SISTEMAS DE CONDUCCION: REDES ABIERTAS Y CERRADAS
REDES ABIERTAS Definición. De acuerdo a Sotelo (1979), una red abierta o sistema de tubería ramificada es el conjunto de tubos que salen de un nudo y se van ramificando, sin volverse a unir para formar circuitos, en la cual los extremos finales pueden descargar al aire libre, a un depósito o en la conexión para abastecer un sistema de riego por goteo o por aspersión. La solución de una red abierta se basa en la aplicación de las cuatro ecuaciones fundamentales del movimiento de los fluidos.
Fig. 1 Red abierta por gravedad con dos o más tanques
REDES ABIERTAS
Fig. 4.3.2 Red abierta por gravedad y por bombeo (mixta)
Fig. 4.3.3 Red abierta con bombeo
REDES ABIERTAS
Fig. 4.3.1 Red abierta por gravedad
Z1 − (Z Ze = Z
2
Ze = Z 4
j
P2
+
γ
P2
+
γ
P4
V j2 + ) = 2g
j
∑
h
i =1
V 22 + + h1 + h 2 2g 2
V + + 4 + h1 + h 3 + h 4 γ 2g
(Z
e
− Z2) =
P2
γ
+
V
2 2
2g
+ h1 + h 2
2
V (Z e − Z 4 ) = + 4 + h1 + h 3 + h 4 γ 2g P4
2
V (Z e − Z 5 ) = + 5 + h1 + h 3 + h 5 γ 2g P5
Las incógnitas son: V1 V2 V3 V4 V5
Se aplica la ecuación de continuidad tantas veces como nudos tenga la red abierta
Q1 = Q 2 + Q3
Q3 = Q4 + Q5
REDES ABIERTAS Problemas de revisión. Se plantea la ecuación de la energía tantas veces como extremos finales tenga la red. Solo habrá una entrada, los demás extremos finales serán salidas. La ecuación de continuidad se plantea en cada nudo. Z1 − (Z
j
+
P2
γ
V j2 + ) = 2g
j
∑
h
i =1
Se aplica la ecuación de continuidad tantas veces como nudos tenga la red abierta. En cada punto de ramificación o nodo se satisface también la ecuación de la continuidad. Y se establece que los gastos que llegen al nudo tengan signo negativo, y positivo los que salgan del nudo.
∑Q = 0
Problemas de Diseño. En este caso las ecuaciones de continuidad en los nudos no conducen a la elaboración de sistemas de ecuaciones lineales, como en problema de revisión, ya que los gastos son datos del problema y se trata de dimensionar los conductos, por lo que se plantean tantas ecuaciones de la energía como extremos finales tengamos la red y se proponen tantos diámetros comerciales como nudos existan. La propuesta de diámetros se hace bajo los siguientes criterios: Ecuación del diámetro económico o ecuación de Bresler:
D = 1 . 06
Q
La máxima caída de presión en un conducto, para no provocar grandes pérdidas de energía o altas velocidades se limita a la propuesta por la CNA a: hf =
5 .00 xL = 0 .005 L 1000
siendo L, la longitud del tramo de tubería, incluyendo las pérdidas secundarias o sumando la longitud equivalente.
•Calcular el gasto descargado A-C para una H = 16 m con coeficiente de pérdidas en la válvula de Kv = 12.
REDES ABIERTAS La red de tubos, de la figura, sirve para una instalación de riego. Los rociadores están conectados en lo puntos D, E, F y deben proporcionar un gasto de 5.6 Lps, con una presión equivalente a 20 mca. La geometría del sistema es como sigue: L1= 160 m, L2= 40 m, L3=80 m, L4= 50 m, L5 = 120 m. Son tubos de fierro fundido ε = 0.25 mm. Calcular la potencia necesaria de la bomba en el punto 0 para abastecer a la red ( n = 84% ) así como el diámetro en los tubos a elegir están entre: 51, 64, 76, 89, 102, 127, 152.
Diametro
f
Q
V^2/2g
16.8
0.039
(mm) 51
0.03
64
0.028
76
0.026
89
0.025
102
0.024
127
0.023
152
0.022
REDES CERRADAS
DEFINICIÓN: De acuerdo a Sotelo (2002). Se conoce como red cerrada aquella en la cual los conductos que la componen se cierran formando circuitos. Es el caso de las redes de distribución de agua potable en ciudades. Las redes cerradas son sistemas de distribución de líquidos formados por tuberías que presentan al menos un circuito cerrado, donde la circulación del agua es, en algunos casos impredecible, haciendo que en cualquier punto de la red pueda ser abastecido por más de una tubería. Una red en malla o en circuitos, generalmente es abastecida por conductos sencillos que forman redes abiertas o en paralelo y se puede tener problemas de revisión y de diseño, sea por gravedad, por bombeo o una combinación de las dos.
REDES CERRADAS
REDES CERRADAS
El problema es por revisión cuando se desea determinar el gasto que fluye por cada conducto, conociendo las demás características de las líneas de conducción. Es de diseño cuando se van a dimensionar cada uno de los tramos y se conocen las demandas y las condiciones físicas de la red. Para la revisión o el diseño de redes cerradas se tienen diferentes métodos, los cuales buscan resolver el sistema de ecuaciones lineales y cuadráticas que se plantean para cada tramo y para cada nudo de la red. En los nudos se debe satisfacer la ecuación de continuidad. En cada nudo, la sumatoria de gastos que entran o llegan al nudo debe ser igual a la sumatoria de gastos que salen de él, o sea: n
∑Q i =1
entran
n
= ∑ Qsalen s =1
REDES CERRADAS La ecuación para calcular las pérdidas de energía en redes cerradas se expresa con la siguiente ecuación:
hij = aij Q
N ij
Donde:
aij
: es un valor constante del tramo que va del nudo i al nudo j.
