Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010 Oleh Tutur Widodo
39 1. Jika titik titik puncak puncak fungsi kuadrat kuadrat y = (a 1)x2 + ax + 4 adalah 1, a2 maka 4 jarak antar titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu X adalah ...
−
√
d. 2 13
√
√
e.
2 1101 19 21 2 b. 3 2 21 c. 3 a.
2 3
√
Jawaban : d
Absis dari titik puncak dari grafik fungsi di atas adalah x = diketahui puncaknya adalah
39 1, a2 4
fungsi kudrat pada soal adalah
y=
− 13 x
maka
2
−a 2(a − 1)
= 1
−a . 2(a − 1) ⇔ a=
Kare Karena na 2 . 3
Jadi, adi,
2 + x+4 3
Misalkan titik potong grafik dengan sumbu X adalah (x1 , 0) dan (x2 , 0) dengan x1 < x2 maka jarak antar titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu X
adalah x2 x1 . Ingat juga bahwa x1 dan x2 adalah akar - akar dari y = 2 x + 4, sehingga 3
−
(x2
2
−x ) 1
= x22 + x21
− 2x x = (x + x ) − 4x x = 2 − 4 · (−12) 1
1 2
2
2
2
= 4 + 48 = 52 Jadi, x2
− x = √ 52 = 2√ 13 1
1 2
− 13 x
2
+
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
2. Jika (x,y,z ) memenuhi sistem persamaan berikut :
2
4 5 9 + = (x 1)2 (y + 2)2 z 2 4 4 2 1 9 = (x 1)2 (y + 2)2 z 2 4 3 6 2 9 + = (x 1)2 (y + 2)2 z 2 4
− − −
maka nilai dari (x
− 1)
2
+
−
− −
+ (y + 2)2 + z 2 = ...
a. 0
d. 9
b. 1
e. 16
c. 4 Jawaban : e
1
Misal,
= a,
(x 1)2 equivalent dengan
−
1 1 b dan = = c maka sistem persamaan pada soal z 2 (y + 2)2 9 4 1 c= 2 2c = 1
2a + 4b + 5c =
(1)
4a
(2)
− 2b − 3a + 6 b − Dari (1)-5(2) didapat
22a
(3)
− 6b = 194
(4)
a = 2b
(5)
serta dari 2(2)-(3) didapat
1 1 dari pers.(4) dan (5) kita peroleh a = dan b = . Jika nilai a dan b ini disubsti4 8 1 tusikan ke pers.(2) diperoleh c = . 4 Sehingga kita peroleh nilai (x
− 1)
2
+ (y + 2)2 + z 2 = 4 + 8 + 4 = 16
4
3. Jika
f (x)dx = 6, maka
1
a. 6 b. 3 c. 0
4
f (5
1
− x)dx = ... d.
−1 e. −6
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Jawaban : a
Misal, t = 5
− x maka x = 5 − t, sehingga diperoleh 4
1
1
f (5
− x)dx =
−
f (t)( dt)
4
−
1
=
f (t)dt
4
4
=
f (t)dt
1
4
=
f (x)dx = 6
1
4. Nilai x yang memenuhi x
| − 1| + |x − 2| + |x − 3| ≥ 6 adalah ... d. x ≤ 1 atau x ≥ 3 e. x ≤ 1 atau x ≥ 4
a. 0
≤x≤4 b. x ≤ −2 atau x ≥ 4 c. x ≤ 0 atau x ≥ 4 Jawaban : c
Kita bagi menjadi 4 kasus agar lebih mudah
• Untuk x < 1, persamaan pada soal equivalen dengan −(x − 1) − (x − 2) − (x − 3) ≥ 6 ⇔ − 3x + 6 ≥ 6 ⇔ x≤0 Jadi, untuk kasus pertama diperoleh penyelesaian x
≤0
• Untuk 1 ≤ x < 2, persamaan pada soal equivalen dengan (x
− 1) − (x − 2) − (x − 3) ≥ 6 ⇔ − x + 4 ≥ 6 ⇔ x ≤ −2
Jadi, untuk kasus kedua tidak ada penyelesaian yang memenuhi.
