primeraparte-Mayta

Universidad Nacional Mayor de San Marcos S\u00e1nchez Facultad de Ingenier\u00eda Industrial

Milla /

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PER\u00da DECANA DE AM\u00c9RICA FACULTAD DEINGENIERIA INDUSTRIAL

Trabajo de Investigaci\u00f3n del curs

Estad\u00edstica Industrial

Prueba de hip\u00f3tesis, An\u00e1lisis de Var Alumnos

:

Milla Luyo Carlos 03170093 S\u00e1nchez paulino Edgar03170131 Profesora

:

Ing. Rosmery Mayta Fecha de Entrega

:

27/09/06

Universitaria

Ciudad Setiembre del 2006

Industrial

Laboratorio de Estad\u00edstica


Milla /

Prueba de hip\u00f3tesis para una Prueba de hip\u00f3tesis de una media poblacional ( muestra grande ) Prueba de hip\u00f3tesis de una media poblacional ( muestra peque\u00f1a ) Prueba de hip\u00f3tesis para una proporci\u00f3n poblacional.

Prueba de hip\u00f3tesis para dos

Prueba de hip\u00f3tesis de dos medias poblacionale ( muestra grande ) Prueba de hip\u00f3tesis de dos medias poblacionale ( muestra peque\u00f1a ) Prueba de hip\u00f3tesis para dos proporciones Inferencia acerca de la diferencia entre las medias de dos poblaciones : muestras apareadas

An\u00e1lisis de varianzas Anova en una direcci\u00f3n Anova en dos direcciones

Industrial



Milla /

Prueba de hip\u00f3tesis para una 1.-Problema # 32 p\u00e1gina 369 del Mason Z \u2013 para una media

Una empresa de ventas de bienes ra\u00edces a nivel estatal, Farm A especializa en ventas de propiedades rurales en el estado de Nebrask registros indican que el tiempo medio de venta es de 90 d\u00edas, c desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 22 d\u00edas .Debido a recientes c estima que el tiempo de venta medio ser\u00e1 ahora mayor de 90 d\ a nivel estatal de 100 granjas vendidas recientemente brindo la siguie informaci\u00f3n : 93 144 76 87 124 74 122 97 80 108 99 81 51 87 70 58 94 114 72 111

114 119 93 105 99 98 94 63 121 105 59 124 48 84 77 73 109 65 115 68

113 70 88 87 80 83 88 82 86 100 125 117 100 92 148 114 83 91 115 53

118 80 86 124 62 102 80 92 11 79 106 122 68 97 122 71 133 83 80 71

95 82 90 94 83 126 84 100 90 85 46 57 111 102 120 122 86 117 56 114

Al nivel de significancia de 0.10 \u00bf Se puede concluir que el tiem aumentado?

Industrial


Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial

Milla /

SOLUCIÓN :

Para dar solución a nuestro problema aplicaremos los cinco pasos par prueba de hipótesis. Previamente calculamos con ayuda del MINITAB : Descriptive Statistics: tiempo de venta Variable

Mean SE Mean StDev Variance

tiempo de venta

2,34

92,37

23,38

546,40

1. Planteamiento de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0 : μ = 90 Ha : μ > 90

2. Seleccionar el nivel de significancia. α = 0.10

3. Identificar el estadístico de prueba. En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse demuestras grandes.

__

µ

x − z =

Z k = 1.0778

4. Industrial

σ n

Formular la regla de decisión. Laboratorio de Estadística


Milla /

α=0.10

ACEPTACION

1.8182 1.2816

RECHAZO

5. Toma de decisión. Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa a un nivel de significancia del 0.10 .

CONCLUSIÓN :

Luego del estudio realizado se puede concluir que el tiempo de venta me igual a 90 días .

AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Industrial

Laboratorio de Estadística


Milla /

De donde obtenemos que el valor de nuestro Z k = 1.08, dado que nue Z t = 1.2816 es mayor, por consiguiente aceptamos la Ho y rechazamo

Industrial



Milla /

2.- Problema # 34 página del Mason Z – para una media

Un articulo publicado recientemente en la revista Vitality reporto que cantidad media de tiempo libre por semana de los hombres estadouni 40.0 horas. Se cree que esta cifra es muy elevada y se decide realizar prueba. En una muestra aleatoria de 60 hombres, se encuentra que la 37.8 horas de tiempo libre a la semana, y que la desviación estándar muestra es 12.2 horas.

