propone la modelación del fenómeno a través de la propiedades propiedades y relaciones. expresión algebraica. Sin embargo, debe Investigar y comprender contenidos matemá- tenerse presente que es necesario enfrentar a ticos a través del uso de distintos enfoques los estudiantes a situaciones donde la función para el tratamiento y resolución de problemas no exhiba una regularidad, con el fin de alejar del mundo real aplicando modelos matemá- la idea de que su existencia o definición está ticos e interpretar resultados a la luz de la determinada por la existencia de la expresión algebraica (MEN, 1997). situación inicial. Formular conjeturas sobre el comportamiento comportamiento de una gráfica teniendo en cuenta el fenómeno que representa y usar la calculadora para comprender dicho comportamiento.

•

Organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre como de las ciencias y las matemáticas donde la variación se encuentra como sustrato de ellos.

Se sugieren entonces los siguientes momentos que se implementarán y profundizarán de acuerdo con el nivel del desarrollo cognitivo de los estudiantes y con los logros que se pretendan alcanzar:

•

Elaborar modelos de fenómenos del mundo real y de las matemáticas con funciones polinómicas, escalonadas, exponenciales, logarítmicas, circulares y trigonométricas; representarlas y traducirlas mediante expresiones orales, tablas, gráficas y expresiones algebraicas.

•

Observación de la simulación del fenómeno: descripción, descripción, predicción, verificación.

•

Aproximación al tipo de gráfica que se producirá al relacionar las magnitudes que varían.

•

Registro de los datos en una tabla y análisis de la información suministrada.

•

Visualización de la gráfica formada por el conjunto de valores registrados y análisis de la misma.

•

Relación entre los registros (tabular y gráfico)

•

Aproximación Aproximación a la expresión algebraica que mejor relaciona las variables.

5.2 Momentos del trabajo de aula con tecnología en situaciones de variación y cambio Durante el desarrollo de las actividades propuestas, se plantean diferentes momentos. En el momento inicial se propone la observación, descripción y análisis cualitativo del fenómeno (situaciones donde estén involucrados procesos de variación y cambio), el cual 32

PARA EL D ESARROLLO DEL ESARROLLO DEL P ENSAMIENTO V ARIACIONAL CON M EDIACIÓN T ECNOLÓGICA S ITUACIONES D IDÁCTICAS PARA EL

•

Cálculo de regresión.

•

Análisis de la función y de su relación con el fenómeno en estudio

o

Verificar (en la medida en que la situación lo permita) las hipótesis.

5.3.2

Predicción de la gráfica

Otras extensiones al estudio de la función: construcción geométrica de la derivada, Imaginar y esbozar el tipo de gráfica que se análisis de la derivada, cálculo de la deri- espera obtener, en el plano cartesiano, si se relaciona la variable que se considera indepenvada, interpretación, etc. diente con la variable que se considera dependiente. No deben aparecer valores, únicamente la gráfica esbozada. 5.3 Propuesta del tratamiento •

didáctico de las actividades

El proceso de gestión del trabajo de aula con situaciones didácticas relacionadas relacionadas con la variación y el cambio teniendo como uno de los mediadores importantes los sistemas computacionales gráficos y algebraicos, se caracteriza por las fases integradas y no necesariamente secuenciadas linealmente, que se indican a continuación: 5.3.1

o

• •

•

Registro de los datos en una tabla y descripción de la variación

Teniendo presente que la información obtenida por la tabla da cuenta de la variación numérica de los fenómenos de variación, se proponen los siguientes aspectos para su análisis: o

Observación y descripción de la situación

Inicialmente se propone una descripción libre de lo que se observa y posteriormente precisar aspectos como: •

o

5.3.3

¿Qué elementos varían? ¿Cómo varían? ¿Qué elementos permanecen constantes? ¿Qué valores pueden o podrían tomar las magnitudes en observación? ¿Por qué? ¿Qué sucede con una de las magnitudes a medida que varía la otra? Explicar la respuesta.

Con base en lo observado, realizar predicciones, formular hipótesis.

Describir cualitativamente la variación, a través de preguntas como: •

¿Cuál es el rango de valores que puede tomar la variable independiente? independiente?

•

¿Cuál es el rango de valores que puede tomar la variable dependiente?

•

¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de la variable independiente se acercan a cero?

•

¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable inde pendiente aumentan?

•

¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable inde pendiente disminuyen?

•

33

¿Existe un valor de la variable independiente para el que se obtenga el valor


máximo de la variable dependiente? ¿Uno para el que se obtenga el valor mínimo? ¿Cuáles son estos valores? • •

•

•

o

o

•

¿Cuál es el rango de valores que puede tomar t omar la variable dependiente?

¿Se podrían encontrar otros? Explicar. En general, ¿cómo varían los valores de la variable dependiente a medida que varían los valores de la variable inde pendiente?

•

¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de la variable inde pendiente se acercan a cero?

•

¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable independiente aumentan?

•

¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable independiente disminuyen?

•

¿Existe un valor de la variable independiente independiente para el que se obtenga el valor máximo de la variable dependiente? ¿Uno para el que se obtenga el valor mínimo? ¿Cuáles son estos valores?

¿Existen valores en la variable independiente a los que les corresponda más de un valor? Explicar ¿Existen valores diferentes para la variable independiente a los que les corresponda un mismo valor? Explicar.

Esbozar la gráfica que se producirá al relacionar la variable independiente con la variable dependiente Visualización de la gráfica formada por un conjunto de valores registrados

Teniendo presente que la información obtenida por la gráfica hace posible el estudio dinámico de la variación y posibilita abordar los aspectos de la dependencia entre variables, se proponen los siguientes aspectos para su análisis:

•

¿Cuál es el rango de valores que puede tomar t omar la variable independiente?

Cuantificar la variación mediante la realización de diferencias al interior de cada columna y de cocientes entre estas diferencias.

5.3.4

•

•

•

¿Se podrían encontrar otros? Explicar.

•

¿En general, cómo varían los valores de la variable dependiente medida que varían los valores de la variable independiente?

•

¿Existen valores en la variable independiente independiente a los que les corresponda más de un valor? Explicar.

•

¿Existen valores diferentes para la variable independiente a los que les corresponda un mismo valor? Explicar.

5.3.5

¿Qué forma aproximada tendría la gráfica que une los puntos?

Relacionar la información obtenida en la gráfica con la información obtenida en la tabla.

Comparar las respuestas obtenidas en los puntos anteriores y relacionar la información con el fenómeno en estudio.

¿En qué coincide con las gráficas esbozadas anteriormente? anteriormente? ¿En qué difieren? 34


5.3.6

Hacer aproximaciones aproximacione s de la expre- 5.4.1 Modelación del Movimiento Pendular sión algebraica que mejor relaciona las variables Profesor: Oscar Alberto Narváez Guerrero De acuerdo con la descripción cualitativa y cuantitativa de la relación entre las variables, Institución INEM de Pasto Departaintentar formular expresiones algebraicas Educativa: mento de Nariño aproximadas que establezcan su mejor relaDécimo ción. Verificar estas hipótesis introduciendo la Grado: expresión algebraica en el editor de funciones y Asesoría y comparando la gráfica producida por ésta y por acompañamiento: Universidad de Nariño. el conjunto de puntos tomados del fenómeno en I. Guía para los estudiantes estudio. 5.3.7

Hacer el cálculo de regresión

De acuerdo con la función que mejor modela model a los datos responder a las preguntas planteadas para el análisis de los registros anteriores y comparar las respuestas. Analizar la función obtenida en el conjunto de todos los reales (ceros, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, etc.)

Un péndulo es un cuerpo sujeto a la l a acción de su propio peso y que puede girar alrededor de un punto o de un eje horizontal superior a su centro de gravedad. Un péndulo se puede construir con una cuerda delgada y una esfera (o cualquier otro objeto) atada a uno de sus extremos. Un péndulo se pone en movimiento de la siguiente manera: se asegura el extremo que no tiene atada la esfera de tal manera que la esfera cuelgue libremente, se levanta la esfera manteniendo tensa la cuerda y se deja caer la esfera. Queremos con esta actividad encontrar un modelo matemático (tablas de datos, gráficas, ecuaciones, etc.) que describa el movimiento del péndulo con la mayor precisión posible. Para esto necesitaremos un CBL, una calculadora TI92 y diferentes péndulos.

