rigonometría
Dpto. Pedagógico TRILCE Derechos de Edición Asociación Educativa TRILCE Tercera Edición, 2007. Todos los Derechos Reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en, o transmitida por, un sistema de recuperación de información, en ninguna forma y por ningún medio, sea mecánico, f otoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro, sin el permiso previo de la editorial.
Trigonometría INTRODUCCIÓN La Trigonometría es una parte de las Matemáticas que trata de relacionar los ángulos y los lados de un triángulo; fue iniciada iniciada por Hiparco, aproximadamente el año 150 a. C. Tiempo después, Tolomeo Tolomeo siguió con estos estudios, basándose en sus estudios y de otros personajes de la Astronomía, Astronomía, para crear su sintaxis sintaxis Matemática llamada llamada Almagesto. Hoy en día, los ingenieros y los os físicos ocupan muchas m uchas de estas herramientas trigonométricas trigonométr icas en su diario actuar, ssin in quizás conocer cono cer quién qu ién las crea y cuál es su historia, la cual vamos vamos a presentar a continuación. Este texto texto de Trigonometría describe, describe, en general, los temas que consti con stituyen tuyen un curso de Trigonometría Trigonometría plana de nivel preuniversitario. Supone el conocimiento, por parte del estudiante, de los principios básicos de Geometría Elemental, Álgebra y Aritmética. Este libro responde a una necesidad que hemos sentido agu damente todos los que nos avocamos a la enseñanza de las Matemáticas en las aulas de la academia o colegio de TRILCE. La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de las matemáticas, matemáticas, requiere no solamente de con ocimientos teóricos, sino fundamentalmente de la capacidad cap acidad de resolver situaciones matemáticas, matemáticas, denominadas, ejercicios o problemas. La práctica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profundizar y cimentar los conceptos teóricos bien aprendidos, es por ello qu e en el desarrollo del libro, libro, ustedes deberán tener en cuenta las sugerencias planteadas planteadas y analizarlas. En cuanto cuan to a su estructura, el libro libro se desdobla desdob la en capítulos y en todos ellos, primero se aborda la parte teórica, la cual se da en forma de tabla o cuadro sinóptico, y un resumen de formulas y resultados resultados estrechamente estrech amente relacionados. relacionado s. Una larga experiencia ha convencido a los autores de que para p ara los estudiantes es una gran ayuda el uso de tales resúmenes ya que resulta, a inicios, un tanto difícil el manejo sistemático sistemático de d e todas las fórmulas . Cada capítulo contiene 60 problemas, p roblemas, los los cuales están dosificados dosificados de meno r a mayor grado de dificul d ificultad, tad, los primeros 20 son ejercicios de aplicación directa, dados dad os con la intención de afianzar el uso de los conceptos concepto s teóricos, los siguientes 20 problemas prob lemas son pregu ntas de exámenes de admisión planteadas en las d iversas iversas universidades universidades del medio (UNI, UNMSM, UNAC y PUCP) y los 60 problemas restantes son de mayor grado de dificultad que requieren en algunos casos de algunos conceptos de Álgebra o Geometría. De esta manera el libro se hace didáctico y motivará al alumno los deseos de apren der, yendo yendo de d e lo más simple a lo más complejo. Comenzamos po r tratar el uso