• Untuk 2 ≤ x < 3, persamaan pada soal equivalen dengan (x
− 1) + (x − 2) − (x − 3) ≥ 6 ⇔
x
≥6
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Jadi, untuk kasus ketiga juga tidak ada penyelesaian yang memenuhi.
• Untuk x ≥ 3, persamaan pada soal equivalen dengan (x
− 1) + (x − 2) + (x − 3) ≥ 6 ⇔ ⇔
3x
−6≥6 x≥4
Jadi, untuk kasus keempat diperoleh penyelesaian x
≥4
Oleh karena itu himpunan penyelesaian dari persamaan pada soal adalah x atau x
≥4
5. Jika nilai maksimum dari
≤0
m
15sin x
− 8cos x + 25 adalah 2, maka nilai m adalah ...
a. 4
d. 64
b. 16
e. 84
c. 36 Jawaban : b
Perhatikan bahwa 15sin x 8cos x + 25 17cos(x α) + 25 dengan α = m arctan 15 . Agar bernilai maksimum maka haruslah 17 cos(x 8 15sin x 8cos x + 25 α) + 25 minimum, yang dicapai saat cos(x α) = 1 dengan nilai 17 cos(x α) + m 25 = 8. Oleh karena itu diperoleh =2 m = 16 8
−
⇔
−
−
− ⇔
−
−
−
6. Jumlah p suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah q dan jumlah q suku pertama adalah p dengan p = q . Maka jumlah ( p + q ) suku pertama dari barisan tersebut adalah ...
a. p + q b.
−( p + q ) e. −( p + q + 1) d.
p + q
2
c. p + q + 1 Jawaban : d
Misalkan suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah a dan beda b, maka diperoleh S p =
dan S q =
p
2
q
2
2a + ( p
− 1)b
= q
(6)
2a + (q
− 1)b
=p
(7)
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
kurangkan pers.(7) dengan pers.(6) maka diperoleh p
− q = q (a + 12 (q − 1)b) − p(a + 12 ( p − 1)b) 1 1 1 1 = aq + bq − bq − ap − bp + bp 2 2 2 2 1 1 1 1 = aq − ap − bq + bp + bq − bp 2 2 2 2 1 1 = −a( p − q ) + b( p − q ) − ( p − q )( p + q ) 2 2 2
2
2
2
karena p = q kita peroleh
1=
−a + 12 b − 12 ( p + q ) ⇔ ⇔
1 2 2a + ( p + q
a + ( p + q
− 1)b = −1 − 1)b = −2
Selanjutnya perhatikan bahwa
1 ( p + q )(2a + ( p + q 2 1 = ( p + q )( 2) 2 = ( p + q )
s p+q =
− 1)b)
−
−
7. Misal sudut pada segitiga ABC adalah A, B dan C . Jika sin B + sin C = 2 sin A, maka nilai dari tan( B2 ) tan( B2 ) adalah ...
·
1 3 4 b. 3 1 6 c. 2 a.
√
1 3 6 21 e. 12 d.
√
Jawaban : a
Karena A,B,C adalah sudut- sudut pada segitiga maka berlaku A + B + C =
Tutur Widodo
180◦
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
A = 180◦
⇔
− (B + C ) sehingga
sin B + sin C = 2 sin A
⇔ ⇔
sin B + sin C = 2 sin(B + C )
− · − − B + C
2sin
⇔
cos
⇔
cos
⇔
3sin
⇔
tan
2
B
C
B
2
B
tan
2
8. Persamaan (a
C
C
=
2
2
B + C
cos
2
2
B
2
= cos
2
B + C
B + C
+ sin
2
sin
= 2 2sin
2
C
cos
2
C
= 2 cos
2
B
B
cos
B
2
C
sin
2
cos
= 2 cos
B
2
C
cos
2sin
2
B
sin
2
C
2
1 3
2
− 1)x − 4ax + 4a +7 = 0 dengan a bilangan bulat positif mempunyai
akar - akar positif. Selisih akar terbesar dan akar terkecil adalah ... a. 1
d. 4
b. 2
e. 5
c. 3 Jawaban : b
Misal persamaan (a
2
− 1)x − 4ax + 4a + 7 = 0 memiliki akar - akar x
1
dan x2 . Agar
x1 dan x2 bernilai positif maka haruslah :
(a) ( 4a)2
−
− 4(a − 1)(4a + 7) ≥ 0
Dengan sedikit penjabaran diperoleh (b) x1 + x2 > 0
4a
−12a + 28 ≥ 0 ⇔
a
≤ 73 .