N : es el exponente del gasto. En los tramos de circuito con recorrido completo, las pérdidas de energía deben ser iguales a cero, esto es: n
∑h i =1
ij
=0
Donde n es el número de tramos que forman el circuito. El recorrido se debe hacer en el mismo sentido de las manecillas del reloj.
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
GENERALIDADES El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: Ley de continuidad de masa en los nudos; Ley de conservación de la energía en los circuitos. El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach. La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía. La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, D Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a mano" con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva. Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías. Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda programación.
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
FUNDAMENTOS El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: 1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"
m
∑ (Q j =1
ij
+ qi ) = 0
Donde: Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo. qi : Caudal concentrado en el nudo i m : Número de tramos que confluyen al nudo i.
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
FUNDAMENTOS El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: 2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".
n
∑ hf
i =1, j =1
ij
=0
Donde: hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij. n : Número de tramos del circuito i
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
ECUACIONES BÁSICAS La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:
V = 0.355 * C * D
0.63
*S
0.54 f
Donde, V : Velocidad del flujo, m/s. C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional. D : Diámetro de la tubería, m. Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).
Sf = hf L
hf L
0.54
Q = VA =
VπD 4
2
3.5866 = *Q 2.63 C*D 1.851
3.5866 hf = 2.63 C*D
hij = a ij Q
* L * Q1.851 N ij
0.63 h f Q = 0.355 * C * D * L
0.54
*
πD 2 4
Donde, Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s. L : Longitud del tramo de tubería, m. hf : Pérdida de carga, m. N
= 1 . 851
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
ECUACIONES BÁSICAS La ecuación de Darcy-Weisbach originalmente expresa:
L V2 hf = f D 2g V
=
Q A
V
2
=
4 Q π D
16 Q = π 2D
2
2 4
16 Q 2 L L 8Q 2 = f 5 hf = f 2 4 D π D * 2g D gπ 2
h ij = a ij Q
N ij
N
=
2
L a ij = 0 . 0826 f D5
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
El Método de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteración tras iteración, los caudales en los tramos, con la siguiente ecuación general:
h ∑ ∆Q = − h N∑ Q f
f
∑ (a k
∆Q = −
N −1 Q Q ij ij ij
)
1 k
N ∑ a ij Q ijN −1 1
El coeficiente de fricción, f , se calcula con la ecuación de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:
MÉTODO DE HARDY CROSS Datos conocidos: 1. Longitud, diámetro y rugosidad de los tubos. 2. Gastos que entran o salen de la red.
REDES CERRADAS
Se desea saber: 1. Los gastos de todos los tramos 2. Las cargas de presión en los nudos de la red. Pasos a seguir para la el cálculo en la tabla auxiliar: 1. División de la red en circuitos elementales. Registro de los valores conocidos y calculo de las constantes “a”. 2. Primera estimación del gasto en todos los tramos. El gasto de Q sera positivo será positivo si estima que sigue el sentido de las manecillas del reloj en el recorrido del circuito y negativo en caso contrario. 3. Multiplicación de los valores de “a” por los gastos correspondientes en valor absoluto en el primer circuito. 4. Multiplicación de los productos “a”[Q] por los gastos Q, correspondientes del primer circuito, obteniendo la pérdida h, cuyo signo corresponde al atribuido al gasto Q. 5. Suma algebraica de Ʃh=ƩaiQi² en el primer circuito. 6. Suma absoluta de los valores aiQi en el primer circuito
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
Pasos a seguir para la el cálculo en la tabla auxiliar: 7. La corrección resulta de la siguiente ecuación y se anota con su signo en todos los tramos de un mismo circuito.
∑ (a k
∆Q = −
N −1 Q Q ij ij ij
)
1 k
N ∑ a ij Q ijN −1 1
8. En tramos que pertenecen a dos circuitos se deben de agregar las correcciones que resulten del siguiente circuito, con signo contrario. 9. El cálculo de los siguientes circuitos se hace en la forma indicada en los pasos 3 a 8, hasta terminar la primera etapa de distribución de toda la red. 10. Se hace la suma de los gastos estimados, mas las correcciones, y se realiza una segunda etapa en la misma forma. 11. El cálculo finaliza cuando las correcciones ∆Q alcancen el grado de corrección deseado. Si se consideran como incógnitas los diámetros y los gastos de cada tramo, una vez calculados éstos se pueden obtener las cargas de presión, en cada nudo, a partir de las fórmulas de pérdida.
MÉTODO DE HARDY CROSS
Datos del problema: Longitud de cada tramo: 1000 m. Diámetro interior de las tuberías: 400 mm. Fluido transportado: agua. Viscosidad cinemática: 1e-6 m2/s.
REDES CERRADAS
MÉTODO DE HARDY CROSS
REDES CERRADAS
Gastos que salen en los nudos
Longitud total de tubería de circuito= 6100 Gasto total que entra a la red cerrada = 190
m lps
N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10