de d e las unidades angulares, y sus equ ivalencias ivalencias,, para poder po der aplicarlas al cálculo cálculo de una longitud de arco de d e circunferencia, como también el área de un sector circular y algunos casos más, como es la determinación de la cantidad de vueltas vueltas que gira una rueda rued a o dos poleas o más que están trabajando en un sistema. Después, nos introducimos introdu cimos a la columna vertebral de la Trigonometría que es el estudio de las razones trigonométricas; primero para un ángulo áng ulo agudo y luego para un ángulo áng ulo que posea po sea cualquier medida, determinaremos determinaremos dentro de ellos los los valores de cada una de ellas por medio del estudio analítico y su representación mediante segmentos de recta dirigidos en la circunferencia trigonométrica Esta parte es fundamental fundamen tal ya que los temas siguientes tratarán sobre las diversas diversas identidades que las relacionan, las cuales por cierto son muy numerosas, nu merosas, y que sólo con la constancia en la práctica se podrán dominar, porque un mal entendimiento de los primeros temas conducirá, cond ucirá, inevitablemente, inevitablemente, a dificultades continuas en las partes más avanzadas. Dentro de las identidades, clasificaremos a aquellas que son imprescindibles, a las cuales llamaremos, identidades básicas, y otras que son menos importantes; pero se dan con el fin que nos n os permita resolver resolver situaciones matemáticas matemáticas de un modo mucho mas breve. Seguidamente, le daremos uso a todo el bloque de d e las identidades identidades en el estudio de las funciones trigonom étricas ya ya sea en las funciones directas d irectas e inversas: inversas: al hacer el cálculo de sus dominios d ominios y rangos, al resolver una ecuación e inecuación trigonométrica trigo nométrica o al resolver resolver problemas de figuras geométricas, tan solo con el uso de las razones trigonométricas que relacionan sus elementos. Finalmente, culminaremos culminare mos con los temas de: vectores, la línea recta, cónicas (circunferencia, (circunferen cia, parábola, elipse e hipérbola), hipérbo la), en sus posiciones po siciones horizontal y vertical vertical.. Para el estudio de éstas, en su posición oblicua, abo rdaremos el tema de la transformación de coordenadas. coorden adas. Y terminamos con la aplicación de los números comp lejos a la Trigonometría. Trigonometría. Tenga presente que el objetivo en el estudio de las Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar correcta y lógicamente una determinada definición, propiedad o teorema a cada p roblema que se esté resolviendo. resolviendo. Solo así, el estudiante estudiante encontrará en las Matemáticas una recreación amena y ágil .
TRILCE
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO - I
1
DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo. En el triángulo adjunto, tenemos: C a y c : catetos b : hipotenu sa
b
a
B:
c
c2 b2
recto
A y C : A
a2
A + C = 90º
s agud os
B
A los resultados así obtenidos se les asigna asigna un nombre no mbre asociado a uno de los ángulos agud os del triángulo. Así en el gráfico; ˆ para A tenemos: a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA) Luego se definen : SenA
CO H
a
CscA
H CO
b
CosA
CA H
c
SecA
H CA
b
TanA
b
b
a
c
CO a CotA CA c CA
CO
c
a
Por ejemplo:
Sen
13 5
Cos
5 13 12 13
;
Tan
5
;
Cot
12 12 5
12
*
