m ri. co
tla
SAYISAL YÖNTEMLER
em de r
sn o
DERS NOTLARI
w
w
w .e
Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Bayıroğlu
İSTANBUL 2006
m
İÇİNDEKİLER
ri. co
SAYFA
1-GİRİŞ …………………………………………………….. 4 1.1 SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ ………....4
w
w
w .e
em de r
sn o
tla
1.2 HATA TANIMI………………………………………………………….. 4 2 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI ……….… 5 3 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI…………………. 7 3.1 GRAFİK METODU……………..……………………………………….. 7 3.2 ORTA NOKTA METODU……………………………………………….. 7 3.3 HATALI KONUM METODU (Lineer interpolasyon yöntemi)…………... 9 3.4 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD…………………………….. 10 3.5 NEWTON-RAPHSON METODU………………….……………………… 12 3.5.1 Newton-Raphson yönteminde hata analizi……….……………………….12 3.5.2 Newton-Raphson yönteminin iki bilinmiyenli lineer olmayan denklem sisteminin çözümüne uygulanması ……………………..……………………….13 3.6 SEKANT METODU……………..………………………………………… 15 3.7 KATLI KÖKLER …………………………………………......................... 16 4 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ….…………….……. 19 4.1 GRAFİK METODU……………………………………………………….. 20 4.2 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI ………………………….. 21 4.3 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU ( yok edilmesi) YÖNTEMİ…… 22 4.4 GAUSS ELİMİNASYONU METODU…………………………………… .. 23 4.5 GAUSS-JOURDAN METODU ……………….………….….……………. ..27 4.6 TERS MATRİS METODU ……………………………………………… . 29 4.6.1 Gauss-Jordan yönteminin matrislerin tersinin bulunmasına uygulanışı…….29 4.7 ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU………………… 35 4.7.1 Gauss eliminasyon yöntemi ile alt üst üçgen matrislere ayırma işlemi ……35 4.7.2 Crout Bileşenlere ayırma yöntemi (Crout decomposition)………….. …….38 4.8 KAREKÖK METODU (Cholesky yöntemi)………………………………. 42 4.9 İTERASYON YÖNTEMİ (Gauss-Seidel yöntemi)….……………………… 46 5 EĞRİYE UYDURMA…………………………………………………….. 47 5.1 YAKLAŞTIRMA (Regresssion ) METODU……….………………………. 47 5.1.1 Doğruya yaklaştırma metodu........................................................................ 47 5.1.2 Polinoma yaklaştırma metodu.………………………..………………...... . 50 5.1.3 İki değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme çekmek 52 5.1.4 Çok değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme çekmek……………………………………………………………………..53 2
w .e
em de r
sn o
tla
ri. co
m
5.2 İNTERPOLASYON……..…………………………………………………. 55 5.2.1. Lineer interpolasyon (ara değeri bulma)................................................. .. 55 5.2.2. Kuadratik interpolasyon.………………………..……………….. …..…. 56 5.2.3. Newton interpolasyon polinomunun genel formu:………………..……. ..57 5.2.4. İnterpolasyon polinomlarının katsayılarını bulmak için diğer bir yöntem. 58 5.2.5. Lagrange interpolasyon polinomu.…………………..……………………59 6 SAYISAL İNTEGRAL…………..………………………………………......62 6.1 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜL..…………………………………. 62 6.2 Trapez (yamuk kuralı)..................................................................................... 62 6.2.1 İntegral bölgesini n eşit parçaya bölerek yamuk kuralının uygulanışı…….. 63 6.3 Simpson’un 1/3 kuralı..................................................................................... 64 6.4 IMPROPER İNTEGRAL (sınırları sonsuz olan integral)………………..….68 7 SAYISAL TÜREV…………………………………………………………69 7.1 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER…………………. 70 7.2 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER………….... 71 7.3 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER……………………. 71 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER…………………………….. 73 8.1 EULER METODU………………………………………………………….. 73 8.1.1 İyileştirilmiş Euler metodu …………………………………………………74 8.2 HEUN METODU……………………………………………………………75 8.3 RUNGE-KUTTA METODU…………........................……………………76 8.3.1 İKİNCİ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU…...........…………76 8.3.2 ÜÇÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU…..........…………76 8.3.3 DÖRDÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU….........……76 8.4 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ YÖNTEMİ………………………79 8.5 SINIR DEĞER PROBLEMLERİ……….........................……………………81 8.5.1 ATIŞ YÖNTEMİ…...............…….........................................……………82 8.5.2 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ...……....................................……………83 9 KIMİ TÜREVLİ DENKLEMLER....................................................................85 9.1 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ.......................................................................86 9.1.1 LAPLACE DENKLEMİ...............................................................................86 9.1.2 ÇÖZÜM TEKNİĞİ.......................................................................................87
w
w
EK A Taylor Serisi..………………………………………………... 91 EK B Daha önceki senelere ait sınav soruları ve çözümleri………....94
3
1-GİRİŞ
tla
ri. co
m
Mühendislikte doğadaki olayların ve oluşumların bilimsel yöntemlerle anlaşılan işleyiş kuralları çok önemlidir. Bu kurallar insanlığın kullanımına sunulacak alet, cihaz, makine, yapı ve sistemlerinin oluşturulmasında, işletilmesinde ve geliştirilmesinde kullanılmaktadır. Doğadaki olaylar ve oluşumlar bilimsel yöntemlerle incelenirken değeri değiştikçe olayların seyrini veya oluşumların sonucunu etkileyen büyüklüklere değişkenler denir. İnceleme sonucunda değişkenler arasındaki ilişkilerden tablo değerleri çeşitli grafikler veya cebirsel, diferansiyel ve integral denklemler veya sistemleri elde edilir. İkinci dereceden cebirsel denklemler sayısı fazla olmayan cebirsel denklem sistemleri lineer diferansiyel denklemler ve sistemleri , düzgün geometriye sahip kısmi türevli lineer diferansiyel denklemler ve sistemlerinin analitik yöntemlerle çözüme gidilmesine karşılık diğer durumlarda pek kolay olmamaktadır. Hatta çoğu kere bu imkansızdır. Bundan dolayı büyük denklem sistemleri, lineer olmama durumu ve karmaşık geometri durumlarında sayısal yöntemler veya deneysel yöntemler uygulanmaktadır. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler sayısal yöntemlerin yoğunluğunu ve etkinliğini artırmıştır.
sn o
1.1 SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ
em de r
Sayısal yöntemlerde oluşabilecek hataları kesme , yuvarlatma hatası ve seçilen matematik modelden kaynaklanan hatalar olarak sayabiliriz. Kesme hatası, yüksek matematik fonksiyonları hesaplanırken kullanılan serilerde alınan terim sayısına bağlıdır. Yuvarlatma hatası, yapılan işlemlerde ger çel sayılarda virgülden sonra alınan rakam sayısına bağlıdı. Matematik modelden kaynaklanan hata Gerçek durum ile matematik model arasındaki farka bağlıdır.
1.2 HATA TANIMI
Doğru değer = yaklaşık değer + Hata
w .e
Hata = Doğru değer - yaklaşık değer Et = Doğru değer - yaklaşık değer
w
w
Bağıl hata = hata / doğru değer
Bağıl gerçek yüzde hata
εt = (gerçek hata / doğru değer ) 100 %
Bağıl yaklaşık yüzde hata εa = ( yaklaşık hata / yaklaşık değer) 100 % Ardışık metotlarda uygulanışı εa = (( şimdiki yaklaşık değer – bir önceki yaklaşık değer)/ (şimdiki yaklaşık değer )) 100 %
4
2 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRIMASI 2.1 Denklemlerin kökleri f (x)
m
denklemini sağlayan x değerlerinin hesabı
ri. co
f(x) = 0
x
kök
2.2 Lineer denklem sistemlerinin çözümü
sn o
em de r
2.3 Eğri uydurulması
x2
tla
A11 x1 + A12 x2 = C1 A21 x1 + A22 x2 = C2
f (x) 4
15
3.5
10
3
5
2.5
w .e
f (x) 20
5
10
Regresyon (yaklaştırma)
15
x
20
x1
2
3
4
f (x) b
I = ∫ f ( x ) dx
I = eğri altındaki
a
alan
x 5
5
6
Interpolasyon (ara değeri bulma)
2.4 Nümerik integral
w
w
1
çözüm
7
x
2.5 Nümerik türev Türev: df ( x ) f ( x + Δx ) − f ( x ) = Lim Δx →0 dx Δx
f (x)
sayısal türev türev
m
∆y
ri. co
Nümerik türev : df ( x ) Δy f ( x + Δx ) − f ( x ) ≅ = dx Δx Δx
2.6 Adi diferansiyel denklemler
y nin t ye bağlı çözümü:
em de r
y i +1 = y i + f ( t , y ) Δt
y
sn o
dy Δy = f ( t ,y) ≅ dt Δt
x
tla
∆x
ti
∆t
tg θ = f (ti ,yi ) θ
t i+1
t
2.7 Kısmi türevli diferansiyel denklemler
y
∂ u ∂ u + = f (x,y) ∂x 2 ∂y 2 2
2
w .e
x ve y ye bağlı olarak u hesaplanır.
w
w
x
6
3 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI f (x) = 0 denklemini sağlayan x değerlerine bu denklemin kökleri denir. Örnek olarak 2. dereceden
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
eşitliği ile kolaylıkla bulunur.
ri. co
denkleminin kökleri
m
f (x) = a x2 + b x + c
Herhangi bir f (x) = 0 denkleminin kökleri her zaman bu kadar kolay hesaplanamaz. Bunun için sayısal yöntemler geliştirilmiştir.
Bu yöntemde f(x) denklemi ölçekli bir Şekilde çizilir. Eğrinin x eksenini kestiği noktalar okunmaya çalışılır.
f(c)
sn o
[
50 40
Örnek olarak paraşütün inişini karakterize eden denklemi ele alalım.
]
30 20 10
5
em de r
gm v= 1 − e −( c / m )t c
tla
3.1 GRAFİK METODU
Burada v hızı, g yerçekimi ivmesini , m Kütleyi ve c de havanın direncini gösteriyor.
-10
10
15
20
25
c
Verilen v = 40 m/s , m=68,1 kg , g=9.8 m/s2 , t =10 s değerleri ile c hava direncini hesaplamak için gm 1 − e − ( c / m ) t − v şeklinde yukarıdaki denklemi düzenleyip bunu sıfır yapan c f (c ) = c değerini yukarıdaki grafikten c = 14,7 değerini okuyabiliriz.
[
ORTA NOKTA METODU
w .e
3.2
]
xr = (xu +xl )/2
w
w
f (xl ) * f (xu ) < 0 ise f (x) denkleminin (xl , xu ) aralığında en az bir kökü vardır.
f (x)
xl (– )
xr
(+) xu
xr = (xl +xu )/2 x
f (xl) * f (xr ) < 0 ise xu = xr f (xl) * f (xr ) > 0 ise xl = xr f (xl) * f (xr ) = 0 ise xr köktür. 7
Örnek 3.2.1 f (x) = x2 -2x -3 “çözüm x1 = -1 x2 = 3 “
( xl = 2 xu =3,5 )
f(3,5)=2,25
xr =(2+3,5)/2
f(2) * f(5) = -36 <0
f(2)* f(3,5) < 0 xu =3,5
xr = 2,75
f (2,75)= -0.93
f(2) * f(2,75) >0 xl =2,75 ( xl = 2,75 , xu =3,5 ) xr =3,125 f (3,125) = 0.516
( xl = 2,75 , xu =3,125 ) xr =2,94 | εa | =6,3 %
| εa | =12 % f (2,94)= -0,24
f(2,75) * f( 3,125) < 0 xu=3,125
f(2,75) * f( 2,94) > 0 xl = 2,94
sn o
| εa | = | (3,125-2,75)/3,125| 100 %
m
xr = 3,5
f(5) =12
ri. co
xr =(2+5)/2
f (2)= -3
tla
( xl = 2 xu =5 )
( xl = 2,94 , xu =3,125 ) xr =3,03 f (xr )= 0.12 f( x l ).f( x r ) < 0 xu = 3,03 | εa | =2,97 % ( xl = 2,94 , xu =3,03 ) xr =2,985 f (xr )= -0.06 f( x l ).f( x r ) > 0 xl =2,985 | εa | =1,5 %
em de r
( xl = 2,985 , xu =3,03 ) xr =3,0075 f (xr )= -0.03 f( x l ).f( x r )< 0 xu =3,0075 | εa | =0,75 % ( xl = 2,985 , xu =3,0075 ) xr =2,99 f (xr )= -0.0399 f( x l ).f( x r )> 0 xl =2,99 | εa | =0,59 % | εa | =0,3 %
w
w
w .e
( xl = 2,99 , xu =3,0075 ) xr =2,999
8
3.3 HATALI KONUM METODU ( Lineer interpolasyon yöntemi )
f (xu)
xr
xu
x
f (xl)
Örnek 3.3.1 f (x) = x2 -2 x – 3
“ ( çözüm x1 = -1 , x2 = 3 )
tla
xl
f ( x u ) (x l − x u ) f (x l ) − f (x u )
ri. co
xr = xu −
m
f (x l ) f (x u ) = xr − xl xr − xu
f (x)
xr = 5 – 12 ( 2-5) / (-3-12) xr = 2,6
sn o
xl =2 xu = 5 için f(xl) = -3 f(xu) = 12 f(xl) f(xu) < 0 olduğundan f(x) denkleminin ( xl , xu ) aralığında en az bir kökü vardır. |εa | = | (2,6 – 2 ) / 2,6 | 100 % = 23 %
em de r
xl =2,6 f(xl) = -1,44 xr = 5 – 12 ( 2,6 - 5) / (-1,44-12) xr = 2,86
xl =2,86 f(xl) = -0,54 xr = 5 – 12 ( 2,86 - 5) / (-0,54-12) xr = 2,95
|εa | = 9,1 % |εa | = 3,05 %
xl =2,95 f(xl) = -0,1975 xr = 5 – 12 ( 2,95 - 5) / (-0,1975-12) xr = 2,983
|εa | = 1,1 %
xl =2,983 f(xl) = -0,068 xr = 5 – 12 ( 2,983 - 5) / (-0,068-12) xr = 2,994
|εa | = 0,37 %
xl =2,994 f(xl) = -0,024 xr = 5 – 12 ( 2,994 - 5) / (-0,024-12) xr = 2,983
|εa | = 0,13 %
w
w
w .e
|εa | = | (2,998 – 2 ,994) / 2,998 | 100 % =0,13 %
9
3.4 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD Bu yöntemde f(x) fonksiyonu f1(x) = f2(x) olacak şekilde iki parçaya ayrılır.
y2 =f2(x)
xi+1 = g (xi)
y1=f1(x)
ri. co
f (x)
m
Bu ayırım xi+1 = g (xi) şeklinde olabilir.
| εa | = | ( xi+1 – xi ) / xi+1 | 100 % | εt | = | ( xt – xi ) / xt | 100 %
x
sn o
Örnek 3.4.1 f(x) = e-x – x f2(x) = e-x
f1(x) = x
tla
kök
em de r
1
0.75
f(x) = e-x - x
0.5 0.25
kök = 0,56714329
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.25
w
w
w .e
-0.5
1
f2(x) = e-x f1(x) = x
0.8 0.6
kök 0.4 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
10
1
ri. co
tla
| εa | % 100 171 46,9 38,3 17,4 11,2 5,9 3,48 1,93 1,102 0,624 0,355 0,2 0,11 0,065 0,038
sn o
xi+1 = e 1 0,36789 0,6922 0,500473 0,60624 0,545396 0,57961 0,560115 0,571143 0,564879 0,568428 0,566415 0,567557 0,56691 0,56728 0,567066
| εt | % 100 76,3 35,1 22,1 11,8 6,89 3,83 2,2 1,24 0,705 0,399 0,226 0,128 0,07 0,04 0,014
w
w
w .e
em de r
xi 0 1 0,36789 0,6922 0,500473 0,60624 0,545396 0,57961 0,560115 0,571143 0,564879 0,568428 0,566415 0,567557 0,56691 0,56728
-Xi
m
Yukarıdaki eşitliklerle aşağıdaki tablo yazılabilir.
11
3.5 NEWTON – RAPHSON METODU f (x) f ′( x i ) =
f(xi)
x i +1 = x i −
f(xi)
xi+1
xi
f (x i ) f ′( x i )
ri. co
kök
m
f (x i ) x i − x i +1
eğim = f ′( x i )
x
1.
sn o
tla
Newton- Raphson yöntemini ayrıca Taylor serisinden çıkarabiliriz ve bu yolla hata analizi de yapılır. Ek 1 deki tek değişkenli f(x) fonksiyonun x0 noktasında Taylor serisine açılımını göz önüne alalım. Buradaki açılımda x0 yerine xi , x yerine xi+1 yazarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz. 1 f ( x i + 1 ) = f ( x i ) + f ′( x i ) ( x i +1 − x i ) + f ′′(ξ ) ( x i +1 − x i ) 2 2 Burada ξ , xi ile xi+1 arasında bir değerdir. mertebeden türevi içeren terimlerden sonrakiler alınmaz ve f(xi+1) = 0 alınırsa 0 ≅ f ( x i ) + f ′( x i ) ( x i + 1 − x i )
em de r
eşitliği yazılır. Buradan Newton-Raphson yönteminden elde edilen aşağıdaki denklemi elde edilir. f (x i ) x i +1 = x i − f ′( x i )
3.5.1 Newton-Raphson yönteminde hata analizi xr : kökün gerçek değeri Taylor serine yerleştirilip bundan yaklaşık denklem çıkarılırsa
w
w
w .e
1 0 = f ( x i ) + f ′( x i ) ( x r − x i ) + f ′′(ξ ) ( x r − x i ) 2 2 _ 0 ≅ f ( x i ) + f ′( x i ) ( x i +1 − x i ) _________________________________________ 1 0 = f ′( x i ) ( x r − x i +1 ) + f ′′(ξ ) ( x r − x i ) 2 2
E t ,i = x r − x i
E t ,i + 1 = x r − x i +1 ( gerçek hata )
(önceki gerçek hata )
eşitliklerini yukarıdaki denkleme yerleştirirsek 1 2 0 = f ′( x i ) E t ,i + 1 + f ′′(ξ ) E t ,i 2 eşitliğini elde ederiz. Çözümün yakınsadığı düşünülürse xi ve ξ , xr gerçek kök değerine yakınsar ve böylece 12
E t ,i + 1 ≅
− f ′′( x r ) 2 E t ,i 2f ′( x r )
m
denkleminden hatanın kabaca önceki hatanın karesiyle orantılı olduğu görülür. ( Kuadratik yakınsaklık )
f(x) = x2 – 2 x – 3 f (x i ) f ′( x i )
f ′( x ) = 2 x − 2
| εa | = | (xi+1 – xi ) / xi+1 | 100 %
2
xi+1 -1,5 -1,05 -1,000609756 -1,000000093 -1
| εa | , % 100 43 4,94 0,061 0,000009
em de r
xi 0 -1,5 -1,05 -1,000609756 -1,000000093
sn o
x i +1
x − 2x i − 3 = xi − i 2x i − 2
tla
x i +1 = x i −
( Gerçek çözüm x1 = -1 , x2 = 3 )
ri. co
Örnek 3.5.1.1
3.5.2 Newton – Raphson yönteminin iki bilinmiyenli lineer olmayan denklem sisteminin çözümüne uygulanması Ek 1 deki iki değişkenli fonksiyonların Taylor serisinde x0 yerine xi , y0 yerine yi , x yerine xi+1 , y yerine yi+1 alıp birinci mertebeden türevli terimlerden sonraki terimleri almazsak aşağıdaki denklemi elde ederiz
w .e
f ( x i +1 , y i +1 ) = f ( x i , y i ) +
∂f ( x i , y i ) ∂f ( x i , y i ) ( x i +1 − x i ) + ( y i +1 − y i ) ∂x ∂y
İki bilinmiyenli lineer denklem sistemini
w
w
u( x , y ) = 0 v( x, y ) = 0 şeklinde gösterirsek yukarıdaki Taylor serisinden elde edilen eşitliği bu her iki denkleme ayrı ayrı uygulamamız gerekir. ∂ u( x i , y i ) ∂u( x i , y i ) ( y i +1 − y i ) ( x i +1 − x i ) + u( x i + 1 , y i + 1 ) = u( x i , y i ) + ∂x ∂y ∂v ( x i , y i ) ∂v ( x i , y i ) ( y i +1 − y i ) ( x i +1 − x i ) + v ( x i + 1 , y i + 1 ) = v( x i , y i ) + ∂x ∂y
Sistemin çözümünü aradığımız için 13
m
u( x i + 1 , y i + 1 ) = 0 v( x i + 1 , y i +1 ) = 0 olmalıdır. Ayrıca u( x i , y i ) = u i v( x i , y i ) = v i alınırsa denklem sistemini aşağıdaki gibi düzenlenebilir.
ri. co
∂u ∂u ∂u ∂u i x i +1 + i y i +1 = −u i + x i i + y i i ∂y ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂v ∂v i x i +1 + i y i +1 = − v i + x i i + y i i ∂y ∂x ∂y ∂x
∂v i ∂u − vi i ∂x ∂x ∂u i ∂v i ∂u i ∂v i − ∂x ∂y ∂y ∂x ui
em de r
x i +1 = x i −
sn o
∂v i ∂u − vi i ∂y ∂y ∂u i ∂v i ∂u i ∂v i − ∂x ∂y ∂y ∂x ui
tla
Böylece xi+1 ve yi+1 büyüklüklerini bilinmiyen kabul eden iki bilinmiyenli lineer denklem sistemini elde edilir. Bu sistem Kramer kuralına göre çözülürse aşağıdaki eşitlikler bulunur.
y i +1 = y i −
Örnek 3.5.2.1
u(x,y) = x2 + x y -10 = 0 v(x,y) = y + 3 x y2 – 57=0
y
50
u(x,y) = 0
w .e
40 30 20
v(x,y)
w
w
10
0.5
∂u =x , ∂y
∂u = 2x + y , ∂x
∂v = 3y 2 , ∂x
∂v = 1 + 6xy ∂y
2
x i +1 = x i −
1
2
( x i + x i y i − 10)(1 + 6x i y i ) − ( y i + 3x i y i − 57 )x i 2
( 2x i + y i )(1 + 6x i y i ) − x i ( 3y i )
14
1.5
2
2.5
x
3
2
2
2
( x i + x i y i − 10)3y i − ( y i + 3x i y i − 57 )( 2x i + y i ) 2
xi
yi
1 2,176470588 1,900833044 1,999127152 1,999999679
xi+1 2,176470588 1,900833044 1,999127152 1,999999679 2
4 1,941176471 3,215237987 2,997166652 3,000002741
tla
3.6 SEKANT METODU
yi+1 1,941176471 3,215237987 2,997166652 3,000002741 3
m
( 2x i + y i )(1 + 6x i y i ) − x i ( 3y i )
ri. co
y i +1 = y i −
xi = xi −
f (x i ) f ′( x i )
sn o
Newton-Raphson yöntemi için gerekli olan türev alma işlemi bazı polinom ve fonksiyonlarda zordur. Bu yöntemde türev yerine sonlu farklar türev formülü kullanılır. ( Newton – Raphson Yöntemi )
em de r
buradaki f ′( x i ) yerine f ′( x i ) ≅
f ( x i −1 ) − f ( x i ) x i −1 − x i
yaklaşık değeri alınır. Bu denklemden xi+1 aşağıdaki şekilde elde edilir. f ( x i ) ( x i −1 − x i ) x i +1 = x i − f ( x i −1 ) − f ( x i ) iki değer xi ve xi-1 başlangıçta verilmelidir. Bu başlangıçta verilen iki değer kökün ayrı taraflarında olmak zorunda değildir.
w .e
f(x)
f(xi)
kök
xi+1 xi-1
xi
w
w
f(xi-1)
15
x
Örnek 3.6.1 f(x) = x2 - 2 x – 3 2
İ 1 2 3 4 5 6
(x
2 i −1
2
− 2 x i − 1 − 3) − ( x i − 2x i − 3)
xi-1
,
| εa | =
xi
0 -3 -0.6 -0,8571428571 -1,016528926 -0,9993904297
xi+1 -0,6 -0,8571428571 -1,016528926 -0,9993904297 -0.9999974911 -1
-3 -0,6 -0,8571428571 -1,016528926 -0,9993904297 -0.9999974911
f(x)
f(x) = x3 – 5 x2 + 7 x -3
2
2
1
x
4
em de r
f(x)
3
Burada x = 1 iki katlı köktür.
