quinta finitos.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

FLEXION Quinta práctica calificada Calculo por elementos finitos (MC-516D)

2013-II Alumno: Bustamante Gonzalez, Luis Fernando Código: 20102554J

FLEXION

UNI-FIM

Tabla de contenido

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA: ................................................................................... 2 2. MODELADO DEL CUERPO REAL ................................................................................. 2 1. GRADOS DE LIBERTAD NODALES ........................................ ...................................... 3 2. VECTOR CARGA ......................................................................................................... 4 3. MATRIZ DE RIGIDEZ .................................................................................................. 5 4. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO....................................... 7 5. ESFUERZOS .............................................................................................................. 10 6. DIAGRAMA DE FLUJO............................................................................................... 11 7. PROGRAMACIÓN EN MATLAB ................................................................................ 12 8. CONCLUSIONES ........................................................................................................ 13

CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS

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UNI-FIM

FLEXION

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Modelar la viga mostrada con 4 elementos finitos (por lo menos), y calcular en ellos los esfuerzos debido a la flexión de la misma; y las reacciones en los apoyos (empotrados).

p=5 N/mm

0 0 1

0 0 5

750

750

1500

Material: Acero estructural A-36

Sección de la viga:

1500

      100

3 1

) e l

25

b a i r a v ( d


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UNI-FIM

FLEXION

2. MODELADO DEL CUERPO REAL

0 0 2

4

1 (2)

(1)

0 0 4

2

3

(5)

(4)

(3) 750

750

750

750

Momentos de inercia: 

Elementos 1 y 4: 100



3 1

 2121 100113 +1310093 5  +33741516 12 25617466   

5 . 3 9



0 0 2

25



Elementos 2 y 3: 

100

3 1

2121 100113 +131001935 +206373183 12 25374334  

5 . 3 9 1



0 0 4

25


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UNI-FIM

FLEXION Cuadro de conectividad: Elemento

Nodos (1) (2)

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5

1

GDL 2 3

4

1 3 5 7

2 4 6 8

4 6 8 10

3 5 7 9

Le (mm)

750 750 750 750



Ie (

)

33741516.66 206373183.33 206373183.33 33741516.66

 22111010 22111010

Ee (N/

)

3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES

Q1

Q3

Q5

Q4

Q7

Q6

Q2

Q8

Q9

Q10

Luego el vector de desplazamiento será:

    0

      []

Donde , pues la viga esta empotrada en los nodos 1 y 5, los demás desplazamientos son incógnitas que tendremos que calcular.


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UNI-FIM

FLEXION

4. VECTOR CARGA

F1

F2

F3

F5

F4

F7

F6

F8

F9

F10

Como no consideramos el peso de las barras y no presenta variación de temperatura, entonces el vector de cargas está dada por las por cargas puntuales y las fuerzas de reacción:

     []   * 2  12   2   12  *00507050   5750   5750  5750 18752344751875234475  2 12  18752 234475121875234475   0000  1875 234475  3750 01875 234475 [  ] Sabiendo que:

Para cada elemento finito:


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FLEXION

5. MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:

12   ( ) [1266

64 612 26 64 612 64]

Elementos 1 y 4:

12 4500 12 4500  2 1 10   3 3741516 6 6 2250000 4500 1125000   750 4500 124500 1125000 4500 450012 225000 4500  12 4500 12 4500  2 1 10   2 06373183 3 34 2250000 4500 1125000   750 4500 124500 1125000 4500 450012 225000 4500   + + +

Elemento 2 y 3:

Luego:


Página 6

201549 37790498659 75580997 75580997 201549 18895249329 75580997 00 75580997 201549 18895249329 75580997 386694933 1434285 268928463988 386694933 462275930 1232735 75580997 1232735 115568982664 462275930 2465471  000 000 462275930 0 0 0 1232735 00 00 00 00 462275930 00 0 0 0 0

0 0 0 00 00  0 0 0 462275930 00 0 00 00 115568982664 0 0 462275930 1232735 115568982664 462275930 00 00 462275930659 462275930659 1434285 268928463988 386694933 75580997 201549 18895249329 75580997 115568982664 386694933 00 75580997 201549 18895249329 75580997 75580997 201549 37790498659 75580997

6. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICION DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

   

