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1. Introdu Int roducci cción. ón.
En la presente práctica, se muestra como un hilo de pescar es deformado debido a fuerzas que se le aplican, haciendo colgar de su extremo diferentes pesos. Durante esta práctica se trabajo un poco más allá del límite elástico llegando a la zona plástica del material. El sistema utilizado y este tipo de problemas ayudan a los ingenieros a saber cuanta resistencia tiene un material utilizado para diseños y verificaciones de aceptación de materiales. Además se pretende calcular calcular el modulo de Young para este hilo mediante la medición directa de la deformación causada por fuerzas variantes. Con todo esto se espera comprobar que la ley de Hooke se adapta al comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de una gráfica. Tomando como base teórica la la ley de Hooke, el modulo de Young es decir, elasticidad
2. Obje Ob jeti tivo vos. s.
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Conocer el comportamiento de un hilo de pescar aplicando conocimientos teóricos de elasticidad Proponer un modelo empírico que describa la relación esfuerzo-deformación unitaria de la región elástica Calcular el modulo de Young para este material Predecir el valor de una masa.
1. Hipótesis.
Si el modulo de Young para este hilo es correcto, la masa desconocida que se calculará tendrá que estar dentro del rango de incerteza, de lo contrario y según el error presente en el modulo representará una variante en el dato de M El comportamiento de la región elástica en una grafica fuerzadeformación, esta representada por una función lineal, si no se sobrepasa el limite elástico. De lo contrario los puntos no se distribuirán bien sobre la recta.
2. Marco teórico. Elasticidad
Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sele quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico.
3 Elasticidad: Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza
de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación. Los materiales no deformables se les llaman inelásticos (arcilla, plastilina y masa de repostería). Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico. *Cuando se tira o se estira de largo se dice que está en tensión (largas y delgadas). *Cuando se aprieta o se comprime se dice que está en compresión (cortas y gruesas).
La plasticidad es la propiedad mecánica de un material, biológico o de otro tipo, de deformarse permanentemente e irreversiblemente cuando se encuentra sometido a tensiones por encima de su rango elástico, es decir, por encima de su límite elástico En los materiales elásticos, en particular en muchos metales dúctiles, un esfuerzo de tracción pequeño lleva aparejado un comportamiento elástico. Eso significa que pequeños incrementos en la tensión de tracción comporta pequeños incrementos en la deformación, si la carga se vuelve cero de nuevo el cuerpo recupera exactamente su forma original, es decir, se tiene una deformación completamente reversible. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que existe un límite, llamado límite elástico, tal que si cierta función homogénea de las tensiones supera dicho límite entonces al desaparecer la carga quedan
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deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su forma. Es decir, aparecen deformaciones no-reversibles. Durante esta practica se realiza la deformación y conocer el comportamiento de una cuerda, sometida a fuerzas de tensión a través de masas que cuelgan de el Siguiendo con el ejemplo de la cuerda a la cual le producimos un estiramiento mediante la aplicación de una fuerza, es inmediato suponer que dicho estiramiento L será proporcional a la longitud total de la cuerda L, a la fuerza aplicada F , e inversamente proporcional a la sección S. Podemos escribir por tanto:
, que como se ve cumple la ley de
Hooke. El valor de la constante E se deduce del caso particular en el que y S=1, resultando
L=L
Es decir, E es la fuerza necesaria, por unidad de superficie, para producir un estiramiento de la cuerda igual a su longitud inicial. Esta constante, inversa de la que aparece en la ley de Hooke, recibe el nombre de módulo de Young (Thomas Young, 1733-1829) y nos da una idea bastante clara de la elasticidad del material. En el tramo OH de la curva del apartado anterior, el módulo de Young es constante, y podemos escribirlo así:
(5) Puede observarse ya que la fuerza elástica de recuperación que puede proporcionarnos la cuerda no depende del alargamiento absoluto ni de la longitud total, sino de su cociente:
(6) El módulo de Young
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También llamado módulo elástico longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no disminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young. Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente con base al ensayo de tracción del material. Además de éste módulo de elasticidad longitudinal puede definirse en un material el módulo de elasticidad transversal. Materiales lineales Como se ha explicado para un material elástico lineal el módulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso su valor se define mediante el coeficiente de la tensión y de la deformación que aparecen en una barra recta estirada que esté fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el módulo de elasticidad:
Donde: Es el módulo de elasticidad longitudinal. Es la presión ejercida sobre el área de sección transversal del objeto. Es la deformación unitaria en cualquier punto de la barra. La ecuación anterior se puede expresar también como: Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geométricamente idénticos pero de materiales elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se inducirán mayores tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo análogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuación anterior rescrita como:
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Nos dice que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es más rígido.
