I.
Indice………………………………………………..……………………….1
ón………………………………………………………………2 II. Introducci ón………………………………………………………………2
III. Marco Teórico……………………………………………………………4 IV. Ejercicios………………………………………………………………….13 V.
Conclusiones………………..…………………………………………..20
MECANICA DE FLUIDOS I
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Además de las pérdidas de carga continuas o por rozamiento, vimos que en las conducciones se produce otro tipo de pérdidas debido a fenómenos de turbulencia que se originan al paso de líquidos por puntos singulares de las tuberías, como cambios de dirección, codos, juntas, derivaciones, etc., y que se conocen como pérdidas de carga accidentales, localizadas o singulares (hL, hs), que sumadas a las pérdidas de carga continuas (hC) dan las pérdidas de carga totales (hT). El flujo de un líquido viscoso causada por fricción provoca la degradación de la energía mecánica en calor. Este deterioro se manifiesta por una variación de presión Δ P (o una variación de nivel de fluido Δ H). ΔH o ΔP se refieren a pérdidas pérdidas de carga.
Pérdidas de carga en línea (también conocidas como pérdidas de carga distribuida) se manifiestan en las porciones rectas de tuberías de sección constante, porciones en las que se supone que el vector de velocidad promedia es constante en magnitud y en dirección. Pérdidas de carga singulares sin gulares son inducidas por los elementos de tubería como grifos, codos, válvulas, reducciones,… en el que la velocidad promedia varía en tamaño y
dirección.
Nota: Las pérdidas de carga, ya sean en línea o únicas, provienen del flujo y desaparecen cuando el rendimiento se cancela. Entonces, se va a usar los coeficientes para caracterizar la relación entre la pérdida de carga de un aparato de valvulería o de una red y el rendimiento de fluido que las atraviesa en régimen constante. La pérdida La pérdida de carga en una tubería o canal , es la pérdida de presión en un fluido debido a la fricción de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las conduce. Las pérdidas pueden ser continuas, a lo largo de conductos regulares, o accidentales o localizadas, debido a circunstancias particulares, como un estrechamiento, un cambio de dirección, la presencia de una válvula, etc. Desde el punto de vista hidráulico, los orificios son perforaciones, absolutamente de forma regular y perímetro cerrado, colocador por debajo de la superficie libre del líquido en depósitos o almacenamientos, tanques o canales. Su clasificación puede realizarse de acuerdo con las condiciones de trabajo, es decir, descargando libremente, ahogados parcialmente o sumergidos o a presión en el interior de una tubería. De la misma manera la clasificación puede realizarse de acuerdo con su forma circular, cuadrada, rectangular, triangular, etc. Según el espesor de la pared, pueden ser de pared delgada delgada o de pared gruesa gruesa (ver figura 1).
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A la corriente líquida que sale del recipiente se la llama vena líquida o chorro. Si el contacto de la vena líquida con la pared, tiene lugar en una línea estaremos en en presencia de un orificio en pared delgada. Si el contacto es en una superficie se tratará de un orificio en pared gruesa. Figura Nº 1
Verificar experimentalmente que se cumplen las condiciones para la aplicación de la ley de Torricelli. Estudiar la Relación entre el tiempo transcurrido y la altura de líquido en un depósito, en el proceso de descarga. Determinar los coeficientes de velocidad, descarga y contracción por un orificio, bajo carga constante. El objetivo fundamental es verificar por vías experimentales, la validez de algunas fórmulas empíricas asociadas al fenómeno hidráulico entregados en la cátedra. Reconocer la instalación, equipos e instrumental. Mediante valores experimentales graficar la variación de la perdida de Carga en una tubería circular respecto del caudal.
