1) INTRODUCCIÓN Las series de tiempo llamadas también series cronológicas o series históricas son un conjunto de datos numéricos que se obtienen en períodos regulares y específicos a través del tiempo, los tiempos pueden ser en años, meses, semanas, días o otra unidad adecuada al problema que se esté trabajando. Ejemplos de series de tiempo son: Ventas mensuales de un producto en una empresa, producción total anual de petróleo en Ecuador durante un cierto número años o las temperaturas anunciadas cada hora por el meteorólogo para un aeropuerto. Matemáticamente, una serie de tiempo se define por los valores Y1, Y2, Y3,…….de una variable Y (ventas mensuales, producción total, etc.) en tiempos t1, t3, t3……….. Si se reemplaza a X por la variable tiempo, estas series se definen como distribuciones de pares ordenados (X,Y) en el plano cartesiano, siendo Y una función de X; esto se denota por:
El principal objetivo de las series de tiempo es hacer proyecciones o pronósticos sobre una actividad futura, suponiendo estables las condiciones y variaciones registradas hasta la fecha, lo cual permite planear y tomar decisiones a corto o largo plazo. Después, con base en esa situación ideal, que supone que los factores que influyeron en la serie en el pasado lo continuarán haciendo en el futuro, se analizan las tendencias pasadas y el comportamiento de las actividades bajo la influencia de ellas; por ejemplo, en la proyección de ventas de un producto o de un servicio de una empresa se calculan los posibles precios, la reacción del consumidor, la influencia de la competencia, etc.
Modelo clásico series de tiempo. Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término de error aleatorio. Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son: 1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t) 2. Multiplicativo: X(t) = T(t) · E(t) · A(t) 3. Mixto: X(t) = T(t) · E(t) + A(t) Donde: X(t) serie observada en instante t T(t) componente de tendencia
E(t) componente estacional A(t) componente aleatoria (accidental)
Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante. Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie. La figura 2.1 ilustra posibles patrones que podrían seguir series representadas por los modelos (1), (2) y (3).
Análisis de tendencia para series de tiempo 1) Es necesario describir la tendencia ascendente o descendente a largo plazo de una serie cronológica por medio de alguna línea, y la más adecuada será la que mejor represente los datos y sea útil para desarrollar pronósticos. Para lograr la estimación de la tendencia se utilizan con más frecuencia los siguientes métodos:
2) MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Este método ya se estudió en el capítulo anterior, en el que se indicó las formas para hallar la ecuación de una recta de mínimos cuadrados. Con esta recta se obtendrán los valores de tendencia. Ejemplo: Con los siguientes datos acerca de las ventas en millones de dólares de la Empresa M & M: Año (X)
Ventas (Y)
1995
3,4
1996
3,1
1997
3,9
1998
3,3
1999
3,2
2000
4,3
2001
3,9
2002
3,5
2003
3,6
2004
3,7
2005
4
2006
3,6
2007
4,1
2008
4,7
2009
4,2
2010
4,5
1) Hallar la ecuación de tendencia por el método de los mínimos cuadrados. 2) Pronosticar la tendencia de exportación para el 2011. 3) Elaborar la gráfica para los datos y la recta de tendencia. Solución: 1) Para hallar la ecuación de tendencia por el método de los mínimos cuadrados se llena la siguiente tabla, codificando la numeración de los años 1995 como 1, 1996 como 2, y así consecutivamente para facilitar los cálculos. Año (X) X
Y
XY
X2
Y2
1995
1
3,4
3,40
1
11,56
1996
2
3,1
