Informe Previo No.1: “Laboratorio Nº 1: Simulación De La Serie De Fourier Mediante El Software Matlab” Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Ingeniería Eléctrica y Electrónica Electrónica
Laboratorio de Telecomunicaciones Telecomunicaciones I (EE513-M) - 2016-I Ortega Solórzano David Enrique
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I.
OBJETIVOS
En el laboratorio se van a alcanzar los siguientes objetivos: 1. Usar el software Matlab para graficar la serie de Fourier de una señal. 2. Aproximar una onda mediante la suma de N términos de la serie de Fourier.
II.
. Seri Seri e de Fouri Fou ri er
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica periódica y continua continua a trozos. trozos. Las series de Fourier constituyen la herramie h erramienta nta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Las series de Fourier tienen la forma:
∑= . sin . ∞ cos cos
(1)
Donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x).
/ ∫−/
B.
(3) (4)
F unción peri peri ódica
Una función es periódica si verifica la condición:
TEORÍA
Para poder responder correctamente las preguntas planteadas se necesita la la teoría teoría previa previa de los temas temas que se están están tocando, por ello haremos un repaso de d e algunos de ellos. A.
∫−⁄⁄ .cos os . ∫−⁄⁄ . sin .
(2)
(5)
El número T se llama período de la función. Generalmente, se llama período al menor número real positivo T que satisface la condición. Las funciones trigonométricas son ejemplos sencillos de una función periódica, que en combinaciones adecuadas se emplean en el análisis armónico. C. Val ores or es caracter car acterí í sticos stico s de las ondas per per iódicas
1. Valor medio. El valor medio de una onda onda f (t) se calcula sobre sobre un intervalo de la función correspondiente correspondiente a un periodo propio fundamental completo T p desde cualquier instante to.
∫+
(6)
Es muy frecuente que el valor medio de una onda periódica sea cero. En electrotecnia y electrónica un valor medio no nulo mide la magnitud de un componente de corriente continua en una señal. 2. Valor eficaz. El valor eficaz (raíz cuadrática media o RMS) de una onda periódica f (t) se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completo Tp desde cualquier instante to.
∫+| |
(7)
El valor eficaz de una onda periódica es de especial interés en física cuando se aplica a presiones (mecánica), tensiones o intensidades (electrotecnia ó electrónica) para cálculos relacionados con la energía o la potencia. Con relación al valor máximo (o valor de cresta o pico) Amax en una onda de valor medio nulo, el cálculo del valor eficaz de las siguientes formas de onda se pueden simplificar: I.
II. III.
Propiedades de los coeficientes de Fourier; Identidad de Parseval. A. Identidad de Parseval
Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real. I.
Onda armónica simple (sinusoidal)
√ √ 3
2.
(8)
Onda cuadrada
/ | | ∑∞=−∞| | ∫−/
(12)
/ | | ∑∞= ∫−/
(13)
II.
(9)
Onda triangular
Forma compleja (o exponencial):
Forma real (o trigonométrica)
(10)
La relación entre la amplitud máxima y el valor eficaz de una onda periódica depende, por tanto, de la forma de onda. D. Onda diente de sierra.
Una onda de sierra es un tipo de onda no sinusoide. Recibe su nombre porque su forma se asemeja a la de los dientes de una sierra.
La convención de una onda de sierra es que esta se levanta en forma de rampa y después baja rectamente. Sin embargo también existen ondas de sierra en donde las ondas bajan de forma de rampa y después suben rectamente. Esta última forma usualmente es llamada 'onda de sierra inversa'. En las señales de audio, ambas direcciones de ondas de sierra suenan de la misma manera. La ecuación que define la forma de onda:
Sea la serie de Fourier de la función v(t):
∑∞=[ cos ] ∫ ∫ cos ∫ ∑∞=[ cos ]
(14)
Con:
(15)
(16)
(17)
A las frecuencias se les denomina armónicos. A (15) se le denomina la componente continua de v(t).
Fig. 1. Forma de onda diente de sierra.
. 0 < <
3. Definir y explicar detalladamente, la serie de Fourier determinar los coeficientes de la función f
(11)
III. R ESPUESTA A PREGUNTAS 1. ¿La función seno y coseno son funciones periódicas? Si son funciones periódicas porque cumplen las condición (5) para un T = 2π.
(18)
A (18) se le denomina parte alterna pura de v(t).
Existen otras representaciones de la serie de Fourier: I. Trigonométrica Compacta.
∑∞= cos arctan ∑∞=−∞ ∫ −
Con II.
(20)
Exponencial Compleja ,
Con
(19)
(21) (22)
A primera vista parece contradictorio que funciones complejas puedan representar a una señal de variable real, pero como demostraremos a continuación, un término Fn y otro F-n conllevan a la función de variable real.
− ∗ ||−− ||
||−+ + 2||cos
(23) (24)
(25)
Que es un número real.