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PERDIDA DE CARGA El flujo de un líquido en una tubería viene acompañado de una pérdida de energía, que suele expresarse en términos de energía por unidad de peso de fluido circulante (dimensiones de longitud), denominada habitualmente pérdida habitualmente pérdida de carga. En el caso de tuberías horizontales, la pérdida de carga se manifiesta como una disminución de presión en el sentido del flujo. La pérdida de carga está e stá relacionada con otras variables fluidodinámicas fluid odinámicas según sea el tipo de flujo, laminar o turbulento. Además Además de las pérdidas de carga carga lineales (a lo largo de los conductos), también se producen pérdidas de carga singulares en puntos concretos como codos, ramificaciones, válvulas, etc. Pérdidas lineales. Las pérdidas lineales son debidas a las tensiones cortantes de origen viscoso que aparecen entre el fluido y las paredes de la tubería. Considerando flujo estacionario en un tramo de tubería de sección constante (Figura 1), las pérdidas de carga se pueden obtener por un balance de fuerzas en la l a dirección del flujo:
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Las características de los esfuerzos cortantes son muy distintas en función de que el flujo sea laminar o turbulento. En el caso de flujo laminar, las diferentes capas del fluido discurren ordenadamente, siempre en dirección paralela al eje de la tubería y sin mezclarse, siendo el factor dominante en el intercambio de cantidad de movimiento (esfuerzos cortantes) la viscosidad. En flujo turbulento, en cambio, existe una continua fluctuación tridimensional en la velocidad de las partículas (también en otras magnitudes intensivas, como la presión o la temperatura), que se superpone a las componentes de la velocidad. Este es el fenómeno de la turbulencia, que origina un fuerte intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del fluido, lo que da unas características especiales a este tipo de flujo. El tipo de flujo, laminar o turbulento, depende del valor de la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas, es decir del número de Reynolds Re, cuya expresión se muestra a continuación de forma general y particularizado para tuberías de sección transversal circular:
Cuando Re<2000 el flujo es laminar. Si Re>4000 el el flujo se considera turbulento. turbulento. Entre 2000 < Re < 4000 existe una zona de transición. En régimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de forma analítica en función de la distribución de velocidad en cada sección (que (q ue se puede obtener a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes), Navier-Stokes), y las pérdidas de carga carga lineales hpl se pueden obtener con la llamada ecuación de Hagen-Poiseuille, en donde se tiene una dependencia lineal entre la pérdida de carga y el caudal:
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En régimen turbulento, no es posible resolver analíticamente las ecuaciones de Navier-Stokes. No obstante, experimentalmente se puede comprobar que la dependencia entre los esfuerzos cortantes y la velocidad es aproximadamente cuadrática, lo que lleva a la ecuación de Darcy-Weisbach: D arcy-Weisbach:
Siendo f un parámetro adimensional, denominado coeficiente de fricción o coeficiente de Darcy, que en general es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tubería: f = f (Re, er ). En régimen laminar también es válida la ecuación de Darcy-Weisbach, en donde el coeficiente de fricción depende exclusivamente del número de Reynolds, y se puede obtener su valor:
En régimen turbulento el coeficiente de fricción depende, además de Re, de la rugosidad relativa: e r = e /D; donde e es la rugosidad rugosidad de la tubería, que representa representa la altura promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. Colebrook y White (1939) combinaron diversas expresiones y propusieron una única expresión para el coeficiente de fricción que puede aplicarse en cualquier régimen turbulento:
Esta ecuación tiene el inconveniente de que el coeficiente de fricción no aparece en forma explícita, y debe recurrirse al cálculo numérico (o a un procedimiento iterativo) para su resolución. A partir de ella, Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, en el que se muestra una familia de curvas de iso-rugosidad relativa, con las que se determina el coeficiente de fricción a partir de la intersección de la vertical del número de Reynolds, con la iso-curva correspondiente. Dicho diagrama se muestra en el Anexo I.
Posteriormente otros autores ajustaron los datos experimentales y expresaron el coeficiente de fricción en función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa con una fórmula explícita: MECANICA DE FLUIDOS I
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Para números de Reynolds muy altos (régimen turbulento completamente desarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de la rugosidad relativa (von Karman, 1938):
Para conductos no circulares, es posible utilizar las expresiones deducidas para conductos circulares sustituyendo el diámetro D por el denominado diámetro hidráulico, Dh, que se define de d e la siguiente manera:
Pérdidas singulares Las pérdidas singulares son las producidas por cualquier obstáculo colocado en la tubería que suponga una mayor o menor obstrucción al paso del flujo: entradas y salidas de las tuberías, codos, válvulas, cambios de sección, etc. Normalmente son pequeñas comparadas con las pérdidas lineales, salvo que se trate de válvulas casi completamente cerradas. Para su estimación se suele emplear la siguiente expresión:
Donde hp s es la pérdida de carga en la singularidad, que se considera proporcional a la energía cinética promedio del flujo; la constante de proporcionalidad, , es el denominado coeficiente de pérdidas singulares. Otra forma de cálculo es considerar el efecto de las pérdidas singulares como una longitud adicional de la tubería. Por comparación de las ecuaciones (3) y (8), la longitud equivalente se relaciona con el coeficiente de d e pérdidas singulares mediante: MECANICA DE FLUIDOS I
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Existen nomogramas, como el proporcionado en el anexo II, que permiten estimar las longitudes equivalentes para los casos de elementos singulares más comunes, en función del diámetro de la tubería. En realidad, además del diámetro, la longitud equivalente depende del coeficiente de fricción, pero éste no se suele contemplar en esos nomogramas, por lo que el cálculo es sólo aproximado.