5.4 Situaciones didácticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacional y potencian el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales

A) Actividades.

Las situaciones didácticas que se presentan a continuación surgieron de actividades que los profesores que participan en el “Proyecto Incor poración de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria” desarrollaron en el aula de clase con sus estudiantes. Se han organizado en un mismo formato tratando de destacar los puntos más importantes de cada actividad y los posibles momentos de gestión en el aula.

a) Construir péndulos de diferentes longitudes de cuerda y de diferentes pesos. b) Identificar magnitudes magnitudes en el movimiento del péndulo y clasificarlas según cambien con el transcurso del tiempo o no. c) Discutir la forma en que se medirían estas magnitudes y decidir acerca de las unidades que se utilizarían. d) Discutir la forma en que se usaría el CBL para obtener datos de las medidas de una 35


de las magnitudes involucradas en el movimiento del péndulo. e) Discutir la forma en que se representarían los datos tomados por el CBL en una gráfica cartesiana. Explicar el significado de los ejes coordenados en esta situación. f) Predecir el comportamiento comportamiento de la gráfica en cuestión relacionándola con el movimiento real del péndulo. g) Proponer, de acuerdo a las predicciones hechas en el ítem (f), expresiones matemáticas que conozcan como modelos funcionales para establecer el comportamiento de la magnitud en cuestión al transcurrir el tiempo. h) Montar el péndulo y el CBL de una forma conveniente, según lo discutido en el ítem (d), y tomar los datos.

cias y haga los ajustes que sean necesarios en la expresión para acercarse mejor a la gráfica obtenida experimentalmente. experimentalmente. D) Actividades complementarias

a) ¿Cuánto dura cada una de las oscilaciones de un péndulo? Explique. b) Si en el péndulo anterior aumentamos el peso dejando igual la longitud de la cuerda, ¿la duración de cada una de las oscilaciones es mayor o es menor? c) Si cambiamos la longitud del péndulo dejando el mismo peso, ¿en qué cambia la duración de cada una de las oscilaciones? Si puede, exprese mediante una expresión matemática la relación que existe entre la longitud del péndulo y la duración de cada oscilación.

B) Análisis de datos y gráficas

a) Discutir el significado de los datos tomados por el CBL, explicando con precisión el significado de la medida de la magnitud en cuestión a medida que se recorre la tabla. b) Discutir el significado de la gráfica producida por la calculadora TI92 en términos del movimiento del péndulo y en términos de los datos de la tabla. c) Comparar la gráfica gráfica de la calculadora calculadora con las predicciones predicciones hechas en el item (f). C) Conclusiones

II. Guía para el profesor A) Actividades.

Las actividades propuestas tienen el propósito de que los estudiantes entiendan con mayor profundidad la situación de variación que se les presenta, identifiquen las magnitudes que cambian y que no cambian en la misma, le den sentido al modelo matemático que se va a producir (tablas, gráficas, expresiones matemáticas, etc.), en términos de la situación real. Una de las magnitudes que no aparece en forma explícita en el movimiento del péndulo es el tiempo pero que debe aparecer en las discusiones acerca del comportamiento de otras magnitudes involucradas como longitud de la cuerda, amplitud del ángulo que forma la cuerda del péndulo en movimiento con respecto a la cuerda del péndulo en equilibrio, la masa o el peso del péndulo, entre otros.

a) Hacer en un papel una gráfica del movimiento pendular que represente el comportamiento del de la magnitud medida en en la parte (A) a medida que transcurre el tiempo. b) Incluir en la gráfica los datos que sean necesarios para la interpretación de la misma. c) Escribir con sus propias palabras palabras la descripción de la gráfica en términos del movimiento del péndulo. d) Hacer la gráfica en la TI92 de la función propuesta en el ítem (g)-(A) y compararla con la del ítem (a)-(C). Explique las diferen-

Seguramente la magnitud que se puede medir con el CBL será la distancia entre el objeto que 36


cuelga en el péndulo y el CBL, que sirve de I. Guía para los estudiantes punto de referencia. La simulación que se les presenta en la calcula B) Análisis de datos y gráficas. gráficas. dora, representa el movimiento de tres aviones A, A, B y C que C que viajan paralelamente en línea recta En esta parte es importante socializar los resul- con velocidades distintas siguiendo el mismo tados obtenidos por cada uno de los equipos de rumbo. El avión A viaja a 400 km/h, el avión estudiantes mediante la presentación al grupo B a 750 km/h y el avión C viaja con aceleracompleto de estudiantes de las gráficas y expre- ción constante de 0.5 km/h 2. En la pantalla 2 siones algebraicas producidas. cm representan representa n 1000 km. Los tres puntos A, A, B y C representan C representan a cada uno de los aviones y el C) Conclusiones. número que aparece representa el tiempo que transcurre. Para dar comienzo a la simulación, En la parte de conclusiones conclusiones es donde se propone aplique Animación aplique Animación al número. (En ningún caso el modelo matemático definitivo para describir borre el número, pues la simulación dejará de el comportamiento de una de las magnitudes funcionar). El propósito de esta actividad es el involucradas en el movimiento. Para los estu- de elaborar un informe que de cuenta del estudio diantes más avanzados se puede recurrir a las del movimiento de cada uno de ellos y de sus herramientas de regresión que provee la calcu- relaciones utilizando los diferentes sistemas de ladora TI92. El profesor puede hacer preguntas representación. acerca del comportamiento del péndulo en movimiento que se pueda predecir a partir del A) Actividades. modelo encontrado. También puede preguntar a los estudiantes estudiantes acerca de la relación existente Primera parte entre otras magnitudes involucradas y la que se estudio en la actividad. a) Observe cómo varía el movimiento de los aviones a medida que el tiempo transcurre y D) Actividades complementarias describa lo sucedido. No olvide mencionar explícitamente las magnitudes involucradas. Los problemas propuestos deberán usar, no solamente los modelos matemáticos encontrados, d os de sino que requerirán de los estudiantes la propuesta b) ¿Hay algún momento en el que dos los aviones se encuentren sobre la misma de tomas adicionales de datos y producción de vertical? ¿Si la respuesta es afirmativa, nuevos modelos que se deben comparar con el cuáles son esos aviones y, aproximadamente, ya propuesto para sacar conclusiones. al cabo de cuánto tiempo se encuentran? de c) ¿Habrá algún momento en el que los tres aviones se encuentren sobre la misma vertical? Si la respuesta es afirmativa, ¿al cabo de cuánto tiempo? De lo contrario, Profesora: Fabiola Rodríguez García explicar porqué. Institución Educativa: Instituto Pedagógico Nacional de d) ¿Qué avión ha recorrido mayor distancia al Bogotá D.C. cabo de 7 horas? ¿Por qué? Grados: Séptimo a Once 5.4.2

Simulación Aviones

del

Movimiento

37


e) Observe el movimiento de cada uno de los aviones por separado y descríbalo en la siguiente tabla.

Cociente

Cociente Cociente

Avión A

Avión B

Intervalo de tiempo

Avión 1

Avión C

(1, 2.5)

Avión 2

(2, 3.5)

Avión 3

(1, 4)

f) ¿Cómo varía la distancia distancia recorrida por avión A a medida que transcurre el tiempo?

(3.5, 4) c) De acuerdo con estos resultados, ¿qué concluye con respecto al movimiento de cada uno de los aviones?

g) Haga un bosquejo de la gráfica cartesiana que relaciona el tiempo de recorrido y la distancia recorrida por el avión A avión A??

Tercera parte

h) Responder las preguntas f y g para los aviones B y C .

d) Mida la distancia recorrida recorrida por el avión A avión A,, en cualquier instante de tiempo.

Segunda parte a) Mida y registre en la siguiente tabla las distancias recorridas por cada avión en cada uno de los siguientes tiempos, a partir el momento inicial: Tiempo Distancia (horas) avión A avión A 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Distancia avión B avión B

b) Calcule los cocientes

Distancia avión C

para cada uno

Fig. 8

de los aviones, en los siguientes intervalos e) Re-edite nuevamente nuevamente el valor del tiempo y a de tiempo: partir del instante 0.00, registre en una tabla 38


los datos obtenidos de tiempo y distancia para el avión A avión A1.

g) Realice algunas diferencias de los valores registrados para el tiempo, entre un dato y el anterior. ¿Qué valor obtuvo? Tenga presente este resultado ya que nos referiremos a él como . h) Calcule las diferencia de distancias entre un dato y el anterior y almacene estos resultados en otra columna 2.