¿ Puede concluirse que la información del artículo es falsa ? Utilice u de significancia de 0.05. SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ = 40 Ha : µ = 40

2°

Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de dos colas se usará un nivel de significancia de: α/2 = 0.025

3° Planteamiento del estadístico de prueba

__

µ

x − z

=

σ n

Z k = - 1.40

4. Formular la regla de decisión Industrial



Milla /

α=0.025

RECHAZO

-1.40

ACEPTACION

–1.96

RECHAZO

1.96

5° Toma de decisión

Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa a un nivel de signific 0.05 . CONCLUSIÓN :

El articulo publicado por la revista Vitality en la que indico que la cantidad de tiempo libre por semana de los hombres estadounidenses es 40 horas es ver




Milla /

De donde observamos que el Z calculado es – 1.40 que pertenece al intervalo ( de modo que pertenece a la región de aceptación por lo que aceptamos la hipót

3.- Problema # 42 de la página 370 del Mason Industrial



Milla /

t – student para una media

La sala de recuperación de un hospital se amplio recientemente con l intención de atender a mas pacientes por día, considerando que la ca promedio de pacientes por día era superior a 25. La cantidad de paci una muestra aleatoria d 15 días fue : 25

27

25

26

25

28

28

27

24

26

25

29

25

27

24

Con un nivel de significancia de 0.01 ¿ Se puede concluir que la canti media de pacientes atendidos por día es superior a 25 ?

SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ = 25 Ha : µ > 25

2°

Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de una sola cola se usará un nivel de significancia: α=0.01

3° Planteamiento del estadístico de prueba Debido a que el tamaño muestral es menor de 30 (tamaño muestral =15) No se conoce la desviación estándar de la población Usaremos la distribución t de student

t

=

χ

−

µ

s

n

X

= 26.067 (

CALCULADOS DE LA TABLA )

S = 1.53

t k = 2.70

4° Establecimiento de la regla de decisión Industrial



Milla /

g l = n-1 =14 t(0.05,14) =2.6245

α=0.01

ACEPTACION

2.70 2.6245

RECHAZO

5° Toma de decisión Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa a un nivel de significancia del 0.01 .

CONCLUSIÓN :

Podemos concluir que la cantidad media de pacientes atendidos por día es may




Milla /

De donde obtenemos que el valor de nuestro t k = 2.69, dado que nue 2.6245 es menor, por consiguiente rechazamos la Ho y aceptamos la H 4.- Problema # 43 página 371 del Mason Industrial



Milla /

t – una media

Egolf.com recibe en promedio 6.5 devoluciones por día de comprador línea . En una muestra de 12 días las cantidades de devoluciones por : 4

0

3

4

9

4

5

9

1

6

7

10

En el nivel de significancia de 0.01. ¿ Puede concluirse que la cantida de devoluciones por día es inferior a 6.5 ? SOLUCIÓN : Primero calculamos la media y la desviación estándar utilizando el MINITAB : Descriptive Statistics: DEVOLUCIONES Variable DEVOLUCIONES

Mean 5,167

SE Mean 0,911

StDev 3,157

Variance 9,970

Median 4,500

1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ = 6.5 Ha : µ < 6.5

2°


3° Planteamiento del estadístico de prueba Debido a que el tamaño muestral es menor de 30 (tamaño muestral =12) No se conoce la desviación estándar de la población

Usaremos la distribución t de student t

χ

−

µ

=

s

n

X =5,167 S = 3,157

(

CALCULADOS DE LA TABLA )

t k = -1.4627




Milla /

g l = n-1 =11 t(0.05,11) = - 2.718

α=0.01

- 1.4627 RECHAZO

- 2.718

ACEPTACIÓN

5° Toma de decisión Como el t calculado pertenece a la región de aceptación aceptamos la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0.01.