201549 37790498659 75580997 75580997 201549 18895249329 75580997 00 0 0 0 00 00  00   1875  75580997 0 0 0  201549 75580997 1434285 386694933 1232735 462275930 0 0 0 0 234475 75580997 18895249329 386694933 268928463988 462275930 115568982664 0 0 0 0 37500  00 00 462275930  1232735 462275930 2465471 0 1232735 462275930 0 0 115568982664 0 462275930659 462275930 115568982664 0 0 1875 00 00 00 00 462275930  1232735 462275930659 1434285 386694933 201549 75580997 234475 115568982664 386694933 268928463988 75580997 18895249329 00 00 75580997 201549 18895249329 75580997 75580997 201549 37790498659 75580997 00  00 00 00 00

El sistema se puede reescribir así:

                                                                                                Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los desplazamientos:

                      

El sistema se puede reescribir así:

                                                                                                Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los desplazamientos:

                      

Y las reacciones:

           7. ESFUERZOS

   ( ) 6 +31 6 +3 +1  2 1 10   750 0+060031678+3+1750348605710    +     2110 

Para calcular los valores de los esfuerzos en un punto genérico siguiente ecuación:

Y obtenemos lo siguiente:

, aplicamos la

Y las reacciones:

           7. ESFUERZOS

   ( ) 6 +31 6 +3 +1  2 1 10   750 0+060031678+3+1750348605710    +     60031678+ 3 1750348605710 6  2175010 0046272+0            21750103 48605710  60046272+06  0 0 31678 + 3 +1 7 50     0+0    ( ) 60031678+ 3 1 7 50 3  4 8605710  

Para calcular los valores de los esfuerzos en un punto genérico siguiente ecuación:

Y obtenemos lo siguiente:

, aplicamos la

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FLEXION

8. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

Leer datos de entrada: E,L,p,n

Calcula lee, I de cada elemento

Para i=1:n

Calculo de la matriz de Rigidez en cada elemento finito: K(i)=E(i)*A(i)/le(i)*

Matriz de rigidez global: K=k1+k2+k3+…+Kn Calculo de los desplazamientos: Q=inv(K)*F

Calculo de las reacciones Ri=ki1*Q

Para i=1:n

   (  ) 6  +3 1  6  +3 +1 

Calculo de esfuerzos en un punto genérico   

 







 





 

Imprime Reacciones, desplazamientos y esfuerzos

FIN


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FLEXION

UNI-FIM

9. FUNCION EN MATLAB clc format long g; K1=zeros(10); K1(1:4,1:4)=[12 4500 -12 4500; 4500 2250000 -4500 1125000; -12 -4500 12 -4500; 4500 1125000 -4500 2250000]; K1=2.1*10^5*33741516.66/750^3*K1; K4=zeros(10); K4(7:10,7:10)=[12 4500 -12 4500; 4500 2250000 -4500 1125000; -12 -4500 12 -4500; 4500 1125000 -4500 2250000]; K4=2.1*10^5*33741516.66/750^3*K4; K2=zeros(10); K2(3:6,3:6)=[12 4500 -12 4500; 4500 2250000 -4500 1125000; -12 -4500 12 -4500; 4500 1125000 -4500 2250000]; K2=2.1*10^5*206373183.33/750^3*K2; K3=zeros(10); K3(5:8,5:8)=[12 4500 -12 4500; 4500 2250000 -4500 1125000; -12 -4500 12 -4500; 4500 1125000 -4500 2250000]; K3=2.1*10^5*206373183.33/750^3*K3; K=K1+K2+K3+K4 F=[0 0 -1875 -234375 -3750 0 -1875 234375 0 0]' K(1:10,1:2)=[-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0]'; K(1:10,9:10)=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1;0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0]'; K inv(K)*F


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UNI-FIM

FLEXION

10.

CONCLUSIONES



Las reacciones halladas cumplen con la sumatoria de cargas igual a cero para la viga.



Los momentos reactivos en los empotramientos son iguales en magnitud pero opuestos en sentido, lo cual concuerda con el equilibrio de la viga.



Se obtiene un valor para el desplazamiento



mucho menor en comparación con

los demás desplazamientos, por lo que se considera prácticamente cero. Esto concuerda con la teoría porque este desplazamiento corresponde a la pendiente de la viga en ese punto, la cual es cero debido a la disposición de las cargas.



Los desplazamientos traslacionales como rotacionales son simétricos respecto al punto medio de la viga lo que concuerda con las carga distribuida aplicada, la cual también es simétrica.


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