Proses Poisson

PROSES POISSON MAKALAH

UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Proses Stokastik yang dibina oleh Bapak Dr. Swasono Rahardjo, S.Pd, M.Si

Disusun oleh: Acika Karunila

(140312604858) (140312604858)

Alfonsa Maria Gita M

(130312602889) (130312602889)

Meytika Islamia W

(140312602792) (140312602792)

UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA Maret 2017

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.













BAB I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang

Secara umum pemodelan yang berkembang saat ini bisa dikategorikan kedalam dua proses yaitu proses poisson dan proses deterministik.Pada proses stokastik banyak fenomena di alam yang bisa dibawa kearah proses poisson. Proses antrian merupakan contoh nyata proses Poisson yang banyak terjadi pada berbagai fasilitas pelayanan saat ini. Proses antrian suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu dalam baris antrean jika belum dapat dilayani, kemudian seorang pelanggan begitu dilayani hanya akan meninggalkan sarana pelayanan tersebut setelah selesai pelayanan. Bentuk distribusi kedatangan ada dua yaitu distribusi jumlah kedatangan dan distribusi waktu antar kedatangan.Sedangkan bentuk distribusi pelayanan juga ada dua yaitu distribusi jumlah pelayanan dan distribusi waktu pelayanan. Pada proses kedatangan waktu antar kedatangan merupakan distribusi identik dan independen(bebas).Beberapa distribusi waktu antar kedatangan bisa berdistribusi eksponensial,general,deterministik atau poisson.Untuk memperoleh distribusi waktu antar kedatangan beberapa kasus antrean yang terjadi saat ini,seperti panggilan telpon,koneksi server internet,dan lalu lintas kendaraan dijalan tol pada arus mudik dan arus balik lebaran serta kedatangan pelanggan dikantor pos pada menjelang tahun baru dan lebaran tidak mudah didapatkan. Hal ini terjadi karena waktu antar kedatangannya yang sangat kecil sekali,sehingga sulit untuk mendapatkan data waktu antar kedatangannya, atau dalam interval waktu kecil,misalkan satu menit jumlah kedatangannya sangat besar. 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan proses Poisson? 2. Bagaimana penerapan proses Poisson dalam kehidupan sehari-hari? 1.3

Tujuan

1. Mengetahui pengertian dari dengan proses Poisson. 2. Mengetahui bagaimana penerapan proses Poisson dalam kehidupan seharihari.















BAB II PEMBAHASAN

Proses Poisson adalah proses menghitung (counting ( counting process) process) untuk banyaknya kejadian yang terjadi hingga hingga suatu waktu. Contoh: kedatangan nasabah suatu bank, munculnya item cacat pada proses pemeriksaan, masuknya pesan SMS pada handphone anda, dll. 2.1

Proses Menghitung 

Definisi 2.1:

       

Proses stokastik proses) proses) jika

dikatakan proses menghitung (counting ( counting

menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi

selama waktu t (S.Osaki, 1992) Contoh: 1.

            

adalah banyaknya bayi yang lahir selama waktu t. Maka proses menghitung.

2.

adalah banyaknya orang yang datang ke Toserba Grya dalam

waktu [0,t]. Maka



proses menghitung.

Proses menghitung i. ii. iii. iv.

memenuhi sifat:

adalah bilangan bulat

Jika

, maka

Untuk

menyatakan banyaknya kejadian yang

terjadi pada interval waktu (s,t]



Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent ) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu increments terpisah adalah saling bebas. Artinya, banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu t , (yaitu N (t )), )), bebas dari banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara t dan dan t + s, s, (yaitu N (yaitu N (t + s) s)- N N (t )). )).















terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang dari interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut.

                                                            Artinya, banyaknya kejadian pada interval waktu

(yaitu

mempunyai distribusi yang sama dengan

banyaknya kejadian pada interval waktu

(yaitu

untuk semua



Definisi 2.2: Fungsi

dikatakan

jika

Contoh:

Untuk interval waktu yang kecil 

tidak ada kejadian pada interval waktu yang

kecil h>0

peluang ada kejadian pada interval waktu

yang kecil h>0

2.2

Proses Poisson 

Definisi 2.3: (S.Osaki, 1992)

Suatu proses menghitung



dikatakan proses Poisson

dengan laju (parameter) λ > 0 jika memenuhi: i.

                  

ii. Proses

mempunyai

kenaikan

bebas

stasioner

(stationary

independent increments)

iii. iv.

