Razonamiento
Matemático
CRONOMETRÍA Y CALENDARIOS
CAPÍTULO VIII
Ángulos formados por el Minutero y el Horario
8.1. CRONOMETRÍA Tiempo transcurrido (TT) y tiempo que falta transcurrir (TFT)
12
11
Para la resolución de este tipo de problemas, es recomendable tener presente la realización de un esquema; por ejemplo:
1
10
M
9
3
α
H 8
Para un día
4 7
1 Día <> 24h Tiempo transcurrido
5
6
Cuando el horario minutero
Tiempo que falta transcurrir
se
α=− 0h
x
24 h (24 – x)
x
Ejemplo Nº 01 Dentro de 10 minutos el tiempo que faltará pa ra las 5:00 pm será la mitad del tiempo transcurrido desde las 4:00 pm hasta hace 20 minutos. ¿Qué hora es? A ) 4 :2 :20 p.m. D) 4:10 p.m.
B) 4: 4 :30 p. p.m.
C) 4:40 p.m. E) 4:35 p.m.
Resolución Sea «x» los minutos que indicará la hora correcta: TT
α=
al
se
adelanta
al
11 M − 30H 2
Ejemplo Nº 02 ¿A qué hora entre las cuatro y las cinco las agujas de un reloj están superpuestas? A) 4 h
B) 4 h
21
9 11
min
C) 4 h 30 min D) 4 h 35
TFT
20min
adelanta
11 M + 30H 2
Cuando el minutero horario
HORA EXACTA
2
9 12
min
E) 3 h 21m in
10min
4:00
x 2k
5:00 k
Resolución Como las agujas se encuentran superpuestas, entonces formaran un ángulo de 0°, luego reemplazando los datos tenemos:
1hora <> 60min 0° = − Del gráfico: 2k +k + 20+10 = 60 k = 10 min Cálculo de «x»: x = 2k + 20 = 2(10) + 20 = 40 min ∴
Son las 4:40 pm
11 m + 30(4) 2
Desarrollando: m = 21
∴ La
9 11
min
9 hora será 4 h 21 min 11
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Adelantos y Atrasos En este grupo de problemas veremos situaciones donde se encuentran relojes que por un mal funcionamiento se atrasan o se adelantan. Consideremos los siguientes casos: Cuando un reloj se adelanta
Razonamiento Matemático Ejemplo Nº 04 Un reloj indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 10:00 am tarda 18 segundos. ¿Qué hora será cuando haya tardado 12 segundos en indicarla? A) 5:0 0 pm D) 5:00 am
B) 7:00 am
C) 8:00 pm E) 8:00 am
Hora Real = Hora Adelantada – Adelanto Total
Cuando un reloj se atrasa
Resolución Según el enunciado:
Hora Real = Hora Atrasada + Atraso Total
Ejemplo Nº 03 Si un reloj se adelanta 6 minutos cada 3 horas y esto ocurrió hace 14 horas. ¿Qué hora sería cuando marca las 19 h 40 min? A) 2 0 h 08 m in C) 19 h 10 min D) 18 h 44 m in
B) 19 h 12 m in
# campanadas 10 x
Por regla de tres simple directa: 9(12) = 18 (x – 1) x=7 Por dato: Hora marcada = N° de campanadas ∴
S e a de de la la nt nt a en 6 m in 3 horas x 14 hor as Por regla de tres simple directa: x=
6(14) 3
x = 28 min Entonces: Hora real = 19 h 40 min - 28 min Hora real = 19 h 12 min hora real sería las 19 h 12 min
Tiempo relacionado con Campanadas. En general: Número de campanadas: N° de campanadas = N° de intervalos + 1
También: N° de Tiempo de = ⋅ Total intervalos cada intervalo
Tiempo
tiempo 18 s 12 s
E) 19 h 16 m in
Resolución Según el enunciado:
∴ La
# intervalos 9 x–1
Será las 7:00 am
Relaciones entre el desplazamiento del HORARIO y el MINUTERO Desplazamiento del minutero
Desplazamiento del horario
60 m in 30 m in 24 m in 12 m in 1 m in
5 min ó 30° 2,5 min ó 15° 2 min ó 12° 1 min ó 6° 1/12 m in ó 1°/2
En general: « x » min « 6x° »
x/12 min x°/2
Ejemplo Nº 05 ¿Qué hora indica el reloj de la figura? A) 7 h 24 2/3 min B) 7 h 23 1/13 min C) 7 h 24 1/13 min D) 7 h 23 2/13 min E) 7 h 24 3/13 min
12
9
h
3
α α
m
8
4 7
6
5
49
Razonamiento Matemático 2. De las siguientes afirmaciones sobre relojes, reflexiona cuál es falso:
Resolución
12
6m 9
h
3
α α
m
8 m 2
4 7
6
5
30°
Del gráfico: 30° + m/2 = α …. (1) α +180° = 2α + 6m ….(2) Reemplazando (1) en (2): m = 23 1/13 ∴ Será
las 7 h 23 1/13 min.