6,20
4
9,61
1997
3
3,9
11,70
9
15,21
1998
4
3,3
13,20
16
10,89
1999
5
3,2
16,00
25
10,24
2000
6
4,3
25,80
36
18,49
2001
7
3,9
27,30
49
15,21
2002
8
3,5
28,00
64
12,25
2003
9
3,6
32,40
81
12,96
2004
10
3,7
37,00
100
13,69
2005
11
4
44,00
121
16,00
2006
12
3,6
43,20
144
12,96
2007
13
4,1
53,30
169
16,81
2008
14
4,7
65,80
196
22,09
2009
15
4,2
63,00
225
17,64
2010
16
4,5
72,00
256
20,25
Total
136
61
542,3
1496
235,86
Reemplazando valores en las siguientes fórmulas se obtiene los valores de a0 y a1:
Interpretación: - El valor al ser positiva indica que existe una tendencia ascendente de las exportaciones aumentando a un cambio o razón promedio de 0,07 millones de dólares por cada año. - El valor de indica el punto en donde la recta interseca al eje Y cuando X = 0, es decir indica las exportaciones estimadas para el año 1996 igual a 3,22. Reemplazado los valores anteriores en la recta de tendencia se obtiene: Y = 3,22 + 0,07X 2) Para pronosticar la tendencia de exportación para el 2011 se reemplaza X = 17 en la recta de tendencia, obteniendo el siguiente resultado: Y = 3,22 + 0,07X
Y = 3,22 + 0,07·17 = 4,41 Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
3) MÉTODO DE LOS SEMIPROMEDIOS Este método se aplica con el objeto de simplificar los cálculos y consiste en: a) Agrupar los datos en dos grupos iguales b) Obtener el valor central (mediana) de los tiempos y la media aritmética de los datos de cada grupo, consiguiéndose así dos puntos de la recta de tendencia y c) Estos valores se reemplazan en el siguiente sistema:
d) Resolviendo el sistema se encuentran los valores de y reemplazan en la ecuación de la recta de tendencia, la cual es:
los cuales se
Con esta recta de tendencia se puede realizar pronósticos, los cuales son menos exactos que los obtenidos con el método de los mínimos cuadrados, sin embargo, su diferencia es mínima.
Ejemplo Con los siguientes datos sobre las ventas en millones de dólares de la Empresa D &M Año (X)
Ventas (Y)
2000 1,5 2001 1,8 2002 2 2003 1,5 2004 2,2 2005 2 2006 3 2007 2,8 2008 2,4 2009 2,9 2010 3 1) Hallar la ecuación de tendencia por el método de los semipromedios. 2) Pronosticar la tendencia de ventas para el 2011. 3) Elaborar la gráfica para los datos y la recta de tendencia. Solución: 1) Se codifica la numeración de los años 2000 como 1, 2001 como 2, y así consecutivamente para facilitar los cálculos. Se agrupa en dos grupos iguales.
El año 2005 se dejó por fuera para tener grupos con el mismo número de años. El valor central de 3 corresponde a la mediana del primer grupo 1, 2, 3, 4 y 5. El valor central de 9 corresponde a la mediana del segundo grupo 7, 8, 9, 10 y 11. El semipromedio 1,8 corresponden a la media aritmética del primer grupo. El semipromedio 2,82 corresponden a la media aritmética del segundo grupo. De esta manera se obtienen dos puntos (3, 1.8) y (9, 2.82) de la recta de tendencia. Reemplazando los puntos en el siguiente sistema se obtiene:
Resolviendo el sistema empleando la regla de Cramer se obtiene:
Como
es positiva, la recta tiene una tendencia ascendente (pendiente positiva).
Reemplazando los valores calculados se tiene la recta de tendencia, la cual es:
2) Para pronosticar la tendencia de exportación para el 2011 se reemplaza X = 12 en la recta de tendencia, obteniendo el siguiente resultado: Y = 1,29 + 0,17X Y = 1,29 + 0,17·12 = 3,33 Interpretación: Existe una tendencia ascendente a un cambio promedio de 0,17 millones de dólares por cada año, por lo que el Gerente de ventas de la empresa
debe seguir aplicando las políticas necesarias para mantener la tendencia ascendente y mejorar la tasa de crecimiento.