Dari definisi ini, untuk

berlaku,

Menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada

interval (0,t]. Hukum Peluang Total:















Karena proses Poisson stasioner, maka

             Untuk sebarang

I ndepe ndependent i ncr ements

Proses mencacah (counting (counting process) process) mempunyai sifat independent increments jika increments jika untuk sembarang 0  s  t  u  v, X(t) – X(t) – X(s) X(s) saling bebas dengan X(v) – X(v) – X(u) X(u) Jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu yang tidak tumpah tindih adalah peubah acah yang saling bebas 

Definisi 2.4: (S.Osaki, 1992)

Suatu proses menghitung



dikatakan proses Poisson

dengan laju (parameter) λ > 0 jika memenuhi: i. N(0) = 0

ii. Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments) iii. Peluang ada k kejadian dalam interval waktu t: Pk (t )

 P  N (t  s )  N (s )  k  

 s, t  0.  N (s  t )  N (s ) Maka

( t ) k

e

  t

k !

, k  0,1, ...

POI ( t ).

 ]   t ,

E [ N t

 ]   t ,

Var[ N t

  

 ]

E[ N t t

 Rate (laju dari proses)

= rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per waktu t stationar y in crements crements

Suatu counting process process mempunyai stationary increments increments jika untuk sembarang s sembarang s < < t , sebaran bagi X (t ) – X X ( s) s) tergantung hanya pada selang waktu t – – s: s: X (t – s) s)















a) Definisi 2.3 ⟶ Definisi 2.4 Sifat i,ii jelas Selanjutnya, tulis



                                                                                                                                                                                                

Untuk

Dari bentuk

diperoleh:





Dengan syarat awal 

Untuk

















Dari sini diperoleh:

                                       

Atau ditulis





(PDB Linier)

Untuk

Dengan syarat

, diperoleh:



Dengan induksi matematik diperoleh

P k (t )



( t ) k

e

 t

k !

Hal ini menunjukkan

             

(sifat (iii) Definisi 2)

b)

Definisi 2.4 ⟶ Definisi 2.3 Sifat (i) jelas

Dari sifat (iii) definisi 2,

mempunyai distribusi yang

sama dengan N(t)

Artinya, punya kenaikan stasioner (sifat (ii) definisi 1). Selanjutnya, dari sifat (iii) definisi 2,

               















            



(memenuhi sifat (iv) definisi 1) 

                                  

Ekspektasi dan Variansi dari

2.2.1

Contoh soal

1. Pelanggan tiba di toko mengikuti proses Poisson dengan laju 2 orang per jam selama jam kerja dari pukul 10.00 (t=0) sampai pukul 18.00 a. Tentukan peluang bahwa k pelanggan (k=0,1,2) datang pada pukul 13.00 – 13.00 – 15.00 15.00 b. Tentukan mean dan variansi dari kedatangan pelanggan selama jam kerja Jawab:

                

a. Waktu 13.00-15.00 → t=2















     

2. Panggilan telepon mengikuti proses Poisson dengan laju 10/jam a. Tentukan peluang bahwa ada 8 panggilan telepon terjadi pada satu jam pertama b. Tentukan peluang terdapat 3 panggilan telepon pada setengah jam pertama dan 6 panggilan telepon pada setengah jam kedua Jawab:

λ =10 =10 a. b.

2.3

                                                     

Waktu Antar Kedatangan

Berdasarkan proses menghitung

,

menyatakan

banyaknya kejadian sampai waktu . Perhatikan bahwa kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval pertama terjadi pada saat

, disini

Kejadian kedua terjadi pada saat

. Misalkan kejadian

dan

, maka

untuk

dan

.

untuk















Definisi 2.5:

Berdasarkan proses menghitung waktu dari kejadian pertama. Untuk antara kejadian ke



       , misalkan

, misalkan

dan kejadian ke

. Maka

adalah

adalah waktu



disebut

basrisan waktu antar kedatangan atau waktu antar kejadian.

2.4

Distribusi Waktu Kedatangan Teorema :

             

Waktu antar kedatangan

,

dari suatu proses Poisson adalah

saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter . Bukti:

Akan ditunjukkan Catat bahwa,

terjadi jika tidak ada kejadian dari proses Poisson

yang terjadi pada interval

. Ini identik dengan















Maka

     

Dengan induksi matematika, kita dapatkan, tiap waktu antar kedatangan adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter (terbukti)

              



.



λ

λ

2.4.1 Contoh soal

1. Kerusakan terjadi di sepanjang kabel di bawah laut, dengan jumlah kerusakan yang mengikuti proses Poisson dengan laju



per mil. Berapa peluang bahwa tidak terdapat kerusakan pada 2 mil pertama sepanjang kabel tersebut? Penyelesaian

Diketahui:

        per mil

Ditanya : Jawab:

Perhatikan bahwa

                                

















Realisasi dari waktu antar kedatangan dan waktu tunggu Untuk proses Poisson,

        

Perhatikan waktu tunggu

n

Sn

  X k ,

S 0

 0.

k 1

Karena

       

P ( S n

Hubungan antara S n

 t  N (t )  n

t

T) 

  

0



  x



n 1

e

( n  1) !

  x

dx

, maka















                                  

Teorema:

Diketahui bahwa

    

, n waktu kedatangan

   

memiliki

distribusi yang sama dengan statistik terurut sesuai dengan n variabel acak bebas berdistribusi seragam pada interval (0,t) Bukti: Kita akan menghitung fungsi kepadatan bersyarat dari

                          

Diketahui bahwa Misal

dan misal



   

cukup kecil sehingga















Yang memenuhi pembuktian. 