DESCARGA POR ORIFICIOS El término fluido incluye a toda sustancia capaz de fluir, y se aplica tanto a gases como a líquidos, puesto que todos los fluidos obedecen al movimiento en base a las leyes de Newton. Cuando practicamos una abertura en un deposito que contiene un fluido, la velocidad de salida del mismo se incrementa con la profundidad a la cual se realiza el orificio, y en base también al nivel en el que se encuentra el líquido, puesto que la fuerza no equilibrada que afecta al movimiento es debida a la gravedad. Puesto que se destruye la presión de la pared existente en el punto donde se encuentra la abertura y la presión del líquido interior la empuja directamente hacia el orificio, entonces el nivel del líquido desciende una altura h en un tiempo t, luego que ha escapado un cierto volumen de líquido del recipiente. En cuanto a términos energéticos la variación de energía es el mismo, como si la capa superior del líquido hubiera descendido una altura h, por lo que al final del trayecto adquiere una cierta energía cinética, dada por: mgh
1
2
mv
2
Convirtiéndose por lo tanto en: 1
v 2gh 2
En otras palabras, pal abras, la velocidad de d e flujo a cualquier profundidad h es equivalente a la velocidad que se adquiere por la caída libre desde la misma altura. Esta relación fue tratada por Torricelli.
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v
H
Fig. 1
Realizando un análisis del siguiente gráfico podemos apreciar, que si trabajamos con la ecuación de Bernoulli, se puede determinar la velocidad de flujo, así como también el caudal de descarga ideal. v12
De (Fig.1) 2 g
P1
H1
v22 2g
P2
H 2
………… (1)
En la ecuación anterior las l as presiones en 1 y 2 son iguales (P at) y suponiendo que en A la velocidad es despreciable (nula), la ecuación se reduce a: H
v22 2 g
;
Entonces,
v2 2 g h
………… (2)
El caudal que escurre a través del orificio de área A o será:
Qo Ao v2 Ao 2 g h MECANICA DE FLUIDOS I
………………………(3)
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Tanto el área de salida del liquido A0, como la velocidad de salida v2 y el caudal Q0 son valores ideales, ya que en la práctica son menores por diferentes causas, como la contracción de las líneas de corriente, corriente, las pérdidas de energía energía por fricción, etc.
COEFICIENTE DE CONTRACCIÓN Se acostumbra designar por coeficiente de contracción, a la relación relaci ón entre el área de la sección contraída y el área de la sección del orificio: C c
A
A0
……………………(4)
El valor medio practico de Cc es 0,62, teóricamente el valor de Cc se mide como Pi / (Pi + 2), para orificios largos abiertos en paredes delgadas. Tratándose de agua agua y orificios circulares, la sección contraída se encuentra a una distancia de la pared interna del orificio, aproximadamente igual a la mitad del diámetro del orificio. COEFICIENTE DE VELOCIDAD Cada partícula al atravesar atravesar la sección contraída, tendría velocidad idéntica al de la caída libre, desde la superficie libre del depósito, en la realidad sin embargo la velocidad no es la verdadera, por eso se introduce un coeficiente de corrección, corrección, o coeficiente de reducción de velocidad:
C v
………………(5)
v
v2
COEFICIENTE DE DESCARGA Se define como la relación del caudal de descarga real y el que q ue se obtendría si el agua saliera con velocidad V b y sin reducción del área área de salida del líquido, es decir, caudal ideal: Cd
Qr Q
V A
V2 A2
Cc C v
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……………(6)
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h dy H
A0 v 2
Fig. 2 En consecuencia para obtener el caudal real que fluye a través del orificio se puede utilizar: Qr
Cd A0V2
Cd A0 2 gh
…………………(7)
De acuerdo a la Fig. 2 la altura de carga h varia en el tiempo, debido a que la sección del recipiente es pequeña en un intervalo dt, el pequeño volumen volumen evacuado es Q dt; Qr
dV
Qr dt dV A,dh
dt ………………(8)