Análisis de variaciones cíclicas. La variación cíclica es la componente de una serie de tiempo que tiende a oscilar arriba y debajo de la línea de tendencia secular en períodos mayores que un año. El procedimiento utilizado para identificar la variación cíclica es el método de residuos. Métodos de residuos . Cuando observamos una serie de tiempo consiste en datos anuales, sólo se toman en cuenta las componentes de tendencia secular, cíclica e irregular. (Esto es así porque la variación estacional pasa por un ciclo completo y regular cada año y no afecta más un año que otro). Si utilizamos una serie de tiempo compuesta por datos anuales, podemos encontrar la fracción de la tendencia dividiendo el valor real (Y)
entre el valor de la tendencia correspondiente (Y) para cada valor de la serie de tiempo. Luego se multiplica el resultado de este cálculo por 100. Esto da la medida de la variación cíclica como un porcentaje de tendencia. Dónde: Y= valor real de la serie de tiempo =
valor
de
tendencia
estimado a partir del mismo punto de la serie de tiempo Ejemplo: El número de académicos que poseen computadoras personales en la Universidad de Ohio ha aumentado drásticamente entre 1990 y 1995: Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Número de PC 50 110 350 1,020 1,950 3,710 a) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos. b) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos. c) Estime el número de computadoras personales que habrá en uso en la universidad en 1999, utilizando ambas ecuaciones. d) Si hay 8,000 académicos en la universidad, ¿qué ecuación es mejor pronosticador? ¿Por qué?
Análisis de Tendencia La tendencia secular o tendencia a largo plazo de una serie es por lo común el resultado de factores a largo plazo. En términos intuitivos, la tendencia de una serie de tiempo caracteriza el patrón gradual y consistente de las variaciones de la propia serie, que se consideran consecuencias de fuerzas persistentes que afectan el crecimiento o la reducción de la misma, tales como: cambios en la población, en las características demográficas de la misma, cambios en los ingresos, en la salud, en el nivel de educación y tecnología. Para el caso de tendencias a largo plazo, su comportamiento se ajusta a una línea recta, llamada por esta razón línea de tendencia, es decir, se aproxima a una ecuación de recta, que recibe el nombre de ecuación de tendencia y que es de la forma:
Cuyos coeficientes se calculan con ayuda del método de mínimos cuadrados visto anteriormente con las siguientes fórmulas:
Ejemplo: Cálculo de la Tendencia a través de Mínimos Cuadrados En la siguiente tabla se encuentran los datos de las ventas de los últimos cinco años de una empresa del ramo de alimentos:
a) Graficar los datos b) Determinar la ecuación de tendencia e interpretarla c) Trazar la recta de tendencia d) Pronosticar las ventas para los siguientes dos años e interpretar el resultado
a) Con los datos que se tienen se obtiene la siguiente gráfica:
b) Para determinar los coeficientes de la ecuación se debe construir una tabla con los datos necesarios:
Se sustituyen los valores en las fórmulas respectivas:
y habiendo calculado los coeficientes, entonces la Ecuación de Tendencia queda: y = 6.1 + 1.3t Ahora se interpreta de la siguiente manera: Las ventas se expresan en millones de pesos, el origen o año 0, es 2003 y t aumenta una unidad por año. El valor 1.3 indica que las ventas aumentan a razón de 1.3 millones de pesos por año. El valor 6.1 es el de las ventas estimadas cuando t = 0. Es decir, el monto de las ventas estimadas para el año 2003 es igual a 6.1 millones de pesos.