8.2. CALENDARIOS Considerar los siguientes días de cada mes: Enero = 31 Ma rzo = 31 Ma yo = 31 Julio = 31 Se tiembre = 30 Noviembre = 30
Febrero = 28 ó 29 (Bis) Abril = 30 Junio = 30 Agosto = 31 Octubre = 31 Diciembre = 31
Además; los días se repiten cada 7 días.
PRÁCTICA Nº 08 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Identifique cuantos de estos enunciados son incorrectos. I. Un año es bisiesto si es divisible por 4, excepto el último de cada siglo (aquel divisible por 100), salvo que éste último sea divisible por 400. II. Una Luna equivale a 28 28 dias III. El año vigesimal vigesimal y solar son son 360 y 365 dias IV. Si hoy es sabado, entonces dentro 160 dias sera viernes V. Si tu naciste el lunes 23 de noviembre de 1981, entonces tu cumpleaños en el año 2025 caera el día domingo A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 3
A) Las agujas de un reloj se encuentran a 180º cuando estan en linea recta. B) Para que un reloj defectuoso, que sufre adelantos o atrasos, vuelva a marcar la hora correcta por primera vez, es necesario que acumule un adelanto o atraso total de 12 horas. C) Las agujas de un reloj estan superpuestas marcan un ángulo de 0º. D) El angulo de arrastre de horario es 6mº. E) El tiempo de cada intervalo es igual en un campanario es igual igual al tiempo total entre entre el cociente de números de intervalos. 3. Estalece el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: I. El horario y el minutero de un reloj se superponen 23 veces al día. II. Las agujas de un reloj (horario y minutero) forman un ángulo de 90º, 48 veces al día. III. Las agujas de un reloj (horario y minutero) forman 24 veces al día un ángulo llano. A ) FV V D ) VV V
B) VV F
C) V FV E) VFF
Capacidad 02: Comunicación Matemática 4. Relaciona los siguientes datos sobre la hora y el tipo de desplazamiento de las manecillas del reloj entre los datos de derecha a izquierda.
Desplazamiento del minutero a. 4 8 m in b. 9 0 m in c. 3 0 m in d. 4 5 m in A) aIV A) aIV, bI, bI, cII cII, dIII dIII C) aI aIV V, bII bII,, cIII cIII,, dI dI E) aIII, bIV, cII, dI
Desplazamiento del horario I. 22,5º II. 15º III. 4 m in IV. 7.5 m in B) aI aIV V, bI bIII II,, cI cII, dI D) aII aIII, I, bI bII, I, cI cIV V, dI dI
50
Razonamiento 5. Sean las fórmulas «A» y «B» que relacionan al horario, minutero y el ángulo que éstas forman; identifica las fórmulas con las respectivas horas. α =−
A
B
α =
11 M 2
11 M 2
a . 4:36 b . 7:18 c. 17:36 d . 3:20 A) BB BA D) BA BB
+
30H
30H ( ( ( (
B) A A BA
) ) ) )
C) BA BA E) BB AA
Capacidad 03: Resolución de Problemas 6. El reloj de Neyer Neyer da «n» «n» campanadas campanadas 12 segundos. Halla cuántas campanadas se daran (12n +12) segundos. 2
A) n +1
2
B) n +2
D) n2
2
C) n -1 E) 2n2
7. Un boxeador da 6 golpes por minuto, Calcula cuantos golpes dara en 10 minutos. A) 6 1 D) 6 0
B) 5 1
C) 5 0 E) 7 1
8. Un reloj de campanario demora 1 min 27 seg seg en dar cierta cantidad de campanadas, si las campanadas son como 10 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. Resuelva cuánto demora en dar 6 campnadas. A ) 39s D) 24s
B) 17s
C )1 20 s E) 1 5s
9. Son más de las 3 pero aún no son las 4. Si los minutos transcurridos desde las 3 es el triple de los minutos que faltan transcurrir para que sean las 4. Juzga qué hora es: A) 3:50 p.m. D) 3:30 p.m.
10. El tiempo máximo que debe tardarse en resolver este problema se descompone del modo siguiente: 1/25 del total en leerlo, 1/4 en planteralo, 41/100 en operarlo y m inuto y medio en comprobarlo. Analiza qué tiempo tardaría. A) 4 m in D) 5 m in
−
Matemático
B) 3:45 p.m.
C) 3:40 p.m. E) 3:15 p.m.
B) 7 m in
C) 1 m in E) 2 m in
11. Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5 min cada hora. Plantea qué hora marcará cuando la hora corrrecta sea 9 p.m. del mismo día. A) 10:10 p.m. C) 1 0:05 p.m. E) 10:20 p.m.