-1
-3
sn o
f(x) = (x-3) (x-1) (x-1)
iki katlı kök 1
-2
üç katlı kök
2
3
x
4
w .e
1
f(x) = (x-3) (x-1) (x-1) (x-1) f(x) = x4 – 6 x3 + 12 x2 – 10 x + 3 Burada x = 1 3 katlı köktür.
-1
f(x)
w
w
| εa | , % 400 30 15,7 1,715 0,061 0,00025
tla
3.7 KATLI KÖKLER
1
x i +1 − x i 100 % x i +1
ri. co
x i +1 = x i −
( x i − 2x i − 3 ) ( x i −1 − x i )
m
( çözüm x1= -1 , x2 = 3 )
3 2
f(x) = (x-3) (x-1) ( x-1) (x-1) (x-1)
dört katlı kök
f(x) = x5 - 7 x4 + 18 x3 – 22 x2 + 13 x - 3
1 1
2
3
x
-1 -2 -3
16
4
Burada x = 1 4 katlı köktür.
f (x) fonksiyonu ile f ( x) fonksiyonunun kökleri aynıdır. f ′( x ) Bu durumda f(x) yerine u(x) fonksiyonunun kökleri araştırılır. Örnek olarak NewtonRaphson yöntemi uygulanırsa aşağıdaki denklem elde edilir. u( x ) =
Bu denklemde u ′( x) yerine
u( x ) =
f ( x) f ′( x )
ifadesinin x ‘e göre türevi alınıp konursa
f ′( x) f ′( x ) − f ( x ) f ′′( x ) [f ′( x)] 2 f ( x i ) f ′( x i ) = xi − [f ′( x i )] 2 − f ( x i ) f ′′( x i )
u ′( x ) =
tla
x i +1
m
u( x i ) u ′( x )
ri. co
x i +1 = x i −
sn o
katlı kökler için yeniden düzenlenmiş Newton –Raphson yönteminin yaklaşım denklemi elde edilir.
Örnek 3.7.1
f(x) = x2 - 2 x + 1
f(x) = (x-1) (x-1)
( x = 1 iki katlı köktür. )
em de r
Standart Newton-Raphson yöntemi ile çözüm x i +1 = x i −
f (x i ) f ′( x i )
f ′( x ) = 2 x − 2
,
2
x i +1
x − 2x i + 1 = xi − i 2x i − 2
xi+1
xi
0,5 0,75 0,875 0,9375 0,96875 0,984375 0,9921875
w
w
w .e
0 0,5 0,75 0,875 0,9375 0,96875 0,984375
0,9921875
0,99609375
0,99609375
0,9980468709
0,9980468709
0,9990234353
| εa | % 100 33,33 14,29 6,67 3,226 1,587 0,7874 0,3922 0,1957 0,0978
17
Örnek 3.7.2 f(x) = (x-3) (x-1) (x-1)
m
f(x) = x3 – 5 x2 + 7 x – 3
f ′( x ) = 3x 2 − 10x + 7 ,
f ′′( x ) = 6x − 10
eşitliklerini [3.1.5. (1) ]denkleminde yerine yazarsak 3
2
3x i − 10x i + 7
tla
x i +1 = x i −
2
x i − 5x i + 7 x i − 3
ri. co
Standart Newton-Raphson yöntemi ile çözüm için
denklemini elde ederiz. Bu denklemi kullanarak aşağıdaki tabloyu düzenleyebiliriz. | εa | , % 100 37,5 17,668 8,81 4,441 2,237 1,1237 0,5633 0,282 0,1411 0,0706
em de r
0 0,4285714286 0,6857142857 0,8328654005 0,9133298932 0,9557832929 0,9776551012 0,9887661674 0,9943674405 0,9971797707 0,9985888917
xi+1 0,4285714286 0,6857142857 0,8328654005 0,9133298932 0,9557832929 0,9776551012 0,9887661674 0,9943674405 0,9971797707 0,9985888917 0,9992941948
sn o
xi
Geliştirilmiş Newton-Raphson yöntemi için elde edilen 3
2
2
3
2
( 3x i − 10x i + 7) 2 ( x i − 5x i + 7 x i − 3) (6x i − 10)
eşitliğini kullanarak aşağıdaki tablo oluşturulur.
w
w
2
( x i − 5x i + 7 x i − 3) ( 3x i − 10x i + 7 )
w .e
x i +1 = x i −
xi 0 1,105263158
1,003081664 1,000002393
xi+1 1,105263158 1,003081664 1,000002393 1,000002393
| εa | , % 100 10,1868 0,308 0
18
4 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ Önceki bölümde tek bir f ( x ) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin bulunuşu anlatıldı. Şimdi ise
( i = 1,2,3,..., n )
m
f i ( x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) = 0
ri. co
şeklinde n adet denklemi aynı anda sağlayan x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n değerleri araştırılacaktır. Eğer bu f i ( x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) = 0 denklemleri aşağıdaki gibi olursa bu denklem sistemine lineer denklem sistemi denir.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · , + a2n xn = c2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · , + a3n xn = c3 · · ·
· · · an1 x1 + an2 x2 + an3 x3
· · · · · · · · · · · · · · · + · · · , + ann xn = cn
em de r
Burada aij , ci sabitlerdir.
sn o
· · ·
tla
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · , + a1n xn = c1
Lineer denklem sisteminin matris gösterilimi [ A ] {x } = { C } şeklindedir. Buradan çözüm matrisi { x } = [ A ] -1 {C}
w .e
şeklinde yazılır. Bu matrisler aşağıdaki gibi açık şekilde yazılabilir.
w
w
⎡ a 11 ⎢a ⎢ 21 ⎢a 31 [A ] = ⎢⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢a ⎣ n1
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32 .
a 33 .
.
.
.
.
an2
an3
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢x 3 ⎥ [x] = ⎢⎢ . ⎥⎥ , ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢x ⎥ ⎣ n⎦
. . . a 1n ⎤ . . . a 2n ⎥⎥ . . . a 3n ⎥ ⎥ . . . . .⎥ , . . . . ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . a nn ⎥⎦
19
⎡c1 ⎤ ⎢c ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢c 3 ⎥ [C] = ⎢⎢ . ⎥⎥ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢c ⎥ ⎣ n⎦
ri. co
m
Lineer denklem sisteminin çözümünde aşağıdaki metodlar uygulanır. 1.Grafik metodu. 2.Determinantlar ve Cramer kuralı. 3. Bilinmiyenlerin eliminasyonu (yok edilmesi) 4. Gauss Eliminasyon metodu 5. Ters matris metodu (Gauss – Jordan yöntemi). 6. İterasyon yöntemi (Gauss – Seidel yöntemi ) 7. Alt üst üçgen matrislere ayırma metodu. 8. Karekök metodu ( Cholesky yöntemi , simetrik bant matrisler için).
4.1 GRAFİK METODU
Bu yöntem ikiden fazla bilinmiyen içeren denklem sistemlerine uygulanamaz. Fakat çözümün geometri yardımı ile yorumu yapılabilir.
X2 8
3 X1 + 2 X2 = 18 - X1 + 2 X2 = 2
3X1 + 2 X2 = 18
6
2
Çözüm X1 = 4 , X2 = 3
sn o
4
-X1 + 2 X2 = 2
em de r
X2
tla
Örnek 4.1.1
1
4
2
X2
-(1/2) X1 +X2 =1
3
2
-(1/2) X1+ X2 =1/2
w .e
1
1
2
3
4
5
X1
6
-1
3
4
4
3
2
w
w
2
1
-1
-(1/2) X1 + X2 = 1
1
2
3
4
5
6
X1 20
6
-X1 + 2 X2 = 2
1
1
-(2,3/5) X1 + X2 = 1,1
3
X1
-(1/2) X1 +X2 =1
4
X2
5
2
3
4
5
6
X1
4.2 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI Bu yöntem 3 den fazla bilinmiyenli denklem sistemleri için kullanışlı değildir.
m
Üç Bilinmiyenli denklem sistemi için bu yöntemi aşağıdaki gibi uygulanır. a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = c 1
ri. co
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2
a 12
a 13
D = a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
D
a 11 a 21 a 31
c1 c2 c3
a 13 a 23 a 33
x2 =
,
D
em de r
x1 =
c1 c2 c3
sn o
a 11
tla
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3
x3 =
,
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
c1 c2 c3
D
Örnek 4.2.1
w .e
0,3x 1 + 0,52x 2 + x 3 = 0,01 0,5x 1 + x 2 + 1,9x 3 = 0,67 0,1x 1 + 0,3x 2 + 0,5x 3 = −0,44
w
w
0,3 0,52 1 D = 0,5 1 1,9 = −0,0022 0,1 0,3 0,5
x2 =
0,3 − 0,01 1 0,5 0,67 1,9 0,1 − 0,44 0,5 D
=
x1 =
0,0649 = −29,5 − 0,0022
x3 =
21
− 0,01 0,52 1 0,67 1 1,9 − 0,44 0,3 0,5 D
0,3 0,52 − 0,01 0,5 1 0,67 0,1 0,3 − 0,44 D
=
=
0,03278 = −14,9 − 0,0022
− 0,04356 = 19,8 − 0,0022
4.3 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU (yok edilmesi) YÖNTEMİ Bu yöntemi iki bilinmiyenli lineer denklem sistemleri üzerinde gösterelim.
m
(1) a 11 x 1 + a 12 x 2 = c1 (2) a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2
a 21 ∗ (1) − a 11 ( 2)
=
a 21 a 11 x 1 + a 21 a 12 x 2 = a 21 c 1
− a 11 ∗ ( 2)
=
− a 11 a 21 x 1 − a 11 a 22 x 2 = a 11 c 2 +___________________________
tla
a 21 ∗ (1)
ri. co
(1) denklemi a 21 , (2) denklemi − a 11 ile çarpılıp toplanırsa x 1 yok edilmiş olur.
x2 =
sn o
a 21 ∗ (1) − a 11 ( 2) = (a 21 a 12 − a 11 a 22 ) x 2 = a 21 c 1 − a 11c 2 a 21c 1 − a 11 c 2 a 21 a 12 − a 11 a 22
a 21 c 1 − a 21 a 12 x 2 a 21 a 11
w .e
x1 =
em de r
Bu x 2 değeri (1) denkleminde yerine yerleştirilirse
Örnek 4.3.1
w
w
3x 1 + 2x 2 = 18 − x 1 + 2x 2 = 2
x2 =
− 1(18) − 3( 2) =3 − 1( 2) − 3( 2)
,
x1 =
− 1(18) − ( −1)2( 3) =4 − 1( 3)
22
4.4 GAUSS ELİMİNASYONU METODU Bilinmiyenlerin eliminasyonu yönteminin sistematik hale getirilmiş şeklidir.Bu yöntem lineer denklem sistemlerine aşağıdaki şekilde uygulanır.
. . . (n )
⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅
⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅
⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅
+ a 1n x n = c 1 + a 2n x n = c 2 + a 3n x n = c 3 . . . . . . + a nn x n = c n
m
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . . . . . . . a n1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 +
ri. co
(1) (2) (3)
a 11
i = 2,3,..., n
sn o
(i ) − a i1 ∗ (1)
tla
İlk önce (1) denklemi dışındaki bütün denklemlerde x 1 yok edilir. Bunun için (1) dışındaki bütün denklemlere aşağıdaki işlem uygulanır.
Bu işlem uygulandıktan sonra denklem sistemi aşağıdaki duruma gelir.
(1) (2′ ) (3′ )
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . . . . . . ⋅ ⋅
⋅ + a 1n x n = c 1 ⋅ + a′2n x n = c′2 ⋅ + a′3n x n = c′3 . . . . . . . . . ⋅ + a′nn x n = c′n
em de r
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a′22 x 2 + a′23 x 3 + a′32 x 2 + a′33 x 3 + . . . . . . (n′ ) a′n 2 x 2 + a′n 3 x 3 +
Benzer şekilde ikinci denklemden itibaren sonraki denklemlerde sıra ile x 2 , x 3 , . . . , x n bilinmiyenleride yok edilirse aşağıdaki denklem sistemi elde edilir.
w
w
w .e
(1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + (2′ ) a′22 x 2 + a′23 x 3 + (3′′ ) a′33′ x 3 +
(n
( n −1 )
)
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . . .
⋅ + a 1n x n = c 1 ⋅ + a′2n x n = c′2 ⋅ + a′3′n x n = c′3′ . . . . . . . . . a (nnn −1) x n = c (nn −1)
Bu sistemde x n bilinmiyeninden başlayarak geriye doğru yerine koyma işlemi ile bütün bilinmiyenler aşağıdaki formüller ile hesaplanır .
23
c (nn −1) x n = ( n −1 ) a nn
∑a
j= i + 1
( i −1 ) ij
xj
a (iii −1)
i = n−1,n− 2 , ...,1
m
xi =
n
ri. co
c (i i −1) −
Örnek 4.4.1
0,1 ∗ (1) 3 3x1 − 0,1x 2 − 0,2x 3 = 7,85
Bu denklem sistemine (2) −
(1) (2′) (3′)
(1) (2′) (3′)
(3) −
0,3 ∗ (1) 3
işlemleri yapılırsa
0,2 x 3 = 7,85 3 x 1 - 0,1 x 2 0,1 0,1 0,1 0,1 (0,1 − ∗ 3) x 1 + [7 − ∗ (−0,1)]x 2 + [−0,3 − ∗ (−0,2)]x 3 = −19,3 − ∗ 7,85 3 3 3 3 0,3 0,3 0,3 0,3 (0,3 − ∗ 3) x 1 − [0,2 − ∗ (−0,1)]x 2 + [10 − * (−0,2)]x 3 = 71,4 − ∗ 7,85 3 3 3 3
em de r
(1)
ve
tla
3x 1 − 0,1x 2 − 0,2x 3 = 7,85 0,1x 1 + 7 x 2 − 0,3x 3 = −19,3 0,3x 1 − 0,2x 2 + 10 x 3 = 71,4
sn o
(1) (2) (3)
3x 1
− 0,1x 2 − 0,2x 3 = 7,85 7,00333x 2 − 0,293333x 3 = −19,5617 10,02x 3 = 70,6150 − 0,19x 2 +
(−0,19) ∗ (2′) işlemi yapılırsa 7,0033
w .e
denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde son satıra (3′) −
3x 1
w
w
(1) (2′) (3′′)
− 0,1x 2 − 0,2x 3 = 7,85 7,00333x 2 − 0,293333x 3 = −19,5617 10,012x 3 = 70,0843
Bu son elde edilen sistemden bilinmiyenler son denklemden ilk denkleme doğru yerine koyma ile elde edilir. 70,0843 Son (3′′) denkleminden x 3 = = 7,00003 bulunur. Bu x 3 değeri ile (2′) 10,0120 denklemine gidilip oradan x 2 hesaplanır 7,00333 x 2 − 0,293333 (7,00003) = −19,5617 x 2 = −2,5
24
Bulunan bu x 2 ve x 3 değerlerini (1) denkleminde yerine yerleştirerek x 1 bilinmiyenide çözülür. 3x 1 − 0,1 (− 2,5) − 0,2 (7,00003) = 7,85
m
x1 = 3
Örnek 4.4.2
, x 2 = −1 , x 3 = 5 , x 4 = 2 )
ri. co
(x 1 = 3
em de r
⎡4 − 2 − 1 3 15 ⎤ ⎢3 1 − 2 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 3 5 − 1 26⎥ ⎢ ⎥ 4 27⎦ ⎣1 − 1 3
sn o
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡15 ⎤ ⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢2 3 5 − 1⎥ ⎢ x 3 ⎥ ⎢ 26⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎦ ⎣ x 4 ⎦ ⎣27⎦ ⎣1 − 1 3
tla
4x 1 − 2 x 2 − x 3 + 3x 4 = 15 3x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 0 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 − x 4 = 26 x 1 − x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 27
w .e
−2 −1 3 15 ⎡ 4 ⎤ 3 3 3 3 3 ⎢ ⎥ 0 − ∗ 15 ⎥ ⎢3 − 4 ∗ 4 1 − 4 ∗ (− 2 ) − 2 − 4 ∗ (− 1) 1 − 4 ∗ 3 4 ⎢ ⎥ 2 2 2 2 2 5 − ∗ (− 1) − 1 − ∗ 3 26 − ∗ 15⎥ ⎢2 − ∗ 4 3 − ∗ (− 2 ) 4 4 4 4 4 ⎢ ⎥ 1 1 1 1 1 ⎢1 − ∗ 4 − 1 − ∗ (− 2 ) 3 − (− 1) 4 − ∗ 3 27 − ∗ 15⎥ 4 4 4 4 ⎣⎢ 4 ⎦⎥
w
w
3 15 ⎤ −1 ⎡4 − 2 ⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 4 5,5 18,5 ⎥ − 2,5 ⎢ ⎥ 3,25 23,25 ⎦ ⎣0 − 0,5 3,25
25
m
−2 −1 3 15 ⎡4 ⎤ ⎢0 ⎥ − 1,25 − 1,25 − 11,25 2,5 ⎢ ⎥ 4 4 4 4 ⎢0 ∗ 2,5 ∗ (− 1,25) − 2,5 − ∗ (− 1,25) ∗ (− 11,25) ⎥ 4− 5,5 − 18,5 − ⎢ ⎥ 2,5 2,5 2,5 2,5 ⎢ (− 0,5) ∗ 2,5 3,25 − (− 0,5) ∗ (− 1,25) 3,25 − (− 0,5) ∗ (− 1,25) 23,25 − (− 0,5) ∗ (− 11,25)⎥ ⎢0 − 0,5 − ⎥ 2,5 2,5 2,5 2,5 ⎣ ⎦
tla
ri. co
3 15 ⎤ −1 ⎡4 − 2 ⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 7,5 36,5 ⎥ − 0,5 ⎢ ⎥ 3 3 21 ⎦ ⎣0 0
em de r
sn o
3 15 −1 ⎡4 − 2 ⎤ ⎢0 2,5 ⎥ − 1,25 − 1,25 − 11,25 ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎥ 7,5 36,5 − 0,5 ⎢ ⎥ 3 3 3 ∗ 7,5 3 − ∗ (− 0,5) 21 − ∗ (36,5)⎥ ⎢0 0 3 − 7,5 7,5 7,5 ⎣ ⎦
−1 3 15 ⎤ ⎡4 − 2 ⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 − 0,5 7,5 36,5 ⎥ ⎢ ⎥ 0 3,2 6,4 ⎦ ⎣0 0 3,2x 4 = 6,4 ,
w .e
7,5x 3 − 0,5 ∗ 2 = 36,5 ,
2,5x 2 − 1,25 ∗ 5 − 1,25 ∗ 2 = −11,25
w
w
4x 1 − 2(− 1) − 1 ∗ 5 + 3 ∗ 2 = 15
6,4 , 3,2 36,5 + 0,5 ∗ 2 x3 = , 7,5 − 11,25 + 6,25 + 2,5 x2 = , 2,5 15 − 2 + 5 − 6 x4 = , 4 x4 =
Elde edilen çözüm değerlerinin sağlanması ⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡4 ∗ 3 + (−2) ∗ (−1) + (−1) ∗ 5 + 3 ∗ 2⎤ ⎡15 ⎤ ⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎢− 1⎥ ⎢ 3 ∗ 3 + 1 ∗ (−1) + (−2) ∗ 5 + 1 ∗ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢2 3 5 − 1⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 2 ∗ 3 + 3 ∗ (−1) + 5 ∗ 5 + (−1) ∗ 2 ⎥ ⎢26 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ∗ 3 + (−1) ∗ (−1) + 3 ∗ 5 + 4 ∗ 2 ⎦ ⎣27 ⎦ ⎣1 − 1 3 26
x4 = 2
x3 = 5 x 2 = −1 x1 = 3
4.5 GAUSS-JOURDAN METODU Bu yöntemde [A ]{x} = {c} denklem sistemi her iki tarafı [A ]
−1
Sistemine dönüştürülür.