Fig. 10

i) Calcule en otra columna el cociente

Fig. 9

Nota: este cociente calcula la velocidad casi instantánea del avión A ya que el intervalo de tiempo considerado es relativamente pequeño (fue por esta razón que se editó el valor del tiempo con dos cifras decimales). De esta manera puede comenzar a fundamentarse la idea de velocidad instantánea y velocidad media de un móvil.

f) Teniendo en cuenta los valores registrados en la tabla: ¿cómo varía la distancia del avión A avión A a medida que que transcurre el el tiempo? Aproximadamente, ¿en qué momento el avión A ha recorrido una distancia de 0.5 km? (recuerde que su correspondiente en la pantalla es de 1cm). 1

2

.

Para realizar este registro se procede de la siguiente manera:

1. Asegúrese Asegúres e de que no haya datos en el archivo SYSDATA. SYSDATA. 2. Una vez esté ubicado en el archivo archivo de Cabri Gémètre sobre sobre el cual se está trabajando, seleccione F6 + 7 Collect Collect data (agrupar datos), y luego Define Entry (definir entrada). 3. Seleccione los datos que se van a relacionar. relacionar. Para este este caso, seleccione en su orden el tiempo y la distancia del avión A. 4. Almacene los datos: seleccione F6 + 7 Colect data (agrupar datos) Store Data (almacenar datos). 5. Anime el tiempo. tiempo. Para esto seleccione seleccione F7 + 3 Animation (animación) y anime el valor que define el tiempo. Cuando quiera detener la animación oprima la tecla ESC. 6. Visualice la tabla arrojada arrojada por estos estos valores. Para esto oprima la tecla deAplicaciones y seleccione 6: Data/Matrix Editor + Open + Sysdata. Suponiendo que estos datos de distancia se encuentran en la columna 2, se procede así: 1. Para copiar en otra otra columna (por ejemplo ejemplo en C3) y desplazar desplazar hacia arriba una una celda, los datos obtenidos obtenidos en C2 (correspon(correspondientes a la distancia del aviónA), se oprime F4 con el fin de definir la cabecera de la columna donde donde se va a copiar y se digite allí C3 = shift (C2,1). ( Si la calculadora está en español, se debe digitar desplaz (C2,1) 2. En otra columna (por (por ejemplo C4), se calcula C3-C2. C3-C2. Para esto se ubica en la cabecera de la columna columna y se digita C3-C2. C3-C2.

39


Para digitar la expresión no olvide tener presente el uso adecuado de los paréntesis.

Fig. 12

n) ¿Qué forma aproximada tendría la gráfica que une los puntos?

Fig. 11

j) ¿Qué valores se obtienen al realizar este cálculo? o) ¿Cómo varía la distancia distancia a medida que transcurre el tiempo? k) ¿Que representa este resultado con relación al movimiento del avión A avión A?? p) ¿Cuál es la distancia recorrida al cabo de dos horas? ¿Existe ¿Existe otro valor? Explicar l) ¿Qué concluye acerca del movimiento del avión A avión A?? q) ¿En qué momento ha recorrido 0.5 km? (su correspondiente en la pantalla, de acuerdo Cuarta parte con la escala es de 3cm). m) Construya la gráfica de distancia contra r) Escriba una expresión expresión general que que relacione 3 tiempo del avión A avión A . adecuadamente al tiempo transcurrido transcurr ido y la distancia recorrida por el avión A. A. Tenga en cuenta sus observaciones con respecto a la variación y los resultados numéricos obtenidos en la tabla. s) Introduzca esta expresión en el editor de funciones y grafíquela. Compare las gráficas y escoja la expresión expresión que que mejor modela modela los datos. 3

Para construir la gráfica se sigue este procedimiento: 1. Ubicados en el editor de de datos, seleccionar F2 Plot Setup 2. Seleccionar F1 para definir las características de la gráfica 3. Seleccionar el tipo de gráfica gráfica (Scatter) y el tipo de marca para los puntos (Box). 4. Asignar a la variable x variable x los valores correspondientes a la columna 1 (c1) 5. Asignar a la variable y variable y los valores correspondientes a la columna 2 (c2) 6. Oprimir ENTER dos veces 7. Graficar los puntos (♦GRAPH). Para visualizarlos mejor seleccionar ZoomData en F2 + 9.

40


t) Realice el cálculo de de regresión4 y almacene el resultado en la variable y1.

ventana apropiada para observar mejor la función. ¿Qué tipo de gráfica se obtiene?

Fig. 13

Fig. 14

u) Escriba la función que mejor modela los datos y de acuerdo con esta expresión: ¿en qué coincide y en qué difiere con la expresión que usted encontró? ¿ Qué representa cada coeficiente con relación a los resultados obtenidos en el análisis de la tabla? ¿ Qué representa cada coeficiente con relación al movimiento del avión A avión A??

x) Describa el comportamiento comportamiento de la gráfica. Quinta parte. Repita con los aviones B y C las actividades realizadas con el avión A Conclusiones

v) Describa la variación de la distancia con respecto al tiempo teniendo en cuenta los resultados obtenidos.

Haga un informe describiendo el movimiento de los aviones mediante tablas, gráficas gráfi cas y expresiones algebraicas. Describa las diferencias que se encuentran en los movimientos de los tres w) Visualice la función obtenida y los datos aviones sustentando los argumentos por medio tomados de la simulación y seleccione una de la información recopilada en la actividad.

4

Para hacer el cálculo de regresión:

Ubicados en el editor de datos, seleccionar F5 Calc y escoger el tipo de regresión que se considera mejor ajusta a los datos. Guardar esta función en y en y1. 1.

41


Haga una comparación entre las predicciones o suposiciones que hizo en el transcurso de la actividad y los resultados obtenidos.

de escolaridad, teniendo en cuenta el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes. Es decir, es potencialmente realizable desde grado sexto hasta grado undécimo.

Actividades complementarias

c) Se pretende que los alumnos modelen la a) Haga un análisis de la manera cómo varía situación a través de la función lineal y la la velocidad del avión C con respecto al función cuadrática y exploren en cada una tiempo. de ellas los elementos que las definen en sus diferentes representaciones: tabular, gráfica b) Haga un análisis de la forma cómo varía la y algebraica. distancia entre ent re los aviones A y B con respecto al transcurrir del tiempo. d) Es importante que el profesor esté familiarizado tanto con el manejo técnico de la calcuc) Repita lo mismo que en el ítem (b) con los ladora requerido para la actividad, como con aviones A y C. el desarrollo de la misma. Por tal razón es aconsejable que desarrolle previamente toda d) Repita lo mismo que en el ítem (b) con la actividad y dimensione su potencial, para los aviones A y B pero suponiendo que los que pueda hacer adaptaciones, cambios y aviones viajan en direcciones que forman un extensiones de la misma, teniendo en cuenta ángulo de 90° las características de sus estudiantes y lo que quiere desarrollar en ellos. II. Guía para el profesor

e) Debido a que esta actividad actividad puede realizarse desde los primeros grados de secundaria, A) Actividades. los conocimientos previos dependerán del a) Se presenta un archivo construido en Cabri, aspecto de la modelación sobre el que se el cual debe ser elaborado previamente por el quiera enfatizar. Por ejemplo, si se quiere profesor y grabado en las calculadoras de los hacer la modelación algebraica del problema estudiantes. En dicho archivo está construida (esta se propone como una de las últimas la simulación del movimiento de tres aviones etapas), es conveniente que los estudiantes que viajan paralelamente en línea recta y en estén familiarizados con los términos y las el mismo sentido. Se pretende que a través operaciones con polinomios. de la observación, la exploración y la sistematización de los resultados, los estudiantes B) Análisis de datos y gráficas. modelen las situaciones de cambio presentes en la simulación y expresen el modelo en a) En la segunda parte, donde se toman palabras y simbólicamente, representándolo medidas, puede desarrollarse con distintos en forma tabular, gráfica y mediante exprematices dependiendo del grado en el que siones algebraicas. se desarrolle. desarrolle. Por ejemplo, ejemplo, puede puede aprovecharse para analizar la información obtenida b) La actividad está propuesta para ser desaen la tabla en términos de la variación de las rrollada en diferentes momentos, los cuales distancias a medida que varía el tiempo, para pueden implementarse en diferentes niveles introducir el significado de pendiente de una 42


recta como cociente entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, o puede aprovecharse para reforzar el concepto de velocidad media.

