PLANIMETRIJA, STEREOMETRIJA, VEKTORIAI
ampo pusiaukampinė dalija kraštinę į atkarpas, propor$ingas propor$ingas šalia esančioms esančioms kraštinėms. kraštinėms.
1. Trikam Trikampio pio pusiaukra pusiaukraštinė štinės, s, pusiaukampi pusiaukampinės nės ir aukštinės apirė!imai. Trikampio pusiaukraštinė – atkarpa, jungianti viršūnę su
prieš ją esančios esančios kraštinės vidurio vidurio tašku.
jungianti viršūnę viršūnę su Trikampio pusiaukampinė – atkarpa, jungianti prieš ją esančia esančia kraštine ir dalijanti dalijanti kampą kampą į dvi lygias dalis. dalis.
*. Trikam Trikampio pio %'+umo %'+umo po!'miai po!'miai..
%. &agal &agal du kamp kampus us ir krašti kraštinę nę tarp tarp jų' jų'
Trikampio aukštinė – statmens atkarpa atkarpa nuo trikampio trikampio
viršūnės iki tiesės, kurioje yra priešinga trikampio kraštinė.
(. &agal &agal tris tris lygias lygias kraštines' kraštines'
". Trikam Trikampio pio #i$urinės #i$urinės %ini&os %ini&os apirė!ima apirė!imass ir sa#'ė. sa#'ė. Trikampio #i$urinė %ini&a ( atkarpa,
jungianti dviejų dviejų jo kraštinių vidurio taškus. Trikampio vidurinė linija yra lygiagreti vienai kraštinei ir yra lygi jos pusei.
). &agal &agal dvi krašti kraštines nes ir kamp kampąą tarp jų. jų.
). Trikam Trikampio pio pusiauk pusiaukampi ampinės nės sa#'ė sa#'ė..
iekvieno trikampio kampų pusiaukampinės susikerta viename taške !, kuris nutolęs nuo visų trikampio kraštinių vienodu atstumu. ! yra apskritimo, apskritimo, iš vidaus liečiančio visas trikampio kraštines "liestines# $entras.
. Trikampio Trikampio n-%'+'ė r'š's tarp trikampio kraštini/0.
*et kuri trikampio kraštinė turi +ūti maesnė u kitų dviejų kraštinių sumą, +et didesnę u jų skirtumą. " a - +$, +et a / +0$ # . Trikampio p%oto 2ormu%ės. Su aukštin-3
7. Trikampio panašumo po!'miai. Kokios 'ra panaši/ trikampi/ kraštinės ir kampai8
%. &agal dvi kraštines ir kampą tarp jų'
Sta4io&o trikampio3 "statinių sandaugos pusė#
(. &agal du kampus. L'+iakraš4io trikampio3
). &agal tris kraštines. Su kampu3
&anašių trikampių kraštinės ir kampai yra propor$ingi. 5-rono3 9. Sinus/ t-or-ma ir iš#a$a iš &os.
1inusų teorema3 trikampio kraštinės yra propor$ingos prieš ją esančių kampų sinusams. Su 6rė!tinio apskritimo spin$u%iu3
12pr
4švada3 trikampio kraštinės ir prieš jį esančio kampo santykis yra lygus apie ta trikampi api+rėto apskritimo spinduliui.
api+rėto 5+rėtinio
:. Kosinus/ t-or-ma. Kokiam trikampiui &i taikoma ir k; pa+a% &; +a%ima apskai4iuoti8
Trikampio kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai minus dvigu+ai tu kraštinių ir tarp jų esančio kapo kosinuso sandaugai.
1). At#irkštinė Pita+oro t-or-ma.
6eigu trikampio vienos kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tai tas trikampis yra statusis. 1*. Stataus trikampio smai%aus kampo sinuso, kosinuso, tan+-nto, kotan+-nto apirė!imai.
osinusų teorema taikoma stačiajam, +ukajam, smailiajam trikampiui. &agal kosinusų teoremą galima apskaičiuoti neinomą kraštinę ir kampą. 1<. L'+iakraš4io trikampio kraštinės išraiška p-r r ir R 6rė!to ir apirė!to trikampio spin$u%iai0.