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo cono ciendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la la proporción propo rción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son : 60º
45º 2
2 1
1
45º
30º 1
3
Mientras que uno aproximado, pero reconocido p or sus diversas aplicaciones aplicaciones es el de 37º y 53º. 53º 5
3
37º 4
9
Trigonometría
A partir de estos se determinarán otros adicionales como: 67º30'
4+ 2 2
1
22º30'
10
6- 2
15º
3
6+ 2
63º30'
74º
82º 5 2
1
26º30'
25
1
8º
7
16º 24
7
2
1
18º30'
2+1
5
71º30'
75º 4
No olvi o lvide de además: ad emás:
*
30º
37º
45º
53º
60º
Sen
1 2
3 5
2 2
4 5
3 2
Cos
3 2
4 5
2 2
3 5
1 2
Tan
3 3
3 4
1
4 3
3
Cot
3
4 3
1
3 4
3 3
Sec
2 3 3
5 4
2
5 3
2
Csc
2
5 3
2
5 4
2 3 3
PROPIEDADES: I . Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del triángulo rectángulo en que se ubique. Por ej emplo: C
PQ AQ MN Sen Iguales AN BC Sen AC Sen
M Q A
P
N
B
definiciones de las razones trigonométricas trigonométricas de un u n ángulo áng ulo agudo, que q ue II . R. T T.. Recíp Recíproc rocas as:: Se nota claramente, de las definiciones existen existen tres parejas que son una un a la recíproca inversa inversa de la otra, por lo qu e su producto es siempre igual a 1. Estas parejas son las siguientes: Sen Csc 1 CosSec 1
Tan Cot 1
Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular calcular "x "x" diremos : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1 3x - 10º = x + 30º x = 20º las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos II I. R. T. T. de Ángulos Complement Complementarios: arios: Cuando se calculan las de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. valor. Esta característica caracter ística la vamos a indicar indicar de la siguiente manera: mane ra:
10
TRILCE
Si: son agud agudos; os; tales que: qu e: + = 90 90ºº entonces: Sen = Cos Ta n = C ot ot Sec = Csc Por ejemplo: Sen10ºº = Cos Sen10 Cos80º 80º Tan20º = Cot70º Sec40º Sec 40º = Cos 50º Cos24º Cos 24º = Sen 66º Tan = Cot (90 90ºº ) Sen ( + 10 10º ) = Co Co s (80º )
Si: que: o
agudos; os; tales son agud
Sen = Co s Ta n = Cot Sec = C sc sc entonces: = 90ºº = 90 Por ejemplo: hallar "x", si: Sen (2x (2x + 10º) = Cos Cos3x 3x 2x + 10º + 3x = 90 90ºº 5x = 80º x = 16 16ºº Otro ejemplo; hallar "x" si: Tan (2x + y) = Cot (x - y) 2x + y + x y = 90 90ºº 3x = 90º
x = 30º
11
Trigonometría
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . Si " " es la medida medida de un ángulo ángu lo agudo y se cumple que:
Tg
a) 12 d) 18
2 3
; calcular:
b) 14 e) 20
T
13 Sen 12 Cot
07. Del gráfic gráfico, o, calcul calcular: ar: " Tg" , si:
Tgw
5 12
c) 16
02. En un triángulo ángulo rectángul rectánguloo ABC recto recto en "C" se cumple cumple
w
2
que: 4SenA=7SenB; 4SenA=7S enB; calcular: E 65 Sen A 42 TgB a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
a) 0,5 d) 2
c) 20
03. El períme perímetro tro de un triángulo triángulo rectángul rectánguloo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6. Calcular la longitud del mayor cateto. a) 20 u d) 50 u
b) 30 u e) 60 u
c) 40 u
04. Del gráf gráfico ico mostrad mostrado, o, calcul calcular: ar: " Cot .Cot "
08. Cal Calcul cular: ar:
b) 1 e) 2,5 E
4 Tg 6 Sen 3 Cos 4
a) 5,5 d) 8,5 09. Cal Calcul cular: ar:
6
b) 6,5 e) 9,5
E
a) 2 d) 2,75
3
c) 7,5
Cot 2 30 º. Sec 60 º. Cot 45 º 2 Tg 2 30 º Sec 2 45 º
B
c) 1,5
b) 2,25 e) 3
c) 2,5
F
10. Del gráfi gráfico, cal calcul cular ar::
a) 2 d) 8
A
A
2a
b) 4 e) 3/2
C