Proporsisi

Jika

                       

menyatakan banyaknya kejadian tipe-i yang terjadi pada

waktu , acak

maka maka

dengan

dan

mean

adalah bebas Poisson variabel

dan

,

dimana

Bukti

                                  Kitaakan menghitung distribusi bersama dari

berdasarkan pada

dan

:

=n,



Sekarang berdasarkan sebarang kejadian yang terjadi pada interval . Jika terjadi pada waktu

, maka probability nya dalah type-I















                                

Pembuktian selesai

2.7

The M/G/1 Busy Period

Berdasarkan sistem antrian, diketahui sebagai M/G/1, yang mana pelanggannya tiba pada kesesuaian dengan proses Poisson dengan laju



. Saat Kedatangan menuju pelayanan jika servernya

bebas atau dengan bersama antrian. Kesuksesan waktu pelayanan adalah bebas dan berdistribusi identik berdasarkan G, dan juga bebas pada proses kedatangan. Ketika kedatangan pada server yang bebes, kita dapat sebutkan bahwa waktu atau periode sibuk telah dimulai. Hal itu akan berakhir saat tidak ada pelanggan yang panjang pada periode sibuk. Anggap bahwa periode sibuk akan dimulai pada beberapa saat waktu, yang mana kita tetapkan pada waktu 0. Misal





menyatakan

waktu sampai penjumlahan dari pelanggan yang tiba. (maka, contoh















                                                                                                                              sekarang proses kedatangan bebas dari waktu pelayanan dan

dinaman

adalah kelipatan n pikiran dari G dengan dirinya

sendiri. Dengan penjumlahan, kita dapat membentuk teorema 2.3.1

yang diberikan

kedatanagn di

, urutan waktu kedatangan

berdistribusi berdasarkan urutan nilai dari himpunan seragam

bebas

variabel acak. Karena menggunakan fakta bahwa

(2.3.3) dan (2.3.2) yaitu

















        

Bukti:

Pembuktian dengan Induksi Matematika pada n

                              

Ketika Ketika

, kita harus menghitung

adalah seragam (0,t). Tetapi

Maka asumsi lemma ketika n diganti dengan n-1 dan sekarang berdasarkan kasus n. Karena hasil adalah jelas untuk misal bahwa

,

. Untuk memanfaatkan hipotesis induksi akan

dihitung ruas kiri persamaan pada lemma dengan pengkondisian pada nilai-nilai

dan menggunakan fakta

















                                    Lemma 3

Misal

menyatakan urutan nilai dari himpunan

bebas seragam (0,t) variabel acak, dan misal

, bebas

dan berdistribusi identik nonnegatif variabel acak yang bebas pula

dari



. Maka

Bukti:

 





Untuk menghitung probabilitynya kita akan menggunakan















(iv)

        

Proses Poisson homogen mempunyai parameter λ

Proses Poisson nonhomogen nonhomogen mempunyai parameter λ(t), λ(t) disebut fungsi intensitas Yakni,

Maka kita punyai,

    

         

2.9 Compoun Variabel Acak Poisson dan Prosesnya Variabel Compoun d















Dengan

menurunkan

fungsi

tersebut

       

                                          , , dimana

Ketika



didapatkan

memiliki distribusi

adalah fungsi distribusi diskret representasi dari

liniear dari Variabel acak Poisson yang bebas. Misalkan

kombinasi

adalah variabel acak

diskrit sehingga

Jika dimisalkan maka

mendefinisikan bilangan dari

dapat di tulis sebagai

varian dari

.

yang sama ke

. Sehingga dapat dicari mean dan















                                    

           

















. . . Dan seterusnya 

Corollary 2

  















              dimana

adalah Proses Poisson, dan

adalah keluarga dari variabel bebas dan identitas

distribusi variabel acak yang bebas dari proses

jika

adalah compound Proses Poisson maka

adalah compound variabel acak Poisson.

. Jadi,















Jawab:

a. b.

                                                















   

Maka dapat diketahui bahwa lajunya adalah Pertanyaannya:

, dengan

a. Hitung peluang sebuah tulisan selesai dalam 5 jam kedepan? b. Berapa peluang 3 blog selesai sekaligus dalam 5 jam? Jawab:

menit















          6)

Seorang mahasiswi UII sedang menjadi selebritis medsos. Dia memiliki 3 akun media sosial yang masing-masing memiliki jumlah follower yang selalu bertambah setiap waktu. Penambahan jumlah



































































































Proses Poisson

Recommend Documents