m
[I]{x} = [A]−1 {c}
ile soldan çarpılarak
Örnek 4.5.1
ri. co
4x 1 − 2 x 2 − x 3 + 3x 4 = 15 3x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 0 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 − x 4 = 26 x 1 − x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 27
sn o
em de r
⎡4 − 2 − 1 3 15 ⎤ ⎢3 1 − 2 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 3 5 − 1 26⎥ ⎢ ⎥ 4 27⎦ ⎣1 − 1 3
tla
⎡ 4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡15 ⎤ ⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢2 3 5 − 1⎥ ⎢ x 3 ⎥ ⎢ 26⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 ⎦ ⎣ x 4 ⎦ ⎣27 ⎦ ⎣1 − 1 3
⎡4 / 4 − 2 / 4 − 1 / 4 3 / 4 15 / 4⎤ ⎢ 3 −2 1 1 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 2 −1 3 5 26 ⎥ ⎢ ⎥ −1 3 4 27 ⎦ ⎣ 1
w .e
− 0,5 − 0,25 0,75 3,75 ⎡ 1 ⎤ ⎢ 3 − 3 ∗ 1 1 − 3 ∗ ( −0,5) − 2 − 3 ∗ (− 0,25) 1 − 3 ∗ 0,75 0 − 3 ∗ 3,75 ⎥⎥ ⎢ ⎢2 − 2 ∗ 1 3 − 2 ∗ (− 0,5) 5 − 2 ∗ (− 0,25) − 1 − 2 ∗ (0,75) 26 − 2 ∗ 3,75⎥ ⎢ ⎥ 4 − 1 ∗ (0,75) 27 − 1 ∗ 3,75 ⎦ ⎣ 1 − 1 ∗ 1 − 1 − 1 ∗ (− 0,5) 3 − 1 ∗ (− 0,25)
w
w
3,75 ⎤ ⎡1 − 0,5 − 0,25 0,75 ⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 2,5 4 5,5 18,5 ⎥ ⎢ ⎥ 3,25 23,25 ⎦ ⎣0 − 0,5 3,25
⎡1 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 − 0,25 + 0,5(− 0,5 ) 0,75 + 0,5(− 0,5 ) 3,75 + 0,5 ∗ (− 4,5 )⎤ ⎢0 ⎥ − 0,5 − 0,5 − 4,5 1 ⎢ ⎥ ⎢0 4 − 4 ∗1 5,5 − 4 ∗ (− 0,5) − 2,5 − 4 ∗ (− 0,5) 18,5 − 4 ∗ (− 4,5) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 3,25 + 0,5 ∗ (− 0,5) 3,25 + 0,5(− 0,5) 23,25 + 0,5(− 4,5) ⎦ 27
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 0,5 + 0,5 ∗ (− 0,06667 ) 1,5 + 0,5(4,86667 ) ⎤ 1 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 − 0,5 + 0,5 ∗ (− 0,06667 ) − 4,5 + 0,5 ∗ 4,86667 ⎥⎥ ⎥ − 0,06667 0 1 4,86667 ⎥ 0 3 − 3 ∗1 3 − 3(− 0,06667 ) 21 − 3 ∗ 4,86667 ⎦
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 0,46665 3,9333 ⎤ 0 − 0,5333 − 2,0666⎥⎥ 1 − 0,06667 4,86667 ⎥ ⎥ 0 3,2 6,4 ⎦
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 0,46665 − 0,4665 ∗ 1 3,9333 − 0,4665 ∗ 2 ⎤ − 0,5333 + 0,533 ∗ 1 − 2,0666 + 0,533 ∗ 2 ⎥⎥ 0 1 − 0,06667 + 0,0667 ∗ 1 4,86667 + 0,0667 ∗ 2⎥ ⎥ 0 1 2 ⎦
tla
sn o
em de r
⎡1 0 0 0 3 ⎤ ⎢0 1 0 0 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1 2 ⎦ Bu elde edilen arttırılmış matris aşağıdaki arttırılmış matrise eşit olduğundan 0 x2
0 0
0 0
0
x3
0
0
0
x4
3⎤ −1⎥⎥ 5⎥ ⎥ 2⎦
w .e
⎡ x1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
böylece
x 2 = −1 ,
x3 = 5 ,
x4 = 2
w
x1 = 3 ,
m
0 − 0,5 0,5 1,5 ⎤ 1 − 0,5 − 0,5 − 4,5⎥⎥ 0 7,5 − 0,5 36,5 ⎥ ⎥ 0 3 3 21 ⎦
ri. co
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
w
çözüm değerleri bulunmuş olur.
28
4.6 TERS MATRİS METODU Ters matris yönteminde aynı katsayılar matrisine sahip lineer denklem sistemlerinde farklı İkinci taraf vektörleri için çözümler daha kolay elde edilir.
denklem sisteminin her iki tarafı [A ]
−1
{x} = [A]−1 {c}
⎡ a 11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢⎣a n1
a 12 a 22 . . a n2
a 12
. . . a 1n ⎤ ⎧ y11 ⎫ ⎧1⎫ . . . a 2 n ⎥⎥ ⎪⎪ y12 ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. . . ⎥⎨ . ⎬ = ⎨ . ⎬ , ⎥ . .. . ⎥⎪ . ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . . . a nn ⎥⎦ ⎪⎩ y1n ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
a 1n ⎤ ⎧ y n1 ⎫ ⎧0⎫ . . . a 2 n ⎥⎥ ⎪⎪ y n 2 ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. . . ⎥⎨ . ⎬ = ⎨ . ⎬ ⎥ . .. . ⎥⎪ . ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . . . a nn ⎥⎦ ⎪⎩ y nn ⎪⎭ ⎪⎩1⎪⎭ ...
⎡ a 11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢⎣a n1
a 12 a 22 .
tla
matrisi ile aşağıdaki gibi n tane denklem sistemi elde edilir.
. . . a 1n ⎤ ⎧ y 21 ⎫ ⎧0⎫ . . . a 2 n ⎥⎥ ⎪⎪ y 22 ⎪⎪ ⎪⎪1⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. . . ⎥⎨ . ⎬ = ⎨ . ⎬ , . . . , ⎥ . .. . ⎥⎪ . ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . . . a nn ⎥⎦ ⎪⎩ y 2 n ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
sn o
⎡ a 11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢⎣a n1
elde edilir.
.
a n2
em de r
[A]
ile çarpılırsa
ri. co
[A]{x} = {c}
m
4.6.1 Gauss-Jordan yönteminin matrislerin tersinin bulunmasına uygulanışı
a 22 . .
a n2
Bu n tane sistem a 12
a 22
a 1n ⎤ ⎡ y11 . . . a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ y12 .. . . ⎥⎢ . ⎥⎢ . .. . ⎥⎢ . . . . a nn ⎥⎦ ⎢⎣ y1n ...
w
w
w .e
⎡ a 11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢⎣a n1
. .
a n2
[ A] [Y ] = [ I ]
→
y 21
y 22 . .
y 2n
. . . y n1 ⎤ ⎡ 1 0 . . . 0 ⎤ . . . y n 2 ⎥⎥ ⎢⎢0 1 . . . 0⎥⎥ ... . ⎥ = ⎢. . ... .⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ... . ⎥ ⎢. . ... .⎥ . . . y nn ⎥⎦ ⎢⎣0 0 . . . 1⎥⎦
[Y ] = [ A]
−1
şeklinde gösterilebilir. Buradan yazılacak
[A I]
arttırılmış matrisi
[I K ]
(yani
[ I ] [Y ] = [ K ] → [Y ] = [ K ] ) matrisine dönüştürülürse [K ] = [A]−1 elde edilir. −1 Çünkü [A ][Y ] = [I] olduğuna göre [I][Y ] = [K ] olur . Ayrıca [Y ] = [A ] ve bir matrisin çarpımı kendisine eşit olduğundan [I][Y ] = [Y ] dır. −1 buradan [Y ] = [K ] ve sonuç olarak [K ] = [A ] bulunur. 29
birim matrisle
a 32
a 33
. . . a 3n
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
a n2
a n3
. . . . . . . a nn
1 0 0 . . . 0⎤ 0 1 0 . . . 0⎥⎥ 0 0 1 . . . 0⎥ ⎥ . . . . . . .⎥ . . . . . . .⎥ ⎥ . . . . . . .⎥ . . . . . . 1⎥⎦
k 11
k 12
k 13
1 0 . . . 0 0 1 . . . 0
k 21 k 31
k 22 k 32
k 23 k 33
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1
. .
. .
. .
k n1
k n2
.
.
. . .
. . . k 1n ⎤ . . . k 2 n ⎥⎥ . . . k 3n ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . k nn ⎥⎦
sn o
0 0 . . . 0
k n3
Örnek 4.6.1.1
3x 1 − 0,1x 2 − 0,2 x 3 = 7,85 0,1x 1 + 7 x 2 − 0,3x 3 = −19,3 0,3x 1 − 0,2 x 2 + 10x 3 = 71,4
w .e
3x 1 − 0,1x 2 − 0,2 x 3 = 20 0,1x 1 + 7 x 2 − 0,3x 3 = 50 0,3x 1 − 0,2x 2 + 10x 3 = 15
denklem sistemlerini çözünüz.
w
w
⎡ 3 − 0,1 − 0,2⎤ [A] = ⎢⎢ 0,1 7 − 0,3⎥⎥ ⎢⎣0,3 − 0,2 10 ⎥⎦ ⎡ 3 − 0,1 − 0,2 ⎢ 0,1 7 − 0,3 ⎢ ⎢⎣0,3 − 0,2 10
m
. . . a 1n . . . a 2n
ri. co
a 13 a 23
em de r
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢. ⎢. ⎢ ⎢. ⎢0 ⎣
a 12 a 22
tla
⎡ a 11 ⎢a ⎢ 21 ⎢a 31 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢a ⎣ n1
1 0 0⎤ 0 1 0⎥⎥ 0 0 1⎥⎦
30
1 / 3 0 0⎤ 0 1 0⎥⎥ 0 0 1⎥⎦
⎡ 1 − 0,0333333 − 0,0666667 ⎢ 0,1 7 − 0,3 ⎢ ⎢⎣0,3 − 0,2 10
0,333333 0 0⎤ 0 1 0⎥⎥ 0 0 1⎥⎦
ri. co
m
⎡3 / 3 − 0,1 / 3 − 0,2 / 3 ⎢ 0,1 7 − 0,3 ⎢ ⎢⎣ 0,3 − 0,2 10
0 0⎤ − 0,0333333 1 0⎥⎥ − 0,1 0 1⎥⎦ 0,333333
sn o
⎡1 − 0,0333333 − 0,0666667 ⎢0 7,00333 − 0,293333 ⎢ ⎢⎣0 − 0,190000 10,0200
0⎤ − 0,0333333 / 7,00333 1 / 7,00333 0⎥⎥ − 0,1 0 1⎥⎦ 0,333333
em de r
− 0,0333333 − 0,0666667 ⎡1 ⎢0 7,00333 / 7,00333 − 0,293333 / 7,00333 ⎢ ⎢⎣0 − 0,190000 10,0200 ⎡1 − 0,0333333 − 0,0666667 ⎢0 1 − 0,0417061 ⎢ ⎢⎣0 − 0,190000 10,0200
w .e
w
w
− 0,068057 ⎡1 0 ⎢0 1 − 0,0417061 ⎢ ⎢⎣0 0 10,0121 / 10,0121
⎡1 0 − 0,068057 ⎢0 1 − 0,0417061 ⎢ ⎢⎣0 0 1
0
0⎤ − 0,00473933 0,142180 0⎥⎥ − 0,1 0 1⎥⎦ 0,333333
0
⎡1 − 0,033 + 0,033 * 1 − 0,067 + 0,033 * (− 0,0417 ) ⎢0 1 − 0,041706 ⎢ ⎢⎣0 − 0,19 + 0,19 * 1 10,02 + 0,19 * (− 0,0417 ) ⎡1 0 − 0,068057 ⎢0 1 − 0,0417061 ⎢ ⎢⎣0 0 10,0121
0 0⎤ 0 − 0,1 * 0,333333 1 0⎥⎥ 0 − 0,3 * 0,333333 0 1⎥⎦ 0,333333
tla
1 − 0,0333333 − 0,0666667 ⎡ ⎢ 0,1 − 0,1 * 1 7 − 0,1 * (−0,0333333) − 0,3 − 0,1 * (− 0,0666667 ) ⎢ ⎢⎣0,3 − 0,3 * 1 − 0,2 − 0,3 * (− 0,0333333) 10 − 0,3(− 0,0666667 )
0,333 + 0,033
0,033 * 0,142 0⎤ 0,142180 0⎥⎥ − 0,0047393 − 0,1 + 0,19 * (−0,0047) 0,19 * 0,142 1⎥⎦
0,004739329 0⎤ 0,142180 0⎥⎥ − 0,00473933 − 0,10090 0,0270142 1⎥⎦ 0,333175
⎤ ⎥ 0,142180 0 − 0,00473933 ⎥ − 0,10090 / 10,0121 0,0270142 / 10,0121 1 / 10,0121⎥⎦
0,333175
0,004739329
0,333175
0,004739329
− 0,00473933
0,142180
− 0,0100778
0,0026981
31
⎤ ⎥ 0 ⎥ 0,0998791⎥⎦
0
0
⎡1 0 − 0,068 + 0,068 ⎢0 1 − 0,0417 + 0,0417 ⎢ ⎢⎣0 0 1
[A ] −1
− 0,0047 + 0,0417 * (− 0,01) − 0,01008
0,0047 + 0,068 * 0,0027 0,068 * 0,1⎤ 0,142 + 0,0417 * 0,0027 0,417 * 0,1⎥⎥ 0,0027 0,099879 ⎥⎦
0,00492297 0,00679813⎤ − 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥⎥ − 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥⎦
m
0,332489
0,00492297 0,00679813⎤ ⎡ 0,332489 ⎢ = ⎢− 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥⎥ ⎢⎣− 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥⎦
tla
Böylece katsayılar matrisi [A ] olan Bütün sistemlerin çözümü:
İlk sistemin çözümü:
0,00492297 0,00679813⎤ ⎧ 7,85 ⎫ ⎡ 0,332489 ⎢− 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥ ⎪− 19,3⎪ = ⎬ ⎢ ⎥ ⎨ ⎪ ⎢⎣− 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥⎦ ⎩ 71,4 ⎪⎭
em de r
⎧ x1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨x 2 ⎬ = ⎪x ⎪ ⎩ 3⎭
sn o
{x} = [A]−1 {c} denklemi ile elde edilir.
ri. co
⎡1 0 0 ⎢0 1 0 ⎢ ⎢⎣0 0 1
0,333 + 0,068 * (−0,01)
w
w
w .e
ikinci sistemin çözümü: 0,00492297 0,00679813⎤ ⎧20⎫ ⎧ x 1 ⎫ ⎡ 0,332489 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎨x 2 ⎬ = ⎢− 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥ ⎨50 ⎬ = ⎪ x ⎪ ⎢− 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥ ⎪15 ⎪ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ 3⎭ ⎣
32
⎧ 3,0004118 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨− 2,488016⎬ ⎪ 7,0002531 ⎪ ⎭ ⎩
⎧ 6,9979 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨7,07411⎬ ⎪1,43955 ⎪ ⎭ ⎩
Örnek 4.6.1.2 ⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎥ [A] = ⎢ ⎢2 3 5 − 1⎥ ⎢ ⎥ 4⎦ ⎣1 − 1 3 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
m ri. co
⎡4 − 2 − 1 3 ⎢3 1 − 2 1 ⎢ ⎢2 3 5 −1 ⎢ 4 ⎣1 − 1 3
⎡15 ⎤ ⎢0⎥ {c} = ⎢ ⎥ ⎢ 26⎥ ⎢ ⎥ ⎣27⎦ 0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
0 1 0 0
0 0 1 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
0 1 0 0
0 0 1 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
em de r
0,25 ⎡1 − 0,5 − 0,25 0,75 ⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 0,75 ⎢ ⎢0 − 2,5 − 0,5 4 5,5 ⎢ 3,25 − 0,25 ⎣0 − 0,5 3,25
sn o
tla
− 0,5 − 0,25 0,75 0,25 ⎡ 1 ⎢ 3 − 3(1) 1 − 3(− 0,5) − 2 − 3(− 0,25) 1 − 3(0,75) 0 − 3(0,25) ⎢ ⎢2 − 2(1) 3 − 2(− 0,5) 5 − 2(− 0,25) − 1 − 2(0,75) 0 − 2(0,25) ⎢ 4 − 1(0,75) 0 − 1(0,25) ⎣ 1 − 1(1) − 1 − 1(− 0,5) 3 − 1(− 0,25)
⎡1 − 0,5 + 0,5(1) − 0,25 + 0,5(− 0,5) 0,75 + 0,5(− 0,5) 0,25 + 0,5(− 0,3) 0 + 0,5(0,4 ) ⎢0 − 0,5 − 0,5 − 0,3 1 0,4 ⎢ ⎢0 − 2,5 − 4(− 0,5) − 0,5 − 4(− 0,3) 4 − 4(1) 5,5 − 4(− 0,5) 0 ⎢ ⎣0 − 0,5 + 0,5(1) 3,25 + 0,5(− 0,5) 3,25 + 0,5(− 0,5) − 0,25 + 0,5(− 0,3) 0 + 0,5(0,4 ) 0 − 0,5 0,5 0,1 0,2 1 − 0,5 − 0,5 − 0,3 0,4 0 7,5 − 0,5 07 − 1,6 0 3 3 − 0,4 0,2
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 − 0,5 + 0,5 0,5 + 0,5(− 0,0667 ) 0,1 + 0,5 * 0,0933 0,2 + 0,5(− 0,213) 0,5 * 0,133 1 − 0,5 + 0,5 − 0,5 + 0,5(− 0,0667 ) − 0,3 + 0,5 * 0,933 0,4 + 0,5(− 0,213) 0,5 * 0,133 − 0,0667 − 0,213 0 1 0,933 0,133 0 3 − 3 *1 3 − 3(− 0,0667 ) − 0,4 − 3 * 0,0933 0,2 − 3(− 0,213) 0 − 3 * 0,133
w .e
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
w
w
0 0 1 0
0 0 1 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
33
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
0 1 0 0
0 0,4667 0,1466 0,0933 0,0666 0⎤ 0 − 0,533 − 0,2533 0,2933 0,0666 0⎥⎥ 1 − 0,0667 0,0933 − 0,2133 0,1333 0⎥ ⎥ 0 3,2 0,84 − 0,68 − 0,4 1⎦
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 0,47 − 0,47 0,146 − 0,47(0,21) 0,093 − 0,47(0,26) 0,06 − 0,47(− 0,12) 0,47 * 0,31 ⎤ − 0,533 − 0,253 0 0,293 0,06 + 0,53(− 0,12) 0,53 * 0,31 ⎥⎥ − 0,067 − 0,213 1 0,093 0,13 + 0,067(− 0,12) 0,067 * 0,31⎥ ⎥ 0 1 0,2625 0,3125 ⎦ − 0,2125 − 0,125
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 0 1 0
ri. co
tla
0 0,2458 − 0,0292 0,125 − 0,1458⎤ 0 − 0,3666 0,43335 0 0,1666 ⎥⎥ 0 0,0788 − 0,1958 0,125 0,0208 ⎥ ⎥ 1 − 0,2125 0,2625 − 0,125 0,3125 ⎦
sn o
⎡ 0,2458 − 0,0292 0,125 − 0,1458⎤ ⎢ − 0,3666 0,43335 0 0,1666 ⎥⎥ ⎢ = ⎢ 0,0788 − 0,1958 0,125 0,0208 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 0,2125 0,2625 − 0,125 0,3125 ⎦
em de r
[A ]−1
m
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
⎧ x1 ⎫ ⎪x ⎪ ⎪ 2⎪ ⎨ ⎬= ⎪x 3 ⎪ ⎪⎩x 4 ⎪⎭
⎡ 0,2458 − 0,0292 0,125 − 0,1458⎤ ⎢ − 0,3666 0,43335 0 0,1666 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 0,0788 − 0,1958 0,125 0,0208 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 0,2125 0,2625 − 0,125 0,3125 ⎦
⎧15 ⎫ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪26⎪ ⎪⎩27 ⎪⎭
w
w
w .e
⎧ x 1 ⎫ ⎧ 0,2458 * 15 − 0,0292 * 0 + 0,125 * 26 − 0,1458 * 27 ⎫ ⎧ 3 ⎫ ⎪x ⎪ ⎪ − 0,3666 * 15 + 0,43335 * 0 + 0 * 26 + 0,1666 * 27 ⎪ ⎪− 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬=⎨ x − + + 0 , 0788 * 15 0 , 1958 * 0 0 , 125 * 26 0 , 0208 * 27 3 ⎪ ⎪5⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩x 4 ⎪⎭ ⎪⎩− 0,2125 * 15 + 0,2625 * 0 − 0,125 * 26 * 0,3125 * 27 ⎪⎭ ⎪⎩ 2 ⎪⎭
34
[A] {x} = {C}
,
[A] {x} − {C} = {0}
[U] {x} = {D}
,
[U] {x} − {D} = {0}
m
4.7 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU İLE ÇÖZÜMÜ:
[L][U] = [A]
(Burada [L] alt üçgen matris ,
[L] {D} = {C}
Bu son denklemden
[U] {x} = {D}
denkleminde yerine konup
[U ]
ise üst üçgen matristir.
çözülüp.
{x}
bilinmeyen vektörü bu denklemden
tla
{D}
ri. co
[L] { [U] {x} − {D} } = [A] {x} − {C}
hesaplanır.
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32 .
a 33 .
.
.
an2
an3
0 1
0 0
f 32 . .
1 . .
fn2
fn3
. . . a 1n ⎤ . . . a 2n ⎥⎥ . . . a 3n ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . a nn ⎦⎥
em de r
⎡ a 11 ⎢a ⎢ 21 ⎢a [A ] = ⎢ 31 ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎣⎢a n1
sn o
4.7.1 Gauss eliminasyon yöntemi ile alt üst üçgen matrislere ayırma işlemi
w .e
⎡ 1 ⎢f ⎢ 21 ⎢f [L] = ⎢. 31 ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎣⎢ f n1
. . . 0⎤ . . . 0⎥⎥ . . . 0⎥ ⎥ , . . . .⎥ . . . .⎥ ⎥ . . . 1⎦⎥
⎡a 11 ⎢0 ⎢ ⎢0 [U] = ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎣⎢ 0
a 12 a ′22 0 . . 0
a 13 a ′23 a ′33′ . . 0
. . . . . .
. . . . . .
. a 1n ⎤ . a ′2n ⎥⎥ . a ′3′n ⎥ ⎥ . . ⎥ . . ⎥ ( n −1 ) ⎥ . a nn ⎦⎥
w
w
[A] = [L][U] =
⎡ a 11 ⎢f a ⎢ 21 11 ⎢f 31 a 11 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢⎣f n1a 11
a 12 f 21 a 12 + a ′12 f 31a 12 + f 32 a ′22
f n1a 12 + f n 2 a ′22
a 13 f 21 a 13 + a ′23 f 31a 13 + f 32 a ′23 + a ′33′
L
a 1n f 21a 1n + a ′2n f 31a 1n + f 32 a ′2n + a ′3′n
L L
. .