CONCLUSIÓN :

Podemos concluir que el numero promedio de devoluciones diarias realizada po compradores en línea e igual a 6.5 devoluciones por día.




Milla /

De donde se obtiene que el t calculado es – 1.46 que es mayor al t hallado de ta tanto aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa.

Industrial



Milla /

5.- Problema # 47 página 371 del Mason Una proporción

Tina Dennis es la inventora de una empresa. La señorita Dennis cons mas del 60 % de las cuentas tienen un atraso superior a tres meses. muestra de 200 cuentas señalo que 140 contaban con mas de tres me retraso .

Al nivel de significancia de 0.01, ¿se puede concluir que mas del 60 cuentas tienen un atraso de mas de tres meses ? SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis Ho : p = 0.6 Ha : p > 0.6

2°

Planteamiento del nivel de significancia α= 0.01

3° Planteamiento del estadístico de prueba En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse de muestras grandes.

__

p− p z

=

p (1 − p ) n

P = 140 / 200 = 0.70 Z k = 2.8868




Milla /

α=0.05

2.8868 ACEPTACION


RECHAZO

2.3263

Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa a un nivel de significancia del 0.01 .

CONCLUSIÓN :

La señorita Tina Dennis esta en lo correcto al decir que mas del 60 % de las cue un atraso de mas de tres meses.




Milla /

De donde obtenemos que el valor de nuestro Z k = 2.89, dado que nuestro Z t =2.3263 es menor, por consiguiente rechazamos la Ho y acep la Ha .

Industrial



6.-

Milla /

Problema # 48 página 371 del Mason 1 – proporción

Una línea de autobuses aumenta un autobús en cualquiera de sus rutas de 55 % de los pasajeros potenciales indican que lo necesitan. En una m de 70 pasajeros se encontró que 42 usarían una determinada ruta.

¿ Satisface esta ruta el criterio establecido para aumentar un autobús Use un nivel de significancia de 0.05. SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis Ho : p = 0.55 Ha : p > 0.55

2°


3° Planteamiento del estadístico de prueba En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse de muestras grandes.

__

p− p z

=

p (1 − p ) n

P = 42 / 70 = 0.60 Z k = 0.8409




Milla /

α=0.05

0.8409 ACEPTACION


RECHAZO

1.6449

Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa a un nivel de significancia del 0.05 .

CONCLUSIÓN :

Esta ruta si satisface el criterio establecido para aumentar un autob mas del 55 % de los pasajeros potenciales indican que lo necesitan.




Milla /

De donde se tiene que el Z calculado es 0.84 siendo menor que nuestro Z obten tablas 1.6449. De modo que el Z calculado pertenece a la región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula.

Prueba de hipótesis para dos mues Industrial



Milla /

1.- Problema # 43 página 403 del Mason t – student para 2 Medias Un determinado banco desea analizar el uso de sus cajeros automático interesa, en especial, saber si los adultos jóvenes (menores que 25 año mas los cajeros automáticos que los adultos mayores. Para investigar e tomaron muestras de clientes menores de 25 años y mayores de 60 a Se determino el numero de transacciones realizadas a través de cajer automáticos por cada persona seleccionada. Los resultados se dan a continuación :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Menor de 25 10 10 11 15 117 10 9 Mayor a 60 48 7 7 4 5 1 7 4 Edad en años

10

11

10

5

Con un nivel de significancia de 0.01 ¿ La gerencia del banco puede c que los adultos jóvenes utilizan los cajeros automáticos con mayor fre SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ 25 = µ 60 H1 : µ 25 > µ 60

2°

Planteamiento del nivel de significancia

0.01

Por ser una prueba de una sola cola se usará un nivel de significancia de: α =

3° Planteamiento del estadístico de prueba Usaremos la distribución t de student para dos muestras

t

χ

=

s

2

p

1

χ

− 1

n

+ 1

2

1

n

2

t k = 4.2832 4° Establecimiento de la regla de decisión g l = n1 + n2 - 2 = 17 Industrial



Milla /

t(0.01,17) = 2.567

α=0.01

4.2822 ACEPTACION

RECHAZO

2.5669

5° Toma de decisión Se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia de 0.01, y aceptamos la hipótesis alternativa.