>0 a 1 Sehingga a < 0 atau a > 1 4a + 7 >0 (c) x1 x2 > 0 a 1
⇔
⇔
Sehingga a <
−
−
−
7 atau x > 1 4
Dari ketiga syarat di atas dan mengingat a bilangan bulat positif , maka nilai a yang memenuhi adalah a = 2. Jadi persamaan pada soal menjadi x2
− 8x + 15 = 0
yang memiliki akar - akar 3 dan 5. Sehingga selisih akar terbesar dan akar terkecil adalah 2.
√ √ 9. Misalkan f (x) = ( 2 + 1) sin x + ( 2 − 1) cos x. Nilai maksimum untuk dimana x bilangan riil adalah ...
2
f (x)
C
2
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
a.
d. 3
−6 b. −3
e. 6
c. 0 Jawaban : e
√
√ − −√ ≤ ≤ √
√
Ingat bahwa f (x) = ( 2 + 1)sin x + ( 2 1)cos x = 6cos(x α) dengan α = √ arctan √ 2+1 6 f (x) 6. Sehingga nilai maksimum dari . Oleh karena itu, 2−1 2
f (x)
−
adalah 6.
10. Sebuah polinom p(x) mempunyai suatu maksimum lokal di ( 2, 4), suatu mini-
−
mum lokal di (1, 1), suatu maksimum lokal di (5, 7)dan tidak ada titik kritis lain. Maka p(x) memotong sumbu X di ... a. 1 titik
d. 4 titik
b. 2 titik
e. 4 titik
c. 3 titik Jawaban : b
Cukup Jelas. 11. Pada kubus ABCD.EFGH , titik K terletak pada rusuk GH sehingga HK : GH =
1 : 2, titik M terletak pada rusuk EF sehingga EM : M F = 1 : 2. Jika α sudut yang terbentuk antara irisan bidang yang melalui titik A,C,K dan irisan bidang yang melalui A,C,M maka nilai dari cos α adalah ... a.
7 11
b.
11 7
c.
11 57
√ 19 √ 19 √ 19
Jawaban : c
Perhatikan gambar di bawah ini
d.
57 11
e.
2 11
√ 19 √ 19
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Q
P
K
H E
G F
M
C
D O A
B
Misal panjang rusuk kubus a. Perhatikan bahwa ACP adalah bidang yang melalui A,C,K dan ACQ adalah bidang yang melaui A,C,M . Oleh karena itu, α adalah
sudut yang terbentuk antara bidang ACP dengan bidang ACQ atau α = ∠P OQ. Selanjutnya dengan memanfaatkan kesebangunan diperoleh, P H HK = PD DC
⇔ ⇔ ⇔
1 a P H = 2 P H + a a
2P H = P H + a P H = a
dan QF M F = FB AB
⇔ ⇔ ⇔
2 a QF = 3 QF + a a
3QF = 2QF + 2a QF = 2a
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Jadi, OP =
= = =
√
OD 2 + DP 2
√ √ 1 a 2 2
2
+ (2a)2
1 2 a + 4 a2 2 9 2 3 a = a 2 2 2
serta OQ =
= = =
√ √ OB 2 + BQ 2
1 a 2 2
2
+ (3a)2
1 2 a + 9 a2 2 19 2 1 a = a 38 2 2
Sedangkan P Q sama dengan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH . Oleh karena
√ itu, P Q = a 3. Sehingga dengan aturan cosinus pada segitiga P OQ diperoleh P Q2 = OP 2 + OQ2
√
− 2OP · OQ cos α 3 √ 1 √ 2
2
⇔
(a 3) =
⇔ ⇔ ⇔
9 19 3a2 = a2 + a2 2 a 2 2 3 = 14 3 19cos α 11 11 cos α = = 19 57 3 19
−
2
√
√
a 2
2
− ·
2
− ·
a 38
2
9 a 2
√
√
3 1 a 2 a 38 2 2
·
19 cos α 2
·
√
12. Jika sisa pembagian suku banyak f (x) dengan x, x
− 1 dan x + 2 berturut - turut adalah 2, 3, dan 4. Maka sisa pembagian suku banyak f (x) dengan x + x − 2x 3
adalah ... a.