L L
f n1a 13 + f n 2 a′23 + f n 3 a′33′ L f n1a 1n + f n 2 a ′2n + f n 3 a′3′n + L + f n ( n −1) a (( nn −−12))n
35
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ + a (nnn −1) ⎥⎦
⇒ f 21 =
f 31 a 11 = a 31
⇒ f 31
m
a 21 a 11 a = 31 a 11
f 21 a 11 = a 21
Bu durumu diğer bütün f i1 ler için genelleştirirsek ⇒ f i1 =
a i1 a 11
Burada i = 2,3,..., n dir.
ri. co
f i1 a 11 = a i1
elde ederiz.
a 31 a 12 ) / a ′22 a 11 a = (a 42 − 41 a 12 ) / a ′22 a 11
⇒ f 32 = (a 32 − f 31 a 12 ) / a ′22
⇒ f 32 = (a 32 −
f 41 a 12 + f 42 a′22 = a 42
⇒ f 42 = (a 42 − f 41 a 12 ) / a ′22
⇒ f 42
sn o
tla
f 31 a 12 + f 32 a ′22 = a 32
Bu işlemler f i 2 için genelleştirilebilir. f i1 a 12 + f i 2 a ′22 = a i 2
⇒ f i 2 = (a i 2 − f i1 a 12 ) / a ′22
a i1 a 12 ) / a ′22 a 11
em de r
Burada i = 3,4,..., n dır.
⇒ f i 2 = (a i 2 −
f 41a 13 + f 42 a ′23 + f 43 a ′33′ = a 43
⇒ f 43 = (a 43 − f 41 a 13 − f 42 a ′23 ) / a ′33′
Bu eşitlik genelleştirilirse
f i1 a 13 + f i 2 a ′23 + f i 3 a ′33′ = a i 3
w .e
Burada i = 4,5,..., n dır. Benzer şekilde devam edilirse sonunda ⎡ a 11 ⎢f a ⎢ 21 11 ⎢f 31 a 11 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎣⎢f n1a 11
w
w
⇒ f i 3 = (a i 3 − f i1 a 13 − f i 2 a ′23 ) / a′33′
a 12 f 21 a 12 + a ′12 f 31a 12 + f 32 a ′22
f n1a 12 + f n 2 a ′22
a 13 f 21 a 13 + a ′23 f 31a 13 + f 32 a ′23 + a ′33′
L
a 1n f 21a 1n + a ′2n f 31a 1n + f 32 a ′2n + a ′3′n
L L
. .
L L
f n1a 13 + f n 2 a′23 + f n 3 a′33′ L f n1a 1n + f n 2 a ′2n + f n 3 a′3′n + L + f n ( n −1) a (( nn −−12))n
matrisi elde edilir.
36
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ( n −1 ) ⎥ + a nn ⎦⎥
Örnek 4.7.1.1 ⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎥ [A] = ⎢ ⎢2 3 5 − 1⎥ ⎢ ⎥ 4⎦ ⎣1 − 1 3
m
⎡15 ⎤ ⎢0⎥ {C} = ⎢ ⎥ ⎢ 26⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 27⎦
ri. co
[A] = [L][U]
f 21 4 = a 21
⇒ f 21 =
3 = 0,75 4
f 31 4 = a 31
⇒ f 31 =
2 = 0,5 4
em de r
0 0 1 f 43
sn o
0 1 f 32 f 42
tla
−1 3 ⎤ ⎡4 − 2 ⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25⎥ ⎥ [U] = ⎢ ⎢0 0 − 0,5 ⎥ 7,5 ⎢ ⎥ 0 3,2 ⎦ ⎣0 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
⎡1 ⎢f [L] = ⎢ 21 ⎢f 31 ⎢ ⎣f 41
f 41 4 = a 41
⇒ f 41 =
f 31 ( −2) + f 32 2,5 = a 32
1 = 0,25 4
⇒ f 32 = [3 − 0,5( −2)] / 2,5 ⇒ f 32 = 1,6
f 41 ( −2) + f 42 2,5 = a 42 ⇒ f 42 = [−1 − 0,25( −2)] / 2,5 ⇒ f 42 = −0,2 f 41 (− 1) + f 42 (− 1,25 ) + f 43 7,5 = a 43 ⇒ f 43 = ( 3 + 0,25 − 0,2 * 1,25) / 7,5 ⇒ f 43 = 0,4
w
w
w .e
0 0 ⎡ 1 ⎢0,75 1 0 [L] = ⎢ ⎢ 0,5 1,6 1 ⎢ ⎣0,25 − 0,2 0,4
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
0 0 ⎡ 1 ⎢ 0,75 1 0 ⎢ ⎢ 0,5 1,6 1 ⎢ ⎣0,25 − 0,2 0,4
[L] {D} = {C} ,
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
⎧ d 1 ⎫ ⎧15 ⎫ ⎪d ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪d 3 ⎪ ⎪ 26⎪ ⎪⎩d 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 27 ⎪⎭
d 1 = 15 0,75d 1 + d 2 = 0
⇒
d 2 = −0,75 * 15 ⇒ d 2 = −11,25
37
0,5d 1 + 1,6d 2 + d 3 = 26 ⇒ d 3 = 26 − 0,5 * 15 − 1,6 * ( −11,25) ⇒ d 3 = 36,5
[U] {x} = {D} −1 3 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎡4 − 2 ⎧ 15 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25⎥ ⎪ x ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎨ 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ − 11,25⎪⎬ ⎢0 0 − 0,5 ⎥ ⎪ x 3 ⎪ 7,5 ⎪ 36,5 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 6,4 ⎪⎭ 0 3,2 ⎦ ⎩ x 4 ⎭ ⎣0 0
ri. co
⎧ x1 ⎫ ⎧ 3 ⎫ ⎪ x ⎪ ⎪ − 1⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎬ =⎨ ⎬ ⎪x 3 ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪⎩ x 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 2 ⎪⎭
tla
4.7.2 Crout Bileşenlere ayırma yöntemi : (Crout decomposition) n=4 üzerinde gösterilişi : 0 l 22 l 32 l 42
⎡1 u 12 ⎢0 1 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0
0 0 0
l 33 l 43
l 21 = a 21 ,
l i1 = a i1
l 31 = a 31 ,
a 12 l 11
u 13 =
a 12
a 13
a 22 a 32 a 42
a 23 a 33 a 43
a 14 ⎤ a 24 ⎥⎥ a 34 ⎥ ⎥ a 44 ⎦
l 41 = a 41
l 11
l 11 u 14 = a 14
a 13 l 11
u 14 =
w .e
a1j
l 11 u 13 = a 13
a 14 l 11
, j = 2,3, . . . , n l 31 u 12 + l 32 = a 32 ,
l 21 u 12 + l 22 = a 22 ,
w
w
u 14 ⎤ ⎡a 11 u 24 ⎥⎥ ⎢⎢a 21 = u 34 ⎥ ⎢a 31 ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣a 41
, i = 1,2, . . . , n
l 11 u 12 = a 12
u1j =
u 13 u 23 1 0
em de r
l 11 = a 11 ,
u 12 =
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ l 44 ⎦
0 0
sn o
⎡ l 11 ⎢l ⎢ 21 ⎢ l 31 ⎢ ⎣ l 41
l i1 u 12 + l i2 = a i 2
⇒
l i2 = a i 2 − l i1 u 12
l 41 u 12 + l 42 = a 42
, i = 2,3, L , n
l 21 u 13 + l 22 u 23 = a 23
⇒ u 23 = (a 23 − l 21 u 13 ) / l 22
l 21 u 14 + l 22 u 24 = a 24
⇒ u 24 = (a 24 − l 21 u 14 ) / l 22
l 21 u 1 j + l 22 u 2 j = a 2 j
⇒ u 2 j = (a 2 j − l 21 u 1 j ) / l 22
38
m
0,25d 1 − 0,2d 2 + 0,4d 3 + d 4 = 27 ⇒ d 4 = −0,25 * 15 − 0,2 * 11,25 − 0,4 * 36,5 + 27 ⇒ d 4 = 6,4
,
j = 3,4, L , n
, i = 3,4,L , n
u 3 j = (a 3 j − l 31 u 1 j − l 32 u 2 j ) / l 33
, j = 4,5,L , n
l i4 = a i 4 − l i1 u 14 − l i2 u 24 − l i3 u 34
, i = 4,5,L , n
m
l i3 = a i 3 − l i1 u 13 − l i2 u 23
Crout alt üst üçgen matrislere ayırma yönteminin herhangi bir n sayısı için formülleri:
a1j l 11
ri. co
u1j =
, i = 1,2, . . . , n , j = 2,3, . . . , n
j = 2,3,L , n − 1 için j− 1
l ij = a ij − ∑ l kj u kj
, i = j, j + 1, j + 2, . . . , n
sn o
k =1
j− 1
i =1
l jj
, k = j + 1, j + 2, L , n
em de r
u kj =
a jk − ∑ l ji u ik
tla
l i1 = a i1
n −1
l nn = a nn − ∑ l nk u kn k =1
Örnek 4.7.2.1 0
l 22
0 0
l 32
l 33
l 42
l 43
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ l 44 ⎦ 0 0 0
w .e
⎡ l 11 ⎢l ⎢ 21 ⎢ l 31 ⎢ ⎣ l 41
u 13 u 23 1 0
u 14 ⎤ ⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎥ ⎢3 1 − 2 1 ⎥ u 24 ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢2 3 u 34 ⎥ 5 − 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎦ 4⎦ ⎣1 − 1 3
, i = 1,2,3,4
w
w
l i1 = a i1
⎡1 u 12 ⎢0 1 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0
l 41 = a 41 = 1 l 11 = a 11 = 4 , l 21 = a 21 = 3 , l 31 = a 31 = 2 , a1j u1j = , j = 2,3,4 l 11 a a −2 −1 u 12 = 12 = ⇒ u 12 = −0,5 u 13 = 13 = ⇒ u 13 = −0,25 4 4 l 11 l 11 a 3 u 14 = 14 = ⇒ u 14 = 0,75 l 11 4 39
j = 2,3 için j− 1
l ij = a ij − ∑ l kj u kj
, i = j, j + 1,4
m
k =1
j− 1
i =1
l jj
, k = j + 1,4
ri. co
u kj =
a jk − ∑ l ji u ik
3
l 44 = a 44 − ∑ l 4 k u k 4 k =1
l 22 = a 22 − l 21 u 12 = 1 − 3(− 0,5 ) ⇒ l 22 = 2,5 l 32 = a 32 − l 31 u 12 = 3 − 2(− 0,5) ⇒ l 32 = 4
j = 3 ve i = 3 için j = 3 ve i = 4 için j = 2 ve k = 3 için
l 33 = a 33 − l 31 u 13 − l 32 u 23 = 5 − 2(− 0,25) − 4(− 0,5) ⇒ l 33 = 7,5 l 43 = a 43 − l 41 u 13 − l 42 u 23 = 3 − 1(− 0,25) − (− 0,5)(− 0,5) ⇒ l 43 = 3 u 23 = (a 23 − l 21 u 13 ) / l 22 = [( −2 − 3( −0,25)] / 2,5 ⇒ u 23 = −0,5
j = 2 ve k = 4 için j = 3 ve k = 4 için
u 24 = (a 24 − l 21 u 14 ) / l 22 = [1 − 3(0,75)] / 2,5 ⇒ u 24 = −0,5
tla
j = 2 ve i = 3 için j = 2 ve i = 3 için j = 2 ve i = 4 için
em de r
sn o
l 42 = a 42 − l 41 u 12 = −1 − 1(− 0,5 ) ⇒ l 42 = −0,5
u 34 = (a 34 − l 31 u 14 − l 32 u 24 ) / l 33 = [ −1 − 2( 0,75 ) − 4( −0,5)] / 7,5 ⇒ u 34 = −0,06667 son olarak
l 44 = a 44 − l 41 u 14 − l 42 u 24 − l 43 u 34 = 3 − 1(0,75) − (− 0,5)(− 0,5) − 3(0,06667) ⇒ l 44 = 3,2
w .e
bulunur.
w
w
0 0 0 ⎤ ⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎡4 ⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎢ 3 2,5 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢2 3 ⎢2 5 − 1⎥ 4 7,5 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4⎦ ⎣1 − 1 3 ⎣1 − 0,5 3 3,2⎦
0,75 ⎤ ⎡1 − 0,5 − 0,25 ⎢0 1 − 0,5 − 0,5 ⎥⎥ ⎢ ⎢0 0 1 − 0,6667⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 ⎣0 ⎦
Bu elde edilen alt ve üst üçgen matrislerin denklem sisteminin çözümüne uygulanışı
⎧15 ⎫ ⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎧ x 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎪x ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎨ 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ 0 ⎪⎬ ⎢2 3 5 − 1⎥ ⎪ x 3 ⎪ ⎪ 26⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 27 ⎪⎭ 4 ⎦ ⎩x 4 ⎭ ⎣1 − 1 3 40
⎧ d 1 ⎫ ⎧15 ⎫ ⎪d ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪d 3 ⎪ ⎪ 26⎪ ⎪⎩d 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 27 ⎪⎭
m
0 0 0 ⎤ ⎡4 ⎢ 3 2,5 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢2 4 7,5 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 − 0,5 3 3,2⎦
d 2 = −3 * 3,75 / 2,5 ⇒ d 2 = −4,5
d 3 = [26 − 2 * 3,75 − 4 * ( −4,5)] / 7,5 ⇒ d 3 = 4,86667
d 1 − 0,5d 2 + 3d 3 + 3,2d 4 = 27 0,75 ⎤ ⎡1 − 0,5 − 0,25 ⎢0 1 − 0,5 − 0,5 ⎥⎥ ⎢ ⎢0 0 1 − 0,6667⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 ⎣0 ⎦ x4 = 2 x 3 − 0,06667 * x 4 = 4,86667
d 4 = ( 27 − 3,75 − 0,5 * 4,5 − 3 * 4,86667 ) / 3,2 ⇒ d 4 = 2
⎧ x1 ⎫ ⎧ 3,75 ⎫ ⎪x ⎪ ⎪ − 4,5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪x 3 ⎪ ⎪4,86667⎪ ⎪⎩ x 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 2 ⎪⎭
tla
2d 1 + 4d 2 + 7,5d 3 = 26
sn o
3d 1 + 2,5d 2 = 0
ri. co
4d 1 = 15 d 1 = 15 / 4 ⇒ d 1 = 3,75
w
w
w .e
em de r
x 3 = 4,86667 + 0,06667 * 2 ⇒ x 3 = 5 x 2 − 0,5x 3 − 0,5x 4 = −4,5 x 2 = −4,5 + 0,5 * 5 + 0,5 * 2 ⇒ x 2 = −1 x 1 − 0,5x 2 − 0,25x 3 + 0,75x 4 = 3,75 x 1 = 3,75 + 0,5 * ( −1) + 0,25 * 5 − 0,75 * 2 ⇒ x 1 = 3
41
4.8 KAREKÖK METODU ( Cholesky yöntemi) : Bu yöntem simetrik ve pozitif tanumlı katsayılar matrisi için uygulanır. Özellikle bu durumdaki bant matrislerde uygulanır.
T
A2 =
A 1 = a 11 ,
vektörleri için
olmalıdır veya
a 11
a 12
a 21
a 22
,
hepsinin pozitif olması gerekir.
a 11
a 12
a 13
A 3 = a 21
a 22
a 23 , .
a 31
a 32
a 33
em de r
[A] = [L][U]
tla
Q = {x} [A ]{x} Q > 0
ri. co
⎧ x 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎪ x ⎪ ⎪0⎪ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ Yani bütün ⎨ . ⎬ ≠ ⎨ . ⎬ ⎪ . ⎪ ⎪.⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ x n ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
m
pozitif tanımlı olmalıdır.
.
. , A n = det[A ]
sn o
[A ]
[A] T = [U] T [L] T
Simetrik matrislerde
[A] = [L][L] T 0
0
. . .
l 22
0
. . .
l 32
l 33
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
l n2
l n3
. . .
w
w
olduğundan
olur.
w .e
⎡ l 11 ⎢l ⎢ 21 ⎢ l 31 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢⎣ l n1
[A] = [A] T
0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ l nn ⎥⎦
l 11 l 11 = a 11
⇒ l 11 = a 11
l 11 l 21 = a 21
⇒ l 21 =
⎡ l 11 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0
l 21 l 22
l 31 l 32
0
l 33
0
0
0
0
0
0
. . . l n1 ⎤ ⎡ a11 . . . l n 2 ⎥⎥ ⎢⎢ a 21 . . . l n 3 ⎥ ⎢ a 31 ⎥ =⎢ . . . . ⎥ ⎢ . . . . . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . . . l nn ⎥⎦ ⎢⎣a n1
a 21 l 11
42
a 21 a 22
a 31
a 32
a 33
.
.
.
.
a n2
a n3
. . . a n1 ⎤ . . . a n 2 ⎥⎥ . . . a n3 ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . a nn ⎥⎦
⇒ l i1 =
, i = 2, 3, L , n
2 ⇒ l 22 = a 22 − l 21
l 21 l 31 + l 22 l 32 = a 32
⇒ l 32 = (a 32 − l 21 l 31 ) / l 22
l 21 l i 1 + l 22 l i 2 = a i 2
⇒ l i 2 = (a i 2 − l 21 l i 1 ) / l 22 ,
2 2 2 l 31 + l 32 + l 33 = a 33
i = 3,4, L , n
2 2 ⇒ l 33 = a 33 − l 31 − l 32
⇒ l 43 = (a 43 − l 31 l 41 − l 32 l 42 ) / l 33
l 31 l i 1 + l 32 l i 2 + l 33 l i 3 = a i 3
⇒ l i 3 = (a i 3 − l 31 l i 1 − l 32 l i 2 ) / l 33
k −1 j =1
i −1
l ki = (a ki − ∑ l ij l kj ) / l ii
i = 1,2, L , k − 1
em de r
,
sn o
için genel formül:
l kk = a kk − ∑ l kj2
j =1
i = 4, L , n
tla
l 31 l 41 + l 32 l 42 + l 33 l 43 = a 43
k = 1,2, L , n
m
2 2 l 21 + l 22 = a 22
a i1 l 11
ri. co
l 11 l i 1 = a i 1
Bu işlemlerin sonucunda elde edilen [L] matrisi denklem sisteminin çözümünde aşağıdaki eşitlikler yardımıyla kullanılır.
[L] {D} = {C }
[L] T {x} = {D}
denkleminde yerine konup
i −1
d i = (c i − ∑ l ij d j ) / l ii
,
j =1
w
w
{x}
c1 l 11
w .e
d1 =
{D}
denkleminden elde edilen
lnn xn = d n → xn =
xi = [d i −
n
∑l
j = i +1
ji
i = 2, 3, L , n
dn lnn
x j ] / lii
,
i = n − 1, n − 2,L ,1
43
sütun matrisi
istenen çözüm matrisi bulunur.
Örnek 4.8.1
0
0
l 22 l 32
0 l 33
l 42
l 43
0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ l 44 ⎦
⎡ l 11 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
m
⎧ x1 ⎫ ⎧ 21⎫ ⎪x ⎪ ⎪ 27⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪ x3 ⎪ ⎪ 29⎪ ⎪⎩ x 4 ⎪⎭ ⎪⎩12 ⎪⎭
l 21 l 22
l 31 l 32
0
l 33 0
0
l 41 ⎤ ⎡4 ⎥ ⎢3 l 42 ⎥ = ⎢ ⎢2 l 43 ⎥ ⎥ ⎢ l 44 ⎦ ⎣1
3 2 1⎤ 6 4 2⎥⎥ 4 5 1⎥ ⎥ 2 1 3⎦
sn o
l 112 = 4 ⇒ l 11 = 2 l 11 l 21 = 3 ⇒ l 21 = 1,5 ,
ri. co
⎡ l 11 ⎢l ⎢ 21 ⎢ l 31 ⎢ ⎣ l 41
3 2 1⎤ 6 4 2⎥⎥ 4 5 1⎥ ⎥ 2 1 3⎦
tla
⎡4 ⎢3 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1
l 11 l 31 = 2 ⇒ l 31 = 1 ,
2 2 l 21 + l 22 = 6 ⇒ l 22 = 6 − (1,5) 2
⇒
l 11 l 41 = 1 ⇒ l 41 = 0,5
l 22 = 1,9365
em de r
l 21 l 31 + l 22 l 32 = 4 ⇒ l 32 = (4 − 1,5 * 1) / 1,9365
⇒ l 32 = 1,291
l 21 l 41 + l 22 l 42 = 2 ⇒ l 42 = ( 2 − 1,5 * 0,5) / 1,9365 2 2 2 l 31 + l 32 + l 33 = 5 ⇒ l 33 = 5 − 1 2 − (1,291) 2
⇒ ⇒
l 42 = 0,6455
l 33 = 1,5275
l 31 l 41 + l 32 * l 42 + l 33 l 43 = 1 ⇒ l 43 = (1 − 1 * 0,5 − 1,291 * 0,6455) / 1,5275 ⇒ l 43 = −0,2182
w .e
l 412 + l 422 + l 432 + l 442 = 3 ⇒ l 44 = 3 − 0,5 2 − 0,6455 2 − ( −0,2182) 2
w
w
0 0 0 ⎤ ⎡ 2 ⎢1,5 1,9365 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢1 1,291 1,5275 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣0,5 0,6455 − 0,2182 1,5119⎦
⇒
l 44 = 1,5119
⎧d1 ⎫ ⎧ 21⎫ ⎪d ⎪ ⎪ 27 ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪d 3 ⎪ ⎪ 29⎪ ⎪⎩d 4 ⎪⎭ ⎪⎩12 ⎪⎭
2d 1 = 21 ⇒ d 1 = 10,5
1,5d 1 + 1,9365d 2 = 27 ⇒ d 2 = ( 27 − 1,5 * 10,5) / 1,9365
⇒
d 2 = 5,81
d 1 + 1,291d 2 + 1,5275d 3 = 29 ⇒ d 3 = ( 29 − 10,5 − 1,291 * 5,81) / 1,5275 ⇒ d 3 = 7,2
44
0,5d 1 + 0,6455d 2 − 0,2182d 3 + 1,5119d 4 = 12 d 4 = 3,02
x4 = 2
1,5275 x 3 − 0,2182 x 4 = 7,2 ⇒
x 3 = (7,2 + 0,2182 * 2) / 1,5275
1,9365 x 2 + 1,291 x 3 + 0,6455 x 4 = 5,81 ⇒ x 2 = −1
⇒
x3 = 5
x 2 = (5,81 − 1,291 * 5 − 0,6455 * 2) / 1,9365
tla
x1 = (10,5 − 1,5( −1) − 5 − 0,5 * 2) / 2 ⇒ x1 = 3
w
w
w .e
em de r
sn o
2 x1 + 1,5 x 2 + x 3 + 0,5 x 4 = 10,5 ⇒
ri. co
1,5119 x 4 = 3,02 ⇒
⎧ x1 ⎫ ⎧10,5 ⎫ ⎪x ⎪ ⎪ 5,81⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎪ x3 ⎪ ⎪ 7,2 ⎪ ⎪⎩ x 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 3,02⎪⎭
m
1,5 1 0,5 ⎤ ⎡2 ⎢0 1,9365 1,291 0,6455 ⎥⎥ ⎢ ⎢0 0 1,5275 − 0,2182⎥ ⎥ ⎢ 0 0 1,5119 ⎦ ⎣0
45
4.9 İTERASYON YÖNTEMİ (Gauss – Seidel yöntemi ) :
m
⋅ ⋅ ⋅ + a1n x n = c1 ⋅ ⋅ ⋅ + a 2n x n = c 2 ⋅ ⋅ ⋅ + a 3n x n = c 3 . . . . . . . . ⋅ ⋅ ⋅ + a nn x n = c n
ri. co
a 11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . . . . . . a n1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 +
Denklem sisteminde her i . denklemden xi leri çözüp aşağıdaki eşitlikler elde edilir. x 1 = (c1 − a 12 x 2 − a 13 x 3 − ⋅ ⋅ ⋅ − a 1n x n ) / a11
em de r
ε a ,i
x ij − x ij −1 = 100% x ij
− a 3 n x n ) / a 33 . . . . . . − a n( n −1) x n −1 ) / a nn
sn o
x 3 = (c 3 − a 31 x 1 − a 32 x 2 − ⋅ ⋅ ⋅ . . . . . . . . . . . . x n = ( c n − a n1 x 1 − a n 2 x 2 − ⋅ ⋅ ⋅
tla
x 2 = (c 2 − a 21 x 1 − a 23 x 3 − ⋅ ⋅ ⋅ − a 2 n x n ) / a 22
Örnek 4.9.1
3 x 1 − 0,1 x 2 − 0,2 x 3 = 7,85 0,1 x 1 + 7 x 2 − 0,3 x 3 = −19,3 0,3 x1 − 0,2 x 2 + 10 x 3 = 71,4
w .e
Denklem sisteminin iterasyon yöntemi ile çözümü için aşağıdaki denklemler kullanılır. x1 = (7,85 + 0,1 x 2 + 0,2 x 3 ) / 3 x 2 = ( −19,3 − 0,1 x1 + 0,3 x 3 ) / 7 x 3 = (71,4 − 0,3 x1 + 0,2 x 2 ) / 10
w
w
Bu denklemler yardımı ile aşağıdaki tablo oluşturulur.