B) 10:12 p.m. D) 10:18 p.m.
12. Un reloj marca la hora exacta a las 6 p.m. Suponiendo que se adelanta 3 min cada 12 h a partir de dicha hora. Aplica cuánto tiempo tiempo pasará para que marque la hora exacta nuevamente. A) 1 12 20 día días s B) 15 150 0 día ías s D) 7 5 días
C) 18 180 0 día ías s E) 6 0 diás
13. Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m. uno de ellos se adelanta 3 minutos cada cuarto de hora y el otro se adelanta 4 minutos cada hora. Plantea cada cuánto tiempo marcaran la misma hora. A) 108 h D) 75 h
B) 60 h
C) 90 h E) 30 h
14. Un reloj señala las 4:00 p.m. del día. Analiza a que hora las dos agujas del reloj formar un ángulo recto inmediatamente después de la hora indicada. A) 4 horas 20 minutos B) 4 horas 6 3/11 minutos C) 4 horas 12 5/11 minutos D) 4 horas 8 3/11 minutos E) 4 horas 5 5/11 5/11 minutos minutos 15. Formula cada cuántos minutos las manecillas del reloj estan perpendiculares. A A)) 36 3600 00//11 D) 480/11
B) 240 40/1 /11 1
C) 21 210/ 0/1 11 E) 320/11
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16. Analiza que hora señala segun gráfica: A) 6:28:48 B) 6:27:48 C) 6:26:48 D) 6:28:40 E) 6:27:45
11
12
1
10
2 3
9 )
8
2α α
7
4 5
6 17. María sale de su casa cuando su reloj esta marcando las 09:00 h y llega a la academia cuando el reloj de ésta muestra la hora que se indica en la figura. Busca qué tiempo duró su viaje, si su reloj está adelantado 5 minutos y el de la CEPREVAL esta atrasado 5 minutos. A) 3 min 20 s B) 23 min 20 s C) 13 min 20 s D) 33 min 20 s E) 24 min 20 s
11
12
1
10 9
2 3α
α
3
8
4 7
6
5
18. Calcula que hora señala el reloj: 12 11 1 A) 4:40 B) 4:42 10 C) 4:37 D) 4:35 9 E) 4:36 α
2 3
5
6 19. Se construye un reloj que tiene el horario más grande que el minutero, cuando Mary ve la hora dice: «son las 9:29, si el ángulo ue forman las manecillas es 114º». Juzga qué hora es en realidad. A ) 5 : 47 D) 5:48
B) 5:45 1 /7
C) 5:48 3/13 E) 5:47 5 /7
20. Naldy se despierta, ve la hora y confunde el minutero con el horario y viceversa y dice: «son las 04:42 h es temprano seguiré durmiendo». Comprueba qué hora era realmente. A) 08:23 h D) 08:24 h
B) 0 8:22 h
B) 7:00 am.
C) 8:0 8:00 0 pm. E) 8:00 am.
22. Elabora que hora será dentro de 5 horas. Si el triple de las horas transcurridas del día, es igual al quintuplo de las que faltan para términar el día. A) 10: 00 am. D) 7 :00 pm.
B) 8:00 am.
C) 8:00 pm. E) 9:00 pm.
23. Margarita sale de la oficina y al marcar su tarjeta de salida ve que son las 6 h 17 min de la noche. Al llegar a su casa ve que su reloj son las 7h 10min . Luego se entera de que el reloj de su oficina estaba atrasado 13 minutos y su reloj estaba adelantado en 10 minutos. Resuelva cuánto tiempo demoró de la oficina a su casa. B) 3/4 m in
C) 3/5 m in E) 23 m in
24. Manuel al ser interrogado por la fecha de su matrimonio, contesto: «La ceremonia se realizó transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir». Analiza en que fecha y hora se casó Manuel(febrero 28 dias)
4
α+20
7
A) 5:0 5:00 0 pm. D) 5: 0 0 am.
A) 43 m in D) 1/2 h
)
8
Razonamiento Matemático 21. Un reloj indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 10:00 a.m. tar da 18 segundos. Plantea qué hora será cuando haya tardado 12 segundos en indicarla.
C) 0 8:25 h E) 0 8:21 h
A) 02 de mayo, 18h. B) 30 de abril, 15 h C) 31 de abril, 10 h D) 03 de mayo, 19 h E) 01 de mayo, 16 h 25. Tania nació en el año de 1988 a las 8:00h de un día tal que los días transcurridos del año eran igual a la quinta parte de los días que faltabsn transcurrir. Dar la fecha de nacimiento de Tania, sabiendo que el primero de enero de 1988 fue lunes y el año fue bisiesto A) Sábado 4 de marzo de 1988 B) Sábado 5 de marzo de 1988 C) Viernes 4 de marzo de 1988 D) Viernes 5 de marzo de 1988 E) Sábado 2 de marzo de 1988
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