CONCLUSIÓN :

La gerencia del banco puede concluir que los adultos jóvenes utilizan los cajero automáticos con mayor frecuencia que los adultos mayores.

AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB :

Industrial



Milla /

De donde obtenemos que el valor de nuestro t k = 2.48, dado que t nuestro t = 2.5669 es menor, por consiguiente rechazamos la Ho y aceptamos la Ha .

Industrial



Milla /

2.- Problema (N<30, dos colas)

t – para dos muestras

En un centro educativo se aplicaron dos métodos A y B para la enseñ biología en un grupo de 15 alumnos se aplico A y en otro grupo de 17 B. las medias de las calificaciones se obtiene de las tablas siguientes. admitirse que los métodos de enseñanza no difieren en los resultados diferencias encontradas en las muestras se deben al azar? Por experi anteriores se conoce que cada variable que representa los resultados respectivos tiene distribución normal, con un nivel de significancia de 10 11.5 12.5 13 12 10 12.5

METODO A

11 13 14 11 13.5 9 13 14.5

METODO B 13 12 11 11.5 12 13 10 14.5 13

11 13 12 12.5 13 11.5 12.5 12

SOLUCIÓN : 1. Plantear las hipótesis H0 : uA = uB Ha : µΑ = uB

2.

Seleccionar un nivel de significancia α=0.01

3. Identificar el valor estadístico de prueba

t=

X1 – X2 ( n1 – 1) s12 + (n2 – 1) s2 1 n1 + n2 - 2

n1

+

1 n2

t k = - 0.363 4. formular una regla de decisión: Industrial



Milla /

para α = 0.01 con 15+ 17 – 2 = 30 g l. en la tabla t de student se encuentra: 2.845

Rechazo

-0.363 aceptación

- 2.750

rechazo

2.750

5.toma de decisión El valor calculado para t (- 0.37), se encuentra en la región de aceptación, es decir que los dos métodos de enseñanza de biología no difieren en sus resultados, podemos considerar que la diferencia hallada entre las dos medias muéstrales no es significativa al nivel de 0.01.

CONCLUSIÓN :

los métodos de enseñanza no difieren en los resultados y que las difer encontradas en las muestras se deben al azar.




Milla /

De Donde se obtiene que nuestro t calculado es – 0.37 que se encuentra en la reg aceptación, por lo tanto aceptamos la hipótesis nula rechazando la hipótesis alter

1.-Problema # 31 página 403 del Mason 2 proporciones Industrial



Milla /

Los fabricantes de un medicamento contra el dolor de cabeza, acaban desarrollar una nueva formulación del mismo que se supone lo ara m efectivo. Para evaluar el reciente fármaco, se pidió a una muestra de usuarios que lo probaran. Después de un mes , 180 indicaron que la n medicina era mas efectiva. Al mismo tiempo, a una muestra de 300 u le dio la medicina acostumbrada, pero se les advirtió que era una nue fórmula . De este grupo , 261 dijeron que había una mejoría. Al nivel significancia de 0.05 ¿se puede concluir que la reciente medicina es m efectiva? SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : P n = p a Ha: P n > P a

2°



En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse d muestras grandes. __

__

p1 − p 2

z =

__

__

p c (1− p c ) + p c n1

__

(1−

__

pc

)

n2

Z k = 1.0187 4° Establecimiento de la regla de decisión

Industrial



Milla /

α=0.05

1.0187 ACEPTACION

RECHAZO

1.6449 5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis nula con un nivel de significancia del 0.01 . CONCLUSIÓN :

Ambas formulas del medicamento ( tanto la antigua como la nueva formula ) tie misma efectividad para aliviar el dolor de cabeza.


Industrial



Milla /

De donde obtenemos que el valor de nuestro Z k = 1.02, dado que nuestro Z t =1.6449 es mayor, por consiguiente aceptamos la Ho y recha la Ha .