1 1 1 2 2 2
x1 2,61666666 2,61666666 2,61666666 2,99055650 2,99055650 2,99055650
x2
0 -2,7945238 -2,7945238 -2,7945238 -2,4996246 -2,4996246
| εa,1| , %
x3
0 0 7,005609524 7,005609524 7,005609524 7,000290811 46
| εa,2|, %
| εa,3|, %
12,5 11,8 11,8
5 EĞRİYE UYDURMA f(x)20
f(x) 3.75
m
3.5
15
3.25
2.75 2.5
5
2.25
x Doğruya yaklaştırma lineer regression 10
15
20
1
2
3
4
5
6
x7
Lineer interpolasyon
tla
5
ri. co
3
10
4
sn o
f(x)
3.5
3
em de r
2.5
1
2
3
4
5
6
x
7
Eğrisel interpolasyon
5.1 YAKLAŞTIRMA (Regression) METODU 5.1.1 Doğruya yaklaştırma (Lineer regression) yöntemi:
w .e
Bu yöntemde doğruya yaklaşımdaki hataların karelerinin toplamını minumum yapacak doğru denklemi araştırılır. Hatayı içerecek şekilde doğru denklemi:
w
w
y = a 0 + a1x + E
seklindedir. Burada E hatayı gösterir. E = y − a 0 − a1x
Hataların karelerinin toplamı: n
n
i =1
i =1
S r = ∑ E i2 = ∑ ( y i − a 0 − a 1 x i ) 2
47
şeklinde yazılır. Bu elde edilen hataların karelerinin toplamını minumum yapacak a 0 ve a 1 değeri bunlara göre alınacak türevleri sıfıra eşitliyerek bulunur.
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ y i − ∑ a 0 − ∑ a1 x i = 0 n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ y i x i − ∑ a 0 x i − ∑ a 1 x i2 = 0
ri. co
n
n
na 0 + ∑ x i a 1 = ∑ y i i =1
∑x a + ∑x a i
i =1
a1 =
0
i =1
2 i
n
1
= ∑ xi y i i =1
n
n
n
i =1
i =1 n
i =1
n∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i n
n∑ x − ( ∑ x i ) i =1
2 i
i =1
Sy / x =
i =1
y=
n Sr n−2
i =1
i
n
St n−1
St − Sr St
tanım katsayısı :
1 2 3 4 5 6 7
∑
yi 0,5 2,5 2,0 4,0 3,5 6,0 5,5 24
− a1
n
(y i − y ) 2 8,5765 0,8622 2,0408 0,3265 0,0051 6,6122 4,2908 22,7143
i =1
r correlation katsayısı:
Aşağıdaki tablo değerlerini bir doğruya yaklaştırın.
i
n
i
∑x i =1
i
n
Toplam standart sapma : Burada S t = ∑ ( y i − y ) 2
Örnek 5.1.1.1
w
w
∑y
i =1
n
Tahmini standart sapma :
w .e
r2 =
n
∑ xi
∑y
em de r
x=
a0 =
2
n
Sy =
n
tla
n
sn o
i =1
n
y i − a 0 − a1x 0,1687 0,5625 0,3473 0,3265 0,5896 0,7972 0,1993 2,9911 48
m
n ∂S r = − 2∑ ( y i − a 0 − a 1 x i ) x i = 0 ∂a 1 i =1
n ∂S r = − 2∑ ( y i − a 0 − a 1 x i ) = 0 ∂a 0 i =1
7
7
∑ x i y i = 119,5 , i =1
7
∑y i =1
i
= 24 ,
y=
7
∑ x i2 = 140 ,
∑x
i =1
i =1
i
= 28 ,
24 = 3,428571429 7
x=
28 =4 7
ri. co
n=7 ,
m
Bu tablodaki verilerden ve aşağıdaki eşitliklerden
elde edilen bu değerleri kullanarak doğru denklemi için gerekli katsayılar hesaplanır. 7 * 119,5 − 28 * 24 ⇒ a 1 = 0,839285714 7 * 140 − ( 28) 2
a 0 = 3,428571429 − 0,839285714 * 4
tla
a1 =
a 0 = 0,07142857
⇒
y = 0,07142857 + 0,839285714 x
sn o
ve doğru denklemi aşağıdaki gibi yazılır.
em de r
Bu doğrunun grafiği ve tablo değerleri aşağıdaki şekilden izlenebilir.
6y 5 4 3 2 1
w .e
2
w
w
Sy =
Sy / x =
22,7143 = 1,9457 7−1
4
x
6
8
( Toplam standart sapma)
2,9911 = 0,7735 ( Standart tahmini hata) 7−2
Sy / x < Sy
olduğundan bu örnek için doğruya yaklaştırma uygun bir seçimdir.
49
5.1.2 Polinoma yaklaştırma metodu
m
y = a 0 + a1x + a 2 x 2 + L + a m xm + E Burada E hata veya resüdü E = y − a 0 − a1x − a 2 x 2 − L − a m x m n
ri. co
S r = ∑ ( y − a 0 − a1x − a 2 x 2 − L − a m x m ) 2 i =1
Bu hataların karelerinin toplamı a 0 , a 1 , a 2 , L , a m katsayılarına göre ayrı ayrı türevleri alınırsa aşağıdaki denklemler elde edilir.
tla
n ∂S r = −2∑ ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0 ∂a0 i =1
sn o
n ∂S r = −2∑ xi ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0 ∂a1 i =1
n ∂S r = −2∑ xi2 ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0 ∂a2 i =1
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
em de r
· ·
n ∂Sr = −2∑ xim ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0 ∂am i =1
Türev işlemi sonunda bulunan bu denklemler sıfıra eşitlenip tekrar düzenlenirse aşağıdaki denklem sistemi elde edilir. n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
n
w .e
a 0 n + a 1 ∑ x i + a 2 ∑ x i2 + L + a m ∑ x im = ∑ y i
a 0 ∑ x i + a 1 ∑ x i2 + a 2 ∑ x 3i + L + a m ∑ x im +1 = ∑ x i y i
w
w
a 0 ∑ x i2 + a 1 ∑ x 3i + a 2 ∑ x i4 + L + a m ∑ x im + 2 = ∑ x i2 y i i =1
· · · n
i =1
· · ·
· · ·
i =1
· · · n
a 0 ∑ x + a1 ∑ x i =1
m i
i =1
i =1
· · · m +1 i
· · · n
+ a2∑x i =1
· · · m+ 2 i
i =1
· · ·
· · · n
+L + a m ∑ x i =1
2m i
= ∑ x im y i
Bu denklem sisteminden a 0 , a 1 , a 2 ,L, a n çözülür. 50
n
i =1
Sr n − (m + 1)
St − Sr St
r2 =
Standart tahmini hata.
korelasyon (ilişki ,bağlantı) katsayısı
m
Sy / x =
n
S t = ∑ ( y i − y) 2
ri. co
i =1
Örnek 5.1.2.1
0 1 2 3 4 5
2,1 7,7 13,6 27,2 40,09 61,1 152,6
( y i − a 0 − a 1 x i − a 2 x i2 ) 0,14332 1,00286 1,08158 0,80491 0,61951 0,09439 3,74657
em de r
∑
( y i − y) 2 544,44 314,47 140,03 3,12 239,22 1272,11 2513,39
yi
sn o
xi
tla
Aşağıdaki tabloda bulunan x i , y i değerlerini 2.dereceden polinoma yaklaştırın.
m = 2 , n = 6 , x = 2,5 , y = 25,433 ,
5
∑ x i = 15 , i =1
5
5
∑ x i2 = 55 , i =1
5
∑ x 3i = 225 ,
∑ x i4 = 979 ,
i =1
i =1
n
n
n
i =1 n
i =1 n
i =1 n
5
5
∑y i =1
i
= 152,6
∑ x i y i = 585,6 , i =1
5
∑x i =1
2 i
y i = 2488,8
a 0 n + a 1 ∑ x i + a 2 ∑ x i2 = ∑ y i n
w .e
a 0 ∑ x i + a 1 ∑ x i2 + a 2 ∑ x i3 = ∑ x i y i i =1 n
i =1 n
i =1 n
i =1 n
i =1
i =1
i =1
i =1
a 0 ∑ x i2 + a 1 ∑ x i3 + a 2 ∑ x 4i = ∑ x i2 y i
w
w
Yukarıda bulduğumuz a i bilinmiyenlerinin katsayılarını bu denklem sisteminde yerine konursa aşağıdaki denklem sistemi elde edilir.
6a 0 + 15a 1 + 55a 2 = 152,6 15a 0 + 55a 1 + 225a 2 = 585,6 55a 0 + 225a 1 + 979a 2 = 2488,8 Bu denklem sisteminin çözümünden bulunan a 0 = 2,47857 , a 1 = 2,35929 , a 2 = 1,86071 değerleri ile aşağıda çizilen 2. derecen polinom yazılır. 51
y = 2,47857 + 2,35929x + 1,86071x 2
m
y80 60
ri. co
40
20
1
2
3
4
5
6
3,74657 = 1,12 (Standart tahmini hata) 6−3 2513,39 − 3,74657 r2 = (kararlılık katsayısı) 2513,39
sn o
Sy / x =
tla
x
em de r
r = 0,99925 (Bu sonuç uyumun çok iyi olduğunu gösterir. )
5.1.3 İki değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme çekmek Burada doğru denklemi düzlem denklemi haline dönüşür.
w .e
y = a 0 + a1 x1 + a 2 x 2 + E E = y − a 0 − a1 x1 − a 2 x 2 hatasının karelerinin toplamı n
S r = ∑ ( y i − a 0 − a 1 x 1i − a 2 x 2 i ) 2 i =1
w
w
şeklinde yazılır. Bu denklemin aynı şekilde a 0 , a 1 , a 2 türevleri alınıp sıfıra eşitlenirse n ∂S r = −2∑ ( yi − a0 − a1 x1i − a2 x2i ) = 0 ∂a0 i =1 n ∂S r = −2∑ x1i ( yi − a0 − a1 x1i − a2 x2i ) = 0 ∂a1 i =1 n ∂S r = −2∑ x2i ( yi − a0 − a1 x1i − a2 x2i ) = 0 ∂a2 i =1
52
bilinmiyen katsayılarına göre
denklemleri elde edilir. Bu denklemler sıfıra eşitlenip a katsayılarına göre düzenlenirse 3 bilinmiyenli 3 tane lineer denklem yazılır. n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
a 0 ∑ x 1i + a 1 ∑ x 12i + a 2 ∑ x 1i x 2i = ∑ x 1i y i a 0 ∑ x 2 i + a 1 ∑ x 1i x 2i + a 2 ∑ x 22i = ∑ x 2 i y i
sn o
tla
Bu denklem sistemi aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilir. ⎡ n ⎧ ∑ yi ⎫ ∑ x 1i ∑ x 2i ⎤⎥ ⎧⎪a 0 ⎫⎪ ⎢ ⎪ ⎪ 2 ∑ x 1i ∑ x 1 i x 2 i ⎥ ⎨ a 1 ⎬ = ⎨ ∑ x 1 i y i ⎬ ⎢ ∑ x 1i ⎪ x y ⎪ ⎢ ∑ x 2 i ∑ x 1i x 2 i ∑ x 22i ⎥⎦ ⎪⎩a 2 ⎪⎭ ⎣ ⎩∑ 2i i ⎭
ri. co
m
a 0 n + a 1 ∑ x 1i + a 2 ∑ x 2 i = ∑ y i
em de r
5.1.4 Çok değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme çekmek y = a 0 + a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + am x m + E
denklemindeki E hatasının karelerinin toplamı ve türevleri yukarıdaki gibi düzenlenirse aşağıdaki matris formundaki denklem sistemini elde ederiz.
∑x ∑x ∑x x 1i 2 1i
2i
w
w
Sy / x =
∑x ∑x x ∑x
2i
1i
1i
w .e
⎡ n ⎢ ⎢ ∑ x 1i ⎢ ∑ x 2i ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢⎣ ∑ x mi
. .
∑x
mi
x 1i
Sr n − (m + 1)
2i
2 2i
. .
∑x
mi
x 2i
. . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
∑x ∑x x ∑x x
⎤ ⎥ 1i mi ⎥ ⎥ 2 i mi ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ 2 x ∑ mi ⎥⎦ mi
( standart tahmini hata)
53
⎧ ∑ yi ⎫ ⎧ a0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪a ⎪ ⎪ ∑ x 1i y i ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪⎪ ∑ x 2i y i ⎪⎪ ⎪⎪ a 2 ⎪⎪ ⎬ ⎨ ⎬ = ⎨ . ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩a m ⎪⎭ ⎪⎩ ∑ x mi y i ⎪⎭
Örnek 5.1.4.1
∑x ∑x ∑x x
∑x ∑x x ∑x
1i
5 10 9 0 3 27 54
⎤ ⎥ 1i 2 i ⎥ 2 ⎥ 2i ⎦
1i 2 1i
2i
2i
x 12 0 4 6,25 1 16 49 76,25 ⎧a 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨a 1 ⎬ = ⎪a ⎪ ⎩ 2⎭
x1x 2 0 2 5 3 24 14 48
x 22 0 1 4 9 36 4 54 ⎧ ∑ yi ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ∑ x 1i y i ⎬ ⎪ x y ⎪ ⎩∑ 2i i ⎭
x1y 0 20 22,5 0 12 189 243,5
x2y 0 10 18 0 18 54 100
ri. co
x2 0 1 2 3 6 2 14
tla
⎡ n ⎢ ⎢ ∑ x 1i ⎢∑ x 2i ⎣
y
x1 0 2 2, 1 4 7 ∑ 16,5
m
Aşağıdaki iki değişkenli tablo değerlerini iki değişkenli lineer denkleme uydurun.
em de r
sn o
16,5 14 ⎤ ⎧a 0 ⎫ ⎡ 6 ⎧ 54 ⎫ ⎢16,5 76,25 48⎥ ⎪ a ⎪ = ⎪ 243,5⎪ ⎬ ⎨ ⎢ ⎥ ⎨ 1⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ 14 48 54⎥⎦ ⎩a 2 ⎭ ⎩ 100 ⎭ Bu denklem sisteminin çözümünden a0 = 5 , a1 = 4 , a 2 = −3
elde edilen değerleri ile aşağıdaki denklem yazılır. y = 5 + 4x 1 − 3x 2
w .e
Verilen tablo değerleri ile Bulunan düzlem denkleminin uyumu aşağıdaki grafik üzerinden izlenebilir.
y
w
w
20
6x2
0
4 0 2
2 4
x1
6 8
0
54
5.2 İNTERPOLASYON 5.2.1 Lineer interpolasyon (ara değeri bulma )
m
f ( x)
ri. co
f (x 1 ) f 1 (x)
f (x 0 )
f 1 ( x) − f ( x 0 ) f ( x 1 ) − f ( x 0 ) = x − x0 x1 − x 0
Örnek 5.2.1.1
f 1 ( x) = f ( x 0 ) +
f (x1 ) − f (x 0 ) (x − x 0 ) x1 − x 0
ln 6 = 1,7917595 ln 4 = 1,3862944 ( ln 2 = 0,69314718 )
em de r
ln 1 = 0 ln 2 = ?
,
x1
sn o
x
tla
x x0
1. Çözüm:
f 1 ( 2) = 0 +
2. Çözüm:
x1 = 6
1,7917595 − 0 ( 2 − 1) ⇒ f 1 ( 2) = 0,35835190 , 6−1
x0 = 1 ,
1,3862944 − 0 ( 2 − 1) ⇒ f 1 ( 2) = 0,46209813 , 4−1
w
w
f ( x)
ln 2 0,46209813 0,3583519
1
| εt | = 48,3 %
x1 = 4
w .e
f 1 ( 2) = 0 +
x0 = 1 ,
2
x 55
| εt | = 33,3 %
5.2.2 Kuadratik interpolasyon (3.3.2.2.-1)
f 2 (x) = b 0 + b 1 x − b 1 x 0 + b 2 x 2 + b 2 x 0 x 1 − b 2 x x 0 − b 2 x x 1
(3.3.2.2.-2)
f 2 ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
(3.3.2.2.-3)
a 0 = b 0 − b1x 0 + b 2 x 0 x1
ri. co
m
f 2 ( x ) = b 0 + b 1 ( x − x 0 ) + b 2 ( x − x 0 )( x − x 1 )
(3.3.2.2.-4)
a1 = b1 − b 2 x 0 − b 2 x1
(3.3.2.2.-5)
a2 = b2
(3.3.2.2.-1) denkleminde x yerine x 0 yazılırsa
b 0 = f (x 0 )
tla
(3.3.2.2.-6)
sn o
(3.3.2.2.-7)
elde edilir.
b1 =
em de r
Bu bulunan (3.3.2.2.-7) eşitliği ve x yerine x 1 değişkeni (3.3.2.2.-1) denkleminde yerine yazılırsa f (x1 ) − f (x 0 ) x1 − x 0
(3.3.2.2.-8)
denklemi bulunur. Bu (3.3.2.2.-8) ve (3.3.2.2.-7) denklemi (3.3.2.2.-1) de yerine konur ve ayrıca x yerine x 2 yazılırsa aşağıdaki denklem elde edilir.
w .e
f (x 2 ) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x 0 ) − x 2 − x1 x1 − x 0 b2 = x2 − x0
Örnek 5.2.2.1
f (x 0 ) = 0 ,
w
w
x0 = 1
x1 = 4
(3.3.2.2.-9)
f ( x 1 ) = 1,3862944 , x 2 = 6
f ( x 2 ) = 1,7917595
f ( 2) = ? b0 = 0
b1 =
1,3862944 − 0 ⇒ b 1 = 0,46209813 4−1
1,7917595 − 1,3862944 − 046209813 6 − 4 ⇒ b 2 = −0,051873116 b2 = 6−1
56
f 2 ( x ) = 0 + 0,46209813( x − 1) − 0,051873116( x − 1)( x − 4) f 2 ( 2) = 0,56584436
m
εt = 18,4 %
n. mertebeden polinom n + 1 adet veri noktaları gerektirir.
sn o
tla
f n ( x ) = b 0 + b 1 ( x − x 0 ) + L + b n ( x − x 0 )( x − x 1 )L ( x − x n −1 ) b 0 = f (x 0 ) b 1 = f [x 1 , x 0 ] b 2 = f [x 2 , x 1 , x 0 ] · · · b n = f [ x n , x n −1 , L , x 1 , x 0 ]
ri. co
5.3 Newton interpolasyon polinomunun genel formu
Burada f (x i ) − f (x j ) xi − x j
em de r
f [x i , x j ] =
f [x i , x j , x k ] =
f [x i , x j ] − f [x j , x k ] xi − xk
f [ x n , x n −1 , L , x 1 , x 0 ] =
f [ x n , x n −1 , L , x 1 ] − f [ x n −1 , x n − 2 , L , x 0 ] xn − x0
f n ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f [x 1 , x 0 ] + ( x − x 0 )( x − x 1 ) f [x 2 , x 1 , x 0 ]
w .e
+ L + ( x − x 0 )( x − x 1 )L( x − x n −1 ) f [x n , x n −1 , L , x 0 ]
Örnek 5.3.1
w
w
x0 = 1
x1 = 4
x2 = 6
x3 = 5
f ( x 0 ) = ln 1 = 0 f ( x 1 ) = ln 4 = 1,3862944 f ( x 3 ) = ln 5 = 1,6094379
f ( x 2 ) = ln 6 = 1,7917595
3. dereceden polinom n = 3 f 3 ( x ) = b 0 + b1 ( x − x 0 ) + b 2 ( x − x 0 )( x − x 1 ) + b 3 ( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 )
57
f [x 2 , x1 ] =
1,7917595 − 1,3862944 = 0,20273255 6−4
0,18232160 − 0,20273255 = −0,020410950 5−4
b 3 = f [x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ] =
tla
f [x 3 , x 2 , x 1 ] =
ri. co
1,6094379 − 1,7917595 = 0,18232160 5−6 0,20273255 − 0,46209813 ⇒ b 2 = −0,051873116 b 2 = f [x 2 , x 1 , x 0 ] = 6 −1
f [x 3 , x 2 ] =
m
b 0 = f ( x 0 ) = ln 1 ⇒ b 0 = 0 1,3862944 − 0 ⇒ b1 = 0,46209813 b1 = f [ x 1 , x 0 ] = 4 −1
− 0,020410950 − (−0,051873116) ⇒ b 3 = 0,0078655415 5 −1
sn o
f 3 ( x ) = 0 + 0,46209813( x − 1) − 0,051873116( x − 1)( x − 4) + 0,0078655415( x − 1)( x − 4)( x − 6) f 3 (2) = 0,62876869 ε t = 9,3%
em de r
5.4 İnterpolasyon polinomlarının katsayılarını bulmak için diğer bir yöntem f ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + L + a n x n Bu polinomdaki a 0 , a 1 , a 2 , L , a n noktası gerekir.
n+1
tane katsayıyı bulmak için n + 1 tane veri
Örnek olarak n = 2 için 3 bilinmiyenli denklem elde edilir. Bu gereken veri noktaları
[x 0 , f ( x 0 )]
,
[x 1 , f ( x 1 )]
,
[x 2 , f ( x 2 )]
w .e
şeklindedir.Bunlar f ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 denklem sistemi elde edilir.
denkleminde yerine ayrı ayrı konursa aşağıdaki
f ( x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 02
f ( x 1 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 12
w
w
f ( x 2 ) = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 22 Bu denklem sisteminden bilinmiyen a 0 , a 1 , a 2 katsayıları bulunur.