f) Vale la pena detenerse en la reflexión sobre la diferencia de resultados obtenidos para el avión A avión A y para el avión C. C) Conclusiones

b) Antes de registrar los datos se sugiere re-editar el valor numérico del tiempo t y asignarle 0.00. De esta manera los intervalos de tiempo que se consideran serán más pequeños y facilitará el análisis posterior de la velocidad media, aunque la simulación del movimiento se haga más lenta. Se aconseja tomar valores hasta el momento t =3.7 =3.7 aproximadamente. Esta toma de datos tomará un tiempo. c) El cociente que se calcula calcula en la actividad actividad es la velocidad casi instantánea instantán ea del avión A ya que el intervalo de tiempo considerado es relativamente pequeño (fue por esta razón que se editó el valor del tiempo con dos cifras decimales). De esta manera puede comenzar a fundamentarse la idea de velocidad instantánea y velocidad media de un móvil. Para digitar la expresión no olvide tener presente el uso adecuado de los l os paréntesis. d) Una variación a la estrategia aquí presentada presentada consiste en hacer primero primero la construcción de la gráfica directamente en Cabri y a partir de allí orientar la reflexión. Es decir se puede aprovechar para hacer un análisis eminentemente geométrico.

Algo que es muy ilustrativo es el comparar los resultados obtenidos en el estudio y los que se esperaban inicialmente. Se puede pedir a los estudiantes que vayan registrando sus conjeturas con respecto a la forma de las gráficas, expresiones algebraicas algebraicas y al comportamiento de las tablas, para poder hacer las comparaciones en el informe. D) Actividades complementarias.

Dentro de los problemas se pueden incluir los que planteen los estudiantes. Frecuentemente se presentan problemas muy interesantes cuya solución pone a prueba lo aprendido en la actividad. A los estudiantes más avanzados se les puede pedir que construyan la simulación y simulaciones similares. E) Construcción de la simulación.

La construcción propuesta utiliza una característica del programa de geometría dinámica Cabri, el cual ofrece la posibilidad de animar un número. De esta manera, si se escribe un número cualquiera utilizando Edición Numérica (Numerical Edit) y luego se le anima, éste comenzará a aumentar o a disminuir su valor. Teniendo en cuenta que además podemos efectuar cálculos utilizando este número y transferir esas medidas a objetos geométricos de la pantalla, podemos hacer la simulación del movimiento de tres puntos que representan el movimiento de los aviones.

e) La actividad que se desarrolla desarrolla con el avión avión C se puede usar para introducir el estudio de la función cuadrática Su desarrollo se realizará de manera similar al realizado en el análisis del movimiento del avión A. A. Debe tener presente que el archivo en el que se guardan los datos, está ocupado con los datos ante- La simulación consiste en definir un número t riores así que debe borrarse el archivo para que representará el tiempo en horas, y con base registrar allí los nuevos datos. en él se calcularán las distancias recorridas por 43


cada avión. Estas distancias son: para el avión A, A, t *400; *400; para el avión B avión B,, t *750 *750 y para el avión 2 C , 0.5*t 0.5*t . Sin embargo, como tenemos una restricción de tamaño en la pantalla, y teniendo en cuenta que las medidas se hacen en centímetros, debemos hacer un ajuste de escalas para representar las distancias. Consideremos por ejemplo la equivalencia de 2cm con 1000km. Esto quiere decir que 1km equivale a 0,002cm. De esta manera las ecuaciones para calcular las distancias de cada avión, se convierten respectivamente en: t *0.8, *0.8, t *1.5 *1.5 y 0.5*t 0.5* t 2. Para construir la simulación se pueden seguir los siguientes pasos: 1. Con la herramienta Edición Numérica, escriba el número 0.0 (la cifra decimal determina la rapidez de variación del número). 2. Con la herramienta Calcular, obtenga el número que representa la distancia recorrida por el avión A avión A,, es decir t decir t *0.8. *0.8. 3. Use el mismo procedimiento procedimiento para las las distancias recorridas por el avión B avión B(( t *1.5) *1.5) y por el 2 avión C (0.5* C (0.5*t t ) 4. Construya la ruta de los aviones: aviones: dibuje tres semirrectas paralelas (de manera que ocupen la pantalla a lo ancho) 5. Transfiera la distancia calculada de cada uno de los aviones en la semirrecta respectiva. 6. Marque cada cada punto que representa los aviones con las etiquetas correspondientes A, A, B y C . 7. Oculte los resultados resultados obtenidos obtenidos en los puntos 2 y 3. 8. Para que la simulación funcione, anime el el valor de t 44










Para animar el número seleccione Animación Animación (menú F7) y luego haga clic sobre el número. Luego desplace el cursor hacia abajo si quiere que el número aumente, o hacia arriba si quiere que el número disminuya. Para detener la animación oprima ENTER. Un segundo ENTER reanuda la animación. Si desea salir de la animación oprima ESC. Para recomenzar la animación edite el número colocándolo en 0.00 y luego aplíquele animación. A los estudiantes se les entregará el archivo con la simulación considerando el tiempo t = 0.0 y a partir de la exploración y la mani pulación de los objetos se desarrollarán los diferentes momentos.

5.4.3

La función seno y su gráfica.

Fig 15. Simulación del d el Movimiento de los Aviones

Profesor:

Alcides Fernández Guerrero

Nota: Es importante dominar el procedimiento de animación de un número; de lo contrario Institución puede dañarse la construcción y detener el desa- Educativa: Colegio Nacional Loperrollo de la actividad. Por lo tanto debe tenerse rena de Valledupar Cesar. en cuenta lo siguiente: Grado: Décimo Asesoría y  El número puede editarse de dos maneras: acompañamiento: Álvaro Solano Solano, haciendo doble clic sobre él, o seleccioProf. Univ. Popular del nando Edición Numérica y luego clic sobre Cesar. el número. Al editar el número usted puede cambiarlo, añadirle o eliminarle cifras deci- I. Guía para los estudiantes males. Establecer e interpretar en forma clara y precisa  El número animado variará a una velocidad la relación que existe entre el ángulo que se constante en las unidades, decenas, décimas, encuentra en posición normal y el cociente de centésimas, etc. dependiendo de dónde esté el la longitud del lado opuesto al ángulo del triáncursor de edición. Si el número está variando gulo rectángulo correspondiente y su hipoteen unidades y desea que varíe en centésimas, nusa (radio (radio de la circunferencia). circunferencia). Se trabajará edítelo y luego oprima ♦y mueva el cursor con la simulación propuesta en la calculadora hasta las centésimas. TI92 plus. 45


c) Detenga en cualquier cualquier momento momento el punto P punto P en en cada cuadrante y observe los valores de la ordenada.

A) Actividades.

Primera parte

En la simulación que se presenta en la calcula- d) Calcule el cociente entre la ordenada y la dora, el punto P se P se mueve libremente sobre la longitud del radio. Anime otra vez el punto P punto P,, circunferencia. observe y escriba en su cuaderno el comportamiento del cociente. e) Duplique el radio de la circunferencia circunferencia y detenga el punto P punto P en en cada cuadrante 1. ¿Qué relación hay entre estas razones obtenidas y las del inciso anterior? 2. Haga un bosquejo de la gráfica que relaciona el cociente con la amplitud del ángulo. Segunda parte

Fig. 16

Animar el punto P punto P yy registrar datos.

a) Mueva el punto P sobre la circunferencia. Observe y escriba en su cuaderno cuadern o lo que pasa a) Agrupe datos para una circunferencia de con el ángulo t y t y el segmento (dirigido) QP. QP. radio unidad y deje que el punto P de una Describa las relaciones relaciones que encuentra en los vuelta completa. casos que usted crea más representativos. representativos. b) Abra el archivo Sysdata, cambie el nombre b) Si x Si x representa la magnitud del ángulo t y del archivo por Sysdata1 y pídale a la calcu s la magnitud del segmento QP , haga un ladora hacer la gráfica. bosquejo en su cuaderno de lo que usted cree que puede ser la gráfica que representa la c) Repita los pasos anteriores para una circunrelación entre s entre s y t . ferencia de radio 2. c) Pida a la calculadora que presente las coordenadas del punto P . Anime el punto P , observe y escriba lo que observa en relación con: 



1. Abra el archivo Sysdata y compare los datos con los del archivo anterior 2. ¿Cómo son las gráficas?

Las coordenadas del punto P en los 4 cuadrantes y sus signos.