3. Diseño Experimental. 3.1.Materiales.
110 cm de hilo de pescar de diámetro ǿ = 0.30 mm Un soporte universal Una cinta de papel Una cinta métrica. Una balanza Un juego de 6 masas con su soporte y una masa de 500g con su gancho 1.1.Magnitudes Físicas a Medir.
La longitud inicial sin esfuerzo y final del hilo de pescar sometido a esfuerzo La masa m que cuelga del hilo 1.1.Procedimiento. a) Armar el equipo (ver diagrama de diseño experimental, prense el soporte de masas. b) Mida la longitud inicial de nudo a nudo del hilo de pescar c) Con el conjunto de masas arbitrarias circulares y la masa de 500g realice combinaciones hasta obtener 7 datos experimentales y una medida arbitraria. d) Mida una masa, colóquela en el soporte de masas y mida la longitud final del hilo, repita hasta completar siete datos.
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e) Tome una medida arbitraria y mida la longitud final f) Realice una tabla de datos experimentales. Tomando en cuanta la longitud inicial del hilo y la final en cada medida. g) Realice un gráfico esfuerzo vs. deformación unitaria h) Realice otro gráfico que contenga dos rectas una mas inclinada que la otra y tome dos puntos arbitrarios en cada recta una inicial y uno final i) Proponga un modelo matemático σ = αЄ + b j) Tome la medida arbitraria y prediga la masa m, conociendo la deformación unitaria. ∈=Lf-LoLo puede con su model o empirico σ = αЄ + b predecir cuanto es el esfuerzo σ= FA siendo F=σA, se sabe que F=mg, de donde se obtiene mg=σA y predecir la masa que cuelga m= σAg siendo su incerteza ∆m=m∆σσ
Con ∆σ=∆α∈+α∆∈+∆b
k) Compare el resultado con la masa ya conocida y establezca
un criterio l) Compare este valor con el calculado experimentalmente y verifique que se encuentra dentro del rango de incerteza. m)Cual es el modulo de elasticidad de Young para este hilo de pescar.
1.1.Diagrama del Diseño experimental.
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2. Resultados.
Longitud inicial del hilo de pescar = Incerteza de la masa m = Diámetro del hilo de pescar=
0.82±0.001m ±0.001kg 0.3mm = 0.0003m
Tabla 1. Datos experimentales
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No. Masa
Longitu Fuerza de d m(kg) tensión final(m F(N) )
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Deformació Esfuerzo σ Incerteza n (N/m2) ∆Є (m/m)
Incerteza ∆σ
Unitaria Є (m/m)
(N/m2)
0,12
0,87
1,176 0,06097561 16636996,7 2
7,43605E05
138641,63 93
2 0,294
0,88
2,8812 0,07317073 40760641,9 2 6
8,92326E05
138641,63 93
3 0,469
0,897
4,5962 0,09390243 65022928,8 9 4
0,0001145 15
138641,63 93
4 0,644
0,931
6,3112 0,13536585 89285215,7 4 1
0,0001650 8
138641,63 93
5 0,844
0,951
8,2712 0,15975609 117013543, 8 6
0,0001948 25
138641,63 93
6 1,044
0,983
10,2312 0,19878048 144741871, 8 4
0,0002424 15
138641,63 93
7 1,544
1,014
15,1312 0,23658536 214062691, 6 1
0,0002885 19
138641,63 93
Donde: Fuerza de tensión F T =mg Deformación Unitaria Є ϵ=Lf-LoLo
Esfuerzo σ σ=FA
Incerteza ∆ϵ=ϵ∆LoLo
Incerteza ∆σ=σ∆mm
Medida arbitraria: M=0.5kg±0.001kg Longitud final del hilo = 86.2±0.001m
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Grafico 1 Esfuerzo vs. Deformación Unitaria
Gráfico 2 Linealización del gráfico
Propuesta del modelo matemático
σ=aϵ+b
Calculo de las constantes a y b Recta 1 (Є,σ) P1= (0.098,4.051x107) P2= (0.2283, 1.5977x108) a1=σ2-σ1ϵ2-ϵ1= 1.5977x108-4.051x1070.2283-0.098=915.274x106 a1=915.274x106
La ecuación es σ-σ1=a1(ϵ-ϵ1)
Despejando σ σ=a1ϵ+b1
De donde
11 b1=σ1-a1ϵ1=1.5977x108-915.274x1060.2283=-49.1870x106 b1=-49.1870x106
Recta 2 (Є, σ) P1= (0.099,3.65x107) P2= (0.209,1.4879x108)
a2=1.4879x108-3.65x1070.209-0.099=1.0208x109 a2=1.0208x109 b2=σ2-a2ϵ2=1.4879x108-1.0208x1090.209=-64.5572x106
b2=-64.5572x106
Promediando resultados: a=a1+a22=915.274x106+1.0208x1092=1936.074x106 a=1936.074x106
Incerteza de a ∆a=a1-a22=915.274x106-1.0208x1092=52.763x106