58
Örnek 5.4.1 x0 = 1
ln x
f (x 0 ) = 0 ,
x1 = 4
f ( x 1 ) = 1,38629 ,
x2 = 6
f ( x 2 ) = 1,79176
Bu denklem sisteminin çözümünden a 0 = −0,669586 , a 1 = 0,721458
,
a 2 = −0,0518723
f ( x ) = −0,6696 + 0,72146 x − 0,0518723 x 2
f ( x) = 0,5658
( ln 2 = 0,69315 )
tla
x=2
f(x)
ln (x)
sn o
2
1.5
f(x)
em de r
1
0.5
ri. co
m
0 = a 0 + a1 + a 2 1,38629 = a 0 + 4a 1 + 16a 2 1,79176 = a 0 + 6a 1 + 36a 2
4
6
8
x
10
w .e
2
5.5 Lagrange interpolasyon formülü
w
w
Newton interpolasyon formülünün daha kullanışli hale getirilmiş şeklidir. Burada bölünmüş farkların hesabına gerek kalmaz. n
f n ( x) = ∑ L i ( x) f ( x i ) i =1
n
Burada L i ( x) = ∏ j= 0 j≠ i
x − xj xi − x j
Birinci dereceden ( n = 1 için ) Lagrange interpolasyon polinomu : 59
f 1 ( x) = L 0 ( x) f ( x 0 ) + L 1 ( x) f ( x 1 ) 1 x − xj x − x1 ⇒ L 0 ( x) = L 0 (x) = ∏ x 0 − x1 j= 0 x0 − x j
j= 0 j≠ 1
f 1 ( x) =
x − xj
⇒
x1 − x j
L 1 ( x) =
x − x0 x1 − x 0
x − x0 x − x1 f (x1 ) f (x 0 ) + x1 − x 0 x 0 − x1
f 2 ( x) = L 0 ( x) f ( x 0 ) + L 1 ( x) f ( x 1 ) + L 2 ( x) f ( x 2 )
j= 0 j≠ 0
2
L 1 ( x) = ∏
x0 − x j x − xj x1 − x j
⇒
L 0 ( x) =
x − x1 x − x 2 x 0 − x1 x 0 − x 2
⇒
L 1 ( x) =
x − x0 x − x2 x1 − x 0 x1 − x 2
em de r
j= 0 j≠ 1
x − xj
sn o
2
L 0 (x) = ∏
tla
İkinci dereceden n = 2 için Lagrange interpolasyon polinomu :
ri. co
1
L 1 ( x) = ∏
m
j≠ 0
2
L 2 ( x) = ∏ j= 0 j≠ 2
f 2 ( x) =
x − xj
x2 − xj
⇒
L 2 ( x) =
x − x 0 x − x1 x 2 − x 0 x 2 − x1
x − x 0 x − x1 x − x0 x − x2 x − x1 x − x 2 f (x 2 ) f (x1 ) + f (x 0 ) + x 2 − x 0 x 2 − x1 x1 − x 0 x1 − x 2 x 0 − x1 x 0 − x 2
Üçüncü dereceden n = 3 için Lagrange interpolasyon polinomu :
w .e
f 3 ( x) = L 0 ( x) f ( x 0 ) + L 1 ( x) f ( x 1 ) + L 2 ( x) f ( x 2 ) + L 3 ( x) f ( x 3 ) 3
L 0 (x) = ∏
w
w
j= 0 j≠ 0 3
L 1 ( x) = ∏ j= 0 j≠ 1 3
L 2 ( x) = ∏ j= 0 j≠ 2
3
L 3 ( x) = ∏ j= 0 j≠ 3
x − xj
x0 − x j x − xj
x1 − x j x − xj x2 − xj x − xj x3 − xj
⇒
L 0 (x) =
x − x1 x − x 2 x − x 3 x 0 − x1 x 0 − x 2 x 0 − x 3
⇒
L 1 ( x) =
x − x0 x − x2 x − x3 x1 − x 0 x1 − x 2 x1 − x 3
⇒
L 2 ( x) =
x − x 0 x − x1 x − x 3 x 2 − x 0 x 2 − x1 x 2 − x 3
⇒
L 3 ( x) =
x − x 0 x − x1 x − x 2 x 3 − x 0 x 3 − x1 x 3 − x 2
60
x − x0 x − x2 x − x3 x − x1 x − x 2 x − x 3 f (x1 ) f (x 0 ) + x1 − x 0 x1 − x 2 x1 − x 3 x 0 − x1 x 0 − x 2 x 0 − x 3 +
x − x 0 x − x1 x − x 2 x − x 0 x − x1 x − x 3 f (x 3 ) f (x 2 ) + x 3 − x 0 x 3 − x1 x 3 − x 2 x 2 − x 0 x 2 − x1 x 2 − x 3
m
f 3 ( x) =
ri. co
Lagrange interpolasyon polinomunun Newton interpolasyon polinomundan çıkarılışı. f 1 ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f [x 1 , x 0 ] f (x1 ) − f (x 0 ) f (x 0 ) f (x1 ) = + x1 − x 0 x1 − x 0 x 0 − x1
f 1 ( x) =
x − x0 x − x0 f (x 0 ) f (x1 ) + x 0 − x1 x1 − x 0
x − x0 x − x1 f (x1 ) f (x 0 ) + x1 − x 0 x 0 − x1
Örnek 5.5.1 x0 = 1
f (x 0 ) = 0 ,
x1 = 4
f ( x 1 ) = 1,38629 ,
x2 = 6
f ( x 2 ) = 1,79176
em de r
ln x
tla
f 1 ( x) = f ( x 0 ) +
sn o
f [x 1 , x 0 ] =
Birinci dereceden Lagrange polinomu için çözüm: x − x0 x − x1 f (x1 ) f (x 0 ) + x1 − x 0 x 0 − x1 x−4 x −1 f1 ( x) = *0 + *1,3862944 1− 4 4 −1
f 1 ( x) =
2−1 2−4 * 1,3862944 *0+ 4−1 1− 4
f 1 ( 2) = 0,4620981
⇒
w .e
f 1 ( 2) =
İkinci dereceden Lagrange polinomu için çözüm: x − x 0 x − x1 x − x0 x − x2 x − x1 x − x 2 f (x 2 ) f (x1 ) + f (x 0 ) + x 2 − x 0 x 2 − x1 x1 − x 0 x1 − x 2 x 0 − x1 x 0 − x 2 x−4 x−6 x −1 x − 6 x −1 x − 4 f 2 ( x) = *0 + *1,3862944 + *1, 7917595 1− 4 1− 6 4 −1 4 − 6 6 −1 6 − 4
w
w
f 2 ( x) =
f 2 ( x) =
2−1 2−4 2−1 2−6 2−4 2−6 * 1,7917595 ⇒ f 2 ( x ) = 0,565844 * 1,3862944 + *0+ 6−1 6−4 4−1 4−6 1− 4 1− 6
61
6 SAYISAL İNTEGRAL
m
f(x)
b
ri. co
I = ∫ f ( x) dx a
b
tla
a
b
b
a
a
I = ∫ f ( x) dx ≅ ∫ f n ( x ) dx
sn o
6.1 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜLÜ
em de r
f n ( x ) = a 0 + a 1 x + L + a n −1 x n −1 + a n x n
6.2 Trapez (yamuk ) kuralı f(x)
w .e
f(b) f(a)
w
w
a
b
b
a
a
b
I = ∫ f ( x) dx ≅ ∫ f 1 ( x ) dx
f 1 ( x ) = f (a ) +
f ( b ) − f (a ) ( x − a) b−a
62
x
x
I ≅ ∫ [f (a) + a
f (b ) − f (a ) ( x − a)] dx b−a
f (b ) − f (a ) x 2 f (b ) − f ( a ) ax+ I ≅ [f (a)x − b−a 2 b−a
] a
f (b ) − f ( a ) b 2 f ( b ) − f (a ) a 2 f (b ) − f (a ) f ( b ) − f (a ) ab+ aa− − f (a )a + b−a 2 b−a 2 b−a b−a
I ≅ f (a )b − f (a )a +
ri. co
I ≅ f (a)b −
b
f (a)[ab + ( −a 2 − b 2 ) / 2] − f (b )[ab + ( −a 2 − b 2 ) / 2] b−a
tla
(b − a) 2 [f (b ) − f (a)] I ≅ f (a ) ( b − a ) + 2(b − a) (b − a )[f (b ) − f (a)] 2 2f (a )(b − a) + (b − a)[f (b ) − f (a)] I≅ 2
sn o
I ≅ f (a )(b − a) +
f (a ) + f ( b ) 2
em de r
I ≅ (b − a )
6.2.1 İntegral bölgesinin n eşit parçaya bölünerek yamuk kuralının uygulanışı: x1
I=
x2
xn
x1
xn −1
∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + L + ∫ f (x)dx
x0
n+1
adet noktadır.
w .e
Burada ( x 0 , x 1 , x 2 , L , x n ) h=
I≅h
w
w
b−a n
Parçaların genişliğidir.
f (x 0 ) + f (x1 ) f ( x n −1 ) + f ( x n ) f (x1 ) + f (x 2 ) +h +L+ h 2 2 2
n −1 h I ≅ [f ( x 0 ) + 2 f ( x i ) + f ( x n )] 2 i =1
∑
f (x 0 ) + 2 I = (b − a )
n −1
∑ f (x ) + f (x i
m
b
n)
i =1
2n
63
Et = −
(b − a ) 3 12n 3
n
f ′′(ξ i ) ∑ i =1
n
∑ f ′′(ξ ) i
i =1
m
f ′′ ≅
n
(b − a ) 3 12n 2
f ′′
tla
Ea = −
ri. co
Burada f ′′ ikinci türevin bütün bölge içinde ortalama değeridir. Böylece yaklaşık hata aşağıdaki gibi yazılabilir.
Örnek 6.2.1.1
sn o
f ( x) = 0,2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 0,8
I=
∫ f (x) dx 0
em de r
Bu integral analitik olarak çözülürse I=1,64053334
bulunur.
Burada a = 0 , b = 0,8 dır.
0,8 − 0 = 0,1 8 x 6 = 0,6 x 7 = 0,7
n = 8 için h =
ve x 0 = 0
x 5 = 0,5
x 8 = 0,8
f (x 0 ) + 2
x 4 = 0,4
değerleri aşağıdaki formülde yerine konursa
∑ f (x ) + f (x i
n)
2n
f (0) + 2 [ f (0,1) + f (0,2) + f (0,3) + f (0,4) + f (0,5) + f (0,6) + f (0,7 ) ] + f (0,8) 2*8
f (0,1) = 1,289
f (0,5) = 3,325 I ≅ 0,8
x 3 = 0,3
n −1
w .e
w
w
f (0) = 0,2
x 2 = 0, 2
i =1
I ≅ (b − a )
I ≅ ( 0 ,8 − 0 )
x 1 = 0,1
f (0,2) = 1,288
f (0,3) = 1,607
f (0,6) = 3,464 f (0,7) = 2,363
f (0,4) = 2,456
f (0,8) = 0,232
0,2 + 2 [1,289 + 1,288 + 1,607 + 2,456 + 3,325 + 3,464 + 2,363 ] + 0,232 16
I ≅ 1,6008 E t = 1,64053334 − 1,6008 ⇒ E t = 0,03973334
64
1,64053334 − 1,6008 * 100 ⇒ ε t = 2,42 % 1,64053334
Ea = −
(b − a ) 3 12n 2
f ′′
m
εt =
b
ri. co
f ′′ =
∫a f ′′(x) dx b−a
f ′( x) = 25 − 400x + 2025x 2 − 3600x 3 + 2000x 4
∫0
0,8
f ′′( x )dx =
∫0 ( − 400 + 4050x − 10800x
0,8
∫ f ′′(x)dx = −400 * 0,8 + 4050 * (0,8)
0,8
∫
f ′′( x )dx = −48
0
Ea = −
2
/ 2 − 10800 * (0,8) 3 / 3 + 8000 * (0,8) 4 / 4
(0,8) 3
12 * 8 2
f ′′ = −60
Ea = −
( −60) ⇒ E a = 0,04
Ea * 100 ⇒ ε a = 2,499 % 1,6008
w
w
w .e
εa =
+ 8000x 3 ) dx
em de r
0
2
sn o
0,8
tla
f ′′( x) = −400 + 4050x − 10800x 2 + 8000x 3
65
(b − a ) 3 12n 2
f ′′
6.3 Simpson’un 1/3 kuralı Buradaki 1/3 , h üçe bölündüğü içindir. b
b
∫
m
∫
I = f ( x ) dx ≅ f 2 ( x ) dx a
b+a ve f 2 ( x) 2 polinomu alınırsa integral aşağıdaki şekle gelir.
Eğer x 0 = a
∫
I≅ [ x0
x1 =
yerine ikinci dereceden Lagrange
( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x 1 ) ( x − x 1 )( x − x 2 ) f (x 0 ) + f (x1 ) + f ( x 2 ) ] dx ( x 0 − x 1 )( x 0 − x 2 ) ( x 1 − x 0 )( x 1 − x 2 ) ( x 2 − x 0 )( x 2 − x 1 )
tla
x1
x2 = b
ri. co
a
Bu ıntegral işlemi sonucunda elde edilen ifadede gereken kısaltmalar yapıldıktan sonra integral formülü aşağıdaki şekli alır. h [f ( x 0 ) + 4f ( x 1 ) + f ( x 2 )] 3
sn o
I≅
x2
I=
em de r
Eğer (a , b ) aralığı n eşit parçaya bölünürse x4
xn
∫x f (x)dx + x∫ f (x)dx + L + x ∫ f (x)dx 0
n− 2
2
n −1
f (x 0 ) + 4
I ≅ (b − a )
∑
f (x i ) + 2
i = 1, 3 , 5
n−2
∑ f (x ) + f (x j
j= 2 , 4 , 6
3n
w
w
w .e
formülü bulunur.
66
n)
Örnek 6.3.1 f ( x) = 0,2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 0,8
Bu integral analitik olarak çözülürse I=1,64053334
bulunur.
Burada a = 0 , b = 0,8 dır. ve x 0 = 0
x 5 = 0,5
x 8 = 0,8
i = 1, 3 , 5
I ≅ (b − a )
n−2
∑ f (x ) + f (x j
n)
j= 2 , 4 , 6
3n
f (0) = 0,2
f (0,1) = 1,289
f (0,2) = 1,288
f (0,3) = 1,607
f (0,6) = 3,464 f (0,7 ) = 2,363
f (0,4) = 2,456
f (0,8) = 0,232
0,2 + 4 [1,289 + 1,607 + 3,325 + 2,363 ] + 2[1,288 + 2,456 + 3,464] + 0,232 24
I ≅ 1,6428
w .e
E t = 1,64053334 − 1,6428 ⇒ E t = −0,00226666
1,64053334 − 1,6428 * 100 ⇒ | ε t |= 0,138 % 1,64053334
w
w
εt =
x 4 = 0,4
f (0) + 4 [ f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7)] + 2[f (0,2) + f (0,4) + f (0,6) ] + f (0,8) 3*8
f (0,5) = 3,325 I ≅ 0,8
x 3 = 0,3
değerleri aşağıdaki formülde yerine konursa
em de r
I ≅ (0,8 − 0)
∑
f (x i ) + 2
x 2 = 0,2
sn o
n −1
f (x 0 ) + 4
x 1 = 0,1
tla
0,8 − 0 = 0,1 8 x 6 = 0,6 x 7 = 0,7
n = 8 için h =
m
∫0 f (x) dx
ri. co
I=
67
6.4 IMPROPER İNTEGRAL (Sınırları sonsuz olan integral)
a
t2 1/ b
1
∫ f (x)dx = ∫
f (1 / t ) dt
b
−A
b
−∞
−∞
−A
m
1/ a
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx 1 t
dx = −
⇒
b
1 t
2
x = −A
dt ,
0
⇒
t=−
b
∫ f (x)dx = 1∫/ A f (x)dx + ∫Af (x)dx −
,
x = −∞
⇒
t=−
1 =0 ∞
−
∞
−A
B
∞
−∞
−∞
−A
B
sn o
−∞
1 A
tla
x=
ri. co
b
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx 1 t
∞
dx = −
⇒
0
1
∫ f (x)dx = ∫
t −1 / A
−∞
1
em de r
x=
2
t
2
x = −A
dt ,
B
f (1 / t )dt +
⇒
1/ B
∫ f (x)dx + ∫
−A
0
1
t2
t=−
1 A
,
x = −∞
⇒
t=−
1 =0 ∞
1 A
,
x = −∞
⇒
t=−
1 =0 ∞
f (1 / t )dt
w .e
Örnek 6.4.1 x
N( x ) =
−∞
1
2π
e −x
2
/2
dx
N(1) = ?
w
w
∫
N(1) =
x=
1 t
1 2π ⇒
−2
(
∫e
− x2 / 2
−∞
dx = −
1
dx +
∫e
− x2 / 2
dx )
−2
1 t
2
dt ,
x = −A
⇒
68
t=−
∫
e −x
0
2
/2
dx =
−∞
1
∫e
∫
−1 / 2
− x2 / 2
1 t2
2
e −1 / 2t dt ≅ 0,0556
dx ≅ 2,0523
m
−2
−2
(0,0556 + 2,0523) ⇒ N(1) = 0,8409
7 SAYISAL TÜREV
sn o
Türevin tanımı: f(x)
em de r
f (x 2 )
f (x 1 )
x1
x2
x
f (x 2 ) − f (x1 ) df ( x ) = Lim ( x 2 − x1 ) → 0 dx x 2 − x1
w .e
f ′( x ) =
Bir fonksiyonun Taylor serisine açılımından faydalanılarak aşağıdaki bağıntı yazılabilir.
f ′′( x i ) 2 h +L 2 Buradan f ′( x i ) çözülebilir. f ( x i + 1 ) = f ( x i ) + f ′( x i )h +
h = x i +1 − x i
w
w
ri. co
2π
tla
1
N(1) =
f ′( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i ) f ′′( x i ) − h + O (h 2 ) h 2
f ( x i +1 ) − f ( x i ) + O (h ) h Şeklinde yazılabilir. Veya f ′( x i ) =
69
f ′′( x i ) =
f ( x i + 2 ) − 2f ( x i +1 ) + f ( x i ) + O (h ) h2
f ( x i +1 ) − f ( x i ) f ( x i + 2 ) − 2f ( x i + 1 ) + f ( x i ) − h + O (h 2 ) 2 h 2h
f ′( x i ) =
− f ( x i + 2 ) + 4f ( x i +1 ) − 3f ( x i ) + O (h 2 ) 2h
tla
ri. co
f ′( x i ) =
m
bu ikinci türev formülü ile birlikte aşağıdaki gibi oluşturulabilir.