3. Analice el comportamiento comportamiento de la gráfica gráfica en cada cuadrante.

Valor de la ordenada en las distintas posiciones del punto P .

4. ¿Observe la tabla y la gráfica y determine en ambos casos cual es el mayor 46


valor de la ordenada y el menor valor de la ordenada?

aconsejable que desarrolle previamente toda la actividad y dimensione su potencial, para que pueda hacer adaptaciones, cambios y extensiones de la misma, teniendo en cuenta las características de sus estudiantes y lo que quiere desarrollar en ellos.

B) Conclusiones

Escriba un reporte completo en el que compara los resultados obtenidos en la primera parte de la actividad y en la segunda. No olvide incluir tanto los bosquejos que propuso inicialmente como las gráficas producidas por la calculadora. Presente una tabla representativa con valores de la amplitud del ángulo y los valores correspondientes de la ordenada de P para P para una circunferencia de radio 1.

B) Análisis de datos y gráficas

En esta parte es importante socializar los resultados obtenidos por cada uno de los equipos de estudiantes mediante la presentación al grupo completo de estudiantes de las gráficas y expresiones algebraicas producidas.

C) Actividades complementarias

C) Conclusiones

Repetir todo el estudio anterior con la abscisa del punto P punto P en en lugar de la ordenada. Haga una comparación de los dos casos estableciendo las diferencias y las semejanzas.

Algo que es muy ilustrativo es el comparar los resultados obtenidos en el estudio y los que se esperaban inicialmente. Se puede pedir a los estudiantes que vayan registrando sus conjeturas con respecto a la forma de las gráficas, expresiones algebraicas algebraicas y al comportamiento de las tablas, para poder hacer las comparaciones en el informe.

II. Guía para los profesores profesores A) Actividades. 



Se presenta un archivo construido en Cabri, el cual debe ser elaborado previamente por el profesor y grabado en las calculadoras de los estudiantes. En dicho archivo está construida la simulación del movimiento de un punto P sobre una circunferencia. Se pretende que a través de la observación, la exploración y la sistematización de los resultados, los estudiantes modelen las situaciones de variación cambio presentes en la simulación y expresen el modelo en palabras y simbólicamente, representándolo en forma tabular, gráfica y mediante expresiones algebraicas.

En la parte de conclusiones es donde se propone el modelo matemático definitivo para describir el comportamiento comportamiento de de las magnitudes magnitudes involuinvolucradas en el movimiento. Para los estudiantes más avanzados se puede recurrir a las herramientas de regresión que provee la calculadora TI92. El profesor puede preguntar acerca de la relación existente entre otras magnitudes involucradas y las que se estudiaron en la actividad. D) Actividades complementarias

Se puede pedir a los estudiantes diseñar situaciones similares a la planteada, por ejemplo, cambiando la circunferencia por un polígono Es importante que el profesor esté familiari- (triángulo, cuadrado, etc.), construir las simuzado tanto con el manejo técnico de la calcu- laciones, obtener las conclusiones corresponladora requerido para la actividad, como con dientes y hacer las comparaciones entre las el desarrollo de la misma. Por tal razón es diferentes situaciones. 47


E) Construcción de la simulación.

I. Guía para los estudiantes estudiantes

Para construir la simulación se pueden seguir Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia los siguientes pasos: arriba con con una velocidad velocidad inicial en las proximidades de la tierra. Debemos establecer la rela1. Abrir un nuevo archivo de Cabri en la calcu- ción entre las distintas velocidades velocidades que adquiere ladora y nombrarlo Fseno. el cuerpo y el tiempo empleado para adquirir cada una de ellas, lo mismo que la relación 2. Pedir al programa que muestre los ejes. entre el desplazamiento del objeto y el tiempo transcurrido. Modelaremos las situaciones situaciones de de 3. Con centro en el origen de coordenadas trazar cambio presentadas y hallaremos una expreuna circunferencia de radio arbitrario. sión algebraica que relaciona estas variables. Usaremos para esto los diferentes sistemas de 4. Representar un punto P sobre la circunfe- representación que ofrece la TI-92 Plus. La rencia. situación se presenta en una simulación diseñada para que podamos observar, conjeturar, 5. Trazar una recta perpendicular al eje x que tomar datos, graficar etc. pasa por el punto P punto P yy llamar Q llamar Q su intersección con el eje x. eje x. A) Actividades. 6. Nombrar O Nombrar O el origen de coordenadas y trazar Primera parte el segmento OP . a) Anime el número que representa representa el tiempo.

7. Trazar el vector QP vector QP . 8. Ocultar los ejes de coordenadas y la recta perpendicular perpendicular al eje x. eje x.

b) Observe la variación del movimiento del objeto a medida que transcurre el tiempo y describa lo sucedido.

9. Transferir el archivo Fseno a las calculadoras de los estudiantes.

c) ¿Cómo cree que varía la velocidad al transcurrir el tiempo en el movimiento de subida y de bajada?

5.4.4

Estudio de la simulación del lanzad) ¿Cómo cree que varía la distancia desde miento de un cuerpo el punto de lanzamiento al transcurrir el tiempo? Profesores: Luis Ortiz Padilla y Pedro Juan Torres Flórez e) ¿Qué tipo de grafica se producirá al relaInstitución cionar la variable velocidad y la variable Educativa: Colegio Técnico la Espetiempo? ranza Valledupar Cesar. Grado: Noveno f) ¿Qué tipo de grafica se producirá al relaAsesoría y cionar la variable distancia y la variable Acompañamiento: Álvaro Solano Solano, Prof. tiempo? Univ. Popular del Cesar. 48


Segunda parte

e) ¿Qué tipo de función representa representa la expresión algebraica obtenida?

a) Registre en la siguiente tabla las velocidades y los desplazamientos del objeto para cada uno de los intervalos de tiempo que se indican en la tabla: Velocidad en Tiempo en metros por segundos segundo 0.000 7.5 0.111 0.222 0.333 0.444 0.555 0.666 0.765 0.888 0.999 1.111 1.222 1.333 1.531

f) ¿Qué representan cada uno de los términos de la ecuación? g) Elabore la grafica en el el plano v t . h) Verifique y constate que tipo de gráfica representa la velocidad contra el tiempo, agrupando datos y almacenándolos.

Distancia en metros 0.000

i) Compara esta gráfica con la que obtuviste anteriormente (v (v t ). ). j) Calcule la regresión que mejor modela la situación problema con ayuda de la TI-92+ y compara con la obtenida en la pregunta 2 b. k) ¿Qué significado tienen los términos que aparecen en esta regresión? l) Observación: Observación: con este este mismo procedimiento se puede abordar la función cuadrática, pero tomando desplazamiento desplazamiento - tiempo. II. Guía para los profesores profesores

b) Calcule los los cocientes cocientes (V 2 – V 1)/ (t (t 2 – t 1) Intervalos 0.000-0.111 0.111-0.222 0.333-0.444 0.444-0.555 0.555-0.666 0.666-0.765

A) Actividades.

(V 2 – V 1)/ (t 2 – t 1)

c) ¿Son significativamente significativamente cocientes?

iguales



estos

d) Escriba una ecuación ecuación que relacione las varia bles V y V y t .

49

El poder utilizar los diferentes sistemas de representación: geométrico, tabular, grafico, algebraico y la misma ejecución de la simulación construida, ayudará a los estudiantes a interpretar la variación que se evidencia entre las magnitudes presentes en la simulación. Se busca que los estudiantes a través de la manipulación, observación, exploración y análisis de resultados de la situación planteada, modelen las situaciones de cambios presentes en esta y logren establecer relaciones entre los elementos que intervienen, elaborando un modelo simbólico cuya estructura esté basada en tabulaciones, graficas y expresiones algebraicas.