"7pi+rėto trikampio#
1tataus trikampio kampo sinusas yra lygus prieš kampą esančio statinio ir įam+inės santykiui.
"5+rėto trikampio# 11. Trikampio pusiaukraštini/ sa#'ė.
iekvieno trikampio pusiaukraštinės susikerta viename taške ! "kuris visada yra trikampio viduryje#. Taške ! pusiaukraštinės dalija viena kitą santykiu (3%. 1". =rė!to 6 trikamp6 ir apirė!to api- trikamp6 spin$u%i/ 2ormu%ės, kai trikampis n-tais'k%in+as.
1tataus trikampio kampo kosinusas lygus prie kampo esančio statinio ir įam+inės santykiui.
1tataus trikampio kampo tangentas lygus prieš kampą esančio ir prie kampo esančio statinių santykiui.
1tataus trikampio kampo kotangentas yra lygus prie kampo ir prieš kampą esančių statinių santykiui. 1. Sta4io&o trikampio smai%i/ kamp/ suma.
1tačiojo trikampio smailių kampų suma lygi 89 o, nes visų trikampio kampų suma lygi %:9 o, o status kampas lygus 89 o. ";2%:9 o – 89o# 1. Sta4io&o trikampio %'+umo po!'miai.
%. (. ). <.
pagal ( statinius pagal įam+inę ir smailųjį kampą pagal įam+inę ir statinį pagal smailųjį kampą ir statinį
"<. L'+ia+r-tainio 6stri!aini/ ir kraštini/ r'š's.
>ygiagretainio įstriainių ilgių kvadratų suma lygi keturių lygiagretainio kraštinių kvadratų sumai.
?%( d(( 2 (a( (+( "1. L'+ia+r-tainio p%oto 2ormu%ės3
1u aukštine3
12 a@A
17. Api- stat/&6 trikamp6 apirė!to apskritimo spin$u%'s.
7pie statųjį trikampį api+rėto apskritimo $entras sutampa su įam+inės viduriu. "įam+inė (=#
1u kampu3
12 a@+ sinB
19. Kok6 k-turkamp6 #a$inam- %'+ia+r-tainiu8 L'+ia+r-tainio po!'miai.
eturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios, vadinamas %'+ia+r-tainiu . 1:. L'+ia+r-tainio 6stri!aini/ po!'miai. %. 6ei keturkampio dvi priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai tas keturkampis yra lygiagretainis. (. 6ei keturkampio priešingos kraštinės lygios, tai tas
keturkampis yra lygiagretainis. ). 6ei keturkampio įstrižainės susikirsdamos dalija viena kitą pusiau, tai tas keturkampis yra lygiagretainis. <. 5striainė dalija lygiagretainį į du lygius trikampius.
1u įstriainėmis3
12%C(@d%@d(@sinB "". Romo 6stri!aini/ sa#'ės.
%. 6eigu lygiagretainio įstriainės yra statmenos viena kitai, tai tas lygiagretainis yra rom+as. (. 6ei lygiagretainio įstriainės yra jo kampų pusiaukampinėse, tai tas lygiagretainis yra rom+as.
"). Romo p%oto 2ormu%ės.
". K#a$rato p%oto 2ormu%ės.
1u aukštine3
1u kraštine3
12a(
12 a@A 1u įstriainėmis3
1u įstriaine3
12%C(@d%@d( 1u kampu3 (
12a @sin7
12%C(@d(
". Kok6 k-turkamp6 #a$inam- trap->i&a8
eturkampis, kurio dvi kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi ne lygiagrečios, yra trapecija.
1u į+rėto apskritimo spinduliu3
12pr
"*. K#a$rato 6stri!aini/ sa#'ės.
vadratui +ūdingos visos lygiagretainio ir rom+o savy+ės. %. (. ). <. D.
5striainės yra statmenos viena kitai. eturkampio įstriainės. yra jo kampu pusiaukampinėse. eturkampio įstriainės yra lygios. eturkampio įstriainės dalija viena kitą pusiau. eturkampio priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios.