a
E
E
c) 6 F
05. Del gráf gráfico ico mostra mostrado, do, calcul calcular: ar: " Tg Tgw " , si: ABCD es un cuadrado. B
Cot
C
w
37º
O
a) 1 d) 4
B
b) 2 e) 5
c) 3
2a
11. Si ABC es un triángul triánguloo equiláte equilátero, ro, calcula calcular: r: " Tg"
E
B
3a A
a) 0,1 d) 0,4
b) 0,2 e) 0,5
N
c) 0,3 Cot
2,4
a) 1 d) 4
12
E
b) 2 e) 5
A
C
A
8
M
06. Del gráfic gráfico, o, calcul calcular: ar: " Cot " , si: B
2
D
c) 3
D
a)
3 5
b)
2 3 5
d)
2 3 7
e)
3 3 7
c)
3 7
C
TRILCE
a) 5 d) 8
12. Del gráf gráfic icoo mostrado, mostrado, calc calcula ular: r: 11Tan B
C
c) 7
20. Si: Si: Senx SenxSecy Secy = 1, con x e y agudos agudos.. xy xy ).Cot ( ).Tgx.Tgy Calcular: E Tg(
45º
F
2
37º
A
a) 1 d) 4
b) 6 e) 9
D
E
b) 2 e) 5
3
a) 1
c) 3
d)
5
b)
2
e)
6
c)
3
21. En un triángulo ángulo rectá rectángulo, ngulo, los lados menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide " ". Halle el valor de: W 17 Sen 2 1
13. Del gráf gráfic icoo mostrado, mostrado, calc calcula ular: r: " Cotw " . a 4a w
a) 1 d) 2,5
a) 1,5 d) 4,5
45º
b) 1,5 e) 3
c) 2
SecA SecB E
C
a) 3/4 d) 3/5
37º
A
b) 3/7 e) 3/8
D
F
c) 4/7
15. Si se cumple cumple que: Sen2x Sen2x = Cos3x Cos3x para para "x" "x" agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
16. Si se cumple que: Sen(3xSen(3x-17º)Csc( 17º)Csc(x+13º) x+13º) = 1 Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
b ) 11 e) 1 4
2 3
13 CosA
b) 2 e) 5
3 CtgB
c) 3
23. En un triá triángulo ngulo rectángul rectángulo, o, el el Coseno Coseno de uno de sus sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar Hallar el perímetro perímetro de dicho triángulo. a) 112 m d) 52 m
b) 22 4 m e) 4 1 2 m
c) 96 m
24. Calcule Calcule el área de la la región región triangula triangularr ABC . Donde: AC = 36m; si, además CscC 26 CscA 17 a) 72 m2 d) 18 m2
b) 144 m2 e) 360 m2
c) 108 m2
c) 7
17. Calcul Calcular: ar: E = (3Tg10º (3Tg10º+8Cot +8Cot80º)C 80º)Cot10º ot10º a) 10 d) 13
Calcular :
a) 1 d) 4
E
c) 3,5
22. En un triángul triánguloo ABC, rect rectoo en C, se se sabe sabe :
14. Del gráf gráfic icoo mostrado, mostrado, cal calcul cular: ar: " Tg" , si: ABCD es un cuadrado. B
b) 2,5 e) 5,5
c) 12
25. El períme perímetro tro de un triángulo triángulo rectángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor? a) 13 m b) 33,8 m d) 56, 56,33 m e) 55 m
c) 50 m
18. Calcular Calcular:: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º) 20º-2Sec70º) a) 20 d) 26
b ) 22 e) 2 8
c) 24
19. Sabiendo Sabiendo que: Tg(3x-10º Tg(3x-10º)Tg40 )Tg40ºº = 1 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
13
Trigonometría
26. De la figura figura,, hal halla larr (Tan 2)2
2 mn
a)
4 3
b)
3 4
d)
2 3
e)
4 5
c)
5 4
m
31 . Si: a) 1 d) 3
(x )
n
b) 4 e) 0
c) 2
Calcular:
27. Determi Determinar nar la la hipotenusa hipotenusa de un triángul triánguloo rectángulo, rectángulo, sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el producto de d e los Senos de los ángulos agudos es 0,22. a) 3 m d) 6 m
Csc Tan 2 Cos 3n 2n n 1
f
b) 4 m e) 7 m
( 2)
21
a)
20
b)
d)
23
e) 0
c)
22
32. Si en el triángulo triángulo ABC, equilát equilátero, ero, M, N y P son puntos medios de AB, BC y AC, respectivamente. respectivamente. Además: NQ = 2QP Calcular:
c) 5 m
28. Del gráfi gráfico, co, cal calcul culee : Si: BN = 2AN
f
Tan .
K
C
7 Tan 5 Tan Tan
B M 45º A
a) 0,25 d) 0,8
N
b) 0,5 e) 0,75
M
B
c) 0,6 A
a) 3 d) 8
B
b) 4 e) 14
d)
b) e)
2
q
53º C
4 9 2 5
c)
2 3
a) 2 d)
b)
1 2
e)
c) 6
(Tanx )