3. Problema 2 proporciones Industrial



Milla /

En una muestra de 500 hogares de Trujillo se encontró que 50 de ellos e viendo vía satélite un programa especial de televisión. En otra muestra hogares de Tarapoto se encontró que 28 de ellos estaban viendo el mism programa especial. En el nivel de significancia de 0.05, ¿puede rechaza suposición del patrocinador de que el porcentaje de hogares que están observando el programa especial no es el mismo en las dos ciudades? SOLUCIÓN : 1. Plantear las hipótesis H0 : p1= p2 Ha : p1 = p2

2.

Seleccionar un nivel de significancia α=0.05

3. Identificar el valor estadístico de prueba

En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse d muestras grandes. __

__

p1 − p 2

z =

__

__

p c (1− p c ) + p c n1

__

(1−

__

pc

)

n2

Z k = 1.59

4. formular una regla de decisión:

Industrial



Milla /

1.59 Rechazo aceptación rechazo - 1.96 1.96 5° Toma de decisión Observando los resultados el Z =1.59, se encuentra en la región de aceptación entonces la hipótesis nula se acepta .

CONCLUSIÓN :

Se concluye que el promedio de hogares que están viendo el programa especia ciudad de Trujillo es igual al promedio de hogares de Tarapoto.




Milla /

De donde obtenemos que nuestro z calculado es 1.59 que pertenece a la región d entonces aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa.

Industrial



Milla /

5. Problema muestreo apareado

Varios accidentes automovilísticos ocurrieron en varios cruces de un di El departamento de vialidad afirma que una modificación del tipo de sem reducirá los accidentes Entonces deciden realizar un experimento ¿Las seleccionando aleatoriamente 8 semáforos y cambiándolos modificaciones redujeron el número de accidentes ? Con un nivel de significancia de 5% Antes de la modificación

5 7 6 4 8 9 8 10

Después de la modificación

3 7 7 0 4 6 8 2

SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ d = 0 H1 : µ d >0

2°


3° Planteamiento del estadístico de prueba Debido a que las muestras son dependientes Usaremos la distribución t de student por pares

t

=

d s

d

n

t k = 2.419 4° Establecimiento de la regla de decisión Industrial



Milla /

g l = n-1 =7 t(0.05,7) = 1.895

α=0.05

1.895 ACEPTACION

2.419

RECHAZO


Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa con un nivel de significancia de 0.05.

CONCLUSIÓN :

podemos decir que luego de los cambios de los semáforos la cantidad de acc significativamente reduciendo el numero de accidentes

AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : De donde se obtiene que nuestro t calculado es 2.42 que pertenece a la región por lo tanto rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.

Industrial



Milla /

6. Problema muestras apareadas

Se obtuvieron las siguientes que representan las calificaciones en una de aptitud mecánica antes y después de una sesión de repaso Al nivel de significancia de 0.05 ¿Se puede concluir que el rendimient alumnos en el examen mejoro ? 12 15 9 19 10 13 14 17 20 18 15 Industrial

AntesDespués 14 15 9 11 11 13 15 18 20 18 16 Laboratorio de Estadística


Milla /

SOLUCIÓN :

1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ d = 0 H1 : µ d < 0

2°


3° Planteamiento del estadístico de prueba Debido a que las muestras son dependientes Usaremos la distribución t de student por pares t

=

d s

d

n

t k = 0.23 4° Establecimiento de la regla de decisión g l = n-1 =10 t(0.05,10) =1.812

0.23 RECHAZO

-1.812

ACEPTACIÓN


No se rechaza la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0.05 con lo cual concluimos que no existió diferencia significativa entre las notas entre antes y después del repaso

CONCLUSIÓN : Industrial



Milla /

Las calificaciones en la prueba de aptitud mecánica antes y después d sesión de repaso no tiene diferencia significativa. AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB :

De donde se obtiene que el t calculado es 0.23 el cual pertenece a la aceptación por lo que aceptamos la hipótesis nula.