Birinci mertebeden türev: f ′( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i ) h
f ′( x i ) =
− f ( x i + 2 ) + 4f ( x i +1 ) − 3f ( x i ) 2h
em de r
İkinci mertebeden türev:
sn o
7.1 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER
f ′′( x i ) =
f ( x i + 2 ) − 2f ( x i +1 ) + f ( x i ) h2
f ′′( x i ) =
− f ( x i + 3 ) + 4f ( x i + 2 ) − 5f ( x i + 1 ) + 2f ( x i ) h2
Üçüncü mertebeden türev:
f ( x i + 3 ) − 3f ( x i + 2 ) + 3f ( x i +1 ) − f ( x i ) h3
f ′′′( x i ) =
− 3f ( x i + 4 ) + 14f ( x i + 3 ) − 24f ( x i + 2 ) + 18f ( x i + 1 ) − 5f ( x i ) 2h 3
w .e
f ′′′( x i ) =
Dördüncü mertebeden türev: f ( x i + 4 ) − 4f ( x i + 3 ) + 6f ( x i + 2 ) − 4f ( x i +1 ) + f ( x i ) h4
f ( 4) (x i ) =
− 2f ( x i + 5 ) + 11f ( x i + 4 ) − 24f ( x i + 3 ) + 26f ( x i + 2 ) − 14f ( x i + 1 ) + 3f ( x i ) h4
w
w
f ( 4) (x i ) =
70
7.2 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER
f ′( x i ) =
f ( x i ) − f ( x i −1 ) h
f ′( x i ) =
3f ( x i ) − 4f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 ) 2h
f ′′( x i ) =
f ( x i ) − 2f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 ) h2
f ′′( x i ) =
ri. co
İkinci mertebeden türev:
m
Birinci mertebeden türev:
2f ( x i ) − 5f ( x i −1 ) + 4f ( x i − 2 ) − f ( x i − 3 ) h2
Üçüncü mertebeden türev: f ( x i ) − 3f ( x i −1 ) + 3f ( x i − 2 ) − f ( x i − 3 ) h3 5f ( x i ) − 18f ( x i −1 ) + 24f ( x i − 2 ) − 14f ( x i − 3 ) + 3f ( x i − 4 ) f ′′′( x i ) = 2h 3 Dördüncü mertebeden türev:
sn o
tla
f ′′′( x i ) =
f ( x i ) − 4f ( x i −1 ) + 6f ( x i − 2 ) − 4f ( x i − 3 ) + f ( x i − 4 ) h4
f ( 4) (x i ) =
3f ( x i ) − 14f ( x i −1 ) + 26f ( x i − 2 ) − 24f ( x i − 3 ) + 11f ( x i − 4 ) − 2f ( x i − 5 ) h4
em de r
f ( 4) (x i ) =
7.3 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Birinci mertebeden türev: f ( x i + 1 ) − f ( x i −1 ) 2h
f ′( x i ) =
− f ( x i + 2 ) + 8f ( x i +1 ) − 8f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 ) 12h
w .e
f ′( x i ) =
İkinci mertebeden türev: f ( x i +1 ) − 2f ( x i ) + f ( x i −1 ) h2 − f ( x i + 2 ) + 16f ( x i +1 ) − 30f ( x i ) + 16f ( x i −1 ) − f ( x i − 2 ) f ′′( x i ) = 12h 2
w
w
f ′′( x i ) =
Üçüncü mertebeden türev: f ′′′( x i ) =
f ( x i + 2 ) − 2f ( x i +1 ) + 2f ( x i −1 ) − f ( x i − 2 ) 2h 3
f ′′′( x i ) =
− f ( x i + 3 ) + 8f ( x i + 2 ) − 13f ( x i + 1 ) + 13f ( x i −1 ) − 8f ( x i − 2 ) + f ( x i − 3 ) 8h 3
71
Dördüncü mertebeden türev: f ( x i + 2 ) − 4f ( x i +1 ) + 6f ( x i ) − 4f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 ) h4
f ( 4) (x i ) =
− f ( x i + 3 ) + 12f ( x i + 2 ) − 39f ( x i + 1 ) + 56f ( x i ) − 39f ( x i −1 ) + 12f ( x i − 2 ) − f ( x i − 3 ) 6h 4
ri. co
m
f ( 4) (x i ) =
Örnek 7.3.1
f ′′( x ) = −
1 x2
f ′(5) = 0,2
tla
Analitik çözüm: 1 f ′( x ) = x Sayısal çözüm:
f ′′(5) = ?
f ′′(5) = −0,04
sn o
f ′( 5 ) = ?
f ( x) = ln x
ln( 5 + 0,01) − ln( 5) 1,6114435915 − 1,609437912 = 5,01 − 5 0,01
f ′′(5) =
ln( 5,02) − 2 ln( 5,01) + ln( 5) 1,613429934 − 2 * 1,611435915 + 1,609437912 = 0,0001 (0,01) 2
em de r
f ′( 5 ) =
w
w
w .e
f ′′(5) = −0, 0398405
72
⇒
f ′(5) = 0,199800266
8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER y = −0,5x 4 + 4x 3 − 10x 2 + 8,5x + 1
m
Şeklinde verilen denklem aşağıdaki diferansiyel denklemin gösterdiği eğrilerden sadece birisidir. dy = −2x 3 + 12x 2 − 20x + 8,5 dx
ri. co
y = ∫ [−2x 3 + 12x 2 − 20x + 8,5] dx integralinin sonucu aşağıda gibi bir eğri ailesini gösterir. y = −0,5x 4 + 4 x 3 − 10x 2 + 8,5x + C
tla
y 6
c=3
4
2
-2
2
3
em de r
1
sn o
c=2 c=1 c= 0 c=-1 c = -2 4
x
Bu durumda tek bir eğrinin belirli olması için C integral sabitinin hesaplanabileceği koşulların verilmesi gerekir. Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde geliştirilen yöntemlerden bazıları aşağıda verilmiştir.
8.1 EULER METODU
y
w .e
dy = f ( x , y) dx
y i +1 = y + f ( x i , y i )h
yi+1 hata
yi
w
w
yeni değer = eski değer + eğim * adım h x xi
73
xi+1
Örnek 8.1.1
Analitik çözüm: x dy dx = − ∫ y ∫C x ⇒
y(7) = ?
ln y = −(ln x − ln c)
y(4) = 0,75 koşulunu kullanırsak ve böylece y =
0,75 =
c 4
⇒
ln y = ln
c x
⇒ c=3
3 3 bulunur. Buradan y(7) = = 0,4285714 x 7
y=
c x
sn o
tla
Sayısal çözüm: y i +1 = y + f ( x i , y i )h y f (x i , y i ) = − i xi ve h = 1 alınırsa
⇒
m
y(4) = 0,75
ri. co
dy y =− dx x
y(5) = y(4) + (- y(4) / 4 ) *1 = 0,75 –(0,75/4)
⇒
y(6) = y(5) + (- y(5) / 5 ) *1 = 0,5625 –(0,5625/5)
εt =
⇒
⇒
y(6) = 0,45
y(7) = 0,375
em de r
y(7) = y(6) + (- y(6) /64 ) *1 = 0,45 –(0,45/6)
y(5) = 0,5625
0,42857 − 0,375 100 % = 12,5 % 0,42857
8.1.1 İyileştirilmiş Euler metodu y i +1 / 2 = y i + f ( x i , y i )
h 2
w .e
yi +1 = yi + f ( xi +1/ 2 , yi +1/ 2 )h
Örnek 8.1.1.1
w
w
Yukarıdaki örnek iyileştirilmiş Euler yöntemi ile çözülürse Yine aynı şekilde h = 1 alınırsa
y(4,5) = y(4) + (- y(4) / 4 ) *0,5 = 0,75 –(0,75/4) * 0,5 y(5) = y(4) + (- y(4,5) / 4,5 ) *1 = 0,75 –(0,65625/4,5)*1
⇒ ⇒
y(4,5) = 0,65625 y(5) = 0,6041666667
y(5,5) = y(5) + (- y(5) / 5 ) *0,5 = 0,6041667 –(0,6041667/5) * 0,5 y(6) = y(5) + (- y(5,5) / 5,5 ) *1 = 0,6041667 –(0,54375/5,5) *1 74
⇒
⇒
y(5,5) = 0,54375 y(6) = 0,505303
y(6,5) = y(6) + (- y(6) / 6 ) *0,5 = 0,505303 –(0,505303/6) * 0,5
⇒
y(6,5) = 0,4631944
y(7) = y(6) + (- y(6,5) / 6,5 ) *1 = 0,505303 –(0,4631944/6,5) *1
⇒
y(7) = 0,434042
0,4285714 − 0,434142 100 % 0,4285714
m
ε t = 1,28 %
ri. co
εt =
8.2 HEUN METODU
Bu metotta Euler metodundaki i inci noktadaki türev yerine i ve (i+1 ) inci noktadaki türevlerin aritmetik ortalaması alınır.
tla
y ′i + y ′i +1 f ( x i , y i ) + f ( x i +1 , y i0+1 ) y′ = = 2 2
y i +1 = y i +
f ( x i , y i ) + f ( x i +1 , y i0+1 ) h 2
em de r
Örnek 8.2.1
sn o
y i0+1 = y i + f ( x i , y i )h
dy y =− dx x
y(4) = 0,75
y(7) = ?
( analitik çözümde y(7) =
w
w
w .e
h = 1 alınırsa y y 50 = y 4 + (− 4 ) * 1 = 0,5625 4 y0 y (− 4 ) + (− 5 ) 4 5 * h ⇒ y = 0,6 y5 = y4 + 5 2 y y 06 = y 5 + (− 5 ) * 1 = 0,48 5 y y0 (− 5 ) + (− 6 ) 5 6 * h ⇒ y = 0,5 y6 = y5 + 6 2 y y 07 = y 6 + (− 6 ) * 1 = 0,4166667 6 y y0 (− 6 ) + (− 7 ) 6 7 * h ⇒ y = 0,4285714286 y7 = y6 + 7 2
εt = 0 % 75
3 = 0,4285714 ) 7
8.3 RUNGE-KUTTA METODU Runge-Kutta metodu, Taylor serileri ile yaklaşımdaki hassasiyeti, yüksek mertebeden türevlere ihtiyaç duymadan yakalayabildiğinden, yüksek hassasiyetin arandığı durumlarda tercih edilir. Runge-Kutta metodu aşağıdaki formda yazılabilir.
sn o
tla
ri. co
m
yi +1 = yi + φ ( xi , yi , h)h Burada φ ( xi , yi , h) fonksiyonuna artım fonksiyonu denir.Bu söz konusu aralıktaki eğimi gösterir. Artım fonksiyonu genel formda aşağıdaki gibi yazılabilir. φ = a1k1 + a2 k2 + ⋅⋅⋅ + an kn Burada a lar sabit k lar ise aşağıdaki gibidir. k1 = f ( xi , yi ) k2 = f ( xi + p1h, yi + q11k1h) k3 = f ( xi + p2 h, yi + q21k1h + q22 k2 h) . . . kn = f ( xi + pn −1h, yi + qn −1,1k1h + qn −1,2 k2 h + ⋅⋅⋅ + qn −1,n −1kn −1h) Burada p ve q lar sabitlerdir.
8.3.1. İkinci dereceden Runge-Kutta metodu
em de r
yi +1 = yi + (a1k1 + a2 k2 )h k1 = f ( xi , yi ) k2 = f ( xi + p1h, yi + q11k1h)
w .e
yi +1 için yi ve f ( xi , yi ) terimleri ile ikinci mertebeden Taylor serisi yazılırsa f ′( xi , yi ) 2 yi +1 = yi + f ( xi , yi )h + h 2! Burada f ′( xi , yi ) zincir kuralı ile belirlenmelidir. ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) dy + f ′( xi , yi ) = ∂x ∂y dx Bu ikinci türev Taylor formülünde yerine yazılırsa ⎛ ∂f ∂f dy ⎞ h 2 yi +1 = yi + f ( xi , yi )h + ⎜ + ⎟ ⎝ ∂x ∂y dx ⎠ 2!
(2)
w
w
İki değişkenli fonksiyonlarda Taylor serisi ∂g ∂g +s + ⋅⋅⋅ g ( x + r , y + s ) = g ( x, y ) + r ∂x ∂y Bu formül yukarıdaki iki değişkenli fonksiyon içeren k2 eşitliği için uygulanırsa ∂f ∂f k2 = f ( xi + p1h, yi + q11k1h) = f ( xi , yi ) + p1h + q11k1h + O(h 2 ) ∂x ∂y Bu k2 eşitliği k1 = f ( xi , yi ) eşitliği ile birlikte ilk yi +1 de yerine yazılırsa
76
yi +1 = yi + a1h f ( xi , yi ) + a2 h f ( xi , yi ) + a2 p1h 2
yi +1 = yi + [a1 f ( xi , yi ) + a2 f ( xi , yi )]h + [a2 p1
Bu denklem 2 denklemiyle
∂f ∂f + a2 q11 f ( xi , yi ) ]h 2 + O(h3 ) ∂x ∂y
dy = f ( x, y ) olduğu göz önüne alınarak karşılaştırılırsa dx
m
ve terimler bir araya toplanırsa
∂f ∂f + a2 q11h 2 f ( xi , yi ) + O(h3 ) ∂x ∂y
Orta nokta metodu ( a2 = 1 ) 1 2
em de r
a2 = 1 , a1 = 0 , p1 = q11 =
sn o
a2 = 1/ 2 , a1 = 1/ 2 , p1 = q11 = 1 Bu parametreler yerine konursa 1 1 yi +1 = yi + ( k1 + k2 )h 2 2 k1 = f ( xi , yi ) k2 = f ( xi + h, yi + k1h)
tla
ri. co
a1 + a2 = 1 1 a2 p1 = 2 1 a2 q11 = 2 bulunur. Burada 3 denklem 4 bilinmeyen olduğundan çok sayıda çözüm elde edilebilir. Tek düzeltme katsayılı Heun yöntemi ( a2 = 1/ 2 )
w
w
w .e
yi +1 = yi + k2 h k1 = f ( xi , yi ) 1 1 k2 = f ( xi + h, yi + k1h) 2 2 Ralston yöntemi ( a2 = 2 / 3 ) 2 1 3 a2 = , a1 = , p1 = q11 = 3 3 4 1 2 yi +1 = yi + ( k1 + k2 )h 3 3 k1 = f ( xi , yi ) 3 3 k2 = f ( xi + h, yi + k1h) 4 4
8.3.2. Üçüncü dereceden Runge-Kutta metodu 1 yi +1 = yi + (k1 + 4k2 + k3 )h 6 k1 = f ( xi , yi ) 1 1 k2 = f ( xi + h, yi + k1h) 2 2 k3 = f ( xi + h, yi − k1h + k2 h) 77
8.3.3. Dördüncü dereceden Runge-Kutta metodu
Örnek 8.3.3.1
sn o
tla
dy = 4e0.8 x − 0.5 y , y0 = 2 , x = 0 dan x = 0.5 , h = 0.25 dx f ( x, y ) = 4e0.8 x − 0.5 y k1 = f (0.25, yi ) = 4e0.8*0.25 − 0.5 yi
ri. co
m
1 yi +1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )h 6 k1 = f ( xi , yi ) 1 1 k2 = f ( xi + h, yi + k1h) 2 2 1 1 k3 = f ( xi + h, yi + k2 h) 2 2 k4 = f ( xi + h, yi + k3 h)
y0.25 = y0 + f (0, 2)0.25 = 2 + (4e0.8∗0 − 0.5 ∗ 2)0.25 = 2.75
em de r
k1 = f (0.25, 2.75) = 4e0.8*0.25 − 0.5 ∗ 2.75 = 3.510611 0.25 1 k2 = f (0.25 + , 2.75 + 3.510611∗ 0.25) 2 2 k2 = f (0.375,3.188826) = 4e0.8∗0.375 − 0.5 ∗ 3.188826 = 3.80502 0.25 1 k3 = f (0.25 + , 2.75 + 3.80502 ∗ 0.25) 2 2 k3 = f (0.375,3.22563) = 4e0.8∗0.375 − 0.5 ∗ 3.22563 = 3.78662 k4 = f (0.25 + 0.25, 2.75 + 3.78662 ∗ 0.25)
k4 = f (0.5,3.69665) = 4e0.8∗0.5 − 0.5 ∗ 3.69665 = 4.11897 1 y0.25 = 2 + (3.510611 + 2 ∗ 3.80502 + 2 ∗ 3.78662 + 4.11897)0.25 = 2.95054 6 y0.5 = y0.25 + f (0.25, 2.95054)0.25 = 2.95054 + (4e0.8∗0.25 − 0.5 ∗ 2.95054)0.25 = 3.8031
w
w
w .e
k1 = f (0.5,3.8031) = 4e0.8*0.5 − 0.5 ∗ 3.8031 = 4.06575 0.25 1 k2 = f (0.5 + ,3.8031 + 4.06575 * 0.25) 2 2 0.8∗ 0.625 k2 = f (0.625, 4.31132) = 4e − 0.5 ∗ 4.31132 = 4.43922 1 1 k3 = f (0.5 + 0.25,3.8031 + 4.43922 ∗ 0.25) 2 2 0.8∗ 0.625 k3 = f (0.625,4.358) = 4e − 0.5 ∗ 4.358 = 4.4159 k4 = f (0.5 + 0.25,3.8031 + 4.4159 ∗ 0.25) k4 = f (0.75, 4.9071) = 4e0.8∗0.75 − 0.5 ∗ 4.9071 = 4.83492 1 y0.5 = 2.95054 + (4.06575 + 2 ∗ 4.43922 + 2 ∗ 4.4159 + 4.83492)0.25 = 4.0593 6
78
8.4 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ METODU n inci mertebeden bir diferansiyel denklem n tane birinci mertebeden diferansiyel denklemden oluşan bir sisteme dönüştürülebilir.
ri. co
m
dy1 = f 1 ( x , y1 , y 2 , L , y n ) dx dy 2 = f 2 ( x , y1 , y 2 , L , y n ) dx · · dy n = f n ( x , y1 , y 2 , L , y n ) dx
tla
Bu sistemin çözümü için x in bir noktasındaki y1 , y 2 , L , y n değerlerinin (koşullarının ) verilmesi gerekir.
a = − λs
d 2s + λs = 0 dt 2
sn o
Örnek 8.4.1
t = 0 da s = s 0
em de r
Analitik çözüm :
v = v0
s = ACos λ t + BSin λ t
v = − A λ Sin λ t + B λ Cos λ t v A = s0 B = 0
λ
s = s 0 Cos λ t +
v0
λ
Sin λ t
w .e
Örnek 8.4.2 d 2s
π2 + s=0 t = 0 da s 0 = 8 dt 2 36 v1 = ? t = 1 de s 1 = ?
w
w
Analitik çözüm : v=−
s = 8Cos
v 0 = 12
π 72 π t + Sin t ⇒ s 1 = 18,38735913 6 π 6
8π π π Sin t + 12Cos t ⇒ 6 6 6
v 1 = 8,297909743
Euler yöntemi ile nümerik çözüm: π2 s=0 ikinci mertebeden diferansiyel denklemi aşağıdaki gibi iki dt 2 36 tane diferansiyel denklemden oluşan bir diferansiyel denklem sistemine dönüştürülür.
Bu yöntemde
d 2s
+
79
ds )i h , dt
v i +1 = v i + (
s i +1 = s i + v i h ,
v i +1 = v i −
dv )i h dt
m
s i +1 = s i + (
dv π2 =− s dt 36
π2 si h 36
h = 0 ,1 alınırsa aşağıdaki tablo değerleri bulunur. s i +1
12 11,78067546 11,52845223 11,24393162 10,9278051 10,5808527 10,20394111 9,798021503 9,364127215 8,903371094
9,2 10,37806755 11,53091277 12,65530593 13,74808644 14,80617171 15,82656582 16,80636797 17,74278069 18,6331178
w .e
w
w
80
v i +1 11,78067546 11,52845223 11,24393162 10,9278051 10,5808527 10,20394111 9,798021503 9,364127215 8,903371094 8,416942688
tla
8 9,2 10,37806755 11,53091277 12,65530593 13,74808644 14,80617171 15,82656582 16,80636797 17,74278069
vi
sn o
si
em de r
t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
ri. co
ds =v , dt
8.5 SINIR DEĞER PROBLEMLERİ dy1 dy = f1 (t , y1 , y2 ) , 2 = f 2 (t , y1 , y2 ) dt dt Başlangıç koşulları: t = 0 da y1 = y1,0 , y2 = y2,0
m
Dif. denk.
ri. co
y y1
y1,0 Başlangıç koşulları
y2,0
y2 0
tla
t
d2y = f ( x, y ) dx 2 Sınır koşulları: x = 0 da y = y0 x = L de y = yL
Dif. denk :
em de r
y
sn o
(a)
Sınır koşulları
y0
(b)
w
w
w .e
0
81
Sınır koşulları
yL
L
x
8.5.1 Atış Yöntemi
Bu yöntemde sınır değer problemi başlangıç değer problemine dönüştürülür. Bu yöntem örnek üzerinde gösterilecektir.
ri. co
m
Örnek 8.5.1.1 Uzunluğu boyunca izole edilmemiş ve sürekli rejimdeki ince ve uzun bir çubuktaki sıcaklık dağılımı aşağıdaki denklemle verilir. d 2T + h′(Ta − T ) = 0 dx 2 Burada h′ ısı transferi
Ta
T (0) = T1 T ( L) = T2
,
L = 10m
h′ = 0.01
,
Ta = 20
,
T (0) = 40 , T (10) = 200
sn o
Eğer, çubuğun boyu Analitik çözüm:
tla
karakterize eder.
katsayısıdır( cm−2 ) . Bu çevreye giden ısı oranını etraftaki havanın sıcaklığı ( 0 C )
T ( x) = 73.4523 e0.1x − 53.4523 e −0.1x + 20
Sayısal Çözüm:
em de r
dT =z dx dz = h′(T − Ta ) dx
Sayısal çözüme başlayabilmek için Atış metodu için z (0) = 10 diyelim. Ti +1 = Ti + zi h zi +1 = zi + h′(Ti − Ta )h
w .e
h = 2m alalım Ti + 1 = Ti + 2 z i zi +1 = zi + 0.02(Ti − 20)
T2 = 40 + 2 ∗ 10 = 60
w
w
z2 = 10 + 0.02(40 − 20) = 10.4
T4 = 60 + 2 ∗ 10.4 = 80.8 z4 = 10.4 + 0.02(60 − 20) = 11.2
T6 = 80.8 + 2 ∗ 11.2 = 103.2 z6 = 11.2 + 0.02(80.8 − 20) = 12.416
T8 = 103.2 + 2 ∗ 12.416 = 128.032 z8 = 12.416 + 0.02(103.2 − 20) = 14.08
T10 = 128.032 + 2 ∗ 14.08 = 156.192 82
z (0)
’ın bilinmesi gerekir.
z (0) = 14
alalım
T2 = 40 + 2 ∗ 14 = 68 z2 = 14 + 0.02(40 − 20) = 14.4
T4 = 68 + 2 ∗ 14.4 = 96.8
m
z4 = 14.4 + 0.02(68 − 20) = 15.36
T6 = 96.8 + 2 ∗ 15.36 = 127.52
ri. co
z6 = 15.36 + 0.02(96.8 − 20) = 16.896
T8 = 127.52 + 2 ∗ 16.896 = 161.312 z8 = 16.896 + 0.02(127.52 − 20) = 19.0464
T10 = 161.312 + 2 ∗ 19.0464 = 199.4048
tla
z10 = 19.0464 + 0.02(161.312 − 20) = 21.87264
sn o
8.5.2 Sonlu Farklar Yöntemi Bu yöntemde Türevler yerine sonlu fark ifadeleri konur. Bu yöntem aşağıdaki örnek üzerinde açıklanabilir.
em de r
8.5.2.1Örnek Örnek 8.4.1.1 deki ince uzun çubuktaki ısı yayılması problemi ele alınırsa d 2T + h′(Ta − T ) = 0 dx 2
Burada ikinci türev ifadesi yerine d 2T Ti +1 − 2Ti + Ti −1 = dx 2 Δx 2
sonlu farklar ifadesi konursa
w .e
Ti +1 − 2Ti + Ti −1 + h′(Ta − T ) = 0 Δx 2
Gerekli işlemler yapılırsa −Ti −1 + (2 + h′Δx 2 )Ti − Ti +1 = h′Δx 2Ta
w
w
eşitliği elde edilir.
x=0 T (0) = 40 0C
x = 2m
x = 4m
83
x = 6m
x = 8m
x = 10m T (10) = 200 0C
−T0 + (2 + h′Δx 2 )T1 − T2 = h′Δx 2Ta −T1 + (2 + h′Δx 2 )T2 − T3 = h′Δx 2Ta −T2 + (2 + h′Δx 2 )T3 − T4 = h′Δx 2Ta −T3 + (2 + h′Δx 2 )T4 − T5 = h′Δx 2Ta
−T1 + 2.04T2 − T3 = 0.8 −T2 + 2.04T3 − T4 = 0.8 −T3 + 2.04T4 = 200.8
Bu denklemleri aşağıdaki gibi düzenliyebiliriz.
sn o
tla
0 0 ⎤ ⎧T1 ⎫ ⎧ 40.8 ⎫ ⎡ 2.04 −1 ⎢ −1 2.04 −1 0 ⎥⎥ ⎪⎪T2 ⎪⎪ ⎪⎪ 0.8 ⎪⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎢ 0 −1 2.04 −1 ⎥ ⎪T3 ⎪ ⎪ 0.8 ⎪ ⎢ ⎥ −1 2.04 ⎦ ⎪⎩T4 ⎪⎭ ⎩⎪200.8⎭⎪ 0 ⎣ 0
Bu denklem sisteminin çözümünden
em de r
⎧T1 ⎫ ⎧ 65.9698 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 93.7785 ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪T3 ⎪ ⎪124.5382 ⎪ ⎪⎩T4 ⎪⎭ ⎪⎩159.4795 ⎪⎭
ri. co
m
h′Δx 2 = 0.01* 22 = 0.04 2.04T1 − T2 = 0.04 ∗ 20 + 40 = 40,8
w
w
w .e
elde edilir.