"7. Koki; trap->i&; #a$inam- sta4i;&a, %'+iašon-8
Trape$ija yra stačioji, kai vienas iš kampų prie pagrindo yra lygus 89o. Trape$ija yra lygiašonė, kai du kampai prie pagrindo yra lygūs. "9. Trap->i&os #i$urinės %ini&os apirė!imas ir sa#'ė.
7tkarpa, jungianti trape$ijos šoninių kraštinių vidurio taškus, vadinama trape$ijos vidurine linija. Trape$ijos vidurinė linija yra lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei.
EF2%C(@"*G7?# ":. Trap->i&os p%oto 2ormu%ės.
1u aukštine3
12%C(@A@"*G7?#
1u vidurine linija3
12A@EF
1u įstriainėmis3
12%C(@7G@*?@sin"7G,*?#
)". Sta4iakampio p%oto 2omu%ės.
1u kraštinėmis3
12a@+
1u įstriainėmis3
12%C(@d@sin B
)). Koki- taškai #a$inami sim-triškais taško, ti-sės, p%okštumos at!#i%+iu8 Kaip #a$inamos tos sim-tri&os8 •
Simetrija plokštumos tiesės atžvilgiu (ašinė simetrija)
?vi Iigūros yra simetriškos plokštumos tiesės atvilgiu, jeigu kiekvienos Iigūros vienas taškas yra simetriškas kito Iigūros taškui tos tiesės atvilgiu. )<. Ka$a api- k-turkamp6 +a%ima apirė!ti apskritim;8
6eigu keturkampio priešingų kampų suma yra %:9 o, tai apie jį galima api+rėti apskritimą. )1. Ka$a 6 k-turkamp6 +a%ima 6rė!ti apskritim;8
6eigu keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos lygios, tai į jį galima į+rėti apskritimą. &vH.' rom+as kvadratas, stačiasis trikampis.
•
Simetrija taško atžvilgiu (centrinė simetrija)
?vi Iigūros yra simetriškos $entro atvilgiu, jeigu kiekvienos Iigūros vienas taškas yra simetriškas kitos Iigūros taškui to $entro atvilgiu. )*. Panaši/ 2i+?r/ p%ot/ ir p-rim-tr/ sant'kis.
1tačiojo trikampio aukštinė, nu+rėta iš status kampo į įam+inę yra geometrinis vidurkis atkarpų, į kurias ji padalija įam+inę. ). Kam 'ra %'+i iški%io&o n@kampo kamp/ suma8
A1 B A" B A) B ... B An C n@"0 D 19
)9. F-ntrinio kampo apirė!imas ir kam %'+us &o $i$umas8
ampas, kurio viršūnė yra apskritimo $entre yra centrinis kampas.
). Sta4io&o trikampio statinio išraiška p-r 6!amin ir &os pro&-k>i&; 6!aminė&-.
7pskritimo lanko didumas yra lygus jį atitinkančio $entrinio kampo didumui. -7!* – $entrinis kampas -7!* 2 7*
1tačiojo trikampio statinis yra geometrinis vidurkis įam+inės ir jos dalies, kuri yra prie statinio. )7. Sta4io&o trikampio aukštinės, nurė!tos iš status kampo #irš?nės išraiška p-r statini/ pro&-k>i&as.
):. =rė!tinio kampo apirė!imas ir kam %'+us &o $i$umas8
ampas, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta tą apskritimą yra įbrėžtinis kampas. -*7G 0 į+rėtinis -*7G 2 -*!GC(
*<. Kam %'+us $i$umas 6rė!tinio kampo, kuris r-miasi 6 pusapskritim68
-7*G 2 89o *1. Koki; ti-s #a$inam- apskritimo %i-stin-8
6ei apskritimas su tiese turi tik vieną +endrą tašką, tai ta tiesė vadinama apskritimo liestine. *". Apskritimo %i-stini/, nurė!t/ iš #i-no taško, sa#'ė.