Es importante que el profesor esté familiarizado tanto con el manejo técnico de la calculadora requerido para la actividad, como con el desarrollo de la misma. Por tal razón es aconsejable que desarrolle previamente toda la actividad y dimensione su potencial, para que pueda hacer adaptaciones, cambios y extensiones de la misma, teniendo en cuenta las características de sus estudiantes y lo que quiere desarrollar en ellos.

esperaban inicialmente. Se puede pedir a los estudiantes que vayan registrando sus conjeturas con respecto a la forma de las gráficas, expresiones expresiones algebraicas y al comportamiento de las tablas, para poder hacer las comparaciones en el informe. D) Actividades complementarias.

Dentro de los problemas se pueden incluir los que planteen los estudiantes. Frecuentemente se presentan problemas muy interesantes cuya B) Análisis de datos y gráficas. solución pone a prueba lo aprendido en la actia) En la segunda parte, donde se toman medidas, vidad. A los estudiantes más avanzados se les puede desarrollarse con distintos matices puede pedir que construyan la simulación y dependiendo del grado en el que se desa- simulaciones similares. rrolle. Por ejemplo, puede puede aprovecharse para analizar la información obtenida en la tabla E) Construcción de la simulación. en términos de la variación de las distancias a medida que varía el tiempo, para introducir La construcción propuesta se logra a través del procedimiento: el significado de pendiente de una recta como siguiente procedimiento: cociente entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, o puede aprovecharse para 1. Ingrese a la edición Numérica- Enter y se edita 0.000 (tiempo) reforzar el concepto de velocidad media. b) Antes de registrar los datos se sugiere re- 2. Se hace otra edición Numérica : 7.5 (Velocidad inicial) editar el valor numérico del tiempo t y t y asigSe construye un punto A que representará el narle 0.00. De esta manera los intervalos intervalos cuerpo. de tiempo que se consideran serán más pequeños y facilitará el análisis posterior de semirrecta que tenga como la velocidad media, aunque la simulación del 3. Se construye una semirrecta punto inicial A, en forma vertical hacia movimiento se haga más lenta. arriba. c) Una variación a la estrategia aquí presentada presentada consiste en hacer primero primero la construcción de 4. Para introducir la ecuación del movimiento del cuerpo A (movimiento rectilíneo uniforla gráfica directamente en Cabri y a partir de memente acelerado): allí orientar la reflexión. Es decir se puede aprovechar para hacer un análisis eminentea) Calcular mente geométrico. b) Introduzca la ecuación ecuación 2 Vi xt – 9.8xt /2 de la siguiente forma: 7.5x0.000-(9.8x0.000 2)/2, Enter; esto representará la distancia “Y” recorrida

C) Conclusiones.

Algo que es muy ilustrativo es el comparar los resultados obtenidos en el estudio y los que se 50


por el punto (cuerpo) . Observación: rectas representará la dependencia del radio de Seleccione las variables Vi y t con el la circunferencia y su longitud. Esconda las dos mouse, no las escriba directamente. últimas rectas. Al marcar la traza al punto D y desplazar B sobre la recta AB observaremos el c) Introduzca la ecuación Vi – gt, de la cambio de posición de D. siguiente forma: 7.5 – 9.8x0.000, enter (esto representará la velocidad del cuerpo A en cada instante) d) Luego Escape(Esc) Escape(Esc) 5. Transfiera la medida R: 0.00 a la semirrecta. 6. a) Colóquele las letras y sig signos nos que aparecen aparecen en la gráfica de la guía b) oculte la edición numérica 7.5 c) coloque la semirrecta punteada. 7. Anime el tiempo 8. Para detener la animación animación utilice Enter 9. Para volver el tiempo a 0.000 coloque el puntero sobre el número que representa el tiempo, oprima 2 veces enter, borre cada digito con “Del” y escriba de nuevo 0.000. Fig. 17

5.4.5

Simulaciones en Cabri para diseñar 5.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo otras actividades

5.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia. Trace una semirrecta vertical de origen A hacia arriba. Trace una recta perpendicular a la semirrecta que pase por A. Tome un punto B sobre la recta y trace una circunferencia con centro en B y radio BA. Mida la longitud de la circunferencia y transfiera la medida sobre la semirrecta. Se obtiene un punto C sobre la semirrecta (AC representa la longitud de la circunferencia) Trace una recta perpendicular a AB que pasa por B y una recta perpendicular a AC que pasa por C. El punto D de intersección de estas dos últimas

Trace un segmento horizontal AB. Tome un punto C sobre el segmento. Trace dos rectas perpendiculares (horizontal y vertical). Con el compás traslade la longitud de AC sobre la recta horizontal a partir del punto de intersección. Determine el punto de intersección de la circunferencia circunferencia con el el eje horizontal. horizontal. Oculte la circunferencia. Haga lo mismo con la longitud longit ud de CB pero sobre la recta vertical. Usando perpendiculares construya un rectángulo con la información transferida a las rectas vertical y horizontal. (Recuerde 51


que debe usar la opción polígono y ocultar las 5.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del rectas). Al mover el punto C en el segmento AB rectángulo inscrito en una circunfese observa la variación del ancho y la altura de rencia y su área un rectángulo con perímetro fijo. Trace una circunferencia y construya su diámetro (trace una recta que pase por el centro de la circunferencia y construya el segmento que pasa por los puntos de intersección. Oculte la recta). Ubique un punto sobre la circunferencia y llámelo A. Una los vértices del segmento con este punto y trace las paralelas respectivas para construir el rectángulo. Construya el rectángulo (con la opción polígono) sobre estos vértices. Oculte las rectas. Varíe la posición del punto y relacione la longitud de uno de los lados del rectángulo con el área del mismo.

Fig. 18

5.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área de un rectángulo con perímetro fijo. En la construcción anterior mida los segmentos AC y CB y calcule el producto con la calculadora. Transfiera el resultado a la recta vertical desde el punto de intersección. Construya el punto que representa la variación del lado horizontal del rectángulo y de su área con rectas perpendiculares. Al mover C sobre AB se observa la variación del área con respecto al lado horizontal. 5.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo

Fig. 19

5.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio inscrito en una semicircunferencia y la altura del trapecio

Haga lo mismo que en la construcción 1 pero en lugar de transferir la longitud de la circunfe- Trace una circunferencia de centro O y cualquier radio OB. Coloque un punto A sobre la rencia, transfiera el área. 52


5.4.6

circunferencia. Trace la paralela al radio que pase por el punto A. Determine el otro punto de corte de dicha paralela con la circunferencia y llámelo C. Trace el polígono determinado por estos cuatro puntos. Para trazar la altura de éste trapecio, trace la perpendicular a OB por A y construya el segmento que une a A con el pie de la perpendicular. Oculte la recta.

La derivada como razón de cambio 5

Profesor: Jorge Enrique Fiallo Leal Institución Educativa: Universidad Industrial de Santander Grado: 11 y Cálculo a Nivel Universitario. I. Guía para los estudiantes.

Calcule la medida del ángulo AOB y la longitud de la altura del trapecio. Mueva el punto A y analice la variación de la medida del ángulo y la longitud de la altura.

Objetivos - Utilizar la simulación simulación en Cabri como un modelo de representación visual que permita comprender el concepto de derivada como razón de cambio. - Utilizar otras otras aplicaciones aplicaciones de la TI-92 Plus Plus para el análisis y la comprensión de los conceptos del problema planteado El problema Una alberca de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de profundidad en un extremo extrem o y 0.5 mts en el otro; se está llenando de agua como se observa en la siguiente simulación. (Por convención en la calculadora se ha tomado 1cm por cada metro y una unidad de tiempo la consideramos como un minuto). A) Actividades

Abra el archivo ALBERCA y responda las siguientes preguntas:

Fig. 20

5

Actividad resultado de un proceso de construcción de la simulación del problema de razones afines “Una alberca de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de profundidad en un extremo y 0.5 mts en el otro; se está llenando de agua con una rapidez constante de 3.3 mts3 por minuto”, minuto”, presentado en el libro de Cálculo con Geometría Analítica de Edwin. J. Purcell y adaptado por el autor de esta propuesta, con el objetivo de tener una ayuda de visualización en este tipo de problemas, que generalmente involucran dos o más variables con la variable tiempo de una manera indirecta y que no necesariamente necesitan ser expresadas cada una de ellas en función del tiempo

53


1. Asegúrese que el tiempo está es 0.0

B) Análisis de datos y gráficas.