7.. Problema Z – para dos muestras

Dos fabricantes A y B producen artículos similares cuyas vidas utilice desviaciones estándar de 120 y 90 respectivamente se extrae una m Industrial



Milla /

artículos de cada muestra encontrando l duración media 1230 para A para B . ¿ Se puede concluir al nivel de significancia de 0.05 que los artículos marca tiene mayor duración que los artículos de la marca B ? SOLUCIÓN : 1. Planteamiento de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0 : μ A = μ B Ha : μ A > μ B



Z k = 1.0778

4. Formular la regla de decisión.

Industrial



Milla /

2.06 1.645 α=0.05

ACEPTACION

RECHAZO

5. Toma de decisión. Se rechaza la hipótesis nula y se aceptamos la hipótesis alternativa a un nivel de significancia del 0.05 .

CONCLUSIÓN : Luego del estudio realizado se puede concluir que la duración media de los artícu marca A son mayores a los de los artículos de la marca B.

8. Problema Z – para dos muestras

Una empresa Alfa esta preparando un folleto que cree puede ser de i para compradores de casa potenciales en la región A y B de un depar un elemento de interés es el tiempo que el ,propietario que vende a o inmueble. Una muestra de 40 casas vendidas recientemente en la reg indica que el tiempo medio de propiedad fue de 7.6 años con una des Industrial



Milla /

2.3, una muestra de 55 casas en B señalo que dicho tiempo fue de 8.1 una desviación de 2.9. Con un nivel de significancia de 0.05 puede concluir que los residente tenían en propiedad sus casas por un periodo mas cortos ? SOLUCIÓN :

1. Planteamiento de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0 : μ A = μ B Ha : μ A < μ B



Z k = - 0.94

4. Formular la regla de decisión.

α=0.05

Industrial



Milla /

-0.94 RECHAZO

-1.645

ACEPTACION

5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa a un nivel de significancia del 0.05 .

CONCLUSIÓN : luego del estudio concluimos que el tiempo medio de propiedad de A iguales. Y las diferencias presentadas se debe al azar.

9.- Problema #13 página 432 del Mason ANOVA en una dirección Industrial



Milla /

Un egresado de contabilidad recibe ofertas de cuatro empresas contabl considerar estas ofertas solicitó a una muestra de personas de reciente decirles cuantas meses trabajaron cada una para la empresa antes de re un aumento de sueldo. La información muestral es: Numero de semanas antes del primer aumento de sueldo Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D 12 10 14 12

14 12 10 10

18 12 16

12 14 16

Al nivel de significación de 0.05 Pude concluirse que no hay diferenc numero medio de semanas antes de tener un aumento entre las cuat

SOLUCION : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ 1= µ 2= µ 3= µ 4 H1 : No todas las medias son iguales

2°

Planteamiento del nivel de significancia α=0.05

3° Planteamiento del estadístico de prueba Usaremos la tabla ANOVA SST

=∑

T

n

c

c

48  (∑ x ) ( ) + 46 ( ) + 46 ( ) + 42 ( ) − 182 ( ) =32 .33 = = 4 4 3 3 14 N  2

2

2

(∑ X )

2

2

SSTotal

=

∑X

2

−

N

2

(182 )

2

2

2

=

2444

SSE = SSTotal – SST =

−

14

=

78 .00

78.00 – 32.33 = 45.67

Tabla Anova :

Industrial



Suma de cuadrados Tratamientos 32.33 Error 45.67 Total 78.00

Grados de libertad 3 10 13

Milla /

Cuadrado medio 10.77 4.567

F 2.36

SST F

=

k− 1 SSE N

=

MSTR MSE

10 . 77 =

4 . 567

=

2 . 36

K

−

4° Establecimiento de la regla de decisión g l. numerador : k – 1 = 3 g l. denominador : n - k = 10

F0.05,3,10 = 3.71

(de tablas)

2.36

3.71

5° Toma de decisión Debido a que el valor del estadístico de prueba es menor al valor de F hallado por tablas, entonces aceptamos la hipótesis nula.

CONCLUSIÓN :

No existe diferencia entre las cuatro empresas, en el numero medio de mese recibir un aumento de sueldo.

Industrial



Milla /

AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO MINITAB :

De los resultados obtenidos con MINITAB observamos que el valor de F calculado obtenido por tabla es 3.71 , el F calculado en menor que el F critico . Industrial



Milla /

Por lo tanto aceptamos la hipótesis nula.