6eigu dvi apskritimo stygos susikerta, tai vienos stygos atkarpų ilgių sandauga lygi kitos stygos atkarpų ilgių sandaugai. *. Apskritimo i%+io !'mė&imas ir 2ormu%ė &am apskai4iuoti. Apskritimo %anko i%+io 2ormu%ė.
G – apskritimo ilgis F C "r
% C "r)
7pskritimo liestinių, išeinančių iš vieno taško, atkarpos yra lygios. *). Apskritimo %i-stinės ir kirstinės, nurė!t/ iš #i-no taško, sa#'ė.
AG" C AH DAF
**. Susik-rtan4i/ apskritimo st'+/ sa#'ė.
HGDHE C AHDHF
*. Skritu%io p%otas, skritu%io išp&o#is p%oto 2ormu%ės.
1išpj.2 Jr ( @ B
*7. K; #a$inam- trikampio kampo pri-kampiu ir koks &o r'š's su #i$aus kampu pa+a% $i$um;0 8
% – priekampis -% 2 -) -< Trikampio priekampiu vadiname tam kampui gretutinį kampą. Trikampio priekampis lygus jam gretutinių kampų sumai. *9. K; #a$inam- kampu tarp pas#irosios ir p%okštumos.
Tai kampas tarp pasvirosios ir jos projek$ijos plokštumoje.
*:. K; #a$inam- kampu tarp prasi%-nkian4i/ ti-si/.
Trijų statmenų teorema3 6eigu tiesė, nu+rėta plokštumoje per pasvirosios pagrindą, yra statmena pasvirajai, tai ji statmena ir projek$ijai.
<. K; #a$inam- $#isi-niu kampu8 Kaip &6 !'mim-8
7tvirkštinė trijų teorema3 6eigu tiese, nu+rėta plokštumoje per projek$ijos pagrindą, yra statmena projek$ijai, tai ji statmena ir pasvirajai.
?visieniu kampu vadiname Iigūrą, kurią sudaro dvi pusplokštumės, turinčios +endrą +riauną.
. G#i-&/ p%okštum/ %'+ia+r-tumo po!'mis.
Kymine3
a ara A1AHG
1. K; #a$inam- $#isi-nio kampo %ini&iniu kampu8 Kam %'+us $#isi-nio kampo $i$umas8
?visienio kampo didumą api+rėiame taip3 %# iekvienoje plokštumoje nu+rėiame statmenis į +endrą +riauną' (# ampą tarp tų statmenų vadiname dvisienio kampo tiesiniu kampu.
Tiesinio kampo didumą ir laikome dvisienio kampo didumu.
6ei plokštumos dvi susikertančios tiesės yra lygiagrečios kitos plokštumos dviems susikertančioms tiesėms, tai tos plokštumos yra lygiagrečios. . G#i-&/ p%okštum/ statm-numo po!'mis.
6eigu viena plokštuma eina per statmenį kitai plokštumai, tai tos plokštumos yra statmenos. 7. K; #a$inam- #-ktoriumi8 Kas 'ra &o i%+is ir kaip &6 !'mim-8
Lektorius – tai atkarpa, turinti kryptį. Lektoriaus ilgis yra tos atkarpos ilgis. Lektoriaus ilgį ymime3
". Ti-sės ir p%okštumos %'+ia+r-tumo po!'mis.
6eigu tiesė, nesanti plokštumoje, yra lygiagreti kuriai nors plokštumos tiesei, tai ta tiesė yra lygiagreti ir plokštumai. ). Ti-sės ir p%okštumos statm-numo po!'mis.
6eigu tiesė yra statmena dviems plokštumos susikertančioms tiesėms, tai ji statmena ir plokštumai.
M7*M ar+a M a M 9. V-ktori/ su$ėti-s trikampio tais'k%ė.