2. Anime el tiempo durante 17 minutos (recuerde que cada unidad del número que representa el tiempo lo consideramos como un minuto) y describa lo que observa.

8. Represente gráficamente gráficamente esta función. ¿Cuál ¿Cuál es el dominio y el rango?

a) ¿Qué relación existe entre la altura y el largo de la alberca?

13.¿Aproximadamente cuál es la razón de cambio de la altura con respecto al tiempo alrededor de 1 minuto?

9. Exprese algebraicamente el volumen en función de la altura. Represente gráficamente esta función y determine su dominio 3. ¿Cuáles son las magnitudes variables en y rango. el problema? ¿Estas magnitudes siempre varían hasta llenarse la alberca? 10.Exprese algebraicamente el volumen en función del tiempo. Represente gráfica4. Halle el valor de la altura (h) ( h),, el largo (l) ( l) y mente esta función y determine su dominio el volumen (V ( V ) cuando el tiempo es igual a: y rango. 1min, 5min, 10min, 12min, 15min, 17min, 18min. 11.Cambie el tiempo a 0.90 y almacene los datos del tiempo y la altura hasta un tiempo 5. Utilizando Utilizand o la opción agrupar datos consigual a 1.10. truya una tabla con los valores de t , h, l y V en las columnas C1, C2, C3, C4 respectiva12.Para los datos anteriores calcule mente para 0 ≤ t < t < 10

b) ¿Esta relación se mantiene durante todo el tiempo en que dura llenándose la 14.Para ser más exacto tome más datos alrededor de t = 1 de la siguiente manera: alberca? 1. Borre los datos tomados anteriormente en el archivo sysdata. 2. Cambie el tiempo a 0.990 3. Seleccione el tiempo, la altura, el volumen y registre los datos en sysdata, hasta que el tiempo sea 1.010. ( = 0.001)

c) ¿Cuál es el valor de h, l , y V en V en la tabla cuando t = t = 1, 2, 5, 7, 10 minutos? d) ¿Qué sucede con el largo y el volumen cuando t ≥ 10?, ¿Cómo interpreta este hecho?

6. En la calculadora defina (F2-F1) la relación entre el largo y la altura y cópiela 15.Halle la razón de cambio entre la altura y el tiempo para = 0.001 de la siguiente en plot 1. Visualice los datos en el editor manera: gráfico. a) Ubíquese en C5 y escriba C5= shift(C2,1). Compare las columnas C5 y C2. ¿Qué observa?

7. Exprese algebraicamente algebraicament e el largo en función de la altura. Según esta expresión, ¿Cuál es el largo cuando h = 1.6? 54


b) Ubíquese en C6 y escriba C5-C2 c) Halle la razón entre la variación de la altura y la variación del tiempo 0.001 ubicándose en C7 y escribiendo C7= C6 ÷ 0.001 d) ¿Aproximadamente a qué valor tiende esta razón alrededor de 1? 16.Repita el anterior proceso variando el tiempo desd desdee 0.9 0.999 9900 has hasta ta 1.0 1.001 0100 ( = 0.0 0.000 001) 1) a) ¿Aproximadamente a qué valor tiende la razón de cambio entre la altura y el tiempo (rapidez) alrededor de t=1?

se está llenando de agua con una rapidez constante de 3.3 mts 3 por minuto”, minuto”, presentado en el libro de Cálculo con Geometría Analítica de Edwin. J. Purcell y adaptado por el autor de esta propuesta, con el objetivo de tener una ayuda de visualización en este tipo de problemas, que generalmente involucran dos o más variables con la variable tiempo de una manera indirecta y que no necesariamente necesitan ser expresadas cada una de ellas en función del tiempo; éste hecho crea a veces confusión en el estudiante y terminan por aceptar que en este tipo de problemas lo que se debe hacer es buscar bu scar una expresión algebraica que relacione las variables del problema para luego derivar (sin saber por qué) en función del tiempo.

b) ¿Cuál es la razón de cambio entre la Para llegar a esta construcción fue necesario altura y el tiempo para t=1 cuando primero iniciar con algunos otros problemas tiende a cero? más sencillos de simular, como por ejemplo, determinar la rapidez en un tiempo determinado con que se aleja un globo que sube verticalC) Conclusiones mente de un observador parado a una distancia 17.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua dada, y otros planteados en los libros clásicos cuando tiene 1mt de altura en el extremo de Cálculo I, en estos problemas se entendió más hondo? (razón de cambio de la altura la relación directa que existe entre las variacon respecto al tiempo) bles involucradas en el problema y la variable tiempo, puesto que para la construcción de la 18.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua simulación es necesario determinar primero cuando tiene 1.7mt de altura en el extremo esta variación, por ejemplo, si queremos que la más hondo? rapidez con que suba el globo sea de 1 cm (que podrían ser 10 mts) cada 10 segundos (o cual19.¿Con qué rapidez aumenta el volumen quier otra unidad de tiempo), debemos partir cuando la altura es de 1 mts, 1.7 mts?. de la edición de un número que represente el tiempo y realizar el cálculo del cociente entre la variable tiempo y 10, para luego transferir este II. Guía para el profesor resultado a una semirrecta vertical situada a la A) Orientaciones generales distancia dada del observador. La presente actividad es el resultado de un proceso de construcción de la simulación del problema de razones afines “Una alberca de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de profundidad en un extremo y 0.5 mts en el otro;

Estas construcciones también permitieron ver la relación existente entre la derivación y la integración, puesto que para realizar la construcción debemos entender que si se quiere que la rapidez rapi dez sea constante, entonces la ecuación inicial que 55


involucra la variable con el tiempo debe ser el de las aplicaciones de la calculadora que se producto de esta constante por el tiempo, o en involucran en la solución del problema. caso que se quiera que la rapidez no sea constante se debe partir de otras relaciones alge- 3. Por tratarse de un problema que algebrai braicas como lo veremos en la construcción construc ción del camente tendría que plantearse para cual problema que nos ocupa. La belleza de esta quier instante como una función definida por simulación radica en el esfuerzo que fue neceintervalos, la calculadora sólo toma datos de sario para llegar a representar dinámicamente acuerdo al intervalo que se esté trabajando lo que se quería a través de una construcción como lo explicaremos más adelante, por lo geométrica teniendo en cuanta los diferentes tanto la toma de datos debe realizarse de aportes, preguntas, inquietudes y sugerencias acuerdo al intervalo y para otro intervalo se que se recibieron en cada una de las oportunideben eliminar los datos tomados anteriordades que se fue presentando alguna versión mente. de la construcción y de las preguntas del taller que buscan llevar al estudiante a la compren- 4. Por lo extensa y cuidadosa que es la construcsión del concepto de derivada como razón de ción de la simulación se recomienda que el cambio. docente la lleve ya guardada en un archivo y no pida que los estudiantes la realicen, auque El taller contribuirá a procesos más generales sería conveniente y formativo enseñarles la tales, como: simulación de otros problemas más sencillos ya que estos le permiten comprender mejor • La comprensión del concepto de derivada las relaciones existentes entre las variables como razón de cambio, los proceso de del problema y la variable tiempo. análisis, de generalización y de formalización que se puede lograr con el uso de las B) Actividades nuevas tecnologías. 5. Todo el taller consta de dos partes (la construcción para el profesor y el taller para • Iniciar o continuar proceso de transformalos estudiantes), En el taller para los estución de las prácticas educativas con miras a diantes se han agregado otras preguntas y el lograr una mayor comprensión de las mateestudiante no sabe la rapidez del volumen, máticas por parte de sus estudiantes. la rapidez de la altura ni la rapidez del Antes de iniciar con el taller planteado y con largo de la piscina (estos cálculos los la construcción de la simulación, es bueno encuentra con la ayuda de la calculadora realizar los siguientes comentarios para la mejor y del profesor), también debe encontrar comprensión del profesor que lleve a su aula la relación entre el largo y el alto de la esta propuesta: piscina, realizar graficas, etc.; si el docente lo considera necesario se pueden suprimir 1. Es necesario que el profesor domine en gran algunas de las preguntas y dejar sólo las medida el programa Cabri de la calculadora, correspondientes al estudio de la derivada como razón de cambio. para la construcción de la simulación.