84
9 KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLER
m
Verilen bir u fonksiyonunun keyfi bir (x,y) noktasında x ve y ye göre kısmi türevleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir. ∂u u ( x + Δx, y ) − u ( x, y ) = lim ∂x Δx → 0 Δx
ri. co
∂u u ( x, y + Δy ) − u ( x, y ) = lim ∂y Δy → 0 Δy Eğer bir denklem iki veya daha fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevleri içeriyorsa, bu denkleme kısmi türevli denklem denir. Aşağıdaki denklemler kısmi türevli denklemlerdir. ∂ 2u ∂ 2u + 2 xy 2 + u = 1 ∂x 2 ∂y
tla
∂ 3u ∂ 2u + x 2 + 8u = 5 y ∂x 2∂y ∂y 3
sn o
⎛ ∂ 2u ⎞ ∂ 3u 6 + =x ⎜ 2⎟ ∂x∂y 2 ⎝ ∂x ⎠
em de r
∂ 2u ∂u + xu =x 2 ∂x ∂y Kısmi türevli denklemin derecesi denklemdeki en yüksek mertebeden türeve eşittir. Yukarıdaki birinci ve sonuncu denklem ikinci dereceden diğer ikisi ise üçüncü derecedendir. Kısmi türevli denklem bilinmiyen fonksiyon u ve bunun türevlerine göre lineer ise bu denkleme kısmi türevli lineer denklem denir. Buna göre yukarıdaki ilk iki denklem lineer son iki denklem ise lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemdir. Mühendislikte ikinci dereceden kısmi türevli lineer diferansiyel denklemlerin geniş bir uygulama alanı vardır. İki bağımsız değişkene göre bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibi yazılabilir.
w .e
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A 2 +B +C 2 + D =0 ∂x ∂x∂y ∂y
∂u ∂u ve nin fonksiyonudur. ∂x ∂y Bu denklemler A,B,C nin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki gibi sınıflandırılır. Burada A,B,C x ve y nin fonksiyonlarıdır. D ise x, y, u,
w
w
B 2 − 4 AC <0 =0 >0
Kategori
Eliptik
Örnek ∂T ∂T + = 0 Laplace denklemi ( iki boyutlu kararlı durum) ∂x 2 ∂y 2 2
2
Parabolik
∂T ∂ 2T = k ′ 2 Isı iletimi denklemi(tek boyutta zaman değişkenli) ∂t ∂x 2 Hiperbolik ∂ y 1 ∂ 2 y = Dalga denklemi(tek boyutta zaman değişkenli) ∂x 2 c 2 ∂t 2
85
9.2. Sonlu Farklar : Eliptik denklemler 9.2.1. Laplace denklemi
m
y
Δy
q ( x + Δx)
q( x)
tla
q( y)
ri. co
q( y + Δy )
x
Δx
sn o
Δz
Kalınlığı Δz olan ince bir plaka ve içinde ısı dengesinin gösterildiği bir eleman Kenarları haricinde izole edilen bir plakada ısı transferi x ve y doğrultularında olabilir. Kararlı rejimde bir elemanda Δt zamanında olabilecek ısı akışı aşağıdaki denklemle ifade edilebilir.
em de r
q( x)ΔyΔzΔt + q( y )ΔxΔzΔt = q( x + Δx)ΔyΔzΔt + q( y + Δy )ΔxΔzΔt
Burada q( x) ve q( y ) , x ve y doğrultusundaki ısı akısını ⎡⎣ cal /(cm 2 .s) ⎤⎦ göstermektedir. Eşitlik ΔzΔt ye bölünüp terimler bir tarafta toplanırsa [q ( x) − q( x + Δx)]Δy + [q( y ) − q( y + Δy )]Δx = 0 Bu denklemin birinci terimi
Δx Δy , ikinci terimi ile çarpılırsa Δx Δy
w .e
[q( x) − q ( x + Δx)] [q( y ) − q( y + Δy )] ΔxΔy + ΔxΔy = 0 Δx Δy
Denklemi elde edilir. Bu denklem ΔxΔy ile bölünüp limiti alınırsa aşağıdaki denklem elde edilir.
∂q ∂q − =0 ∂x ∂y
w
w
−
Bu ısı enerjisinin korunumu denklemidir. Plakanın kenarları boyunca genellikle ısı akısı yerine sıcaklık koşulları belli olduğundan bu denklemin sıcaklık cinsinden yazılması gerekir. Isı akısı sıcaklıklara Fourier’ in ısı iletimi yasası ile bağlanabilir.
qi = − k ρ C
∂T ∂i 86
Buırada qi = i doğrultusundaki ısı akışıdır.[cal/(cm2 .s)] ,
m
k = Isı yayınım katsayısı (cm2/s) , ρ = Malzemenin yoğunluğu (g/cm3) C = Malzemenin ısı kapasitesi (özgül ısısı)[cal/(g . 0C)] T = Sıcaklık (0C)
ri. co
Fourier’in ısı iletimi bağıntısı ısı enerjisinin korunumu denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki Laplace denklemi elde edilir.
∂ 2T ∂ 2T + =0 ∂x 2 ∂y 2 Eğer Plaka içinde ısı kaynağı veya kuyusu varsa sıcaklıklar arasındaki bağıntı
sn o
9.2.2. Çözüm tekniği
tla
∂ 2T ∂ 2T + = f ( x, y ) ∂x 2 ∂y 2 Bu denklem Poisson denklemi olarak bilinir.
em de r
Sayısal çözümde plaka ayrık noktaların köşelere yerleştiği bir ızgara şeklinde düşünülür ve kısmi türevli denklem yerine fark denklemleri yazılıp her bir noktaya uygulanarak lineer cebirsel denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden ayrık noktalardaki sıcaklıklar bulunur.
y
m + 1, n + 1
0, n + 1
i, j
w .e
i − 1, j
i, j + 1 i + 1, j
i, j − 1
x
0,0
w
w
m + 1, 0
87
Merkezi farklar uygulanırsa Laplace denklemi aşağıdaki gibi fark denklemine dönüştürülür.
m
∂ 2T Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j ∂ 2T Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1 , = = ∂x 2 Δx 2 ∂y 2 Δy 2 Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1 + =0 Δx 2 Δy 2
ri. co
Eğer ızgara birimleri kare şeklinde olursa Δx = Δy olacağından sonlu farklar denklemi
Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j +1 + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0
şeklinde yazılabilir.Bu denklem Laplace fark denklemi olarak bilinir. Çözüme ulaşmak için plakanın bütün iç noktalarında bu denklemi uygulamak gerekir.
(2,3)
(1,2)
(2,2)
(3,3)
(3,2)
em de r
75 0C
(1,3)
sn o
100 0C
tla
Örnek 9.2.2.1:
(1,1)
(2,1)
50 0C
(3,1)
0 0C
w .e
Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j +1 + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0 Sonlu farklar denklemi (1,1) noduna uygulanırsa T2,1 + T0,1 + T1,2 + T1,0 − 4T1,1 = 0 elde edilir . ve T0,1 = 75 0C , T1,0 = 0 0C yerine yazılırsa
T2,1 + T1,2 − 4T1,1 = −75
⇒
4T1,1 − T1,2 − T2,1 = 75
denklemi bulunur.
w
w
Sonlu farklar denklemi (2,1) noduna uygulanırsa T3,1 + T1,1 + T2,2 + T2,0 − 4T2,1 = 0 elde edilir. T2,0 = 0 yerine yazılırsa −T1,1 + 4T2,1 − T2,2 − T3,1 = 0 denklemi bulunur. Sonlu farklar denklemi (3,1) noduna uygulanırsa T4,1 + T2,1 + T3,2 + T3,0 − 4T3,1 = 0 elde edilir. T4,1 = 50 0C , T3,0 = 0 yerine yazılırsa −T2,1 + 4T3,1 − T3,2 = 50 elde edilir.
Sonlu farklar denklemi (1,2) noduna uygulanırsa T2,2 + T0,2 + T1,3 + T1,1 − 4T1,2 = 0 elde edilir. T0,2 = 75 0C yerine yazılırsa −T1,1 + 4T1,2 − T1,3 − T2,2 = 75 elde edilir.
88
Sonlu farklar denklemi (2,2) noduna uygulanırsa
T1,2 + T2,1 − 4T2,2 + T2,3 + T3,2 = 0 elde edilir.
Sonlu farklar denklemi (3,2) noduna uygulanırsa T4,2 + T2,2 + T3,3 + T3,1 − 4T3,2 = 0
Sonlu farklar denklemi (1,3) noduna uygulanırsa T2,3 + T0,3 + T1,4 + T1,2 − 4T1,3 = 0 T0,3 = 75 0C ve T1,4 = 100 0C yerine yazılırsa
−T1,2 + 4T1,3 − T2,3 = 175 elde edilir.
ri. co
Sonlu farklar denklemi (2,3) noduna uygulanırsa T3,3 + T1,3 + T2,4 + T2,2 − 4T2,3 = 0
m
T4,2 = 50 0C yerine yazılırsa −T2,2 − T3,1 + 4T3,2 − T3,3 = 50 elde edilir.
T2,4 = 100 0C yerine yazılırsa −T2,2 − T1,3 + 4T2,3 − T3,3 = 100 elde edilir.
Son olaral sonlu farklar denklemi (3,3) noduna uygulanırsa T4,3 + T2,3 + T3,4 + T3,2 − 4T3,3 = 0 elde edilir. T4,3 = 50 0C ve T3,4 = 100 0C yerine yazılırsa −T3,2 − T2,3 + 4T3,3 = 150 elde edilir.
tla
Bu denklemler toplu olarak aşağıdaki gibi yazılabilir. 4T1,1 − T2,1 − T1,2 = 75
−T1,1 + 4T2,1 − T3,1 − T2,2 = 0
sn o
−T2,1 + 4T3,1 − T3,2 = 50 −T1,1 + 4T1,2 − T2,2 − T1,3 = 75 T2,1 + T1,2 − 4T2,2 + T3,2 + T2,3 = 0
−T3,1 − T2,2 + 4T3,2 − T3,3 = 50
em de r
−T1,2 + 4T1,3 − T2,3 = 175
−T2,2 − T1,3 + 4T2,3 − T3,3 = 100 −T3,2 − T2,3 + 4T3,3 = 150 0
−1 0 −1
−4 −1
w
w
w .e
⎡ 4 −1 0 −1 ⎢ −1 4 −1 0 ⎢ ⎢ 0 −1 4 0 ⎢ ⎢ −1 0 0 4 ⎢0 1 0 1 ⎢ ⎢ 0 0 −1 0 ⎢ 0 0 0 −1 ⎢ ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎣0 0 0 0
0 −1 0
0 ⎤ ⎧ T1,1 ⎫ ⎧ 75 ⎫ ⎪ ⎪ 0 0 0 0 ⎥⎥ ⎪T2,1 ⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ −1 0 0 0 ⎥ ⎪ T3,1 ⎪ ⎪ 50 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 −1 0 0 ⎥ ⎪T1,2 ⎪ ⎪ 75 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 0 1 0 ⎥ ⎨T2,2 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ ⎥ 4 0 0 −1⎥ ⎪T3,2 ⎪ ⎪ 50 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 4 −1 0 ⎥ ⎪ T1,3 ⎪ ⎪175 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 −1 4 −1⎥ ⎪T2,3 ⎪ ⎪100 ⎪ −1 0 −1 4 ⎥⎦ ⎪⎩T3,3 ⎪⎭ ⎩⎪150 ⎭⎪ 0
0
0
Mathematica programı ile bu denklem sistemi aşağıdaki gibi kolaylıkla çözülebilir.
A={{4,-1,0,-1,0,0,0,0,0},{-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0},{0,-1,4,0,0,1,0,0,0},{-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0},{0,1,0,1,-4,1,0,1,0},{0,0,-1,0,1,4,0,0,-1},{0,0,0,-1,0,0,4,-1,0},{0,0,0,0,-1,0,-1,4,1},{0,0,0,0,0,-1,0,-1,4}}; b={75,0,50,75,0,50,175,100,150}; x=LinearSolve[A,b];
89
42.8571 y i j z j z j z 33.2589 j z j z j z j z 33.9286 j z j z j z j z 63.1696 j z j z j z 56.25 z T=j j z j z j z j z 52.4554 j z j z j z j z 78.5714 j z j z j z j z 76.1161 j z j z 69.6429 k {
ri. co
y z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z {
tla
300 7 3725 112 475 14 7075 112 225 4 5875 112 550 7 8525 112 975 14
w
w
w .e
em de r
sn o
i j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j T=j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j k
m
Print["T=",MatrixForm[x]]; Print["T=",MatrixForm[N[x]]];
90
EK A TAYLOR SERİSİ
m
EK A.1 TAYLOR FORMÜLÜ f ( x) : Aradığımız fonksiyon P( x) : Yaklaşık fonksiyon
x = 0 da P(0) = C0 → C0 = f (0)
P ′( x) = C1 + 2C2 x + 3C3 x 2 + 4C4 x 3 + 5C5 x 4 + L + nCn x n −1
tla
x = 0 da P ′(0) = C1 → C1 = f ′(0)
ri. co
P ( x) = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x3 + C4 x 4 + C5 x5 + L + Cn x n x = 0 da bu iki fonksiyonun değerleri ve türevleri birbirine eşitlenerek n + 1 koşul oluşturulur. P(0) = f (0) , P ′(0) = f ′(0) , P ′′(0) = f ′′(0) , . . . , P ( n ) (0) = f ( n ) (0) oluşturulan bu koşullar yardımı ile Ci , (i = 0,L , n) katsayıları bulunur.
P ′′( x) = 2C2 + 2 * 3C3 x + 3* 4C4 x 2 + 4 * 5C5 x3 + L + (n − 1)nCn x n − 2
1 f ′′(0) 2 P ′′′( x) = 2 * 3C3 + 2 * 3* 4C4 x + 3* 4 * 5C5 x 2 + L + (n − 2)(n − 1)nCn x n −3 x = 0 da P ′′′(0) = 2 * 3C3 → C3 =
sn o
x = 0 da P ′′(0) = 2C2 → C2 =
1 f ′′′(0) 2*3
em de r
P ıv ( x) = 2 * 3* 4C4 + 2 * 3* 4 * 5C5 x + L + (n − 3)(n − 2)(n − 1)nCn x n − 4 x = 0 da P ıv (0) = 2 * 3* 4C4 → C4 =
Bu işlemler devam edilirse Ck = n
konursa P( x) = ∑ k =0
f ( k ) (0) k x k!
1 f ıv (0) 2 * 3* 4
1 (k ) f (0) bulunur. Bu katsayılar P( x) polinomunda yerine k!
Taylor polinomu elde edilir.
w .e
Sıfırdan farklı noktalarda da benzer formüller bulunabilir.Bunun için için Polinomu ( x − x0 ) ın kuvvetlerine göre yazılır. P ( x) = C0 + C1 ( x − x0 ) + C2 ( x − x0 ) 2 + C3 ( x − x0 )3 + C4 ( x − x0 ) 4 + C5 ( x − x0 )5 + L + Cn ( x − x0 ) n Bu polinomun x değişkenine göre türevleri alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa aşağıdaki gibi bir f ( x) fonksiyonunun x0 civarında Taylor polinomuna açılım formülü elde edilir. n
w
w
P ( x) = ∑ k =0
f ( k ) ( x0 ) ( x − x0 ) k k!
f ( x) fonksiyonu ile P( x) fonksiyonu arasındaki farka n inci kalan denir. Rn ( x) = f ( x) − P( x) → f ( x) = P( x) + Rn ( x) n
f ( x) = ∑ k =0
f ( k ) ( x0 ) ( x − x0 ) k + Rn ( x) k!
Bu eşitliğe kalanlı Taylor formülü denir. Eğer x0 = 0 ise çoğu kere bu formüle Maclaurin formülü denir. 91
Kalan formülünü yazmak için ortalama değer teoremi uygulanır. f ( x) Eğim
m
f ( x)
f ( x) − f ( x0 ) ( x − x0 )
f ′(ξ ) =
f ′( x0 ) x
ξ
x
tla
x0
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
ri. co
Eğim f ′(ξ )
sn o
Lineer yaklaşım için P0 ( x) = f ( x0 ) ve fark f ( x) − P0 ( x) = f ( x) − f ( x0 ) olur. f ( x) − f ( x0 ) f ′(ξ ) = → f ( x) − f ( x0 ) = f ′(ξ )( x − x0 ) x − x0 x
Analizin temel teoreminden f ( x) − f ( x0 ) =
∫ f ′(t )dt
eşitliği yazılabilir.
x0
x
f ( x) − P0 ( x0 ) =
∫ f ′(t )dt
bu eşitliğe entegral formundaki kalan denir.
x0
em de r
Yukarıdaki integrale kısmi integrasyon işlemi uygulanırsa u = f ′(t ) , dv = dt burada v = t − x olmalıdır. x
x
f ( x) − f ( x0 ) = f ′(t )(t − x ) x − ∫ f ′′(t )(t − x) dt = − f ′( x0 )( x0 − x) + ∫ f ′′(t )( x − t ) dt x
0
x0
f ( x) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x0 − x)] =
x0
x
∫ f ′′(t )( x − t ) dt
x0
w .e
Bu eşitliğin sol tarafı f ( x) − P1 ( x) farkına eşittir. Aynı şekilde kısmı integrasyon uygulanırsa (t − x) 2 u = f ′′(t ) , dv = ( x − t )dt burada v = olur. 2 x ( x − t )2 x ( x − t )2 ′′′ ( ) + f ( x) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x0 − x)] = − f ′′(t ) f t dt ∫ x0 2 2 x0
w
w
( x − t )2 ]= f ( x) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x0 − x) + f ′′(t ) 2
x
∫
x0
( x − t )2 f ′′′(t ) dt 2
aynı şekilde devam edilirse integral formundaki kala formülü elde edilir. x ( x − t )n ( n +1) (t ) Rn ( x) = ∫ f dt n! x0 Entegral formundaki kalan, aşağıdaki gibi, Lagrange formunda yazılabilir. x > x0 kabul edilirse işlemler basitleşir. f ( n +1) (t ) nin x0 ≤ t ≤ x aralığında minimum değeri m , maksimum değeri M ile gösterilsin. 92
( x − t )n ( x − t )n ( x − t )n ( n +1) m ≤ f (t ) ≤M n! n! n! x x x n n (x − t) (x − t) ( x − t )n ( n +1) ( ) m dt f t dt M dt ≤ ≤ ∫ n! ∫ ∫ n! n! x0 x0 x0
ri. co
m
sınır değerlere ait entegraller kolayca alınabilir. ( x − t ) n +1 ( x − t ) n +1 m ≤ f ( x) − Pn ( x) ≤ M (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! ile çarpılırsa Bütün terimler ( x − x0 ) n +1 (n + 1)! m≤ [ f ( x) − Pn ( x)] ≤ M ( x − x0 ) n +1
a ≤ t ≤ b nin her yerinde
M x − x0 (n + 1)!
n +1
f ( n +1) (t ) ≤ M
ise
elde edilir.
em de r
R( x) =
sn o
tla
elde edilir. f ( n +1) (t ) m ile M arasında bir değer olduğuna göre, ξ de x0 ile x arasında öyle bir (n + 1)! f ( n +1) (ξ ) = değer olur ki [ f ( x) − Pn ( x)] yazılabilir. ( x − x0 ) n +1 Böylece Lagrange formundaki kalan elde edilir. f n +1 (ξ ) ( x − x0 ) n +1 Rn ( x) = (n + 1)! Eğer fonksiyonun [a,b] aralığındaki (n + 1) inci türevi sınırlı ise yani
TAYLOR SERİSİNİ KULLANARAK ELDE EDİLEN ÖZEL AÇILIMLAR x 2 x3 xn ex = 1 + x + + +L+ + Rn 2! 3! n! x3 x5 x 7 (−1) n −1 x 2 n −1 sin x = x − + − L+ + Rn 3! 5! 7! (2n − 1)! cos x = 1 −
x2 x4 x6 (−1) n −1 x 2 n − 2 + − L+ + Rn 2! 4! 6! (2n − 2)!
w .e
x 2 x3 x 4 (−1) n −1 x n ln(1 + x) = x − + − +L+ + Rn n 2 3 4 x3 x5 x 7 (−1) n −1 x 2 n −1 tan −1 x = x − + − +L+ + Rn 3 5 7 2n − 1
w
w
İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR İÇİN TAYLOR SERİSİ ∞
∞
f ( x, y ) = ∑∑ k =0 l =0
∂ ( k +l ) f ( x0 , y0 ) 1 ( x − x0 ) k ( y − y0 )l k l k !l ! ∂x ∂y
1 [ f ( x0 , y0 )( x − x0 ) 2 + 2! 2 f x y ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) + f yy ( x0 , y0 )( y − y0 )2 ] + L
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) +
93