y en ese mismo intervalo intervalo de tiempo la altura altura de caída disminuye en dh, igualando estas relaciones tenemos:
Integrado, y despejando el coeficiente de descargas tenemos:
t
t dt 0
Ad Cd A0
h
2g 2g
H
1 h
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dh
2 A1 H t
1
2
h
1
2
Cd A0 2 g Página 11
…………………(9)
Eliminando la variable t, obtenemos: Cd
2 A1 t A0
2g
H H
…………………(10)
Por otra parte, si efectuamos un análisis cinemático, es decir, estudiaremos las características del movimiento de las partículas de fluido una vez que abandona abandona el recipiente se tiene S
y
vt
1 2
t
gt 2
s
t
v
2y g
Entonces v
s
g 2y
………………(11)
Por lo tanto podemos determinar con buena aproximación la velocidad real de salida por el orificio en función de las distancias s e y, las cuales se pueden medir fácilmente (alcance altura a partir del orificio). Reemplazando sucesivamente en la ecuación (5) del coeficiente de velocidad, tenemos: C v
v v2
s 4 yH ………………(12)
Una vez conocidos Cd y Cv, se puede determinar el coeficiente de contracción contracción Cc de la siguiente forma:
C c MECANICA DE FLUIDOS I
C d C v
………………(13) Página 12
EJEMPLO 1
Se tiene un sistema de tuberías como el de la figura. La caída de presión pr esión total entre A y B es de 150 kPa, y la diferencia de nivel es z A - z B = 5 m. Los datos de las tuberías son:
1
L (m) 100
D (m) 0.08
e (mm) 0.24
2 3
150 80
0.06 0.04
0.12 0.20
El fluido es agua, con densidad ρ = 1000 kg/m 3 y viscosidad cinemática cinemática v = 1.02 10 6 m2 /s.
Se pide determinar el caudal circulante.
SOLUCIÓN Se puede plantear la ecuación de la energía entre A y B:
La presión total, P T , se define de la manera siguiente:
Entonces:
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= 150 10 3 Pa: Como Δ P T T =
Por estar las tuberías en serie:
En principio se supondrá flujo turbulento completamente desarrollado. La expresión para el coeficiente de fricción f será:
√ ( )
Despejando de esta ecuación se obtiene: f 1 = 0.026 f 2 = 0.023 f 3 = 0.030 Llevando estos valores a la expresión exp resión (5), se obtiene Q = 0.0029 m 3 /s. A partir de este valor se hallan los Re para cada tramo, utilizando util izando la expresión:
Se obtienen los siguientes valores:
Re1 = 45250 Re2 = 60333 Re 3 = 90500 Ahora debe comprobarse si la hipótesis de flujo turbulento completamente desarrollado era válida. Se toma la ecuación de Colebrook y White, que es válida para todo tipo de flujos turbulentos:
√ √ √ MECANICA DE FLUIDOS I
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En el segundo miembro de esta expresión se introducen los valores de f obtenidos anteriormente. Se calculan así unos nuevos valores: f 1= 0.029 f 2 = 0.026 f 3 = 0.031 El nuevo caudal es Q = 0.00285 m 3 /s, y los Re resultantes: Re1 = 44469 Re2 = 59293 Re 3 = 88939 Con estos valores de Re y f se acude de nuevo a la expresión anterior y ya se obtienen unos valores para f muy similares a los anteriores. Por tanto, la solución correcta para este ejemplo es: Q = 0.00285 m 3 /s = 2.85 l/s
EJEMPLO 2 EJEMPLO 2 Una tubería de 800 m de longitud y 0.6 m de diámetro interior conecta dos depósitos. El flujo resultante, causado por la diferencia de niveles entre los dos depósitos, es de 0.5 m 3 /s, para una tubería con un coeficiente de fricción de 0.04, considerado constante. Las pérdidas singulares pueden considerarse despreciables. Se pide lo siguiente: a) Calcular el caudal entre los dos depósitos cuando se conecta paralelamente a la primera tubería otra de diámetro 0.5 m desde el primer depósito hasta un punto situado a 550 m del mismo. Para esta segunda tubería el coeficiente de rozamiento puede suponerse también constante e igual a 0.02. b) Al cabo de cierto tiempo se pretende sustituir el conjunto de tuberías por una tubería única, de diámetro constante, cuyo coeficiente de rozamiento es 0.03. Calcular el diámetro que ha de tener dicha tubería si se pretende que el caudal que pase por la misma sea el mismo que en el sistema serie-paralelo anterior.