1 2 3
2 3
− x − x−2
b. 13 x2 + 23 x + 2 c. 13 x2 + 2x
−
2 3
d. 23 x2
1 3
− x−2
e. 23 x2 + 13 x + 2
2
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Jawaban : e
Dari soal diketahui, f (0) = 2, f (1) = 3 dan f ( 2) = 4. Misalkan hasil pembagian dari f (x) oleh x3 + x2 f (x) = (x3 + x2
−
− 2x adalah H (x), maka diperoleh 2
− 2x)H (x) + ax
+ bx + c = x(x + 2)(x
2
− 1)H (x) + ax
+ bx + c
selanjutnya kita peroleh,
2 = f (0) = c
(8)
3 = f (1) = a + b + c
(9)
4 = f ( 2) = 4a
dari pers.(8), (9) dan pers.(10) didapat a = 23 , b = sisa pembagian f (x) dengan x3 + x2
(10)
− 2b + c
−
− 2x adalah
1 3
dan c = 2 sehingga diperoleh
2 2 x 3
+ 13 x + 2.
13. Jika a,b,c adalah sudut - sudut segitiga, maka
cos a sin a
− sin a cos a
cos b sin b
− sin b cos b
cos c sin c
− sin c cos c
sama dengan ... a.
b.
c.
− − 1 0 0 1 1 0
d.
0 1
e.
− 0 1
1 0
0 1 1 0
−
0 1 1 0
Jawaban : a
cos a sin a
= = =
−
− sin a cos a
cos b sin b
− sin b cos b
cos c sin c
− sin c cos c
cos a cos b sin a sin b sin a cos b + cos a sin b
cos c sin c
− cos a sin b − sin a cos b − sin a sin b + cos a cos b − sin(a + b) cos c − sin c
−
cos(a + b) sin(a + b)
cos(a + b)
− sin c − cos c
cos c sin c
sin c
cos c
− sin c cos c
cos c sin c
− sin c cos c
Tutur Widodo
karena
−
cos c sin c
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
cos c sin c
−1
−
− − −
− sin c cos c
− sin c − cos c
=
cos c sin c
cos c sin c
sin c cos c
=
sin c , maka cos c
1 0 0 1
14. Tiga bilangan a, b dan c yang masing - masing terletak di antara 2 dan 18 memenuhi hal - hal berikut :
• Jumlah bilangan tersebut adalah 25 • 2, a , b adalah suku - suku suatu barisan aritmatika • b,c, 18 adalah suku - suku barisan geometri. maka nilai 3a + 2b + c adalah ... a. 40
d. 43
b. 41
e. 48
c. 42 Jawaban : d
Dari keterangan pada soal didapat a + b + c = 25. Karena 2, a , b adalah suku - suku suatu barisan aritmatika maka berlaku 2a = 2 + b. Selain itu, b,c, 18 adalah suku - suku barisan geometri sehingga c2 = 18b. Oleh karena itu, berlaku a + b + c = 25
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
2a + 2b + 2c = 50 2 + b + 2b + 2c = 50 3b + 2c = 48 18b + 12c = 288 c2 + 12c
(c
− 288 = 0
− 12)(c + 24) = 0
karena c terletak antara 2 dan 18, maka nilai c yang mungkin adalah c = 12, sehingga b = 8 dan a = 5. Jadi, 3a + 2b + c = 43 15. f −1 , g −1 , dan h−1 berturut - turut menyatakan invers fungsi f, g dan h. Diketahui x 3 (f −1 g−1 h−1 )(x) = 2x 4 dan (h g )(x) = ; x = 12 , maka f (8) = ... 2x + 1
◦
a.