4. Explicar detalladamente las condiciones de DRICHLET y el teorema de convergencia I.
Condi ciones de Di ri chlet
Las condiciones que una determinada función f(x) debe cumplir para poder ser representada como una serie de Fourier, se conocen con el nombre de condiciones de Dirichlet las cuales pueden ser esquematizadas en los siguientes puntos. Para que una función f(x) sea susceptible de ser expandida en series de Fourier debe ser: a. Periódica b. Univaluada y continua a trozos (continua menos, en un numero finito de puntos) con un número finito de máximos y mínimos c. Para que las Series de Fourier existan, los coeficientes de Fourier deben ser finitos, esta condición garantiza su existencia. Para ello la integral debe ser convergente, donde T es el periodo.
/ || ∫−/
II.
Teorema de convergencia de Di ri chlet
Sea f: R→R una función periódica de periodo T que satisface las condiciones de Dirichlet y sea
∑∞=[ cos]
(26)
1) Si f es continua en un punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto a f(t)
∑∞=[ cos]
(27)
2) Si f tiene una discontinuidad de salto en el punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto al punto medio del salto
∑∞=[ cos ] ()+ (28)
El teorema nos dice, en particular, que si f satisface las condiciones de Dirichlet y se redefine el valor de f en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto f(t) = , entonces la serie de Fourier convergerá para cada t R.
( )+ ∈
5. Explicar el fenómeno de Gibbs. Una de las muchas derivaciones interesantes, aunque desde luego no la más importante, a que ha dado lugar el análisis de Fourier, es el llamado fenómeno de Gibbs, que surge a mediados del siglo XIX. H. Wilbraham observó en 1848 que en puntos cercanos a una discontinuidad de una función “f”, las sumas parciales de la Serie de Fourier de “f” presentaban un comportamiento
oscilatorio anómalo que hacía que las gráficas de las sumas parciales excedieran en aproximadamente en 9 % del valor del salto de la discontinuidad. Este trabajo de Wilbraham cayó en el olvido, hasta que hacia 1898 volvió a reaparecer en un contexto distinto. Fue de mano del Premio Nobel en Física (1907) A. Michelson, científico norteamericano, inventor y constructor de numerosos instrumentos físicos de gran precisión. Michelson construyó un aparato llamado analizador armónico que permitía mecánicamente, determinar hasta los 80 primeros componentes de la serie de Fourier, a partir de la gráfica de una función y = f(x). Michelson observó que para una función de tipo salto, en las cercanías del punto de discontinuidad, aparecía una extraña protuberancia que no aparecía en la función original. En un principio creyó que podía deberse a un defecto mecánico del aparato. Una vez verificado que podía no ser así, escribe al físicomatemático J.W.Gibbs, 1899 que investigó y explicó el fenómeno basándose en la no convergencia uniforme de la serie de Fourier en las cercanías de un punto de discontinuidad. Este fenómeno, que se conoce como fenómeno de Gibbs (o fenómeno de Gibbs-Wilbraham), tiene consecuencias físicas interesantes. Por ejemplo, en el caso de circuitos eléctricos en los que, por medio de un conmutador, se pueden crear saltos de voltaje. Dado que este voltaje puede sobrepasar lo inicialmente previsto, resulta importante conocer esta desviación en relación con la respuesta de los componentes del circuito. Consideremos la serie formal de Fourier asociada a la función escalonada
[,0] { [0,]
(29)
La serie de Fourier es:
∑∞= + +
(30)
La suma parcial N-ésima la podemos escribir como:
∑= ∫ 2 1 ∫ ∑= 2 1} (2 1) (+)− ∑= (2 1) (+) ∫ (+) ′ (+) +
(31)
Usamos la identidad:
(32) (33) (34)
Fig. 2. Fenómeno de Gibbs para n=10.
Con esta fórmula podemos fácilmente calcular los extremos relativos de
El primer máximo de valor:
(35)
ocurre para
y toma el
(+) + ∫
(36)
Hacemos el cambio de variable
2 1
+ ∫ +
para obtener:
Fig. 3. Fenómeno de Gibbs para n=20.
(37)
Por tanto,
l→∞im ∫ + l→∞im ∫ ∫ + →∞ lim ∫ 1 /+ 0 →∞ lim + ∫ 0.5 0.08949
(38)
(39) (40) (41)
Que era lo que queríamos probar. A continuación se muestran las series parciales de la función analizada, en donde se puede notar claramente el fenómeno de Gibbs alrededor del punto de discontinuidad en t=0.
Fig. 4. Fenómeno de Gibbs para n=50.
IV.BIBLIOGRAFIA 1) Biografía de Joseph Fourier, Sangakoo, disponible en: http://www.sangakoo.com/blog/fourier/ 2) Fenómeno de Gibbs, LAFA: Laboratorio de Análisis de Fourier Aplicado, disponible en: http://www4.ujaen.es/~jmalmira/gibbs_almira.pdf 3) Series de Fourier y fenómeno de Gibbs, Roberto Rodríguez del Rio & Enrique Zuazua, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad Complutense de Madrid, Madrid, España, disponible en: http://eprints.ucm.es/8364/1/cubo.pdf