c) Para trazar la recta, se deben tener dos puntos, para el primero de ellos se puede utilizar el valor 6.1 de la ecuación anterior y el segundo se puede obtener asignando un valor cualquiera a x, dentro del rango del intervalo del que se dispone, por ejemplo 4 (año 2006) para obtener el valor de y, es decir: y = 6.1 + 1.3t = 6.1+ 1.3(4) =11.3 con lo que ya se puede trazar la Recta de Tendencia
d) Los dos años siguientes son 2008 y 2009, que en términos de los cálculos que estamos haciendo son 6 y 7, respectivamente. Pues bien, estos se sustituyen en la Ecuación de Tendencia y se obtienen los pronósticos requeridos, es decir: y = 6.1 + 1.3t = 6.1+ 1.3(6) = 13.9 y = 6.1 + 1.3t = 6.1+ 1.3(7) = 15.2 que se interpreta de la siguiente manera: Con base en las ventas anteriores, la estimación o pronóstico para los años 2008 y 2009, es 13.9 y 15.2 millones de pesos, respectivamente
Análisis de Variaciones Estacionales El componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Esta variación corresponde a los movimientos de la serie que recurren año tras año en los mismos meses (o en los mismos trimestres) del año poco más o menos con la misma intensidad. Ejemplo: Cálculo de análisis de variaciones estacionales Los datos siguientes representan las ventas trimestrales en millones de pesos de la empresa Kids Fashions especializada en la venta de ropa infantil ubicada en la zona centro de la ciudad de Toluca:
d) Calcular el valor con ajuste estacional de las ventas trimestrales. Construir gráfica e Interpretar los resultados e) Obtener la ecuación de tendencia e interpretar el resultado
a) Como puede apreciarse, en cada año, las ventas del cuarto trimestre son las más altas y las del segundo las más bajas. También puede apreciarse un incremento en las ventas de un año a otro.
b) Para llegar al índice estacional trimestral se deben construir dos tablas, la primera de ellas, se calcula como sigue: Columna (1). Son los datos originales Columna (2). Total móvil de cuatro trimestres, por ejemplo: 6.7 + 4.6 + 10.0 + 12.7 = 34 que se coloca al centro de cuatro cuatrimestres que se suman. Enseguida la suma se va «moviendo» un trimestre, es decir, el siguiente es: 4.6 + 10.0 + 12.7 + 6.5 = 33.8y así, sucesivamente. Columna (3). Promedio móvil de cuatro trimestres, es decir, ya solo hay que dividir los totales anteriores entre 4 y colocar el resultado frente a su correspondiente. Por ejemplo: 34/4 = 8.500, 33.8/4=8.450, etcétera. Columna (4). Promedio móvil centrado, ahora se centran los promedios móviles, es decir, se suman los dos promedios móviles y se dividen entre 2, el resultado de esto se centra entre los dos valores sumados quedando centrado con el trimestre correspondiente, por ejemplo: (8.500 + 8450)/2 = 8.475 que queda centrado con el trimestre 3 del año 2002, el segundo sería (8.450 + 8.450)/2 = 8.450 que queda centrado con el trimestre cuatro del año 2002. Columna
(5). Valor estacional específico.- Se calcula dividiendo las ventas originales (columna 1) entre el promedio móvil centrado (columna 4), por ejemplo: 10.0/8.475 = 1.180, el segundo es 12.7/8.450 = 1.503, etcétera.
La segunda tabla se construye de la siguiente forma: Se acomodan en un cuadro los valores estacionales específicos obtenidos antes, para enseguida: • Calcular la media modificada de cada trimestre, esta se obtiene sumando los valores obtenidos pero sin considerar los valores más alto y más bajo, por ejemplo: (0.772 + 0.775 + 0.753)/3 = 0.766 • Obtener el índice estacional multiplicando la media obtenida por el factor de corrección o ajuste que se calcula con la fórmula que aparece al pie del cuadro siguiente:
c) Estos índices calculados implican que: Para el trimestre 1, cuyo índice es 76.466 significa que las ventas en este trimestre estarán (100 – 76.466 = ) 23.534% por abajo del promedio típico, Para el trimestre 2, cuyo índice es 57.300 significa que las ventas en este trimestre estarán (100 – 57.300 =) 42.700% por abajo del promedio típico Para el trimestre 3, cuyo índice es 113.601 significa que las ventas en este trimestre estarán (113.601 – 100 =) 13.601% por arriba del promedio típico Para el trimestre 4, cuyo índice es 152.633 significa que las ventas en este trimestre estarán (152.633 – 100 =) 52.633% por arriba del promedio típico
En resumen, como puede apreciarse el período con mayor actividad en las ventas es el cuarto trimestre mientras que para el primer y segundo trimestre del año tal actividad baja drásticamente. d) Para calcular el valor ajustado por el índice estacional ya solo hay que dividir los valores originales desestacionalizados entre su respectivo índice estacional trimestral, por ejemplo para el trimestre 1 del año 2002: (6.7/76.466)*100 = 8.76, es decir
Su gráfica quedaría como sigue.