7tdedame vieną vektorių, prie jo galo atidedame kitą vektorių. 1uma tarp šių vektorių yra vektorius, jungiantis pirmo vektoriaus pradią su antro vektoriaus galu. a
+ $
*. Tri&/ statm-n/ t-or-ma. At#irkštinė statm-n/ t-or-ma.
a+2$
:. Koki- #-ktoriai #a$inami ko%in-ariais8
Lektoriai, kurie yra lygiagrečiose atkarpose ar+a vienoje tiesėje, vadinami kolineariais vektoriais. <. Kaip #-ktori/ +a%ima išr-ikšti koor$inatiniais #-ktoriais8
*et kokį vektorių galima išreikšti koordinatiniais vektoriais pagal Iormulę3
a C i B '&
1kaičiai ; ir y yra vadinami vektoriaus a koordinatėmis. Kymime3
a '0
G#i-&/ #-ktori/ ska%iarin san$au+; skai4iuo&am- pa+a% 2ormu%3
P-r kamp;3 a D C a D >os a , 0 P-r kamp;3 a D C 1"B'1'"B1" *. Kam 'ra %'+i #-ktoriaus ir &o pati-s ska%iarinė san$au+a8
a D a C a " C a D a D >os< C a
"
. Kapo tarp #-ktori/ apskai4ia#imo tais'k%ė. 1. Kaip rasti #-ktoriaus koor$inat-s, kai !inom- &o pra$!ios ir +a%o koor$inat-s8
6ei inome vektoriaus pradios ir galo koordinates, tai jo koordinates apskaičiuojame pagal Iormulę3
A 1 '10 H " '"0 AH C " ( 1 '" ( '10 ". V-ktori/ sumos, skirtumo ir san$au+os iš skai4iaus koor$inatės.
. V-ktori/ ko%in-arumo ir statm-numo s;%'+a.
Lektoriai yra kolinearūs, jeigu jų koordinatės yra propor$ingos.
a 1 '10 " '"0
6ei3 a ";%'y%'H%#, o + ";('y('H(# Tai3
%# a + ";%;('y%y('H%H(# (# a 0 + ";%0;('y%0y('H%0H(# )# k @ a "k;%'ky%'kH%#
). V-ktori/ ska%iarinė san$au+a.
Lektoriai yra statmeni, kai jų skaliarinė sandauga yra lygi 9.
aDC< 7. V-ktoriau i%+io apskai4ia#imas, kai !inom- &o koor$inat-s.
Lektoriaus ilgį apskaičiuojame pagal Iormulę3 71. J-i M ( atkarpos AH #i$urio taškas, O ( -t kuris p%okštumos -r$#ės0 taškas, kaip +a%ima #-ktori/ OM išr-ikšti #-ktoriais OA ir OH8
a '0
9. Atstumo tarp $#i-&/ tašk/ 2ormu%ė.
A 1 '1 1 0 H " '" " 0
OM C Q OA B OH 0
:. Atkarpos #i$urio taško koor$ina4i/ apskai4ia#imas.
7". J-i M(trikampio AHF pusiaukraštini/ susikirtimo taškas,O(-t kuris p%okštumos -r$#ės0 taškas, kaip +a%ima #-ktori/ OM išr-ikšti #-ktoriais !7,!* ir !G N
M m 'm 0
7<. Apskritimo %'+tis.
( a0" B ' ( 0" B ( >0" C r" a, +, $ – $entro koordinatės ; , y, H – +et kuris apskritimo taškas r 0 spindulys
OM C 1) OA B OH B OF 0
7). Kokios 'ra koor$inatini/ #-ktori/ i, & ir k koor$inatės, koks &/ i%+is ir kokia kr'ptis8
i "% ' 9 ' 9# , & "9 ' % ' 9# , k "9 ' 9 ' %# 6ų ilgis lygus %.
7*. Kaip +a%ima #-ktori/ skirtum; AH ( GH pak-isti 6 sum; ir kam us ta suma %'+i8
AH ( GH C AH B HG C AG 7. Kaip #a$inami #-ktoriai a ir (a, koks &/ i%+is, kr'ptis ir koor$inatės8
a ir @a @ pri-šin+i #-ktoriai.
6ų suma lygi 9' ryptis yra priešinga, o ilgiai vienodi. Oių vektorių koordinatės yra priešingos.