El valor de "q" es: A
C
Sen
2
M
B
2 3 1 3
c) 3
C
A
37º M
37º D
A
O
14
B
a) 6 d) 18
b) 12 e) 14
3 2
1 Tan 2 x 1 Ctg x
34. Del gráfi gráfico, cal calcul cular ar:: Cot Si: ABCD: cuadrado.
30. Del Del gráf gráfic ico, o, obte obtener ner Tan
P
33 . Si: x y
2 9 1 3
Q
29. Si en el el gráf gráfiico : AB AB = BC. BC. Calcule: Tan
a)
N
c) 9
1
TRILCE
35 . Si: Sen 3x . Cscy = 1 Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º) Determinar "y - x" a) 12º d) 2 4º
b ) 18º e) 3 2 º
4 Rr
4 Rr
a) (R r)2
b) (R r)2
2Rr
2Rr
c) (R r)2
c) 20º e)
36. Si: Si: Tgx Tgx . Tgy Tgy = 1 Determinar:
x y Tan x y Sec 2 x y 2 3 3
E Sen
d) (R r)2
Rr (R r)2
42. Se tiene tiene un triángul triánguloo rectángulo rectángulo con catetos catetos a y b. Hallar su área en términos de "m" si: a t 2 tSec 2 Sen 3
t 2 tCsc 2Cos
b
a) d)
6 3
b)
5 3
e)
6 6
t
b ) 10 e) 1 6
c) 8
38. Calcule Calcule el valor valor de la expresi expresión: ón:
3
Sec 10 º Sec 20 º Sec 30 º ... Sec 80 º Csc10 º Csc 20 º Csc 30 º ... Csc 80 º
b) 2 e) 3
c)
m 2 1 c) 2 e) m 2 1
3
2 2 mt Tan m 4
m 2 1 b) 2
a) m 2 1
a) 12 d) 6
a) 1 d)
2
2 6
E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)
W
6
c) 1
37. 37. Cal Calcul cular:
6
2
d)
(m 2
2
1)2 2
43. En la figura, figura, calcular calcular el valor valor de x, si se se cumple la la siguiente condición: Tan (30 º ) Ctg (30 º 3 ) 0
2
2
x
39. Halla Hallarr los los ángulos ángulos agudos agudos y tales que: Tan (3 35 º ) Ctg (90 º ) 2
a) 11º y 10º c) 20º y 17º30' 30' e) 17º y 16º
b) 15º y 13º d) 35 35º y 25º
40. Siendo ndo: Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º x + y) Calcule: K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x) a) 1 d)
b) 2 3
e)
15 º
c) 3 3 3
41. Se tiene tiene dos circunfere circunferencia nciass tangentes tangentes exteri exteriormente ormente con radios R y r. Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los cen centros. tros.
20m
a) 10 d) 5 m
2m
b) 10 m e) 10
c)
5 3m
3m
44. Una semicirc semicircunfere unferencia ncia de radi radioo (1 3 ) cm. se divide en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal en centímetros. a) d)
1 4 5 4
b)
1 2
c) 1
e) 2
45. Si para para un observa observador dor en la la Tierra, Tierra, el el Sol aparece aparece bajo un ángulo de 32' y si la distancia del observador a la superficie de Sol es 150 millones millones de kilómetros. Determinar el radio del Sol en millones de kilómetros sabiendo que: Sen16' = 0,00465 15
Trigonometría
a) 0,70 d) 2,629
b) 0,819 e) 1,402
c) 1,395
D
46. En un triángulo triángulo isósceles, sósceles, las las medianas medianas trazadas trazadas de sus vértices de ángulos iguales se intersecan perpendicularmente. Entonces, el Coseno de uno un o de d e los ángulos iguales es: es: a)
1 3
b) 1
d)
10
1 2
d)
5 8 9 40
e) 2 3
b) e)
7 16 13 25
c)
Sen 2 A Cot 2 A
F
c) 3
b) Cos 2 A e) Sec 2 A
c) Tan 2 A
Cot 3
e)
52. Del gráfi gráfico, co, halla hallar: r:
c)
Tan m
B
np nm
b)
nm np
d)
mn mp
e)
pn pn
K
C
c)
mp mn
a) 4 d) 24
Sec 2 (x 10 º ) Sec 2 3 y Cos (x y 10 º )
b) 8 e) 32
c) 16
54. Del gráfi gráfico, co, calc calcul ular: ar: K 2 3 Cot 5 Tan
5
Si: CD se dibuja con centro en "E" B
C
Q
c) 3 P
Calcule:
16
p
E n F
53 . Si: Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º) Cos (x y) Cos (4 y 10 º ) 2 Sen (100 º 4 y) Calcular:
