Problemas Encuentre en cada caso la ecuación de la recta 1.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-1) y es paralela a la recta l1 : 4x-y=1
Solución: Como l1 es paralela a la recta pedida entonces tiene la misma pendiente ,es decir, Si l1 es paralela a l2 entonces m1= m2 Tomamos
l 1 : 4x-y=1 y despejamos el valor de y, así -y = 1 -4x Y = 4x -1
Es claro que la pendiente de la recta l1 es m1 = 4
Teniendo en cuenta la teoría l1 es paralela a l 2 entonces m1= m2 Tenemos que la recta pedida l2 m2 = 4
pasa por el el punto P(1,-1) P(1,-1) y tiene pendiente pendiente
Utilizamos la Ecuación punto pendiente (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo
(Y(Y- (-1)) = 4(X- 1) Y+1 = 4X- 4 Y = 4X -4-1 l2 : Y = 4X-5
La ecuación (1) es la recta buscada
(1)
2.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-1) y es perpendicular a la recta l2 : -5x +y =6
Solución: Como l2 es perpendicular a la recta pedida entonces entonces el producto de sus sus pendientes es igual a -1, es decir, Si l1 es perpendicular a l2 entonces m1.m2= -1 1
m1= − Tomamos
m2
l 2 : -5x +y =6 y despejamos el valor de y, así Y = 6 +5x Y = 5x +6
Arreglamos
Es claro, que la pendiente de la recta l2 tiene pendiente m2 = 5
Teniendo en cuenta la teoría l1 es perpendicular a l2 entonces m1.m2= -1
Tenemos que la recta pedida l1
pasa por el punto P(1,-1) y tiene pendiente pendiente 1
m1 =
−
5
Utilizamos la Ecuación punto pendiente (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo
(Y(Y- (-1)) =
5 1
Y+1 =
−
Y=
l2 : Y =
1 −
1 5
1 5
5
(X- 1)
X+
1 5
1
X + +1
X +
5
6 5
La ecuación (1) es la recta buscada
(1)
3.-Encuentre la ecuación ecuación de la recta que que pasa por el punto P(0,1) y Q( -1,4) Solución: Utilizamos la ecuación punto pendiente
(Y- Y1) = m(X-X2)
1) Buscamos Buscamos la pendient pendiente e de la recta recta con con los dos puntos puntos m= m=
y 2
−
y1
x 2
−
x1
4 −1 −
1− 0
m=
3 −
3
1
m= -3
= −
Tomamos el punto P(0,1) y la pendiente m=-3 (Y- Y1) = m(X-X2) (Y -1) =-3(x-0) Y= -3x +1
Ec (1)
(Y(Y- 4) = -3(X- (-1)) Y- 4 = -3 (X+1) Y= -3X -3 +4
Si tomamos el punto Q( -1,4)
Y= -3x +1
Ec (2)
Tomando el punto P ó el punto Q la ecuación de la recta es la misma (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo
(Y(Y- (-1)) =
5 1
Y+1 =
−
Y=
l2 : Y =
1 −
1 5
1 5
5
(X- 1)
X+
1 5
1
X + +1
X +
5
6 5
(1)
La ecuación ecuación de la recta recta buscada buscada es Ec(1)= Ec(2) Ec(2)
4.-Halle la ecuación ecuación de la recta que pasa punto p (7,3) (7,3) y tiene un ángulo de inclinación α =
π
4
.
Sabemos que el ángulo de inclinación es la pendiente de la recta la podemos encontrar médiate: Tg α = m=
y 2
−
y1
x 2
−
x1
También que
1 π -----------------180 º π π
4
-------------------x
x=
.180
4
π 45 =
π
=
45
π
X= 45º Tg 45º = m =
y 2
−
y1
x 2
−
x1
1= m , es decir que la pendiente es m= 1 y pasa por el punto p (7,3)
Utilizamos la Ecuación punto pendiente (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo
(Y(Y- 3)) = 1(X-7) Y-3 = X- 7 Y = X -7+3 l : Y = X- 4
La ecuación (1) es la recta buscada
(1)
º
5) Dada la recta r: 7x-5y=5 a) ¿Pertenece a r los los puntos P (1,2) y Q(6/7, 1/5) ? b) ¿Cuáles valores valores deben tomar a y b para que que los puntos (a,2) (a,2) y (0,b) pertenezcan a la recta r?
Solución (a) •
P (1,2)
r: 7x-5y=5 entonces r: 7(1)-5(2)= 5 7-10=5 -3≠ 5 Es claro que P (1,2) no pertenece a la recta r •
Q(6/7, 1/5) r: 7x-5y=5 entonces r: 7(
•
6 7
1
)-5( )= 5 5
6- 1 =5 5=5 Es claro que Q(6/7, 1/5) pertenece a la recta r
(b) ¿Cuáles valores deben tomar a y b para que los puntos (a,2) (a,2) y (0,b) pertenezcan a la recta r? (a,2) tenemos que x=a r: 7x-5y=5 entonces
7x-5y=5 entonces 7x-5(2)= 5 7x = 5 +10 7x=15 X=
a debe tomar tomar un valor de de 15 7
,2)
15 7
15 7
, es decir el punto que pertenece a la recta es (
(0,b)
tenemos que y=b r: 7x-5y=5 entonces
7x-5y=5 entonces 7(0)-5y=5 -5y= 5 Y=
5 −
5
Y= -1 B debe tomar un valor de de -1, es decir decir el punto que pertenece a la recta es (0,(0,-1) r: 7x-5y=5 r: 7(0)-5(-1) =5 0+5=5