6. Se recomienda entregar el archivo con la simulación asegurándose el docente que

2. Es fundamental que tanto el profesor como el estudiante, tengan un excelente dominio 56


número que representa el tiempo esté en 0.0

•

C) Construcción de la simulación

Construcción del sólido •

Edite los números 4, 2, 1.5, 1.1 y 1.0 (Medidas de la alberca y el tiempo)

•

Ubique el número 1.0 al lado inferior derecho de la pantalla y llámelo tiempo: Comentario al lado izquierdo del número.

•

Represente una semirrecta vertical hacia arriba en el lado izquierdo de la pantalla.

•

Transfiera sobre la semirrecta las medidas 2 y 1.5.

Trace el cuadrilátero con vértices en el inicio de la primera semirrecta vertical, el punto que representa la longitud 2, el que representa la longitud 4 y el punto de intersección de las dos perpendiculares (figura 10).

Fig. 21

•

Trace un segmento desde donde inicia la semirrecta hasta el punto que representa la longitud de 1.5 y otro segmento desde este punto hasta el punto que representa la longitud 2.

•

Trace una perpendicular a la semirrecta o al segmento desde este último punto.

•

•

Trace una semirrecta desde el punto que representa la longitud 2 sobre la recta perpendicular y oculte el punto que queda sobre la recta y la semirrecta.

Trace un vector desde el inicio de la anterior semirrecta hasta el punto que representa la longitud 1.1.

•

Traslade el cuadrilátero en la dirección del vector y oculte la semirrecta y el vector.

•

Una con segmentos cada vértice del polígono y su respectiva imagen.

•

Represente a trazos el polígono imagen y el segmento que une el vértice inferior izquierdo izqui erdo con su imagen.

•

En el polígono imagen trace un segmento desde el vértice superior izquierdo hasta el superior derecho y otro desde este punto hasta el vértice inferior derecho.

•

•

•

•

Transfiera el número 4 a la semirrecta horizontal y trace una perpendicular a ésta desde el punto transferido. Trace una perpendicular desde el punto superior del segmento de longitud 1.5 a este segmento o a la semirrecta inicial. Halle el punto de intersección entre estas dos perpendiculares perpendiculares y ocúltelas con la semirrecta horizontal. 57

Trace una semirrecta desde el vértice superior izquierdo con una inclinación respecto a la horizontal de aproximadamente 45 grados y transfiera sobre ella el número 1.1.


Fig. 22

Simulando el llenado con agua Para • Calcule la raíz cuadrada del producto de 0.225 por el número 1.0 (tiempo) •

•

NOTA: Este cálculo resulta del despeje de la altura en función del tiempo de la siguiente manera: Sabemos que el volumen total del sólido que se forma cuando h varía entre 0 y 1.5 es 3.3 =(1.5*4*1.1/2), si queremos que la variación del volumen con respecto al tiempo sea constante y empiece en 0 entonces el volumen en función del tiempo tendrá la ecuación de una línea recta que pasa por (0,0) y tiene pendiente constante. En este caso queremos que la variación sea 0.33 unidades cúbicas por cada unidad de tiempo, entonces V=0.33t , entonces, 0.33t= l*h*p/2 profundidad (p) = 1.1

Marque un punto en algún lado de la pantalla y transfiera el anterior resultado a este punto, luego con la opción compás, transfiera esta medida al segmento de longitud longit ud 1.5 y halle la intersección entre este segmento y la circunferencia formada.

•

Trace una perpendicular al segmento por este punto y halle la intersección entre la perpendicular y el otro lado del cuadrilátero.

•

Trace paralelas al segmento que representa represent a el ancho de la alberca (medida 1.1) que pasen por los dos últimos puntos.

•

Halle las intersecciones de estas rectas con los lados del polígono imagen.

•

Trace el cuadrilátero que tiene como vértices estos últimos cuatro puntos.

•

Oculte las rectas, la circunferencia y los puntos transferidos.

largo(l) = varía en función de h, entonces,

Fig. 23

Para

, por lo

•

tanto, •

•

0.3 t = t =

•

Trace una semirrecta hacia arriba, desde el vértice inferior derecho hasta el vértice superior derecho.

•

Cambie el número que representa el tiempo a 12 (después de t =10 sólo varía h).

h2 entonces h =

entonces

58


•

Calcule la diferencia entre el producto de 0.075 por por 12 (tiempo) (tiempo) y 0.75.

•

Halle la intersección entre la perpendicular y el segmento del lado izquierdo del polígono de longitud 0.5.

•

Por este punto trace una paralela al segmento de longitud 1.1 y otra paralela por el punto transferido a la semirrecta vertical.

•

Halle la intersección de estas paralelas y el polígono imagen. Trace el polígono que tiene como vértices estos últimos cuatro puntos. Oculte las rectas.

NOTA 1: Para el volumen se calcula con la ecuación: V=3.3+l*p*h 1 l=4 , p=1.1 y h 1=h-1.5 V=3.3+4(1.1)(h-1.5) V=4.4h-3.3 Como V=0.33t (volumen en función del tiempo) 0.33t=4.4h-3.3 0.33t=4.4h-3.3 entonces entonces h=0.33t+3.3/4.4 h=0.33t+3.3/4.4 luego, h 

•

3 3 t   h  0.075t  0.75 40 4

Fig. 25

Calculando el volumen Para Fig.24

•

Cambie el número que representa el tiempo a 1.0.

•

Calcule la distancia entre los dos puntos que representan la profundidad de la alberca cuando esta es menor que 1.5 y llámelo ( h=).

•

Calcule la longitud entre los dos puntos del polígono que representan el largo de la alberca y llámelo (l=). (Asegúrese que sean los vértices del polígono).

•

Calcule el volumen para l menor que 1.5 como el cociente entre el producto de 1.1 por h=0.47cm por l por l =1.26cm =1.26cm y 2.

NOTA 2: Por construcción para que se visualice el nuevo polígono que va a representar el agua, puesto que el anterior desaparece después de h=1.5, tomamos la diferencia de h y 1.5 para transferir esta medida al sólido que se forma después de 1.5, entonces h=0.075t+0.75-1.5 luego: h=0.075t-0.75 •

Transfiera este resultado hasta la última semirrecta y trace una perpendicular a ella por este punto. 59


•

Mueva este resultado al lado derecho y llámelo V=

Fig. 27

Para h >2 Fig. 26

Para •

Cambie el tiempo a 12

•

Calcule la distancia entre los dos puntos que representan la profundidad de la alberca cuando esta es mayor que 1.5 y llámelo (h=).

•

•

Calcule la longitud entre los dos puntos del polígono que representan el largo de la alberca y llámelo (l ( l =). =). (Asegúrese que sean los vértices del polígono). Calcule el volumen (V ( V =) =) para h mayor que 1.5 como la suma de 3.3 y el producto de 1.1 por 0.15 por l por l = = 4.00cm.

•

Llame este resultado V= y muévalo de tal manera que la V= quede sobre la otra V= del cálculo anterior.

•

Oculte los números R:0.15, alto 2, largo 1.5 y R:1.64 y mueva los números editados inicialmente 4 y 1.1 al lado correspondiente.

•

Cambie el número que representa el tiempo a 25.

•

Muestre (si están ocultas) la primera semirrecta vertical del lado izquierdo y la recta perpendicular perpendicular a la última semirrecta del lado derecho.

•

Trace una semirrecta desde el extremo superior izquierdo del polígono inicial sobre la semirrecta.

•

Halle la intersección entre esta semirrecta y la perpendicular.

•

Halle la distancia entre el vértice superior izquierdo del polígono y este último punto.

•

Calcule el nuevo volumen como la suma entre 5.5 y la diferencia de este último resultado con él mismo: 5.5 + (0.63cm) - (0.63cm).

•

Llame este resultado V= y muévalo de tal manera que la V= quede sobre la otra V= del cálculo anterior. NOTA: Como para t>50/3 el volumen es fijo entonces necesitamos que este permanezca así para ello la última construcción y el último cálculo.

60


61

•

Oculte los objetos que considere necesarios para visualizar mejor la simulación.

•

Engrose las líneas del polígono inicial (cara frontal) los segmentos de la cara superior y de la lateral derecha.

•

Cambie el número que representa el tiempo a 0.0, anime hasta 25 o más y verifique que la simulación está correcta (se ve lo que se quiere representar).

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