51. Si los los triángul triángulos os ABC, CDE CDE y EFG son equilát equiláteros. eros.
Si:
55 72
D
a)
2
Calcule: K 5 Csc 6 Cos 2
Tanx Tany CE AC EG 3 2
65 77 5 7
b)
b) 2 e) 5
b) 2 e) 5
d)
35 66 13 11
A
50 . Si: 3 es un ángulo agudo , tal tal que:
a) 1 d) 4
G
3 80
ˆ 90 º ) señale el 49. En un triángul triángulo rectá rectángul nguloo ABC (B equivalente de: A K TanA Tan 1 TanA Cot A 1 2 2
a) d)
E
B
a)
48. En el el trape trapeci cioo ABCD ABCD : BC BC // AD. Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida del ˆ A D ; el valor de: ángulo CD K = CscD + CtgD ; es: a) 1 d) 4
x y
1
47. Dos autos autos parte partenn simultáneament táneamentee desde desde un punto "P" en direcciones que forman un ángulo " " uno a 5 km/h y el otro a 12 km/h. Calcular el Cos sabiendo que al cabo de 1 hora la distancia desde el punto "P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km. a)
C
A
3 2
c)
N
M
60º E
A
a) 3 d) 8
b) 5 e) 10
D
c) 7
TRILCE
55. En el cuadrad cuadradoo ABCD; ABCD; cal calcul cular: ar: K 3 Tan 9 Tan
58. Sabi Sabien endo do que: que:
E
3 x 2 y 2
Sen (2 x y 20 º ) Cos
B
C
x 3 y Tan x 3 y 1 2 4
Tan
Calcule:
8º
A
a) 3 d) 6
W Csc 2 (x y) Csc 2 3 y D
b) 4 e) 7
a) 4 d) 10
c) 5
56. Sabi Sabien endo do que: que: Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1) Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º Calcule:
b) 6 e) 5
c) 8
59. Del gráfi gráfico co calcul calcular: ar: W (Csc 1)(Csc 1)(Csc 1)(Csc 1)
W Sec 2 (2 x 5 º ) Tan 2 (y 5 º ) Csc 2 (y x 5 º )
O1
a) 3 d) 9
b) 5 e) 1 1
O2
O3
c) 7 a) 4 d) 81
57. En el cuadrad cuadradoo ABCD, ABCD, cal calcul cular: ar: 2 2 Cos 5 Cos Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD W
B
b) 9 e) 1 0 0
60. Del gráfi gráfico co cal calcul cule: e: W (Sec 1)(Sec 1) Cos Cos Siendo "A" centro del arco BD.
C
E
c) 16
B O
M
F
A
A
a) d)
11 19
b) e)
13
D
N
c)
4 6
D
a) 1
b) 0
d) 3
e)
T
C
c) 2
3 2
17
17
Trigonometría
laves Claves
18
0 1.
e
3 1.
c
0 2.
d
3 2.
d
0 3.
e
3 3.
e
0 4.
c
3 4.
b
0 5.
b
3 5.
d
0 6.
e
3 6.
a
0 7.
c
3 7.
a
0 8.
d
3 8.
a
0 9.
b
3 9.
e
1 0.
b
4 0.
d
1 1.
d
4 1.
a
1 2.
c
4 2.
d
1 3.
b
4 3.
b
1 4.
c
4 4.
c
1 5.
c
4 5.
a
1 6.
a
4 6.
d
1 7.
b
4 7.
d
1 8.
c
4 8.
d
1 9.
e
4 9.
e
2 0.
c
5 0.
c
2 1.
c
5 1.
b
2 2.
e
5 2.
a
2 3.
a
5 3.
c
2 4.
a
5 4.
e
2 5.
d
5 5.
d
2 6.
d
5 6.
d
2 7.
c
5 7.
e
2 8.
e
5 8.
c
2 9.
b
5 9.
c
3 0.
e
6 0.
c