Como puede apreciarse, la diferencia entre las ventas de un trimestre a otro en realidad no son tan marcadas como lo reflejan las ventas originales, aquí puede notarse que efectivamente de un año a otro las ventas aumentan pero, sin embargo entre un trimestre y otro, en el mismo año, no tienen lugar grandes incrementos.
e) La tabla siguiente muestra los cálculos necesarios para obtener la ecuación de tendencia:
que al sustituir estos valores en la fórmula, se obtiene:
Con lo que la Ecuación de Tendencia queda como sigue: y = 8.1791 + 0.0880x Esto quiere decir que la pendiente es 0.0880, es decir, que en los últimos 24 trimestres, las ventas desestacionalizadas aumentaron a razón de 0.0880 (millones de pesos) por trimestre. El valor 8.1791 corresponde a la intercepción en el eje y de la línea de tendencia.
Variación Irregular Esta se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afectan a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible, es decir, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo. Existen dos tipos de variación irregular: a) Las variaciones que son provocadas por acontecimientos especiales, fácilmente identificables, como las elecciones, inundaciones, huelgas, terremotos. b) Variaciones aleatorias o por casualidad, cuyas causas no se pueden señalar en forma exacta, pero que tienden a equilibrarse a la larga.
Aplicación de ajustes estacionales Una aplicación frecuente de los índices estacionales es el ajuste de los datos observados de la serie de tiempo eliminando de los datos la influencia del componente estacional. A estos datos ajustados se les llama datos ajustados estacionalmente o datos desestacionalizados.
Los ajustes estacionales son especialmente importantes si se desea comparar datos de varios meses para determinar si ha habido un incremento (o disminución) relativo a las expectativas estacionales. Por ejemplo, un incremento de 10 por ciento de abril a mayo en las ventas de fertilizantes para jardín en un año determinado representa un decremento relativo si el número índice estacional de mayo es 20 por ciento superior al número índice de abril. En otras palabras, si hay un incremento, pero no están grande como se esperaba de acuerdo con datos históricos, entonces en relación con estas expectativas ha habido disminución relativa de la demanda. Los valores mensuales (o trimestrales) observados de la serie de tiempo son ajustados respecto de la influencia estacional dividiendo cada valor entre el índice mensual (o trimestral) de ese mes. Este
resultado
se
multiplica
por
variaciones estacionales se puede representar como:
Aunque los valores resultantes después de la aplicación conservan las mismas unidades de medición que los datos originales, no representan los datos reales. Más bien, son valores relativos y solamente son útiles con propósitos de comparación.
Pronósticos
basados
en
factores
de
tendencia
y
estacionales Una consideración particularmente importante en los pronósticos a largo plazo es el componente cíclico de las series de tiempo. 1. Emplear el valor de tendencia proyectado como base del pronóstico. 2. Ajustarlo respecto del componente estacional. 3. Desestacionalizar el valor observado más reciente y 4. Multiplicarlo por el índice estacional del periodo de pronóstico. (la diferencia entre los dos periodos será la atribuible a la influencia estacional).
ECUACION DE LA LINEA DE TENDENCIA 𝑏
𝑏
𝑥
𝑏
𝑏
1 𝑦𝑡 = 120 𝑇 (121 ) (12) = 120 + 144 𝑥
𝑦𝑡 =
𝑏0 𝑏1 𝑥 𝑏0 𝑏1 + ( )( ) = + 𝑥 4 4 4 4 16