− b. − c. −
3 11 4 5 9 11
◦
−
−
◦
d.
− e. −
12 11 5 4
−
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Jawaban : c
Ingat (f −1 g−1 h−1 )(x) = (h g f )−1 (x). Oleh karena itu, (h g f )−1 (x) = 2x 4
◦ ◦ sehingga (h ◦ g ◦ f ) x) = (
x+4
2
◦◦
. Selanjutnya kita peroleh,
(h g f )(x) =
◦ ◦
x+4
2
⇔ ⇔
◦
⇔ ⇔ ⇔
−
h g (f (x)) =
◦◦
−
x+4
2 f (x) 3 x+4 = 2f (x) + 1 2 f (8) 3 =6 2f (8) + 1
−
f (8)
− 3 = 12f (8) + 6 9 f (8) = − 11
16. Akar - akar persamaan x2 + mx + n = 0 adalah cos 75◦ dan cos15◦ . Persamaan kuadrat yang akar - akarnya 2m dan 2n adalah ... a. 2x2 b. 2x2 c. 2x2
− 2√ 6x − √ 6 = 0 − 2x − 2√ 6 = 0 √ √ − 6x − 6 = 0
d. 2x2 e. 2x2
− (1 − 2√ 6)x − √ 6 = 0 − −(1 − √ 6)x − 2√ 6 = 0
Jawaban : d
Dengan rumus Vieta diperoleh,
−m = cos75◦ + cos 15◦ = 2 cos45◦ · cos30◦ 1 √ 1 √ = 2· 2· 3 2 2 1 √ =
sehingga m =
2
6
− √ 6. Serta, 1 2
n = cos75◦ cos15◦
·
1 (cos 90◦ + cos 60◦ ) 2 1 1 = 0+ 2 2 1 = 4 =
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
Oleh karena itu,
2m + 2n = 2(m + n) 1 1 = 2( 6+ ) 2 4 1 = 6 2
√ − √ −
dan
2m 2n = 4mn 1 1 = 4( 6) 2 4 1 = 6 2
·
−
√ − √
Jadi, persamaan kuadrat yang akar - akarnya 2m dan 2n adalah
− ( − √ 6)x − √ 6 = 0 ⇔ 2x − (1 − 2√ 6)x − √ 6 = 0 17. Nilai dari 5cos θ + 3cos(θ − ) + 3 terletak di interval ... √ 3, + √ 3 a. [−5, 10] d. − − √ √ b. [−4, 10] e. − − 3, − 3 1 2
x2
1 2
2
π
3
c. [ 3, 9]
−
7 2
3 2
19 2
3 2
7 2
3 2
19 2
3 2
Jawaban : b
5cos θ + 3cos(θ
− π3 ) + 3 = 5 cos θ + 3 cos θ cos60◦ + 3 sin θ sin θ + 3 3 3 √ = 5 cos θ + cos θ + 3sin θ + 3 2 2 13 3 √ =
cos θ + 3sin θ + 3 2 2 = 7 cos(θ α) + 3
−
π
−4 ≤ 5cos θ + 3 cos(θ − ) + 3 ≤ 10 √ 1 18. Jika f (x) = dan g(x) = x, maka daerah asal dan daerah hasil dari (g ◦f )(x) x−1 adalah ... Sehingga,
3
{ | − ∞ < x < 1, 1 < x < ∞} (2) daerah asal {x|1 < x < ∞} (3) daerah hasil {y| − ∞ < y < 0, 0 < y < ∞} (1) daerah asal x
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2010
(4) daerah hasil y 0 < y <
{|
∞}
Jawaban : c
1
(g f )(x) = g f (x) = g
◦
x
−1
=
√ x1− 1
Oleh karena itu, Daerah asal = x 1 < x < dan
{|
∞}
Daerah hasil = x 0 < x <
{|
∞}
Disusun oleh : Tutur Widodo
Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke
[email protected] Terima kasih. My blog : http://mathematic-room.blogspot.com