b=b1+b22=-49.1870x106-64.5572x1062=-56.8721x106 b=-56.8721x106
Incerteza de b ∆b=b1-b22=-49.1870x106-64.5572x1062=-7.6851x106 Propuesta del modelo matemático:
σ=aϵ+b σ=1936.074x106ϵ-56.8721x106
Incerteza
12 ∆σ=∆aϵ+a∆ϵ+∆b Predicción de la masa m arbitraria
M=0.5kg±0.001kg (experimental) Longitud final del hilo = 0.872±0.001m A=π4d2=π4(0.003)2=70.6858x10-9m2 ϵ=Lf-LoLo=87.2-8282=0.0634m/m σ=1936.074x106ϵ-56.8721x106=1936.074x1060.0634-56.8721x106 σ=65.9033x106N/m2
Incerteza ∆σ=∆aϵ+a∆ϵ+∆b ∆σ=52.763x1060.0634+1936.074x1060.001+7.6851x106 ∆σ=12.9671x106
La masa es m= σAg
Donde: σ=65.9033x106N/m2 A=70.6858x10-9m2 g=9.8m/s2 m= 65.9033x106Nm2(70.6858x10-9m2)9.8m/s2=0.475kg
Su incerteza ∆m=m∆σσ=0.47512.9671x10665.9033x106=±0.09kg
Comparación de la masa con la masa ya conocida Valor calculado Valor obtenido experimentalmente teóricamente 0.5kg±0.001kg
0.475±0.09kg
Diagrama de comparación de las masas 0.5kg±0.001kg 0.475±0.09kg
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{ }
0.475kg
0.385kg 0.501kg
{
0.50kg
}
0.499kg
0.565kg Dato Teórico
Dato
Experimental
El modulo de Young para este hilo es de 1936.074x106 N/m2según la ecuación empírica propuesta.
3. Discusión de Resultados.
La grafica describe el comportamiento del hilo hasta la zona plástica, ya que cuando se tomo la ultima medida, este ya no regreso a su forma original, sino que quedo deforme lo cual quiere decir que esta en su zona plástica Como puede notarse en los resultados anteriores, el esfuerzo es muy grande en comparación del área deformada. La masa que se logra predecir no es la que se esperaba aunque aplicando su incerteza llega al valor de la masa conocida experimentalmente, aunque este fuera del rango de incerteza del dato experimental. Esta vez se debe a que se esta trabajando con valores demasiado grandes, por ello se tenia q usar exponentes los cuales no siempre son los adecuados ya que no es lo mismo escribir 1.56x109 que 156.256x107, estos pequeños cambios afectan en gran manera nuestro resultado final.
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El modulo de Young para este hilo quiere decir que el hilo es muy rígido La ultima medida tomada, sobrepaso el límite elástico, por ello los puntos no se distribuyen bien sobre la grafica.
4. Conclusiones.
El hilo tiene una gran zona plástica, ya que el hilo no se rompió cuando se le aplico una gran tensión Al trabajar con cifras ya sea muy pequeñas o muy grandes, se debe tener cuidado al hacer las aproximaciones y al usar exponentes y puntos decimales, ya que, como en este caso, al momento de proponer un modelo matemático que describa el comportamiento de algún material, puede provocarnos fallas y desviaciones muy grandes, como es el caso del modelo empírico propuesto en esta practica. Según el modulo de Young, este material es muy rígido y tiene un valor de 1936.074x106 N/m2 La masa teórica es una subestimación de la masa real conocida, esta fuera del rango de incerteza del valor experimental, lo cual quiere decir que la practica debe repetirse, tomando en cuenta que no debe sobrepasar la región plástica porque quedara completamente deformado y tampoco estirara mas si le aplicamos mas peso, lo único que podría pasar es que se rompa.
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5. Fuentes de consulta.
5.1.Fuentes Bibliográficas. Izquierdo, Cesar. “Manual de laboratorio de física Uno” Depto. de física. Universidad de San Carlos de Guatemala (pág. 40-46) Giancoli, C. Douglas. “FÍSICA, Principios con aplicaciones” Sexta edición. Pearson Education. México 2006 (pág. 236-239)
5.2.Fuentes Electrónicas. Grupo Wikipedia “plasticidad” Consultado el 19/3/10. Disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_%28mec %C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29 Grupo wikipedia “Modulo de Young” Consultado el 17/3/10. Disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/M %C3%B3dulo_de_elasticidad