10. Problema Anova en una dirección

una compañía desea comprar cuatro tipos de neumáticos. se asigno aleatoriamente los neumáticos a seis automóviles semejantes. La durac los neumáticos en miles de kilómetros se da en la siguiente tabla que N1 55 53 50 60 55 65

tipos de neumático N2 N3 63 48 67 50 55 59 62 50 70 47 75 61

N4 59 68 57 66 71 73

Al nivel de significancia del 5% ¿se puede concluir que existe alguna diferencia en los rendimientos medios de los tipos de neumáticos. SOLUCIÓN : Paso 1: planteamos la hipótesis H0 : u1 = u2 = u3 = u4 Ha : no todas las medias son iguales

Paso 2:

consideramos un nivel de significancia de 0.05

Paso 3:

el estadístico a utilizar es F

Hallamos los valores de:

SST = 781.46 SS Total = 1550.96 SSE = 769.5

Industrial



Milla /

Ordenando los valores en la tabla suma de cuadrados

Tratamiento SST = 781.46

grados de libertad

cuadrado medio

3

MSTR = 781.46/3 = 260.49 MSE = 769.5/ 20 = 38.46

Error

SSE = 769.5

20

Total

SS total = 1550.96

n – 1 = 23

F MSTR MSE

=6.77

4° Establecimiento de la regla de decisión F tabla = F( 0.05,3,20) = 3.10

3.10

6.77


Como el F calculado es mayor que el F critico, entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.

CONCLUSIÓN :

Por lo que se puede concluir que si existe alguna diferencia en los rendimientos medios de los tipos de neumáticos.

AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO MINITAB : Industrial



Milla /

De los resultados obtenidos con MINITAB observamos que el valor de F calculado obtenido por tabla es 3.10 , el F calculado en MAYOR que el F critico . Por lo tanto rechazanos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.

Industrial



Milla /

11.- Problema # 34 página 444 del Mason Anova en dos direcciones

La empresa Martín Motors tiene en almacén tres automóviles de la m fabricación y modelo. Al gerente le gustaría comparar el consumo de de los tres vehículos (designados auto A, auto B y auto C) utilizando c diferentes tipos de gasolina. Para cada prueba se puso un galón de co en el tanque vació de cada automóvil y se les manejo hasta agotar la La siguiente tabla muestra el número de millas recorridas en cada pr

Tipos de Gasolina

Distancias (millas)

Regular Súper Regular Sin Plomo Premium sin Plomo

Auto A

Auto B

Auto C

22.4 17.0 19.2 20.3

20.8 19.4 20.2 18.6

21.5 20.7 21.2 20.4

Utilizando el nivel de significancia de 0.05 Hay diferencia entre los tipos de gasolina ¿Existe diferencia en los autos? SOLUCIÓN : * Tratamientos :

SST = 3.9217

* Bloques :

SSB = 10.2092

* Suma de cuadrados Total : SST = 22.5892 * Error :

SSE = 8.4583

Cuadro Anova : Industrial



Suma de G .l. cuadrados Tratamiento3.9217 2 s Bloques 10.2092 3 Error 8.4583 6 Total 22.5892 11

Milla /

Cuadrado F Medio 1.9609 1.391 3.4031 1.4097

2.4141

Para los tratamientos es: 1° Planteamiento de Hipótesis

prueba. 2°

H0: µ1=µ2=µ3 No existe diferencia entre las millas promedio que recorren los autos Ha: Existe diferencia en la cantidad de millas recorridas por auto Planteamiento del nivel de significancia α=0.05

3° Planteamiento del estadístico de prueba F k = 1.391 4° Establecimiento de la regla de decisión

Industrial



0

Milla /

5.14

5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis a un nivel de significancia del 0.05 . CONCLUSIÓN :

No existe diferencia entre las millas promedio que recorren los autos de la prueb

Para los bloques es: 1° Planteamiento de Hipótesis

H0 : µ1=µ2=µ3=µ4 No hay diferencia entre las millas promedio que recorre el auto debido a gasolina que usa

Ha : Existe diferencia entre alguna de las medias. Es decir que la gasolina es un factor importante para el mejor desempe

auto. 2°

Planteamiento del nivel de significancia α=0.05


F k = 2.4141 4° Establecimiento de la regla de decisión

Industrial



0

Milla /

4.76

5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis a un nivel de significancia del 0.05

.