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SOLUCIÓN El esquema original es el mostrado en la figura. fi gura. Planteando la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2 de los depósitos:
Se puede hallar entonces la pérdida de carga:
a) En la combinación de tuberías paralelo-serie se cumple:
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L1 = L2 = 550 m L 3 = 250 m Desarrollando la igualdad de pérdidas de carga en las dos tuberías:
De aquí se obtiene:
Poniendo Q 3 también en función de Q1:
Esto se introduce en la expresión de la pérdida de carga total entre los dos depósitos:
De aquí ya se puede despejar el caudal Q1: Q1 = 0.37 m 3 /s De la expresión (7) se obtiene Q2: Q2 = 0.33 m 3 /s De la expresión (5) o de la (8) se obtiene Q 3: Q 3 = 0.7 m 3 /s b) Ahora deben mantenerse el caudal, Q = 0.7 m 3 /s, y la pérdida de carga, h p = 8.5 m. De la expresión (2) para la pérdida de carga se despeja el valor del diámetro D:
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EJEMPLO 3 Pérdidas lineales: La pérdida de carga, hpl, en una tubería de sección constante determina la disminución de cota piezométrica que experimenta el flujo; hpl, siempre es positiva, y por ello la cota piezométrica siempre disminuye. Si la tubería es ascendente, es decir la cota va aumentando, siempre hay disminución de presión estática en la dirección de la corriente; en cambio, si la tubería es descendente, es decir la cota va disminuyendo, la presión estática puede aumentar o disminuir en la dirección de la corriente. En este último caso, se puede determinar la disminución que debe experimentar la cota (es decir, el ángulo de inclinación de una tubería recta) de tal forma que la presión estática se mantenga constante. Con los datos suministrados, DETERMINE: 1. Pérdida de carga y potencia disipada disi pada en el tramo de tubería. 2. Potencia pérdida por efectos viscosos en el e l tramo de tubería. 3. Ángulo de inclinación de la tubería (supuesta recta) para que la presión sea constante. DATOS: Tubería: L = 12 m; D = 200 mm; ε = 0.2 mm Flujo: Q = 160 litros/s; Fluido: Fluido: ν = 10-6 m2 /s
SOLUCIÓN 1. PÉRDIDA DE CARGA: El factor de fricción depende del número de Reynolds:
Al ser el flujo turbulento, el factor de fricción depende también de la rugosidad relativa, y se puede obtener mediante una ecuación (se utilizará la de Barr) o mediante el diagrama de Moody:
;
Moody Barr:
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√ ( ( )
2. POTENCIA DISIPADA POR EFECTOS VISCOSOS: La pérdida de carga es la energía disipada por unidad de peso:
; Con lo que la potencia disipada dis ipada es:
3. INCLINACIÓN PARA QUE LA PRESIÓN SEA CONSTANTE:
Para que la presión sea constante, la pérdida de carga deber ser igual a la disminución de cota: hp= Δz. Si la tubería es recta, la relación entre la disminución de cota y la
longitud, viene determinada por:
Con lo que el ángulo de inclinación, para que
; es:
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Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, aún con las variaciones del caudal y del número de Reynolds. Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas con la ecuación de Darcy & Weisbach. Así mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada con el Método de Cross y la ecuación de Hazen & Williams, conduciría a la especificación de diámetros mayores que los que se obtendrían si se aplicara el mismo método con la ecuación de Darcy & Weisbach. Ello se comprobaría cuando, de cumplir requerimientos de cargas de presión mínima y máxima, se trata. El Método de d e Cross programado con las ecuaciones de Darcy & Weisbach y de Colebrook & White, no obstante ser más demorado en obtener la precisión deseada, es más racional en cuanto al cálculo de las pérdidas de carga, y conduce a la especificación de diámetros más económicos. Debe quedar bien claro que, cualquiera sea la ecuación de resistencia qu e utilice el Método de Cross, éste nunca ha sido un método de diseño, sino una herramienta de análisis para redes cerradas de tuberías. Si anteriormente los proyectistas de redes de acueducto evitaban el análisis hidráulico con la ecuación de Darcy & Weisbach, dado lo dispendioso del cálculo del factor de fricción, f, ahora no habrá más excusas para no hacerlo. Más aún, si ambos programas requieren ser alimentados con los mismos datos, excepto que el primero emplea C, y el segundo k, para representar el coeficiente de resistencia de la tubería. La diferencia en el tiempo de cálculos computacionales, a favor del Método de Cross, Hazen & Williams, no es grande y tampoco compensa los mayores costos debidos a tuberías de diámetro mayores.
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