CONCLUSIÓN :

No hay diferencia entre las millas promedio que recorre el auto debido a la gaso usa.

Industrial



Milla /


Para los tratamientos :

El F calculado obtenido por MINITAB es 1.39 que es menor al obtenido por tabla 5. tanto aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa . Industrial



Milla /

Para los bloques :

El F calculado obtenido por MINITAB es 2.41 que es menor al obtenido por tabla 4. tanto aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa .

12.- Problema Anova en dos direcciones

Se realiza un estudio de movimientos para determinar el mejor de tres m de montar un mecanismo. Para esto se desarrollo un experimento de un por bloques aleatorios seleccionando cinco operarios con igual velocida número de montajes terminados diarios por cada operario y con cada m se da en la tabla que sigue. operario 1 2 3 4 5 ∑x ∑x2

1

Método 2

19 75

39 311

3 4 3 5 4

9 8 7 9 6

3

5 6 8 7 9

35 255

∑x

∑x2

17 18 18 21 19 93

115 116 122 155 133 641

Al nivel de significancia del 5% ¿se puede concluir que los tres méto montaje son significativamente diferentes? Solución Para esto primero realizamos los cálculos de SST, SSB, SSTOTAL y SSE

* Para tratamientos SST = 44.8

* Para bloques SSB = 3.06

* La suma de cuadrados total SSTOTAL = 64.4

* Para el error

Industrial


Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial SSE = 16.54

Milla /

Ordenando los valores en la tabla

tratamiento

suma de cuadrados grados de libertad SST = 44.8 k – 1= 2

bloques

SSB = 3.06

b–1=4

error

SSE = 16.54

total

64.4

(k-1)(b-1)= 8 n - 1 = 14

Cuadrado medio MSTR = 44.8 / 2 = 22.4 MSB = 3.06 / 4 = 0.765 MSE = 16.54 / 8 = 2.068

F MSTR = 10.84 MSE MSB MSE

=0.37

Realizamos la comprobación de estos valores con el programa minitab

Industrial



Milla /

Como se puede observar los valores obtenidos por el minitab y los calculados mediante las formulas son aproximadamente iguales de esta forma queda comprobado que el valor de F es.

Para los tratamientos *obtenido por el minitab = 10.84 *obtenido mediante cálculos = 10.84

Para los bloques *obtenido por el minitab = 0.37 *obtenido mediante cálculos = 0.37 Realizamos la prueba de hipótesis con estos datos:

Para los métodos Paso 1: planteamos la hipótesis H0 : u 1 = u 2 = u 3

Ha : al menos una media es diferente

Paso 2: consideramos un nivel de significancia de 0.05 Paso 3: el estadístico a utilizar es F; donde el valor calculado de F es 10.84 y el valor critico es F( 0.95, 2 , 8) = 4.46 Interpretación:

Observamos que el F calculado es 10.84 y el obtenido por tablas es 4.46 valor critico. El F calculado es mayor que el F critico por la que se encuentra en la región de rechazo; la hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa. se puede concluir que los tres métodos de montaje son significativamente diferentes.

para los operarios Paso 1: planteamos la hipótesis

H0 : u1 = u2 = u3 = u4= u5 Ha : no todas las medias son iguales

Paso 2: consideramos un nivel de significancia de 0.05 Paso 3: el estadístico a utilizar es F; donde el valor calculado de F es 0.37 y el valor critico es F( 0.95, 4 , 8) = 3.84 Interpretación:

Observamos que el F calculado es 0.37 y el obtenido por tablas es 3.84 valor critico. El F calculado es menor que el F critico por la que se encuentra en la región de aceptación; la hipótesi nula se acepta y se rechaza la hipótesis alternativa. Se puede concluir que el numero de montajes terminados por cada operario son iguales.

Industrial


primeraparte-Mayta

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